Makalah relasi

12,524 views

Published on

makalah tantang relasi antara matriks dan graf

0 Comments
6 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
12,524
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
250
Comments
0
Likes
6
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Makalah relasi

  1. 1. MAKALAH TENTANGREPRESENTASI RELASI DALAM GRAF DAN MATRIK Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Matematika Diskrit Dosen Pengampu : Ibu. Putri Kurnia Handayani S.Kom DISUSUN OLEH :1. FEBRI SWEETA SATWINATU NIM. 2011-53-1262. YOHANES DARMA A.S NIM. 2011-53-1453. M. TAQWANUDDIN NIM. 2011-53-132 FAKULTAS TEKNIK PROGRAM STUDI SISTEM INFORMASI UNIVERSITAS MURIA KUDUS TAHUN 2012
  2. 2. KATA PENGANTARBismillahirrohmannirrohimAsslamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Alhamdulillahirrobbil alamin, rasa syukur kami haturkan kepada Allah SWT atassegala karunia, rahmat, rizki-Nya dengan rasa terima kasih karena telah terselesaikannya tugaspembuatan makalah ini dengan mengambil judul “REPRESENTASI RELASI DALAM GRAFDAN MATRIK” dalam Mata Kuliah Matematika Diskrit. Kami menyadari bahwa banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini baikkata-kata maupun penulisan karena dalam hal ini kami dalam taraf belajar yang mungkin masihbanyak hal- hal yang perlu ada perbaikan. Maka dari itu saran maupun kritik sangat kamiharapkan yang membangun dari para pembaca. Semoga dengan makalah ini dapat bermanfaat dari semua pihak yang memerlukan.Dan kami mohon maaf apabila ada kata-kata yang kurang sesuaiWasslamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh Kudus, 31 Mei 2012 Penyusun
  3. 3. BAB I PENDAHULUAN Dalam pembuatan makalah ini yang akan kami bahas relasi dalam graf dan matrik besertajenis-jenis relasi. Seringkali relasi yang dinyatakan sebagai pasangan berurutan sulit untuk dilihatdan dibayangkan, terutama bagi bagi yang belum terbiasa dengan konsep relasi. Matriks adalahadalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah(directed graph atau digraph) graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik(disebut juga simpul atau vertex).Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a kesimpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan(terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busursemacam itu disebut gelang atau kalang (loop). Didalam sebuah relasi memiliki beberapa jenisrelasi seperti contoh berikut. Relasi Invers, Relasi Refleksif, Relasi Simetrik, Relasi anti Simetrik,Relasi Transitif, Relasi Equivalen.
  4. 4. BAB II PEMBAHASAN1. Representasi Relasi Dalam Graf dan Matriks 1.1 Relasi dan Matriks Relasi adalah Himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a€A dan b€ B disebut himpunan perkalian A dan B atau produk kartesius A dan B ditulis dengan notasi A x B dan didefinisikan sbb ; A x B = {(a,b) : a€A, b€B} Contoh Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)} dan B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m  n) adalah:  a11 a12  a1n  a a22  a2 n  A   21          a m1 am 2  amn Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n  n. Dalam praktek, kita lazimmenuliskan matriks dengan notasi ringkas A = [aij]. 1.2 Representasi Relasi dengan Graf Berarah Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah(directed graph atau digraph) Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan kehimpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpulatau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) Jika (a, b)  R, makasebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). Pasangan terurut (a, a) dinyatakandengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang ataukalang (loop).
  5. 5. Contoh :Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan R direpresentasikan dengan graf berarah sbb: b a c d 1.3 Representasi Relasi dengan Matriks. Matriks representasi relasi merupakan contoh matriks zero-one.Misalkan R adalah relasi dari A = {a1 , a2 , …, am} dan B = {b1 , b2 , …, bn }.Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [m ij],b1 b2  bn a1  m11 m12  m1n  a2  m21 m22  m2 n M=            am mm1 mm 2  mmn yang dalam hal ini 1, (ai , b j )  R mij   0, (ai , b j )  RContoh 6. Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1  dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = IF221,
  6. 6. b2 = IF251, b3 = IF342, dan b4 = IF323.Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks1 1 1 0 00 0 0 1 1  0 1 1 0 0  yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15. 2. Jenis-jenis Relasi 1. Relasi Invers 2. Relasi Refleksif 3. Relasi Simetrik 4. Relasi anti Simetr 5. Relasi Transitif 6. Relasi Equivalen 2.1 Relasi Invers Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yangdinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yangbila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 = {(b,a) :(a,b) R}Contoh :Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasidari A ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1 = {(a,1), (b,1),(a,2), (b,2)} 2.2 Relasi RefleksifMisalkan R = (A, A, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi refleksif, jika setiap a€A berlaku (a,a) € R Dengan kata lain, R disebut relasi refleksif jika setiap anggota dalam A berelasidengan dirinya sendiri.Contoh :Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan R = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)}. Apakah R relasi refleksif ?R bukan relasi refleksif, sebab (2,2) tidak termasuk dalam R. Jika (2,2) termasuk dalam R, yaituR1 = {(1,1), (2,2), (2,3), (3,3), (4,2), (4,4)} maka R1 merupakan relasi refleksif.
  7. 7. 2.3 Relasi SimetrikMisalkan R = (A, B, P(x,y)) suatu relasi. R disebut relasi simetrik, jika setiap (a,b) €R berlaku(b,a) €R. Dengan kata lain, R disebut relasi simetrik jika a R b berakibat b R a.Contoh:Misalkan A = {1, 2, 3} dan R = {(1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (4,2)}Apakah R relasi simetrik ? R bukan merupakan relasi simetrik, sebab (2,3) R tetapi (3,2) R. Jika(3,2) termasuk dalam R, maka R1 = {(1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,2)} merupakan relasisimetrik. Note : R disebut relasi simetrik jika dan hanya jika R = R-1. 2.4 Relasi AntisimetrikSuatu relasi R disebut relasi anti simetrik jika (a,b) €R dan (b,a) €R maka a=b. Dengan kata lain;Jika a, b A, a≠b, maka (a,b)€ R atau (b,a) €R, tetapi tidak kedua-duanyaContoh :Misalkan R suatu relasi dalam himpunan bilangan asli yang didefinisikan “y habis dibagi olehx”, maka R termasuk relasi anti simetrik karena jika b habis dibagi a dan a habis dibagi b, makaa = b.Misalkan A = {1, 2, 3} dan R1 = {(1,1), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)}, maka R1 bukan relasi antisimetrik, sebab (2,3) €R1 dan (3,2) €R1 pula.
  8. 8. 2.5 Relasi TransitifMisalkan R suatu relasi dalam himpunan A. R disebut relasi transitif jika berlaku ; Jika (a,b) €Rdan (b,c) €R maka (a,c) €R.Dengan kata lainJika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c, maka a berelasi dengan cContoh:Misalkan A = {a, b, c} dan R = {(a,b), (a,c), (b,a), (c,b)}, maka R bukan relasi transitif, sebab(b,a)€R dan (a,c) €R tetapi (b,c) €R. Coba dilengkapi agar R menjadi relasi transitifR = {(a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c)} 2.6 Relasi EquivalenSuatu relasi R dalam himpunan A disebut relasi equivalen jika memenuhi ;1) Sifat Refleksif2) Sifat Simetrik3) Sifat TransitifContoh:Misalkan R suatu relasi dalam segitiga yang didefinisikan “x sama dan sebangun dengan y”,maka R termasuk relasi equivalen sebab ;1) Untuk setiap a pada himpunan tersebut, segitiga a sama dan sebangun dengan segitiga asendiri.2) Jika a sama dan sebangun dengan b, maka b sama dan sebangun dengan a.3) Jika a sama dan sebangun dengan b dan b sama dan sebangun dengan c, maka a sama dansebangun dengan c.
  9. 9. BAB III PENUTUPKesimpulan Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah(directed graph atau digraph) graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi darisuatu himpunan ke himpunan lain. Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atauvertex).Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebutsimpul asal (initial vertex) Dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).dan Matriks itu sendiri adalahsusunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.
  10. 10. DAFAR PUSTAKAwww.scribd.com/doc/36809322/37/Representasi-Relasiwww.yunitacahya.files.wordpress.com/2012/01/relasi-dan-fungsi.docxwww.scribd.com/doc/76414988/Quiz-Relasi-Graf-2011-Jwbwww.raditeowarma.students-blog.undip.ac.id/2010/09/23/definisi-relasi-matematika-diskrit/http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)#Jenis-jenis_fungsi

×