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# Secuencia Didáctica: Ecuaciones diofánticas-Congruencias.

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### Secuencia Didáctica: Ecuaciones diofánticas-Congruencias.

1. 1. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 1 Propuesta educativa II Enseñar con TIC Matemática 2 Secuencia Didáctica: Ecuaciones diofánticas y congruencias: sus relaciones Teresa Fernández Abril, 2014
2. 2. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 2 Índice: Propósitos y objetivos·····················································3 Propósitos de la secuencia:···········································3 Objetivos de la secuencia:············································4 Contenidos:································································ 4 Saberes previos necesarios:·············································· 4 En relación a la disciplina:··········································· 4 En relación a las TIC:················································ 5 Actividad 1:·································································5 Actividad 2:·································································7 Actividad 3:······························································· 11 Recursos:··································································15 Evaluación de la secuencia:·············································16 Fundamentación de la secuencia:······································18 Bibliografía:·······························································21
3. 3. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 3 Curso: 3° Año profesorado de matemática. Asignatura/Espacio curricular:MATEMÁTICAY SU ENSEÑANZA III Propósitos y objetivos La diferencia entre objetivos y propósitos, es fundamental tenerla en cuenta a la hora de redactar los mismos. Las diferencias consisten en: Propósitos de la secuencia:  Reconocer las ecuaciones diofánticas, para su posterior clasificación y resolución algebraica.  Resolver distintas congruencias módulo n, para llegar a aplicarla en diferentes ejemplos, y en especial en los sistemas de numeración.  Modelizar diferentes problemas utilizando las ecuaciones diofánticas.  Conocer los criterios de divisibilidad para poder justificar cada procedimiento utilizando congruencias
4. 4. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 4  Utilizar estrategias de resolución y formas de pensar propias de la matemática, promoviendo el pensamiento numérico, algebraico e inductivo.  Promover el trabajo colaborativo, en la realización de una puesta en común.  Incentivar el uso de diversos software matemáticos, mostrando su utilidad en la búsqueda de soluciones a distintas sitiuaciones problemáticas que involucran el uso de diversas ecuaciones. Objetivos de la secuencia: Que los alumnos:  Reconozcan las ecuaciones diofánticas  Resuelvan las ecuaciones diofánticas.  Manejen el concepto de congruencia aplicando las propiedades básicas de la misma  Calculen el inverso de un número en Zn  Deduzcan los criterios de divisibilidad a partir de resultados generales, utilizando la congruencia módulo n  Utilicen con comodidad la inclusión de las actividades y presentaciones en la plataforma educativa del aula virtual. Contenidos:  Ecuaciones Diofánticas  Congruencias  Sistemas de numeración y criterios de divisibilidad Saberes previos necesarios: En relación a la disciplina:  utilizar con precisión el algoritmo de la división entera  reconocer relaciones de equivalencia y sus implicaciones
5. 5. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 5  conocer y manejar el principio de inducción completa  Calcular el MCD de dos números utilizando el algoritmo de Euclides En relación a las TIC:  Saber buscar diversos contenidos en la web, para lograr una efectiva selección de los contenidos.  Manejar con soltura procesador de textos , pdf, presentaciones diversas, a fin de mostrar su trabajo en forma pertinente.  Utilización de diversos software específicos matemáticos ( por ejemplo Maple), para la resolución de las diversas actividades.  Utilización y manejo del aula virtual ( moodle) y de grupos googles, con el fin de lograr una correcta comunicación. Secuencia de actividades: Clases alternadas presencial en ISFDT 39 y en el Aula virtual: Matemática y su enseñanza III Ubicación: www.edusindistancia.com.ar Descripción: plataforma educativa construida en Moodle versión 2.5 Grupo Google: MATEMÁTICA Y SU ENSEÑANZA Actividad 1: Trabajo de investigación sobre ecuaciones diofánticas. Clasificación y utilización. Momento de Apertura: Esta actividad se ralizará en forma virtual, desde el aula de nuestro curso. Los alumnos ingresarán con su usuario y contraseña, y dentro del aula se dirigirán a la clase pertinente.
8. 8. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 8  el algoritmo de Euclides para la obtención del MCD  ecuaciones en congruencia. para su resolución. Los alumnos trabajarán en grupos de 3, y se repasará en este momento, brevemente, los temas mencionados. Momento de Desarrollo: Estrategia a utilizar: Durante la clase se desarrollarán los ejercicios propuestos. Empezarán con la obtención del MCD, de números pequeños, presentados de a pares. Luego de realizar las divisiones sucesivas, reescribirán cada una con el algoritmo de la división entera. Y mediante un camino de retroceso, escribirán el MCD como una combinación lineal de los números dados. Este contenido ya es conocido y aplicado por los alumnos. A continuación resolverán las ecuaciones simples, en módulo 10. Las mismas serán similares al ejercicio anterior en tanto a los coeficientes, pero esta vez planteados en forma de ecuación. Se les hará notar que trabajan en módulo 10, puesto que al ser nuestro sistema decimal , al trabajar en él, lo que se hace es trabajar en congruencia de módulo 10. Luego resolverán ecuaciones en otras bases de numeración (módulo n). Esto lo realizarán ayudándose con algún software matemático de su preferencia.Se recomendará el uso de Matlab, ya que es uno de los utilizados en otra oportunidad. Esta resolución será en base al tanteo , tratando de que ellos obtengan de forma cercana la resolución de cada una, hasta llegar a la correcta, ayudados con la utilización de las conjeturas obtenidas. Por esto es necesario el uso del software, ya que ayudará en la operatoria a realizar, prestando entonces atención plena a la resolución de las ecuaciones en sí mismas, sin que los cálculos los dispersen Ejemplo del archivo o fotocopia para los alumnos: 1-Calcular el mcd ( 66, 550) utilizando el algoritmo de Euclides y expresarlo como combinación lineal de ambos números. 2-Idem para:
9. 9. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 9 a) 3 y 6 b) 2 y 7 c) 525 y 100. d)30 y 12 3- Resuelvan a) 3x=6 (módulo 10) b) 2x= 7 (módulo 10) c) 525x=100 (10) d) 30x=12 (10) 4- Resuelvan a)2x  -12 ( módulo 7) b) 2x  -21 ( módulo8) 4.1 Las soluciones encontradas, son las únicas. ¿Esta afirmación es cierta? Refuten o justifiquen. 4.2 Completen con la respuesta correcta: a) El inverso multiplicativo de 2, en módulo 7 es….. b) El inverso multiplicativo de 2, en módulo 8 es…. Momento de Cierre: Luego de que cada gupo haya realizado los ejercicios dados, se hará una puesta en común, dando a conocer cada grupo sus resultados, tratando de llegar a una conclusión general respecto de las soluciones en congruencia, inversos multiplicativos y mcd. Si los alumnos no llegan a la conclusión, se copiará en el pizarrón los ejercicios más significativos, y se les formularán diversos tipos de preguntas, que permitan esclarecer lo que aún no han descubierto. Preguntas a realizar: En la siguiente ecuación a) 3x=6 (módulo 10) ¿Cuál es el mcd entre el coeficiente de x y el módulo?
10. 10. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 10 Y ese mcd, ¿se relaciona con el término independiente? O ¿ qué relaciones de divisibilidad se encuentran? ¿ Cuál es esa relación? ¿Encontraron solución para esa ecuación? Se procederá a formular y responder las mismas preguntas para cada una de las otras ecuaciones.: b) 2x= 7 (módulo 10) c) 525x=100 (10) d) 30x=12 (10) ¿ Sucede lo mismo? En alguna ecuación,¿resultó no existir solución que la satisfaciera? En la primera ecuación...al resolverla, y “despejar” el coeficiente 3, ¿ qué operación están realizando realmente? ¿Qué es lo que buscamos con respecto al coeficiente 3? Se continuará con este tipo de formulaciones hasta que los alumnos lleguen a las siguientes conclusiones:  Una ecuación en congruencia tiene solución si y solo sí el mcd del coeficiente de la incógnita y el módulo dividen al término independiente.  Una ecuación en congruencia diofántica tiene una solución particular, y otras más en congruencia.  Un número tendrá inverso multiplicado si el mcd entre él y el módulo n, es igual a 1. . Tiempo previsto de cada momento: Al tratarse de la clase presencial, se disponen de 2 horas reloj para la realización de la misma. La disposición horaria será: Apertura: 20 minutos Desarrollo: 50 bminutos Cierre: 50 minutos
11. 11. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 11 Posibles intervenciones : Dado el carácter práctico de la clase, las intervenciones y / o interrogantes de los alumnos, que pudieran darse, serían con respecto a la resolución y determinanción de generalidades de cada ejercicio. Por ejemplo, con respecto al algoritmo de Euclides y su relación, puede darse un diálogo como el siguiente: A: No logro terminar de desandar el camino para llegar a la combinación lineal..desaparecieron los números de los que busco el mcd D: Observá tu ejercicio, ¡realizaste alguna distributiva al reemplazar cada resto? A- Si...en el terer paso....distribuí para simplificar los cálculos... D: Por eso mismo “ desaparecieron los números”...en realidad los transformaste!! En este tipo de algoritmos, no conviene aplicar la propiedad distributiva, simplemente realizá los reemplazos y operá. Lo números , cuyo mcd buscás, deben ser parte de esa expresión, en forma totalmente clara!! A: Ya comprendí Profe, creí que debía utilizar las propiedades aritméticas, y eso fue lo que hice. Actividad 3: Ecuaciones diofánticas lineales. Su resolución Momento de Apertura: Clase presencial de 2 horas cátedras. Continuando con lo visto la clase anterior, y el estudio por parte de los alumnos durante la semana de la teoría provista sobre resolución de ecuaciones diofánticas, se procederá a entregarle a los alumnos, que estarán agrupados de a 3 ,una nueva fotocopia o archivo. Ejemplo del archivo o fotocopia para los alumnos: 1- Cuáles de las siguientes ecuaciones tienen solución: a) 3x+14y= 40
12. 12. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 12 b) 3x+14y=20 c) Comparen las ecuaciones a y b, ¿ en qué se diferencian? ¿Se pueden relacionar ? ¿ De qué manera? d) Con lo descubierto en los puntos anteriores, resuelvan: d1) 2x + 10 y=17 (10) d2) 5x+6y= 8 (10) d3) 221x=85 (340) d4) 3x= 5 ( 4) 2- ¿Es posible llenar exactamente un depósito de 25 litros con recipientes de 6 y 8 litros.? a. Resuelvan intuitivamente, ayudándose con el software preferido por uds. a. Planteen luego una ecuación en congruencia con los datos del problema, tomando como módulo a alguno de los coeficientes dados, b. Tomando como módulo, el coeficiente de x, o el de y, ¿ se llega a lo mismo? 3- ¡Un extra! Si todo número natural n puede escribirse de manera única en base 10 de la forma: n = ak . 10k + ak-1 . 10k-1 + ... + a1 . 10 + a0.b0 y 10  3 (módulo 7) ¿qué condición se debe cumplir para que n sea divisible por 7? Luego de la entrega, realizaremos un mapa conceptual en el pizarrón, resumiendo los conceptos más importantes de la teoría vista. Los alumnos procederán luego a realizar el mismo, pero en sus netbooks, con el programa Cmaps, o alguno similar que ellos hayan elegido. Tiempo estimado: 20 minutos Momento de Desarrollo: Una vez realizado el mapa conceptual, se procederá a la resolución de los distintos ejercicios.
13. 13. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 13 A pesar de tener en su poder la teoría pertinente, se les pedirá a los alumnos que resuelvan la primera ecuación utilizando el procedimiento de tanteo utilizado en la clase anterior, con algunos de los software matemáticos provistos. Tras obtener la solucion de esa manera, la resolverán aplicando la teoría provista, y comparando lo obtenido con los distintos pasos efectuados anteriormente, Estrategia utilizada: Se les pedirá a los alumnos que resuelvan la ecuación 3x+14y=20 y generalicen el resultado para Ax+By=C Se les hará ver, que como la ecuación original es algo complicada de resolver, se comenzará con una más sencilla , como ser 3x+14y=1 En este momento se hará la observación que 1 es el m.c.d.(3,14). ¿Qué relación existe entre el mcd y los números de los cuales es el mcd? ¿Cómo se puede escribir esa relación? ( dentidad de Bezout, expresar a 1 como combinación lineal de 3 y 14) : 1= 3. 5 + 14. (-1) En este momento, se le pide a los alumnos que retomen la ecuación original 3x+14 y =20 . Se inicia el siguiente cuestionario: ¿ Qué sugieren para resolverla? ¿ Qué propiedades del álgebra de ecuaciones se pueden utilizar? Las leyes de monotonía, ¿Qué enuncian? Los alumnos deben observar que al multiplicar por 20 la ecuación resuelta, se obtiene la respuesta solicitada: 20.(3x+14y) = 20 .1 20. 3 . 5 + 20 . 14 . (-1) = 20 3. 100 + 14 .(-20) = 20 Por lo tanto x= 100, y= -20 son solución de 3x+14 y = 20 Se continua con el cuestionario iniciado en el párrafo anterior, para contestar lo pedido en el archivo entregado al comienzo de la clase: ¿Es esta solución la única, o hay más soluciones? La respuesta es que hay más soluciones; de hecho hay infinitas soluciones más, lo que nos lleva a la generalización.
14. 14. Especialización docente de nivel superior en educación y TIC Propuesta Educativa II Profesora Licencia Teresa Fernández 14 Para lograr que los alumnos lleguen a esto, se les sugerirá que busquen por tanteo otras soluciones a la ecuación planteada. Esto, siempre con el software preferido, como ya se dijo, para evitar perder lo realmente importante de este proceso que es la generalización. Entre todos, debatírán la posibilidad de una fórmula general para encontrar las soluciones de las ecuaciones dadas, yendo de lo particular a lo general. Es decir llegarán a dar la solución particular de cada ecuación y luego deberán expresarla en su forma general , que es la solución particular más el coeficiente de cada variable por un parámetro. Esto se hará de la siguiente manera: Se le pedirá a los alumnos que consideren dos valores cualesquiera que pueden ser soluciones, por ejemplo : 3x+14y= 20 3a + 14 b= 20 Y que resten ambas ecuaciones, quedándoles: 3( x-a) + 14 ( y -b) = 0 Se les recordará el concepto de ecuación homogénea, y se los guiará para llegar a 3 u + 14 v = 0 En este momento seguirán trabajando en grupo, logrando obtener la solución de esa ecuación homogénea: 3u=-14v y m.c.d.(3,14)=1, por lo cual se puede decir v=3m y u=14n Por lo tanto m=-n Si llamamos t a este valor común, obtenemos que la solución de la ecuación homogénea es v=3t,u=-14t. Al hallar las soluciones u y v, al sumárselas a los valores encontrados previamente, obtendrán todas las soluciones: x=100-14t y=-20+3t Momento de Cierre: En este momento, se realiza la institucionalización de lo visto, enunciando el siguiente teorema :