Unidad III: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y GRÁFICOS
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Unidad III: RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Y GRÁFICOS

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Conozcan los diferentes tipos de relación matemática que puede haber entre dos variables e identifique la forma característica de sus respectivos gráficos y ecuaciones. Desarrolle la capacidad de......

Conozcan los diferentes tipos de relación matemática que puede haber entre dos variables e identifique la forma característica de sus respectivos gráficos y ecuaciones. Desarrolle la capacidad de análisis e interpretación de datos obtenidos experimentalmente de un fenómeno.

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  • 1. UNIDAD IIIRELACIONES DEPROPORCIONALIDAD
  • 2. INTRODUCCIONLa forma en que el científico verifica la validez de susmodelos y pone a prueba sus Teorías y Leyes es a travésdel experimento; ello lo obliga a plantearlo en la forma másadecuada para obtener resultados confiables, cuyainterpretación le permitirá o no, aceptar ese modelo.El análisis o interpretación de resultados, ya seanvalores, gráficas, tabulaciones, etc., debe contestar lo másclaramente posible, la o las preguntas planteadas por elproblema.
  • 3. 3.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RESULTADOSEl resultado directo de un experimento suele ser una tablade datos, un gráfico hecho con estos datos facilita lainterpretación de los mismos. Luego se busca estableceruna relación empírica con la realización de la graficadonde vincula los datos obtenidos.Cuando analizamos la grafica, encontramos una ecuaciónque la represente. Dicha ecuación se llama empíricaporque se obtuvo por medio de un experimento y comoexpresión analítica de una gráfica.
  • 4. Para construir gráficas se sugiere seguir los pasossiguientes:•Poner en el eje horizontal la variable independiente y en elvertical la variable dependiente con sus unidades.•Escoger las escalas en cada eje de manera que la gráficapermita hacer un análisis lo más objetivo posible de ella.•Plotear los puntos colocando el valor de las variables enlos ejes y trazar líneas rectas punteadas perpendiculares alos ejes.•Trazar la curva siguiendo la tendencia de los puntosgraficados.•Escribir en la página del grafico la tabla de los datos que logeneraron.
  • 5. 3.2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE DOSVARIABLES.Dos magnitudes son directamente proporcionales cuandoal multiplicar una de ellas por un número, la otra también semultiplica por el mismo número.Ejemplo: al cargar un resorte, se mide la deformación quesufre éste y se determina con un dinamómetro la fuerzaque se le ejerce; los datos que se presentan acontinuación, es la deformación sufrida por el resortedebido a la fuerza que se le aplica.
  • 6. Puede observarse que una fuerza de 0.08 N deforma elresorte en 0.004 m (4 mm) y una fuerza de 0.16 N deformaal resorte en 0.008 m (8 mm). La relación del cociente entreestos datos es:Esta constante k se denomina constante deproporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener unvalor de 20 N/m
  • 7. Al graficar los valores de fuerza contra deformación resultauna recta que pasa por el origen, tal como se muestra en lagrafica.La expresión que relaciona a las variables fuerza ydeformación es F = k x ó F = 20x
  • 8. En el análisis de datos a partir de una grafica, se obtienendos criterios de análisis, estos son:INTERPOLACIÓN, cuando el valor se obtiene dentro delintervalo de dos valores conocidos.EXTRAPOLACIÓN, cuando el valor que se requiere estáfuera de los datos conocidos.Ejemplo:Si deseamos saber cuanto es la fuerza aplicada paraobtener una deformación de 0.005 m (5 mm) aplicamos unaInterpolación. Si deseamos saber cuanto es la fuerzaaplicada para obtener una deformación de 0.011 m (11 mm)aplicamos una extrapolación.
  • 9. Interpolación, obtenemos el resultado de 0.10 NExtrapolación, obtenemos el resultado de 0.22 N
  • 10. Generalizando; si Y es una magnitud directamenteproporcional con otra magnitud X, esto puede expresarsede las siguientes formas:i. Y X, que se lee: Y es directamente proporcional a Xii. Dado que el cociente entre dos magnitudes directamenteproporcionales es constante, se puede escribir:iii. Para cualquier par de valores (X1, Y1) y (X2, Y2) de dosmagnitudes, si éstas son directamente proporcionalesse cumple que:iv. Cuando dos magnitudes Y y X son directamenteproporcionales, el gráfico de éstas es una recta quepasa por el origen.
  • 11. Relación LinealEn la proporcionalidad directa la ecuación Y = KXcorresponde a una recta que pasa por el origen. Estoquiere decir que cuando X = 0, también Y = 0. Sinembargo hay magnitudes que se relacionan de tal formaque cuando el valor de una de ellas es cero la otra esdistinta de cero y su gráfico es una recta como el que semuestra:Relación lineal entre Y y X
  • 12. En este caso se dice que la relación entre lasmagnitudes es lineal y se expresa: Y = mX + bEn la relación lineal solo los cambios entre las magnitudesson directamente proporcionales: Y X o Y = m X.Cuando la variable independiente toma el valor de cero(X = 0), la variable dependiente es igual a b (Y=b) y se ledenomina intercepto de la recta.La proporcionalidad directa puede considerarse un casoparticular de la variación lineal en la que b = 0
  • 13. Ejemplo: Una partícula se mueve sobre una línea recta talque durante un breve tiempo es posible tomar datos de sudesplazamiento con respecto del tiempo. Si se sabe queesta partícula se mueve a rapidez constante, expresar enun grafico la relación de los datos obtenidos.
  • 14. PROPORCIONALIDAD INVERSA ENTRE DOSVARIABLESDos magnitudes son inversamente proporcionales cuandoal multiplicar una de ellas por un número, la otra quedadividida entre ese número.Ejemplo: la relación entre la presión absoluta de un gas ysu volumen, cuando la temperatura de éste se mantieneconstante.
  • 15. De acuerdo a los datos, cuando el volumen del gas es de10 L, la presión es de 1.00 atm; cuando el volumen es de5.00 L (se reduce a la mitad) la presión es de 2.00 atm, (seduplica).Si se representan por P1, P2, P3,....., las diferentespresiones y por V1, V2, V3,...., sus respectivos volúmenes, elproducto entre éstos es constante:
  • 16. También en este caso K se denomina constante deproporcionalidad y para el ejemplo dado resulta tener unvalor de 10.0 atm·LAl graficar la presión P en función del volumen V se obtieneuna curva tal como se muestra en la siguiente figura. Estacurva se denomina hipérbola y representa gráficamente larelación P = K / VGrafica de P en función de V
  • 17. Si Y es una magnitud inversamente proporcional con otramagnitud X, dicha relación puede expresarse de lassiguientes formas:i. Y 1/X, que se lee: Y es proporcional al inverso de X ó Yes inversamente proporcional a X.ii. Dado que el producto de dos magnitudes inversamenteproporcionales es constante, se puede escribir: YX = k óY=k/X.iii. Para cualquier par de valores (X1,Y1) y (X2,Y2) de dosmagnitudes inversamente proporcionales se cumpleque: Y2 / Y1 = X1 / X2
  • 18. iv.El gráfico de dos magnitudes Y y X inversamenteproporcionales es una hipérbola como se ilustra en lasiguiente figura:Proporcionalidad inversa entre Y y XPROPORCIONALIDAD DIRECTA ENTRE UNA VARIABLEY OTRA ELEVADAA UN EXPONENTEEsta relación puede expresarse como: Y Xn o Y =KXn, donde n y K son constantes
  • 19. Los casos particulares dependen del valor de “n” así:1. Si n = 1, la relación toma la forma Y = KX quecorresponde a la proporcionalidad directa.2. Para n > 1 los gráficos son como los que se muestran enla siguiente figura:Relación Y = kXn con n > 1, e igual valor de K
  • 20. 3. El valor de n puede pertenecer al intervalo (0 < n < 1)Ejemplo: En términos más generalesdonde; La forma de estos gráficos es como se ilustraen la siguiente figuraGráfico de (0<n<1)Para pequeñas amplitudes, el período de oscilación T de unpéndulo simple es directamente proporcional a la raízcuadrada de su longitud L, es decir:
  • 21. 4. El valor de n puede ser negativo (n < 0)Ejemplo: que también puede escribirse . Laforma de estas gráficas es como se ilustra en la siguientefigura.Gráfico para n<0Ejemplo: La ley de Coulomb,
  • 22. Determinación de constantes n y kLa relación de proporcionalidad Y Xn debe de cumplir queEsto significa que:Escrito de otra forma:Si se aplican logaritmos a la última expresión:Despejando el valor de n:
  • 23. El valor de "n" queda así determinado por la expresiónanterior. La constante de proporcionalidad "k" se determinatomando puntos del gráfico y usando el valor de "n"encontrando así:Ejemplo:Encontrar la relación de proporcionalidad existente entre lasvariables W y Z de los siguientes datos de tabla:Solución:
  • 24. Guía básica:i. El primer paso consiste en graficar los datos paravisualizar el tipo de proporcionalidad existente.ii. Una vez definido el tipo de proporcionalidad, seprocederá a determinar la expresión matemática querelaciona a las variables.iii. El gráfico indica la relación W Zn cuando n<1. Estosignifica que la relación matemática entre W y Z es:W = K Zniv. El segundo paso consiste en determinar los valores de ny K. Calculando "n":
  • 25. Para datos experimentales, se calculan varios valores de ny se obtiene su promedio. Lo mismo es para K. CalculandoK:De acuerdo a los resultados, la relación entre W y Z es:
  • 26. MANEJO DE ESCALAS LOGARÍTMICAS (PAPELLOGARÍTMICO)El proceso de la semana anterior, se aplicó la funciónlogaritmo a los distintos valores de las variables, paraobtener el valor de “n” y luego el valor de, “K”. Este procesose puede simplificar utilizando papel logarítmico; llamadoasí porque el trazo de sus líneas se ha hecho basándoseen una escala logarítmica.Como puede verse en la siguiente figura, la forma en quese disponen las líneas es diferente a la del papel en escalalineal (papel milimetrado).
  • 27. Escalas Logarítmicas
  • 28. El papel logarítmico se utiliza para “linealizar” curvas deecuaciones de la forma:Esto es así dado que al aplicar la función logaritmo a laecuación anterior tenemos:Si graficamos Log Y en el eje de las ordenadas y Log X enel eje de las abscisas, obtendremos una línea recta cuyointercepto con el eje de las abscisas será Log K y con unapendiente igual a n. Al usar papel logarítmico, el interceptoes el valor de la ordenada correspondiente a la abscisa 100,proporcionándonos directamente el valor de K.
  • 29. Al usar la forma logarítmica n puede ser encontrado por:Si se usa papel logarítmico de igual número de ciclos en losejes horizontal y vertical, (que los ciclos en ambos ejessean del mismo tamaño) el valor de n puede ser obtenido almedir en mm la variación vertical de la recta ( LogY a) ysu correspondiente variación horizontal ( LogX b). Elvalor de n se obtiene así:Ejemplo: Graficaremos los datos de una experiencia con 1mol de gas a 0 C, variando la presión y el volumen. Sedesea la ecuación de P en función de V.
  • 30. Grafico de presión y volumen en escalas logarítmicasde dos por dos ciclos
  • 31. El valor de K lo leemos directamente en la escalalogarítmica vertical para un valor de abscisa de 100 (o sea1). En este ejemplo es necesario prolongar la recta haciaarriba hasta que corte el eje vertical donde leemosaproximadamente K = 22.4Para calcular el valor de n, medimos en mm el valor de “a”y de “b” en la figura. Su cociente representa el valorabsoluto de n pero como sabemos que la función esdecreciente, nosotros le asignamos el signo negativoAsí, la ecuación buscada es: P = 22.4 V-1.0 o también:
  • 32. Ejemplo 1: Se obtiene la intensidad de corriente que pasa através de diferentes valores de resistencia y se representanen una tabla.
  • 33. Solución:
  • 34. Solución:
  • 35. Solución:Planteamiento de la relación matemática:Aplicamos logaritmo en ambos lados de la igualdad ydespejamos para “n”:Evaluamos la ecuación en datos conocidos y encontramosel valor de la potencia:
  • 36. Solución:Con el dato de “n” lo sustituimos en la ecuación queplanteamos al inicio y evaluamos para un par conocido,para determinar el valor de la constante “k”:k = 5.0 VEntonces, la relación de las dos magnitudes físicas quedaexpresada de la siguiente manera:R = 5.0/I (Ω)
  • 37. Ejemplo 2: Se observa el desplazamiento de un isotoporadioactivo, en el cual se puede notar que, a medida queavanza aumenta su energía y se reportan estos resultadosen la siguiente tabla:
  • 38. Solución: Ploteo de los puntos
  • 39. Solución: Trazamos la tendencia de la curva
  • 40. Solución:Planteamiento de la relación matemática:Aplicamos logaritmo en ambos lados de la igualdad ydespejamos para “n”:Evaluamos la ecuación en datos conocidos y encontramosel valor de la potencia:
  • 41. RELACIÓN EXPONENCIAL ENTRE DOSMAGNITUDES DEL TIPO Y = ACbXEn la ecuación Y = ACbX, con la constante C > 1 y X > 0, laconstante b puede ser positiva, lo que corresponde a unafunción creciente, y puede ser negativa, resultando ser unafunción decreciente, siendo los gráficos respectivos, con laconstante A positiva, las siguientes
  • 42. Determinación de ConstantesLas constantes “A”, “C”, y “b” pueden calcularsegráficamente o analíticamente.MÉTODO ANALÍTICO: considerando un par de puntossobre la curva de la grafica en la figura (a) o en (b)yDividiendo la ecuación (1) entre la (2) tenemos:
  • 43. En la expresión anterior Cb puede interpretarse comouna sola constante D; es decir D = Cb y así se tieneAplicando logaritmoDe la función inversa del logaritmo:D = Log- 1 [Log (Y1 / Y2) / (X1 - X2)]El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuaciónY = A DX , es decir A = Y/DX y sustituyendo valoresconocidos de X e Y o sea las coordenadas de un punto, porejemplo el punto 1 con valores X1,Y1 . Así:Para datos experimentales se obtienen varias D y seobtiene su media aritmética. Lo mismo es para A.
  • 44. Procedimiento para el método analítico (resumen):Escoger dos puntos:Dividiendo la ecuación (1) entre la (2)Constante D = Cb , entonces:Aplicando logaritmo:Aplicando la función inversa:D = Log- 1 [Log (Y1 / Y2) / (X1 - X2)]
  • 45. El valor de A se obtiene al despejar A de la ecuaciónY = A DX , es decir A = Y/DX y sustituyendo valoresconocidos de X e Y. Es decir:Ejemplo 1:En la medición de un fenómeno se obtuvieron lossiguientes datos experimentales:
  • 46. Ploteo de grafica:
  • 47. Ploteo de grafica:
  • 48. Ploteo de grafica:
  • 49. Se sabe que: , entoncesTomamos dos puntos:Luego:Evaluando los puntos:Por lo tanto:
  • 50. Calculo de la constante “A”Tomamos un punto de la tabla (3.000 , 0.250):La ecuación es:Ejemplo 2: En un experimento se obtuvieron los siguientesdatos:
  • 51. Ejemplo:
  • 52. Ejemplo:
  • 53. Ejemplo:
  • 54. Sabemos que:Luego:Tenemos que:Calculo de “A”:La relación es:
  • 55. 3.7 COMBINACIÓN DE UNA ESCALA LOGARÍTMICACON UNA LINEALExiste también un papel que está trazado en escalalogarítmica en un eje y en escala lineal en el otro, esconocido por papel semilogarítmico.El papel semilogarítmico se utiliza para "linealizar" curvascuyas ecuaciones son de la forma: Y = ADxSi aplicamos la función logaritmo al terminoanterior, obtenemos:(Log Y) = (Log D) X + (Log A)
  • 56. Se puede observar de la función anterior que la variabledependiente está afectada por la función logaritmo,mientras que la variable independiente no lo posee.Además A y D son constantes y por lo tanto sus logaritmostambién.Entonces si graficamos (Log Y) en el eje de las ordenadasy la variable X en el eje de las abscisas, obtendremos unalínea recta cuyo intercepto será Log A y con una pendienteigual a Log DPasos para linealizar una relación de variables.
  • 57. Utilizando la escala logarítmica buscamos los valores deY, con lo cual estamos graficando automáticamente susrespectivos logaritmos.Los valores de X se grafican en la escala lineal marcandoen el eje de las abscisas.Calcular la pendiente, desde la grafica.Ejemplo 3:En un experimento se obtuvieron los siguientes datos:
  • 58. Ejemplo
  • 59. Ejemplo
  • 60. Evaluando la pendiente de la línea recta del gráfico:Intercepto con la ordenada:Entonces, la ecuación completa es: