Your SlideShare is downloading. ×
Chuong01
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Chuong01

1,328
views

Published on


0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,328
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
33
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. PHƯƠNG PHÁP SỐ (NUMERICAL METHODS/ COMPUTATIONAL METHODS) Bài giảng môn Trần Quốc Việt
  • 2. Tài liệu tham khảo
    • Tạ Văn Đỉnh, Phương pháp số, Nhà xuất bản giáo dục, 2006
    • Nguyễn Chí Long, Phương pháp tính, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, 2002
    • Lê Trọng Vinh, Giải tích số, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2000
    • “ Numerical Recipes in C”, William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery.
  • 3. GIỚI THIỆU MÔN HỌC
    • Phương pháp tính (Computational methods) hay toán học tính toán (Computational mathematics) hay phương pháp số (Numerical methods) hay giải tích số (Numerical Analysis) là một bộ phận của toán học ứng dụng
    • Phương pháp tính nghiên cứu về các cách giải tìm nghiệm bằng số gần đúng (với sai số nào đó) của các phương trình, hệ phương trình, bài tóan nội suy (Tìm giá trị gần đúng của một giá trị dựa trên các giá trị đã biết), … xây dựng các giải thuật có thể thực hiện trên máy tính…
  • 4.
    • Số gần đúng :
    • Số a gọi là giá trị gần đúng của số đúng A nếu a không sai khác nhiều so với A. Kí hiệu: a  A
    • Trong thực hành, thường dùng số gần đúng a thay cho số đúng A
    • b) Sai số tuyệt đối :
    • Giả sử A là số đúng, a  A. Sai số tuyệt đối của số gần đúng a (kí hiệu  ) là:
      • Hay: A= a  
      • Ví dụ 1.1.1 : Giả sử độ dài đúng của đọan AB là 20,1824 (cm), giá trị gần đúng đo được là 20,1836 (cm), sai số tuyệt đối của phép đo là:
      •  = |20,1836 – 20,1824| = 0,0012 (cm)
    1.1 Một số khái niệm   Sai số tuyệt đối xác định độ lệnh của một giá trị gần đúng so với giá trị thực của nó (1.1)
  • 5. 1.1 Số gần đúng, sai số (tiếp theo)
    • Sai số tuyệt đối giới hạn:
      • Thường A không biết nên  không biết
      • Thường dùng “ sai số tuyệt đối giới hạn” thay cho sai tuyệt đối.
      • Sai số tuyệt đối giới hạn (kí hiệu  a ) của số gần đúng a là một giá trị không nhỏ hơn sai số tuyệt đối  của a (    a ).
      • Ta có: a-  a  A  a +  a
      •  a không đơn trị , và nên chọn  a nhỏ nhất có thể.
    • Ví dụ 1.1.2 : Lấy số   a = 3,1415.
    • Do: 3,14 < a <3,15  có thể chọn  a = 0,01.
    • Hơn nữa 3,141 < a < 3,142  có thể chọn  a = 0,001 (tốt hơn)
  • 6. 1.1 Số gần đúng, sai số (tiếp theo)
    • Sai số tương đối :
      • Sai số tương đối của số gần đúng a so với số đúng A (kí hiệu  ) được tính bởi :
    • Ví dụ 1.1.3 : Độ dài đúng của đọan AB là 20,1824 và giá trị gần đúng đo được là 20,1836. Vậy sai số tương đối của phép đo là:
     Sai số tương đối của số gần đúng a cho biết chất lượng của phép đo (hoặc tính toán) (1.2)
  • 7. 1.1 Số gần đúng, sai số (tiếp theo)
    • Sai số tương đối giới hạn
    • Trong thực hành, thường dùng sai số tương đối giới hạn  a thay cho  :
    • Ví dụ 1.1.5 : Lấy số a=3,14 là số gần đúng của  , sai số tuyệt đối giới hạn  a = 0,01. Sai số tương đối giới hạn có thể chọn
    (1.3)
  • 8. 1.1 Số gần đúng, sai số (tiếp theo)
      • Ví dụ 1.1.4: Đo độ dài của 2 đoạn thẳng AB và CD.
      • Ta có:
    Vậy, phép đo CD chính xác hơn  A B C D Độ dài đo được: l 1 =200cm,  l1 =0,1cm Độ dài đo được: l 2 =350cm,  l2 = 0,15 cm Phép đo nào chính xác hơn?
  • 9. 1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc chắn
    • Chữ số có nghĩa :
    • Một số có thể gồm nhiều chữ số. Ví dụ: số 132 có 3 chữ số, số 0,00547 có 6 chữ số,…
    • Các chữ số có nghĩa trong một số là các chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải.
      • Ví dụ 1.2.1 : Số 132 có 3 chữ số có nghĩa (1,2 và 3)
      • Số 0,005079 có 4 chữ số có nghĩa (5, 0, 7 và 9)
    • Chữ số chắc chắn (chữ số đáng tin) :
    • Mọi số thực a đều có thể biểu diễn dưới dạng:
    • a =  (  m 10 m +  m-1 10 m-1 +…+  m-2 10 m-2 +…+ 
    •  m-n+1 10 m-n+1 +  m-n 10 m-n +…
    • Trong đó 0  i  9 với i=m-1, m-2, … và 0<  m  9 , (Hay  i , i=m,m-1,…,m-n,..là các chữ số có nghĩa)
      • Ví dụ 1.2.2 : Số a = 0,005079 có thể biểu diễn dưới dạng:
      • a = 5  10 -3 + 0  10 -4 + 7  10 -5 + 9  10 -6.
  • 10. 1.2 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc chắn
    • Cho số gần đúng a với sai số tuyệt đối giới hạn  a ,
    • Chữ số có nghĩa  k trong a được gọi chữ số chắc chắn (hay chữ số đáng tin) nếu:
    • Ngược lại  k gọi là chữ số nghi ngờ.
    • Ví dụ 1.2.3 :
    • - Cho số gần đúng a = 0,0 31 45 với sai số  a = 0,0004 có 2 chữ số chắc chắn là 3 và 1 (phần gạch chân), các chữ số 4 và 5 là nghi ngờ.
    • - Cho số gần đúng a = 1,051 9 với sai số  a = 0,003 có 3 chữ số chắc chắn là 1, 0, và 5 (phần gạch chân), chữ số 9 là nghi ngờ.
    •  Chú ý :
      • Nếu chữ số  k là chắc chắn thì tất cả chữ số có nghĩa bên trái của  k cũng là chắc chắn
      • Nếu chữ số có nghĩa  k là nghi ngờ thì tất cả chữ số phía phải của  k cũng là nghi ngờ.
    (1.4)
  • 11.
    • Gọi A là số đúng, và a là số gần đúng của A với sai số  a .
    • Cách 1 : a   a . Thường dùng trong đo đạt hoặc tính toán.
    • Ví dụ 1.3.1: Số gần đúng a = 0,03145 với sai số  a =0,0004 được viết là: 0,03145  0,0004
    • Cách 2 : Theo quy ước: “mọi chữ số có nghĩa đều là chữ số chắc chắn”. Thường dùng trong các bảng như bảng logarithm, bảng các hàm số lượng giác,…
    • Theo cách viết thứ 2, chữ số cuối cùng (  n ) bên phải của số gần đúng cũng là chữ số chắc chắn, do đó:  a  (1/2).10 n . Thường chọn  a = (1/2).10 n
    • Ví dụ 1.3.2 :
    • Viết a =1,53 9 theo cách viết thứ 2, thì  a  (½).10 -3 =0,0005. Có thể chọn
    •  a =0,0005
    • Viết a=0,1076 theo cách viết thứ 2, thì  a  (½).10 -4 =0,00005. Có thể chọn
    •  a =0,00005
    1.3 Cách viết số gần đúng
  • 12. 1.4 Sự quy tròn số và sai số quy tròn
    • Trong tính toán ta thường quy tròn một số a thành một số gần đúng đơn giản hơn.
    • Quy tắc quy tròn : Giả sử ta cần làm tròn a đến vị trí thứ n (sẽ thay các chữ số bên phải chữ số thứ n bởi 0):
      • Quy tắc 1 :
        • Nếu chữ số thứ n+1 ≥ 5 thì tăng chữ số thứ n lên một đơn vị
        • Nếu chữ số thứ n+1 < 5 thì giữ nguyên chữ số thứ n
      • Ví dụ 1.4.1 : Làm tròn 2,1436 đến 3 và 2 chữ số lẻ ta được 2,144 và 2,14
      • Ví dụ 1.4.2 : Làm tròn 2,1456 đến 3 và 2 chữ số lẻ ta được 2,146 và 2,14
      • Quy tắc 2 :
        • Nếu chữ số thứ n+1> 5 thì tăng chữ số thứ n lên một đơn vị
        • Nếu chữ số thứ n+1 < 5 thì giữ nguyên chữ số thứ n
        • Nếu chữ số thứ n+1 =5 thì giữ nguyên chữ số thứ n nếu nó chẵn hoặc tăng thêm 1 nếu nó lẻ
  • 13. Sự quy tròn số và sai số quy tròn (tt)
    • Sai số quy tròn:
      • Giả sử a là số gần đúng của A, sai số tuyệt đối Δ a .
      • Làm tròn a thành a’, sai số tuyệt đối quy tròn θ a’ :
    Có thể chọn sai số tuyệt đối giới hạn kết quả sau cùng  a’ là: Ví dụ 1.4.3 : giả sử a = 0,5364 ± 0,00003. Làm tròn a đến hàng phần trăm (2 số lẻ thập phân), ta được a’ = 0,54. Có thể chọn sai số tuyệt giới hạn của kết quả là: (1.5)
  • 14. 1.5 Các quy tắc tính sai số
    • 1.5.1) Trường hợp tổng quát:
    • Cho u = f(x 1 , x 2 , .., x n ) với:x 1 , x 2 ,…, x n là các giá trị gần đúng của X 1 , X 2 ,…,X n với sai số tuyệt đối giới hạn Δ x1 , Δ x2 ,…, Δ xn .
    • Xác định Δ u và δ u ?
    • Ta có :
    Chọn và (1.6) (1.7)
  • 15. 1.5 Các quy tắc tính sai số
    • Ví dụ 1.5.1 : Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu V=(1/6)  d 3 . Biết đường kính d = 3,70cm  0,05 cm và  3,14 với sai số chọn 0,0016?
    • Ta có:
    (cm 3 )
  • 16. 1.5 Các quy tắc tính sai số
    • Ví dụ 1.5.2 : Công suất của một máy phát điện cho bởi công thức: P = I 2 R
    • Tính P và các sai số  P ,  p . Biết rằng:
    • I = 5,6 A  I = 0,084 A
    • R = 25   R = 0,5 
    • Giải ?
  • 17.
    • 1.5.2) Một số trường hợp đặc biệt:
    • a) Sai số của tổng đại số:
    • Giả sử ta có x i là giá trị gần đúng của X i (i=1..n) với sai số tuyệt đối giới hạn Δ xi ( Δ xi = |X i -x i |)
    • Xét tổng đại số: u = x 1 + x 2 + . . . + x n .
    • Xác định sai số tuyệt đối giới hạn  u và sai số tương đối giới hạn  u của tổng u?
    • Ta có:
    • Theo công thức (1.6) và (1.7) ta có:
    1.5 Các quy tắc tính sai số (1.8) (1.9)
  • 18.
    • Ví dụ 1.5.3 : Cho a 1 = 2,73 ± 0,005; a 2 = 3,14 ± 0,0016
    • Tính u=a 1 +a 2 và sai số?
    • Ta có: u=2,73+ 3,14 = 5,87
    • Sai số:  u = 0,005+ 0,0016 = 0,0066
    •  u =  u /|u| = 0,0066/5,87  0,112%
    • Ví dụ 1.5.4 : Cho 2 số gần đúng theo cách viết thứ 2: x 1 = 47,132 và
    • x 2 = 47,111. Tính u=x 1 – x 2 , và xác định Δ u và δ u .
    • Ta có: u = x 1 - x 2 = 47,132 - 47,111 = 0,021.
    • Δ u = Δ x1 + Δ x2 =0,0005+0,0005=0,001
    •  Nhận xét : Khi x 1 gần với x 2 , sai số tương đối có thể lớn  Tránh tính hiệu của 2 số gần đúng xấp xỉ nhau.
    1.5 Các quy tắc tính sai số
  • 19. 1.5 Các quy tắc tính sai số
    • Ví dụ 1.5.4: Cho 2 số gần đúng:
      • a = 14.539  0,004 và b = 14.536  0,003
      • Tính u = a – b,  u và  u ?
    • Ta có:
    • u = a – b = 14,539 – 14,536 = 0,003
    •  u =  a +  b = 0,004+0,003 = 0,007
     Nhận xét: Sai số tương đối giới hạn lớn hơn 100%
  • 20. 1.5 Các quy tắc tính sai số
    • b) Sai số của tích
    • Cho các số gần đúng x 1 , x 2 với các sai số tuyệt đối giới hạn : Δ x1 , Δ x2 và sai số tương đối giới hạn δ x1 , δ x2. Tính u = x 1 .x 2 và sai số  u ,  u ?
    • Ta có:
    • Theo công thức (1.6) ta có:
    • Giả sử x 1 <>0 và x 2 <> 0. Chia 2 vế cho |u|, ta được:
    • Vậy: và
  • 21. 1.5 Các quy tắc tính sai số
    • c) Sai số của thương
    • Cho các số gần đúng x 1 , x 2 (x 2  0) với các sai số tuyệt đối giới hạn Δ x1 , Δ x2 và sai số tương đối giới hạn δ x1 , δ x2. Tính u = x 1/ x 2 và sai số  u ,  u ?
    • Vậy: và
    Theo các công thức 1.6 và 1.7, ta có:
  • 22. 1.5 Các quy tắc tính sai số
    • Ví dụ 1.5.5 : Tính diện tích của hình chữ nhật và đánh giá các sai số nếu các cạnh đo được là a= 12,5 (cm)  0,04 (cm) và b = 6,4 (cm)  0,02 (cm).
    • Diện tích hình chữ nhật tính theo công thức:
    • Ta có:
    •  a = 0,04/12,5 = 0,0032 = 0,32%
    •  b = 0,02/6,4  0,0031 = 0,31%
    • Vậy:  u =  a +  b = 0,0032+ 0,0031 =0,0063 = 0,63%
    •  u = |u|.  u =|12,5  6,4|  0,0063 = 0,5 (cm 2 )
    • u = 12,5  6,4  0,5 = 80 (cm 2 )  0,5 (cm 2 )
  • 23. 1.6 Sai số phương pháp và sai số tính toán
    • Sai số phương pháp:
    • Sai số xảy ra ki thay thế bài toán đó bởi bài toán xấp xỉ, đơn giản hơn
    • Ví dụ 1.6.1 : Khai triển Mac Laurin của hàm e x :
    Sai số Sai số Là sai số phương pháp Có thể tính
  • 24. 1.6 Sai số phương pháp và sai số tính toán
    • Sai số tính toán:
    • Sai số xảy ra trong quá trình tính toán (làm tròn, tích luỹ)
    • Ví dụ:
    Ta có Sai số Sai số Sai số Sai số
  • 25. 1.7 Sự ổn định của quá trình tính toán
    • Xét một quá trình tính toán gồm vô số bước
    • Nếu sai số tính toán tích luỹ không tăng vô hạn thì ta nói quá trình tính là ổn định. Ngược lại, quá trình tình là không ổn định
  • 26.
    • Mô hình toán học của vấn đề thực tế không biểu diễn đúng như thực tế.
    • Do sự phức tạp của bài toán mà ta chọn cách giải gần đúng, dẫn đến có sai số.
    • Do thu thập số liệu từ thực nghiệm: Số liệu thu thập từ thực nghiệm thường phải có sai số.
    • Do làm tròn số: Trong quá trình tính toán, đôi khi ta làm tròn kết quả để có được số đơn giản hơn (sai số làm tròn)
    1.7 Một số nguyên nhân dẫn đến sai số
  • 27. Bài tập
    • 1. Xác định các chữ số chắc chắn trong các số gần đúng sau:
    • a) a 1 = 0,050146  0,0002 b) a 2 = 1,025  0,004
    • c) a 3 = 127,5 với  a = 0,03% c) a 4 = 5,3442;  a = 0,1  10 -2
    • 2. Cho số gần đúng a = 1,3641  với sai số  a = 0,45  10 -4
    • Làm tròn a đến 2 số lẻ thập phân. Cho biết kết quả làm tròn và xác định sai số tuyệt đối
    • 3. Đo trọng lượng của 1 dm 3 nước ở 0 o C nhận được:
    • p=999,847 g  0,001g
    • Xác định sai số tương đối giới hạn của phép đo.
    • 4. Hằng số khí của không khí đo được là R = 29,25. Xác định các giới hạn của R? cho biết sai số tương đối giới hạn của R là 1%
    • 5 . Khi đo chiều dài và chiều rộng của một mảnh vườn hình chữ nhật người ta nhận được: dài = 101,5m  0,07m;
    • rộng=15m  0,4m
  • 28. Bài tập
    • a) Tính chu vi của mảnh vườn và xác định các sai số
    • b) Tính diện tích của mảnh vườn và xác định các sai số
    • 6. Khi đo độ dài của 2 đoạn AB và CD nhận được kết quả:
    • AB = 500,5m  0,2m và CD = 809,4  3m
    • Hãy cho biết phép đo trên đoạn nào chính xác hơn.
    • 7. Tính giá trị của biểu thức S và xác định các sai số tương đối và tuyệt đối trong các trường hợp sau
    • a) S = x + y với x= 0,0506  0,0002; y = 1,0205  0,0004
    • b) S = x 2 yz 3 với x=5,34;  a = 0,1  10 -2
    • y = 2,51  0,02
    • và z = 1,24  0,01
  • 29. Bài tập
    • 8) Cho các số gần đúng:
    • x = 5,452  0,002; y= 10,205  0,001
    • Tính S = x 2 y+(x+y) 3 , xác định sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của S.