Exercícios diversos e soluçãoFunção Polinomial do Segundo Grau - Exercícios resolvidos01. (UNIFORM) O gráfico da função f,...
RESPOSTA: C08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4).O lucr...
Estes valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o eixox (eixo das abscis...
De outro modo, observe que resolvendo a equação -x 2 + 14x - 40 = 0 , encontramos:x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14...
a) x = 3 e a = 1b) x = -3 e a > 1c) x = 3 e a < 1d) x = -2 e a < 1e) x = 2 e a > 1RESPOSTA: D03. As funções y = ax e y = b...
d) 9e) 5 e -4RESPOSTA: D10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no vi...
Portanto, log x - 2 = 0,79×2,6 = 2,054, implicando em, log x = 2,054 + 2 = 4,054 @ 4.Como log x @ 4, concluimos que o PIB ...
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Exercicios resolvidos

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Exercicios resolvidos

  1. 1. Exercícios diversos e soluçãoFunção Polinomial do Segundo Grau - Exercícios resolvidos01. (UNIFORM) O gráfico da função f, de R em R, definida por f(x) = x2 + 3x - 10, intercepta o eixodas abscissas nos pontos A e B. A distância AB é igual a: a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9RESPOSTA: D02. (CEFET - BA) O gráfico da função y = ax2 + bx + c tem uma só intersecção com o eixo Ox e corta o eixoOy em (0, 1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:a) b2 = 4ab) -b2 = 4ac) b = 2ad) a2 = -4ae) a2 = 4bRESPOSTA: A03. (ULBRA) Assinale a equação que representa uma parábola voltada para baixo, tangente ao eixo dasabscissas: a) y = x2 b) y = x2 - 4x + 4 c) y = -x2 + 4x - 4 d) y = -x2 + 5x - 6 e) y = x - 3RESPOSTA: C04. A solução da inequação (x - 3) (-x2 + 3x + 10) < 0 é:a) -2 < x < 3 ou x > 5b) 3 < x < 5 ou x < -2c) -2 < x < 5d) x > 6e) x < 3RESPOSTA: A05. Os valores de x que satisfazem à inequação (x2 - 2x + 8) (x2 - 5x + 6) (x2 - 16) < 0 são:a) x < -2 ou x > 4b) x < -2 ou 4 < x < 5c) -4 < x < 2 ou x > 4d) -4 < x < 2 ou 3 < x < 4e) x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4RESPOSTA: D06. (VIÇOSA) Resolvendo a inequação (x2 + 3x - 7) (3x - 5) (x2 - 2x + 3) < 0, um aluno cancela o fator (x2- 2x + 3), transformando-a em (x2 + 3x - 7) (3x - 5) < 0. Pode-se concluir que tal cancelamento é: a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade; b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita; c) incorreta porque foi cancelado um trinômio do segundo grau; d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3;e) correto, pois (x2 - 2x + 3) > 0 , " x ∈ℝ.RESPOSTA: E07. (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um valor:a) mínimo, igual a -16, para x = 6;b) mínimo, igual a 16, para x = -12;c) máximo, igual a 56, para x = 6;d) máximo, igual a 72, para x = 12;e) máximo, igual a 240, para x = 20.
  2. 2. RESPOSTA: C08. (PUC - MG) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por L(x) = 100 (10 - x) (x - 4).O lucro máximo, por dia, é obtido com a venda de:a) 7 peçasb) 10 peçasc) 14 peçasd) 50 peçase) 100 peçasRESPOSTA: A09. (UE - FEIRA DE SANTANA) Considerando-se a função real f(x) = -2x2 + 4x + 12, o valor máximo destafunção é: a) 1 b) 3 c) 4 d) 12 e) 14RESPOSTA: E10. (ACAFE) Seja a função f(x) = -x2 - 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é:a) [0, 3]b) [-5, 4]c) ]-]4 ,∞d) ]1 ,3−[ )δe) ]3 ,5−[ )εRESPOSTA: B11) Quais os valores de x que anulam a função definida por f(x) = x 2 - 2 x - 3 .Solução: Temos que resolver a equação do segundo grau x 2 - 2 x - 3 = 0 . Esta equação pode serresolvida com a "fórmula de Bhaskara ou Baskara" : x = (-b ±ÖD ) / 2a , onde D = b 2 - 4ac.Calculando o discriminante D (delta), encontramos: D = (-2) 2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16.Como a raiz quadrada de 16 é 4, vem que: x = (2 + 4) / 2 = 3, ou, x = (2 - 4) / 2 = -1.Assim, os valores de x que anula m f ( x ), são x = -1 , ou , x = 3.
  3. 3. Estes valores são chamados de raízes ou zeros da função, pois, são os valores onde o gráfico toca o eixox (eixo das abscissas).12) Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória da bala descreve uma parábola de equação: y = -x 2+ 5x (onde x e y são medidos em hectômetros).a) Determine, em metros, a altura máxima atingida pela b) Calcule , em metros, o alcance dobala. disparo.Solução: a) Seja a função do segundo grau y = ax 2 + bx + c , onde a, b e c são números reais e a ¹ 0.O valor máximo (ou mínimo) desta função é y = - D / 4a , onde D = b 2 - 4ac.Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm =625 m.b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x 2 + 5x = 0.Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x =5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m.Então, a altura máxima da bala é: y = -[5 2 - 4(-1)(0)] / 4(-1) = -(25 - 0) / (-4) = 25 / 4 = 6,25 hm =625 m.b) O alcance do disparo é a diferença entre as raízes da equação -x² + 5x = 0.Vem que: -x 2 + 5x = x(-x + 5) = 0. Então, x = 0 , ou , -x + 5 = 0. Logo as raízes são: x = 0 , ou , x =5. Assim, o alcance do disparo é de 5 - 0 = 5 hm = 500 m.13) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40.Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?Solução: O valor de y de uma função do segundo grau (quadrática) y = ax 2 + bx + c é máximo (oumínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes, ou seja , quando x = -b / 2a.Então, L(x) tem valor máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7. Assim, devem ser vendidas 7 peçaspara que o lucro seja máximo.
  4. 4. De outro modo, observe que resolvendo a equação -x 2 + 14x - 40 = 0 , encontramos:x = (-14 + 6) / (-2) = 4 , ou , x = (-14 - 6) / (-2) = 10.Logo, para que o lucro seja máximo, devem ser vendidas (4 + 10) / 2 = 14 / 2 = 7 peças.OBS: Este problema também poderia ser resolvido com o uso do Cálculo diferencial . Calculando aderivada da função encontramos y = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y = 0 .Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.14) Os calçados são medidos por números: 35, 36 e 37 para a maiora das mulheres e 38, 40 e 41 paraa maioria dos homens. O número y do sapato depende do comprimento x (em cm) do pé, e a fórmulapara calcular y é: y = (5x + 28) / 4 . Com base nessa relação, responda:a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24,8 cm?b) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 20 cm?c) Quanto mede o comprimento de um pé que calça 42?Solução: a) Para o comprimento x = 24,8 cm, temos o número y = [5(24,8) + 28] / 4 = (124 + 28) / 4= 152 / 4 = 38.b) Para o comprimento x = 20 cm, temos o número y = [5(20) + 28] / 4 = (100 + 28) / 4 = 128 / 4 =32c) Para o número y = 42, temos que encontrar o comprimento x na equação do primeiro grau (5x + 28)/ 4 = 42. Daí vem que 5x + 28 = 168, o que implica em 5x = 168 - 28. Então, 5x = 140. Logo, ocomprimento x = 140 / 5 = 28 cm.Função Logarítmica e Exponencial - Exercícios resolvidos01. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é:a) 0b) 1c) 4d) 5e) 6RESPOSTA: E02. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante realpositiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:
  5. 5. a) x = 3 e a = 1b) x = -3 e a > 1c) x = 3 e a < 1d) x = -2 e a < 1e) x = 2 e a > 1RESPOSTA: D03. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em:a) nenhum ponto;b) 2 pontos;c) 4 pontos;d) 1 ponto;e) infinitos pontos.RESPOSTA: D04. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2:a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);e) não intercepta o eixo dos x.RESPOSTA: A05. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu milunidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. Onúmero de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90RESPOSTA: D06. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:a) o número ao qual se eleva a para se obter b.b) o número ao qual se eleva b para se obter a.c) a potência de base b e expoente a.d) a potência de base a e expoente b.e) a potência de base 10 e expoente a.RESPOSTA: B07. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:a) log (a . b) = log a . log bb) log (a + b) = log a + log bc) log m . a = m . log ad) log am = log m . ae) log am = m . log a(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)RESPOSTA: E08. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:a) 0,0209b) 0,09c) 0,209d) 1,09e) 1,209RESPOSTA: B09. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:a) 9 e -4b) 9 e 4c) -4
  6. 6. d) 9e) 5 e -4RESPOSTA: D10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor ologaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavraERRO. Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareçaERRO pela primeira vez é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6RESPOSTA: D1) Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juroscompostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor? (considere: log 1,02 = 0,0086 ; log 2 =0,3010).Solução: Na Matemática financeira o regime de juros compostos é o mais usado. Neste regime omontante M e o capital inicial C estão relacionados pela equação M = C(1 + i)n, onde n é o número demeses. Como queremos M = 2C, segue que 2C = C(1,02)n. Daí, vem que (1,02)n = 2.Logo, n é o logaritmo de 2 na base 1,02. Mudando da base 1,02 para a base 10 (decimal), temos que:n = log 2 / log (1,02) = 0,3010 / 0,0086 = 3010 / 86 = 35 meses.2) (Cesgranrio) O pH de uma solução é definido por pH = log(1/H+) onde H+ é a concentração dehidrogênio em íons-grama por litro de solução. O pH de uma solução tal que H+ = 1,0 × 10-8 é:(A) 7 (B) 10-8 (C) 1,0 (D) 8 (E) 0Solução: Sabemos que o logaritmo decimal de uma potência de base b real positiva e expoente a real éigual ao produto do expoente a pelo logaritmo decimal da base b da potência, ou seja,log ba = a log b.Sabemos também que 1 / 10-8 = 108Assim, pela definição de pH dada, temos que pH = log(1 / 10-8) = log(108) = 8 log10 = 8(1) = 8. Logo,(D) é a alternativa correta.3) (PEB II) O IDH - Índice de Desenvolvimento Humano - é um número entre 0 e 1, calculado pelamédia aritmética de três índices: de educação, de expectativa de vida ao nascer e do PIB em dólares.Com base nesses dados e na comparação entre os países, é possível analisar a qualidade de vida e odesenvolvimento humano no planeta. O cálculo do índice do PIB é feito através da seguinte fórmula:onde PIB per capita é o valor da renda per capita do país analisado, em dólar; 40000 dólares é o valormáximo de renda per capita no mundo.Um país que tenha o índice do PIB igual a 0,79, possui um PIB per capita aproximado de:(A) 100 dólares (B) 500 dólares (C) 1000 dólares (D) 5000 dólares (E) 10000 dólares.(dados log 2 @ 0,30; log 3 @ 0,48 ; log 5 @ 0,70).Solução: Como 102 = 100 , 103 = 1000, então, os logaritmos decimais log 100 = 2 e log 1000 = 3.Segue que log 40000 = log (8×5×1000) = log 23 + log 5 + log 1000 = 3 log 2 + log 5 + 3 .Assim, log 40000 = 3(0,3) + 0,7 + 3 = 0,9 + 3,7 = 4,6.Seja x o PIB per capita. Na fórmula dada, ficamos com:0,79 = (log x - log 100) / (log 40000 - log 100) = (log x - 2) / (4,6 - 2) = (log x - 2) / 2,6 .
  7. 7. Portanto, log x - 2 = 0,79×2,6 = 2,054, implicando em, log x = 2,054 + 2 = 4,054 @ 4.Como log x @ 4, concluimos que o PIB per capita x = 104 = 10000 dólares aproximadamente e a opçãocorreta é a alternativa (E).4) (UFRJ) Os números a, b e c são tais que seus logaritmos decimais log a, log b e log c, nessa ordem,estão em progressão aritmética. Sabendo que log b = 2, determine o produto abc.Solução: Como os logaritmos estão em PA, vem que log a = 2 - r ; log b = 2 ; log c = 2 + r, onde r é arazão da PA. Como log (abc) = log a + log b + log c, segue que: log (abc) = 2 - r + 2 + 2 + r = 6.Assim, pela definição de logaritmos, temos: log (abc) = 6, o que implica em abc = 106 = 1.000.000 .5) (UFRJ) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimaldo produto de seus termos vale 36. Ache a razão da PG.Solução: Seja a PG (a1 , a2 , a3 , ... , a8). Temos que: a1 = 10 , a2 = 10q , a3 = 10q2 , a4 = 10q3 , ... , a8 =10q7 , onde q é a razão da PG. O produto de seus termos é: a1×a2×a3× ... ×a8 = 10×10q×10q2× ...×10q7 = 108×q1+2+3+...+7.Como 1+2+3+...+7 = (1+7)×7/2 = 8×7/2 = 28, vem que: a1×a2×a3× ... ×a8 = 108q28. Assim, log(a1×a2×a3× ... ×a8) = log (108q28) = log 108 + log q28 . Observando que podemos ter q>0 ou q<0 , pelacondição de existência do logaritmo no conjunto dos números reais, segue que o log (108q28) = log108 +log |q|28 = 8 + 28 log |q| = 36.Portanto, log |q| = (36 - 8)/28 = 28/28 = 1. Logo, q = 1 ou q = -1.6) O ouvido humano pode perceber uma extensa faixa de intensidades de ondas sonoras (som), desdecerca 10 -12 w/m2 ( que se toma usualmente como o limiar de audição) até cerca de 1w/m2 (que provocaa sensação de dor na maioria das pessoas). Em virtude da enorme faixa de intensidades a que o ouvidoé sensível e também em virtude de a sensação psicologica da intensidade sonora não variar diretamentecom a intensidade mas, com melhor aproximação, com o logaritmo da intensidade (Lei de Weber-Fechner), usa-se uma escala logarítma para descrever o nível de intensidade de uma onda sonora. Onível de intensidade G medido em decibéis (db) se define por G = 10 log (I / 10 -12), onde I é aintensidade do som.a) Calcule nessa escala, o limiar de audição.b) Calcule nessa escala, o limiar de audição dolorosa.Solução: a) No limiar da audição a intensidade do som (em w/m2) é I = 10 -12 . Então, o nível (em db)é:G = 10 log (10 -12 / 10 ) = 10 log (1). Como log 1 = 0, pois, 1 = 100, segue que G = 0 decibéis. -12b) No limiar da dor a intensidade do som (em w/m2) é I = 1, Assim, G = 10 log ( 1 / 10 -12) = 10 log ( 1012 ).Como log(a)b = b log (a) e log 10 = 1, pois, 101 = 10, vem que G = 120 log (10) = 120 decibéis.7) (FESP) Em uma colônia, o número de formigas prolifera de acordo com a função f(p) = 500(2)0,75p,onde p é o período em dias. O valor de p no qual o número de formigas chegará a 256.000 é:(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12Solução: Temos que encontrar o valor de p na equação exponencial 500(2)0,75p = 256.000. Vamos usara seguinte propriedade: se 0 < a ¹ 1 e ax = ay , então x = y.Segue que, 20,75p = 256000 / 500 = 512. Fatorando 512 , temos que 20,75p = 512 = 29. Logo: 0,75p = 9.Assim, p = 9 / 0,75 = 900 / 75 = 12 dias (opção (D) ).

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