Upcoming SlideShare
×

# 171 200

215 views
159 views

Published on

Math

0 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

• Be the first to like this

Views
Total views
215
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
1
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### 171 200

1. 1. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 8-11-06 16:15 ™ÂÏ›‰·171 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 171 - ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ ﬁÙ·Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ·˘Ù¤˜ Â1 ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜, Â›Ó·È ÔÚı¤˜. ¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘ÌÂ ÙËÓ Î·ıÂÙﬁÙËÙ· ‰‡Ô Â˘ıÂÈÒÓ; Â2 °È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ ‰‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜, Â1 ⊥ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “⊥”, ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ Â1⊥Â2 Î·È Â B ‰È·‚¿˙Ô˘ÌÂ: “Ë Â1 Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â2”. ° ¢‡Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ ‰‡Ô ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜) Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¢ ¿Óˆ ÛÂ ‰‡Ô Î¿ıÂÙÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜, Ï¤ÁÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· Â2 ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ Î¿ıÂÙÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜). ∞ ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. ¶Ò˜ ÌÔÚÔ‡ÌÂ Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ ‰‡Ô ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜; §‡ÛË ™¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ ‰‡Ô ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 ÛÂ ¤Ó· Ê‡ÏÏÔ ¯·ÚÙ›. ¢ÈÏÒÓÔ˘ÌÂ ÙÔ ¯·ÚÙ› Î·Ù¿ Ì‹ÎÔ˜ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜ Â2 Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜: (·) ¢ ° ° (Â1) (Â2) OÈ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ ∞¢ Î·È ∞∂ ∞ ∞ ‰ÂÓ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. c (Â ) 2 (Â1) ∂ÔÌ¤Óˆ˜ ÔÈ ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ B Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 ‰ÂÓ Â›Ó·È ∂ B ¢ ∂ Î¿ıÂÙÂ˜. (‚) ¢ (Â2) ° ° √È ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ ∞¢ Î·È ∞∂ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ∞ c (Â ) ·˘Ù‹ Ï¤ÌÂ ﬁÙÈ ÔÈ ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ 2 ∞ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È B (Â1) Î¿ıÂÙÂ˜ (Â1⊥Â2). Â Â (Â1) B ¢ ∂ ∂ 2. ¶Ò˜ ÌÔÚÔ‡ÌÂ Ó· Î·Ù·ÛÎÂ˘¿ÛÔ˘ÌÂ ‰‡Ô Î¿ıÂÙÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜; §‡ÛË ∞Ó ‰ÈÏÒÛÔ˘ÌÂ ÙÔ Ê‡ÏÏÔ ¯·ÚÙ› ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜, ÌÂ ÙÔÓ ÙÚﬁÔ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Î·È ÌÂÙ¿ ÙÔ ·ÓÔ›ÍÔ˘ÌÂ, ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ﬁÙÈ Ù· ÙÛ·Î›ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó ¿Óˆ ÛÙÔ ¯·ÚÙ›, ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ‰‡Ô Î¿ıÂÙÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2. µ µ µ (Â1) c (Â1) c (Â1) ∞ ∞ ° ∞ ° ° (Â2) (Â2)
2. 2. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·172 - 172 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ 3. ¡· Û¯Â‰È·ÛÙÂ› Â˘ıÂ›· Â , Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÂ Â˘ıÂ›· Â. 1 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â Â ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Â Â Â Â Â Â Â ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ 2 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â ∞ ∞ ∞ Â ∞ ∞ Â Â Â Â Â ➊ ➋ ➌ Â ➍ Â ➎ 4. ¢›ÓÂÙ·È Ë Â˘ıÂ›· Â Î·È Ù· ÛËÌÂ›· ∞, µ, ° Î·È ¢. ¡· Û¯Â‰È·ÛÙÔ‡Ó Â˘ıÂ›Â˜ Â1, Â2, Â3 Î·È Â4, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·ﬁ ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌÂ›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·, Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÙËÓ Â. §‡ÛË Â1 ∞ Â2 ∆ÔÔıÂÙÔ‡ÌÂ ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ë Ì›· Â4 ·ﬁ ÙÈ˜ ‰‡Ô Î¿ıÂÙÂ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ ÌÂ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. Â3 µ ™‡ÚÔ˘ÌÂ ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â, ¤ˆ˜ ﬁÙÔ˘ Ë ¿ÏÏË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Ó· ¤ÚıÂÈ ÛÂ Â·Ê‹ ÌÂ ¤Ó· ·ﬁ Ù· ‰ÔÛÌ¤Ó· ÛËÌÂ›·. ∞ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùﬁ ¯·Ú¿˙Ô˘ÌÂ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ° ÛÙËÓ Â. ∂·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘ÌÂ ÙË ‰È·‰ÈÎ·Û›· ·˘Ù‹, ÁÈ· Î¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô ¢ ° ∞, µ, ° Î·È ¢ Î·È Î·Ù·ÛÎÂ˘¿˙Ô˘ÌÂ ÙÈ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1, Â2, Â3 Î·È Â4 Â ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ToÔı¤ÙËÛÂ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Â› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) ∞Ó ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ Î¿ıÂÙÂ˜ ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜, ÙﬁÙÂ Ë ÁˆÓ›· Ï¤ÁÂÙ·È: ❑ √ÍÂ›· ❑ √Úı‹ ❑ ∞Ì‚ÏÂ›·. (‚) ∞Ó ÛÂ ÌÈ· ÁˆÓ›· Ë ÙÂÏÈÎ‹ ÏÂ˘Ú¿ ÙË˜ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È ÌÂ ÙËÓ ·Ú¯ÈÎ‹, ·ÊÔ‡ Î¿ÓÂÈ ÌÈ· Ï‹ÚË ÛÙÚÔÊ‹, ÙﬁÙÂ Ë ÁˆÓ›· Ï¤ÁÂÙ·È: ❑ ªË‰ÂÓÈÎË ÁˆÓ›· ❑ ∂˘ıÂ›· ÁˆÓ›· ❑ ¶Ï‹ÚË˜ ÁˆÓ›·. 2. ™¯Â‰›·ÛÂ ËÌÈÂ˘ıÂ›· √x Î·È ¯¿Ú·ÍÂ Â˘ıÂ›· Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ √ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ √x. 3. ™¯Â‰›·ÛÂ ‰‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· ÂÓﬁ˜ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ Û’ ·˘Ùﬁ. 4. ™¯Â‰›·ÛÂ ‰‡Ô ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚÈ¤¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· Â˘ıÂ›·. ™ËÌÂ›ˆÛÂ ÛÙËÓ √x ÙÚ›· ÛËÌÂ›· ∞,µ Î·È °. ∞ﬁ Î¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô ·ﬁ ·˘Ù¿ Û¯Â‰›·ÛÂ Â˘ıÂ›· Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ √y. 5. ™¯Â‰›·ÛÂ ‰‡Ô ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚÈ¤¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· Â˘ıÂ›·. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √ Ó· Ê¤ÚÂÈ˜ ÙÈ˜ Î¿ıÂÙÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ ÚÔ˜ ÙÈ˜ Ox Î·È √y. ∆È ·Ú·ÙËÚÂ›˜; 6. ™¯Â‰›·ÛÂ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È Ê¤ÚÂ ·ﬁ Î¿ıÂ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘. 7. ™¯Â‰›·ÛÂ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· ·˘Ù‹. º¤ÚÂ ·ﬁ Ù· ∞ Î·È µ Â˘ıÂ›Â˜ Î¿ıÂÙÂ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È ÂÍ¤Ù·ÛÂ ÛÂ ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ Î¿ıÂÙÂ˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. 8. ToÔı¤ÙËÛÂ ÙÈ˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÓÔÌ·Û›Â˜ ÁˆÓÈÒÓ, ÌÂ ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ÙÔ˘ Ì¤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘˜: √Úı‹ - ∂˘ıÂ›· - ¶Ï‹ÚË˜ - ∞Ì‚ÏÂ›· - ªË‰ÂÓÈÎ‹ - ªË Î˘ÚÙ‹ - √ÍÂ›·.
3. 3. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·173 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 173 - µ.1.7. E Ê Â Í ‹ ˜ Î · È ‰ È · ‰ Ô ¯ È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ - Õ ı Ú Ô È Û Ì · Á ˆ Ó È Ò Ó ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∧ ∧ ™Â Î·ı¤Ó· ·ﬁ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ê Î·È ˆ. ➣ ™˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ù· ÎÂÓ¿ ÛÙËÓ ÚﬁÙ·ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Â› ÛÂ Î·ı¤Ó· ·ﬁ Ù· ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù· Î·È ‰ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘. µ ¢ ° ∞ ° ˆ Ê µ Ê µ ˆ ˆ Ê √ ∞ ° ¢ ∞ Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ .............. Œ¯Ô˘Ó ÌﬁÓÔ ÎÔÈÓ‹ Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ................ Î·È ÙËÓ ....................... Î·È .................... Î·È Î·Ó¤Ó· Ì›· ................................... Î·Ó¤Ó· ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô Î·È ................................... £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ° ∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹, Ì›· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó µ Î·Ó¤Ó· ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô . √ ∞ ° ¢È·‰Ô¯ÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÂÚÈÛÛﬁÙÂÚÂ˜ ·ﬁ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È µ Î·ıÂÌÈ¿ ·ﬁ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›· ÌÂ ÙËÓ √ ∞ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‹ ÙËÓ ÂﬁÌÂÓ‹ ÙË˜. ¢
4. 4. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·174 - 174 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. À¿Ú¯ÂÈ ÙÚﬁÔ˜ ÁÈ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÂÊÂÍ‹˜; µ §‡ÛË ¢ ° AÔÙ˘ÒÓÔ˘ÌÂ ÙË Ì›· ÁˆÓ›· ÛÂ ∫ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È ÙË ÌÂÙ·Ê¤ÚÔ˘ÌÂ √ ∞ Î·Ù¿ÏÏËÏ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ó· Á›ÓÂÈ ÂÊÂÍ‹˜ ÌÂ ÙËÓ ¿ÏÏË. ➊ ➋ ➌ µ µ ¢ ° c c ∫ µ √ √ ∞ √ ∞ ∞ ™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘ÌÂ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, dËÏ·‰‹ Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ ÌÈ· ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›·, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. ∞˜ ‰Ô‡ÌÂ Ò˜ Á›ÓÂÙ·È ·˘Ùﬁ. 2. ¡· ‚ÚÂıÂ› Ë ÁˆÓ›·, Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ. §‡ÛË ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›, ﬁˆ˜ Î¿Ó·ÌÂ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ∧ ∧ ∞√ µ Î·È °∫ ¢ ÛÂ ı¤ÛË Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÂÊÂÍ‹˜. ∆ﬁÙÂ ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ ÏÂ˘Ú¤˜ √∞ ∧ Î·È √¢ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· Ó¤· ÁˆÓ›· ÙËÓ ∞√ ¢, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÌÂ ÙÔ ∧ ∧ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌﬁÓÈÔ, ﬁÙÈ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ · + ‚ , ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ∧ ∧ (· Î·È ‚ ) ÙˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ. · µ ¢ ° ¢ · √ ∞ c ∫ µ c √ · √ ‚ ‚ ·+‚ ¢ ° ∞ ∞ K
5. 5. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·175 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 175 - 3. N· ‚ÚÂıÂ› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ ÌÂ Ì¤ÙÚ· 50Æ Î·È 82Æ. y §‡ÛË x y ∧ ∧ ŒÛÙˆ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO x Î·È yO y ÌÂ Ì¤ÙÚ· ∧ ∧ ∧ · =50Æ Î·È ‚ =82Æ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯·. ‚ =82Æ ∧ ∧ ∏ ÁˆÓ›· xO y Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÓÔÈÁÌ·: · =50Æ ∧ ∧ ∧ x xOy = · + ‚ = 50Æ + 82Æ = 132Æ, O Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ. 4. ¢›ÓÂÙ·È Â˘ıÂ›· x x. ∞ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √ ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜ Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙË˜, ‰‡Ô ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ √y Î·È √z. ¡· ‚ÚÂıÂ› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È, ﬁˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. §‡ÛË ∧ Ÿˆ˜ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, Ë ÁˆÓ›· xO x Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ∧ ∧ ∧ ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ yO x , yO z Î·È zO x. ÕÚ· ÙÔ z ∧ Ì¤ÙÚÔ ÙË˜ ‰ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯ˆÓ ∧ ∧ ∧ Ì¤ÙÚˆÓ · , ‚ Î·È Á ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ, y ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ‰ËÏ·‰‹ ‰ = · + ‚ + Á . ∂ÂÈ‰‹ ﬁÌˆ˜ ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙË˜ ‰ ∧ ∧ ‚ ∧ ÁˆÓ›·˜ xO x Â›Ó·È ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜, Ë ÁˆÓ›· ∧ Á ∧ · x x ·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‰ = 180Æ. O ∧ ∧ ∧ ÕÚ·, · + ‚ + Á = 180Æ. ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹, ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó Î·Ó¤Ó· ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È .......................................... . (‚) ∆ÚÂÈ˜ ‹ ÂÚÈÛÛﬁÙÂÚÂ˜ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È Î·ıÂÌÈ¿ ·ﬁ ·˘- Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›· ÌÂ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‹ ÙËÓ ÂﬁÌÂÓË ÙË˜ Ï¤ÁÔÓÙ·È ............................... . ∞ B 2. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂÈ˜ ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ﬁÏÂ˜ ÙÈ˜ ‰È·‰Ô¯ÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜. ∂ ° ° ¢ 3. ¡· ‚ÚÂÈ˜ Ù· ˙Â‡ÁË ÙˆÓ ∂ ¢ ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ ÛÙÔ Û¯‹Ì·. x ∞ µ 4. ¡· ÁÚ¿„ÂÈ˜ ÙÈ˜ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ÙÈ˜ ‰È·‰Ô¯ÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·. µ ➊ y ➋ O ➌ ¢ x ➍ ¢ ° ° ¢ ∑ ∫ v x x ∞ ° x ∞ µ y z ∞ µ
6. 6. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·176 - 176 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ µ.1.8. ¶ · Ú ·  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Î · È ™ ˘ Ì  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ - K·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∧ ∧ ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜. √È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜. ➣ ªÔÚÂ›˜ Ó· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜; ∧ ∧ ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜. √È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜. ➣ ªÔÚÂ›˜ Ó· ‚ÚÂÈ˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜; £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ y ¶·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ. ∏ Î¿ıÂ Ì›· ·ﬁ ·˘Ù¤˜ Ï¤ÁÂÙ·È Ê ˆ ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜ ¿ÏÏË˜. x z O x y ™˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ. ‚ ∏ Î¿ıÂ Ì›· ·ﬁ ·˘Ù¤˜ Ï¤ÁÂÙ·È · x √ Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜ ¿ÏÏË˜. x y ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ O Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙÈ˜ y ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ . x
7. 7. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·177 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 177 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ ∧ ∧ 1. ¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y ÌÂ Ì¤ÙÚÔ · =72Æ. ¡· ‚ÚÂıÂ› Î·È Ó· Û¯Â‰È·ÛÙÂ› Ë ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜. §‡ÛË ∧ ŒÛÙˆ ﬁÙÈ Ë ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜ · ¤¯ÂÈ ∧ ∧ ∧ y Ì¤ÙÚÔ ‚ . £· Â›Ó·È ÙﬁÙÂ: ‚ = 180Æ– · , ‰ËÏ·‰‹ ∧ ı· Â›Ó·È: ‚ = 180Æ– 72Æ = 108Æ. °È· Ó· Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ ÙËÓ ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ∧ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ xO y, ÚÔÂÎÙÂ›ÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹˜ √x ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ √, ÔﬁÙÂ ¤¯Ô˘ÌÂ ∧ ∧ ‚ =108Æ · =72Æ ÙËÓ ËÌÈÂ˘ıÂ›· √x , ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓË ÙË˜ √x. ŒÙÛÈ x x ∧ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· yO x , Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏË- O ∧ ∧ ÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , ÒÛÙÂ Ó· ∧ ∧ Â›Ó·È: · + ‚ = 180Æ. ∧ ∧ 2. ¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y ÌÂ Ì¤ÙÚÔ · =33Æ. ¡· ‚ÚÂıÂ› Î·È Ó· Û¯Â‰È·ÛÙÂ› Ë Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜. §‡ÛË x ∧ ∧ ŒÛÙˆ ﬁÙÈ Ë Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜ · ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‚ . ∧ ∧ £· Â›Ó·È ÙﬁÙÂ ‚ = 90Æ– ·, ∧ ‰ËÏ·‰‹ ı· Â›Ó·È: ‚ = 90Æ– 33Æ = 57Æ. y °È· Ó· Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ ÙË Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÌÈ·˜ ∧ ÁˆÓ›·˜ xO y Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ ËÌÈÂ˘ıÂ›· √x ⊥ Ox ÚÔ˜ ∧ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÌÈÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë √y. ‚ =57Æ ∧ ∧ ŒÙÛÈ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· y O x , Ô˘ Â›Ó·È · =33Æ x ∧ ∧ Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , O ∧ ∧ ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È: · + ‚ = 90Æ. 3. ™Â ÔÈÂ˜ ·ﬁ ÙÈ˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Î·È ÁÈ·Ù›; ∂›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ¢ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ¢ÈﬁÙÈ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ¢ÈﬁÙÈ ‹ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ ‹ ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜.
8. 8. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·178 - 178 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ 4. ¡· ÂÍÂÙ·ÛÙÂ› ÌÂ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ë Û¯¤ÛË ‰‡Ô Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ. y y y x √ x √ √ x x x √ x √ x y y y y ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ∞Ó·Ô‰ÔÁ˘Ú›˙Ô˘ÌÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈﬁÓ ﬁÙÈ: ¢‡Ô Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›ÛÂ˜.. 5. ¡· ·Ô‰ÂÈ¯ıÂ› ﬁÙÈ ‰‡Ô Î¿ıÂÙÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚÈ˜ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜. y §‡ÛË ∧ ∧ ™¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›· xO y (ÌÂ Ì¤ÙÚÔ · = 90Æ) Î·È ÚÔÂÎÙÂ›ÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙË˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙË˜ ÎÔÚ˘Ê‹˜ ÙË˜, ÔﬁÙÂ ¤¯Ô˘ÌÂ ‰‡Ô Î¿ıÂÙÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ ‚ ·=90Æ x x x x Î·È y y. ∧ ∧ Á √ ‰ ∂ÂÈ‰‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO y ∧ x O y Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, Î·È ∧ ı· Â›Ó·È ›ÛÂ˜, ‰ËÏ·‰‹ Á = · = 90Æ. ∧ ∧ √È ÁˆÓ›Â˜, ﬁÌˆ˜, x O y Î·È xO y Â›Ó·È ·Ú·ÏËÚˆÌ·- y ∧ ÙÈÎ¤˜, ¿Ú· ı· Â›Ó·È: ‚ = 180Æ – 90Æ = 90Æ. ∧ ∧ ∧ ∧ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÔﬁÙÂ: ‰ = ‚ = 90Æ . ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ x O y Î·È xO y Â›Ó·È ∧ ∧ ∧ ∧ ∂ÔÌ¤Óˆ˜ ‚Ï¤Ô˘ÌÂ ﬁÙÈ: · = ‚ = Á = ‰ = 90Æ . ∧ 6. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Â¿Ó Â›Ó·È · =40Æ. §‡ÛË ∧ ∧ ∂ÂÈ‰‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÌÂ Ì¤ÙÚ· Á Î·È · Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÂÔÌ¤Óˆ˜ ı· Â›Ó·È ›ÛÂ˜, ∧ ∧ ∧ ∧ ‰ËÏ·‰‹ Á = · = 40Æ. √È ÁˆÓ›Â˜, ﬁÌˆ˜, ÌÂ Ì¤ÙÚ· ‚ Î·È · Â›Ó·È ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜, ¿Ú· ı· Â›Ó·È: ∧ ‚ ·=40Æ ‚ = 180Æ – 40Æ = 140Æ. Á ∧ ∧ ‰ ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÌÂ Ì¤ÙÚ· ‚ Î·È ‰ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ∧ ∧ ÔﬁÙÂ: ‰ = ‚ = 140Æ
9. 9. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·179 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 179 - ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ∆ÔÔı¤ÙËÛÂ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Â› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙÈ˜ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜, ÙﬁÙÂ Ï¤ÁÔÓÙ·È: ❑ ∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¢È·‰Ô¯ÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¶·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ™˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜. 2. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ Ì›· ÁˆÓ›· 125Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂÈ˜ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÈ˜ ÙËÓ ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜. 3. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ÙÈ Â›‰Ô˘˜ ÁˆÓ›· Â›Ó·È Ë ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ (·) ÌÈ·˜ ·Ì‚ÏÂ›·˜, (‚) ÌÈ·˜ ÔÚı‹˜ Î·È (Á) ÌÈ·˜ ÔÍÂ›·˜ ÁˆÓ›·˜. 4. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÌÈ· ÁˆÓ›· 35Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂÈ˜ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÈ˜ ÙË Û˘ÌÏËÚˆÌ·ÙÈÎ‹ ÙË˜. ∧ ∧ ∧ ™ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· Â›Ó·È °√ ∞ = ¢√ ∞ = Ê . ¡· Û˘ÁÎÚ›- ° 5. ∧ ∧ ÓÂÈ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ °√ µ, ¢√ µ Î·È Ó· ‰ÈÎ·ÈÔÏÔÁ‹ÛÂÈ˜ ÙÔ √ Ê µ Ê ∞ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙË˜ Û‡ÁÎÚÈÛË˜. ¢ ∧ ∧ ∧ 6. √È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËÚˆÌ·ÙÈÎ¤˜. ∏ · Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ ÙË˜ ‰›ÓÂÙ·È ∧ ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. (·) ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙËÓ · , (‚) Ó· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ˜ ∧ ∧ ÙË ‚ ÌÂ ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌﬁÓÈÔ, (Á) Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙËÓ ‚ . ªÂÙ¿ Ó· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂÈ˜ ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰Èﬁ ÛÔ˘ ÙÔÓ ›Ó·Î· Î·È Ó· ÙÔÓ Û˘ÌÏËÚÒÛÂÈ˜. ∧ · 15Æ 18Æ 43Æ 77Æ 90Æ 116Æ 169Æ 10 ∧ ‚ ·ﬁ Ì¤ÙÚËÛË ∧ ‚ ·ﬁ ˘ÔÏÔÁÈÛÌﬁ ∧ ∧ ÀÔÏﬁÁÈÛÂ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. 7. 147Æ · ‚ 110Æ 8. ™¯Â‰›·ÛÂ ÌÈ· ÁˆÓ›· 37Æ Î·È ÌÂÙ¿ Û¯Â‰›·ÛÂ ÙËÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÙË˜. Â ‚ · Â1 9. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ﬁÏ· Ù· ˙Â‡ÁË ÙˆÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. Ï Î Á ‰ Ì Ó Â2 10. ∂¿Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÈ˜ ﬁÙÈ Ë Ì›· ÁˆÓ›· ·ﬁ ÙÈ˜ Ù¤ÛÛÂÚÈ˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â›Ó·È 57Æ ˘ÔÏﬁÁÈÛÂ ÙÈ˜ ˘ﬁÏÔÈÂ˜ ÁˆÓ›Â˜. · N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ÙÈ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ 90Æ 11. (¯ˆÚ›˜ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌﬁÓÈÔ). ‰ Á ‚ 25Æ
10. 10. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·180 - 180 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ µ.1.9. £ ¤ Û Â È ˜ Â ˘ ı Â È Ò Ó Û Ù Ô Â  ›  Â ‰ Ô ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë √È ‰È·ÁÚ·ÌÌ›ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓËÙﬁ‰ÚÔÌÔ˘ ÛÙË ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎﬁÓ· Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È (Ù¤ÌÓÔÓÙ·È) Î¿Ô˘; ➣ ªÔÚÂ›˜ Ó· ‰ÈÎ·ÈÔÏÔÁ‹ÛÂÈ˜ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘; º∞ƒ™∞§∞ §∞ƒπ™∞ µ√§√™ ¶√ƒ∂π∞ ¶√ƒ∂π∞ ¶√ƒ∂π∞ À¶√Ãƒ∂ø∆π∫∏ À¶√Ãƒ∂ø∆π∫∏ À¶√Ãƒ∂ø∆π∫∏ ∂•√¢√™ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë 500 m A ∑ µ £ ∏ ∂ ° ¢ ™ÙËÓ ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎﬁÓ· ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· ‚ÚÂÈ˜ ÙË Û¯ÂÙÈÎ‹ ı¤ÛË ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ: I ∫ § M (·) ∞µ Î·È ∏∂, (‚) ∞µ Î·È µ°, (Á) ∏∂ Î·È ∫§, (‰) ∏∑ Î·È ∑∂, (Â) ∞£ Î·È µ°. (¢ÈÎ·ÈÔÏﬁÁËÛÂ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘). £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ È‰›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ï¤ÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜, ·Ó ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô ﬁÛÔ ÎÈ ·Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó. ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ È‰›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ Î·È ÙÔ ÎÔÈÓﬁ ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Â˘ıÂÈÒÓ. ∂ÔÌ¤Óˆ˜: ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ‹ ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È . ¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘ÌÂ ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· ‰‡Ô Â˘ıÂÈÒÓ; Â1 °È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ ‰‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Â2 ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “//” Î·È / ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ Â1//Â 2. °È· Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Î·È ÙÈ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜, ÌÔÚÔ‡ÌÂ Ó· Ô‡ÌÂ ﬁÙÈ: ¢‡Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ A µ ÛÂ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜, ı· Ï¤ÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· Â1 Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ ∞µ//°¢. Â2 ° ¢
11. 11. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·181 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 181 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ 1. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈÂ˜ ·ﬁ ÙÈ˜ Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â1 Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Î·È ÔÈÂ˜ ÙÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜. §‡ÛË ∞ ¶·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ıÂ›Â˜ ‰1 Î·È ‰2 (‰1//‰ 2). ‰ µ ¢ ∆ÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ıÂ›Â˜: (·) Â1 Î·È Â2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, ‰1 (‚) Â1 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, (Á) Â1 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂, ° ∂ ‰2 (‰) Â2 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Î·È (Â) Â2 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °. 2. ¡· Û¯Â‰È·ÛÙÂ› Â˘ıÂ›· Â1, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â Î·È Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÛËÌÂ›Ô ∞, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. 1 Ô ˜ Ù Ú ﬁ  Ô ˜ : ™Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ‚Ï¤Ô˘ÌÂ ÙÔÓ ÙÚﬁÔ ÌÂ ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÌÔÚÔ‡- ÌÂ Ó· Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ ÌÂ ÙÔÓ Î·ÓﬁÓ· Î·È ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â1, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ↔↔ Â1 Â1 Â Â Â Â Â 2 Ô ˜ Ù Ú ﬁ  Ô ˜ : ÃÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÁÈ· Ó· Ê¤ÚÔ˘ÌÂ Î¿ıÂÙÔ ∞µ ·ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙËÓ Â1 Î¿ıÂÙË ·ﬁ ÙÔ ∞ ÛÙËÓ ∞µ Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÏÏËÏË ÙË˜ Â. ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Â1 Â Â µ Â µ Â Â ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÂ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â›Ó·È ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜. ªÔÚÔ‡ÌÂ, ¿Ú·ÁÂ, Ó· Ê¤ÚÔ˘ÌÂ ÎÈ ¿ÏÏË (‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ‹) ·Ú¿ÏÏËÏË Â˘ıÂ›· ·ﬁ ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â; ¢Â¯ﬁÌ·ÛÙÂ ﬁÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÚﬁÙ·ÛË: ∞ Â1 ∞ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙﬁ˜ Â˘ıÂ›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›· Â Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎ‹ Â˘ıÂ›· Â 1 ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ Â .
12. 12. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 8-11-06 19:55 ™ÂÏ›‰·182 - 182 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √ ¶Ï¿ÙˆÓ·˜ ¤ÁÚ·„Â ÛÙËÓ Â›ÛÔ‰Ô ÙË˜ ∞Î·‰ËÌ›·˜ ÙÔ ÚËÙﬁ: “ªË‰Â›˜ ·ÁÂˆÌ¤ÙÚËÙÔ˜ ÂÈÛ›Ùˆ”, ‰›ÓÔÓÙ·˜ È‰È·›ÙÂÚÔ ‚¿ÚÔ˜ ÛÙË ÛÔ˘‰‹ Î·È ÙË ÁÓÒÛË ÙË˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∆Ô ÛËÌ·ÓÙÈÎﬁÙÂÚÔ ¤ÚÁÔ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÛÙËÓ ·Ú¯·ÈﬁÙËÙ· ‹Ù·Ó Ù· “™ÙÔÈ¯Â›·” (13 ‚È‚Ï›·) ÙÔ˘ ™ ∂˘ÎÏÂ›‰Ë (330 - 270 .Ã.), Ô˘ ·ÂÙ¤ÏÂÛÂ ÛÙ·ıÌﬁ ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ·Ó·‰Â›¯ÙËÎÂ ÛÂ ÚﬁÙ˘Ô Ì·ıËÌ·ÙÈÎ‹˜ ÛÎ¤„Ë˜. ∂›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎﬁ Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ ﬁÙÈ Ù· “™ÙÔÈ¯Â›·” ÙÔ˘ ∂˘ÎÏÂ›‰Ë ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ÔÓÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ ˆ˜ ¤Ó· ·ﬁ Ù· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· ÂÈÙÂ‡ÁÌ·Ù· ÙÔ˘ ·ÓıÚˆ›ÓÔ˘ ÓÂ‡Ì·ÙÔ˜. ¢ÂÓ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÙÔ ÁÂÁÔÓﬁ˜ ﬁÙÈ Ì·˙› ÌÂ ÙË µ›‚ÏÔ Â›Ó·È ·ﬁ Ù· Û˘ÁÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ô˘ Â›¯·Ó ÙÈ˜ ÂÚÈÛÛﬁÙÂÚÂ˜ ÂÎ‰ﬁÛÂÈ˜. √ ‰È¿ÛËÌÔ˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎﬁ˜ Jean Dieudonné, ¤ÁÚ·„Â ÁÈ· Ù· “™ÙÔÈ¯Â›·” ÙÔ˘ ∂˘ÎÏÂ›‰Ë, ﬁÙÈ: “∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∂ÏÏ‹ÓˆÓ Â›Ó·È ›Ûˆ˜ ÙÔ ÈÔ ÂÎÏËÎÙÈÎﬁ ÓÂ˘Ì·ÙÈÎﬁ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÌ· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. Ã¿ÚË ÛÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓÂ˜ ÌÔÚ¤Û·ÌÂ Ó· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ÛÔ˘ÌÂ ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ÂÈÛÙ‹ÌË”. √ ∂˘ÎÏÂ›‰Ë˜ ÛÙ· “™ÙÔÈ¯Â›·” ÙÔ˘ ÔÚ›˙ÂÈ ˆ˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜: “ Ù È ˜ Â ˘ ı Â › Â ˜ Â Î Â › Ó Â ˜  Ô ˘ ™ Â˘Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ÚÔÂÎÙÂÈÓﬁÌÂÓÂ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ ÎÈ ·ﬁ Ù· ‰‡Ô Ì¤ÚË ‰ Â Û ˘ Ó · Ó Ù Ò Ó Ù · È Û Â Î · Ó ¤ Ó · ·  ’ · ˘ Ù ¿ ” (√ÚÈÛÌﬁ˜ 23) Î·È ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ ‰È·Ù˘ÒÓÂÈ ÙÔ ‰È¿ÛËÌÔ “5Ô ∞›ÙËÌ·”, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ÚﬁÙ·ÛË ﬁÙÈ: “ Â ¿ Ó Ì È · Â ˘ ı Â › ·  Ô ˘ Ù ¤ Ì Ó Â È ‰ ‡ Ô Â˘ıÂ›Â˜ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÙÈ˜ ÂÓÙﬁ˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ Ì¤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ÌÈÎÚﬁÙÂÚÂ˜ ·ﬁ ‰‡Ô ÔÚı¤˜, ÙﬁÙÂ ÔÈ ‰‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÚÔÂÎÙÂÈÓﬁÌÂÓÂ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜  Ô ˘ Ô È Û ¯ Ë Ì · Ù È ˙ ﬁ Ì Â Ó Â ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ Â › Ó · È Ì È Î Ú ﬁ Ù Â Ú Â ˜ ·  ﬁ ‰ ‡ Ô Ô Ú ı ¤ ˜ ”. ™‹ÌÂÚ· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ÙË˜ ∂˘ÎÏÂ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ÌÂ ÙËÓ ÂÍ‹˜ ÌÔÚÊ‹: “∞ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙﬁ˜ Â˘ıÂ›·˜ ¿ÁÂÙ·È ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Ì›· ÌﬁÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË”. ∞ ™ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ·˘Ù‹ Û˘Ó¤‚·ÏÂ ÛËÌ·ÓÙÈÎ¿ ÙÔ 1899 Ô °ÂÚÌ·Óﬁ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎﬁ˜ David Hilbert . ∏ ·Ï‹ıÂÈ· ÙË˜ ÚﬁÙ·ÛË˜ ·˘Ù‹˜ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ÚÔÎ‡ÙÂÈ ·‚›·ÛÙ· ·ﬁ ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ Ì·˜ ÂÌÂÈÚ›·. ŸÌˆ˜, ·ﬁ ÙËÓ ·Ú¯·ÈﬁÙËÙ· Ì¤¯ÚÈ ÙÈ˜ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ÂÚ·ÛÌ¤ÓÔ˘ ·ÈÒÓ·, ¤ÁÈÓ·Ó ÔÏÏ¤˜ ·ÔÙ˘¯ËÌ¤ÓÂ˜ ÚÔÛ¿ıÂÈÂ˜ Ó· ·Ô‰ÂÈ¯ıÂ› ÌÂ ‚¿ÛË ÙÈ˜ ¿ÏÏÂ˜ ÈÛ¯‡Ô˘ÛÂ˜ ÚÔÙ¿ÛÂÈ˜ ÙË˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∏ Ï‹ÚË˜ ·ÔÙ˘¯›· ÙˆÓ ÚÔÛ·ıÂÈÒÓ, ﬁÌˆ˜, ‰ÂÓ ‹ÁÂ ¯·Ì¤ÓË. ∞Ô‰Â›¯ıËÎÂ ﬁÙÈ ÂÎÂ›ÓÔ Ô˘ ¤ÊÙ·ÈÁÂ ‹Ù·Ó ÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ì¤Û· ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÁÈÓﬁÓÙÔ˘Û·Ó ÔÈ ÚÔÛ¿ıÂÈÂ˜ ·˘Ù¤˜, ‰ËÏ·‰‹ Ë Û˘ÁÁÂÎÚÈÌ¤ÓË “∂˘ÎÏÂ›‰ÂÈ·” °ÂˆÌÂÙÚ›·. ŒÙÛÈ ·Ó·Ù‹¯ıËÎ·Ó Î·È ¿ÏÏÂ˜ ÁÂˆÌÂÙÚ›Â˜ ÛÙÈ˜ ÔÔ›Â˜ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·›ÙËÌ· ·˘Ùﬁ. ™˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤Ó· Ô ƒÒÛÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎﬁ˜ Nikolai Lobatchevsky (1792-1856) ÚÔÙÂ›ÓÂÈ Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙËÓ “ÀÂÚ‚ÔÏÈÎ‹”, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ·ÓÙÈÎ·ı›ÛÙ·Ù·È ·ﬁ ÙËÓ ÚﬁÙ·ÛË ﬁÙÈ: “·ﬁ ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙﬁ˜ Â˘ıÂ›·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó · ÂÚÈÛÛﬁÙÂÚÂ˜ ·ﬁ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó”. ∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ·˘Ù‹ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ¯ÒÚÔ˘˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¿ÍÂÓÂ˜ È‰ÈﬁÙËÙÂ˜, ﬁˆ˜ ﬁÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓﬁ˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÌÈÎÚﬁÙÂÚÔ ·ﬁ ‰‡Ô ÔÚı¤˜ Î.·. ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È .¯. ÙÔ “ÂÛˆÙÂÚÈÎﬁ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ ÛÙÔÓ ·Ú¿ÏÂ˘ÚÔ ›Ó·Î· ÙÔ˘ √ÏÏ·Ó‰Ô˘ ˙ˆÁÚ¿ÊÔ˘ Escher. ∂›ÛË˜, Ô Bernhard Riemann (1826-1866) ıÂÌÂÏ›ˆÛÂ ÙËÓ ÏÂÁﬁÌÂÓË “∂ÏÏÂÈÙÈÎ‹” °ÂˆÌÂÙ›·, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ ﬁÙÈ: “·ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙﬁ˜ Â˘ıÂ›·˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ · Î·Ì›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó” Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· ÛÙËÚ›¯ıËÎÂ Ô Albert Einstein ÁÈ· Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÊËÌË ıÂˆÚ›· ÙÔ˘, ÙË˜ ™¯ÂÙÈÎﬁÙËÙ·˜.
13. 13. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·183 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 183 - ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ToÔı¤ÙËÛÂ ¤Ó· “Ã” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Â› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. (·) ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó Î·Ó¤Ó· ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È: ❑ ¶·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ❑ ∆ÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ ❑ ∫¿ıÂÙÂ˜ (‚) ∞ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙﬁ˜ Â˘ıÂ›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È: ❑ ª›· Î·È ÌÔÓ·‰ÈÎ‹ Î¿ıÂÙË Â˘ıÂ›· ÛÙËÓ Â. ❑ ¢‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¤˜ Î¿ıÂÙÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ ÛÙËÓ Â. ❑ ∫·Ì›· Î¿ıÂÙË Â˘ıÂ›· ÛÙËÓ Â. (Á) ∞Ó ‰‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÂ ÌÈ· Â˘ıÂ›·, ÙﬁÙÂ Â›Ó·È ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜: ❑ ∫¿ıÂÙÂ˜ ❑ ¶·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ❑ ∆ÂÌÓﬁÌÂÓÂ˜ 2. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∞ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ................................................................. Â˘ıÂ›Â˜. (‚) ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ‹ ......................... . (Á) ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÂ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â›Ó·È ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ....................... . (‰) ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ È‰›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È .......................... . (Â) ¢‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ ÙÔ˘ È‰›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È ................... . Î·È ÙÔ ÎÔÈÓﬁ ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ......................................... ÙˆÓ ‰‡Ô Â˘ıÂÈÒÓ. 3. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÈ˜ ÙÚÂÈ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1, Â2 Î·È Â3, ÒÛÙÂ: (·) ÔÈ Â˘ıÂ›Â˜ ·˘Ù¤˜ Ó· ÌËÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È, (‚) Ë Ì›· Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙÈ˜ ¿ÏÏÂ˜ ‰‡Ô, (Á) Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Î·È (‰) Ó· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓﬁ ÛËÌÂ›Ô. 4. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ‰‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· ÂÓﬁ˜ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙÂ˜ Û’ ·˘Ùﬁ. 5. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ‰‡Ô ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ √x Î·È √y, ÔÈ ÔÔ›Â˜ Ó· ÌËÓ ÂÚÈ¤¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· Â˘ıÂ›·. ¡· ÛËÌÂÈÒÛÂÈ˜ ÛÙËÓ √x ÙÚ›· ÛËÌÂ›· ∞, µ Î·È °. ∞ﬁ Î¿ıÂ ÛËÌÂ›Ô ·ﬁ ·˘Ù¿ Ó· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ Â˘ıÂ›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ √y. 6. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· ·˘Ù‹. ¡· Ê¤ÚÂÈ˜ ·ﬁ Ù· ∞ Î·È µ Â˘ıÂ›Â˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÈ˜ ÛÂ ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.
14. 14. MEƒ√™ µ-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·184 - 184 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ µ.1.10. ∞  ﬁ Û Ù · Û Ë Û Ë Ì Â › Ô ˘ ·  ﬁ Â ˘ ı Â › · - ∞  ﬁ Û Ù · Û Ë  · Ú · Ï Ï ‹ Ï ˆ Ó ™ÙË ÁÂˆÌÂÙÚ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙË˜ ·ﬁÛÙ·ÛË˜ ÛÙÈ˜ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂÈ˜: – ∞ﬁÛÙ·ÛË ÛËÌÂ›Ô˘ ·ﬁ ÛËÌÂ›Ô, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÂÓÒÓÂÈ. – ∞ﬁÛÙ·ÛË ÛËÌÂ›Ô˘ ·ﬁ Â˘ıÂ›·. – ∞ﬁÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ. ∞˜ ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘ÌÂ ·˘Ù‹ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÛÙÈ˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰Ú·ÛÙËÚÈﬁÙËÙÂ˜. ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë N· ‚ÚÂÈ˜ ÛÂ ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰ËÌﬁÛÈÔ˘ ·ÁˆÁÔ‡ ÓÂÚÔ‡, ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯Â‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ Ë Û‡Ó‰ÂÛË ÌÂ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡, ÒÛÙÂ Ô ÛˆÏ‹Ó·˜ Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ ÌÈÎÚﬁÙÂÚÔ ‰˘Ó·Ùﬁ Ì‹ÎÔ˜. ∞ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë ™Â ÔÈ· ·ﬁ ÙÈ˜ ‰‡Ô ÛÈ‰ËÚÔÙÚÔ¯È¤˜ (· Î·È ‚) ÌÔÚÂ› Ó· ÎÈÓËıÂ› ÙÔ ÙÚ·›ÓÔ, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÂÎÙÚÔ¯È·ÛÙÂ›; ªÔÚÂ›˜ Ó· ‰ÈÎ·ÈÔÏÔÁ‹ÛÂÈ˜ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘; ·→ ‚→ £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ∞ ∞ﬁÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞ ·ﬁ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Î¿ıÂÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0 ∞0 ·ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. ∞ Â1 ∞ﬁÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙÂ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙÈ˜ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· µ ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜, .¯. ÙÔ ∞µ. Â2
15. 15. MEƒ√™ µ-1-(185-198) 2-11-06 10:57 ™ÂÏ›‰·185 ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 185 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™ N· ‚ÚÂıÂ› Ë ·ﬁÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞ ·ﬁ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. 1. ∞ §‡ÛË ∞ ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· Û¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ ÙÔ Î¿ıÂÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ·ﬁ ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â. ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿ÌÂ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È ÙÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ .¯. 2,6 cm. ÕÚ·, Ë ·ﬁÛÙ·ÛË µ ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞ ·ﬁ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â Â›Ó·È, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Â µ 2,6 Â ·˘Ù‹, 2,6 cm. N· ‚ÚÂıÂ› ÛËÌÂ›Ô ÙË˜ Â˘ıÂ›·˜ Â, Ë ·ﬁÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙﬁ˜ ·˘Ù‹˜ 2. Ó· Â›Ó·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË. §‡ÛË ∞8 ∞ ∞ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Ê¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0 ÛÙËÓ ∞6 ∞4 Â˘ıÂ›· Â Î·È Û˘Ó‰¤Ô˘ÌÂ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÌÂ ‰È¿ÊÔÚ· ∞2 ÛËÌÂ›· ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8 Î·È ∞9 ÙË˜ Â. ∞0 ªÂÙÚ¿ÌÂ ÙÈ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ∞ ·ﬁ ·˘Ù¿ Î·È ∞1 ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ ﬁÙÈ ·˘Ù¤˜ ÌÂÁ·ÏÒÓÔ˘Ó Û˘ÓÂ¯Ò˜ ﬁÛÔ ∞3 ·ÔÌ·ÎÚ˘ÓﬁÌ·ÛÙÂ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Î·È ‰ÂÍÈ¿ ·ﬁ ÙÔ ∞0, ¿Ú· ∞5 Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ·ﬁÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0. ∞7 ∂ÔÌ¤Óˆ˜ ÙÔ ∞0, Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ∞9 ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ›¯ÓÔ˜ ÙË˜ Î¿ıÂÙË˜ ·ﬁ ÙÔ ∞. Â 3. N· Û¯Â‰È·ÛÙÔ‡Ó Î·È Ó· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·ﬁ Ù· ÛËÌÂ›· ∞, µ Î·È ° Î·È ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙÈ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2. §‡ÛË { } } Â1 ¢ ∑ ° º¤ÚÓÔ˘ÌÂ ÙÈ˜ Î¿ıÂÙÂ˜ ∞¢, ∂µ∑ Î·È ∏° ·ﬁ Ù· ÛËÌÂ›· ∞, µ Î·È ° ÛÙÈ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2. ªÂÙÚ¿ÌÂ Ù· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¢, ∂∑ Î·È ∏° 2,5cm 2,5cm 2,5cm Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ Â›Ó·È ﬁÏ· ÌÂÙ·Í‡ ÙÔ˘˜ ›Û·. ÕÚ· µ Ë ·ﬁÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ›ÛË ÌÂ 2,5 cm. Â2 ∞ ∂ ∏ ‰ 4. N· Û¯Â‰È·ÛÙÔ‡Ó ‰‡Ô Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ÚÔ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â, Ô˘ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ·ﬁ ·˘Ù‹ 3 cm. ∞ Â1 §‡ÛË 3 cm ™Â Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ª ÙË˜ Â Û¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ Â˘ıÂ›· ‰ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ıÂ›· ‰ ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ ÌÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ ‰‡Ô ª Â ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È: ª∞ = ªµ = 3 cm. Aﬁ Ù· ∞ Î·È µ, ÌÂ ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ·, Û¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 3 cm Î¿ıÂÙÂ˜ ÛÙËÓ Â. √È Â˘ıÂ›Â˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÂ˜, ÁÈ·Ù› Ë µ Â2 ·ﬁÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ ·ﬁ ÙËÓ Â Â›Ó·È 3 cm.
16. 16. MEƒ√™ µ-1-(185-198) 2-11-06 10:57 ™ÂÏ›‰·186 - 186 ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛÂ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Î·ı¤ÙÔ˘ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0 ·ﬁ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· Â ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ............................................... ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô˘ ∞ ·ﬁ ÙËÓ Â˘ıÂ›·. (‚) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙÂ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÂ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜ Ï¤ÁÂÙ·È ...................................... ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ. 2. ™ËÌÂ›ˆÛÂ, ¿Óˆ ÛÂ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â, ÌÂ ÙË ÛÂÈÚ¿, Ù· ÛËÌÂ›· °, µ Î·È ¢, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È °µ=µ¢=3 cm. Ã¿Ú·ÍÂ ÌÈ· Â˘ıÂ›·, Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·ﬁ ÙÔ µ Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Î¿ıÂÙË ·˘Ù‹ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÂÈ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ ·ﬁ ÙÔ µ ·ﬁÛÙ·ÛË ∞µ=4 cm. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÈ˜ ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ ÌÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ Ù· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È ∞¢. 3. ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂÈ˜ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ¿ÛÎËÛË, Â¿Ó Â›Ó·È: °µ=6 cm, µ¢=15 cm, ∞µ=8 cm. 4. N· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ‰‡Ô ÌË ·ÓÙÈÎÂ›ÌÂÓÂ˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›Â˜ √x Î·È √y. ¡· ¿ÚÂÈ˜ ÛÙËÓ Ox, Ù· ÛËÌÂ›· ∞, µ Î·È °, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È: √∞ = ∞µ = µ° = 2 cm. N· ÔÚ›ÛÂÈ˜ ÛÙËÓ Oy ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ , ÒÛÙÂ Ó· Â›Ó·È √∞ = 1,6 cm Î·È Ó· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙËÓ Â˘ıÂ›· ∞∞ . ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· Ê¤ÚÂÈ˜ ·ﬁ Ù· µ Î·È ° ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ ∞∞ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂÈ˜ µ Î·È ° Ù· ÛËÌÂ›· ÛÙ· ÔÔ›· ·˘Ù¤˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯· ÙËÓ √y. ¡· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ˜ ÌÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞ µ Î·È µ ° . ∆È ·Ú·ÙËÚÂ›˜; 5. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â Î·È Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌÂ›· ∞, µ, ° Î·È ¢, Ù· ÔÔ›· Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ¤Ó· ·ﬁ Ù· ËÌÈÂ›Â‰· Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ë Â ÙÔ Â›Â‰Ô, Î·È ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó’ ·¤¯ÂÈ ·’ ·˘Ù‹ 3,2 cm. N· Ê¤ÚÂÈ˜ ·ﬁ Î·ı¤Ó· ·’ ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌÂ›· Â˘ıÂ›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â. ¶ﬁÛÂ˜ ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ Û¯‹Ì· ÛÔ˘; ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏÂ˜ Â˘ıÂ›Â˜ Â1 Î·È Â2 ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ·ﬁÛÙ·ÛË Ó· Â›Ó·È 6. 35 mm. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ¤ÓÙÂ ÛËÌÂ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂, Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·ﬁ ÙÈ˜ Â1 Î·È Â2. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÌÈ· Â˘ıÂ›· Â ·ﬁ ÙÔ ∞ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙÈ˜ Â1 Î·È Â2. ∆· ÛËÌÂ›· µ, °, ¢ Î·È ∂ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ‹ ﬁ¯È ÛÙËÓ Â; ¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂÈ˜ ÛÂ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÛÌ¤ÓÔ ¯·ÚÙ› ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ Û¯‹Ì· 2 cm ∞ 7. Î·È Ó· ‚ÚÂÈ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ÙË˜ ËÌÈÂ˘ıÂ›·˜ ∞x, Ô˘ Ó’ ·¤¯ÂÈ B 3 cm ·ﬁ ÙËÓ Â˘ıÂÈ· Â. Â x ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ŒÓ· ÏÔ›Ô ·ÎÔÏÔ˘ıÂ› Â˘ıÂ›· ÔÚÂ›· ∞µ, Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÓÔÏÈÎ¿ 21 Km. ŸÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË ∞ ·¤¯ÂÈ 10 Km ·ﬁ ¤Ó· Ê¿ÚÔ º Î·È ﬁÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË µ ·¤¯ÂÈ 17 Km ·ﬁ ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ê¿ÚÔ. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙÔ Û¯‹Ì· º∞µ ·›ÚÓÔÓÙ·˜ 1 cm ÁÈ· ·ﬁÛÙ·ÛË ›ÛË ÌÂ 1 Km Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ˜ ﬁÛÔ ÎÔÓÙ¿ ·ﬁ ÙÔ Ê¿ÚÔ ¤Ú·ÛÂ ÙÔ ÏÔ›Ô.
17. 17. MEƒ√™ µ-1-(185-198) 2-11-06 10:57 ™ÂÏ›‰·187 ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 187 - µ.1.11. K ‡ Î Ï Ô ˜ Î · È Û Ù Ô È ¯ Â › · Ù Ô ˘ Î ‡ Î Ï Ô ˘ ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë ™ÙËÓ ∆Ú›ÔÏË ÙË˜ ∞ÚÎ·‰›·˜ Á›ÓÂÙ·È ÌÈ· ÁÈÔÚÙ‹, ÛÙËÓ ÔÔ›· Â›Ó·È Î·ÏÂÛÌ¤ÓÔÈ ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ, Ô˘ Î·ÙÔÈÎÔ‡Ó ÛÂ ·ﬁÛÙ·ÛË ÌÈÎÚﬁÙÂÚË ÙˆÓ 6 km. ¶ÔÈˆÓ ¯ˆÚÈÒÓ ÔÈ Î¿ÙÔÈÎÔÈ ı· ·ÚÂ˘ÚÂıÔ‡Ó ÛÙË ÁÈÔÚÙ‹; ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë O ÚˆÙﬁÁÔÓÔ˜ ¿ÓıÚˆÔ˜ ÁÈ· Ó· ÌË ¯¿ÛÂÈ ÙËÓ Î·ÙÛ›Î· ÙÔ˘ ÙËÓ ¤‰ÂÛÂ ÌÂ ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›, Û’ ¤Ó· Í‡ÏÈÓÔ ¿ÛÛ·ÏÔ, Ì¤Û· ÛÙÔ ÏÈ‚¿‰È. ŸÙ·Ó Á‡ÚÈÛÂ Ó· ÙËÓ ¿ÚÂÈ Â›‰Â ﬁÙÈ Ë Î·ÙÛ›Î· Â›¯Â ‚ÔÛÎ‹ÛÂÈ ÂÎÂ›ÓÔ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÏÈ‚·‰ÈÔ‡ Ô˘ ÙË˜ Â¤ÙÚÂÂ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ Ó· Êı¿ÛÂÈ. ŒÙÛÈ, ﬁÏ· Ù· ¯ﬁÚÙ· Ô˘ ·Â›¯·Ó ÌÈÎÚﬁÙÂÚË ‹ ›ÛË ·ﬁÛÙ·ÛË ·ﬁ ÙÔ Û¯ÔÈÓ›, Ô˘ ‹Ù·Ó ‰ÂÌ¤ÓË, Â›¯·Ó Ê·ÁˆıÂ›. ➣ ¶ÔÈ· ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ‹ ¤ÓÓÔÈ· ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙË˜ ÔÔ›·˜ ÙÔ ¯ÔÚÙ¿ÚÈ Ê·ÁÒıËÎÂ; ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3Ë ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ‰¤Î· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¿ ÛËÌÂ›·, Ô˘ Ó’ ·¤¯Ô˘Ó ﬁÏ· 2 cm ·ﬁ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞. MÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓﬁ˜ ˘Ô‰ÂÎ¿ÌÂÙÚÔ˘ ÌÂÙÚ¿ÌÂ Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ 2 cm ÛÂ ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›. ∞4 ªÂÙ¿, ÎÚ·ÙÒÓÙ·˜ ÌÂ ÙÔ ¤Ó· ¯¤ÚÈ ÙË Ì›· ¿ÎÚË ·˘ÙÔ‡ ∞5 ∞3 ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ¤¯ÔÓÙ·˜ ¿ÓÙ· ∞6 ∞2 ÙÂÓÙˆÌ¤ÓÔ ÙÔ Û¯ÔÈÓ›, ÎÈÓÔ‡ÌÂ ÌÂ ÙÔ ¿ÏÏÔ ¯¤ÚÈ ÙËÓ ¿ÏÏË ¿ÎÚË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡, ÙˆÓ 2 cm, ÛÂ ‰¤Î· ∞1 ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¤˜ ı¤ÛÂÈ˜ ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8, ∞9 ∞7 Î·È ∞10, Ô˘ ÂÈÏ¤ÁÔ˘ÌÂ ÛÙËÓ Ù‡¯Ë, ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯· ‰¤Î· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¿ ÛËÌÂ›·. ∞8 ∞10 ∞9 µÏ¤Ô˘ÌÂ ﬁÙÈ Ù· ÛËÌÂ›·, Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓË ·ﬁÛÙ·ÛË ·ﬁ ÛÙ·ıÂÚﬁ ÛËÌÂ›Ô, Â›Ó·È ¿Ú· ÔÏÏ¿. ➣ ∆È Û¯‹Ì· ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó, ÏÔÈﬁÓ, ﬁÏ· ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌÂ›· ÌÂ ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ·˘Ù‹ È‰ÈﬁÙËÙ·;
18. 18. MEƒ√™ µ-1-(185-198) 2-11-06 10:58 ™ÂÏ›‰·188 ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ - 188 ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ M¤Û· ·ﬁ ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ÌÔÚÔ‡ÌÂ Ó· ‚ÚÔ‡ÌÂ ·ÚÎÂÙ¿ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Î·Ì‡ÏˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. Ÿˆ˜ Â›Ó·È .¯. Ô ‹ÏÈÔ˜ ÛÙË ‰‡ÛË ÙÔ˘, Ô ÙÚÔ¯ﬁ˜ ÂÓﬁ˜ Ô‰ËÏ¿ÙÔ˘, Ë ÛÙÂÊ¿ÓË ÙË˜ Ì·ÛÎ¤Ù·˜, ¤Ó· ÌÂÙ·ÏÏÈÎﬁ ÓﬁÌÈÛÌ·, ÙÔ ÚÔÏﬁÈ Ì·˜, ÌÈ· ÙÔ‡ÚÙ· ÁÂÓÂıÏ›ˆÓ, ¤Ó·˜ ‰›ÛÎÔ˜ ÌÔ˘ÛÈÎ‹˜ Î.Ï. ∆Ô ÚÒÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ÌÔÚÔ‡ÛÂ Ó· ÂÈÓÔ‹ÛÂÈ ‹ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„ÂÈ ¿Óˆ ÛÙË ÁË Ô ¿ÓıÚˆÔ˜ Â›Ó·È, Ê˘ÛÈÎ¿, Ô Î‡ÎÏÔ˜. √ ‹ÏÈÔ˜ Î·È ÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ ·ÚÎÔ‡Ó ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó ÛÙÔ Ì¿ÙÈ ÙÔ Û¯‹Ì· Î·È ÛÙËÓ „˘¯‹ ÙËÓ ÔÌÔÚÊÈ¿ ÙË˜ ÙÂÏÂÈﬁÙËÙ·˜. ∫·È ﬁÙ·Ó Êı¿ÛÂÈ Ë ÒÚ· ÙË˜ ÛÎ¤„Ë˜, ÙﬁÙÂ Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ·ÔÎÙ¿ ÙÔ ÈÔ ÔÏ‡ÙÈÌÔ Û¯‹Ì· ÙË˜. £˘ÌﬁÌ·ÛÙÂ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ ∫‡ÎÏÔ˜ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ﬁÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌÂ›ˆÓ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·ﬁÛÙ·ÛË ·ﬁ ¤Ó· ÛÙ·ıÂÚﬁ ÛËÌÂ›Ô √. ∏ ·ﬁÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÌÂ Ú Î·È Ï¤ÁÂÙ·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ Ï¤ÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ . O ŒÓ·˜ Î‡ÎÏÔ˜ ÌÂ Î¤ÓÙÚÔ √ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÌÂ A↔ Û˘ÓÙÔÌ›· (√, Ú). °È· Ó· Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ ¤Ó· Î‡ÎÏÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË. ¢‡Ô Î‡ÎÏÔÈ ÌÂ ·ÎÙ›ÓÂ˜ ›ÛÂ˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ . √ ∂›ÛË˜: ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ¯ÔÚ‰‹ ∞ µ Î‡ÎÏÔ˘, Ï¤ÁÂÙ·È ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘. . ∂È‰ÈÎ¿ Ë ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·ﬁ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ Ï¤ÁÂÙ·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘.. √ ∞ µ ∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘, Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ‰ÈÏ¿ÛÈ· ·ﬁ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ Î·È ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ ÛÂ ‰‡Ô ›Û· Ì¤ÚË (ËÌÈÎ‡ÎÏÈ·). ÙﬁÍÔ √ ¢‡Ô ÛËÌÂ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó ÛÂ ‰‡Ô Ì¤ÚË Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Ï¤ÁÂÙ·È ÙﬁÍÔ ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ ÌÂ ¿ÎÚ· Ù· ∞ Î·È µ. ∞ µ ÙﬁÍÔ ∫˘ÎÏÈÎﬁ˜ ‰›ÛÎÔ˜ (√, Ú) Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ (√, Ú) Ì·˙› ÌÂ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ú ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏÂ›ÂÈ. √ ŸÏ· Ù· ÛËÌÂ›· ÙÔ˘ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ·ﬁ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ·ﬁÛÙ·ÛË ÌÈÎÚﬁÙÂÚË ‹ ›ÛË ÌÂ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú.
19. 19. MEƒ√™ µ-1-(185-198) 2-11-06 10:58 ™ÂÏ›‰·189 ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈÎ¤˜ ÁÂˆÌÂÙÚÈÎ¤˜ ¤ÓÓÔÈÂ˜ - 189 - ¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ N· Û¯Â‰È·ÛÙÂ› ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÏÂ˘ÚÒÓ ÙÔ˘. §‡ÛË Á = 1,5 cm ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘ÌÂ ﬁÙÈ Ù· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·=3 cm, ‚ = 2 cm ‚=2 cm Î·È Á=1,5 cm Â›Ó·È ÔÈ ÏÂ˘Ú¤˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ · = 3 cm Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ. ∞ÎÔÏÔ˘ıÔ‡ÌÂ ÙËÓ ÂÍ‹˜ ‰È·‰ÈÎ·Û›·: ¶·›ÚÓÔ˘ÌÂ ¤Ó· ·ﬁ ·˘Ù¿ Î·È ÙÔ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘ÌÂ ÏÂ˘Ú¿ µ° = ·. ∞ ªÂÙ¿ ¯·Ú¿˙Ô˘ÌÂ ÙÔ˘˜ Î‡ÎÏÔ˘˜ (µ , Á = 1 , 5 c m ) Á ‚ Î·È ( ° , ‚ = 2 c m ). √È ‰‡Ô ·˘ÙÔ› Î‡ÎÏÔÈ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È µ ° ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ‰ÈﬁÙÈ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¤˜: µ°=3 cm, · AB=1,5 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ (µ , 1 , 5 c m ) Î·È ∞°=2 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ (° , 2 c m ), ·ÊÔ‡ ÙÔ ∞ ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô Î‡ÎÏÔ˘˜. ∞™∫∏™∂π™ ∫∞π ¶ƒ√µ§∏ª∞∆∞ 1. MÂ Î¤ÓÙÚÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª Ó· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ Î‡ÎÏÔ˘˜ ÌÂ ·ÎÙ›ÓÂ˜ 2,4 cm, 2 cm Î·È 15 mm. 2. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ ¤Ó· Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ=3,8 cm. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÔÌﬁÎÂÓÙÚÔ˘˜ Î‡ÎÏÔ˘˜ ÌÂ Î¤ÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ª Î·È ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ 4 cm, 5 cm Î·È 3. 48 mm. (¢‡Ô Î‡ÎÏÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÌﬁÎÂÓÙÚÔÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎ¤˜ ·ÎÙ›ÓÂ˜) 4. N· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ¤Ó·Ó Î‡ÎÏÔ ÌÂ Î¤ÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ Î·È ·ÎÙ›Ó· 3,4 cm. N· ¿ÚÂÈ˜ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ Î‡ÎÏÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Î·È Ó· ¯·Ú¿ÍÂÈ˜ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘: ª∞ = 2,4 cm Î·È MB = 4,1 cm. 5. ŒÛÙˆ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 4 cm. (·) ¡· ‚ÚÂÈ˜ Ù· ÛËÌÂ›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó: 3 cm ·ﬁ ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·ﬁ ÙÔ µ. (‚) ¶ÔÈ· ÛËÌÂ›· ·¤¯Ô˘Ó Ù·˘Ùﬁ¯ÚÔÓ· 3 cm ·ﬁ ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·ﬁ ÙÔ µ; 6. ŒÛÙˆ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 3,2 cm. ¡· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙÔ˘˜ Î‡ÎÏÔ˘˜ (∞, ∞µ) Î·È (µ, ∞µ) Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂÈ˜ ª Î·È ¡ Ù· ÛËÌÂ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ›. ¡· ‚ÚÂÈ˜ ÙÈ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ª ·ﬁ Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ Î·ıÒ˜ Î·È ÙÈ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂÈ˜ ÙÔ˘ ¡ ·ﬁ Ù· ∞ Î·È µ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÈ˜ ÙÈ˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂÈ˜ ·˘Ù¤˜. ¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ŒÓ·˜ ÛÎ‡ÏÔ˜ Â›Ó·È ‰ÂÌ¤ÓÔ˜ ÌÂ ÌÈ· 1. ·Ï˘Û›‰· Ì‹ÎÔ˘˜ 12 m, ﬁˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ºÚ¿ÎÙË˜ ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ¡· ÌÂÙ·Ê¤ÚÂÈ˜ ÙÔ ‰ÈÏ·Óﬁ 6m 12m Û¯‹Ì· ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰ÈÔ ÛÔ˘ Î·È Ó· ‚ÚÂÈ˜, ¯ÚˆÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙËÓ ÔÔ›· 6m O 6m ÌÔÚÂ› Ó· ÎÈÓËıÂ› Ô ÛÎ‡ÏÔ˜. ∂›ÛË˜, Ó· 6m 6m ‚ÚÂÈ˜ ÛÂ ÔÈÂ˜ ÂÚÈÔ¯¤˜ ÙË˜ ·˘Ï‹˜ ÙÔ˘ 6m ™›ÙÈ ÛÈÙÈÔ‡ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÛÙ·ıÔ‡Ó ÔÈ Á¿ÙÂ˜, ¯ˆÚ›˜ Ó· ÎÈÓ‰˘ÓÂ‡Ô˘Ó ·ﬁ ÙÔ ÛÎ‡ÏÔ; ¶ÚÔÛ¿ıËÛÂ Ó· Û¯Â‰È¿ÛÂÈ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÌÂ ÏÂ˘Ú¤˜ Ô˘ Â›Ó·È: 2. ·) ·=10 cm, ‚=6 cm Î·È Á=3 cm, ‚) ·=12 cm, ‚=5 cm Î·È Á=7 cm. T› ·Ú·ÙËÚÂ›˜;