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  • 1. S équence 2Équations - Inéquations - Statistiques Diagramme circulaire Histogramme 30 25 20 Na % 15 K Mg 10 Ca 5 P 0 Na K Mg Ca P Éléments Éléments Na Mg Ca P % 28,2 8 23,6 20,1 ǡ 43 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 2. S ▼ ommaire o Séquence 2 Équations - Inéquations - Statistiques Chapitre 1 ▼ Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47 A - Connaissances indispensables B - Résoudre une équation du premier degré à une inconnue C - Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un D - Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur Chapitre 2 ▼ Inéquations ................................................................................ p. 52 A - Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue B - Etudier le signe d’un produit ou d’un quotient C - Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un D - Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur Chapitre 3 ▼ Statistiques 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58 Chapitre 4 ▼ Statistiques 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 63 Q.C.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67 Corrigés des exercices et du Q.C.M.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69 ǡ 45 ǠCned – Académie en ligne
  • 3. C hapitre 1 ▼ ÉquationsA. Connaissances indispensables̈ Savoir résoudre une équation simple du type ax = b ou a + x = b.̈ Savoir résoudre une équation du type A × B = 0 où A et B désignent deux expressions du premier degré de la même variable.̈ Savoir factoriser.̈ On peut ajouter (ou retrancher) le même nombre aux deux membres d’une équation; on obtient une équa- tion ayant les mêmes solutions.̈ On peut multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul les deux membres d’une équation ; on obtient une équation ayant les mêmes solutions.Exercice ᕡ Exercice ᕢLes équations suivantes ont deux solutions. 1) – 2 est-il solution de l’équation :A l’aide d’un calcul, les retrouver parmi les nom- – x 2 + 6x + 8 = 0 ?bres : 2) 3 – 17 est-il solution de l’équation : 0 ; 1 ; –1 ; 2 ; –2 ; 2 ; – 2. – x 2 + 6x + 8 = 0 ?a) – x 2 + 2 = x b) x 2 = 2 .B. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue Méthodë On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans l’un des membres de l’équation. On se ramène ainsi àune équation de la forme : ax = b.̈ Résoudre dans ‫ ޒ‬l’équation : ax = b Conditions Solution Ensemble solution b ⎧b ⎫ a≠0 une seule solution x = -- - S = ⎨ -- ⎬ - a ⎩a ⎭ a = 0 et b ≠ 0 aucune solution S = ∅ a = 0 et b = 0 tous les réels sont solutions S=‫ޒ‬ ǡ 47 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 4. Séquence 2 MA27 Exemples Résoudre dans ‫: ޒ‬ 3x x 5 ( x – 1 ) + 2x = 7 ( x + 2 ) 7 ( x – 5 ) + 15 = 4 ( x – 5 ) + 3x ----- + 2 = -- – 1 - - 4 3 on développe chaque membre on développe chaque membre on réduit au même dénominateur 5x – 5 + 2x = 7x + 14 7x – 35 + 15 = 4x – 20 + 3x 9x 24 4x 12 7x – 7x = 5 + 14 7x – 7x = 20 – 20 ----- + ----- = ----- – ----- - - - - 12 12 12 12 0x = 19 0x = 0 on multiplie les deux membres S = ∅ S = ‫ޒ‬ par 12 9x + 24 = 4x – 12 9x – 4x = – 12 – 24 5x = – 36 36 x = – ----- - 5 ⎧ 36 ⎫ S = ⎨ – ----- ⎬ - ⎩ 5⎭ Exercice ᕣ Exercice ᕤ Résoudre dans ‫: ޒ‬ Résoudre dans ‫: ޒ‬ a) 3x – 2 = 0 b) 1 – 2x = 0 a) 3 ( x + 3 ) – 10 = 2 ( x + 4 ) – 5x 1 c) 7x = 0 d) -- x + 8 = 9 - b) 2x – 1 – 5 ( x + 3 ) = 4 – 3x 3 1 e) -- x + 3x = 2x – 12 - x x f) -- + -- = x + 4 . - - c) 6 ( 3 – 2x ) + 2 + 10x = 2 ( 10 – x ) 2 2 3 x–1 x+2 d) ----------- – ----------- = x – 5 . - - 3 4 C. Résoudre une équation à une inconnue, de degré supérieur à un. Méthode Si on exclut les cas particuliers (exemple 3) et les « fausses équations du second degré » (exemple 4), la méthode à employer est la suivante : – regrouper tous les termes dans le premier membre de l’équation de manière à avoir 0 dans le second membre, – factoriser le premier membre, – appliquer le théorème : un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul. ǡ 48 ǠCned – Académie en ligne
  • 5. MA27 Séquence 2 ExemplesExemple 1Résoudre dans ‫ޒ‬ x2 = 9 .x2 – 9 = 0(x – 3)(x + 3) = 0x – 3 = 0 ou x + 3 = 0x = 3 ou x = – 3S = { 3 ;– 3 }Exemple 2Résoudre dans ‫ޒ‬ 2x ( x – 2 ) = 4 – x 2 .2x ( x – 2 ) + ( x 2 – 4 ) = 02x ( x – 2 ) + ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0( x – 2 ) [ 2x + ( x + 2 ) ] = 0( x – 2 ) ( 3x + 2 ) = 0x – 2 = 0 ou 3x + 2 = 0 2x = 2 ou x = – -- - 3 ⎧ 2⎫S = ⎨ 2 ;– -- ⎬ - ⎩ 3⎭Exemple 3Résoudre dans ‫ޒ‬ x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) = – 2 ( 3 – 4x ).x ( 2x + 3 ) + 5 ( x – 1 ) + 2 ( 3 – 4x ) = 0Aucun facteur commun ne peut être mis en évidence.On développe, puis on réduit le premier membre.2x 2 + 3x + 5x – 5 + 6 – 8x = 0 2x 2 + 1 = 0 2x 2 = – 1Or, pour tout réel x, 2x 2 est positif.L’équation proposée n’admet aucune solution.S = ∅ ǡ 49 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 6. Séquence 2 MA27 Exemple 4 Résoudre dans ‫ޒ‬ ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) = 3x 2 + 4 . ( x – 1 ) ( 3x + 5 ) – 3x 2 – 4 = 0 On développe et on réduit le premier membre. 3x 2 + 5x – 3x – 5 – 3x 2 – 4 = 0 Les termes en x 2 disparaissent 2x – 9 = 0 2x = 9 9 x = -- - 2 ⎧9 ⎫ S = ⎨ -- ⎬ - ⎩2 ⎭ Exercice ᕥ Exercice ᕧ Résoudre dans ‫: ޒ‬ Soit f ( x ) = ( 3x – 2 ) 2 – 2 ( 3x – 2 ) ( x – 3 ) a) 4x 2 –9 = 0 1) Développer et réduire f ( x ) . b) ( x + 1 ) 2 – 3 = 0 2) Factoriser f(x). c) 4 ( x + 2 ) 2 – ( x + 3 ) 2 = 0 3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes : d) x 2 – 16 = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 ) a) f(x) = 0 e) 4x 2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) . b) f(x) = –8 Exercice ᕦ c) f ( x ) = x + 4 Résoudre dans ‫: ޒ‬ ➠ Aide : suivant l’équation à résoudre, il faut a) ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 = x 2 – 4 choisir la forme qui est la plus pratique. b) ( x – 5 ) 2 + 9 = ( x + 2 ) 2 . ➠ Aide : développer, les termes en x2 s’éliminent. D. Résoudre une équation comportant une inconnue au dénominateur Méthode ̈ Déterminer les contraintes de l’équation. N ̈ Ramener l’équation à la forme --- = 0 . - D ̈ Résoudre l’équation N = 0 . ̈ Vérifier que les valeurs trouvées conviennent. ǡ 50 ǠCned – Académie en ligne
  • 7. MA27 Séquence 2 Exemples Résoudre dans ‫ޒ‬ 2x – 1 1 x2 -------------- = 3 . x–3 - Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- = ----------- – x . - - x+1 x+1 2x – 1 L’expression -------------- est définie pour toutes les - Cette équation est définie pour x ≠ – 1 . x–3 Pour tout réel x différent de –1, valeurs de x qui n’annulent pas le dénominateur. 1 x2 Or x – 3 = 0 pour x = 3 . ----------- – ----------- + x = 0 - - x+1 x+1 L’équation est donc définie pour x ≠ 3 . On réduit au même dénominateur Pour tout réel x différent de 3, 1 x2 x(x + 1) 2x – 1 ----------- – ----------- + ------------------- = 0 - - - -------------- – 3 = 0 - x+1 x+1 x+1 x–3 1 – x2 + x( x + 1 ) 2x – 1 – 3 ( x – 3 ) ---------------------------------------- = 0 x+1 - ---------------------------------------- = 0 - x–3 1 – x2 + x( x + 1 ) = 0 2x – 1 – 3x + 9 ------------------------------------ = 0 - x–3 1 – x2 + x2 + x = 0 –x+8 1+x = 0 ---------------- = 0 x–3 x = –1 –x+8 = 0 Or l’équation n’est pas définie pour x = –1. x = 8 Cette équation n’admet aucune solution. Comme 8 ≠ 3 , l’équation admet une seule solu- S = ∅ tion : 8 S = {8}Exercice ᕨRésoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes : 2x + 3 x–1 7 1a) -------------- = 5 - b) ----------- = -- - - c) x + -- = 2 . - x+1 x 2 x ǡ 51 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 8. C hapitre 2 ▼ Inéquations A. Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue Méthode Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue : ̈ On regroupe les termes contenant l’inconnue x dans le premier membre de l’inéquation pour se ramener à une inéquation du type : ax ≤ b (ou ax < b ) ; ax ≥ b (ou ax > b ) . ̈ Si a ≠ 0 , on divise les deux membres par a en appliquant la règle suivante : – Si a > 0, le sens de l’inégalité ne change pas. – Si a < 0, le sens de l’inégalité change. ̈ Si a = 0, deux cas sont possibles : – Soit l’inéquation n’a pas de solution. – Soit tout réel est solution. Exemples Exemple 1 Exemple 2 Résoudre dans ‫2 ޒ‬x – 4 ( x + 2 ) ≤ x – 5 . 7x + 1 3x – 1 Résoudre dans ‫. -------------- > -------------- ޒ‬ - - 2x – 4x – 8 ≤ x – 5 6 4 2x – 4x – x ≤ – 5 + 8 14x + 2 9x – 3 ----------------- > -------------- - - – 3x ≤ 3 12 12 On multiplie les deux membres par 12 qui est x ≥ –1 strictement positif. 14x + 2 > 9x – 3 14x – 9x > – 2 – 3 –1 0 1 5x > – 5 x > –1 S = [–1; +∞[ –1 0 1 S = ]–1; +∞[ ǡ 52 ǠCned – Académie en ligne
  • 9. MA27 Séquence 2Exemple 3 Exemple 4Résoudre dans ‫ ( 3 ޒ‬x – 1 ) + x ≤ 4x – 5. Résoudre dans ‫ ( 2 ޒ‬x – 1 ) + x > 3x – 5. 3x – 3 + x ≤ 4x – 5 2x – 2 + x > 3x – 53x + x – 4x ≤ – 5 + 3 2x + x – 3x > 2 – 5 0x ≤ – 2 0x > – 3Comme 0 > 2, l’inéquation n’admet aucune solution. Comme 0 > –3, tout réel est solution. S = ∅ S=‫ޒ‬Exercice ᕩ Exercice µRésoudre dans ‫ ޒ‬les équations suivantes : Résoudre le système :a) 3x + 7 ≤ 0 ⎧ 5 ( 2x + 3 ) + ( x – 2 ) > 4 ( x – 7 )b) 2x + 3 > x – 4 ⎪ 2x ⎨ 2(8 – x) x – 1 x x + 6c) ----- – 4 ≥ x + 2 - ⎪ ------------------- – ----------- ≥ -- – ----------- 3 - 6 - - 3 2 - 3 ⎩d) 2 ( 3x + 7 ) > 4 ( x + 1 ) + 2x – 3 x–1 x+2 ➠ Aide : Résoudre chaque inéquation puis cher-e) ----------- – ----------- ≤ 5 - - cher les solutions communes. 2 3B. Étudier le signe d’un produit ou d’un quotient Méthodë Pour trouver le signe d’un produit, on peut chercher le signe de chaque facteur, puis appliquer la règle dessignes.̈ Pour trouver le signe d’un quotient, on peut chercher le signe du numérateur et le signe du dénominateur, Apuis procéder comme pour le signe d’un produit (le signe de --- est le même que le signe de A × B ). - B ExemplesExemple 1Etudier le signe de ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) suivant les valeurs du réel x.a) On étudie le signe de chaque facteur : 3 x + 1 = 0 équivaut à x = – 1 2x – 3 = 0 équivaut à x = -- - 2 3 x + 1 > 0 équivaut à x > – 1 2x – 3 > 0 équivaut à x > -- - 2 3 x + 1 < 0 équivaut à x < – 1 2x – 3 < 0 équivaut à x < -- - 2 ǡ 53 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 10. Séquence 2 MA27 b) On reporte les résultats dans un tableau de signes : Sur la première ligne, on 3 indique les valeurs de x x –∞ -1 -- - +∞ 2 qui annulent le produit par ordre croissant. Signe de (x+1) – 0 + + Signe de ( 2x – 3 ) – – 0 + Signe du produit + 0 – 0 + c) Conclusion 3 ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 lorsque x = – 1 ou x = -- - 2 3 ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) > 0 lorsque x appartient à ]–∞; –1[ ∪ ] -- ; +∞[ - 2 3 ( x + 1 ) ( 2x – 3 ) < 0 lorsque x appartient à ]–1; -- [ . - 2 Exemple 2 1 – 3x Etudier le signe de -------------- suivant les valeurs du réel x. - x+4 a) On cherche pour quelles valeurs de x le quotient est défini. Le quotient est défini pour x + 4 ≠ 0 c’est-à-dire x ≠ – 4 . b) On étudie le signe du numérateur et du dénominateur. 1 1 – 3x = 0 équivaut à 3x = 1 c’est-à-dire x = -- - x + 4 = 0 équivaut à x = – 4 3 1 1 – 3x > 0 équivaut à – 3x > – 1 c’est-à-dire x < -- - x + 4 > 0 équivaut à x > – 4 3 1 1 – 3x < 0 équivaut à – 3x < – 1 c’est-à-dire x > -- - x + 4 < 0 équivaut à x < – 4 3 c) On dresse le tableau de signes : 1 Lorsque x = – 4, le quo- x –∞ –4 -- - +∞ tient n’est pas défini : on 3 indique ceci à l’aide d’une double barre. Signe de 1 – 3x + + 0 – Signe de x + 4 – 0 + + Signe du quotient – + 0 – ǡ 54 ǠCned – Académie en ligne
  • 11. MA27 Séquence 2d) Conclusion1 – 3x 1-------------- = 0 lorsque x = -- - - x+4 31 – 3x 1-------------- > 0 lorsque x appartient à ]–4; -- [ . - - x+4 31 – 3x 1-------------- < 0 lorsque x appartient à ]–∞; –4[ ∪ ] -- ; +∞[ . - - x+4 3Exercice ¸Etudier à l’aide d’un tableau le signe des produits ou quotients :a) P ( x ) = ( 3x + 2 ) ( 1 – 5x ) c) R ( x ) = ( – 2x + 7 ) ( x 2 + 1 ) 5x + 4 – 3xb) Q ( x ) = -------------- - d) T ( x ) = ------------------ - x–2 ( x – 1 )2C. Résoudre une inéquation à une inconnue de degré supérieur à un Méthodë Regrouper tous les termes dans l’un des membres de manière à faire apparaître 0 dans l’autre membre.̈ Factoriser le membre non nul.̈ Etudier le signe du produit obtenu.̈ Conclure en donnant l’ensemble des solutions. ExemplesExemple 1Résoudre dans ‫ޒ‬ x 2 ≤ 16 . x 2 – 16 ≤ 0 (x + 4)(x – 4) ≤ 0 x –∞ –4 4 +∞ Signe de x + 4 – 0 + + S = [–4; 4] Signe de x – 4 – – 0 + Signe du produit + 0 – 0 + ǡ 55 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 12. Séquence 2 MA27 Exemple 2 Résoudre dans ‫ ( ޒ‬x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ). ( x – 4 ) ( 2x + 3 ) – ( x – 4 ) ( x + 1 ) > 0 ( x – 4 ) [ ( 2x + 3 ) – ( x + 1 ) ] > 0 ( x – 4 ) ( 2x + 3 – x – 1 ) > 0 (x – 4)(x + 2) > 0 x –∞ –2 4 +∞ Signe de x – 4 – – 0 + S = ]–∞; –2[ ∪ ]4; +∞[ Signe de x + 2 – 0 + + Signe du produit + 0 – 0 + ➠ Remarque Ne vous laissez pas tenter par des simplifications abusives. En effet l’inéquation : ( x – 4 ) ( 2x + 3 ) > ( x – 4 ) ( x + 1 ) n’est pas équivalente à l’inéquation : ( 2x + 3 ) > ( x + 1 ) . L’ensemble des solutions de la deuxième inéquation est l’intervalle ]–2; + ∞[. Exercice ¹ Exercice Ƹ Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes : Soit f ( x ) = ( 2x – 3 ) 2 – 3 ( 2x – 3 ) ( x + 1 ). a) ( 2x – 1 ) ( 4 – 5x ) ≤ 0 1) Développer et réduire f(x). b) x 2 – 3 < 0 2) Factoriser f(x). 3) Résoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes : c) ( 2x + 1 ) ( x – 4 ) ≤ 4x 2 – 1 a) f ( x ) ≤ 0 b) f ( x ) > 18 . d) ( x – 1 ) 2 ≥ ( 3x – 1 ) 2 . D. Résoudre une inéquation comportant une inconnue au dénominateur Méthode ̈ Déterminer les contraintes de l’inéquation. N N N N ̈ Ramener l’inéquation à la forme --- ≤ 0 ou --- < 0 ou --- ≥ 0 ou --- > 0 . - - - - D D D D ̈ Factoriser N et D si nécessaire. N ̈ Etudier le signe du quotient --- . - D ̈ Conclure en donnant l’ensemble des solutions. ǡ 56 ǠCned – Académie en ligne
  • 13. MA27 Séquence 2 Exemples Exemple 1 Exemple 2 x–3 4 Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- ≤ 3 . - Résoudre dans ‫ޒ‬ ----------- ≤ x – 1. - x+2 x–1 Cette inéquation est définie pour x + 2 ≠ 0 Cette inéquation est définie pour x – 1 ≠ 0 c’est- c’est-à-dire pour x ≠ – 2 . à-dire pour x ≠ 1 . x–3 4 ----------- – 3 ≤ 0 - ----------- – ( x – 1 ) ≤ 0 - x+2 x–1 On réduit au même dénominateur. 4 ( x – 1 )2 x – 3 3(x + 2) ----------- – ------------------ ≤ 0 - - ----------- – ------------------- ≤ 0 - - x–1 x–1 x+2 x+2 4 – ( x – 1 )2 x – 3 – 3x – 6 --------------------------- ≤ 0 - -------------------------------- ≤ 0 - x–1 x+2 On factorise le numérateur. – 2x – 9 [2 + (x – 1)][2 – (x – 1)] ------------------- ≤ 0 ------------------------------------------------------------- ≤ 0 - x+2 x–1 (x + 1)(– x + 3) -------------------------------------- ≤ 0 - x–1 9 x –∞ –1 1 3 +∞ x –∞ – -- - –2 +∞ 2 – 2x – 9 + 0 – – x+1 – 0 + + + x+2 – – 0 + –x+3 + + + 0 – Quotient – 0 + – x–1 – – 0 + + 9 Quotient + 0 – + 0 – S = ]–∞; – -- ] ∪ ] – 2;+∞[ - 2 S = [–1; 1[ ∪ [3; +∞[Exercice ƹRésoudre dans ‫ ޒ‬les inéquations suivantes : 2x + 5a) -------------- < 0 - x+2 x+1b) ----------- ≤ 2 - 3–x 1c) x + 2 ≥ ----------- . - x+2 ǡ 57 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 14. C hapitre 3 ▼ Statistiques 1 Résultats essentiels ➠ Vocabulaire 1) Population et individu La population est l’ensemble des individus sur lequel vont porter les observations. Exemple Si une étude porte sur la marque, la puissance fiscale et le kilométrage du parc automobile d’une agence de location, la population est l’ensemble des voitures du parc, l’individu est la voiture. 2) Caractère Le caractère est la propriété étudiée. Le caractère est qualitatif s’il n’est pas une valeur numérique. Le caractère est quantitatif s’il peut être mesuré : – il est discret s’il ne prend que des valeurs isolées (en général entières); – il est continu s’il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné. Exemple Dans l’exemple du parc automobile : – la marque est un caractère qualitatif ; – la puissance fiscale est un caractère quantitatif discret ; – le kilométrage est un caractère quantitatif continu. 3) Modalités Les modalités sont les valeurs prises par le caractère. 4) Effectifs - fréquences ̈ L’effectif d’une modalité est le nombre d’individus présentant cette modalité. ̈ La fréquence d’une modalité est le rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total de la popula- tion. Une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. La somme de toutes les fréquences est 1. ➠ Représentations graphiques 1) Diagramme circulaire Lorsque l’étude statistique porte sur un caractère qualitatif, chaque valeur du caractère est représentée par un secteur angulaire dont la mesure est proportionnelle à l’effectif. ǡ 58 ǠCned – Académie en ligne
  • 15. MA27 Séquence 22) Diagramme en bâtonsLorsque le caractère est discret, chaque valeur du caractère est représentée par un segment dont la longueurest proportionnelle à l’effectif.3) Histogramme des effectifs ou des fréquencesUn histogramme des effectifs (ou des fréquences) est constitué de rectangles ayant pour bases les amplitudesdes intervalles et dont les aires sont proportionnelles aux effectifs (ou fréquences) de ceux-ci. ExemplesExemple 1 : caractère qualitatifVoici les orientations en fin d’année des 32 élèves d’une classe de seconde. « Valeurs » du caractère L ES S STT STI Effectifs 6 8 10 6 2 6 8 10 6 2 Fréquences ----- = 0 ,1875 - ----- = 0 ,25 - ----- = 0 ,3125 - ----- = 0 ,1875 - ----- = 0 ,0625 - 32 32 32 32 32 Fréquences en % 18,75 % 25 % 31,25 % 18,75 % 6,25 %̈ Diagramme circulaireLa mesure de l’angle au centre est proportionnelle à la fréquence ducaractère correspondant. L ES STT S I STExemple 2 : caractère quantitatif discretDans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille. « Valeurs » du 0 1 2 3 4 5 caractère Effectifs 6 5 2 6 4 2 6 5 2 6 4 2 Fréquences ----- = 0 ,24 - ----- = 0 ,20 - ----- = 0 ,08 - ----- = 0 ,24 - ----- = 0 ,16 - ----- = 0 ,08 - 25 25 25 25 25 25 Effectifs cumu- 6 11 13 19 23 25 lés croissants ǡ 59 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 16. Séquence 2 MA27 ̈ Diagramme en bâtons Nombre de familles 1 Nombre 0 1 2 3 4 5 denfants Exemple 3 : caractère quantitatif continu Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant en euros des chèques reçus. On obtient le tableau suivant : les différentes valeurs sont regroupées en classes. « Valeurs » du [0, 10[ [10, 50[ [50, 75[ [75, 100[ [100, 150[ caractère Effectifs 15 25 30 25 5 Fréquences 0,15 0,25 0,30 0,25 0,05 Fréquences cumulées 0,15 0,40 0,70 0,95 1 croissantes ̈ Histogramme L’aire de chaque rectangle doit être proportionnelle à l’effectif. Les classes n’ayant pas la même amplitude, on prend une amplitude de 10 € comme intervalle aire unitaire unitaire (IU). 15 Nombres Montants Effectifs Effectifs/IU de IU [0, 10[ 15 1 15 25 [10, 50[ 25 4 ----- = 6 ,25 - 4 6,25 30 [50, 75[ 30 2,5 ------- = 12 2 ,5 25 [75, 100[ 25 2,5 ------- = 10 2 ,5 1 5 [100, 150[ 5 5 -- = 1 - 10 50 75 100 150 5 ǡ 60 ǠCned – Académie en ligne
  • 17. MA27 Séquence 2Exercice ƺ 1) Calculer le nombre d’élèves de ce lycée (chaqueUn restaurant veut établir des prévisions de com- élève a une calculatrice !).mandes. Le restaurateur note pendant une semaine 2) Etablir le tableau statistique indiquant les effec-les choix effectués par sa clientèle. tifs, les fréquences. Type de menu Effectif Fréquence Mesure de Exercice ƽ l’angle Dans une usine, on a étudié l’âge des personnels.Menus à 10 € 60Menus à 12 € 70 Âges EffectifsMenus à 20 € 40 [20; 25[ 50Menus à 25 € 30 [25; 30[ 25 [30; 35[ 831) Compléter la colonne des fréquences.2) Calculer la mesure de l’angle correspondant à [35; 40[ 68chaque secteur circulaire.3) Représenter cette série statistique par un dia- [40; 45[ 100gramme à secteurs circulaires. [45; 50[ 64 [50; 55[ 18Exercice ƻ [55; 60[ 12 [55/80[ Voici la répar- tition, suivant 1) Combien d’employés ont 40 ans et plus ? [25/30[ 15% leur âge, de 25% 400 person- 2) Combien ont moins de 30 ans ? nes ayant 3) Calculer, par rapport à l’effectif total, le[0/25[ 20% assisté à la pourcentage d’employés appartenant à la classe 30% projection [25; 30[. 10% d’un film. 4) Représenter les données par un histogramme. [45/55[ [30/45[ Etablir le tableau statis-tique indiquant les effectifs et les fréquences cor- Exercice ƾrespondant à chaque classe d’âge, ainsi que la Le tableau ci-dessous donne la répartition desvaleur de l’angle au centre de chaque secteur. tailles des 80 joueurs de basket participant à une épreuve de sélection.Exercice Ƽ Fréquences Nombre Fréquences cumulées délèves Tailles en cm Effectifs en % croissantes 300 en % 250 [170; 180 [ 6 200 [180; 185 [ 8 150 100 [185; 190 [ 20 50 [190; 195 [ 24 Texas Casio HP autre [195; 205 [Le diagramme en bâtons ci-dessus indique la mar-que de calculatrice utilisée par les élèves d’un 1) Compléter le tableau.lycée. 2) Tracer l’histogramme des effectifs. ǡ 61 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 18. Séquence 2 MA27 Exercice ƿ Une entreprise de transport fait une étude statistique sur le kilométrage mensuel effectué par sa flotte de 60 véhicules. On donne l’histogramme suivant : Nombre de véhicules 20 10 2 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 km 1) A partir de l’histogramme ci-dessus, compléter le tableau suivant : Effectif Fréquence Kilométrage Effectif Fréquence cumulé cumulée parcouru croissant croissante [0; 5000[ [5000; 10 000[ [10000; 15000 [ [15000; 20000 [ [20000 ; 25 000 [ [25000; 30000 [ 2) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru moins de 15 000 km. 3) Déterminer le nombre de véhicules ayant parcouru au moins 20 000 km. ǡ 62 ǠCned – Académie en ligne
  • 19. C hapitre 4 ▼ Statistiques 2 Connaissances indispensables➠ Caractéristiques de position1) ModeLe mode est la valeur du caractère ayant le plus grand effectif. Dans le cas de répartition en classe, on définitla classe modale.2) MédianeLa médiane est la valeur du caractère qui partage l’effectif total en deux parties de même effectif.Dans le cas d’un caractère discret :– Si l’effectif total est impair, la médiane est la valeur du caractère situé au milieu de la série.– Si l’effectif total est pair, la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales.Dans le cas d’un caractère continu, la médiane peut être obtenue par la lecture, sur le polygone des effectifs Ncumulés, de l’abscisse du point ayant pour ordonnée --- (N étant l’effectif total). - 23) MoyenneSi x 1, x 2, …, x p sont les valeurs du caractère étudié et n 1, n 2, …, n p les effectifs correspondants, la moyennede la série statistique est : n n1 x1 + n2 x2 + … + np xp i = 1 ∑ ni xi = ----------------------------------------------------------- = ------------------- . - - n1 + n2 + … + np n ∑ ni i=1Si la série statistique est continue, x i représente le centre de la classe .➠ Caractéristiques de dispersionÉtendueL’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur du caractère. ExemplesExemple 1Dans un immeuble de 25 appartements, on a relevé le nombre d’enfants dans chaque famille. Nombre d’enfants 0 1 2 3 4 5 Effectifs 6 5 2 6 4 2 ǡ 63 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 20. Séquence 2 MA27 ̈ la série a deux modes : 0 et 3. ̈ Il y a 25 familles étudiées. La médiane est alors le nombre d’enfants de la 13 e famille soit 2. Il y a 12 familles qui ont au plus deux enfants et 12 familles qui ont plus de deux enfants. ̈ Calcul de la moyenne 6×0+5×1+2×2+6×3+4×4+2×5 x = -------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 2, 12 - 25 ̈ L’étendue est égale à ( 5 – 0 ) c’est à dire 5. Exemple 2 Dans un magasin, on a relevé en fin de journée le montant des chèques reçus. Montant des chèques [0; 25[ [25; 50[ [50; 75[ [75; 100[ [100; 150[ Effectifs 15 25 30 25 5 Effectifs cumulés croissants 15 40 70 95 100 Classe modale : [50; 75 [. Médiane : on trace le polygone des effectifs cumulés croissants. 100 50 10 5 25 50 75 100 150 La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 50. On obtient environ 58. ǡ 64 ǠCned – Académie en ligne
  • 21. MA27 Séquence 2̈ Calcul de la moyenneOn prend le centre de chaque intervalle. 15 × 12 ,5 + 25 × 37 ,5 + 30 × 62 ,5 + 25 × 87 ,5 + 5 × 125 x = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 58 ,125 - 100̈ L’étendue est égale à 150.Exercice 21 2) Déterminer graphiquement la médiane.En vue de la fabrication de fromages, une laitière a 3) On affecte l’effectif de chaque classe au centrerelevé le taux de matière grasse MG (en grammes de cette classe.par litre) de différents échantillons recueillis. Calculer le temps moyen d’intervention , x .Le tableau ci-dessous donne les résultats arrondis à 4) a) Déterminer, à l’aide du graphique, le nombrel’unité, de ce relevé. d’interventions dont la durée est comprise entre Taux de MG (g/l) 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 22 ; 109 ] . Effectif 1 2 5 2 3 1 4 1 1 b) Exprimer ce nombre en pourcentage de l’effec- tif total.1) Calculer la moyenne x et l’étendue de cette c) Le travail du service de maintenance est jugésérie statistique. de bonne qualité si 95 % des interventions cou-2) Déterminer le nombre d’échantillons dont le rantes ont une durée appartenant à l’intervalletaux de matière grasse appartient à l’intervalle : [ 22 ; 109 ] . [ 29 ,5 ; 33 ,5 ] Le travail de ce service est-il de bonne qualité ?Quel pourcentage du total représente ce résultat ?Exercice 22 Exercice 23Dans un atelier, on a relevé, pour un type de Un commerçant a relevé en décembre 1998 lemachines, les temps d’intervention du service de montant des ventes suivantes :maintenance. Les résultats sont les suivants : Montant Durée [0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[ des [0; 30[ [30; 60[ [60; 90[ [90; 120[ [120; 150[ (min) ventesEffectif : NombreNombre d’inter- 5 20 40 100 20 15 de 64 40 78 52 16 ventesventions1) Construire le polygone des effectifs cumulés 1) Tracer l’histogramme des effectifs.croissants. 2) Déterminer le montant moyen des ventes.Echelles : – en abscisse, 1 cm pour 10 min. – en ordonnée, 1 cm pour 20 interventions.➠ Échantillons et fluctuation d’échantillonnagë Un échantillon issu d’une population est l’ensemble de quelques éléments de cette population.̈ La taille d’un échantillon est le nombre d’éléments qui appartiennent à cet échantillon.̈ Les distributions des fréquences associées à plusieurs échantillons correspondant à une même populationsont en général différentes : on dit que la distribution des fréquences fluctue d’un échantillon à l’autre.̈ Lorsque l’on augmente la taille des échantillons, on diminue l’amplitude de la fluctuation des distributionsdes fréquences associées à ces échantillons. ǡ 65 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 22. Séquence 2 MA27 Exercice 24 On utilise ces deux écrans pour simuler 120 tirages d’une boule avec remise dans une urne qui contient Romain a lancé 50 fois une pièce de monnaie et a trois boules vertes, deux boules rouges et cinq bou- obtenu PILE avec la fréquence de 0,44. les jaunes. On convient que les chiffres 0, 1 et 2 Florence a lancé 100 fois la même pièce de mon- correspondent au tirage d’une boule verte, 3 et 4 naie et a obtenu PILE avec la fréquence de 0,55. d’une boule rouge et 5, 6, 7, 8 et 9 d’une boule Claire, sur 75 lancers, arrive, pour PILE, à une fré- jaune. quence de 0,4. Calculer la fréquence d’apparition de chacune des Romain, Florence et Claire décident de regrouper couleurs. leurs résultats pour disposer d’un échantillon de taille 225 des résultats que l’on peut obtenir en lan- çant cette pièce. Exercice 26 Quelle sera la fréquence d’obtention de PILE sur 1) Lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce qui cet échantillon ? peut tomber uniquement sur « pile » désigné par P ou sur « face » noté F, quels sont les quatre cas que Exercice 25 l’on peut rencontrer ? En affichant l’instruction rand (Texas Instrument) 2) On utilise les deux écrans de l’exercice précé- ou Ran # (Casio), puis on appuyant plusieurs fois dent. Au premier écran, on associe le résultat du sur la fonction d’entrée, on a obtenu les deux premier jet et au second, le résultat du second ; de écrans suivants : plus, à chaque nombre pair, on associe P et à cha- Écran 1 Écran 2 que nombre impair F. rand rand Si on considère la première ligne des deux écrans, • 23 72 03 47 15 • 80 26 37 84 67 on obtient les cinq premiers résultats suivants : PP, • 44 00 16 30 73 • 48 61 87 78 48 FP, FP, PP, PF. Déterminer la fréquence d’appari- • 15 99 46 41 83 • 63 76 68 85 45 tion de chacun des quatre cas au cours des 60 lan- • 84 23 93 34 41 • 24 68 33 64 44 • 55 38 76 05 20 • 67 98 31 98 89 cers de la pièce deux fois de suite, lancers simulés • 84 76 91 29 52 • 69 32 51 47 78 par les deux écrans. Exercice 27 On simule 1 000 tirages de deux dés. On obtient : Tirages 1 et 1 1 et 2 1 et 3 1 et 4 1 et 5 1 et 6 2 et 2 Effectifs 25 51 56 58 54 55 29 Tirages 2 et 3 2 et 4 2 et 5 2 et 6 3 et 3 3 et 4 3 et 5 Effectifs 53 57 59 56 31 54 52 Tirages 3 et 6 4 et 4 4 et 5 4 et 6 5 et 5 5 et 6 6 et 6 Effectifs 57 28 56 54 27 60 28 On s’intéresse au jeu suivant : à chaque tirage, on fait correspondre le chiffre des unités du produit des deux nombres apparus sur les deux dés. Ainsi, au tirage « 3 et 4 », on associe le nombre 2 puisque 2 est le chiffre des unités de 12 = 3 × 4 . a) Quelles sont les valeurs du caractère ? b) Calculer la fréquence de chacune de ces valeurs. c) Préciser la fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 ». ǡ 66 ǠCned – Académie en ligne
  • 23. Q .C .M . ▼ Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Réponse Réponse Réponse 1 2 3 2 3ᕡ L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution – -- - – -- - –1 3 2 1ᕢ L’équation 7x = 0 a pour solution –7 0 -- - 7ᕣ L’équation x ( x + 1 ) = 0 a pour solution 0 et – 1 0 0 et 1 pas deᕤ L’équation x 2 + 1 = 0 a pour solution –1 1 et –1 solution – 6 etᕥ L’équation x 2 = 6 a pour solution 3 6 6 x+1ᕦ L’équation ----------- = 0 a pour solution - –1 – 1 et 3 0 x–3ᕧ L’inéquation 3x ≤ 0 a pour ensemble solution ]–∞; –3[ [0; +∞[ ]–∞; 0] 3 2 3ᕨ L’inéquation 3 – 2x > 0 a pour ensemble solution ]–∞; -- [ - ] -- ; +∞[ - ] -- ; +∞[ - 2 3 2 L’inéquation 3x ( x – 1 ) ≤ 0 a pour ensembleᕩ ]–∞; 0] [0; 1] [1, +∞[ solution 3xµ L’inéquation ----------- ≤ 0 a pour ensemble solution - ]–∞; 0[ [0; 1[ ]1; +∞[ x–1¸ Les équations x = 2 et x 2 = 4 sont équivalentes. vrai faux¹ L’équation 2x ( x – 1 ) 2 = 0 admet deux solutions vrai faux Sur un histogramme les hauteurs des rectanglesƸ vrai faux sont proportionnelles aux effectifs Sur un histogramme les aires des rectangles sontƹ vrai faux proportionnelles aux effectifs celaƺ Une fréquence peut être égale à 1,2 vrai faux dépendƻ La somme des fréquences est égale à 1 vrai faux celaƼ L’étendue peut être négative vrai faux dépend La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20ƽ 10 10,5 11 est égale à : L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1,ƾ 6 0 1 2, 3 est égal à La moyenne et la médiane de la série de valeurs :ƿ vrai faux 6, 7, 8, 9, 10 sont égales. ǡ 67 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 24. C orrigés des Exercices et du Q.C.M ▼ Chapitre 1 Exercice ᕡ a) – ( 1 ) 2 + 2 = – 1 + 2 = 1 . 1 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x. – ( – 2 ) 2 + 2 = – 4 + 2 = – 2 . –2 est solution de l’équation : – x 2 + 2 = x. b) ( 2 ) 2 = 2 et ( – 2 ) 2 = 2 2 et – 2 sont solutions de l’équation : x 2 = 2. Exercice ᕢ 1) On remplace x par –2 dans le premier membre de l’équation. – ( – 2 ) 2 + 6 × ( – 2 ) + 8 = – 4 – 12 + 8 = – 8 . Le résultat étant différent de 0, –2 n’est pas solution. 2) – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – ( 9 – 6 17 + 17 ) + 18 – 6 17 + 8. Donc – ( 3 – 17 ) 2 + 6 ( 3 – 17 ) + 8 = – 26 + 6 17 + 26 – 6 17 = 0. 3 – 17 est solution de l’équation : – x 2 + 6x – 8 = 0 . Exercice ᕣ a) 3x – 2 = 0 b) 1 – 2x = 0 c) 7x = 0 3x = 2 – 2x = – 1 x = 0 2 1 x = -- - x = -- - 3 2 S = {0} ⎧2 ⎫ ⎧1 ⎫ S = ⎨ -- ⎬ - S = ⎨ -- ⎬ - ⎩3 ⎭ ⎩2 ⎭ 1 d) -- x + 8 = 9 - e) 1 x + 3x = 2x – 12 -- - f) x x -- + -- - - = x+4 3 2 2 3 1 1 6x 4x – 24 3x 2x 6x + 24 -- x - = 9–8 -- x + ----- = ----------------- - - - ----- + ----- - - = ----------------- - 3 2 2 2 6 6 6 1 x + 6x = 4x – 24 3x + 2x = 6x + 24 -- x - = 1 3 3x = – 24 –x = 24 x = 3 x = –8 x = – 24 S = {3} S = { –8 } S = { – 24 } ǡ 69 ǠCned – Académie en ligne
  • 25. Séquence 2 - Corrigés MA27Exercice ᕤa) 3x + 9 – 10 = 2x + 8 – 5x b) 2x – 1 – 5x – 15 = 4 – 3x 3x – 2x + 5x = 8 – 9 + 10 2x – 5x + 3x = 4 + 1 + 15 6x = 9 0x = 20 9 3 L’équation n’a pas de solution x = -- = -- - - 6 2 S = ∅ ⎧3 ⎫ S = ⎨ -- ⎬ - ⎩2 ⎭c) 18 – 12x + 2 + 10x = 20 – 2x 4(x – 1) 3(x + 2) 12 ( x – 5 ) d) ------------------- – ------------------- 12 - 12 - = ---------------------- 12 - – 12x + 10x + 2x = 20 – 18 – 2 0x = 0 4(x – 1) – 3(x + 2) = 12 ( x – 5 ) Tous les réels sont solutions 4x – 4 – 3x – 6 = 12x – 60 S = ‫ޒ‬ 4x – 3x – 12x = 4 + 6 – 60 – 11x = – 50 50 x = ----- - 11 ⎧ 50 ⎫ S = ⎨ ----- ⎬ - ⎩ 11 ⎭Exercice ᕥa) ( 2x ) 2 – 3 2 = 0 b) ( x + 1 )2 – ( 3 )2 = 0 ( 2x – 3 ) ( 2x + 3 ) = 0 (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0 2x – 3 = 0 ou 2x + 3 = 0 x + 1 – 3 = 0 ou x + 1 + 3 = 0 2x = 3 ou 2x = – 3 x = – 1 + 3 ou x = – 1 – 3 3 3 x = -- ou x = – -- - - S = { –1 + 3 ; – 1 – 3 } 2 2 ⎧3 3 ⎫ S = ⎨ -- ; – -- ⎬ - - ⎩2 2 ⎭c) [ 2 ( x + 2 ) ] 2 – ( x + 3 ) 2 = 0 d) ( x – 4 ) ( x + 4 ) = 3 ( x + 4 ) ( x + 1 ) [2(x + 2) – (x + 3)][2(x + 2) + (x + 3)] = 0 (x – 4)(x + 4) – 3(x + 4)(x + 1) = 0 ( 2x + 4 – x – 3 ) ( 2x + 4 + x + 3 ) = 0 (x + 4)[(x – 4) – 3(x + 1)] = 0 ( x + 1 ) ( 3x + 7 ) = 0 ( x + 4 ) ( x – 4 – 3x – 3 ) = 0 x + 1 = 0 ou 3x + 7 = 0 ( x + 4 ) ( – 2x – 7 ) = 0 x = – 1 ou 3x = – 7 x + 4 = 0 ou – 2x – 7 = 0 7 x = – 4 ou – 2x = 7 x = – 1 ou x = – -- - 3 7 x = – 4 ou x = – -- - 2 ⎧ 7⎫ ⎧ 7⎫ S = ⎨ – 1 ; – -- ⎬ - S = ⎨ – 4; – -- ⎬- ⎩ 3⎭ ⎩ 2⎭ ǡ 70 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 26. MA27 Séquence 2- Corrigés e) ( 2x + 1 ) 2 = ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) ( 2x + 1 ) 2 – ( 2x + 1 ) ( x – 5 ) = 0 ( 2x + 1 ) [ ( 2x + 1 ) – ( x – 5 ) ] = 0 ( 2x + 1 ) ( 2x + 1 – x + 5 ) = 0 ( 2x + 1 ) ( x + 6 ) = 0 2x + 1 = 0 ou x + 6 = 0 1 x = – -- ou x = – 6 - 2 ⎧ 1 ⎫ S = ⎨ – -- ;– 6 ⎬ - ⎩ 2 ⎭ Exercice ᕦ a) ( x + 3 ) 2 – 7x + 12 – x 2 + 4 = 0 b) ( x – 5 )2 + 9 – ( x + 2 )2 = 0 x 2 + 6x + 9 – 7x + 12 – x 2 + 4 = 0 x 2 – 10x + 25 + 9 – ( x 2 + 4x + 4 ) = 0 – x + 25 = 0 x 2 – 10x + 25 + 9 – x 2 – 4x – 4 = 0 –x = – 25 – 14x + 30 = 0 x = 25 – 14x = – 30 S = { 25 } 30 15 x = ----- = ----- - - 14 7 ⎧ 15 ⎫ S = ⎨ ----- ⎬ - ⎩7⎭ Exercice ᕧ 1) f ( x ) = ( 9x 2 – 12x + 4 ) – 2 ( 3x 2 – 9x – 2x + 6 ) f ( x ) = 9x 2 – 12x + 4 – 6x 2 + 18x + 4x – 12 f ( x ) = 3x 2 + 10x – 8 2) f ( x ) = ( 3x – 2 ) [ ( 3x – 2 ) – 2 ( x – 3 ) ] f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( 3x – 2 – 2x + 6 ) f ( x ) = ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) 3) a) f ( x ) = 0 b) f ( x ) = – 8 ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) = 0 3x 2 + 10x – 8 = – 8 3x – 2 = 0 ou x + 4 = 0 3x 2 + 10x – 8 + 8 = 0 3x = 2 ou x = – 4 x ( 3x + 10 ) = 0 2 x = 0 ou 3x + 10 = 0 x = -- ou x = – 4 - 3 10 x = 0 ou x = – ------ 3 ⎧2 ⎫ S = ⎨ -- ; – 4 ⎬ - ⎩ 3 ⎭ ⎧ 10 ⎫ S = ⎨ 0; – ----- ⎬ - ⎩ 3⎭ ǡ 71 ǠCned – Académie en ligne
  • 27. Séquence 2 - Corrigés MA27c) f ( x ) = x + 4 ( 3x – 2 ) ( x + 4 ) – ( x + 4 ) = 0 ( x + 4 ) [ ( 3x – 2 ) – 1 ] = 0 ( x + 4 ) ( 3x – 3 ) = 0 x + 4 = 0 ou 3x – 3 = 0 x = – 4 ou x = 1 S = { –4 ; 1 }Exercice ᕨ 2x + 3 x–1 7 a) -------------- = 5 - b) ----------- = -- - - x+1 x 2 Cette équation est définie pour x ≠ – 1 Cette équation est définie pour x ≠ 0 . 2x + 3 x–1 7 -------------- – 5 = 0 - ----------- – -- = 0 - - x+1 x 2 2x + 3 – 5 ( x + 1 ) 2 ( x – 1 ) – 7x ----------------------------------------- = 0 - ------------------------------- = 0 - x+1 2x 2x + 3 – 5x – 5 = 0 2x – 2 – 7x = 0 – 3x – 2 = 0 – 5x – 2 = 0 – 3x = 2 – 5x = 2 2 2 x = – -- - x = – -- - 3 5 2 2 Comme – -- ≠ – 1 , l’équation admet une seule - Comme – -- ≠ 0 , l’équation admet une seule solu- - 3 5 2 2 solution : – -- . - tion : – -- . - 3 5 ⎧ 2⎫ ⎧ 2⎫ S = ⎨ – -- ⎬ - S = ⎨ – -- ⎬ - ⎩ 3⎭ ⎩ 5⎭ 1c) x + -- = 2 - xCette équation est définie pour x ≠ 0 x2 + 1 2x -------------- = ----- - - x x x 2 + 1 – 2x -------------------------- = 0 - x ( x – 1 )2 = 0 x–1 = 0 x = 1Comme 1 ≠ 0 , l’équation admet une seule solution : 1.S = {1} ǡ 72 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 28. MA27 Séquence 2- Corrigés Chapitre 2 Exercice ᕩ a) 3x + 7 ≤ 0 b) 2x + 3 > x – 4 3x ≤ – 7 2x – x > – 4 – 3 7 x > –7 x ≤ – -- - 3 S = ]–7; +∞[ 7 S = ]–∞; – -- ] - 3 2x c) ----- – 4 ≥ x + 2 - d) 2 ( 3x + 7 ) > 4 ( x + 1 ) + 2x – 3 3 2x 12 3x + 6 6x + 14 > 4x + 4 + 2x – 3 ----- – ----- ≥ -------------- - - - 3 3 3 6x – 4x – 2x > 4 – 3 – 14 2x – 12 ≥ 3x + 6 0x > – 13 2x – 3x ≥ 6 + 12 Comme 0 > – 13, tout réel est solution – x ≥ 18 S = ‫ޒ‬ x ≤ – 18 S = ]–∞: –18] e) x – 1 – x + 2 ≤ 5 ----------- ----------- - - 2 3 3 ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) 30 ------------------- – ------------------- ≤ ----- - - - 6 6 6 3 ( x – 1 ) – 2 ( x + 2 ) ≤ 30 3x – 3 – 2x – 4 ≤ 30 x ≤ 37 S = ]–∞; 37] Exercice µ On résout chaque inéquation. 5 ( 2x + 3 ) + ( x – 2 ) > 4 ( x – 7 ) 16 – 2x x – 1 x x + 6 ----------------- – ----------- ≥ -- – ----------- - - - - 10x + 15 + x – 2 > 4x – 28 3 6 3 2 10x + x – 4x > – 15 + 2 – 28 2 ( 16 – 2x ) x – 1 2x 3 ( x + 6 ) ------------------------- – ----------- ≥ ----- – ------------------- - - - - 7x > – 41 6 6 6 6 41 2 ( 16 – 2x ) – ( x – 1 ) ≥ 2x – 3 ( x + 6 ) x > – ----- - 7 32 – 4x – x + 1 ≥ 2x – 3x – 18 41 – 4x – x – 2x + 3x ≥ – 18 – 32 – 1 S 1 = ]– ----- ; + ∞[ - 7 – 4x ≥ – 51 51 x ≤ ----- - 4 51 S 2 = ] – ∞; ----- ] - 4 ǡ 73 ǠCned – Académie en ligne
  • 29. Séquence 2 - Corrigés MA27On cherche les solutions communes S1 0 1 S2 – 41 51 7 4 41 51L’ensemble des solutions du système est : – ----- ;----- . - - 7 4Exercice ¸a) 2 1 x –∞ – -- - -- - +∞ 3 5 3x + 2 – 0 + + 1 – 5x + + 0 – P(x) – 0 + 0 –b) 4 x –∞ – -- - 2 +∞ 5 5x + 4 – 0 + + x–2 – – 0 + Q(x) + 0 – +c) Pour tout réel x, x 2 + 1 est strictement positif 7 x –∞ -- - +∞ 2 – 2x + 7 + 0 – x2 + 1 + + R(x) + 0 – ǡ 74 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 30. MA27 Séquence 2- Corrigés d) x –∞ 0 1 +∞ –3x + 0 – – ( x – 1 )2 + + 0 + T(x) + 0 – – Exercice ¹ a) ( 2x – 1 ) ( 4 – 5x ) ≤ 0 1 4 x –∞ -- - -- - +∞ 2 5 2x – 1 – 0 + + 4 – 5x + + 0 – Produit – 0 + 0 – 1 4 S = ] – ∞; -- ] ∪ [ -- ;+∞[ - - 2 5 b) On factorise x 2 – 3 (x – 3)(x + 3) < 0 x –∞ – 3 3 +∞ x– 3 – – 0 + x+ 3 – 0 + + Produit + 0 – 0 + S = ]– 3 ; 3[ c) ( 2x + 1 ) ( x – 4 ) ≤ ( 2x – 1 ) ( 2x + 1 ) ( 2x + 1 ) ( x – 4 ) – ( 2x – 1 ) ( 2x + 1 ) ≤ 0 ( 2x + 1 ) [ ( x – 4 ) – ( 2x – 1 ) ] ≤ 0 ( 2x + 1 ) ( x – 4 – 2x + 1 ) ≤ 0 ( 2x + 1 ) ( – x – 3 ) ≤ 0 1 x –∞ –3 – -- - +∞ 2 2x + 1 – – 0 + –x–3 + 0 – – Produit – 0 + 0 – 1 S = ]–∞; –3] ∪ [ – -- ;+∞[ - 2 ǡ 75 ǠCned – Académie en ligne
  • 31. Séquence 2 - Corrigés MA27d) ( x – 1 ) 2 – ( 3x – 1 ) 2 ≥ 0 [ ( x – 1 ) – ( 3x – 1 ) ] [ ( x – 1 ) + ( 3x – 1 ) ] ≥ 0 ( x – 1 – 3x + 1 ) ( x – 1 + 3x – 1 ) ≥ 0 – 2x ( 4x – 2 ) ≥ 0 1 x –∞ 0 -- - +∞ 2 –2x + 0 – – 4x – 2 – – 0 + Produit – 0 + 0 – 1 S = 0 ;-- - 2Exercice Ƹ1) f ( x ) = ( 4x 2 – 12x + 9 ) – 3 ( 2x 2 + 2x – 3x – 3 ) f ( x ) = ( 4x 2 – 12x + 9 ) – 3 ( 2x 2 – x – 3 ) f ( x ) = 4x 2 – 12x + 9 – 6x 2 + 3x + 9 = – 2x 2 – 9x + 182) f ( x ) = ( 2x – 3 ) [ ( 2x – 3 ) – 3 ( x + 1 ) ] f ( x ) = ( 2x – 3 ) ( 2x – 3 – 3x – 3 ) f ( x ) = ( 2x – 3 ) ( – x – 6 )3) a) f ( x ) ≤ 0 ( 2x – 3 ) ( – x – 6 ) ≤ 0 3 x –∞ –6 -- - +∞ 2 2x – 3 – – 0 + –x–6 + 0 – – f (x) – 0 + 0 – 3 S = ]–∞; –6] ∪ [ -- ; +∞[ - 2 b) f ( x ) > 18 – 2x 2 – 9x + 18 – 18 > 0 – 2x 2 – 9x > 0 x ( – 2x – 9 ) > 0 9 x –∞ – -- - 0 +∞ 2 x – – 0 + – 2x – 9 + 0 – – Produit – 0 + 0 – 9 S = ]- -- ; 0[ - 2 ǡ 76 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 32. MA27 Séquence 2- Corrigés Exercice ƹ 2x + 5 a) -------------- < 0 - x+2 Cette inéquation est définie pour x ≠ – 2 . 5 x –∞ – -- - –2 +∞ 2 2x + 5 – 0 + + x+2 – – 0 + Quotient + 0 – + 5 S = ] – -- ;– 2 [ - 2 x+1 b) ----------- ≤ 2 - 3–x Cette inéquation est définie pour x ≠ 3 . x+1 ----------- – 2 ≤ 0 - 3–x x + 1 – 2(3 – x) ------------------------------------- ≤ 0 - 3–x x + 1 – 6 + 2x --------------------------------- ≤ 0 - 3–x 3x – 5 -------------- ≤ 0 - 3–x 5 x –∞ - -- 3 +∞ 3 3x – 5 – 0 + + 3–x + + 0 – Quotient – 0 + – 5 S = ]–∞; -- ] ∪ ]3 ;+∞[ - 3 1 c) x + 2 ≥ ----------- - x+2 Cette inéquation est définie pour x ≠ – 2 . 1 x –∞ –3 –2 –1 +∞ x + 2 – ----------- ≥ 0 - x+2 x+1 – – – 0 + ( x + 2 )2 – 1 ---------------------------- ≥ 0 - x+3 – 0 + + + x+2 (x + 2 – 1)(x + 2 + 1) x+2 – – 0 + + ---------------------------------------------------- ≥ 0 - x+2 Quotient – 0 + – 0 + (x + 1)(x + 3) ---------------------------------- ≥ 0 x+2 S = [–3; -2[ ∪ [–1; +∞[ ǡ 77 ǠCned – Académie en ligne
  • 33. Séquence 2 - Corrigés MA27Chapitre 3Exercice ƺ Type de menu Effectif Fréquence Mesure de l’angle 60 Menus à 10 € 60 -------- = 0 ,30 - 360 × 0 ,3 = 108° 200 70 Menus à 12 € 70 -------- = 0 ,35 - 360 × 0 ,35 = 126° 200 40 Menus à 20 € 40 -------- = 0 ,20 - 360 × 0 ,20 = 72° 200 30 Menus à 25 € 30 -------- = 0 ,15 - 360 × 0 ,15 = 54° 200 Menu à 10 € Menu à 12 € Menu à 25 € Menu à 20 €Exercice ƻ Âge Effectif Fréquence Mesure de l’angle [0; 25[ 400 × 0 ,2 = 80 0,20 360 × 0 ,2 = 72° [25; 30[ 400 × 0 ,25 = 100 0,25 360 × 0 ,25 = 90° [30; 45[ 400 × 0 ,3 = 120 0,30 360 × 0 ,30 = 108° [45; 55[ 400 × 0 ,1 = 40 0,10 360 × 0 ,10 = 36° [55; 80[ 400 × 0 ,15 = 60 0,15 360 × 0 ,15 = 54°Exercice Ƽ1) 300 + 250 + 100 + 150 = 800 Il y a 800 élèves dans ce lycée. ǡ 78 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 34. MA27 Séquence 2- Corrigés 2) Marque de calculatrice Effectifs Fréquences 300 Texas 300 -------- = 0 ,375 - 800 250 Casio 250 -------- = 0 ,3125 - 800 100 H.P. 100 -------- = 0 ,125 - 800 150 Autre 150 -------- = 0 ,1875 - 800 Exercice ƽ 1) 100 + 64 +18 +12 = 194 194 employés ont 40 ans et plus. 2) 50 + 25 = 75 75 employés ont moins de 30 ans. 3) Effectif total : 50 + 25 + 83 + 68 + 100 + 64 + 18 + 12 = 420 Pourcentage d’employés appartenant à la classe [25; 30[ : 25 × 100 -------------------- ≈ 5 ,95 - 420 Il y a environ 5,95 % d’employés appartenant à la classe [25; 30[. 4) 100 83 68 64 18 12 10 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Exercice ƾ 1) Fréquences cumulées Tailles Effectifs Fréquences en % croissantes en % [170; 180[ 6 7,5 7,5 [180; 185[ 8 10 17,5 [185; 190[ 80 × 0 ,2 = 16 20 37,5 [190; 195[ 24 30 67,5 [195; 205[ 26 32,5 100 ǡ 79 ǠCned – Académie en ligne
  • 35. Séquence 2 - Corrigés MA272) aire unitaire 20 1 13 10 3 2 170 180 190 200Les classes n’ayant pas la même amplitude, on prend une amplitude de 5 cm comme intervalle unitaire.Exercice ƿ1) Effectif cumulé Fréquence cumu- Kilométrage Effectif Fréquence croissant lée croissante 2 1 1 [0; 5000[ 2 ----- = ----- - - 2 ----- - 60 30 30 8 2 10 1 [5000; 10000[ 8 ----- = ----- - - 10 ----- = -- - - 60 15 60 6 10 1 20 1 [10000; 15000[ 10 ----- = -- - - 20 ----- = -- - - 60 6 60 3 16 4 36 3 [15000; 20000[ 16 ----- = ----- - - 36 ----- = -- - - 60 15 60 5 20 1 56 14 [20000; 25000[ 20 ----- = -- - - 56 ----- = ----- - - 60 3 60 15 4 1 [25000; 30000[ 4 ----- = ----- - - 60 1 60 152) 2 + 8 + 10 = 20 20 véhicules ont parcouru moins de 15 000 km.3) 20 + 4 = 24 24 véhicules ont parcouru au moins 20 000 km. ǡ 80 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 36. MA27 Séquence 2- Corrigés Chapitre 4 Exercice 21 1) Moyenne : 1 × 28 + 2 × 29 + 5 × 30 + 2 × 31 + 3 × 32 + 1 × 33 + 4 × 34 + 1 × 35 + 1 × 36 x = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1+2+5+2+3+1+4+1+1 634 x = -------- = 31 ,7 - 20 2) Étendue : 36 – 28 = 8. Nombre d’échantillons appartenant à l’intervalle [ 29 ,5 ; 33 ,5 ] : 5 + 2 + 3 +1 = 11 11 × 100 Pourcentage : -------------------- = 55 - 20 Le pourcentage est de 55 %. Exercice 22 1) Durée [0; 20[ [20; 40[ [40; 60[ [60; 80[ [80; 100[ [100; 120[ Effectif 5 20 40 100 20 15 Effectif cumulé 5 25 65 165 185 200 croissant Voir graphique page suivante. 2) La médiane est l’abscisse du point du polygone ayant pour ordonnée 100. On obtient environ 67. 5 × 10 + 20 × 30 + 40 × 50 + 100 × 70 + 20 × 90 + 15 × 110 3) x = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ = 65 ,5 200 4) a) Nombre d’interventions dont la durée appartient à [ 22 ; 109 ] 192 – 8 = 184 Il y a environ 184 interventions dont la durée est comprise entre 22 mn et 109 mn. 184 × 100 b) Pourcentage : ----------------------- = 92 - 200 Le pourcentage cherché est de 92 %. c) Puisque 92 < 95, le travail de ce service n’est pas de bonne qualité. ǡ 81 ǠCned – Académie en ligne
  • 37. Séquence 2 - Corrigés MA27 Nombre dinterventions 200 192 100 20 8 10 20 40 60 67 80 100 120 Durée (mn) 22 109Exercice 231) Nombres de ventes 78 64 52 40 16 10 Montant des ventes 0 30 60 90 120 150 ǡ 82 Ǡ Cned – Académie en ligne
  • 38. MA27 Séquence 2- Corrigés 64 × 15 + 40 × 45 + 78 × 75 + 52 × 105 + 16 × 135 2) x = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - x = 64 ,92 250 Le montant moyen des ventes est de 64,92 €. Exercice 24 Nombre de tirages « Pile » obtenus par Romain : 0 ,44 × 50 = 22 . Nombre de tirages « Pile » obtenus par Florence : 0 ,55 × 100 = 55 . Nombre de tirages « Pile » obtenus par Claire : 0 ,4 × 75 = 30 . La fréquence d’obtention de Pile sur cet échantillon de taille 225 est égale à : 22 + 55 + 30 107 ------------------------------ = -------- c’est-à-dire 0,48 à 10-2 près. - 225 225 Exercice 25 Tirages boule verte boule rouge boule jaune Effectifs 25 33 62 25 33 62 Fréquences -------- Ӎ 0 ,208 - -------- Ӎ 0 ,275 - -------- Ӎ 0 ,517 - 120 120 120 Exercice 26 1) Les quatre cas sont les suivants : PP, PF, FP, FF. 2) Résultats PP PF FP FF Effectifs 22 7 14 17 22 7 14 17 Fréquences ----- Ӎ 0 ,367 - ----- Ӎ 0 ,117 - ----- Ӎ 0 ,233 - ----- Ӎ 0 ,283 - 60 60 60 60 Exercice 27 a) Les valeurs du caractère sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 et 9. b) Valeurs 0 1 2 3 4 Effectifs 59 + 56 + 60 = 175 25 51 + 56 + 54 = 161 56 58 + 29 + 54 = 141 Fréquences 0,175 0,025 0,161 0,056 0,141 5 6 8 9 54 + 52 + 27 = 133 55 + 53 + 28 + 28 = 164 57 + 57 = 114 31 0,133 0,164 0,114 0,031 c) 0, 3, 6 et 9 sont des multiples de 3. La fréquence de l’événement : « le chiffre des unités est un multiple de 3 » est donc égale à : 0,175 + 0,056 + 0,164 + 0,031 = 0,426. ǡ 83 ǠCned – Académie en ligne
  • 39. Séquence 2 - Corrigés MA27 Q.C.M Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Réponse Réponse Réponse 1 2 3 2 3 ᕡ L’équation 3x + 2 = 0 a pour solution – -- - – -- - –1 ᕡ 3 2 1 ᕢ L’équation 7x = 0 a pour solution –7 0 -- - ᕢ 7 ᕣ L’équation x ( x + 1 ) = 0 a pour solution 0 et – 1 0 0 et 1 ᕡ pas de ᕤ L’équation x 2 + 1 = 0 a pour solution –1 1 et –1 ᕣ solution – 6 et ᕥ L’équation x 2 = 6 a pour solution 3 6 ᕣ 6 x+1 ᕦ L’équation ----------- = 0 a pour solution - –1 – 1 et 3 0 ᕡ x–3 ᕧ L’inéquation 3x ≤ 0 a pour ensemble solution ]–∞; –3[ [0; +∞[ ]–∞; 0] ᕣ 3 2 3 ᕨ L’inéquation 3 – 2x > 0 a pour ensemble solution ]–∞; -- [ - ] -- ; +∞[ - ] -- ; +∞[ - ᕡ 2 3 2 L’inéquation 3x ( x – 1 ) ≤ 0 a pour ensemble ᕩ ]–∞; 0] [0; 1] [1, +∞[ ᕢ solution 3x µ L’inéquation ----------- ≤ 0 a pour ensemble solution - ]–∞; 0[ [0; 1[ ]1; +∞[ ᕢ x–1 ¸ Les équations x = 2 et x 2 = 4 sont équivalentes. vrai faux ᕢ ¹ L’équation 2x ( x – 1 ) 2 = 0 admet deux solutions vrai faux ᕡ Sur un histogramme les hauteurs des rectangles Ƹ vrai faux ᕢ sont proportionnelles aux effectifs Sur un histogramme les aires des rectangles sont ƹ vrai faux ᕡ proportionnelles aux effectifs cela ƺ Une fréquence peut être égale à 1,2 vrai faux ᕢ dépend ƻ La somme des fréquences est égale à 1 vrai faux ᕡ cela Ƽ L’étendue peut être négative vrai faux ᕢ dépend La moyenne de la série de 20 notes : 1, 2, 3… 20 ƽ 10 10,5 11 ᕢ est égale à : L’étendue de la série de valeurs : -3, -2, -1, 0, 1, ƾ 6 0 1 ᕡ 2, 3 est égal à La moyenne et la médiane de la série de valeurs : ƿ vrai faux ᕡ 6, 7, 8, 9, 10 sont égales ǡ 84 Ǡ Cned – Académie en ligne