PREFACIO    Elementos de C´lculo Diferencial est´ dirigido fundamental-                     a                    amente a ...
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Estos cap´ıtulos, al igual que todas las secciones hist´ricas del li-                                                     ...
CONTENIDO                                                                                                                 ...
CAP´       ITULO 2: L´                 IMITES                                                                           27...
CAP´       ITULO 4: L´                 IMITES INFINITOS Y AL INFINITO                                                     ...
VOLUMEN II   CAP´                              ´      ITULO 6: LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS                       ´      ...
CAP´     ITULO 9: TEMAS ADICIONALES: UNA INTRO-     ´DUCCION                                  719.1 Series infinitas       ...
´                         INTRODUCCION    El C´lculo Diferencial e Integral constituye una de las grandes          aconqui...
uno de los lados. Tiene 160 metros de valla. ¿Cu´les son las                                                     a     dim...
Un poco de historiaLos grandes creadores del C´lculo diferencial fueron el ingl´s Isaac                                  a...
importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XVy XVI con el Renacimiento y la Reforma protestante. Los ...
Cauchy (1789–1857), Karl Weierstrass (1815–1897) se refieren aalgunos de los muchos matem´ticos que realizaron sus trabajos...
2                  Elementos de c´lculo, volumen 1                                 a                                     C...
3                   Elementos de c´lculo, volumen 1                                  ano era posible.    Para ello formul´...
4                  Elementos de c´lculo, volumen 1                                 a      “Aquiles, s´                 ımb...
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  1. 1. PREFACIO Elementos de C´lculo Diferencial est´ dirigido fundamental- a amente a los estudiantes de Secundaria, aunque tambi´n, por su eamplitud y profundidad acad´micas, a los universitarios que nece- esiten una s´lida introducci´n al C´lculo Diferencial e Integral: in- o o astrumento fundamental para todas las ciencias y la tecnolog´ mod- ıaernas. Este libro posee varias caracter´ ısticas que lo hacen especial-mente util en lma ense˜anza y aprendizaje de los conceptos y m´todos ´ n edel C´lculo: a • Contiene un repaso selectivo de la geometr´ el algebra, la ıa, ´ trigonometr´ y las funciones necesarias para el desarrollo ıa, de los temas del C´lculo. Este recuento se hace por medio a de recuadros intercalados debidamente a lo largo del texto y, tambi´n, cuando se requiere m´s amplitud, con peque˜as sec- e a n ciones introductorias especiales (por ejemplo: trigonom´tricas, e exponenciales y logar´ıtmicas). • La aproximaci´n es intuitiva y no formal; es decir: no se fa- o vorece las definiciones y demostraciones formales, que son de inter´s sobre todo para los matem´ticos. M´s bien se enfa- e a a tiza la comprensi´n de las ideas principales y se promueve o un sentido pr´ctico, operatorio y visual de las matem´ticas. a a Se suele iniciar los temas con ejemplos y situaciones de los que arrancan las ideas matem´ticas, para luego ascender a a los conceptos generales. Por eso mismo es que se da una gran relevancia a la representaci´n gr´fica, una gran utilizaci´n de o a o la geometr´ anal´ ıa ıtica, con el prop´sito de que el estudiante o pueda visualizar constantemente los conceptos y m´todos y, e por ello mismo, facilitar su comprensi´n y dominio. No ob- o stante, para quienes requieran o deseen un conocimiento de las definiciones y m´todos formales matem´ticos, hemos in- e a cluido un cap´ıtulo espec´ ıfico al final del Volumen II. • Se pone un especial cuidado en los aspectos de c´lculo num´rico a e y aproximativo, con el prop´sito de evidenciar esta dimensi´n o o de las matem´ticas. a • Para hacer ver la cercan´ entre el C´lculo y otras areas del ıa a ´ conocimiento, hemos incluido un cap´ ıtulo especial de apli- caciones de los l´ ımites y la derivada (Cap´ ıtulo 8) tanto en las ciencias f´ ısicas, qu´ ımicas, biol´gicas, econ´micas, sociales, o o en la tecnolog´ como en otras dimensiones de las mismas ıa,
  2. 2. matem´ticas. Las aplicaciones se incluyen cuando su inclusi´n a o tiene sentido te´rico y pedag´gico (no artificialmente), es de- o o cir: una vez que se posee el conocimiento de los conceptos y los m´todos matem´ticos que se van a aplicar. El nivel de las e a aplicaciones es introductorio, y solo se busca que el estudiante aprecie el tipo de usos que tiene el C´lculo. a • Para favorecer un sentido de realidad y “terrenalidad” del C´lculo y de las matem´ticas, hemos incluido notas y sec- a a ciones hist´ricas a lo largo de todos los cap´ o ıtulos. La historia de las matem´ticas permite comprender que sus resultados no a son verdades infalibles o absolutas, sino construcciones real- izadas por personas de carne y hueso y en sociedades partic- ulares. • El Cap´ ıtulo 9, “Temas adicionales: una introducci´n”, busca o crear una ventana por la que el y la estudiante puedan mirar hacia otras partes del mundo de las matem´ticas, y formarse a una visi´n con una perspectiva m´s amplia. Por eso la aprox- o a imaci´n que se le ha imprimido es apenas introductoria. o • Las secciones de ejercicios han sido divididas conforme a tipos distintos de pr´ctica y evaluaci´n: selecci´n unica, falso y a o o ´ verdadero, desarrollo. Esto favorece la comprensi´n de los o conceptos (y no solo la mera aplicaci´n de procedimientos y o “recetas”), pero, adem´s, prepara a los estudiantes para las a diferentes evaluaciones que tendr´n que realizar (como en las a pruebas del Bachillerato). Para beneficio de la autoevalu- aci´n ofrecemos las respuestas de todos los ejercicios impares o propuestos. El primer volumen contiene un tratamiento completo del temade los l´ ımites, pero lo hace d´ndole significado al concepto de l´ a ımitedentro del C´lculo Diferencial. Es decir, los m´todos infinitesimales a esolo tienen significado en su utilizaci´n tanto en las derivaci´n como o oen la integraci´n; en s´ mismos resultan abstractos y vac´ Por eso o ı ıos.es que en el Cap´ ıtulo 1 del Volumen I se introduce intuitivamentela derivada, lo que conduce a la necesidad de los l´ ımites y luego,en el ultimo cap´ ´ ıtulo de este volumen, se desarrolla la derivadaplenamente usando los l´ ımites. De esta manera el estudiante com-prender´ mejor la utilidad de los m´todos infinitesimales. a e El segundo volumen desarrolla plenamente el C´lculo en las fun- aciones trigonom´tricas, exponenciales y logar´ e ıtmicas (cap´ ıtulos 6 y7). Hasta aqu´ llega el tronco del libro. Los ultimos tres cap´ ı ´ ıtulosde este volumen son complementarios y buscan fortalecer los resul-tados estudiados o abrir una perspectiva m´s amplia del C´lculo. a a vi
  3. 3. Estos cap´ıtulos, al igual que todas las secciones hist´ricas del li- obro, se prestan muy bien para trabajarlos en grupo o en proyectosespeciales para algunos educandos. Hemos escrito este libro con la conciencia de que las necesidadesde los estudiantes o las instituciones educativas a lo largo del pa´ ısson diferentes. Por eso se puede seguir estrategias distintas en lautilizaci´n de este texto; proponemos tres opciones: o • Completa: Vol´menes I y II completos (excepto el Cap´ u ıtulo 10, que debe quedar solo para algunas personas interesadas especialmente). • B´sica: Volumen I, y Secciones 8.2 y 8.3 del Volumen II. a • Reducida: Cap´ ıtulos 1, 2 y 3, Secciones 4.1, 4.2, y 5.1, y 5.2., del Volumen I. Como complemento y apoyo adicionales, puede usarse nuestrolibro Elementos de C´lculo Diferencial: Historia y Ejercicios resuel- atos, publicado por la misma Editorial de la Universidad de CostaRica, que contiene una amplia historia de los principales temas delC´lculo Diferencial e Integral (dentro del contexto m´s amplio de a ala historia de la ciencia y el pensamiento) y, adem´s, la soluci´n a odetallada de una parte de los ejercicios propuestos en el texto queusted tiene en sus manos. Por ultimo, los autores deseamos expresar nuestro agradecimiento ´a la Editorial de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en lapublicaci´n de este libro de texto. Esperamos que Elementos de oC´lculo Diferencial pueda servir a los prop´sitos de fortalecer la a oformaci´n matem´tica nacional de cara a un nuevo milenio donde o alas matem´ticas, las ciencias, y la tecnolog´ jugar´n un papel de- a ıa acisivo para el progreso individual y colectivo. Angel Ruiz Hugo Barrantes Escuela de Matem´tica, a Universidad de Costa Rica, Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, 11 de Octubre de 1996. vii
  4. 4. CONTENIDO VOLUMEN I PREFACIO v ´ INTRODUCCION ix CAP´ ITULO 1: LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA 2 Se introduce de modo intuitivo el concepto de derivada como justifi- caci´n de la necesidad del concepto de l´ o ımite. Esto se hace mediante el uso del concepto de velocidad instant´nea y de la pendiente de la a recta tangente a una curva en un punto. En el aspecto hist´rico se o presenta una breve rese˜a sobre la vida y la obra de Galileo Galilei. n .... .... .................................... ..... ... 1.1 Razones de cambio 3 ..........(5,................... .. 122.5) s . .. 1.2 Ca´ libre y c´lculo de rectas tangentes ıda a 9 . .... .... . .. ......... .... secantes.. ................%.. . ... ..... .. .. . .. . .I... .. .. . ........ .. 1.3 La derivada como raz´n de cambio instant´neo o a 16 . .... ... . .c .. . .. . ... .. . .. .. ... .. . .. . .... tangente ... ... .. ... .. ............ ... .% .s . ... ...... 1.4 Galileo, la ciencia moderna y las matem´ticas a 22 ... ... .. . ... .... .. ... ... . ... ..... .. (4.5, 99.225) ................ ....... ....(4, 78.4) ...... . . . .s ... . 1.5 Ejercicios del Cap´tulo 1 ı 23 .. . . . . . L1 L2 L3
  5. 5. CAP´ ITULO 2: L´ IMITES 27 Se hace un tratamiento m´s extensivo de los l´ a ımites, d´ndole prioridad a al aspecto gr´fico. Se estudian las propiedades de los l´ a ımites y se calculan utilizando tanto esas propiedades como la transformaci´n de o expresiones algebraicas en otras equivalentes. En la parte hist´rica se o proporciona una breve rese˜a del desarrollo de la Geometr´ Anal´ n ıa ıtica y su importancia en el desarrollo del C´lculo. a y T 2.1 Funciones y representaci´n gr´fica o a 27 ............. ............. ............. 2.2 El proceso del l´ ımite 32 ef tiende c............. ............. 12 ............. ............. a 12 ............. ............. 2.3 C´lculo de l´ a ımites 39 ............. ............. T 2.4 Coordenadas y Geometr´ Anal´ a ıtica 51 3 Ex 2.5 Ejercicios del Cap´tulo 2 ı 54 b 3i x tiende a 3 CAP´ ITULO 3: L´ IMITES LATERALES Y CONTINUIDAD 61 En este cap´ıtulo se introduce el estudio de uno de los conceptos cen- trales del C´lculo: la continuidad de las funciones; para ello se in- a troduce en primera instancia el estudio de los l´ ımites laterales. Se proporciona, adem´s, alguna informaci´n sobre uno de los creadores a o del C´lculo: Issac Newton. a y T 3.1 Los l´ ımites laterales 61 3.2 Continuidad 65 3.3 Funciones discontinuas 70 p c 5 f tiende a 5 p s f tiende a 2 3.4 Newton, las matem´ticas y la revoluci´n cient´ a o ıfica 74 2 p p p p Ex p 3.5 Ejercicios del Cap´tulo 3 ı 77 123
  6. 6. CAP´ ITULO 4: L´ IMITES INFINITOS Y AL INFINITO 81 Se complementa el estudio de los l´ ımites introduciendo los conceptos de l´ ımites infinitos y l´ ımites al infinito y el concepto de recta as´ıntota (horizontal y vertical) ligado con estos tipos de l´ ımites. Adem´s, me- a diante el concepto de ´rea del rect´ngulo, se hace una brev´ a a ısima in- troducci´n a una de las grandes ramas del C´lculo: la integraci´n. o a o y T 4.1 L´ ımites infinitos y as´ ıntotas verticales 81 4.2 L´ ımites al infinito y as´ ıntotas horizontales 88 Ex 1 4.3 L´ ımites al infinito y c´lculo de areas a ´ 96 4.4 Ejercicios del Cap´tulo 4 ı 100 CAP´ ITULO 5: LA DERIVADA 105 En este cap´ ıtulo regresamos al concepto de derivada, defini´ndola a e trav´s de un l´ e ımite. Se estudian las reglas de derivaci´n y se utilizan o para calcular derivadas de diferentes funciones algebraicas. Utilizando el c´lculo de derivadas se determinan velocidades y rectas tangentes y a normales. Se proporcionan algunos datos hist´ricos sobre otro de los o creadores del C´lculo: Gottfried Leibniz. a y 5.1 La definici´n de derivada o 107 T (x, f (x)) s (c, f (c)) s f (x) − f (c) 5.2 Reglas de derivaci´n o 117 x−c E x 5.3 Derivaci´n implı’cita o 124 c x 5.4 Leibniz y el C´lculo a 127 f (x) − f (c) 5.5 Ejercicios del Cap´ulo 5 t 129f (c) = lim x→c x−c RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 135 ´ INDICE 139
  7. 7. VOLUMEN II CAP´ ´ ITULO 6: LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ´ Y EL CALCULO 16.1 Repaso sobre funciones trigonom´tricas e 4 sen x6.2 Un l´ ımite especial: lim 11 x→0 x6.3 Derivadas de las funciones trigonom´tricas e 176.4 Ejercicios del Cap´ulo 6 t 22 CAP´ ITULO 7: LAS FUNCIONES LOGAR´ ITMICAS, ´ EXPONENCIALES Y EL CALCU-LO 257.1 Repaso sobre las funciones logar´ ıtmicas 267.2 Repaso sobre las funciones exponenciales 297.3 L´ ımites especiales 307.4 Derivadas de las funciones logar´ ıtmicas y exponenciales 337.5 La importancia de las notaciones 447.6 Ejercicios del Cap´tulo 7 ı 46 CAP´ ITULO 8: ALGUNAS APLICACIONES 498.1 Algunas situaciones donde se aplican los l´ ımites 508.2 Funciones discontinuas aplicadas 528.3 Velocidad y aceleraci´n o 548.4 La construcci´n de las gr´ficas de las funciones o a 578.5 Calcular l´ ımites usando la derivada: La regla de L’H¨pital o 638.6 Euler y las matem´ticas aplicadas a 678.7 Ejercicios del Cap´tulo 8 ı 69 xi
  8. 8. CAP´ ITULO 9: TEMAS ADICIONALES: UNA INTRO- ´DUCCION 719.1 Series infinitas 729.2 La integraci´n y la antiderivaci´n o o 759.3 Ecuaciones diferenciales 839.4 Funciones de varias variables y derivadas parciales 889.5 Ejercicios del Cap´tulo 9 ı 92 CAP´ ´ ITULO 10: DEFINICIONES Y METODOS FOR-MALES 9710.1 El concepto de l´ ımite 9910.2 El concepto de continuidad 10410.3 El concepto de derivada 10610.4 Infinitesimales y an´lisis no–standard a 11210.5 Ejercicios del Cap´tulo 10 ı 113 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES 115 ´ INDICE 119 xii
  9. 9. ´ INTRODUCCION El C´lculo Diferencial e Integral constituye una de las grandes aconquistas intelectuales de la humanidad. Una vez que se con-struy´, la historia de las matem´ticas ya no sera igual: la ge- o aometr´ el ´lgebra y la aritm´tica, la trigonometr´ se colocar´ ıa, a e ıa, ıanen una nueva perspectiva te´rica. Los nuevos conceptos y m´todos o etendr´n tambi´n un impacto extraordinario en la descripci´n y ma- a e onipulaci´n de la realidad f´ o ısica. El objetivo de este libro es, precisa-mente, iniciar al lector en el estudio de los conceptos y m´todos del eC´lculo Diferencial, transmitir esa perspectiva radicalmente nove- adosa con relaci´n a las matem´ticas cl´sicas (que ocupa la mayor´ o a a ıade las matem´ticas preuniversitarias), y sugerir el significado de sus aaplicaciones en nuestra relaci´n con el mundo. o Lo primero que debe quedar claro es que el C´lculo no significa aun poco m´s de algebra (unas nuevas f´rmulas), o una consecuen- a ´ ocia especial de la geometr´ euclidiana o de la trigonometr´ usual; ıa ıael C´lculo cristaliza conceptos y m´todos cualitativamente difer- a eentes, que la humanidad estuvo tratando de dominar por m´s de a Arqu´medes de Sira- ı20 siglos. Una larga lista de personas lidiaron con los m´todos “in- e cusafinitesimales”, como Zen´n de Elea, Eudoxo de Cnido, Arqumedes o ´de Siracusa desde la Grecia Antigua. Pero se tuvo que esperar, sinembargo, hasta el siglo XVII para tener la madurez social, cient´ ıficay matem´tica que permitir´ construir el C´lculo que hoy aprende- a ıa a Conceptos y m´todos emos en los colegios y universidades. cualitativamente diferentes AplicacionesSus aplicaciones son dif´ ıciles de cuantificar porque toda la matem´tica amoderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las di-ferentes partes del edificio matem´tico interact´an constantemente a ucon las ciencias naturales y la tecnolog´ moderna. ıa Para dar una primera idea: mencionemos problemas sencillosque se resuelven f´cilmente con los m´todos del C´lculo: a e a Si una nave espacial pesa en la superficie del planeta Tierra 150 toneladas, ¿cu´nto trabajo (t´rmino f´ a e ısico W = Fuerza × Distancia recorrida) se requiere para elevarlo de la superficie de la Luna a una altura de 80 metros? Un finquero de Para´ de Cartago quiere construir un corral ıso en forma de rect´ngulo y dividirlo por una valla paralela a a ix
  10. 10. uno de los lados. Tiene 160 metros de valla. ¿Cu´les son las a dimensiones del corral de ´rea m´xima que puede construir? a a Una erupci´n volc´nica hace que la ceniza caiga de manera o a gradual al suelo. A una distancia l del volc´n, la altura de a −Kl la ceniza depositada es Be metros, con B y K constantes positivas. Determinar el volumen total de ceniza que cae den- tro de una distancia a del volc´n. a Se inyecta intramuscularmente una sustancia farmac´utica a e un paciente. Despu´s de t horas la concentraci´n del f´rmaco e o a en la sangre viene dada por t + 4t2 S= 60 + t3 ¿Cu´ndo ser´ m´xima la concentraci´n? a a a o Tacos Costa Rica sabe que la demanda por mes de sus tacos se describe por 40 000 − X y= 18 000 Cu´ndo el n´mero de tacos X es 18 000 ¿cu´l ser´ el aumento a u a ıa de ingresos por cada taco? La Mutual San Juan tiene 60 condominios para alquilar en Alajuela. Se sabe que cuando el alquiler es de 60 000 colones todos se ocupan. Pero cada vez que la Mutual aumenta en 8 000 colones el alquiler, queda vac´ un condominio. Para ıo cada uno de los condominios alquilados se gasta c 9 000 al || mes en mantenimiento. ¿Cu´l ser´ el alquiler que se debe a ıa cobrar para que la Mutual obtenga el m´ximo beneficio? a A h kil´metros de altura, la presi´n de nuestra atm´sfera es o o o Cohete despegando de 1 000(0, 88)h milibares. Un cohete sube a 10 kil´metros por segundo de manera verti- o cal. ¿Si la altura del cohete es 80 kil´metros con qu´ rapidez o e cambia la presi´n atmosf´ica? o r Los conceptos y m´todos del C´lculo son parte del lenguaje e aactual de la ingenier´ la biolog´ la f´ ıa, ıa, ısica, la farmacia, la electr´nica, Lenguaje de las cien- ola demograf´ la econom´ y, en general, de todas las areas del cias y la tecnolog´ ıa, ıa ´ ıaconocimiento te´rico y aplicado. Pero ¿cu´l fue el origen del C´lculo? modernas o a a x
  11. 11. Un poco de historiaLos grandes creadores del C´lculo diferencial fueron el ingl´s Isaac a eNewton (1642–1727) y el alem´n Gottfried Wilhelm Leibniz (1646– a1716). De manera diferente pero independientemente estos grandesintelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y gener-alizaron ideas y procedimientos que hab´ sido abordados (de ıandiferentes maneras) y con ´xito parcial desde la Antigedad. Antes ede Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de impor-tancia asociados al nombre de grandes personalidades, como porejemplo: Gilles de Roberval (1602–1675), Johannes Kepler (1571– ´1630), RenDescartes (1596–1650), Pierre de Fermat (1601–1665), Newton y Leibniz cul-Galileo Galilei (1564–1642), Christiaan Huygens (1629–1695, amigo minan una fase en lade Leibniz), John Wallis (1616–1703, amigo de Newton), Bonaven- historia del C´lculo atura Cavalieri (1598–1647, disc´ ıpulo de Galileo), Evangelista Tor-ricelli (1608–1647, disc´ ıpulo de Galileo), Isaac Barrow (1630–1677,maestro de Newton). Para tener la perspectiva cient´ ıfica e hist´rica apropiada, debe odecirse que una de las contribuciones previas decisivas para el tra-bajo de Newton y Leibniz fue la Geometr´ Anal´ ıa ıtica (la expresi´node puntos geom´tricos en coordenadas y el uso de m´todos alge- e ebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. La construcci´n del C´lculo fue parte importante de la Rev- o aoluci´n Cient´ o ıfica que vivi´ la Europa del siglo XVII. o Aparte de los nombres que hemos mencionado, los de WilliamHarvey (1578–1657), Francis Bacon (1561–1626), Pierre Gassendi(1592–1655), Robert Boyle (1627– 1691), Robert Hooke (1635–1703) est´ vinculados a grandes contribuciones en la anatom´ la n ıa,f´ ısica, la qu´ımica y los nuevos m´todos en el conocimiento. e Debemos se˜alar que el nombre de Newton no solo se asocia na la creaci´n del C´lculo, sino tambi´n a lo que fue la principal o a eexpresi´n de la Revoluci´n Cient´ o o ıfica del siglo XVII: la s´ ıntesisde la astronom´ y la mec´nica que realiz´ en su obra Principios ıa a omatem´icos de la Filosof´ Natural, publicada en 1687. Al mostrar t amatem´ticamente que el sistema del mundo se sosten´ por la Ley a ıade la Gravitaci´n Universal, sus textos se convirtieron en la “bib- olia” de la nueva ciencia. La f´ ısica newtoniana solo va a empezara ser “superada” por la f´ ısica relativista de Albert Einstein en loscomienzos del siglo XX. Los nuevos m´todos enfatizaban la experiencia emp´ e ırica y ladescripci´n matem´tica en nuestra relaci´n con la realidad. La Re- o a ovoluci´n Cient´ o ıfica supuso una ruptura con las formas de pensar,estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolu- El C´lculo en los fun- atamente en Europa entre los siglos V y XV d.C. Estas ruptura y damentos de la nuevasalto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las sociedad y la nueva cultura xi
  12. 12. importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XVy XVI con el Renacimiento y la Reforma protestante. Los cambiosintelectuales, culturales, pol´ ıticos y sociales, que se dieron en elRenacimiento y, al mismo tiempo, aquellos que se cristalizaron enla revoluci´n cient´ o ıfica y matem´tica, constituyeron los fundamen- atos de la sociedad occidental moderna. En esa medida el C´lculo aDiferencial e Integral est´ en el coraz´n del tipo de conocimiento, a ocultura y de sociedad del que, esencialmente, somos parte. Problemas de partidaCuatro tipos de problemas fueron los que de manera directa moti-varon la creaci´n del C´lculo: o a Uno de ellos fue la determinaci´n de la velocidad y la acel- o y punto m´ximo eraci´n de un cuerpo si se conoce la distancia en funci´n del o o T a tiempo. …r Otro fue el c´lculo de longitudes, areas y vol´menes determi- a ´ u f nados por curvas o superficies. E x El tercer problema era determinar cu´ndo una funci´n (que a o describe un fen´meno real) alcanzaba un valor m´ximo o o a y recta tangente m´ınimo. T z El cuarto problema estaba asociado a la geometr´ y era c´mo ıa, o calcular las rectas tangentes y normales a una curva en un rP y = f (x) punto. E x Newton y Leibniz demostraron que con m´todos infinitesimales e recta normalse resolv´ los cuatro tipos de problemas planteados. ıan El C´lculo infinitesimal fue ampliamente desarrollado durante ael siglo XVIII en sus m´todos propiamente matem´ticos como, e atambi´n, en sus aplicaciones a las diferentes ciencias de la nat- euraleza. Los nombres de Leonhard Euler, los hermanos Jacques(1654–1705) y Jean Bernoulli (1667–1748) , Alexis Claude Clairaut(1713–1765), el mismo Leibniz y muchos otros, est´n asociados a ese aper´ıodo. No podr´ ıamos olvidarnos de mencionar en el per´ ıodo defines de siglo XVIII y principios del XIX a los grandes matem´ticos afranceses Joseph L. Lagrange (1736–1813), Adrien M. Legendre(1752–1833) y Pierre Simon Laplace (1749–1827), Lazare Carnot(1753–1823), el Marqu´s de Condorcet (1743–1794) y Gaspard Monge e(1746–1818). El siglo XIX abrir´ una nueva etapa en la historia del C´lculo, ıa aenfatizando, si se quiere, la necesidad de dotarlo de un mayor rigorl´gico que el que hab´ exhibido antes. Los nombres de Niels o ıaH. Abel (1802–1829), Bernhard Bolzano (1781–1848), Augustin xii
  13. 13. Cauchy (1789–1857), Karl Weierstrass (1815–1897) se refieren aalgunos de los muchos matem´ticos que realizaron sus trabajos en aesta nueva fase. En Costa RicaPara ir dando fin a esta introducci´n, resulta interesante men- ocionar que el C´lculo diferencial e integral aparentemente se em- apez´ ense˜ar en Costa Rica en 1864. Le correspondi´ el honor ıa n ode su introducci´n al ingeniero mexicano Angel Miguel Vel´zquez, o aquien hab´ sido contratado para la apertura de las carreras de In- ıagenier´ Civil, Arquitectura y Agrimensura de la Universidad de ıaSanto Tom´s. a Las matem´ticas tienen un rostro humano a Es necesaria una per-Con la perspectiva hist´rica que hemos sugerido en los p´rrafos o a spectiva hist´rica oanteriores y que nos acompa˜ar´ siempre en este libro, buscamos n acompartir con el lector una visiø’n del C´lculo y de las matem´ticas a aen general. Una visi´n que entiende los resultados matem´ticos o acomo construcciones intelectuales realizadas por hombres de carne yhueso, part´ıcipes de comunidades cient´ ıficas con los vicios y virtudespresentes en todo colectivo humano. Los resultados de las matem´ticas deben verse como el producto adel trabajo de muchas personas en diferentes momentos y no comoconjuntos de verdades fuera del “mundanal ruido”, no “contami-nadas” o producidas exclusivamente por mentes privilegiadas. Las Las matem´ticas: acreaciones o descubrimientos matem´ticos tienen una historia, a a parte del “mundanalveces muy larga, antes de ser definitivamente formuladas. Muchas ruido”veces nos presentan las matem´ticas ya acabadas y libres del error, atratando de hacernos olvidar todos los andamios, todos los inten-tos, las pruebas fallidas, los errores, que antecedieron los resultadosfinales. Con la recurrencia a la historia de las matem´ticas bus- acaremos mostrar, en alguna medida, el rostro humano que siempreha tenido esta disciplina (al igual que las otras ciencias), que nosiempre ha sido mostrado en la mayor´ de textos de matem´ticas, ıa apero que es fundamental para comprenderlas y aprenderlas de lamejor manera. xiii
  14. 14. 2 Elementos de c´lculo, volumen 1 a CAP´ ITULO 1 LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA El verdadero viaje hacia el descubrimiento no consiste en buscar nuevos horizontes sino en tener nuevos ojos Marcel Proust Muchos de los aspectos de nuestra vida diaria como los de lasciencias y las t´cnicas tienen que ver con el cambio de las cosas, ey en especial con el cambio de una cosa con relaci´n a otras. La ovelocidad de un autom´vil, por ejemplo, representa un cambio de su oposici´n con respecto al tiempo (que tambi´n cambia). La raz´n de o e ocambio de la poblaci´n o de la demanda de un producto industrial oo de la inflaci´n con relaci´n al tiempo son otros ejemplos que nos o oreafirman que continuamente, a veces sin darnos cuenta, estamosusando razones de cambio. Las matem´ticas y en particular la rama de ellas que se llama aC´lculo ofrecen la posibilidad de establecer modelos que permiten aestudiar este tipo de fen´menos. En este Cap´tulo discutiremos o ıalgunos de estos problemas y veremos c´mo ellos motivaron la odefinici´n de ciertos conceptos matem´ticos, que han resultado ser o ade mucha importancia tanto en el desarrollo de la matem´tica amisma como en sus aplicaciones. Se puede decir que el concepto central en el estudio del C´lculo aes el concepto de variaci´n o cambio continuos. o “No existe el movimiento” En el siglo V a.C., en la Grecia Antigua vivi´ un famoso fil´sofo o o(disc´ ıpulo de otro fil´sofo: Parm´nides) llamado Zen´n de Elea. o e oUna de las cosas que se propuso fue demostrar que el movimiento
  15. 15. 3 Elementos de c´lculo, volumen 1 ano era posible. Para ello formul´ una “paradoja” que ha despertado el inter´s o e La paradoja de la Di-de los matem´ticos y cient´ a ıficos de todos los tiempos. Esta paradoja cotom´a de Zen´n ı ola podemos reformular de la siguiente manera: Un corredor debe alcanzar una tortuga que se encuentra paradaa 1 km de distancia. Zen´n dir´ Para alcanzar a la tortuga el corredor deber´ recor- o ıa: arer una primera distancia d1 = la mitad de la distancia = 500 m.Tambi´n deber´ recorrer la distancia: e a d2 = la mitad de la mitad = 250 m.Y sucesivamente una tercera distancia: d3 = la mitad de la mitad de la mitad = 125 m.Una cuarta: d4 = 62, 5 m.Una quinta: d5 = 31, 25 m.Una sexta: d6 = 15, 625 m.Podr´ ıamos resumir la situaci´n anterior en una tabla o Tabla 1.1 d1 d2 d3 d4 d5 d6 500 m 250 m 125 m 62, 5 m 31, 25 m 15, 625 my podr´ ıamos calcular Tabla 1.2 d7 d8 d20 d50 d100 7, 8125 m 3, 90625 m 0, 00095367432 m 8, 8817842−13 m 7, 8886091−28 m Como el proceso se puede repetir indefinidamente, el corredordeber´ recorrer un n´mero infinito de distancias en un tiempo finito. a uZen´n dir´ eso no es posible; entonces no hay movimiento. o ıa: Aquiles y la tortugaEn realidad Zen´n formul´ cuatro paradojas parecidas a la anterior. o oOtra de las m´s famosas se llama la de Aquiles y la tortuga. El agran escritor argentino Jorge Luis Borges la plante´ de la siguiente omanera:
  16. 16. 4 Elementos de c´lculo, volumen 1 a “Aquiles, s´ ımbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tor- tuga, s´ımbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces m´s ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. a Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un dec´ ımetro; Aquiles corre ese dec´ ımetro, la tortuga corre un cent´ ımetro; Aquiles corre ese cent´ımetro, la tortuga un mil´ ımetro; Aquiles el mil´ ımetro, la tortuga un d´cimo de mil´ e ımetro, y as´ infinitamente, de modo que Aquiles puede correr ı para siempre sin alcanzarla. As´ la paradoja inmortal.” ı Jorge Luis Borges “La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” 1930. ¿Qu´ piensa usted? ¿Es el movimiento producto de nuestra eimaginaci´n? o Los m´todos que condensar´ el C´lculo Diferencial e Integral e ıa aen el siglo XVII responder´ con toda precisi´n a este tipo de ıan o paradojas. Pero para eso la humanidad tuvo que atravesar un El C´lculo responde a alargo per´ ıodo desde el siglo V a. C. la paradoja de la Dico- tom´a de Zen´n ı o Se repasa en esta secci´n, en o primer lugar, el concepto de variaci´n de una cantidad. o1.1 RAZONES DE CAMBIO Luego se estudia el concepto de raz´n de cambio, con es- o ¿C´mo se mide la variaci´n? o o pecial ´nfasis en el caso par- ePodemos distinguir algunas maneras de medir la variaci´n o cam- o ticular de la velocidad.bio, por ejemplo el cambio absoluto o incremento y el cambiorelativo.Ejemplo 1. Variaci´n absoluta oJuan abri´ una cuenta de ahorros con c 500, al cabo de dos meses o ||Juan fue al Banco a averiguar su saldo. Le dijeron que ahora ten´ıac 520. Esto es, Juan tiene ahora c 20 m´s; el cambio absoluto en la|| || acuenta de ahorros de Juan fue de c 20. Por otra parte, Juan tiene ||ahora un 4% m´s de lo que ten´ en un principio; el cambio relativo a ıaen su cuenta fue de 4%. El cambio absoluto o incremento es una diferencia: lo que tiene Incrementos
  17. 17. 5 Elementos de c´lculo, volumen 1 aal final menos lo que ten´a al comienzo. Si Cf es la cantidad final y ıCi es la cantidad inicial entonces el cambio absoluto se denota por∆C y se calcula como ∆C = Cf − Ci . ∆C En el caso de la cuenta de ahorros de Juan se tiene que Cf = 520, 0 Ci CfCi = 500 y entonces Figura 1.1. Cambio abso- ∆C = Cf − Ci = 520 − 500 = 20. luto El cambio relativo es un cociente: El cambio absoluto divididoentre lo que ten´a al comienzo, es decir ı ∆C . Ci En el caso de Juan: ∆C 20 = = 0, 04, Ci 500que se escribe como 4%. Otra forma de medir la variaci´n es comparando el incremento ode una cantidad variable con relaci´n al incremento de otra canti- odad variable. Esto se conoce como variaci´n promedio o raz´n o opromedio de cambio de una cantidad con respecto a la otra.Ejemplo 2. Variaci´n promedio oVolvamos a la cuenta de ahorros de Juan. El incremento en lacantidad de dinero fue ∆C = c 20. ||Si consideramos el momento en que abri´ la cuenta de ahorros como oel mes 0, entonces el momento en que hizo la consulta fue el mes 2.La variaci´n absoluta en el tiempo fue o ∆t = 2 − 0 = 2 meses(es decir, transcurrieron 2 meses). Podemos calcular el cociente Raz´n promedio o ∆C c 20 || = = c 10/mes. || ∆t 2 meses Este resultado es un promedio y se puede interpretar diciendoque la cantidad de dinero en la cuenta de ahorros de Juan creci´ a ouna raz´n promedio de c 10 por mes. o ||
  18. 18. 6 Elementos de c´lculo, volumen 1 a En las aplicaciones a las ciencias muchas veces estamos intere-sados en c´mo se comporta una variable y cuando otra variable x ose aproxima a un valor dado c, esto es, cuando x var´ de manera ıaque sus valores son cada vez m´s pr´ximos a c. a o En estas circunstancias ambas variables tienen que estar rela-cionadas: y debe ser una funci´n de x (vea el recuadro sobre fun- ociones). Esto se presenta por ejemplo cuando tratamos con veloci-dades, aceleraciones, etc. ´ EL CONCEPTO DE FUNCIONRecuerde que una funci´n es una relaci´n que asocia a cada elemento de un conjunto A (llamado dominio o ode la funci´n) un unico elemento en un conjunto B (llamado codominio de la funci´n). Si la funci´n o ´ o ose denota por f entonces se escribe f : A −→ B. Si x es un elemento de A, su elemento asociado y de Bse llama la imagen de x, a su vez se suele decir que x es preimagen de y. Los dos elementos x e y sonvariables, es decir, pueden tomar diferentes valores; x se llama variable independiente porque puedetomar cualquier valor en A, por su parte, y se llama variable dependiente porque una vez que ustedle da un valor a x, el valor de y es la imagen de x y no cualquier elemento de B.Por lo general, cuando se trata con funciones reales de variable real, esto es, funciones en las que tanto eldominio como el codominio son subconjuntos del conjunto de los n´meros reales R, es posible describir la urelaci´n mediante una f´rmula que permite encontrar la imagen de cada elemento particular del dominio. o oPor ejemplo, si decimos, f : R −→ R con f (x) = x2 − 2,entonces lo que se est´ indicando es que tenemos una funci´n f cuyo dominio es R, cuyo codominio es a oR y se dice adem´s que para cada valor x de R su imagen se calcula mediante la f´rmula f (x) = x2 − 2. a oAs, si x = 2 entonces su imagen es f (2) = 22 − 2 = 4 − 2 = 2;la imagen de x = −5 es f (−5) = (−5)2 − 2 = 25 − 2 = 23. Recuadro 1.1: Funciones.Ejemplo 3. Variaci´n de una funci´n en un punto o o x2 − 1Sea f (x) = , ¿qu´ sucede con los valores de f (x) si x est´ e a x−1cada vez m´s pr´ximo a 1? a o
  19. 19. 7 Elementos de c´lculo, volumen 1 aSoluci´n: La primera observaci´n que se puede hacer es que x = 1 o ono est´ en el dominio, pues si se sustituye x = 1 en la expresi´n a o x2 − 1 x−1se obtiene 12 − 1 0 = , 1−1 0lo que no est´ definido (es una forma indeterminada). Sin embargo, asigamos adelante: utilizamos una calculadora para calcular los val-ores de f (x) con x cercano a 1. Tome en primer lugar x = 2 (2 est´ aalejado una unidad de 1, hacia la derecha); tenemos 22 − 1 4−1 f (2) = = = 3, 2−1 1tomemos ahora x = 0 (0 est´ alejado una unidad de 1, hacia la aizquierda); tenemos (0)2 − 1 0−1 f (0) = = = 1. 0−1 −1Hagamos lo mismo con x = 1, 5 (media unidad hacia la derecha de1): (1, 5)2 − 1 2, 25 − 1 1, 25 f (1, 5) = = = = 2, 5 1, 5 − 1 0, 5 0, 5y con x = 0, 5 (media unidad a la izquierda de 1): (0, 5)2 − 1 0, 25 − 1 −0, 75 f (0, 5) = = = = 1, 5. 0, 5 − 1 −0, 5 −0, 5 Podemos continuar de esta manera. En la siguiente tabla devalores aparecen los resultados utilizando valores de x cada vez Aproximaci´no conm´s pr´ximos a 1 tanto por la izquierda (menores que 1) como por a o tablas de valoresla derecha (mayores que 1). Tabla 1.3 x se acerca a 1 por . x se acerca a 1 por . .. .. . ..... .. ... . . . .. ..... .. . ..... la izquierda .. .. . ... .. . . .. ... .. ... ..... la derecha .... ..... .......... ............. . ..... . ....... ......... .. .......... . ...... ... . . .... 1 x 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1 f (x) 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 .. . ......... ....... 2 ......... . .... ........ ....... . ........ . . . ............ ............ f se acerca ... .. .. ... .. . . . .. .. . .. ... f se acerca a 2 ..... ... .... .. .. ... ... ... .. . . .. . . . . a 2 por la izquierda por la derecha
  20. 20. 8 Elementos de c´lculo, volumen 1 a As´ de la tabla 1.3 deducimos que lo que sucede con f (x) es ı,que sus valores se aproximan cada vez m´s a 2 cuando los valores ade x se aproximan a 1. Tome usted una calculadora y haga varios c´lculos tomando acada vez valores m´s pr´ximos a 1, por ejemplo tome a o x = 1, 0001, luego x = 1, 000001 y x = 1, 0000001¿qu´ sucede?, ¿c´mo explicar´ esta situaci´n? e o ıa o Veamos ahora lo que sucede de manera gr´fica: a f se acerca a 2 y T )j 2 U c 2 e z 1 T x se acerca a 1 Ex z 1W x2 −1 Figura 1.2. f (x) = x−1 Como se ve, hay un “hueco” en el punto (1, 2), pero la funci´n ocuando x se acerca a 1, ir´ “naturalmente” al valor y = 2. ıa La velocidad es una raz´n de cambio oSabemos que viajando por carretera la distancia entre San Jos´ y ePuntarenas es La velocidad es una La rapidez es la magnitud de la velocidad. cantidad vectorial, esto Cuando en el lenguaje corriente decimos que la velocidad de un ob- es, tiene magnitud y di-jeto es de 10m/seg sin especificar la direcci´n, en realidad nos estamos o recci´n. orefiriendo a la rapidez. de aproximadamente 120 km. Suponga queun amigo suyo viaj´ de San Jos´ a Puntarenas; sali´ de San Jos´ a o e o elas 2 : 00 pm y lleg´ a Puntarenas a las 4 : 00 pm. o Su amigo recorri´ 120 km en un lapso de 2 horas. La velocidad opromedio fue de
  21. 21. 9 Elementos de c´lculo, volumen 1 a 120 km = 60 km/h. 2 h En general, la velocidad promedio es el cociente: distanciarecorrida entre tiempo transcurrido: distancia recorrida velocidad promedio = . tiempo transcurrido Se acostumbra a denotar la velocidad promedio como vprom , ladistancia recorrida por ∆d y el tiempo transcurrido por ∆t, demodo que podemos escribir: ∆d vprom = ∆t D 100 kmEjemplo 4. Velocidades promedioLa figura 1.3 representa las ciudades A, B, C, D y las correspon- B 60 kmdientes distancias entre ellas. 40 km Un viajero sali´ cierto d´ a la 1 : 00 pm de la ciudad A, lleg´ o ıa o A Ca la ciudad B a la 1 : 30 pm y sigui´ hacia la ciudad C a la cual olleg´ a las 2 : 30 pm, sin detenerse continu´ su camino y lleg´ a la o o o Figura 1.3. Camino recorri-ciudad D a las 4 : 30 pm (todo el mismo d´ ıa). do a) ¿Cu´l fue su velocidad promedio entre la ciudad A y la ciudad a B? b) ¿Cu´l fue su velocidad promedio entre la ciudad C y la ciudad a D? c) ¿Cu´l fue su velocidad promedio en todo el recorrido real- a izado?Soluci´n o a) La distancia entre A y B es de 40km y el tiempo que tard´ fue o de 30 minutos, es decir 0, 5 horas. Aqu´ la velocidad promedio ı fue 40km vprom = = 80km/h. 0, 5h
  22. 22. 10 Elementos de c´lculo, volumen 1 a b) La velocidad promedio entre C y D fue 100km vprom = = 50km/h. 2h c) La distancia total de A a D es 40km + 60km + 100km = 200km, el tiempo transcurrido fue de 3 horas y media, es decir 3, 5h, por lo tanto la velocidad promedio del recorrido entre A y D fue 200km vprom = = 57, 1428km/h. 3, 5h ¿Es suficiente la velocidad promedio?Enfatizamos el t´rmino velocidad promedio puesto que lo que se da ees una medida promedio de la variaci´n. Sin embargo, por ejem- oplo, en el caso de su amigo que viaj´ a Puntarenas no sabemos ocon certeza su velocidad en cada momento. No podemos, con lainformaci´n dada, saber cu´l fue su velocidad al ser las 2 : 30 pm. o aEn alg´n momento posiblemente se detuvo, desde luego en ese mo- umento su velocidad fue de 0 km/h; en otras ocasiones de segurosuper´ los 60 km/h. o El conductor de un autom´vil puede darse cuenta de la veloci- odad a la que va en alg´n momento dado observando el veloc´ u ımetrodel carro (si tal instrumento se encuentra en buen estado). Peronosotros, con la informaci´n del tiempo transcurrido y la distancia orecorrida, solo podemos calcular un promedio y no podemos saberlo que sucedi´ en cada instante. o Velocidad promedio y Otro de los aspectos importantes de las ciencias es la predicci´n. o velocidad instant´nea aEsto es, a partir de datos dados referidos a una situaci´n, poder opredecir con un grado aceptable de aproximaci´n algunas cosas que opodr´ suceder en esa situaci´n o en otra situaci´n semejante. ıan o oAs´ por ejemplo, para el movimiento de un objeto podr´ resultar ı, ıaimportante saber cu´l es su velocidad en alg´n instante preciso a udado y no la velocidad promedio en ese momento.
  23. 23. 11 Elementos de c´lculo, volumen 1 a Calcular las velocidades y aceleraciones instant´neas fue uno de alos problemas que cautiv´ la atenci´n de los principales matem´ticos o o adel siglo XVII. Aqu´ se estudia, en primera ı instancia, el concepto de velocidad instant´nea medi- a1.2 CA´ ´ IDA LIBRE Y CALCULO DE ante el caso de un cuerpo RECTAS TANGENTES en ca´ıda libre. Posterior- mente se estudia la pendi- Uno de los asuntos m´s interesantes en la historia de las ciencias a ente de una recta tangente afue el de la ca´ libre de los cuerpos. La pregunta es: si se lanzan ıda una curva en un punto dado.dos cuerpos de diferente peso desde lo alto de un edificio ¿cu´l acae m´s r´pido? Sup´ngase que el aire no produce resistencia ni a a ofricci´n en ninguno de los dos cuerpos. Antes de seguir leyendo: o¿c´mo contestar´ usted esa pregunta? o ıa La respuesta correcta fue dada por el gran cient´ ıfico italianoGalileo Galilei (1564–1642), quien descubri´ que en el vac´ (sin o ıoresistencia ni fricci´n del aire) los cuerpos caen con la misma ve- olocidad, caen al mismo tiempo. Es interesante se˜alar que Galileo ndescubri´ este principio observando que las velocidades con la que ocaen dos cuerpos difieren menos en el aire que en el agua. Algo as´ ıcomo que si disminuye la resistencia del medio, la diferencia entre Galileo descubri´ la olas velocidades de dos cuerpos disminuye, llegando esta diferencia ley de los cuerpos ena ser nula en el vac´ıo. ca´da libre ı Galileo no solo descubri´ eso sino que describi´ el movimiento o oen ca´ libre matem´ticamente: ıda a d = 4, 9t2 (si el cuerpo se deja caer). Suponga que usted se para en lo alto de un edificio y deja caeruna piedra hacia el suelo (note que no la lanza, solo abre su manopara que caiga) y suponga que la unica fuerza que act´a sobre la ´ upiedra es la gravedad. Sea t el tiempo (medido en segundos) quetranscurre desde el momento en que usted deja caer la piedra yalg´n instante determinado, y d la distancia (medida en metros) urecorrida por la piedra hasta ese instante. Como d depende de t,escribimos d(t) en vez de d. Como dijimos antes, Galileo descubri´ oque se tiene la relaci´n o Torre de Pisa d(t) = 4, 9t2 .
  24. 24. 12 Elementos de c´lculo, volumen 1 aPor ejemplo, 1 seg despu´s de haber soltado la piedra, ´sta ha recor- e erido d(1) = 4, 9(1)2 = 4, 9 m.A los 2 seg la distancia recorrida por la piedra habr´ sido a d(2) = 4, 9(2)2 = 4, 9 · 4 = 19, 6 m. En la tabla 1.4 se dan algunos tiempos y la correspondientedistancia recorrida. Tabla 1.4 t seg 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 d(t) m 4,9 11,025 19,6 30,625 44,1 60,025 78,4 99,225 122,5 148,225 176,4 ¿Podemos predecir cu´l ser´ la velocidad de la piedra exacta- a amente 5 segundos despu´s de haberla soltado? e Aproximaci´n de la velocidad instant´nea o aSabemos que esta velocidad instant´nea no se puede calcular como auna velocidad promedio, pero vamos a ver c´mo a partir de ella oencontramos la velocidad instant´nea. a • Podemos suponer que la velocidad a los 5 segundos no andar´ a muy lejos de la velocidad promedio un poco antes de los 5 se- gundos; por ejemplo, en el ultimo segundo transcurrido antes ´ de los 5 segundos. En el segundo 4, la piedra ha recorrido 78, 4 metros (vea la tabla anterior). En el segundo 5, la piedra ha recorrido 122, 5 metros (vea la tabla anterior). La distancia recorrida en ese segundo fue 122, 5 − 78, 4 m = 44, 1 m La velocidad promedio fue 44, 1 m = 44, 1 m/seg Primera aproximaci´n o 1 seg a la velocidad Esta es solamente una aproximaci´n de la velocidad buscada. o
  25. 25. 13 Elementos de c´lculo, volumen 1 a • Podemos suponer que nos acercaremos mejor a la velocidad en el segundo 5 con la velocidad promedio en el intervalo que transcurre entre el tiempo 4, 9 seg y 5 seg. Calculemos: En t = 4, 9 seg tenemos d = 4, 9(4, 9)2 m = 117, 649 m La nueva velocidad promedio es 122, 5 m − 117, 649 m 4, 851 m = = 48, 51 m/seg Segunda aproxi- 5 seg − 4, 9 seg 0, 1 seg maci´n o Esta es una nueva aproximaci´n a la velocidad en 5 seg. o N´tese la considerable diferencia que existe entre ambas o aproximaciones. Calculemos ahora la velocidad promedio en un intervalo a´n u m´s cercano a 5: entre 4, 99 y 5. a ´ GRAFICAS DE FUNCIONES Dada una funci´n real de variable real, generalmente podemos o x f (x) = 2 − x2 hacer una representaci´n gr´fica que nos permita conocer mejor o a -2 -2 la funci´n. Existen t´cnicas en el C´lculo que nos permiten dibu- o e a -1 1 jar una funci´n con bastante detalle. Sin embargo, para ciertas o funciones “simples” podemos dibujar su gr´fica a partir de unos a 0 2 cuantos puntos. 1 1 Si tenemos la funci´n f : A −→ B, con y = f (x), representamos en o 2 -2 un sistema de ejes coordenados pares ordenados de n´meros reales u (x, y), donde y es la imagen de x (siendo x elemento de A). y T 2p Por ejemplo, para representar la funci´n f : R −→ R tal que f (x) = o 2−x 2 , consideramos una tabla de valores. p 1 p De la tabla se obtienen varios pares ordenados de n´meros reales que u Ex −2 −1 0 1 2 corresponden a puntos que van a estar en la gr´fica de la funci´n. a o Estos son: (−2, −2), (−1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, −2). De modo que en el sistema de ejes dibujamos esos puntos y luego trazamos una p −2 p curva que los contenga. El dibujo resultante es un bosquejo de la gr´fica de la funci´n dada. a o Recuadro 1.2: Gr´ficas a .
  26. 26. 14 Elementos de c´lculo, volumen 1 a Si t = 4, 99 entonces tenemos d = 4, 9(4, 99)2 m = 122, 01049 m La velocidad promedio es: 122, 5 m − 122, 01049 m 0.48951 m = = 48, 951 m/seg Tercera aproximaci´n o 5 seg − 4, 99 seg 0, 01 seg • Si calculamos la velocidad promedio entre 4, 999 y 5 seg ob- tendremos: 122, 5 m − 122, 451 m 0, 0489951 m = = 48, 9951 m/seg Cuarta aproximaci´n o 5 seg − 4, 999 seg 0, 001 seg Calcule usted la velocidad promedio entre 4, 9999 y 5. Use la calculadora. Si seguimos el proceso con intervalos de tiempo cada vez m´s apeque˜os nos aproximaremos m´s a la velocidad instant´nea en 5 n a asegundos, que se aproxima m´s y m´s a un n´mero fijo: a a u La velocidad in- stant´nea a 49 El l´ ımite y la velocidadTenemos entonces una sucesi´n de varias velocidades promedio: o 44, 1 48, 51 48, 951 48, 9951 que se aproximan al valor 49 49. Este ultimo valor fijo decimos que es la velocidad instant´nea de ´ a la piedra en el tiempo t = 5 seg. Este valor se llama el l´mite de las velocidades promedio. ı Se podr´ criticar con justicia que la escogencia de los tiempos ıaes muy arbitraria. Por eso veamos ahora c´mo se generalizar´ este o ıaprocedimiento para calcular velocidades instant´neas: a
  27. 27. 15 Elementos de c´lculo, volumen 1 a Un m´todo m´s general e aConsideremos la misma ecuaci´n d = 4, 9t2 . Llamemos D la dis- otancia recorrida por la piedra en 5 seg, es decir D = 4, 9(5)2 = 122, 5.Ahora vamos a designar con la letra T un intervalo de tiempo, de tal manera que (5 + T )es un tiempo que puede estar antes o despu´s de 5 seg. e Por ejemplo: si T = 0, 1 seg entonces T es un intervalo cualquiera de tiempo 5 + T = 5 + 0, 1 = 5, 1 seg,si T = −0, 1 seg, entonces 5 + T = 5 + (−0, 1) = 4, 99 seg. La distancia recorrida en (5 + T ) seg es: DT = 4, 9(5 + T )2 = 4, 9(52 + 2 · 5 · T + T 2 ) = 122, 5 + 49T + 4, 9T 2 .La distancia que se recorre en el intervalo de T seg, es decir entre5 y (5 + T ), es: DT − D = (122, 5 + 49T + 4, 9T 2 ) − 122, 5 = 49T + 4, 9T 2 . Entonces la velocidad promedio entre 5 seg y (5 + T ) seg es: La velocidad promedio DT − D 49T + 4, 9T 2 en t´rminos de T e Vprom = = = 49 + 4, 9T. T T Ahora obs´rvese: si T se hace muy peque˜o entonces 4, 9T e ntambi´n se hace muy peque˜o y si T se hace muy cercano de 0, e n4, 9T tambi´n estar´ cercano a 0. e a Por ejemplo: si T = 0, 0000000001 = 10−10 , tenemos que 4, 9T =0, 00000000049, y entonces tenemos Vprom = 49, 00000000049 loque es pr´cticamente 49 Podemos decir que las velocidades prome- a 49.dio se aproximan a 49 Esta es la velocidad instant´nea en t = 5. 49. a Note que en nuestro caso el valor instant´neo 49 se encontr´ a oponiendo T = 0 en la ecuaci´n Vprom = 49 + 4, 9T . Veremos luego o Figura 1.4. Secantes y tan-que esta sustituci´n no se puede hacer en todos los casos. o gentes
  28. 28. 16 Elementos de c´lculo, volumen 1 a El problema de las tangentesRetomemos la situaci´n descrita en el ejemplo de la velocidad de la opiedra en ca´ libre. ıda All´ consideramos un desplazamiento que satisface la relaci´n ı ofuncional d(t) = 4, 9t2 , donde la variable independiente t repre-senta el tiempo y la variable dependiente d representa la distanciarecorrida. La tabla 1.5 nos permite hacer un bosquejo de la gr´fica ade la funci´n. o Tabla 1.5: Valores de d(t) = 4, 9t2 t segundos 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 d(t) metros 4,9 11, 025 19,6 30,625 44,1 60,025 78,4 99,225 122,5 148,225 176,4 El problema de la velocidad que estudiamos en esa ocasi´n opuede verse, desde el punto de vista gr´fico, como un problema ade rectas tangentes.
  29. 29. 17 Elementos de c´lculo, volumen 1 a ´ LA ECUACION DE LA RECTARecuerde que la ecuaci´n de una recta (no vertical) est´ dada por y = mx + b. o aEl valor m se llama la pendiente de la recta y es una medida de la inclinaci´n de la recta con respecto al oeje x;el valor b se llama y−intersecci´n y determina la ordenada del punto en que la recta corta al eje y. o ySi los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) pertenecen a la recta Tentonces podemos calcular la pendiente mediante la : y = mx + bf´rmula o y2 − y1 s p m= (x1 , y1 ) x2 − x1 b qps (x2 , y2 )y la intersecci´n se puede calcular mediante o b = y1 − mx1 o b = y2 − mx2 . θ Ex y2 − y1 m=Por ejemplo si una recta contiene los puntos (−1, 3) x2 − x1y (2, 4), entonces 4−3 1 1 2 10 m= = y b=4− ·2=4− = . 2 − (−1) 3 3 3 3De manera que la ecuaci´n de la recta es o 1 10 y = x+ . y 3 3 T Recuadro 1.3: Rectas. La figura 1.5 corresponde a la gr´fica de la funci´n y = 4, 9x2 . a o Esta es la misma funci´n que vimos antes solo que usando otros o 19, 6 pnombres para las variables. Considere las tres rectas que se dan enla figura 1.6. p 4, 9 p Ex 0 1 2 Figura 1.5. d(t) = 4, 9t2

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