Econometria i
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Econometria i

on

  • 8,495 views

 

Statistics

Views

Total Views
8,495
Views on SlideShare
8,494
Embed Views
1

Actions

Likes
2
Downloads
176
Comments
0

1 Embed 1

http://www.slideshare.net 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Econometria i Econometria i Document Transcript

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE ECONOMIADEPARTAMENTO ACADEMICO DE ECONOMIA .
  • CAPITULO I MODELOS DINÁMICOS1. INTRODUCCIÓN1.1. JUSTIFICACIÓN La necesidad de incluir la dinámica temporal en los modelos es: • Existencia de desfases en la disponibilidad de información que hacen que las decisiones se tomen en base a datos del pasado. • Las decisiones se toman tras un proceso de evaluación que genera un desfase entre la información evaluada y la acción final. • Determinados procesos complejos necesitan de un periodo de ejecución que, nuevamente desfasa la acción final de la información valorada. • Existencia de medidas o acciones que tienen efecto en más de un periodo. • La consideración explícita de la evolución pasada como una expectativa de los valores presentes. • Existencia de procesos progresivos de ajuste hasta niveles deseados u óptimos. Sabemos que las variables económicas tienen bastante inercia, lo que hace que una variable dependa de su propio pasado, además de otras causas. Así por ejemplo: para tratar de explicar el comportamiento de la inflación , tendría sentido introducir como variables explicativas, junto con la tasa de crecimiento monetario , retardo de la propia tasa de inflación: Es importante observar que la existencia de una relación dinámica entre variables, así como su mayor o menor persistencia (número de retardos precisos para representarla), dependen crucialmente de cual sea la frecuencia de observación de los datos que se emplean en la estimación. Por ejemplo, si una variable influye sobre otra no sólo contemporáneamente, sino también durante los dos meses siguientes, entonces la relación sería dinámica si el investigador utiliza datos mensuales, pero resultará estática si utilizase datos anuales.
  • 21.2. TIPOS DE MODELOS Una tipología de modelos uniecuacionales dinámicos (Basado en Hendry, Pagan y Sargan, 1984)), el modelo ADL(1,1) es: Yt = β1 X t + β 2 X t −1 + β 3Yt −1 + ε t donde Zt es exógena débil en relación a los parámetros de interés ( β1 , β 2 y β 3 ) , y el error es: ( ε t ~ N 0,σ ε2 ). Aún cuando todos los modelos tienen una varianza del error, el modelo anterior es denominado modelo de "tres parámetros". Pese a que es una ecuación muy simple, el modelo ADL(1,1) incluye representaciones esquemáticas de nueve distintos tipos de modelos dinámicos como casos especiales. La tabla siguiente presenta estos 9 tipos. Restricciones en Tipo de modelo Ecuación ADL(1,1) 1º Regresión estática Yt = β1 X t + ε t β2 = β3 = 0 2º Serie de tiempo Yt = β 3Yt −1 + ε t β1 = β 2 = 0 univariante 3ºEn diferencias / tasa ∆Yt = β1∆X t −1 + ε t β 3 = 1; β 2 = − β1 de crecimiento
  • 3 Restricciones en Tipo de modelo Ecuación ADL(1,1)4º Indicador β1 = β 3 = 0 Yt = β 2 X t −1 + ε tadelantado (leadingindicator)5º Retardos Yt = β1 X t + β 2 X t −1 + ε t β3 = 0distribuidos(distributed lags)6º Ajuste parcial Yt = β1 X t + β 3Yt −1 + ε t β2 = 07º Common factor(error Yt = β1 X t + ut ut = β 3ut −1 + ε t β 2 = − β 1β 3autocorrelacionado)8º Mecanismo de ∆ Yt = β1 X t + (1 − β 3 )( X t −1 − Yt −1 ) + ε t βi = 1Corrección del Error9º Forma reducida Yt = β 2 X t −1 + β 3Yt −1 + ε t β1 = 0(dead start) Los nueve modelos describen muy diferentes estilos de retardos y respuestas de largoplazo de y desde x, tiene diferentes ventajas y desventajas como descripciones decomportamientos de series de tiempo, están diversamente afectados por varios problemas demala especificación, y finalmente, conducen a diferentes estrategias de modelización yestimación. Los modelos 1º a 4º son claramente modelos de un parámetro, mientras 5º a 9º son dedos parámetros. Con los supuestos planteados, todos menos el modelos 7º son estimables porMínimos Cuadrados Ordinarios (mientras 7º requiere un procedimiento iterativo por mínimoscuadrados). Cada modelo puede ser interpretado como un modelo "por derecho propio", otambién como una derivación (o una aproximación) del modelo ADL(1,1). La generalización de cada "tipo" en términos de un número mayor de lags y/o variosregresores naturalmente aproximan los casos entre sí. En el cuadro se plantean los modelosmás simples para resaltar sus diferencias y sus propiedades específicas. De todas maneras, las restricciones necesarias para obtener los distintos casos (aúnsuponiendo modelos con mayor número de lags y/u otros regresores) en general son difícilesde justificar. Aún cuando pueden, en ocasiones, existir argumentos teóricos relevantes paraexplicar una forma específica, es siempre preferible testear el modelo seleccionado versus laforma general no restringida (el ADL(1,1)), lo que contribuye a evitar errores deespecificación importantes.
  • 41.3. CLASIFICACIÓN1.3.1. MODELOS INGENUOS DE EXPECTATIVAS Los modelos más antiguos de expectativas empleaban valores pasados de las variables relevantes, o bien sencillas extrapolaciones de los mismos, como medición de las variables esperadas. Consideremos el modelo: A menos que se especifique de otra manera, las expectativas se forman con base en los periodos anteriores de tiempo. Por lo tanto, el modelo sume: es decir, la compañía cree que la utilidades del próximo periodo serán iguales a las de éste. Un modelo sencillo de extrapolación indicaría que los beneficios del siguiente periodo se elevarán en una cantidad igual a la del último incremento. Es decir, Otro modelo de extrapolación sería indicar que las utilidades se elevarán en un porcentaje igual al del último aumento. Esto da: En todos los casos se sustituye en el modelo la utilidad esperada por su fórmula de formación de expectativas, quedando: como la formación de expectativas se deriva del exterior y son ajenas al modelo económico, estas expectativas se consideran exógenas. Por lo tanto, el modelo se estima por mínimos cuadrados ordinarios.
  • 5 Es necesario modificar de manera adecuada la formación de expectativas, cuando se cuenta con datos trimestrales o mensuales; porque existen fluctuaciones estacionales. Por ejemplo, las ventas de diciembre de este año serían comparables con las del mismo mes del año pasado, debido a la temporada navideña. La formación de expectativas quedaría: obsérvese que se comparan meses o trimestres correspondientes y que se toma como parámetro el último aumento porcentual. No se recomiendan estos modelos, sin embargo, su uso es frecuente como puntos de referencia para juzgar los datos de cualquier encuesta sobre expectativas.1.3.2. MODELOS ECONOMÉTRICOS DINÁMICOS Los planteamientos teóricos que conducen a una especificación dinámica son: Modelo de EXPECTATIVAS ADAPTABLES. Cagan (1956). Modelo de AJUSTE PARCIAL Nerlove (1956). Modelo de EXPECTATIVAS RACIONALES. Munth (1960, 1961). Aº Modelo de Expectativas Adaptativas El nivel de la variable endógena Yt depende de un valor no observado de expectativas de la exógena X t* , así: Yt = α 0 + β1 X t* + et Las expectativas se revisan o actualizan en función de las desviaciones observadas en el pasado, así: X t* − X t*−1 = λ ( X t −1 − X t*−1 ) Resolviendo la anterior ecuación diferencial se obtiene: ∞ * X =t λ (1 − λ )i X t −1− i i =0 Sustituyendo el valor de la expectativa en la 1ª ecuación:
  • 6 ∞ Yt = α 0 + β1 λ (1 − λ ) i X t −1−i + et i =0 Transformado la expresión anterior, queda: Yt = α 0 λ + β1λX t −1 + (1 − λ )Yt −1 + et − (1 − λ )et −1EJEMPLO: P. Cagan propuso un modelo analítico en el que la demanda de saldosmonetarios reales se hacía depender del valor esperado de la tasa de inflación futura: El mecanismo de expectativas adaptativas, utilizado por Cagan (así como M.Friedman en su Teoría de Consumo), es:que postula que los agentes modifican la expectativa a partir de las expectativas delperiodo anterior y considerando el error de predicción cometido.Si las expectativas de inflación son estáticas y no se hacen depender del error de predicción que se haya cometido.Si las expectativas de inflación son totalmente adaptativas, ya que se adapta como valor esperado de la inflación futura el valor que la tasa de inflación ha tomado en este período. Se ignora la información que condujo a formar las expectativas pasadas. Si en el mecanismo de expectativas se colocan todas las variables de expectativaen el primer miembro, nos queda: π t*+1 − (1 − λ )π t* = λπ t Si se incorporan las expectativas adaptativas al modelo, se tiene el siguienteprocedimiento:1º Se retarda el modelo un periodo, así:
  • 7 2º Se multiplica el modelo retardo por ( 1 - ), nos da: 3º Restamos el modelo menos el modelo retardado, dando: 4º Simplificando y reemplazando por la formación de expectativas, nos queda el modelo transformado siguiente: Dado que el modelo transformado involucra una regresión de sobre , esto se conoce como modelo autorregresivo.Bº Modelo de Ajuste Parcial de Nerlove Las variables exógenas X t determinan el valor óptimo o deseado de la variable * endógena. Yt . Por ejemplo: Y t* = α 0 + β1X t + et Sólo se alcanza una parte del valor óptimo en cada periodo, matemáticamente: Yt − Yt −1 = γ (Yt * − Yt −1 ) Sustituyendo la primera expresión en la segunda: Yt − Yt −1 = γ (α 0 + β1 X t + et − Yt −1 ) Despejando el valor corriente de la endógena:
  • 8 Yt = γα 0 + β1γX t + (1 − γ )Yt −1 + γetEJEMPLO: Supongamos que el nivel de capital deseado en la economía, Kt* , es una funcióndel nivel de producto Yt : Kt* = β1 + β 2Yt + ut (1) Si un investigador quisiera proceder a estimar cómo varía el stock de capitaldeseado u óptimo, según la economía transcurre a través de una época de recesión ode expansión, tendría el grave problema de no disponer de observaciones de Kt* . Añadimos al modelo anterior una ecuación que describe el mecanismo por el queel stock de capital se ajusta a su nivel deseado. Supongamos: Kt − Kt −1 = δ ( Kt* − Kt −1 ) 0<δ <1 ( 2)postula que el stock de capital observado varía de un período a otro en una proporciónde su distancia con respecto al stock deseado.Si δ = 1 En cada período el stock de capital es igual a su valor deseado. (Economía donde el stock de capital no está sujeto a importantes costes de ajuste). δ =0 El stock de capital no cambia. La ecuación ( 2 ) se puede rescribir: Kt = δKt* + (1 − δ ) Kt −1 K − (1 − δ ) Kt −1 Kt* = t δdonde el stock de capital es una combinación lineal convexa del valor deseado y desu valor previo. Al reemplazar ( 1 ) en ( 2 ) tenemos: Kt = δβ1 + δβ 2Yt + (1 − δ ) Kt −1 + δut (3) Una vez estimado el modelo, el parámetro δ se obtiene del coeficiente de Kt −1 ,mientras que β 2 se obtendría dividiendo el coeficiente de Yt por el valor de δ y β1a partir del término independiente estimado.
  • 9 La ecuación ( 3 ) es la demanda de capital a corto plazo y la ecuación ( 1 ) es la demanda de capital a largo plazo. Cº Modelo de Expectativas Racionales de Munth El nivel de la variable endógena Yt depende de las expectativas racionales formadas sobre el valor de la exógena X t* , así: Yt = α 0 + β1 X t* + et Las expectativas racionales se forman con toda la información disponible hasta el periodo anterior: X t* = E ( X t θ t −1 ) La esperanza condicional viene representada por un proceso ARMA: X t = a1 * X t −1 + a2 * X t − 2 + ... + ε t + b1 * ε t −1 + b2 * ε t − 2 + ... El modelo inicial se convierte en un modelo dinámico:Yt = α 0 + β1 * ( a1 * X t −1 + a2 * X t − 2 + ... + ε t + b1 * ε t −1 + b2 * ε t − 2 + ...) + et2. VARIABLE ENDÓGENA REZAGADA Si aparecen valores retardados de la variable endógena, dejaría de cumplirse uno de los supuestos bajo los que desarrollamos las teorías de estimación e inferencia del modelo econométrico, pues algunas de las variables explicativas serían variables aleatorias (ya que Yt lo es). El modelo: Yt = β Yt −1 + ut β <1 (1) donde u es un proceso de ruido blanco y el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es: T T Yt Yt −1 Yt −1ut ~ 2 T ( βYt −1 + ut )Yt −1 2 β MCO = T = = β+ 2 2 Yt 2 1 − T Y t −1 Yt 2 1 − 2 2
  • 10 T Yt −1utel estimador será insesgado si y sólo si se cumple: E 2 T = 0. Yt 2 1 − 2 Si la distribución de u fuera independiente de Ys para todo par (t,s), entonces se tendríapara s = 2, ..., T T T E (YS −1uS / Yt 2 1 ) = E (YS −1 / − Yt 2 1 ) E (uS ) = 0 − 2 2entonces, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios sería insesgado. Sin embargo, (1) muestra que las distribuciones de Yt y us no son independientes,puesto que si el valor absoluto de β es inferior a la unidad, entonces: ∞ Yt = β s ut − s s= 0como Yt depende de ut y de valores retardados de ut ; por lo tanto, el estimador de mínimoscuadrados del modelo (1) será, en general, sesgado. El problema se complica sustancialmente cuando aparecen valores retardados de lavariable endógena como variables explicativas y, además el término de error tieneautocorrelación: Yt = β Yt −1 + ut β <1 ut = ρ ut −1 + ε tla variable explicativa Yt −1 está correlacionada con ut −1 , y a su vez, está correlacionada con ut ;entonces una de las variables explicativas del modelo está correlacionada con el término deerror, por lo que ya no se tiene E (Yt −1ut ) = 0 . No podemos garantizar la consistencia delestimador de mínimos cuadrados ordinarios. Por lo tanto, el estimador mínimo cuadrado de los coeficientes del modelo para que seaconsistente es que se tenga E ( X t − S ut ) = 0 para todo s ≥ 0 y para todas las variablesexplicativas del modelo se tiene: Var.Pr e det er min ada E ( X t − S ut ) = 0 s≥ 0 Var. Exogena E ( X t − S ut ) = 0 ∀s
  • 112.1. EL TÉRMINO DE ERROR NO TIENE AUTOCORRELACIÓN El modelo especificado es: Yt = β1 + β 2Yt −1 + β 3 X t + ut β2 < 1 (1) cuyas variables explicativas y término de error satisfacen las siguientes propiedades: 2 1º No existe autocorrelación, es decir: E (u) = 0T , E (uu ′ ) = σ u I T . 2º X t es determinista, es decir: E ( X t ut ) = 0, ∀t . 3º E (Yt −1ut ) = 0 aunque Yt −1 es estocástica, si β 2 < 1 , Yt −1 depende de ut −1 , ut − 2 , ..., pero no de ut , y si este proceso es un ruido blanco, entonces se tiene el resultado citado. X ′X 4º p lim = Σ XX matriz simétrica, definida positiva, donde: T T T T −1 Yt −1 Xt 2 2 T T X ′X = Yt 2 1 − Yt −1 X t 2 2 T X t2 2 Esta condición se satisface bajo el supuesto β 2 < 1 , siempre que existan las varianzas y covarianzas de las variables explicativas X t e Yt −1 . Sabemos que: ~ β MCO = β + ( X ′X ) −1 X ′u ( 2) aplicando probabilidad límite nos da: −1 −1 ~ X ′X X ′u X ′X X ′u p lim β MCO = p lim β + = β + p lim p lim T T T T
  • 12según el teorema de Mann-Wald1 nos queda: ~ p lim β MCO = β + Σ −1 0 K = β XXpor lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios es consistente. A veces no se está interesado en la distribución de un estimador, sino en la de unafunción del mismo. De la ecuación (2) deducimos: −1 ~ X ′X X ′u ( β MCO − β ) = T Tmultiplicando por la raíz de T nos da: −1 ~ X ′X X ′u T ( β MCO − β ) = T Taplicando el teorema de Mann-Wald2 tenemos: ~ T ( β MCO − β ) ⎯⎯ →( Σ D ⎯ XX ) −1 N (0, σ u Σ 2 XX )= ( N 0, σ u ( Σ 2 XX ) −1 )Esta distribución sólo es rigurosamente válida según tienda el tamaño muestral a infinito. En la práctica, se realiza la aproximación siguiente:1º Pasando T y β a la derecha, entonces: ~ σ u2 D β MCO ⎯⎯ → N β , ⎯ T (Σ ) XX −1 en muestras grandes. X ′X2º Para muestras suficientemente grande, el límite de Σ XX es ; entonces, la T X ′X matriz Σ XX puede sustituirse por . T 1 X ′X Si E (u) = 0, E ( uu ′ ) = σ 2 I T , E ( X i′u) = 0 y p lim u = Σ XX < ∞ , entonces se T X ′u tiene que : p lim = 0K . T 2 2 X ′X Si E (u) = 0, E (uu ′ ) = σ u I T , E ( X i′u) = 0 y p lim = Σ XX < ∞ , entonces se tiene T X ′u D 2 que: ⎯ → N (0, σ u Σ ⎯ XX ) T
  • 13Por lo tanto, la matriz de covarianzas se aproxima a: ~ ( ) Var β MCO = σ u ( X ′X ) 2 −1 En cuanto el término de error esté libre de autocorrelación, está justificado el uso demínimos cuadrados en un modelo que incluye retardos de la variable endógena. Puede utilizarsela matriz de covarianzas habitual de dicho estimador, quien tiene además una distribuciónnormal en muestras grandes, por lo que los resultados de inferencia estadística sonaproximadamente válidas. Lo anterior es válido con independencia del número de retardos de la variable endógenaque aparecen como variables explicativas.EJEMPLO 1: Se tiene información trimestral para el periodo 1959 - 1996 de las variablessiguientes: GCP Gasto de consumo personal. IPD Ingreso personal disponible. SYS Sueldos y salarios. R Tasa de interés activa promedioespecificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α1 SYS t + α 2 GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado: Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================== C -9.587087 2.659345 -3.605055 0.0004 SYS 0.173464 0.020306 8.542600 0.0000 GCP(-1) 0.891955 0.014170 62.94613 0.0000 ========================================================== R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999934 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 11.97949 Akaike info criteri 7.824331 Sum squared resid 20808.68 Schwarz criterion 7.885085 Log likelihood -576.0005 F-statistic 1108462. Durbin-Watson stat 1.992817 Prob(F-statistic) 0.000000 ==========================================================
  • 14para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuado debemosverificar autocorrelación:h de Durbin:H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden . se estima el rho: DW 1..99281692505 ρ = 1− = 1− = 0.00359153747518 2 2 se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la forma siguiente: 148 h = 0.00359153747518 = 0.0443569947499 < 1645 . 1 − 148( 0.000200792518378) Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m . se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals ============================================================== Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148 ============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob ============================================================== .|. | .|. | 1 0.001 0.001 0.0002 0.989 .|* | .|* | 2 0.083 0.083 1.0538 0.590 ============================================================== m=1 se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la forma siguiente: QBP = 148(0.0012 ) = 0.000184 < 384 . Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula
  • 15m=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148(0.0012 + 0.0832 ) = 1025685 . < 5.99Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulaBreusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=====================================================F-statistic 0.000181 Probability 0.989287Obs*R-squared 0.000186 Probability 0.989120=====================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 0.000186 < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se obtiene del Eviews: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=====================================================F-statistic 0.521517 Probability 0.594744Obs*R-squared 1.071686 Probability 0.585176=====================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 1071686 . < 5.99Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula. Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es eladecuado.
  • 16EJEMPLO 2: Especificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α 1SYSt + α 2 Rt + α 3GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1959:2 1996:1Included observations: 148 after adjusting endpoints========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.========================================================= C -8.224413 2.632759 -3.123876 0.0022 SYS 0.256588 0.034484 7.440758 0.0000 R -1.823686 0.619578 -2.943434 0.0038 GCP(-1) 0.834550 0.023897 34.92267 0.0000=========================================================R-squared 0.999938 Mean dependent var 1854.654Adjusted R-squared 0.999937 S.D. dependent var 1471.192S.E. of regression 11.67493 Akaike info criteri 7.779419Sum squared resid 19627.77 Schwarz criterion 7.860425Log likelihood -571.6770 F-statistic 778035.5Durbin-Watson stat 1.997412 Prob(F-statistic) 0.000000=========================================================para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuadodebemos verificar autocorrelación:h de Durbin: H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden .se estima el rho: DW 1..9974120053 ρ = 1− = 1− = 0.00129399735245 2 2se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la formasiguiente: 148 h = 0.00129399735245 = 0.0164527854599 < 1645 . 1 − 148( 0.00057107024696)Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula
  • 17Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1Included observations: 148==============================================================Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|. | .|. | 1 -0.002 -0.002 0.0008 0.977 .|* | .|* | 2 0.088 0.088 1.1739 0.556==============================================================m=1se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148( − 0.002) = 0.000793 2 < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: ( 2 ) QBP = 148 ( − 0.002) + 0.088 2 = 1142607 . < 5.99Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulaBreusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 0.000834 Probability 0.977003Obs*R-squared 0.000863 Probability 0.976564=========================================================
  • 18 se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la forma siguiente: LM = 0.000863 < 384 . Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula m=2 se obtiene del Eviews: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: ========================================================= F-statistic 0.600709 Probability 0.549810 Obs*R-squared 1.241676 Probability 0.537494 ========================================================= se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la forma siguiente: LM = 1241676 . < 5.99 Por lo tanto, se acepta la hipótesis nula. Concluimos que el método de estimación de mínimos cuadrados ordinarios es el adecuado.2.2. EL TÉRMINO DE ERROR TIENE AUTOCORRELACIÓN El modelo especificado es: Yt = β1 + β 2Yt −1 + β 3 X t + ut β2 < 1 (1) y sigue un patrón de autocorrelación de primer orden, es decir: ut = ρ ut − 1 + ε t donde ε t es ruido blanco. La existencia de autocorrelación en el término de error hace que la propiedad del caso ( ) anterior no se satisfaga. E (Yt −1ut ) ≠ 0 . Por ejemplo: Asumamos en (1) que β1 = β 3 = 0 , entonces el modelo queda: Yt = β 2 Yt −1 + ut tenemos:
  • 19 ( ) E (Yt −1ut ) = E ( β 2 Yt − 2 + ut −1 )ut = β 2 E (Yt − 2 ut ) + E (ut −1ut ) ( E (Yt −1ut ) = β 2 E (Yt − 2 ut ) + E ( ρ ut −1 + ε )ut −1 ) E (Yt −1ut ) = β 2 E (Yt − 2 ut ) + ρ E (ut2−1 ) + E (ε t ut −1 ) E (Yt −1ut ) − β 2 E (Yt − 2 ut ) = ρσ u2 ( ) E (Yt −1ut ) − β 2 E Yt − 2 ( ρ ut −1 + ε t ) = ρσ u2 E (Yt −1ut ) − ρβ 2 E (Yt − 2 ut −1 ) − β 2 E (Yt − 2 ε t ) = ρσ u2 E (Yt −1ut ) − ρβ 2 E (Yt −1ut ) = ρσ u2 (1 − ρβ ) E (Y 2 t −1 t u ) = ρσ u2 ρσ u2 E (Yt −1ut ) = (1 − ρβ ) 2como Yt −1 depende de ut −1 a través del modelo, pero ut −1 y ut están relacionados con laestructura autoregresiva del término de error. En consecuencia Yt −1 y ut están correlacionados;por lo tanto, el estimador de mínimos cuadrados es sesgado. Sabemos que: T Yt −1ut 2 p lim T ~ ( p lim β2 MCO = β2 +) T Yt 2 1 − 2 p lim Ty si los momentos muestrales convergen en probabilidad a sus análogos poblacionales, elnumerador y el denominador son diferentes de cero; por lo tanto, el estimador de mínimoscuadrados no es consistente. Es decir, el sesgo no desaparece al aumentar el tamaño muestral. El procedimiento para obtener estimaciones consistentes de un modelo de este tipo seconoce como estimador de variables instrumentales. Una variable instrumental es una variable Z t que satisface tres condiciones:1º No está incluida en el modelo como variable explicativa.
  • 202º Está incorrelacionada con el término de error E ( Z t ut ) = 0 . ( )3º Está correlacionada con la variable para la cual hace de instrumento. En cuanto a la correlación que debe existir entre una variable instrumental y la variableexplicativa para la que se utiliza, como instrumento, cabe observar lo siguiente:1º Es importante que dicha correlación exista, porque la variable instrumental sustituye parcialmente a la variable endógena rezagada en la estimación del modelo econométrico.2º Dicha correlación no puede ser muy importante, sino también existiría una correlación apreciable entre la variable instrumental y el término de error (esto motivó la necesidad de la variable instrumental). El primer retardo de la variable exógena ( X t −1 ) satisface estas tres condiciones,también podría utilizarse el segundo retardo ( X t −2 ) como variable instrumental; la diferenciaes que la relación entre esta variable y Yt −1 se hace más indirecta. En general, en el vector X tan sólo habrá unas variables que no satisfagan la condiciónE ( Xu) = 0 , y son estas variables las que necesitan de variables instrumentales. Es decir, losvectores X y Z tendrán en común aquellas variables que están incorrelacionadas con el términode error. El estimador de variables instrumentales viene dado: ~ βVI = ( Z ′X ) −1 Z ′Ydonde Z denota la matriz T x K de observaciones muestrales de las variables que componen elvector Z y suponemos que Z ′X es invertible. Para el ejemplo: [ X = 1 Yt −1 Xt ] [ Z = 1 X t −1 Xt ]el estimador de variables instrumentales es: T T −1 T ~ T−1 Yt −1 Xt Yt β1 T T 2 T 2 T 2 ~ β2 = X t −1 X t −1Yt −1 X t X t −1 X t −1Yt ~ 2 2 2 2 β3 VI T T T T Xt X t Yt −1 X t2 X t Yt 2 2 2 2la matriz Z ′X dista de ser simétrica. El estimador de variables instrumentales del modelo, en general, es sesgado porque lavariable Yt −1 aparece en la matriz Z ′X ; pero el estimador es consistente bajo las condicionesde la proposición siguiente:
  • 21 Sea Z una matriz T x K de observaciones de las variables Z1 , Z 2 ,..., Z K , quizáaleatorias. Sea Zt′ la fila t de Z y supongamos que se tiene: E ( Z t′u) = 0 K ∀t Z ′X Z ′Z p lim = ZX , p lim = ZZ T Tambas matrices son singulares y finitas, entonces tenemos: −1 −1 ~ Z ′X Z ′u Z ′X Z ′u ( ) p lim βVI = β + p lim T T = β + p lim T p lim Treemplazando por los supuestos nos da: ~ ( ) p lim βVI = β + −1 ZX 0K = β ~la consistencia de βVI proviene de la ausencia de correlación entre instrumentos y término deerror, con independencia de que éste tenga o no autocorrelación. ~ En ausencia de autocorrelación, podemos caracterizar la distribución asintótica de βVIde la forma siguiente: Dado el modelo Yt = X t′β + ut , donde X t es el vector de variables explicativas, quepuede incluir algunos retardos de la variable endógena, y ut , el término de error es un ruidoblanco, sea X la matriz T x K de observaciones de las variables Z1 , Z 2 ,..., Z K , y supongamosque: E ( Z t′u) = 0 K ∀t Z ′X p lim = ZX simetrica , definida positiva T Z ′Z p lim = ZZ no sin gular Tel teorema de Mann - Wald asegura que bajo los tres supuestos mencionados se tiene: Z ′u Z ′u p lim = 0K y ≈ N (0 K , σ u2 ZZ ) T Ty como:
  • 22 −1 ~ Z ′X Z ′u ( T βVI − β = T ) Tconverge en distribución a: ~ ( T βVI − β ≈ ) ( ) N (0 ZX −1 K 2 ,σ u ZZ ) ~ ′ T (β VI − β ) ≈ N 0 ,σ K 2 u −1 ZX ZZ ( −1 ZX ) 2 ~ σ ′ βVI ≈ N β , T u −1 ZX ZZ ( −1 ZX ) Por lo tanto, este resultado justifica que en muestras grandes se utilice como matriz decovarianzas del estimador de variables instrumentales: σ u2 ′ Var βVI = ( )~ T ( −1 ZX ) ZZ [( ZX ) −1 ] Z ′X Z ′Zy se utiliza las matrices de momentos muestrales , para aproximar sus límites T Trespectivos de ZX , ZZ ; reemplazando nos da: −1 −1 σ u2 ~ ( ) Var βVI = T Z ′X T Z ′Z T Z ′X T −1 = σ u ( Z ′X ) ( Z ′Z ) ( Z ′X ) 2 −1 [ ]′ 2 El parámetro σ u se estimaría dividiendo la suma residual por el número de grados delibertad ( T-K ). Los residuos deben calcularse utilizando las variables originales del modelo,es decir: ~ σ u2 = (Y − Xβ )′ (Y − Xβ ) ~ ~ VI VI T− K Este resultado no puede generalizarse fácilmente al caso en que el término de errortiene autocorrelación, por lo que suele utilizarse la matriz de covarianza anterior incluso en talcaso, aun a sabiendas que no es sino una aproximación. Se ha presentado el estimador de variables instrumentales como si se dispusiese de unnúmero de instrumentos igual al número de variables explicativas, entonces no existe diferencia
  • 23entre instrumentos y variables instrumentales. Generalmente, se dispondrá de un número mayor de instrumentos que de variablesinstrumentales, situación que se denomina " sobreidentificación"; por lo tanto, habría muchasformas de construir las variables instrumentales que precisamos para obtener consistencia. La matriz de covarianzas del estimador de variables instrumentales depende de losvalores de éstas, por lo que el modo en que los instrumentos se “combinan” para generarvariables instrumentales influye sobre la eficiencia de un estimador de variables instrumentalesrespecto a otro estimador de su misma clase. Consideremos el modelo siguiente:en el que las variables , supuestos deterministas, están incorrelacionados conel término de error, y son instrumentos válidos. Pero sólo necesitamos una variable instrumentalpara , y se trataría de buscar cuál de todas las posibles minimiza la varianza del estimadorresultante. Además cualquier combinación lineal de losinstrumentos es asimismo un instrumento válido. Una posibilidad consiste en generar la variable instrumental que presente mayorcorrelación con Yt −1 , entonces estimamos una regresión auxiliar de esta variable sobre los tres ~instrumentos de que disponemos, para obtener la variable generada Yt −1 , que será unacombinación lineal de X 1t −1 , X 2 t −1 y X 3t −1 y, como tal, una variable instrumental válida. ~ La utilización del vector Z t′ = (Yt −1 , X 1t , X 2 t , X 3t ) genera el denominado estimador de (~mínimos cuadrados en dos etapas β MC 2 E . ) El estimador de mínimos cuadrados bietápicos es el estimador lineal de variablesinstrumentales eficiente, en el sentido de tener mínima matriz de covarianza entre losestimadores que utilizan como variables instrumentales combinaciones lineales de losinstrumentos disponibles. La aplicación del método de mínimos cuadrados bietápicos requiere los siguientespasos:1º Estimar una regresión auxiliar de sobre los tres instrumentos de que ~ disponemos, para obtener la variable predicha Yt −1 , que será una combinación lineal de y, como tal, es una variable instrumental válida. ~2º Se sustituye en el modelo original por Yt −1 y se estima el modelo transformado
  • 24 por mínimos cuadrados ordinarios.EJEMPLO 3: Especificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α 1 IPDt + α 2 GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado: Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 0.248943 1.870295 0.133104 0.8943 IPD 0.193060 0.022728 8.494528 0.0000 GCP(-1) 0.801910 0.024844 32.27830 0.0000 ========================================================= R-squared 0.999934 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.00206 Akaike info criteri 7.828095 Sum squared resid 20887.16 Schwarz criterion 7.888850 Log likelihood -576.2790 F-statistic 1104297. Durbin-Watson stat 1.709616 Prob(F-statistic) 0.000000 ========================================================= para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuado debemos verificar autocorrelación: h de Durbin: H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden . se estima el rho: DW 17096162998 . ρ = 1− = 1− = 0145191850101 . 2 2 se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la forma siguiente: 148 h = 0145191850101 . = 1852993577 . > 1645 . 1 − 148( 0.000617205200589) Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula
  • 25Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals==============================================================Sample: 1959:2 1996:1Included observations: 148==============================================================Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|* | .|* | 1 0.145 0.145 3.1700 0.075 .|* | .|* | 2 0.168 0.150 7.4631 0.024==============================================================m=1se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148(01452 ) = 3106615 . . < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: QBP = 148(01452 + 0168 2 ) = 7.285250 . . > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nulaBreusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 3.191138 Probability 0.076143Obs*R-squared 3.208674 Probability 0.073249=========================================================
  • 26se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 3.208674 < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 3.412127 Probability 0.035678Obs*R-squared 6.741162 Probability 0.034370=========================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 6.741162 > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula. Concluimos que mínimos cuadrados ordinarios no es el método de estimaciónadecuado y debemos aplicar el método de variables instrumentales de la siguiente forma: Primero creamos los grupos y a continuación se convierten en matrices, tenemos losgrupos siguientes: G1 = [ 1 IPD GCP(-1) ] ≡ X G2 = [ GCP ] ≡ Y G3 = [ 1 IPD IPD(-1) ] ≡ Z Obtenemos el estimador de los coeficientes de variables instrumentales, así: ~ α0 − 4.191603 ~ ~ −1 αVI = α1 = ( Z ′X ) Z ′Y = 0.298547 ~ α2 0.686558a continuación se calcula el estimador de la varianza de la perturbación, de la siguientemanera: ~ σ u2 = (Y − Xβ )′ (Y − Xβ ) = 165.4665 ~ VI ~ VI 148 − 3
  • 27ahora se estima la varianza de los estimadores de variable intsrumental, así: 6.861411 − 0.093411 0101153 . ~ ( ) Var βVI ~ 2 ( Z ′X ) −1 ( Z ′Z )( Z ′X ) −1 = − 0.093411 0.002198 − 0.002403 = σu 0101153 . − 0.002403 0.002628con esta información podemos calcular el t estadístico para cada estimador de variableinstrumental, de la forma siguiente: tα 0 ~ ~ - 1.60019686721 αi t αVI = t α 1 = ~ ~ = 6.36810211651 tα 2 ~ VAR(α i ) 13.3934789812EJEMPLO 4: Especificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α 1 IPDt + α 2 Rt + α 3GCPt −1 + utse estima por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene el siguientes resultado:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1959:2 1996:1Included observations: 148 after adjusting endpoints========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.========================================================= C 2.046243 2.649849 0.772211 0.4413 IPD 0.214902 0.032202 6.673643 0.0000 R -0.495999 0.517889 -0.957733 0.3398 GCP(-1) 0.778189 0.035086 22.17975 0.0000=========================================================R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192S.E. of regression 12.00548 Akaike info criteri 7.835259Sum squared resid 20754.96 Schwarz criterion 7.916265Log likelihood -575.8092 F-statistic 735778.3Durbin-Watson stat 1.679188 Prob(F-statistic) 0.000000=========================================================para determinar si mínimos cuadrados ordinarios es el método de estimación adecuadodebemos verificar autocorrelación:
  • 28h de Durbin: H 0 : Ausencia de autocorrelacion 1º orden .se estima el rho: DW 1..67918769606 ρ = 1− = 1− = 0160406151972 . 2 2se calcula el estadístico h y se compara con el estadístico de la tabla normal, de la formasiguiente: 148h = 0160406151972 . = 2.15786848852 > 1645 . 1 − 148( 0.00123099578102)Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.Box Pierce: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .se obtiene del Eviews: Correlogram of Residuals===========================================================Sample: 1959:2 1996:1 Included observations: 148===========================================================Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob=========================================================== .|* | .|* | 1 0.160 0.160 3.8730 0.049 .|* | .|* | 2 0.180 0.158 8.8008 0.012===========================================================m=1se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: 2 QBP = 148(016) = 3.7888 . < 384 .Por lo tanto, se acepta la hipótesis nulam=2se calcula el estadístico q y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de la formasiguiente: ( . . ) QBP = 148 ( 016) + 018 2 = 8.591901 2 > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.
  • 29Breusch-Godfrey: H 0 : Ausencia de autocorrelacion orden m .m=1se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 4.321373 Probability 0.039423Obs*R-squared 4.341279 Probability 0.037199=========================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 4.341279 > 384 .Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nulam=2se obtiene del Eviews:Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:=========================================================F-statistic 4.734702 Probability 0.010219Obs*R-squared 9.252508 Probability 0.009791=========================================================se calcula el estadístico LM y se compara con el estadístico de la tabla chi cuadrado, de laforma siguiente: LM = 9.252508 > 5.99Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula. La estimación de mínimos cuadrados ordinarios presenta autocorrelación y el modelotiene dos variables exógenas, entonces el método adecuado es mínimos cuadrados en dosetapas. En el Eviews escribimos el comando siguiente: TSLS GCP C IPD R GCP(-1) @ C IPD IPD(-1) R R(-1)se obtiene del Eviews:
  • 30 Dependent Variable: GCP Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1959:2 1996:1 Included observations: 148 after adjusting endpoints Instrument list: C IPD IPD(-1) R R(-1) ========================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================= C 1.645073 2.834786 0.580316 0.5626 IPD 0.194944 0.059191 3.293451 0.0012 R -0.269375 0.765920 -0.351701 0.7256 GCP(-1) 0.799938 0.064501 12.40185 0.0000 ========================================================= R-squared 0.999935 Mean dependent var 1854.654 Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192 S.E. of regression 12.02149 Sum squared resid 20810.34 F-statistic 733707.8 Durbin-Watson stat 1.711471 Prob(F-statistic) 0.000000 =========================================================3. VARIABLE EXÓGENA REZAGADA Si el modelo es del tipo: Yt = β1 + β 2 X 2 t + β 3 X 2 t −1 + ...+ β S X 2 t − S + ut no se incumplen las hipótesis básicas del modelo lineal general, porque las distintas variables explicativas del modelo de regresión son todas deterministas. En este modelo aparecen tan sólo dos posibles dificultades: 1º Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionados entre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable. Cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de X t , más importante será la presencia de alto grado de multicolinealidad. 2º Cuando la estructura de retardos es de orden infinito, entonces es imposible estimar directamente el modelo, porque no tendríamos observaciones suficientes para ello. Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricción entre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con un número reducido de variables explicativas. En la formación de expectativas, otros modelos utilizan el total de la historia, asignando pesos específicos que decrecen a los valores anteriores, a medida que se retrocede hacia el pasado distante. Estos se conocen como modelos de expectativas de rezagos distribuidos.
  • 31 Las posibles soluciones al problema de estimación en presencia de variables exógenas retardadas son los siguientes: 1º Utilizar estimadores adecuados en el caso de multicolinealidad severa (ESTIMADORES CRESTA). β ( k ) = ( X X + kI ) −1 X Y ˆ 2º Elaborar una única variable transformada, por ejemplo: r r r r Zt = X t −i Zt = X t −i /( r + 1) Zt = pi X t − i pi i =0 i =0 i =0 i =0 3º Estimar con distribuciones de retardos. Yt = α * W ( L ) X t + et Wt = ω 0 + ω1 L + ω 2 L2 + ω 3 L3 + ... + ω r Lr3.1. RETARDOS FINITOS Consideremos el siguiente modelo de Demanda de saldos reales: el mecanismo de expectativas adaptativas es: también se puede expresar de la siguiente forma: K * π t +1 = γ i π t −i i=0 Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valores rezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignan a estos valores pasados. El modelo de rezago distribuido finito se obtiene sustituyendo la ecuación de ajuste de expectativas en el modelo original, el resultado es el siguiente:
  • 32 multiplicando y simplificando se obtiene: en términos de sumatoria sería: K K K Mt = β1 + β 2 γ i π t −i + ut = β1 + β 2γ i π t −i + ut = β1 + β i*π t −i + ut Pt i =o i =o i =o Los retardos consecutivos de una variable económica tienden a estar correlacionados entre sí, tanto más cuanto mayor sea la estructura de autocorrelación de dicha variable; por lo tanto, cuanto mayor sea la correlación entre los retardos de , más importante será la presencia de alto grado de multicolinealidad. Existen planteamientos alternativos de distribuciones de retardos finitos, por ejemplo: 1º Aritmética: r W ( L) = ( r + 1 − i ) Li i =0 2º V Invertida: s −1 r i W ( L) = (1 + i ) L + ( r + 1 − i ) Li con s = r / 2 i =0 i=s 3º Almon: r W ( L) = (γ 0 + γ 1i + γ 2i 2 + ... + γ q i q ) Li i =0 4º Shiller: rW ( L) = (γ 0 + γ 1i + γ 2i 2 + ... + γ q i q + υ i ) Li con υ i ≈ N (0, σ 2υ ) i =0
  • 335º Armónicas: q 2πW ( L) = β + ( Ak sen θ kj + Bk cos θ kj ) Li con θ kj = k. j k =0 n +1 Consideraremos a Almon que generalizó para el caso en que sigue un polinomiode grado r en i. Esto se conoce como rezago de Almon o polinomial. Se denota como PDL(K, r), donde PDL significa una distribución polinomial de rezagos, K es la longitud derezagos y r es el grado del polinomio. Por ejemplo, si r = 2, escribimos: Sustituyendo el PDL en el modelo transformado, se obtiene:definiendo:reemplazando en el modelo anterior, nos queda:se estima el modelo por mínimos cuadrados ordinarios y se obtiene los estimados de , luegoa partir del polinomio se calcula los valores de . Al reducir el número de parámetros a estimar, se simplifica el modelo original ydisminuye el riesgo de alto grado de multicolinealidad en el modelo auxiliar, aunque al seréste más restrictivo, cabe la posibilidad que el modelo resultante auxiliar no esté bienespecificado, lo que originaría sesgos en las estimaciones de sus parámetros. Aunque todos los desarrollos se han realizado considerando una sola variable exógena X tcon varios retardos, los polinomios anteriores se pueden aplicar a estructuras más complejasde retardos distribuidos en distintas variables exógenas y en la endógena. Los rezagos polinomiales suponen tres tipos de problema:1º Problemas de distribuciones de cola prolongada.- es difícil captar distribuciones de retardo de colas prolongadas, como la que se observa en el gráfico.
  • 34 Para resolver este problema puede utilizarse un polinomio por tramos, o bien un polinomio para la inicial y un rezago de Koyck o geométrico para la última parte.2º Problema en la elección de la longitud del retardo K.- Schmidt y Waud sugieren escoger K con base en la máxima: Frost efectuó una simulación experimental utilizando este criterio y descubrió un importante sesgo hacia arriba en la longitud del rezago. Por lo tanto, para corregir el sesgo Frost sugiere utilizar relaciones F mayores que 1, es decir, F = 2.3º Problemas para escoger r, el grado del polinomio.- Si se especifica en forma correcta la longitud K del rezago, entonces lo que se hace es iniciar con un polinomio de grado lo suficientemente alto (cuarto o quinto grado) e ir hacia atrás (forma secuencial) hasta rechazar la hipótesis nula (no significancia).EJEMPLO 5: Especificamos la función consumo siguiente: m GCPt = α + βi IPDt −i + ut i=0primero se elige el retardo óptimo, estimando por mínimos cuadrados ordinarios la funciónconsumo con cero retardos, un retardo, dos retardos y así sucesivamente; finalmenteelegimos la mejor estimación. mediante los criterios de información. En el Eviews se escribe los comandos siguientes: LS GCP C IPD LS GCP C IPD IPD(-1) LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3)
  • 35 LS GCP C IPD IPD(-1) IPD(2) IPD(-3) IPD(-4) ............................................................. De las estimaciones de Eviews construimos el siguiente cuadro: ================================================ 2 M T R AKAIKE SCHWARZ ================================================ 0.000000 148.0000 0.999459 9.916938 9.957441 1.000000 148.0000 0.999550 9.739763 9.800517 2.000000 147.0000 0.999595 9.640053 9.721425 3.000000 146.0000 0.999625 9.568611 9.670790 4.000000 145.0000 0.999656 9.489712 9.612887 5.000000 144.0000 0.999687 9.399949 9.544315 6.000000 143.0000 0.999712 9.323912 9.489665 7.000000 142.0000 0.999728 9.270235 9.457576 8.000000 141.0000 0.999739 9.236198 9.445330 9.000000 140.0000 0.999744 9.221678 9.452807 10.00000 139.0000 0.999755 9.185458 9.438794 11.00000 138.0000 0.999768 9.136352 9.412107 12.00000 137.0000 0.999772 9.122193 9.420585 13.00000 136.0000 0.999779 9.097349 9.418598 14.00000 135.0000 0.999786 9.072103 9.416432 15.00000 134.0000 0.999789 9.063944 9.431580 16.00000 133.0000 0.9998067 8.978877 9.370052 17.00000 132.0000 0.9998066 8.984089 9.399037 18.00000 131.0000 0.999804 9.003127 9.442089 19.00000 130.0000 0.999801 9.023694 9.486911 20.00000 129.0000 0.999797 9.045514 9.533234 ===============================================elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado, el menor Akaike y el menor Schwarz. Se aplica el polinomio de retardos distribuidos y se estima por mínimos cuadradosordinarios, empezamos el proceso utilizando un polinomio de grado alto (sexto grado); y severifica si el coeficiente correspondiente a este grado es significativo. Si no lo es, entonces disminuimos un grado el polinomio y se vuelve a verificar lasignificancia. Si lo es, entonces esa es la estimación adecuada. El comando para estimar es: LS GCP C PDL(IPD, 16, 6)el eviews nos muestra el resultado siguiente:
  • 36Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -6.339855 3.600894 -1.760634 0.0807 PDL01 -0.012270 0.030316 -0.404748 0.6864 PDL02 -0.005282 0.013266 -0.398128 0.6912 PDL03 0.009811 0.009862 0.994854 0.3217 PDL04 0.000367 0.000950 0.386271 0.7000 PDL05 -0.000659 0.000472 -1.396955 0.1649 PDL06 -9.23E-06 1.30E-05 -0.709186 0.4795 PDL07 9.78E-06 5.33E-06 1.832573 0.0692================================================== Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 07 = 0 t β PDL 07 = 1832573 < t( 0.95,125) = 1979124 . . Por lo tanto, no es significativo. Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cinco del polinomio. El comando para estimar es: LS GCP C PDL(IPD, 16, 5)el eviews nos muestra el resultado siguiente:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -6.050610 3.630943 -1.666402 0.0981 PDL01 0.034509 0.016505 2.090798 0.0386 PDL02 -0.008626 0.013262 -0.650385 0.5166 PDL03 -0.007747 0.002358 -3.286186 0.0013 PDL04 0.000644 0.000946 0.680622 0.4974 PDL05 0.000202 4.09E-05 4.943113 0.0000 PDL06 -1.32E-05 1.30E-05 -1.016531 0.3113==================================================
  • 37 Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 06 = 0 t β PDL 06 = − 1016531 < t( 0.95,126) = 19789706 . . Por lo tanto, no es significativo. Entonces disminuimos un grado el polinomio y volvemos a verificar la significanciadel coeficiente del grado cuarto del polinomio. El comando para estimar es: LS GCP C PDL(IPD, 16, 4)el eviews nos muestra el resultado siguiente:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints========================================================= Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.========================================================= C -5.808098 3.623573 -1.602865 0.1114 PDL01 0.035690 0.016467 2.167386 0.0321 PDL02 0.003547 0.005701 0.622171 0.5349 PDL03 -0.007954 0.002349 -3.386001 0.0009 PDL04 -0.000308 0.000135 -2.278716 0.0244 PDL05 0.000206 4.08E-05 5.052374 0.0000=========================================================R-squared 0.999819 Mean dependent var 2025.369Adjusted R-squared 0.999812 S.D. dependent var 1456.228S.E. of regression 19.97692 Akaike info criterion 8.871096Sum squared resid 50682.82 Schwarz criterion 9.001487Log likelihood -583.9279 F-statistic 140257.9Durbin-Watson stat 0.484322 Prob(F-statistic) 0.000000========================================================= Lag Distribution of IPD i Coefficie Std. Error T-Statistic============================================================ . *| 0 0.49948 0.04026 12.4056 . * | 1 0.22122 0.01176 18.8102 .* | 2 0.06149 0.01836 3.34862 *. | 3 -0.01368 0.02152 -0.63571 *. | 4 -0.03333 0.01861 -1.79085
  • 38 *. | 5 -0.02154 0.01451 -1.48436 * | 6 0.00254 0.01370 0.18539 * | 7 0.02470 0.01553 1.59095 .* | 8 0.03569 0.01647 2.16739 .* | 9 0.03118 0.01536 2.03015 * | 10 0.01180 0.01400 0.84292 *. | 11 -0.01689 0.01589 -1.06299 *. | 12 -0.04438 0.02046 -2.16924*. | 13 -0.05523 0.02297 -2.40470 *. | 14 -0.02903 0.01876 -1.54705 .* | 15 0.05954 0.01324 4.49886 . * | 16 0.24077 0.04599 5.23524============================================================ Sum of Lags 0.97433 0.00304 320.727============================================================ Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 05 = 0 t β PDL 05 = 5.052374 < t( 0.95,127 ) = 19788195347 . Por lo tanto, es significativo. La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente: GCPt = −5808098244 + 0.4994778688 IPDt + 0.221219823IPDt −1 . + 0.06149146821IPDt − 2 − 0.01368081228 IPDt − 3 − 0.0333281558 IPDt − 4 − 0.02153941711IPDt −5 + 0.00253887094 IPDt − 6 + 0.02470249744 IPDt − 7 + 0.03568957339 IPDt −8 + 0.03118053171IPDt − 9 + 0.01179812725IPDt −10 − 0.01689256324 IPDt −11 + 0.04438414106 IPDt −12 − 0.0552268856 IPDt −13 − 0.02902875434 IPDt −14 + 0.05954461717 IPDt −15 + 0.2407699153IPDt −16EJEMPLO 6: Especificamos la función consumo siguiente: m GCPt = α 0 + α 1 Rt + β i IPDt −i + ut i =0se sigue el mismo procedimiento del ejemplo anterior.
  • 39 Determinamos el retardo óptimo: ================================================ 2 M T R AKAIKE SCHWARZ ================================================ 0.000000 148.0000 0.999708 9.307039 9.367793 1.000000 148.0000 0.999729 9.240432 9.321438 2.000000 147.0000 0.999726 9.256498 9.358214 3.000000 146.0000 0.999724 9.270765 9.393379 4.000000 145.0000 0.999724 9.275053 9.418758 5.000000 144.0000 0.999730 9.258455 9.423444 6.000000 143.0000 0.999735 9.245726 9.432199 7.000000 142.0000 0.999739 9.236356 9.444513 8.000000 141.0000 0.999744 9.225159 9.455204 9.000000 140.0000 0.999746 9.222191 9.474332 10.00000 139.0000 0.999755 9.192085 9.466532 11.00000 138.0000 0.999767 9.147645 9.444613 12.00000 137.0000 0.999771 9.135508 9.455214 13.00000 136.0000 0.999777 9.111658 9.454324 14.00000 135.0000 0.999784 9.086885 9.452734 15.00000 134.0000 0.999787 9.078252 9.467514 16.00000 133.0000 0.9998052 8.993054 9.405961 17.00000 132.0000 0.9998051 8.998324 9.435112 18.00000 131.0000 0.999802 9.017919 9.478829 19.00000 130.0000 0.999799 9.038893 9.524168 20.00000 129.0000 0.999795 9.060936 9.570825 ===============================================elegimos el retardo 16 como el óptimo porque tiene el mayor coeficiente de determinaciónajustado y el menor Akaike; si se considerará el criterio Schwarz el óptimo sería 1. Elección del grado de polinomio óptimo: El comando para estimar es: LS GCP C R PDL(IPD, 16, 6)el eviews nos muestra el resultado siguiente:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -8.162016 5.836322 -1.398486 0.1645 R 0.499054 1.255326 0.397550 0.6916
  • 40 PDL01 -0.010006 0.030947 -0.323329 0.7470 PDL02 -0.005299 0.013311 -0.398116 0.6912 PDL03 0.009571 0.009914 0.965390 0.3362 PDL04 0.000355 0.000954 0.372635 0.7101 PDL05 -0.000650 0.000474 -1.371854 0.1726 PDL06 -8.85E-06 1.31E-05 -0.676314 0.5001 PDL07 9.67E-06 5.36E-06 1.804222 0.0736================================================== Verificamos si el coeficiente del sexto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 07 = 0 t β PDL 05 = 1804222 < t( 0.95,124 ) = 19792801166 . . Por lo tanto, el coeficiente del grado sexto del polinomio no es significativo,entonces estimamos el modelo considerando un polinomio de quinto grado y los resultadosdel Eviews son:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1963:1 1996:1Included observations: 133 after adjusting endpoints================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob.================================================== C -8.290242 5.888299 -1.407918 0.1616 R 0.612332 1.265014 0.484052 0.6292 PDL01 0.036662 0.017143 2.138648 0.0344 PDL02 -0.008603 0.013303 -0.646677 0.5190 PDL03 -0.007808 0.002368 -3.297102 0.0013 PDL04 0.000626 0.000950 0.659165 0.5110 PDL05 0.000202 4.11E-05 4.912057 0.0000 PDL06 -1.27E-05 1.30E-05 -0.970754 0.3335================================================== Verificamos si el coeficiente del quinto grado del polinomio es significativo, de laforma siguiente: H0 : β PDL 06 = 0 t β PDL 06 = − 0.970754 < t( 0.95,125) = 197912410942 . Por lo tanto, no es significativo. El coeficiente del grado quinto del polinomio no es significativo, entonces estimamosel modelo considerando un polinomio de cuarto grado y los resultados del Eviews son:
  • 41 Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample(adjusted): 1963:1 1996:1 Included observations: 133 after adjusting endpoints ================================================== Variable Coefficient Std. Erro t-Statistic Prob. ================================================== C -8.423679 5.885348 -1.431297 0.1548 R 0.712117 1.260543 0.564929 0.5731 PDL01 0.038139 0.017071 2.234169 0.0272 PDL02 0.003023 0.005791 0.521900 0.6027 PDL03 -0.008015 0.002358 -3.399155 0.0009 PDL04 -0.000286 0.000141 -2.024389 0.0450 PDL05 0.000205 4.09E-05 5.015150 0.0000 ================================================== Verificamos si el coeficiente del cuarto grado del polinomio es significativo, de la forma siguiente: H0 : β PDL 05 = 0 t β PDL 05 = 5.01515 < t ( 0.95,126) = 197897060199 . Por lo tanto, es significativo. La estimación adecuada de la función consumo es la siguiente: GCPt = −8.423678855 + 0.7121166325Rt + 0.4874192342 IPDt + 0.214724703IPDt −1 + 0.05901103723IPDt − 2 − 0.01343158555IPDt − 3 − 0.03139067077 IPDt − 4 − 0.01873140654 IPDt −5 + 0.005603336277 IPDt − 6 + 0.02759300405IPDt − 7 + 0.03813936043IPDt −8 + 0.03306648629 IPDt − 9 + 0.01312077977 IPDt −10 − 0.01602904374 IPDt −11 − 0.04379195161IPDt −12 − 0.05465459393IPDt −13 − 0.02818130358 IPDt −14 + 0.06098590386 IPDt −15 + 0.24312733IPDt −163.2. RETARDOS INFINITOS Consideremos el modelo de Demanda de saldos reales: el mecanismo de expectativas adaptativas es:
  • 42en forma de sumatoria se expresa: ∞ * π t +1 = γ i π t −i i=0cuando el número de retardos es infinito es imposible estimar directamente el modelo,porque no tendríamos observaciones suficientes para ello. Esto recibe el nombre de rezago distribuido finito, ya que el número de valoresrezagados o pasados es finito. son los pesos específicos que se asignana estos valores pasados. Los modelos de rezago distribuido recibieron mayor atención en la década de 1950,cuando Koyck, Cagan y Nerlove sugirieron utilizar una distribución infinita de rezagos, conpesos específicos que se reducen en forma geométrica. Para estimar este modelo es imprescindible imponer a priori algún tipo de restricciónentre los coeficientes, de modo que el modelo pueda transformarse en otro con un númeroreducido de variables. Algunos planteamientos alternativos de distribuciones de retardos infinitos son:1º Geométrica: 1− λ W ( L) = 1 − λL2º Pascal: (1 − λ ) r W ( L) = con r entero y positivo (1 − λL) r3º Racional: U ( L) W ( L) = con U ( L ) y V ( L ) polinomios de gra do m y n V ( L)4º Gamma:
  • 43 ∞ 1 W ( L) = i s −1 exp( −i ) Li Γ( s ) i =05º Exponencial: ∞ m W ( L) = exp pk i k con pm < 0 i =0 k =1 Si los decrecen de manera geométrica, es posible escribir:entonces la suma de la serie infinita es , y si esta suma es igual a 1, se deberá tener . Así, Al sustituir esta expresión en el modelo original, nos da:esto abarca una serie infinita y los valores infinitos anteriores de no se observan , espreciso resolver este problema de alguna forma. Lo que se hace es dividir la serie en dospartes : el pasado observado y el no observado. Las series infinitas se escriben: La primera parte se observa y se denota por medio de , la segunda parte puedeescribirse:sustituyendo en el modelo, queda:
  • 44 en realidad el parámetro c no interesa, dependen de . Aplicaremos el método de estimación de máxima verosimilitud al modelo: Mt = β 1 + β 2 Z1t + γλ t + ut Pt suponemos: ut ≈ N (0, σ u2 I T ) El logaritmo de la función de verosimilitud es: T 2 Mt T T 1 Mtln L , Z1t β 1 , β 2 , γ , λ = − ln 2π − ln σ u2 − − β 1 − β 2 Z t − γλ t Pt 2 2 2σ u2 t =1 Pt se maximiza la función de verosimilitud con respecto a β 1 , β 2 , γ y λ es equivalente a minimizar la suma residual. Por lo tanto, el estimador de máxima verosimilitud coincide con el estimador de mínimos cuadrados ordinarios. Como el parámetro λ debe tomar valores en el intervalo (-1,1), entonces es posible hacer una partición de dicho intervalo, por ejemplo: -1, -0.9, ..., 0, 0.1, 0.2, ..., 1 y estimar el modelo por mínimos cuadrados ordinarios bajo cada uno de estos valores de λ , obteniendose: −1 T λ (1 − λT ) T ~ T Z1t Yt β1 t =1 1− λ t =1 T T T ~ β2 = Z12t λt Z1t Z1t Yt ~ γ t =1 t =1 t =1 λ (1 − λ2 T ) 2 T λt Yt 1 − λ2 t =1
  • 45 En general, no tiene mucho sentido suponer que los coeficientes β i del modelooriginal alternan en signo, por lo que λ se supone inferior a la unidad en valor absoluto,pero positivo; entonces, es el intervalo (0,1) el que se particiona. Tras estimar el modelo suponiendo los diferentes valores de λ , se escoge aquelvalor de λ que generó una suma residual menor o un coeficiente de determinación más alto.Las estimaciones de β 1 y β 2 son las que se obtuvieron con dicho valor de λ . Si queremos afinar más en los valores numéricos estimados, puede hacerse unasubdivisión de un intervalo alrededor del valor de λ inicialmente estimado, y repetir elproceso. La matriz de covarianzas apropiada es la inversa de la matriz de información, puesel estimador que se ha obtenido es, en realidad, el de máxima verosimilitud. Para ello, habría que obtener la matriz de segundas derivadas de la función de ( 2 )verosimilitud con respecto al vector de parámetros β 1 , β 2 , γ , λ , σ u , puesto que ahora seestiman todos simultáneamente. Dicha matriz de covarianzas es: −1 T λ(1 − λT ) T ∂Z T Z1t β2 1t + tλt −1γ 0 t =1 1− λ t =1 ∂λ ~ T T T ∂Z β1 Z12t λt Z1t β2 1t + tλt −1γ Z1t 0 ~ β2 t =1 t =1 t =1 ∂λ ~ λ (1 − λ2 T ) 2 T ∂Z I −1 γ = σ u2 β2 1t + tλt −1γ λt 0 ~ 1 − λ2 t =1 ∂λ λ 2 ~ T ∂Z1t t −1 σ u2 β2 + tλ γ 0 t =1 ∂λ T 2 2σ ualgunas observaciones: ~ 2σ u2 ~ ~ ~ ~1º La varianza del estimador σ u2 es igual a , y es independiente de β1 , β2 , γ y λ . T2º La submatriz superior de orden 3 x 3 coincide con la matriz que se utilizó para obtener el estimador de mínimos cuadrados ordinarios. Para la estimación del modelo transformado se sigue el procedimiento siguiente:1º Para cada valor de en el rango ( 0 , 1 ) se construyen las variables:
  • 46 es decir: y así sucesivamente; y .2º Estimamos el modelo transformado por el método de mínimos cuadrados ordinarios y obtenemos la suma de cuadrados residual.3º Se escoge el valor de para el que la suma residual es mínimo y obtenemos los valores correspondientes de como los estimados de mínimos cuadrados que se desean.4º Si queremos afinar más en los valores numéricos estimados, puede hacerse una subdivisión de un intervalo alrededor del valor de inicialmente estimado, y repetir el proceso anterior.Obsérvese que, dado que son funciones no lineales de , la estimación delmodelo transformado involucra el método de mínimos cuadrados no lineales. Sin embargo,para un valor dado de , tenemos un modelo lineal de mínimos cuadrados. Así, utilizamosun procedimiento de búsqueda sobre . En la práctica, se elige en intervalos de 0.1 enel primer paso y de 0.01 en el segundo.EJEMPLO 7: Especificamos la función consumo siguiente: ∞ GCPt = α + βi IPDt −i + ut (1) i =0 Si los decrecen de manera geométrica, es posible escribir:entonces la suma de la serie infinita es , y si esta suma es igual a 1, se deberá tener . Así, ∞ GCPt = α + (1 − λ )λi IPDt −i + ut ( 2) i =0
  • 47 rezagamos un periodo el modelo y multiplicamos por λ: ∞ λ GCPt −1 = αλ + (1 − λ )λi +1 IPDt −i −1 + λ ut −1 (3) i =0 restando (3) de (2): GCPt = α + (1 − λ ) IPDt + λ GCPt −1 + (ut − λ ut −1 ) o GCPt = α + λ* IPDt + λGCPt −1 + ut* el resultado es el modelo del ejemplo 3 y el proceso de estimación ya se conoce.4. CONTRASTE DE EXOGENEIDAD DE HAUSMAN Y WU Es aconsejable cuestionarse acerca de las propiedades de exogeneidad de las variables explicativas, pues, de no satisfacerse, obtendríamos estimadores inconsistentes. Hausman (1978) y Wu (1973) sugieren escribir el modelo a estimar, distinguiendo entre las r variables explicativas Y1 que pueden estar coorrelacionadas con el término de error de aquellas K-r variables Z1 cuya ortogonalidad a ut no se cuestiona: Y = Xβ + u = Y1α + Z1δ + u y supongamos que se dispone de una lista de instrumentos para Y1 , en caso de que se necesitasen. El contraste consiste en: 1º Estimar el modelo por mínimos cuadrados ordinarios. 2º Estimar el modelo por el método de variables instrumentales o mínimos cuadrados en dos etapas. 3º La hipótesis que se plantea es: H 0 : Todas las variables explicativas del modelo original son exógenas. 4º El estadístico es: ~ ′ ~ [ ~ ~ ] (β ~ ~ −1 (β MCO − βVI ) Var(βVI ) − Var(β MCO ) MCO ) − βVI ≈ χ r2 Un valor elevado del estadístico rebatirá tal supuesto y mostraría la necesidad de utilizar un procedimiento de estimación de variables instrumentales.
  • 48EJEMPLO 8: Especificamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α 1 IPDt + α 2 GCPt −1 + utse quiere verificar si la variable GCP −1 se puede tratar como exógena. Siguiendo el tprocedimiento, primero se estima el modelo por mínimos cuadrados ordinarios:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1959:2 1996:1Included observations: 148 after adjusting endpoints============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 0.248943 1.870295 0.133104 0.8943 IPD 0.193060 0.022728 8.494528 0.0000 GCP(-1) 0.801910 0.024844 32.27830 0.0000============================================================R-squared 0.999934 Mean dependent var 1854.654Adjusted R-squared 0.999933 S.D. dependent var 1471.192S.E. of regression 12.00206 Akaike info criteri 7.828095Sum squared resid 20887.16 Schwarz criterion 7.888849Log likelihood -576.2790 F-statistic 1104297.Durbin-Watson stat 1.709616 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================ A continuación se estima el modelo por el método de variables instrumentales omínimos cuadrados en dos etapas:Dependent Variable: GCPMethod: Two-Stage Least SquaresSample(adjusted): 1959:2 1996:1Included observations: 148 after adjusting endpointsInstrument list: C IPD IPD(-1)============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C -4.191603 2.619429 -1.600197 0.1117 IPD 0.298547 0.046882 6.368102 0.0000 GCP(-1) 0.686558 0.051261 13.39348 0.0000============================================================R-squared 0.999925 Mean dependent var 1854.654Adjusted R-squared 0.999924 S.D. dependent var 1471.192S.E. of regression 12.86338 Sum squared resid 23992.65F-statistic 960998.7 Durbin-Watson stat 1.358172Prob(F-statistic) 0.000000============================================================
  • 49 La hipótesis que se plantea es: H 0 : Todas las variables explicativas del modelo original son exógenas. ~ ′ ~ )[ ( )~ ~ )] (β ~ ~ −1 (βMCO ( − βVI Var βVI − Var β MCO MCO ) − βVI = 6.61844563805 > χ12 = 384 . Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.5. INTERPRETACIÓN DE LOS MODELOS DINÁMICOS Un modelo dinámico más general, representado por: Yt = δ + β 0 X t + β1 X t −1 + .....+ β q + α 1Yt −1 + α 2Yt − 2 + .....+ α pYt − p + ε t aplicando el operador de retardos se tendrá: A( L)Yt = δ + B( L) X t + ε t dividimos por A(L) el modelo y se obtiene: δ B( L ) ε Yt = + Xt + t A( L) A( L) A( L) se puede expresar: Yt = γ + D( L) X t + ut Un modelo es estable cuando cumple alguna de las dos condiciones siguientes: 1º Ante una variación puntual en el valor de una variable explicativa, la variable dependiente retorna a su valor de equilibrio. 2º Ante una variación permanente en el valor de una variable explicativa, la variable dependiente evoluciona hacia un nuevo valor de equilibrio. Se demuestra que para que un modelo dinámico sea estable las raíces del polinomio A(L) deben ser en valor absoluto mayores que la unidad. Esta condición de estabilidad nos asegura que la suma de los coeficientes del polinomio D(L) es finita, es decir, la serie es convergente. Por tanto el impacto sobre la variable endógena es finito, pasado un tiempo se retorna al equilibrio o bien, se tiende hacia un nuevo equilibrio. MULTIPLICADORES Y RETARDOS Estos conceptos son importantes al analizar el efecto que, sobre la variable explicada,
  • 50tiene una variación unitaria de la variable explicativa.1º Multiplicador de Impacto o Contemporáneo: (m0 ) representa el cambio que se produce en la variable endógena (Yt ) ante una variación unitaria de la exógena en el período actual ( Xt ). ∂ Yt m0 = = β0 ∂X t2º Multiplicador de Retardo j: ( jm ) cuantifica el efecto que sobre la variable endógena (Yt ) tiene una variación unitaria de la exógena en el período t-j ( X t − j ) . ∂ Yt mj = ≠ βj ∂X t − j en este caso no coincide, porque existe una dependencia implícita de las variables dependientes retardadas. Considerando el polinomio D(L) se tendrá que: ∂ Yt mj = =δj ∂X t − j3º Multiplicador Total: (mT ) es la suma de todos los multiplicadores. ∞ mT = mj j=0 para que un modelo tenga sentido económico el multiplicador total debe ser finito. Esto ocurrirá siempre que el proceso sea estable y viceversa.4º Retardo Medio: se define como la media ponderada, por el retardo, de todos los coeficientes del polinomio D(L) es decir, ∞ jδ j j =1 R. M .= ∞ δj j =1 La idea del retardo medio es informarnos si el impacto, sobre la variable endógena de una variación de la exógena, está muy concentrado o diluido en el
  • 51 tiempo.5º Retardo Mediano: se define como el instante en que se alcanza el 50 % del impacto total que se produce en Yt debido a una variación en X t .EJEMPLO 1: Se tenía la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α1 SYS t + α 2 GCPt −1 + utel modelo se puede transformar de la forma siguiente: GCPt − α 2 GCPt −1 = α 0 + α1 SYS t + ut GCPt − α 2 LGCPt = α 0 + α1 SYS t + ut (1 − α L)GCP 2 t = α 0 + α1 SYS t + ut α0 α1 ut GCPt = + SYS t + (1 − α 2 L) (1 − α 2 L) (1 − α 2 L)deducimos los multiplicadores, a saber:M1MI = α1 = 0.173464.M1MD1 = α1α 2 = c(2)*c(3) = 0.154722. 2M1MD2 = α1α 2 = c(2)*c(3)^2 = 0.138005............... α1M1MLP = = c(2)/(1-c(3)) = 1.605471. 1 − α2 B ′ (1) A ′ (1) 0 − α2 α2Retardo Medio = − = − = = c(3)/(1-c(3)) = 8.2554. B(1) A(1) α1 1 − α 2 1 − α 2EJEMPLO 2: Teníamos la función consumo siguiente: GCPt = α 0 + α1 SYS t + α 2 Rt + α 3 GCPt −1 + utel modelo se puede transformar de la forma siguiente:
  • 52 GCPt − α 3 GCPt −1 = α 0 + α1 SYS t + α 2 Rt + ut GCPt − α 3 LGCPt = α 0 + α1 SYS t + α 2 Rt + ut (1 − α L)GCP 3 t = α 0 + α1 SYS t + α 2 Rt + ut α0 α1 α2 ut GCPt = + SYS t + Rt + (1 − α 3 L) (1 − α 3 L) (1 − α 3 L) (1 − α 3 L)deducimos los multiplicadores, a saber:M2MISYS = α1 = 0.256588.M2MD1SYS = α1α 3 = c(2)*c(4) = 0.214135.M2MD2SYS = α1α 32 = c(2)*c(4)^2 = 0.178707............... α1M2MLPSYS = = c(2)/(1-c(4)) = 1.550845. 1 − α3M2MIR = α 2 = -1.823686.M1MD1 = α 2α 3 = c(3)*c(4) = -1.521957.M1MD2 = α 2α 32 = c(3)*c(4)^2 = -1.270149............... α2M1MLP = = c(3)/(1-c(4)) = -11.02256. 1 − α3 B ′ (1) A ′ (1) 0 − α3 α3Retardo Medio = − = − = = c(4)/(1-c(4)) = 5.0441. B(1) A(1) α 2 1 − α 3 1 − α 3
  • CAPITULO II MODELOS NO LINEALES1. INTRODUCCIÓN El modelo econométrico es del tipo: Yt f Xt , ut t 1,2,..., T donde f X t , es una función no lineal de los componentes de los vectores X t y . Una especificación no lineal de un modelo econométrico puede estar indicando la incertidumbre del investigador acerca de la verdadera relación entre las variables del modelo. Por ejemplo: Ct 1 Y 2 t 3 ut la estimación del parámetro 3 permitiría contrastar la hipótesis de dependencia lineal o propensión marginal a consumir constante 3 1 , frente a otras alternativas (la de una menor sensibilidad del gasto en consumo a variaciones en la renta disponible 3 1 ). Este modelo puede interpretarse como una primera especificación, para pasar a estimar un modelo lineal si la hipótesis 3 1 se acepta en una primera estimación del modelo. Conviene distinguir entre varios tipos de no linealidades que pueden presentarse en la práctica. Por ejemplo: 1º Yt 1 2 e X2t 3 X 3t X 4 t ut La no linealidad del modelo afecta únicamente a sus variables, pero no a sus coeficientes. Asumimos que: Z2t e X2t y Z 3t X 3t X 4 t remplazamos en el modelo, nos da: Yt 1 2 Z2t 3 Z 3t ut Por lo tanto, siempre que la no linealidad del modelo afecte únicamente
  • 54 a sus variables explicativas, entonces queda resuelto mediante una transformación de datos.2º Yt X t 1 ln Yt 2 Xt ut La no linealidad del modelo afecta también a la variables endógena que haga imposible expresarla de modo explícito como función de los vectores X t y . La forma funcional de tales modelos es una función implícita: g Yt , X t , ut t 1,2,..., T .3º Yt 1 2 e 3 X 2t ut La no linealidad del modelo afecta tan sólo a sus coeficientes pero no a sus variables. Podría el modelo expresarse de la siguiente forma: * Yt 1 2 X 2t ut pero no podrían recuperarse estimaciones de los coeficientes 2 y 3 , a no ser que se contara con información adicional acerca de sus valores numéricos (Ejemplo: suma o cociente fuesen conocidos).4º Yt 1 ln 2 Xt ut La no linealidad del modelo es en los coeficientes sin que ello presente dificultades serias de estimación; el modelo se expresa: * Yt 1 2 Xt ut * luego se recupera el valor de 2 2 e 2 . Pero el valor de 2 así obtenido no heredaría las propiedades estadísticas que pudiera tener el estimador de e 2 .5º Yt 1 2 Xt 3 ut Este modelo es otro modelo no lineal que no puede tratarse por métodos lineales. A diferencia de los modelos lineales, en modelos no lineales el número deparámetros no coincide necesariamente con el número de variables explicativas, comoocurre en los modelos segundo, tercero y quinto.
  • 552. UNA APROXIMACIÓN LINEAL AL MODELO NO LINEAL El modelo: Yt f Xt , ut t 1,2,..., T . consistiría en obtener la mejor aproximación lineal (mediante un desarrollo en serie de Taylor) de la función f X t , alrededor de un estimador inicial y estimar el modelo lineal resultante mediante mínimos cuadrados ordinarios. Dicha aproximación es: f Xt , Y f Xt , ut t 1,2,..., T . desplazando lo conocido al primer miembro, nos queda: f Xt , f Xt ,Y f Xt , ut t 1,2,..., T . obteniéndose el modelo lineal: f Xt , Yt * ut t 1,2,..., T . donde, f Xt , Yt * Yt f Xt , ft f Xt , denotamos por el vector gradiente en cada período dimensión K x 1 y por ft su valor en el punto . Dada una primera aproximación al estimador , se trata de construir la variable Yt * , así como las K variables que componen el valor del gradiente de la función f X t ,
  • 56 ft en el punto ,i 1,2,..., K . i Las “observaciones muestrales ” correspondientes a estas variables son función de las observaciones muestrales de Yt , X t y del vector . A continuación se estima por mínimos cuadrados ordinarios el modelo lineal: 1 1~ f f f f f f f Y* Y f X, remplazando y simplificando nos da: 1 1 ~ f f f f f f f u u donde, u Y f X , es el residuo obtenido con la estimación inicial de . Asimismo tenemos que: f1 f1 f1 ..... 1 2 K f X1, f f2 f2 f2 f ..... f X2 , 1 2 K f X, ..... ..... ..... ..... ..... fT fT fT f XT , ..... 1 2 K 2 La estimación del parámetro u se obtiene similar a un modelo lineal, es decir: ~~ u u ~ 2 ~ donde u Y f X, . u T K ~ ~ f f Si existe la matriz inversa de , entonces la distribución de probabilidad del estimador de mínimos cuadrados de esta aproximación lineal es:
  • 57 1 ~ ~ ~ 2 f f MCO N , uy 2 T K u 2 2 T K u ~independiente de la distribución normal del vector .Ejemplo 1: Consideremos la estimación del modelo no lineal: 1IPDt GCPt f IPDt , 0, 1 ut 0e utse tiene el vector gradiente: ft ft 1 IPDt 1 IPDt , e , 0 IPDt e 0 1si los valores iniciales son: 0 GCP y 1 0. El modelo puede aproximarse linealmente, así: ft 0 , 1 ft 0 , 1 Yt f Xt , 0, 1 0 1 0 1 ft 0 , 1 ft 0 , 1 0 1 ut 0 1 1 IPDT 1 IPDT 1 IPDT GCPt 0 1 IPDt e 0 e 1 0 IPDt e utreemplazando los valores iniciales y aplicando mínimos cuadrados ordinarios nos da elresultado de la primera iteración, éstos parámetros estimados vienen a ser la condición
  • 58inicial para la estimación de la segunda iteración, así sucesivamente. Para elegir la mejorestimación tenemos:APROXIMACIÓN APLICANDO TAYLOR=================================================I T R2 AJUSTADO AKAIKE SCHWARZ=================================================1 149.00 0.9994612 9.9134183 9.95373982 149.00 0.9266390 14.414373 14.4546943 149.00 1.0000000 17.463923 17.5042444 149.00 0.9999888 17.463906 17.5042285 149.00 0.9999185 17.383859 17.4241816 149.00 0.9983820 17.112626 17.1529477 149.00 0.9439979 14.579590 14.6199128 149.00 -1.3941428 18.374217 18.414538================================================= La mejor estimación es la primera iteración, cuyo resultado es:Dependent Variable: _Y+B01*B11*_X*EXP(B11*_X)Method: Least SquaresSample: 1959:1 1996:1Included observations: 149======================================================= Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.======================================================= EXP(B11*_X) -30.23673 4.542309 -6.656688 0.0000B01*_X*EXP(B11*_X) 0.000502 9.59E-07 523.9418 0.0000=======================================================R-squared 0.999465 Mean dependent var 1844.290Adjusted R-squared 0.999461 S.D. dependent var 1471.661S.E. of regression 34.16168 Akaike info criteri 9.913418Sum squared resid 171552.0 Schwarz criterion 9.953740Log likelihood -736.5497 Durbin-Watson stat 0.351869======================================================= Este procedimiento sólo dará buenos resultados si las condiciones iniciales estánpróximos a los verdaderos valores de y . (a priori no tenemos mucha información).Ejemplo 2: Consideremos la estimación del modelo no lineal: GCPt f IPDt , 0 , 1 , 2 ut 0 1 IPDt 2 ut
  • 59 se tiene el vector gradiente: ft ft ft , , 1, IPDt 2 , 1 IPDt 2 ln IPDt 0 1 2 se asume que 2 1 y estimamos por mínimos cuadrados ordinarios el modelo lineal y nos da:. Dependent Variable: _Y Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ==================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ==================================================== C -30.23673 4.542309 -6.656688 0.0000 _X 0.926281 0.001768 523.9418 0.0000 ==================================================== R-squared 0.999465 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.999461 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 34.16168 Akaike info criteri 9.913418 Sum squared resid 171552.0 Schwarz criterion 9.953740 Log likelihood -736.5497 F-statistic 274515.0 Durbin-Watson stat 0.351869 Prob(F-statistic) 0.000000 ==================================================== Por lo tanto, los valores iniciales son: 0 -30.2367319005 , 1 0.926280822995 y. 2 1. El modelo puede aproximarse linealmente, así: ft 0 , 1 , 2 ft 0 , 1 , 2 ft 0 , 1 , 2Yt f Xt , 0 , 1 , 2 0 1 2 0 1 2 ft 0 , 1 , 2 ft 0 , 1 , 2 ft 0 , 1 , 2 0 1 2 ut 0 1 2GCPt 1 2 IPDt 2 ln IPDt 0 1 IPDt 2 2 1 IPDt 2 ln IPDt ut reemplazando los valores iniciales y aplicando mínimos cuadrados ordinarios nos da el resultado de la primera iteración, éstos parámetros estimados vienen a ser la condición inicial para la estimación de la segunda iteración, así sucesivamente. Para elegir la mejor estimación tenemos:
  • 60 APROXIMACIÓN APLICANDO TAYLOR ================================================= I T R2 AJUSTADO AKAIKE SCHWARZ ================================================= 1 149.00 0.9999972 9.2161800 9.2766621 2 149.00 0.9999964 9.2114934 9.2719756 3 149.00 0.9999975 9.2114927 9.2719748 4 149.00 0.9999974 9.2114927 9.2719748 5 149.00 0.9999974 9.2114927 9.2719748 6 149.00 0.9999974 9.2114927 9.2719748 ================================================= La mejor estimación es la tercera iteración, cuyo resultado es: Dependent Variable: _Y+M2B13*M2B23*_X^M2B23*LOG(_X) Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ========================================================== Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ========================================================== C 51.69951 7.023200 7.361247 0.0000 _X^M2B23 0.556281 0.023068 24.11473 0.0000 M2B13*_X^M2B23*LOG(_X 1.058673 0.004776 221.6437 0.0000 ========================================================== R-squared 0.999997 Mean dependent var 16939.23 Adjusted R-squared 0.999997 S.D. dependent var 15017.00 S.E. of regression 23.97097 Akaike info criteri 9.211493 Sum squared resid 83892.67 Schwarz criterion 9.271975 Log likelihood -683.2562 F-statistic 29041974 Durbin-Watson stat 0.755780 Prob(F-statistic) 0.000000 ==========================================================3. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES El procedimiento de mínimos cuadrados no depende en modo alguno de la linealidad del modelo, por lo que es aplicable en condiciones más generales. La lógica del método de mínimos cuadrados es escoger valores de los T 2 SR Yt f Xt , t 1 parámetros de modo que se minimice la suma residual:
  • 61 Tomando derivadas con respecto a cada uno de los componentes del vector setiene: SR T ft 2 Yt f Xt , 0 1 t 1 1 SISTEMA SR T ft DE 2 Yt f Xt , 0 t 1 ECUACIONES 2 2 NORMALES ............................................................. SR T ft 2 Yt f Xt , 0 K t 1 K ftsiendo y Yt f Xt , escalares. i Este sistema se abrevia: T ft Yt f Xt , 0K t 1en forma matricial: f f Y f X, Como ut Yt f Xt , , entonces rescribimos: T ft ut 0 i 1,2,..., K. t 1 io matricialmente: T ft f ut u 0K t 1
  • 62 La solución al sistema de ecuaciones normales es el estimador de mínimoscuadrados no lineales (MCNL). El estimador de mínimos cuadrados del modelo Yt f Xt , ut para t = 1, 2,..., T. es aquel vector de coeficientes que genera un vector de residuos ortogonal a cadauno de los componentes del vector gradiente de la función f X t , evaluado en . Una diferencia muy importante con el modelo lineal es que, en modelos en quela función f X t , no dependen linealmente del vector , sus derivadas parcialestampoco serán, en general, funciones lineales de los componentes del vector . Esta peculiaridad de los modelos no lineales genera, a su vez, una serie dedificultades:1º El hecho de que el estimador de MCNL dependa del vector Y, y en consecuencia del vector u en forma no lineal; entonces, en general, será sesgado. Las propiedades del estimador de MCNL vendrán de su posible relación con el estimador de máxima verosimilitud.2º La solución a un sistema de ecuaciones no lineales puede no ser única y, por tanto, un modelo no lineal puede poseer varios estimadores mínimo cuadráticos. Pudiera ser que el estimador de mínimos cuadrados no existiese, pues un sistema de ecuaciones no lineales no siempre tiene solución (diferente al caso lineal). Hay que resolver el sistema de ecuaciones normales o el problema de optimizacióndel que éstas proceden por métodos numéricos (algoritmos), como por ejemplo:1º De Búsqueda.- Es aplicable cuando K, número de parámetros a estimar, es pequeño (uno o dos) y el rango de sus valores admisibles está acotado. El algoritmo consiste: i) Construir una partición de dicho intervalo. ii) Evaluar la función F en cada uno de los puntos de la partición. iii) Elegir como estimador aquel punto que proporciona un valor numérico más pequeño de la función F .2º Del Descenso Más Rápido.- Una estrategia posible para tratar de minimizar el valor de la función F
  • 63 consiste en desplazarnos de un vector inicial 0 a otro 1 , de acuerdo con la expresión: 1 0 F 0 0 donde la elección del parámetro 0 , que se conoce como longitud de paso, es crucial para reducir efectivamente el valor de F . En efecto, si el valor de fuese excesivamente grande, entonces pudiera ser que F 1 F 0 , lo cual implicaría que el algoritmo podría no converger.3º Newton - Raphson.- Supongamos que disponemos de una estimación n del mínimo de una función continuamente diferenciable. Si consideramos un entorno pequeño del punto n el valor numérico de F en un punto de dicho entorno puede aproximarse mediante un desarrollo en serie de Taylor de orden 2. Este algoritmo se utiliza de un modo iterativo, utilizando la nueva estimación como punto de partida en cada etapa del algoritmo y llevando a cabo iteraciones hasta que se satisfagan los criterios de convergencia que el investigador haya estipulado. Lo utilizan los mínimos cuadrados general y máxima verosimilitud.4º De Scoring.- Diseñado para el caso en que se pretende obtener el estimador de máxima verosimilitud, este algoritmo se basa en la propiedad de que la esperanza matemática de la matriz hessiana de la función de verosimilitud (matriz de información cambiada de signo) tiene una expresión analítica más sencilla que la propia matriz de derivadas segundas. Como aproximación, se ha sugerido sustituir la matriz de derivadas segundas por la matriz de información, teniéndose el llamado algoritmo de “ scoring ”: 1 n n 1 I n 1 ln L n 1 Las ventajas son: i) Converge más lentamente que el algoritmo de Newton - Raphson. ii) La matriz de información es siempre definida positiva, entonces no hay problema en seguir una dirección inapropiada.
  • 64 Una vez lograda la convergencia, el estimador alcanzado tiene como matriz de covarianzas la inversa de la matriz de información.5º Gauss - Newton.- Es una variante del algoritmo de Newton - Raphson, útil cuando se trata de estimar por mínimos cuadrados un modelo no lineal, en el que la función objetivo es: T 2 F SR Yt f Xt , t 1 el algoritmo de Gauss - Newton consiste en ignorar el término que contiene la segunda derivada de f t en el hessiano (Porque su contribución es muy pequeña); entonces se sustituye el hessiano por la matriz simétrica, definida positiva: T ft ft t 1 por lo que el algoritmo de Gauss - Newton resulta: 1 T T ft ft ft n n 1 ut t 1 t 1 n 1 n 1 Si se logra la convergencia del algoritmo, el estimador resultante tiene distribución asintótica normal, con esperanza igual a , y matriz de covarianzas: 1 T 2 ft ft Var u t 1 2 2 SR donde el parámetro u se estima mediante u , donde K denota el T K número de coeficientes estimados. En el caso de un modelo de regresión lineal, la expresión anterior del algoritmo Gauss- Newton se reduce, como es lógico, a la que proporciona el estimador de mínimos cuadrados ordinarios:
  • 65 T 1 T Xt Xt X t Yt t 1 t 1 Cuando el tamaño muestral crece, el estimador de mínimos cuadrados obtenidopor alguno de los algoritmos numéricos tiene una distribución normal, con esperanzay matriz de covarianza: 1 2 T f Xt , f Xt , Var u t 1 2donde el parámetro u se estima: 2 uu u donde u Y f X, T K Los habituales contrastes de hipótesis mediante estadísticos t o F son válidos, sinmás que utilizar las expresiones anteriores en el cálculo de la matriz de covarianzas. Lascondiciones bajo las que los resultados anteriores son válidas incluyen la existencia deun único mínimo global de la función SR y la no singularidad de la matriz límite. 1 f f p lim T TEjercicio: Las condiciones de optimalidad para la obtención del estimador MCNL serían: SR , T Xt Xt 2 Yt e e 0 t 1 SR , T Xt Xt 2 Yt e Xte 0 t 1que carecen de solución explícita. Suponiendo que el sistema pudiera resolverse, lamatriz de covarianzas estimada de las estimaciones sería:
  • 66 T T 1 e2 Xt X t e2 Xt 2 2 t 1Var , u ft , ft , u T T t 1 2 Xt 2 Xte X t2 e 2 Xt t 1 t 1 donde, T 2 Xt Yt e 2 t 1 u T 2 Ejemplo 2: Estimar el modelo siguiente: GCPt 0 1 IPDt 2 ut si la condición inicial es: 0 30.23673 1 0.926281 2 1 Aplicando mínimos cuadrados no lineales en el Eviews se obtiene el resultado siguiente: Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 Convergence achieved after 24 iterations GCP=C(1)+C(2)*IPD^C(3) ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 51.69854 7.024917 7.359310 0.0000 C(2) 0.556285 0.023101 24.08103 0.0000 C(3) 1.058672 0.004783 221.3328 0.0000 ============================================================ R-squared 0.999738 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.999735 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 23.97097 Akaike info criteri 9.211493 Sum squared resid 83892.66 Schwarz criterion 9.271975 Log likelihood -683.2562 Durbin-Watson stat 0.755779 ============================================================
  • 67 Ejemplo 1: Estimar el modelo no lineal siguiente: 1IPDt GCPt 0e ut si los valores iniciales son: 0 GCP y 1 0 . Aplicando mínimos cuadrados no lineales en el Eviews se obtiene el resultado siguiente: Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 Convergence achieved after 4 iterations GCP=C(1)*EXP(C(2)*IPD) ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 1844.284 121.1642 15.22136 0.0000 C(2) 0.000156 1.96E-05 7.966532 0.0000 ============================================================ R-squared 0.446024 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.442256 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 1099.070 Akaike info criteri 16.85565 Sum squared resid 1.78E+08 Schwarz criterion 16.89597 Log likelihood -1253.746 Durbin-Watson stat 0.000443 ============================================================4. EL ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSIMILITUD La obtención del estimador de máxima verosimilitud precisa de un determinado supuesto acerca de la distribución de probabilidad del término de error. 2 Supongamos que u N 0, u T I , la función de verosimilitud muestral es: T T 1 2 Yt f Xt , 2 1 2 2 2 L , u 2 e u t 1 2 u 2 y su logaritmo, evaluado en , u es:
  • 68 2 T T 2 1 ln L , u ln 2 ln u 2 SR 2 2 2 u donde, T 2 SR Yt f Xt , t 1 Por lo tanto, ! Si el parámetro 2 u no depende de ninguno de los parámetros , entonces escoger el vector de parámetros que maximice la función de verosimilitud (o su logaritmo) es equivalente a escoger el vector que minimice la suma residual SR . ! Si el término de error sigue una distribución de probabilidad Normal y si su varianza es independiente de los componentes del vector , entonces los estimadores de máxima verosimilitud y de mínimos cuadrados, si existen, coinciden. Las condiciones necesarias para la maximización de la función de verosimilitud son: 2ln L , u 1 SR 1 T ft 2 2 Yt f Xt , 0K K ecuaciones 2 u u t 1 2 2ln L , u T 1 T 2 2 4 Yt f Xt , 0 1 ecuacion u 2 u 2 u t 1 cuyas soluciones proporcionan las estimaciones de máxima verosimilitud del vector y el 2 parámetro u bajo la hipótesis de normalidad. 2 La última ecuación genera la estimación de máxima verosimilitud de u : 2 SR u T después de la estimación del vector . La matriz de covarianzas del estimador de máxima verosimilitud puede aproximarse,
  • 69para muestras grandes, por la inversa de la matriz de información. Para calcular dicha matriz,se obtiene las derivadas de segundo orden del logaritmo de la función de verosimilitud y secalcula su esperanza matemática. Es decir: 2 2 2 T ln L 1 SR ln L 1 ft ft 2 E 2 2 u 2 u t 1 i ji 2 2 ln L 1 SR ln L 2 4 E 2 0K u 2 u u 2 2 ln L T SR ln L T 2 2 4 6 E 2 2 4 u u 2 u u u u 2 u SR 2 SRdonde, y es el gradiente de la suma residual y su matriz hessiana,formada por las derivadas de segundo orden. De la segunda esperanza se concluye, que las estimaciones de máxima verosimilitud 2del vector y del parámetro u son independientes según crece el tamaño muestral. La matriz de información es: 1 f f 2 0K 2 u I , u T 0K 4 2 usi invertimos y sustituimos los parámetros desconocidos por sus estimaciones, se obtiene: 1 2 f f u 0K 2 Var , u MV 4 2 u 0K T
  • 70si se cumple que: 1º el término de error siga una distribución de probabilidad normal. 2º el tamaño de la muestra sea suficientemente grande. f f 3º la matriz sea no singular. En la práctica sólo se dispone de muestras finitas, por lo que la matriz anterior es sólouna aproximación a dicha matriz de covariazas.Ejemplo 2: Estimar el modelo siguiente: GCPt 0 1 IPDt 2 utsi la condición inicial es: 0 30.23673 1 0.926281 2 1 Aplicando máxima verosimilitud en el Eviews se obtiene el resultado siguiente:System: SYS01Estimation Method: Full Information Maximum Likelihood (Marquardt)Sample: 1959:1 1996:1Included observations: 149Total system (balanced) observations 149Convergence achieved after 32 iterations============================================================= Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.============================================================= C(1) 51.76558 16.63088 3.112619 0.0022 C(2) 0.556083 0.035386 15.71498 0.0000 C(3) 1.058713 0.007116 148.7785 0.0000=============================================================Log Likelihood -683.2562Determinant residual covariance 563.0384=============================================================Equation: GCP=C(1)+C(2)*IPD^C(3)Observations: 149R-squared 0.999738 Mean dependent var 1844.290Adjusted R-squared 0.999735 S.D. dependent var 1471.661S.E. of regression 23.97097 Sum squared resid 83892.72Durbin-Watson stat 0.755801=============================================================
  • 71 Ejemplo 1: Estimar el modelo no lineal siguiente: 1IPDt GCPt 0e ut si los valores iniciales son 0 GCP 1844. y 1 0. Aplicando mínimos cuadrados no lineales en el Eviews se obtiene el resultado siguiente: System: SYS02 Estimation Method: Full Information Maximum Likelihood (Marquardt) Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 Total system (balanced) observations 149 Convergence achieved after 15 iterations ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 1844.290 122.1742 15.09558 0.0000 C(2) 0.000156 2.69E-05 5.792957 0.0000 ============================================================ Log Likelihood -1253.746 Determinant residual covariance 1191749. ============================================================ Equation: GCP=C(1)*EXP(C(2)*IPD) Observations: 149 R-squared 0.446020 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.442252 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 1099.074 Sum squared resid 1.78E+08 Durbin-Watson stat 0.000443 ============================================================5. TRANSFORMACIÓN DE BOX - COX El modelo es: Y X u que se encuentra en un gran número de estudios recientes es la transformación Box - Cox, X 1 X
  • 72 Si es conocido entonces es una regresión lineal que puede estimarse por mínimoscuadrados. Por ejemplo, si: 0 X Log X 1 X X 1 1 X Xotros valores de dan lugar a otras muchas formas funcionales diferentes. Si se toma como un parámetro desconocido, la regresión se convierte en no linealen los parámetros. Aunque ninguna transformación la reduciría a la linealidad, los mínimoscuadrados no lineales no plantean complicaciones. En la mayoría de los casos, podemosesperar que el valor estimado por mínimos cuadrados de esté entre -2 y 2. Por tanto,habitualmente se estima buscando en este rango con incrementos de 0.1. Cuando es igual a cero, la transformación se efectúa utilizando la regla de L’Hopital: X 1 d X 1d lim lim lim X ln X ln X 0 0 1 0 Si se encuentra un mínimo de la suma de cuadrados y se desea mayor precisión, sepueden examinar las áreas a derecha e izquierda del óptimo actual con incrementos de 0.01y así sucesivamente. Una vez que se ha localizado el valor óptimo de las estimaciones demínimos cuadrados, el residuo medio cuadrático y este valor de constituyen lasestimaciones por mínimos cuadrados no lineales de los parámetros (y, si se da normalidad enlos errores, las de máxima verosimilitud). Una vez que se ha determinado el valor óptimo de , a veces es tratado como si fueseun valor conocido en los resultados de mínimos cuadrados. Pero es una estimación de unparámetro desconocido; entonces los errores estándar de mínimos cuadrados siempreinfraestimarán los errores estándar asintóticos correctos.Ejemplo 2: Estimar el modelo siguiente: GCPt 0 1 IPDt 2 utaplicando el algoritmo de búsqueda tenemos el cuadro siguiente:
  • 73 MODELO S. R. GCPt 0 1 ln IPDt ut 0 34267075 0.1 27992884 0.2 22300599 0.3 17235346 0.4 12827798 IPDt 1 GCPt 0 1 ut 0.5 9093879. 0.6 6035293. 0.7 3640734. 0.8 1887626. 0.9 744174.1 GCPt 0 1 IPDt ut 1 171552.0 IPDt 1 1.1 126052.1 GCPt 0 1 ut 1.2 561070.0 1.3 1428841.se elige la estimación con menor suma residual siendo el resultado:Dependent Variable: GCPMethod: Least SquaresSample: 1959:1 1996:1Included observations: 149============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 104.4731 3.722355 28.06639 0.0000 (IPD^1.1-1)/1.1 0.427658 0.000700 611.2752 0.0000============================================================R-squared 0.999607 Mean dependent var 1844.290Adjusted R-squared 0.999604 S.D. dependent var 1471.661S.E. of regression 29.28306 Akaike info criteri 9.605227Sum squared resid 126052.1 Schwarz criterion 9.645549Log likelihood -713.5894 F-statistic 373657.4Durbin-Watson stat 0.523119 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================
  • 74 Aplicando el algoritmo de búsqueda para el intervalo ]1.0,1.1[ tenemos los resultados siguientes: MODELO S. R. 1.01 144034.0 1.02 121743.7 1.03 104635.3 IPDt 1 GCPt 0 1 ut 1.04 92662.35 1.05 85778.41 1.06 83936.76 1.07 87090.47 se elige la estimación siguiente: Dependent Variable: GCP Method: Least Squares Sample: 1959:1 1996:1 Included observations: 149 ============================================================ Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 53.99643 3.089224 17.47896 0.0000 (IPD^1.06-1)/1.06 0.582905 0.000778 749.1422 0.0000 ============================================================ R-squared 0.999738 Mean dependent var 1844.290 Adjusted R-squared 0.999736 S.D. dependent var 1471.661 S.E. of regression 23.89557 Akaike info criteri 9.198595 Sum squared resid 83936.76 Schwarz criterion 9.238917 Log likelihood -683.2953 F-statistic 561214.1 Durbin-Watson stat 0.756293 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================6. CONTRASTE DE RESTRICCIONES6.1. RESTRICCIONES LINEALES Si H 0 : d R r ( elemento de holgura o discrepancia ) incluso si la hipótesis fuese cierta, no debe esperarse que el vector de discrepancia fuese exactamente igual a cero, al menos debido al error muestral. Por lo tanto, la tarea del investigador debe decidir si dicho
  • 75 vector de discrepancia es suficientemente grande como para hacer imposible el mantenimiento de la hipótesis nula. El vector de discrepancia es una función lineal del estimador , que tiene una distribución normal; entonces d tendrá una distribución normal, bajo la hipótesis nula. Si H 0 es cierta, se tiene: E d E R r RE r R r 0q 2 1 Var d Var R r RVar R u R XX R Estos resultados sugieren la realización del contraste de H 0 utilizando el criterio de Wald: 1 2 W d Var d d q 2 En la práctica se desconoce el valor de u , por lo que se divide W, que depende tan sólo de la estimación de mínimos cuadrados ordinarios del vector de coeficientes, por otra 2 forma cuadrática que depende sólo de la estimación de u ; como ambas estimaciones son independientes entre sí, el cociente de ambas formas cuadráticas se distribuyen como F.6.2. RESTRICCIONES NO LINEALES R Si H 0 : R r y suponemos que la matriz de orden q x K, con q K tiene rango igual a q (menos restricciones que parámetros, y que las restricciones no son redundantes). El contraste se lleva a cabo en función del tamaño del vector de discrepancia d R r , existiendo algunas diferencias: 1º R es función no lineal, entonces E R no es igual a RE , pero por la consistencia del estimador de mínimos cuadrados ordinarios, podemos afirmar: p lim R R p lim 2 2º no se puede mantener la distribución en muestras finitas para la forma cuadrática
  • 76 utilizada en la construcción de los estadísticos t o F. (Debido a la no linealidad).6.3. CONTRASTE F Si se estima el modelo por mínimos cuadrados mediante la aproximación lineal vista (serie de Taylor) la distribución del estadístico: SR R SR q F F q ,T K SR T K no es conocida en muestras finitas.6.4. CONTRASTE WALD La dificultad reside en el cálculo de la varianza de la diferencia R r , que es función no lineal del estimador . Para calcular, se obtiene una aproximación lineal: R R R R R Var R Var R siendo matriz q x K y la varianza de R se aproxima: El estadístico: 1 2 R r VarR R r q para cuyo cálculo sólo precisamos del estimador sin restringir, y que es asintóticamente equivalente a q veces el estadístico F.
  • CAPITULO III VARIABLE DEPENDIENTE CUALITATIVA Y LIMITADA1. MODELOS DE ELECCION DISCRETA Los modelos de elección discreta consideran una variable indicadora dependiente. Esta variable indicadora podrá tomar dos o más valores, si toma sólo dos valores (cero o uno) se trata de una variable dicotómica. Existen numerosos ejemplos de variables explicadas, a saber: o Existen también muchos métodos de analizar los modelos de regresión en lo que el valor de la variable dependiente es cero o uno. Por ejemplo: el modelo de probabilidad lineal, la función discriminante, modelo probit y modelo logit.1.1. MODELO DE PROBABILIDAD LINEAL Se utiliza para denotar un modelo de regresión en el que la variable dependiente Y es dicotómica, y toma el valor de uno o cero. Por simplicidad, asumiremos una sola variable explicativa (X). La variable Y es una variable indicadora que denota la ocurrencia o no ocurrencia de un evento. El modelo se describe como: con . La esperanza condicional , se interpreta como la probabilidad de que ocurre el evento, dado . El valor calculado de Y a partir de la ecuación de regresión ( ) nos da la probabilidad estimada de que ocurre el evento, dado un valor específico para X. En la práctica, estas probabilidades estimadas pueden encontrarse fuera del rango admisible (0, 1).
  • 78 Las razones por las cuales no se puede aplicar mínimos cuadrados ordinarios son:1º La no normalidad de las perturbaciones.- Dado que toma los valores de 1 o 0 entonces los errores en la regresión tomará los valores siguientes: En realidad los siguen una distribución binomial. Aunque el método de mínimos cuadrados ordinarios no requiere esto, se asumen con fines de inferencia estadística. Por lo tanto, existe un problema con la aplicación de las pruebas usuales de significancia. El supuesto de normalidad no es tan crítico, porque las estimaciones puntuales de mínimos cuadrados ordinarios siguen siendo insesgados; además, a medida que aumenta indefinidamente el tamaño de la muestra los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios tienden por lo general a tener una distribución normal. Por lo tanto, para muestras grandes, la inferencia estadística de los modelos de probabilidad lineal seguirá el procedimiento usual de mínimos cuadrados ordinarios bajo el supuesto de normalidad.2º La varianza de la perturbación es heterocedástica.- Las probabilidades respectivas de los eventos son: se tiene que: sacando factor común ( ) y simplificando nos da: también se puede expresar de la siguiente forma:
  • 79 La varianza de es heterocedástica porque depende de la esperanza condicional de , que depende del valor que tome . Los estimados de mínimos cuadrados ordinarios de no serán eficientes. Es posible utilizar el procedimiento siguiente para estimar el modelo: I.- Se estima el modelo (ecuación 1) por mínimos cuadrados ordinarios y a continuación se calcula . II.- Se estima por mínimos cuadrados ponderados el modelo transformado siguiente: se soluciona el problema heterocedástico, pero subsiste los otros.3º La predicción cae fuera de los limites ( 0 , 1 ).- La crítica más importante se refiere a la propia formulación, que la esperanza condicional puede estar fuera de los límites (0,1). El gráfico de la siguiente página revela la acumulación de puntos sobre y . Es fácil que los valores predichos se encuentren fuera del intervalo (0,1) y que los errores de predicción sean muy grandes. Existen dos métodos para saber si los estimadores están efectivamente entre 0 y 1; son:
  • 80 1.- Estimar el modelo de probabilidad lineal por mínimos cuadrados ordinarios y ver si los se encuentran entre 0 y 1, si alguno de ellos es menor a cero entonces se supone que para estos casos es cero; si son mayores a 1, se suponen iguales a uno. 2.- Diseñar una técnica de estimación que garantice que las probabilidades condicionales estimadas de estén entre 0 y 1. Los modelos Logit y Probit garantizarán que todas las probabilidades estimadas se encuentren entre los límites lógicos 0 y 1. 4º La medida de bondad de ajuste.- El coeficiente de determinación considerado tiene un valor limitado en los modelos de respuesta dicotómica. El coeficiente de determinación será alto, únicamente cuando la dispersión específica esté muy cercana a los puntos A y B del gráfico anterior, puesto que en este caso es fácil fijar la línea recta uniendo los dos puntos. En este caso el predicho está muy cerca de 0 o 1. John Aldrich y Forrest Nelson plantean que el uso del coeficiente de determinación como un estadístico resumen debe evitarse en aquellos modelos que contengan variables dependientes cualitativas.1.2. EJEMPLO El modelo especificado es: Las variables se definen: NOMBRE DEFINICIÓN UNIDAD DE MEDIDA CAPAGO CAPACIDAD DE PAGO NUEVOS SOLES CLIENTE CONDICIÓN DEL CLIENTE PUNTUAL = 1 MOROSO = 0 EDAD EDAD DEL CLIENTE AÑOS GARANTÍA MONTO DE LA GARANTÍA NUEVOS SOLES INTERÉS TASA DE INTERÉS EFECTIVA PORCENTAJE MENSUAL
  • 81 NOMBRE DEFINICIÓN UNIDAD DE MEDIDANUMCUOTA NÚMERO DE CUOTASPERÍODO DURACIÓN DEL PRÉSTAMO MESESPRÉSTAMO MONTO DEL PRÉSTAMO NUEVOS SOLESSEXO SEXO MASCULINO = 1 FEMENINO = 0VALCUOTA VALOR DE LA CUOTA NUEVOS SOLES Para estimarlo se dispone de información estadística recopilada de una institución financiera del Departamento de Piura. El método de estimación es mínimos cuadrados ponderados y el procedimiento a seguir es el siguiente: 1º Estimar el modelo por mínimos cuadrados ordinarios Se escribe en el Eviews: LS CLIENTE C EDAD PRESTAMO SEXO PERIODO a continuación se oprime ENTER y nos da el resultado siguiente: Dependent Variable: CLIENTE Method: Least Squares Sample: 1 60 Included observations: 60 =========================================================== Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. =========================================================== C -0.815473 0.306770 -2.658258 0.0103 EDAD 0.014550 0.005161 2.819315 0.0067 PRESTAMO 1.89E-05 9.95E-06 1.895651 0.0633 SEXO 0.159441 0.110854 1.438297 0.1560 PERIODO 0.064383 0.022997 2.799581 0.0070 =========================================================== R-squared 0.332861 Mean dependent var 0.516667 Adjusted R-squared 0.284341 S.D. dependent var 0.503939 S.E. of regression 0.426316 Akaike info criteri 1.212381 Sum squared resid 9.995971 Schwarz criterion 1.386910 Log likelihood -31.37144 F-statistic 6.860387 Durbin-Watson stat 1.511575 Prob(F- statistic) 0.000149 ===========================================================
  • 822º Se realiza la estimación de la probabilidad de la siguiente forma: Abrir la ecuación Procs Forecast OK y se muestra un gráfico y el software crea un icono con el nombre que se le colocó a la estimación (CLIENTEF). Para observar los resultados de la variable CLIENTEF se da dos clic y paquete nos muestra lo siguiente: CLIENTEF========================================================== Modified: 1 60 // fit(f=actual) clientef 1 0.417364 1.104751 0.155492 0.803627 0.554091 6 0.814965 0.515421 0.486014 0.909758 0.899076 11 0.475652 0.765374 0.770710 1.321578 0.987106 16 0.536256 0.575847 1.014905 0.341672 0.405989 21 0.230938 0.643846 0.488985 0.437800 0.606510 26 0.259805 0.262450 0.206271 0.085420 0.620479 31 0.717948 -0.136817 0.397171 0.315820 0.243069 36 0.389929 0.804237 0.755200 0.045541 0.188897 41 0.618349 0.155769 0.417060 0.830059 0.278586 46 1.075758 0.486799 0.248942 0.408926 0.518848 51 0.317095 0.186445 0.067943 0.465541 0.483412 56 0.673622 0.643638 0.507839 0.651220 0.545000==========================================================3º Estimamos la varianza generándola de la siguiente forma: GENR W = CLIENTEF * ( 1 - CLIENTEF ) y el Eviews nos da el siguiente resultado: W ===================================================== Modified: 1 60 // w=clientef*(1-clientef) 1 0.243171 -0.115724 0.131314 0.157811 0.247074 6 0.150797 0.249762 0.249804 0.082099 0.090738 11 0.249407 0.179577 0.176716 -0.424990 0.012728 16 0.248686 0.244247 -0.015127 0.224932 0.241162 21 0.177606 0.229308 0.249879 0.246131 0.238656 26 0.192306 0.193570 0.163723 0.078124 0.235485 31 0.202498 -0.155536 0.239426 0.216078 0.183987 36 0.237884 0.157440 0.184873 0.043467 0.153215 41 0.235993 0.131505 0.243121 0.141061 0.200976 46 -0.081498 0.249826 0.186970 0.241706 0.249645 51 0.216546 0.151683 0.063327 0.248813 0.249725 56 0.219855 0.229368 0.249939 0.227132 0.247975 =====================================================
  • 834º Por último, se estima el modelo transformado por mínimos cuadrados ordinarios, es decir, se aplica mínimos cuadrados ponderados. El comando que se aplica es el siguiente: Quick Estimate Equation escribir en la pantalla en blanco lo siguiente: CLIENTE C EDAD PRESTAMO SEXO PERIODO, luego clic en OPTIONS se marca WEIGHTED LS / TSLS y en Weight se escribe: 1 / SQR( W ) OK OK y se muestra el siguiente resultado:Dependent Variable: CLIENTEMethod: Least SquaresSample: 1 60Included observations: 55Excluded observations: 5Weighting series: 1/SQR(W)========================================================== Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.========================================================== C -0.861520 0.236827 -3.637769 0.0007 EDAD 0.014138 0.005080 2.782852 0.0076 PRESTAMO 2.84E-05 1.09E-05 2.597112 0.0123 SEXO 0.187273 0.106147 1.764279 0.0838 PERIODO 0.064795 0.019214 3.372355 0.0014==========================================================Weighted Statistics==========================================================R-squared 0.639966 Mean dependent var 0.496512Adjusted R-squared 0.611163 S.D. dependent var 0.632757S.E. of regression 0.394567 Akaike info criteri 1.064452Sum squared resid 7.784153 Schwarz criterion 1.246937Log likelihood -24.27243 F-statistic 13.15823Durbin-Watson stat 1.394854 Prob(F- statistic) 0.000000==========================================================Unweighted Statistics==========================================================R-squared 0.290121 Mean dependent var 0.490909Adjusted R-squared 0.233330 S.D. dependent var 0.504525S.E. of regression 0.441760 Sum squared resid 9.757613Durbin-Watson stat 1.391563========================================================== Las variables edad, préstamo y periodo son significativas al 5% (Prob < 0.05) yla variable sexo es significativa al 10 % (Prob < 0.10) y el modelo es estadísticamentesignificativo al 5 % (Prob < 0.05).
  • 84 Se predice dentro de la muestra con la instrucción siguiente: Abrir la ecuación Procs Forecast OK y se muestra un gráfico y el software crea un icono con el nombre que se le colocó a la estimación (CLIENTEF1). Para observar los resultados de la variable CLIENTEF1 se da dos clic y paquete nos muestra lo siguiente: CLIENTEF1 ========================================================= Modified: 1 60 // modproblin.fit(f=actual) clientef1 1 0.453183 1.264643 0.135592 0.836835 0.598836 6 0.850146 0.519971 0.488047 1.081373 0.993891 11 0.530495 0.822073 0.907713 1.590984 0.994447 16 0.531559 0.572147 0.991846 0.311970 0.395700 21 0.185995 0.640793 0.466289 0.421358 0.568752 26 0.200522 0.216839 0.177498 0.057164 0.580712 31 0.705757 -0.186881 0.349757 0.259422 0.188732 36 0.333220 0.805080 0.713630 0.020425 0.178108 41 0.585508 0.103903 0.390143 0.822291 0.239000 46 1.073549 0.468637 0.223544 0.397997 0.464635 51 0.294014 0.161586 0.019346 0.446526 0.426291 56 0.618380 0.623329 0.494666 0.619459 0.525189 ========================================================= y los resultados se comparan con los valores observados de la variable endógena, obteniendose 42 predicciones correctas ( 20 para CLIENTE = 1 y 22 PARA CLIENTE = 0) y nos da un Coeficiente de Bondad de Conteo de 70 %.1.3. MODELO LOGIT Y PROBIT Un enfoque alternativo es suponer un modelo de regresión: no se observa ( se conoce como variable " latente " ). Lo que se observa es una variable indicadora definida por: La diferencia entre la especificación (2) y el modelo de probabilidad lineal es que en este último se analizan las variables dicotómicas tal como son, en tanto que en (2) se supone la existencia de una variable latente subyacente para la que se observa una
  • 85evidencia dicotómica. Ejemplo:1º la persona tiene o no empleo. la propensión o capacidad de encontrar empleo.2º si la persona compra o no un automóvil. el deseo o capacidad de adquirir un automóvil.por lo tanto, las variables explicativas de (2) contendrán variables que expliquen amboselementos. Supongamos que , esto nos permite fijar la escala de .Combinando (2) y (3) obtenemos:donde F es la función de distribución acumulada de u. Si la distribución de u es simétrica, entonces , la expresiónanterior se puede escribir: Los Observados son sólo realizaciones de un proceso binomial cuyasprobabilidades están dadas por (4) y que varían de un ensayo a otro (de pendiendo de ), entonces la función de verosimilitud se puede escribir: La forma funcional para F en (4) dependerá de la suposición en torno al términode error u. Se ha creado un problema de estimación porque es no lineal no solamente ensino también en los ; entonces, no se puede estimar mediante mínimos cuadradosordinarios. En esta situación, es preciso recurrir al método de máxima verosimilitud paraestimar los parámetros. El método de máxima verosimilitud consiste en la maximización de la función deverosimilitud (ecuación 5) para el modelo LOGIT y PROBIT y ésto se logra por mediode métodos no lineales de estimación. La función de verosimilitud es cóncava (no tiene
  • 86 múltiples máximos) y, por lo tanto, cualquier valor inicial de los parámetros será útil. Es costumbre comenzar las iteraciones para el modelo logit y probit con los estimados del modelo de probabilidad lineal. Si la información disponible es sobre familias individuales, donde si una familia posee una casa y si no la posee; entonces el modelo a estimar es (5) por el método de máxima verosimilitud.1.3.1. CONSTRUCCIÓN DE UN MODELO LOGIT O PROBIT Los requisitos para la construcción de un modelo logit o probit son: 1º Contar con una muestra representativa de clientes cumplidos e incumplidos, cuyo tamaño mínimo se establece vía criterios estadísticos. 2º Contar con suficiente información de los clientes contenida en sus solicitudes de crédito o expedientes. 3º Seleccionar las posibles variables explicativas de la probabilidad de default de los clientes, en base al conocimiento o experiencia previa y a procedimientos estadísticos (test de significancia individual). 4º Escoger el modelo más apropiado en base a tests estadísticos sobre la "bondad de ajuste" o "calidad predictiva" del modelo. El procedimiento a seguir es: 1º El significado de las variables aparece en el ítem 1.2. 2º Buscar el mejor modelo explicativo de la probabilidad de default (cumplimiento) de los clientes, en base al siguiente procedimiento general: 2.1. Realización de regresiones bivariables y selección de variables explicativas según signo y significancia estadística individual (escogemos las de probabilidad menor del 10 por ciento). Se estiman varias regresiones de la siguiente forma: Clientei = α + β X i + ui para seleccionar la variable se requiere analizar: el signo correcto, la significancia de β (si es altamente significativo, significativo o relativamente significativo) y el R 2 (debe estar entre 0.2 y 0.6). 2.2. Comparación de correlaciones entre variables a fin de eliminar el problema de
  • 87 multicolinealidad. Entre las variables correlacionadas optamos por la de mayor R2 de Mc Fadden. Una vez identificadas las variables más relevantes a partir de modelos bivariables, podemos descartar algunas de ellas en base a su correlaciones. Variables altamente correlacionadas (con coeficientes de correlación mayores a 0.5) resultan redundantes, es decir, basta con que me quede con una de ellas en el modelo, ya que si las incluyo todas sus significancias estadísticas individuales tienden a ser bajas (no se puede distinguir el impacto de cada una de ellas sobre la variable dependiente). El criterio práctico es eliminar las variables correlacionadas con menor significancia estadística individual en las regresiones bivariables, con menor R2 (Mc Fadden). Para obtener la Matriz de Correlaciones entre variables, aplico: Quick/Group Statistics/Correlations y se escribe el nombres de las variables seleccionadas en el ítem anterior.2.3. Construcción de modelos multivariables en sus versiones logit, probit y lineal incorporando las variables escogidas luego de los pasos 1 y 2. Los modelos se van perfilando para dejar sólo las variables estadísticamente significativas (probabilidad menor del 10 por ciento). Con las variables explicativas escogidas, luego de los pasos 2.1. y 2.2. se estima el modelo en su versión logit, probit o lineal. El modelo se perfila para dejar sólo las variables con signos adecuados y estadísticamente significativas (prob < 0.10).2.4. Evaluación de los modelos alternativos en base a siguientes criterios arrojados por el programa E-views: 1.- Signo correcto de los coeficientes. 2.- Significancia estadística individual de los parámetros de acuerdo al z-statistic y su probabilidad correspondiente. 3.- Significancia conjunta del modelo. 4.- Bondad de ajuste en base a R2 de Mc Fadden, Expectation-Prediction Table, Goodness-of-Fit Test (Hosmer-Lemeshow). A) Bondad de ajuste: La regla práctica nos dice que este valor debe encontrarse entre 0.2 y 0.6 para considerarse aceptable en el contexto de la modelación de probabilidades. Se han sugerido varias medidas de bondad de ajuste para este tipo de modelos, por ejemplo: 1.- La correlación entre CALF y CALFF al cuadrado:
  • 88 2.- Basada en la suma de cuadrados residual: 3.- Amemiya: 4.- Mc - Fadden: = Función de Máxima Verosimilitud con respecto a todos los parámetros. = Función de Máxima Verosimilitud cuando se hace con la restricción 5.- Cragg - Uhler: 6.- R2 de conteo:B) Expecation-Prediction Table: Esta prueba nos permite averiguar cuál es el porcentaje de acierto en las predicciones que obtiene el modelo.
  • 89 C) Goodness-of-Fit Test: (test de Hosmer-Lemeshow). Esta prueba parte de agrupar las observaciones en quantiles y evalúa el desempeño del modelo en cada uno de ellos en términos del número de observaciones que predice el modelo que deben ubicarse en cada quantil vs el número de observaciones real. Por defecto, me indica que la información se va a agrupar en 10 quantiles o grupos según niveles. Lo ideal es que el número total de observaciones por quantil sea el más grande posible (prueba para muestras grandes). Se recomienda hacer esta prueba con el mayor número posible de observaciones posible en cada quantil. 5.- Criterio de Hannan Quinn (por ser una "función de pérdida", conviene minimizarlo frente a los modelos alternativos). Este es un criterio para comparar modelos alternativos. La regla es escoger el modelo con menor H-Q (no se aplica al MLP). 6.- Curva de Respuesta de Probabilidad de cada variable explicativa del modelo. Esta prueba es ratificatoria del test de significancia estadística individual de las variables explicativas. Nos permite evidenciar mediante un gráfico ad hoc si cada una de estas variables tiene poder para discriminar entre buenos y malos pagadores, partiendo de un valor "c" como parámetro de corte entre quienes se consideran dentro de ambas categorías; usualmente este valor se sitúa en 0.5, es decir, quienes tienen una probabilidad de cumplir menor o igual que 0.5 (50 por ciento), se asumen como malos clientes y los que tienen una mayor, buenos clientes.2.5. Selección del modelo final en base a la perfomance relativa de éste al comparar, entre modelos alternativos, los resultados de los test sugeridos en el ítem anterior. Lo primero que cabe destacar es que, en el caso del MLP, los efectos marginales de las variables explicativas son constantes para todos los individuos, mientras que en los casos del logit y el probit, estos efectos son diferentes para cada individuo, dependiendo de los valores de las variables explicativas que lo caracterizan. Usualmente, en los modelos logit y probit se calculan los efectos
  • 90 marginales de una variable o regresor para cada individuo, a fin de tener una idea del rango de variación de dichos efectos y se asume que el promedio de estos efectos individuales es una buena aproximación al "efecto marginal global" de la variable (si se quiere tener un número - resumen), lo cual, desde luego, parte de la premisa de que se cuenta con una muestra suficientemente representativa. Pese a que los parámetros j de cada regresor, en los modelos logit y probit, no nos miden, por sí solos el, efecto marginal de dicho regresor, si nos indican la dirección (signo) del cambio inducido en la probabilidad por la variable explicativa. 2.6. Una vez elegido el modelo final, cálculo de los efectos marginales respectivos Los efectos de los cambios en las variables explicativas sobre las probabilidades de que cualquier observación pertenezca a uno de los dos grupos, son proporcionados por: donde: y es la función de densidad normal estándar.1.3.2. MODELO LOGIT PARA DATOS AGRUPADOS Si la distribución acumulada de es logística, se tiene el llamado modelo LOGIT, es decir: donde Las probabilidades son:
  • 91El cociente entre ambas probabilidades es:aplicando logaritmo neperiano, nos da: En el modelo de probabilidad lineal se supone como función lineal de lasvariables explicativas; aquí, la razón logarítmica de momios o logit es una función linealde las variables explicativas. Tiene las siguientes características:1.- Dado que P va de 0 a 1, es decir, a medida que Z varía entre y el logit está entre y . En otras palabras, aunque las probabilidades se encuentran entre 0 y 1, los logit no tienen estos límites.2.- Aunque el logit es lineal en X, las probabilidades mismas no lo son, en contraste con el modelo de probabilidad lineal, donde las probabilidades aumentan linealmente con X.3.- La interpretación del modelo logit es: mide el cambio en logit por un cambio unitario en X, es decir, nos muestra cómo varía la factibilidad del logit en favor de poseer una casa a medida que X cambia en una unidad. Si es relativamente grande y si cada observación en una clase de , estádistribuida en forma independiente como una variable binomial, entonces:por lo tanto, el término de perturbación en el modelo logit es heterocedástico y el métodode estimación adecuado es mínimos cuadrados ponderados. El procedimiento para estimar una regresión logit (7) es:
  • 92 (1) Para cada nivel de , se calcula la probabilidad estimada de poseer una casa como . (2) Para cada valor de , obténgase el logit como: (3) Para solucionar el problema de heterocedasticidad, se transforma así: donde las ponderaciones , porque se distribuye normal con varianza igual a si es suficientemente grande. (4) Estimar el modelo transformado utilizando mínimos cuadrados ordinarios (es un modelo sin intercepto). (5) Establecer los intervalos de confianza y/o las pruebas de hipótesis en el marco usual de mínimos cuadrados ordinarios, pero manteniendo en mente que todas las conclusiones serán validas, si la muestra es razonablemente grande. Para pequeñas muestras los resultados estimados deben interpretarse cuidadosamente.1.3.3. MODELO PROBIT PARA DATOS AGRUPADOS Si los errores siguen una distribución normal, se tiene un modelo PROBIT (o NORMIT), es decir: donde es un índice de conveniencia no observable que está determinado por una o varias variables explicativas, así: y t es la variable normal estandarizada, es decir, t se distribuye . Es razonable suponer que para cada familia hay un nivel crítico o umbral del índice, , tal que si excede a , ocurre el evento, de lo contrario no sucederá. El
  • 93umbral al igual que no es observable, pero si se supone que esta distribuidonormalmente con la misma media y varianza. Por lo tanto, es posible estimar losparámetros y los valores del índice no observable. Es decir, la probabilidad sería: Como representa la probabilidad de que un evento ocurra, P se mide por elárea de la curva normal estándar desde hasta . Para obtener la información de, como también de y , tomamos el inverso de la función de distribuciónprobabilística acumulada normal. Se ha creado un problema de estimación porque es no lineal no solamente ensino también en los ; entonces, no se puede estimar mediante mínimos cuadradosordinarios. Si es relativamente grande y si cada observación en una clase de , estádistribuida en forma independiente como una variable binomial, entonces:por lo tanto, el término de perturbación en el modelo probit es heterocedástico y elmétodo de estimación adecuado es mínimos cuadrados ponderados. El procedimiento para estimar una regresión probit es:(1) Para cada nivel de , se calcula la probabilidad estimada de poseer una casa como .(2) Dado , obténgase el índice de utilidad como:(3) Para solucionar el problema de heterocedasticidad, se transforma así:
  • 94 donde las ponderaciones , porque se distribuye normal con varianza igual a si es suficientemente grande. (4) Estimar el modelo transformado utilizando mínimos cuadrados ordinarios (es un modelo sin intercepto). (5) Establecer los intervalos de confianza y/o las pruebas de hipótesis en el marco usual de mínimos cuadrados ordinarios, pero manteniendo en mente que todas las conclusiones serán validas, si la muestra es razonablemente grande. Para pequeñas muestras los resultados estimados deben interpretarse cuidadosamente. Si la información esta agrupada o replicada (observaciones repetidas), entonces se puede obtener información sobre la variable dependiente y el índice de utilidad; por lo tanto, el modelo a estimar se aplica mínimos cuadrados ponderados.1.3.4. MODELO LOGIT VERSUS MODELO PROBIT Desde el punto de vista teórico, la diferencia entre ambos modelos es la distribución de probabilidades (normal para el modelo probit y logística para el modelo logit); ambas distribuciones están muy próximas entre sí, excepto en los extremos, la logística tiene colas ligeramente más planas, es decir, la curva normal o probit se acerca a los ejes más rápidamente que la curva logística. Por esta razón, no es probable obtener resultados muy diferentes, a menos que las muestras sean grandes. Sin embargo, los estimados de los parámetros de ambos métodos no son directamente comparables; porque la distribución logística tiene una varianza y la distribución normal tiene una varianza de 1. Entonces ambos coeficientes se relacionan de la siguiente forma: Amemiya sugiere multiplicar los estimados LOGIT por 1/1.6 = 0.625 porque esta transformación produce una aproximación más cercana entre la distribución logística y la función de distribución normal estándar. Es decir, la relación sería: También sugiere que los coeficientes del modelo de probabilidad lineal
  • 95 y los coeficientes del modelo logit se relacionan así: Aplicando regla de tres simple logramos encontrar la relación entre los coeficientes del modelo probit y el modelo de probabilidad lineal, que nos da: Si se tiene muestras de tamaños desiguales, no se afectan la estimación de los coeficientes de la variables explicativas del modelo logit, pero si se afecta el término constante. Este resultado no es valido para el modelo probit ni para el modelo de probabilidad lineal. Si el modelo estimado se utiliza para propósitos de predicción, es necesario ajustar el término constante. Desde el punto de vista práctico, es generalmente utilizado con preferencia el modelo logit sobre el modelo probit.2. MODELOS DE ELECCIÓN MÚLTIPLE Existen varias formas en que se pueden analizar este problema: 1º Con datos no ordenados: se utiliza cuando las alternativas que presenta la variable endógena no indican ningún orden. Pueden ser: 1.1. Multinomial, se utiliza cuando los regresores del modelo hacen referencia a las observaciones muestrales, por lo que varían entre observaciones pero no entre alternativas. 1.2. Condicional, se utiliza cuando los regresores del modelo hacen referencia a las alternativas, por lo que sus valores varían entre alternativas pudiendo hacerlo o no entre observaciones. 2º Con datos ordenados: se utiliza cuando las alternativas de la variable endógena representan un orden entre ellas. Generalizaremos los resultados anteriores a casos en los que los individuos hacen elecciones entre tres o más alternativas mutuamente excluyentes. Un modelo multinomial de respuesta cualitativa se define de la siguiente forma:
  • 96 Asume que la variable dependiente Yi toma mi + 1 valores {0, 1, 2, ..., mi }, entonces el modelo multinomial vendrá dado: ( P(Yi = j ) = FY X * ,θ ; ) i = 1,2,..., n y j = 1,2,..., mi . * donde X y θ son vectores de variables independientes y parámetros respectivamente. De esta forma, mi depende de un i en particular cuando los individuos tienen diferentes conjuntos de elección. Para definir el estimador de θ en el modelo usualmente se definen Σ in = 1 (mi + 1) variables binarias, de la forma: =1 si Yi = j Yij =0 si Yi ≠ j; i = 1,2..., n y j = 1,2,..., mi . La función de verosimilitud viene definida como: n mi ln L = Yij ln Fij i =1 j = 0 donde el estimador insesgado θ de θ se define como una solución a la ecuación: ∂ ln L = 0. ∂θ Los modelos multinomiales de respuestas cualitativas se pueden clasificar en modelos ordenados y no ordenados.2.1. MODELOS ORDENADOS Un modelo ordenado se define como: P(Y = j X ,θ ) = p S j ( ) para alguna medida de probabilidad p, sobre X y θ , y una secuencia finita de intervalos sucesivos {S } que depende sobre X yθ tal queU j jS j =ℜ . En los modelos ordenados, los valores que Y toma, corresponden a una partición sobre la línea real. A diferencia de modelo no ordenado, donde la partición correspondería a particiones no sucesivas sobre la línea real o a particiones de dimensiones mayores sobre el espacio euclidiano. En la mayoría de las aplicaciones, el modelo ordenado toma la forma:
  • 97 ( ) ( )P(Y = j X ,α , β ) = F α j +1 − X ′β − F α j − X ′β ; j = 0,1,..., m;α 0 = −∞ ;α j ≤ α j +1 ;α m+1 = ∞ Para alguna distribución F, se puede definir un modelo Logit ordenado o Probit ordenado.2.1.1. MODELO LOGIT El modelo logit multinomial se define como: mi −1 P(Yi = j ) = k =0 ( exp X ij β ′ ) ( ) exp X ij β ; i = 1,2,..., n y j = 0,1,..., mi ′ Mc Fadden (1974) considera el siguiente modelo multiecuacional derivado del problema del consumidor. Considere a un individuo i cuyas utilidades están asociadas con tres alternativas, de la forma siguiente: U ij = µ ij + ε ij , con j = 0,1,2 donde U ij no es una función estocástica sino deterministica. Por otro lado, ε ij es el usual término aleatorio de error. De esta forma, el individuo elige aquella alternativa en la que obtiene la mayor utilidad. El multinomial logit se puede derivar del problema de maximizar la utilidad sí y sólo sí los ε ij son independientes y la función de distribución de ε ij viene dada por exp [exp( ε ) ]. De esta manera, la probabilidad de que el i ij individuo elija una alternativa j, será: P(Yi = 2) = P(U i 2 > U i1 ,U i 2 > U i 0 ) P(Yi = 2) = P(ε 2 + µ 2 − µ1 > ε 1 , ε 2 + µ 2 − µ 0 > ε 0 ) exp( µ i 2 ) P(Yi = 2) = exp( µ i 0 ) + exp( µ i1 ) + exp( µ i 2 ) y tomará una forma parecida a la definición del modelo logit multinomial sí hacemos µ i 2 − µ i 0 = X i′2 β y µ i1 − µ i 0 = X i′1β .2.2. MODELOS NO ORDENADOS Se enfocara el caso en que las alternativas no están ordenadas.
  • 982.2.1. MODELO LINEAL DE PROBABILIDAD Si asumimos que hay tres opciones j = 1, 2, 3, escribimos el modelo: P i = α 1 + β1 X i 1 P2i = α 2 + β 2 X i P3i = α 3 + β 3 X i Pji es la probabilidad de que el individuo i elegirá la j ésima opción, mientras que Xi es el valor de X para el j ésimo individuo. Para estimar cada una de las tres ecuaciones en el modelo por mínimos cuadrados ordinarios, no es necesario ejecutar las tres regresiones lineales de probabilidad. Dado que las probabilidades estimadas están restringidas para sumar 1, los interceptos estimados para sumar 1 y los parámetros de pendiente para sumar 0. Entonces, sólo se necesita ejecutar dos de las tres regresiones de mínimos cuadrados. La solución para los parámetros de la tercera ecuación se deriva de las primeras dos.2.2.2. MODELO LOGIT En este tipo de modelos las alternativas de la variable respuesta indican la pertenencia de las observaciones a un determinado grupo sin incorporar información ordinal. La formulación de un Logit Multinomial queda recogida a través de la siguiente ecuación: β ′ Xi j e Pr ob(Yi = j ) = Pij = j −1 β ′ Xi j e j =0 Donde para el caso sencillo de un modelo en el que la variable endógena presenta tres posibles alternativas de elección y sólo existe una variable explicativa en la modelización, la probabilidad asociada a cada una de las alternativas posibles de elección tomarían las siguientes expresiones: 1 eα1 + β1 Xi P0 = P0 = 1 + eα1 + β1 Xi + eα2 + β2 Xi 1 + eα1 + β1 Xi + eα2 + β2 Xi eα1 + β1 Xi P0 = 1 + eα1 + β1 Xi + eα2 + β2 Xi con P0 + P + P2 = 1 . 1
  • 993. MODELO CON VARIABLE DEPENDIENTE LIMITADA Existen un gran número de datos cuya observación nos muestra que están limitados o acotados de alguna forma. Este fenómeno lleva a dos tipos de efectos: el truncamiento y la censura. El efecto de truncamiento ocurre cuando la muestra de datos es extraída aleatoriamente de una población de interés, por ejemplo, cuando se estudia el ingreso y la pobreza se establece un valor sobre el cual el ingreso se encuentra por encima o por debajo del mismo.. De esta forma, algunos individuos podrán no ser tenidos en cuenta. Por otro lado, censurar es un procedimiento en el cual los rangos de una variable son limitados a priori por el investigador; este procedimiento produce una distorsión estadística similar al proceso de truncamiento.3.1. MODELO TRUNCADO Una distribución truncada es la parte de una distribución no truncada antes o después de un valor específico; imagínese por ejemplo que nosotros deseamos conocer la distribución de los ingresos anteriores a 100,000 o el número de viajes a una zona mayores de 2, ésta será tan sólo una parte de la distribución total. Si una variable continua aleatoria X, tiene una función de densidad de probabilidades, y a es una constante, entonces: f (X) f ( X X > a) = Pr ob( X > a ) si X tiene una distribución normal con media µ y desviación estándar σ , entonces: a−µ Pr ob( X > a ) = 1 − Φ = 1 − Φ(α ) σ a−µ donde α= y Φ(α ) es función de densidad acumulativa, entonces la σ distribución normal truncada será: 2 −1 − ( − X − µ ) 1 X−µ φ f ( X X > a) = f (X) = ( 2πσ ) 2 2 e 2σ 2 = σ σ 1 − Φ (α ) 1 − Φ (α ) 1 − Φ (α ) donde φ será la función de densidad de probabilidades normal estándar. La distribución normal estándar truncada con µ = 0 y σ = 1 para a igual a -0.5, 0 y 0.5, será:
  • 100 Si [ X ≈ N µ ,σ 2 ] con µ constante, entonces la media vendrá dada por: E [ X truncamiento] = µ + σλ (α ) y la varianza por: var[ X truncamiento] = σ 2 (1 − δ (α )) donde α = (a − µ ) / σ . Por otro lado, nosotros observamos que: φ (α ) λ (α ) = si el truncamiento ocurre en X > a 1 − Φ(α ) − φ (α ) λ (α ) = si el truncamiento ocurre en X < a 1 − Φ(α ) Tomando el logaritmo de la distribución normal truncada, y al realizar la suma de los logaritmos de estas densidades, se obtiene: n −n 1 a − β ′X iln L = 2 ( ln( 2π ) + ln σ 2 − 2σ 2 ) (Yi − β ′X i ) 2 − ln 1 − Φ σ i i =1 Las condiciones necesarias para maximizar ln L serán:
  • 101 n ∂ ln L Yi − β ′X i λi = − X =0 ∂β i =1 σ2 σ i 2 ∂ ln L n − 1 (Yi − β ′X i ) α X = + − i 2i = 0 ∂σ 2 i =1 2σ 2 2σ 4 2σ a − βi X i φ (α i ) donde α i = y λi = . σ 1 − Φ(α i )3.2. MODELO CENSURADO Un procedimiento normal con datos microeconómicos, consiste en censurar la variable dependiente. Cuando la variable dependiente es censurada, los valores en un determinado rango son todos transformados a un valor singular. De esta forma, si definimos una variable aleatoria y transformada de la variable original como: Y = 0 si Y * ≤ 0 Y = Y * si Y * > 0 El gráfico de la distribución censurada es: −µ −µ ( Pr ob(Y = 0) = Pr ob Y * ≤ 0 = Φ ) σ = 1− Φ σ La distribución correspondiente a Y * ( ≈ N µ ,σ 2 ) será: si Y * > 0 y tiene la densidad de Y * , entonces la distribución tiene partes discretas y
  • 102 continuas, donde la probabilidad total será de 1como se requiere. Para lograr esto, se asigna la probabilidad total en la región censurada al punto de censuramiento. La media de una variable censurada vendrá dada por: E (Y ) = Φ a + (1 − Φ )( µ + σλ ) y la varianza: [ Var (Y ) = σ 2 (1 − Φ ) (1 − δ ) + (α − λ ) Φ 2 ] a−µ φ d o n d e : Φ σ ( = Φ(α ) = Pr ob Y * ≤ a = Φ ;) λ= 1− Φ ; δ = λ 2 − λα .3.3. MODELO TOBIT El modelo Tobit se originó en el estudio de consumo de bienes no perecederos por parte de las economías domésticas; el importe dedicado al consumo de estos bienes se anula en el caso de familias que no pueden dedicar un mínimo de renta a la adquisición de este tipo de productos. Así, el modelo Tobit es de la forma: β + β1 xi + ui si y* ≥ mi yi = 0 * i mi si y i < mi en el que el valor mi es el límite mínimo por debajo del cual la variable endógena no puede caer. Este modelo puede considerarse como uno de elección binaria, en el que la variable endógena toma valores dependientes de las exógenas o bien un mínimo que no depende de éstas. Supongamos que se observa si , y no si . Entonces, se definirá como: asume que .
  • 103 Se le llama modelo Tobit o probit de Tobin o modelo censurado de regresiónnormal, debido a que se censura (no se permite observar) algunas observaciones de(aquellas que ). El objetivo es estimar los parámetros y .Ejemplo1.- Se especifica la demanda de automóviles de la siguiente forma: donde Son los gastos en automóviles y x el ingreso. En la muestra habría un gran número de observaciones para las cuales los gastos en automóviles son cero. El modelo censurado de regresión se puede especificar como:2.- Si existen observaciones sobre varias personas, de las cuales sólo algunas tienen empleo, podemos especificar el modelo: • Caso horas trabajadas, • Caso salarios,Método de estimación La estimación de β y σ mediante mínimos cuadrados ordinarios no se puedeutilizar con observaciones positivas , pues cuando se escribe el modelo:el término de error no tiene media cero. Dado que las observaciones conse omiten, esto supone que sólo se incluyen en la muestra las observaciones para las
  • 104cuales . Por lo tanto, la distribución de es normal truncada y su media noes cero. La Distribución normal truncada es:donde la función de densidad estándar normal es:y la función de distribución acumulada estándar normal es: Un método de estimación que se sugiere comúnmente es el de máximaverosimilitud, que es el siguiente:si maximizamos la función de verosimilitud con respecto a β y σ , obtendremos losestimados de máxima verosimilitud de estos parámetros. Los modelos Tobit se refiere a modelos censurados o truncados donde el rangode la variable dependiente se restringe de alguna forma. Dado el creciente uso de los modelos tipo Tobit, Amemiya realizó la laboriosatarea de clasificar, los modelos Tobit de acuerdo con similitudes en la función deverosimilitud. La caracterización de los tipos de modelos Tobit es la siguiente:
  • 105TIPO VARIABLE DEPENDIENTE Y1 Y2 Y3 1 CENSURADO - - 2 BINARIO CENSURADO - 3 CENSURADO CENSURADO - 4 CENSURADO CENSURADO CENSURADO 5 BINARIO CENSURADO CENSURADO
  • CAPITULO IV MODELOS MULTIECUACIONALES1. INTRODUCCIÓN En el modelo básico de regresión y para cualquier punto muestral t tenemos: yt = β1 x1t + β 2 x2 t +....+ β k x kt + ut expresándolo en matrices nos da: yt = X t β + ut donde, yt escalar del valor de la variable endógena en el punto t. Xt vector fila 1 x K de los valores de todas las exógenas en el punto t. β vector columna K x 1 de parámetros del modelo. u escalar de la variable aleatoria en el punto t. Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t = 1, 2, ..., T), la correspondiente expresión matricial, es: siendo, Y vector columna T x 1 de valores de la endógena. X matriz T x K de valores de las exógenas. β vector columna K x 1 de parámetros del modelo. U vector columna T x 1 de las perturbaciones aleatorias. En el contexto de un modelo multiecuacional con g variables endógenas y k exógenas (o predeterminadas), una ecuación cualquiera que incluyese todas las variables y en la que la endógena cuyo comportamiento quisiésemos explicar fuera (ecuación h-ésima) adopta la siguiente expresión: considerando nulo el coeficiente de en el segundo miembro, es decir, . En forma matricial resulta:
  • 108donde, vector fila de los valores de todas las endógenas en el punto t. vector columna de los valores de los parámetros de las variables endógenas del modelo. vector fila de los valores de todas las exógenas en el punto t. vector columna de los parámetros de las variables exógenas del modelo. Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t=1,2,...,T), puede expresarsela misma ecuación matricialmente de la siguiente forma:siendo, vector columna de todos los valores muestrales de la variable endógena h. Y matriz de todos los valores muestrales de las variables endógenas del modelo, excepto la variable h. vector columna de los valores de los parámetros de las variables endógenas del modelo. X matriz de todos los valores muestrales de las exógenas del modelo. vector columna de los parámetros de las variables exógenas del modelo. vector columna de las perturbaciones aleatorias. Para el modelo en su conjunto, referido a todos los valores muestrales, laexpresión matricial será:que viene a ser la FORMA ESTRUCTURAL del modelo, pasamos al primermiembro y nos queda:sacamos factor común Y por la derecha, tenemos:despejándose las g endógenas del sistema de g ecuaciones, da:
  • 109 viene a ser la FORMA REDUCIDA del modelo.1.1. TIPOS DE MODELOS MULTIECUACIONALES Los modelos multiecuacionales se clasifican: 1º Modelos Recursivos (o en cadena causal (Wold) o recurrente) Cada variable endógena depende, además de las variables predeterminadas específicas de cada ecuación, de otras endógenas, pero sin que existan relaciones recíprocas de causalidad; así: o sea, influye sobre , pero no se da la relación de causalidad inversa, de sobre . Es adecuado el procedimiento de estimación de los mínimos cuadrados ordinarios, porque los términos de error de las ecuaciones están incorrelacionadas entre sí. 2º Modelos Bloque Recursivo o Bloque Recurrente Las ecuaciones pueden repartirse en grupos tales que entre ellas su relación es de carácter recursivo; ejemplo: la tercera ecuación (un bloque) determina a partir de y (otro bloque), sobre las que no influye, aunque éstas si lo hagan simultáneamente entre sí. Si el primer bloque está identificado, estas ecuaciones pueden estimarse utilizando la técnica de los mínimos cuadrados en dos etapas y para el segundo bloque es preciso utilizar el procedimiento de los mínimos cuadrados ordinarios. 3º Modelos interdependientes o de ecuaciones simultáneas Existen relaciones causales múltiples entre todas las variables endógenas del sistema. Ejemplo:
  • 110 La simultaneidad de ecuaciones no permite un tratamiento aislado de cada una de las ecuaciones. En este caso, que existe correlación entre los términos de error de varias ecuaciones, es conveniente proceder a una estimación conjunta de parámetros. El método adecuado de estimación depende de la identificación de cada ecuación del modelo. 4º Modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas Se trata típicamente de ecuaciones similares referidas a diversas partes de un total (por ejemplo, tasas de actividad por grupos de sexo y edad, demanda de diferentes productos, etc.), que impide una independencia total entre las perturbaciones de cada ecuación y las de las restantes del sistema. Ejemplo: Los modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas (Seemingly unrelated equations) presentan correlación entre los términos de error de las ecuaciones del modelo; por lo tanto, el método adecuado de estimación es mínimos cuadrados trietápicos. Si las perturbaciones de cada ecuación no están relacionadas entre sí (están incorrelacionadas) no existirá, evidentemente, ninguna relación entre las tres ecuaciones; entonces la estimación minimocuadrática ordinaria es perfectamente apropiada.2. ESPECIFICACIÓN DE UN MODELO MULTIECUACIONAL En el proceso de construcción de un modelo multiecuacional es conveniente realizar un diagrama causal, esto es, un grafo en el que mediante flechas se indican cuáles son las variables causa y cuáles las efecto o explicadas (endógenas). Las perturbaciones aleatorias son variables latentes o no observables, de naturaleza aleatoria, que influyen sobre las variables endógenas y que se representan dentro de un círculo para indicar que no son medibles directamente. Las interrelaciones entre las variables predeterminadas, o entre las perturbaciones aleatorias se representan mediante líneas que unen las variables relacionadas. Las variables endógenas son aquellas a las que apunta alguna flecha en un diagrama causal, y las predeterminadas son aquellas variables medibles de las que parte alguna flecha pero a las que no apunta ninguna. El modelo se formula a partir del diagrama causal, y, si las relaciones son lineales,