El Modelo Del Análisis Factorial

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En la siguiente presentación se desarrollan algunas de las ideas fundamentales del análisis factorial para proporcional una introducción teórica al tema.

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El Modelo Del Análisis Factorial

  1. 1. El Modelo del Análisis Factorial<br />Ángel M. Carreras Jusino<br />MATE 6600<br />Econometría y Modelos de Finanzas<br />Dr. Balbino García Bernal<br />
  2. 2. Introducción<br />En la siguiente presentación se desarrollan algunas de las ideas fundamentales del análisis factorial para proporcional una introducción teórica al tema.<br />
  3. 3. Tópicos a Cubrirse<br />La Ecuación de Especificación<br />La Ecuación Fundamental del Análisis Factorial<br />Extracción de Factores<br />Rotación de Factores<br />Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />
  4. 4. La Ecuación de Especificación<br />En la base del análisis factorial hay un supuesto fundamental que puede formularse del siguiente modo:<br />Una puntuación típica en una variable puede expresarse como una combinación lineal de puntuaciones en factores comunes, puntuaciones en factores específicos y puntuaciones en factores error.<br />
  5. 5. La Ecuación de Especificación<br />
  6. 6. La Ecuación de Especificación<br />Las puntuaciones z, F, S y E de la ecuación (1) son todas las puntuaciones típicas que tienen una media (M) de cero y una desviación típica (σ) de 1.0.<br />Cada valor a de la ecuación (1) esunaconstantenumérica, llamada peso factorial, quenormalmenteestará entre -1.0 y +1.0.<br />La puntuaciónz, a la izquierda de la ecuación (1), se obtieneempiricamentecomopuntuación de una variable, mientrasquelaspuntuacionesF, S, y E son factorialeshipotéticasque no se obtienen de la recogida de datos.<br />
  7. 7. La Ecuación de Especificación<br />Ejemplo:<br />Sea zik la puntuación típica del sujeto k en una prueba de inteligencia.<br />Supongamos que solo hay cinco factores comunes concernientes a la inteligencia humana, Aptitud Verbal (V), Aptitud Numérica (N), Memoria (M), Capacidad de Razonamiento (R) y Capacidad Perceptiva (P)<br />Asumamos que las puntuaciones típicas en estos factores de habilidad son conocidas para toda persona de una población dada.<br />Entonces en la ecuación (1) F1k representa la puntuación típica del sujeto k en el factor Verbal (V), F2k representa la puntuación típica del sujeto k en el factor Numérico (N) y F5k representa la puntuación típica del sujeto k en el factor Perceptual (P).<br />
  8. 8. La Ecuación de Especificación<br />Continuación del ejemplo:<br />El término Sik representa la puntuación típica del sujeto k en un factor específico asociado solo con esta prueba de inteligencia; Eik representa la puntuación típica del sujeto k en el factor error asociado solo con esta prueba de inteligencia.<br />Los valores ai1, ai2, …, ai5, ais, aie son los pesos factoriales para la prueba de inteligencia en los cinco factores comunes de habilidad más el factor error y el específico.<br />Seleccionando un individuo particular que represente al sujeto k podrían resultar las siguientes sustituciones de puntuaciones típicas, sustituyendo en la ecuación (1):<br />1.96 = ai1 (1.5) + ai2 (1.0) + ai3 (2.5) + ai4 (-1.0) + ai5 (-.2) + ais (-.3) + aie (1.0) <br />Las puntuaciones típicas sustituidas en la ecuación (1), salvo raras excepciones, serán valores entre -3.0 y +3.0. Si los valores a se sustituyen por pesos factoriales hipotéticos, la ecuación se convierte en:<br />1.96 = .50 (1.5) + .40 (1.0) + .40 (2.5) + .37 (-1.0) + .30 (-.2) + .30 (-.3) + .33 (1.0)<br />
  9. 9. La Ecuación de Especificación<br />Continuación del ejemplo<br />La puntuación típica del sujeto k en la prueba de inteligencia, 1.96, es relativamente alta, con cerca del 97.5% de la población por debajo de ella.<br />Cuando se usa una media de 100 y una desviación típica de 16, esto correspondería a un CI de cerca de 132.<br />Su mejor aptitud es la Memoria, con el factor Verbal y Numérico también muy por encima de la media.<br />Está por debajo de la media en capacidad de Razonamiento y Capacidad Perceptual.<br />
  10. 10. La Ecuación de Especificación<br />La ecuación (1) puede representarse en forma de esquema matricial para todos los valores de i y k simultáneamente, esto es, para todas las variables y todos los sujetos o cualesquiera otros sujetos productores de datos.<br />La ecuación esquemática matricial puede representarse por la siguiente ecuación matricial: <br />(2) Z = AuFu<br />La ecuación (2) establece que la matriz Z de puntuaciones de variables puede obtenerse multiplicando la matriz de pesos factoriales, Au, por la matriz de puntuaciones factoriales, Fu.<br />
  11. 11. La Ecuación de Especificación<br />Notación matricial esquemática para todos los valores de i y k simultáneamente<br />
  12. 12. La Ecuación Fundamental del Análisis Factorial<br />En su utilización ordinaria, el análisis factorial implica derivar un conjunto de pesos factoriales a partir de una matriz de coeficientes de correlación entre las variables.<br />La correlación entre un par de variables es igual a la suma de los productos de sus pesos factoriales, los valores a de la matriz Au, en los factores comunes.<br />Es decir que<br /> (3)<br /> especifica la correlación entre las variables i y j.<br />
  13. 13. La Ecuación Fundamental del Análisis Factorial<br />La ecuación (3) puede representarse, para todos los valores de i y j simultáneamente, mediante la siguiente notación matricial esquemática.<br />La ecuación correspondiente a esta representación esquemática es<br />(4) R = AA’<br />Es decir el producto de la matriz de pesos factoriales<br />comunes por la transpuesta de esta.<br />
  14. 14. La Ecuación Fundamental del Análisis Factorial<br />Un teorema muy importante del análisis factorial, que fue llamado por Thurstone (1947) la ecuación fundamental del análisis factorial, se puede ver a través de dos ecuaciones.<br />Ambas ecuaciones establecen que la matriz de correlaciones entre las variables de datos puede descomponerse en el producto de una matriz factorial por su transpuesta.<br />La ecuación<br /> (5) Ru = AuAu’<br />reproduce la matriz de correlaciones con unos en las diagonales, usando una matriz factorial Auque contiene factores específicos y de error.<br />
  15. 15. La Ecuación Fundamental del Análisis Factorial<br />La ecuación (4) reproduce la matriz de correlaciones reducida, R, con comunalidades en la diagonal en lugar de unos.<br />Los restantes elementos son iguales en la matriz Ry la Ru.<br />Para explicar las correlaciones entre las variables de datos, solo se necesitan los factores comunes.<br />Para explicar la varianza total de las variables de datos, se necesitan, en este modelo, los factores comunes, específicos y de error.<br />
  16. 16. Extracción de Factores<br />El proceso de extracción de factores comienza con una matriz de correlaciones entre las variables de datos con comunalidades en la diagonal y termina con una matriz de pesos factoriales A, tal que cuando se multiplica por su transpuesta A’ se produce la matriz de correlaciones R.<br />La extracción de factores representa un problema de descomposición de matrices, es decir, la descomposición de R en el producto de otra matriz y su transpuesta.<br />
  17. 17. Extracción de Factores<br />Tradicionalmente uno de los fines principales del análisis factorial ha sido explicar una matriz de datos con muchos menos factores que variables de datos.<br />Los métodos de extracción de factores, diseñados para producir la matriz A buscan dar cuenta de la mayor parte posible de la varianza total extraída en cada factor extraído sucesivamente.<br />Es decir, en cada paso se busca un factor para el cual la suma de los cuadrados de los pesos factoriales sea lo mayor posible.<br />
  18. 18. Rotación de Factores<br />El análisis factorial y los métodos de extracción de factores no ofrecen una única solución a la ecuación R = AA’.<br />Una de las razones es que la matriz R solo se reproduce aproximadamente en la práctica y los experimentadores pueden diferir en el sentido de hasta donde deben aproximarse a R.<br />Otra razón para la ausencia de soluciones únicas es el hecho de que hay infinitas matrices A que reproducen la matriz R con la misma fidelidad.<br />
  19. 19. Rotación de Factores<br />Consideremos lo siguiente.<br />A<br />Λ<br />V<br />Esta operación matricial esquemática puede ser expresada como una ecuación matricial:<br />(6) AΛ = V<br />
  20. 20. Rotación de Factores<br />Si R = AA’, entonces es también verdad que R = VV’, ya que si trasponemos el producto AΛ, la ecuación (6) puede reescribirse de la siguiente forma:<br /> (7) (AΛ)’ = V’<br />Puestoque la matriztraspuesta de un productoes el producto de las matrices traspuestas en ordeninverso, la ecuación (7) se convierte en<br /> (8) Λ’A’ = V’<br />
  21. 21. Rotación de Factores<br />Utilizando las ecuaciones (6) y (8) el producto VV’ se convierte en<br /> (9) VV’ = AΛΛ’A’<br />PeroΛΛ’ incluido en el centro del producto de matrices en ecuación (9), da a unamatrizidentidad, comosigue:<br />Como resultado, la ecuación (9) se simplifica a R = AA’.<br />Puestoque no se especifica el valor de , puedehabertantas matrices Λ, comovalores de .<br />I<br />Λ<br />Λ’<br />
  22. 22. Rotación de Factores<br />En general, si hay m factores en la matriz A, la matriz Λserá de tamaño m x m.<br />Toda matriz Λdebe cumplir los siguientes requisitos:<br />La suma de los cuadrados de las filas debe ser igual a 1;<br />la suma de los cuadrados de las columnas debe ser igual a 1;<br />El producto interno de una fila por otra debe ser igual a cero para todo par de filas distintas.<br />El producto interno de una columna por otra debe ser igual a cero para todo par de columnas distintas.<br />* Este proceso garantiza que Λ Λ’ = I y que A Λ sea un sustituto de A en la reproducción de la matriz R de la misma forma que A.<br />
  23. 23. Rotación de Factores<br />El proceso de rotación en el análisis factorial lleva consigo el encontrar una matriz Λ tal que A Λ represente un conjunto óptimo de construcciones para los propósitos científicos.<br />
  24. 24. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />En la representación geométrica del modelo factorial, una variable de datos puede representarse como un vector en un espacio de tantas dimensiones como factores comunes haya.<br />La longitud de un vector de m dimensiones viene dada por<br /> (10)<br /> donde los valoresai son las coordenadas del vector respecto a los m ejes de referencia o dimensiones<br />
  25. 25. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />El producto escalar de dos vectores puede definirse como sigue:<br /> (11)<br />
  26. 26. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />λij<br />es el coseno entre el vector i y el ejecoordenadoj.<br />se denomina al cosenodirrecional del vector irespecto al eje (factorial) de coordenadasj.<br />Si aijes la coordenada del vector irespecto al eje factorial j y hies la longitud del vector i, entonces:<br /> (12)<br />
  27. 27. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />Sustituyendo (12) en (11) obtenemos:<br /> (13)<br />
  28. 28. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />Por un teorema de geometría analítica el producto interno de los cosenos direccionales de dos vectores es igual al coseno del ángulo entre los vectores.<br />Así que (13) se convierte en<br /> (14)<br />El producto escalar entre los vectores i y j es también igual a la correlación entre ellos.<br /> (15)<br />
  29. 29. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />Dividiendo (15) entre hiy hj obtenemos<br /> (16)<br />
  30. 30. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />Donde:<br />Ángulo entre los vectores iy j.<br />Longitud del vector i.<br />Longitud del vector j.<br />Correlación entre los vectores iy j.<br />
  31. 31. Representación Geométrica del Modelo Factorial<br />Aunque el modelo factorial se puede desarrollar sin referirse a conceptos geométricos, lo antes presentado se hace útil como medio adicional para poder entender las bases de esta técnica estadística.<br />Note que la representación geométrica tiene sus limitaciones, porque solo nos ofrece información visual para vectores de hasta tres dimensiones.<br />
  32. 32. Referencias<br />Andrew L. Comrey (1985 ) Manual de Análisis Factorial<br />http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/eva/pdf/factorial.pdf<br />http://www2.uca.es/serv/ai/formacion/spss/Pantalla/20factor.pdf<br />http://ciberconta.unizar.es/LECCION/factorial/FACTORIALEC.pdf<br />

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