Funciones trigonométricas

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  • 1. Pensamiento… “Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, solo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”.Dedicatoria Carl friedrich Ganss
  • 2. Dedicatoria…Le dedicamos este trabajo a Dios, ya quesin muchos de nuestros logros nohubiesen sido posibles, a nuestros padrespor darnos la oportunidad de recibir unaeducación de calidad, y especialmente anuestra querida profesora de matemáticasCarolina Robles por todos losconocimientos impartidos en este periododel año escolar.
  • 3. IntroducciónEl estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la épocade Babilonia, y gran parte de los fundamentos de trigonometríafueron desarrollados por los matemáticos de la Antigua Grecia, dela India y estudiosos musulmanes.Las funciones trigonométricas fueron estudiadas por Hiparco deNicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira,Brahmagupta, al-Khwarizmi, Abul-Wafa, Omar Khayyam, BhaskaraII, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi yUlugh Beg (Siglo XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, y el alumno deéste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum(1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de lasfunciones trigonométricas en Europa, definiéndolas como seriesinfinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler".En el desarrollo de este trabajo presentaremos las clasificacionesde estas ya mencionadas funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas tienen una larga historia y lista deaplicaciones, en este trabajo aprenderemos a encontrar los valoresmás comunes de la funciones trigonométricas básicas, como seno;coseno; tangente; cotangente; secante; cosecante. Tambiénaprenderemos a dibujar sus gráficas, y listaremos algunas de suspropiedades más básicas.
  • 4. Índice Pensamiento Dedicatoria IntroducciónContenido  La trigonometría  Funciones trigonométricas  Ángulos agudos  Ángulos cualesquiera  Ángulos especialesConclusiones
  • 5. BibliografíaORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍALa agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes,han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa noresultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía.Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya ala trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permitenponer en relación las medidas de los lados de un triángulo con lasmedidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie deuna montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcaciónhasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros,pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, elángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a unpunto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (comopuede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil demedir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de latrigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre lasmedidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de untriángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de maneraque resulte posible calcular las unas mediante las otras.
  • 6. Funciones TrigonométricasLas funciones trigonométricas, en matemáticas, sonrelaciones angulares que se utilizan para relacionar losángulos del triángulo con las longitudes de los lados delmismo según los principios de la Trigonometría.Las funciones trigonométricas son de gran importancia enfísica, astronomía, cartografía, náutica,telecomunicaciones, la representación de fenómenosperiódicos, y otras muchas aplicaciones.Propiedades básicas de las funciones trigonométricas:Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.
  • 7. La función seno EjemplosDefinición geométrica Considere la siguiente gráfica,El seno de un número real t es la coordenada y que muestra una curva de seno(altura) del punto P en el siguiente diagrama, "general" (desplazada ydonde |t| es el largo del arco que se indica. escalada): Pregunta ¿Que es la ecuaciónsin t = coordenada y del punto P de la gráfica? Contesta Consultando laDefinición "rueda bicicleta" función seno generalizado a laSi una rueda cuyo radio es 1 roda hacia delante a izquierda, vemos que launa velocidad de 1 unidad por segundo, sin t el la ecuación de esta curva es:altura de un marcador fijo en su neumáticodespués de t segundas, si se empieza a medio y = A sin[ω(x-α)] + C,camino entre la parte superior y la parte inferiorde la rueda. donde • La línea base (el punto medio de oscilación) se ubica 2 unidades abajo del eje x • A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) = 2 • C = desplazamiento vertical =Gráfica de la función seno coordenada y de la línea base = -2 • P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) = 4 • ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2 • α = desplazamiento de faso = 1 Esta es la distancia horizontal dely = sin x eje y al primero punto donde la gráfica cruza la línea base.Función seno general Entonces, la ecuación de la curva másLa función seno "generalizado" tiene la siguiente arriba esforma: y = 2 sin[π/2 (x - 1)] - 2 Para comprobar que sirve esta
  • 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN ÁNGULOSCUALESQUIERALas razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquierautilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen.Los ángulos se miden en sentido anti horario y desde la dirección positiva deleje de abscisas.En el siguiente applet podrás variar el ángulo, y para el valor del ángulo elegidoaparecerá un triángulo rectángulo OPQ. La hipotenusa es el radio, por lo quemide 1. Para un valor concreto del ángulo se llama sen(a) al cociente obtenido aldividir la longitud del cateto opuesto entre la longitud de la hipotenusa:PQ/OQ = PQ/1 = PQ. De la misma forma generalizamos el concepto de coseno:llamaremos cos(a) a la longitud de la proyección del radio sobre el eje deabscisas, cos(a) = OQ. (OQ/OP = OQ/1 = OQ)Los segmentos PQ se miden sobre el eje de ordenadas (vertical) y por ello,dependiendo del valor del ángulo, tienen signo positivo o negativo.Los segmentos OQ los medimos sobre el eje de abcisas (horizontal), por lo queel seno del ángulo elegido será positivo o negativo dependiendo del cuadranteen el que se encuentre.La tangente de un ángulo cualquiera la obtendremos dividiendo el valor del senoentre el del coseno.Las razones trigonométricas de ángulos negativos se obtienen igual, pero losángulos los medimos en sentido contrario (en sentido horario).PROPIEDADES IMPORTANTES:Existen algunas propiedades importantes que serán explicadas en clase:a) sen2(a) + cos2(a) = 1 (Esta igualdad se conoce con el nombre de fórmula
  • 9. fundamental de la trigonometría). (Se demuestra fácilmente aplicando elteorema de Pitágoras al triángulo rectángulo OPQ)b) tan(a) = sen(a)/cos(a). (Se demuestra a partir de las definiciones de seno,coseno y tangente)c) los valores del seno y del coseno están comprendidos entre -1 y 1.Funciones trigonométricas en ángulos especialesExplicaremos este tema relacionándolo con experiencias vividas por losmismos estudiantes, en el salón de matemáticas.El calentador está apagado. La sala múltiple (salón de actos, comedor, sala deelectivo, explayación de artistas, etc.) está helada. En un intento de encontrarcalor, buscamos nuestra típica mesa redonda apretujándonos como unos pobrespollos condenados a una nueva clase de electivo. Afuera la nieve caíasilenciosamente, mientras cada uno meditaba sobre cuál sería su reacción alrecibir su primera nota en trigonometría.En medio de la "calidez" descrita apareció Danny señalando que trabajaríamoscon algunas de las funciones trigonométricas de mayor uso, siendo estas las de30º, 45º y 60º(son los ángulos especiales ). De las pruebas no se pronunció, apesar de ser de los profes que aplica una prueba y las entrega siempre a laclase siguiente, pero nadie comentó nada, total "ojos que no ven, corazón queno siente"Para iniciar nuestra labor, el profe nos pidió que determináramos las funcionestrigonométricas de 30º y 60º y que utilizáramos para ello un triánguloequilátero de lado 2 unidades. (Después descubrimos de que con cualquiermedida da lo mismo).Empecemos
  • 10. Después de un breve análisis de 20 minutos, nos dimos cuenta de que debíamostrazar una de las alturas del triángulo para formar así un ángulo de 30º y untriángulo rectángulo necesario para nuestro trabajo.La figura quedó así:En el triángulo ADC, calculamos la altura CD por Pitágoras, obteniendose cm.LuegoSen 30º = = cos 60º; ya que sen  = cos(90 - )Cos 30º = = sen 60ºTg 30º = (al racionalizar) = cot 60ºCot 30º = = tg 60ºSec 30º = = cosec 60ºCosec 30º = 2 = sec 60ºY ahora, dijo el profe, ¿qué tipo de triángulo debemos utilizar para obtener lasfunciones trigonométricas de 45º?Nuevamente nuestros cerebros comenzaron a mover sus multiples engranajes yparece que ya están bien engrasados porque pudimos dar rápido con larespuesta.
  • 11. Para determinar las funciones trigonométricas de 45º, el triángulo a utilizardebe ser un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 cm (o cualquier otramedida).Obtengamos primero la hipotenusa, por Pitágoras, y luego calculemos lasfunciones trigonométricas pedidas.Sen 45º = = cos 45ºTG 45º = 1 = cot 45ºSec 45º = = cosec 45º.
  • 12. Ángulos de Elevación y de Depresión.La trigonometría de los triángulos rectángulos se utiliza frecuentemente paraencontrar la altura de un objeto alto de manera indirecta. Para resolver unproblema de este tipo, mide el ángulo desde la horizontal hasta tu recta devisión, cuando veas la parte superior o inferior del objeto.Si miras hacia arriba, medirás el ángulo de elevación.Si miras hacia abajo, medirás el ángulo de depresión.EJEMPLO A El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en unángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo delmar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restosdel naufragio?_ Solución Haz un dibujo para ilustrar la situación.Observa que, como el fondo del mar es paralelo a la superficie del agua, elángulo de elevación desde los restos del naufragio hasta el barco es igual al
  • 13. ángulo de depresión desde el barco hasta los restos del naufragio (según laConjetura AIA).La distancia que el buzo es bajado (40 m) es la longitud del lado opuesto alángulo de 12°. La distancia que el buzo necesita avanzar es la longitud del ladoadyacente al ángulo de 12°. Establece la razón tangente. Tan 12° _ _4 d0_ d (tan 12°) _ 40 d __tan4012° _ d _ 188.19El buzo necesita avanzar aproximadamente 188 metros para llegar a losrestos del naufragio.Ejemplo 2 Calcula la altura de un edificio que se observa desde un punto en que el ángulode elevación es 62º y, alejándose 75 m. de ese punto, el ángulo es ahora 34º.De esta figura podemos obtener dos ecuaciones: ;o sea ;Despejamos x en ambas ecuaciones y por igualación obtenemos que 1,88y =0,67y + 50,25; donde y = 41,5 metros.Reemplazando este valor de y, nos da que x = 78 metros.La altura del edificio es de 78 metros.
  • 14. Ahora calcularemos las funciones trigonométricas en lacalculadora científica.Para calcular las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente,etc. a través del uso de la calculadora, lo primero que se debe haceres seleccionar el sistema de medición del ángulo.Cundo la pantalla de la calculadora aparee DEG significa que elsistema de medición es e grados.Si se trata del ángulo medido en radiantes, en la pantalla aparece,entonces RAD.
  • 15. Observa el siguiente ejemplo.• Digita el nº 30• Presiona la tecla sen• Observa la pantalla de la calculadora, donde aparece una cantidad.• Allí está el resultado.
  • 16. ConclusionesEn esta lección pudimos:• Conocer la historia de las funciones trigonométricas y ciertas curiosidades de las mismas.• A que se deben algunos nombres de las funciones trigonométricas.• Diferenciar las funciones trigonométricas de seno, coseno y Tangente.
  • 17. • Conocer las funciones trigonométricas seno, coseno, y tangente.● Usar las funciones trigonométricas para encontrar las longitudeslaterales desconocidas en triángulos rectángulos.● Usar las funciones trigonométricas inversas para encontrar lasmedidas desconocidas de ángulos en triángulos rectángulos.• Además de que nos dimos cuenta de la importancia de estas funciones trigonométricas para el uso diario y la extraordinaria función que estos desempeñan.• Las funciones trigonométricas nos ayudan a resolver problemas cotidianos como determinar la altura de un edificio con tan solo tener como base una sombra del mismo. Bibliografíahttp://www.keymath.com/documents/dg3/CondensedLessonPlansSp anish/DG_CLPS_12.pdf http://www.ixl.com/?gclid=CM3unOvLuqoCFdMn2godICEP8A http://es.answers.yahoo.com/question/index? qid=20110209174206AAE5eZk Libro:
  • 18. Editorial susaeta, tema funciones trigonométricas, págs. 110-137 WWW.MATEMATICAS.COM www.monografias.com › Matemáticas recursostic.educacion.es/.../Funciones trigonométricas/Las_... - En caché