Cap´ıtulo 23Interiores estelaresNosso objetivo, neste cap´ıtulo, ´e o de introduzir estrutura estelar, sem osdetalhes c´al...
equivalente a dizer que, em mecˆanica quˆantica, que descreve as part´ıculascomo ondas tridimensionais, em que a fun¸c˜ao ...
parˆametro µ, o potencial qu´ımico1, definido como [se¸c˜ao (23.9.1)]µ =∂Eg´as∂N s,v´e um multiplicador Lagrangiano depende...
para f´otons e el´etrons.3Para temperatura zero,EF =h28m3Nπ2/3(23.5)onde h ´e a constante de Planck, com valor h = 6, 63 ×...
23.2 Press˜ao mecˆanicaUm g´as perfeito (ideal) ´e definido como aquele em que n˜ao h´a intera¸c˜aoentre as part´ıculas do ...
de modo que a press˜ao total P ´e:P =π/2θ=0∞p=02p cos θ F(θ, p)dθdp (23.7)θ npvO fluxo de part´ıculas F(θ, p)dθdp com veloc...
a press˜ao de um g´as isotr´opico ´e dada por:P =13∞0p · v · n(p) dp (23.8)Essa integral precisa ser calculada para difere...
Como∞0p4e−ap2dp =38a2πa(23.13)obtemosENRg´as =32NkT (23.14)Para o g´as de Boltzmann, o potencial qu´ımico, excluindo a ene...
23.2.2 G´as de f´otonsPara um g´as de f´otons, como cada f´oton tem um momentum associadop =hνc=hλ,eles tamb´em exercem um...
Figura 23.2: Distribui¸c˜ao de energia de Fermi-Dirac para uma temperaturafinita (linha pontilhada), e para temperatura zer...
Para qualquer temperatura e densidade de el´etrons ne, o valor da Energiade Fermi (EF ) ´e determinado pela integralne =∞0...
Degenerescˆencia total n˜ao-relativ´ısticaSe a energia associada ao momentum p0 for muito menor do que a energiade repouso...
hidrogˆenio ´e dominante. Note que a press˜ao dada pela equa¸c˜ao (23.31) n˜aodepende da temperatura e, portanto, um aumen...
ou seja,v =p/m0[1 − (p/m0c)2]12Podemos estimar a densidade para a qual os el´etrons tornam-se relativ´ısticos,calculando-s...
No limite ultra-relativ´ıstico, x 1,f(x) → 2x4− 2x2+ · · · (23.35)e usando-se somente o primeiro termo da expans˜ao:Pe,ur ...
Para temperaturas menores que 109 K, a degenerescˆencia total inicia-se antesde os el´etrons tornarem-se relativ´ısticos, ...
e, finalmente,Pe = nekT2F32(α)3F12(α)(23.45)O fator 2F32/3F12mede o desvio da press˜ao eletrˆonica em rela¸c˜ao ao g´asn˜ao...
Figura 23.3: Diagrama mostrando qual o estado do g´as para as combina¸c˜oesde densidade e temperatura (ρ − T).onde µi ´e o...
estrela de nˆeutrons, ne deve ser substitu´ıdo por nn nas equa¸c˜oes, pois nestecaso s˜ao os nˆeutrons que est˜ao degenera...
23.3.4 Altamente degenerado e ultra-relativ´ısticoPara EF mc2:1EF=1EF (T = 0)1 + π2 kTEF213O nosso objetivo ´e obter expre...
e da termodinˆamica sabemos que µ = ∂E∂N s,v, onde N ´e a densidade to-tal (n´umero de part´ıculas por unidade de volume),...
cl´assica para n(p) ´en(p) =4πnp2(2πmkT)3/2e−p22mkT (23.56)J´a a equa¸c˜ao corresponde da mecˆanica quˆantica (com µ grand...
Utilizando a eq. (23.63) na eq. (23.61) e definindo x = p/√2mkT, comE mc2, obtemosne(p) =8π(2mkT)3/2h3eµ/kT∞0e−x2x2dx − e2µ...
23.7 G´as altamente degenerado, ultra-relativ´ısticoNeste regime, µ kT Temos queI =∞mc2f( )g( )d (23.71)onde f( ) ´e a pro...
Utilizando as eq. (23.77-23.79) na eq. (23.76), obtemosI = −G(0)∞mc2f ( )d −∞n=1(kT)nngn−1(µ)∞x=−(µ−mc2)/kTxnf (x)dx.(23.8...
Escrevendo uma express˜ao para a densidade de el´etrons dada na eq. (23.61)como fun¸c˜ao de com 2 = p2c2 + (mc2)2, obtemos...
ondeµ0 =h28m3neπ2/3(23.95)Como µ0 ´e equivalente `a EF da express˜ao (23.55). Como µ0 kT, ent˜aoµ1 = µ0 1 −π212kTµ02. (23....
Vamos considerar um elemento de volume cil´ındrico, a uma distˆanciar do centro da estrela, com seu eixo na dire¸c˜ao do c...
por radia¸c˜ao por unidade de ´area. Mas este termo pode ser simplesmenteinclu´ıdo na press˜ao total.As equa¸c˜oes (23.98)...
ionizado, um pr´oton e um el´etron atuam como duas part´ıculas com massam´edia de meia massa do pr´oton j´a que me mp.Para...
τdin ≡1(G¯ρ)12τdin ≈= 103s =14hrIsto ´e, qualquer desequil´ıbrio da condi¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico causadeslocame...
entre parˆentesis na equa¸c˜ao (23.103) representa a energia necess´aria paramover um grama de mat´eria de sua posi¸c˜ao n...
gravitacional decresce continuamente. Exatamente metade desse decr´escimode energia ser´a compensado por um aumento na ene...
podemos calcular a energia cin´etica total do g´as K, j´a que:K ≡i12miv2i =12ipi · viPara um g´as isotr´opico,P =13 pn(p)p...
Para um g´as de Fermi completamente relativ´ıstico, γ = 43 e, nesse caso, todaa varia¸c˜ao de energia gravitacional transf...
A entropia (calor) pode ser transportada, armazenada e criada. A entropia(calor) pode ser produzida mas n˜ao pode ser dest...
onde ρ ´e a densidade de mat´eria. A entropia de f´otons por n´ucleon ´e dadaporSγNAk=1, 213 × 10−22T3ρpara temperaturas e...
Rela¸c˜ao de reciprocidadeSe um sistema est´a em equil´ıbrio termodinˆamico, sua entropia ´e m´axima e,portanto, uma mudan...
A condi¸c˜ao de equil´ıbrio qu´ımico (e a de equil´ıbrio termodinˆamico) requeriµidNi = 0.Os calores espec´ıficos a volume ...
e como cp = cv + /µ,cp =52 µ(N.R.) ou cp = 4µ(E.R.)eγ =53(N.R.) ou γ =43(E.R.)Uma rela¸c˜ao adiab´atica ´e definida como:Pρ...
de onde obtemos:∂E∂T P=∂E∂T ρ−∂E∂P T∂P∂T ρ(23.129)Sabemos que, em equil´ıbrio qu´ımico, a primeira lei pode ser escritadQ ...
γ − 1 =µ1cv(23.137)e comocv =∂ET∂T vobtemos que para composi¸c˜ao qu´ımica constante:ET = cvT =( /µ)Tγ − 1e usandoµT = (γ ...
Γ2Γ2 − 1=Γ1Γ3 − 1= 4de modo queΓ1 = Γ2 = Γ3 =43masγ =cPcv=Γ1χρ= ∞Lembrando que para um g´as de f´ermions temos:P =8π3h3∞0p...
e a densidade de el´etrons dada porne =32π (mEF )323√2h31 +π28kTEF2com a energia de Fermi (sem a massa de repouso) dada po...
cV =8π3m4c53h3T mc2kT2pFmcpFmc2+ 112onde p2F = 2mEF . Para um g´as degenerado e ultra-relativ´ıstico.cv =dEedT V= 3π2 nek2...
23.9.3 Ciclo pr´oton-pr´otonPara temperaturas da ordem de T 8 × 106 K, a transforma¸c˜ao de hi-drogˆenio em h´elio se d´a ...
Com uma m´edia de energia por rea¸c˜ao de 25 MeV 4×10−5 ergs/ciclo,uma luminosidade solar de L 4 × 1033 ergs/s, obtemos um...
Entretanto, como a se¸c˜ao de choque do neutrino ´e da ordem de:σνEνmec222 × 10−44cm2os neutrinos raramente interagem com ...
Experimento Medida Medida/ EminTe´oricoDavis (Cloro) 2, 56 ± 0, 16 SNU 0, 33 ± 0, 03 0,814 MeVKamiokande (ˇCerenkov) (2, 8...
Figura 23.6: Evolu¸c˜ao das abundˆancias com a temperatura do n´ucleo parauma estrela com massa inicial de aproximadamente...
ressonˆancia com energia um pouco abaixo do limite ocorra, quando clas-sicamente seria proibida. A taxa desta rea¸c˜ao tem...
23.9.6 Queima do carbonoPara estrelas acima de 10 massas solares, quando a temperatura centralatinge T 5 − 10 × 108 K:12C ...
Para T=3,4–3, 7 × 109 K:12C + 16O → γ + 28S (Q = 16, 7544 MeV)→ p + 27Al (Q = 5, 1691 MeV)→ α + 24Mg (Q = 6, 7697 MeV)→ n ...
23.10 Condi¸c˜ao de equil´ıbrio t´ermicoConclu´ımos, na se¸c˜ao anterior, que a perda de energia na superf´ıcie porradia¸c...
Uma deriva¸c˜ao mais formal usa a defini¸c˜ao de fluxo, F, que ´e o vetor dofluxo de energia total (energia por unidade de ´a...
Como o volume espec´ıfico V ´e dado por:V ≡1ρ−→ dV = −1ρ2dρ −→ −PdV = +Pρ2dρ,ddt32kmT = +Pρ2dρdt+ ε −14πr2ρdLrdr.Usando a e...
(transporte de energia pelo movimento dos corpos), ou radia¸c˜ao (transportede energia pelo campo eletromagn´etico). Para ...
absorver uma alta fra¸c˜ao da intensidade do feixe. De fato, uma espessura dev´arios cent´ımetros ´e completamente opaca. ...
enquanto a perda correspondente na superf´ıcie superior ser´a:−I(r + dr, θ + dθ) dw ds.θ-dθ+ θθddsdlrdrNa ´ultima express˜...
assumindo ∂I/∂φ = 0, e simplificando dw ds em todos os termos, obtemos−∂I∂rdr −∂I∂θdθ − IKρd +jρ4πd = 0Usando as rela¸c˜oes...
Sabemos que a energia cruzando a ´area dA ´e I cos θdAdw dt. O n´umerode f´otons ´e dado pela energia total dividida pela ...
No segundo termo, fazendo-se uma integra¸c˜ao por partes, com dv = ∂I∂θ dθ eu = sen2θ cos θ:∂I∂θsen θ cos θ 2π sen θ dθ = ...
∂∂r I0 + In cosnθ cos θ +Inrn cosn−1θ(1 − cos2θ) ++ KρI0 + Kρ In cosnθ −14πjρ = 0 (23.152)Como nossa expans˜ao vale para q...
E =1cIdw=1cI0 dw +2πcI1π0cos θ sen θ dθ=4πcI0 +2πcI1sen2θ2π0=4πcI0,j´a quesen2θ2π0= 0,H = I cos θdw= 2πI0π0sen...
de onde segue que:PR =13E, (23.155)onde E ´e a energia do campo de radia¸c˜ao por unidade de volume. O errorelativo nessa ...
H =L4πr2−→ddrL4πr2+2rL4πr2+ cKρE − jρ = 0.ComoddrL4πr2=14πr2dLdr−2L4πr3,14πr2dLdr−2L4πr3+2L4πr3+ cKρE − jρ = 0.Como, pela ...
obtemos:Hr = −4ac3T3KρdTdr(23.160)Substituindo-se a rela¸c˜ao (23.156), obtemos finalmente:Lr = −4πr2 4ac3T3KρdTdr(23.161)E...
Substituindo na equa¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico (23.99) e, aproximandoas derivadas pelas diferen¸cas, encontramos:P...
radia¸c˜ao na fotosfera, a estrela sofre uma perda de energia total. A ´unicamaneira de compensar essa perda de energia ´e...
Astronomia e astrof´+¢sica parte 001
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  1. 1. Cap´ıtulo 23Interiores estelaresNosso objetivo, neste cap´ıtulo, ´e o de introduzir estrutura estelar, sem osdetalhes c´alculos num´ericos. Os avan¸cos consider´aveis em astrof´ısica este-lar nos ´ultimos 50 anos s´o foram poss´ıveis atrav´es de extensas modelagenscomputacionais, usando as equa¸c˜oes b´asicas de mecˆanica de fluidos, ter-modiˆamica, mecˆanica estat´ıstica, f´ısica de plasmas, nuclear e de part´ıculas,al´em de uma breve passagem por mecˆanica relativ´ıstica que iremos descre-ver.23.1 TemperaturaO conceito f´ısico de temperatura est´a associado ao conceito de equil´ıbriot´ermico. Um sistema mecˆanico tem muitas configura¸c˜oes poss´ıveis, depen-dendo da distribui¸c˜ao de energia de seus subsistemas. Dentre essas confi-gura¸c˜oes, existe aquela mais prov´avel, em que todos os subsistemas est˜aoem equil´ıbrio t´ermico e que pode ser calculada com as t´ecnicas da mecˆanicaestat´ıstica. Como o assunto envolve resultados de tratamento detalhadosde muitos campos da f´ısica, aqui simplesmente citaremos os resultados ejustificaremos com argumentos qualitativos, deixando a demonstra¸c˜ao paratextos especializados.Em um sistema cl´assico, as part´ıculas se movem em trajet´orias definidas,de modo que podemos, em princ´ıpio, distinguir entre as part´ıculas, mesmoidˆenticas, isto ´e, podemos colocar r´otulos de part´ıcula 1, part´ıcula 2, ... Emuma descri¸c˜ao quˆantica isso n˜ao pode ser feito, porque o Princ´ıpio da Incer-teza de Heisenberg, que rendeu o prˆemio Nobel em f´ısica de 1932 ao alem˜aoWerner Karl Heisenberg (1901-1976), n˜ao permite a cont´ınua observa¸c˜ao domovimento das part´ıculas, sem mudar o comportamento do sistema. Isso ´e277
  2. 2. equivalente a dizer que, em mecˆanica quˆantica, que descreve as part´ıculascomo ondas tridimensionais, em que a fun¸c˜ao de onda associada a cadapart´ıcula n˜ao ´e pontual e d´a a probabilidade de se encontrar a part´ıculaem uma posi¸c˜ao, a superposi¸c˜ao dessa fun¸c˜ao de onda torna imposs´ıvela distin¸c˜ao entre as part´ıculas. Portanto, em uma descri¸c˜ao quˆantica, aspart´ıculas idˆenticas s˜ao indistingu´ıveis.Part´ıculas descritas por auto-fun¸c˜oes assim´etricas tˆem spin semi-inteiro,e s˜ao chamadas de f´ermions, em honra ao f´ısico´ıtalo-americano Enrico Fermi(1901-1954), e est˜ao sujeitas ao Princ´ıpio da Exclus˜ao, elaborado pelo f´ısicoaustr´ıaco Wolfgang Pauli (1900-1958), e que lhe rendeu o prˆemio Nobel em1945: duas part´ıculas de mesmo spin n˜ao podem ocupar o mesmo estadoquˆantico.As part´ıculas de Bose, ou b´osons, em honra ao f´ısico indiano SatyendraNath Bose (1894-1974), tˆem spin inteiro e, embora indistingu´ıveis, n˜ao est˜aosujeitas ao Princ´ıpio da Exclus˜ao, porque tˆem auto-fun¸c˜oes sim´etricas (spininteiros), que n˜ao se anula se todos os n´umeros quˆanticos de duas ou maispart´ıculas forem idˆenticos.Para um g´as em equil´ıbrio, a configura¸c˜ao mais prov´avel depende danatureza das part´ıculas do g´as, que para part´ıculas elementares caem emtrˆes classes: 1) part´ıculas idˆenticas mas distingu´ıveis, que s˜ao as part´ıculascl´assicas; 2) part´ıculas idˆenticas e indistingu´ıveis de spin semi-inteiro, porexemplo, el´etrons, p´ositrons, neutrinos, pr´otons, nˆeutrons e m´esons µ; e 3)part´ıculas idˆenticas e indistingu´ıveis de spin inteiro, por exemplo f´otons,m´esons π e part´ıculas α (He4).Se o n´umero de part´ıculas com momentum p ´e definido como n(p), e on´umero de estados poss´ıveis de momentum p por g(p), a configura¸c˜ao maisprov´avel correspondendo a esses trˆes casos pode ser derivada pela mecˆanicaestat´ıstica como:n(p)dp =g(p)e(E−µ)/kT + 0dp estat´ıstica de Maxwell-Boltzmann (23.1)n(p)dp =g(p)e(E−µ)/kT + 1dp estat´ıstica de Fermi-Dirac (23.2)n(p)dp =g(p)e(E−µ)/kT − 1dp estat´ıstica de Bose-Einstein (23.3)A energia E nas equa¸c˜oes acima ´e a energia de cada part´ıcula. O278
  3. 3. parˆametro µ, o potencial qu´ımico1, definido como [se¸c˜ao (23.9.1)]µ =∂Eg´as∂N s,v´e um multiplicador Lagrangiano dependente da densidade de part´ıculas, e ´eobtido atrav´es da normaliza¸c˜aoN =∞0n(p)dp (23.4)onde N ´e a densidade (n´umero de part´ıculas por unidade de volume) totale Eg´as ´e a densidade de energia total do g´as. Essas f´ormulas s˜ao deriva-das considerando-se as v´arias maneiras de se arranjar um n´umero fixo depart´ıculas em estados individuais de energia, de modo que a energia totaldo g´as seja conservada.Na estat´ıstica de Fermi-Dirac, derivada por Enrico Fermi e pelo inglˆesPaul Adrien Maurice Dirac (1902-1984),µ ≡ EF (T),para T=0, onde EF ´e chamada de energia de Fermi e depende fracamenteda temperatura.Para um g´as de f´otons, que s˜ao b´osons de massa zero, µ = 0, porque on´umero de f´otons n˜ao ´e conservado, isto ´e, quanto maior ´e a temperatura(energia), maior ´e o n´umero de f´otons.A densidade de estados livres, ou fator de degenerescˆencia, g(p) pode serderivada usando-se o princ´ıpio da incerteza de Heisenberg∆pi∆xi ≥ h,e o fato de que, para el´etrons e para f´otons2 podem existir dois estados depolariza¸c˜ao (spin) e que o volume do espa¸co de momentum, para o qualo vetor p tem magnitude constante p, ´e simplesmente o volume da cascaesf´erica, 4πp2dp:g(p)dp =2h34πp2dp1O conceito de potencial qu´ımico foi introduzido pelo f´ısico-qu´ımico americano JosiahWillard Gibbs (1839-1903).2Os f´otons tˆem spin 1, mas o spin tem que ser paralelo `a dire¸c˜ao de movimento. Umf´oton pode ser polarizado no sentido hor´ario (regra da m˜ao direita) ou anti-hor´ario (regrada m˜ao esquerda). Como tanto el´etrons quanto f´otons tˆem solu¸c˜oes de ondas planas noespa¸co livre e dois estados de spin ou polariza¸c˜ao, existe uma correspondˆencia un´ıvocaentre o n´umero de estados dos f´otons e dos el´etrons.279
  4. 4. para f´otons e el´etrons.3Para temperatura zero,EF =h28m3Nπ2/3(23.5)onde h ´e a constante de Planck, com valor h = 6, 63 × 10−27 ergs s, e m ´e amassa da part´ıcula; todos os estados com E ≤ EF est˜ao ocupados, e todosos estados com E > EF est˜ao desocupados. Esta rela¸c˜ao pode ser derivadada equa¸c˜ao (23.2), j´a que, para T = 0,N =pF02h34πp2dp =8π3h3p3FlogopF =h23Nπ13e considerando que para temperatura zero podemos usar a rela¸c˜ao entremomentum e velocidade n˜ao relativ´ısticaEF =12mp2Fm2=p2F2m=h28m3Nπ2/3A rela¸c˜ao entre a velocidade v e o momentum p, v(p) = ∂E/∂p, dependede se o g´as ´e relativ´ıstico ou n˜ao. Para um g´as n˜ao-relativ´ıstico (v c,onde c ´e a velocidade da luz), v = p/m. Para um g´as relativ´ıstico,v ≡∂Epart∂p=p/m0[1 + (p/m0c)2]12onde Epart ´e a energia da part´ıcula e m0 ´e sua massa de repouso.A densidade de energia do g´as, isto ´e, energia por unidade de volume,ser´a, ent˜ao, dada por:Eg´as =∞0n(p)E(p)dp. (23.6)onde E(p) ´e a energia de cada part´ıcula, como fun¸c˜ao do momentum.3O princ´ıpio da incerteza normalmente ´e escrito como ∆p∆x ≥ ¯h2= h4π, pois representao movimento na dire¸c˜ao x, e nossa deriva¸c˜ao ´e para uma dimens˜ao do volume, em todasas dire¸c˜oes e, portanto, integrado sobre o ˆangulo s´olido. Em termos de volume, o princ´ıpioda incerteza ´e dado por d3x d3p = 4πp2dp 4πr2dr ≥ h3.280
  5. 5. 23.2 Press˜ao mecˆanicaUm g´as perfeito (ideal) ´e definido como aquele em que n˜ao h´a intera¸c˜aoentre as part´ıculas do g´as. Embora esse crit´erio nunca seja satisfeito, aaproxima¸c˜ao ´e v´alida quando a energia de intera¸c˜ao entre as part´ıculas ´emuito menor que sua energia t´ermica.A fonte microsc´opica de press˜ao em um g´as perfeito ´e o bombardeamentode part´ıculas. A reflex˜ao, ou absor¸c˜ao, dessas part´ıculas em uma superf´ıciereal ou imagin´aria resulta em transferˆencia de momentum para essa su-perf´ıcie. Pela Segunda Lei de Newton (F=dp/dt), o momentum transferidoexerce uma for¸ca na superf´ıcie. A for¸ca m´edia por unidade de ´area ´e cha-mada de press˜ao. ´E a mesma quantidade na express˜ao: trabalho = P · dV ,em uma expans˜ao infinitesimal.θθdθppn^Figura 23.1: Press˜ao: Se¸c˜ao cˆonica na dire¸c˜ao θ `a normal.Para um g´as em equil´ıbrio t´ermico, a distribui¸c˜ao de momentum ´e iso-tr´opica, isto ´e, as part´ıculas se movem com a mesma probabilidade em todasas dire¸c˜oes. Quando refletidas em uma superf´ıcie, as part´ıculas transferemmomentum a essa superf´ıcie. Quando uma part´ıcula de momentum p, in-cidindo com um ˆangulo θ `a normal, ´e refletida na superf´ıcie, o momentumtransferido ´e∆p = 2p cos θ.Seja F(θ, p)dθdp ´e o n´umero de part´ıculas com momentum p no intervalodp colidindo com a parede, por unidade de ´area, por unidade de tempo, detodas as dire¸c˜oes inclinadas com um ˆangulo θ `a normal, no intervalo dθ. Acontribui¸c˜ao `a press˜ao total (dP) ´e dada por:dP = 2p cos θ F(θ, p)dθdp,281
  6. 6. de modo que a press˜ao total P ´e:P =π/2θ=0∞p=02p cos θ F(θ, p)dθdp (23.7)θ npvO fluxo de part´ıculas F(θ, p)dθdp com velocidade v pode ser calculadocomo o produto da densidade de part´ıculas com momentum p movendo-se nocone com ˆangulo θ, vezes o volume das part´ıculas que passar˜ao pela unidadede ´area, na unidade de tempo.Esse volume ´e dado por:V = v cos θ dt dAmas para dt e dA unit´arios, j´a que estamos calculando o fluxo por unidadede ´area e por unidade de tempo. Logo,F(θ, p)dθdp = v cos θ n(θ, p) dθ dp,onde n(θ, p) ´e a densidade (n´umero de part´ıculas por unidade de volume)no cone referido.Para um g´as isotr´opico:n(θ, p)dθdpn(p)dp=2π sen θ dθ4π,que ´e a fra¸c˜ao do ˆangulo esf´erico total definido pelo cone.Ou seja, a press˜ao ´e dada por:P =π/2θ=0∞p=02p cos θ v cos θ n(p)dp12sen θdθ.Comoπ/2θ=0cos2θ sen θ dθ =10x2dx =13,282
  7. 7. a press˜ao de um g´as isotr´opico ´e dada por:P =13∞0p · v · n(p) dp (23.8)Essa integral precisa ser calculada para diferentes circunstˆancias, j´a quea rela¸c˜ao entre o momentum p e a velocidade v depende de considera¸c˜oesrelativ´ısticas, enquanto a forma da distribui¸c˜ao n(p) depende do tipo depart´ıculas e da estat´ıstica quˆantica.23.2.1 G´as n˜ao-degeneradoPara um g´as monoatˆomico perfeito e n˜ao-degenerado, nem relativ´ıstico, adistribui¸c˜ao de momentum em equil´ıbrio t´ermico ´e dada pela Lei de Maxwell[James Clerk Maxwell (1831-1879)].n(p)dp =N 4πp2dp(2πmkT)3/2exp −p22mkT(23.9)onde m ´e a massa da part´ıcula, k ´e a constante de Boltzmann, e T a tem-peratura do g´as.Note que a normaliza¸c˜ao ´e escolhida de forma queN =∞0n(p)dp (23.10)para um g´as n˜ao-relativ´ıstico, com E = mv2/2, j´a que∞0p2e−ap2dp =14aπa(23.11)Integrando-se a equa¸c˜ao (23.8), usando a Lei de Maxwell (23.9), a nor-maliza¸c˜ao (23.10), e v = p/m, obt´em-se:P = NkT,a equa¸c˜ao de um g´as ideal.A densidade de energia ENR, de acordo com a equa¸c˜ao (23.6), para umg´as ideal ´e dada por:ENR =N4π(2πmkT)32∞0p22me− p22mkT p2dp (23.12)283
  8. 8. Como∞0p4e−ap2dp =38a2πa(23.13)obtemosENRg´as =32NkT (23.14)Para o g´as de Boltzmann, o potencial qu´ımico, excluindo a energia derepouso, ´e dado por:µ = kT lnNgh22πmkT32(23.15)onde g = 2J + 1 ´e o fator estat´ıstico para part´ıculas de spin J.Para um g´as relativ´ıstico, pc mc2, a energia da part´ıcula ´e dada porE pc, e usando a equa¸c˜ao (23.10) para obter a constante normaliza¸c˜ao C:N = C∞0e− pckT p2dp (23.16)Como∞0p2e−apdp = −2a3(23.17)obtemosN = −C2(kT)3c3−→ C = −Nc32(kT)3(23.18)e, portanto, a energia do g´as ´e dada porEERg´as = C∞0pc e− pckT p2dp (23.19)Como∞0p3e−apdp = −6a4(23.20)a equa¸c˜ao (23.19) se reduz aEERg´as = 3NkT (23.21)284
  9. 9. 23.2.2 G´as de f´otonsPara um g´as de f´otons, como cada f´oton tem um momentum associadop =hνc=hλ,eles tamb´em exercem uma press˜ao, chamada press˜ao de radia¸c˜ao Prad:Prad =13∞0hνc· c · n(p)dp =13∞0hν n(p)dp =13∞0E n(p)dp ≡13uonde u ´e a densidade de energia (energia por unidade de volume) da radia¸c˜ao:Prad =13u =13aT4onde a ´e a constante de Stefan-Boltzmann:a =8π5k415c3h3=4σc= 7, 565 × 10−15erg cm−3K−4.O valor da densidade de energia u vem do fato que a energia de cadaf´oton ´e dada por E = hν, e o momentum p = hν/c, de modo que, usando adistribui¸c˜ao de momentum de Bose-Einstein com µ = 0, e n(E)dE = n(p)dp,n(p)dp =8πp2dph31eE/kT − 1(23.22)obt´em-se que a densidade de energia de f´otons com uma freq¨uˆencia ν nointervalo dν, em equil´ıbrio t´ermico ´e dada por:u(ν)dν =8πhν3c3dνehνkT − 1(23.23)eu =∞ou(ν)dν = aT4(23.24)Existem casos, como em estrelas quentes, em que a press˜ao de radia¸c˜ao ´ecompar´avel com a press˜ao do g´as, que sustenta a estrela. De fato, paraestrelas com massa maior que 100M , a press˜ao de radia¸c˜ao ´e maior do quea for¸ca gravitacional por unidade de ´area, e a press˜ao de radia¸c˜ao causa aejec¸c˜ao das camadas externas da estrela.285
  10. 10. Figura 23.2: Distribui¸c˜ao de energia de Fermi-Dirac para uma temperaturafinita (linha pontilhada), e para temperatura zero (linha cont´ınua). Paratemperatura zero, equivalente a um g´as totalmente degenerado, nenhumapart´ıcula tem energia superior `a energia de Fermi (EF ).23.2.3 Degenerescˆencia dos el´etronsComo os el´etrons s˜ao part´ıculas de spin meio-inteiro, um g´as de el´etrons obe-dece `a estat´ıstica de Fermi-Dirac. A densidade de el´etrons com momentum|p| = p no intervalo p e p + dp ´e dada pela equa¸c˜ao (23.2):ne(p)dp =2h34πp2dpP(p),onde definimos o ´ındice de ocupa¸c˜ao para um g´as de Fermi como:P(p) = expE − EFkT+ 1−1O fato de P(p) ter valor m´aximo de um ´e uma express˜ao do princ´ıpio deexclus˜ao de Pauli. Quando P(p) ´e unit´ario, todos os n´ıveis de energia dog´as est˜ao ocupados. Portanto, a m´axima densidade de el´etrons, no espa¸code fase, ´e[ne(p)]max dp =2h34πp2dp (23.25)´E essa restri¸c˜ao na densidade de el´etrons no espa¸co de momentum que criaa press˜ao de degenerescˆencia. Se aumentamos continuamente a densidadede el´etrons, os el´etrons s˜ao for¸cados a um estado de maior momentum e,portanto, maior press˜ao, simplesmente porque todos estados de momentummais baixo j´a est˜ao ocupados.286
  11. 11. Para qualquer temperatura e densidade de el´etrons ne, o valor da Energiade Fermi (EF ) ´e determinado pela integralne =∞0ne(p)dp = ne (EF , T)Se EF for um n´umero grande e negativo, P(p) ser´a menor do que um paratodas as energias, e a distribui¸c˜ao de Fermi-Dirac se reduz a uma distribui¸c˜aoMaxwelliana. Conforme a densidade for aumentando, para uma temperaturaconstante, a energia de Fermi se torna primeiro pequena, cruzando zero echegando a grandes valores positivos, em altas densidades. Se a energia deFermi for muito maior do que kT, a distribui¸c˜ao ser´a uma fun¸c˜ao degrau, echamamos esse limite de degenerescˆencia total.Degenerescˆencia totalPara alt´ıssimas densidades (ρ 107 g/cm3 nos interiores estelares), todos osn´ıveis de energia at´e um valor m´aximo estar˜ao ocupados. Como a densidadetotal ´e finita, os estados de densidade estar˜ao ocupados at´e um certo valordo momentum p0:ne(p) =2h3 4πp2, se p ≤ p00, se p > p0.(23.26)Naturalmente, esse ´e o estado de m´ınima energia cin´etica para um g´asde el´etrons, pois todos os estados de energia mais baixa est˜ao ocupados, oque n˜ao ocorre com nenhum de mais alta energia. A densidade de part´ıculastotal ´e relacionada com o momentum m´aximo porne =∞0ne(p)dp =8π3h3p30 (23.27)ou escrevendo o momentum m´aximo em fun¸c˜ao da densidade de el´etrons:p0 =3h38πne13(23.28)A energia associada ao momentum m´aximo ´e a energia de Fermi. Paraexpressar a velocidade da part´ıcula em rela¸c˜ao ao seu momentum, precisamosdistinguir entre um el´etron relativ´ıstico ou n˜ao-relativ´ıstico.287
  12. 12. Degenerescˆencia total n˜ao-relativ´ısticaSe a energia associada ao momentum p0 for muito menor do que a energiade repouso do el´etron, mec2 = 0, 51 MeV, ent˜ao ve = p/me para todos osmomenta na distribui¸c˜ao, e a integral da press˜ao (23.8) ´e diretamente:Pe,nr =8π15meh3p50 (23.29)onde nr significa el´etrons n˜ao-relativ´ısticos. Usando a rela¸c˜ao entre o mo-mentum total e a densidade de el´etrons (23.28), demonstramos que a press˜aode el´etrons ´e determinada pela densidade de el´etrons:Pe,nr =h220me3π23n53e (23.30)Podemos expressar a densidade de el´etrons em termos da densidade de massa[veja equa¸c˜ao (23.181)]Pe,nr =h220me3π23N53Aρµe53Pe,nr = 1, 004 × 1013 ρµe53dinas/cm2(23.31)onde µe aqui ´e o peso molecular m´edio por el´etron, ou seja, o n´umero m´ediode massas atˆomicas (A) por el´etron:1µe=XZZAZe a densidade de el´etrons ´e dada por:ne =ρNAµe(23.32)onde NA ´e o n´umero de Avogadro [Amedeo Avogadro (1776-1856)]. Nor-malmente µe 2, a n˜ao ser que o g´as contenha uma fra¸c˜ao substancial dehidrogˆenio, o que n˜ao ´e geralmente o caso, pois o estado degenerado ´e atin-gido no n´ucleo de estrelas que j´a queimaram o hidrogˆenio, e os n´ucleos dean˜as brancas s˜ao predominantemente compostos de He, C, O, ou Ne, todoscom A/Z=2. Mas para os n´ucleos de planetas gigantes e an˜as marrons, o288
  13. 13. hidrogˆenio ´e dominante. Note que a press˜ao dada pela equa¸c˜ao (23.31) n˜aodepende da temperatura e, portanto, um aumento da temperatura n˜ao causaum aumento da press˜ao e subseq¨uente expans˜ao, que reduziria a tempera-tura. Esse fato tem implica¸c˜oes na hist´oria evolutiva das estrelas, desde aqueima explosiva do h´elio at´e a explos˜ao de supernova, como veremos nodecorrer deste cap´ıtulo. Vemos pela equa¸c˜ao (23.31) que a press˜ao de umg´as de el´etrons degenerado aumenta como uma potˆencia 5/3 da densidade.Como para um g´as n˜ao-degenerado a press˜ao aumenta linearmente com adensidade, ´e claro que, com o aumento de densidade, existe um ponto emque a press˜ao degenerada ser´a maior do que o valor dado pela f´ormula n˜aodegenerada. Podemos definir uma linha no plano ρT dividindo a regi˜ao de-generada da n˜ao-degenerada, calculando-se os valores para os quais as duasf´ormulas s˜ao iguais:NAkµeρT =h220me3π23N53Aρµe53ou seja, a press˜ao completamente degenerada supera a press˜ao n˜ao-degene-rada para densidades maiores do queρµe> 2, 4 × 10−8T32 g/cm3Naturalmente, a transi¸c˜ao de n˜ao-degenerado para degenerado n˜ao ocor-re abruptamente, mas suavemente. Na regi˜ao de transi¸c˜ao, precisamos uti-lizar a equa¸c˜ao que discutiremos em uma pr´oxima se¸c˜ao. Para o interior doSol, onde ρ/µe 102 g/cm3 e T 107 K, a inequalidade mostra que o g´asest´a completamente n˜ao-degenerado. Para o interior de uma an˜a branca,onde ρ/µe 106 g/cm3 e T 106 K, a inequalidade se satisfaz, e a press˜aodegenerada domina.Degenerescˆencia total relativ´ısticaConforme a densidade de el´etrons aumenta, o momentum m´aximo de umg´as de el´etrons completamente degenerado aumenta. Em uma densidade,os el´etrons mais energ´eticos se tornar˜ao relativ´ısticos. Nessas condi¸c˜oes, asubstitui¸c˜ao de vp = p/m utilizada para derivar a equa¸c˜ao (23.29) ´e incorretae precisamos utilizar a express˜ao da relatividadep =m0v[1 − (v/c)2]12289
  14. 14. ou seja,v =p/m0[1 − (p/m0c)2]12Podemos estimar a densidade para a qual os el´etrons tornam-se relativ´ısticos,calculando-se p0c 2m0c2. Usando-se o momentum m´aximo derivado naequa¸c˜ao (23.28), obtemosρµe= 7, 3 × 106g/cm3relativ´ısticoOu seja, para densidades aproximando-se desse valor, precisamos usar acinem´atica relativ´ıstica.Inserindo-se a velocidade relativ´ıstica na integral da press˜ao (23.8), ob-temosPe,r =8π3mh3p00p4dp[1 + (p/m0c)2]12Para calcular essa integral, podemos definir um novo parˆametrosenh θ ≡pmcde modo quedp = mc cosh θdθe a integral pode ser escrita comoPe,r =8πm40c53h3θ00senh θ dθque pode ser integrada, resultando emPe,r =8πm40c53h3senh3θ0 cosh θ04−3senh 2θ016+3θ08(23.33)e, em termos do momentum de Fermi,Pe,r ≡πm40c53h3f(x) = 6, 002 × 1022f(x) dinas/cm2(23.34)ondex =p0m0c=hm0c38πne13f(x) = x(2x2− 3)(x2+ 1)12 + 3senh−1x290
  15. 15. No limite ultra-relativ´ıstico, x 1,f(x) → 2x4− 2x2+ · · · (23.35)e usando-se somente o primeiro termo da expans˜ao:Pe,ur =38π13 hc4N4/3Aρµe43(23.36)Pe,ur = 1, 243 × 1015 ρµe43dina/cm2(23.37)Degenerescˆencia total ultra-relativ´ısticaUma deriva¸c˜ao mais simples do limite ultra-relativ´ıstico pode ser obtidoda defini¸c˜ao de press˜ao (23.8), utilizando (23.26), assumindo pc m0c2 eportanto E pc; como v = ∂E/∂p, v c:Pe,ur =13c2h34πp00p3dp =2πc3h3p40 (23.38)Utilizando a rela¸c˜ao entre o momentum de Fermi p0 e a densidade dada pelaequa¸c˜ao (23.28):Pe,ur =38π13 hc4n4/3e (23.39)ou, termos da densidade de massa, recuperamos a equa¸c˜ao (23.36):Pe,ur =38π13 hc4N4/3Aρµe43(23.40)23.2.4 Degenerescˆencia parcialPara a regi˜ao de transi¸c˜ao, ou para o caso geral, precisamos utilizar a dis-tribui¸c˜ao de Fermi-Dirac na equa¸c˜ao da press˜ao (23.8):Pe =8π3h3∞0p3vpdpexp [(E − EF ) /kT] + 1(23.41)e obter a energia de Fermi EF integrando-se a densidade total:ne =2h3∞04πp2dpexp [(E − EF ) /kT] + 1(23.42)291
  16. 16. Para temperaturas menores que 109 K, a degenerescˆencia total inicia-se antesde os el´etrons tornarem-se relativ´ısticos, de modo que podemos nos restrin-gir a velocidades n˜ao-relativ´ısticas para a degenerescˆencia parcial, isto ´e,podemos utilizar vp = p/me, de modo quePe =8π3h3me∞0p4dpexp p22me− EF /kT + 1(23.43)ene =8πh3∞0p2dpexp p22me− EF /kT + 1(23.44)Podemos definir dois parˆametros adimensionaisα ≡ −EFkTu ≡p22mekTe escreverPe =8πkT3h3(2mekT)32∞0u32 duexp(u + α) + 1ene =4πh3(2mekT)32∞0u12 duexp(u + α) + 1constituindo duas equa¸c˜oes param´etricas para a equa¸c˜ao de estado.Definindo-se duas fun¸c˜oes:F12(α) ≡∞0u12 duexp(u + α) + 1F32(α) ≡∞0u32 duexp(u + α) + 1podemos escreverPe =8πkT3h3(2mekT)32 F32(α)ene =4πh3(2mekT)32 F12(α)292
  17. 17. e, finalmente,Pe = nekT2F32(α)3F12(α)(23.45)O fator 2F32/3F12mede o desvio da press˜ao eletrˆonica em rela¸c˜ao ao g´asn˜ao-degenerado, e varia de 8 para α = −20, a 1 para α > 1. Alguns valoresdas fun¸c˜oes de Fermi-Dirac est˜ao listados na tabela 23.1.Tabela 23.1: Valores para as fun¸c˜oes de Fermi-Dirac−α = EFkT23F32(α) F12(α)-4 0,016179 0,016128 regime n˜ao-degenerado-2 0,117200 0,114588-1 0,307232 0,2905010 0,768536 0,6780941 1,774455 1,3963752 3,691502 2,5024584 11,751801 5,7707268 52,90173 15,3804812 125,70797 27,9517816 279,63888 42,8730020 484,37885 59,81279 completamente degeneradoNote que os ´ıons normalmente s˜ao n˜ao-degenerados, pois seu espa¸co defase ´e muito maior que o dos el´etrons, j´a que sua massa ´e cerca de 2000 vezesmaior para a mesma energia t´ermicaEt =32kTque corresponde `a energia cin´etica,Ec =12mv2j´a que os ´ıons s˜ao n˜ao-relativ´ısticos — a velocidade dos ´ıons ´e muito menordo que a velocidade dos el´etrons. Portanto:Pg´as = Pe +NAkµiρT293
  18. 18. Figura 23.3: Diagrama mostrando qual o estado do g´as para as combina¸c˜oesde densidade e temperatura (ρ − T).onde µi ´e o peso molecular m´edio dos ´ıons1µi=XZnZAZPrecisamos, ainda, levar em conta a contribui¸c˜ao da press˜ao de radia¸c˜ao`a press˜ao total. Para compara¸c˜ao, essa contribui¸c˜ao passa de 2,1% parauma estrela de 5 M para 11% para uma estrela de 15 M .Ptotal = Pe +NAkµiρT + Prad (23.46)23.3 Energia de FermiEm nosso tratamento dos f´ermions, estamos escrevendo EF ≡ µ isto ´e,estamos identificando o potencial qu´ımico com a energia de Fermi. Estamostamb´em escrevendo a densidade como ne, isto ´e, a densidade dos el´etrons,pois os ´ıons n˜ao est˜ao degenerados, exceto em estrelas de nˆeutrons. Em uma294
  19. 19. estrela de nˆeutrons, ne deve ser substitu´ıdo por nn nas equa¸c˜oes, pois nestecaso s˜ao os nˆeutrons que est˜ao degenerados. O valor da energia de Fermiprecisa ser encontrado atrav´es da integra¸c˜ao da distribui¸c˜ao de momentum,mas como vimos, no caso geral essa integra¸c˜ao n˜ao ´e anal´ıtica. Podemosestimar o valor da energia de Fermi em v´arias aproxima¸c˜oes:23.3.1 T=0EF (T = 0) =h28m3neπ2323.3.2 G´as n˜ao-degenerado, ionizadoEF = −kT lnT3/2ne−32kT ln2πmkh2− kT ln 223.3.3 Degenerescˆencia fracaO n´umero de ocupa¸c˜aoP(p) =1e(E−EF )/kT + 1=1e(E−EF )/kT 1 + e−(E−EF )/kTP(p) e−(E−EF )/kT1 − e−(E−EF )/kTne =2(2πmkT)3/2h3eEF /kT1 −eEF /kT23/22(2πmkT)3/2h3eEF /kT1 −eEF (T=0)/kT23/2o que leva aEF = −kT ln2πmkh23/2− kT ln 2T3/2/ne −ne21/2h22πmkT3/2295
  20. 20. 23.3.4 Altamente degenerado e ultra-relativ´ısticoPara EF mc2:1EF=1EF (T = 0)1 + π2 kTEF213O nosso objetivo ´e obter express˜oes para a Energia de Fermi para osseguintes casos:1. um g´as a temperatura zeroEF =h28m3neπ23(23.47)2. um g´as n˜ao-degenerado e ionizadoEF = −kT lnT3/2ne−32kT ln2πmkh2− kT ln 2 (23.48)3. um g´as fracamente degenerado;EF = −kT ln2πmkh23/2− kT ln2T3/2ne−ne21/2h22πmkT3/2(23.49)4. um g´as altamente degenerado e ultra-relativ´ıstico.1EF=1EF (T = 0)1 + π2 kTEF2 1/3(23.50)Recapitulandon(p)dp =g(p)e(E−µ)/kT + 0dp estat´ıstica de Maxwell-Boltzmannn(p)dp =g(p)e(E−µ)/kT + 1dp estat´ıstica de Fermi-Diracn(p)dp =g(p)e(E−µ)/kT − 1dp estat´ıstica de Bose-Einstein296
  21. 21. e da termodinˆamica sabemos que µ = ∂E∂N s,v, onde N ´e a densidade to-tal (n´umero de part´ıculas por unidade de volume), sendo normalizado daseguinte forma:N =∞0n(p)dp (23.51)Na estat´ıstica de Fermi-Dirac, µ = EF (T) onde EF ´e chamada de energiade Fermi, dependendo fracamente da temperatura.23.4 G´as, T=0O fator de degenerescˆencia pode ser obtido usando-se o princ´ıpio da incertezaHeisenberg e fato de que para el´etrons e para f´otons podem existir doisestados de polariza¸c˜ao (spin), e que o volume do espa¸co de momentum,para o qual o vetor p tem magnitude constante p, ´e simplesmente o volumeda casca esf´erica, 4πp2dp:g(p)dp =2h34πp2dp (23.52)A express˜ao (23.52) vale tanto para f´otons como para el´etrons. Todas aspart´ıculas possuem energia E < EF , estando os estados cuja energia E > EFdesocupados. Portanto, a part´ıcula mais energ´etica tem momentum pF e aintegral da equa¸c˜ao (23.51) fica:ne =pF02h34πp2dp =8π3h3p3F (23.53)Assim,pF =h23neπ1/3(23.54)A esta temperatura podemos considerar a velocidade n˜ao relativ´ıstica(p = mv)EF =12mp2Fm2=p2F2m=h28m3neπ2/3(23.55)23.5 G´as n˜ao-degenerado, ionizadoPara um g´as n˜ao degenerado e monoatˆomico com baixa densidade, as ex-press˜oes para n(P) cl´assicas e quˆanticas devem ser iguais. A express˜ao297
  22. 22. cl´assica para n(p) ´en(p) =4πnp2(2πmkT)3/2e−p22mkT (23.56)J´a a equa¸c˜ao corresponde da mecˆanica quˆantica (com µ grande e nega-tivo) para n(p) ´en(p) = eµ/kT 8πp2h3e−p22mkT (23.57)Igualando as duas express˜oes acima, temoseµkT8πh3=4πn(2πmkT)3/2(23.58)Simplificando a express˜ao (23.58), podemos obter uma express˜ao para µµ = −kT lnT3/2n−32kT ln2πmkh2− kT ln 2. (23.59)Como EF ≡ µ, ent˜aoEF = −kT lnT3/2n−32kT ln2πmkh2− kT ln 2. (23.60)23.6 G´as fracamente degeneradoUm g´as de el´etrons ´e descrito pela estat´ıstica de Fermi-Dirac. Assim, adensidade de el´etrons com momentum p entre p e p + dp ´e dada porne(p)dp =2h34πp2P(p), (23.61)onde P(p) ´e definido como ´ındice de ocupa¸c˜ao para um de g´as de Fermi.P(p) = eE−µkT + 1−1=1eE−µkT [1 + e−E−µkT ](23.62)P(p) e−E−µkT [1 − e−E−µkT ]. (23.63)Por conseq¨uˆencia, temosne =8πh3p2dpe( −µ)/kT + 1298
  23. 23. Utilizando a eq. (23.63) na eq. (23.61) e definindo x = p/√2mkT, comE mc2, obtemosne(p) =8π(2mkT)3/2h3eµ/kT∞0e−x2x2dx − e2µ/kT∞0e−2x2x2dx=8π(2mkT)3/2h3eµ/kT√π2− e2µ/kT√π23/2=2(2πmkT)3/2h3eµ/kT1 −eµ/kT23/2ou, aproximando µ por µ0 dentro do parˆentesis,ne(p)2(2πmkT)3/2h3eµ/kT1 −eµ0/kT23/2(23.64)onde µ0 ´e o potencial qu´ımico de um g´as n˜ao-degenerado, dado pela eq.(23.55). Podemos ent˜ao escrevereµ/kT=neh32(2πmkT)3/21 −eµ0/kT23/2(23.65)µ = kT lnneh32(2πmkT)3/21 −eµ0/kT23/2(23.66)µ = −kT ln2(2πmkT)3/2neh31 −eµ0/kT23/2−1 (23.67)Mas ln(1 + x) x, se x 1, ent˜ao fazendo x = −eµ0/kT23/2µ = −kT ln2(2πmkT)3/2neh31 −eµ0/kT23/2−1 (23.68)utilizando a equa¸c˜ao (23.58) para o termo em µ0, obtemos:µ = −kT ln2πmkh23/2− kT ln2T3/2ne−neh325/2(2πm)3/2(kT)1/2(23.69)Como EF ≡ µ:EF = −kT ln2πmkh23/2− kT ln2T3/2ne+ne25/2h22πmkT3/2kT.(23.70)299
  24. 24. 23.7 G´as altamente degenerado, ultra-relativ´ısticoNeste regime, µ kT Temos queI =∞mc2f( )g( )d (23.71)onde f( ) ´e a probabilidade que um particular estado de momentum estejaocupado.f( ) =1e( −µ)/kT + 1. (23.72)Para uma degenerescˆencia alta df/d = f ( ) tem um m´aximo em = µ e ´epequeno para valores de que s˜ao ou muito menores ou muito maiores doque = µ. As fun¸c˜oes g( )variam muito menos que f( ). Integrando a eq.(23.73) por partes, temosI = f(∞)∞mc2g( )d − f(mc2)mc2mc2g( )d −∞mc2f ( )mc2g( )d(23.73)Podemos definirG( ) =mc2g( )d (23.74)A eq. (23.73) transforma-se emI = f(∞)G(∞) − f(mc2)G(mc2) −∞mc2f ( )mc2g( )d (23.75)mas f(∞) e G(mc2) s˜ao zero. Logo, podemos escrever a eq. (23.73) comoI = −∞mc2f ( )G( )d (23.76)Podemos, agora, definir x = ( − µ)/kT e expandir G(x) em s´erie de Taylorpara x = 0. ObtemosG(x) =∞n=0xnnGn(0) (23.77)comG0(0) ≡µmc2g( )d (23.78)Por outro lado,Gn(0) = (kT)n dn−1g( )d n−1=µ≡ (kT)ngn−1(µ), n = 1, 2, 3, . . . (23.79)300
  25. 25. Utilizando as eq. (23.77-23.79) na eq. (23.76), obtemosI = −G(0)∞mc2f ( )d −∞n=1(kT)nngn−1(µ)∞x=−(µ−mc2)/kTxnf (x)dx.(23.80)Entretanto,∞mc2f ( )d 1, (23.81)pois f ( ) tem o comportamento semelhante ao da fun¸c˜ao Delta de Dirac(em um g´as fortemente degenerado), ondef (x) = −exkT [ex + 1]2 = −1kT(ex + 1)(e−x + 1)(23.82)Podemos notar que f (x) ´e uma fun¸c˜ao par. Como µ − mc kT, podemosanalisar a integral do segundo termo da eq. (41) como tendo os limites ∞ e−∞. Desta forma, apenas valores pares de n ter˜ao importˆancia na integralmencionada e, por conseq¨uˆencia, apenas as derivadas´ımpares da fun¸c˜ao g( )aparecer˜ao na express˜ao final para I.Como x = µ/kT ´e positivo, ent˜ao podemos escrever 1(ex+1)(e−x+1)comoa expans˜ao binomial1(ex + 1)(e−x + 1)=e−x(1 + e−x)2= −∞m=1(−1)mme−mx(23.83)Assim, a integral do segundo termo da eq. (23.80) se torna2kTm=1(−1)mm∞0xne−mxdx =2n!kT∞m=1(−1)mmnn = par (23.84)Podemos, agora, escrever a eq. (23.73) comoI =µmc2g( )d − 2∞n=1(kT)2n d2n−1g( )d 2n−1=µ∞m=1(−1)mm2n(23.85)ou ent˜aoI =∞mc2g( )e( −µ)/kT + 1(23.86)=µmc2g( )d +π26(kT)2 dgd =µ+7π4360(kT)4 d3gd 3=µ+ . . .301
  26. 26. Escrevendo uma express˜ao para a densidade de el´etrons dada na eq. (23.61)como fun¸c˜ao de com 2 = p2c2 + (mc2)2, obtemosne =8πh3c3∞mc22 − (mc2)2de( −µ)/kT + 1(23.87)A equa¸c˜ao (23.87) implica queg( ) =8πh3c32 − (mc2)2 (23.88)E sua derivadadg( )d =µ=8πh3c32µ2 − (mc2)2µ2 − (mc2)2(23.89)Deste modo, usando as eq. (23.86-23.89) e considerando apenas os doisprimeiros termos do lado direito da eq. (23.86), obtemosne =8πh3c3µmc22 − (mc2)2d +π26(kT)2 2µ2 − (mc2)2µ2 − (mc2)2=8πh3c3( 2 − (mc2)2)3/23+π26(kT)2 2µ2 − (mc2)2µ2 − (mc2)2=8πh3c3(µ2 − (mc2)2)3/23+π26(kT)2 2µ2 − (mc2)2µ2 − (mc2)2(23.90)Para um g´as n˜ao relativ´ıstico de el´etrons podemos definir o potencialqu´ımico µ comoµ1 = µ − mc2(µ1 1) (23.91)de modo queµ2(mc2)2+ 2µ1mc2(23.92)Substituindo a express˜ao para µ2 da eq. (23.92) na eq. (23.90) nos d´ane =32π(mµ1)3/23√2h31 +π28kTµ12(23.93)Como µ1/mc2 1, a eq. (23.94) transforma-se em1µ1=1µ01 +π28kTµ12 2/31µ01 +π28kTµ02 2/3(23.94)302
  27. 27. ondeµ0 =h28m3neπ2/3(23.95)Como µ0 ´e equivalente `a EF da express˜ao (23.55). Como µ0 kT, ent˜aoµ1 = µ0 1 −π212kTµ02. (23.96)Para um g´as ultra-relativ´ıstico, µ mc2 e a eq. (23.90) se torna1µ3=1µ301 + π2 kTµ21µ301 + π2 kTµ02, (23.97)com µ30 ≡ µ3T=0 = 3neh3c2/8π.23.8 Equil´ıbrio hidrost´aticoMesmo para a estrela mais bem estudada s´o podemos obter 4 parˆametros:massa, luminosidade, raio e composi¸c˜ao qu´ımica das camadas externas. Po-demos determinar a estrutura da estrela com esses parˆametros, porque dis-pomos de mais uma condi¸c˜ao: a constˆancia das estrelas por longos per´ıodosde tempo. Mesmo as estrelas vari´aveis apresentam estabilidade da estruturam´edia por longos tempos. A existˆencia de algas f´osseis na Terra com maisde 1 bilh˜ao de anos, e f´osseis de at´e 3,5 bilh˜oes de anos, s˜ao evidˆencia de quea temperatura da Terra n˜ao pode ter mudado mais que aproximadamente20◦ C. Portanto, o interior das estrelas precisa estar em perfeito equil´ıbrio.Construiremos um conjunto de condi¸c˜oes que precisam ser cumpridasem todas as camadas das estrelas. Ignoraremos perturba¸c˜oes como rota¸c˜ao,pulsa¸c˜ao, distor¸c˜ao por for¸cas de mar´e, e campos magn´eticos de larga escala.Conseq¨uentemente, podemos assumir simetria esf´erica.A primeira condi¸c˜ao que precisa ser cumprida pelo interior estelar ´e acondi¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico (mecˆanico): todas as for¸cas atuando emqualquer elemento de volume dentro da estrela tˆem de ser compensadasexatamente, j´a que uma for¸ca resultante n˜ao-nula implicaria movimentose, portanto, mudan¸cas na estrutura. As ´unicas for¸cas que precisamos con-siderar s˜ao a for¸ca gravitacional, para dentro, e a for¸ca de press˜ao, parafora.303
  28. 28. Vamos considerar um elemento de volume cil´ındrico, a uma distˆanciar do centro da estrela, com seu eixo na dire¸c˜ao do centro, com uma se¸c˜aotransversal ds e um comprimento dr. A for¸ca de press˜ao atuando sobre esseelemento, isto ´e, a diferen¸ca entre a for¸ca de press˜ao na parede interna e afor¸ca de press˜ao na parede externa ´e dada por:−dPdrdsdr,onde P ´e a press˜ao, que ser´a uma fun¸c˜ao, monotonicamente decrescente, dadistˆancia r ao centro. A for¸ca gravitacional atuando sobre o mesmo volumeser´a dada pela massa do volume vezes a acelera¸c˜ao gravitacional, isto ´e:ρ dsdrGMrr2,onde ρ ´e a densidade e G ´e a constante gravitacional. Expressamos a ace-lera¸c˜ao gravitacional em termos de Mr, que significa a massa em uma esferade raio r, e pode ser expressa em termos da densidade como:Mr =r0ρ4πr2dr (23.98)Essa equa¸c˜ao ´e chamada de equa¸c˜ao da massa, ou equa¸c˜ao da continuidade.Igualando as duas for¸cas opostas, obtemos a condi¸c˜ao de equil´ıbrio hidros-t´atico:dPdr= −ρGMrr2. (23.99)Ou caso n˜ao haja simetria esf´ericaP + ρ φ = 0onde φ ´e o potencial gravitacional.Se a press˜ao de radia¸c˜ao for importante, esta equa¸c˜ao precisa incluir omomentum transferido pelo campo de radia¸c˜ao `a mat´eriadPdr= −ρGMrr2+1c∞0κ(λ)F(λ)dλ (23.100)onde κ ´e o coeficiente de absor¸c˜ao, que descreve a probabilidade de que umf´oton ser´a ou absorvido ou espalhado, e F ´e o fluxo de energia transportado304
  29. 29. por radia¸c˜ao por unidade de ´area. Mas este termo pode ser simplesmenteinclu´ıdo na press˜ao total.As equa¸c˜oes (23.98) e (23.99) s˜ao as duas primeiras das equa¸c˜oes que go-vernam a estrutura estelar. Sozinhas, elas s˜ao claramente insuficientes paradeterminar com unicidade como a press˜ao, densidade e massa variam com adistˆancia ao centro da estrela. Mas elas permitem obter uma estimativa daordem de grandeza da press˜ao e temperatura que vamos encontrar. Vamosaplicar a equa¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico (23.99) para um ponto no meiodo Sol. Podemos usar, para uma primeira estimativa, a densidade m´edia doSolρ =3M4πR 3 = 1, 39 g cm−3,para Mr = (1/2)M , a metade da massa do Sol, M = 1, 989 × 1033 g,e para r = (1/2)R a metade do raio do Sol, R = 696 000 km. Al´emdisso, para o lado esquerdo da equa¸c˜ao (23.99), podemos usar dr = R ,para dP = Pcentro − Psuperf, e assumirmos Psuperf Pcentro. Usando G =6, 67 × 10−8 dina cm2 g−2, obtemos:PcentroR=GM /2R2 /4ρ ,Pcentro ≈ 2ρGMR= 5, 3 × 1015dina cm−2usando unidades c.g.s.Em c.g.s., a gravidade de uma estrela de massa M em um ponto r ´e dadapor:g(r) =GMrr2= 2, 74 × 104 MrMrR−2cm s−2Dessa estimativa de press˜ao, podemos imediatamente estimar a tempe-ratura, se usarmos a equa¸c˜ao de estado de um g´as ideal, que, como demons-traremos depois, ´e v´alida para a maioria das estrelas. A equa¸c˜ao do g´asideal pode ser escrita comoP = NkT =kmρT (23.101)onde T ´e a temperatura, k a constante de Boltzmann, e m o peso molecularm´edio, j´a que N = ρ/m. Para m, podemos usar a metade da massa dopr´oton, j´a que o hidrogˆenio ´e o elemento mais abundante, e para hidrogˆenio305
  30. 30. ionizado, um pr´oton e um el´etron atuam como duas part´ıculas com massam´edia de meia massa do pr´oton j´a que me mp.Para o caso geral,P = Pg´as + Prad,isto ´e, precisamos levar em conta a press˜ao do g´as e a press˜ao de radia¸c˜ao,mas no interior de estrelas de baixa massa, como o Sol,Prad Pg´as,e podemos desprez´a-la. Aplicando para a press˜ao central do Sol, aindausando a densidade m´edia do Sol, obtemos:Tcentro ≈ 107K.Isto ´e, encontramos uma temperatura t´ıpica no interior do Sol de 10 milh˜oesde graus Kelvin.Com essas estimativas podemos ver o cen´ario em que temos de traba-lhar; a esta temperatura, o m´aximo da fun¸c˜ao de Planck est´a em 2,9 ˚A. Osgases est˜ao muito quentes para conter qualquer composto qu´ımico, e quenteso suficiente para estarem altamente ionizados. N˜ao precisamos, portanto,considerar a f´ısica complexa de s´olidos e l´ıquidos. O hidrogˆenio e o h´elio,principais constituintes, est˜ao completamente ionizados e aparecer˜ao comopr´otons, el´etrons, e part´ıculas α.Antes de assumir estrita obediˆencia ao equil´ıbrio hidrost´atico, vamosestimar qual ´e o custo da desobediˆencia. Vamos assumir que, em algumlugar da estrela, a acelera¸c˜ao gravitacional n˜ao ´e estritamente balan¸cadapela for¸ca de press˜ao, deixando uma fra¸c˜ao f n˜ao-balan¸cada. O material,ent˜ao, ser´a acelerado por uma quantia:d2rdt2= fGMrr2Podemos resolver essa equa¸c˜ao para o valor de dt em que a acelera¸c˜ao n˜ao-balan¸cada causa um deslocamento dr = fR . Assumindo um movimentoretil´ıneo uniformemente acelerado,dr =12d2rdt2dt2≡ fR .Logo, para o ponto no meio do Sol:τdin ≡ dt =2fRd2r/dt212≈ GMR3−12306
  31. 31. τdin ≡1(G¯ρ)12τdin ≈= 103s =14hrIsto ´e, qualquer desequil´ıbrio da condi¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico causadeslocamentos grandes e r´apidos. Esse tempo ´e chamado de tempo de quedalivre, ou tempo dinˆamico. Portanto, uma falta de equil´ıbrio leva a mudan¸cassignificativas no raio da estrela. Como a temperatura na Terra n˜ao variou,o raio do Sol n˜ao mudou significativamente durante bilh˜oes de anos, tendosido satisfeita, com alta precis˜ao, a equa¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico.23.9 Reserva de energia de uma estrelaAssegurar equil´ıbrio hidrost´atico n˜ao ´e suficiente para assegurar a estabili-dade de uma estrela. O equil´ıbrio t´ermico tamb´em precisa ser considerado.Um equil´ıbrio t´ermico perfeito s´o ´e atingido por um sistema se todas as par-tes tˆem a mesma temperatura e n˜ao existe qualquer fluxo de energia entresuas partes. Esse equil´ıbrio perfeito certamente n˜ao ocorre no interior deuma estrela. Vimos que a temperatura no interior do Sol ´e da ordem de10 milh˜oes de graus, enquanto a temperatura nas camadas superficiais ´e daordem de 5400 K. Al´em disso, medimos um fluxo de energia saindo das ca-madas superficiais, a luminosidade do Sol. A existˆencia desse fluxo significadesvio do equil´ıbrio t´ermico perfeito.Que tipo de equil´ıbrio t´ermico atua no interior de uma estrela? Para res-ponder a essa pergunta, precisamos primeiro encontrar as fontes de energiaque mantˆem o fluxo atrav´es da superf´ıcie (fotosfera). Precisamos considerartrˆes tipos de energia: energia t´ermica, ET , energia potencial gravitacional,EG, e energia nuclear, EN . As duas primeiras podem ser representadas poruma simples integral sobre a estrela:ET =R0+32kmT ρ4πr2dr = +3k2mT × M ≈ +5 × 1048ergs, (23.102)EG =R0−GMrrρ4πr2dr = −GMrr× M ≈ −4 × 1048ergs. (23.103)O termo entre parˆentesis na equa¸c˜ao (23.102) representa a energia t´ermi-ca de um g´as ideal, monoatˆomico, por grama de mat´eria, enquanto o termo307
  32. 32. entre parˆentesis na equa¸c˜ao (23.103) representa a energia necess´aria paramover um grama de mat´eria de sua posi¸c˜ao na estrela at´e o infinito, depoisque todas as outras camadas externas da estrela j´a foram removidas. Ovalor num´erico cotado nas equa¸c˜oes ´e uma estimativa da ordem de grandezadas duas energias, usando os valores anteriores para o Sol.N˜ao ´e por acidente que as estimativas das duas energias s˜ao t˜ao pareci-das. A igualdade segue diretamente da equa¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico;multiplicando a equa¸c˜ao (23.99) por 4πr3 e integrando sobre a estrela, ob-temos:R0dP × 4πr3= −R0ρGMr4πrdr.Integrando por partes o termo da esquerda, isto ´e:udv = uv − vdu,e usando u = 4πr3 e dv = dP, obtemos:R04πr3dP = P4πr3R0−R03P4πr2dr.O primeiro termo `a direita pode ser desprezado porque, no interior, o raio´e nulo e, na superf´ıcie, a press˜ao ´e insignificante. Logo:R03P4πr2dr =R0ρGMrr4πr2dr (23.104)que ´e o Teorema do Virial da dinˆamica cl´assica, ou virial de Clausius, emhonra ao seu proponente, o alem˜ao Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888). Identificando o termo da direita com o negativo da energia gra-vitacional, −EG e usando a equa¸c˜ao de estado de um g´as ideal (23.101)P = ρm kT:R03P4πr2dr = 2R032kTmρ4πr2dr = 2ET ,obtemos:2ET = −EG. (23.105)Naturalmente, os valores obtidos nas equa¸c˜oes (23.102) e (23.103) n˜ao s˜aoexatamente m´ultiplos, pois s˜ao apenas estimativas de grandeza.Embora tenhamos derivado a rela¸c˜ao entre as energias, essa rela¸c˜aotamb´em ´e valida para a varia¸c˜ao das energias, como pode ser visto dife-renciando-se a equa¸c˜ao (23.105). Para uma estrela em contra¸c˜ao, a energia308
  33. 33. gravitacional decresce continuamente. Exatamente metade desse decr´escimode energia ser´a compensado por um aumento na energia t´ermica, de acordocom a rela¸c˜ao (23.105). A outra metade ser´a perdida por radia¸c˜ao pelasuperf´ıcie. Dessa forma, a quantidade de energia pass´ıvel de perda por ra-dia¸c˜ao ´e somente igual `a energia t´ermica. Por quanto tempo essa reserva deenergia pode suprir a energia irradiada pela superf´ıcie? Nossas estimativasnum´ericas para o Sol podem ser usadas para calcular esse tempo, chamadode tempo de contra¸c˜ao de Kelvin,tK =ETL≈ 1015s = 3 × 107anos,j´a que L = 3, 847 × 1033 ergs/s. Esse tempo, tamb´em chamado de tempode Kelvin-Helmholtz, em honra ao irlandˆes Lord William Thomson, Bar˜aoKelvin (1824-1907), e ao alem˜ao Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz(1821-1894), ´e muito curto, mesmo se comparado com o intervalo de tempodesde o aparecimento de algas na Terra. Portanto, conclu´ımos que a energiat´ermica e gravitacional de uma estrela n˜ao s˜ao suficientes para suprir aperdas pela superf´ıcie durante a vida de uma estrela, embora possam serimportantes em fases curtas e cr´ıticas da evolu¸c˜ao estelar.Nessa deriva¸c˜ao, a energia t´ermica, ET , foi definida como a energiacin´etica translacional e n˜ao inclui a energia dos graus de liberdade inter-nos, como rota¸c˜ao, vibra¸c˜ao ou excita¸c˜ao. Do virial, obtemos:Etotal = ET + EG =12EGEssa rela¸c˜ao, e (23.105), s´o s˜ao estritamente v´alidas para um g´as em que ocoeficiente adiab´atico γ = 53 , ondeγ ≡cpcve cp e cv s˜ao os calores espec´ıficos a press˜ao constante e a volume constante,como a equa¸c˜ao do g´as ideal. O conceito de calor espec´ıfico foi desenvolvidopor Joseph Black (1728-1799). Para uma equa¸c˜ao de estado adiab´atica geral,definida como:d ln P ≡ γd ln ρe como derivaremos na equa¸c˜ao (23.138) na p´agina 318:P = (γ − 1)ρEpart.T (23.106)309
  34. 34. podemos calcular a energia cin´etica total do g´as K, j´a que:K ≡i12miv2i =12ipi · viPara um g´as isotr´opico,P =13 pn(p)pi · vid3pPortanto, se integramos sobre o volume, para incluir todas as part´ıculas,2K = 3VPdV (23.107)ComodMr = ρd43πr32K = 3MPρdMr (23.108)e o teorema de virial, equa¸c˜ao (23.104), pode ser escrito como:2K = −EGComo, substituindo-se (23.106) em (23.107):2K = 3(γ − 1)VρEpartT dV = 3(γ − 1)ETouK =32(γ − 1)ET ,onde K ´e a energia cin´etica total. Dessa forma, vemos que ET = K somentese γ = 53 . A energia total pode ser escrita como:Etotal = ET + EG=2K3(γ − 1)+ EG= −EG3(γ − 1)+ EGe, finalmente:Etotal =3γ − 43(γ − 1)EG. (23.109)310
  35. 35. Para um g´as de Fermi completamente relativ´ıstico, γ = 43 e, nesse caso, todaa varia¸c˜ao de energia gravitacional transforma-se em energia interna, semque a estrela precise irradiar. Como a energia total ´e dada por (23.109),se γ = 43 a energia total ´e nula, e massa ´e perdida pela estrela (camadasexternas ejectadas). Como γ = 43 tamb´em para f´otons, uma estrela domi-nada pela press˜ao de radia¸c˜ao efetivamente ejeta suas camadas externas.Esse fato ´e o que limita a massa superior das estrelas, pr´oximo de 100 M .A ioniza¸c˜ao tamb´em pode fazer γ decrescer abaixo de 4/3 nas regi˜oes deioniza¸c˜ao, causando instabilidades.23.9.1 Algumas rela¸c˜oes termodinˆamicasSeja uma varia¸c˜ao infinitesimal de calor dQ. A primeira lei da termodinˆa-mica ´e normalmente escrita como:dQ = TdS = dET + PdV (23.110)S ´e a entropia, definida por Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888),em 1865, como uma medida da desordem do sistema. Um sistema em equil´ı-brio termodinˆamico, isto ´e, em equil´ıbrio mecˆanico e com todas as part´ıculasrepresentadas pela mesma temperatura, est´a em balan¸co detalhado, isto ´e,todos os processos s˜ao balan¸cados exatamente por processos inversos. Essesistema, em equil´ıbrio termodinˆamico real n˜ao irradia, e tem a entropiam´axima. A fun¸c˜ao E = ET ´e chamada de energia interna do sistema.Podemos escrever a equa¸c˜ao (23.110) tamb´em comodQ = TdS =∂E∂V TdV +∂E∂T VdT + PdV (23.111)ou sejadQ = TdS =∂E∂V T+ P dV +∂E∂T VdT (23.112)A unidade de calor ´e chamada Carnot (Ct), em honra ao f´ısico francˆesSadi Nicolas Lionard Carnot (1796-1832). 1 Ct = 1 Joule/Kelvin ´e a quan-tidade de calor necess´ario para derreter um cent´ımetro c´ubico de gelo.O conceito de entropia est´a intimamente ligado ao conceito de calor.Quando um sistema recebe entropia (calor), ele recebe energia. Se um corpoa uma temperatura T recebe entropia (S), ele absorve energia (E) equivalenteao produto da temperatura pela entropia.∆E = T∆S311
  36. 36. A entropia (calor) pode ser transportada, armazenada e criada. A entropia(calor) pode ser produzida mas n˜ao pode ser destru´ıda; ela se redistribuipara lugares mais frios. A entropia ´e o transportador da energia em proces-sos t´ermicos. Ela pode ser criada em processos irrevers´ıveis, como queima,fri¸c˜ao, transporte de calor. A quantidade de energia usada na cria¸c˜ao deentropia ´e dita dissipada.Um corpo conduzindo calor (entropia) produz mais entropia ao mesmotempo.A rela¸c˜ao entre a entropia macrosc´opica de Rudolf Clausius e os estadosmicrosc´opicos de um sistema foi feita pelo f´ısico austr´ıaco Ludwig Boltzmann(1844-1906), com sua teoria estat´ıstica de n˜ao equil´ıbrio, irrevers´ıvel e n˜aosim´etrica no tempo. Cada estado microsc´opico de um sistema macrosc´opicotem uma entropia definida porS = k log Wondek = constante de Boltzmann = 1, 38 × 10−23J K−1e W ´e o volume do espa¸co de fases associado ao estado macrosc´opico, isto´e, o n´umero de poss´ıveis estados microsc´opicos associados a um estado ma-crosc´opico (n´umero de estados com mesma energia e portanto igualmenteacess´ıveis). A entropia aumenta quando o espa¸co de fases aumenta. 4.A entropia em um ponto pode ser calculada usando-seS = (E + PV − V Nµ)/T (23.113)usando-se µ como o potencial qu´ımico sem a massa de repouso (µ = µtotal −mc2) e V ≡ 1/ρ.Para um g´as de part´ıculas extremamente relativ´ısticas, como f´otons eneutrinos, em expans˜ao adiab´atica, se assumirmos que seu potencial qu´ımico´e nulo, temos que a energia por unidade de volume ´e dada por u = aT4 eS =4aT33ρ4O estado inicial do Universo tinha menor entropia e, portanto, o f´ısico americanoRichard Philips Feynman (1918-1988) propˆos que “´e preciso adicionar `as leis f´ısicas ahip´otese de que o Universo era mais ordenado, em um sentido t´ecnico, no passado do que ´eatualmente . . . para dar sentido `a irreversibilidade”. O f´ısico brasileiro Constantino Tsallisprop˜oe uma mecˆanica estat´ıstica mais abrangente, que leva em conta a impossibilidade dese separar completamente (isolar) sistemas interagentes por for¸cas de longa alcance, comogravitacionais ou eletromagn´eticas. Nesta teoria, a entropia n˜ao ´e simplesmente aditiva.312
  37. 37. onde ρ ´e a densidade de mat´eria. A entropia de f´otons por n´ucleon ´e dadaporSγNAk=1, 213 × 10−22T3ρpara temperaturas em K e densidades em g/cm3. No n´ucleo de uma estrelade 25 M , esta raz˜aoSγNAk varia de 1 quando est´a queimando o hidrogˆenio eo h´elio, para 0,4 durante a queima do carbono, chegando a 0,01 durante aqueima do oxigˆenio e sil´ıcio.Para um g´as de Fermi-Dirac n˜ao relativ´ıstico e n˜ao degenerado,ρTS = N52kT − µ (23.114)Para um g´as de el´etrons degeneradoSe NAkXeAπ2 kTEF(23.115)Em um n´ucleo de 56Ni pr´oximo do colapso, ρ 5 × 109 g cm−3, T7, 5 × 109 K, Xe/A 0, 42, EF 5 MeV, Sγ 0, 022NAk, Se 0, 525NAke Si 0, 347NAk, de modo que S 0, 93NAk. A entropia n˜ao se alteramuito durante o colapso.Exatid˜aoA equa¸c˜ao (23.110) foi escrita da formadQ = X(x, y)dx + Y (x, y)dy (23.116)Se dQ ´e exato, isto ´e, pode ser escrita da forma geraldQ = dσ(x, y) =∂σ∂xdx +∂σ∂ydy (23.117)ent˜ao, comparando com a equa¸c˜ao (23.116), podemos identificarX(x, y) =∂σ∂xY (x, y) =∂σ∂y(23.118)e se∂2σ∂x∂y=∂2σ∂y∂x−→∂X∂y=∂Y∂x(23.119)a diferencial σ(x, y) ´e exata e sua integral independe do caminho de inte-gra¸c˜ao. A energia interna de um sistema E e a entropia s˜ao fun¸c˜oes somentedas vari´aveis do sistema, isto ´e, s˜ao exatas, mas a integral de dQ dependeda maneira em que o processo ´e executado.313
  38. 38. Rela¸c˜ao de reciprocidadeSe um sistema est´a em equil´ıbrio termodinˆamico, sua entropia ´e m´axima e,portanto, uma mudan¸ca infinitesimal no sistema tem de ser quase-est´atica,ou revers´ıvel e, portanto, com dS = 0.Da equa¸c˜ao (23.112) vemos quedS =dQT=1T∂E∂V T+ P dV +1T∂E∂T VdT (23.120)Como dS ´e exata, usando a rela¸c˜ao (23.119) obtemos∂∂T1T∂E∂V T+ P =∂∂V1T∂E∂T V(23.121)que, ap´os a diferencia¸c˜ao, se reduz a:∂E∂V T= T∂P∂T V− P (23.122)que nos d´a a dependˆencia da energia interna E com o volume, para tempe-ratura constante.Caso geralMas, no caso geral, em que existe altera¸c˜ao nos constituintes do g´as:dET =∂ET∂S v,NdS +∂ET∂V s,NdV +i∂ET∂Ni s,vdNij´a que a energia total ET inclui todos os tipos relevantes de energia, inclusivea energia latente das rea¸c˜oes qu´ımicas que, no nosso caso, inclui rea¸c˜oesnucleares. Como∂ET∂S v,N= T∂ET∂V s,N= −P∂ET∂Ni s,v= µionde µ ´e o potencial qu´ımico e a primeira lei da termodinˆamica pode serescrita como:TdS = dET + PdV −iµidNi.314
  39. 39. A condi¸c˜ao de equil´ıbrio qu´ımico (e a de equil´ıbrio termodinˆamico) requeriµidNi = 0.Os calores espec´ıficos a volume constante cv, e a press˜ao constante, cp,por unidade de massa, s˜ao definidos como:cv ≡dQdT ve cp ≡dQdT pSe o peso molecular m´edio ´e representado por µ,P =µρT −→ ET = cvTedQ = cv +µdT − V dP −→ cp ≡dQdT p= cv +µ.≡ NAk = 8, 314511 × 107 ergs K−1 mol−1 = 8, 314511 J, K−1 mol−1 ´e aconstante universal do g´as por mol, NA = 6, 0221367 × 1023 mole−1 ´e on´umero de Avogadro e a lei do g´as ideal ´e expressa como PV = T = µ ρT.Se as part´ıculas s˜ao consideradas como pontuais, s´o possuem trˆes grausde liberdade e, para os casos n˜ao-relativ´ıstico (N.R.) e extremamente rela-tiv´ıstico (E.R.), e a energia t´ermica, por part´ıcula, ´e dada por (eq. 23.14 e23.19):Epart.T =32kT (N.R.) ou Epart.T = 3kT (E.R.),e por unidade de massa:ET =NAµEpart.TET =32 µT (N.R.) ou ET = 3µT (E.R.),onde µ ´e o peso molecular m´edio. Como, assumindo equil´ıbrio qu´ımico, aprimeira lei da termodinˆamica (23.110), com dV = 0 resulta emdQdT V=∂E∂T V−→ cv =∂ET∂T vobtemoscv =32 µ(N.R.) ou cv = 3µ(E.R.)315
  40. 40. e como cp = cv + /µ,cp =52 µ(N.R.) ou cp = 4µ(E.R.)eγ =53(N.R.) ou γ =43(E.R.)Uma rela¸c˜ao adiab´atica ´e definida como:Pργ= const. −→Tργ−1= const.Definindo-se tamb´em:Γ1 ≡∂ ln P∂ ln ρ S(Γ3 − 1) ≡∂ ln T∂ ln ρ S(23.123)Γ2 − 1Γ2≡∂ ln T∂ ln P S=Γ3 − 1Γ1(23.124)e o expoentes na equa¸c˜ao de estado:χρ ≡∂ ln P∂ ln ρ T,µχT ≡∂ ln P∂ ln T ρ,µχµ ≡∂ ln P∂ ln µ T,ρ(23.125)onde µ ´e o peso molecular.Pelas defini¸c˜oes dos expoentes, e assumindo-se equil´ıbrio qu´ımico, isto ´e,peso molecular constante, (dµ = 0):∂ρ∂T P= −ρTχTχρ(23.126)Como, usando a regra da deriva¸c˜ao em cadeia:dE =∂E∂P T∂P∂ρ Tdρ +∂P∂T ρdT +∂E∂T PdT (23.127)ou seja, se ρ ´e constante:∂E∂T ρ=∂E∂P T∂P∂T ρ+∂E∂T P(23.128)316
  41. 41. de onde obtemos:∂E∂T P=∂E∂T ρ−∂E∂P T∂P∂T ρ(23.129)Sabemos que, em equil´ıbrio qu´ımico, a primeira lei pode ser escritadQ = dE + Pd1ρ= dE −Pρ2dρ (23.130)podemos obtercp ≡dQdT P=∂E∂T P−Pρ2∂ρ∂T P(23.131)podemos usar a equa¸c˜ao (23.126) para escrever a equa¸c˜ao (23.131) como:cp = cv −∂E∂P T∂P∂T ρ+Pρ2ρTχTχρ(23.132)que tamb´em pode ser escrito comocp = cv −∂E∂ρ T∂ρ∂P T∂P∂T ρ+Pρ2ρTχTχρ= cv −ET∂ ln E∂ ln ρ TχTχρ+Pρ2ρTχTχρ(23.133)Podemos, finalmente, utilizar a rela¸c˜ao de reciprocidade (equa¸c˜ao 23.122)para escrever∂ ln E∂ ln ρ T= −PρE(χT − 1) (23.134)e obter a rela¸c˜ao geral entre os calores espec´ıficos:cp − cv =PρTχ2Tχρ(23.135)Como para um g´as idealP =µρTobtemos que χT = χρ = 1 ecp − cv =µ(23.136)317
  42. 42. γ − 1 =µ1cv(23.137)e comocv =∂ET∂T vobtemos que para composi¸c˜ao qu´ımica constante:ET = cvT =( /µ)Tγ − 1e usandoµT = (γ − 1)ETobtemosP = (γ − 1)ρET (23.138)No caso geralγ ≡cpcv= 1 +χTχρ(Γ3 − 1) =Γ1χρ=Γ3 − 1χρΓ2Γ2 − 1(23.139)e comoΓ1 ≡d ln Pd ln ρ aduma expans˜ao adiab´atica ter´a:d ln P = Γ1d ln ρ (23.140)Para um g´as de f´otons ocupando um volume V, E = aT4V e PR = 13 aT4.Deste modocV =∂E∂T V= 4aT3Vχρ = −∂ ln P∂ ln V T= 0χT =∂ ln P∂ ln T V= 4Γ3 − 1 =PV χTcV T=13Γ1 = χρ + χT (Γ3 − 1) =43318
  43. 43. Γ2Γ2 − 1=Γ1Γ3 − 1= 4de modo queΓ1 = Γ2 = Γ3 =43masγ =cPcv=Γ1χρ= ∞Lembrando que para um g´as de f´ermions temos:P =8π3h3∞0p3vpdpexp [(E − EF ) /kT] + 1n =8π3h3∞0p2dpexp [(E − EF ) /kT] + 1E =8π3h3∞0Epartp2dpexp [(E − EF ) /kT] + 1e que para um g´as n˜ao relativ´ıstico Epart = p22m . Definimosα ≡ −EFkTe obtivemos para o caso da degenerescˆencia parcial:Pe =8πkT3h3(2mekT)32 F32(α)ne =4πh3(2mekT)32 F12(α)Ee =4πkTh3(2mekT)32 F32(α)logoEe =32PeComo a press˜ao do g´as de el´etrons degenerados mas n˜ao relativ´ısticos ´e dadaporPe =25neE0F 1 +5π212kTE0F2319
  44. 44. e a densidade de el´etrons dada porne =32π (mEF )323√2h31 +π28kTEF2com a energia de Fermi (sem a massa de repouso) dada por1EF=1E0F1 +π28kTEF2321E0F1 +π28kTE0F232ondeE0F =h28m3neπ23´e a energia de Fermi `a temperatura zero. Se o g´as est´a degenerado, a energiade Fermi ´e muito maior do que kT eEF = E0F 1 −π212kTE0F2Desta maneiraEene=35EF1 − π212kTE0F21 + 5π28kTE0F21 + π28kTE0F2Expandindo os termos dependentes em temperatura em termos de kTE0F21 obtemosEe =35neEF 1 +5π28kTE0F235neE0F 1 +5π28kTE0F2e obtemos a capacidade t´ermica dos el´etrons a volume constantecv =dEedT V=π22nek2TEFpara um g´as degenerado mas n˜ao relativ´ıstico e, portanto, o calor espec´ıficopor el´etron:cev =1nedEedT V=π2k2kTEF320
  45. 45. cV =8π3m4c53h3T mc2kT2pFmcpFmc2+ 112onde p2F = 2mEF . Para um g´as degenerado e ultra-relativ´ıstico.cv =dEedT V= 3π2 nek2TEF23.9.2 Energia nuclearO ´ultimo tipo de reserva de energia ´e a nuclear. A temperatura no interiordas estrelas ´e alta o suficiente para manter fus˜ao nuclear de elementos leves.Rea¸c˜oes nucleares liberam energia proveniente do equivalente de massa dosn´ucleos envolvidos. Poder-se-ia supor que a energia nuclear total de uma es-trela fosse Mc2, mas essa ´e uma super-estimativa, pois essa energia somenteseria irradiada se a estrela fosse totalmente aniquilada. Essa aniquila¸c˜ao n˜aoocorre `as temperaturas encontradas nas estrelas. Portanto, somente preci-samos considerar rea¸c˜oes nucleares que transmutam um elemento qu´ımicoem outro. A energia liberada nesses processos ´e equivalente `a diferen¸ca demassa, que ´e muito menor do que a massa total dos n´ucleons. A m´aximadiferen¸ca de massa ocorre na transmuta¸c˜ao de hidrogˆenio em ferro e corres-ponde a oito mil´esimos da massa dos n´ucleons envolvidos no processo.Ser´a que a reserva de energia nuclear em uma estrela se aproxima destem´aximo te´orico? Sim. Evidˆencias espectrosc´opicas indicam que a maioriadas estrelas ´e composta principalmente de hidrogˆenio, o combust´ıvel maisvantajoso para as estrelas. E, como produto final, pouca diferen¸ca faz se ohidrogˆenio ´e transformado em ferro, j´a que a transmuta¸c˜ao em h´elio liberauma diferen¸ca de massa de sete mil´esimos. Desse modo, o limite te´orico d´auma boa aproxima¸c˜ao da reserva de energia nuclear de uma estrela. Para oSol, obtemos:EN = 0, 008c2M ≈ 1052ergs,que ´e mais de mil vezes superior `as energias t´ermica e gravitacional. Parao Sol, essa reserva de energia pode suprir a perda por radia¸c˜ao por umintervalo de tempo de:tN =ENL≈ 3 × 1018s = 1011anos,suficientemente longo. Eventualmente, a transmuta¸c˜ao gradual dos elemen-tos por fus˜ao causa mudan¸cas significativas na estrutura da estrela.321
  46. 46. 23.9.3 Ciclo pr´oton-pr´otonPara temperaturas da ordem de T 8 × 106 K, a transforma¸c˜ao de hi-drogˆenio em h´elio se d´a principalmente pelo ciclo p-p, com p−p ∝ T4. Oresultado total desse ciclo transforma4H → 4He + 2e++ 2νe + γA diferen¸ca de energia de liga¸c˜ao ´e de ∆m c2 = 26, 731 MeV, correspondendoa um defeito de massa de 0,71%.As rea¸c˜oes se d˜ao por:p + p → 2D + e++ νe (0, 263 MeV) Q ≡ ∆mc2− Eν = 1, 179 MeV(ou p + e−+ p+→ 2D + νe(1, 44 MeV) Q=1,046 com pouca probabilidade)7Li + p → 4He + 4HeQ=17,3477Be + e−→ 7Li + νe (0, 80 MeV)8Be →4He +4He, Q=0,0958B → 8Be + e++ νe (7, 2 MeV)Q=10,7787Be + p → 8B + γ, Q=0,135Q=0,061, PPII PPIII3He + 4He → 7Be + γ, Q=1,586Q=12,8592 3He → 4He + 2pPPI2D + p → 3He + γ (Q = 5, 493 MeV)O ciclo PPI tem Q = 26, 20 MeV, com dois neutrinos de energiam´edia de 0,263 MeV cada (0,42 MeV m´axima), enquanto o PPII tem Q =25, 67 MeV, correspondendo a uma perda por neutrinos de 4%, com neu-trinos de 0,80 MeV, al´em dos dois de 0,263 MeV. O ciclo PPIII, comQ = 19, 2 MeV, corresponde a uma perda por neutrinos de 28%, comneutrinos carregando 7,2 MeV, al´em dos dois de 0,263 MeV. No Sol, o PPIcontribui com 85% da luminosidade, PPII com 15% e PPIII com 0,015%. Area¸c˜ao mais lenta ´e 1H(p, e+νe)2D, e a energia m´edia liberada por pr´oton ´ede 6,541 MeV.322
  47. 47. Com uma m´edia de energia por rea¸c˜ao de 25 MeV 4×10−5 ergs/ciclo,uma luminosidade solar de L 4 × 1033 ergs/s, obtemos um total de neu-trinos de:L25 MeV=Nν2−→ Nν = 2 × 1038neutrinos/segundopor queima de hidrogˆenio, que corresponde a um fluxo aqui na Terra deFT =Nν4π(1UA)2= 6, 8 × 1010neutrinos cm−2 s−10 10 20 3002000400060008000Energia (MeV)Figura 23.4: Sec¸c˜ao de choque dos neutrinos sobre um alvo de g´alio, deacordo com John Norris Bahcall (1934 - 2005), publicado em 1997 no Phy-sical Review C, 56, 3391. Existem ressonˆancias, como a do neutrino de15,11 MeV sobre um alvo de 12C, que leva a uma sec¸c˜ao de choque medidade (9, 3 ± 0, 6) × 10−42 cm2.323
  48. 48. Entretanto, como a se¸c˜ao de choque do neutrino ´e da ordem de:σνEνmec222 × 10−44cm2os neutrinos raramente interagem com a mat´eria. Por exemplo, consideran-do-se o n´umero de part´ıculas m´edias no Sol, n , o livre caminho m´edio dosneutrinos=1σ n109RFigura 23.5: O espectro de energia dos neutrinos produzidos no Sol, deacordo com o modelo padr˜ao de John Norris Bahcall e Marc H. Pinsonneault1998, Review of Modern Physics. O fluxo est´a dado em contagens por cm2.O ciclo p-p ´e respons´avel por 98% da taxa de gera¸c˜ao de energia no modelopadr˜ao do Sol. As flechas no topo do gr´afico indicam a energia detect´avelnos experimentos em andamento.O Problema do neutrino solar324
  49. 49. Experimento Medida Medida/ EminTe´oricoDavis (Cloro) 2, 56 ± 0, 16 SNU 0, 33 ± 0, 03 0,814 MeVKamiokande (ˇCerenkov) (2, 80 ± 0, 19) × 1010m−2s−10, 54 ± 0, 08 7,5 MeVSAGE (G´alio) 67 ± 7 SNU 0, 52 ± 0, 06 0,233 MeVGallex 78 ± 6 SNU 0, 60 ± 0, 06 0,233 MeVSuper-Kamiokande (2, 42 ± 0, 04) × 1010m−2s−10, 470 ± 0, 008 5,5 MeVSNU = 10−36capturas/alvo/sAs observa¸c˜oes indicam que a teoria eletrofraca de Glashow, Weinberg eSalam, que preve que os neutrinos n˜ao tˆem massa, est´a errada, pois indicamque h´a oscila¸c˜ao de neutrinos, isto ´e, durante sua trajet´oria do n´ucleo doSol at´e a Terra, parte dos neutrinos de el´etrinos νe emitidos nas rea¸c˜oes, setransforma em neutrinos dos m´uons νµ e neutrinos de t´aons µτ , o que s´o ´eposs´ıvel se, al´em de terem massas, as massas de diferentes tipos de neutrinossejam diferentes.23.9.4 Ciclo CNOO ciclo CNO domina a queima de hidrogˆenio para Tc ≥ 18 × 106 K, isto ´e,para estrelas com massa maior do 1,2 M , usando o C e N como catalisa-dores, com CNO ∝ T20.12C + p → 13N + γ (Q = 1, 944 MeV)13N → 13C + e++ νe (0, 710 MeV) (Q = 1, 511 MeV)13C + p → 14N + γ (Q = 7, 550 MeV)14N + p → 15O + γ (Q = 7, 290 MeV)15O → 15N + e++ νe (1, 000 MeV) (Q = 1, 761 MeV)15N + p → 12C + 4He (Q = 4, 965 MeV)Q = 25, 02 MeVou, com menor probabilidade:15N + p → 16O + γ (Q = 12, 126 MeV)16O + p → 17F + γ (Q = 0, 601 MeV)17F → 17O + e++ νe (0, 94 MeV) (Q = 2, 762 MeV)17O + p → 14N + 4He (Q = 1, 193 MeV)325
  50. 50. Figura 23.6: Evolu¸c˜ao das abundˆancias com a temperatura do n´ucleo parauma estrela com massa inicial de aproximadamente 25 M . T8 = T/108 K.23.9.5 Triplo–αA rea¸c˜ao triplo-α, foi proposta pelo americano Edwin Ernest Salpeter (1925- 2008), fundindo trˆes n´ucleos de h´elio (part´ıculas α) em um n´ucleo de car-bono. Existe uma ressonˆancia no n´ucleo composto do carbono, 7,65 MeVacima do estado fundamental, que permite que esta rea¸c˜ao ocorra com taxassignificativas, conforme predito por Sir Fred Hoyle (1915 - 2001) e posterior-mente observada. Para temperaturas acima de Tc 108 K, ocorre a queimado h´elio, pelo processo chamado triplo-α, com 3α ∝ T40:4He + 4He 8Be + γ Q = 92 KeV8Be + 4He → 12C + γ Q = −278 KeV12C + 4He → 16O + γ Q = 7, 1613 MeVO 8Be decai em 2 4He em um tempo de vida m´edio de τ = 0, 067 fen-tosegundos. A produ¸c˜ao do oxigˆenio, por acr´escimo de part´ıcula α ao 12C,12C (α, γ) 16O, s´o ocorre porque o princ´ıpio da incerteza permite que uma326
  51. 51. ressonˆancia com energia um pouco abaixo do limite ocorra, quando clas-sicamente seria proibida. A taxa desta rea¸c˜ao tem sido muito dif´ıcil dedeterminar teoricamente. A pr´oxima rea¸c˜ao, 16O (α, γ) 20Ne ´e lenta para es-tas temperaturas, mas 14N (α, γ) 18F ocorre, seguida do decaimento de 18Fpara 18O. Acima de 6 × 108 K temos 18O (α, γ) 22Ne, 22Ne (α, γ) 26Mg e,com menor probabilidade, 22Ne (α, n) 25Mg. Durante a queima de h´elio oprocesso s (slow) de lenta captura de nˆeutrons, produzidos na ´ultima rea¸c˜aocitada, ocorre em estrelas massivas, produzindo os n´ucleons at´e o chumbo.Para as estrelas de massa entre 1 e 8 M um forte processo s ocorre porintera¸c˜ao entre as camadas que queimam hidrogˆenio e h´elio.Figura 23.7: Evolu¸c˜ao das abundˆancias com a temperatura do n´ucleo parauma estrela com massa inicial de aproximadamente 25 M . T8 = T/108 K.327
  52. 52. 23.9.6 Queima do carbonoPara estrelas acima de 10 massas solares, quando a temperatura centralatinge T 5 − 10 × 108 K:12C + 12C → α + 20Ne (Q = 4, 6168 MeV)20Ne + α → γ + 16O20Ne + α → γ + 24Mg24Mg + α → γ + 28Si12C +12C → p + 23Na (Q = 2, 2398 MeV)23Na + p → α + 20Ne23Na + p → γ + 24Mg12C + 12C → n + 23Mg (Q = −2, 5993 MeV)e, com menor probabilidade:12C + 12C → 24Mg + γ (Q = 13, 9313 MeV)→ 16O + 2α (Q = −0, 1132 MeV)→ 16O + 8Be (Q = −0, 2080 MeV)Para 0, 8 ≤ T9 ≤ 1, 0, a queima do carbono se d´a em equil´ıbrio hidrost´atico.Para T9 2 a queima ocorre em escala hidrodinˆamica. Na explos˜ao,o choque esquenta a mat´eria ainda n˜ao queimada, iniciando a queima eacelerando-a. O material queimado expande e esfria, interrompendo asrea¸c˜oes termonucleares.Para T=1–2 × 109 K:16O + 16O → 32∗S → γ + 32S (Q = 16, 5410 MeV)→ α + 28Si (Q = 9, 5928 MeV)→ p + 31P (Q = 7, 6770 MeV)→ n + 31S → 31P + e++ νe (Q = 1, 4531 MeV)→ 2p + 30Si (Q = 0, 3795 MeV)328
  53. 53. Para T=3,4–3, 7 × 109 K:12C + 16O → γ + 28S (Q = 16, 7544 MeV)→ p + 27Al (Q = 5, 1691 MeV)→ α + 24Mg (Q = 6, 7697 MeV)→ n + 27Mg (Q = −0, 4230 MeV)Para T ≥ 5 × 109 K:28Si(α, γ)32S(α, γ)36A(α, γ)40Ca(α, γ)44Ti(α, γ)48Cr(α, γ)52Fe(α, γ)56Ni56Ni + e−→ νe +56∗Co e 56Ni → e++ νe + 56∗Co56∗Co → 56Co + γ56∗Co + e−→ 56∗Fe + νe e 56∗Co → 56∗Fe + e+νe56∗Fe → 56Fe + γEnergia Liberada nas Rea¸c˜oes NuclearesProcesso QNA/A(MeV/nucleon)4 H → 4He 5 a 73α → 12C 0,6064α → 16O 0,9022 12C → 24Mg 0,522 20Ne → 16O + 24Mg 0,112 16O → 32S 0,522 28Si → 56Ni 0 a 0,31William Alfred Fowler (1911-1995) e Sir Fred Hoyle (1915-2001) pro-puseram em 1964, no Astrophysical Journal Supplements, 9, 201, que oprocesso de queima do sil´ıcio preferencialmente sintetiza o 56Ni porque ar´apida queima n˜ao permite decaimentos β suficientes para produzir o 56Fe.Decaimentos β posteriores, enquanto a mat´eria ainda est´a quente, formamo 56Fe. A solu¸c˜ao da cadeia de rea¸c˜oes simultˆaneas por James Welling-ton Truran, David Arnett (1940-) e Alastair G.W. Cameron (1925-), 1967,Canadian Journal of Physics, 45, 2315, demonstra que o 56Ni ´e realmentedominante para mat´eria pouco abundante em nˆeutrons. Se os nˆeutrons s˜aoabundantes, o n´ucleo dominante passa para o 54Fe, 56Fe e finalmente 58Fe,com o aumento do n´umero de nˆeutrons. O fluxo de nˆeutrons depende dametalicidade do material.329
  54. 54. 23.10 Condi¸c˜ao de equil´ıbrio t´ermicoConclu´ımos, na se¸c˜ao anterior, que a perda de energia na superf´ıcie porradia¸c˜ao ´e compensada pela libera¸c˜ao de energia por processos nucleares nointerior da estrela.Essa condi¸c˜ao pode ser expressa como:L =R0ερ4πr2dr, (23.141)onde ε ´e a energia liberada por processos nucleares, por unidade de massae por unidade de tempo. A produ¸c˜ao de energia nuclear ε depende datemperatura, densidade e composi¸c˜ao.Nosso tratamento da radia¸c˜ao pode ser macrosc´opico, isto ´e, n˜ao ´e ne-cess´ario levar em conta os efeitos quˆanticos da radia¸c˜ao. A radia¸c˜ao ´e tratadacomo um fluido. Entretanto, quando tratarmos da intera¸c˜ao da radia¸c˜aocom a mat´eria, precisaremos adotar uma descri¸c˜ao quˆantica. Ser´a que acondi¸c˜ao de equil´ıbrio t´ermico precisa ser satisfeita minuto a minuto, comoa condi¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico? N˜ao. Se deslig´assemos a produ¸c˜aode energia nuclear do Sol, ele continuaria a brilhar, alimentando-se de suaenergia gravitacional. Se torn´assemos a ligar a gera¸c˜ao de energia nuclearem um tempo menor do que o tempo de contra¸c˜ao de Kelvin, o Sol n˜ao teriasido afetado seriamente pela interferˆencia. Por esses per´ıodos, as energiasgravitacional e t´ermica agem como um reservat´orio. Entretanto, para tem-pos maiores do que o tempo de contra¸c˜ao de Kelvin, a condi¸c˜ao (23.141)precisa ser satisfeita.A equa¸c˜ao (23.141) garante o balan¸co de energia para a estrela como umtodo. Mas o mesmo tipo de balan¸co tem de ser satisfeito em cada camada daestrela. Um ganho de energia por uma camada e uma perda de energia emoutra camada levaria `a mudan¸ca na estrutura de temperatura no interior daestrela e, portanto, tornaria a estrela inst´avel. Consideremos uma camadaesf´erica de raio r e espessura unit´aria. O balan¸co de energia nessa camadapode ser escrito como:dLrdr= ερ4πr2, (23.142)onde Lr ´e o fluxo de energia atrav´es da esfera de raio r. O termo da esquerdadessa equa¸c˜ao representa a perda l´ıquida de energia da camada causada peloexcesso de fluxo deixando a superf´ıcie externa, em rela¸c˜ao ao fluxo de energiaentrando pela superf´ıcie interna. O termo da direita representa a energiaproduzida na camada por processos nucleares.330
  55. 55. Uma deriva¸c˜ao mais formal usa a defini¸c˜ao de fluxo, F, que ´e o vetor dofluxo de energia total (energia por unidade de ´area por unidade de tempo),e ε a energia total gerada perto do ponto r, por todas as fontes, por unidadede massa e por unidade de tempo. O estado estacion´ario (invariˆancia) requerque:SF · ds =VρεdV,onde ds ´e o elemento de ´area, e dV o elemento de volume. Pelo teorema dadivergˆencia,· F = ρε.Assumindo simetria esf´erica, F ´e somente radial, de modo que:· F =1r2ddrr2F =14πr2ddr4πr2F = ρε.Como Lr ≡ 4πr2F, temos:dLrdr= 4πr2ρε,reproduzindo a equa¸c˜ao (23.142), que representa a terceira das condi¸c˜oesb´asicas que devem ser obedecidas no interior da estrela.A equa¸c˜ao (23.142) precisa ser modificada para as fases curtas, mas cr´ı-ticas, da evolu¸c˜ao estelar em que as mudan¸cas da estrutura interna s˜ao t˜aor´apidas que as varia¸c˜oes nos dois reservat´orios menores de energia estelar– t´ermica e gravitacional – s˜ao importantes. Nessas fases, n˜ao podemosesperar que o fluxo carregue para fora do volume exatamente a energiagerada por segundo por rea¸c˜oes nucleares dentro do volume, como expressopela rela¸c˜ao (23.142). Espera-se que a energia perdida pelo fluxo, a energiagerada pelas rea¸c˜oes nucleares e o trabalho exercido pela press˜ao, juntos,determinem a taxa de mudan¸ca da energia interna do volume. A energiainterna por unidade de massa de um g´as ideal ´e dada por 3k2mT. O trabalhoexercido pela press˜ao ´e dado por −PdV , onde o volume espec´ıfico podeser substitu´ıdo pelo seu rec´ıproco, a densidade. A energia nuclear liberadapor unidade de massa, por unidade de tempo, ´e, por defini¸c˜ao, ε. A perdal´ıquida de energia, por uma camada esf´erica de espessura unit´aria, ´e dLr/dr,que precisa ser dividida pela massa da camada, 4πr2ρ para dar a perda porunidade de massa. Portanto:ddt32kmT = −PdVdt+ ε −14πr2ρdLrdr.331
  56. 56. Como o volume espec´ıfico V ´e dado por:V ≡1ρ−→ dV = −1ρ2dρ −→ −PdV = +Pρ2dρ,ddt32kmT = +Pρ2dρdt+ ε −14πr2ρdLrdr.Usando a equa¸c˜ao de estado de um g´as ideal (23.101), podemos escrever:P =kmρT −→kmT =Pρ,ddt32Pρ−Pρ2dρdt= ε −14πr2ρdLrdr.Como32ρ23ddtPρ53=32ρ231ρ23ddtPρ+Pρddt1ρ23=32ddtPρ+32ρ−13 P −231ρ53dρdt=32ddtPρ−Pρ2dρdt.´e igual ao termo da esquerda, podemos escrever:32ρ23ddtPρ53= ε −14πr2ρdLrdr,oudLrdr= 4πr2ρ ε −32ρ23ddtPρ53(23.143)Essa equa¸c˜ao deve ser usada em lugar da equa¸c˜ao (23.142) durante as fasesem que as mudan¸cas evolucion´arias s˜ao r´apidas. Ela ´e idˆentica `a (23.142)nas fases normais, em que as mudan¸cas s˜ao t˜ao lentas que o termo com aderivada temporal na equa¸c˜ao (23.143) pode ser ignorado.At´e agora, somente consideramos a condi¸c˜ao que o fluxo de energia deveobedecer para balan¸car a produ¸c˜ao de energia. Fisicamente, entretanto, ofluxo ´e determinando pelos mecanismos de transporte de energia, que po-dem ser condu¸c˜ao (transporte de energia atrav´es dos corpos), convec¸c˜ao332
  57. 57. (transporte de energia pelo movimento dos corpos), ou radia¸c˜ao (transportede energia pelo campo eletromagn´etico). Para qualquer desses trˆes meca-nismos ´e o gradiente de temperatura que essencialmente determina o fluxode energia. Portanto, precisamos considerar estes mecanismos em detalhepara determinar o gradiente de temperatura que ir´a produzir um fluxo queobede¸ca `a condi¸c˜ao (23.142) ou (23.143).A condu¸c˜ao normalmente ´e muito lenta e, portanto, n˜ao contribui seria-mente para o transporte de energia no interior estelar. Como o livre caminhom´edio dos ´ıons e el´etrons ´e t˜ao pequeno, comparados com o raio estelar, acondu¸c˜ao pode ser desprezada nas estrelas normais. Existem condi¸c˜oes es-peciais, como o caso de g´as degenerado, no interior de estrelas an˜as brancase estrelas de nˆeutrons, e mesmo no n´ucleo de gigantes vermelhas, em que olivre caminho m´edio dos el´etrons ´e muito grande, e a condu¸c˜ao por el´etrons,muito efetiva.Nas pr´oximas se¸c˜oes, consideraremos, em detalhe, os dois mecanismosde transporte de energia que dominam no interior da maioria das estrelas,radia¸c˜ao e convec¸c˜ao.23.11 O Transporte de energia radiativoSe o interior estelar fosse isot´ermico, a intensidade de radia¸c˜ao seria isotr´opi-ca, e n˜ao existiria um fluxo de radia¸c˜ao l´ıquida em qualquer dire¸c˜ao. De fato,entretanto, existe um gradiente radial de temperatura. Conseq¨uentemente,se olharmos, de qualquer ponto do interior da estrela, na dire¸c˜ao do centro,veremos um fluxo de radia¸c˜ao vindo da regi˜ao abaixo, um pouco mais quente.Se olharmos para fora, veremos radia¸c˜ao vinda de uma regi˜ao um pouco maisfria. O fluxo resultante de radia¸c˜ao ´e direcionado para fora.Qual o valor desse fluxo? Isso depende da opacidade dos gases. Se a opa-cidade for baixa, veremos, de um dado ponto, at´e regi˜oes bem mais quentespara dentro e at´e regi˜oes bem mais frias para fora; a anisotropia da radia¸c˜aoser´a grande, e o fluxo l´ıquido para fora ser´a grande. Vamos representar aopacidade por seu coeficiente de absor¸c˜ao por unidade de massa, K, definidode forma que:Kρdnos d´a a fra¸c˜ao da energia do feixe absorvida atravessando a distˆancia d .O coeficiente de absor¸c˜ao no interior estelar ´e da ordem de 1 g−1cm2 enunca muito menor. Se usarmos, novamente, a densidade m´edia do Solcomo representativa, vemos que Kρ ´e da ordem de um cm−1 e, portanto,no interior das estrelas, uma distˆancia da ordem de 1 cm ´e suficiente para333
  58. 58. absorver uma alta fra¸c˜ao da intensidade do feixe. De fato, uma espessura dev´arios cent´ımetros ´e completamente opaca. N˜ao veremos, portanto, muitolonge, para dentro ou para fora, a partir de qualquer ponto do interior daestrela. A diferen¸ca de temperatura nessa pequena distˆancia ser´a da ordemde um mil´esimo de um grau, j´a que a queda de temperatura por todo o raiodo Sol, R = 7 × 1010 cm, ´e de Tc = 15 × 106 K. O campo de radia¸c˜ao,portanto, ´e muito aproximadamente isotr´opico e poder´ıamos negligenciaressa pequena anisotropia, se o fluxo n˜ao fosse a ´unica forma de conectar osprocessos nucleares no interior, com as perdas radiativas na superf´ıcie.23.12 A Equa¸c˜ao de transporte radiativoVamos derivar a rela¸c˜ao entre o fluxo de radia¸c˜ao e o gradiente de tempera-tura. Descrevendo o campo de radia¸c˜ao por sua intensidade I(r, θ), energiapor unidade de ´area, por unidade de tempo, e por unidade de ˆangulo s´olido(esferorradiano), a uma distˆancia r do centro da estrela e em uma dire¸c˜aoinclinada de um ˆangulo θ do raio vetor.IPSdωdAθFigura 23.8: Intensidade e ˆangulo s´olidoConsidere os ganhos e perdas que a radia¸c˜ao sofre, dentro de um ˆangulos´olido dw, por unidade de tempo, em um cilindro com se¸c˜ao de choque dse comprimento d , equivalente ao raio vetor r, e r + dr. A intensidade deradia¸c˜ao entrando pela base ser´a:+I(r, θ) dw ds,334
  59. 59. enquanto a perda correspondente na superf´ıcie superior ser´a:−I(r + dr, θ + dθ) dw ds.θ-dθ+ θθddsdlrdrNa ´ultima express˜ao, o incremento em r ocorre porque o topo do cilindroest´a mais longe do centro do que a base, e o incremento em θ ocorre porquea curvatura introduzida pela simetria esf´erica leva o topo vertical do cilindroa estar inclinado em rela¸c˜ao `a base.A perda de energia por unidade de tempo por absor¸c˜ao sobre o compri-mento do cilindro ser´a de:−I dw ds × Kρd .Finalmente, precisamos incluir a emiss˜ao dos gases no cilindro. Seja j aenergia total emitida, por unidade de massa, por unidade de tempo, isotro-picamente em todas as dire¸c˜oes. A emiss˜ao de toda a mat´eria no cilindro,na dire¸c˜ao contida pelo ˆangulo s´olido dw ser´a, ent˜ao:+j ρ ds ddw4π.Se aplicarmos a condi¸c˜ao de equil´ıbrio t´ermico especificamente para o campode radia¸c˜ao, exigimos que os ganhos da radia¸c˜ao balancem exatamente asperdas, isto ´e, que a soma dos termos seja nula:I(r, θ)dwds − I(r + dr, θ + dθ)dwds − I(r, θ)dwdsKρd + jρdsddw4π= 0.Como, para um elemento infinitesimal:I(r + dr, θ + dθ) − I(r, θ) =∂I∂rdr +∂I∂θdθ,335
  60. 60. assumindo ∂I/∂φ = 0, e simplificando dw ds em todos os termos, obtemos−∂I∂rdr −∂I∂θdθ − IKρd +jρ4πd = 0Usando as rela¸c˜oes geom´etricas:d =drcos θ, dθ = −d sen θr,obtemosdθ = −dr sen θr cos θ,∂I∂rcos θ −∂I∂θsen θr+ IKρ −14πjρ = 0 (23.144)Essa ´e a equa¸c˜ao b´asica de transporte radiativo, que precisa ser obedecidaa cada ponto da estrela.23.13 Equil´ıbrio radiativo no interior estelarA solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (23.144) para o campo de radia¸c˜ao representa umdos principais problemas na teoria de atmosferas estelares. Para o interiorestelar, o problema ´e simplificado pelo fato do campo ser quase isotr´opico.Em vez de trabalharmos com a intensidade I, que representa a distribui¸c˜aode radia¸c˜ao para cada dire¸c˜ao, vamos considerar os trˆes primeiros momentosda distribui¸c˜ao, a densidade de energia u(r) ≡ E(r), o fluxo da radia¸c˜aoF(r) ≡ H(r), e a press˜ao de radia¸c˜ao PR(r).Por defini¸c˜ao, a intensidade ´e a energia que atravessa a superf´ıcie, nadire¸c˜ao θ, por unidade de ´area, por unidade de tempo, por unidade deˆangulo s´olido. O fluxo ´e a energia, por unidade de ´area, por unidade detempo, em todas as dire¸c˜oes:F(r) ≡ H(r) = I cos θdw (23.145)A densidade de energia, ou energia por unidade de volume, pode ser derivadanotando-se que, se F for a quantidade de energia cruzando a ´area dA, emuma dire¸c˜ao θ, por unidade de tempo, em um segundo, a radia¸c˜ao F ocupar´aum volume c cm3. Ent˜ao, a energia por unidade de volume, ser´a dada por:u(r) ≡ E(r) =FdAdc cos θdAd=1cIdw. (23.146)336
  61. 61. Sabemos que a energia cruzando a ´area dA ´e I cos θdAdw dt. O n´umerode f´otons ´e dado pela energia total dividida pela energia de cada f´oton, hν.Como o momentum de cada f´oton ´e dado por p = hν/c, a press˜ao transferidapara a ´area normal a dire¸c˜ao cos θdA, ser´a dada porPR(r) =I cos θdA dw dthνhνccos θdAdA=1cI cos2θdw. (23.147)para dA e dt unit´arios. Integrando (23.144) sobre o elemento de ˆangulos´olido dw, obtemos:∂∂rI cos θdw −1r∂I∂θsen θ dw + Kρ Idw −jρ4πdw = 0.Usando-se a defini¸c˜ao (23.145) e (23.146) e notando que o segundo termopode ser escrito como:dw∂I∂θsen θ =2π0dφπ0sen θ dθ∂I∂θsen θ= 2π Isen2θπ0− 2π0Isen θ cos θdθ= −2π0I cos θ(2π sen θ dθ)= −2 I cos θdw= −2H,obtemos:dHdr+2rH + cKρE − jρ = 0. (23.148)Outra rela¸c˜ao ´e obtida multiplicando-se (23.144) por cos θ e integrandosobre dw, obtemos:∂∂rI cos2θdw−1r∂I∂θsen θ cos θdw+Kρ I cos θdw−jρ4πcos θdw = 0.A integral no primeiro termo ´e igual a cPR(r), e a do terceiro termo ´e iguala H(r). O ´ultimo termo ´e nulo, pois dw = 2π sen θ dθ, e:cos θdw = 2ππ0cos θ sen θ dθ = πsen2θπ0= 0.337
  62. 62. No segundo termo, fazendo-se uma integra¸c˜ao por partes, com dv = ∂I∂θ dθ eu = sen2θ cos θ:∂I∂θsen θ cos θ 2π sen θ dθ = 2π∂I∂θsen2θ cos θdθ= 2πIsen2θ cos θπ0−π0I(2 cos2θsen θ − sen3θ) 2π dθ= −π0I(2 sen θ − 3 sen3θ) 2π dθ= −c 2E(r) + 3πoIsen2θ sen θ 2π dθ= −c 2E(r) + 3πoI(1 − cos2θ)dw= −c 2E(r) + 3cE(r) − 3πoIcos2θdw= c E(r) − 3cPR(r)Logo:dPRdr+1r(3PR − E) +KρcH = 0. (23.149)Obtivemos somente duas equa¸c˜oes com trˆes fun¸c˜oes, E, H e PR. Essainsuficiˆencia quase sempre ´e encontrada quando se substitui uma equa¸c˜aodiferencial parcial, como a equa¸c˜ao (23.144), por um conjunto de equa¸c˜oesdiferenciais ordin´arias, com as equa¸c˜oes (23.148) e (23.149). Para resolver osistema, encontraremos uma rela¸c˜ao adicional entre os momentos, usando aquase-isotropia do campo de radia¸c˜ao no interior estelar.Representemos o campo de radia¸c˜ao em qualquer ponto da estrela poruma s´erie:I = I0 + I1 cos θ + I2 cos2θ + . . . = I0 +∞n=1In cosnθ, (23.150)e determinemos a taxa de convergˆencia dessa s´erie introduzindo-a na equa¸c˜aode equil´ıbrio radiativo (23.144):∂I∂rcos θ −∂I∂θsen θr+ KρI −14πjρ = 0.∂∂r I0 + In cosnθ cos θ +Inrn cosn−1θsen2θ ++ KρI0 + Kρ In cosnθ −14πjρ = 0 (23.151)338
  63. 63. ∂∂r I0 + In cosnθ cos θ +Inrn cosn−1θ(1 − cos2θ) ++ KρI0 + Kρ In cosnθ −14πjρ = 0 (23.152)Como nossa expans˜ao vale para qualquer θ, a igualdade precisa ser exatapara cada potˆencia de cos θ:KρI0 −14πjρ = 0 (23.153)cosnθ∂In∂r+nInr−(n + 1)In+1r+ κρIn+1 = 0e obtemos a f´ormula de recorrˆencia, para n > 0:cosnθdIn−1dr+(n − 1)In−1r−nInr+ KρIn = 0Como κρ 1dIndr+nInr=(n + 1)In+1r+ κρIn+1AproximandodIn−1drIn−1RobtemosInIn−1nR1Kρ + nR10−10j´a que Kρ 1 cm−1, e o raio do Sol ´e R = 7 × 1010 cm. Portanto, as´erie (23.150) converge rapidamente no interior estelar. Podemos, portanto,nos restringir aos dois primeiros termos da s´erie (23.150); n˜ao podemos usarsomente o primeiro termo porque ter´ıamos ca´ıdo novamente na condi¸c˜aode isotropia do campo de radia¸c˜ao, sem qualquer fluxo resultante. Essacondi¸c˜ao ´e chamada de equil´ıbrio termodinˆamico local, j´a que a diferen¸cado equil´ıbrio termodinˆamico ´e t˜ao pequena. Isto ´e, localmente, as condi¸c˜oesno interior das estrelas podem ser consideradas em equil´ıbrio termodinˆamico.Nesse caso, n˜ao precisamos levar em considera¸c˜ao as transi¸c˜oes dos elemen-tos, porque todas as popula¸c˜oes dos n´ıveis dependem de s´o um parˆametro,a temperatura cin´etica dos el´etrons. Introduzindo os dois primeiros termosda s´erie (23.150) nas equa¸c˜oes (23.145) a (23.147) para os trˆes momentos,obtemos:I = I0 + I1 cos θ,339
  64. 64. E =1cIdw=1cI0 dw +2πcI1π0cos θ sen θ dθ=4πcI0 +2πcI1sen2θ2π0=4πcI0,j´a quesen2θ2π0= 0,H = I cos θdw= 2πI0π0sen θ cos θdθ + 2πI1π0cos2θsen θ dθ.Como π0sen θ cos θdθ = 0,eπ0cos2θ sen θ dθ = −cos3 θ3π0=13+13=23, (23.154)obtemos:H =4π3I1.Para a press˜ao de radia¸c˜ao (23.147):PR =1cI cos2θdw=2πcI0 cos2θ sen θ dθ +2πcI1 cos3θ sen θ dθ.Usando (23.154) eπ0cos3θ sen θ dθ = −cos4 θ4π0= 0,obtemos:E =4πcI0, H =4π3I1, PR =4π3cI0,340
  65. 65. de onde segue que:PR =13E, (23.155)onde E ´e a energia do campo de radia¸c˜ao por unidade de volume. O errorelativo nessa rela¸c˜ao ser´a da ordem de I2/I0, da ordem de 10−20, portanto,com precis˜ao suficiente. A equa¸c˜ao (23.155) ´e a rela¸c˜ao adicional que, juntocom as rela¸c˜oes (23.148) e (23.149), completam o conjunto de trˆes equa¸c˜oespara os trˆes momentos.Com a ajuda da equa¸c˜ao (23.155), podemos, agora, simplificar as duasequa¸c˜oes diferenciais (23.148) e (23.149). Primeiro, vamos substituir o fluxopor unidade de ´area, H, pelo fluxo por toda a esfera, a luminosidade Lr,usando a rela¸c˜ao geom´etrica:Lr = 4πr2H. (23.156)Agora, precisamos introduzir uma express˜ao para a emissividade j. Aemiss˜ao consiste de duas partes; a primeira contribui¸c˜ao vem da emiss˜aot´ermica normal, que, de acordo com a lei de Kirchhoff, ´e proporcional aocoeficiente de absor¸c˜ao K, `a constante de Stefan-Boltzmann a, `a velocidadeda luz c, e `a quarta potˆencia da temperatura T do g´as emitente. Isso porque,em equil´ıbrio t´ermico, podemos usar a rela¸c˜ao (23.153):KρI0 =jρ4π−→ j = 4πKI0,eI0 =∞0BPlanckν dν =σπT4.Comoσ =c · a4−→ I0 =acT44π−→ j = KacT4.A segunda contribui¸c˜ao vem dos processos nucleares e ´e igual `a produ¸c˜aode energia nuclear por unidade de massa, ε. A express˜ao completa para aemissividade, ent˜ao, ´e dada por:j = KacT4+ ε. (23.157)Finalmente, podemos eliminar ε com a ajuda da condi¸c˜ao de equil´ıbrioradiativo (23.142) na equa¸c˜ao (23.148):dHdr+2rH + cKρE − jρ = 0341
  66. 66. H =L4πr2−→ddrL4πr2+2rL4πr2+ cKρE − jρ = 0.ComoddrL4πr2=14πr2dLdr−2L4πr3,14πr2dLdr−2L4πr3+2L4πr3+ cKρE − jρ = 0.Como, pela equa¸c˜ao (23.142):dLdr= 4πr2ρε,Obtemos:ρε + cKρE − jρ = 0,eliminando ρ:E =j − εcKe usando a rela¸c˜ao para a emissividade (23.157), obtemos:E =KacT4cK= aT4. (23.158)Substituindo-se (23.158) na rela¸c˜ao entre a press˜ao de radia¸c˜ao e a densidadede energia (23.155):PR =13Eobtemos uma forma simples para a press˜ao de radia¸c˜ao:PR =a3T4(23.159)Introduzindo-se (23.155)PR =13Ena equa¸c˜ao (23.149), que anula o segundo termo, obtemos:13dEdr= −KρcHComo, da equa¸c˜ao (23.158):dEdr=ddraT4= 4aT3 dTdr342
  67. 67. obtemos:Hr = −4ac3T3KρdTdr(23.160)Substituindo-se a rela¸c˜ao (23.156), obtemos finalmente:Lr = −4πr2 4ac3T3KρdTdr(23.161)Essa ´e a nossa quarta equa¸c˜ao b´asica de equil´ıbrio. Ela fixa o valor dofluxo l´ıquido de radia¸c˜ao como uma fun¸c˜ao do gradiente de temperatura eda opacidade dos gases atravessados pela radia¸c˜ao.23.14 Ordem de grandeza da luminosidadePodemos usar a condi¸c˜ao de equil´ıbrio radiativo (23.161) para uma estima-tiva da ordem de grandeza da luminosidade, da mesma maneira que usamosa condi¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico, aplicando a condi¸c˜ao (23.161) paraum ponto no meio do Sol. Usaremos r = (1/2)R , T = 107 K, conformenossa estimativa anterior, para o rec´ıproco de Kρ um cent´ımetro e, paraas derivadas, as diferen¸cas correspondentes. Com essa estimativa grosseira,obtemos:L ≈ 6 × 1035ergs/s.Nossa estimativa supera a luminosidade do Sol por um fator de 100, prin-cipalmente porque nossa estimativa da temperatura no meio do Sol est´amuito alta. Na verdade, essa temperatura ´e da ordem de 3 milh˜oes de grausKelvin. Mas ´e interessante que, sem levar em considera¸c˜ao qualquer detalhedas equa¸c˜oes b´asicas, e as rea¸c˜oes nucleares, j´a obtivemos uma luminosidadeda ordem da luminosidade das estrelas.23.15 A rela¸c˜ao massa-luminosidadeNo mesmo esp´ırito, podemos usar a condi¸c˜ao de equil´ıbrio radiativo paraestimar como a luminosidade de uma estrela depende da sua massa. Usemos:ρ ∝MR3343
  68. 68. Substituindo na equa¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico (23.99) e, aproximandoas derivadas pelas diferen¸cas, encontramos:PR∝GMR2MR3−→ P ∝M2R4Introduzindo essas duas proporcionalidades na equa¸c˜ao de estado de um g´asideal (23.101), obtemos, para a temperatura:P =ρmkT ∝MR3T −→ T ∝MRPodemos, agora, substituir a dependˆencia de ρ e T em fun¸c˜ao de M e Rna condi¸c˜ao de equil´ıbrio radiativo (23.161) e assumir que o coeficiente deabsor¸c˜ao seja uma constante, encontrando:L ∝ R2 M3R3R3MM/RRL ∝ M3A dependˆencia sobre o raio se cancela e obtemos a rela¸c˜ao massa-luminosi-dade te´orica, da maneira mais simples, indicando que a luminosidade crescecom a terceira potˆencia da massa. Essa rela¸c˜ao ´e aproximada, e o expoentedepende da massa da estrela.23.16 Estabilidade do equil´ıbrio t´ermicoNossa ´ultima estimativa mostra que a luminosidade de uma estrela n˜ao ´edeterminada por sua taxa de gera¸c˜ao de energia por processos nucleares -nenhuma estimativa dessas foi usada nas deriva¸c˜oes at´e agora - mas somentepela condi¸c˜ao de equil´ıbrio radiativo (23.161). As raz˜oes f´ısicas podem sersumarizadas como segue. A press˜ao do g´as precisa contrabalan¸car a gra-vidade, de acordo com a condi¸c˜ao de equil´ıbrio hidrost´atico (23.99). Se apress˜ao interna precisa ser alta o suficiente para esse equil´ıbrio, a tempe-ratura precisa ser alta, de acordo com a equa¸c˜ao de estado (23.101). Ogradiente de temperatura, da temperatura alta no interior para a tempera-tura baixa na fotosfera, causar´a um fluxo resultante de radia¸c˜ao, de acordocom a condi¸c˜ao de equil´ıbrio radiativo (23.161). Esse fluxo est´a fixado pelacondi¸c˜ao de equil´ıbrio radiativo (23.161), seja a perda de energia, causadapelo fluxo de radia¸c˜ao, compensada – ou n˜ao – pela produ¸c˜ao de energianuclear no interior. Se a energia nuclear gerada ´e menor do que a perda por344
  69. 69. radia¸c˜ao na fotosfera, a estrela sofre uma perda de energia total. A ´unicamaneira de compensar essa perda de energia ´e pela libera¸c˜ao de energiagravitacional por contra¸c˜ao. De acordo com o teorema do virial (23.105),somente metade da energia gravitacional perdida pode ser liberada comoradia¸c˜ao na fotosfera. A outra metade automaticamente aumenta a energiat´ermica. Durante a contra¸c˜ao, portanto, a temperatura interna se elevar´ae, conseq¨uentemente, a taxa de rea¸c˜oes nucleares aumentar´a. A contra¸cˀªA

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