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PA e PGwww.QuackAulas.com.brDesenvolvido pelo Professor Leandro BarradaSlide Show
Progressão Aritmética (PA)www.QuackAulas.com.brToda seqüência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo éigual à s...
Termo Geral de uma PAwww.QuackAulas.com.brrnaan ).1(11a1aan = último termoa1 = 1º termo r = razãon = número de termos.... ...
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www.QuackAulas.com.brExercício 1: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n;1 – 4n) uma progressão aritmé...
(1): r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2(2): 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2=> 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 ...
S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PGinfinita para obter S1:S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 =...
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto sãoequidistantes dos extremos, uma vez que...
Exercício 4: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meiosgeométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa or...
Exercício 5: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, emque a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.Solução:...
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:n1 = 26 e n2 = -28Exercício 6: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4;...
Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz acondição de convergênciaComo -1 < q < 1 a solução está c...
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Matemática - PA e PG

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  1. 1. PA e PGwww.QuackAulas.com.brDesenvolvido pelo Professor Leandro BarradaSlide Show
  2. 2. Progressão Aritmética (PA)www.QuackAulas.com.brToda seqüência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo éigual à soma do seu antecessor com uma constante chama-seprogressão aritmética.Essa constante recebe o nome de razão da progressão aritmética.Logo:raaaaaa nn ...12312P. A. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an)• Classificação de uma P.A.P.A. Crescente: quando cada termo é maior que seu antecessor, ou seja r 0.Ex: ( 1, 5, 9, 13, ...)P.A constante: Quando todos os termos são iguais, ou seja r = 0.Ex: ( 3, 3, 3, 3, ...)P.A. decrescente: Quando cada termo é menor que seu antecessor, ou seja quando r0.Ex: ( 15, 11, 7, 3, -1, -5, ...)
  3. 3. Termo Geral de uma PAwww.QuackAulas.com.brrnaan ).1(11a1aan = último termoa1 = 1º termo r = razãon = número de termos.... 1321 nnn aaaaaS2).( 1 naaS nnLogo:Soma dos termos de uma P.A. Finita
  4. 4. www.QuackAulas.com.brToda seqüência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo éigual ao produto de seu antecessor por uma constante chama-seprogressão geométrica.P. G. (a1, a2, a3, a4, ..., an-1, an)qaaaaaaaann......1342312Ex: ( 2, 4, 8, 16, ...)Progressão Geométrica (PG)
  5. 5. 11. nn qaaSeja uma P.G. de n termos, onde sua soma é dada por:1)1.(1qqaSnnTermo Geral de uma PGwww.QuackAulas.com.brSoma dos termos de uma P.G. Finita
  6. 6. www.QuackAulas.com.brExercício 1: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n;1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:a) [– 2, –1]b) [– 1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]Solução:Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário queseus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definiçãode PA):(1) -5n = 2 + 3n + r (a2 = a1 + r)(2) 1 - 4n = -5n + r (a3 = a2 + r)Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
  7. 7. (1): r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2(2): 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2=> 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é ab).Exercício 2: (UFLA/99) A soma dos elementos da seqüência numéricainfinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3,999e) 4Solução:Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PGinfinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1.Assim:www.QuackAulas.com.br
  8. 8. S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PGinfinita para obter S1:S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1Portanto: S = 3 + 1 = 4Exercício 3: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de umaprogressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com odécimo quinto termo, vale:Solução:Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA,teremos:www.QuackAulas.com.br
  9. 9. S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto sãoequidistantes dos extremos, uma vez que:15 + 6 = 20 + 1 = 21E, portanto:a6 + a15 = a1 + a20Substituindo este valor na primeira igualdade vem:20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15a6 + a15 = -15/10 = -1,5www.QuackAulas.com.br
  10. 10. Exercício 4: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meiosgeométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:Solução:Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremossão 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4.Pela fórmula do termo geral temos que:a4 = a1 .q4-1 → -24 = 3q3 → q3 = -24/3 = -8Logo: q = -2Portanto a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido,também, através da fórmula do termo geral:a6 = a1. q6-1 → a6 = 3(-2)5 = -3.32Finalmente: a6 = -96www.QuackAulas.com.br
  11. 11. Exercício 5: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, emque a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.Solução:Sabemos que:(1) Sn = (a1 + an )n/2 = (6 + an )n/2 = 1456 → (6 + an )n = 2912Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que éfeito através da fórmula do termo geral de uma PA:(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2Substituindo (2) em (1):(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0www.QuackAulas.com.br
  12. 12. Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:n1 = 26 e n2 = -28Exercício 6: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) éigual a 1/10. Qual o valor de x?Solução:Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como umaPG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser talque esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula dasoma vem que:www.QuackAulas.com.br
  13. 13. Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz acondição de convergênciaComo -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11www.QuackAulas.com.br
  14. 14. FIMwww.QuackAulas.com.brDesenvolvido pelo Professor Leandro BarradaSlide Show
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