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Conjuntos ordenados
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Conjuntos ordenados

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  • 1. Conjuntos OrdenadosElementos Distinguidos de un Conjunto OrdenadoIsomorfismo
  • 2. Conjuntos OrdenadosOrden Amplio: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con laspropiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva entonces es una relación de ordenamplio u orden.Se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado y se indica ( A; ).Sean a, b ∈ A, a b decimos “a precede a b” si a es anterior a b en el orden establecidoSean a, b ∈ A, si a b y b a, decimos que a y b no son comparables y se indica a II b.Orden Estricto: Sea el conjunto A y la relación R: A → A, si R cumple con laspropiedades asimétrica y transitiva entonces es una relación de orden estricto.Se dice que el conjunto A es un conjunto estrictamente ordenado y se indica ( A; ).Orden Parcial y Total: Sea R una relación de orden en A R es de orden parcial ⇔ existen pares de elementos incomparables El orden es total en caso contrario Si ( A; ) está totalmente ordenado el orden se dice total o lineal y es una cadena
  • 3. Ejemplo: Sea IN el conjunto de números naturales y la relación R: IN → IN / a R b ⇔ a I bPor definición: a I b ⇔ ∃ m ∈ IN / b = a.mReflexiva:∀ a ∈ IN : a = a . 1 ⇒ a I a ⇒ a R aAntisimétrica:∀a, b ∈ IN: a R b ∧ b R a ⇒ a I b ∧ b I a ⇒ ∃ m, n ∈ IN /b = a.n ∧ a = b.m ⇒ a.b = a.n.b.m ⇒ n.m = 1 ⇒ n = m = 1 ⇒ a = bTransitiva:∀a, b, c ∈ IN: a R b ∧ b R c ⇒ a I b ∧ b I c ⇒ ∃ n, m ∈ IN / b = a.n ∧ c = b.m ⇒⇒ c = a.n.m ⇒ c = a. p con p = n.m ∈ IN ⇒ a I c
  • 4. Diagrama de HasseEs posible representar un conjunto ordenado y finito mediante un diagrama llamadode Hasse.En el diagrama se suprimen los arcos redundantes (bucles o los que sonconsecuencias de la transitividad).Ejemplo: Sea A = { 2, 3, 6, 9, 12, 36 } ordenado por la relación de divisor, el diagramade Hasse correspondiente esObservaciónEn el diagrama de Hasse se puedeprescindir de los arcos y reemplazarlospor aristas si se lee de abajo hacia arriba.
  • 5. Orden Recíproco u Orden InversoSean ( A; ) un conjunto ordenado y R-1= { ( b, a ) / ( a, b ) ∈ R } es la relación inversa orecíproca, se la llama orden recíproco o inverso y se lo denota .Ejemplo: Si ( Z; ≤ ) es el conjunto ordenado, el orden recíproco es ( Z; ≥ ).Orden RestringidoSea ( A; ) un conjunto ordenado, sea Ø ≠ B ⊆ A, entonces la restricción del orden a B es:/ B = ( B x B ) ∩ , que indicamos ( B; ) o ( B; / B )Orden Usual ProductoSean ( A; ) y ( B; ) dos conjuntos ordenados, se define en A x B, producto cartesiano,la siguiente relación ( x, y ) R ( z, t ) ⇔ x z ∧ y t.Se lo denomina orden usual producto.
  • 6. Ejemplo:Sea A = { a, b } y la relación = { ( a, a ), ( a, b ), ( b, b ) }y B = { 0, 1, 2 } y la relación = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 2 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 2 ) }A x B = { ( a, 0 ), ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( b, 0 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ) }R = { ( ( a, 0 ), ( a, 0 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 2 ) );( ( a, 0 ), ( b, 0 ) ), ( ( a, 0 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 2 ) );( ( a, 1 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 2 ) );( ( a, 2 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 0 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 1 ) );( ( b, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 2 ) ) }
  • 7. Elementos Distinguidos de un Conjunto OrdenadoSea ( A; ) un conjunto ordenado Un elemento a ∈ A es maximal si: ∀ x ∈ A / a x ⇒ x = aningún elemento “lo sigue” excepto si mismo Un elemento a ∈ A es minimal si: ∀ x ∈ A / x a ⇒ x = aningún elemento “lo precede” excepto si mismoEjemplo: Sea A = { a, b, c, d } ordenado según el diagramaMaximales = { d, e }Minimales = { a }
  • 8. Observaciones Los maximales y/o minimales pueden no existir Los maximales y/o minimales pueden no ser únicos Si el maximal es único se lo llama máximo o último elemento ( 1A ) Si el minimal es único se lo llama mínimo o primer elemento ( 0A )Átomos: Sea ( A; ) un conjunto ordenado con primer elemento 0A, los átomosson los elementos que siguen inmediatamente al primer elementoEjemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama de HasseSon átomos { b, c }
  • 9. Cotas. Conjuntos.Sean ( A, ) un conjunto ordenado y B ≠ Ø, B ⊆ A k ∈ A es cota superior de B si ∀ x ∈ B , x k k ∈ A es cota inferior de B si ∀ x ∈ B , k x El conjunto de las cotas superiores se llama conjunto mayorante El conjunto de las cotas inferiores se llama conjunto minorante A la menor de las cotas superiores se la denomina supremo A la mayor de las cotas inferiores se la denomina ínfimo Si el supremo pertenece a B entonces es máximo Si el ínfimo pertenece a B entonces es mínimo
  • 10. Ejemplo: Sean A = { a, b, c, d, e, f, g, h } un conjunto ordenado según y B = { c, d, f }Minimales = { a, b } en AMaximales = { g, h } en AA no tiene primer elementoA no tiene último elementoCotas Superiores = { f, g, h } de Bf es supremo, como f ∈ B entonces f es máximoCotas Inferiores = { a }a es ínfimo, como a ∉ B entonces B no tiene mínimo
  • 11. Conjunto bien ordenadoSea ( A, ) un conjunto ordenado, está bien ordenado si y sólo si todo subconjuntode A tiene primer elemento, es decir que si ∀ B ≠ Ø , B ⊆ A, B tiene primer elemento.Observaciones se llama buen orden Si B ≠ Ø, B ⊆ A ⇒ B está bien ordenado Si ( A, ) está bien ordenado ⇒ A está totalmente ordenadoEjemplo:El conjunto de IN de números naturales con la relación ≤ es un conjunto bien ordenado.
  • 12. IsomorfismosDos conjuntos ( A, ) y ( B, ) ordenados son isomorfos si existe una función biyectivaque preserva el ordenA ≈ B si ∃ f: A → B biyectiva / a b ⇒ f (a) f (b)Ejemplo: SeanA = { 2, 3, 6, 9, 18 }ordenado por larelación de divisorB = { a, b, c, d, e }ordenado según eldiagramaSi f: A → B / f (2) = af (3) = bf (6) = cf (9) = df (18) = ef es una función biyectiva, que además preserva elorden, es decir es un isomorfismo