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フーリエ変換について
- 1. フーリエ変換について
- 2. フーリエ変換について • フーリエ変換とは – 時間領域のデータを周波数領域へ変換する アルゴリズム • 基本構成 – パーセバルの定理 – 三角関数表 – 畳み込み – バタフライ演算
- 3. フーリエ変換について • 三角関数表 – 具体的なθを与えた時の三角関数の数値がわか る便利な表です。 » 応用フーリエ変換では矩形波や三角波の表を利用します • パーセバルの定理 – 変換前後で全パワー（積分の結果）は変化しない という定理です。 三角関数表テューキーのアルゴリズムでは二倍角、三倍角の公式を利用して三角関数を一度呼び出しただけで三角関数を作り出しています。 これが成り立たないと双方向への変換ができないことになってしまいます
- 5. 学ぶ前の知識 • 平均値 1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 • 上の例を以下の様に書く 𝑥 • 具体的な例 𝑥1 1 𝑥2 2 𝑥3 3 平均 2
- 6. 学ぶ前の知識 • 分散 1 𝑁 − 1 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 2 • 上の例を以下の様に書く 𝑉𝑎𝑟 𝑥 𝜎𝑥 2 • 具体的な例 – 数値は先程と同様 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3, 𝑥 = 2 𝑥1 − 𝑥 2 1 𝑥2 − 𝑥 2 0 𝑥3 − 𝑥 2 1 分散 1
- 7. 学ぶ前の知識 • 共分散 1 𝑁 − 1 𝑖=1 𝑁 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑦𝑖 − 𝑦 • 上の例を以下の様に書く Cov 𝑥, 𝑦 𝜎𝑥,𝑦
- 8. 学ぶ前の知識 • 具体的な例 𝑥1 1 𝑦1 3 𝑥2 2 𝑦2 2 𝑥3 3 𝑦3 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑥1 − 𝑥 𝑦1 − 𝑦 -1 𝑥2 − 𝑥 𝑦2 − 𝑦 0 𝑥3 − 𝑥 𝑦3 − 𝑦 -1 共分散 -1
- 9. 最小二乗法 • 二乗誤差（分散）を最小にする回帰の方法 𝑦 = 𝛽𝑥 + 𝛼 + 𝜀 𝛽 = 𝜎𝑥,𝑦 𝜎𝑥 2 = 𝐶𝑜𝑣 𝑥, 𝑦 𝑉𝑎𝑟 𝑥 𝛼 = 𝑦 − 𝛽 𝑥
- 10. 畳み込みの簡易導出 𝑦 = 𝛽𝑥 + 𝛼 + 𝜀 • この式の𝑥はどのような関数に入っていても 問題ないそのため下のように置き換えられる 𝑦 = 𝛽𝑓 𝑥 + 𝛼 + 𝜀 簡易導出では𝑓 𝑥 = sin 𝑥としてα = sin 𝜋 2 = 1 のため実質𝛽として考えられる。
- 11. 畳み込みの簡易導出 • 共分散と分散の – 𝑥を基底信号(三角関数表のデータ) – 𝑦を変換信号(被変換信号) • とする
- 12. 畳み込みの簡易導出 • 基底信号の平均は 三角関数を利用する時点で定数となる lim 𝑥→∞ 𝑘=0 2𝑥 sin 𝑘𝜋 = 0 2𝜋 sin 𝑡 𝑑𝑡 = 0 » 応用フーリエ変換でも満たされていないといけない条件
- 14. 畳み込みの簡易導出 • 平均値と分散が定数となり αについても実質𝛽となったので 最終的に式は 𝛽 = 𝜎𝑥𝑦 = 𝐶𝑜𝑣 𝑥, 𝑦 となり平均値も０のため 𝛽 = 𝑥𝑖 𝑦𝑖 となります。ちょっと待って、ｙの平均値は０じゃないよ！！ と言われてもサイン波は異符号で左右対称なためｙの平均値がどのような値をとろうとも影響がなくなってしまいます。 そのための条件が基底信号での平均値が０であることが条件になっています。
- 17. フーリエ変換について -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 "sin" "-sin" 紙を折るようにこんなイメージです。
- 18. 補足資料 • フーリエにおける畳込みとは – 変換そのものです • 理由：平均値と信号の総和の値が0となり 分散が定数となった回帰のため。 • この条件を満たせば変換として利用可能 （応用フーリエ変換） • 信号処理・画像処理における畳込みとは – フィルタです。 • 理由：そもそもが、回帰ではないため
Editor's Notes
- となります。ちょっと待って、ｙの平均値は０じゃないよ！！ と言われてもサイン波は異符号で左右対称なためｙの平均値がどのような値をとろうとも影響がなくなってしまいます。 そのための条件が基底信号での平均値が０であることが条件になっています。
- 紙を折るようにこんなイメージです。