Induccion matematica

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Induccion matematica

  1. 1. ¿QUE ES INDUCCION?La inducción es un razonamiento quepermite demostrar una infinidad deproposiciones, o una proposición quedepende de un parámetro n que toma unainfinidad de valores, usualmente en elconjunto de los enteros naturales N. http://induccionmatematica.galeon.com/
  2. 2. ¿QUE ES EL PRINCIPIO DE INDUCCIONMATEMATICA?El principio de Inducción Matemática es unmétodo que se utiliza para demostrarpropiedades, formulas, validarlas y probarque son verdaderas. http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
  3. 3. PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICASea P una propiedad definida en losnúmeros naturales ( enteros positivos ) .Si 1 satisface esa propiedad y ademássi a partir de cualquier natural n quesatisface esa propiedad se llega aque n + 1 , también la satisface,entonces cada número natural la satisface.
  4. 4. PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICAPara probar que una propiedad P secumple en los números naturales, usandoel principio de inducción matemática, sesiguen los siguientes pasos:
  5. 5. PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA1° ) Se comprueba para n = 1(Comprobación) .2° ) Se asume que se cumple para n=k (Hipótesis de inducción) .
  6. 6. PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA3° ) Se predice que se cumplepara n = k + 1 (Tesis) .4° ) Se demuestra que si se cumplepara n = k , entonces se cumplepara n = k + 1 (Demostración).
  7. 7. EJEMPLO 1Demuestre por inducción matemática que:Si n es un entero positivo, entonces n ( n + 1 ) es divisiblepor 2 .1 ) Sea n = 1 , entonces:n ( n + 1 ) = 2 ( Verdadero ) .2 ) Sea n = k , entonces:k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Hipótesis de inducción ) .
  8. 8. EJEMPLO 13 ) Sea n = k + 1 , entonces:( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 ( Tesis ) .4 ) Demostración:(k + 1)(k + 2) = k(k + 1) + 2(k + 1)k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Por hipótesis de inducción ) .2 ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Entero par ) .por lo tanto ( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 .
  9. 9. EJEMPLO 2Demuestre por inducción matemática que:2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 n – 2 ) = 2n21 ) Sea n = 1 , entonces:4n – 2 = 22 n 2 = 2 ( Verdadero ) .2 ) Sea n = k , entonces:2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) = 2k2 ( Hipótesis deinducción ) .
  10. 10. EJEMPLO 23 ) Sea n = k + 1 , entonces:2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2(k + 1)2 ( Tesis ) .4 ) Demostración:2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) = 2k2 ( Por hipótesis de inducción ) .2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2k2 + (4(k + 1) – 2)2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2k2 + 4k + 2Por lo tanto 2 + 6 + 10 + . . . . . + ( 4 k – 2 ) + ( 4 ( k + 1 ) – 2 ) = 2(k + 1)2 http://www.eneayudas.cl/induccionmatematica/induccionmatematica.htm
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