1. Рассмотрим, как изменяется энергия тел, взаимодействующих только друг с другом. Такие
системы называются замкнутыми. Замкнутая система может обладать и кинетической и
потенциальной энергией. Кинетической — потому, что тела системы могут двигаться,
потенциальной — потому, что тела системы взаимодействуют друг с другом. И та и
другая энергия системы может изменяться с течением времени. Принятые обозначения:
Ek — кинетическая энергия тела, измеряется в джоулях, сокращённо Дж;
E п — потенциальная энергия тела, измеряется в джоулях, сокращённо Дж.
mv 2
Сумма потенциальной ( Eп  mgh) и кинетической ( Ek  ) энергии тела или системы
2
тел называется полной механической (или механической) энергией: Е мех  Еп  Ек .
Формулировка закона сохранения полной механической энергии:
механическая энергия замкнутой системы тел остаётся постоянной, если между телами
системы действуют только силы тяготения и силы упругости (а силы трения отсутствуют).
Потенциальная и кинетическая энергия могут изменяться, преобразовываясь друг в друга.
При уменьшении энергии одного вида, на столько же увеличивается энергия другого вида,
благодаря чему их сумма остаётся неизменной.
Подтвердим справедливость закона сохранения энергии теоретическим выводом. Для
этого рассмотрим такой пример. Маленький металлический шарик массой m свободно
падает на Землю с некоторой высоты h1 , (отсчитываемой от поверхности Земли). Пусть на
высоте h1 шарик имеет скорость v1 а при снижении до высоты h2 его скорость возрастает
до значения v 2 .
Работа действующей на шарик силы тяжести может быть выражена и через уменьшение
потенциальной энергии гравитационного взаимодействия шарика с Землёй ( E п ), и через
увеличение кинетической энергии шарика ( E к ):
A  mgh1  mgh2 ,
2
mv2 mv12
A  .
2 2
Поскольку левые части этих уравнений равны, то равны и их правые части:
mv2 mv12
2
mgh1  mgh2   .
2 2
Из полученного уравнения следует, что при движении шарика его потенциальная и
кинетическая энергия менялись. При этом кинетическая энергия возросла на столько же,
на сколько уменьшилась потенциальная.
После перестановки слагаемых в уравнении получим:
mv12 mv 2
mgh1   mgh2  2 ,
2 2
где m — масса тела, измеряется в килограммах, сокращённо кг;

2. g — ускорение свободного падения, измеряется в м / с 2 ;
h1 — начальная высота, измеряется в метрах, сокращённо м;
v1 — скорость тела на высоте h1 , измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с;
h2 — конечная высота, измеряется в метрах, сокращённо м;
v 2 — скорость тела на высоте h2 , измеряется в метрах в секунду, сокращённо м/с.
Это уравнение показывает, что полная механическая энергия шарика при его движении
остаётся постоянной.
Запишем это уравнение так:
Eп1  Ек1  Еп 2  Ек 2 .
Эти два уравнения представляют собой математическую запись закона сохранения
механической энергии:
полная механическая энергия тела (точнее, замкнутой системы тел: шарик—Земля)
сохраняется, то есть не меняется с течением времени.
Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии для решения задач.
Примеры решения задач
Задача 1.
Яблоко массой 200 г падает с дерева с высоты 3 м. Какой кинетической энергией оно
будет обладать на высоте 1 м от земли? (g =10 м/с 2 )
Дано:
m = 200 г = 0,2 кг
h1 = 3 м
h2 = 1 м
Eк 2 — ?
Решение
По закону сохранения механической энергии: Eп1  Ек1  Еп 2  Ек 2 , поскольку E к1 = 0, так
как v1 = 0, то Eп1  Еп 2  Ек 2 . Отсюда Ек 2  Еп1  Еп 2 = mgh1  mgh2 = mg(h1  h2 ) ;
E к 2 = 0,2 кг  10 м/с 2 (3 м – 1 м) = 4 Дж.
Ответ: E к 2 = 4 Дж.
Задача 2.
Мяч бросают вниз с высоты h1 = 1,8 м со скоростью v1 = 8 м/с. На какую высоту h2
отскочит мяч после удара о землю? (Потери энергии при движении мяча и его ударе о
землю можно не учитывать.)
Дано:

3. h1 = 1,8 м
v1 = 8 м/с
h2 — ?
Решение
Так как скорость отскочившего от земли мяча при его подъёме на максимальную высоту
равна нулю, то закон сохранения механической энергии для данного случая можно
записать так:
mv12
mgh1   mgh2 .
2
Преобразуем уравнение и выразим h2 :
v12 2 gh1  v12
m( gh1  )  mgh2 , h2  .
2 2g
(2 10 м / с 2 1,8 м  (8 м / с) 2
h2  = 5 м.
2 10 м / с 2
Ответ: h2 = 5 м.