Modello preda-predatore di Lotka - Volterra di Giulia Silverio 5°Ainf a.s. 2007/2008

Introduzione E’ un modello matematico, basato su un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine, in grado di descrivere la dinamica di un ecosistema in cui interagiscono soltanto due specie animali : una come predatore, l'altra come preda. Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

E’ un modello matematico, basato su un sistema di equazioni differenziali non lineari del primo ordine, in grado di descrivere la dinamica di un ecosistema in cui interagiscono soltanto due specie animali : una come predatore, l'altra come preda.

Storia Proposto indipendentemente nel 1924 dal demografo americano Alfred James Lotka e nel 1926 dal matematico italiano Vito Volterra, quello di Lotka-Volterra è stato storicamente il primo modello consumatore-risorsa. Il modello intendeva spiegare matematicamente perché la quantità di predatori (una specie di squali) era aumentata al diminuire delle prede (le sardine pescate prima e dopo la grande guerra) . Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Proposto indipendentemente nel 1924 dal demografo americano Alfred James Lotka e nel 1926 dal matematico italiano Vito Volterra, quello di Lotka-Volterra è stato storicamente il primo modello consumatore-risorsa.

Il modello intendeva spiegare matematicamente perché la quantità di predatori (una specie di squali) era aumentata al diminuire delle prede (le sardine pescate prima e dopo la grande guerra) .

Idea di base I predatori e le prede influenzano a vicenda le rispettive evoluzioni. Le caratteristiche che assicurano la sopravvivenza alle prede e ai predatori sono incompatibili ed è l’interazione dovuta alla lotta per la sopravvivenza a influenzare la dinamica delle popolazioni delle prede e dei predatori. Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

I predatori e le prede influenzano a vicenda le rispettive evoluzioni.

Le caratteristiche che assicurano la sopravvivenza alle prede e ai predatori sono incompatibili ed è l’interazione dovuta alla lotta per la sopravvivenza a influenzare la dinamica delle popolazioni delle prede e dei predatori.

Limiti del modello Il modello si fonda su di ipotesi che lo semplificano, diminuendone la complessità ma anche il realismo: la popolazione delle prede cresce esponenzialmente in assenza di predatori la popolazione di predatori tende a morire in assenza di prede (invece di rivolgere l'attenzione ad un altro tipo di prede); i predatori possono consumare infinite quantità di prede; non c'è complessità ambientale (ovvero entrambe le popolazioni possono muoversi in libertà in un ambiente omogeneo). Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Il modello si fonda su di ipotesi che lo semplificano,

diminuendone la complessità ma anche il realismo:

la popolazione delle prede cresce esponenzialmente in assenza di predatori

la popolazione di predatori tende a morire in assenza di prede (invece di rivolgere l'attenzione ad un altro tipo di prede);

i predatori possono consumare infinite quantità di prede;

non c'è complessità ambientale (ovvero entrambe le popolazioni possono muoversi in libertà in un ambiente omogeneo).

Prima situazione Predatori in assenza di prede Variabili : P : numero di predatori N : numero di prede t : tempo r : tasso di crescita delle prede a : tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle prede q : tasso di mortalità dei predatori c : efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole ( efficienza di conversione ) Il numero dei predatori decresce esponenzialmente Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Seconda situazione Prede in assenza di predatori Variabili : P : numero di predatori N : numero di prede t : tempo r : tasso di crescita delle prede a : tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle prede q : tasso di mortalità dei predatori c : efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole ( efficienza di conversione ) Il numero delle prede cresce esponenzialmente Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Terza situazione Variabili : P : numero di predatori N : numero di prede t : tempo r : tasso di crescita delle prede a : tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle prede q : tasso di mortalità dei predatori c : efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole ( efficienza di conversione ) Il tasso di nascita dei predatori è determinato dal tasso di consumo (aPN) e dall'efficienza dei predatori di convertire il cibo in prole. Anche in caso di crescita del numero di predatori e prede, aumentando così il loro numero di incontri, il tasso di consumo dipenderà dal tasso di attacco. Otteniamo quindi che l'incremento della popolazione dei predatori è proporzionale al prodotto dell'abbondanza dei predatori e delle prede Predatori in presenza di prede con tasso di nascita dei predatori Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Quarta situazione Prede in presenza di predatori con tasso di mortalità delle prede Variabili : P : numero di predatori N : numero di prede t : tempo r : tasso di crescita delle prede a : tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle prede q : tasso di mortalità dei predatori c : efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole ( efficienza di conversione ) Qui il termine aPN riflette il fatto che le perdite dalla popolazione delle prede dovute alla caccia sono proporzionali al prodotto delle abbondanze di prede e di predatori Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Modello preda-predatore di Lotka-Volterra Variabili : P : numero di predatori N : numero di prede t : tempo r : tasso di crescita delle prede a : tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle prede q : tasso di mortalità dei predatori c : efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole ( efficienza di conversione ) all’aumentare del numero di predatori aumenta il tasso di consumo all’aumentare del tasso di consumo diminuiscono le prede che causano la diminuzione dei predatori alla diminuzione del tasso di consumo aumenta la popolazione delle prede all’aumentare del numero di prede aumenta il numero di predatori Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Conclusioni Le popolazioni di prede e di predatori sono caratterizzate da oscillazioni, con un valore di oscillazione maggiore per le prede. Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Le popolazioni di prede e di predatori sono caratterizzate da oscillazioni, con un valore di oscillazione maggiore per le prede.

Conclusioni Per ottenere un modello più realistico, dobbiamo includere gli effetti della competizione tra le prede (a causa della scarsità delle risorse di cibo o della competizione tra i predatori in caso di un limitato numero di prede): Variabili : P : numero di predatori N : numero di prede t : tempo r : tasso di crescita delle prede a : tasso di attacco - efficienza nella ricerca delle prede q : tasso di mortalità dei predatori c : efficienza dei predatori nel convertire il cibo in prole ( efficienza di conversione ) otteniamo quindi il modello delle specie in competizione Introduzione ● Storia ● Idea ● Limiti ● 1 °● 2 °● 3 °● 4 °● ModelloL-V ● Conclusioni

Per ottenere un modello più realistico, dobbiamo includere gli effetti della competizione tra le prede (a causa della scarsità delle risorse di cibo o della competizione tra i predatori in caso di un limitato numero di prede):