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Apostila geometria
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Apostila geometria

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  • 1. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC ÍNDICE (GEOMETRIA PLANA) CAPÍTULO 01- Elementos Primitivos Pag. 06 CAPÍTULO 02- Triângulos Pag. 14 CAPÍTULO 03- Quadriláteros Pag. 22 CAPÍTULO 04- Polígonos Regulares Pag. 28 CAPÍTULO 05- Ângulos Relacionados a Arcos Pag. 32 CAPÍTULO 06- Relações Métricas na Circunferência Pag. 39 CAPÍTULO 07- Teorema de Tales Pag. 42 CAPÍTULO 08- Semelhança de Triângulos Pag. 44 CAPÍTULO 09- Relações Métricas no Triângulo Retângulo Pag. 51 CAPÍTULO 10- Àreas de Figuras Planas Pag. 54 CAPÍTULO 11- Àreas de Figuras Circulares Pag. 64 CAPÍTULO 12- Questões de Vestibulares Pag. 70 GABARITO DAS QUESTÕES Pag. 84Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 5
  • 2. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 1 Elementos Primitivos1) DEFINIÇÕES DE ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA 1.1) PONTO: É a menor unidade de medida da Geometria. Não existe nada menor do que o ponto na Geometria Plana. 1.2) RETA: É formado por infinitos pontos colineares ( isto é, em uma mesma linha). Uma reta não possui origem e destino, portanto é um ente geométrico infinito. 1.3) PLANO: É formado por infinitas retas e consequentemente é também formado por infinitos pontos. r • P Plano α Ponto P Reta r α 1.4) SEMI–RETA: É uma reta que possui um ponto de origem mas não possuí um ponto de destino. semi − reta AB • A 1.5) SEGMENTO DE RETA: É uma reta que possui um ponto de origem e outro ponto de destino. • B segmento AB • AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 6
  • 3. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC2) ÂNGULOS 2.1) REGIÃO CONVEXA : Uma região é convexa se, se somente se, o segmento determinado por dois pontos quaisquer dessa região estiver contido nela. 2.2) REGIÃO CÔNCAVA: Uma região é côncava se, e somente se, existir algum segmento de reta cujas extremidades pertence a ela, mas não esteja contido nela. 2.3) ÂNGULOS A união de duas semi-retas distintas não opostas de mesma origem chamamos ângulo. Considere as semi-retas PA e PB não colineares da figura. O conjunto união dessas duas semi-retas é chamado ângulo. As semi-retas PA e PB são chamadas lados desse ângulo. O ponto P é chamado vértice desse ângulo.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 7
  • 4. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC 2.3.1) EXTERIOR E INTERIOR DE UM ÂNGULO Dois semi-planos abertos (semi-plano menos a reta que é a origem) determinados pelas retas que contém os lados do ângulo, considere aqueles que não contém pontos do ângulo. O conjunto união desses dois semi-planos é chamado exterior do ângulo. O conjunto complementar, em relação ao plano do ângulo, da união desse ângulo com seu exterior é chamado interior do ângulo. 2.3.2) SEMI-RETA INTERNA A UM ÂNGULO Uma semi-reta é interna a um ângulo quando tem origem no vértice do ângulo e pontos internos do ângulo pertencem a ele 2.3.3) ÂNGULOS CONSECUTIVOS Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e têm um lado em comum. ˆ ˆ APB e BPC são consecutivos (têm o lado PB comum). Note que neste caso eles têm apenas os pontos de um lado comum. ˆ ˆ RDT e RDS são consecutivos (têm o lado RD comum). Note que neste caso eles têm também pontos internos em comum.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 8
  • 5. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC 2.3.4) ÂNGULOS ADJACENTES Dois ângulos são chamados adjacentes se são consecutivos e não têm pontos internos em comum. ˆ ˆ APB e BPC são adjacentes. ˆ ˆ APB e APC são consecutivos e não são adjacentes. 2.3.5) ÂNGULOS CONGRUENTES Dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida. 2.3.6) BISSETRIZ DE UM ÂNGULO É uma semi-reta interna a esse ângulo que o divide em duas partes iguais.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 9
  • 6. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC 2.3.7) ÂNGULO RETO É o ângulo que tem a sua medida valendo 90o e sua representação é dada por duas semi-retas perpendiculares. 2.3.8) ÂNGULO AGUDO E OBTUSO Se um ângulo não nulo for menor que um ângulo reto, ele é chamado ângulo agudo e se um ângulo não raso (180o ) for maior que um ângulo reto ele é chamado ângulo obtuso. 2.3.9) ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTARES Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 90º. Cada um deles é chamado complemento do outro. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 180º. Cada um deles é chamado suplemento do outro. Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas for 360º. Cada um deles é chamado replemento do outro.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 10
  • 7. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC 2.3.10) ÂNGULOS NULO, COMPLETO, RASO E RETO Ângulo nulo é aquele que tem medida igual a 0º. Ângulo completo é aquele que tem medida igual a 360º. Ângulo raso é aquele que tem medida igual a 180o . Ângulo reto é aquele que tem medida igual a 90o . 2.3.11) ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE É um par de ângulos formados por duas retas concorrentes e por sua vez , possuem a mesma medida. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Sejam AB e BC segmentos adjacentes e sejam M e N pontos médios de AB e AC,respectivamente. Se AB = 4 cm e BC = 10 cm, a medida de MN, em centímetros, é:a) 2b) 5c) 7d) 9e) 14Q2. Sejam A, M, B e N pontos colineares nesta ordem. Sabendo que AB = 12 e queMA NA = = 3 , a medida de MN é:MB NBa) 6b) 8c) 9d) 15e) 18Q3. Seja O o ponto médio de um segmento AB e seja M um ponto qualquer situado em umdos prolongamentos de segmento AB. Assinale a alternativa VERDADEIRA. 1 1 3a) OM = ( MA + MB) c) OM = ( MA + MB) e) OM = ( MA + MB) 2 4 4 1 2b) OM = ( MA + MB) d) OM = ( MA + MB) 3 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 11
  • 8. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ4. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 60o . Se um dosângulos mede 36o, a medida do outro é:a) 72ob) 84oc) 86od) 94oe) 100oQ5. O suplemento de um ângulo excede o próprio ângulo em 50o . o complemento desseângulo mede em graus:a) 65b) 50c) 45d) 35e) 25Q6. A diferença entre o complemento de um ângulo e a nona parte de seu suplemento é de6o . A medida desse ângulo, em graus, é:a) 36b) 45c) 67d) 72e) 80Q7. (UFMG) Na figura, BE ⊥ ED , AE ⊥ EC e AED = 144o . O ângulo BEC , em graus, mede; ˆ ˆa) 30ob) 32oc) 34od) 36oe) 54oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 12
  • 9. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ8. Classifique em verdadeira ou falsa as seguintes sentenças.a) ( ) Dois ângulos consecutivos são adjacentes.b) ( ) Dois ângulos adjacentes são consecutivos.c) ( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.d) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes.e) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivosf) ( ) Dois ângulos suplementares são adjacentes.g) ( ) Dois ângulos complementares são adjacentesh) ( ) Dois ângulos adjacentes são complementaresi) ( ) Os ângulos de medida 10o, 20o e 60o são complementaresj) ( ) Os ângulos de medidas 30o, 60o, 90o são suplementaresQ9. O suplemento de um ângulo excede este ângulo em 120o . Determine este ângulo.Q10. O complemento da terça parte de um ângulo excede o complemento desse ângulo em30o . Determine esse ângulo.Q11. O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo docomplemento desse ângulo. Determine esse ângulo.Q12. O suplemento do complemento de um ângulo excede a terça parte do complemento dodobro desse ângulo em 85o . Determine esse ângulo.Q13. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplementodo outro, nesta ordem, é 1/8 . Determine esses ângulos.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 13
  • 10. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 2Triângulos1) DEFINIÇÃO Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta ( não alinhados ou não colineares )a união dos segmentos AB, AC e BC chamamos triângulo ABC e indicamos por ∆ABC .2) ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO VÉRTICES : são os pontos A, B e C LADOS: são os segmentos AB, AC e BC ˆ ˆ ˆ ÂNGULOS INTERNOS: são os ângulos BAC , ABC e ACB ÂNGULOS EXTERNOS: Os ângulos adjacentes suplementares dos ângulos internos de um triângulo. α , β e γ são ângulos externos do triângulo Perímetro: é a soma das medidas dos lados. 2p = a+ b+ c ( perímetro )Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 14
  • 11. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC3) CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS 3.1) QUANTO AOS LADOS Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes. Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes. Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes. 3.2) QUANTO AOS ÂNGULOS Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos. Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto. Triângulo Obtusângulo: um de seus ângulos é obtuso.4) MEDIANA, BISSETRIZ, ALTURA E MEDIATRIZ 4.1) Mediana : É o segmento cujas extremidades são um vértice e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. AM é a mediana relativa ao lado BC ou mediana relativa ao vértice A. As três medianas de um triângulo concorrem num mesmo ponto G que é chamado baricentro do triângulo. Propriedade do BARICENTRO: “O baricentro divide cada mediana na proporção 2 : 1” 4.2) Bissetriz: É o segmento contido na bissetriz de um ângulo interno do triângulo, cujas extremidades são um vértice e o ponto de intercecção da bissetriz com o lado oposto.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 15
  • 12. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC AS é a bissetriz relativa ao lado BC ou bissetriz relativa ao vértice A. As três bissetrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto O que é chamado incentro do triângulo. Propriedade do INCENTRO: “O incentro é o centro de uma circunferência inscrita no triângulo” 4.3) Altura : É o segmento contido numa reta perpendicular, por um vértice, à reta que contém o lado posto a esse vértice, cujas extremidades são esse vértice e o ponto de intersecção dessas retas. AH é a altura relativa ao lado BC ou altura relativa ao vértice A. As três alturas de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado ortocentro do triângulo. Propriedade do ORTOCENTRO: “O ortocentro é o vértice do ângulo reto no triângulo retângulo” 4.4) Mediatriz: É a reta perpendicular a cada um de seus lados pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado circuncentro do triângulo. Propriedade do CIRCUNCENTRO: “O circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo”Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 16
  • 13. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC5) SOMA DOS ÂNGULOS DO TRIÂNGULO. 5.1) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS “A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o”. Conseqüência: Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares. 5.2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS “A soma dos ângulos externos de um triângulo, é igual a soma dos dois ângulos internos opostos.OBSERVAÇÕES: Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Em um triângulo equilátero os seus ângulos são congruentes e iguais a 60o .Ângulos de Duas Paralelas Cortadas por uma TransversalDadas duas retas r e s paralelas cortadas poruma transversal, os ângulos determinados por elas são assim determinados:ALTERNOS INTERNOS: (a e f) e ( d e e) esses pares de ângulos são congruentes.ALTERNOS EXTERNOS: (b e g) e ( c e h) esses pares de ângulos são congruentes.COLATERAIS INTERNOS: (a e e) e ( d e f) esses pares de ângulos são suplementares.COLATERAIS EXTERNOS: (b e h) e (c e g) esses pares de ângulos sãosuplementares.CORRESPONDENTES: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f) esses pares de ângulos sãocongruentes.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 17
  • 14. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Observe a figura. Nela, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus é:a) 110ob) 120oc) 130od) 140oe) 150oQ2. (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. amedida, em graus, do ângulo α é:a) 36ob) 32oc) 24od) 20oe) 18oQ3. (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:a) 20ob) 80oc) 100od) 120oe) 130oQ4. O ângulo B, no vértice de um triângulo isósceles ABC, é metade do ângulo A. A medidado ângulo C, em graus, é:a) 30ob) 36oc) 45od) 60oe) 72oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 18
  • 15. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC ˆ ˆ ˆ ˆQ5. (UFMG) Na figura, BD é bissetriz de ABC , ECB = 2 ( EAB) e a medida do ângulo ECB é80o . A medida do ângulo CDB é: ˆa) 40ob) 50oc) 55od) 60oe) 65oQ6. (UFMG) Na figura, AC = CB = BD = e  = 25o . O ângulo x mede:a) 50ob) 60oc) 70od) 75oe) 80oQ7. (UFMG) Observe a figura. Nessa Figura, AD = DB, C = 60o e DÂC é o dobro de B . A ˆ ˆrazão AC/BC é igual a: Aa) 1/3b) 1/2c) 3 3d) 2 2d) 3/2 B D C oQ8. Em um triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 20 . O ângulo formado pela bissetrizdo ângulo reto com a mediana relativa à hipotenusa mede, em graus:a) 22o30’b) 25oc) 20od) 30oe) 40oQ9. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo interno C mede π ˆ radianos. Se a bissetriz 6interna do ângulo A corta o lado BC no ponto D tal que AD = DC, então o ângulo interno bmede:a) π /2 c) π /6 e) n.d.ab) π /3 d) π /4Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 19
  • 16. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ10. Num triângulo retângulo, as bissetrizes dos ângulos agudos se interceptam formandoum ângulo obtuso de:a) 100ob) 120oc) 130od) 135oe) 150oQ11. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo  mede π /7 radianos. A medida do ângulo ˆ ˆagudo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos B e C , em radianos é:a) π /7b) 2 π /7c) 3 π /7d) 4 π /7e) 5 π /7 ˆQ12. (UFMG) Num triângulo ABC, tem-se : AB = AC e  = 124o 22’ 50”. O ângulo B mede:a) 27o 18’ 5”b) 27o 47’ 35”c) 27o 48’ 5”d) 27o 48’ 25”e) 27o 48’ 35”Q13. Observe a figura. Nela os triângulos são formados com os prolongamentos dos ladosdo heptágono, não regular, ABCDEFG. A soma A1+A2+ ... + A14, em graus mede:a) 180ob) 240oc) 360od) 540oQ14. Observe a figura. Nela AB = AC e AD = DE = EF = FB = BC. A medida do ângulo Â, emgraus é:a) 20ºb) 30oc) 36od) 45oe) 60oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 20
  • 17. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ15. Num triângulo ABC, escaleno, AB = 3m, BC = 5m e o perímetro, em metros, é umnúmero inteiro. A soma dos possíveis valores do lado AC é:a) 35b) 27c) 25d) 17e) 15Q16. Um Triângulo escaleno ABC tem os lados AB=6, AC=10 e o lado BC é medido por umnúmero inteiro. Sendo  o maior ângulo do triângulo. A diferença entre a maior e a menormedida do lado BC é:a) 4b) 5c) 8d) 9e) 10Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 21
  • 18. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 3 Quadriláteros2) DEFINIÇÃO Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não alinhados), de modo que os segmentos AB , BC , CD e AD interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. 1.1) PROPRIEDADES DE UM QUADRILÁTERO “A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360o “ “A soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é igual a 360o 1.2) TRAPÉZIO Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de bases. 1.2.1) CLASSIFICAÇÃO DO TRAPÉZIO TRAPÉZIO ISÓSCELES: é o trapézio cujos lados que não são bases são congruentes. TRAPÉZIO ESCALENO: É o trapézio cujos lados que não são bases, não são congruentes TRAPÉZIO RETÂNGULO: É o trapézio que tem um lado não base perpendicular às bases e o outro oblíquo às bases.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 22
  • 19. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC 1.3) PARALELOGRAMO Um quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ˆ ˆQ1. No paralelogramo ABCD da figura, ABC é o dobro de AMD e AM = MB. Se o perímetrode ABCD é 24 cm, então o lado BC, em centímetros, é:a) 4 cmb) 5 cmc) 6 cmd) 8 cme) 9 cmQ2. (UNESP) Considere as seguintes proposições: todo quadrado é um losango todo retângulo é um paralelogramo todo quadrado é um retângulo todo triângulo equilátero é isóscelesPode-se afirmar que:a) só uma é verdadeira b) todas são verdadeiras c) só uma é falsad) duas são verdadeiras e) todas são falsasProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 23
  • 20. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ3. (UFMG) Seja P o conjunto de todos os paralelogramos. Seja R o conjunto de todos osretângulos. Seja L o conjunto de todos os losangos. Seja Q o conjunto de todos osquadrados. Marque a alternativa ERRADA.a) R⊂Pb) L⊂Pc) R∩L =Qd) Q − R =∅e) R∪L = PQ4. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor em graus de α + β é:a) 50b) 90c) 120d) 130e) 220Q5. Na figura, ABCD é um quadrado e DCE um triângulo equilátero. A medida do ângulo ˆAEB , em graus é:a) 150b) 120c) 110d) 75Q6. Observe a figura. Nela ABCD é um retângulo e o triângulo DEC é equilátero. Se AB = 12cm, então , o segmento EF, em centímetros, medea) 2b) 3c) 4d) 5Q7. Num quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BC medem, respectivamente, 12cm e 8 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, obtemos um novoquadrilátero cujo perímetro, em centímetros, é:a) 10b) 15c) 20d) 24Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 24
  • 21. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ8. Na figura. M e N são pontos médios de AB e AC, respectivamente. Assinale a afirmativaFALSA.a) MN // BCb) AC + BC = 2 CMc) BC = 2 MNd) PC = 2PMe) PB = 2 PNQ9. Na figura abaixo, o ponto Q é médio de AB, e o segmento PQ é paralelo ao lado BC.Sendo AC = 30, a medida do segmento PM é:a) 5b) 10c) 15d) 20e) 25Q10. (UFMG) NA figura, ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de DC.Se AM = 6 , a medida de AO, em cm, é: 3a) 3 4 5b) 6 9 2c) 6 3 7d) 6 9e) 2Q11. Observe a figura abaixo. Nela, AB = 3 cm, AC = 9 cm, BÂD = CÂD, BDA = 1 reto ,e M é ˆponto médio de BC. O valor do segmento DM, em centímetros é:a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 25
  • 22. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ12. Na figura, ABCD é um paralelogramo, EF ⊥ AD e AE = ED. Se BÂF = 40o, então BCD , ˆem graus, mede:a) 100ob) 110oc) 120od) 130o ˆQ13. No trapézio isósceles da figura, DB é bissetriz de D e é perpendicular a BC. O ângulo xmede:a) 30ob) 35oc) 40od) 45oe) 50oQ14 (FUVEST) No trapézio ARTP da figura, RB e AB estão contidos nas bissetrizes de R eA. Se B = 70o , o valor de P + T é:a) 140ob) 130oc) 120od) 110oe) 100oQ15. (UFMG) O trapézio ABCD é isósceles, com AB // DC, AD = BC. A diagonal AC éperpendicular ao lado BC. Os ângulos agudos do trapézio são a metade dos seus ângulosobtusos. A base menor mede 2 cm. A medida de AD, em cm. É:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 26
  • 23. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ16. Na figura, M e P são , respectivamente, pontos médios de AB e MB. Se MN = 8, PQmede:a) 10b) 12c) 16d) 18e) 24Q17. (FAAP) No trapézio abaixo, o segmento MN que une os pontos médios M e N dasdiagonais e a base AB têm ambos 7 cm de comprimento. Calcular o comprimento l da baseDC.a) 7b) 10c) 12d) 21Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 27
  • 24. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 4 Polígonos Quaisquer e Polígonos regulares1) DEFINIÇÃO Um polígono simples é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada pordois vértices consecutivos quaisquer deixa todas os demais (n-2) vértices num mesmosemiplano dos dois que ela determina. Se um polígono não é polígono convexo, diremos queele é um plano côncavo. 1.1) NOMENCLATURA De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebemnomes especiais. Isto é: Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados 1.2) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n ladosé dada pela expressão a seguir: Si = ( n − 2)180 oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 28
  • 25. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC 1.3) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n ladosé dada por: Se = 360o 1.4) NÚMERO DE DIAGONAIS O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado pelaexpressão a seguir: n(n − 3) d= 22) POLÍGONOS REGULARES Quando se trata de polígonos regulares podemos verificar as seguintes definições: 2.1) Ângulo Interno ( Ai ) e Ângulo Externo ( Ae ) Como um polígono regular de n lados tem n ângulos internos congruentes entre si, temos: Si (n − 2)180o Se 360o Ai = = e Ae = = n n n nProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 29
  • 26. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Se em um polígono convexo, o número de diagonais é quatro vezes o número de lados,então, a quantidade de ângulos retos que cabem na soma de seus ângulos internos, é:a) 9b) 11c) 12d) 16e) 18Q2. De um dos vértices de um polígono convexo podemos conduzir, no máximo 9 diagonais.A soma de seus ângulos internos, em graus, é:a) 720ob) 1080oc) 1440od) 1800oe) 2160oQ3. O número de lados de dois polígonos convexos são números pares consecutivos e umdeles possui 11 diagonais a mais do que o outro. A soma do número de lados dessepolígono é:a) 12b) 14c) 16d) 18e) 20Q4. (PUC-MG) Qual polígono regular possui ângulo interno de 108o ?a) Pentágonob) Hexágonoc) Heptágonod) Octógonoe) DodecágonoQ5. (PUC) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de umpolígono regular de 20 lados, em graus, é:a) 80b) 72c) 36d) 20e) 18Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 30
  • 27. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ6. Dados dois polígonos com n e n+6 lados, respectivamente, calcule n, sabendo que umdos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro.Q7. Três polígonos convexos têm n, n+1, n+2 lados, respectivamente. Sendo 2700o a somade todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n.Q8. Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n-3, n, n+3.Determine o número de diagonais de cada um dos polígonos, sabendo que a soma de todosos seus ângulos internos vale 3240o .Q9. Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos,sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine opolígono com maior número de diagonais.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 31
  • 28. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 5 Ângulos Relacionados a Arcos3) DEFINIÇÕES BÁSICAS CORDA: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência. DIÂMETRO: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência. ARCO: Qualquer uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos arcos.4) ÂNGULO CENTRAL Dada uma circunferência de centro O, ângulo central é qualquer ângulo que temvértice em O AÔB é ângulo central Os lados do ângulo central determinam na circunferência dois pontos, no caso, A e B. A medida do menor arco AB já foi definida como a medida do ângulo AÔB. Então, sendo a a medida do arco AB, sabemos que a é também a medida de AÔB. A medida do ângulo central é igual a medida do arco compreendido entre seus lados: m(AÔB) = m(AB) Para simplificar: AÔB = aProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 32
  • 29. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC3) ÂNGULO INSCRITO Dada uma circunferência, dizemos que um ângulo é inscrito nessa circunferência se oseu vértice é um ponto dela e os seus lados contém, cada um deles, uma corda. AB α= 24) ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR B C V α AB + CD α= D A 2 OA medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual à semi-soma das medidasdos arcos determinados pelo seus lados5) ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR B C AB − CD α= 2 V α D A A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual à semi-diferença dosarcos determinados pelo seus lados.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 33
  • 30. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC6) ÂNGULO DE SEGMENTO AB V=B α= A 2 α O A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado.7) SEGMENTOS TANGENTES Toda reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a umacircunferência, com A e B na circunferência então PA = PB.8) QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO Um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência. Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois dos seus lados opostos é igual à soma dos outros dois lados. Logo AB+CD = AD + BCProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 34
  • 31. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ1. Observe a figura. Nela AB = OD e  = 25º . Sabendo que O é o centro da circunferência ˆa medida de CBE , em graus, é:f) 30og) 37o 30’h) 45oi) 60oj) 75oQ2. Observe a figura. Nela, A, B e C são pontos da circunferência de centro O. Sabendo que,OÂC = a , OBC = b , ACB = c , podemos afirmar que ˆ ˆf) a=b+cg) b=a+ch) c=a+bi) 2b = a - cj) 2a = b - cQ3. Observe a figura. Nela A, B, C ,D e E são pontos da circunferência de centro O,EPA = 25o e AO = PD. Medida de DBE , em graus é: ˆ ˆf) 25og) 30oh) 35oi) 40oj) 45oQ4. Na figura AB e CD são respectivamente os lados do quadrado e triângulo equiláteroinscrito no círculo. A diferença α − β , em graus, é:f) 85og) 95oh) 100oi) 105oj) 80oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 35
  • 32. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ5. Numa circunfer6encia de centro O, os pontos A, B e C são vértices de um triânguloequilátero. Seja D um quarto ponto da circunferência não coincidente com os demais. Sobre ˆa medida x do ângulo ADC , podemos afirmar quef) 60og) 120oh) 60o ou 120oi) 45oj) 45o ou 150oQ6. Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC. Seu lado BC igual ao raio da ˆcircunferência. O ângulo BAC mede:a) 15ob) 30oc) 36od) 45oe) 60oQ7. Na figura temos O como o centro do círculo, AB = AC , BH = HC e AM = MC. A relaçãoα e β é: βa) α = 2b) α = 2 βc) α = β βd) α = 3e) α + β = 90oQ8. Observe a figura. Nela, os pontos B, C, D e E pertencem à circunferência. Se ADE = 40o ˆ ˆe DCE = 50o , então a medida do ângulo DÂE, em graus é:a) 10ob) 20oc) 30od) 40oe) 50oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 36
  • 33. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ9. Na figura, O é o centro de uma circunferência cujo raio é igual a PA.. O ângulo central xmede:k) 80ol) 40om) 35on) 30oo) 20oQ10. Na figura abaixo, AP é tangente e AB é secante à circunferência. Se o arco b = 100o e = 50o, a medida do arco a, em graus, é igual a:k) 50ol) 60om) 65on) 75oo) 80oQ11. Na figura, APB = α e AEB = θ . O ângulo PÂD = x, em função de α eθ , é: ˆ ˆ 2θ − αk) 2 θ −αl) 2 θ +αm) 3n) θ + αQ12. Observe a figura. Nela, o quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência de centroO. Se ADC = 112o , a medida de EBC é: ˆ ˆk) 68ol) 72om) 108on) 112oo) 120oProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 37
  • 34. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ13. Observe a figura. Nessa figura D é um ponto da circunferência de centro C e diâmetroAB, e M e N são pontos médios dos segmentos AC e AD, respectivamente. A medida MN emfunção do diâmetro AB é: ABk) 5 2l) AB 5 ABm) 4 ABn) 3 ABo) 2Q14. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC =8 cm e AC = 5 cm e M é o ponto de tangência. A medida de MB é:f) 5 cmg) 5,5 cmh) 6 cmi) 6,5 cmj) 7 cmQ15. Se AB = 10 cm, então o perímetro hachurado vale (E, B e T são pontos de tangência)f) 10 cmg) 15 cmh) 20 cmi) 30 cmj) N.D.AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 38
  • 35. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 6 Relações Métricas na Circunferência1) Relação entre duas cordas – Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra. A D P PA ⋅ PB = PC ⋅ PD C O B2) Relação métrica das secantes– Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte externa. A B P PA ⋅ PB = PC ⋅ PD O D C3) Relação métrica entre secante e tangente – Quando, de um ponto exterior, traçamos uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a média proporcional entre a medida da secante inteira e a medida da sua parte externa. t A P R PA 2 = PB ⋅ PC em que t ⊥ OA O B CProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 39
  • 36. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Observe a figura. Nela DP > PC, AP = 9 cm, BP = 4 cm e CD = 15 cm. O comprimentode segmento DP, em cm, é:a) 3b) 6c) 9d) 12e) 14Q2. Observe a figura. Nela , O é o centro do círculo, OC = 5 cm, AB = 12 cm e BC = 2 cm. Oraio do círculo, em centímetros, é:a) 3 5b) 3 6c) 3 3d) 5 3e) 6Q3. Observe a figura. Nela C é o centro da circunferência, AB = 10 cm, PB = 8 cm e PC = 16cm. O raio da circunferência, em centímetros, mede:a) 10b) 11c) 4 7d) 6 3Q4. Ne figura, AB é tangente ao círculo e AE é secante passando pelo centro C. Se AB = 15cm e AD = 9 cm, então o raio do círculo, em cm, mede;a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 40
  • 37. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ5. Na figura, o diâmetro AB é perpendicular à corda CD no ponto E. Se AE x EB = 2, entãoa corda CD mede:p) 2q) 2r) 5s) 8t) N.R.A.Q6. Numa circunferência de raio 13 metros, traça-se uma corda de 24 metros. A distância dacorda ao centro da circunferência é, em metros:a) 5b) 8c) 11d) 20e) 25Q7. Na figura, PB = 25 cm e BC = 144 cm. Se PA é tangente à circunferência, então PAmede:a) 13b) 50c) 60d) 65e) 70Q8. Na figura, O é o centro da circunferência; AB = a, AC = b e AO = x. O valor de x, emfunção de a e b, é: a+ba) 2b) a − bc) 2 a 2 − b 2 a2 bd) − 2b 2e) é impossível calcular por falta de dadosProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 41
  • 38. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 7 Teorema de Talles1) DEFINIÇÕES • Feixe de Paralelas : É um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano ( coplanares ) paralelas entre si. • Transversal do feixe de retas paralelas: É uma reta do plano do feixe que concorre com todas as retas do feixe. • Pontos correspondentes de duas transversais: São pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe. • Segmentos correspondentes de duas transversais: São segmentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes. A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos correspondentes AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos correspondentes2) TEOREMA DE TALLES Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre doissegmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentoscorrespondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que:AB BC CD AD = = = = ... ou seja, os segmentos correspondentes formam um proporção.A B B C C D A DProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 42
  • 39. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm eDF = x+3. A medida de x, em centímetros éa) 2b) 3c) 4d) 6e) 9Q2. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF = 6cm. A medida do segmento BE, em centímetros, é:a) 4,8b) 6c) 7,2d) 8,8e) 9,6Q3. Os triângulos ABE e ACD são retângulos em B e C, respectivamente. Sabendo-se queAB = 3 cm, BC = 2 cm e AE = 4 cm, a medida de AD é:a) 7 cm 15b) cm 4 20c) cm 3 15d) cm 5e) N.D.AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 43
  • 40. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 8 Semelhança de Triângulos1) DEFINIÇÕES Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos ( correspondentes ) proporcionais. Dois lados homólogos são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambossão opostos a ângulos congruentes.2) RAZÃO DE SEMELHANÇA a b c Sendo k a razão entre os lados homólogos, = = = k , k é chamado razão de a b c semelhança dos triângulos. Se k = 1, os triângulos são congruentes.3) CASOS OU CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA.• 1O CASO (AA) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 44
  • 41. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC• 2O CASO (LAL) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.• 3O CASO (LLL) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.4) CONSEQUÊNCIAS DOS CASOS DE SEMELHANÇA: Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então: • A razão entre lados homólogos é k; • A razão entre os perímetros é k; • A razão entre as alturas homólogas é k; • A razão entre as medianas homólogas é k; • A razão entre as bissetrizes internas homólogas é k; • A razão entre os raios dos círculos inscritos é k; • A razão entre os raio dos círculos circunscritos é k; • A razão entre dois elementos lineares homólogos é k; E os ângulos homólogos são congruentes.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 45
  • 42. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Os lados de um triângulo ABC são AB = 15 cm, BC = 10 cm e AC = 20 cm. Se AM = 3cm, MN // AC e MP // BC, o perímetro do paralelogramo MNCP, em centímetros é:a) 26b) 30c) 32d) 36e) 40Q2. Se a altura de um triângulo escaleno é 10,2 metros, o baricentro dista da base:a) 2,5 mb) 5,1 mc) 3,6 md) 3,7 me) 3,4 mQ3. Na figura AC // BD e BC // DE. Então:a) OB = (3OA)(OE ) OA + OEb) OB = 2c) OB = 2 (OA)(OE )d) OB = (OA)(OE )e) OB = (OA)(OE )Q4. Num triângulo ABC, AB = 6 cm e BC = 3 cm. Se a bissetriz NA determina sobre o ladoBC o segmento BN =1,8 cm, a medida do lado AC, em centímetros, é:a) 1,2b) 3,8c) 4d) 4,2e) 5,6Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 46
  • 43. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ5. No triângulo ABC, de perímetro igual a 88 cm, a bissetriz do ângulo A determina sobre olado BC, que mede 22 cm. Segmentos de 12 cm e 10 cm. Calcule os outros dois lados dotriângulo.a) 28 e 38b) 26 e 40c) 22 e 44d) 30 e 36e) n.d.aQ6. Num triângulo isósceles ABC, de 15 cm de perímetro, a base AC = 3 cm. Se AM e ANsão respectivamente, mediana e bissetriz, então, o segmento MN, em centímetros, mede;a) 1b) 1,6c) 2d) 2,4e) n.d.aQ7. Na figura, os ângulos assinalados são retos, temos, necessariamente, x pa) = y m x mb) = y pc) xy = pmd) x2 + y 2 = p2 + m2 1 1 1 1e) + = + x y m pQ8. Na figura ABCD é paralelogramo BE é perpendicular a CD e BF é perpendicular a CD.Se BE = 12 , BF = 6 e BC = 8, então AB mede:a) 12b) 13c) 14d) 15e) 16Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 47
  • 44. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ9. O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 m, BC= 8 cm e AC = 6 m, o lado l do losango mede:a) 5mb) 3mc) 2md) 4me) 8mQ10. No paralelogramo ABCD da figura, AB = 4 3 m, AD = 3 m e BM = 2 m. O segmento CNmede: 3a) 2b) 3c) 2 3 5 3d) 2e) 3 3Q11. Na figura ADEF é um quadrado e ABC, um triângulo cujos catetos AB e AC mede 1 cme 3 cm , respectivamente. O lado do quadrado, em cm , é: 1a) 4 1b) 3 1c) 2 3d) 4 2e) 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 48
  • 45. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ12. No trapézio ABCD, MN é paralelo a AB. Se AB = 36 cm, DC = 12 cm e as alturas dostrapézios ABCD e MNCD são, respectivamente, 15 cm e 10 cm, pode-se afirmar que amedida de MN, em cm, é:a) 16b) 24c) 28d) 36e) 48Q13. Na pirâmide regular de base quadrada da figura, M é o ponto médio de DE, CMpertence ao plano da base, CM é perpendicular a DE e AB é perpendicular a CM. Se DE =200 m, AB = 5 m, AC = 7 m e AM = 75 m, então a altura da pirâmide, em metros é:a) 150b) 145c) 140d) 135e) 130Q14. Observe a figura. Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 eBC = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, a medida do segmento BP é:a) 22b) 21c) 24d) 23Q15. O triângulo ABC da figura ( BC = 3m ) sofre um deslocamento lateral de 2 m ocupandoa posição do triângulo A’B’C’. Sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 16 cm, então operímetro do triângulo B’CD é em metros:a) 16b) 16/3c) 8d) 6e) 4/3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 49
  • 46. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ16. O triângulo ABC é equilátero, AD=DE=EF=FB, DG // EH // FI // BC , DG+EH+FI+= 18. Operímetro do triângulo ABC é:a) 12b) 24c) 36d) 48e) 54Q17. O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE :a) 76/11b) 78/11c) 80/11d) 77/11e) 79/11Q18. Na figura, CD = 30 e a razão entre os raios CP = R e QD = r é 5. Sendo A e B pontosde tangência, então, MD é:a) 1/6b) 1/5c) 5d) 6e) 15Q19. Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm centro na altura relativa à base do triânguloisósceles da figura e são tangentes exteriormente. A altura do triângulo relativa à base, emcentímetros, é:a) 16b) 26c) 30d) 32e) 36Q20. O lado do quadrado inscrito no triângulo ABC de base AC = 8 m e altura BH = 2 m é:a) 1mb) 1,2 mc) 1,5 md) 1,6 mProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 50
  • 47. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 9 Relações Métricas no Triângulo Retângulo5) ELEMENTOS Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC,com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:6) RELAÇÕES MÉTRICAS Com base nas semelhanças dos triângulos abaixo e com os elementos já caracterizados acima, temos: RELAÇÕES MÉTRICAS 1) b2 = n a 2) c2 = a m 3) h2 = m n 4) bc=ah 5) Teorema de Pitágoras : a2 = b2 + c2Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 51
  • 48. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Um triângulo tem catetos AB = 4 m e AC = 3 m. A soma da hipotenusa com a alturarelativa a ela é:a) 2,4b) 5c) 5,2d) 7,4e) 8Q2. Em um trapézio isósceles, as bases medem 14 m e 10 m e a altura mede 5 m. O valorda diagonal, em metros, é:a) 10b) 12c) 11d) 13e) 15Q3. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos.Então, um dos ângulos agudos vale;a) 75ob) 60oc) 45od) 15oe) 10oQ4. Uma folha de papel quadrada ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com oponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é:a) 0,3b) 0,325c) 0,375d) 0,45e) 0,5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 52
  • 49. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ5. Na figura, OAB, OBC e OCD são triângulos retângulos em A, B e C, respectivamente eAO = AB = BC = CD = 1. o segmento OD mede:a) 2 mb) 3 mc) 2 md) 5 me) 4 mQ6. Essa figura representa um trecho retilíneo de estrada entre os quilômetros 148 e 150. Ospontos A e B representam duas escolas que estão a uma distância de 200 m e 100 m,respectivamente da estrada. A quantos metros do quilômetro 148 deve ser construída umapassarela que seja eqüidistante das duas escolas?a) 500b) 800c) 850,3d) 992,5e) 1000Q7. Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, então a medida doraio do círculo inscrito nesse losango é, em metros: ab ab a 2b 2 2ab 2a 2 b 2a) b) c) d) e) 2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2Q8. No triângulo retângulo ABC da figura, a hipotenusa a mede 3 m e b/c = 2. A altura AHmede:a) 1b) 6/5c) 7/5d) 8/5e) 9/5Q10. Observe a figura. No triângulo retângulo isósceles ABC, Â é o ângulo reto. O ponto Dpertence à reta AB. Se CD = 13 cm e BC = 2 2 cm, a medida do segmento BD em cm é:a) 1b) 3/2c) 2d) 21e) 5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 53
  • 50. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 10 Áreas de figuras planas7) INTRODUÇÃO Assim como as medidas de segmentos e as medidas de ângulos, a forma rigorosa para se conceituar áreas é vista em um curso de terceiro grau. Vamos aqui enunciar algumas propriedades que nos leva às fórmulas de algumas regiõespoligonais. Para simplificar os enunciados muitas vezes quando falarmos polígono estaremosquerendo dizer região poligonal: área de um polígono vai significar, de agora em diante, áreada região poligonal que ele determina.8) ÁREA DO TRIÂNGULO A área do triângulo é dada pela formula: Aqui, é importante saber que qualquer lado do triângulo pode ser tomado como BASE x ALTURA base, desde que se utilize a altura 2 relativa ao respectivo lado na aplicação da fórmula Veja as figuras:Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 54
  • 51. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC3) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO Caso seja fornecido apenas dois lados de um triângulo e o ângulo compreendido por esteslados, podemos calcular a sua área pelas expressões abaixo:4) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS Caso seja fornecido apenas os lados do triângulo, a sua área pode ser calculada através da fórmula de HERÃO.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 55
  • 52. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC4) CÁLCULO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA 4.1) Circunferência inscrita Seja I o incentro de um triângulo ABC qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices do triângulo, este fica decomposto nos triângulos BIC, AIC e AIB. Logo:5) ÁREA DO PARALELOGRAMO A área do paralelogramo qualquer é dada pela fórmula: Do mesmo modo que ocorre com o triângulo, também no BASE x ALTURA paralelogramo qualquer lado pode ser tomado como base. A altura será a distância desse lado ao lado oposto. ‘Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 56
  • 53. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC6) ÁREAS DOS PARALELOGRAMOS NOTÁVEIS Os paralelogramos notáveis são o retângulo, o losango e o quadrado. Suas áreas tambémsão dadas pela fórmula: BASE x ALTURA Porém, como as diagonais do losângo são perpendiculares, é possível expressar sua áreaem função de suas diagonais.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 57
  • 54. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC7) ÁREAS DO TRAPÉZIO A área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula: ( BASE MAIOR + BASE MENOR ) x ALTURA 2 Essa fórmula pode ser obtida facilmente decompondo o trapézio em dois triângulos. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. Sabendo-se que AE = 4 cm e EB = 2 cm, aárea do quadrado EFGH é:a) 4 cm2b) 12 cm2c) 16 cm2d) 18 cm2e) 20 cm2Q2. Observe a figura. Nessa figura, está representado um canteiro retangular de 6 metros delargura por 10 metros de comprimento, cercado por um passeio de largura constante. Se aárea do passeio é de 36 m2 a medida de sua largura é:a) 1b) 0,5c) 2d) 1,5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 58
  • 55. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ3. Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB é perpendicular a AD, BC éperpendicular a CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terrenoé:f) 1500 m2g) 1600 m2h) 1700 m2i) 1800 m2j) 2000 m2Q4. Lucas, proprietário do terreno sombreado na figura, cujo preço era de R$ 1000,00 ometro quadrado, trocou-o por outro, do mesmo valor, situado numa região onde o metroquadrado valia R$ 900,00. A área do novo terreno é de:e) 3600 m2f) 9000 m2 40 mg) 12600 m2h) 14000 m2i) 16200 m2Q5. A área do paralelogramo ABCD é a. Então a área de um triângulo ABE, onde E pertenceà reta suporte de DC é:a) a/4b) a/3c) a/2d) 2a/3e) aQ6. Considere NQ = MP = MN/3, sendo MN a base do retângulo KNML. Se a soma dasáreas dos triângulos NQL e PLM é 16, a área do retângulo KMNL é:a) 24b) 32c) 48d) 72e) 96Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 59
  • 56. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ7. No paralelogramo ABCD, AB = BD = CD, AD= (1/2 ) AB. Se AB = 4 cm, então a área doparalelogramo, em cm2, é:a) 8b) 4 2c) 6 2d) 6 3e) 2 15Q8. Considere o triângulo ABC tal que AB = 8 cm, ABC = 60o e área 16 3 cm2. Então, o lado ˆ ˆoposto ao ângulo ABC mede, em cm:a) 2 2b) 4 2c) 4 3d) 4e) 8Q9. Num triângulo retângulo, um dos ângulos mede 30o . A área desse triângulo em funçãodo comprimento a de sua hipotenusa é dada por: a2a) 2 a2 3b) 8 2 ac) 4 3a 2d) 8 a2 3e) 4Q10. Num triângulo retângulo de 14 cm2 de área, a hipotenusa mede 65 cm. A soma doscomprimentos dos catetos, em centímetros, é:a) 9b) 11c) 13d) 15e) 17Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 60
  • 57. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ11. Se a área de um triângulo retângulo isósceles é 9 m2, o seu perímetro, em metros, é:a) 3 + 3b) 3 + 2 3c) 3 + 6 3d) 6 + 3e) 6 + 6 2Q12. A área do trapézio ABCD é 7 cm2 e a do quadrado CDEF é 4 cm2 . a medida de baseAB é:a) 4,5b) 5c) 5,5d) 6e) n.d.aQ13. Considere um trapézio isósceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4 cm. Se AD = 8 cm,pode-se afirmar que a área do trapézio, em cm2, é:a) 4 3b) 6 3c) 8 3d) 12 3e) 24 3Q14. Num trapézio de área 48 cm2, o segmento cujos extremos são pontos médios dos ladosnão paralelos mede 36 cm. Então, a altura desse trapézio, em cm, é:a) 2/3b) 3/4c) 4/3d) 3/2e) 12Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 61
  • 58. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ15. Na figura, ABCD é um trapézio de altura 8 cm e EF é paralelo a AB. Se AB = 12 cm,CD = 6 cm e AE = ED, então a área do trapézio ABFE é:a) 21 cm2b) 36 cm2c) 38 cm2d) 42 cm2e) 84 cm2Q16. Um hexágono regular de área 12 3 m2 está inscrito num círculo cujo raio, em metrosmede:a) 2b) 2 2c) 2 3d) 3e) 3 2Q17. Observe a figura. BC é a hipotenusa do triângulo ABC, AE = (1/4)AB, FC = (1/4) AC e aárea do quadrilátero BCFE é igual a 30. A área do triângulo AEF é igual a:a) 10b) 20c) 60/13d) 80/13e) 90/13Q18.Nessa figura, os pontos M. N. P. Q são pontos médios dos lados do quadrado ABCD,cuja área mede 16 cm2. A área do quadrado RSTV, em cm2, mede:a) 4b) 8c) 10d) 16/3e) 16/5Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 62
  • 59. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ19. Na figura, o hexágono regular ABCDEF está inscrito no circulo de centro O. Se AB = 4cm, a área do quadrilátero ABOF é:a) 8 2 cm2b) 8 3 cm2c) 16 cm2d) 16 2 cm2e) 16 3 cm2Q20. A área de um losango é 120 m2 e uma de suas diagonais mede 10 m. O lado dolosango, em metros, é:a) 9b) 11c) 13d) 15e) 16Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 63
  • 60. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 11 Áreas de figuras circulares1) ÁREA DO CÍRCULO A área do círculo de raio r é dada pela fórmula:2) ÁREA DA COROA CIRCULAR Considere dois círculos concêntricos, isto é, de mesmo centro, de raios R e r, R > r. Chama-se coroa circular o conjunto de todos os pontos que pertencem ao circulo maior e que não estão no interior do círculo menor.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 64
  • 61. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC3) ÁREA DO SETOR CIRCULAR Chama-se setor circular a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também qualquer que tenha seu vértice no centro do círculo. O setor circular é uma fração do círculo. Desse modo, para calcular a área de um setorcircular basta descobrir qual é a fração que ele representa do círculo.4) ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR Chama-se segmento circular qualquer uma das partes em que um círculo fica dividido por uma corda qualquer.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 65
  • 62. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOQ1. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência e o comprimento do arcomenor AB é 1/6 do comprimento da circunferência. Então, a razão entre as áreas do triângulodo ABC e do disco mostrado na figura é: 3f) 2π πg) 6h) π 3i) 6π 6j) πQ2. Na figura, o triângulo OPA é equilátero e PB é perpendicular à reta que tangencia ocírculo no ponto A. Se a área do triângulo PBA é 2 3 m2, então o raio da circunferência é,em metros:f) 1g) 4h) 4 3i) 8j) 8 3Q3. Observe a figura. Nessa figura, há um quadrado, uma circunferência de raio 1 e quatrotriângulos equiláteros. Cada triângulo tem um vértice na circunferência. A área da regiãohachurada é:f) 2(3 3 − 4) 1+ 3g) 4 1+ 3h) 2i) 2( 3 − 1)Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 66
  • 63. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ4. Se os lados de um triângulo ABC medem, respectivamente, 30 cm, 40 cm e 50 cm,então a área do círculo inscrito neste triângulo mede:f) 10π cm 2g) 5π 2 cm 2h) 5π cm 2i) 100π cm 2j) 25π cm 2Q5. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo equilátero de lado 3 metros. A áreahachurada é, em m2: 9 3 −πf) 12 3 3 −πg) 12 3 3 −πh) 4 2 3 −πi) 4 9 3 −πj) 4Q6. Na figura abaixo, o ângulo  mede 30o e o lado BC = 2 cm. A área hachurada é, em cm2: 2π − 3 3f) 3 2π − 3 3g) 12 2π + 4 3h) 3 2π − 3i) 6 2π + 3j) 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 67
  • 64. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ7. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência de centro O e raio a. SeBÂC = 30o , a medida da área hachurada é: a2b) (π − 3 ) b) a 2 (π − 3 ) 2 a2 3c) (π − 1) d) a 2 (π − ) 2 2e) a 2 (π − 1)Q8. Observe a figura. Nela a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma dascircunferências menores, C1, C2, C3 e C4, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito.Os centros de C1, C2, C3 e C4 estão em diâmetro de C perpendiculares a lados do quadrado.A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é:f) 8π (3 + 2 2 )g) π (3 + 2 2 )h) π (3 − 2 2 )i) 2π (3 − 2 2 )Q9. A figura representa os quadrados ABCD e EFGH circunscrito e inscrito na circunferênciade centro O . Sendo o lado maior do quadrado igual a 4, a área hachurada, é:f) 4π − 4g) 4π − 8h) 4π + 8i) 2π + 8j) 16π − 8Q10. Observe a figura. Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE,EF, FG, GH e HÁ congruentes. O valor da área sombreada em função de r, é:a) r 2 (π − 2)b) 2r 2 (π − 1)c) 2r 2d) r 2 (π − 2)Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 68
  • 65. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQ11. A área de uma coroa circular de raios r e R, sendo R>r, é:a) π ( R − r ) 2b) π ( R + r ) 2c) π ( R 2 − r 2 )d) π ( R − r )( R + r )e) 2π ( R − r )Q12. Seja d a distância entre os centros de dois discos de raios r1 e r2, com r1 < r2. Adiferença de suas áreas é de πd (r1 − r2 ) . Sobre as posições relativas de suas circunferências,conclui-se que:a) não têm pontos comunsb) são concêntricasc) são tangentes interiormented) são tangentes exteriormentee) têm dois pontos em comum.Q13. Nessa figura, o triângulo ABC é equilátero DF e EF são arcos de circunferência de raioa e centros em A e C respectivamente. Então, a área da região sombreada é: a2a) ( 3 −π ) 2 a2b) π 3 6 a2c) π 3d) a 2 ( 3 − π ) a2e) (3 3 − π ) 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 69
  • 66. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC Capítulo 12 Questões de vestibularesQUESTÃO 01 (UFSM – RS)A soma de dois ângulos é igual a 100º. Um deles é o dobro do complemento do outro. Arazão do maior para o menor é:a( )6 b( )5 c( )4 d( )3 e( )2QUESTÃO 02 (UFMG)Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, ON é a bissetriz do ângulo BÔC e OP é abissetriz do ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a: πa. ( ) rad 2 πb. ( ) rad 4 πc. ( ) rad 6 πd. ( ) rad 3e. ( ) π radQUESTÃO 03 (UFES)Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3α + β vale:a ( ) 225º b( ) 195º c ( ) 215º d( ) 175º e ( ) 185ºProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 70
  • 67. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 04 (Fuvest - SP)No quadrilátero ABCD abaixo, ABC = 150º, AD = AB = 4cm, BC = 10cm, MN = 2cm , sendo M e N, ˆrespectivamente, os pontos médios de CD e BC . A medida, em cm2, da área do triânguloBCD é:a. ( ) 10 b( ) 15 c( ) 20 d( ) 30 e( ) 40QUESTÃO 05 (UFU-MG)Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t, nos pontos indicadosna figura. Sabendo-se que MR = 6cm; MS = 20cm; RQ = 32cm; PQ = 24cm; os valores dos segmentosPM, PS e QS são, respectivamente:a. ( ) 9cm, 15cm, 10cmb. ( ) 15cm, 10cm, 9cmc. ( ) 10cm, 15cm, 9cmd. ( ) 10cm, 9cm, 15cme. ( ) 9cm, 10cm, 15cmQUESTÃO 06 (FEI - SP)O ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 o númerode lados é:a( ) 60º b( ) 72º c( ) 108º d.( ) 150º e. ( ) 120ºProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 71
  • 68. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 07 (Unifor - CE)A moldura de um retrato é formada por trapézios congruentes, como está representado nafigura abaixo. A moldura dá uma vota completa em torno do retrato. Quantos trapéziosformam essa moldura?a( )7 b( )8 c( )9 d.( ) 10 e. ( ) 11QUESTÃO 08 (UFJF - MG)Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma P.A. de razão r. O valor de rtal que o maior ângulo desse pentágono meça 128º é:a( ) 10º b( ) 15º c( ) 20º d.( ) 27º e. ( ) 36ºQUESTÃO 09 (ITA - SP)A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. Então o númerode diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que ocircunscreve, éa( ) 50 b( ) 60 c( ) 70 d.( ) 80 e. ( ) 90QUESTÃO 10 (PUC - SP)O ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais é igual a:a( ) 80º b( ) 170º c ( ) 162º d.( ) 135º e. ( ) 81ºProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 72
  • 69. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 11 (Fac.Fed. Odont. Diamantina - MG)Considere um triângulo ABC isósceles,retângulo em  e cujo perímetro é igual a4(2 + 2 ) m. O valor da hipotenusa BC , em m, é :a( )4 b( ) 3 2 c( )5 d.( )4 2 e. ( ) 2QUESTÃO 12 (UFU - MG) ˆNa figura abaixo, OA e OB são perpendiculares. BC é a bissetriz do ângulo DBA e AC é a ˆbissetriz do ângulo EÂB. A medida do ângulo BCA é: πa. ( ) 4 πb. ( ) 3 πc. ( ) 6 πd. ( ) 12 πe. ( ) 2QUESTÃO 13 (Fuvest - SP)Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo  mede 40º então o ângulo XYZ mede: ˆa( ) 40º b( )50º c( ) 60º d.( )70º e. ( )90ºProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 73
  • 70. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 14 (PUC – SP)Na figura, BC = CA = AD = DE . O ângulo CÂD mede:a( ) 10º b( )20º c( ) 30º d.( )40º e. ( )60ºQUESTÃO 15 (UCMG) ˆ ˆNa figura, o ângulo ADC é reto. O valor, em graus, do ângulo CBD é:a( ) 95º b( )100º c( ) 105º d.( )110º e. ( )120ºQUESTÃO 16 (FATEC - SP)Na figura, r é a bissetriz do ângulo ABC . Se α = 40º e β = 30º, então: ˆa. ( ) γ = 0ºb. ( ) γ = 5ºc. ( ) γ = 35ºd. ( ) γ = 15ºe. ( ) os dados são insuficientes para a determinação de γ.Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 74
  • 71. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 17 (UFMG)Na figura AC = CB = BD e  = 25º. O ângulo x mede:a( ) 50º b( ) 60º c( ) 70º d.( )75º e. ( )80ºQUESTÃO 18 (FEI - SP)Na figura dada, a soma 1 + 2 + 3 + ... + 8 vale: ˆ ˆ ˆ ˆa( ) 180º b ( ) 270º c ( ) 360º d.( )720º e. ( )n.r.a.QUESTÃO 19 (Mack - SP)O triângulo ABC da figura é equilátero AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE é 76a. ( ) 11 77b. ( ) 11 78c. ( ) 11 79d. ( ) 11 80e. ( ) 11Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 75
  • 72. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 20 (Fatec – SP)Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é:a( ) 0,8 b( )1,4 c( ) 2,6 d.( )3,2 e. ( )3,8QUESTÃO 21 (Cesgranrio - RJ)No triângulo retângulo ABC da figura, os seis quadrados têm o lado igual a 2cm. Ahipotenusa BC mede:a( )6 5 b( ) 12cm c ( ) 12 2 cm d.( ) 12 3 cm e. ( )18cmQUESTÃO 22 (Cesgranrio - RJ)O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares pressas 1 6ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem e , a distância do lampião ao teto é: 2 5a. ( ) 1,69b. ( ) 1,3c. ( ) 0,6 1d. ( ) 2 6e. ( ) 13Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 76
  • 73. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 23 (PUC - SP)A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede: a 3 2a 2a( ) 2a b( )a 2 c( ) d.( )a 3 e. ( ) 2 3QUESTÃO 24 (PUC - SP)Os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 2p são vértices de um quadradode perímetro: p 2 p 2a( ) b( ) c( )p 2 d.( )2p 2 e. ( )4p 2 4 2QUESTÃO 25 (UFSC)No teste abaixo dê o somatório das afirmações corretas. Dada a circunferência de centro O,onde AB é uma corda e t é uma tangente no ponto B, então, com base na figura abaixo, écorreto afirmar:01. OB é perpendicular a t. ˆ02. O ângulo ABC (γ) é um ângulo de segmento, e o ângulo AVˆ B (α) é um ângulo inscrito.04. γ + θ = 90º08. α = γ 116. α = β 2 132. α = γ = β 2Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 77
  • 74. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 26 (Unisantos - SP)Na figura abaixo, o valor de x é:a( ) 31ºb( ) 38ºc( ) 48ºd.( )50ºQUESTÃO 27 (UCBA)A medida do ângulo x, representado na figura, é:a( ) 10ºb( ) 15ºc( ) 20ºd.( )25ºe. ( ) 30ºQUESTÃO 28 (Mack - SP) ˆNa figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então AMB é igual a:a. ( ) 50ºb. ( ) 45ºc. ( ) 60ºd. ( ) 22º30’e. ( ) 30ºProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 78
  • 75. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 29 (FESP - SP)Os valores dos ângulos a, b e c são, respectivamente:a. ( ) 58º, 32º, 116ºb. ( ) 32º, 58º, 64ºc. ( ) 58º, 32º, 64ºd. ( ) 32º, 58º, 116ºe. ( ) n.r.a.QUESTÃO 30 (EPCAR - SP)De um ponto P, traça-se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o segmento PT datangente mede 8m e o segmento PB da secante mede 16m, qual deve ser, em m2, a área docírculo, se a secante contém o diâmetro do mesmo?a. ( ) 12πb. ( ) 18πc. ( ) 24πd. ( ) 30πe. ( ) 36πQUESTÃO 31 (EPCAR - SP)A área da figura hachurada, no diagrama, vale:a. ( ) 4,0b. ( ) 3,5c. ( ) 3,0d. ( ) 4,5e. ( ) 5,0Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 79
  • 76. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 32 (Cesgranrio - RJ)Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelasocupam uma área de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a comprade 10% a mais da metragem a ladrilhar, A metragem de ladrilhos a comprar é: 2 2 2 2 2a( ) 24,40m b( ) 24,80m c( ) 25,50m d( )26,40m 26,80mQUESTÃO 33 (UFMG) ˆNa figura, os ângulos ABC , ACD e CÊD são retos. Se AB = 2 3m e CE = 3m , a razão entre ˆas áreas dos triângulos ABC e CDE é:a. ( ) 6b. ( ) 4c. ( ) 3d. ( ) 2e. ( ) 3QUESTÃO 34 (UCMG)A área hachurada é:a. ( ) a–b 2 2b. ( a –b )c. ( ) a + b 2d. ( ) (a + b) a 2 + b2e. ( ) 2Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 80
  • 77. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 35 (UCMG)Na figura, AB = 6, BC = 10, BM = 5, BR = 2,5 e MN é paralelo a RS e a AB . Então a área do trapézioRSNM;a. ( vale 7,5 )b. ( ) vale 10,5c. ( ) vale 13,5 2d. ( ) é da área do triângulo ABC 3e. ( ) é a metade da área do triângulo ABCQUESTÃO 36 (UFSM - RS)Um marceneiro deseja fazer uma mesa na forma de um octogono regular. Para isso, dispõede uma tábua na forma de um quadrado de lado x cm, do qual fará o tampo da mesa,retirando os cantos, conforme indica a figura. O comprimento de cada lado da mesa, em cm,será: 2xa. ( ) 2 +2 xb. ( ) 2+ 2 2xc. ( ) 2 xd. ( ) 3 2 xe. ( ) 3Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 81
  • 78. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 37 (Fuvest - SP)A secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo que acomoda exatamente oscigarros como na figura. Se o raio dos cigarros é R, as dimensões do retângulo são:a. ( ) 14R e 2R (1 + 3 )b. ( ) 7R e 3Rc. ( ) 14R e 6Rd. ( ) 14R e 3Re. ( ) (2 + 3 3 )R e 2R 3QUESTÃO 38 (EPCAR - SP)Se A for a área de um quadrado inscrito em uma circunferência, então a área do quadradocircunscrito à mesma circunferência é equivalente a: 4 7a( ) A b( ) 2A c( ) A d( )2 2 A e ( )3 2A 3 3QUESTÃO 39 (EPCAR - SP)Na figura, tem-se um hexágono regular inscrito em um círculo de raio r. Tem-se também 6arcos de círculo com centros nos vértices do hexágono e cujos raios são iguais ao lado dohexágono. Calcule a superfície da região sombreada. 2a. ( ) (π – 3 )r 2b. ( ) (2π – 3 )r 2c. ( ) (2π – 3 3 )r 2d. ( ) (π – 3 3 )r 2e. ( ) (3π – 2 3 )rProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 82
  • 79. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBECQUESTÃO 40 (EPCAR - SP)Na figura, contém semicírculos de raio a e centro nos vértices do quadrado menor. Calcule aárea da região sombreada. 2a. ( ) 2a 2b. ( ) πa 2c. ( ) 2πa 2d. ( ) a (4 – π) 2e. ( ) a (π – 2)Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 83
  • 80. ENSINO F UNDAME NTAL , MÉDIO E TÉCNICO Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail: padredeman@padredeman.com.br Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC GABARITO – GEOMETRIA PLANACapítulo 1 Capítulo 2 Capítulo 3 Capítulo 4 Capítulo 51) b 1) b 1) a 1) e 1) b2) c 2) e 2) b 2) d 2) b3) a 3) c 3) e 3) b 3) d4) b 4) e 4) d 4) a 4) b5) e 5) d 5) a 5) e 5) c6) d 6) d 6) c 6) 5 6) b7) d 7) b 7) c 7) 6 7) c8) a) F 8) b 8) b 8) 5,20,44 8) a b) V 9) a 9) a 9) d c) F 10) d 10) c 10) e d) F 11) c 11) b Capítulo 10 11) b e) F 12) e 12) b 12) d f) F 13) c 13) a 1) e 13) c g) F 14) a 14) a 2) a 14) c h) F 15) d 15) b 3) d 15) c i) F 16) a 16) b 4) d J) F 17) d 5) c9) 30o Capítulo 11 Capítulo 7 6) c10) 45o 7) e11) 80o Capítulo 9 1) a 1) b 8) e12) 15o 9) b 2) b 2) d13) 80o e 100o 1) d 10) b 3) d 3) c 2) d 11) e 4) d 3) c 12) b 5) cCapítulo 6 Capítulo 8 6) a 4) c 13) d 5) c 7) a1) d 1) d 15)b 14) c 6) d 8) d2) a 2) e 16)c 15) d 7) a 9) b3) c 3) d 17)c 16) b 8) b 17) e 10) a4) e 4) c 18)c 11) d5) d 9) a 18) e 5) d 19)e 12) c6) a 6) a 20) d 19) b 20) c 13) e7) d 7) b8) d 8) e Capítulo 12 – Questões de Vestibulares 9) d 10) c 1) C 2) A 3) B 4) C 5) C 6) E 7) D 8) A 9)C 10)C 11) d 11) D 12) A 13) D 14) B 15) B 16) B 17) D 18) C 12) c 19) E 20) B 21) A 22) E 23) D 24) C 25) 63 26) C 13) e 27) C 28) E 29) A 30) E 31) D 32) D 33) B 34) E 14) b 35) A 36) A 37) A 38) B 39) C 40) AProf. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 84
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