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Clasificacion y aplicaciones

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  • 1. FUNCIÓN MATEMÁTICAEn esta página estudiaremos los siguientes temasreferentes a la funciones matemáticas: Definición Dominio ( Dom f ) y codominio ( Codom f ) Notación Notación Recorrido o rango ( Rec f ) Función epiyectiva ( sobreyectiva o sobre ) Función inyectiva ( uno a uno ) Función biyectiva Inversa de una función Funciones de R en R Aplicaciones de la funciones reales Conclusiones BibliografíaDefiniciónSean A y B conjuntos no vacíos y f una relación de A a B , entonces f es unafunción ( o aplicación ) de A en B , si y sólo si a cada elemento de A , le hacecorresponder un y sólo un elemento de B.Ejemplo 1: fig. 1 f={(a,r),(b,m),(c,p),(d,r)}Dominio ( Dom f ) y codominio ( Codom f )Sea f función de A en B, entonces:
  • 2. Dom f = A y Codom f = BNotaciónSea f función de A en B , x  A e y  B , entonces: f(x)=y(x,y)fAl elemento x se le denomina argumento y al elemento y se le llama imagen de xbajo f.Ejemplo 2: En el ejemplo 1, f ( a ) = r  r es la imagen de a bajo f.Recorrido o rango ( Rec f )Sea f función de A en B, entonces el recorrido de f ( Rec f ) es el conjuntoformado únicamente por todos los elementos de B , que son imagen de al menosun elemento de A, bajo f. Además el recorrido de f es subconjunto de B: Rec f  BEjemplo 3: En el ejemplo 1, Rec f = { m , p , r }  B.Observación: Rec f se conoce también como imagen de A por f y se simboliza: f( A ).Función epiyectiva ( sobreyectiva o sobre )Sea f función de A en B , entonces f es epiyectiva si y sólo si cada elemento deB es imagen , de al menos un elemento de A bajo f , es decir: f es epiyectiva  Rec f = BEjemplo 4:
  • 3. fig. 2Función inyectiva ( uno a uno )Sea f función de A en B, entonces f es inyectiva si y sólo si a elementosdistintos de A, les hace corresponder imágenes distintas en B. f es inyectiva  ( f ( x ) = f ( y )  x = y )Ejemplo 5: fig. 3Función biyectivaSea f función de A en B, entonces f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva yepiyectiva a la vez, es decir, cada elemento de B es imagen de un y sólo unelemento de A, bajo f. f es biyectiva  f es epiyectiva  f es inyectivaEjemplo 6: fig. 4
  • 4. Inversa de una funciónSea f una función de A en B, entonces su inversa ( f  1 ) es una relación de B aA tal que: f1={(y,x):(x,y)f}Ejemplo 7: En el ejemplo 1, f  1 = { ( m , b ) , ( p , c ) , ( r , a ) , ( r , d ) } .Teorema: Sea f función de A en B, entonces f – 1 es una función de B en A, si fes biyectiva. Además, bajo esta condición, f – 1 es también una función biyectiva( ver ejemplo 6 ).Funciones de R en R1 ) Función constante f(x)=a;aR Ejemplo 8: y = 42 ) Función identidad f(x)=x
  • 5. 3 ) Función lineal f(x)=ax+b;a0 Ejemplo 9: y = 2 x – 84 ) Función cuadrática f(x)=ax2+bx+c;a0
  • 6. Ejemplo 10: y = 0,5 x 2 + 3,5 x – 45 ) Función potencia f ( x ) = a x n ; n: natural y a  0 Ejemplo 11: y = 0,2 x 3
  • 7. 6 ) Función raíz cuadrada f(x)= ;x07 ) Función exponencial f(x)=ax;a>0ya1 Ejemplo 12: y = 2 x
  • 8. 8 ) Función logarítmica f ( x ) = log b ( x ) ; x > 0 , b > 0 y b  1 Ejemplo 13: y = log 2 ( x )9 ) Función seno y = sen ( x )
  • 9. 10 ) Función coseno y = cos ( x )Aplicaciones de la funciones reales.Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el serhumano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondenciacon otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Lasfunciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria,problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina,de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social dondehaya que relacionar variables.Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona unconjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesospara así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribiresta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidadde producto como "y".Función AfínSe puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de laoferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta funcióny las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales encualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor deseaadquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo estédisponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado
  • 10. que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, sedenomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b,donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de lamedicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para elentendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimentopsicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamadospendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.Dada la ecuación y=mx+b:Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica esuna recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por elorigen de coordenadas (0,0).Función Cuadrática.El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemáticasino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: latrayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caerdesde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual sedesplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempotranscurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicostomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcciónde puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cablesamarrados a dos torres.Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectosnutricionales de los organismos.Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado deexplicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principalpara realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable,podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente haciaarriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es lavelocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Sugráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa yadmite un máximo.Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.Eje de simetría: x = xv.
  • 11. intersección con el eje y.Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.Función Logarítmica.La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicaspara el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. Lamagnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala deRichter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de unsismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planetautilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica lespermite determinar la brillantez y la magnitud.En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales sepuede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para elcual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidaddel sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es laintensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbralauditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N dacomo resultado a.Logb a = N si bN = aNotación logarítmicaNotación exponencialConsecuencias de la definición de logaritmo1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 12. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igualal exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,0<N<1, es negativo si la base b del logaritmo es b>1.6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,0<N<1, es positivo si la base b del logaritmo es b<1.7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
  • 12. Propiedades de los logaritmosLogaritmo de un productoEl logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmosde cada uno de ellos.logb(X · Y)= logb X + logb YLogaritmo de un cocienteEl logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numeradormenos el logaritmo del denominador.Logaritmo de una potenciaEl logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo dela base de la potencia.loga Xn = n loga XLogaritmo de una raízEl logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índicede la raíz.Función Exponencial.Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de talnaturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la leyexponencial y se dice que el elemento decrece o decae.En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+, donde H+es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PHdel agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que esácida, mientras que su PH es mayor que 7, se dice que es base. Losambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efectodañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre delas fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento delPolonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decaeexponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masainicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.
  • 13. El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años,parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelomatemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempotranscurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés ThomasMalthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar elcrecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidadde alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema delhambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en elpensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional seconoce con el nombre de modelo Malthusiano).En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, demanera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuestose emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tienecierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al finaldel primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i,si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por:P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en unperíodo de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual,diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo ydistinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».Propiedades de la función exponencial y = ax.1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 12a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia debase positiva da como resultado un número positivo.4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.Ecuaciones ExponencialesLas ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuacionesexponenciales.No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuaciónexponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados ypropiedades:1. ax = ay  x = y
  • 14. Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de laecuación como potencias de la misma base.Funciones TrigonométricasLas funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de lamagnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano decoordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con elorigen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen yque forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e ypueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que seencuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si Pestá en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e iguala ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguientemanera:Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si seañaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las
  • 15. otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son lasinversas de las otras tres, es decir,Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y,la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en elconjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; eneste caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180°tampoco está definida.Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos qvarían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquiervalor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igualque -1.Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funcionestrigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólofunción del ángulo.Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), lasdefiniciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicara q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en laintersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la partepositiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el senq = y/r = a/c, y así sucesivamente:
  • 16. Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos sepueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles,se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras,que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tantoLos valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquierase pueden hallar de forma aproximadadibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y eltransportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporcionesdeseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q paraunos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y lasdemás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en elsiguiente apartado.Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolvertriángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otrasciencias.En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y elángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arenapoco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de suvertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 unobservador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulode elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar aldesplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con laaltura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación yla ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre.En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa unaplaca de cierto material.
  • 17. En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidadformando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar ladistancia que se encuentran entre los mismos.El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempreen línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamenteal punto destino correcto.Funciones Polinómicas.Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales (omás generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de unavariable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es unaexpresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor potenciade la variable se la llama grado del polinomio.Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable real,en la que la x es una variable numérica de la función; así, por ej., P(x) = 3x + 2,sería la función que asigna al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera(interpretando las x como variables numéricas) se pueden generalizar lasoperaciones definidas en los números reales a operaciones de polinomios, quequedan entonces definidas como:Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a +b)xn; así, por ej., (3x2 + 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1.Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por elnúmero.Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y sesuman.Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomiopor todos los del otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) = abxn+m], y sesuman los resultantesDivisión de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es unpolinomio).P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunasoperaciones sobre un retículo distributivo complementado.P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A – xl,donde / es la matriz identidad. Es de gran importancia dado que esta asociado atodas las matrices semejantes y es útil para reducirlas a su forma canónica.P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de uncierto lugar todos los términos son nulos. Sus términos se numeran comenzandopor el índice 0, existiendo por tanto un desfase de una unidad entre el índice quecaracteriza un término y su orden.P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del
  • 18. conjunto de las variables, por lo que un polinomios de estas característicasconstituye una función homogénea cuyo grado de homogeneidad coincide con elgrado mencionado.P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que nopuede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientesa k.P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.ConclusionesTras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir enque son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otrasciencias, en especial la física y la química.El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lolargo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, alhaber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo quepodemos aplicar frente a cierta problemática.Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, yaque se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos quetambién esta monografía nos será útil en la practica.BibliografíaEnciclopedia Microsoft Encarta 1999Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.arAnálisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.Enciclopedia Clarín, Tomo 20http://www.monografias.com/usuario/perfiles/totocho_83/datos