Al7 ma19tepa0009 sequence-04

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Al7 ma19tepa0009 sequence-04

  1. 1. Séquence 4 Statistique et probabilitésSommaire1. Statistique p.1522. Probabilités p.1583. Exercices d’application p.1664. Corrigés des exercices p.169 Séquence 4 151 Cned – Académie en ligne
  2. 2. 1 Statistique A Moyenne et écart-type On dispose de la série statistique suivante, le caractère étudié étant un caractère quantitatif discret : Valeurs x i x1 x2 x3 … xp Effectifs ni n1 n2 n3 … np p L’effectif total de cette série est : n = n1 + n2 + n3 + ... + np = ∑ ni . i =1 1. Moyenne a Définition Remarque La moyenne de cette série statistique est le nombre réel x défini par : La moyenne est le réel qui mini- p mise la 1 p fonction ∑ ni × xi n1 × x1 + n2 × x2 + ... + np × x p ( ∑n x − x . ) 2 x n i =1 i i x = i =1 = n n 2. Variance et écart-type a Définitions ̈ La variance de cette série statistique est le nombre réel V défini par p ( ) 1 2 V= ∑ ni xi − x . n i =1 C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. ̈ L’écart-type de cette série est le nombre réel s défini par s= V . L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. 152 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  3. 3. a Propriété La variance est aussi égale à la moyenne des carrés moins le carré de la p 1 2 moyenne V = ∑ n x2 − x . n i =1 i iExemple 1 On s’intéresse au temps total de transport des employés d’une usine pendant une semaine. Voici les résultats obtenus : Temps en heures 1 2 3 4 5 6 7 8 Effectifs 2 3 6 8 10 15 24 16 Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série, en arrondissant les résultats à 0,1. 2 × 1 + 3 × 2 + 6 × 3 + 8 × 4 + 10 × 5 + 15 × 6 + 24 × 7 + 16 × 8 494 247 ̈ x= = = 5, 9. 2 + 3 + 6 + 8 + 10 + 15 + 24 + 16 84 42 La durée hebdomadaire moyenne de transport est d’environ 5,9 heu- res soit 5 heures 54 minutes. ̈ Pour le calcul de l’écart-type, on commence par calculer la variance en utilisant éventuellement un tableau :Valeurs x i 1 2 3 4 5 6 7 8 TotalEffectifs ni 2 3 6 8 10 15 24 16 84 ni x i 2 2 12 54 128 250 540 1 176 1 024 3 186 2 3 186 ⎛ 247 ⎞ 531 61 009 5 897 V= −⎜ ⎟ = 14 − 1 764 = 1 764 3, 3 et 84 ⎝ 42 ⎠ 5 897 s= V = 1, 8. 1 764 Remarque Dans le cas d’un Avec une calculatrice, on se met en mode statistique ; caractère quantita- on entre les valeurs dans la liste L1 et les effectifs dans tif continu, on prend la liste L2 , puis on fait afficher les résultats numéri- pour valeurs les cen- tres des classes. ques avec Calc 1-Var stats L1,L2 . On lit : x 5, 9 ; ∑ x = 494 ; ∑ x 2 = 3186 ; σx 1,8 et n = 84. Séquence 4 153 Cned – Académie en ligne
  4. 4. B Médiane et écart interquartile On considère une série statistique dont les n termes a1,a2 , ... ,an sont rangés par ordre croissant, chaque valeur figurant autant de fois que son effectif. n est donc l’effectif total. 1. Médiane a Définition ̈ Si n est impair (c’est-à-dire n = 2p + 1, p ∈»), la médiane Me est le terme situé « au milieu » : a1 ap ap+2 a2p+1 p termes Me = ap+1 p termes Me = ap +1 . ̈ Si n est pair (c’est-à-dire n = 2p, p ∈»*), la médiane Me est le centre de l’intervalle ⎡ap  ; ap +1 ⎤ : ⎣ ⎦ a1 ap ap+1 a2p . p termes Me p termes . ap + ap +1 Me = 2 Remarque Au moins 50 % des termes de la série sont inférieurs ou égaux à la médiane et au moins 50 % des termes de la série sont supérieurs ou égaux à la médiane. 2. Quartiles, déciles a Définitions ̈ Le 1er quartile, noté Q1, est la plus petite valeur des termes de la série telle qu’au moins 25 % des données lui soient inférieures ou égales. 154 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  5. 5. ̈ Le 3e quartile, noté Q3 , est la plus petite valeur des termes de la série Remarques telle qu’au moins 75 % des données lui soient inférieures ou égales. ̈ L’intervalle interquartile est l’intervalle ⎡Q  ; Q ⎤ . ⎣ 1 3⎦ L’écart interquartile L’écart interquartile est le réel Q3 − Q1. ̈ Le 1 décile, noté d , est la plus petite valeur des er est une mesure de 1 dispersion associée termes de la série telle qu’au moins 10 % des don- à la médiane pour nées lui soient inférieures ou égales. ̈ Le 9e décile, noté d , est la plus petite valeur des résumer la série 9 statistique. Ce cou- termes de la série telle qu’au moins 90 % des don- ple (médiane ; écart nées lui soient inférieures ou égales. ̈ L’intervalle interdécile est l’intervalle ⎡d  ; d ⎤ . interquartile) n’est ⎣ 1 9⎦ pas sensible aux L’écart interdécile est le réel d9 − d1. valeurs extrêmes. L’intervalle inter- quartile contient la médiane et au moins 3. Diagramme en boîte ou boîte à 50 % des données. moustaches due au statisticien John W. Tuckey (1915-2000) C’est un outil graphique permettant d’étudier la répartition des valeurs d’une série. On y fait figurer les valeurs extrêmes x min et x max , la médiane Me, les 1er et 3e quartiles Q1 et Q3 , et les 1er et 9e déciles d1 et d9 : Q1 Me Q3xmin d1 d9 xmax axe gradué Ces diagrammes peuvent être utilisés pour comparer le même caractère pour deux populations différentes.Exemple 2 La température est relevée chaque heure pendant 4 jours dans une forêt. Les 97 résultats obtenus ont été triés et sont rassemblés dans le tableau suivant :Température (en °C) 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5Nombre de fois où cette 5 7 10 12 15 10 11 9 7 7 4température a été relevée Construire le diagramme en boîte de cette série statistique, les extrémi- tés du diagramme correspondant aux premier et neuvième déciles. On vérifie que les valeurs sont rangées par ordre croissant. Il est inté- ressant, pour faire les différents calculs nécessaires à la réalisation du diagramme, de travailler avec les effectifs cumulés croissants.Température (en °C) 14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18 18,5 19 19,5Nombre de fois où cette 5 7 10 12 15 10 11 9 7 7 4température a été relevée Séquence 4 155 Cned – Académie en ligne
  6. 6. Effectifs cumulés croissants 5 12 22 34 49 59 70 79 86 93 97 97 = 2 × 48 + 1 donc ̈ Calcul de la médiane : l’effectif total 97 est impair : la médiane est le 49e terme de la série c’est-à-dire 16,5. 25 97 1 100 × 97 = 4 = 24,25 donc Q1 est le 25 ̈ Calcul du 1er quartile Q : e terme de la série (25 est le plus petit entier supérieur ou égal à 24,25) c’est-à-dire 16. 75 3 ̈ Calcul du 3e quartile Q3 : × 97 = × 97 = 72, 75 donc Q3 est le 73e 100 4 terme c’est-à-dire 18. 10 97 ̈ Calcul du 1er décile d1 : × 97 = = 9, 7 donc d1 est le 10e terme 100 10 c’est-à-dire 15. 90 9 ̈ Calcul du 9e décile d9 : × 97 = × 97 = 87, 3 donc d9 est le 88e 100 10 terme c’est-à-dire 19. Q1 Me Q3 d1 d9 xmin (forêt) xmax 14,5 19,5 13 15 16 18 19 31 32 (champ) Remarque Le 2e diagramme en boîte corres- La boîte est un rectangle qui va du pond à une série de températu- premier au troisième quartile et on res relevées de la même manière y fait figurer la médiane. Pour les et aux mêmes instants dans un moustaches, on peut trouver diffé- champ à l’extérieur de la forêt. Il rents modèles (les extrémités des est réalisé avec le même axe que pattes peuvent par exemple corres- l’autre diagramme. Cela permet pondre aux maximum et minimum). de comparer la température dans la forêt et dans le champ : les tem- pératures sont beaucoup plus dis- persées dans le champ que dans la forêt ; dans la forêt, les températures sont plus fraîches (influence des arbres). C Influence d’une transformation affine… Soient ( xi  ; ni ) une série statistique, x sa moyenne, V sa variance, s son écart-type, Q1 son 1er quartile et Q3 son 3e quartile. ( ) Soit f une fonction affine définie sur » par f x = ax + b . En posant pour ( ) tout i, f xi = y i , on obtient une nouvelle série statistique y i  ; ni . Les ( ) valeurs ont été transformées mais les effectifs sont conservés. 156 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  7. 7. 1. … sur l’intervalle interquartile ( ) Si a > 0, pour la nouvelle série statistique y i  ; ni , le 1er quartile est Q1 = aQ1 + b et le 3e quartile est Q3 = aQ3 + b. L’intervalle interquartile est donc ⎡aQ1 + b  ; aQ3 + b ⎤ et l’écart interquar- ⎣ ⎦ ( ) tile est Q3 − Q1 = a Q3 − Q1 . La médiane est Me = aMe + b. 2. … sur l’écart-type ( ) Pour la nouvelle série statistique y i  ; ni : – la moyenne est y = ax + b – la variance est multipliée par a2 : V = a2 × V – l’écart-type est multiplié par a : s = a × s .Exemple 3 ( ) Une série statistique xi  ; ni a pour quartiles Q1 = 6 et Q3 = 10, pour moyenne x = 7,5 et pour écart-type s = 2, 8. On considère la fonction f définie sur » par f ( x ) = 0,5x + 3. En posant pour tout i, y i = f ( xi ), on obtient une nouvelle série statistique. Calculer les paramètres de cette ( ) série y i  ; ni . La fonction f est bien une fonction affine (à vérifier car les résultats énoncés ne sont pas valables pour les autres fonctions) et le coefficient de x est 0,5 qui est strictement positif. ( ) La série y i  ; ni a donc pour quartiles : Q1 = f (Q1 ) = 0,5Q1 + 3 = 0,5 × 6 + 3 = 6 et Q3 = f (Q3 ) = 0,5 × 10 + 3 = 8. ( ) La série y i  ; ni a pour moyenne y = f ( x ) = 0,5x + 3 = 0,5 × 7,5 + 3 = 6, 75 et pour écart-type s = 0,5s = 0,5 × 2, 8 = 1, 4. V Voir exercices 1 à 5. Séquence 4 157 Cned – Académie en ligne
  8. 8. 2 Probabilités A Vocabulaire ᕡ Une expérience aléatoire est une épreuve dont l’issue ne peut être connue à l’avance. Lors d’une expérience aléatoire, on appelle : ᕢ Univers : l’ensemble Ω de toutes les éventualités (issues, résultats possibles) de l’expérience aléatoire réalisée. ᕣ Evénement : une partie de Ω . ᕤ Evénement élémentaire : un événement formé d’une seule éventualité. ᕥ Ω est appelé l’événement certain (qui se produit à coup sûr). Ω ᕦ ∅ est l’événement impossible (qui ne peut pas se A∪B produire). ᕧ La réunion des événements A et B est l’événement : A ∪ B et il est formé de toutes les éventualités qui appartiennent à A ou à B (et peuvent donc appar- tenir à A et à B). ᕨ L’intersection des événements A et B est l’événe- A∩B B ment A ∩ B et il est formé de toutes les éventuali- A Ω tés qui appartiennent à la fois à A et à B. ᕩ L’événement contraire de A est noté A et il est formé de toutes les éventualités de Ω qui ne sont pas dans A. On a : A ∪ A = Ω et A ∩ A = ∅. A A µ A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅ . Remarque Le nombre d’éventualités d’un événement A est appelé cardinal de A et se note card A. Exemple 4 On lance un dé non pipé à six faces et on s’intéresse au numéro de la face supérieure. ᕡ Décrire l’univers lié à cette expérience puis donner les éventualités qui composent les événements suivants : A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir 4 » ; C : « obtenir un nom- bre supérieur ou égal à 3 ». ᕢ Décrire par une phrase les événements suivants et déterminer les éventualités qui les composent : A ∪ C , A ∩ C , A , C . Que peut-on dire des événements B et A ? 158 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  9. 9. ᕡ On a Ω = {1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6. A = {2 ; 4 ; 6 } ; card A = 3. B = {4 }.C’est un événement élémentaire. De même, C = {3 ; 4 ; 5 ; 6} . ᕢ A ∪ C : « obtenir un nombre pair ou supérieur ou égal à 3 » ; A∪C = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et A ∩ C : « obtenir un nombre pair et supérieur ou égal à 3 » ; A ∩ C = {4 ; 6}. De plus A : « obtenir un nombre impair » ; A = {1 ; 3 ; 5} et C : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 » ; C = {1 ; 2}. Les événements B et A sont incompatibles car A ∩ B = ∅. B Loi de probabilité 1. Loi des grands nombres Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement A tend vers une valeur « idéale » qui est la probabilité de l’événement A : c’est la « loi des grands nombres ».Exemple Si on lance un grand nombre de fois un dé non truqué à 6 faces, on 1 remarque que la fréquence moyenne d’apparition du 2 tend vers qui 6 est la probabilité de l’événement « obtenir 2 ». 2. Définition Définir une probabilité sur un univers Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en } lié à une expé- rience aléatoire, c’est associer à toute éventualité ei de Ω un nombre pi appelé probabilité de l’événement élémentaire { ei } tel que : n pour tout i ∈{1,…,n }, 0 ≤ p ≤ 1 et p1 + p2 + ... + pn = ∑ pi = 1 . i i=1Exemple 5 Un dé est truqué. On le lance un grand nombre de fois. On s’aperçoit que : – le 6 tombe environ 3 fois plus que le 1 – le 4 et le 5 tombent chacun deux fois plus que le 1 – le 2 et le 3 tombent chacun autant de fois que le 1. Proposer un modèle de loi de probabilité pour cette expérience. On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4  ; 5 ; 6}. On note pi = p({i }). D’après l’énoncé, on a : p6 = 3p1 ; p4 = p5 = 2p1 et p2 = p3 = p1 . 6 1 De plus, ∑ pi = 1 donne : 10p1 = 1 soit p1 = 10 . i =1 La loi de probabilité peut donc être résumée par le tableau suivant : Séquence 4 159 Cned – Académie en ligne
  10. 10. i 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 1 2 1 3 pi = = 10 10 10 10 5 10 5 10 Remarques 3. Probabilité d’un événement p( ∅ ) = 0 ; p( Ω ) = 1 ; a Définition pour tout événement La probabilité d’un événement est la somme des A, 0 ≤ p( A ) ≤ 1 . probabilités des événements élémentaires qu’il contient. Exemple 6 On reprend l’exemple 5. Calculer la probabilité de l’événement A : « obte- nir un nombre pair ». On a A = {2 ; 4 ; 6} donc : 1 2 3 6 3 p( A ) = p({2}) + p({4}) + p({6}) = + + = = . 10 10 10 10 5 a Propriétés ᕡ Si A et B sont 2 événements quelconques, on a : p( A ∪ B ) = p( A ) + p(B ) − p( A ∩ B ). Cas particulier : Si A et B sont deux événements incompatibles, p( A ∪ B ) = p( A ) + p(B ). ᕢ Si A est un événement, on a : p( A )=1 − p(A ). Exemple 7 On reprend l’exemple 5. Déterminer la probabilité de B : « obtenir un nombre au moins égal à 2 » . Comme B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, on peut utiliser 9 p(B ) = p2 + ... + p6 = ou bien considérer l’événement contraire : 10 1 9 B :"obtenir 1" = {1} ; p(B ) = p1 = donc p(B ) = 1 − p(B ) = . 10 10 4. Equiprobabilité On dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque événement élémentaire a la même probabilité. On parle de loi équirépartie. Exemples Lancer d’un dé non truqué , d’une pièce équilibrée ; un tirage au hasard. a Propriété Soit une expérience aléatoire avec Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en }. 160 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  11. 11. S’il y a équiprobabilité alors : p ei ({ }) = n pour tout i de {1 ; 2 ;  ... ; n}et 1 nombre de cas favorables à A card A p( A ) = = . nombre de cas possibles card ΩExemple 8 On lance un dé non pipé à 6 faces et on s’intéresse au numéro de la face supérieure. Déterminer la probabilité de l’événement A : « obtenir un multiple de 3 ». On a Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } ; card Ω = 6. De plus, A = {3 ; 6} ; card A = 2. On est en situation d’équiprobabilité (dé non pipé) donc nombre de cas favorables à A 2 1 p( A ) = = = . nombre de cas possibles 6 3 5. Espérance et variance d’une loi de probabilité Ces paramètres ne se calculent que lorsque les issues ei d’une expé- rience aléatoire sont des réels. … ̈ L’espérance mathématique μ de la loi de probabilité estei e1 e2 en n définie par : μ = ∑ pi ei .pi p1 p2 … pn i =1 ̈ La variance V de la loi de probabilité est définie par : n n V = ∑ pi (ei − μ )2 = ∑ pi ei 2 − μ2 . i =1 i =1 ̈ L’écart-type σ de la loi de probabilité est défini par : σ = V . (analogues à la moyenne, la variance et l’écart –type en statistique) C Exemples-type ̈ Si on est en situation d’équiprobabilité : pour calculer la probabilité d’un événement A, on utilise la formule vue au B)4, en dénombrant les nombres de cas possibles (card Ω ) et de cas favorables à A (card A). ̈ Sinon, on utilise la définition et les propriétés sur la probabilité d’un événement (vues au B)3.). ̈ Pour dénombrer, on peut procéder « à la main » ou bien utiliser des représentations : un arbre, un tableau double entrée (pour le lancer de deux dés par exemple), un diagramme… ̈ On peut faire appel à l’événement contraire quand cela s’avère plus économique, notamment quand l’événement est décrit avec les locu- tions « au moins » ou « au plus » . Il faut savoir dans ce cas prendre la négation d’une phrase. Séquence 4 161 Cned – Académie en ligne
  12. 12. Exemple 9 On tire au hasard une carte dans un jeu de 32. Calculer la probabilité des événements suivants : A : « obtenir le roi de trèfle » ; B : « obtenir un roi » ; C : « obtenir un trè- fle » ; D : « obtenir un cœur ou un carreau » ; E : « obtenir un roi ou un trèfle ». Il y a 32 éventualités possibles (card Ω = 32 ) et on est en situation d’équi- probabilité (tirage au hasard d’une carte). ̈ Il n’y a qu’un seul roi de trèfle dans le jeu donc nombre de cas favorables à A 1 p( A ) = = (card A = 1). nombre de cas possibles 32 4 1 ̈ Il y a de même 4 rois, 8 trèfles dans le jeu donc : p(B ) = = 8 1 32 8 (card B=4); p( C ) = = (card C=8). 32 4 D = D1 ∪ D2 où D1 : « obtenir un cœur » et D2 : « obtenir un carreau ». Attention Comme D1 et D2 sont incompatibles, 8 8 16 1 p(D ) = p(D1 ) + p(D2 ) = + = = . En faisant p(B) + p(C), 32 32 32 2 on compte deux fois le ̈ On a E = B ∪ C donc p(E ) = p(B ) + p( C ) − p(B ∩ C ) roi de trèfle ! Ne pas 4 8 1 11 oublier de retirer une avec B ∩ C = A donc p(E ) = + − = . 32 32 32 32 fois l’intersection. Exemple 10 On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On obtient ainsi une suite de 3 résultats. ᕡ Écrire toutes les éventualités correspondant à cette expérience aléa- toire. ᕢ Calculer P(A) où A : « les 3 résultats sont identiques ». ᕣ Calculer P(B) où B : « la suite des 3 résultats commence par Pile ». ᕤ Calculer P(C) où C : « la suite de résultats comporte au moins un pile ». ᕡ Pour écrire toutes les éventualités, on peut faire un arbre (ou les dénombrer « à la main ») : 1er lancer 2e lancer 3e lancer Eventualité P PPP P F PPF P P PFP F F PFF P FPP P F F FPF P FFP F F FFF 162 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  13. 13. Il y a donc : 2 × 2 × 2 = 8 éventualités possibles. On est de plus en situa- tion d’équiprobabilité (pièce équilibrée). 2 1 ᕢ A ={PPP ; FFF} donc card A = 2 et p( A ) = = . 8 4 ᕣ Les éventualités de l’événement B sont marquées en gras dans l’ar- bre : il y en a 4. 1 Donc p(B ) = . (remarque : cohérent car il y a autant de résultats com- 2 mençant par F que de résultats commençant par P). ᕤ C : « la suite de résultats comporte au moins un pile ».On peut consi- dérer l’événement contraire C : « la suite de résultats ne comporte 1 7 aucun Pile ». C ={FFF} d’où p( C ) = et p( C ) = 1 − p( C ) = . 8 8D Variable aléatoire 1. Définitions On réalise une expérience aléatoire avec pour univers Ω = {e1  ; e2  ; ... ; en } et on y définit une probabilité p. ̈ Une variable aléatoire est une fonction de Ω dans » . On la note sou- vent X . X : Ω → » . ei xi ̈ Soient X une variable aléatoire définie sur un univers Ω et { } X ( Ω ) = x1  ;  x2  ; ... ;  xm l’ensemble des valeurs prises par X. On note p i la probabilité de l’événement « X prend la valeur xi », évé- nement noté ( X = xi ). La loi de probabilité de X est alors définie par la liste des probabilités p i et est représentée par le tableau : xi x1 x2 … xm p i = p ( X = x i ) p 1 p 2 … p m m Ceci implique ∑p i = 1. i =1 2. Paramètres d’une variable aléatoire ̈ L’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est définie m par : E ( X ) = ∑ p i xi . i =1 Séquence 4 163 Cned – Académie en ligne
  14. 14. ̈ La variance V de la variable aléatoire X est définie par : m m V ( X ) = ∑ p i ( xi − E ( X ))2 = ∑ p i xi 2 − (E ( X ))2 . i =1 i =1 ̈ L’écart-type σ de la variable aléatoire X est défini par : σ( X ) = V ( X ) . Exemple 11 On lance deux dés non pipés(l’un rouge, l’autre bleu) et on s’intéresse à la somme des faces supérieures. On gagne 7 € si la somme est supé- rieure ou égale à 10 ; on perd 2 € si la somme est inférieure ou égale à 4 et 1€ dans les autres cas. X désigne la variable aléatoire prenant comme valeur le gain algébrique (positif si on gagne, négatif si on perd) lors d’un lancer. ᕡ Déterminer la loi de probabilité de X. ᕢ Calculer E(X), V(X) et σ( X ) . rouge ᕡ • L’univers lié à l’expérience bleu 1 2 3 4 5 6 réalisée peut être résumé par le (1 ; 1) (2 ; 1) (3 ; 1) (4 ; 1) (5 ; 1) (6 ; 1) tableau à double entrée ci-contre. 1 S=2 S=3 S=4 S=5 S=6 S=7 L’univers Ω est composé de 36 (1 ; 2) (2 ; 2) (3 ; 2) (4 ; 2) (5 ; 2) (6 ; 2) éventualités qui sont les 36 cou- 2 S=3 S=4 S=5 S=6 S=7 S=8 ples (i ; j) où i et j sont dans {1 ; 2 ; (1 ; 3) (2 ; 3) (3 ; 3) (4 ; 3) (5 ; 3) (6 ; 3) 3 ; 4 ; 5 ; 6}. Avec l’univers choisi, 3 S=4 S=5 S=6 S=7 S=8 S=9 on est en situation d’équiprobabi- (1 ; 4) (2 ; 4) (3 ; 4) (4 ; 4) (5 ; 4) (6 ; 4) lité (chaque événement élémen- 4 1 S=5 S=6 S=7 S=8 S=9 S = 10 taire a une probabilité de ). (1 ; 5) (2 ; 5) (3 ; 5) (4 ; 5) (5 ; 5) (6 ; 5) 36 5 S=6 S=7 S=8 S=9 S = 10 S = 11 • L’ensemble des valeurs prises 6 (1 ; 6) (2 ; 6) (3 ; 6) (4 ; 6) (5 ; 6) (6 ; 6) { par X est : X ( Ω ) = −2 ;  −1 ; 7 .} S=7 S=8 S=9 S = 10 • ( X = 7 ) = « obtenir une somme S = 11 S = 12 supérieure ou égale à 10 ». Cet Remarque événement comporte d’après Si on choisit comme univers l’ensemble le tableau 6 éventualités (mar- des 11 sommes possibles, on ne peut quées en bleu) et on peut uti- pas utiliser la loi équirépartie. liser la loi équirépartie donc 6 1 p( X = 7 ) = = . 36 6 De même, l’événement ( X = −2) = « obtenir une somme inférieure ou égale à 4 » comporte 6 éventualités (marquées en gras) donc : 1 24 2 p( X = −2) = . Enfin, p( X = −1) = = . Remarque 6 36 3 La loi de probabilité de X est donc représentée par : On vérifie que 3 xi –1 –2 7 ∑p i = 1. 2 1 1 i =1 p i = p( X = x i ) 3 6 6 3 2 1 1 1 ᕢ E(X ) = ∑ p i xi = 3 × ( −1) + 6 × ( −2) + 6 × 7 = 6 . i =1 164 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  15. 15. Remarque Pour calculer la variance, on peut Sur un grand nombre de parties, le joueur peut espé- éventuellement ajou- rer gagner en moyenne un sixième d’euro. ter une ligne don- nant les x i 2 dans le 3 tableau. V ( X ) = ∑ p i xi 2 − (E ( X ))2 Comme en statis- i =1 tique, l’écart-type 2 2 1 1 ⎛ 1⎞ 57 1 mesure la disper- = × ( −1)2 + × ( −2)2 + × 72 − ⎜ ⎟ = − sion des valeurs de 3 6 6 ⎝ 6⎠ 6 36 X autour de l’espé- 341 = rance. 36 341 341 et σ( X ) = V ( X ) = = 3, 08. 36 6 V Voir exercices 6 à 11. Séquence 4 165 Cned – Académie en ligne
  16. 16. 3 Exercices d’application Exercice 1 La liste ci-dessous donne les poids de naissance de nouveaux nés (arron- dis à 10 g près) dans une maternité : 3 240 ; 3 350 ; 3 640 ; 3 120 ; 3 640 ; 2 960 ; 2 880 ; 3 400 ; 3 030 ; 2 980 ; 3 850 ; 3 670 ; 2 990 ; 3 020 ; 3 380 ; 3 420 ; 3 320 ; 3 240 ; 3 650 ; 3 010 ; 3 170 ; 2 830 ; 3 400 ; 3 260 ; 3 080 ; 2 950 ; 3 070 ; 3 120 ; 3 350 ; 3 470. ᕡ Déterminer la médiane, les quartiles Q et Q , et les déciles d et d 1 3 1 9 de cette série statistique. ᕢ Réaliser un diagramme en boîte de cette série statistique, en prenant les déciles pour extrémités. Exercice 2 On a demandé leur salaire mensuel aux employés d’une entreprise. Les résultats de l’enquête sont résumés dans le tableau ci-dessous, les salaires étant indiqués en milliers d’euros. Salaire ⎡1 ; 1,2⎡ ⎣ ⎣ ⎡1,2 ; 1, 4 ⎡ ⎡1, 4  ; 1, 6 ⎡ ⎣ ⎣ ⎣ ⎣ ⎡1, 6 ; 2⎡ ⎣ ⎣ ⎡2 ; 3⎡ ⎣ ⎣ Total Effectifs hommes 125 75 38 26 12 276 Effectifs femmes 25 60 82 34 8 209 Déterminer le salaire mensuel moyen masculin, le salaire mensuel moyen féminin et en déduire le salaire mensuel moyen dans l’entreprise. Arron- dir ces moyennes à 1 euro près. Exercice 3 Le directeur d’une grande école de journalisme cherche à comparer deux promotions d’élèves lors de leur entrée dans l’école. Il a relevé dans les dossiers les notes de français des 33 élèves de chaque promotion pour dresser les tableaux d’effectifs reproduits ci-dessous. Promotion 2 003 Notes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Effectifs 1 2 3 4 4 5 4 4 3 2 1 Promotion 2 004 Notes 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Effectifs 1 2 4 6 7 6 4 2 1 Pour chaque promotion, calculer la moyenne et l’écart-type arrondi au dixième de la série de notes de français. Comparer les deux promotions. 166 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  17. 17. Exercice 4 ( Le diagramme ci-dessous représente une série statistique xi  ; ni : ) 35 40 On considère la fonction f définie sur » par f ( x ) = 1,5x − 0, 8. On pose y i = f ( xi ) pour tout i. ( ) Déterminer les quartiles de la série statistique y i  ; ni .Exercice 5 En relevant les abscisses de différents points placés sur une droite gra- duée d’origine O et d’unité de longueur OI, on a obtenu une série statis- ( ) tique xi  ; ni de moyenne x = 5, 7 et d’écart-type s = 2, 3. On ne déplace pas les points placés sur cette droite mais on change de 1 repère : l’origine est maintenant le point I et l’unité de longueur est OI. ( ) On obtient une série statistique y i  ; ni en relevant les abscisses des 2 points avec ce nouveau repère. Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette nouvelle série statistique.Exercice 6 Dans une classe de 20 élèves, 6 élèves déclarent avoir une télé dans leur chambre, 12 avoir un ordinateur et 4 élèves n’avoir ni télé ni ordinateur dans leur chambre. On interroge un élève de cette classe au hasard. ᕡ Quelle est la probabilité qu’il ait une télé ou un ordinateur dans sa chambre ? ᕢ Quelle est la probabilité qu’il ait à la fois télé et ordinateur dans sa chambre ? ᕣ Quelle est la probabilité qu’il n’ait que la télé dans sa chambre ?Exercice 7 La fermeture de sécurité d’un cartable est assurée par la composition d’un code de trois chiffres obtenu en faisant tourner trois mollettes por- tant les chiffres de 0 à 9. Une personne compose au hasard un code. Déterminer p(A), p(B) et p(C) où A, B, C désignent les événements : A : « le code est le bon », B : « le code est formé de trois chiffres distincts », C : « le code comporte deux chiffres identiques et deux seulement ».Exercice 8 On interroge au hasard une mère de trois enfants et on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de filles parmi ses trois enfants ; on suppose que lors d’une naissance, l’arrivée d’une fille et l’arrivée d’un garçon sont équiprobables. Choisir un univers adapté à cette expérience. Déterminer la loi de proba- bilité de X puis p( X ≥ 2) et p( X < 2).Exercice 9 Dans une école maternelle, l’enseignante demande à chaque enfant de choisir chaque matin 2 jouets parmi 3 rouges, 2 jaunes et 1 bleu. Tous Séquence 4 167 Cned – Académie en ligne
  18. 18. ces jouets se trouvent mélangés dans une caisse. L’enseignante s’intéresse plus particulièrement à Samuel qui choisit chaque matin les 2 jouets au hasard. On suppose que tous les choix de 2 jouets sont équiprobables. ᕡ Combien y a-t-il de choix possibles de 2 jouets ? ᕢ Déterminer la probabilité des événements A, B, C et D suivants : A : « Samuel choisit un jouet rouge et un jouet jaune » B : « Samuel choisit exactement un jouet rouge » C : « Samuel choisit au moins un jouet rouge » D : « Samuel choisit 2 jouets de la même couleur ». Exercice 10 Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher (deux blanches numérotées 1 et 2 et trois noires numérotées 1, 2 et 3). On tire une première boule, on note sa couleur et son numéro puis on tire une deuxième boule sans remettre la première dans l’urne. Calculer les probabilités des événements : A : « les deux boules tirées ont la même couleur » et C : « les deux boules tirées ont le même numéro ». Exercice 11 Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante : B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B La fléchette atteint toujours une case et une seule. Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être atteintes. Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 €. Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 €. Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a € où a est un réel strictement positif. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur. ᕡ Déterminer la loi de probabilité de X . ᕢ Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espé- rance E ( X ) soit nulle. ᕣ Dans le cas où a = 1, calculer V ( X ) et σ( X ). 168 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  19. 19. 4 Corrigés des exercicesExercice 1 ᕡ Ordonnons dans l’ordre croissant les termes de la série statistique : 2 830 ; 2 880 ; 2 950 ; 2 960 ; 2 980 ; 2 990 ; 3 010 ; 3 020 ; 3 030 ; 3 070 ; 3 080 ; 3 120 ; 3 120 ; 3 170 ; 3 240 ; 3 240 ; 3 260 ; 3 320 ; 3 350 ; 3 350 ; 3 380 ; 3 400 ; 3 400 ; 3 420 ; 3 470 ; 3 640 ; 3 640 ; 3 650 ; 3 670 ; 3 850. • L’effectif total, 30, est pair : 30 = 2 × 15 ; donc 15e terme + 16e terme 3 240 + 3 240 Me = = = 3 240. 0 2 2 25 30 • × 30 = = 7,5 donc Q1 est le 8e terme c’est-à-dire Q1 = 3 020. 100 4 75 3 • × 30 = × 30 = 22,5 donc Q3 est le 23e terme c’est-à-dire 100 4 Q3 = 3 400. 10 30 • × 30 = = 3 donc d1 est le 3e terme c’est-à-dire d1 = 2 950. 100 10 90 • × 30 = 27 donc d9 est le 27e terme c’est-à-dire d9 = 3 640. 100 ᕢ Diagramme en boîte : Q1 Me Q3 xmin d1 d9 xmax 2800 2900 3000 3240 3400 3640 3900Exercice 2 Il s’agit ici d’un caractère quantitatif continu ; on utilise donc le centre des classes.Salaire [1 ; 1,2[ [1,2 ; 1,4[ [1,4 ; 1,6[ [1,6 ; 2[ [2 ; 3[ TotalCentre 1,1 1,3 1,5 1,8 2,5Effectifs hommes 125 75 38 26 12 276Effectifs femmes 25 60 82 34 8 209 • Salaire mensuel moyen masculin : 125 × 1,1 + 75 × 1, 3 + 38 × 1,5 + 26 × 1, 8 + 12 × 2,5 368, 8 xm = = 1, 336 276 276 Le salaire mensuel moyen masculin est donc d’environ 1 336 euros (ne pas oublier l’unité donnée dans l’énoncé : milliers d’euros, et l’arrondi demandé : à 1 euro). Séquence 4 169 Cned – Académie en ligne
  20. 20. • Salaire mensuel moyen féminin : 25 × 1,1 + 60 × 1, 3 + 82 × 1,5 + 34 × 1, 8 + 8 × 2,5 309, 7 xf = = 1, 482 209 209 Le salaire mensuel moyen féminin est donc d’environ 1 482 euros. • Déduction du salaire mensuel moyen dans l’entreprise : 276 × 1, 336 + 209 × 1, 482 678, 474 x= = 1, 399 276 + 209 485 Le salaire mensuel moyen dans l’entreprise est d’environ 1 399 euros. Exercice 3 • Promotion 2003 : 1 × 6 + 2 × 7 + 3 × 8 + ... + 3 × 14 + 2 × 15 + 1 × 16 363 x2003 = = = 11 33 33 Notes x i 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Effectifs ni 1 2 3 4 4 5 4 4 3 2 1 ni × x i2 36 98 192 324 400 605 576 676 588 450 256 1 11 36 + 98 + 192 + 324 + 400 + 605 + 576 + 676 + 588 + 450 + 256 v 2003 = ∑ n × xi2 − x 2 = 33 i =1 i 33 − 4 201 208 208 v 2003 = − 121 = et donc s2003 = V2003 = 2,5. 33 33 33 • Promotion 2004 : 1 × 7 + 2 × 8 + 4 × 9 + ... + 4 × 13 + 2 × 14 + 1 × 15 363 x2004 = = = 11 33 33 ( )2 ( )2 ( )2 ( 7 − 11 + 2 8 − 11 + 4 9 − 11 + ... + 2 14 − 11 + 15 − 11 )2 ( )2 1 9 ( ) 2 v 2004 = ∑ ni × xi − x = 33 i =1 33 16 + 18 + 16 + 6 + 0 + 6 + 16 + 18 + 16 112 v 2004 = = et donc 33 33 112 s2004 = V2004 = 1, 8. 33 • Comparaison des deux promotions : les deux promotions ont la même moyenne de français mais l’écart-type de la promotion 2004 (1,8) est inférieur à celui de la promotion 2003 (2,5) : les notes sont plus dis- persées autour de la moyenne pour la promotion 2003. La promotion 2004 est plus homogène (en français) que la promotion 2003. 170 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  21. 21. Exercice 4 Le diagramme nous donne les 1er et 3e quartile de la série xi  ; ni : ( ) Q1 = 34, 3 et Q3 = 40, 7 (ce sont les bornes de la boîte). La fonction f définie sur » par f ( x ) = 1,5x − 0, 8 est une fonction affine et le coefficient de x est 1,5 qui est strictement positif. ( ) Les quartiles de la série statistique y i  ; ni sont donc : Q1 = f (Q1 ) = 1,5 × 34, 3 − 0, 8 = 50, 65 et Q3 = 1,5 × 40, 7 − 0, 8 = 60,25. Exercice 5 ( ) xi est l’abscisse d’un point Ai dans le repère O ; OI sur la droite, et ⎛ 1 ⎞ y i est l’abscisse du même point dans le repère ⎜ I ;  OI⎟ . On a donc ⎝ 2 ⎠ ( ) y i = 2 xi − 1 = 2xi − 2. A2 0 I A1 –1 0 1 2,5 –4 0 1 3 ( ) Soit f la fonction affine définie sur » par f x = 2x − 2. On a y i = f ( xi ) pour tout i. Par conséquent, la série statistique (yi  ; ni ) a pour moyenne () y = f x = 2 × 5, 7 − 2 = 9, 4 et pour écart-type s = 2s = 2 × 2, 3 = 4, 6 car a = 2 = 2. Exercice 6 On peut résumer les données dans le diagramme ci-dessous : T désigne l’événement : « l’élève a une télé dans sa chambre » ; card(T) = 6. O désigne l’événement : « l’élève a un ordinateur dans sa chambre » ; card(O) =12. Ω (20) L’univers Ω est l’ ensemble des 20 élèves de la classe. 4 On est en situation d’équiprobabi- 6 12 lité donc p( T ) = et p( O) = .T (6) 2 20 20 4 10 ᕡ La probabilité demandée est p(T ∪ O). T ∪ O : « l ‘élève a une télé ou un ordinateur dans sa O (12) chambre »et l’événement contraire est T ∪ O : « l’élève n’a ni télé ni ∩ ∩ :T O ordinateur dans sa chambre ». ( Comme p T ∪ O = 4 20 ) ( , p(T ∪ O) = 1 − p T ∪ O = 16 4 20 5 ) = . La probabilité que l’élève ait une télé ou un ordinateur dans sa cham- 4 bre est donc de . 5 Séquence 4 171 Cned – Académie en ligne
  22. 22. ᕢ La probabilité demandée est p(T ∩ O). 6 12 16 2 1 p(T ∩ O) = p(T) + p(O) − p(T ∪ O) = + − = = . 20 20 20 20 10 La probabilité que l’élève ait à la fois télé et ordinateur dans sa cham- 1 bre est donc de . ( ) 10 ᕣ La probabilité demandée est en fait p T ∩ O . Or cet événement comporte d’après le diagramme ( ( 6 − 2 ) soit 4 issues donc p T ∩ O = ) 4 1 20 5 = . ( ) (Remarque : p T ∩ O = p( T ) − p( T ∩ O)). 1 La probabilité que l’élève n’ait que la télé dans sa chambre est donc de . 5 Exercice 7 Déterminons d’abord le nombre d’éléments de l’univers Ω c’est-à-dire le nombre de codes possibles. Pour cela, on peut utiliser l’arbre suivant : 1er chiffre 2ème chiffre 3ème chiffre 0 0 0 1 1 1 2 2 2 . . . (arbre incomplet) . . . . . . ... ... 9 9 9 Pour chaque chiffre, on a 10 choix : 0 ; 1 ; 2 ; ... ou 9. Il y a donc 10 × 10 × 10 soit 1000 codes différents donc card Ω =1000. • A : Il n’y a qu’un seul bon code et on est en situation d’équiprobabilité cardA 1 donc p( A ) = = . cardΩ 1000 • B : Cette fois, le 2e chiffre est différent du premier et le troisième des deux premiers : on a 10 façons de choisir le 1er chiffre puis pour chacun de ces choix, on n’a que 9 façons de choisir le 2e et pour chacun des choix des deux premiers, on n’a plus que 8 façons de choisir le 3e chif- fre (on peut refaire un arbre avec ces modifications). Il y a donc 10 × 9 × 8 soit 720 codes avec trois chiffres distincts et 720 18 p( B ) = = . 1000 25 • 1ère méthode : On peut considérer l’événement contraire C : « le code comporte soit trois chiffres distincts soit trois chiffres identiques ». On sait déjà qu’il y a 720 codes avec trois chiffres tous distincts. Les codes avec 3 chiffres identiques sont : 000 ; 111 ; 222 ; ... ; 999. Il y en a 10. 172 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  23. 23. Ces deux ensembles étant bien disjoints, on a 730 73 card C = 720 +10 = 730 puis p( C ) = = . 1000 100 73 27 Donc p( C ) = 1 − p( C ) = 1 − = . 100 100 • 2e méthode : ex de code :112. Commençons par dénombrer les codes avec deux 1 et un 2 : il y en a 3 à savoir 112 ; 121 et 211(autant que de façons de placer le chiffre 2). Il faut ensuite dénombrer les façons de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois dans le code et celui qui n’apparaîtra qu’une fois. Il y a 10 façons de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois et pour chacune de ces façons, il y a 9 (on ne peut pas reprendre le même) façons de choisir celui qui apparaîtra une fois. Il y a donc 90 façons de choisir cette paireRemarque : de nombres.La première Chaque façon de choisir le chiffre qui apparaîtra deux fois dans le code etméthode est celui qui n’apparaîtra qu’une fois engendre 3 codes différents donc il y asans doute ici en tout 90 × 3 soit 270 codes avec deux chiffres identiques exactement.plus simple. On retrouve bien p(C) = 0,27. Exercice 8 On peut décrire l’univers en utilisant l’arbre ci-dessous : 1er 2ème 3ème enfant enfant enfant Issue xi G GGG 0 G F GGF 1 G G GFG 1 F F GFF 2 G FGG 1 G F FGF 2 F G FFG 2 F F FFF 3 Il y a donc 2 × 2 × 2 soit 8 issues possibles dans l’univers Ω. Ensemble des valeurs prises par X : { X désigne le nombre de filles parmi les 3 enfants donc X ( Ω ) = 0 ; 1 ; 2 ; 3}. Probabilités des ( X = xi ) : (X = 0) = « avoir 0 fille sur les 3 enfants »= {GGG} ; (X =1) = {FGG ; GFG ; GGF} ; (X =2) = {FFG ; GFF ; FGF} et (X =3) = {FFF} donc comme on est en situation d’équiprobabilité : 1 3 p( X = 0 ) = p( X = 3) = et p( X = 1) = p( X = 2) = . 8 8 La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau : xi 0 1 2 3 1 3 3 1 pi = p( X = x i ) = p2 = p3 8 8 8 8 Séquence 4 173 Cned – Académie en ligne
  24. 24. 4 1 Puis p( X ≥ 2) = p2 + p3 = = et ( X < 2) étant l’événement contraire de 8 2 1 ( X ≥ 2) , on a p( X < 2) = 1 − p( X ≥ 2) = . 2 Exercice 9 ᕡ Il y a 6 jouets en tout. On note R , R , R les jouets rouges, J , J les 1 2 3 1 2 jouets jaunes et B le jouet bleu. Les choix possibles de deux jouets sont (l’ordre entre les deux jouets n’est pas important) : { R1 ; R2 }, { R1 ; R3 }, { R1 ; J1 }, { R1 ; J2 }, { R1 ;B }, { R2 ; R3 }, { R2 ; J1 }, { R2 ; J2 }, { R2 ;B }, { R3 ; J1 }, { R3 ; J2 }, { R3 ;B }, { J1 ; J2 }, { J1 ;B },{ J2 ; B }. Il y a donc en tout 15 choix possibles. ᕢ On est ici en situation d’équiprobabilité. L’univers Ω est l’ensemble des choix de deux jouets donc card Ω =15. a) On dénombre alors les choix de deux jouets avec 1 jouet rouge et un jouet jaune : 1re méthode : « à la main ». On note 6 choix possibles (voir dans la liste ci-dessus) avec 1 jouet rouge et un jouet jaune donc card A = 6. 2e méthode : on utilise le principe multiplicatif. jouet jouet Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour cha- rouge jaune cune de ces façons, on a 2 façons de choisir un jouet J1 jaune soit 3 × 2 = 6 façons de choisir un jouet rouge et R1 J2 un jouet jaune. J1 cardA 6 2 R2 J2 On a ensuite p( A ) = = = . cardΩ 15 5 J1 R3 J2 b) 1re méthode (à la main) : on dénombre alors 9 choix possibles (les 6 précédents plus 3 choix avec 1 rouge et 1 bleu). 2e méthode : Il y a 3 façons de choisir un jouet rouge et pour chacune de ces façons, on a 3 façons de choisir un jouet jaune ou bleu soit 3 × 3 = 9 façons de choisir exactement un jouet rouge. 9 3 Donc card B = 9 et p(B ) = = . 15 5 ère c) 1 méthode : on fait une disjonction des cas : • SOIT Samuel choisit exactement un jouet rouge : on a trouvé 9 choix possibles. • SOIT Samuel choisit deux jouets rouges : il y a 3 choix possibles ({ R1 ; R2 }, { R1 ; R3 } et { R2 ; R3 }). Il y a donc (9 +3)=12 choix avec au 12 4 moins un jouet rouge d’où p( C ) = = . 15 5 e ̈ Attention lors du raisonnement 2 méthode : on dénombre l’événement contraire de à ne pas compter plusieurs fois le C. Ici, C : « Samuel ne choisit aucun jouet rouge ». même choix. Il y a 3 choix possibles avec aucun jouet rouge : { J1 ; J2 }, { J1 ; B} et { J2 ; B}. 3 1 Donc p( C ) = = et p(C ) = 1 − p(C ) = 1 − 1 = 4 . 15 5 5 5 174 Séquence 4Cned – Académie en ligne
  25. 25. d) SOIT les deux jouets choisis sont rouges : on a trouvé 3 choix au c). SOIT les deux jouets sont jaunes : il n’y a qu’un choix : { J1 ; J2 }. De plus les deux jouets ne peuvent pas être tous les deux bleus car il n’y a qu’un jouet bleu. 4 D’où card D = 3+1 = 4 et p(D ) = . 15Exercice 10 • On commence par dénombrer l’univers : on a 5 choix pour la première boule puis pour chacun de ces choix, on a 4 choix pour la deuxième boule (car on ne remet pas la première) ce qui peut se voir sur l’arbre ci-dessous : 1ère boule 2ère boule Donc card Ω = 5 × 4 = 20 et on est en situation d’équiprobabilité . B1 B2 • L’événement A : «les deux bou- B2 N1 les tirées ont la même couleur » N1 ... N2 est la réunion des 2 événements N2 N3 incompatibles A1 : « tirer 2 blan- N3 ches » et A2 : « tirer 2 noires » donc p( A ) = p( A1 ) + p( A2 ) . Or card A1 = 2 ( A1 = { (B1, B2 ) ; (B2 , B1 )}) et card A2 = 3 × 2 = 6 d’où 2 6 8 2 p( A ) = + = = . 20 20 20 5 • C = C1 ∪ C2 avec C1 : « les deux boules tirées portent le numéro 1 » et C2 : « les deux bou- les tirées portent le numéro 2 ». Comme C1 eẗ (Onne peut pas tirer deux bou- C2 sont incompatibles, p(C)= p(C1) + p(C2). les numéro 3 car il n’y en a C1 = {(B1, N1 ) ; (N1, B1 )} e t C2 = {(B2 , N2 ) ; (N2 , B2 )} qu’une et que l’on fait un tirage 2 1 2 1 sans remise) d’où p( C1 ) = p( C2 ) = = puis p( C ) = = . 20 10 10 5Exercice 11 Ici , l’univers Ω est composé de 30 événements élémentaires équipro- bables (représentés par les 30 cases). ᕡ X ( Ω ) = {8 ; 5 ; 0 ;  −a } (ensemble des valeurs prises par X ). ( X = 8 ) = « la fléchette atteint une case rouge ». Il y a deux cases rou- 2 1 4 2 ges sur 30 donc p( X = 8 ) = = . De même, p( X = 5) = = (il 30 15 30 15 6 3 1 y a 4 cases vertes) ; p( X = 0 ) = = = (il y a 6 cases jaunes) 18 9 3 30 15 5 Et p( X = −a ) = = = (il reste 18 cases blanches). 30 15 5 La loi de probabilité de X est donc représentée par le tableau : xi −a 0 5 8 9 3 2 1 pi = p( X = xi ) 15 15 15 15 Séquence 4 175 Cned – Académie en ligne
  26. 26. 4 9 3 2 1 18 − 9a 8 ᕢ E(X ) = ∑ pi xi = 15 × ( −a ) + 15 × 0 + 15 × 5 + 15 × 8 = 15 . i =1 D’où E ( X ) = 0 ⇔ 18 − 9a = 0 ⇔ a = 2. Le jeu est équitable quand a = 2. ᕣ Quand a = 1, E ( X ) = 18 − 9 9 3 = = = 0, 6 et on a : 15 15 5 (le joueur peut espérer gagner en moyenne 0,6 €) xi –1 0 5 8 4 2 ⎛ 3⎞ pi 9 3 2 1 ( V ( X ) = ∑ pi xi 2 − E ( X ) =) 2 9 2 1 + × 25 + × 64 − ⎜ ⎟ 15 15 15 ⎝ 5⎠ 15 15 15 15 i =1 123 9 588 196 xi 2 = − = = 15 25 75 25 196 14 et σ( X ) = V ( X ) = = = 2, 8 (€). ■ 25 5 176 Séquence 4Cned – Académie en ligne

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