Upcoming SlideShare
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Standard text messaging rates apply

# 201 230

115

Published on

Math

Math

0 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

• Be the first to like this

Views
Total Views
115
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
0
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Transcript

• 1. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·201 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 201 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°E™ ªÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ Á Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â ÛÙ· ÛËÌÂ›· ∞, µ Î·È °. ¡· ‚ÚÂıÂ› Ô ÏﬁÁÔ˜ ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô 1. Î·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ Á ÙË˜ Á, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â, ı· ÂÚÓ¿ÂÈ ·ﬁ Ù· ›‰È· ÛËÌÂ›·. §‡ÛË Á ∏ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÁÚ·ÌÌ‹ Á ÙË˜ Á ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·ﬁ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ﬁÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌÂ›ˆÓ ÙË˜ Á. ∂ÔÌ¤Óˆ˜ ÛÙË Á ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ÛËÌÂ›· ÙˆÓ ∞, µ Î·È °. ∂ÂÈ‰‹ ﬁÌˆ˜ Ù· ∞, µ Î·È ° Â›Ó·È ∞ µ Â ° ÛËÌÂ›· ÙË˜ Â Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ù· ›‰È· Ù· Á ÛËÌÂ›·. ÕÚ· Ù· ∞, µ Î·È ° ·Ó‹ÎÔ˘Ó Î·È ÛÙË Á . 2. ¡· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â. §‡ÛË ∞ ¢È·ÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜: Â ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. ∆ﬁÙÂ, ﬁˆ˜ Â›‰·ÌÂ, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. Â ∞ ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. ∆ﬁÙÂ, ÁÈ· Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ µ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘, ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡ÌÂ ÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰È·‰ÈÎ·Û›·: º¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ·ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ ∞ Â˘ıÂ›· Â Î·È ÙÔ ÚÔÂÎÙÂ›ÓÔ˘ÌÂ Î·Ù¿ ›ÛÔ ÙÌ‹Ì·, ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È µ∞ã = ∞µ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. 3. N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ˆ˜ ÚÔ˜ Â˘ıÂ›· Â: (·) Â˘ıÂ›·˜ ‰ Î·È (‚) ËÌÈÂ˘ıÂ›·˜ ∞x. A B ‰ §‡ÛË (·) ¶·›ÚÓÔ˘ÌÂ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· ‰ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, ﬁˆ˜ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Â B 3, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ÙÔ˘˜ ∞ Î·È µ , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ∏ Â˘ıÂ›· ‰ Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ë ∞ ‰ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜ ‰. B x A (‚) ¶·ÚﬁÌÔÈ· ·›ÚÓÔ˘ÌÂ, ÂÎÙﬁ˜ ÙÔ˘ ∞, ¤Ó· ‰Â‡ÙÂÚÔ ÛËÌÂ›Ô µ ¿Óˆ ÛÙËÓ ËÌÈÂ˘ıÂ›· ∞x Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, Â ﬁˆ˜ ÚÈÓ, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ÙÔ˘˜ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ∏ ËÌÈÂ˘ıÂ›· ∞ x Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ∞ Î·È µ Â›Ó·È Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›·˜ ∞x. A B x 4. N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ µ ÂÓﬁ˜ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â. §‡ÛË BÚ›ÛÎÔ˘ÌÂ ÌÂ ÙÔÓ ÙÚﬁÔ Ô˘ Â›‰·ÌÂ µ µ µ ∞ Â Â ∞ Â ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 3, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ∞ ∞ Î·È µ , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙˆÓ ∞ Î·È µ µ µ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. ∆ﬁÙÂ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞ µ ı· Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ➊ ➋ ➌ ∞ ÙÔ˘ ∞µ, ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. T· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ı· Â›Ó·È ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹: ∞ µ = ∞µ
• 2. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·202 - 202 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· ∧ N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÁˆÓ›·˜ x∞ y ˆ˜ ÚÔ˜ 5. Ì›· Â˘ıÂ›· Â. ∞ Â ∞ §‡ÛË ∧ °È· Ó· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÔ˘ÌÂ ÙË ÁˆÓ›· x ∞ y ·ÚÎÂ› Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ ÙÔ µ µ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ ÙË˜ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ∞ Î·ıÒ˜ Î·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ µ x ° ° x Î·È ° ‰‡Ô ·ÎﬁÌ· ÛËÌÂ›ˆÓ µ Î·È °, Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÙÔ Î·ı¤Ó· ÛÂ y y ÌÈ· ·ﬁ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙË˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. ∧ ∧ °ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ ﬁÙÈ ı· Â›Ó·È: x A y = x Ay . N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ µ ° ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· Â˘ıÂ›· Â, Ë 6. ÔÔ›· (·) ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘, (‚) ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ Î·È (Á) Ù¤ÌÓÂÈ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘. §‡ÛË ™Â Î¿ıÂ ÂÚ›ÙˆÛË ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ∞ , µ , ° , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â, ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, µ, ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∆ﬁÙÂ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞ µ ° , Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ ÙÔ ∞µ°. Â Â Â ∞ ∞ ∞ ∞ ° ° µ µ ∞ ∞ µ µ ° ° µ µ ° ° (H Â ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜) (∏ Â ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ Ù· µ Î·È °) (∏ Â Ù¤ÌÓÂÈ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜) Â 7. ¡· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ Î‡ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ √ Ú Â˘ıÂ›· Â. §‡ÛË ∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Â›Ó·È Î‡ÎÏÔ˜ Ú (√ , Ú) ›ÛÔ˜ ÌÂ ÙÔÓ (√, Ú), ÌÂ √ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ √ ˆ˜ ÚÔ˜ √ ÙËÓ Â. Ÿˆ˜ ﬁÏ· Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ Û¯‹Ì·Ù·, ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ (√, Ú) Î·È (√ , Ú) Â›Ó·È ›ÛÔÈ, ‰ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ó ›ÛÂ˜ ·ÎÙ›ÓÂ˜. ¡· ¯·Ú·¯ıÂ› Ë ÔÚÂ›· ÙˆÓ ·ÎÙ›ÓˆÓ ÙÔ˘ ÊˆÙﬁ˜, Ô˘ ÂÎ¤ÌÔÓÙ·È ·ﬁ ¤Ó· ÊˆÙÂÈÓﬁ 8. ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ·Ó·ÎÏÒÓÙ·È Û’ ¤Ó·Ó Â›Â‰Ô Î·ıÚ¤ÊÙË (Ô ÔÔ›Ô˜ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ˆ˜ Ì›· Â˘ıÂ›· Â). §‡ÛË ∞ BÚ›ÛÎÔ˘ÌÂ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. √È ·ÎÙ›ÓÂ˜ ·Ó·ÎÏÒÓÙ·È ÛÙÔÓ Î·ıÚ¤ÊÙË Î·È ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡Ó Â ÙËÓ ÔÚÂ›·, Ô˘ ı· Â›¯·Ó, ·Ó Ë ËÁ‹ ÙÔ˘ ÊˆÙﬁ˜ ‹Ù·Ó ÙÔ ÛËÌÂÈÔ ∞ . ∂ÂÈ‰‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ·ÎÙ›ÓÂ˜ ÌÂ ÙËÓ Â Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¤˜, ı· Â›Ó·È Î·È ›ÛÂ˜. ÕÚ·, Ë ÁˆÓ›· ÌÂ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ·ÎÙ›Ó· ¤ÊÙÂÈ ÛÙÔÓ ∞ Î·ıÚ¤ÊÙË Â›Ó·È ›ÛË ÌÂ ÙË ÁˆÓ›· ÌÂ ÙËÓ ÔÔ›· ·Ó·ÎÏ¿Ù·È.
• 3. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·203 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 203 - 9. ™ÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÛËÌÂ›· µ Î·È µ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. ¡· ‚ÚÂıÂ› ÌÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÌﬁÓÔ ÙÔ˘ ¯¿Ú·Î· ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. §‡ÛË ∞ ∂ÂÈ‰‹ ÌÂ ÙÔ ¯¿Ú·Î· ÌÔÚÔ‡ÌÂ Ó· Ê¤ÚÔ˘ÌÂ ÌﬁÓÔ µ Â˘ıÂ›Â˜ ÁÚ·ÌÌ¤˜, ·ÎÔÏÔ˘ıÔ‡ÌÂ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ‚‹Ì·Ù·, ﬁˆ˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì·: Â ñ º¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ Â˘ıÂ›· ∞µ Î·È ÙËÓ ÚÔÂÎÙÂ›ÓÔ˘ÌÂ Ì¤¯ÚÈ Ó· ÙÌ‹ÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. µ ñ º¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ Â˘ıÂ›· ∫µ , Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ ∫µ, ·ÊÔ‡ ÂÓÒÓÂÈ ‰‡Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ÛËÌÂ›· ·˘Ù‹˜, Ù· ∫ Î·È µ . ñ º¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ ∞µ , Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÙÔ √. ñ ∆¤ÏÔ˜, Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ µ√, Ô˘ Ë Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ Â›Ó·È Ë √µ . √È Â˘ıÂ›Â˜ ∫µ Î·È µ√ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¤˜ ÙˆÓ ∫µ Î·È µ √ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯· Î·È ÔÈ ÙÔÌ¤˜ ÙÔ˘˜ ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ÛËÌÂ›·, Ù· ∞ Î·È ∞ . ∞ ➊ ∞ ➋ ∞ ➌ ∞ ➍ ∞ ➎ B B B B B Â ∫ Â ∫ Â ∫ Â ∫ Â ∫ √ √ √ B B B ∞ B ∞ B ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ ∧ 1. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ÙË Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ ÁˆÓ›·˜ xO y ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â, ÛÂ Î·ıÂÌÈ¿ ·ﬁ ÙÈ˜ ‰‡Ô x O Â ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜. y y Â O x 2. N· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ (√, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â ÛÂ Î·ıÂÌÈ¿ ·ﬁ ÙÈ˜ ‰‡Ô Â O O ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜. Ú Â ∞ ∞ µ N· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ 3. ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â , Ë ÔÔ›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÌÂ ÙËÓ Â. ∆È Û¯¤ÛË Â ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎﬁ Î·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Û¯‹Ì·; ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂÈ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÌÂ ÌÈ· ÙÚ›ÙË ·Ú¿ÏÏËÏË. ∆È ·Ú·ÙËÚÂ›˜; Â ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π µÚÂ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ 1. ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ¿ÏÏË Â˘ıÂ›· ˙. ∆È Û¯¤ÛË ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ·Ú¯ÈÎﬁ Î·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ; ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂÈ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÌÂ ÙÚ›ÙË Â˘ıÂ›·. ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‰Â›ÍÂÈ˜, ﬁÙÈ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ Û¯‹Ì· ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· ‰ ÌÈ·˜ Â˘ıÂ›·˜ Â 2. ·Ú¿ÏÏËÏË˜ ÚÔ˜ ÙË ‰, Â›Ó·È Â˘ıÂ›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â.
• 4. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:15 ™ÂÏ›‰·204 - 204 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· µ.2.2. Õ Í Ô Ó · ˜ Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™¯Â‰›·ÛÂ Û’ ¤Ó· ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ÌÈ· Â˘ıÂ›·. ∆ÔÔı¤ÙËÛÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ·˘Ùﬁ ¯·ÚÙ› ¿Óˆ ÛÂ Î·ı¤Ó· ·ﬁ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. ∂Í¤Ù·ÛÂ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ı¤ÛË Ù¤ÙÔÈ· Ô˘ Ù· ‰‡Ô Ì¤ÚË, ÛÙ· ÔÔ›· Ë Â˘ıÂ›· “¯ˆÚ›˙ÂÈ” ÙÔ Û¯‹Ì·, Û˘Ì›ÙÔ˘Ó, ﬁÙ·Ó ÙÔ ‰ÈÏÒÛÂÈ˜ Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜, ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙË ı¤ÛË ·˘Ù‹. ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‚ÚÂÈ˜ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ Î·È ¿ÏÏË ı¤ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚÂ›˜ Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ê·ÈÓﬁÌÂÓÔ ÁÈ· ÙÔ ›‰ÈÔ Û¯‹Ì·. £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ãAÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Â˘ıÂ›· Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ÛÂ ‰‡Ô Ì¤ÚË, Ù· ÔÔ›· Û˘Ì›ÙÔ˘Ó ﬁÙ·Ó ‰ÈÏˆıÂ› ÙÔ Û¯‹Ì· Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ Ï¤ÌÂ ﬁÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· ·˘Ù‹. ŸÙ·Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ·˘ÙﬁÓ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ Û¯‹Ì·.
• 5. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·205 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 205 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ (√,Ú). Â O §‡ÛË Ú ªÂ ‰›ÏˆÛË ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ Ë Â˘ıÂ›· Â ¿Óˆ ÛÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÌÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙÂ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ (√,Ú) Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. EÔÌ¤Óˆ˜: √ÔÈ·‰‹ÔÙÂ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Î‡ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ¡· ÂÈÏ¤ÍÂÈ˜ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË: K¿ıÂ Î‡ÎÏÔ˜ Î·È Ô ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˜ Î˘ÎÏÈÎﬁ˜ ‰›ÛÎÔ˜ ¤¯Ô˘Ó: ❑ ŒÓ· ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ❑ ÕÂÈÚÔ˘˜ ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ❑ ∫·Ó¤Ó· ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. 2. ∂Í¤Ù·ÛÂ ·Ó Ù· ÎÂÊ·Ï·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ Α, Ι, Γ Î·È Θ ¤¯Ô˘Ó: (·) Î·Ó¤Ó·, (‚) ¤Ó·, (Á) ÂÚÈÛÛﬁÙÂÚÔ˘˜ ·ﬁ ¤Ó· ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. 3. ™¯Â‰›·ÛÂ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. 4. ™¯Â‰›·ÛÂ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·ﬁ ‰‡Ô ›ÛÔ˘˜ ÙÂÌÓﬁÌÂÓÔ˘˜ Î‡ÎÏÔ˘˜. µÚÂ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ·ﬁ ‰‡Ô Î‡ÎÏÔ˘˜ 5. ÌÂ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¤˜ ·ÎÙ›ÓÂ˜, ﬁÙ·Ó: (·) ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È (‚) ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¿ Î¤ÓÙÚ·.
• 6. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·206 - 206 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· µ.2.3. M Â Û Ô Î ¿ ı Â Ù Ô ˜ Â ˘ ı ˘ Á Ú ¿ Ì Ì Ô ˘ Ù Ì ‹ Ì · Ù Ô ˜ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ √ Î·ÂÙ¿ÓÈÔ˜ ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÚÔÛ·ıÂ› Ó· ÎÚ·Ù‹ÛÂÈ ÙËÓ ➧ ÔÚÂ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì·ÎÚÈ¿ ·ﬁ ÙÈ˜ ‚¿ÛÂÈ˜ ∞ Î·È µ M ÙË˜ Á¤Ê˘Ú·˜, ÂÂÈ‰‹ Ë ÛÙÂÓﬁÙËÙ· ÙÔ˘ ÂÚ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Ô ∞ B ·¤Ú·˜ Î·È Ë ÁÓˆÛÙ‹ ·Ï›ÚÚÔÈ· ÙÔ˘ ∂˘‚Ô˚ÎÔ‡ ÎﬁÏÔ˘ ÂÈ- K5 ‰ÚÔ‡Ó ÛÙËÓ ÔÚÂ›· ÙˆÓ Î·Ú·‚ÈÒÓ Î·È Î¿ÓÔ˘Ó ÙË ‰È¤ÏÂ˘ÛË K4 ÂÈÎ›Ó‰˘ÓË. ªÔÚÂ›˜ Ó· ˘Ô‰Â›ÍÂÈ˜ ÙËÓ ÔÚÂ›· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ¤Ó· K3 ÏÔ›Ô ÁÈ· Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ ÌÂ ·ÛÊ¿ÏÂÈ· ÙÔ ÛÙÂÓﬁ ÙÔ˘ ∂˘Ú›Ô˘; K2 ➣ ∆È Â›Ó·È Ë ÔÚÂ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÛÂ Û¯¤ÛË ÌÂ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ K1 ÙÌ‹Ì· ∞µ; K ➣ ∆È Â›Ó·È Ù· ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ÛÂ Û¯¤ÛË ÌÂ ÙËÓ ÔÚÂ›· ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘; ➣ ¶ÔÈ· ÛËÌ·ÓÙÈÎ‹ È‰ÈﬁÙËÙ· Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯Ô˘Ó Ù· ÛËÌÂ›· ÙË˜ ÔÚÂ›·˜ ·˘Ù‹˜; £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ MÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ï¤ÁÂÙ·È Ë Â˘ıÂ›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ·˘Ùﬁ Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘. ∫¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ ÌÂÛÔÎ·ı¤ÙÔ˘ ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ ›ÛÂ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂÈ˜ (ÈÛ·¤¯ÂÈ) ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. ∫¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙË ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙﬁ ÙÔ˘. H ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ˜ ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘. ∫·Ù¿ ÙÔÓ ∂˘ÎÏÂ›‰Ë ÔÈ ∫·Ù·ÛÎÂ˘¤˜, ÛÙËÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÂ ÙÚÂÈ˜ Î·ÓﬁÓÂ˜ (“·ÈÙ‹Ì·Ù·”) ñ ∞ﬁ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· ÌﬁÓÔ Â˘ıÂ›· ñ ŒÓ· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÚÔÂÎÙÂ›ÓÂÙ·È ·ÂÚÈﬁÚÈÛÙ· ñ √ Î‡ÎÏÔ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÌÂ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô (Î¤ÓÙÚÔ) Î·È ¤Ó· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· (·ÎÙ›Ó·) ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ Î·ÓﬁÓÂ˜ (“·ÈÙ‹Ì·Ù·”) ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Î·Ù·ÛÎÂ˘¤˜ ﬁÏˆÓ ÙˆÓ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎÒÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÌÂ ÙË ¯Ú‹ÛË “ÙÔ˘ Î·ÓﬁÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË”. (“∫·ÓﬁÓ·˜” Â›Ó·È ¤Ó·˜ ¯¿Ú·Î·˜ ¯ˆÚ›˜ ˘Ô‰È·ÈÚ¤ÛÂÈ˜ ÁÈ· Ó· ¯·Ú¿˙Ô˘ÌÂ Â˘ıÂ›Â˜ Î·È ﬁ¯È ÁÈ· Ó· Î¿ÓÔ˘ÌÂ ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ˜ ÌËÎÒÓ). √È Î·Ù·ÛÎÂ˘¤˜ ·˘Ù¤˜ ··ÈÙÔ‡Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÈ‰ÂÍÈﬁÙËÙ· Î·È ÁÓÒÛË, ‰›ÓÔ˘Ó ﬁÌˆ˜ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚ· ·ÔÙÂÏ¤ÛÌ·Ù· Î·È ‚ÔËıÔ‡Ó Ó· ·ÔÊÂ‡ÁÔÓÙ·È Ï¿ıË, Ô˘ ÔÊÂ›ÏÔÓÙ·È ÛÂ ·Ù¤ÏÂÈÂ˜ ÙˆÓ ÔÚÁ¿ÓˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÛÙËÓ Ú¿ÍË.
• 7. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·207 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 207 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. N· Û¯Â‰È·ÛÙÂ› Ë ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ˜ ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ÌÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·. §‡ÛË ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘ÌÂ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ÌÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÌÂ ÙÔ ÁÓÒÌÔÓ· Û¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ ª Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙÔ ∞µ. ➊ ➋ ➌ ➍ Â ∞ ª B ∞ B ∞ B ∞ ª B ª ª 1,5 Â ¡· Û¯Â‰È·ÛÙÂ› Ë ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ˜ ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ¯ˆÚ›˜ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ 2. ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ·, ·ÏÏ¿ ÌﬁÓÔ ÌÂ ÙË ¯Ú‹ÛË “ÙÔ˘ Î·ÓﬁÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË”. §‡ÛË °ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ ﬁÙÈ Ë ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ˜, ﬁˆ˜ Î¿ıÂ Â˘ıÂ›·, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·ﬁ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· Î·È ﬁÙÈ Î¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ ÌÂÛÔÎ·ı¤ÙÔ˘ ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. °È· Ó· Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ ÙË ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·ﬁ Ù· ∞ Î·È µ. °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ, ÏÔÈﬁÓ, ‰‡Ô ›ÛÔ˘˜ Î‡ÎÏÔ˘˜ ÌÂ Î¤ÓÙÚ· Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÌÂ ·ÎÙ›Ó· Ú (ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·ﬁ ÙÔ ÌÈÛﬁ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ, ÁÈ· Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È). ∆· ÛËÌÂ›· ° Î·È ¢, ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ ‰‡Ô Î‡ÎÏÔÈ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÙËÓ Â˘ıÂ›· Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‰ÈﬁÙÈ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ÙË˜, Ù· ° Î·È ¢, ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ° ∞ = ° µ = Ú Î·È ¢ ∞ = ¢ µ = Ú . ➊ ➋ ➌ ° ° Ú Ú ∞ µ ∞ µ ∞ µ Ú ª Ú ¢ ¢ MÂ ÙËÓ Î·Ù·ÛÎÂ˘‹ ÙË˜ ÌÂÛÔÎ·ı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‚Ú‹Î·ÌÂ ÌÂ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ª, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ.
• 8. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·208 - 208 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· 3. ¡· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› Â˘ıÂ›· ‰ Î¿ıÂÙË ÛÂ Â˘ıÂ›· Â ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ ∞. §‡ÛË °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ Î‡ÎÏÔ ÌÂ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ ∞ Î·È Ù˘¯·›· ·ÎÙ›Ó·, Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÂ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ° Î·È ¢. ∂ÂÈ‰‹ ÙÔ ∞ Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ °¢, ·ÚÎÂ› Ó· Ê¤ÚÔ˘ÌÂ ÙË ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ ÙÔ˘ °¢ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ∞ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. ➊ ➋ E ➌ ‰ ➍ ‰ E ° ∞ ¢ Â ° ∞ ¢ Â ° ∞ ¢ Â Â ∞ Z Z 4. ¡· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› Ë Î¿ıÂÙË ‰ ÌÈ·˜ Â˘ıÂ›·˜ Â ·ﬁ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙﬁ˜ ·˘Ù‹˜. §‡ÛË °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ Î‡ÎÏÔ ÌÂ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ ∞ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙÂ Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ Â ÛÂ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ° Î·È ¢. ∂ÂÈ‰‹ ÙÔ ∞ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·ﬁ Ù· ° Î·È ¢, ı· Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ ÌÂÛÔÎ·ı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢. ∂ÔÌ¤Óˆ˜, ·ÚÎÂ› Ó· Ê¤ÚÔ˘ÌÂ, ÌÂ ÙÔÓ ÙÚﬁÔ Ô˘ Ì¿ı·ÌÂ ÛÙËÓ ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ 2, ÙË ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ ÙÔ˘ °¢ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ ∞. ➊ ➋ ➌ ‰ ➍ ‰ ∞ ∞ A ∞ ° ¢ ° ¢ Â Â Â Â ° ¢ B B N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ¤Ó· ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÏÂ˘Ú¿˜ ·. 5. ∞ §‡ÛË °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ ¤Ó· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· µ ° = · . · · ªÂ Î¤ÓÙÚ· Ù· ¿ÎÚ· µ Î·È ° Î·È ·ÎÙ›Ó· ›ÛË ÌÂ · B ° ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ ‰‡Ô Î‡ÎÏÔ˘˜. ŒÛÙˆ ∞ ÙÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô · ·ﬁ Ù· ‰‡Ô Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ›. ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ, ‰ÈﬁÙÈ ¤¯ÂÈ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ›ÛÂ˜ ÌÂ ·, ˆ˜ ·ÎÙ›ÓÂ˜ ›ÛˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ·ÎÙ›Ó·˜ ·.
• 9. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·209 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 209 - ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∫¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ¿Óˆ ÛÙË .......................................... . (‚) ªÂ ÙËÓ Î·Ù·ÛÎÂ˘‹ ÙË˜ ÌÂÛÔÎ·ı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ‚Ú‹Î·ÌÂ ÌÂ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Î·È ÙÔ ................................................ ÙÔ˘, ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘ÌÂ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ. (Á) ¢‡Ô ÛËÌÂ›· ª Î·È ª Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ Â˘ıÂ›· Â, ﬁÙ·Ó Ë Â Â›Ó·È .......................................... ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ªª . 2. N· ¯·Ú¿ÍÂÈ˜ ¤Ó· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ÌÂ ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ Î·ÓﬁÓ· Î·È ÙÔ˘ ‰È·‚‹ÙË Ó· ÙÔ ¯ˆÚ›ÛÂÈ˜ ÛÂ ‰‡Ô ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÛÂ Ù¤ÛÛÂÚ· ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·. 3. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó·Ó Î‡ÎÏÔ Î·È ÌÈ· ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ∫∞. µÚÂ˜ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘, Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·ﬁ Ù· ∫ Î·È ∞. 4. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· Ë Î·Ì‡ÏË ÁÚ·ÌÌ‹ Á ·ÚÈÛÙ¿ ÙÌ‹Ì· ÙË˜ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ·ÛÙÈÎÔ‡ ÏÂˆÊÔÚÂ›Ô˘. √È Î¿ÙÔÈÎÔÈ ÙˆÓ ÔÈÎÈÛÌÒÓ ∞ Á Î·È µ ·ÔÊ¿ÛÈÛ·Ó Ó· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÔ˘Ó ÌÈ· ÛÙ¿ÛË, Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ ÂÍ›ÛÔ˘ ·ﬁ ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÔÈÎÈÛÌÔ‡˜. µÚÂ˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ A B ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Î·È ‰ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙË Ï‡ÛË Ô˘ ı· ‰ÒÛÂÈ˜. 5. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ ﬁ¯ıË˜ ÂÓﬁ˜ ÔÙ·ÌÔ‡ ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ·¤¯ÂÈ ·ﬁ ‰‡Ô ¯ˆÚÈ¿ ∞ Î·È µ. 6. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ‚ÚÂ˜ ÌÂ ·ÎÚ›‚ÂÈ· Ù· Ì¤Û· ÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓ ÙÔ˘. 7. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó·Ó Î‡ÎÏÔ ÌÂ Î¤ÓÙÚÔ ∫ Î·È ÌÈ· ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ∞µ. ¡· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÂÈ˜ ÙË ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ ÙË˜ ¯ÔÚ‰‹˜ ∞µ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂÈ˜ ª Î·È ¡ Ù· ÛËÌÂ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ. (·) ™‡ÁÎÚÈÓÂ ÙÈ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ª∞ Î·È ªµ Î·È ‰ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙË˜ Û‡ÁÎÚÈÛË˜, (‚) Î¿ÓÂ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· ÙÈ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ ¡∞ Î·È ¡µ, (Á) ‚ÚÂ˜ Â¿Ó ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ∫ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ ÌÂÛÔÎ·ı¤ÙÔ˘ Î·È ‰ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘. 8. ™¯Â‰›·ÛÂ ÙÈ˜ ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÂ˜ ÙÚÈÒÓ ¯ÔÚ‰ÒÓ ÂÓﬁ˜ Î‡ÎÏÔ˘ Î·È ÂÍ¤Ù·ÛÂ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ Û¯‹Ì· ÛÔ˘, ·ﬁ ÙÔ ÔÔ›Ô Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ÙÚÂÈ˜ ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÂ˜. ∞ Â 9. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· ‚ÚÂ˜ ÂÎÂ›ÓÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ Â, Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯ÂÈ ·ﬁ Ù· ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ. µ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π 1. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó·Ó Î‡ÎÏÔ ÌÂ ¤Ó· ÓﬁÌÈÛÌ·. ¶Ò˜ ÌÔÚÂ›˜ Ó· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘; ∆ÚÂÈ˜ ÔÈÎÔÁ¤ÓÂÈÂ˜ Î·Ù·ÛÎ‹ÓˆÛ·Ó Û’ ¤Ó· Î¿ÌÈÓÁÎ Î·È ÙÔÔı¤ÙËÛ·Ó ÙÈ˜ ÛÎËÓ¤˜ ÙÔ˘˜ ™1, 2. ™2 Î·È ™3 ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ: ™1™2 = 3,8 m, ™1™3 = 2 m Î·È ™2™3 = 3,5 m. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙË ‰È¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÛÎËÓÒÓ ÛÂ Û¯¤‰ÈÔ ÌÂ ÎÏ›Ì·Î· 1:100 Î·È Ó· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¡, Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÙÔÔıÂÙËıÂ› ¤Ó· ÓÙÔ˘˜, ÒÛÙÂ Î·È ÔÈ ÙÚÂÈ˜ ÛÎËÓ¤˜ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ÂÍ›ÛÔ˘ ·’ ·˘Ùﬁ. À¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏÏ¤˜ Ù¤ÙÔÈÂ˜ ı¤ÛÂÈ˜; ¡· ‰ÈÎ·ÈÔÏÔÁ‹ÛÂÈ˜ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.
• 10. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·210 - 210 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· µ.2.4. ™ ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˆ ˜  Ú Ô ˜ Û Ë Ì Â › Ô ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∞Ó ÂÚÈÛÙÚ·ÊÂ› ÙÔ Û¯‹Ì· ∞µ°, Á‡Úˆ ·ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ Î·Ù¿ 180Æ, ·›ÚÓÂÈ ÌÈ· Ó¤· ı¤ÛË ÙËÓ ∞µ°. A ° ➣ ∆È Û˘ÌÂÚ·›ÓÂÈ˜ ÁÈ· Ù· Û¯‹Ì·Ù· ∞µ° Î·È ∞ µ ° ; O B ™ÎÂÊÙﬁÌ·ÛÙÂ B ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ﬁÙÈ ﬁÙ·Ó ÔÏÔÎÏËÚˆıÂ› Ë ÛÙÚÔÊ‹ ·˘Ù‹, Î¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ∞µ° Û˘Ì›ÙÂÈ ÌÂ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ° ∞ ∞ µ ° . °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ı· Û˘Ì¤ÛÔ˘Ó Ù· ÛËÌÂ›· ∞ Î·È ∞ . ∆· ÛËÌÂ›· ·˘Ù¿ Ï¤ÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿, ˆ˜ ÚÔ˜ Î¤ÓÙÚÔ √. ¢ËÏ·‰‹: ™˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ Î¤ÓÙÚÔ √, Â›Ó·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ , ÌÂ ÙÔ ÔÔ›Ô Û˘Ì›ÙÂÈ ÙÔ ∞, ·Ó ÂÚÈÛÙÚ·ÊÂ› ÂÚ› ÙÔ √ Î·Ù¿ 180Æ. πÛ¯‡ÂÈ ﬁÙÈ: Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ªª . ¢‡Ô Û¯‹Ì·Ù· Ï¤ÁÔÓÙ·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, ﬁÙ·Ó Î¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂÓﬁ˜ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÂÓﬁ˜ ÛËÌÂ›Ô˘ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √. ψ ¢‡Ô ÛËÌÂ›· ª Î·È ª Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, ﬁÙ·Ó ÙÔ √ Â›Ó·È M O ψ M ∆· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È ›Û· . ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. ¡· ‚ÚÂıÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞, ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √. §‡ÛË °È· Ó· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÔ˘ÌÂ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ ÂÓﬁ˜ ÛËÌÂ›Ô˘ ➌ ➊ ➋ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, ∞ ∞ Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ O O ÙÌ‹Ì· ∞√ Î·È ÛÙËÓ ∞ O ∞ ÚÔ¤ÎÙ·Û‹ ÙÔ˘ (ÌÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ ‹ ÌÂ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË) ·›ÚÓÔ˘ÌÂ ›ÛÔ ÙÌ‹Ì· √∞ , ﬁˆ˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó ÔÈ ·Ú·¿Óˆ ÂÈÎﬁÓÂ˜. N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ µ ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ˆ˜ ÚÔ˜ 2. ÛËÌÂ›Ô √. ∞ B §‡ÛË ∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÂÓﬁ˜ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ ˆ˜ O ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, Â›Ó·È Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞ µ . °È· Ó· ÙÔ Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÔ˘ÌÂ ·ÚÎÂ› Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ Ù· ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ , Ô˘ B ∞ Â›Ó·È Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ÙˆÓ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ √. ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ﬁÙÈ Â›Ó·È: ∞ ã µ ã = ∞ µ Î·È ∞ ã µ ã // ∞ µ .
• 11. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·211 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 211 - 3. N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √: (·) ÌÈ·˜ Â˘ıÂ›·˜ Â Î·È (‚) ÌÈ·˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›·˜ ∞x. §‡ÛË ¶·›ÚÓÔ˘ÌÂ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â ‹ ÙËÓ ËÌÈÂ˘ıÂ›· ∞x Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ, ﬁˆ˜ ·Ú·¿Óˆ, Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √. ∏ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙÔ˘ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞ µ Â›Ó·È Ë Â ‹ Ë ∞ x , Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜ Â ‹ ÙË˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›·˜ Ax ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. (·) ➊ ➋ ➌ µ (‚) µ ➊ x ➋ x Â µ Â ∞ Â∞ µ ∞ ∞ O O O O O ∞ Â ∞ ∞ µ ∞ µ Â// Â x µ ∧ 4. . N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ x ∞ y ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √. §‡ÛË y A µÚ›ÛÎÔ˘ÌÂ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ ÙË˜ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ∞ Î·È ÙÈ˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¤˜ x ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ ∞ x Î·È ∞ y ÙˆÓ ‰‡Ô ÏÂ˘ÚÒÓ ÙË˜ Ax Î·È Ay ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯· O ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √, ﬁˆ˜ Ì¿ı·ÌÂ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜. ∆ﬁÙÂ, ∧ ∧ Ë ÁˆÓ›· x ∞ y Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ x∞ y Î·È Â›Ó·È ›ÛË Ì’ ·˘Ù‹. A y 5. N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ∞ µ ° ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √, ÙÔ ÔÔ›Ô (·) Â›Ó·È ÂÎÙﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, (‚) ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÂÓÙﬁ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È (Á) Â›Ó·È Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘. §‡ÛË (·) ∞ (Á) (‚) ∞ ° µ ∫·È ÛÙÈ˜ ÙÚÂÈ˜ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜, ° µ ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ∞ , µ , µ ° O ∞ ° , ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √, ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, O O ∞ µ, ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∆ﬁÙÂ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ° µ ∞µ° ¤¯ÂÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ µ ° ∞ µ ° , Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ ÙÔ ∞µ°. ∞ µ ° ∞ 6. N· Î·Ù·ÛÎÂ˘·ÛÙÂ› ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ Û¯‹Ì· ÂÓﬁ˜ Î‡ÎÏÔ˘ (∫, Ú) ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô √. ∞ §‡ÛË Ú µÚ›ÛÎÔ˘ÌÂ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ ÙÔ˘ Î¤ÓÙÚÔ˘ ∫ Î·È K O ÂÓﬁ˜ ÛËÌÂ›Ô˘ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ ∞, Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÛËÌÂ›· ∫ Î·È ∞ K ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ (∫ , Ú=∫ ∞ ) Ô˘ Â›Ó·È Ô ∫ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ˜. √È ‰‡Ô Î‡ÎÏÔÈ Â›Ó·È ›ÛÔÈ ‰ÈﬁÙÈ ¤¯Ô˘Ó ›ÛÂ˜ ·ÎÙ›ÓÂ˜. Ú ∞ ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ¡· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÂÈ˜ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ µ , ª Î·È ° ÙˆÓ µ, ª Î·È ° ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯· ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ∞ Î·È Ó· ‰ÈÎ·ÈÔÏÔÁ‹ÛÂÈ˜ ﬁÙÈ ÙÔ ª Â›Ó·È Ì¤ÛÔ ∞ ÙÔ˘ µ ° . (∆Ô ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙË˜ µ°). ª µ ° 2. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ¢ Î·È ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ° ÙË˜ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ÙÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ √ ÙË˜ ÏÂ˘Ú¿˜ µ¢. ¶Ò˜ ÌÔÚÂ›˜ Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÈ˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ ∞µ°¢;
• 12. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·212 - 212 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· µ.2.5. ∫ ¤ Ó Ù Ú Ô Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ µÚÂ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô, ÛÂ Î¿ıÂ ¤Ó· ·ﬁ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·, Á‡Úˆ ·ﬁ ÙÔ ÔÔ›Ô ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ÂÚÈÛÙÚ¤„ÂÈ˜ ÙÔ Û¯‹Ì· ·˘Ùﬁ Î·Ù¿ 180Æ Î·È Ó· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÈ˜ Â¿Ó Û˘Ì›ÙÂÈ ‹ ﬁ¯È ÌÂ ÙÔÓ Â·˘Ùﬁ ÙÔ˘, ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙË˜ ÂÚÈÛÙÚÔÊ‹˜ ·˘Ù‹˜. £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ∫¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ √, Á‡Úˆ ·ﬁ ÙÔ ÔÔ›Ô ·Ó ÂÚÈÛÙÚ·ÊÂ› ÙÔ Û¯‹Ì· Î·Ù¿ 180Æ, Û˘Ì›ÙÂÈ ÌÂ ÙÔ ·Ú¯ÈÎﬁ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô, Ï¤ÌÂ ﬁÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √. ŸÙ·Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ·˘Ùﬁ Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ Û¯‹Ì·.
• 13. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:16 ™ÂÏ›‰·213 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 213 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. ∆Ô Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢, ˆ˜ ÚÔ˜ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘, Â›Ó·È ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ. §‡ÛË A E µ ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ﬁÙÈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔ- ÁÚ¿ÌÌÔ˘, ÌÂ ÛÙÚÔÊ‹ Î·Ù¿ 180Æ Á‡Úˆ ·ﬁ ÙÔ √, ı· O Û˘Ì¤ÛÂÈ ÌÂ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ∂ ÙÔ˘ ›‰ÈÔ˘ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ∞˘Ùﬁ Û˘Ì‚·›ÓÂÈ ÁÈ· ﬁÏ· Ù· ÛËÌÂ›· ¢ E ° ÙÔ˘ ∞µ°¢, ÂÔÌ¤Óˆ˜ ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ Â›Ó·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ ∞µ°¢. 2. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÂÓﬁ˜ Î‡ÎÏÔ˘; √ Â §‡ÛË ªÂ ÛÙÚÔÊ‹ Î·Ù¿ 180Æ Á‡Úˆ ·ﬁ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ ·˘Ùﬁ˜ Û˘Ì›ÙÂÈ ÌÂ ÙÔÓ Â·˘Ùﬁ ÙÔ˘. EÔÌ¤Óˆ˜: ∆Ô Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Î·ıÒ˜ Î·È ÙÔ˘ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘. 3. ¡· ·Ô‰ÂÈ¯ıÂ› ﬁÙÈ Ùo Û˘ÌÌÂÙÚÈÎﬁ Û¯‹Ì· ÌÈ·˜ Â˘ıÂ›·˜ Â, ˆ˜ ÚÔ˜ Î¤ÓÙÚÔ √, Â›Ó·È Â˘ıÂ›· Â //Â. §‡ÛË ∞ µ º¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ ·ﬁÛÙ·ÛË √∞ ÙÔ˘ √ ·ﬁ ÙËÓ Â. ŒÛÙˆ µ ¤Ó· Â ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ Â. µÚ›ÛÎÔ˘ÌÂ Ù· Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¿ ∞ Î·È µ ÙˆÓ ÛËÌÂ›ˆÓ ∞ Î·È µ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ √ Î·È ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ Â ÙËÓ Â˘ıÂ›· √ Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ Ù· ∞ Î·È µ . ∏ Â˘ıÂ›· Â Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ Â ÙË˜ Â ˆ˜ ÚÔ˜ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ √. µ ∞ ∧ ∧ ∏ ÁˆÓ›· √∞ µ ı· Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ‹ ÙË˜ ÁˆÓ›·˜ √∞ µ. ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ ÔÈ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›ÛÂ˜, ı· Â›Ó·È: √∞ µ =√∞ µ=90Æ. ÕÚ·, ÔÈ Â˘ıÂ›Â˜ Â Î·È Â Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÙËÓ ›‰È· Â˘ıÂ›· ∞∞ , Û˘ÓÂÒ˜ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜. √È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎ¤˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÛËÌÂ›Ô Â˘ıÂ›Â˜, Â›Ó·È ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜. ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ∞ÊÔ‡ ÁÚ¿„ÂÈ˜ Ù· ÎÂÊ·Ï·›· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘, ÂÍ¤Ù·ÛÂ ·Ó ¤¯Ô˘Ó Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. 2. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜, ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ. 3. ToÔı¤ÙËÛÂ ¤Ó· “X” ÛÙÈ˜ Î·Ù¿ÏÏËÏÂ˜ ı¤ÛÂÈ˜, ÁÈ· ÙË ıÂÙÈÎ‹ ÛÔ˘ ·¿ÓÙËÛË. ÕÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Œ¯ÂÈ ∫¤ÓÙÚÔ ∫·Ó¤Ó· ŒÓ· ¢‡Ô ∆ÚÂÈ˜ ∆¤ÛÛÂÚÈ˜ ¶ÂÚÈÛÛﬁÙÂÚÔ˘˜ ™˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ∂˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· IÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ πÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ √ÚıÔÁÒÓÈÔ ƒﬁÌ‚Ô˜ ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∫‡ÎÏÔ˜
• 14. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:17 ™ÂÏ›‰·214 - 214 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· µ.2.6. ¶ · Ú ¿ Ï Ï Ë Ï Â ˜ Â ˘ ı Â › Â ˜  Ô ˘ Ù ¤ Ì Ó Ô Ó Ù · È ·  ﬁ Ì È · ¿ Ï Ï Ë Â ˘ ı Â › · ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ™ÙË ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎﬁÓ· ‚Ï¤Ô˘ÌÂ ¤Ó· ‰ËÌﬁÛÈÔ ‰ÚﬁÌÔ Ó· ‰È·Û¯›˙ÂÈ ‰‡Ô ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·Ù·. ‰ √È ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ﬁÚÈ· ÙÔ˘ ‰ÚﬁÌÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Î·È ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÙË ÁË ÛÂ ÙÚÂÈ˜ ˙ÒÓÂ˜. Ù¿ Ù¿ ·˘ ·˘ ¢ÒÛÂ ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓË ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÁÈ· ﬁÏ· Ù· Â1 · · › Ù › Ù ÛËÌÂ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÛÊ·ÏÙÔ ÙÔ˘ ‰ÚﬁÌÔ˘, Â Â ‰ËÏ·‰‹ ÛÙË ˙ÒÓË ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÈ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 , Î·ıÒ˜ Î·È Ì›· ¿ÏÏË ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÁÈ¿ ﬁÏ· Ù· Â2 ÛËÌÂ›· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¤Íˆ ·’ ·˘Ù‹, ‰ËÏ·‰‹ ÛÙ· ¯ˆÚ¿ÊÈ·. ™ÙËÓ ›‰È· ÂÈÎﬁÓ· ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ¯ˆÌ·Ùﬁ‰ÚÔÌÔ˜ Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ù· ‰‡Ô ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·Ù· Î·È ÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· Â˘ıÂ›· ‰ Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÚÔ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜. ➣ ¶Ò˜ ÌÔÚÂ›˜ Ó· ‰ÒÛÂÈ˜ ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÔÓÔÌ·Û›· ÛÂ ﬁÏ· Ù· ÛËÌÂ›· Ô˘ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÌﬁÓÔ ·ÁÚﬁÎÙËÌ·; £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ‰ √È ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙÈ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Â1 ∞Ê ˆ Î·È Â2 ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È “ÂÓÙﬁ˜” (ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ) Î·È ﬁÏÂ˜ 1 2 4 3 ˆ Ê ÔÈ ¿ÏÏÂ˜ “ÂÎÙﬁ˜”. ∧ ∧ ∧ ∧ ∞3 , ∞4 , B1 , B2 Â›Ó·È “ÂÓÙﬁ˜” Î·È Ê ∧ ∧ ∧ ∧ 1 2 ˆ ∞1 , ∞2 , B3 , B4 Â›Ó·È “ÂÎÙﬁ˜” Â2 4 3 ˆ µÊ √È ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÚÔ˜ ÙÔ ∧ ∧ ∧ ∧ ∞2 , ∞3 , B2 , B3 Â›Ó·È “Â› Ù· ·˘Ù¿” Î·È ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜ ‰ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ∧ ∧ ∧ ∧ “Â› Ù· ·˘Ù¿” (Ì¤ÚË ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜) ∞1 , ∞4 , B1 , B4 Â›Ó·È “Â› Ù· ·˘Ù¿” ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Ë Ì›· ÛÙÔ .¯. Ë ∧ ÌÂ ÙËÓ ∧ Â›Ó·È “ÂÓ·ÏÏ¿Í” ·ÏÏ¿ ∞4 B2 ¤Ó· ÎÈ Ë ¿ÏÏË ÛÙÔ ¿ÏÏÔ ËÌÈÂ›Â‰Ô ∧ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜ ‰, Ï¤ÁÔÓÙ·È ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ Î·È Ë ∞2 ÌÂ ÙËÓ B1 Â›Ó·È “ÂÓ·ÏÏ¿Í” Î.Ô.Î. “ÂÓ·ÏÏ¿Í” . ∞ﬁ ÙÔÓ Û˘Ó‰˘·ÛÌﬁ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ ÚÔÎ‡ÙÂÈ ﬁÙÈ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ ÙÈ˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ¤ÍÈ ÔÓÔÌ·Û›Â˜ ÁÈ· Ù· 16 ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¿ ˙Â˘Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ. (·) ÂÓÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í Î·È (‚) ÂÎÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í (Á) ÂÓÙﬁ˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ Î·È (‰) ÂÎÙﬁ˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ (Â) ÂÓÙﬁ˜ - ÂÎÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í Î·È (ÛÙ) ÂÓÙﬁ˜ - ÂÎÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿.
• 15. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:17 ™ÂÏ›‰·215 ª¤ÚÔ˜ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· - 215 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ÛÙ· ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ, ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÂÈ ÌÈ· Â˘ıÂ›· ‰ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. §‡ÛË ‰ Â1 ∞Ê ˆ 2 MÔÚÔ‡ÌÂ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘ÌÂ (ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ ÌÂ ÙÔ 4 1 3 ˆ Ê ÌÔÈÚÔÁÓˆÌﬁÓÈÔ) ﬁÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ÙÔÌ‹˜ ∞ Î·È µ, Â›Ó·È ‰‡Ô ÂÈ‰ÒÓ: Ê ˆ 1 2 Â2 4 3 ∧ ˆ µÊ √È ÔÍÂ›Â˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆ, Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ›ÛÂ˜ Î·È ∧ √È ·Ì‚ÏÂ›Â˜ ÁˆÓ›Â˜ Ê , Ô˘ Â›Ó·È ÎÈ ·˘Ù¤˜ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ›ÛÂ˜. ∆· Ù¤ÛÛÂÚ· ˙Â˘Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Â›Ó·È ﬁÏÂ˜ ÔÍÂ›Â˜ Î·È ›ÛÂ˜ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È: ∧ ∧ ∞ﬁ ÙÈ˜ “ÂÓÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞4 = B2 ∧ ∧ ∞ﬁ ÙÈ˜ “ÂÎÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞2 = B4 ∧ ∧ ∧ ∧ ∞ﬁ ÙÈ˜ “ÂÓÙﬁ˜ - ÂÎÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞2 = B2 Î·È ∞4 = B4 ∆· Ù¤ÛÛÂÚ· ˙Â˘Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Â›Ó·È ﬁÏÂ˜ ·Ì‚ÏÂ›Â˜ Î·È ›ÛÂ˜ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È: ∧ ∧ ∞ﬁ ÙÈ˜ “ÂÓÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞3 = B1 ∧ ∧ ∞ﬁ ÙÈ˜ “ÂÎÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞1 = B3 ∧ ∧ ∧ ∧ ∞ﬁ ÙÈ˜ “ÂÓÙﬁ˜ - ÂÎÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞1 = B1 Î·È ∞3 = B3 ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ ﬁÌˆ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ∞ 1 Î·È ∞ 2 Â›Ó·È ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÂÓÈÎ¿: ∧ ∧ ˆ + Ê = 180Æ . √ﬁÙÂ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ Ù· ˘ﬁÏÔÈ· ˙Â˘Á¿ÚÈ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ Â›Ó·È ˙Â˘Á¿ÚÈ· ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ù· ÔÔ›· Î·È Â›Ó·È Ù· ÂÍ‹˜: ∧ ∧ ∧ ∧ √È “ÂÓÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞3 + B2 = 180Æ Î·È ∞4 + B1 = 180Æ ∧ ∧ ∧ ∧ √È “ÂÎÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿”: ∞1 + B4 = 180Æ Î·È ∞2 + B3 = 180Æ ∧ ∧ ∧ ∧ √È “ÂÓÙﬁ˜-ÂÎÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í”: ∞1 + B2 = 180Æ Î·È ∞2 + B1 = 180Æ ∧ ∧ ∧ ∧ Î·È ∞3 + B4 = 180Æ Î·È ∞4 + B3 = 180Æ
• 16. MEƒ√™ µ-2-(199-216)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:17 ™ÂÏ›‰·216 - 216 - ª¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ™˘ÌÌÂÙÚ›· 2. ™ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Â›Ó·È ∧ ÛËÌÂÈˆÌ¤ÓÂ˜, ·Ó Â›Ó·È · = 40Æ. §‡ÛË ∧ ∧ ∧ ∧ √È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È Á Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ¿Ú· ı· Â›Ó·È: · = Á = 40Æ ∧ ∧ ∧ ∧ OÈ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜, ¿Ú· ı· Â›Ó·È: · + ‚ = 180Æ, ·ﬁ ÙË ∧ ∧ Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ: ‚ = 180Æ – · = 180Æ – 40Æ = 140Æ ∧ ∧ ∧ ∧ √È ÁˆÓ›Â˜ ‚ Î·È ‰ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ¿Ú· ı· Â›Ó·È: ‚ = ‰ = 140Æ. . ∞ÏÏ¿ ÂÂÈ‰‹ Â1//Â2 Î·È Ë Â3 Ù¤ÌÓÔ˘Û· ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ı· Â›Ó·È: ∧ ∧ ∧ Â = ·, ˆ˜ ÂÓÙﬁ˜ - ÂÎÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ¿Ú·: Â = 40Æ Â1 Â2 ∧ ∧ ˙ + · = 180Æ, ˆ˜ ÂÓÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ∧ ∧ ¿Ú·: ˙ = 180Æ – · = 180Æ – 40Æ = 140Æ ∧ ∧ ∧ ‚· ˙ Â Ë = ·, ˆ˜ ÂÓÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í, ÂÔÌ¤Óˆ˜: Ë = 40Æ Î·È Á‰ Ëı Â3 ∧ ∧ ∧ ı = ‰ , ˆ˜ ÂÓÙﬁ˜ - ÂÎÙﬁ˜ Â› Ù· ·˘Ù¿, ¿Ú·: ı = 140Æ. ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ™¯Â‰›·ÛÂ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2, ÔÈ ÔÔ›Â˜ Ó· ·¤¯Ô˘Ó 4 cm. º¤ÚÂ Ì›· Â˘ıÂ›· Ô˘ Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÌÂ ÙËÓ Â1 ÁˆÓ›· 12Æ Î·È ˘ÔÏﬁÁÈÛÂ ÙÈ˜ ˘ﬁÏÔÈÂ˜ ÁˆÓ›Â˜. ˙ Â · 2. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2 Î·È Â3 //Â4. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ ÛËÌÂÈˆÌ¤ÓÂ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â1 ∧ ∧ ‚ Á ‰ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Â›Ó·È · = ‚ = 70Æ. Â2 Â3 Â4 Â5 ∧ 3. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÈ˜ ÌÈ· ÁˆÓ›· xA y = 63Æ. ¡· ¿ÚÂÈ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô µ ÙË˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞x, ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È ∞µ=5 cm Î·È ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¢ ÙË˜ ∞y, ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È ∞¢=2,9 cm. ¡· Ê¤ÚÂÈ˜ ·ﬁ ÙÔ µ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ∞y Î·È ·ﬁ ÙÔ ¢ ÙËÓ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Ax. ¡· ÔÓÔÌ¿ÛÂÈ˜ ° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ·˘ÙÒÓ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚÔ˘ ∞µ°¢. ‰1 ‰2 Â1 ∞ ‚ Á 4. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· ÔÈ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È 56Æ · ° ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Î·È Ë ËÌÈÂ˘ıÂ›· µ‰ 2 Â›Ó·È ∧ Ê ‰È¯ÔÙﬁÌÔ˜ ÙË˜ ÁˆÓ›·˜ B . ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ µ Ê ∧ ∧ ∧ ÁˆÓ›Â˜ · , ‚ Î·È Á ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. Â2 Â1 116Æ 5. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2 Î·È Â3 //Â4. ∧ ∧ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ . Â2 Ê · ‚ Â3 Â4 ∞ ¢ 6. ™ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ ∞µ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ · ˆ Ê ı Â›Ó·È: ∞µ//°¢ Î·È ∞¢//µ°. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÛËÌÂÈˆÌ¤ÓÂ˜ ÁˆÓ›Â˜. Á 105Æ 30Æ µ Â °
• 17. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:42 ™ÂÏ›‰·217 ª∂ƒ√™ µ 3o TÚ›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· 3.1 ™ÙÔÈ¯Â›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ Ù· Â›‰Ë ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ 3.2 ÕıÚÔÈÛÌ· ÁˆÓÈÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ - π‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ﬁÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ ∫ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙÈ˜ È‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÈÛÔÏÂ‡ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ 3.3 ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ - √ÚıÔÁÒÓÈÔ - ƒﬁÌ‚Ô˜ - ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ - ∆Ú·¤˙ÈÔ πÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÔÈÔ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ, ÔÈÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ÔÈÔ ÚﬁÌ‚Ô˜, ∂ ÔÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î·È ÔÈÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ñ Ã·Ú¿ÛÛˆ Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ 3.4 π‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ¶·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ - √ÚıÔÁˆÓ›Ô˘ - ƒﬁÌ‚Ô˘ - ∆ÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ - ∆Ú·Â˙›Ô˘ - πÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ º ñ °ÓˆÚ›˙ˆ ÙÈ˜ È‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘, ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ÙÔ˘ ÚﬁÌ‚Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ∞ § ∞ π √ ¶§ ∞ ∆ø ¡ √ ∞ £ ∏ ¡ ∞ π √ ™ ( 4 2 7 - 3 4 7 . Ã . )
• 18. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·218 - 218 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· µ.3.1. ™ Ù Ô È ¯ Â › · Ù Ú È Á Ò Ó Ô ˘ - ∂ › ‰ Ë Ù Ú È Á Ò Ó ˆ Ó £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ∫‡ÚÈ· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞ ÎÔÚ˘Ê‹ ∫¿ıÂ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯ÂÈ ÙÚÂÈ˜ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ∞, µ, °, ÏÂ˘Ú¿ ∧ ∧ ∧ ÙÚÂÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ∞µ, µ°, °∞ Î·È ÙÚÂÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ∞ , B, °. ÏÂ˘Ú¿ ∆· ∞µ, µ°, °∞, ÂÎÙﬁ˜ ·ﬁ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜, µ ° Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ó Î·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯ˆÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÏÂ˘Ú¿ ÎÔÚ˘Ê‹ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ. ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ¶·Ú·Î¿Ùˆ ‚Ï¤Ô˘ÌÂ ÙËÓ Î·Ù¿Ù·ÍË ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÂ ‚¿ÛË ‰‡Ô Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤Ó· ÎÚÈÙ‹ÚÈ·. ➣ ªÔÚÂ›˜ Ó· ÂÎÊÚ¿ÛÂÈ˜ ÌÂ ÏﬁÁÈ· Ù· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÌÂ Ù· ÔÔ›· ¤ÁÈÓÂ ·˘Ù‹ Ë Î·Ù¿Ù·ÍË; ™ÎÂÊÙﬁÌ·ÛÙÂ ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ 1Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ ÙÚÂÈ˜ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜: ¶ÏÂ˘Ú¤˜ Î¿ıÂÙÂ˜ Ÿ¯È Î¿ıÂÙÂ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ M›· ÁˆÓ›· ŸÏÂ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ M›· ÁˆÓ›· ÔÚı‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙË˜ ÔÚı‹˜ ÌÈÎÚﬁÙÂÚÂ˜ ÙË˜ ÔÚı‹˜ µ ° ∞ ∞ ° ∞ µ µ ° √ÚıÔÁÒÓÈÔ ∞Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ √Í˘ÁÒÓÈÔ ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ 2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ ÙÚÂÈ˜ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜: πÛﬁÙËÙ· ÏÂ˘ÚÒÓ ∞ÓÈÛﬁÙËÙ· ÏÂ˘ÚÒÓ ∆ÚÂÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ›ÛÂ˜ ¢‡Ô ÏÂ˘Ú¤˜ ›ÛÂ˜ ŸÏÂ˜ ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ¿ÓÈÛÂ˜ ∞ ∞ ∞ µ ° µ ° µ ° πÛﬁÏÂ˘ÚÔ πÛÔÛÎÂÏ¤˜ ™Î·ÏËÓﬁ
• 19. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·219 ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· - 219 - ∞ ¢Â˘ÙÂÚÂ‡ÔÓÙ· ÛÙÔÈ¯Â›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÌÂ ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙË˜ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜, Ï¤ÁÂÙ·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ . B ° ª ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ·ﬁ Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î¿ıÂÙÔ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· ÙË˜ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜, Ï¤ÁÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. B ∞ ¢ ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ÙË˜ ‰È¯ÔÙﬁÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÂÓﬁ˜ ° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ·ﬁ ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÂÈ ˆˆ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿, Ï¤ÁÂÙ·È ‰È¯ÔÙﬁÌÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. B ° ¢ ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· Û¯Â‰È·ÛÙÔ‡Ó Ù· ‡„Ë ÛÂ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ Â›Ó·È: (·) ÔÍ˘ÁÒÓÈÔ, (‚) ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ Î·È (Á) ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. §‡ÛË ∞ﬁ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ .¯. ÙËÓ ∞ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ Î¿ıÂÙÔ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. ∆ﬁÙÂ Ë ·ﬁÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ∞ ·ﬁ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ° Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∞˘Ù‹Ó ÙË ‰È·‰ÈÎ·Û›· ÙËÓ Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ Î·È ·ﬁ ÙÈ˜ ¿ÏÏÂ˜ ‰‡Ô ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÁÈ· Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ÙÚ›· ‡„Ë ÙÔ˘, Ù· ÔÔ›· ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ﬁÙÈ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·ﬁ ÙÔ ›‰ÈÔ ÛËÌÂ›Ô ∏, Ô˘ Ï¤ÁÂÙ·È ÔÚıﬁÎÂÓÙÚÔ. ∞ ∞ ∞ ∞ (·) ➊ ➋ ➌ ➍ ∂ ∂ ∑ Z H µ ¢ ° µ ° µ ° µ ¢ ° (‚) ➊ ∞ ➋ ∞ ➌ ∞ ➍ ∞ E E ¢ µ ° ¢ µ ° ¢ µ ¢ ° ° µ Z Z Z H (Á) ➊ ➋ ➌ ➍ ∞ ∞ ∞ ∞ B ° B °B ¢ ° B ¢ °
• 20. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·220 - 220 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ∆ÔÔı¤ÙËÛÂ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. ™ø™∆√ §∞£√™ (·) ∫¿ıÂ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›·. (‚) ∆Ô ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ·Ì‚ÏÂ›Â˜ ÁˆÓ›Â˜. (Á) ∆Ô ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ›ÛÂ˜. (‰) ∆Ô ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚÂ› Ó· Â›Ó·È Î·È ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ. (Â) ∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚÂ› Ó· Â›Ó·È Î·È ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ. (ÛÙ) ∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÔÚÂ› Ó· Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜. (˙) ∆Ô ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È ¿ÓÙ· ÔÍ˘ÁÒÓÈÔ. (Ë) ŒÓ· ÛÎ·ÏËÓﬁ ÙÚ›ÁˆÓÔ ‰ÂÓ ÌÔÚÂ› Ó· Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. 2. ™’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ÌÂ ÏÂ˘Ú¿ µ° = 4,4 cm, Ê¤ÚÂ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ∞ª. ªÂÙ¿ Ê¤ÚÂ ÙÈ˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ∞∫ Î·È ∞§ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞µª Î·È ∞°ª Î·È ‚ÚÂ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ ∫ª Î·È §°. 3. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó· ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Î·È ÙÈ˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ÙÔ˘ ∞¢, µ∂ Î·È °∑. ¢ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÁÈ·Ù› ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ÙÔ˘ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ˘ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙﬁÌÔÈ Î·È ‡„Ë ÙÔ˘. 4. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. (·) µÚÂ˜ ÙÔ Ì¤ÛÔ ¢ ÙË˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞µ, ÙÔ Ì¤ÛÔ ∂ ÙË˜ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Î·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ∑ ÙË˜ ÏÂ˘Ú¿˜ °∞. (‚) ™¯Â‰›·ÛÂ ÙË ‰È¿ÌÂÛÔ ∞∂ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ∑¢ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª. ™‡ÁÎÚÈÓÂ ÌÂ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢ª Î·È ª∑. ∆È ·Ú·ÙËÚÂ›˜; 5. ¢›ÓÂÙ·È ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. (·) º¤ÚÂ ÙÈ˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘˜ ∞ª Î·È µ¡ Î·È ÔÓﬁÌ·ÛÂ ÌÂ ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· £ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù¤ÌÓÔÓÙ·È. (‚) MÂÙ¿ Û¯Â‰›·ÛÂ ÙËÓ Â˘ıÂ›· °£ Î·È ÔÓﬁÌ·ÛÂ ÌÂ ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ƒ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ë Â˘ıÂ›· °£ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ. (Á) ™‡ÁÎÚÈÓÂ ÌÂ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ƒ Î·È µƒ. ∆È ·Ú·ÙËÚÂ›˜; 6. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ¿ÚÂ ÙÔ Ì¤ÛÔ ª ÙË˜ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Î·È ¯¿Ú·ÍÂ ·ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∞Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞° ÙÔ ÔÓÔÌ¿ÛÂÈ˜ ¡, Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÈ˜ ÌÂ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¡ Î·È ¡°. ∆È ·Ú·ÙËÚÂ›˜; ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÈ˜ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ÌÂ Ù· Û¯‹Ì·Ù· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ∆ƒπ°ø¡∞ OÍ˘ÁÒÓÈÔ √ÚıÔÁÒÓÈÔ ∞Ì‚Ï˘ÁÒÓÈÔ ™Î·ÏËÓﬁ πÛÔÛÎÂÏ¤˜ πÛﬁÏÂ˘ÚÔ
• 21. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·221 ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· - 221 - µ.3.2. Õ ı Ú Ô È Û Ì · Á ˆ Ó È Ò Ó Ù Ú È Á Ò Ó Ô ˘ - π ‰ È ﬁ Ù Ë Ù Â ˜ È Û Ô Û Î Â Ï Ô ‡ ˜ Ù Ú È Á Ò Ó Ô ˘ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™¯Â‰›·ÛÂ ‰È¿ÊÔÚ· Ù˘¯·›· ÔÚıÔÁÒÓÈ·, ·Ì‚Ï˘ÁÒÓÈ· Î·È ÔÍ˘ÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·, ﬁˆ˜ .¯. ·˘Ù¿ Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÈÔ Î¿Ùˆ. ª¤ÙÚËÛÂ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ÌÂ ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌﬁÓÈÔ Î·È ˘ÔÏﬁÁÈÛÂ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. ªÔÚÂ›˜ Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂÈ˜ Î¿ÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·; ° A ∞ B ° A µ µ ° ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ˜ ÔÈ· ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÂÓﬁ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ Î·È ÁÈ·Ù›. ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‰ÈÂÚÂ˘Ó‹ÛÂÈ˜ ﬁÛÔ˘˜ ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ¤¯ÂÈ ¤Ó· ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È ÁÈ·Ù›. £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ∧ ∧ ∧ ∞ ™ Â Î ¿ ı Â Ù Ú › Á ˆ Ó Ô ∞ µ ° È Û ¯ ‡ Â È : ∞ + B + ° = 180Æ ™Â Î¿ıÂ ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ ﬁÙÈ: 12 ∏ Â˘ıÂ›· ÙË˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Â› ÛÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∏ ‰È¿ÌÂÛÔ˜, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Â› ÛÙË ‚¿ÛË 12 Â›Ó·È ‡„Ô˜ Î·È ‰È¯ÔÙﬁÌÔ˜. µ ° ¢ ‚¿ÛË √È ÚÔÛÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ Â›Ó·È ›ÛÂ˜. ∞ ™Â Î¿ıÂ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ ﬁÙÈ: ° √È Â˘ıÂ›Â˜ ÙˆÓ ‰È·Ì¤ÛˆÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÏÂ‡ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ∫¿ıÂ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Â›Ó·È ‡„Ô˜ Î·È ‰È¯ÔÙﬁÌÔ˜. ŸÏÂ˜ ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ Î·È ﬁÏÂ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ µ ÈÛÔÏÂ‡ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÂ˜.
• 22. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·222 - 222 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. ¡· ‰ÈÎ·ÈÔÏÔÁËıÂ› ÌÂ ÏÔÁÈÎ¿ ÂÈ¯ÂÈÚ‹Ì·Ù· ﬁÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ Î¿ıÂ . ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ. §‡ÛË ™¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Î·È Ì›· Â˘ıÂ›· xAy, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ ∞ Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ x Â˘ıÂ›· µ°. ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ﬁÙÈ: ∞ ˆ ∧ ∧ ∧ ı y x ∞µ = ˆ = µ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í, ÙˆÓ B ˆ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ xAy Î·È µ°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·ﬁ ÙËÓ ∞µ. ı ∧ ∧ ∧ ° y ∞° = ı = ° ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓÙﬁ˜ ÂÓ·ÏÏ¿Í ÙˆÓ ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ xAy Î·È µ°, Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·ﬁ ÙËÓ ∞°. ∧ ∧ ∧ √È ÁˆÓ›Â˜ ˆ, ∞ Î·È ı Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· Â˘ıÂ›· ÁˆÓ›·. ∧ ∧ ∧ ∂ÔÌ¤Óˆ˜ ı· Â›Ó·È: ˆ + ∞ + ı = 180Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ ﬁÌˆ˜ Â›Ó·È: ˆ = µ Î·È ı = °, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: µ + ∞ + ° = 180Æ. 2. ™Â Î¿ıÂ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ÔÍÂ›Â˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜. §‡ÛË ∧ A ™¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÌÂ A = 90Æ. ∧ ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ Â›Ó·È: A + B + ° = 180Æ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: ∧ ∧ B + ° = 180Æ – 90Æ = 90Æ. °ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, ﬁÙÈ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ Ï¤ÁÔÓÙ·È Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜. ÕÚ·, ÛÂ Î¿ıÂ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ° B ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ÔÍÂ›Â˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜. To ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ ÙËÓ ÂÍˆÙÂÚÈÎ‹ ÙË˜ ÙÚ›ÙË˜ ÁˆÓ›·˜.. 3. ∧ (™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ë ÁˆÓ›· ∞° x, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ·ﬁ ÙËÓ ∞° Î·È ÙËÓ ÚÔ¤ÎÙ·ÛË ÙË˜ ∧ µ° ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ °, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÍˆÙÂÚÈÎ‹ ÁˆÓ›· ÙË˜ °). §‡ÛË ∧ ∞ ∏ ÂÍˆÙÂÚÈÎ‹ ÁˆÓ›· Ê Â›Ó·È ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜ ∧ ÂÛˆÙÂÚÈÎ‹˜ ÁˆÓ›·˜ ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ‰ËÏ·‰‹ ı· Â›Ó·È ∧ ∧ Ê = 180Æ – ° . ∧ ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ ÛÂ Î¿ıÂ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È A + B + ° = 180Æ, ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ¿Ú· A + B = 180Æ – ° , ‰ËÏ·‰‹ A + B = Ê. Ê ÕÚ·, Ë ÂÍˆÙÂÚÈÎ‹ ÁˆÓ›· ÈÛÔ‡Ù·È ÌÂ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ B ° x ‰‡Ô ¿ÏÏˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.
• 23. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·223 ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· - 223 - 4. √È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓﬁ˜ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ﬁÏÂ˜ ›ÛÂ˜ ÌÂ 60Æ. ∞ 60Æ §‡ÛË ∧ ∧ ∧ °ÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ ﬁÙÈ ÛÙÔ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È: A = B = ° . ∧ ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ ÛÂ Î¿ıÂ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È A + B + ° = 180Æ, ı· Â›Ó·È 60Æ 60Æ ∧ ∧ ∧ ∧ ° B A + A + A = 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ 3 A = 180Æ, Û˘ÓÂÒ˜: ∧ A = 180Æ : 3 = 60Æ. ÕÚ·, ﬁÏÂ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÂ˜ ÌÂ 60Æ. 5. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓﬁ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. §‡ÛË ∞ ∧ ∧ ∧ ™Â Î¿ıÂ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÈÛ¯‡ÂÈ A + B + ° = 180Æ. ∂ÂÈ‰‹ ÛÙÔ ∧ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞∧ Ë ÁˆÓ›· ∞ Â›Ó·È ÔÚı‹, ‰ËÏ·‰‹ µ° ∧ ∧ 45Æ 45Æ A = 90Æ, ı· Â›Ó·È: B + ° = 90Æ. B ° ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ı· Â›Ó·È B = °, ¿Ú· ı· ∧ ∧ Â›Ó·È B + µ = 90Æ, ·ﬁ ÙËÓ ÔÔ›· ÚÔÎ‡ÙÂÈ ﬁÙÈ: ∧ ∧ ∧ 2 B = 90Æ, ‰ËÏ·‰‹ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ B = 90Æ : 2 = 45Æ Î·È ÂÔÌ¤Óˆ˜ Î·È ° = 45Æ. 6. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· Ì¤ÙÚ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓﬁ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙﬁ ÌﬁÓÔ ﬁÙÈ ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È 40Æ. §‡ÛË ∧ ∞ ∧ ŒÛÙˆ ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÌÂ ∞B=A°. ∆ﬁÙÂ ı· Â›Ó·È B = °. 40Æ ∧ ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ Â›Ó·È A + B + ° = 180Æ, ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ ÂÍ‹˜ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜: ∧ (·) ∞Ó Â›Ó·È ∞ = 40Æ. ∧ ∧ ™˘ÓÂÒ˜ ı· Â›Ó·È 40Æ + B + ° = 180Æ, ÂÔÌ¤Óˆ˜ B ° ∧ ∧ ∧ ∧ B + ° = 180Æ – 40Æ. ∂ÔÌ¤Óˆ˜ ı· Â›Ó·È B + µ = 140Æ, ∧ ·ﬁ ÙËÓ ÔÔ›· ÚÔÎ‡ÙÂÈ ﬁÙÈ: 2 B = 140Æ, ‰ËÏ·‰‹ ∧ ∧ B = 140Æ: 2 = 70Æ ¿Ú· Î·È ° = 70Æ. ∞ ∧ ∧ (‚) ∞Ó Â›Ó·È B = ° = 40Æ. ∧ £· Â›Ó·È ∞ + 40Æ + 40Æ = 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ ∧ ∞ + 80Æ = 180Æ, Û˘ÓÂÒ˜ ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: ∧ 40Æ 40Æ ∞ = 180Æ – 80Æ = 100Æ. B ° ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ﬁÙÈ ÌÂ Ù· ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ‰Â‰ÔÌ¤Ó· ÚÔÎ‡ÙÔ˘Ó ‰‡Ô ÙÂÏÂ›ˆ˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¿ ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ·, Ù· ÔÔ›· ﬁÌˆ˜ ÈÎ·ÓÔÔÈÔ‡Ó ·˘Ù¿ Ù· ‰Â‰ÔÌ¤Ó·.
• 24. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·224 - 224 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ∆ÔÔı¤ÙËÛÂ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. ™ø™∆√ §∞£√™ (·) √È ÚÔÛÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙË ‚¿ÛË ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÂ˜. ∧ ∧ ∧ (‚) ™Â Î¿ıÂ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÈÛ¯‡ÂÈ: ∞ + µ + ° = 90Æ. (Á) ∫¿ıÂ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›ÛÂ˜ ÌÂ 30Æ. (‰) ™Â Î¿ıÂ ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë Â˘ıÂ›· ÌÈ·˜ ‰È·Ì¤ÛÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. (Â) ™Â Î¿ıÂ ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜, Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Â› ÛÙË ‚¿ÛË, Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙﬁÌÔ˜. (ÛÙ) ™Â Î¿ıÂ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Â˘ıÂ›Â˜ ÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. (˙) ™Â Î¿ıÂ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Â˘ıÂ›Â˜ ÙˆÓ ˘„ÒÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. (Ë) ™Â Î¿ıÂ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Î¿ıÂ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜. (ı) ™Â Î¿ıÂ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ ÚÔÛÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÛÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È 60Æ. 2. ∧ ∧ ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È µ =75Æ Î·È ° =35Æ Î·È ˘ÔÏﬁÁÈÛÂ ÙË ÁˆÓ›· ∞ . ∧ ∧ ∧ 3. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ÛÙÔ ÔÔ›Ô Ó· Â›Ó·È ∞ = 90Æ, µ = 60Æ Î·È ∧ ∞µ = 4,2 cm. (·) ÀÔÏﬁÁÈÛÂ ÙË ÁˆÓ›· ° . (‚) ª¤ÙÚËÛÂ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ µ° Î·È Û‡ÁÎÚÈÓÂ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙË˜ ÌÂ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙË˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞µ. ‰1 ‰2 48Æ ‚ 4. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1//Â2. ∧ ∧ ∧ ∧ Á Â1 ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ·, ‚, Á Î·È ‰. · ‰ 52Æ Â2 Â1 Â1 35Æ 5. ™Ù· ‰ÈÏ·Ó¿ Û¯‹Ì·Ù· Â›Ó·È Â1//Â2. ∧ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙË ÁˆÓ›· Ê. Ê Ê 35Æ Â2 72Æ Â2 102Æ ∞ 40Æ µ ∧ ∂ 6. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞µ//°¢. ÀÔÏﬁÁÈÛÂ ÙË ÁˆÓ›· ˆ. ˆ 42Æ ¢ ° 7. ™Â ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ, Ë ÁˆÓ›· Ô˘ Â›Ó·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·ﬁ ÙË ‚¿ÛË Â›Ó·È 74Æ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ ˘ﬁÏÔÈÂ˜ ÁˆÓ›Â˜. ∧ ∧ ∧ 8. ™Â ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ∞ = 36Æ Î·È Ë ÁˆÓ›· µ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·ﬁ ÙË ° . ∧ ∧ ÀÔÏﬁÁÈÛÂ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ µ Î·È °. ∧ ∧ ∧ ∧ 9. ™Â ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ë ÁˆÓ›· ∞ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·ﬁ ÙË µ Î·È Ë ° ÙÚÈÏ¿ÛÈ· ·ﬁ ÙË µ . ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ ∞µ°¢, Ó· ¿ÚÂÈ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √ ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎﬁ ÙÔ˘ Î·È 10. Ó· Ê¤ÚÂÈ˜ ÙÈ˜ √∞, √µ, √° Î·È √¢. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ∞O B, ∧ ∧ ∧ ∧ B√ °, °√ ¢ Î·È ¢√ ∞ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ∞µ°¢.
• 25. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·225 ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· - 225 - µ.3.3. ¶ · Ú · Ï Ï Ë Ï ﬁ Á Ú · Ì Ì Ô - √ Ú ı Ô Á Ò Ó È Ô - ƒ ﬁ Ì ‚ Ô ˜ - ∆ Â Ù Ú ¿ Á ˆ Ó Ô - ∆Ú·¤˙ÈÔ - πÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ H ˘ËÚÂÛ›· Ô‰ÈÎ‹˜ ·ÛÊ¿ÏÂÈ·˜ ·ÔÊ¿ÛÈÛÂ Ó· ‚¿„ÂÈ ÙÔ Ô‰ﬁÛÙÚˆÌ· ÛÂ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÛÂÈ˜ ÌÂ ¤ÓÙÔÓÔ Î›ÙÚÈÓÔ ¯ÚÒÌ·. °È· Ó· Î¿ÓÂÈ ÙÔ˘˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ‡˜ ÙË˜, Ú¤ÂÈ Ó· ‚ÚÂıÂ› ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Û¯‹Ì· ÙÔ˘ Ô‰ÔÛÙÚÒÌ·ÙÔ˜ ÛÙÔ ÎÔÈÓﬁ Ì¤ÚÔ˜ ‰‡Ô ‰ÚﬁÌˆÓ, ÛÂ Î¿ıÂ ‰È·ÛÙ·‡ÚˆÛË. ➣ ªÂ ÙËÓ ÚÔ¸ﬁıÂÛË ﬁÙÈ ÔÈ ‰ÚﬁÌÔÈ Ô˘ ‰È·ÛÙ·˘ÚÒ- ÓÔÓÙ·È Â›Ó·È Â˘ıÂ›˜, ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‚ÚÂÈ˜ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ‰ÚﬁÌÔÈ: (·) ﬁÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·ı¤Ùˆ˜. (‚) ﬁÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎﬁ Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î·ı¤Ùˆ˜. (Á) ﬁÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Ï·Á›ˆ˜. (‰) ﬁÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎﬁ Ï¿ÙÔ˜ Î·È Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Ï·Á›ˆ˜. £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ ∞µ°¢ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÈ˜ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜, ‰ËÏ·‰‹ ∞µ//°¢ Î·È ∞¢//µ°. ∫¿ıÂ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÌÔÚÂ› Ó· ÔÓÔÌ·ÛÙÂ› ‚¿ÛË ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ∏ ·ﬁÛÙ·ÛË ÙË˜ ‚¿ÛË˜ ·ﬁ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ Ï¤ÁÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. A ∂ B ˘1 ¢ ∑ ° ∏ ˘2 £ °È· ÙÈ˜ ‚¿ÛÂÈ˜ ∞µ Î·È °¢ ‡„Ô˜ Â›Ó·È ÙÔ ∂∑, ÂÓÒ ÁÈ· ÙÈ˜ ‚¿ÛÂÈ˜ ∞¢ Î·È µ° ‡„Ô˜ Â›Ó·È ÙÔ ∏£.
• 26. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·226 - 226 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· EÈ‰ÈÎ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ A µ ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜ Ï¤ÁÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ ‹ ·Ï¿ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¢ ° µ ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ›ÛÂ˜ Ï¤ÁÂÙ·È ÚﬁÌ‚Ô˜. A ° ¢ A µ ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜ Î·È ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ›ÛÂ˜ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ . ¢ ° TÚ·¤˙ÈÔ ∆Ô ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ ∞µ°¢ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÌﬁÓÔ ‰‡Ô ÏÂ˘Ú¤˜ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÚ·¤˙ÈÔ. √È ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ∞µ, °¢ (∞µ//°¢) ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Ï¤ÁÔÓÙ·È ‚¿ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘. ∏ ·ﬁÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ Ï¤ÁÂÙ·È ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘. A E µ ˘ ¢ ° Z ∏ ·ﬁÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ ∞µ Î·È °¢ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ∂∑ . A µ ∞Ó ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ ¤¯ÂÈ ÙÈ˜ ÌË ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ›ÛÂ˜ Ï¤ÁÂÙ·È ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ. ∂›Ó·È ∞¢ = µ° ¢ °
• 27. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·227 ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· - 227 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. ¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙÂ ÁÈ·Ù› ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È Î·È ‡„Ë. A µ §‡ÛË ∂ÂÈ‰‹ ﬁÏÂ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ÔÚı¤˜, ÔÈ ‰È·‰Ô¯ÈÎ¤˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜. ∂ÔÌ¤Óˆ˜ ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È Î·È ¢ ° ‡„Ë. ∞ µ 2. ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ÚﬁÌ‚Ô˘ Ô˘ ¿ÁÔÓÙ·È ·ﬁ Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹. §‡ÛË ∑ ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ ÌÂ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ‹ ÌÂ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ù· ‡„Ë ∞∂ Î·È ∞∑ ÙÔ˘ ÚﬁÌ‚Ô˘ Î·È ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ Â›Ó·È ›Û·, ‰ËÏ·‰‹: ∞∂ = ∞∑. ¢ ∂ ° ∞ µ ¡· Û¯Â‰È·ÛÙÔ‡Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Ô˘ 3. ¿ÁÔÓÙ·È ·ﬁ Ì›· ÎÔÚ˘Ê‹. ˘2 ˘1 §‡ÛË ∑ ∆· ‡„Ë ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢ Ô˘ Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ¢ ∂ ° ·ﬁ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ÛÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ¢° Î·È µ° Â›Ó·È Ù· ∞∂ Î·È ∞∑ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ∆ÔÔı¤ÙËÛÂ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË. ™ø™∆√ §∞£√™ (·) ŒÓ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÚﬁÌ‚Ô˜. (‚) ŒÓ·˜ ÚﬁÌ‚Ô˜ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ. (Á) ∫¿ıÂ ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÛÂ ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·. (‰) ∫¿ıÂ ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÚﬁÌ‚Ô˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÛÂ ‰‡Ô ÈÛﬁÏÂ˘Ú· ÙÚ›ÁˆÓ·. (Â) ∫¿ıÂ ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ÙÔ ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÛÂ ‰‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ·. 2. ¶ﬁÛ· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È Û’ ¤Ó· ÈÛÔÛÎÂÏ¤˜ ÙÚ·¤˙ÈÔ, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÚÂÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ›ÛÂ˜, ﬁÙ·Ó Ê¤ÚÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ ‰‡Ô ‰È·ÁÒÓÈ¤˜ ÙÔ˘; ¢ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘. 3. ªÂ Ù¤ÛÛÂÚ· Û›ÚÙ· (ÔÏﬁÎÏËÚ· Î·È ›Û·) ÔÈ· ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘Ú· ÌÔÚÂ›˜ Ó· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÂÈ˜; ¢ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘. ªÂ ‰‡Ô ÔÏﬁÎÏËÚ· Î·È ‰‡Ô ÌÈÛ¿ Û›ÚÙ· ÌÔÚÂ›˜ Ó· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÂÈ˜ ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· 4. Î·È ÔÈ·; ¢ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.
• 28. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:43 ™ÂÏ›‰·228 - 228 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆A °π∞ ∆√ ™¶π∆π ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ¯ˆÚ›ÛÂÈ˜ Ù· ÈÔ Î¿Ùˆ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘Ú· ÛÂ ÔÌ¿‰Â˜. ➣ ¢ÒÛÂ ·ﬁ ¤Ó· ﬁÓÔÌ· ÛÙÔ Î·ı¤Ó·. ➣ ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‰ÈÎ·ÈÔÏÔÁ‹ÛÂÈ˜ ÙÔ ¯ˆÚÈÛÌﬁ ÛÂ ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ ¤Î·ÓÂ˜. ∞ B B ∞ B ∞ B ¢ ∞ ° ¢ ° ¢ ° ° ¢ ∞ B ∞ B ∞ B ∞ B ¢ ° ¢ ° ¢ ° ¢ ° π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √ ∂˘ÎÏÂ›‰Ë˜ ÛÙ· “™ÙÔÈ¯Â›·” ÙÔ˘ ÚÔÙÂ›ÓÂÈ ∆∂∆ƒ∞¶§∂Àƒ√ ÌÈ· Ù·ÍÈÓﬁÌËÛË (¢È¿ÁÚ·ÌÌ· 1), Ô˘ ‰ÂÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ› ˆ˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›·, ∆∂∆ƒ∞°ø¡√ ∆ƒ∞¶∂∑π√ ÙËÓ ÔÔ›· ÂÈÛ¿ÁÂÈ ·ÚÁﬁÙÂÚ·. ∆Ú·¤˙ÈÔ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ, ﬁ¯È ÂÎÂ›ÓÔ Ô˘ Ï¤ÌÂ ÂÌÂ›˜ Û‹ÌÂÚ·, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ ÌÂ ‰‡Ô ∂∆∂ƒ√ª∏∫∂™ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Î·È ﬁ¯È ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ ÌﬁÓÔ ÏÂ˘Ú¤˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜, ·ÏÏ¿ ÔÔÈÔ- ‰‹ÔÙÂ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ. ∆ÔÓ ﬁÚÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ, ƒ√ªµ√™ ÌÂ ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ¤ÓÓÔÈ·, ÙÔÓ Û˘Ó·ÓÙ¿ÌÂ ÈÛﬁÏÂ˘ÚÔ Î·È ﬁ¯È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·ÚÁﬁÙÂÚ· ÛÙÔÓ ∞Ú¯ÈÌ‹‰Ë . ∂›ÛË˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÏÂ˘ÚÔ Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÈ ÚÔÌ‚ÔÂÈ‰¤˜ ƒ √ ª µ √ ∂ π ¢ ∂ ™ ¢È¿ÁÚ·ÌÌ· 1. ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¤˜ Î·È ·¤Ó·ÓÙÈ ∏ ∂˘ÎÏÂ›‰ÂÈ· ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÛËÌÂÚÈÓﬁ ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ. ÁˆÓ›Â˜ ›ÛÂ˜ Ù·ÍÈÓﬁÌËÛË MÈ· ÚÔÛ¿ıÂÈ· ‰ÈﬁÚıˆÛË˜ ÙË˜ ∂˘ÎÏÂ›‰ÂÈ·˜ ∆∂∆ƒ∞¶§∂ÀƒA Ù·ÍÈÓﬁÌËÛË˜ ··ÓÙ¿Ù·È ÙÔÓ ¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ªª∞ ∆ƒ∞¶∂∑π∞ 16Ô ·ÈÒÓ· ÛÙË “°ÂˆÌÂÙÚ›·” ¶§∞°π√ √ƒ£√°ø¡π√ ¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ ªª√ ¶∞ƒ∞§§∏§√°ƒ∞ ªª√ (1569) ÙÔ˘ Petrus Ramus ‹ ƒ√ªµ√™ ƒ√ªµ√EIDES ∆∂∆ƒ∞°ø¡√ ∂∆∂ƒ√ª∏∫∂™ Pierre de la Ramée . ¢È¿ÁÚ·ÌÌ· 2. ∏ Ù·ÍÈÓﬁÌËÛË ÙÔ˘ Ramus
• 29. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:44 ™ÂÏ›‰·229 ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· - 229 - µ.3.4. π ‰ È ﬁ Ù Ë Ù Â ˜ ¶ · Ú · Ï Ï Ë Ï Ô Á Ú ¿ Ì Ì Ô ˘ - √ Ú ı Ô Á ˆ Ó › Ô ˘ - ƒ ﬁ Ì ‚ Ô ˘ - ∆ÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ - ∆Ú·Â˙›Ô˘ - πÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ˜ Â¿Ó ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜: (·) ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, (‚) ÙÔ˘ ÚﬁÌ‚Ô˘, (Á) ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È (‰) ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘. £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ π‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ˘ Î·È Ï¿ÁÈÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ™Â Î¿ıÂ ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘. A √È ‰È·ÁÒÓÈ¤˜ ÙÔ˘ ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È (Î¿ıÂ Ì›· B ÂÚÓ¿ÂÈ ·ﬁ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ÙË˜ ¿ÏÏË˜). √ √È ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¤˜ Â›Ó·È ›ÛÂ˜. ¢ √È ·¤Ó·ÓÙÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›ÛÂ˜. ° ™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ: A ¢ √È ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔÈ ÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓÂ˜ Â1 Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. √ Â2 √È ‰È·ÁÒÓÈ¤˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÂ˜ Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È. B °
• 30. ª∂ƒ√™ µ-3(217-232)-(20,5 Ã 28) 2-11-06 11:44 ™ÂÏ›‰·230 - 230 - ª¤ÚÔ˜ µ KÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ∆Ú›ÁˆÓ· - ¶·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌ· - ∆Ú·¤˙È· π‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ÙÔ˘ ÚﬁÌ‚Ô˘ A ∂ÎÙﬁ˜ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÎﬁÌ· Î·È ÙÈ˜ ÂÍ‹˜: 1 2 2 1 ¢ 1 2 √È Â˘ıÂ›Â˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ Â›Ó·È ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. 1 √ 2 √È ‰È·ÁÒÓÈÂ˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ (Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È). 2 1 µ ° √È ‰È·ÁÒÓÈ¤˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙﬁÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘. π‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∂ÎÙﬁ˜ ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ¤¯ÂÈ ·ÎﬁÌ· Î·È ÙÈ˜ ÂÍ‹˜: A 45Æ ¢ √È Â˘ıÂ›Â˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ Î·È ÔÈ ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔÈ ÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ¿ÍÔÓÂ˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜. √ √È ‰È·ÁÒÓÈ¤˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÂ˜, Î¿ıÂÙÂ˜ (Î·È ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡ÓÙ·È). µ ° √È ‰È·ÁÒÓÈ¤˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È Î·È ‰È¯ÔÙﬁÌÔÈ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘. π‰ÈﬁÙËÙÂ˜ ÙÔ˘ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ¢ N ° 1 2 ∏ Â˘ıÂ›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ Ù· Ì¤Û· ÙˆÓ ‚¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È ¿ Í Ô Ó · ˜ Û ˘ Ì Ì Â Ù Ú › · ˜ Î·È ÌÂÛÔÎ¿ıÂÙÔ˜ ÛÙÈ˜ ‚¿ÛÂÈ˜ ÙÔ˘. √È ÚÔÛÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ÛÂ Î¿ıÂ ‚¿ÛË ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÂ˜. 1 2 A µ M ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¡· ‚ÚÂıÂ› ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜: (·) ÙÔ˘ ÚﬁÌ‚Ô˘, (‚) ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È (Á) ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. §‡ÛË (·) ∂ÂÈ‰‹ Ô ÚﬁÌ‚Ô˜ Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î·È Î¤ÓÙÚÔ O Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘. (‚) ∂ÂÈ‰‹ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Â›Ó·È Î·È ·Ú·ÏÏËÏﬁÁÚ·ÌÌÔ, ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ √ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î·È Î¤ÓÙÚÔ √ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘. (Á) ∂ÂÈ‰‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏﬁ- √ ÁÚ·ÌÌÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ √ ÙˆÓ ‰È·ÁˆÓ›ˆÓ ÙÔ˘ ı· Â›Ó·È Î·È Î¤ÓÙÚÔ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔ˘.