El Modelo del Análisis FactorialÁngel M. Carreras JusinoMATE 6600Econometría y Modelos de FinanzasDr. Balbino García Bernal

IntroducciónEn la siguiente presentación se desarrollan algunas de las ideas fundamentales del análisis factorial para proporcional una introducción teórica al tema.

Tópicos a CubrirseLa Ecuación de EspecificaciónLa Ecuación Fundamental del Análisis FactorialExtracción de FactoresRotación de FactoresRepresentación Geométrica del Modelo Factorial

La Ecuación de EspecificaciónEn la base del análisis factorial hay un supuesto fundamental que puede formularse del siguiente modo:Una puntuación típica en una variable puede expresarse como una combinación lineal de puntuaciones en factores comunes, puntuaciones en factores específicos y puntuaciones en factores error.

La Ecuación de Especificación

La Ecuación de EspecificaciónLas puntuaciones z, F, S y E de la ecuación (1) son todas las puntuaciones típicas que tienen una media (M) de cero y una desviación típica (σ) de 1.0.Cada valor a de la ecuación (1) esunaconstantenumérica, llamada peso factorial, quenormalmenteestará entre -1.0 y +1.0.La puntuaciónz, a la izquierda de la ecuación (1), se obtieneempiricamentecomopuntuación de una variable, mientrasquelaspuntuacionesF, S, y E son factorialeshipotéticasque no se obtienen de la recogida de datos.

La Ecuación de EspecificaciónEjemplo:Sea zik la puntuación típica del sujeto k en una prueba de inteligencia.Supongamos que solo hay cinco factores comunes concernientes a la inteligencia humana, Aptitud Verbal (V), Aptitud Numérica (N), Memoria (M), Capacidad de Razonamiento (R) y Capacidad Perceptiva (P)Asumamos que las puntuaciones típicas en estos factores de habilidad son conocidas para toda persona de una población dada.Entonces en la ecuación (1) F1k representa la puntuación típica del sujeto k en el factor Verbal (V), F2k representa la puntuación típica del sujeto k en el factor Numérico (N) y F5k representa la puntuación típica del sujeto k en el factor Perceptual (P).

La Ecuación de EspecificaciónContinuación del ejemplo:El término Sik representa la puntuación típica del sujeto k en un factor específico asociado solo con esta prueba de inteligencia; Eik representa la puntuación típica del sujeto k en el factor error asociado solo con esta prueba de inteligencia.Los valores ai1, ai2, …, ai5, ais, aie son los pesos factoriales para la prueba de inteligencia en los cinco factores comunes de habilidad más el factor error y el específico.Seleccionando un individuo particular que represente al sujeto k podrían resultar las siguientes sustituciones de puntuaciones típicas, sustituyendo en la ecuación (1):1.96 = ai1 (1.5) + ai2 (1.0) + ai3 (2.5) + ai4 (-1.0) + ai5 (-.2) + ais (-.3) + aie (1.0) Las puntuaciones típicas sustituidas en la ecuación (1), salvo raras excepciones, serán valores entre -3.0 y +3.0. Si los valores a se sustituyen por pesos factoriales hipotéticos, la ecuación se convierte en:1.96 = .50 (1.5) + .40 (1.0) + .40 (2.5) + .37 (-1.0) + .30 (-.2) + .30 (-.3) + .33 (1.0)

La Ecuación de EspecificaciónContinuación del ejemploLa puntuación típica del sujeto k en la prueba de inteligencia, 1.96, es relativamente alta, con cerca del 97.5% de la población por debajo de ella.Cuando se usa una media de 100 y una desviación típica de 16, esto correspondería a un CI de cerca de 132.Su mejor aptitud es la Memoria, con el factor Verbal y Numérico también muy por encima de la media.Está por debajo de la media en capacidad de Razonamiento y Capacidad Perceptual.

La Ecuación de EspecificaciónLa ecuación (1) puede representarse en forma de esquema matricial para todos los valores de i y k simultáneamente, esto es, para todas las variables y todos los sujetos o cualesquiera otros sujetos productores de datos.La ecuación esquemática matricial puede representarse por la siguiente ecuación matricial: (2) Z = AuFuLa ecuación (2) establece que la matriz Z de puntuaciones de variables puede obtenerse multiplicando la matriz de pesos factoriales, Au, por la matriz de puntuaciones factoriales, Fu.

La Ecuación de EspecificaciónNotación matricial esquemática para todos los valores de i y k simultáneamente

La Ecuación Fundamental del Análisis FactorialEn su utilización ordinaria, el análisis factorial implica derivar un conjunto de pesos factoriales a partir de una matriz de coeficientes de correlación entre las variables.La correlación entre un par de variables es igual a la suma de los productos de sus pesos factoriales, los valores a de la matriz Au, en los factores comunes.Es decir que (3) especifica la correlación entre las variables i y j.

La Ecuación Fundamental del Análisis FactorialLa ecuación (3) puede representarse, para todos los valores de i y j simultáneamente, mediante la siguiente notación matricial esquemática.La ecuación correspondiente a esta representación esquemática es(4) R = AA’Es decir el producto de la matriz de pesos factorialescomunes por la transpuesta de esta.

La Ecuación Fundamental del Análisis FactorialUn teorema muy importante del análisis factorial, que fue llamado por Thurstone (1947) la ecuación fundamental del análisis factorial, se puede ver a través de dos ecuaciones.Ambas ecuaciones establecen que la matriz de correlaciones entre las variables de datos puede descomponerse en el producto de una matriz factorial por su transpuesta.La ecuación (5) Ru = AuAu’reproduce la matriz de correlaciones con unos en las diagonales, usando una matriz factorial Auque contiene factores específicos y de error.

La Ecuación Fundamental del Análisis FactorialLa ecuación (4) reproduce la matriz de correlaciones reducida, R, con comunalidades en la diagonal en lugar de unos.Los restantes elementos son iguales en la matriz Ry la Ru.Para explicar las correlaciones entre las variables de datos, solo se necesitan los factores comunes.Para explicar la varianza total de las variables de datos, se necesitan, en este modelo, los factores comunes, específicos y de error.

Extracción de FactoresEl proceso de extracción de factores comienza con una matriz de correlaciones entre las variables de datos con comunalidades en la diagonal y termina con una matriz de pesos factoriales A, tal que cuando se multiplica por su transpuesta A’ se produce la matriz de correlaciones R.La extracción de factores representa un problema de descomposición de matrices, es decir, la descomposición de R en el producto de otra matriz y su transpuesta.

Extracción de FactoresTradicionalmente uno de los fines principales del análisis factorial ha sido explicar una matriz de datos con muchos menos factores que variables de datos.Los métodos de extracción de factores, diseñados para producir la matriz A buscan dar cuenta de la mayor parte posible de la varianza total extraída en cada factor extraído sucesivamente.Es decir, en cada paso se busca un factor para el cual la suma de los cuadrados de los pesos factoriales sea lo mayor posible.

Rotación de FactoresEl análisis factorial y los métodos de extracción de factores no ofrecen una única solución a la ecuación R = AA’.Una de las razones es que la matriz R solo se reproduce aproximadamente en la práctica y los experimentadores pueden diferir en el sentido de hasta donde deben aproximarse a R.Otra razón para la ausencia de soluciones únicas es el hecho de que hay infinitas matrices A que reproducen la matriz R con la misma fidelidad.

Rotación de FactoresConsideremos lo siguiente.AΛVEsta operación matricial esquemática puede ser expresada como una ecuación matricial:(6) AΛ = V

Rotación de FactoresSi R = AA’, entonces es también verdad que R = VV’, ya que si trasponemos el producto AΛ, la ecuación (6) puede reescribirse de la siguiente forma: (7) (AΛ)’ = V’Puestoque la matriztraspuesta de un productoes el producto de las matrices traspuestas en ordeninverso, la ecuación (7) se convierte en (8) Λ’A’ = V’

Rotación de FactoresUtilizando las ecuaciones (6) y (8) el producto VV’ se convierte en (9) VV’ = AΛΛ’A’PeroΛΛ’ incluido en el centro del producto de matrices en ecuación (9), da a unamatrizidentidad, comosigue:Como resultado, la ecuación (9) se simplifica a R = AA’.Puestoque no se especifica el valor de , puedehabertantas matrices Λ, comovalores de .IΛΛ’

Rotación de FactoresEn general, si hay m factores en la matriz A, la matriz Λserá de tamaño m x m.Toda matriz Λdebe cumplir los siguientes requisitos:La suma de los cuadrados de las filas debe ser igual a 1;la suma de los cuadrados de las columnas debe ser igual a 1;El producto interno de una fila por otra debe ser igual a cero para todo par de filas distintas.El producto interno de una columna por otra debe ser igual a cero para todo par de columnas distintas.* Este proceso garantiza que Λ Λ’ = I y que A Λ sea un sustituto de A en la reproducción de la matriz R de la misma forma que A.

Rotación de FactoresEl proceso de rotación en el análisis factorial lleva consigo el encontrar una matriz Λ tal que A Λ represente un conjunto óptimo de construcciones para los propósitos científicos.

Representación Geométrica del Modelo FactorialEn la representación geométrica del modelo factorial, una variable de datos puede representarse como un vector en un espacio de tantas dimensiones como factores comunes haya.La longitud de un vector de m dimensiones viene dada por (10) donde los valoresai son las coordenadas del vector respecto a los m ejes de referencia o dimensiones

Representación Geométrica del Modelo FactorialEl producto escalar de dos vectores puede definirse como sigue: (11)

Representación Geométrica del Modelo Factorialλijes el coseno entre el vector i y el ejecoordenadoj.se denomina al cosenodirrecional del vector irespecto al eje (factorial) de coordenadasj.Si aijes la coordenada del vector irespecto al eje factorial j y hies la longitud del vector i, entonces: (12)

Representación Geométrica del Modelo FactorialSustituyendo (12) en (11) obtenemos: (13)

Representación Geométrica del Modelo FactorialPor un teorema de geometría analítica el producto interno de los cosenos direccionales de dos vectores es igual al coseno del ángulo entre los vectores.Así que (13) se convierte en (14)El producto escalar entre los vectores i y j es también igual a la correlación entre ellos. (15)

Representación Geométrica del Modelo FactorialDividiendo (15) entre hiy hj obtenemos (16)

Representación Geométrica del Modelo FactorialDonde:Ángulo entre los vectores iy j.Longitud del vector i.Longitud del vector j.Correlación entre los vectores iy j.

Representación Geométrica del Modelo FactorialAunque el modelo factorial se puede desarrollar sin referirse a conceptos geométricos, lo antes presentado se hace útil como medio adicional para poder entender las bases de esta técnica estadística.Note que la representación geométrica tiene sus limitaciones, porque solo nos ofrece información visual para vectores de hasta tres dimensiones.

ReferenciasAndrew L. Comrey (1985 ) Manual de Análisis Factorialhttp://www.uam.es/personal_pdi/economicas/eva/pdf/factorial.pdfhttp://www2.uca.es/serv/ai/formacion/spss/Pantalla/20factor.pdfhttp://ciberconta.unizar.es/LECCION/factorial/FACTORIALEC.pdf