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R´sultats                                                          e´Evolution de la statistique de test                  ...
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Conclusion & PerspectivesPlan1   Contexte      Introduction et motivation      Exemples de mesures acquises      M´thodolo...
Conclusion & PerspectivesConclusion      M´thodologie de d´tection s´quentielle de courbes atypiques       e              ...
Conclusion & Perspectives                    Merci de votre attention !                                     etienne.come@i...
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  1. 1. Score de Fisher et d´tection de courbes anormales dans e une s´quence ` des fins de diagnostic e a Etienne Cˆme1 , Allou Sam´1 , Patrice Aknin1 et Marc Antoni2 o e etienne.come@ifsttar.fr (1), Unit´ de Recherche : G´nie des R´seaux de e e e (2) Ing´nierie de Maintenance, e transports terrestres et informatique avanc´e e Cellule ´mergence et prospectives e IFSTTAR SNCF 25/01/2011Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 1 / 27
  2. 2. Plan1 Contexte Introduction et motivation Exemples de mesures acquises M´thodologie adopt´e e e2 Mod`lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a Estimation des param`tres e3 Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastique Calcul du score de Fisher4 D´tection en ligne de courbe atypique e Test du score Estimation de la matrice de Fisher5 R´sultats e6 Conclusion & PerspectivesEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 2 / 27
  3. 3. ContextePlan1 Contexte Introduction et motivation Exemples de mesures acquises M´thodologie adopt´e e e2 Mod`lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a Estimation des param`tres e3 Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastique Calcul du score de Fisher4 D´tection en ligne de courbe atypique e Test du score Estimation de la matrice de Fisher5 R´sultats e6 Conclusion & PerspectivesEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 3 / 27
  4. 4. Contexte Introduction et motivationIntroduction et motivations Aiguilles mobiles Moteur électrique ~380vContexte Diagnostic du m´canisme d’aiguillage de rails e Analyse de mesures acquises durant des manœuvres d’aiguillage −→ puissance ´lectrique consomm´e durant les manœuvres e e D´tection en ligne de d´fauts (d´faut m´canique, ´lectrique, e e e e e graissage, ...)Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 4 / 27
  5. 5. Contexte Exemples de mesures acquisesExemples de mesures acquisesSignal de puissance ´lectrique consomm´e durant une manoeuvre e e fr´quence : 100 Hz e longueur des signaux : ≈ 560 points 5 phases durant une manœuvre normale 700 600 500 puissance (W) 400 300 200 100 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 temps (s)Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 5 / 27
  6. 6. Contexte M´thodologie adopt´e e eM´thodologie adopt´e e eD´tection de courbes anormales dans une s´quence e e Mod`le g´n´ratif pour les courbes ` changement de r´gime e e e a e Estimation initiale des param`tres ` l’aide d’un algorithme EM e a Test du score pour d´tecter les courbes atypiques e Mise ` jour r´cursive des param`tres ` chaque nouvelle courbe : a e e a gradient stochastiqueEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 6 / 27
  7. 7. Contexte M´thodologie adopt´e e eSch´ma de la m´thode e e Initialisation Lancer EM sur un petit ensemble de Nvlle courbes pour initialiser Courbes les paramètres yi Score de Fisher Si H0 Mise à jour des paramètres Test du Score (Gradient Stochastic) Si H1 DétectionEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 7 / 27
  8. 8. Mod´lisation des courbes ` changement de r´gime e a ePlan1 Contexte Introduction et motivation Exemples de mesures acquises M´thodologie adopt´e e e2 Mod`lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a Estimation des param`tres e3 Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastique Calcul du score de Fisher4 D´tection en ligne de courbe atypique e Test du score Estimation de la matrice de Fisher5 R´sultats e6 Conclusion & PerspectivesEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 8 / 27
  9. 9. Mod´lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gression ` processus logistique latent e e aMod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a yj = gzj (xj ) + σzj j , j ∼ N (0, 1) (x1 , y1 ), . . . , (xm , ym ), yj valeur du signal au point xj . zj ∈ {1, . . . , K } donn´es manquantes, g´n´r´es ind´pendamment e e ee e suivant une multinomiale M(1, πj1 (xj ; w), . . . , πjK (xj ; w)), dont les param`tres sont donn´s par : e e exp (wk0 + wk1 xj ) πk (xj ; w) = K · =1 exp (w 0 + w 1 xj ) gzj polynˆmes d’ordre p. oEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 9 / 27
  10. 10. Mod´lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gression ` processus logistique latent e e aExemple sur les donn´es d’aiguilles e 1000 900 800 700 puissance (W) 600 500 400 300 200 100 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 temps en (s) probabilites logistiques 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 temps en (s)Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 10 / 27
  11. 11. Mod´lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Estimation des param`tres eEstimation des param`tres e Maximisation de la log-vraisemblance m L(θ; y1 , . . . , ym ) = log p(yj |xj ; θ) j=1 Maximisation exacte impossible, chaque yi suit un mod`le de m´lange e e K p(yj |xj ; θ) = πk (xj )φ yj ; β T xj , σk , k 2 k=1 L’algorithme EM, (Expectation-Maximization) est la solution naturelle pour r´soudre ce probl`me e e Donn´es manquantes : zi indice du sous-mod`le de r´gression e e e g´n´rant le point yi e eEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 11 / 27
  12. 12. Mod´lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Estimation des param`tres eAlgorithme EMVraisemblance compl´t´e ee Lc (θ) = log p(y1 , . . . , yn , z1 , . . . , zn |x; θ)Etape E Q(θ, θ (q) ) = E [Lc (θ)|y1 , . . . , yn ; θ (q) ]Calcul des propabilit´s a posteriori des diff´rents sous mod`les de e e er´gression : e πk (xj ; w)φ yij ; β T xj , σk k 2 tijk = K T · (1) 2 =1 π (xj ; w)φ yij ; β xj , σEtape M Maximisation de Q par rapport ` w : algorithme IRLS. a Maximisation de Q par rapport ` β k , σk formules explicites. aEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 12 / 27
  13. 13. Mise ` jour des param`tres en ligne a ePlan1 Contexte Introduction et motivation Exemples de mesures acquises M´thodologie adopt´e e e2 Mod`lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a Estimation des param`tres e3 Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastique Calcul du score de Fisher4 D´tection en ligne de courbe atypique e Test du score Estimation de la matrice de Fisher5 R´sultats e6 Conclusion & PerspectivesEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 13 / 27
  14. 14. Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastiqueMise ` jour des param`tres lors de l’acquisition d’une a ecourbeDonn´es : s´quence de courbes e e y1 , . . . , yi , . . . , yn . . .avec yi = [yi1 , . . . , yim ].Gradient stochastique par blocA chaque nouvelle courbe yi mise ` jour des param`tres du mod`le par : a e e ˆ (i) ˆ (i−1) + λi S (i) yi , θ (i−1) , θ =θ ˆ (2) (i−1) ˆavec λi le pas du gradient stochastique et S (i) yi , θ le score defischer de la nouvelle courbe.Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 14 / 27
  15. 15. Mise ` jour des param`tres en ligne a e Calcul du score de FisherCalcul du score de FisherD´finition e (i) (i) S (i) (yi , θ) = [s1 (θ), . . . , sR (θ)]T , (i) ∂L(θ;yi )o` R est le nombre de param`tres du mod`le et sr (θ) = u e e ∂θ r ,Formulation sp´cifique pour les mod`les ` variables latentes e e aPossibilt´ d’utiliser l’esp´rance conditionnelle du gradient de la e evraisemblance compl´t´e plutˆt que le gradient de la vraisemblance. ee o (i) ∂L(θ; yi ) sr (θ) = (3) ∂θ r ∂Lc (θ; Yi , Zi ) = E |yi ; θ . (4) ∂θ rEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 15 / 27
  16. 16. Mise ` jour des param`tres en ligne a e Calcul du score de FisherCalcul du score de FisherExemple : ∂L(θ; yi ) ∂Lc (θ; Yi , Zi ) = E |yi , θ ∂β k ∂β k m 1 = 2 tijk yij − β T xj xj , k (5) σk j=1avec tijk les probabilit´s a posteriori de la composante k au point xj , ecalcul´e de la mˆme mani`re que dans le contexte de l’algorithme EM : e e e πk (xj ; w)φ yij ; β T xj , σk k 2 tijk = K · (6) =1 π (xj ; w)φ yij ; β T xj , σ 2Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 16 / 27
  17. 17. D´tection en ligne de courbe atypique ePlan1 Contexte Introduction et motivation Exemples de mesures acquises M´thodologie adopt´e e e2 Mod`lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a Estimation des param`tres e3 Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastique Calcul du score de Fisher4 D´tection en ligne de courbe atypique e Test du score Estimation de la matrice de Fisher5 R´sultats e6 Conclusion & PerspectivesEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 17 / 27
  18. 18. D´tection en ligne de courbe atypique e Test du scoreD´tection en ligne de courbe atypique eTest du score H0 : θ 1 = θ 2 = . . . = θ i−1 = θ i (7) H1 : θ 1 = θ 2 = . . . = θ i−1 = θ i , (8)ou i est l’indice de la courbe courante. sous H0 le vecteur score associ´ ` une nouvelle courbe yi suit ea ˆ asymptotiquement en θ une loi normale donn´e par : e ˆ ˆ S (i) (θ) ∼ N (0, If (θ)), (9) ˆ If (θ) : matrice d’information de Fisher associ´e ` l’observation yi . e a −1 ˆ ˆ on a donc S (i) (θ)T If (θ) ˆ S (i) (θ) ∼ χ2 (R), ce qui permet de d´finir une r´gion critique approch´e. e e eEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 18 / 27
  19. 19. D´tection en ligne de courbe atypique e Estimation de la matrice de FisherEstimation de la matrice de FisherInformation de Fisher Observ´e e Calcul de l’information de Fisher pose probl`me dans les mod`les ` e e a variables latentes Arguments th´oriques et pratiques soutiennent l’utilisation de e l’information de Fisher observ´e qui elle est simple ` calcul´e e a e n 1 Iˆ (θ) = o ˆ ˆ ˆ S i (θ)S i (θ)T (10) n i=1Cet estimateur est convergent.Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 19 / 27
  20. 20. R´sultats ePlan1 Contexte Introduction et motivation Exemples de mesures acquises M´thodologie adopt´e e e2 Mod`lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a Estimation des param`tres e3 Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastique Calcul du score de Fisher4 D´tection en ligne de courbe atypique e Test du score Estimation de la matrice de Fisher5 R´sultats e6 Conclusion & PerspectivesEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 20 / 27
  21. 21. R´sultats eConditions exp´rimentales eDonn´es e s´quence de 916 courbes (2005-2007) e toujours la mˆme aiguille e 1 ` 3 courbes par jours aR´glages des param`tres des algorithmes e e mod`le ` 6 composantes r´gressives cubiques, (θ = 40 param`tres). e a e e pas du gradient stochastique 0.01. niveau de confiance du test 0.999.Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 21 / 27
  22. 22. R´sultats eEvolution d’une composante du vecteur score (β 6,3 ) 10 8 6 composante 33 du vecteur score 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 100 200 300 400 500 600 700 800 900 index de la courbeEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 22 / 27
  23. 23. R´sultats e´Evolution de la statistique de test 400 350 300 statistique de test 250 200 150 100 50 100 200 300 400 500 600 700 800 900 index de la courbeEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 23 / 27
  24. 24. R´sultats eR´sultats de d´tection e e 1000 900 800 700 puissance (W) 600 500 400 300 200 100 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 temps (s)Etienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 24 / 27
  25. 25. Conclusion & PerspectivesPlan1 Contexte Introduction et motivation Exemples de mesures acquises M´thodologie adopt´e e e2 Mod`lisation des courbes ` changement de r´gime e a e Mod`le de r´gressions ` processus logistique latent e e a Estimation des param`tres e3 Mise ` jour des param`tres en ligne a e Gradient stochastique Calcul du score de Fisher4 D´tection en ligne de courbe atypique e Test du score Estimation de la matrice de Fisher5 R´sultats e6 Conclusion & PerspectivesEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 25 / 27
  26. 26. Conclusion & PerspectivesConclusion M´thodologie de d´tection s´quentielle de courbes atypiques e e e Tire partie d’un mod`le g´n´ratif adapt´ aux donn´es (courbes ` e e e e e a changement de r´gime) e Mise ` jour r´cursive des param`tres (peu coˆteuse en temps) a e e u R´sultats pr´liminaire en accord avec les attentes m´tier e e ePerspectives Evaluation des pertes dues aux approximation (sur donn´es simul´es) e e Extension aux donn´es non stationaires (prise en compte des e ´volutions lentes) eEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 26 / 27
  27. 27. Conclusion & Perspectives Merci de votre attention ! etienne.come@ifsttar.fr http://ecome.wordpress.comEtienne Cˆme (IFSTTAR, Grettia) o EGC 2011 25/01/2011 27 / 27

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