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Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica
 

Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica

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    Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica Tcc estudos sobre operadores acusticos para modelagem sismica anisotropica Document Transcript

    • ´ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM S´ ´ ISMICA ANISOTROPICA Elias da Concei¸ao c˜ Disserta¸ao de Mestrado apresentada ao c˜ Programa de P´s-gradua¸ao em Engenharia o c˜ Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necess´rios ` obten¸ao do t´ a a c˜ ıtulo de Mestre em Engenharia Civil. Orientadores: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson Dors Rio de Janeiro Fevereiro de 2011
    • ´ ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM S´ ´ ISMICA ANISOTROPICA Elias da Concei¸ao c˜ ¸˜DISSERTACAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ´ ¸˜ALBERTO LUIZ COIMBRA DE POS-GRADUACAO E PESQUISA DEENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE ´JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A ¸˜ ˆOBTENCAO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS EM ENGENHARIACIVIL.Examinada por: Prof. Webe Jo˜o Mansur, Ph.D. a Dr. Cleberson Dors, D.Sc. Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc. Dr. Andr´ Bulc˜o, D.Sc. e a Prof. Cl´udio Jos´ Martins, D.Sc. a e RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL FEVEREIRO DE 2011
    • Concei¸˜o, Elias da ca Estudo sobre operadores ac´sticos para modelagem us´ ısmica anisotr´pica/Elias da Concei¸ao. – Rio de Janeiro: o c˜UFRJ/COPPE, 2011. XIV, 100 p.: il.; 29, 7cm. Orientadores: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson Dors Disserta¸ao (mestrado) – UFRJ/COPPE/Programa de c˜Engenharia Civil, 2011. Referˆncias Bibliogr´ficas: p. 87 – 94. e a 1. Modelagem S´ ısmica. 2. Diferen¸as Finitas. c 3.Anisotropia. 4. Equa¸ao Ac´stica Anisotr´pica. c˜ u o 5.Equa¸ao Pseudo-Ac´stica Anisotr´pica. I. Mansur, Webe c˜ u oJo˜o et al.. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, aCOPPE, Programa de Engenharia Civil. III. T´ ıtulo. iii
    • A resposta certa, n˜o importa a nada: o essencial ´ que as e perguntas estejam certas. M´rio Quintana aiv
    • Agradecimentos Agrade¸o ao meus orientadores Prof. Webe Jo˜o Mansur e Cleberson Dors, pelos c avaliosos conselhos e incont´veis aux´ a ılios na prepara¸ao deste trabalho. c˜ Agrade¸o aos pesquisadores Ilya Tsvankin, Vladimir Grechka, Pat F. Daley, Paul cJ. Fowler, Michael Slawinski e Alcides Aggio por disporem seus tempos com in´meras uexplica¸oes sobre anisotropia. c˜ Aos amigos do LAMEC, expresso minha gratid˜o pela companhia e discuss˜es. a oEspecialmente a Leandro Di Bartolo, Wilson Duarte, Viviane Ferreira, Israel Nunes, `Wilian Jeronimo, Edivaldo J´nior, Franciane Peters, Pablo Oyarz´n, Cid Monteiro, u uGilmar e Raphael. Obrigado a Ivone pela ajuda com os trˆmites burocr´ticos du- ` a arante o curso. Agrade¸o tamb´m ao Prof. Roberto Fernandes de Oliveira pelos excelentes cursos c eministrados e a Josias Silva pelo primeiro contato com a modelagem s´ ısmica. Obrigado a minha fam´ sem a qual n˜o chegaria at´ aqui, em especial a minha ılia, a em˜e pelos valores ensinados. Muito obrigado a Jos´ Ernesto Valete pelo incentivo e a eapoio. Minha sincera gratid˜o e meu muito obrigado a minha noiva Gabriela, pela a `cumplicidade e apoio durante toda minha vida acadˆmica. e Por fim, agrade¸o a CAPES pelo apoio financeiro prestado durante todo o curso. c v
    • Resumo da Disserta¸˜o apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos ca `necess´rios para a obten¸ao do grau de Mestre em Ciˆncias (M.Sc.) a c˜ e ´ ESTUDO SOBRE OPERADORES ACUSTICOS PARA MODELAGEM S´ ´ ISMICA ANISOTROPICA Elias da Concei¸ao c˜ Fevereiro/2011Orientadores: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson DorsPrograma: Engenharia Civil Neste trabalho, s˜o estudadas as equa¸˜es de ondas ac´sticas e pseudo-ac´stica a co u uem meios transversalmente isotr´picos com eixo de simetria vertical (VTI), desen- ovolvidas por Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] e Kl´ e Toro [3]. Destaca-se ıeque o estudo busca a compreens˜o sobre a natureza da propaga¸˜o das ondas e a cados fenˆmenos que as governam, tal como suas limita¸oes. A modelagem s´ o c˜ ısmica ´ eempregada com a finalidade de ilustrar os fenˆmenos presentes. Os tempos de trˆn- o asito s˜o comparados com os originados pela modelagem el´stica anisotr´pica para a a oavalia¸ao da precis˜o cinem´tica da equa¸˜o pseudo-ac´stica. c˜ a a ca u vi
    • Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of therequirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) STUDY ABOUT ACOUSTIC OPERATORS FOR SEISMIC ANISOTROPIC MODELING Elias da Concei¸ao c˜ February/2011Advisors: Webe Jo˜o Mansur a Cleberson DorsDepartment: Civil Engineering In this research, acoustic and pseudo-acoustic wave equations in vertical trans-verse isotropic media (VTI), developed by Tariq Alkhalifah [1], Zhang et al. [2] andKl´ and Toro [3] are studied. It is emphasized that the study seeks the understand- ıeing the nature of wave propagation, as well as the phenomena that control it, andits limitations. The seismic modeling is applied in order to illustrate present phe-nomena. The travel times are compared with those that come from elastic modelingto evaluate kinematic accuracy of pseudo-acoustic wave equation. vii
    • Sum´rio aLista de Figuras xiLista de Tabelas xiiiLista de Abreviaturas xiv1 Introdu¸˜o ca 1 1.1 Considera¸˜es preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1 1.2 Revis˜o bibliogr´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 3 1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Teoria da Elasticidade 6 2.1 Princ´ ıpios b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6 2.1.1 Deforma¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 6 2.1.2 Tens˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 7 2.1.3 Rela¸˜o constitutiva da elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . 10 ca 2.2 Nota¸ao de Voigt para o tensor de elasticidade . . . . . . . . . . . . . 11 c˜3 Anisotropia e Sistemas de simetria 13 3.1 Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Sistemas de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2.1 Grupo de simetria e transforma¸oes . . . . . . . . . . . . . . . 14 c˜4 Propaga¸˜o de ondas em meios el´sticos anisotr´picos ca a o 21 4.1 Equa¸˜o da onda el´stica para meios isotr´picos . . . . . . . . . . . . 21 ca a o 4.1.1 Ondas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Equa¸˜o da onda el´stica para meios anisotr´picos . . . . . . . . . . . 24 ca a o viii
    • 4.3 Equa¸˜o de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ca 4.4 Parˆmetros de Anisotropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a 4.4.1 Parˆmetros de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 a 4.4.2 Parˆmetro de Alkhalifah e Tsvankin . . . . . . . . . . . . . . 33 a5 Propaga¸˜o de ondas em meios ac´ sticos e pseudo-ac´ sticos aniso- ca u u tr´picos o 34 5.1 Aproxima¸˜es de velocidade e rela¸oes de dispers˜o para meios VTI . 34 co c˜ a 5.1.1 Aproxima¸ao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 c˜ 5.1.2 Aproxima¸ao de Thomsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 c˜ 5.1.3 Aproxima¸ao de Muir c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Equa¸˜o de onda pseudo-ac´stica e ac´stica anisotr´pica . . . . . . . 36 ca u u o 5.2.1 Equa¸ao Pseudo-Ac´stica Anisotr´pica . . . . . . . . . . . . . 37 c˜ u o 5.2.1.1 Formula¸ao de Alkhalifah . . . . . . . . . . . . . . . 37 c˜ 5.2.2 Equa¸oes Ac´sticas Anisotr´picas . . . . . . . . . . . . . . . . 38 c˜ u o 5.2.2.1 Formula¸ao de Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 c˜ 5.2.2.2 Formula¸ao de Kl´ e Toro . . . . . . . . . . . . . . . 39 c˜ ıe 5.3 An´lise das aproxima¸˜es de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 a co6 Modelagem num´rica para propaga¸˜o de ondas e ca 42 6.1 Discretiza¸˜o das Equa¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ca c˜ 6.1.1 Discretiza¸ao para a formula¸ao de Alkhalifah . . . . . . . . . 43 c˜ c˜ 6.1.2 Discretiza¸ao para as formula¸˜es de Zhang e Kl´ . . . . . . . 45 c˜ co ıe 6.1.3 Formula¸˜o el´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ca a 6.2 Condi¸˜es iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 co 6.2.1 Condi¸ao de Dirichlet e Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 50 c˜ 6.3 Condi¸˜o de estabilidade e dispers˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ca a 6.3.1 Estabilidade num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 e 6.3.2 Dispers˜o num´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 a e 6.4 Fonte S´ ısmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.5 Matriz de tempo de trˆnsito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 a7 Exemplos e Discuss˜es o 57 7.1 Formula¸ao El´stica e Pseudo-Ac´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 c˜ a u ix
    • 7.1.1 Meio Homogˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 e 7.1.2 Interfaces Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.1.3 Interface Inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.1.4 Modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.2 Formula¸ao Ac´stica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 c˜ u 7.2.1 Meio Homogˆneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 e8 Conclus˜es e Trabalhos Futuros o 85Referˆncias Bibliogr´ficas e a 87A Discretiza¸˜o pelo M´todo de Diferen¸as Finitas ca e c 95 A.1 Operadores de diferen¸as finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 cB Simetrias do tensor de elasticidade 99 x
    • Lista de Figuras 2.1 For¸as atuando sobre um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 8 2.2 Tens˜es distribu´ o ıdas em um cubo infinitesimal. . . . . . . . . . . . . . 9 3.1 Modelo VTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4.1 Polariza¸ao das ondas s´ c˜ ısmicas P e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.1 Compara¸˜o para as aproxima¸oes de velocidade de fase . . . . . . . 41 ca c˜ 6.1 Estˆncil de diferen¸as finitas o caso pseudo-ac´stico . . . . . . . . . . 44 e c u 6.2 Estˆncil de diferen¸as finitas para o caso ac´stico . . . . . . . . . . . 46 e c u 6.3 Malha intercalada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.4 M´todo da imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 e 6.5 Fun¸ao fonte e seu espectro de frequˆncias. . . . . . . . . . . . . . . . 55 c˜ e 7.1 Instantˆneos para o campo de press˜o em meio homogˆneo - Formu- a a e la¸ao Pseudo-Ac´stica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 c˜ u 7.2 Instantˆneos para o campo de tens˜o vertical (σzz ) em meio homogˆ- a a e neo - Formula¸˜o El´stica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ca a 7.3 Frentes de onda para as velocidades de fase e grupo . . . . . . . . . . 60 7.4 Mecanismo de forma¸ao da onda SV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 c˜ 7.5 Compara¸˜o das MTT’s para meio homogˆneo . . . . . . . . . . . . . 63 ca e 7.6 Compara¸˜o das MTT’s para formula¸ao el´stica e pseudo-ac´stica ca c˜ a u no meio homogˆneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 e 7.7 Modelo de velocidade e parˆmetros de anisotropia para interfaces pa- a ralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 xi
    • 7.8 Instantˆneos do campo de press˜o (Interfaces Paralelas - Primeira a a camada isotr´pica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 o7.9 Instantˆneos do campo de press˜o (Interfaces Paralelas - Primeira a a camada anisotr´pica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 o7.10 Sismogramas para modelo de interfaces paralelas . . . . . . . . . . . . 697.11 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade para interfaces paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.12 Compara¸ao das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Interfaces paralelas) 71 c˜ a u7.13 Modelo de velocidade e parˆmetros de anisotropia para interface in- a clinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.14 Instantˆneos do campo de press˜o (Interfaces Inclinada/Pseudo- a a Ac´stica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 u7.15 Modelos de velocidade da onda S vertical e densidade (Anticlinal) . . 757.16 Modelo anticlinal para velocidade V pz e parˆmetros de anisotropia . . 76 a7.17 Instantˆneos do campo de press˜o (Anticlinal/Pseudo-Ac´stica) . . . 78 a a u7.18 Instantˆneos do campo de tens˜o vertical (Anticlinal/El´stica) . . . . 79 a a a7.19 Sismogramas para modelo Anticlinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.20 Compara¸ao das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Anticlinal) . . . . 81 c˜ a u7.21 Instantˆneos para o campo de press˜o em meio anisotr´pico homogˆ- a a o e neo - Formula¸˜o Ac´stica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 ca u7.22 Frentes de onda para a velocidade grupo - Aproxima¸ao de Thomsen c˜ e Muir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.1 Discretiza¸ao pelo M´todo das Diferen¸as Finitas (MDF) . . . . . . . 98 c˜ e c xii
    • Lista de Tabelas 7.1 Parˆmetros utilizados na modelagem (Meio Homogˆneo) . . . . . . . 58 a e 7.2 Parˆmetros utilizados na modelagem (Interfaces Paralelas) . . . . . . 65 a 7.3 Parˆmetros utilizados na modelagem (Interface Inclinada) . . . . . . 72 a 7.4 Parˆmetros utilizados na modelagem (Anticlinal) . . . . . . . . . . . 77 a xiii
    • Lista de Abreviaturas CCNR Condi¸oes de contorno n˜o reflexivas, p. 49 c˜ a CFL Courant-Friedrichs-Lewy, p. 52 MDF M´todo das Diferen¸as Finitas, p. 1 e c MEF M´todo dos Elementos Finitos, p. 1 e MTT Matriz de tempo de trˆnsito, p. 56 a MVF M´todo dos Volumes Finitos, p. 2 e SH Onda S (cisalhante) com polariza¸ao horizontal, p. 24 c˜ SV Onda S (cisalhante) com polariza¸ao vertical, p. 24 c˜ TI Transversalmente Isotr´pica, p. 3 o TTI Tilted Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de simetria qualquer), p. 3 VTI Vertical Tranverse Isotropic (Anisotropia TI com eixo de sime- tria vertical), p. 3 AVO Amplitude versus offset (afastamento), p. 3 xiv
    • Cap´ ıtulo 1Introdu¸˜o ca1.1 Considera¸˜es preliminares co Atualmente na ´rea de Petr´leo e G´s a procura por novas reservas de hidro- a o acarbonetos em areas antes nunca exploradas, particularmente em aguas ultra - pro- ´ ´fundas, requer um alto ´ ındice de investimento em novas metodologias por parte dasempresas de explora¸ao, tendo em vista a alta complexidade geol´gica envolvida e c˜ oa presen¸a de fortes barreiras, como domos salinos, que dificultam a passagem das condas s´ ısmicas. O desenvolvimento de t´cnicas computacionais mais robustas e eficientes, pode eauxiliar no desafio de contornar as dificuldades inerentes ` profundidade de explora- a¸ao e a complexidade geol´gica da subsuperf´c˜ ` o ıcie, permitindo assim simular a presen¸a cde reservas cada vez mais delgadas e irregulares. Nesse contexto, a Modelagem S´ ısmica ´ uma linha de pesquisa importante para a eexplora¸ao de petr´leo. Por meio da modelagem, ´ poss´ estimar o comportamento c˜ o e ıvele as caracter´ ısticas das ondas em subsuperf´ ıcie, sendo util tanto para a compreens˜o ´ ado fenˆmeno da propaga¸ao das ondas, como ferramenta auxiliar nos processos de o c˜imageamento. Existem formula¸oes diversas para realizar a modelagem s´ c˜ ısmica [4],sendo relevantes no contexto deste trabalho os m´todos baseados na equa¸ao da e c˜onda no dom´ ınio do tempo, seja el´stica ou ac´stica. a u Na modelagem os m´todos num´ricos desempenham um papel de destaque, onde e eos mais empregados para modelar ondas s´ ısmicas s˜o: M´todo das Diferen¸as Finitas a e c(MDF), M´todo dos Elementos Finitos (MEF), M´todo dos Volumes Finitos (MVF) e e 1
    • e M´todo Pseudo-Espectral [4]. e Para a modelagem fornecer resultados precisos o modelo f´ ısico, que descreveo meio geol´gico a ser explorado, deve ser o mais realista poss´ o ıvel. Dessa forma,explorar modelos que contemplem a anisotropia, isto ´, a varia¸ao das propriedades e c˜do meio com a dire¸ao [5], [6], [7], torna-se importante tendo em vista o atual cen´rio c˜ ada explora¸˜o brasileira que contempla novos horizontes ainda desconhecidos e cada cavez mais complexos. A anisotropia passou a ter um impacto significativo na ind´stria de explora¸ao u c˜nos ultimos trinta anos, devido a novas metodologias de aquisi¸ao de dados que ´ c˜contemplam os efeitos anisotr´picos, e principalmente a evolu¸ao computacional o c˜que passou a permitir o uso de algoritmos mais precisos, revelando falhas no modeloisotr´pico [8]. o Embora a anisotropia tenha sido aplicada na area de explora¸ao de hidrocar- ´ c˜bonetos nas ultimas trˆs d´cadas, seu estudo remonta desde o s´culo XIX, quando ´ e e efoi iniciado por reconhecidos F´ ısicos e Matem´ticos, como Augustin Louis Cauchy, aAugustin-Jean Fresnel, Lord Kelvin e George Green [8]. Green foi o primeiro ausar a energia de deforma¸˜o e propor que poderiam haver 21 constantes el´sticas ca a[9]; Lord Kelvin foi o primeiro a formular a equa¸ao da onda el´stica para meios c˜ aanisotr´picos [8]. o Na Geof´ ısica, as pesquisas aplicadas ao tema iniciaram-se no final do s´culo XIX ee in´ do XX com os trabalhos pioneiros de Maurice Rudzki [10],[11]. No artigo de ıcioHelbig et al. [8] h´ um fragmento do trabalho de Rudzki [10] de 1897 que diz: a “If we have said that rocks must be treated as homogenous media, we did not mean to imply that these media would be isotropic. Many rocks can, of course, be regarded as isotropic, but in layered rocks one observes often an orientation of the grains — one should think of the orientation of mica flakes in gneiss and — moreover the structure of layered me- dia is generally different parallel and perpendicular to the layers. The dependence of the physical properties is shown by the well-known fact that the conductivity of heat in layered media is different in directions perpendicular and parallel to the layers. We have still another reason to regard some rocks as anisotropic media. Rocks, in particular those at 2
    • greater depth, are subject to large, and by far not always uniform iso- tropic pressure. But it is known that an isotropic body under uniaxial pressure can and will behave as a birefringent one ”. Dessa forma, Rudzki previa que rochas poderiam apresentar natureza aniso-tr´pica, fato atualmente conhecido. Por essa raz˜o determinados meios geol´gicos o a opassaram a ser tratados como tal. Diversas classes de anisotropia s˜o encontradas na natureza, como: monocl´ a ınica,ortotr´pica ou ortorrˆmbica, tetragonal, trigonal, c´bica e transversa isotr´pica ou o o u otransversalmente isotr´pica (TI) [12], sendo a transversa isotr´pica e a ortorrˆmbica o o oas mais aplicadas em s´ ısmica de explora¸˜o. ca Muitas forma¸oes geol´gicas s˜o TI, como as forma¸oes de xisto, que s˜o dispos- c˜ o a c˜ atas em camadas horizontais e causam anisotropia do tipo VTI (Vertical TranverseIsotropic), isto ´, anisotropia TI com eixo de simetria vertical. Na hip´tese em que e oo eixo de simetria est´ disposto em qualquer dire¸˜o, a anisotropia ´ dita ser TTI a ca e(Tilted Tranverse Isotropic).1.2 Revis˜o bibliogr´fica a a Atualmente o tema anisotropia cresceu consideravelmente na area de modelagem ´s´ ısmica. Um dos primeiros trabalhos encontrados na area de modelagem s´ ´ ısmicaanisotr´pica pertence a Peter Mora, que em 1989 desenvolveu um algoritmo baseado oem Diferen¸as Finitas em 3D para meios heterogˆneos com 21 coeficientes el´sticos c e a[13]. Posteriormente Igel et al. [14] desenvolveram operadores de diferen¸as finitas cpara meios com simetria qualquer, utilizando grid intercalado e interpola¸ao dos c˜tensores de tens˜o e deforma¸˜o. No entanto a estrat´gia introduzida por estes a ca eautores causa erros nas velocidades de fase e grupo das ondas, os quais dependemda interpola¸ao e do grau de anisotropia utilizado. c˜ Na linha de modelagem el´stica para meios TI, Tsingas et al. [15] formularam aoperadores para meios VTI, utilizando o esquema de MacCormack [16], esquema estederivado das equa¸oes de Lax-Wendroff [17], podendo ser aplicado para an´lises de c˜ aAVO (Amplitude versus offset). Faria e Stoffa [18] desenvolveram operadores parameios VTI baseados no trabalho de Levander para meios isotr´picos [19], sendo o 3
    • que os operadores apresentados mostraram-se mais est´veis em rela¸ao aos m´todos a c˜ ecl´ssicos de Diferen¸as Finitas at´ ent˜o adotados. a c e a Apesar da anisotropia ser classicamente um comportamento exibido por s´lidos, oem alguns tipos de aplica¸˜es geof´ co ısicas pode-se negligenciar as ondas cisalhantes.Nestes casos pode ser mais adequado adotar formula¸˜es que simulem apenas a pro- copaga¸ao da onda qP (quasi-P) no meio anisotr´pico, para buscar principalmente a c˜ oredu¸ao do custo computacional e a gera¸ao de imagens em profundidade relaciona- c˜ c˜das somente ao modo de onda P. Neste sentido, Tariq Alkhalifah [1] desenvolveu uma formula¸ao para meios ac´s- c˜ uticos anisotr´picos (i.e., somente onda qP) com simetria VTI, a partir de um trabalho oanterior, onde obteve a rela¸ao de dispers˜o para meios transversos isotr´picos [20]. c˜ a oA formula¸ao consiste em um sistema de equa¸oes diferenciais de quarta ordem aco- c˜ c˜pladas no espa¸o, tendo como parˆmetros a velocidade de normal moveout (V pn )1 , e c aos parˆmetros de anisotropia de Thomsen [21]. a Dando continuidade ao trabalho de Tariq, Kl´ e Toro [3] desenvolveram uma ıeequa¸ao semelhante, onde no entanto o sistema de equa¸˜es diferenciais possue de- c˜ corivadas acopladas no espa¸o e tempo, tornando o processo de resolu¸ao complicado c c˜e com maior custo computacional. Posteriormente foram realizadas extens˜es da oequa¸ao de Tariq para meios TTI, entre as quais destacam-se as de Zhang et. al [2] c˜e Zhou et al. [22]. Devido a equa¸˜o de Alkhalifah apresentar derivadas acopladas, tornando o pro- cacesso de discretiza¸ao extenso, diversos autores propuseram formula¸oes equivalentes c˜ c˜com a finalidade de eliminar o acoplamento das derivadas, entre os quais merecemdestaque, Zhou et al. [23], Zhang e Zhang [24], Du et al. [25] e Duveneck et al. [26].No trabalho de Fowler et al. [27], ´ encontrada uma compila¸˜o sobre as diferentes e caaproxima¸˜es para o desacoplamento das derivadas, al´m das vantagens computa- co ecionais para cada uma destas diferentes formula¸oes. Empregando a equa¸ao de c˜ c˜Alkhalifah, diversos algoritmos de migra¸ao foram implementados, entre eles Zhang c˜e Zhang [24], destacando-se aqueles de Bale et al. [28], Du et al. [29] e Fletcher etal. [30]. 1 Velocidade da onda obtida a partir do tempo de normal moveout, o qual ´ dado pela diferen¸a e centre o tempo de percurso (t x ) para uma distˆncia espec´ a ıfica fonte-receptor e o tempo (t0 ) para adistˆncia nula fonte-receptor. a 4
    • 1.3 Objetivos e Estrutura do trabalho O enfoque deste trabalho reside no estudo da natureza das equa¸oes ac´sticas c˜ uanisotr´picas para meios transversos isotr´picos com eixo de simetria vertical (VTI) o odesenvolvidas por H´ctor Kl´ Linbin Zhang e Tariq Alkhalifah. Compreender os e ıe,fenˆmenos presentes nas equa¸oes ac´sticas anisotr´picas, suas limita¸oes e dificul- o c˜ u o c˜dades inerentes ser´ o enfoque principal do trabalho. A modelagem s´ a ısmica ser´ aempregada como ferramenta de an´lise das equa¸oes de ondas envolvidas, onde a a c˜partir da mesma os tempos de trˆnsito ser˜o avaliados utilizando como parˆmetro a a ade compara¸ao os tempos originados pela modelagem el´stica anisotr´pica. c˜ a o A estrutura do trabalho est´ dividida em oito cap´ a ıtulos: no cap´ ıtulo 2, ´ realizada euma breve revis˜o sobre os principais conceitos da teoria de elasticidade. S˜o apre- a asentados os tensores de tens˜o, deforma¸˜o e a rela¸˜o constitutiva da elasticidade, a ca caconceitos importantes para a dedu¸ao da equa¸˜o el´stica da onda. c˜ ca a No cap´ ıtulo 3 introduz-se o conceito de anisotropia, onde as diferentes classifica-¸oes para cada tipo de anisotropia e as diversas varia¸oes do tensor de elasticidadec˜ c˜em fun¸˜o das classes de simetria ser˜o abordadas. ca a No cap´ ıtulo 4, as equa¸˜es de onda el´stica em meios isotr´picos e anisotr´picos co a o os˜o apresentadas, tal como as rela¸˜es de velocidades anal´ a co ıticas para o meio trans-verso isotr´pico. Os diferentes parˆmetros para caracteriza¸ao da anisotropia s˜o o a c˜ adetalhados como fun¸ao das propriedades do meio. c˜ No cap´ ıtulo 5, ser˜o vistas as aproxima¸oes de fase para velocidades de onda P, a c˜as rela¸oes de dispers˜o, e as equa¸oes ac´sticas anisotr´picas derivadas a partir de c˜ a c˜ u ocada rela¸ao de velocidade apresentada. c˜ No cap´ ıtulo 6, ´ descrito todo o tratamento num´rico para a resolu¸ao das equa- e e c˜¸oes el´sticas e ac´sticas.c˜ a u No cap´ ıtulo 7, est˜o os exemplos empregados para an´lise das equa¸oes, as dis- a a c˜cuss˜es a respeito dos resultados, e as respectivas pondera¸˜es. o co Por fim, no cap´ ıtulo 8 constam as conclus˜es, bem como os trabalhos futuros. o 5
    • Cap´ ıtulo 2Teoria da Elasticidade2.1 Princ´ ıpios b´sicos a A teoria da elasticidade ´ o alicerce para a compreens˜o dos fenˆmenos que e a oenvolvem a propaga¸˜o de ondas el´sticas. Neste cap´ ca a ıtulo ser˜o introduzidos alguns aprinc´ ıpios b´sicos sobre elasticidade. As se¸˜es que seguem est˜o baseadas em Lay a co ae Wallace [31], Landau et al. [32] e Slawinski [33].2.1.1 Deforma¸˜o ca Quando corpos est˜o sujeitos a for¸as eles sofrem deforma¸ao, isto ´, a distˆncia a ` c c˜ e aentre dois pontos quaisquer do corpo ´ alterada devido a a¸ao de tens˜es. Desde que e c˜ oessas deforma¸oes sejam infinitesimais, elas podem ser caracterizadas pelo tensor de c˜segunda ordem: 1 ∂ui ∂u j εi j = + , i, j = 1, 2, 3 = x, y, z, (2.1) 2 ∂x j ∂xionde u = u(r) ´ o vetor deslocamento com componentes (u x , uy , uz ). e Dado tensor ´ conhecido como Tensor de deforma¸˜es infinitesimais, sendo sua e coforma matricial dada por:    ε11 ε12 ε13          εi j =  ε21 ε22 ε23 .                 ε31 ε32 ε33     6
    • As deforma¸oes com i c˜ j em (2.1) s˜o chamadas de deforma¸˜es angulares a coou cisalhantes, e com i = j, deforma¸oes normais. As deforma¸oes normais est˜o c˜ c˜ arelacionadas a varia¸˜es de volume, sendo compressional a deforma¸ao negativa e ` co c˜dilatacional a positiva, enquanto as deforma¸oes angulares est˜o associadas ao cisa- c˜ alhamento. Uma importante caracter´ ıstica do tensor de deforma¸ao infinitesimal ´ c˜ esua simetria, expressa por: εi j = ε ji . (2.2) O tra¸o do tensor de deforma¸ao ´ chamado de dilata¸˜o c´bica (Θ), ou seja, c c˜ e ca u 3 3 ∂ui Θ= εii = = ·u (2.3) i=1 i=1 ∂xi onde a equa¸ao (2.3) corresponde a uma mudan¸a fracional no volume do corpo, c˜ cexpressa por: ∆V V1 − V0 = =Θ (2.4) V0 V0sendo,V0 = Volume Inicial;V1 = Volume Final.2.1.2 Tens˜o a Quando h´ for¸as atuando sobre um s´lido, cada ponto do mesmo ´ afetado, a c o ecriando um campo de deforma¸oes associado as tens˜es aplicadas em cada ponto do c˜ ocorpo. Existem basicamente dois tipos de for¸as externas, as for¸as de volume e as c cfor¸as de superf´ c ıcie. Como exemplo de for¸a de volume pode-se citar a for¸a peso, c cP = mg (ou simplesmente peso), onde a massa m = m(ρ,v) ´ fun¸ao da densidade e e c˜volume do material, e como for¸as de superf´ c ıcie, a for¸a de atrito e a for¸a normal. c c Para compreender e definir o conceito de tens˜o, imagina-se inicialmente um acorpo em equil´ ınio Ω e contorno Γ , sujeito a um conjunto de for¸as ıbrio, com dom´ cexternas, conforme apresentado na figura (2.1(a)). Uma vez que o referido corpo est´ aem equil´ ıbrio, ao se realizar um corte imagin´rio no mesmo, passando pelo ponto a 7
    • Q, conforme ilustrado na figura (2.1(b)), encontrar-se-˜o for¸as internas chamadas a ctens˜es, respons´veis pelo equil´ o a ıbrio local. (a) For¸as externas atuando sobre um corpo c (b) For¸as externas e corte transversal paralelo ao plano x2 x3 c no ponto Q. Figura 2.1: For¸as atuando sobre um corpo c Considerando a ´rea hachurada da figura (2.1(b)) constitu´ de elementos infi- a ıdanitesimais de area ∆S , sobre os quais atuam tamb´m for¸as internas infinitesimais ´ e c∆F no ponto Q, sendo n o vetor normal a superf´ ˆ ıcie. Pode-se definir o vetor detens˜o de Cauchy como, a ∆F T (k) = lim (2.5) ∆S →0 ∆S ındice k, especifica o elemento de superf´ ∆S sobre o qual o vetor de tens˜oonde, o ´ ıcie aest´ atuando. a Com isto as tens˜es na face x1 , s˜o definidas como: o a ∆F1 ∆F2 ∆F3 σ11 = lim , σ12 = lim , σ13 = lim (2.6) ∆S 1 →0 ∆S 1 ∆S 2 →0 ∆S 2 ∆S 3 →0 ∆S 3onde, 8
    • ∆S 1 = ∆S · x1 , ∆S 2 = ∆S · x2 , ∆S 2 = ∆S · x3 . ˆ ˆ ˆsendo, x1 , x1 e x1 , vetores unit´rios para as dire¸˜es x1 , x2 e x3 respectivamente. ˆ ˆ ˆ a co Procedendo-se analogamente para as se¸˜es nas faces x2 e x3 , o vetor de tens˜es co ofica definido como: 3 Ti = σ ji n j , i ∈ {1, 2, 3}. (2.7) j=1onde:    σ11 σ12 σ13          σi j =  σ21 σ22 σ23 .                 σ31 σ32 σ33    com os elementos diagonais correspondendo as tens˜es normais, e os demais as ten- o `s˜es cisalhantes. A figura (2.2) apresenta as distribui¸˜es de tens˜es em um cubo o co oinfinitesimal. Figura 2.2: Tens˜es distribu´ o ıdas em um cubo infinitesimal. Para o caso ac´stico, onde as tens˜es cisalhantes n˜o est˜o presentes, a matriz u o a ade tens˜es assume a forma: o    −P 0   0        σi j =  0 −P 0 , P = −σ11 = −σ22 = −σ33                   0 0 −P   9
    • sendo P a press˜o, definida como o negativo da tens˜o normal (Lei de Pascal). a a Atrav´s da aplica¸ao da condi¸ao de equil´ e c˜ c˜ ıbrio do momento angular ([32], [33])no cubo da figura (2.2) demonstra-se a rela¸˜o de simetria, ca σi j = σ ji . (2.8) Como consequˆncia o n´mero de termos independentes relacionado ao tensor de e utens˜es ´ reduzido a seis, de forma similar ao que ocorre com o tensor de deforma¸˜o o e ` ca(2.2).2.1.3 Rela¸˜o constitutiva da elasticidade ca A rela¸ao constitutiva fornece a rela¸ao entre tens˜o e deforma¸ao, espec´ c˜ c˜ a c˜ ıficapara um dado meio. Segundo Slawinski [33], tal rela¸˜o n˜o decorre de qualquer ca aprinc´ ıpio f´ ısico fundamental, no entanto n˜o contraria nenhum outro. a No caso da elasticidade, a rela¸ao constitutiva, tamb´m chamada de Lei de Hooke c˜ egeneralizada, ´ expressa como: e 3 3 σi j = Ci jkl εkl (2.9) k=1 l=1onde Ci jkl ´ um tensor de 4a ordem, chamado de m´dulo el´stico ou tensor de elasti- e o acidade, que define as propriedades materiais do meio. Em um espa¸o tridimensional c ıpio 34 = 81 componentes. Por´m, devido aso tensor de elasticidade tem a princ´ esimetrias dos tensores de tens˜o e deforma¸˜o anteriormente descritas, o n´mero de a ca uconstantes independentes se reduz a 36. A interpreta¸˜o f´ ca ısica do tensor de elas-ticidade pode ser entendida como o n´mero de dire¸˜es necess´rias para mensurar u co aalguma propriedade do material [33]. 10
    • 2.2 Nota¸˜o de Voigt para o tensor de elastici- ca dade Pelo fato do tensor de elasticidade ser de 4a ordem, sua representa¸ao ´ de dif´ c˜ e ıcil 1visualiza¸˜o. No entanto a nota¸ao de Voigt ca c˜ explora a simetria dos tensores,transformando tensores de 2a ordem em vetores e tensores de 4a ordem em matrizes ´quadradas. E importante notar que apesar da nota¸ao permitir esse intercˆmbio, c˜ amatrizes e tensores s˜o entidades diferentes. a Escrevendo ent˜o o tensor de elasticidade Ci jkl como uma matriz Cmn de dimens˜o a a6x6, considerando os pares (i, j) e (k, l) (com i ≤ j e k ≤ l), atrav´s da nota¸ao de e c˜Voigt, m = iδi j + (9 − i − j)(1 − δi j ) (2.10) n = kδkl + (9 − k − l)(1 − δkl )onde δmn ´ o delta de Kronecker, ou seja, e   0, se m n  δmn =    1, se m = n  obtem-se a seguinte matriz:       C11 C12 C13 C14 C15 C16           C21 C22 C23 C24 C25 C26                 C31 C32 C33 C34 C35 C36     C= .           (2.11) C41 C42 C43 C44 C45 C46                 C51 C52 C53 C54 C55 C56                  C61 C62 C63 C64 C65 C66 Entretanto, de acordo com (B.8), vide Apˆndice (B), Cmn = Cnm , logo (2.11) e 1 Woldemar Voigt - F´ ısico alem˜o, em 1887 foi um dos primeiros a formular as transforma¸˜es a code coordenadas entre sistemas de referˆncia em repouso e em movimento e 11
    • assume a seguinte forma:       C11 C12 C13 C14 C15 C16           C12 C22 C23 C24 C25 C26                 C13 C23 C33 C34 C35 C36     C= .           (2.12) C14 C24 C34 C44 C45 C46                 C15 C25 C35 C45 C55 C56                  C16 C26 C36 C46 C56 C66 Por fim reescrevendo a equa¸˜o (2.9) matricialmente tem-se: ca σ = Cε. (2.13)ou,          σ11         C11 C12 C13 C14 C15 C16      ε11               σ22   ε22       C12 C22 C23 C24 C25 C26                                    σ33   ε33     C13 C23 C33 C34 C35 C36              =              .     (2.14) σ23        C14 C24 C34 C44 C45 C46   2ε23                                 σ13        C15 C25 C35 C45 C55 C56   2ε13                                 σ12         C16 C26 C36 C46 C56 C66   2ε12 onde o fator 2, presente em ε23 , ε13 e ε12 resulta da simetria do tensor de deforma¸ao, c˜para k l. Essa nota¸˜o ´ conveniente para explorar as diferentes formas da matriz ca e(2.12) sob transforma¸˜es que a deixam invariante, ou seja, cada grupo de simetria coda matriz (2.9) leva-a a formas distintas, essas formas caracterizam os diferentestipos de anisotropia. 12
    • Cap´ ıtulo 3Anisotropia e Sistemas de simetria3.1 Anisotropia A anisotropia representa a dependˆncia de uma determinada propriedade com a edire¸ao de medi¸˜o da mesma; no caso da sismologia de explora¸ao, com a velocidade c˜ ca c˜das ondas s´ ısmicas. O fato de determinados meios apresentarem anisotropia est´ relacionado `s suas a acomposi¸oes minerais e varia¸oes de temperatura [34], [35]. De acordo com Tsvankin c˜ c˜[6], anisotropia e heterogeneidade dependem da escala, isto ´, um mesmo meio pode eser heterogˆneo e isotr´pico para pequenos comprimentos de onda ou heterogˆno e o eanisotr´pico para comprimentos de onda maiores. Por exemplo, meios dispostos em ofinas camadas podem causar anisotropia TI, para comprimentos de onda maiores quea espessura da camada. Tal tipo de anisotropia ´ comum em bacias sedimentares ecaracterizadas por um eixo de simetria vertical (VTI), figura (3.1). Segundo Thomsen [21], a anisotropia em sequˆncias sedimentares, ´ causada e epelos seguintes fatores: • Anisotropia intr´ ınseca devido ` orienta¸ao dos gr˜os minerais; a c˜ a • Finas camadas isotr´picas, desde que o comprimento de onda seja maior que o a espessura da camada; • Fraturas verticais ou inclinadas. Uma das consequˆncias da anisotropia na modelagem s´ e ısmica reside no tempode propaga¸˜o das ondas, tendo influˆncia direta no imageamento s´ ca e ısmico, ou seja, 13
    • Figura 3.1: Modelo VTI, possui o eixo vertical como eixo sim´trico por rota¸ao. e c˜a anisotropia causa varia¸oes no posicionamento dos refletores em sub-superf´ c˜ ıcieem rela¸˜o ao caso isotr´pico. Por essa raz˜o o estudo da anisotropia na ´rea de ca o a asismologia de explora¸ao possui relevˆncia consider´vel. c˜ a a3.2 Sistemas de simetria As rela¸˜es que se seguem, tal como as descri¸˜es f´ co co ısicas presentes nesta se¸ao, c˜est˜o baseadas em [12] e [33]. a Alguns meios geol´gicos possuem simetria material, ou seja, medindo-se a ve- olocidade da onda nos mesmos, em diversas orienta¸oes de um dado sistema de co- c˜ordenadas, a velocidade ter´ a mesma magnitude. Com sistemas de coordenadas aapropriados, a verifica¸ao das simetrias de um meio ´ feita atrav´s do tensor de c˜ e eelasticidade (2.11).3.2.1 Grupo de simetria e transforma¸˜es co Para expressar a matriz de elasticidade (2.12) para diferentes tipos de anisotropia,´ necess´rio adotar um sistema de coordenadas apropriado que permita reconhecere aas simetrias do meio, isto ´, ´ preciso um grupo de simetria que deixe invariante a e ematriz (2.12) sob uma transforma¸˜o. Um grupo capaz de efetuar tal opera¸ao ´ o ca c˜ egrupo O(n) denotado por: O(n) := { A ∈ Mat (R, n), A−1 = AT }. 14
    • onde Mat(R, n) ´ o conjunto de todas as matrizes reais n x n, e O( n) ´ o grupo das e ematrizes ortogonais n x n. Basicamente o interesse sobre O( n) se restringe a doistipos de matrizes do grupo, rota¸˜es e reflex˜es, as quais introduzem as transforma- co o¸oes ortogonais necess´rias para o estudo dos diferentes tipos de anisotropia.c˜ aDefini¸˜o 3.2.1 O conjunto de transforma¸˜es ortogonais dadas pela matriz A, o ca coqual deixa as propriedades el´sticas do meio invariantes, ´ chamado de grupo de a esimetria do meio. De acordo com a teoria de grupo, se determinada matriz ´ invariante sob uma etransforma¸ao ortogonal dada pelas matrizes A1 , A2 , ela tamb´m ser´ invariante sob c˜ e ao produto A1 A2 . Al´m disso se uma matriz ´ invariante sob A, sob A−1 tamb´m o e e eser´ [33]. a A transforma¸ao utilizada em (2.12) a fim de encontrar as diferentes classes de c˜simetria, ´ do tipo: e C = MT CMA . A (3.1) A matriz de elasticidade ´ invariante sob a transforma¸˜o (3.1), dada pela matriz e caMA , chamada de matriz de Bond. Tal matriz ´ obtida atrav´s de transforma¸oes e e c˜ortogonais sob os tensores de tens˜o e deforma¸ao1 .Dessa forma a equa¸ao (3.1) a c˜ c˜imp˜e uma condi¸ao para encontrar as simetrias materiais da matriz de elasticidade. o c˜A matriz de Bond ´ escrita como: e    A2  A2 A2 A12 A13 A11 A13 A11 A12      11 12 13         A2   A2 A2 A22 A23 A21 A23 A21 A22       21 22 23         A2  A2 A2 A32 A33 A31 A33 A31 A32  MA =  31 32 33 .          2A21 A31 2A22 A32 2A23 A33 A22 A33 + A23 A32 A21 A33 + A23 A31 A21 A32 + A22 A31                 2A11 A31 2A12 A32 2A13 A33 A12 A33 + A13 A32 A11 A33 + A13 A31 A11 A32 + A12 A31                11 21 2A12 A22 2A13 A23 A12 A23 + A13 A22 A11 A23 + A13 A21 A11 A22 + A12 A21   2A A   (3.2) Os termos Ai j s˜o as entradas das matrizes de rota¸ao, reflex˜o ou ambas multi- a c˜ aplicadas, uma vez que a matriz continua invariante em rela¸ao a multiplica¸ao. c˜ c˜ 1 Maiores detalhes sobre como encontrar a matriz MA , ver [33] 15
    • Cada sistema de simetria descrito pelo tensor de elasticidade caracteriza umtipo de anisotropia do meio geol´gico, com um n´mero de coeficientes el´sticos o u aindependentes, que variam de acordo com o grau de simetria. A seguir ser˜o descri- atos alguns sistemas de simetria de importante aplica¸ao na sismologia de explora¸˜o. c˜ ca 1. Simetria de Ponto A simetria de ponto ´ um sistema pertencente a todo meio, e consiste de uma e reflex˜o em torno da origem do sistema de coordenadas, ou seja, a matriz A ´ a e da forma:    −1 0 0            A-I :=  0 −1 0    = −I.     (3.3)           0 0 −1   Utilizando as entradas de (3.3) em (3.2), a matriz torna-se:       1 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0                 0 0 1 0 0 0     =  = I.     MA−I       (3.4) 0 0 0 1 0 0                 0 0 0 0 1 0                  0 0 0 0 0 1  Logo a equa¸ao (3.1) pode ser reescrita como: c˜ C = IT CI. A qual ´ satisfeita identicamente para todo C. Portanto a simetria de ponto e pertence ao grupo de simetria de qualquer meio. 16
    • 2. Meio Tricl´ ınico       C11 C12 C13 C14 C15 C16           C12 C22 C23 C24 C25 C26                 C13 C23 C33 C34 C35 C36     = .     Ctrc       (3.5) C14 C24 C34 C44 C45 C46                 C15 C25 C35 C45 C55 C56                  C16 C26 C36 C46 C56 C66  O modelo anisotr´pico mais geral possui 21 coeficientes independentes. Esse o grande n´mero inviabiliza a sua aplica¸ao em sismologia; a unica simetria u c˜ ´ exibida ´ a simetria de ponto. e3. Meio Monocl´ ınico Possui uma reflex˜o sobre o plano como grupo de simetria, escolhendo a matriz a A de forma que a reflex˜o seja sobre o plano x1 x2 , ou seja , ao longo do eixo a x3 ,    1 0 0          A3 =  0 1 0 .             (3.6)       0 0 −1   Expressando (3.2),       1 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0                 0 0 1 0 0 0     = .     MA3       (3.7) 0 0 0 −1 0 0                 0 0 0 0 −1 0                  0 0 0 0 0 1  17
    • Logo a transforma¸ao (3.1) requer, c˜         C11 C12 C13 C14 C15 C16         C11 C12 C13 −C14 −C15 C16                C12 C22 C23 C24 C25 C26   C12 C22 C23 −C24 −C25 C26                               C13 C23 C33 C34 C35 C36   C13 C23 C33 −C34 −C35 C36            =         .         C14 C24 C34 C44 C45 C46   −C14 C24 −C34 C44 C45 −C46                               C15 C25 C35 C45 C55 C56   −C15 C25 −C35 C45 C55 −C56                                C16 C26 C36 C46 C56 C66   C16 C26 C36 −C46 −C56 C66  A igualdade acima implica que, C14 = C15 = C24 = C25 = C34 = C35 = C46 = C56 = 0. (3.8) . Ent˜o a matriz de elasticidade que possui uma reflex˜o ao longo do eixo x3 ´ a a e dada por:       C11 C12 C13 0 0 C16           C12 C22 C23 0 0 C26                 C13 C23 C33 0 0 C36     = .     Cmono3       (3.9) 0 0 0 C44 C45 0                 0 0 0 C45 C55 0                  C16 C26 C36 0 0 C66 4. Meio Ortorrˆmbico ou Ortotr´pico o o Caracterizado por dois planos de simetria ortogonais entre si, resultando em 9 constantes independentes. Considerando reflex˜es ao longo dos eixos x1 e x3 , o tem-se que:    1 0 0          A1 A3 A-I =   0 −1 0  .            (3.10)       0 0 1   Como A-I pertence ao grupo de simetria de qualquer meio, ela tamb´m foi con- e siderada. Portanto para obter a matriz de elasticidade do meio ortorrˆmbico o 18
    • empregam-se as rela¸˜es obtidas para o meio monocl´ co ınico. Assim aplicando a transforma¸ao (3.1) encontra-se a seguinte rela¸ao: c˜ c˜ C16 = C26 = C36 = C45 = 0. (3.11) Combinando as rela¸˜es (3.8) e (3.11), a matriz ortorrˆmbica ´ escrita como, co o e       C11 C12 C13 0 0 0          C12 C22 C23 0 0 0                 C13 C23 C33 0 0 0     = .     Corto       (3.12) 0 0 0 C44 0 0                 0 0 0 0 C55 0                  0 0 0 0 0 C66 5. Meio Transversalmente Isotr´pico (TI) o Conhecido tamb´m por meio Hexagonal, ´ de extensa aplica¸˜o nos estudos e e ca de anisotropia s´ ısmica, tˆm como caracter´ e ıstica um eixo sim´trico sob rota¸˜o e ca para um dado angulo θ. ˆ Desta forma, considerando uma matriz de rota¸˜o sobre o eixo x3 , tal que o ca angulo θ < π , por exemplo θ = ˆ 2 2π 5 , tem-se:    cos 2π sen 2π 0       5 5    Ax3 ( 2π ) =  − sen 5 cos 5 0  .   2π 2π   5         (3.13)       0 0 1   Novamente de acordo com (3.1) a matriz de elasticidade ´ dada por, e       C11 C11 − 2C66 C13 0 0 0            C11 − 2C66    C11 C13 0 0 0             C13 C13 C33 0 0 0     = .     CVTI       (3.14) 0 0 0 C55 0 0                 0 0 0 0 C55 0                  0 0 0 0 0 C66  19
    • Por possuir o eixo de simetria vertical esse tipo de anisotropia transversa ´ e conhecida como VTI (Vertical Transverse Isotropic).6. Meio Isotr´pico o Um caso particular de anisotropia, onde todos os planos s˜o de simetria, ´ a e dito ser isotr´pico. Neste caso como todos os planos s˜o sim´tricos entre si, a o a e velocidade apresenta a mesma magnitude em todas as dire¸˜es. Desta forma co a matriz de elasticidade se resume a: `       C11 C11 − 2C55 C11 − 2C55 0 0 0            C11 − 2C55    C11 C11 − 2C55 0 0 0             C11 − 2C55 C11 − 2C55  C11 0 0 0    = .     CISO       (3.15) 0 0 0 C55 0 0                 0 0 0 0 C55 0                  0 0 0 0 0 C55  λ = C11 − 2C55 (3.16) µ = C55 onde λ e µ s˜o os coeficientes de Lam´, seus significados f´ a e ısicos ser˜o vistos no a cap´ ıtulo seguinte. 20
    • Cap´ ıtulo 4Propaga¸˜o de ondas em meios cael´sticos anisotr´picos a o Neste cap´ ıtulo ´ apresentada a teoria que envolve a propaga¸˜o de ondas em e cameios el´sticos anisotr´picos, incluindo a equa¸˜o da onda el´stica, as rela¸oes de a o ca a c˜velocidade e os parˆmetros necess´rios para quantificar a anisotropia. Ressalta-se a aque a propaga¸ao de ondas ac´sticas ´ concebida como um caso particular para o c˜ u emeio el´stico. Embora o enfoque deste trabalho seja sobre meios ac´sticos aniso- a utr´picos, faz-se adequado iniciar o estudo para estes meios ac´sticos, a partir da o upropaga¸˜o de ondas em meios el´sticos. Para introduzir o estudo sobre a natureza ca ada propaga¸ao das ondas s´ c˜ ısmicas em meios anisotr´picos, por conveniˆncia, ser´ o e aantes apresentada a propaga¸ao de ondas el´sticas em meios isotr´picos homogˆ- c˜ a o eneos.4.1 Equa¸˜o da onda el´stica para meios isotr´- ca a o picos Seja um meio englobado por um volume, onde as for¸as variam continuamente no ctempo e espa¸o. Considerando as for¸as de superf´ e de volume, e ent˜o aplicando c c ıcie aa 2a lei de Newton, tem-se que: Σ Fi = fi dV + T i dS . V S 21
    • Substituindo T i por (2.7) e utilizando (2.8), segue que, 3 ∂2 ui mai = ρ 2 dV = fi dV + σi j n j dS . (4.1) V ∂t V S j=1Aplicando o Teorema de Gauss1 em (4.1),   ∂2 ui  3 ∂σi j  ρ 2 dV =  fi +      dV.  ∂t ∂x j      V V j=1 (4.2)Eliminando a integral de volume, tem-se: 3 ∂σi j ∂2 ui + fi = ρ 2 . (4.3) j=1 ∂x j ∂t A equa¸ao (4.3) ´ conhecida como equa¸ao de Navier ou Lei de Cauchy do mo- c˜ e c˜vimento. Tomando (2.9), a equa¸ao (4.3) torna -se: c˜ 3 3   ∂2 ui ∂ ρ 2 = Ci jkl εkl  + fi .      (4.4) ∂t ∂x j       k=1 l=1 Tratando de meio isotr´pico, o tensor Ci jkl pode ser escrito de acordo com Aris o[36] como, Ci jkl = λδi j δkl + µ(δik δ jl + δil δ jk ). (4.5) Utilizando (4.5), pode-se reescrever a rela¸˜o (2.9) para um meio isotr´pico, tal ca oque: 3 σi j = λδi j εkk + 2µεi j . (4.6) k=1Substituindo (4.6) em (4.3), ∂2 ui ∂ 3 ∂u j 3 ∂2 ui ρ 2 = (λ + µ) +µ + fi . (4.7) ∂t ∂xi j=1 ∂x j j=1 ∂x2 j 1 O Teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial atrav´s de uma superf´ fechada e ıcieS com o divergente do campo no interior do volume V, ou seja: 3 ∂T i T i dS = dV S V i=1 ∂xi 22
    • A equa¸ao (4.7) descreve a propaga¸˜o da onda el´stica para meios isotr´picos. c˜ ca a oOs parˆmetros λ e µ s˜o os parˆmetros de Lam´. O parˆmetro µ controla a rigidez a a a e ado meio, chamado de M´dulo de Rigidez, enquanto λ n˜o possui um significado o af´ ısico direto como o m´dulo de rigidez. No entanto esse parˆmetro associado com o o am´dulo de rigidez constitui o M´dulo de Bulk ou M´dulo de incompressibilidade, o o o 2 κ = λ + µ. (4.8) 3 Fisicamente o m´dulo de Bulk ´ respons´vel por avaliar a resistˆncia ` mudan¸a o e a e a cde volume do meio.4.1.1 Ondas P e S Para compreens˜o dos tipos de onda que propagam-se no meio el´stico isotr´pico, a a ofaz-se necess´rio utilizar a decomposi¸ao de Helmholtz [37], [38]. Ent˜o de forma a c˜ aequivalente, ser´ empregado os operadores divergente e rotacional. Para fins pr´ticos a aa equa¸˜o (4.7) ´ reescrita em nota¸˜o vetorial, tal que: ca e ca ∂2 u ρ = (λ + µ) ( · u) + µ 2 u + f. (4.9) ∂t2Negligenciando a for¸a de volume, e utilizando a identidade vetorial abaixo [39], c(4.9) ´ reescrita como: e 2 u = ( · u) − × ( × u), ∂2 u ρ = (λ + 2µ) ( · u) − µ × ( × u). (4.10) ∂t2Decompondo (4.9) em dois campos, isto ´, aplicando o operador de divergˆncia a e e `equa¸ao, e ent˜o usando a rela¸ao c˜ a c˜ · ( × u) = 0, obtem-se: ∂2 ( · u) ρ = (λ + 2µ) 2 ( · u). ∂t2Lembrando de (2.3), ∂2 Θ = α2 2 Θ. (4.11) ∂t2 23
    • λ + 2µ α = . (4.12) ρ A equa¸˜o (4.11) descreve um tipo de onda presente no meio el´stico isotr´pico, ca a odenominada onda P, onde α ´ a velocidade de propaga¸˜o da mesma. Atuando de e caforma semelhante em (4.9), aplicando o operador rotacional e utilizando a identidade × ( · u) = 0, tem-se: ∂2 Ψ = β2 2 Ψ. (4.13) ∂t2 Ψ = × u, µ β = . (4.14) ρ As equa¸oes (4.13) e (4.14) descrevem a outra onda presente no meio el´stico c˜ aisotr´pico, dita onda S, onde β ´ sua velocidade de propaga¸ao. E importante o e c˜ ´notar que para o caso heterogˆneo, µ = µ(r), λ = λ(r), ρ = ρ(r), α = α(r), eβ = β(r). A denomina¸˜o P e S, isto ´, prim´ria e secund´ria, surge da rela¸˜o ca e a a caα/β > 1, a qual implica que a onda P propaga-se com maior velocidade com rela¸˜o ca` ´a S, considerando o mesmo meio. E importante destacar que a polariza¸ao (i.e., c˜a dire¸ao de vibra¸ao das particulas no meio) para a onda P ocorre na dire¸ao de c˜ c˜ c˜propaga¸˜o, por essa raz˜o chamada tamb´m de onda longitudinal, compressional ca a eou dilatacional, enquanto para a onda S, a polariza¸˜o ocorre nas dire¸˜es horizontal ca co(onda SH) e vertical (onda SV), de acordo com a figura (4.1), sendo conhecida comoonda cisalhante, transversa ou distorcional.4.2 Equa¸˜o da onda el´stica para meios aniso- ca a tr´picos o No meio el´stico isotr´pico, como visto anteriormente, os dois modos de onda a oP e S s˜o bem definidos, de modo que para a onda P a polariza¸ao ocorre sempre a c˜na dire¸ao de propaga¸˜o da mesma, enquanto a onda S, por possuir polariza¸ao c˜ ca c˜em rela¸˜o ao plano normal da dire¸ao de propaga¸˜o, ´ conhecida como onda cisa- ca c˜ ca elhante, transversa ou distorcional. Devido a isotropia, ´ poss´ trabalhar com esses e ıvel 24
    • Figura 4.1: Polariza¸˜o das ondas s´ ca ısmicas P e S.dois modos de onda, P e S, de forma localmente independentes, como visto com aaplica¸˜o dos operadores divergente e rotacional. ca Quando trata-se de materiais anisotr´picos, tanto a denomina¸˜o das ondas, o cacomo seu desacoplamento, assume uma forma mais complexa. Neste caso, n˜o exis- atem ondas puras P ou S, mas sim ondas denominadas qP (quasi P) e qS(quasi S),de forma que para a onda qS ainda h´ uma subdivis˜o, qSV(quasi SV) e qSH(quasi a aSH), onde as mesmas propagam-se com diferentes velocidades, fenˆmeno conhecido ocomo birrefrigˆncia [35]. A denomina¸˜o qP e qS ´ relevante, pois no meio aniso- e ca etr´pico as dire¸oes de polariza¸ao n˜o s˜o perpendiculares ou paralelas ` dire¸˜o de o c˜ c˜ a a a capropaga¸˜o [6]. ca A anisotropia adiciona outro fator de dificuldade, a decomposi¸˜o das ondas qP e caqS, onde a teoria envolvida para efetuar esta opera¸ao envolve outros complicadores c˜como a dire¸˜o de polariza¸ao ([40], [41]), implicando em m´todos computacional- ca c˜ emente onerosos, que acabam por dificultar a utiliza¸ao de formula¸oes de ondas c˜ c˜el´sticas desacopladas, isto ´, formula¸oes que empreguem somente um campo de a e c˜onda, qP ou qS. Para entender melhor a natureza da propaga¸ao de ondas el´sticas em meios ani- c˜ asotr´picos, a seguir ser´ desenvolvida a equa¸ao de onda para este meio, incluindo o a c˜suas rela¸oes de velocidade. Ressalta-se que, no caso de um meio anisotr´pico hete- c˜ orogˆneo, as grandezas envolvidas s˜o dependentes da posi¸˜o. e a ca Em virtude do exposto acima, desprezando a for¸a de volume, a equa¸˜o (4.4) ´ c ca e 25
    • reescrita como: ∂2 ui 3 ∂σi j ρ(r) 2 = , i ∈ {1, 2, 3}. (4.15) ∂t j=1 ∂x jCombinando (2.1) com (2.9), 3 3 3   ∂2 ui ∂ 1 ∂uk ∂ul ρ(r) 2 = + ,     Ci jkl (r) i ∈ {1, 2, 3}. (4.16) ∂t ∂x j ∂xl ∂xk   2    j=1 k=1 l=1 Outra forma bastante usual para expressar (4.16) ´ encontrada usando a rela¸˜o e ca(B.4), vide Apˆndice (B), tal que: e 3 3 3   ∂2 ui ∂ ∂uk  ρ(r) 2 = ,     Ci jkl (r) i ∈ {1, 2, 3}. (4.17) ∂t ∂x j ∂xl       j=1 k=1 l=1 Entretanto, para fins computacionais a equa¸˜o de campo unico (4.17) apresenta ca ´problemas de estabilidade, sendo solucionados recentemente por Di Bartolo [42]. Noentanto, neste trabalho a equa¸ao (4.15) ser´ descrita por um sistema de equa¸oes c˜ a c˜diferenciais de primeira ordem, utilizando os campos de tens˜o e velocidades, como asegue: ∂vi 3 ∂σi j ρ(r) = , i ∈ {1, 2, 3}. (4.18) ∂t j=1 ∂x j ∂σi j 1 3 3 ∂vk ∂vl = Ci jkl (r) + , i ∈ {1, 2, 3}. (4.19) ∂t 2 k=1 l=1 ∂xl ∂xk Tanto as equa¸oes (4.16) ou (4.17), quanto as equa¸oes (4.17) e (4.18) em c˜ c˜conjunto, descrevem o comportamento da onda el´stica no meio anisotr´pico. A a opartir de (4.16) ´ poss´ encontrar um conjunto de trˆs equa¸oes acopladas, onde e ıvel e c˜o n´mero de coeficientes el´sticos independentes varia de acordo com a simetria u aescolhida para o tensor de elasticidade. Para a se¸ao seguinte a equa¸ao (4.16) ser´ c˜ c˜ autilizada na forma expandida, como segue: ∂2 ui 1 3 3 3 ∂Ci jkl (r) ∂uk ∂ul ∂2 uk ∂2 ul ρ(r) 2 = + + Ci jkl (r) + (4.20) ∂t 2 j=1 k=1 l=1 ∂x j ∂xl ∂xk ∂x j ∂xl ∂x j ∂xk 26
    • O aspecto da equa¸˜o (4.20) favorece a introdu¸˜o da equa¸ao de Christofell, ca ca c˜necess´ria para encontrar as velocidades de fase das ondas no meio anisotr´pico. a oDestaca-se que para um meio isotr´pico homogˆneo, (4.20) se reduz a (4.7). o e `4.3 Equa¸˜o de Christoffel ca A equa¸˜o (4.20) em geral ´ de dif´ solu¸˜o. No entanto considerando como ca e ıcil casolu¸ao poss´ uma fun¸ao da posi¸˜o e do tempo [33], dada por: c˜ ıvel c˜ ca u(r, t) = U(r) f (η), (4.21)sendo U(r) fun¸˜o vetorial da posi¸˜o, fornecendo a amplitude da onda, e f (η) uma ca cafun¸˜o escalar, que descreve a onda como fun¸˜o do tempo, cujo argumento ´: ca ca e η = ω[ψ(r) − t],onde ω ´ a frequˆncia angular. A fun¸ao ψ ´ chamada de fun¸ao iconal. Normalmente e e c˜ e c˜a fun¸˜o f (η) ´ descrita como uma fun¸˜o exponencial. Em resumo, a tentativa de ca e casolu¸ao ´ da forma: c˜ e u(r, t) = U(r) e{iω[ψ(r) − t]} . (4.22) Substituindo (4.22) em (4.20) e fazendo as devidas simplifica¸˜es, um sistema de cotrˆs equa¸˜es ´ encontrado, onde uma delas, equa¸ao (4.23), fornece o caminho para e co e c˜encontrar as velocidades das ondas no meio anisotr´pico [33], o 3  3 3    Ci jkl (r)p j pl − ρ(r)δik  Uk (r) = 0, i ∈ {1, 2, 3},   (4.23)          k=1 j=1 l=1 ∂ψ p j := , j ∈ {1, 2, 3} ∂x jonde p j ´ o vetor vagarosidade da frente de onda. Reescrevendo (4.23) como, e 3  3 3   p j pl ρ(r)  Ci jkl (r) 2 − 2 δik  Uk (r) = 0, i ∈ {1, 2, 3}.   (4.24)      p p     k=1 j=1 l=1 1 p2 := p · p = . v2 27
    • p2fazendo o vetor normal a frente de onda, n2 = i i , e aplicando a densidade normali- p2 Ci jkl (r)zada Ai jkl (r) = , tem-se que: ρ(r)  3  3 3   p2 Ai jkl (r)n j nl − V 2 δik  Uk (r) = 0, i ∈ {1, 2, 3}.   (4.25)          k=1 j=1 l=1 A equa¸ao (4.25) ´ chamada de equa¸ao de Christoffel; tal equa¸ao permite c˜ e c˜ c˜encontrar as velocidades das ondas no meio anisotr´pico. Escrevendo (4.25) em onota¸ao matricial como: c˜ p2 Γ(r, n) − V 2 I U(r) = 0, (4.26) 3 3 3 3 3 3            A1 j1l (r)n j nl A1 j2l (r)n j nl A1 j3l (r)n j nl         j=1 l=1 j=1 l=1 j=1 l=1         3 3 3 3 3 3    Γ(r, n) =  A2 j3l (r)n j nl  .   A2 j1l (r)n j nl A2 j2l (r)n j nl           (4.27) j=1 l=1 j=1 l=1 j=1 l=1          3 3 3 3 3 3        A3 j1l (r)n j nl A3 j2l (r)n j nl A3 j3l (r)n j nl           j=1 l=1 j=1 l=1 j=1 l=1 Para encontrar as velocidades, ´ preciso resolver a equa¸ao (4.26), desde que e c˜p2 0, o que implica em: Γ(r, n) − V 2 I U(r) = 0. (4.28) Fazendo uso da nota¸ao de Voigt, rela¸ao (2.10), e considerando o meio VTI, isto c˜ c˜´, considerando a matriz de elasticidade (3.14), as entradas da matriz de Christoffele(4.27) resultam em: Γ11 = A11 n2 + A66 n2 + A55 n2 1 2 3 Γ22 = A66 n2 + A11 n2 + A55 n2 1 2 3 Γ33 = A55 (n2 + n2 ) + A33 n2 , 1 2 3 (4.29) Γ12 = Γ21 = (A11 − A66 )n1 n2 Γ13 = Γ31 = (A13 + A55 )n1 n3 Γ23 = Γ32 = (A13 + A66 )n2 n3 28
    • Escolhendo o plano de propaga¸˜o como sendo o plano x1 x3 , ou seja, n2 = 0, e casubstituindo as rela¸˜es (4.29) em (4.27), lembrando que os cossenos diretores s˜o co adados por, n1 = sen θ, n3 = cos θ, sendo θ o ˆngulo de fase, (4.28) torna-se: a     A11 sen2 θ + A55 cos2 θ − V 2 0 (A13 + A55 ) sen θ cos θ   U1   0          0 A66 sen2 θ + A55 cos2 θ − V 2 0  U  =  0 .    2                          (A13 + A55 ) sen θ cos θ A55 sen2 θ + A33 cos2 θ − V 2     0 U3 0 Do sistema anterior, cuja solu¸ao n˜o trivial ´ dada por det Γ(r, n) − V 2 I = 0, c˜ a eresultam duas equa¸oes, (4.30) e (4.31), onde a equa¸ao (4.31) ´ um sistema de c˜ c˜ eequa¸oes acopladas. c˜ [A66 sen2 θ + A55 cos2 θ − V 2 ]U2 = 0, (4.30)     A sen2 θ + A cos2 θ − V 2  11 (A11 + A55 ) sen θ cos θ  U  55  1           = 0,    (4.31) (A13 + A55 ) sen θ cos θ A55 sen2 θ + A33 cos2 θ − V 2      U     3a express˜o (4.30) fornece a velocidade de fase para propaga¸˜o da onda SH, en- a caquanto o sistema (4.31) produz as velocidades das ondas P e SV acopladas, conhecidocomo propaga¸ao P-SV. Resolvendo (4.30), tem-se: c˜ VS H (θ) = A66 sen2 θ + A55 cos2 θ. (4.32) A equa¸ao (4.32) descreve a velocidade de propaga¸ao da onda S, onde a dire¸ao c˜ c˜ c˜de polariza¸ao est´ situada no plano horizontal. Caso (θ = 0◦ - propaga¸˜o vertical), c˜ a caVS H (0◦ ) = A55 , enquanto na horizontal (θ = 90◦ ), VS H (90◦ ) = A66 . Para a propaga¸˜o P-SV (4.31), caso a onda propague paralela ao eixo de simetria ca(θ = 0o ), tem-se: V pz = A33 ; U1 = 0, U3 = 1, (4.33) V sz = A55 ; U1 = 1, U3 = 0. (4.34) 29
    • No caso em que (θ = 90◦ ), as velocidades s˜o, a V px = A11 ; U1 = 1, U3 = 0, (4.35) V sx = A55 ; U1 = 0, U3 = 1. (4.36) Para tratar qualquer tipo de incidˆncia [6], a resolu¸ao de (4.31) ´ expressa como, e c˜ e 2V 2 (θ) = A11 sen2 θ + A33 cos2 θ + A55 (4.37) ± [(A11 − A55 ) sen2 θ − (A33 − A55 ) cos2 θ]2 + (A13 + A55 )2 sen2 2θ Sendo assim, (4.37) descreve a velocidade de fase da propaga¸ao P-SV para c˜qualquer θ, onde tomando o sinal negativo, tem-se a onda SV, e positivo, a ondaP. Como dito anteriormente, as ondas P e S s˜o referidas como quasi-P (qP) e aquasi-S (qS) respectivamente, sendo isto devido ao fato de quando toma-se θ =0 na equa¸ao (4.37), (4.33) e (4.34) s˜o obtidas. Devido a anisotropia, os planos c˜ ade polariza¸ao das ondas P e S n˜o s˜o perpendiculares ou paralelos a dire¸˜o de c˜ a a capropaga¸˜o como no caso isotr´pico, al´m de as velocidades de fase e grupo da onda ca o en˜o serem coincidentes [6], [21]. Por simplicidade, daqui por diante o prefixo quasi aser´ omitido. a4.4 Parˆmetros de Anisotropia a4.4.1 Parˆmetros de Thomsen a Na descri¸˜o das velocidades das ondas (4.32) e (4.37), foram empregados cinco caparˆmetros de elasticidade normalizados, A11 , A13 , A33 , A55 , A66 . No entanto, esta anota¸ao torna-se complicada para quantificar o grau de anisotropia de um meio ge- c˜ol´gico. Sendo assim, em 1986 Leon Thomsen [21] propˆs uma nota¸ao pr´tica para o o c˜ ameios transversalmente isotr´picos, atrav´s da introdu¸˜o de trˆs parˆmetros, a fim o e ca e ade quantificar a anisotropia. Com isto, os cinco coeficientes el´sticos normalizados aque caracterizam o meio VTI, podem ser substitu´ ıdos pelas velocidade V pz e V sz ,al´m de trˆs parˆmetros adimensionais , δ, γ, dados por: e e a 30
    • A11 − A33 = , (4.38) 2A33 A66 − A55 γ = , (4.39) 2A55 (A13 + A55 )2 − (A33 − A55 )2 δ = , (4.40) 2A33 (A33 − A55 ) onde quantifica a anisotropia da onda P, γ representa a anisotropia da onda SHe δ ´ respons´vel pela dependˆncia angular da frente de onda P pr´ximo ao eixo de e a e osimetria [6]. Os trˆs parˆmetros se reduzem a zero no meio isotr´pico. Ressalta-se e a oque o parˆmetro δ apresentado ´ valido para meios com fraca anisotropia, ou seja, a e|δ| 1. Baseado em (4.38), (4.39) e (4.40), ´ poss´ reescrever os coeficientes de elasti- e ıvelcidade, tal que: A11 = V pz (1 + 2 ), 2 (4.41) A33 = V pz , 2 (4.42) A55 = V sz , 2 (4.43) A66 = V sz (1 + 2γ), 2 (4.44) A13 = (V pz − V sz )2 + 2δV pz (V pz − V sz ) − V sz . 2 2 2 2 2 2 (4.45) Adicionalmente a velocidade da onda SH em fun¸˜o de (4.39) pode ser escrita cacomo: VS H = V sz 1 + 2γ sen2 θ. (4.46) 31
    • De acordo com Tsvankin [6], para tratar o comportamento das ondas P-SV, 2divide-se (4.37) por V pz , e substitui-se os parˆmetros de Thomsen [6], de maneira aque: 2 V 2 (θ) f f 2 sen2 θ sen2 2θ 2 = 1 + sen2 θ − ± 1+ − 2( − δ) (4.47) V pz 2 2 f fonde, f = 1 − V sz /V pz . Notar que a velocidade de fase da onda P corresponde ao 2 2sinal positivo na equa¸ao (4.47), e a onda SV ao negativo. c˜ Para o caso espec´ ıfico, conhecido como anisotropia el´ ıptica, em que = δ, asvelocidades das ondas P e SV ficam, √ VP (θ) = V pz 1 + 2δ sen2 θ. (4.48) VS V (θ) = V sz . (4.49) Uma importante considera¸ao a ser feita acerca das velocidades envolve seu com- c˜portamento para meios com anisotropia fraca (| | 1, |δ| 1, |γ| 1), pois muitasforma¸˜es geol´gicas apresentam tais caracter´ co o ısticas. Nestes casos, pode-se expandira raiz de (4.47) em s´rie de Taylor, desprezando os termos quadr´ticos em e a e δ, oque resulta para a onda P em, √ VP (θ) = V pz 1 + 2δ sen2 θ cos2 θ + 2 sen4 θ. (4.50) Expandindo ent˜o a raiz em s´rie binomial, tem-se: a e VP (θ) = V pz (1 + δ sen2 θ cos2 θ + sen4 θ). (4.51) Analogamente para a onda SV, chega-se a: `  2  V pz VS V (θ) = V sz 1 + ( − δ) sen θ cos θ . 2 2   (4.52)     V sz   32
    • 4.4.2 Parˆmetro de Alkhalifah e Tsvankin a Ao estudar a equa¸ao (4.52) Tsvankin e Thomsen [43] definiram um novo parˆ- c˜ ametro, dado por: 2 V pz σ = ( − δ). (4.53) V sz O parˆmetro σ ´ respons´vel por controlar a anisotropia da onda SV. Outro a e aimportante coeficiente foi introduzido por Alkhalifah e Tsvankin [44], para controlara anisotropia da onda P, al´m de toda a parte do processamento s´ e ısmico relacionadoa mesma onda. Esse parˆmetro ´ conhecido como: a e −δ η = . (4.54) 1 + 2δ Nota-se que quando η = 0, significa que = δ, recaindo no caso de anisotropia ıptica; por esse motivo η ´ chamado de parˆmetro de n˜o - elipticidade.el´ e a a De acordo com as etapas de processamento s´ ısmico, existe uma velocidade im-portante, denominada velocidade de normal moveout (V pn ). A velocidade nmo paraa onda P pode ser escrita em fun¸ao do parˆmetro δ de Thomsen [21], de forma que: c˜ a √ Vnmo = V pn = V pz 1 + 2δ. (4.55) O parˆmetro η pode ser tamb´m expresso como, a e  2  1  V px η =  2 − 1 ,  (4.56)     2 V pn   onde V px possui rela¸ao tanto com o parˆmetro c˜ a como η, sendo: √ V px = V pz 1 + 2 , (4.57) V px = V pn 1 + 2η. (4.58) As rela¸oes de velocidade demonstradas, al´m dos parˆmetros de anisotropia, de- c˜ e asempenham papel fundamental na formula¸ao das equa¸oes ac´sticas anisotr´picas c˜ c˜ u oque ser˜o vistas no pr´ximo cap´ a o ıtulo. 33
    • Cap´ ıtulo 5Propaga¸˜o de ondas em meios caac´ sticos e pseudo-ac´ sticos u uanisotr´picos o5.1 Aproxima¸˜es de velocidade e rela¸oes de dis- co c˜ pers˜o para meios VTI a Na presente se¸ao ser´ discutida a id´ia fundamental para a formula¸ao das equa- c˜ a e c˜¸oes ac´sticas e pseudo-ac´stica anisotr´pica, isto ´, a aproxima¸ao da velocidadec˜ u u o e c˜de fase para o meio de interesse, no caso, meio com isotropia transversa. Ser˜o in- avestigadas as aproxima¸˜es propostas por Tariq Alkhalifah [20], Leon Thomsen [21] coe Francis Muir [45]. Existem diversas formas para obten¸˜o de equa¸˜es de onda, no ca coentanto, desde os primeiros trabalhos relacionados a meios ac´sticos anisotr´picos, u oa maneira mais comum para obtˆ-las reside na aproxima¸ao da velocidade de fase e c˜da onda P, de modo a eliminar sua dependˆncia em rela¸ao a onda SV, ou seja, e c˜desacoplando os campos P e SV.5.1.1 Aproxima¸˜o de Alkhalifah ca As aproxima¸˜es da velocidade de fase para a onda P em meios VTI s˜o im- co aportantes para a obten¸˜o das formula¸˜es ac´sticas, uma vez que a partir delas, ca co uatrav´s de t´cnicas de transformadas integrais, ´ poss´ obter equa¸˜es de onda que e e e ıvel co 34
    • expressem com boa precis˜o o comportamento cinem´tico das ondas P. Alkhalifah a a[20] propˆs uma aproxima¸˜o para velocidade, baseada na equa¸˜o anal´ o ca ca ıtica (4.47)da seguinte forma: 1 1 lim V p (θ) = V pz 1 + 2 sen2 θ − 2 2 + 1 + 2 sen2 θ 2 − 2( − δ) sen2 2θ (5.1) V sz →0 2 2 Utilizando as rela¸˜es k = ωp e p x = co sen(θ) V(θ) , pz = cos(θ) V(θ) , sendo p e k respectivamenteo vetor vagarosidade e o n´mero de onda em coordenadas cartesianas para duas udimens˜es (p x , pz ), (k x , kz ) e ω a frequˆncia angular. Dessa maneira a seguinte rela¸˜o o e cade dispers˜o derivada por Alkhalifah [20] ´ obtida: a e 2 V pn ω2 ω2 k2 2 kz = 2 − 2 x . (5.2) V pz V pn ω − 2ηV pn k2 2 2 x A rela¸ao (5.2), tal como as rela¸oes de dispers˜o que ser˜o vistas a seguir, s˜o a c˜ c˜ a a abase para alcan¸ar as equa¸oes de ondas ac´sticas em meios com anisotropia VTI. c c˜ u5.1.2 Aproxima¸˜o de Thomsen ca A aproxima¸ao da velocidade da onda P proposta por Thomsen [21], ´ a apro- c˜ exima¸˜o mais citada na literatura, chamada de anisotropia fraca. Tal aproxima¸ao ca c˜´ obtida como apresentada por Tsvankin [6] e Daley et.al [46], atrav´s da expans˜oe e aem s´rie de Taylor da equa¸˜o (4.47), desprezando os termos de ordem quadr´tica e ca aem e δ, resultando em: V p (θ) = V pz 1 + 2δ sen2 θ cos2 θ + 2 sen4 θ 2 2 (5.3) Observa-se que a equa¸ao (5.3) ´ equivalente a equa¸ao proposta por Thom- c˜ e c˜sen (4.51) a menos de uma lineariza¸ao. Procedendo-se de forma an´loga ` se¸˜o c˜ a a caanterior, pode-se obter sua rela¸˜o de dispers˜o, dada por: ca a 2 V pz 2 kz = (k2 + kz )2 + 2δ k2 kz + 2 k4 − k2 . 2 2 (5.4) ω2 x x x x 35
    • 5.1.3 Aproxima¸˜o de Muir ca Outra aproxima¸ao conhecida da literatura, desenvolvida por Muir e Dellinger c˜[45], sendo da forma: (q − 1)V px V pz sen2 (θ)cos2 (θ) 2 2 2 V p (θ) = 2 V pe (θ) + 2 (5.5) V pe (θ) onde V pe (θ) = V px sin2 (θ) + V pz cos2 (θ) ´ a componente eliptica da velocidade da 2 2 2 eonda, e o coeficiente q pode ser reescrito de acordo com Fowler [47] e Fomel [48], na 1forma q = . Logo a aproxima¸ao torna-se : c˜ 1 + 2η V pz (V pn − V px )sen2 (θ)cos2 (θ) 2 2 2 2 V p (θ) = 2 V pe (θ) + 2 (5.6) V pe (θ) e sua correspondente rela¸˜o de dispers˜o: ca a 2 1 V px 2 2 kz = 2 2 (V px k x + V pz kz ) + 2(1 + η)V pz V pn k x kz − 2 k x . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (5.7) ω V pz V pz5.2 Equa¸˜o de onda pseudo-ac´ stica e ac´ stica ca u u anisotr´pica o A equa¸ao da onda el´stica ´ uma das principais ferramentas para a modelagem c˜ a es´ ısmica, uma vez que ela contempla todos os eventos s´ ısmicos, tais como reflex˜es, orefra¸oes, difra¸˜es, convers˜es de ondas, entre outros [49]. c˜ co o Frequentemente na modelagem faz-se uso de tal equa¸˜o, pois em rela¸ao a equa- ca c˜ `¸ao ac´stica, trata-se de uma equa¸ao mais completa. Com rela¸˜o a obten¸ao dec˜ u c˜ ca c˜imagens em profundidade, teoricamente por ser uma formula¸˜o de maior abrangˆn- ca ecia, apresentaria uma resolu¸ao superior ` formula¸˜o que contemple somente ondas c˜ a caP. No entanto, na pr´tica, devido a convers˜o de ondas, a imagem sofre uma degene- a ara¸˜o maior na resolu¸˜o, al´m de em alguns casos causar o posicionamento incorreto ca ca edas interfaces [50]. Ademais a modelagem el´stica apresenta alto custo computaci- aonal quando comparado ` modelagem ac´stica, devido ao armazenamento das trˆs a u ecomponentes de tens˜o e as duas componentes de velocidade, al´m de possuir um a ecrit´rio de dispers˜o baseado na onda S, o que exige um espa¸amento da malha me- e a cnor em rela¸˜o a modelagem ac´stica para representar o mesmo modelo geol´gico. ca u o 36
    • Ao modelar somente um campo de onda P ou S faz-se necess´rio para a equa¸ao a c˜el´stica aplicar algoritmos de desacoplamento das ondas, o que eleva o tempo de aprocessamento, principalmente quando o meio considerado ´ anisotr´pico [51]. e o Durante os ultimos doze anos, foram desenvolvidos trabalhos com o interesse so- ´mente sobre o campo de onda P, buscando encontrar uma equa¸ao de onda ac´stica c˜ upara meios anisotr´picos, que n˜o necessitasse da aplica¸ao de algoritmos de desaco- o a c˜plamento e demandasse baixo armazenamento computacional [1]. Os pioneiros nestesentido foram Tariq Alkhalifah [1] seguido por Kl´ e Toro [3], os quais formularam ıeas primeiras equa¸oes do gˆnero para meios com isotropia transversa. c˜ e5.2.1 Equa¸˜o Pseudo-Ac´ stica Anisotr´pica ca u o5.2.1.1 Formula¸˜o de Alkhalifah ca Como descrito anteriormente, Tariq Alkhalifah foi um dos primeiros a formularuma equa¸ao de onda somente para o campo de onda P em meios com isotropia c˜transversa [1]. Em seu trabalho Tariq aplicou a Transformada de Fourier ` rela¸˜o de a cadispers˜o (5.2) apresentada na se¸ao (5.1.1) para obter a equa¸ao de onda desejada. a c˜ c˜Contudo no presente trabalho, para a demonstra¸ao da formula¸ao, um processo c˜ c˜an´logo ser´ empregado [52]. Assim, seja um campo de ondas planas dado por a aΦ(r, t) = ei(k.r−ωt) , onde as seguintes propriedades s˜o v´lidas: a a ∂Φ(r, t) Φ(r, t) = ikΦ(r, t) , = −iωΦ(r, t). (5.8) ∂t De modo que para a autofun¸ao Φ(r, t), o autovalor do operador c˜ e do operador∂∂t s˜o dados respectivamentes por: a ∂ = −iω. = ik , (5.9) ∂t Para obter ent˜o a equa¸˜o de onda a partir da rela¸ao de dispers˜o, basta a ca c˜ amultiplicar (5.2) por Φ(r, t) e aplicar a rela¸ao (5.8), chegando-se `: c˜ a ∂2 P(x, z, t) 2 ∂ P(x, z, t) 2 2 ∂ P(x, z, t) 2 2 ∂ Φ(x, z, t) 4 = (1 + 2η)V pn + V pz 2 − 2ηV pn V pz . (5.10) ∂t2 ∂x2 ∂z2 ∂x2 ∂z2 ∂2 Φ(x, z, t) P(x, z, t) = . (5.11) ∂t2 37
    • sendo P(x, z, t) o campo de press˜o e Φ(x, z, t) um campo auxiliar, podendo ser com- aparado a um campo potencial [53]. A equa¸ao (5.10) em conjunto com (5.11) foi a equa¸ao de onda desenvolvida c˜ c˜por Alkhalifah para meios transversos isotr´picos, e posteriormente utilizada para oimageamento s´ ısmico. Atualmente existem outras equa¸˜es com caracter´ co ısticas se-melhantes, descritas por um sistema de equa¸oes de segunda ordem [27] onde n˜o c˜ aocorre a presen¸a de derivadas mistas como na equa¸ao (5.10). Destaca-se que esta c c˜´ a forma mais empregada na ind´stria, pois o desacoplamento das derivadas tornae umais simples a discretiza¸ao da equa¸˜o [27]. No entanto como o presente trabalho c˜ cavisa avaliar as diferen¸as entre as diferentes equa¸oes ac´sticas, optou-se por utilizar c c˜ ua equa¸˜o original. ca ´ E importante observar que no limite isotr´pico, ou seja, quando o = 0, δ = 0 eV pn = V pz , a equa¸˜o (5.10) recai na equa¸ao ac´stica isotr´pica cl´ssica. Ressalta-se ca c˜ u o atamb´m que a denomina¸ao “Pseudo-Ac´stica” para a formula¸˜o de Alkhalifah ´ e c˜ u ca eempregada por alguns autores, como Du et al. [25] e Fowler et al. [27], devido aocorrˆncia de eventos gerados por ondas SV presentes na formula¸˜o, eventos esses e caque ser˜o detalhados no cap´ a ıtulo 7.5.2.2 Equa¸˜es Ac´ sticas Anisotr´picas co u o5.2.2.1 Formula¸˜o de Zhang ca A formula¸ao que ser´ apresentada a seguir foi desenvolvida por Linbin Zhang c˜ aet.al [2] no dom´ ınio do tempo e do n´mero de onda para meios TI com eixo de usimetria arbitr´rio. Por este trabalho tratar de meios TI com eixo de simetria avertical, realizou-se a simplifica¸˜o da formula¸ao de Zhang para o requerido meio. ca c˜Ressalta-se ainda que a formula¸˜o a ser demonstrada para meio TI ser´ no dom´ ca a ıniodo espa¸o e tempo, diferentemente da formula¸ao original obtida por Zhang et al. c c˜[2]. Para tanto, multiplica-se a rela¸˜o de dispers˜o (5.4) pelo campo Φ(r, t), e ent˜o ca a autilizando novamente os operadores (5.8),chegando a: ` 38
    • ∂2 P(x, z, t) ∂2 P(x, z, t) ∂4 Φ(x, z, t) 2 ∂ Φ(x, z, t) 4 + = V pz (1 + 2 ) 2 + V pz ∂x2 ∂z2 ∂x4 ∂z4 ∂ Φ(x, z, t) 4 +2V pz (1 + δ) 2 (5.12) ∂x2 ∂z2 ∂2 Φ(x, z, t) P(x, z, t) = ∂t2 O conjunto de equa¸˜es (5.12) apresenta uma natureza mais complexa, pois al´m co edo acoplamento das derivadas espaciais, existe o acoplamento entre espa¸o e tempo. cDiferente da equa¸˜o derivada por Alkhalifah, a equa¸ao (5.12) no limite isotr´pico ca c˜ otorna-se: ∂2 P(x, z, t) ∂2 P(x, z, t) 2 ∂ Φ(x, z, t) 4 2 ∂ Φ(x, z, t) 4 + = V pz + V pz ∂x2 ∂z2 ∂x4 ∂z4 2 ∂ Φ(x, z, t) 4 +2V pz (5.13) ∂x2 ∂z2 Como o conjunto de equa¸oes (5.12) ´ formulado a partir da rela¸˜o de disper- c˜ e cas˜o (5.4), e esta por sua vez a partir da aproxima¸ao de velocidade de Thomsen a c˜(5.3), os parˆmetros de anisotropia est˜o restritos aos limites de aplicabilidade da a aaproxima¸˜o de Thomsen [6], [21], [46], ou seja, | | ca 1 e |δ| 1.5.2.2.2 Formula¸˜o de Kl´ e Toro ca ıe A ultima equa¸ao que ser´ analisada neste trabalho foi desenvolvida por Kl´ e ´ c˜ a ıeToro [3]. Estes autores desenvolveram a equa¸ao a partir da solu¸ao de ondas planas c˜ c˜proposta para a equa¸ao (5.10) por Tariq Alkhalifah [1]. No entanto, no presente c˜trabalho optou-se por empregar um processo equivalente, como realizado nas se¸oes c˜(5.2.1.1) e (5.2.2.1), ou seja, utilizando a rela¸˜o de dispers˜o (5.7) encontrada a ca apartir da aproxima¸˜o de velocidade de Muir (5.6), e ent˜o repetindo todos os passos ca adas se¸˜es (5.2.1.1) e (5.2.2.1). Sendo assim, a seguinte equa¸ao ´ obtida: co c˜ e ∂2 P(x, z, t) 2 ∂ P(x, z, t) 2 4 ∂ Φ(x, z, t) 4 4 ∂ Φ(x, z, t) 4 (1 + 2η)V pn 2 + V pz = (1 + 2η)2 V pn + V pz ∂x2 ∂z2 ∂x4 ∂z4 ∂4 Φ(x, z, t) +2V pz V pn (1 + η) 2 2 (5.14) ∂x2 ∂z2 39
    • ∂2 Φ(x, z, t) P(x, z, t) = ∂t2 No limite isotr´pico (η = 0, V pn = V pz ), as equa¸˜es (5.14) e (5.12) s˜o equiva- o co alentes, entretanto esse fato ocorre para {δ ∈ R | = 0}. Um caminho diferente paraverificar tal afirma¸˜o seria empregar a aproxima¸˜o {δ ∈ R | = 0} nas rela¸˜es de ca ca covelocidade (5.4) e (5.6), o que resultaria na igualdade entre as mesmas. A restri¸ao sobre o parˆmetro η aplicado ` equa¸˜o (5.14) por Kl´ e Toro [54] c˜ a a ca ıe´ η > − 4 . Tamb´m por utilizar a velocidade nmo (V pn ), a restri¸ao δ ≥ − 2 deve sere 1 e c˜ 1respeitada.5.3 An´lise das aproxima¸˜es de velocidade a co As equa¸˜es anisotr´picas vistas nas se¸oes (5.2.1.1), (5.2.2.1) e (5.2.2.2), resul- co o c˜taram das diferentes aproxima¸oes de velocidade (5.1), (5.3) e (5.6), respectivamente c˜para a onda P. Por essa raz˜o, h´ uma rela¸ao direta entre as aproxima¸˜es de velo- a a c˜ cocidade investigadas e suas formula¸oes ac´sticas, isto ´, quanto melhor for a precis˜o c˜ u e ada aproxima¸ao mais precisa ser´ a equa¸ao de onda derivada. c˜ a c˜ A presente se¸˜o tem por objetivo avaliar as diferentes aproxima¸˜es de veloci- ca codade apresentadas na se¸˜o (5.1), comparando-as com a solu¸˜o anal´ ca ca ıtica (4.47). Aan´lise foi realizada utilizando o folhelho Greenhorn [55], o qual ´ utilizado como a eparˆmetro de compara¸ao em diversos trabalhos, pois o meio geol´gico envolvido a c˜ ofornece um dos maiores graus de anisotropia [56]. As velocidades de fase da onda P para as diferentes aproxima¸˜es da se¸ao (5.1) co c˜constam no gr´fico da figura (5.1), onde 0 a 90o foi a varia¸˜o sobre o angulo θ, com a ` ca ˆ∆θ = 0, 02o . De acordo com a figura (5.1(b)), a aproxima¸ao de Alkhalifah fornece uma esti- c˜mativa adequada para ˆngulos abaixo de 30◦ , para angulos maiores o erro relativo a ˆn˜o excede 0.3%. Por outro lado a aproxima¸ao de Thomsen indica erro crescente a c˜em torno de 0.1% ` 1.25% para angulos entre 30o e 60◦ , decrescendo entre 60◦ e 90◦ . a ˆA aproxima¸ao de Muir apresenta comportamento an´logo a de Thomsen, contudo c˜ a `com erros relativos menores para diferentes angulos. ˆ 40
    • (a) Compara¸˜o entre as aproxima¸˜es propostas para velocidade de fase. ca co (b) Erro relativo.Figura 5.1: Compara¸ao das velocidades de fase da onda P para o folhelho Gree- c˜nhorn. Os parˆmetros empregados s˜o a a = 0.255, δ = −0.051, V pz = 3094 m/s, V sz =1509 m/s, ρ = 2370 Kg/m3 . 41
    • Cap´ ıtulo 6Modelagem num´rica para epropaga¸˜o de ondas ca6.1 Discretiza¸˜o das Equa¸˜es ca co Por vezes, problemas encontrados em diversas ´reas da ciˆncia s˜o formulados a e apor equa¸oes diferenciais. Como exemplos podem-se citar, trajet´ria bal´ c˜ o ıstica, cur-vatura de vigas, rea¸˜es qu´ co ımicas, decaimento radioativo, entre outros. Uma gamadestes problemas possuem solu¸ao anal´ c˜ ıtica somente se forem simplificados, casocontr´rio, ´ necess´rio recorrer aos m´todos num´ricos para encontrar uma solu¸˜o. a e a e e caNo fenˆmeno de propaga¸ao de ondas, existe uma necessidade quase inerente de o c˜trat´-lo por meio destes m´todos, principalmente na area de sismologia de explo- a e ´ra¸˜o, especificamente na s´ ca ısmica de reflex˜o, onde o dom´ a ınio investigado possuiextensa complexidade. A variedade de m´todos num´ricos para solu¸ao de equa¸oes de onda ´ extensa e e c˜ c˜ e[4], todavia nesse trabalho optou-se pelo M´todo das Diferen¸as Finitas (MDF) e c(Apˆndice (A)), por ser amplamente aplicado na modelagem s´ e ısmica, apresentandobaixo custo computacional relativamente aos demais m´todos, como MEF e MVF. e Para o estudo de fenˆmenos f´ o ısicos a modelagem num´rica tem um papel de edestaque; por meio dela pode-se determinar quais grandezas f´ ısicas atuam sobreo sistema f´ ısico e como elas o afetam [57]. Para modelagem s´ ısmica, em geral asgrandezas de interesse correspondem a press˜o, para o caso ac´stico, enquanto para a uo el´stico tem-se tens˜o, deslocamento ou velocidade. a a 42
    • Como mencionado anteriormente, na modelagem de ondas s´ ısmicas aplicam-se osm´todos num´ricos para solu¸ao das equa¸oes de onda; o que significa que as mesmas e e c˜ c˜devem ser resolvidas computacionalmente. Segundo Fortuna [57], para tratar omodelo computacional ´ necess´rio expressar as equa¸oes e o dom´ e a c˜ ınio onde elas s˜o av´lidas. Como n˜o se pode obter solu¸˜es num´ricas sobre regi˜es cont´ a a co e o ınuas, devidoaos infinitos pontos da mesma, o dom´ ´ ent˜o discretizado, isto ´, dividido em um ınio e a en´mero finito de pontos, para que somente nesses pontos as solu¸˜es sejam obtidas u co(Apˆndice (A)). e6.1.1 Discretiza¸˜o para a formula¸˜o de Alkhalifah ca ca As equa¸˜es (5.10) e (5.11), referentes a aproxima¸ao de Alkhalifah, s˜o discreti- co c˜ azadas pelas equa¸˜es em diferen¸as finitas centrais (6.1) e (6.2), em segunda ordem co cno espa¸o e no tempo (Apˆndice (A)), como segue: c e n+1 Φ(x, z, t) = 2Φn − Φn−1 + ∆t2 Pn i,k i,k i,k (6.1) i,k n n+1 ∂2 P P(x, z, t) = 2Pn − Pn−1 + ∆t 2 (6.2) i,k i,k i,k ∂t2 i,konde, ∂2 P n Pn − 2Pn + Pn i+1,k i,k i−1,k Pn − 2Pn + Pn i,k+1 i,k i,k−1 = a1 + a2 ∂t2 i,k ∆x2 ∆z2 a3 − 4Φn − 2(Φn + Φn + Φn + Φn )+ Φn i−1,k−1 (6.3) ∆x2 ∆z2 i,k i−1,k i,k−1 i+1,k i,k+1 +Φn i+1,k−1 + Φi+1,k+1 + Φi−1,k+1 n n a1 = (1 + 2 ηi,k )V pn (i,k) 2 (6.4) a2 = V pz (i,k) 2 (6.5) a3 = 2 ηi,k V pn (i,k) V pz (i,k) 2 2 (6.6) Sendo assim, o campo Φ(x, z, t) para a equa¸ao (5.11) ´ calculado usando a f´r- c˜ e omula recursiva (6.1), e posteriormente o campo P(x, z, t) ´ calculado atrav´s de (6.2). e e ındices (i,k) se referem as coordenadas (x,z) discretizadas no espa¸o, onde x = Os ´ ci∆x, z = k∆z, sendo ∆x e ∆z os espa¸amentos entre os pontos da malha nas dire¸oes c c˜ 43
    • x e z respectivamente (Apˆndice (A)); n corresponde a coordenada t discretizada eno tempo, onde t = n∆t, sendo ∆t o incremento temporal. As equa¸oes de (6.1) ` c˜ a(6.3) podem ser reescritas conforme (6.7) substituindo (6.3) em (6.2) e usando (6.1),tomando ∆x = ∆z = ∆h e C = ∆t2 /∆h2 , chega-se a: ` Pn − 2Pn + Pn i+1,k i,k i−1,k Pn − 2Pn + Pn i,k+1 i,k i,k−1 Pn+1 = a1C + a2 C i,k ∆h2 ∆h2 a3C − 4Φn − 2(Φn + Φn + Φn + Φn ) + Φn (6.7) ∆h2 i,k i−1,k i,k−1 i+1,k i,k+1 i−1,k−1 +Φni+1,k−1 + Φi+1,k+1 + Φi−1,k+1 + 2Pi,k − Pi,k n n n n−1 A figura (6.1) indica a posi¸˜o relativa dos pontos no espa¸o e tempo, referentes ca ca esta discretiza¸˜o. A equa¸ao (6.7) ´ uma equa¸ao de diferen¸as finitas expl´cita, ca c˜ e c˜ c ıpois relaciona o campo Pn+1 no tempo n + 1 com campos determinados em passos i,kanteriores n e n − 1, constituindo um conjunto de equa¸oes independentes, ou seja, c˜para encontrar o campo Pn+1 em determinado ponto, n˜o ´ necess´ria a solu¸˜o de um i,k a e a casistema linear a cada passo de tempo, pois a equa¸ao (6.7) ´ resolvida recursivamente c˜ epara todos os pontos no espa¸o e no tempo [17],[57]. cFigura 6.1: Estˆncil para pontos no tempo n, n+1 e n−1 para o caso pseudo-ac´stico e uanisotr´pico. o 44
    • 6.1.2 Discretiza¸˜o para as formula¸oes de Zhang e Kl´ ca c˜ ıe Para a discretiza¸ao das equa¸˜es (5.12) e (5.14) ´ conveniente substituir a ex- c˜ co epress˜o para o campo de press˜o em fun¸ao do potencial, conforme (5.11), obtendo a a c˜por exemplo, para a equa¸ao (5.14), a seguinte equa¸˜o: c˜ ca ∂4 Φ(x, z, t) 2 ∂ Φ(x, z, t) 4 4 ∂ Φ(x, z, t) 4 4 ∂ Φ(x, z, t) 4 (1 + 2η)V pn 2 + V pz = (1 + 2η)2 V pn + V pz ∂x2 ∂t2 ∂z2 ∂t2 ∂x4 ∂z4 ∂4 Φ(x, z, t) +2V pz V pn (1 + η) 2 2 (6.8) ∂x2 ∂z2 Realizando a discretiza¸˜o em segunda ordem no espa¸o e no tempo para a ca cequa¸ao (6.8) obt´m-se a seguinte equa¸ao em diferen¸as finitas: c˜ e c˜ c  4Φi,k − 2(Φn + Φn−1 + Φn + Φn+1 ) + Φn−1 + Φn−1 + Φn+1 + Φn+1   n   i−1,k i,k i+1,k i,k i−1,k i+1,k i+1,k i−1,k  b1    ∆h2 ∆t2       4Φi,k − 2(Φn + Φn−1 + Φn + Φn+1 ) + Φn−1 + Φn−1 + Φn+1 + Φn+1   n  i,k−1 i,k i,k+1 i,k i,k−1 i,k+1 i,k+1 i,k−1  + b2  =   ∆h 2 ∆t2      Φn − 4Φn + 6Φn − 4Φn + Φn i+2,k i+1,k i,k i−1,k i−2,k Φn − 4Φn + 6Φn − 4Φn + Φn i,k+2 i,k+1 i,k i−1,k i,k−2b3 4 + b4 4 + (∆h) (∆h) 4Φn − 2(Φn + Φn + Φn + Φn ) + Φn i,k i−1,k i,k−1 i+1,k i,k+1 i−1,k−1 + Φi+1,k−1 + Φi+1,k+1 + Φi−1,k+1 n n n b5 ∆h2 ∆t2 (6.9) onde, b1 = (1 + 2ηi,k )V pn (i,k) 2 (6.10) b2 = V pz (i,k) 2 (6.11) b3 = (1 + 2ηi,k )2 V pn (i,k) 4 (6.12) b4 = V pz (i,k) 4 (6.13) b5 = 2V pz (i,k) V pn (i,k) (1 + ηi,k ) 2 2 (6.14) A express˜o do lado esquerdo da igualdade em (6.9) envolve cinco inc´gnitas a oavaliadas no tempo n+1, conforme ilustrado na figura (6.2), de forma que as equa¸oes c˜geradas est˜o acopladas, diferentemente da equa¸ao de Alkhalifah discretizada (6.7). a c˜ ∂4 Φ , ∂Φ , 4O acoplamento ocorre devido aos termos de derivada mista ∂x2 ∂t2 ∂z2 ∂t2 o que exige 45
    • a solu¸ao de um sistema linear a cada passo de tempo. Observa-se que para a c˜formula¸˜o de Zhang, equa¸˜o (5.12), a mesma express˜o (6.9) ´ v´lida, a menos ca ca a e ados coeficientes, que passam a ser dados por: b1 = 1 (6.15) b2 = 1 (6.16) b3 = V pz (i,k) (1 + 2 2 i,k ) (6.17) b4 = V pz (i,k) 2 (6.18) b5 = 2V pz (i,k) (1 + δi,k ) 2 (6.19)Figura 6.2: Estˆncil para pontos no tempo n, n + 1 e n − 1 para o caso ac´stico e uanisotr´pico. o Ao discretizar as equa¸oes (5.12) e (5.14), observou-se que as mesmas consti- c˜tuem um sistema de equa¸˜es acoplado, equa¸ao (6.9), por essa raz˜o ´ conveniente co c˜ a ereescrever as equa¸oes (5.12) e (5.14) em nota¸˜o matricial como: c˜ ca MPn = KΦn (6.20) sendo M e K as matrizes de coeficientes, enquanto Pn e Φn s˜o vetores. Uma a i,k ınio atrav´s de (6.20), sendo o campo Φn evez calculado o campo Pn sobre o dom´ e i,kΦn−1 dados pelas condi¸oes iniciais, o processo de marcha temporal ´ realizado por i,k c˜ emeio de (5.11), isto ´, e Φn+1 = 2Φn − Φn−1 + ∆t2 Pn i,k i,k i,k i,k (6.21) 46
    • Em resumo o processo de modelagem atrav´s das equa¸oes (5.12) e 5.14) consiste e c˜na solu¸ao de um sistema de equa¸oes lineares dado por (6.20), seguido do processo c˜ c˜de marcha no tempo, dado por (6.21). Apesar da semelhan¸a entre as equa¸oes de c c˜Zhang (5.12) e Kl´ (5.14), observa-se que as respectivas matrizes de coeficientes ıeM possuem natureza distinta, sendo sim´trica para a formula¸ao de Zhang, e n˜o e c˜ asim´trica para a formula¸ao de Kl´ No entanto no meio homogˆneo, a simetria ´ e c˜ ıe. e emantida em ambas as matrizes. Destaca-se que para a solu¸ao do sistema linear, c˜foi realizada a triangulariza¸ao da matriz de coeficientes M atrav´s da fatora¸˜o c˜ e caLDLT , e em seguida empregou-se a retrosubstitui¸ao [58]. Quanto ao esquema de c˜armazenamento matricial, optou-se por empregar o armazenamento comprimido porlinha, conhecido como armazenamento CRS (Compressed Row Storage) ou CSR(Compressed Sparse Row) [59].6.1.3 Formula¸˜o el´stica ca a Para fins de compara¸ao, foi utilizada a equa¸˜o el´stica anisotr´pica de acordo c˜ ca a ocom o trabalho de Di Bartolo [42], onde as equa¸oes (4.17) e (4.18) para meios c˜bidimensionais com anisotropia VTI s˜o escritas com: a ∂v1 ∂σ11 ∂σ13 ρ = + , (6.22) ∂t ∂x1 ∂x3 ∂v3 ∂σ13 ∂σ33 ρ = + , (6.23) ∂t ∂x1 ∂x3 ∂σ11 ∂v1 ∂v3 = C11 + C13 , (6.24) ∂t ∂x1 ∂x3 ∂σ33 ∂v1 ∂v3 = C13 + C33 , (6.25) ∂t ∂x1 ∂x3 ∂σ13 ∂v1 ∂v3 = C55 + , (6.26) ∂t ∂x3 ∂x1 onde as coordenadas s˜o (x1 , x3 ) = (x, z), logo as velocidades s˜o dadas por a a(v1 , v3 ) = (v x , vz ), e as tens˜es por (σ11 , σ33 , σ13 ) = (σ xx , σzz , σ xz ). Os coeficientes oC11 , C33 , C55 e C13 s˜o os coeficientes de elasticidade para o meio VTI. As rela¸˜es a coentre os coeficientes de elasticidade e os parˆmetros de anisotropia s˜o dadas pelas a amesmas equa¸oes (4.41), (4.42), (4.43) e (4.45), observando-se que as mesmas devem c˜ser n˜o normalizadas para a densidade. a 47
    • A malha aplicada para a discretiza¸˜o das equa¸oes (6.22) ` (6.26) difere da ca c˜ autilizada nas se¸˜es (6.1.1) e (6.1.2), onde as inc´gnitas e os parˆmetros foram co o aavaliados nos mesmos pontos; quando isso ocorre a malha ´ dita ser co-localizada e[57]. Entretanto para a equa¸ao el´stica, inc´gnitas e propriedades materiais s˜o c˜ a o acomumente definidas em posi¸˜es diferentes, intermedi´rias, por essa raz˜o a malha co a a´ conhecida na literatura como malha intercalada ou deslocada. Este conceito foieprimeiramente empregado na modelagem de ondas s´ ısmicas por Madariaga [60] eposteriormente por Virieux [61], [62]. O intercalamento entre tens˜es e velocidades o´ descrito conforme a figura (6.3).eFigura 6.3: Malha intercalada no espa¸o e tempo (Modificado de Di Bartolo [42]). c h Ao observar a figura (6.3), verifica-se que as grandezas est˜o espa¸adas de 2 , ou a cseja, metade da distˆncia entre os pontos da malha, al´m das tens˜es e velocidades a e oestarem definidas em intervalos de tempo diferentes, respectivamente, n e n + 1 . 2Por este motivo, ao utilizar a malha intercalada, o erro na discretiza¸˜o utilizando cadiferen¸as centrais para as derivadas espaciais apresenta-se quatro vezes menor em crela¸ao a malha co-localizada [63]. O resultado da discretiza¸ao como apresentado c˜ c˜em Di Bartolo [42] ´: e 48
    • n+ 1 n− 1 ∆t n V x ( i, k) = V x ( i, k) + b ( i, k) 2 2 σ xx ( i+ 1 , k) − σn ( i− 1 , k) + σn ( i, k+ 1 ) − σn ( i, k− 1 ) . xx xz xz h 2 2 2 2 n+ 1 n− 1 ∆t nVz ( i+21 , k+ 1 ) = Vz ( i+21 , k+ 1 ) + b ( i+ 2 , k+ 1 ) 1 σ xz ( i+1, k+ 1 ) − σn ( i, k+ 1 ) + σn ( i+ 1 , k+1) − σn ( i+ 1 , k) . xz zz xz 2 2 2 2 2 h 2 2 2 2 ∆t n+ 1 n+ 2 1σn+1 ( i+ 1 , k) = σn i+ 1 , k) + C11 ( i+ 2 , k) xx xx( 1 2 V x ( i+1, k) − V x ( i, k) 2 2 h ∆t n+ 1 n+ 1 + C13 ( i+ 1 , k) Vz ( i+21 , k+ 1 ) − Vz ( i+21 , k− 1 ) . 2 h 2 2 2 2 (6.27) ∆t n+ 21 n+ 21σn+1 ( i+1, k) = σn ( i+ 1 , k) + C33 ( i+ 1 , k) zz zz V z ( i+ 1 , k+ 1 ) −V z ( i+ 1 , k− 1 ) 2 2 h 2 2 2 2 ∆t n+ 21 n+ 1 + C13 ( i+ 1 , k) V x ( i+1, k+ 1 ) − V x ( i, k) . 2 2 h 2 ∆t n+ 1 n+ 1σn+1 ( i, k+ 1 ) = σn ( i, k+ 1 ) + C55 ( i, k+ 2 ) xz xz 1 2 2 V x ( i, k+1) − V x ( i, k) 2 2 h ∆t n+ 1 n+ 1 + C55 ( i, k+ 1 ) Vz ( i+21 , k+ 1 ) − Vz ( i−21 , k+ 1 ) . 2 h 2 2 2 26.2 Condi¸oes iniciais e de contorno c˜ ısico tem in´ em um certo instante de tempo, geralmente t = 0, Todo problema f´ ıciocom isso ´ necess´rio conhecer a grandeza regida pelo modelo matem´tico, no caso e a aa equa¸˜o diferencial, no dado instante de tempo, isto ´, sua condi¸ao inicial. Em ca e c˜geral a condi¸ao inicial utilizada neste trabalho ´ dada por, c˜ e ∂u u(x, z, t = 0) = ϕ(x, z), (x, z, t = 0) = ψ(x, z). (6.28) ∂t A condi¸ao inicial descrita por (6.28) ´ conhecida como condi¸ao de Cauchy [64], c˜ e c˜onde u(x, z, t) pode ser o campo de press˜o, e no caso vetorial, tens˜o ou velocidade. a aNeste trabalho as fun¸˜es ϕ(x, z) e ψ(x, z) assumiram valor nulo em todo o dom´ co ınio,ou seja, ϕ(x, z) = ψ(x, z) = 0. Em rela¸ao as condi¸oes de contorno para a modelagem s´ c˜ ` c˜ ısmica, as mesmasnecessitam representar um meio infinito, exceto na superf´ ıcie. Para esta fun¸˜o caas condi¸oes de contorno n˜o reflexivas (CCNR) s˜o frequentemente empregadas c˜ a a 49
    • [65]. O objetivo da CCNR ´ evitar reflex˜es nas fronteiras do modelo num´rico, e o ecausadas pelo truncamento do modelo geol´gico real. Outra forma bastante usual opara impedir as reflex˜es indesejadas ´ utilizar as camadas de amortecimento. o e As camadas de amortecimento s˜o regi˜es criadas em torno das fronteiras, sua a ofun¸˜o ´ causar um decaimento exponencial do campo de onda, diminuindo sua ca eamplitude, visando reduzir reflex˜es na fronteira. A condi¸ao mais conhecida para o c˜esse prop´sito foi desenvolvida por Cerjan et al. [66]. No entanto, durante o de- osenvolvimento deste trabalho n˜o observou-se redu¸ao significativa das amplitudes a c˜empregando a condi¸ao de Cerjan. Em rela¸ao a CCNR proposta por Reynolds [65], c˜ c˜a mesma mostrou-se inst´vel para os operadores implementados. a Por n˜o ser o foco principal do trabalho, e visto que a an´lise das condi¸˜es de a a cocontorno para propaga¸ao de ondas em meios infinitos gera uma linha de pesquisa c˜a parte, devido a complexidade do tema optou-se por empregar as condi¸˜es de` coDirichlet e Neumann, e quando necess´rio, expandir o modelo num´rico para simular a ea condi¸˜o de comportamento no infinito, e assim evitar reflex˜es nas fronteiras. ca o6.2.1 Condi¸˜o de Dirichlet e Neumann ca Para simular a condi¸ao de contorno na superf´ aplicou-se a condi¸˜o de Diri- c˜ ıcie cachlet. Para tal condi¸ao assume-se conhecido o valor do campo sobre a fronteira Γu , c˜isto ´, e u(x, z, t) = u em Γu , (6.29) onde o valor prescrito u = 0 foi aplicado como sendo o valor do campo na su-perf´ ıcie. Para a formula¸ao de Alkhalifah descrita na se¸ao (5.2.1), a aplica¸ao da c˜ c˜ c˜condi¸ao de Dirichlet ´ direta, entretanto para a formula¸˜o de Zhang e Kl´ o c˜ e ca ıe,m´todo utilizado foi o M´todo das Imagens [19], [49]. e e O M´todo das Imagens foi introduzido por Levander [19] para simular o campo eprescrito nulo em uma dada superf´ ıcie, aplicando a rela¸˜o de anti-simetria, ou seja: ca un = −un . i,k−1 i,k+1 (6.30) Desta forma, de acordo com a figura (6.4), para a aplica¸˜o da condi¸ao de ca c˜Dirichlet no ponto (i, k), isto ´, para fazer un = 0, ´ necess´rio aplicar sobre as e i,k e a 50
    • equa¸oes (5.12) e (5.14) deste ponto, a rela¸˜o de anti-simetria (6.30). Assim para a c˜ caprescri¸˜o de toda a superf´ da figura (6.4), a mesma id´ia ´ aplicada aos demais ca ıcie e epontos da respectiva fronteira.Figura 6.4: M´todo da imagem para condi¸˜o de Dirichlet no ponto (i, k). A seta e caindica a igualdade (6.30) entre os pontos. No caso da condi¸ao de Neumann, o valor da derivada do campo na fronteira Γq c˜´ conhecido, ou seja,e ∂u (x, z, t) = q em Γq , (6.31) ∂ˆ n onde n ´ a normal ` fronteira. Para o valor prescrito foi utilizado q = 0. A ˆ e aaplica¸˜o para a formula¸ao (5.10) foi empregada atrav´s da discretiza¸ao de (6.31) ca c˜ e c˜em diferen¸as progressivas e regressivas em primeira ordem nas fronteiras esquerda, cdireita e inferior, respectivamente. Abaixo seguem as discretiza¸oes para a aplica¸˜o c˜ cana formula¸ao de Alkhalifah (5.10): c˜ • Fronteira esquerda un = un , 1,k 2,k (6.32) • Fronteira direita un = un nx,k nx−1,k , (6.33) • Fronteira inferior un = un nz,k nz−1,k , (6.34) 51
    • sendo nx o n´mero total de pontos na dire¸ao x e nz para a dire¸ao z . u c˜ c˜ Para a simula¸ao da condi¸˜o de Neumann para as formula¸oes de Zhang (5.12) c˜ ca c˜e Kl´ (5.14), a estrat´gia tamb´m foi o m´todo das imagens, semelhante a condi¸ao ıe e e e c˜de Dirichlet, no entanto a rela¸ao assumida ´ de simetria, dada por: c˜ e • Fronteira esquerda un = un , i−1,k i+1,k (6.35) • Fronteira direita nx+1,k = unx−1,k , un n (6.36) • Fronteira inferior nz+1,k = unz−1,k , un n (6.37)6.3 Condi¸˜o de estabilidade e dispers˜o ca a6.3.1 Estabilidade num´rica e De acordo com Fortuna [57] um m´todo num´rico est´vel ´ aquele onde quaisquer e e a eerros ou perturba¸oes na solu¸˜o n˜o s˜o amplificados sem limite. Como a amplifi- c˜ ca a aca¸ao ´ puramente relativa ao m´todo num´rico, e n˜o a f´ c˜ e e e a ` ısica do problema, ela deveser evitada para que haja convergˆncia da solu¸˜o. Em geral, para problemas tran- e casientes, os m´todos de marcha expl´ e ıcitos apresentam um limite no valor utilizadode ∆t. Esse ´ normalmente expresso em fun¸ao da dimens˜o da malha utilizada, e c˜ avelocidade de propaga¸ao, entre outros. Para as equa¸oes (6.7), (6.9) assumindo os c˜ c˜coeficientes (6.15) a (6.19) e (6.27), a restri¸ao sobre ∆t ´ dada por: ` c˜ e 1 h h ∆t < √ min , (6.38) 2 max (V px (x, z)) max (V pz (x, z))A condi¸˜o de estabilidade (6.38) ´ conhecida como Condi¸˜o de Courant-Friedrichs- ca e caLewy (CFL) [1]. 52
    • J´ para a equa¸˜o (6.9) assumindo os coeficientes (6.10) a (6.14), a condi¸ao a ca ` c˜necess´ria foi a mesma empregada por Kl´ e Toro [54], equa¸˜o (6.39), condi¸ao a ıe ca c˜esta derivada a partir da an´lise de Von Neumann [67], bastante empregada para aanalise de estabilidade num´rica. e 2 2  ∆t   2 2ηV pn V pz (1 + 2η)V 2 + V 2 +     ≤1 (6.39) pn pz (1 + 2η)V pn 2 + V 2  h2    pz6.3.2 Dispers˜o num´rica a e O fenˆmeno de dispers˜o num´rica ´ causado em virtude das discretiza¸oes re- o a e e c˜alizadas pelo m´todo num´rico, fazendo com que as ondas viagem com velocidades e ee frequˆncias distintas [68]. Devido a dispers˜o, a qualidade da solu¸ao num´rica e a c˜ e´ afetada, diminuindo sua convergˆncia ao longo do tempo. Para controlar a dis-e epers˜o, existe um crit´rio a ser aplicado para problemas de propaga¸ao de ondas, a e c˜respons´vel por estabelecer o maior valor poss´ para o espa¸amento utilizado na a ıvel cmalha, dependente da frequˆncia e velocidade da onda no meio [69], dado por: e Vmin h≤ , (6.40) α fcorteonde Vmin ´ a menor velocidade contida no modelo, α representa o n´mero de pontos e udiscretos por comprimento de onda, onde se considera o menor comprimento deonda, referente a menor velocidade presente no meio. Tal parˆmetro ´ dependente ` a eda ordem da discretiza¸ao, para operadores de segunda ordem, deve-se adotar valores c˜para α pr´ximos a dez [50]. O parˆmetro fcorte corresponde a frequˆncia de corte o a eassociada a fonte utilizada para a gera¸˜o das ondas s´ ca ısmicas. Maiores detalhessobre a fonte ser˜o vistos na se¸ao seguinte. a c˜ 53
    • 6.4 Fonte S´ ısmica Na modelagem de ondas s´ ısmicas ´ necess´ria a aplica¸ao de uma fonte para que e a c˜inicie-se a propaga¸ao da onda no meio. Uma fonte s´ c˜ ısmica ´ uma regi˜o localizada, e adentro da qual a repentina libera¸ao de energia produz uma r´pida tens˜o/press˜o c˜ a a asobre o meio circundante [70]. Basicamente a fonte ´ inserida ` equa¸˜o diferencial, e a caressalta-se que por essa raz˜o deve-se tomar cuidado durante a discretiza¸ao para a c˜que a mesma seja levada em conta. A fonte s´ ısmica empregada na modelagem num´rica para todas as equa¸oes de e c˜ondas discretizadas neste trabalho ´ do tipo: e f (t) = 1 − 2π( fc td π)2 e−π( fc td π) . 2 (6.41)Sendo: t → Tempo td → Tempo defasado devido a uma transla¸˜o no eixo temporal, de modo que a cawavelet inicie na origem, √ 2 π td = t − fc fc → Frequˆncia central da fonte, e fcorte fc = √ 3 π fcorte → Frequˆncia de corte; maior frequˆncia contida no espectro da fun¸˜o e e cafonte. A fonte empregada, figura (6.5(a)), ´ denominada wavelet de Ricker [71], a figura e(6.5(b)) apresenta o espectro de frequˆncias da desta fun¸˜o. Na teoria de wavelets, e ca(6.41) ´ referida como Mexican Hat [72]. Importante salientar que para a equa¸ao e c˜el´stica, a fonte deve ser aplicada sobre os tensores de tens˜es normais [61], [62]. a o 54
    • (a) Fun¸˜o fonte. ca (b) Espectro de frequˆncias da fun¸˜o. e ca Figura 6.5: Fun¸˜o fonte e seu espectro de frequˆncias. ca e6.5 Matriz de tempo de trˆnsito a Ao resolver as equa¸˜es diferenciais que descrevem o fenˆmeno de propaga¸ao co o c˜de ondas pode-se conhecer a distribui¸ao de press˜o, tens˜o ou deslocamento no c˜ a ameio de interesse, dependendo da formula¸ao utilizada. O tempo de trˆnsito ´ outra c˜ a evari´vel de enorme interesse na s´ a ısmica, pois ´ parˆmetro para v´rias etapas de e a aprocessamento s´ ısmico, incluindo-se a migra¸˜o [73]. Por essa raz˜o, neste trabalho ca aas matrizes de tempo de trˆnsito ser˜o avaliadas. a a A variedade de m´todos para encontrar o tempo de trˆnsito ´ extensa, entre os e a equais a solu¸˜o direta da Iconal [74] e o m´todo de Tra¸ado de Raios [75] s˜o os ca e c atradicionais. Apesar deste trabalho n˜o aplicar nenhum dos m´todos citados acima, ´ a e eposs´ avaliar o tempo de trˆnsito empregando as mesmas equa¸˜es diferenciais que ıvel a codescrevem a propaga¸ao de ondas. Todavia ´ necess´ria a aplica¸ao de um crit´rio c˜ e a c˜ epara obter o tempo de percurso referente a frente de ondas durante a propaga¸ao, e c˜no presente caso, o crit´rio adotado ser´ aquele conhecido como crit´rio de amplitude e a em´xima pr´ximo a primeira quebra (first break) 1 , o qual ´ empregado durante a a o epropaga¸˜o. ca Tal crit´rio foi proposto por Bulc˜o [50], onde o autor realizou uma extens˜o e a ado trabalho de Loewenthal e Hu [77]. De acordo com a metodologia, a amplitudem´xima da frente de onda pr´ximo a primeira quebra ´ registrada (ureg ) para a o ecada ponto do modelo, registrando-se tamb´m o tempo associado a (ureg ), que e 1 Primeiro evento interpretado como sinal, atribuido a onda gerada pela fonte s´ ısmica [76] 55
    • ser´ considerado como o tempo de trˆnsito. O processo empregado ´ iterativo, a a eatualizando a amplitude registrada a cada passo de tempo n. Ao associar o tempode trˆnsito a cada ponto do modelo, obt´m-se uma matriz de tempo de trˆnsito a e a(MTT). Segue abaixo o pseudoc´digo da metodologia. o Algoritmo ( Matriz de tempo de trˆnsito ) a 1 cond1 ← [(t − MT T (i, k)) ≤ 1, 5 ∗ TG ] 2 cond2 ← |u(i, k, n)| > |ureg (i, k)| 3 cond3 ← ureg (i, k) = 0 4 se (cond2 e (cond1 ou cond3 )) ent˜o a 5 ureg (i, k) ← |u(i, k, n)| 6 MT T (i, k) ← n∆t 7 fim se fim onde: u(i, j, n) ´ o campo incidente; e ureg (i, k) ´ a matriz que registra a amplitude em cada ponto; e TG ´ o periodo da fun¸ao fonte utilizada; e c˜ n ´ o passo temporal; e ∆t ´ o incremento temporal; e t ´ o tempo registrado; e MT T (i, k) ´ a matriz de tempo de trˆnsito associada; e a cond1 , cond2 e cond3 s˜o vari´veis l´gicas. a a o Como descrito por Bulc˜o [50], a metodologia tem a vantagem de apresentar auma matriz com comportamento mais suave para regi˜es distantes da fonte, al´m de o ediminuir as descontinuidades causadas pela interferˆncia construtiva entre as ondas eoriundas da fonte e as refletidas nas interfaces. Enfatiza-se que no presente trabalhoas matrizes de tempo de trˆnsito da formula¸ao pseudo-ac´stica ser˜o comparadas a c˜ u acom as advindas da formula¸ao el´stica. c˜ a 56
    • Cap´ ıtulo 7Exemplos e Discuss˜es o Neste cap´ ıtulo s˜o apresentados alguns exemplos utilizando as equa¸oes ac´sticas a c˜ ue pseudo-ac´stica. O principal objetivo ´ estudar a natureza das formula¸˜es pseudo- u e coac´stica e ac´stica anisotr´pica comparando-as com a formula¸ao el´stica. u u o c˜ a As matrizes de tempo de trˆnsito para a formula¸ao pseudo-ac´stica e el´stica a c˜ u aser˜o comparadas entre si, com a finalidade de avaliar a precis˜o cinem´tica forne- a a acida pela formula¸˜o pseudo-ac´stica. Para demonstrar a natureza da propaga¸ao ca u c˜de ondas em meios anisotr´picos, alguns casos ser˜o comparados para avaliar as o adiferen¸as cinem´ticas entre meios isotr´picos e anisotr´picos. c a o o Observa-se que todos os eixos cartesianos representados nas figuras deste cap´ ıtuloest˜o na seguinte configura¸˜o: (x, z)=( distˆncia (m), profundidade (m) ), exceto a ca apara os sismogramas, onde (x, z)=( distˆncia (m), tempo (s) ). a7.1 Formula¸˜o El´stica e Pseudo-Ac´ stica ca a u Os exemplos seguintes tratam da modelagem da equa¸ao el´stica anisotr´pica c˜ a oe pseudo-ac´stica; os meios empregados para an´lise ser˜o quatro: Homogˆneo, u a a eInterfaces Paralelas, Interfaces Inclinadas e Anticlinal.7.1.1 Meio Homogˆneo e O primeiro exemplo a ser destacado ´ o meio homogˆneo, o mesmo empregado e ena se¸˜o (5.3) para avalia¸ao das aproxima¸oes de velocidades. Sendo assim V pz = ca c˜ c˜3094 m/s, V sv = 1509 m/s, ρ = 2370 kg/m3 , = 0.255 e δ = −0.051. O exemplo 57
    • Tabela 7.1: Parˆmetros utilizados na modelagem (Meio Homogˆneo) a e Modelagem Pseudo-Ac´ stica u Parˆmetro Valor a Descri¸ao (Unidade) c˜ ∆t 0,6 Incremento temporal (ms) h 4,5 Espa¸amento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z c fcorte 60 Frequˆncia de corte da fonte (Hz) e Nx 300 N´meros de pontos na malha para dire¸ao x u c˜ Nz 300 N´meros de pontos na malha para dire¸ao z u c˜ Ntotal 600 N´mero total de passos de tempo, onde t = 0, 36s u ix f 150 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o x c˜ ca kz f 150 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o z c˜ ca Modelagem El´stica a Parˆmetro Valor a Descri¸ao (Unidade) c˜ ∆t 0,35 Incremento temporal (ms) h 2,5 Espa¸amento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z c fcorte 60 Frequˆncia de corte da fonte (Hz) e Nx 540 N´meros de pontos na malha para dire¸ao x u c˜ Nz 540 N´meros de pontos na malha para dire¸ao z u c˜ Ntotal 1030 N´mero total de passos de tempo, onde t = 0, 36s u ix f 270 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o x c˜ ca kz f 270 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o z c˜ catem como objetivos avaliar os modos de onda presentes na equa¸ao pseudo-ac´stica, c˜ uverificar as diferen¸as entre os tempos de trˆnsito no meio isotr´pico e anisotr´pico, c a o oal´m da compara¸ao dos mesmos com os advindos da modelagem el´stica. A tabela e c˜ a(7.1) descreve os parˆmetros empregados na modelagem. Ao observar a tabela (7.1), aa modelagem pseudo-ac´stica emprega um valor para o espa¸amento (h) da malha u cmaior e o passo total de an´lise (Ntotal ) menor, em rela¸ao a modelagem el´stica, a c˜ apara representar o mesmo meio. Isto ´ devido ao crit´rio de dispers˜o empregado e e apara modelagem pseudo-ac´stica, o qual independe da onda S. u As figuras (7.1(a)) e (7.1(b)) mostram instantˆneos (snapshots) do campo de apress˜o em 0.24s a partir da equa¸ao de Alkhalifah, para um meio anisotr´pico e a c˜ o 58
    • isotr´pico homogˆneo respectivamente, enquanto as figuras (7.2(a)) e (7.2(b)) apre- o esentam, para a formula¸˜o el´stica, as respostas para o campo de tens˜o vertical ca a a(σzz ) no mesmo instante de tempo. (a) Campo de press˜o no meio anisotr´pico a o (b) Campo de press˜o no meio isotr´pico a oFigura 7.1: Instantˆneos para o campo de press˜o em meio homogˆneo - Formula¸˜o a a e caPseudo-Ac´stica. u(a) Campo de tens˜o vertical no meio aniso- a (b) Campo de tens˜o vertical no meio isotr´- a otr´pico o picoFigura 7.2: Instantˆneos para o campo de tens˜o vertical (σzz ) em meio homogˆneo a a e- Formula¸˜o El´stica. ca a Ao observar a figura (7.1(a)) verifica-se a cria¸ao de um artefato em forma de c˜“diamante”, tal artefato representa uma onda SV resultante da formula¸ao de Al- c˜khalifah. A onda SV decorre da aproxima¸˜o V sv = 0, equa¸˜o (5.1), da qual foi ca ca 59
    • originada a equa¸˜o de onda (5.10). A aproxima¸˜o realizada causa o desacopla- ca camento da onda S somente na vertical, implicando entretanto, para dire¸oes diferentes c˜do eixo de simetria, na existˆncia da onda SV, como verificado na figura (7.1(a)). e (a) Frente de onda para velocidade de fase da onda P e SV. (b) Frente de onda para velocidade de grupo P e SV.Figura 7.3: Frentes de onda para as velocidades de fase e grupo; a curva em pretorepresenta a solu¸˜o anal´ ca ıtica (el´stica) e em vermelho a aproxima¸˜o de Alkhalifah. a caAs frentes mais internas correspondem ` onda SV, enquanto as externas ` onda P. a a Para elucida¸ao do fenˆmeno, as figuras (7.3(a)) e (7.3(b)) s˜o apresentadas, c˜ o aonde as mesmas representam as frentes de onda P e SV para a velocidade de fasee grupo. As frentes de onda para velocidades de grupo foram calculadas de acordo 60
    • com Tsvankin [6]: ∂V p,sv (θ) ∂n ph gr V p,sv (φ) = V ph (θ)n + (7.1) p,sv ∂θ ∂θonde n ´ o vetor normal a frente da onda, n = (nx, nz) = (sen(θ), cos(θ)); V p,sv e V p,sv e gr phs˜o respectivamente as velocidade de grupo e fase para as ondas P ou SV. a As frentes de onda para velocidade de fase P e SV da solu¸ao anal´ c˜ ıtica foramcriadas a partir de (4.39), enquanto para as frentes de onda da aproxima¸˜o de caAlkhalifah, a mesma equa¸˜o ´ empregada, entretanto com V sv = 0. Dessa forma, ca econhecendo as velocidades de fase e aplicando (7.1), a frente de onda para velocidadede grupo ´ obtida. e A figura (7.3(b)) corrobora a id´ia da gera¸˜o de onda SV na formula¸˜o de Al- e ca cakhalifah (5.10), por essa raz˜o a mesma ´ referida como formula¸ao Pseudo-Ac´stica a e c˜ u[25]. Outro fato apresentado decorre por compara¸ao direta entre as figuras (7.1(a)), c˜(7.3(a)) e (7.3(b)), onde a velocidade de propaga¸˜o da onda no meio ´ dada pela ca evelocidade de grupo [78]. Ao realizar em (4.39) a simplifica¸˜o V sz = 0, a express˜o ca aresultante para velocidade de fase da onda SV torna-se: V pz lim V sv (θ) = √ 1 + 2 sen2 (θ) − (1 + 2 sen2 (θ))2 − 2( − δ)sen2 (2θ) (7.2) V sz →0 2 O desacoplamento total (V sv (θ) = 0) na formula¸˜o pseudo-ac´stica, ocorre de ca ufato somente quando = δ, ou seja, para meios isotr´picos ou com anisotropia oel´ ıptica, tornando poss´ a convers˜o de ondas. O mecanismo de cria¸˜o das ondas ıvel a caSV foi descrito por Grechka et al. [79], figura (7.4). A figura (7.4) mostra a varia¸˜o da c´spide originada para diferentes valores de ca uσ, lembrando que o parˆmetro σ ´ respons´vel pelo controle da anisotropia da onda a e aSV, como descrito na se¸˜o (4.4). Da figura (7.4), quando a anisotropia torna-se cacrescente, ou seja, quando a velocidade da onda SV na dire¸˜o do eixo de simetria cadecresce, a forma¸˜o da c´spide torna-se evidente, atingindo sua completa forma¸ao ca u c˜para σ = ∞, ou seja, quando V sv = 0. Devido a simplifica¸ao realizada, a condi¸ao de estabilidade c˜ c˜ ≥ δ ´ requerida epela express˜o (7.2), para n˜o haver complexos para velocidade. Em conjunto com a a a 61
    • (a) Frente de onda para σ ≈ 1.29. (b) Frente de onda para σ ≈ 2.93. (c) Frente de onda para σ ≈ 11.72. (d) Frente de onda para σ ≈ ∞.Figura 7.4: Frentes de onda SV para as velocidades de fase (linha cont´ ınua) e grupo(linha pontilhada).condi¸ao de estabilidade citada, outra condi¸ao, δ ≥ − 1 ´ necess´ria, pois a formula- c˜ c˜ 2 e a¸ao de Alkhalifah emprega como parˆmetro a velocidade nmo (V pn ), equa¸˜o (4.57),c˜ a cadessa forma a condi¸ao sobre δ n˜o permite valores complexos para tal velocidade. c˜ aLogo pelas condi¸˜es citadas, ´ necess´rio que η ≥ 0. co e a Em rela¸ao aos tempos de trˆnsito, as diferen¸as para os meios isotr´pico e ani- c˜ a c osotr´pico da formula¸˜o pseudo-ac´stica s˜o representadas na figura (7.5(a)), sendo o ca u aa anisotropia fator relevante na an´lise do tempo de trˆnsito, fato evidenciado pelo a aerro absoluto dado na figura (7.5(b)), onde a diferen¸a entre os tempos cresce em cregi˜es distantes do ponto de aplica¸ao da fonte. Por outro lado, a figura (7.6) o c˜exibe as diferen¸as entre os tempos de trˆnsito no meio anisotr´pico para as for- c a o 62
    • (a) Compara¸˜o das MTT’s para meio anisotr´pico e isotr´- ca o o pico. Curva branca (isotr´pico), curva preta (anisotr´pico), os o o valores representam o tempo em segundos. (b) Erro Absoluto. Figura 7.5: Compara¸˜o das MTT’s para meio homogˆneo ca emula¸oes el´stica e pseudo-ac´stica. Todavia em compara¸˜o a formula¸˜o el´stica, c˜ a u ca ` ca afigura (7.6(a)), tomada como solu¸ao de referˆncia, a formula¸ao de Alkhalifah em c˜ e c˜ ´primeira an´lise apresenta erro menor que 0.04%, conforme figura (7.6(b)). E impor- atante notar que devido a formula¸ao el´stica empregar um espa¸amento da malha c˜ a cmenor em rela¸ao a pseudo-ac´stica, a matriz de tempo de trˆnsito foi reamostrada c˜ u apara regi˜es coincidentes. Para a obten¸ao da MTT dada pela formula¸ao el´stica, o c˜ c˜ aa tens˜o vertical (σzz ) ou horizontal (σ xx ) pode ser empregada para registro das am- aplitudes, ou inclusive uma combina¸˜o linear de ambas [26], sendo que no presente ca 63
    • (a) Compara¸˜o das MTT’s para a formula¸˜o el´stica e pseudo- ca ca a ac´stica. Curva branca (el´stica), curva preta (pseudo-ac´stica). u a u (b) Erro Relativo.Figura 7.6: Compara¸ao das MTT’s para formula¸ao el´stica e pseudo-ac´stica no c˜ c˜ a umeio homogˆneo. etrabalho optou-se pela utiliza¸ao da tens˜o vertical (σzz ). c˜ a Em resumo, a forma¸ao de Alkhalifah ´ cinematicamente vi´vel, entretanto a c˜ e aanisotropia da onda SV assume valor extremo, al´m da convers˜o de ondas, podendo e aocasionar problemas de resolu¸ao durante a migra¸ao, principalmente em meios TTI c˜ c˜[30]. A singularidade da onda P, isto ´, dire¸oes da frente de onda caracterizada por e c˜velocidades P e SV iguais [80], e as idˆnticas polariza¸oes das ondas P e SV ao e c˜longo do plano isotr´pico e do eixo de simetria, s˜o outros inconvenientes citados o a 64
    • por Grechka et al.[79], envolvendo a formula¸˜o de Alkhalifah. ca7.1.2 Interfaces Paralelas O pr´ximo exemplo, envolvendo interfaces paralelas, tem por finalidade apre- osentar as diferen¸as entre sismogramas pseudo-ac´sticos, ao considerar o posicio- c unamento da fonte em camada isotr´pica e anisotr´pica. Enfatiza-se que a matriz o ode tempo de trˆnsito tamb´m ser´ avaliada. Na tabela (7.2) constam os parˆme- a e a atros da modelagem, e na figura (7.7) est˜o os modelos de velocidade e anisotropia aempregados. Tabela 7.2: Parˆmetros utilizados na modelagem (Interfaces Paralelas) a Modelagem Pseudo-Ac´ stica u Parˆmetro Valor a Descri¸ao (Unidade) c˜ ∆t 0,5 Incremento temporal (ms) h 3,0 Espa¸amento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z c fcorte 60 Frequˆncia de corte da fonte (Hz) e Nx 1300 N´meros de pontos na malha para dire¸ao x u c˜ Nz 500 N´meros de pontos na malha para dire¸ao z u c˜ Ntotal 2700 N´mero total de passos de tempo, onde t = 1, 35s u ix f 650 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o x c˜ ca kz f 5 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸ao z c˜ c˜ Modelagem El´stica a Parˆmetro Valor a Descri¸ao (Unidade) c˜ ∆t 0,15 Incremento temporal (ms) h 1,0 Espa¸amento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z c fcorte 60 Frequˆncia de corte da fonte (Hz) e Nx 3900 N´meros de pontos na malha para dire¸ao x u c˜ Nz 1500 N´meros de pontos na malha para dire¸ao z u c˜ Ntotal 9000 N´mero total de passos de tempo, onde t = 1, 35s u ix f 1950 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o x c˜ ca kz f 15 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o z c˜ ca 65
    • (a) Modelo de velocidade da onda P (V pz ). (b) Modelo de anisotropia para o parˆmetro epsilon ( ). a (c) Modelo de anisotropia para o parˆmetro delta (δ). aFigura 7.7: Modelo de interfaces paralelas - Velocidade e parˆmetros de anisotropia. a 66
    • (a) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.3s. a a (b) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.5s. a a (c) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.7s. a a (d) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.9s. a aFigura 7.8: Instantˆneos do campo de press˜o em diferentes instantes de tempo a a(primeira camada isotr´pica). o 67
    • (a) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.3s. a a (b) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.5s. a a (c) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.7s. a a (d) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.9s. a aFigura 7.9: Instantˆneos do campo de press˜o em diferentes instantes de tempo a a(primeira camada anisotr´pica). o 68
    • Como exemplo inicial, a fonte foi posicionada na primeira camada isotr´pica, osendo os snapshots apresentados para diferentes instantes de tempo, conforme figura(7.8), enquanto a figura (7.9) apresenta os snapshots considerando o posicionamentoda fonte em camada anisotr´pica ( = 0.2, δ = 0). o Ao posicionar a fonte na primeira camada anisotr´pica, pode-se observar a pro- opaga¸ao de ondas SV, figura (7.9). Em contrapartida ao considerar a mesma fonte c˜em camada isotr´pica, os eventos de ondas S s˜o suprimidos, figura (7.8). A solu¸˜o o a capara suprimir os eventos gerados pela onda SV foi sugerida por Tariq Alkhalifah [1].Todavia, como ser´ demonstrado na pr´xima se¸ao, a id´ia apresentada por Tariq a o c˜ enem sempre ´ valida. e A figura (7.10) mostra os sismogramas para os diferentes posicionamentos da e o o ´fonte, isto ´, o posicionamento da fonte em camada isotr´pica e anisotr´pica. Eposs´ observar da figura (7.10(b)) a onda SV direta e refletida, resultado do po- ıvelsicionamento da fonte na camada anisotr´pica. o (a) Sismograma (primeira camada isotr´- (b) Sismograma (primeira camada aniso- o pica). tr´pica) o Figura 7.10: Sismogramas para modelo de interfaces paralelas. 69
    • (a) Modelo de velocidade da onda S (V sz ). (b) Modelo de densidade.Figura 7.11: Modelo de interfaces paralelas - Velocidade (onda S vertical) e densi-dade. 70
    • (a) Compara¸˜o das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Interfaces pa- ca a u ralelas). Curva branca (el´stica), curva preta (pseudo-ac´stica). a u (b) Erro relativo.Figura 7.12: Compara¸ao das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Interfaces parale- c˜ a ulas). Considerando a fonte na camada isotr´pica, as matrizes de tempo de trˆnsito el´s- o a atica e pseudo-ac´stica foram comparadas, figura (7.12), onde o modelo empregado upara modelagem el´stica foi o mesmo da figura (7.7), al´m do modelo de densidade a ee onda S vertical para a modelagem el´stica, dado pela figura (7.11). O erro relativo aapresentado pela figura (7.12(b)) entre 0,005% e 0,015% ocorre em regi˜es onde h´ o a 71
    • interferˆncia entre as ondas refletidas e head waves 1 , sendo que nas demais regi˜es e oo erro ´ praticamente nulo. e7.1.3 Interface Inclinada Para o modelo de interface inclinada, a fun¸ao ´ ilustrar o fenˆmeno de cria¸˜o c˜ e o cada onda SV para a formula¸˜o pseudo-ac´stica, mesmo posicionando a fonte em ca ucamada isotr´pica. Na tabela (7.3) est˜o contidos os parˆmetros da modelagem, o a aenquanto na figura (7.13) est´ presente o modelo empregado. a Tabela 7.3: Parˆmetros utilizados na modelagem (Interface Inclinada) a Modelagem Pseudo-Ac´ stica u Parˆmetro Valor a Descri¸ao (Unidade) c˜ ∆t 0,2 Incremento temporal (ms) h 2,0 Espa¸amento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z c fcorte 60 Frequˆncia de corte da fonte (Hz) e Nx 1400 N´meros de pontos na malha para dire¸ao x u c˜ Nz 785 N´meros de pontos na malha para dire¸ao z u c˜ Ntotal 3600 N´mero total de passos de tempo, onde t = 0, 72s u ix f 700 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o x c˜ ca kz f 5 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸ao z c˜ c˜ Da figura (7.14) a convers˜o de ondas fica evidente, mesmo com a fonte posici- aonada em meio isotr´pico. A situa¸˜o contrasta com a proposta apresentada por o caAlkhalifah [1], onde posicionando a fonte em uma camada isotr´pica ou el´ o ıptica, aonda SV seria eliminada. De fato em alguns casos isto pode ocorrer, como obser-vado na figura (7.8). Todavia ´ poss´ que para altos contrastes de anisotropia, a e ıvelconvers˜o torne-se acentuada, conforme apresentado por Grechka et al. [79]. a Um dos principais problemas inerentes a esta convers˜o seria para convers˜es do a otipo P-SV-P, onde a onda SV seria convertida novamente em onda P, podendo criarru´ ıdos nas ondas P puras (n˜o convertidas) registradas do meio isotr´pico [79]. a o 1 Onda caracterizada por refratar com ˆngulo cr´ a ıtico [76]. 72
    • (a) Modelo de velocidade da onda P (V pz ). (b) Modelo de anisotropia para o parˆmetro epsilon ( ). a (c) Modelo de anisotropia para o parˆmetro delta (δ). aFigura 7.13: Modelo de interface inclinada - Velocidade e parˆmetros de anisotropia. a 73
    • (a) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.4s. a a (b) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.5s. a a (c) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.6s. a a (d) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.7s. a aFigura 7.14: Instantˆneos do campo de press˜o em diferentes instantes de tempo a a(Interface Inclinada). As setas brancas indicam a presen¸a da onda SV, enquanto cas pretas indicam os eventos esp´rios gerados pela convers˜o P-SV u a 74
    • 7.1.4 Modelo Anticlinal O modelo anticlinal representa a geologia de diversos reservat´rios de petr´leo o o[81], onde a id´ia do exemplo ´ validar os tempos de trˆnsito obtidos pela equa¸˜o de e e a caAlkhalifah para meios onde a geologia exp˜e certa complexidade. Os sismogramas opara os meio el´stico e pseudo-ac´stico ser˜o comparados entre si, tal como suas a u amatrizes de tempo de trˆnsito. A figura (7.15) mostra os modelos de densidade e avelocidade (V sz ) empregados na modelagem el´stica, e a figura (7.16) os modelos de avelocidade (V pz ) e anisotropia e δ, utilizados em ambas as formula¸˜es, el´stica co ae pseudo-ac´stica. Todos os parˆmetros relacionados a modelagem est˜o na tabela u a ` a(7.4). (a) Modelo de velocidade da onda S (V sz ). (b) Modelo de densidade Figura 7.15: Modelo Anticlinal - Velocidade (onda S vertical) e densidade. 75
    • (a) Modelo de velocidade da onda P (V pz ). (b) Modelo de anisotropia para o parˆmetro epsilon ( ). a (c) Modelo de anisotropia para o parˆmetro delta (δ). aFigura 7.16: Modelo anticlinal - Velocidade e parˆmetros de anisotropia. a 76
    • Tabela 7.4: Parˆmetros utilizados na modelagem (Anticlinal) a Modelagem Pseudo-Ac´ stica u Parˆmetro Valor a Descri¸ao (Unidade) c˜ ∆t 0,65 Incremento temporal (ms) h 5,0 Espa¸amento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z c fcorte 30 Frequˆncia de corte da fonte (Hz) e Nx 1400 N´meros de pontos na malha para dire¸˜o x u ca Nz 900 N´meros de pontos na malha para dire¸ao z u c˜ Ntotal 3900 N´mero total de passos de tempo, onde t = 2, 535s u ix f 700 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o x c˜ ca kz f 6 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o z c˜ ca Modelagem El´stica a Parˆmetro Valor a Descri¸ao (Unidade) c˜ ∆t 0,4 Incremento temporal (ms) h 3,0 Espa¸amento da malha (m), sendo h = ∆x = ∆z c fcorte 60 Frequˆncia de corte da fonte (Hz) e Nx 2334 N´meros de pontos na malha para dire¸˜o x u ca Nz 1500 N´meros de pontos na malha para dire¸˜o z u ca Ntotal 6338 N´mero total de passos de tempo, onde t = 2, 535s u ix f 1167 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o x c˜ ca kz f 10 Posi¸ao da fonte na malha para dire¸˜o z c˜ ca Os snapshots gerados a partir das formula¸oes pseudo-ac´stica e el´stica s˜o c˜ u a aapresentados respectivamente nas figuras (7.17) e (7.18). A convers˜o da onda SV amencionada anteriormente na se¸˜o (7.1.3) reaparece nos instantˆneos das figuras ca a(7.17(c)) e (7.17(d)), todavia mais acentuada devido a complexa geologia. Os mes-mos instantˆneos para a formula¸ao el´stica est˜o presentes nas figuras (7.18(c)) e a c˜ a a(7.18(d)), contudo n˜o ´ observado nenhum tipo de ru´ semelhante ao causado a e ıdopela formula¸ao pseudo-ac´stica. c˜ u 77
    • (a) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 0.97s. a a (b) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 1.62s. a a (c) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 2.27s. a a (d) Instantˆneo do campo de press˜o em t = 2.4s. a aFigura 7.17: Instantˆneos do campo de press˜o em diferentes instantes de tempo a a(Anticlinal). As setas pretas indicam os eventos esp´rios gerados pela convers˜o u aP-SV. 78
    • (a) Instantˆneo do campo de tens˜o em t = 0.97s. a a (b) Instantˆneo do campo de tens˜o em t = 1.62s. a a (c) Instantˆneo do campo de tens˜o em t = 2.27s. a a (d) Instantˆneo do campo de tens˜o em t = 2.4s. a aFigura 7.18: Instantˆneos do campo de tens˜o vertical (σzz ) em diferentes instantes a ade tempo (Anticlinal). 79
    • Os sismogramas para ambas as formula¸˜es, pseudo-ac´stica e el´stica, co u aencontram-se na figura (7.19), nos quais observa-se que embora a equa¸ao de Alkha- c˜lifah produza convers˜es indesejadas, uma vez que a id´ia primordial da formula¸ao o e c˜´ a propaga¸˜o somente de ondas P, tais convers˜es apresentadas para o exemploe ca on˜o possuem amplitude relativamente alta, n˜o sendo registradas no sismograma, a aconforme figura (7.19(a)). Contudo, os artefatos apresentados pelas figuras (7.17(c))e (7.17(d)), podem ocasionar no processo de imageamento, com aplica¸ao da con- c˜di¸ao de imagem [30], eventos esp´rios, principalmente em regi˜es de singularidade, c˜ u oonde ocorre maior concentra¸ao de energia [79]. Devido ao n˜o registro das ondas c˜ aSV, ´ poss´ distinguir os diferentes eventos associados a onda S pela formula¸ao e ıvel c˜el´stica, conforme figura (7.19(b)). a (a) Sismograma pseudo-ac´stico. u (b) Sismograma el´stico (Componente a σzz ). Figura 7.19: Sismogramas el´stico e pseudo-ac´stico (Modelo Anticlinal). a u Os tempos de trˆnsito, figura (7.20(a)), associados as formula¸oes el´stica e a c˜ apseudo-ac´stica indicam a adequada aproxima¸˜o cinem´tica da formula¸ao pseudo- u ca a c˜ac´stica, mesmo em meios com maior complexidade, exceto nas regi˜es onde o erro u orelativo, figura (7.20(b)), aponta valores entre 0,005% e 0,02%, sendo estes erros 80
    • devidos `s convers˜es de onda. a o (a) Compara¸˜o das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Anticlinal). Curva branca ca a u (el´stica), curva preta (pseudo-ac´stica) a u (b) Erro relativo Figura 7.20: Compara¸ao das MTT’s el´stica e pseudo-ac´stica (Anticlinal). c˜ a u 81
    • 7.2 Formula¸˜o Ac´ stica ca u7.2.1 Meio Homogˆneo e Como mencionado na se¸˜o (7.1), a formula¸ao pseudo-ac´stica gera tempos de ca c˜ utrˆnsito similares a formula¸ao el´stica, com o inconveniente da forma¸ao de ondas a c˜ a c˜SV. Neste t´pico ser´ demonstrado que as formula¸oes de Zhang (5.12) e Kl´ (5.14) o a c˜ ıeexcluem totalmente a onda SV. Como exemplo, o mesmo meio da se¸˜o (7.1.1) ser´ ca aempregado para an´lise das equa¸oes. Tal como na se¸ao (7.1.1) os snapshots da a c˜ c˜simula¸ao ser˜o apresentados. Os parˆmetros empregados para a modelagem s˜o os c˜ a a amesmos citados na tabela (7.1) para a modelagem pseudo-ac´stica. u (a) Campo de press˜o - Formula¸˜o de Zhang a ca (b) Campo de press˜o - Formula¸˜o de Kl´ a ca ıeFigura 7.21: Instantˆneos para o campo de press˜o em meio anisotr´pico homogˆneo a a o e- Formula¸˜o Ac´stica. ca u 82
    • As formula¸oes de Zhang e Kl´ excluem em definitivo a onda SV, figura (7.21), c˜ ıepresente na formula¸ao de Alkhalifah. A diferen¸a presente nos instantˆneos da c˜ c afigura (7.21) envolve a pequena varia¸˜o na frente de onda na dire¸˜o de 45o , para os ca caquatro quadrantes. A confirma¸ao pode ser verificada pela figura (7.22), que mostra c˜as frentes de onda para as aproxima¸˜es de velocidade (5.3) e (5.6), aproxima¸oes co c˜estas que originaram as equa¸oes de Zhang (5.12) e Kl´ (5.14), respectivamente. c˜ ıe (a) Frentes de onda para velocidade de grupo da onda P e SV. (b) Zoom das frentes de onda para velocidade de grupo P e SV.Figura 7.22: Frentes de onda para a velocidade grupo, a curva em preto representaa solu¸ao anal´ c˜ ıtica (el´stica); a em verde a aproxima¸ao de Thomsen, e a em azul a a c˜aproxima¸˜o de Muir. A frente interna representa a onda SV, enquanto as frentes caexternas a onda P. 83
    • De fato, a varia¸˜o na frente da onda ocorre, conforme ilustrado pelas figuras ca(7.22(b)). Sendo assim, a princ´ para o meio em quest˜o, a aproxima¸ao de Muir ıpio a c˜forneceria uma melhor estimativa sobre o tempo de trˆnsito, por consequˆncia a a eformula¸˜o de Kl´ e Toro. ca ıe 84
    • Cap´ ıtulo 8Conclus˜es e Trabalhos Futuros o Neste trabalho foram estudadas diferentes formula¸˜es para a equa¸ao ac´stica co c˜ uda onda em meios com isotropia transversa com o eixo de simetria vertical (VTI),entre elas, as formula¸˜es propostas por Tariq Alkhalifah (5.10), Kl´ e Toro (5.12) e co ıeZhang (5.14). Todas as equa¸oes de onda foram derivadas a partir de aproxima¸oes c˜ c˜de velocidade de fase para a onda P. Ao discretizar a equa¸˜o pseudo-ac´stica pelo ca uM´todo das Diferen¸as Finitas, a press˜o pˆde ser calculada de forma expl´ e c a o ıcita,diferente das equa¸oes de Zhang [2], equa¸ao (5.12), e Kl´ [3], equa¸˜o (5.14), onde c˜ c˜ ıe cahouve a necessidade da resolu¸ao de um sistema linear acoplado ao processo de c˜marcha temporal. Foi visto que a formula¸ao proposta por Tariq Alkhalifah [1], equa¸ao (5.10), n˜o c˜ c˜ a´ totalmente ac´stica, ou seja, n˜o contempla somente ondas P, gerando regi˜es come u a opresen¸a de ondas SV, criando anisotropia extrema (σ = ∞). Tanto a anisotropia cextrema, quanto a gera¸ao de ondas SV, devem-se a simplifica¸ao realizada (V sz = 0) c˜ c˜para a aproxima¸˜o de velocidade de fase anal´ ca ıtica, equa¸ao (4.37), a qual tinha c˜finalidade de obter uma equa¸ao que simulasse somente o campo de onda P em meio c˜anisotr´pico. o De forma geral, os resultados decorrentes da modelagem pseudo-ac´stica apre- usentaram precis˜o cinem´tica adequada quando comparados a modelagem el´stica, a a aentretanto os problemas ocasionados pela formula¸˜o evidentemente se apresentam carelevantes para processos de imageamento [30]. As equa¸oes propostas por Kl´ e posteriormente por Zhang contornam a barreira c˜ ıeimposta pela formula¸ao pseudo-ac´stica, todavia com a desvantagem da resolu¸˜o c˜ u ca 85
    • de um sistema linear a cada passo de tempo. Por´m, as condi¸˜es de estabilidade e coη > − 1 para a equa¸˜o de Kl´ | | 4 ca ıe, 1 e |δ| 1 para a equa¸˜o de Zhang, tornam camaiores as varia¸oes sobre os parˆmetros de anisotropia c˜ a e δ em rela¸˜o a equa¸ao ca c˜pseudo-ac´stica ( u ≥ δ), e consequentemente maiores varia¸˜es sobre η. Entre as coequa¸oes de Kl´ e Zhang, a primeira apresentou uma matriz de coeficientes M n˜o c˜ ıe asim´trica, enquanto a segunda uma matriz sim´trica, tendo como vantagem uma e esolu¸ao com custo computacional teoricamente inferior. Todavia a formula¸˜o de c˜ caKl´ apesar da matriz n˜o ser sim´trica, mostrou a princ´ ıe, a e ıpio melhor aproxima¸ao c˜pela frente da onda, figura (7.22(a)); isto foi devido a aproxima¸ao de velocidade para c˜onda P de Muir apresentar melhor precis˜o em rela¸˜o a aproxima¸ao de Thomsen, a ca c˜aproxima¸˜o esta empregada para formula¸ao de Zhang. ca c˜ Uma vez que a formula¸ao ac´stica anisotr´pica mostra boas perspectivas, pois c˜ u oremove definitivamente a presen¸a de ondas SV, pretende-se dar seguimento as pes- c `quisas efetuadas neste trabalho, principalmente nos seguintes temas: 1. Aplica¸ao de modelos mais complexos para as equa¸oes ac´sticas anisotr´picas. c˜ c˜ u o 2. Expans˜o das equa¸oes pseudo-ac´stica e ac´sticas para meios TTI. a c˜ u u 3. Implementa¸ao de m´todos iterativos para solu¸˜o das equa¸oes ac´sticas. c˜ e ca c˜ u 4. Avalia¸ao do custo computacional para as equa¸oes ac´sticas. c˜ c˜ u 5. Implementa¸ao de algoritmos de migra¸ao reversa no tempo para as referidas c˜ c˜ formula¸˜es, e as compara¸˜es entre as imagens geradas. co co 86
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    • Apˆndice A eDiscretiza¸˜o pelo M´todo de ca eDiferen¸as Finitas cA.1 Operadores de diferen¸as finitas c O M´todo das Diferen¸as Finitas (MDF) ´ um de solu¸ao num´rica para equa¸oes e c e c˜ e c˜diferenciais, geralmente baseado na aproxima¸˜o por S´rie de Taylor das derivadas ca eenvolvidas na equa¸ao diferencial. Dessa forma, o dom´ c˜ ınio do problema ´ discre- etizado por uma s´rie de pontos, denominado de malha, figura A.1(b), sendo cada eponto denominado n´, onde s˜o calculadas as inc´gnitas envolvidas. De acordo com o a oa figura A.1(b), ∆x e ∆z s˜o as distˆncias entre os pontos da malha nas dire¸oes x a a c˜e z, respectivamente, n˜o necessariamente iguais. Logo, um dado ponto (i, k) possui acoordenadas (xo + ∆x, z0 + ∆z), onde (xo , z0 ) representa a origem do sistema de co-ordenadas, geralmente adotado (0,0). Os n´meros de pontos nas dire¸oes x e z s˜o u c˜ arespectivamente nx e nz. As aproxima¸˜es por diferen¸as finitas s˜o classificadas de acordo com o erro co c adominante no truncamento da S´rie de Taylor, ou seja, o erro que causar´ maior e ainfluˆncia sobre a solu¸ao num´rica [57], onde por exemplo o termo O(∆x)2 presente e c˜ ena discretiza¸˜o (A.1), significa que a aproxima¸˜o possui ordem dois, pois o erro ca cacometido na discretiza¸ao da derivada espacial ´ proporcional ao quadrado do c˜ eespa¸amento ∆x. Importante notar que a express˜o O(∆x)2 , indica como o erro c alocal de truncamento varia em fun¸ao do espa¸amento da malha, e n˜o o valor do c˜ c aerro [57]. As aproxima¸˜es em diferen¸as finitas s˜o comumente definidas como co c a 95
    • diferen¸as regressiva, progressiva e central [17]. A diferen¸a regressiva aproxima c ca derivada da fun¸ao no ponto, utilizando um ponto vizinho anterior, enquanto a c˜progressiva utiliza um ponto posterior, e a central emprega ambos. Abaixo seguemalgumas aproxima¸˜es de segunda ordem no espa¸o. co c • Progressivas ∂f n −3 fi,k + 4 fi+1,k − fi+2,k n n n = + O(∆x)2 (A.1) ∂x i,k 2∆x ∂2 f n 2 fi,k − 5 fi+1,k + 4 fi+2,k − fi+3,k n n n n = + O(∆x)2 (A.2) ∂x2 i,k (∆x)2 ∂3 f n −5n + 18 fi+1,k − 24 fi+2,k + 14 fi+3,k − 3 fi+4,k i,k n n n n = + O(∆x)2 (A.3) ∂x3 i,k 2(∆x)3 ∂4 f n 3 fi,k − 14 fi+1,k + 26 fi+2,k − 24 fi+3,k + 11 fi+4,k − 2 fi+5,k n n n n n n = + O(∆x)2 (A.4) ∂x4 i,k (∆x)4 • Regressivas ∂f n 3 fi,k − 4 fi−1,k + fi−2,k n n n = + O(∆x)2 (A.5) ∂x i,k 2∆x ∂2 f n 2 fi,k − 5 fi−1,k + 4 fi−2,k − fi−3,k n n n n = + O(∆x)2 (A.6) ∂x2 i,k (∆x)2 ∂3 f n 5n − 18 fi−1,k + 24 fi−2,k − 14 fi−3, j + 3 fi+4,k i,k n n n n = + O(∆x)2 (A.7) ∂x3 i,k 2(∆x)3 ∂4 f n 3 fi,k − 14 fi−1,k + 26 fi−2,k − 24 fi−3,k + 11 fi−4,k − 2 fi−5,k n n n n n n = + O(∆x)2 (A.8) ∂x4 i,k (∆x)4 96
    • • Centrais ∂f n fi+1,k + fi−1,k n n = + O(∆x)2 (A.9) ∂x i,k 2∆x ∂2 f n fi+1,k − 2 fi,k + fi−1,k n n n = + O(∆x)2 (A.10) ∂x2 i,k (∆x)2 ∂3 f n fi + 2, kn − 2 fi+1,k + 2 fi−1,k − fi−2,k n n n = + O(∆x)2 (A.11) ∂x3 i,k (∆x)3 ∂4 f n fi+2,k − 4 fi+1,k + 6 fi,k − 4 fi−1,k + fi−2,k n n n n n = + O(∆x)2 (A.12) ∂x4 i,k (∆x)4 onde o O ´ ındice n ´ referente ao tempo de an´lise e i,k as coordenadas x e z. e aOutras derivadas importantes, s˜o as mistas [83]. a ∂2 f n fi+1,k+1 − fi+1,k−1 − fi−1,k+1 + fi−1,k−1 n n n n = + [O(∆x)2 , O(∆z)2 ] (A.13) ∂x∂z i,k 4(∆x)(∆z) ∂4 f n 4 fi,k − 2( fi−1,k + fi,k−1 + fi+1,k + fi,k+1 ) + fi−1,k−1 + fi+1,k−1 + fi+1,k+1 + fi−1,k+1 n n n n n n n n n =∂x2 ∂z2 i,k (∆x)2 (∆z)2 +[O(∆x)2 , O(∆z)2 ] (A.14) As f´rmulas em diferen¸as para o caso onde a fun¸ao a ser derivada possui depen- o c c˜dˆncia temporal s˜o an´logas as anteriores. Maiores detalhes podem ser encontrados e a a `nos textos de Fortuna [57], Evans et al. [17]. 97
    • (a) Regi˜o cont´ a ınua (b) Regi˜o discretizada aFigura A.1: Discretiza¸ao pelo M´todo das Diferen¸as Finitas (MDF) c˜ e c 98
    • Apˆndice B eSimetrias do tensor de elasticidade As simetrias do tensor de elasticidade s˜o de natureza not´vel, elas ocorrem em a araz˜o das simetrias dos tensores de tens˜o e deforma¸ao, al´m da simetria introdu- a a c˜ ezida por uma fun¸ao escalar chamada Energia potencial de deforma¸˜o. c˜ caSeja a equa¸˜o (2.9), ca 3 3 σi j = Ci jkl εkl k=1 l=1 3 3 (B.1) σ ji = C jikl εkl k=1 l=1utilizando (2.8), tem-se: 3 3 (Ci jkl − C jikl )εkl = 0 k=1 l=1 Ci jkl = C jikl (B.2) Na equa¸˜o (B.2), foi utilizada a simetria do tensor de tens˜o para encontrar uma ca asimetria do tensor de elasticidade. Igualmente, utilizando o tensor de deforma¸˜o, caverifica-se que: Ci jkl εkl = Ci jlk εlk (B.3) Devido a (2.2) ´ poss´ escrever: e ıvel 99
    • 3 3 (Ci jkl − Ci jlk )εkl = 0 k=1 l=1 Ci jkl = Ci jlk (B.4) A rela¸˜o (B.2) mostra que o tensor de elasticidade ´ invariante sob a permuta¸ao ca e c˜nos dois primeiros ´ ındices, enquanto (B.4) indica a invariˆncia nos dois ultimos. a ´ Em raz˜o das simetrias dos tensores de tens˜o e deforma¸ao, tal como as sime- a a c˜trias demonstradas, verifica-se que o n´mero de termos independentes do tensor de uelasticidade se reduz de 81 para 26 componentes. Uma ultima simetria relacionada ´a energia potencial de deforma¸ao faz com que o n´mero de termos independentes` c˜ useja reduzido a 21, como descrito a seguir. Em sistemas conservativos, a tens˜o pode ser relacionada a uma energia potencial a `de deforma¸ao [38] por: c˜ ∂W(εi j ) σi j = (B.5) ∂εi j onde W(εi j ) ´ a fun¸˜o energia potencial de deforma¸ao de um sistema conserva- e ca c˜tivo. Em resumo, a tens˜o ´ derivada dessa fun¸ao potencial. Reescrevendo (B.5) a e c˜em fun¸ao de (2.9), e ent˜o diferenciando ambos os lados em rela¸ao ` εkl , obt´m-se: c˜ a c˜ a e ∂2 W(ε) Ci jkl = (B.6) ∂εkl ∂εi j como W(ε) ´ uma fun¸ao de classe C 2 , e c˜ ∂2 W(ε) ∂2 W(ε) = (B.7) ∂εkl ∂εi j ∂εi j ∂εkl em consequˆncia de (B.7), tem-se: e Ci jkl = Ckli j (B.8) 100