342. COMPARACIÓN DE CANTIDADES
Comparamos cantidades determinando la razón que existe entre ellas, nosotros estudiaremos
uno de estos casos.
1. RAZON: Es el cociente entre dos números
a
r
b
Ejm.:
12
3 razón
4
2. PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones.
r =
a
b
=
c
d
razones iguales
r =
c
d
donde:
y son extremos
y son medios
a d
b c
Proporción
3. Propiedad Fundamental: En toda proporción el producto de los extremos es igual al
producto de los medios.
= 4
12
3
= 4
20
5
=
12
3
Aplicando propiedad
20
5
=12 (5)
60
3 (20)
60=
ARITMÉTICA
Para hallar un término
de una proporción
aplicamos: el producto
de extremos es igual
al producto de medios
a
b
343. Hallar el valor de x en:
1.
=
4
8
x
16 x = 8
2
2
2.
=
3
5
x
45
x = 27
9
9
3.
=
x
2
20
10
x = 4
5
5
4.
=
x
9
8
4
?
entonces aplicando
la propiedad
despejamos x
x =
9(8)
4
=
72
4
x = 18
PRACTIQUEMOS
EJERCICIOS
I. Hallar el valor de x en:
1.
5
2 8
x
4.
6 2
8
x
7.
2 6
17
x
2.
3 9
21
x
5.
4 12
11
x
8.
18 3
5
x
3.
10 30
7
x
6.
13 39
5
x
9.
14
16 8
x
344. 4. Tablas de Proporcionalidad:
Son tablas que constan de números que están regidos por una razón, la cual debemos
descubrir.
Completa las siguientes tablas:
5
6
7
8
9
25
30
35
40
45
7 (5) = 35
3 5 7 9 11 13
18 30 42 54 66 78
3.6 5.6
x6
x5
PRACTIQUEMOS
Completa las tablas de proporcionalidad.
3 5 9 8 7 10
12
x
9 11 15 20 7 4
28
x
4 9 10 25 48 12
54
x
10 11 15 8 13 17
55
x
345. TRABAJEMOS EN CASA
1. Calcular el término desconocido en cada proposición:
15
2 30
x
7
4 16
x
8 40
35
x
4
36 12
x
27
5 45
x
10
3 15
x
4 12
11
x
5 0,25
100
x
2. Completa las siguientes tablas de proporcionalidad y escribe la razón de cada una de ellas.
4 5 6 7 8
x
28
8 13 3 5 9
x
21
7 10 13 16 19
x
14
3 5 7 9 11
x
15
346. 5. REGLA DE TRES SIMPLE
Son problemas que se resuelven aplicando proporciones. En ellos se conocen tres términos y se
desconoce uno.
Nosotros estudiaremos la Regla de Tres Simple Directa.;
Ejm. 1: Si 6 cuadernos cuestan 18 soles ¿Cuánto costarán 15 cuadernos?
Planteamos el problema:
6 cuadernos S/. 18
15 cuadernos x
8
28
=
18
x
x3
x3
x
x
= 15 (3)
= 45
Rpta.:
Costarán S/. 45
Ejm. 2: En un cine se observó que por cada 8 hombres habían 10 mujeres. Si asistieron 28
hombres, ¿cuántas mujeres habían en el cine?
8 h 10m
28 h
x
8
28
=
10
x
x = 28 (10)
8
14
7
4
5
x = 35 Rpta. : Habían
35 mujeres
2
1
PRACTIQUEMOS
Resuelve:
1. Luis gana S/. 85 por 5 días de trabajo. ¿Cuánto le pagarán por 14 días de trabajo?
347. 2. Un salón de clases consume 16 litros de leche en 4 días. ¿En cuántos días han consumido
8 litros?
3. Con 30 litros de agua fabrican 8,7 kg de mezclas para un tarrajeo de casa. ¿Cuántos kilos
de mezcla se haría con 1000 litros de agua?
4. Si Lorena nada 10 m en 6 segundos. ¿Cuántos segundos le tomará nadar 80 m conservan-
do la misma velocidad?
5. Un balón de gas de 1000 lb cuesta S/. 80,00. ¿Cuánto costará uno de 25 lb aproximada-
mente?
6. S/. 10 cuadernos iguales pesan 4 kg en total. ¿Cuánto pesarán 25 similares?
348. TRABAJEMOS EN CASA
DA SOLUCIÓN A ESTOS PROBLEMAS APLICANDO REGLA DE TRES SIMPLE.
1. Si para hacer 8 delantales necesito 12m, de tela. ¿Cuánto necesitaré para hacer 10?
2. Si en 30 segundos rompieron 11 olas. ¿Cuántas olas se romperán en 1 minuto?
3. Si 3 tortas alcanzaron para 40 niños. ¿Cuántas tortas se necesitarán para 160 niños?
4. Si 12 chocolates cuestan S/. 1,80. ¿Cuánto costarán 100 chocolates iguales?
5. En un supermercado se tiene que por 5 chapitas de cierta gaseosa, regalan 2 vasos. Si
quiero obtener 12 vasos. ¿Cuántas chapitas debo tener?
6. 21 lapiceros cuestan 35 soles. ¿Cuántos lapiceros compraré con 20 soles?
6. PORCENTAJE
Porcentaje o Tanto por Ciento es una o varias partes iguales de las cien en que se ha
dividido el número.
45
45% =
100
Ejm: Halla el 25% de 80.
Estudiaremos 2 soluciones:
Sol. I
25
100
* 25% de 80
5
5
x 4 = 2080 = 5 x
1
4
Sol. II
* 25% de 80
25 . 80
100
100% – 80
25% – x
100
25
x = 20x =
5
5
4
1
=
80
x
¡TÚ DECIDES CON CUÁL TRABAJAS!
349. PRACTIQUEMOS
Halla:
1 . 35% de 180
3. 90% de 1315
5. 30% de 180
2. 42% de 1250
4. 15% de 120
6. 50% de 350
TAREA P
L
A AR A CASA
Halla:
A) 35% de 100
C) 25% de 180
E) 76% de 200
G) 325% de 1000
B) 48% de 500
D) 12% de 1200
F) 9% de 600
H) 20% de 720
350. 2. Une en forma correcta:
12
100
38
100
49%
41%
5
100
5%
41
100
12%
49
100
38%
351. ÁLGEBRA
INECUACIONES
F Inecuaciones I de la forma:
x a > b
x a < b
ax > b
ax < b
ax b < c
ax b > c
F Inecuaciones II de la forma:
x
a > b
x
a b > c
x a > c
b
x
a < b
x
a b < c
x a < c
b
352. INECUACIONES
Una inecuación es una desigualdad que tiene por objetivo hallar un conjunto solución. El proce-
dimiento para resolver una inecuación es el mismo que el de una ecuación.
Si el conjunto solución (C.S.) son varios números o infino, debe abreviarse mediante puntos
suspensivos, después de escribir los 3 ó 4 primeros números.
Resolver una inecuación es hallar su conjunto solución.
x x+ 5 > 6 Se lee: “ + 5 mayor a 6”
x x
x x
x x
– 4 < 8 Se lee: “ – 4 menor a 8”
– 7 12 Se lee: “ – 7 menor o igual a 12”
+ 6 10 Se lee: “ + 6 mayor o igual a 10”
>
>
Para resolver inecuaciones utilizaremos el método de transposición de términos:
+ –
– +
ÁLGEBRA
353. Determinamos el conjunto solución a:
5 . . {6,7,8,9....}
5 . . {5,4,3,2,1,0}
5 . . {4,3,2,1,0}
5 . . {5,6,7,8.... }
x C S
x C S
x C S
x C S
INECUACIONES I
A) INECUACIONES DE LAS FORMAS:
x + a > b x – a < b x + a < b x + a > b
Resuelve las siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
1. x + 24 < 32
x < 32 – 24
x < 8
C.S. = {7, 6, 5,...,0}
3. x – 5 < 12
x < 12 + 5
x < 17
C.S. = {16, 15, 14,...,0}
2. x + 15 > 25
x > 25 – 15
x > 10
C.S. = {11, 12, 13,... }
4. x – 6 > 18
x > 18 + 6
x > 24
C.S. = {25, 26, 27,... }
Resolvemos otros casos:
* x – 7 15
x 15 + 7
x 22
C.S. = {22, 21, 20,...,0}
* x + 6 26
x 26 – 6
x 20
C.S. = {20, 21, 22,...}
Las inecuaciones están dadas en el
conjunto de los números naturales
354. B) INECUACIONES DE LAS FORMAS: ax > b ax< b
Resuelve las siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
1. 9x > 54
x > 54
9
x > 6
C.S. = {7, 6, 8,... }
Resolver otros casos:
* 3 15
15
5
3
x
x x
C.S. = {5, 6, 7,...}
2. 7x < 35
x > 35
7
x < 5
C.S. = {4, 3, 2, 1, 0}
* 6 18
18
3
6
x
x x
C.S. = {3, 2, 1, 0}
C) INECUACIONES DE LAS FORMAS:
ax + b > c ax – b > c ax + b < c ax – b < c
Resuelve las siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
1. 4 + 28 < 68x
4 < 68 – 28
4 < 40
< 10
x
x
x <
x
40
4
C.S. = {9, 8, 7, ... ,0}
2. 6 – 35 < 13
6
x
x
x
x <
x
< 13 + 35
6 < 48
< 8
48
6
C.S. = {7, 6, 5, ..., 0}
355. 3. 9 + 16 97
9
x
x
x
x <
x
< 97 – 16
9 < 81
< 9
81
9
C.S. = {8, 7, 6,...,0}
4. 5 – 14 > 16
5
x
x
x
x >
x
> 16 + 14
5 > 30
> 6
30
5
C.S. = {7, 8, 9,... }
Resolvemos otros casos:
* 7 + 20 55
7
x
x
x
x
x
55 – 20
7 35
5
35
7
C.S. = {5, 4, 3,...,0}
* 8 – 12 12
8
x
x
x
x
x
12 + 12
8 24
3
24
8
C.S. = {3, 4, 5, 6,...}
¡AHORA TE TOCA A TI!
356. PRACTIQUEMOS
I. Halla el conjunto solución
1. x > 21
4. n 16
2. x < 18
5. y 14
3. x > 96
6. x 78
II. Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
7. x + 36 > 49
10. 2x + 1 < 41
13. 9a – 5 > 40
16. 9x > 144
8. n – 27 > 64
11. 5x + 7 > 82
14. x – 17 < 15
17. 8x < 72
9. x + 31 < 86
12. 3x – 12 > 48
15. x – 86 < 21
18. 10a 50
357. TRABAJEMOS EN CASA
Ayuda a cada animalito a resolver las siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
x + 73 > 99
C.S. = {
a – 15 23
4x – 20 < 40
8x 96
C.S. = {
C.S. = {
C.S. = {
5 + 23 > 58x
C.S. = {
7 > 63x
6 – 18 72x
9 + 30 > 66x
C.S. = {
C.S. = {
C.S. = {
?
358. INECUACIONES II
A) INECUACIONES DE LAS FORMAS:
x
a > b x
a < b
>
Resuelve la siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
1. x
5
> 6
x
x
> 6 (5)
> 30
C.S. = {31, 32, 33, ... }
2. x
7
< 15
x
x
< 15 (7)
< 105
C.S. = {104, 103, 102, ...,0}
Resolvemos otros casos:
* 7
4
7(4)
28
x
x
x
C.S. = {28; 27; 26, ..., 0}
* 2
12
2(12)
24
x
x
x
C.S.= {24; 25; 26, ...}
B) INECUACIONES DE LAS FORMAS:
x
a + b > c x
a
x
a+ b < c – b > c
x
a – b < c
359. Resuelve las siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
1.
8 16
4
16 – 8
4
8
4
x
x
x
x > 8(4)
x > 32
C.S. = {33; 34; 35; ... }
3.
– 7 1
6
1 7
6
8
6
x
x
x
x > 8(6)
x > 48
C.S. = {49; 50; 51; ....}
2.
– 2 15
10
15 2
10
17
10
x
x
x
x < 17(10)
x < 170
C.S. = {169; 168; 167;... 0}
4.
3 5
8
5 – 3
8
2
8
x
x
x
x < 2(8)
x < 16
C.S. = {15; 14; 13; ... 0}
360. Resolvemos otros casos:
*
5 10
3
10 – 5
3
5
3
x
x
x
x 5(3)
x 15
C.S. = {15; 16; 17; ... }
*
– 2 8
4
8 2
8
10
4
x
x
x
x 10(4)
x 40
C.S. = {40; 39; 38; ...;0}
C) INECUACIONES DE LAS FORMAS:
x+a
b
< c x– a
b
x+a
b
x– a
b
> c > c < c
Resuelve las siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
1.
6
9
3
x
x + 6 < 9(3)
x + 6 < 27
x < 27 – 6
x < 21
C.S. = {20; 19; 18; ... ;0}
2.
– 5
5
4
x
x – 5 > 5(4)
x – 5 > 20
x > 20 + 5
x > 25
C.S. = {26; 27; 28; ... }
361. 3.
7
2
5
x
x + 7 > 2(5)
x + 7 > 10
x > 10 – 7
x > 3
C.S. = {4; 5; 6; ... }
Resolvemos otros casos:
*
10
8
2
x
x + 10 8(2)
x + 10 16
x 16 – 10
x 6
C.S. = {6; 7; 8; .... }
4.
– 6
2
4
x
x – 6 < 2(4)
x – 6 < 8
x < 8 + 6
x < 14
C.S. = {13; 12; 11; ... ; 0}
*
– 7
8
4
x
x – 7 8(4)
x – 7 32
x 32 + 7
x 39
C.S. = {39; 38; 37; ... ; 0}
PRACTIQUEMOS
Resuelve las siguientes inecuaciones y halla el conjunto solución:
A)
7
4
3
x
B)
10 2
6
x
363. TRABAJEMOS EN CASA
Resuelve en tu cuaderno las siguientes inecuaciones y halla el conjunto:
1.
10
6
x
2.
15
2
x
3.
4 9
6
x
4.
2 5
10
x
5.
12
10
2
x
6.
7
6
5
x
7.
7
8
x
8.
6
5
3
x
9.
5 8
7
x
10.
4 3
8
x
11.
2
5
9
x
12.
12
2
10
x
¡Ya ves que es muy fácil!
¡Espero que te hayas
divertido!
365. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
GEOMETRÍA
Amiguito a través del mapa conceptual
podrás descubrir qué es un sólido
geométrico.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Es un cuerpo limitado
por superficies planas.
Cuerpos
redondos
Superficie
curva
Poliedros Superficie
plana
Tiene
Esfera
Tienen
Cono
Cilindro
como
Tienen
Elementos Pirámides Prisma
Vértice
Aristas
Caras
Son
Base
Caras
Vértice
Arista
S
o
n
366. 1. La familia de Diego planea visitar un orfanato y llevar regalos a los niños. Los regalos
quedaron envueltos de esta manera. Une con una línea cada figura con su concepto
respectivo.
¡Amiguito:
Ahora te toca a ti!!
Pirámide: sólido de base poligonal,
de caras laterales triangulares que
tienen un vérticecomún.
Prisma: sólido de 2 bases paralelas
poligonales y cuyas caras laterales
sonparalelogramos.
Esfera: superficie curva cerrada
cuyos puntos equidistan de un punto
interior llamado centro.
Cilindro: sólido de superficie curva
y de bases circulares planas y
paralelas.
Cono: sólido quetiene unsolo vértice
y dos superficies una de ellas plana
circular yla otracurva.
Estas figuras son
representaciones de los
sólidos geométricos ya que
realmente por dentro no
son huecos
367. 2. Une cada objeto con el nombre del sólido geométrico al que se le asemeja y con la
representación del mismo.
3. Con las palabras del recuadro escribe los elementos para cada sólido. Se puede escribir
cada palabra más de una vez.
vértice - arista - cara lateral - base - radio - centro
Pirámide
Cilindro
Prisma
Cono
Esfera
368. 4. Pinta con color rojo las pirámides, con azul los prismas, con verde los cuerpos que ruedan,
luego une con una línea cada sólido con su nombre.
Cono
Cilindro
Esfera
Prisma
rectangular
Pirámide
triangular
Prisma
triangular
Prisma
hexagonal
Pirámide
hexagonal
Prisma
pentagonal
369. 5. Papa Noel necesita introducir los regalos a través de la chimenea en la posición mostrada.
Observa y haz lo que se te pide.
A) Marca con un los regalos que entrarán a través
de la chimenea.
B) Encierra con una línea anaranjada los regalos
que necesitan ser cambiados de posición para
ser introducidos en la chimenea.
37cm 10cm
34 cm
25 cm
30 cm
20 cm
370. 6. Completa el cuadro:
Coloca V (verdadero) o F (falso).
A) Un poliedro que tiene 2 bases es un prisma. ( )
B) Los cubos son prismas. ( )
C) Un poliedro de base hexagonal tiene 4 caras laterales. ( )
D) Un cono puede rodar. ( )
E) Las pirámides se nombran por la forma de su base. ( )
F) Un cono tiene la base circular. ( )
G) La esfera tiene un solo vértice. ( )
7. Con la ayuda del profesor construye un cubo de 10 cm de lado.
Sólidos
Polígono de las caras laterales
N° de caras
N° de vértices
N° de aristas
Nombre del sólido geométrico
Características
372. 2. Une con una línea cada objeto con la forma a la que se asemeja.
3. Relaciona con una línea los sólidos con los objetos que se asemejan a ellos.
¡Fácil! ¿Verdad?
{
373. Escribe el nombre del sólido cuyo desarrollo se muestra. Luego pinta con azul la base y
con rojo las superficies laterales.
A)
B)
C) D)
E)
4. Observa la figura y escribe el nombre de
los sólidos que la forman.
Espero que
te hayas divertido
