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Geometria Analitica.

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  • 1. Atzhiri Lizbeth Cárdenas Perez.María Josefina Muñoz Iñiguez.Gerardo Alberto Ruiz Vera. 3-G
  • 2. ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
  • 3. HISTORIA La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco2]
  • 4. Elementos de una elipse La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y el semieje menor (el segmento C-b de la figura). Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente
  • 5. Puntos de una elipse Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a). Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
  • 6. Ejes de una elipse El eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.
  • 7. Excentricidad de unaelipse La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno. La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.
  • 8. Excentricidad angular deuna elipse La excentricidad angular α es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:
  • 9. Constante de la elipse En una elipse, por definición, la suma de la longitud de ambos segmentos (azul + rojo) es una cantidad constante, la cual siempre es igual a la longitud del «eje mayor», 2a. En la elipse de la imagen, la constante es 10. Equivale a la longitud medida desde el foco F1 al punto P (ubicado en cualquier lugar de la elipse) sumada a la longitud desde el foco F2 a ese mismo punto P. (El segmento de color azul sumado al de color rojo). El segmento correspondiente, tanto trazo PF1 (color azul), como al PF2 (color rojo), se llaman «radio vector».
  • 10. Directrices de la elipse a elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distancia perpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:
  • 11. Directrices de la elipse
  • 12. Ecuaciones de la elipse La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es: donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical
  • 13. Forma cartesianacentrada fuera del origenSi el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:
  • 14. Forma cartesianacentrada fuera del origen
  • 15. La elipse como hipotrocoide La elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r el radio de la circunferencia generatriz. En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior de la circunferencia directriz.
  • 16. La elipse como hipotrocoide
  • 17. http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsehttp//wwwgoogle.com.mx

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