Your SlideShare is downloading. ×
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Matemáticas i vol. ii (edudescargas.com)

14,413

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
14,413
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
135
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. 3 7 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 28 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 17 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 8 8 1 0 9 7 5 6 6 5 9 3 3 4 4 6 1 2 8 4 7 5 6 4 8 2 3 3 7 8 6 7 8 31 6 5 2 7 1 2 0 1 9 0 9 1 4 5 6 4 8 5 6 6 9 2 3 4 6 0 3 4 8 6 1 0 4 5 4 3 2 6 6 4 8 2 1 3 3 9 3 6 0 7 2 6 0 2 4 9 1 4 1 2 7 3 7 2 4 5 8 7 0 0 6 6 0 6 3 1 5 5 8 8 17 4 8 8 1 5 2 0 9 2 0 9 6 2 8 2 9 2 5 4 0 9 1 7 1 5 3 6 4 3 6 7 8 9 2 5 9 0 3 6 0 0 1 1 3 3 0 5 3 0 5 4 8 8 2 0 4 6 6 5 2 1 3 8 4 1 4 6 9 5 1 9 4 1 5 1 1 6 0 9 4 33 0 5 7 2 7 0 3 6 5 7 5 9 5 9 1 9 5 3 0 9 2 1 8 6 1 1 7 3 8 1 9 3 2 6 1 1 7 9 3 1 0 5 1 1 8 5 4 8 0 7 4 4 6 2 3 7 9 9 6 2 7 4 9 5 6 7 3 5 1 8 8 5 7 5 2 7 2 4 8 9 12 2 7 9 3 8 1 8 3 0 1 1 9 4 9 1 2 9 8 3 3 6 7 3 3 6 2 4 4 0 6 5 6 6 4 3 0 8 6 0 2 1 3 9 4 9 4 6 3 9 5 2 2 4 7 3 7 1 9 0 7 0 2 1 7 9 8 6 0 9 4 3 7 0 2 7 7 0 5 3 9 21717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279678235478163600934172164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009946576407895126946839835259570982582262052248940772671947826848260147699090264013639443745530506820349625245174939965143142980919065925093722169646151570985838741059788595977297549893016175392846813826868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388439045124413654976278079771569143599770012961608944169486855584840635342207222582848864815845602850601684273945226746767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649803559363456817432411251507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858900971490967598526136554978189312978482168299894872265880485756401427047755513237964145152374623436454285844479526586782105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061468067491927819119793995206141966342875444064374512371819217999839101591956181467514269123974894090718649423196156794520809514655022523160388193014209376213785595663893778708303906979207734672218256259966150142150306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043903975951567715770042033786993600723055876317635942187312514712053292819182618612586732157919841484882916447060957527069572209175671167229109816909152801735067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851714376576183515565088490998985998238734552833163550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128289059232332609729971208443357326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656180937734440307074692112019130203303801976211011004492932151608424448596376698389522868478312355265821314495768572624334418930396864262434107732269780280731891544110104468232527162010526522721116603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045334885034611365768675324944166803962657978771855608455296541266540853061434443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053899456131407112700040785473326993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923099079654737612551765675135751782966645477917450112996148903046399471329621073404375189573596145890193897131117904297828564750320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033215718530614228813758504306332175182979866223717215916077166925474873898665494945011465406284336639379003976926567214638530673609657120918076383271664162748888007869256029022847210403172118608204190004229661711963779213375751149595015660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418426312986080998886874132604721569516239658645730216315981931951673538129741677294786724229246543668009806769282382806899640048243540370141631496589794092432378969070697794223625082216889573837986230015937764716512289357860158816175578297352334460428151262720373431465319777741603199066554187639792933441952154134189948544473456738316249934191318148092777710386387734317720754565453220777092120190516609628049092636019759882816133231666365286193266863360627356763035447762803504507772355471058595487027908143562401451718062464362679456127531813407833033625423278394497538243720583531147711992606381334677687969597030983391307710987040859133746414428227726346594704745878477872019277152807317679077071572134447306057007334924369311383504931631284042512192565179806941135280131470130478164378851852909285452011658393419656213491434159562586586557MATEMÁTICASLibroparaelmaestroLibroparaelmaestroIIMATEMÁTICAS1er Grado Volumen IISUSTITUIRLibroparaelmaestro1erGradoVolumenIIMAT1 LM Vol2 portada.indd 1 9/3/07 3:14:10 PM
  • 2. Libro para el maestromatemáticas I1er Grado Volumen II
  • 3. Matemáticas I. Libro para el maestro. Volumen II, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericanode la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAJosefina Vázquez MotaSUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICAJosé Fernando González SánchezDirección General de Materiales EducativosMaría Edith Bernáldez ReyesDirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales EducativosSubdirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos para la Educación SecundariaDirección EditorialINSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVADirección GeneralManuel Quintero QuinteroCoordinación de Informática EducativaFelipe Bracho CarpizoDirección Académica GeneralEnna Carvajal CantilloCoordinación AcadémicaArmando Solares RojasAsesoría AcadémicaMaría Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)AutoresAna Laura Barriendos Rodríguez,Ernesto Manuel Espinosa Asuar,Diana Violeta Solares PinedaColaboradoresMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña,José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero,Verónica Rosainz BonillaApoyo técnico y pedagógicoCatalina Ortega NúñezMaría Padilla LongoriaCoordinación editorialSandra Hussein DomínguezPrimera edición, 2006Primera edición revisada y corregida, 2007(ciclo escolar 2007-2008)D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.ISBN 968-01-1200-4 (obra completa)ISBN 968-01-1214-4 (volumen II)Impreso en MéxicoDistribución gratuita-Prohibida su ventaServicios editorialesDirección de arte:Rocío Mireles GavitoDiseño:Zona gráficaIconografía:Cynthia ValdespinoDiagramación:Bruno ContrerasIlustración:Imanimastudio, Curro Gómez,Gabriela Podestá, Cecilia VarelaFotografía:Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba,Pável Ramírez
  • 4. Mapa-índiceClave de logos Bloque 3secuencia 17 División de números decimalessecuencia 18 Ecuaciones de primer gradosecuencia 19 Existencia y unicidadsecuencia 20 Áreas y perímetrossecuencia 21 Porcentajessecuencia 22 Tablas de frecuenciasecuencia 23 Gráficas de barras y circularessecuencia 24 Nociones de probabilidad Bloque 4secuencia 25 Números con signosecuencia 26 Raíz cuadrada y potenciassecuencia 27 Relación funcionalsecuencia 28 Construcción de círculos y circunferenciassecuencia 29 El número Pisecuencia 30 El área de los círculossecuencia 31 Relaciones de proporcionalidadsecuencia 32 Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad Bloque 5secuencia 33 Cuentas de números con signosecuencia 34 Áreas de figuras planassecuencia 35 Juegos equitativossecuencia 36 Gráficas, tablas y expresiones algebraicassecuencia 37 Proporcionalidad inversasecuencia 38 Medidas de tendencia centralPropuesta de examen bimestral bloque 3Propuesta de examen bimestral bloque 4Propuesta de examen bimestral bloque 5Bibliografía491222324050607284104114126140150158164172184200204218224232241255265280Índice
  • 5. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivo1. Sistemasdenumeración.• Identificarlaspropiedadesdelsistemadenumeracióndecimalycontrastarlasconlasdeotrossistemasnuméricosposicionalesynoposicionales.1.1 Acertijosarqueológicos1.2 OtrosistemadenumeraciónLosnúmerosmayasSistemadenumeraciónmaya1.3 Elsistemadecimal2. Fraccionesydecimalesenlarectanumérica.• Representarnúmerosfraccionariosydecimalesenlarectanuméricaapartirdedistintasinformaciones,analizandolasconvencionesdeestarepresentación.2.1 ElsaltodealturaElsaltodealtura2.2 DensidadyfraccionesLarectanumérica:Fracciones2.3 ElsaltodelongitudylosnúmerosdecimalesLarectanumérica:Fraccionesdecimales3. Sucesionesdenúmerosyfiguras.• Construirsucesionesdenúmerosapartirdeunaregladada.• Determinarexpresionesgeneralesquedefinenlasreglasdesucesionesnuméricasyfigurativas.3.1 FigurasquecrecenFigurasquecrecenPatronesysecuencias13.2 NúmerosquecrecenSucesiones3.2 Númerosquecrecen (Hojadecálculo)Sucesión3.3 ReglasdesucesionesPatronesysecuencias1Patronesysecuencias24. Geometríayexpresionesalgebraicas.• Explicarenlenguajenaturalelsignificadodealgunasfórmulasgeométricas,interpretandolasliteralescomonúmerosgeneralesconlosqueesposibleoperar.4.1 FórmulasyperímetrosFórmulasyperímetrosCuadradoHexágono4.2 FórmulasyáreasRectángulo4.2Fórmulasyáreas (Hojadecálculo)Cuadrado1Cuadrado5. Simetría.• Construirfigurassimétricasrespectoauneje,analizarlasyexplicitarlaspropiedadesqueseconservanenfigurastalescomo:triángulosisóscelesyequiláteros,rombos,cuadradosyrectángulos.5.1 ComosifueraunespejoSimetríadepuntos5.2 PapelpicadoSimetríadepolígonos5.2.Papelpicado (Geometríadinámica)PapelSimétrico5.3 LosvitralesVitrales5.4 Algomássobresimetría5.4Algomássobresimetría (Geometríadinámica)Aprendido6. Proporcionalidad.• Identificaryresolversituacionesdeproporcionalidaddirectadeltipo“valorfaltante”,utilizandodemaneraflexiblediversosprocedimientos.6.1 Lascantidadesdirectamenteproporcionales6.2 ElvalorunitarioEscalasymaquetasenarquitectura6.2Valorunitario (Hojadecálculo)Escalas6.3 LaproporcionalidadenotroscontextosVariaciónproporcional17. Repartoproporcional.• Elaboraryutilizarprocedimientospararesolverproblemasderepartoproporcional.7.1 LakermésRepartoproporcionalVariaciónproporcional27.2 Mássobrerepartoproporcional8. Problemasdeconteo.• Resolverproblemasdeconteoutilizandodiversosrecursosyestrategias,comotablas,diagramasdeárbolyotrosprocedimientosdeenumeración.8.1 ¿Cuántoscaminoshay?Mapadecalles8.2 ¿Decuántasformas?Diagramadeárbol8.3 ¿Cuántosviajeshay…?¿Sabencuántoscaminoshay?Diagramadeárbol8.4 OtroscontextosDiagramadeárbolEVALUACIÓNBloque1
  • 6. Bloque2SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosHojasdetrabajo9. Problemasaditivosconnúmerosfraccionariosydecimales.• Resolverproblemasaditivosconnúmeros fraccionariosydecimalesendistintoscontextos.9.1 Elfestivaldefindecursos¿Dóndeseutilizanfracciones?Númerosfraccionarios9.1 Elfestivaldefindecursos(Hojadecálculo)9.2 Marcasatléticas9.3 Lospreciosdelacafetería10. Multiplicaciónydivisióndefracciones.• Resolverproblemasqueimpliquenla multiplicaciónydivisiónconnúmeros fraccionariosendistintoscontextos.10.1 Decomprasenelmercado10.2 SuperficiesyfraccionesMultiplicacióndefracciones110.3 ¿Cómoseríanlasmarcasatléticasenelespacio?Elsistemasolar ylafuerzadegravedadMultiplicacióndefracciones1Multiplicacióndefracciones210.4 Hayteladedondecortar10.5 ¿Cuántasbotellasdejugosenecesitan?11. Multiplicacióndenúmerosdecimales.• Resolverproblemasqueimpliquenla multiplicacióndenúmerosdecimalesen distintoscontextos.11.1 TresvecesymediaMásdetres,pero menosdecuatroMultiplicacióndenúmerosdecimalesEscalasynúmerosdecimales11.2 ElpuntoeselasuntoÁreasynúmerosdecimales11.3 ¿Endóndeseusalamultiplicacióndedecimales?12. Mediatrizybisectriz.• Utilizarlaspropiedadesdelamediatrizdeun segmentoylabisectrizdeunángulopara resolverdiversosproblemasgeométricos.12.1 AlamismadistanciaMediatriz12.1 Alamismadistancia (Geometríadinámica)Mediatrices12.2 UnproblemageométricoMitadesdeángulosBisectriz12.2 Unproblemageométrico (Geometríadinámica)Bisectrices12.3 Apliquemosnuestrosconocimientosdemediatricesybisectrices12.3 Apliquemosnuestroconocimientodemediatricesybisectrices(Geometríadinámica)13. Polígonosregulares.• Construirpolígonosregulares apartirdedistintasinformaciones.13.1 TarjetasdefelicitaciónFelicidadesPolígonosregularesángulocentral13.1 Tarjetasdefelicitación (Geometríadinámica)13.2 MosaicosPolígonosregularesángulointerior13.2 Mosaicos(Geometríadinámica)13.3 Mássobrepolígonosregulares13.3 Mássobrepolígonosregulares (Geometríadinámica)14. Fórmulasparacalculareláreadepolígonos.• Justificarlasfórmulasparacalcularel perímetroyeláreadetriángulos,cuadriláteros ypolígonosregulares.14.1 Rompecabezas114.2 Rompecabezas214.3 Descomposicióndefiguras14.3 Descomposicióndefiguras(Geometríadinámica)14.4 OtrasformasdejustificarlasfórmulasJustificaciónFórmulasgeométricas14.4 Otrasformasdejustificar(Geometríadinámica)15. Laconstantedeproporcionalidad.• Identificarsituacionesdeproporcionalidad directaendiversoscontextos,yresolverlasmedianteprocedimientosmáseficientes.15.1 LacanchadebásquetbolVariaciónproporcional315.1 Lacanchadebásquetbol(Hojadecálculo)15.2 MapasyescalasCentroHistórico delaCiudaddeMéxico15.3 Rutasytransporte16. Aplicaciónsucesivadeconstantesdeproporcionalidad.• Interpretarelefectodelaaplicaciónsucesivadefactoresconstantesdeproporcionalidadendiversoscontextos.16.1 MicroscopioscompuestosMicroscopioscompuestosVariaciónproporcional416.1 Microscopioscompuestos(Hojadecálculo)16.2 EscalasyreduccionesVariaciónproporcional516.3 ConsomérancheroEVALUACIÓNAulademediosArchivosFraccionesSegmentoMediatricesFigura1Ángulo1BisectricesEjesCentrosMedidaÁngulo2Ángulo3PolígonoCentralHexágonoApotemaFórmulasCanchaMicroscopios
  • 7. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivos17. Divisióndenúmerosdecimales. (12-21)• Resolverproblemasqueimpliquenladivisióndenúmerosdecimalesendistintoscontextos.17.1 ElmetrobúsElmetrobúsDivisióndenúmerosdecimales17.2 Cambiodedinero17.3 Númerosdecimalesenlaciencia18. Ecuacionesdeprimergrado. (22-31)• Resolverproblemasqueimpliquenelplanteamientoylaresolucióndeecuacionesdeprimergradodelasformasx+a=b;ax=b;ax+b=c,utilizandolaspropiedadesdelaigualdad,cuandoa,bycsonnúmerosnaturalesydecimales.18.1 ArepartirnaranjasEcuaciones118.1 Arepartirnaranjas (Hojadecálculo)Ecuación18.2 ElpaseoescolarElterrenoyelríoEcuaciones218.3 ResolucióndeecuacionesmixtasEcuacionesdeprimergrado19. Existenciayunicidad. (32-39)• Construirtriángulosycuadriláteros.• Analizarlascondicionesdeexistenciayunicidad.19.1 ¿Existeonoexiste?Desigualdadtriangular19.2 ¿Esunoosonmuchos?¿Esunoosonmuchos?19.2 ¿Esunoosonmuchos?(Geometríadinámica)RombosConstrucciones20. Áreasyperímetros. (40-49)• Resolverproblemasqueimpliquencalcularelperímetroyeláreadetriángulos,romboidesytrapecios,yestablecerrelacionesentreloselementosqueseutilizanparacalculareláreadecadaunadeestasfiguras.• Realizarconversionesdemedidasdesuperficie.20.1 Problemasdeaplicación20.2 Relacionesimportantes20.3 MedidasdesuperficieMedidasdesuperficie21. Porcentajes. (50-59)• Resolverproblemasqueimpliquenelcálculodeporcentajesutilizandodemaneraadecuadalasexpresionesfraccionariasodecimales.21.1 MéxicoenelINEGIPorcentajes121.2 ElIVA21.2 ElIVA(Hojadecálculo)IVA21.3 MisceláneadeporcentajesLosmigrantesPorcentajes222. Tablasdefrecuencia. (60-71)• Interpretarycomunicarinformaciónmediantelalectura,descripciónyconstruccióndetablasdefrecuenciaabsolutayrelativa.22.1 ¿Quiénllegóprimero?Unrecorridoporelorigen delaestadística22.1 ¿Quiénllegóprimero?(Hojadecálculo)AtletismoEdades22.2 Tabladefrecuenciarelativa22.2 Tabladefrecuenciarelativa(Hojadecálculo)Frecuencias22.3 Latablarepresenta…22.3 Latablarepresenta…(Hojadecálculo)Matrículas23. Gráficasdebarrasycirculares. (72-83)• Interpretarinformaciónrepresentadaengráficasdebarrasycircularesdefrecuenciaabsolutayrelativa,provenientedediariosorevistasydeotrasfuentes.• Comunicarinformaciónprovenientedeestudiossencillos,eligiendolaformaderepresentaciónmásadecuada.23.1 Quédicenlasgráficas23.2 Gráficasdebarras23.3 GráficacircularElratingenlatelevisión24. Nocionesdeprobabilidad. (84-101)• Enumerarlosposiblesresultadosdeunaexperienciaaleatoria.Utilizarlaescaladeprobabilidadentre0y1yvinculardiferentesformasdeexpresarla.• Establecercuáldedosomáseventosenunaexperienciaaleatoriatienemayorprobabilidaddeocurrir;justificarlarespuesta.24.1 ProbabilidadfrecuencialLanzamonedas24.1 Probabilidadfrecuencial(Hojadecálculo)Laruleta24.2 ProbabilidadclásicaBolsaconcanicas24.3 ComparacióndeprobabilidadesI¿Quéesmásprobable?24.4 ComparacióndeprobabilidadesIIEVALUACIÓNBloque3
  • 8. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivos25. Númerosconsigno. (104-113)• Plantearyresolverproblemasqueimpliquenlautilización denúmerosconsigno.25.1 Niveldelmar25.2 DistanciayordenTemperaturasambientalesTemperaturas25.3 Valorabsolutoysimétricos 26. Raízcuadradaypotencias. (114-125)• Resolverproblemasqueimpliquenelcálculodela raízcuadradaylapotenciadeexponentenatural, ambasdenúmerosnaturalesydecimales.26.1 Cuadrosymáscuadros26.1 Cuadrosymáscuadros(Hojadecálculo)Cuadrado226.2 CálculoderaícescuadradasLosbabiloniosylaraízcuadradaMétodobabilónico26.3 ¿Cuántostatarabuelos?Diagramadeárbol27. Relaciónfuncional. (126-139)• Analizarensituacionesproblemáticaslapresenciade cantidadesrelacionadasyrepresentarestarelación medianteunatablayunaexpresiónalgebraica.27.1 LaexpansióndeluniversoLaexpansióndeluniverso27.2 Loshusoshorarios27.3 Cocinanavideña27.3. Cocinanavideña (Hojadecálculo)Pavo27.4 Elrecibodeteléfono28. Construccióndecírculosycircunferencias. (140-149)• Construircírculos quecumplancondicionesdadasa partirdediferentesdatos.28.1 LascircunferenciasquepasanpordospuntosLascircunferenciasquepasan pordospuntos28.2 CuerdasycircunferenciasConstruccióndecircunferencias28.3 TrespuntosyunacircunferenciaConstruccióndecircunferenciasconlamediatriz28.3 Trespuntosyunacircunferencia(Geometríadinámica)ComunidadesComunidadAplicación29. ElnúmeroPi. (150-157)• Determinarelnúmerocomolarazónentrela longituddelacircunferenciayeldiámetro.• Justificaryusarlafórmulaparaelcálculodela longituddelacircunferencia.29.1 LarelaciónentrecircunferenciaydiámetroRelaciónentrecircunferencia ydiámetro¿DedóndesalióPi?29.1 Relaciónentrecircunferenciaydiámetro(Geometríadinámica)ElnúmeroPi29.2 Perímetrodelcírculo30. Eláreadeloscírculos. (158-163)• Resolverproblemasqueimpliquencalcularel áreayelperímetrodeuncírculo.30.1 ÁreadelcírculoÁreadelcírculoCálculodeláreadelcírculo deArquímedes30.1 Áreadelcírculo(Geometríadinámica)CírculosPolígonosÁreadelcírculo30.2 Áreasyperímetros31. Relacionesdeproporcionalidad. (164-171)• Formularlaexpresiónalgebraicaquecorrespondaa larelaciónentredoscantidadesquesondirectamenteproporcionales.• Asociarlossignificadosdelasvariablesenlaexpresióny=kxconlascantidadesqueintervienenendicharelación.31.1 CambiodemonedaHistoriadelamonedaVariaciónproporcional631.2 Expresionesalgebraicasyrelacionesde proporcionalidadendistintoscontextos32. Gráficasasociadasasituacionesdeproporcionalidad. (172-181)• Explicarlascaracterísticasdeunagráficaquerepresente unarelacióndeproporcionalidadenelplanocartesiano.32.1 GráficasysuscaracterísticasGráficas32.2 ComparacióndegráficasVariaciónproporcionalygráficasEVALUACIÓNBloque4
  • 9. SECUENCIASESIÓNRECURSOSTECNOLÓGICOSVideosInteractivosAulademediosHojasdetrabajoArchivos33. Cuentasdenúmerosconsigno. (184-199)• Utilizarprocedimientosinformalesyalgorítmicosdeadiciónysustraccióndenúmerosconsignoendiversassituaciones.33.1 LosátomosLosátomosLosátomos133.2 SumasdenúmerosconsignoLosátomos233.3 RestasdenúmerosconsignoLosátomos333.4 Detodounpoco34. Áreasdefigurasplanas. (200-203)• Resolverproblemasqueimpliquenelcálculodeáreasdediversasfigurasplanas.34.1 Áreasdefigurasformadas porrectasGeometríaandaluza34.1 Áreasdefigurasformadasporrectas(Geometríadinámica)Figura2Figuras34.2 Áreasdefigurasformadas porcírculos34.2. Áreasdefigurasformadasporcírculos(Geometríadinámica)Región35. Juegosequitativos.  (204-217)• Reconocerlascondicionesnecesariasparaqueunjuegodeazarseajusto,conbaseenlanociónderesultadosequiprobablesynoequiprobables.35.1 ¿Cuáleslamejoropción?35.2 RuletasLaruleta35.3 Juegoscondados35.4 QuinielasPronósticosnacionalesLanzamonedas36. Gráficas,tablasyexpresionesalgebraicas. (218-223)• Calcularvaloresfaltantesapartirdevariasrepresentaciones relacionandolasquecorrespondenalamismasituación,eidentificarlasquesondeproporcionalidaddirecta.36.1 Gráficas,tablasyexpresiones algebraicasasociadasaproblemas deproporcionalidaddirectaElementosdela proporcionalidaddirecta36.1 Gráficas,tablasyexpresionesalgebraicasasociadasaproblemasdeproporcionalidaddirecta(Hojadecálculo)Años36.2 Delagráficaalproblema37. Proporcionalidadinversa. (224-231)• Identificaryresolversituacionesdeproporcionalidadinversamediantediversosprocedimientos.37.1 El agua37.2 LavelocidadLavelocidadconstanteVariaciónproporcionalinversaygráficas137.3 LahipérbolaVariaciónproporcionalinversaygráficas237.3 Lahipérbola (Hojadecálculo)RectángulosPintores38. Medidasdetendenciacentral. (232-239)• Compararelcomportamientodedosomásconjuntosdedatosreferidosaunamismasituaciónofenómenoapartirdesusmedidasdetendenciacentral.38.1 PromediosPromedios38.2 ¿Quéprefierencomer?EVALUACIÓNBloque5EJE1:SentidonuméricoypensamientoalgebraicoEJE2:Forma,espacioymedidaEJE3:Manejodelainformación
  • 10. Clave de logosTrabajo individualEn parejasEn equiposTodo el grupoConexión con otras asignaturasGlosarioConsulta otros materialesCD de recursosSitios de InternetBibliotecaVideoPrograma integrador EdusatInteractivoAudiotextoAula de MediosOtros Textos
  • 11. BLOQUE   3
  • 12. 12secuencia 1712EL mEtrOBúsPara empezarEn la Ciudad de México hay un transporte llamado metrobús. Es un autobús más largoque lo normal, que transita por una avenida llamada Insurgentes.Para subirse al metrobús se usan tarjetas, las cuales se pasan por un aparato que permi­te el acceso.En el aparato se marca el dinero disponible en la tarjeta, es decir, el saldo. El costo porviaje en el metrobús es de $3.50.sEsión 1División de númerosdecimalesEn esta secuencia resolverás problemas que impliquen la división denúmeros decimales en distintos contextos.Propósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1El metrobúsDar sentido a lo que significa dividir entre un númerocon punto decimal, descubrir que el cociente no siemprees mayor que el dividendo y que hay varias maneras deresolver algunas divisiones entre números decimales.VideoEl metrobúsInteractivo“División denúmeros decimales”2Cambio de dineroConocer y practicar la técnica para dividir entre unnúmero con punto decimal.3Números decimales en la cienciaResolver diversos problemas que implican operacionesde números con punto decimal.EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de los números.AntecedentesLos alumnos aprendieron en la escuelaprimaria a resolver divisiones:- en las que dividendo y divisor sonnaturales, hallando el cociente hastacentésimos; y- en las que el dividendo tiene cifrasdecimales.En esta secuencia los alumnos aprenderán aresolver divisiones en las que el dividendo o eldivisor tengan cifras decimales.Propósito de la sesión. Dar sentidoa lo que significa dividir entre unnúmero con punto decimal, descubrirque el cociente no siempre es mayorque el dividendo y que hay variasmaneras de resolver algunasdivisiones entre números decimales.Organización del grupo. Se sugieretrabajar en parejas durante toda lasesión, con algunos momentos deconfrontación grupal.
  • 13. 1313MATEMÁTICAS IPlatiquen con su grupo los resultados y la manera en que llegaron a ellos. Si utilizaronoperaciones digan cuáles y cómo las usaron.Manos a la obraI. Hallar el número de viajes que se puede hacer con cierta cantidad de dinero, equiva­le a dividir esa cantidad entre el costo de un viaje. Utilicen los resultados que encontraron en el problema anterior y completen la tabla.División Cociente (número de viajes) Residuo (lo que sobra)24.00 ÷ 3.5037.50 ÷ 3.5075.00 ÷ 3.50115.50 ÷ 3.50Observen que al calcular el número de viajes, están calculando cuántas veces cabe elcosto de cada viaje en el saldo.Consideremos lo siguienteEn cada caso anoten para cuántos viajes alcanza el saldo de la tarjeta y cuánto sobra.Recuerden que el costo de un viaje es $3.50.Saldo $24.00Número de viajes:Sobra:Saldo $37.50 Saldo $75.00 Saldo $115.50Número de viajes:Sobra:Número de viajes:Sobra:Número de viajes:Sobra:Propósito de la actividad. Lafinalidad es que los alumnosinterpreten la división como laoperación que permite saber cuántasveces cabe un número en otro. En estecaso, deberán calcular “cuántas vecescabe” el número 3.50 en cada una delas cantidades indicadas como saldo.Es importante que en este momentolos alumnos no utilicen la calculadorapara que puedan hacer uso de otrasestrategias.Posibles procedimientos.- Sumar varias veces 3.50 hastallegar al número más cercano alsaldo indicado.- Restar 3.50 al saldo indicado lasveces que sea necesario hastaagotarlo o hasta que ya no alcanceel dinero para un viaje más.- Multiplicar 3.50 por diferentesnúmeros hasta obtener un productoque se aproxime al saldo indicado.- Dividir el saldo entre 3.50.Sugerencia didáctica. Mientras lasparejas resuelven, trate de identificarqué procedimientos utilizan para,posteriormente, recuperaralgunos de ellos durante laconfrontación. 6$3.00 10$2.50 21$1.50 33 03Sugerencia didáctica. Es importanteque el algoritmo de la división seaconsiderado como una manera más deresolver el problema, no es la única yno siempre la mejor; por ejemplo, si elsaldo es $37.50 se puede calcular másrápidamente sabiendo que de 10 viajesson $35.00 y sobran $2.50.Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos identifiquenque la actividad que resolvieron en elapartado Consideremos lo siguientepuede solucionarse mediante unadivisión. Por eso es importante queutilicen los datos que encontraronanteriormente para completar la tabla.
  • 14. 14Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, usted puedeplantear algunas preguntas para quelos alumnos vayan reflexionandosobre aspectos interesantes querevisarán en las siguientesactividades; por ejemplo, para queidentifiquen cómo varía el cociente enfunción del divisor: si el saldo es de $4¿a cuál destino se puede ir más veces,a uno cuyo viaje cuesta$0.50 o a otro que cuesta $0.20?Posibles procedimientos. Losalumnos podrían ir completandocantidades “redondas”: si el costodel viaje es de $2.50, con $5.00 sehacen 2 viajes; si el costo esde $0.20, con $1.00, se hacen 5 viajes.También pueden recurrir al cálculomental para resolver varias de lasdivisiones, pues los números que seponen en juego son relativamentesencillos de manejar.Invite a los alumnos a que completenla tabla utilizando los procedimientosque ellos quieran; en este momentono es necesario que todos usen elalgoritmo de la división, aunque síes importante que sepan que estánresolviendo divisiones.Recuerde que. 4 6 27 3 Propósito de la actividad. Hay dosaspectos interesantes que los alumnostrabajan:- Reconocer que al dividir no siempreel cociente resulta menor que eldividendo; por ejemplo, al dividir 4entre 0.50 el resultado es 8 (8 4).- Al analizar en qué casos el cocientees mayor o menor que el dividendo,los alumnos podrán desarrollar,gradualmente, estrategias paraestimar resultados.Respuestas.a) Cuando el costo del viaje (divisor)es mayor que uno.b) Cuando el costo del viaje (divisor)es menor que uno.secuencia 1714ii. Imaginen ahora un lugar donde el precio de cada viaje varía y hay costos muy bajos.Completen la tabla.Saldo ($)(dividendo)Costo del viaje ($)(divisor)DivisiónNúmero de viajes(cociente)9 4.50 90 ÷ 4.5015 2.504.50 1.504.80 1.209 1.804 0.508.50 0.504 0.255.25 0.254 0.204.30 0.10iii. Analicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas:a) ¿En cuáles casos el cociente es menor que el dividendo?b) ¿En cuáles casos el cociente es mayor que el dividendo?c) Encuentren qué tienen en común aquellas divisiones en las que el cociente esmayor que el dividendo y anoten sus observaciones:iV. Anoten el resultado al que llegaron al dividir4 ÷ 0.50 =Observen que este resultado equivale a multiplicar 4 por un número, ¿por cuál número?DivisorDividendoResiduoCociente
  • 15. 15Propósito del interactivo: Mostrargráficamente la división de decimalespor medio de la idea cuántas vecescabe en.Propósito de la actividad. Quelos alumnos se den cuenta de que elresultado de una división tambiénpuede obtenerse multiplicando por elinverso del divisor. Por ejemplo, parahallar el resultado de dividir 4 ÷ 0.1 sepuede también multiplicar 4 × 10.En algunos casos, una manera esmás sencilla que otra, y se esperaque los alumnos vayan adquiriendohabilidades para decidir cuál lesconviene, dependiendo de lascircunstancias. Este tipo de prácticasson muy importantes porquedesarrollan el sentido numérico delos alumnos.Sugerencia didáctica. Invite alos alumnos a que multipliquen losnúmeros de la primera y segundacolumnas. Por ejemplo, 0.5 × 2; 0.25× 4; 0.125 × 8. En todos los casos seobtiene 1. Pregunte: ¿Por qué creenque sucede esto?Integrar al portafolios. Recupereesta actividad y analice las respuestasde los alumnos. Si lo consideranecesario, revisen la secuencia 11,en ella se llena una tabla en la quese observa que dividir una fracciónes lo mismo que multiplicarla por surecíproco.Sugerencia didáctica. El cálculomental es una herramienta quepermite, además de obtener algunosresultados de manera rápida,desarrollar habilidades, como elestablecimiento de relaciones entre losdatos y la anticipación de resultados.Invite a los alumnos a que resuelvanmentalmente estas operaciones, sedarán cuenta de lo eficaz que es estetipo de cálculo y de las múltiplesrelaciones que pueden darse entre losnúmeros.15MATEMÁTICAS IAlgunas divisiones entre un número con punto decimal pueden calcularse más fácilmen­te con una multiplicación. Completen la siguiente tabla.Dividir entre:Es lo mismo quemultiplicar por:Ejemplo resueltocon divisiónEjemplo resueltocon multiplicación0.50 2 3 ÷ 0.5 = 6 3 × 2 = 60.250.200.100.1250.01V. Resuelvan mentalmente las siguientes divisiones:2 ÷ 0.5 = 1 ÷ 0.125 =3 ÷ 0.01 = 4 ÷ 0.25 =1.5 ÷ 0.5 = 3 ÷ 0.1 =12. 5 ÷ 2.5 = 9 ÷ 0.2 =VI. Platiquen a sus compañeros cómo resolvieron mentalmente alguna de las operacio­nes de la actividad anterior. Elijan una operación y anoten en el pizarrón varios pro­cedimientos para resolverla mentalmente. Comenten cuál procedimiento es mejor ypor qué.Dividir una cantidad entre un número equivale a calcular cuántas veces cabe esenúmero en dicha cantidad.Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse más rápida-mente con una multiplicación, por ejemplo, 10 ÷ 0.25 puede escribirse como 10 ÷ ,que como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 10 × 4 = 40.Al dividir una cantidad entre un número menor que la unidad, el resultado será mayorque la cantidad, por ejemplo, 5 ÷ 0.2 = 25, 25 es mayor que 5.A lo que llegamosSugerencia didáctica. Pida a losalumnos que escriban en su cuaderno2 ejemplos diferentes a los que seplantean en el recuadro de cada unode los puntos. 4 3 ÷ 0.25 = 12 3 × 4 = 12 5 3 ÷ 0.20 = 15 3 × 5 = 15 10 3 ÷ 0.10 = 30 3 × 10 = 30 8 3 ÷ 0.125 = 24 3 × 8 = 24 100 3 ÷ 0.01 = 300 3 × 100 = 300
  • 16. 16Propósito del video. Observarel planteamiento y la solución deproblemas que involucren la divisiónentre un número decimal. Observarqué sucede cuando se divide entre unnúmero menor o mayor que la unidad.Propósito de la sesión. Conocer ypracticar la técnica para dividir entreun número con punto decimal.Organización del grupo. Inicie lasesión trabajando con el grupo enconjunto; posteriormente organiceparejas para resolver el apartadoConsideremos lo siguiente.Sugerencia didáctica. Dé tiempopara que los alumnos lean el apartadoPara empezar y después comentecon el grupo la información que sepresenta. Repasen las divisionescon punto decimal en el dividendoresolviendo algunas en el pizarrón.Es necesario que los alumnos sepanresolver este tipo de divisiones paraque puedan continuar con la sesión.3Sugerencia didáctica. Anime alos alumnos para que expliquen susintentos y escuchen los de otros. Encaso de que alguna pareja sí hayapodido resolver la división, pida a susintegrantes que muestren al grupocómo lo hicieron. Si nadie logróresolverla, invítelos a que continúentrabajando la sesión.Sugerencia didáctica. Es probable quelos alumnos no sepan cómo resolverlas.Invítelos a que lo intenten, recuerdeque en estos momentos se trata decrear en los alumnos un conflicto aldarse cuenta de que estas divisionesson distintas a las que ya conocen, asícomo la necesidad de hallar la manerade resolverlas.secuencia 1716El metrobúsVean el video y realicen lo que ahí se pide. Cuando terminen, reúnanse en parejas y jun­tos hagan un resumen que se titule “La división con números decimales”. Después lean elresumen ante su grupo.CamBiO dE dinErOPara empezarSe van a repartir $29.60 entre 4 amigos, ¿cuánto le toca a cada uno? En la primariaaprendiste que este problema se resuelve con la siguiente división:7.404 29.601600El resultado es $7.40. Estas divisiones se resuelven igual que con números enteros, peroal momento de bajar el 6 se sube el punto. ¿Saben por qué se hace así?a) Cuando se divide 29 entre 4 se están dividiendo 29 enteros, por eso el resultado esentero.b) Al bajar el 6 junto al 1 ya se están dividiendo 16 décimos entre 4, por eso hay queponer un punto, para indicar que el resultado corresponde a décimos.Ahora aprenderás cómo se resuelve una división cuando el punto decimal está en eldivisor.Consideremos lo siguienteAraceli tiene $19.40 y le va a dar a cada uno de sus amigos $2.50. ¿Para cuántos amigosle alcanza y cuánto le sobra?Esta situación también se resuelve con una división. Encuentren una manera de hallar elresultado de la siguiente división que resuelve el problema.2.5 19.4Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicie­ron así.sEsión 21Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos manejen latécnica para dividir números con puntodecimal. Por ello deberán resolver elproblema utilizando una división y nomediante otros procedimientos (aunquesean correctos).
  • 17. 17Sugerencia didáctica. Los alumnosya estudiaron esta propiedad enla escuela primaria, por lo que laactividad puede ser considerada comoun repaso; no obstante, usted puedeenriquecerla comentando al grupo que,si se parte de que una división puedeescribirse como fracción, al multiplicardividendo y divisor por el mismonúmero, lo que se está haciendoes calcular fracciones equivalentes.Observe:17MATEMÁTICAS Ia) ¿Cómo son los resultados entre sí?b) Observen que el dividendo (8) y el divisor (4) de la primera división se multi­plicaron por 10 para obtener la segunda división (80 y 40).c) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera divisiónpara obtener la tercera división?d) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera divisiónpara obtener la cuarta división?II. Consideren que se tiene esta división2.5 20 Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y re­suélvanla.Esta división es más sencilla que 20 ÷ 2.5 y, por la propiedad que recordaron en laactividad I, saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.Manos a la obraI. Resuelvan las siguientes divisiones:Al multiplicar unnúmero con puntodecimal por 10, serecorre el punto unlugar a la derecha.Recuerden que:Si en una división semultiplica el dividendoy el divisor por elmismo número, elresultado de ladivisión no cambia.4 8 40 80400 800 4 000 8 000Sugerencia didáctica.Puede pedir a los alumnos que:1. Estimen el resultado antes de quepasen al inciso a). Por ejemplo, siestá entre 1 y 10, entre 10 y 100 oentre 100 y 1 000.2. Calculen mentalmente el resultadoantes de que pasen al inciso a).3. Resuelvan la división y verifiquensu resultado en la calculadora.4. Una vez resuelta, inventen unproblema que se resuelva con esaoperación.Si lo considera necesario, plantee másoperaciones de este tipo para que losalumnos las resuelvan en su cuaderno.2 4 = wR = wR T = qW pP = 10 20Esto implica que:2 4 = 10 20××
  • 18. 18Respuestas.• Se multiplica por 10,480 ÷ 12 = 40 y no sobra.• Se multiplica por 1 000,3 500 ÷ 125 = 28 y no sobra.• Se multiplica por 100,450 ÷ 32 = 14 y sobra. 2. Si algunosalumnos continúan dividiendoobtendrán 14.0625.Si lo considera pertinente, comentecon sus alumnos lo que sucede conel residuo en esta división. Si bien escierto que al multiplicar por un mismonúmero el dividendo y el divisor,el cociente no se altera, no pasa lomismo con el residuo. Éste aumentatantas veces como el número porel cual se multiplicó. Por ejemplo,mientras que en la división original(4.5 ÷ 0.32) el residuo es 0.02, en ladivisión transformada (450 ÷ 32) elresiduo es 2. El residuo de la divisióntransformada es 100 veces mayor queel de la división original.Propósito de la actividad. Estaactividad permite que los alumnosvaliden el resultado que obtuvieronen el problema inicial. Si es necesariopídales que corrijan.Puede haber discrepancia en losresultados si algunos alumnos dejaronel residuo y si otros continuaron ladivisión. Es buen momento para quelos anime a terminar la división.Sugerencia didáctica. Resuelvan enel pizarrón más divisiones y aclare lasposibles dudas.secuencia 1718iii. Transformen cada división en una cuyo divisor no tenga punto decimal y resuélvanla;elijan bien el número por el que tienen que multiplicar cada una.1.2 480.125 3.50.32 4.5iV. Resuelvan la división del problema inicial (19.4 2.5) transformándola en una divi­sión sin punto en el divisor. Comparen este resultado con el que obtuvieron al princi­pio de la sesión.Comenten los resultados que han obtenido hasta este momento. Pasen al pizarrón a re­solver las 3 divisiones de la actividad III y expliquen por cuál número multiplicaron eldividendo y el divisor de cada una y por qué.A lo que llegamosPara resolver una división con punto decimal en el divisor:1. Primero se transforma la división en otra que no tenga puntodecimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y eldivisor por 10, 1 00, 1 000, ... según el divisor tenga 1, 2, 3, ...cifras decimales.2. Después se resuelve.Por ejemplo, para resolver:0.12 2.4se multiplican por 100 el dividendo y eldivisor para transformar la división en12 240Y se resuelve: 2012 240000El resultado de dividir 240 ÷ 12 es el mismo que el resultado dedividir 2.4 ÷ 0.12. Compruébenlo con una calculadora.
  • 19. 19Respuestas. Araceli tiene 100monedas (50.00 ÷ 0.50). Necesita 5monedas para hacer cada montónde $2.50, así que puede hacer 20montones.Luis tiene 100 monedas(500.00 ÷ 5.00). Necesita 5 monedaspara hacer cada montón de $25.00,así que también puede hacer 20montones.Entonces la respuesta correcta es c).Respuestas. El número de envasessiempre debe ser 14, entonces lacantidad de litros de leche a repartirhay que dividirla entre 14 para obtenerla capacidad de cada envase.Si lo que conocemos es la capacidadde cada envase, entonces ese númerose multiplica por 14 para hallar lacantidad de litros a repartir.Respuestas. El resultado es 4.6.Se obtendría el mismo cociente connúmeros como:92 entre 20,920 entre 200,9 200 entre 2 000,92 000 entre 20 000,920 000 entre 200 000,etcétera.19MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. Araceli tiene $50.00 en monedas de $0.50 y quiere hacer montones de $2.50; Luistiene $500.00 en monedas de $5.00 y quiere hacer montones de $25.00.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?a) Araceli hará más montones.b) Luis hará más montones.c) Ambos harán el mismo número de montones.d) No puede calcularse quién hará más montones.Justifica la respuesta que elijas.2. Don Fernando va a repartir 7 de leche en envases de 0.5 . ¿Cuántos envases ocu­pará?Completa la tabla de tal manera que el número de envases siempre sea el mismo que losque ocupará don Fernando.Litros a repartirCapacidad de cada envase( )Número de envases141.5285103. Resuelve la división 9.2 entre 2 = Inventa 5 divisiones que, partiendo de los mismos números que la anterior, tengan igualcociente. 1 14 21 14 2 14 70 14 140 14
  • 20. 20Propósito de la sesión. Resolverdiversos problemas que implicanoperaciones de números con puntodecimal.Organización del grupo. Formeequipos para que resuelvan losproblemas.1Propósito de la actividad. Aunquela secuencia se refiere a la división denúmeros con punto decimal, en la seriede problemas que aquí se presentanno siempre usaránla división, también harán uso deotras operaciones que ya hanestudiado.Sugerencia didáctica. En algunosproblemas puede solicitar a losalumnos que antes de haceroperaciones, den una respuestaaproximada del resultado y la anotenen una hoja. Al término, compararánsus estimaciones con los resultadosobtenidos.Respuestas.El diamante es 4 veces más duro quela plata y 6.6666666… veces másduro que el azufre (se divide 10 entre2.5 y 10 entre 1.5).La diferencia de temperatura es de22.5 ˚C. Es la distancia de 4.5 a18.5 ˚C bajo cero. Aun cuando elproblema involucra números consigno, se espera que los alumnospuedan resolverlo mediante susconocimientos sobre las temperaturasbajo cero. Si nota dificultades, puedeauxiliarlos.La ballena es 22 veces más larga queuna salamandra gigante y 117.857veces más larga que una araña Goliat(se divide 33 entre 1.5 y 33 entre0.28).Invite a los alumnos a que leanatentamente la pregunta del problemade la estrella Sirio; no se pide elresultado, sino las operaciones queresuelven el problema. Hay variasmaneras de expresar la respuesta, unaposible es:- Multiplicar 60 × 60 × 24 × 365 ×8.8 para saber cuántos segundoshay en 8.8 años y el resultadomultiplicarlo por 300 000 parasaber la distancia que se pide.Si surgen varias respuestas seráinteresante analizarlas en laconfrontación y determinar si son o noequivalentes.secuencia 1720sEsión 3La estrella más brillante que vemos en el cielo esSirio, que se ve durante las noches de invierno. ¡Laluz de Sirio tarda 8.8 años en llegar a la Tierra!Si la luz viaja a 300 000 km/s, ¿qué operacionestendríamos que hacer para conocer la distancia a laque está Sirio?El animal más grande del mundo es la ballena azul,llega a medir hasta 33 m de largo. El anfibio másgrande es la salamandra gigante de Japón, con1.5 m de largo. La araña más grande es la Goliath,puede medir 0.28 m de longitud. ¿Cuántas veceses más larga una ballena azul que una salamandragigante?,¿Y que una arañaGoliath?El crecimiento de las bacterias a menos de 10 oCes muy lento, por ello los alimentos en el refrige­rador se conservan más tiempo. La temperaturadel congelador se conserva alrededor de los 18 oCbajo cero y en el refrigerador puede estar alrede­dor de 4.5 oC. ¿Cuáles la diferencia entrela temperatura delcongelador y la delrefrigerador?La dureza de un mineral puede medirse de acuerdocon la facilidad para rayarlo. El mineral más duroes el diamante y su dureza es de 10. La mínimadureza de la plata es 2.5 y la del azufre es 1.5.¿Cuántas veces es más duro el diamante que laplata?¿Y que el azufre?númErOs dECimaLEs En La CiEnCiaLo que aprendimosEn esta sesión aplicarán varios de los conocimientos que han adquirido a lo largo detodas las secuencias sobre números con punto decimal. En cada caso, respondan la pre­gunta planteada.
  • 21. 21Respuestas.Los porcentajes de los elementosque forman el cuerpo humano suman97.4, hace falta 2.6%, que es lo quecorresponde a otros elementos.La Tierra recorre 1 830 km en unminuto (60 segundos). Se divide 1 830entre 30.5.Neptuno tarda 165 años, 4 meses y 26días (porque 0.4 de año son 146 días).Urano tarda 83 años, 8 meses y 12.5días (porque 0.7 de año son 255.5días).La persona pesa 65 kg (se divide 6.305entre 0.097); y tendría que caminardurante 79.302 minutos (se divide 500entre 6.305).Integrar al portafolios. Seleccione3 problemas de esta sesión y pidaa los alumnos que los resuelvan enuna hoja aparte. En caso de habererrores, analice si tienen que ver conlas divisiones con decimales, conla comprensión del problema o conambas.21MATEMÁTICAS IAl caminar rápidamente se queman0.097 calorías por cada kilogramo depesoporminuto.Siunapersonacami­nando rápidamente quemó 6.305calorías en un minuto, ¿cuánto pesa?¿Cuánto tiempo, aproximadamente,tendría que caminar rápido esa per­sona para quemar 500 calorías?Comenten con otros equipos los resultados de estos problemas. Comparen los proce­dimientos que muestren los diferentes equipos y elijan aquellos que les parezcan másfáciles.Para saber másSi el tiempo que tardan los planetas en dar la vuelta al Solse mide en años, se tiene que: Neptuno tarda 165.4 años yUrano 83.7 años. ¿Cuál es la duración en años, meses y díasdel tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol?¿Y Urano?La Tierra, al viajar alrededor del Sol, re­corre 30.5 kilómetros en un segundo.¿En cuánto tiempo recorre 1 830 kiló­metros?El cuerpo humano está formadopor varios elementos: 63% de hi­drógeno, 23.5% de oxígeno, 9.5%de carbono, 1.4% de nitrógenoy el resto de otros elementos.¿Cuál es el porcentaje que corres­ponde en total a esos otros ele­mentos?Sobre la división de números decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en Relacionando multiplicación y división.
  • 22. 22Propósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primergrado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad,cuando a, b y c son números naturales y decimales.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1A repartir naranjasInterpretar la ecuación como una expresión quesintetiza las relaciones entre los datos y la cantidaddesconocida del problema.Resolver problemas que implican plantear y resolverecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.Interactivo“Ecuaciones”Aula de medios“A repartir naranjas”(Hoja de cálculo)2El paseo escolarResolver problemas que implican plantear y resolverecuaciones algebraicas del tipo ax = b.Video“El terreno y el río”Interactivo“Ecuaciones”3Resolución de ecuaciones mixtasResolver problemas que implican plantear y resolverecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.Interactivo“Ecuaciones deprimer grado”EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de las operaciones.AntecedentesEn las secuencias 3 y 4 los alumnos seiniciaron con la utilización de literales paraexpresar patrones y fórmulas geométricas. Enesta secuencia usarán literales para traducir eltexto de un problema al código algebraico ypara resolver ecuaciones.Propósito de la sesión. Interpretar laecuación como una expresión que sintetizalas relaciones entre los datos y la cantidaddesconocida del problema.Resolver problemas que implican planteary resolver ecuaciones algebraicas aditivasdel tipo x + a = b.Organización del grupo. Se sugiere quetrabajen todas las actividades organizadosen parejas.Propósitos de la actividad. Se tratade un problema sencillo que se resuelvecon la suma 24 + 8. Se espera que losalumnos identifiquen cuáles son losdatos conocidos y cuál es la operaciónque resuelve el problema. Es importanteque identifiquen como una igualdad laexpresión en la que aparece el signoigual. En este momento no es necesarioque definan el concepto de igualdad,sino sólo que empiecen a reconocer y autilizar el término.Posibles dificultades. Dado queaparecen las palabras “tenía”, “vendió”,algunos alumnos podrían pensar queel problema se resuelve con la resta24 – 8. Si bien está implícita una resta,el problema se resuelve mediante unasuma (cantidad final de naranjas máscantidad de naranjas vendidas).Sugerencia didáctica. En caso deque algunos alumnos presenten unarespuesta distinta a 32 kg, pídalesque comenten cómo lo obtuvieron.Posteriormente invite al grupo a queresuelvan la actividad I del apartadoManos a la obra para verificar si larespuesta que dieron es correcta o no.secuencia 1822En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamien-to y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b;ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a,b y c son números naturales o decimales.A RepARtiR nARAnjAsPara empezarEn la primaria resolviste problemas en los que tenías que encontrar la solución haciendooperaciones aritméticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuenciaaprenderás una nueva manera de resolver problemas: usarás expresiones algebraicaspara representar y encontrar valores desconocidos.Consideremos lo siguienteUn comerciante de naranjas quiere saber cuántos kilogramos de naranjas tenía al princi-pio del día si vendió 24 kg y al final se quedó con 8 kg.a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo:• Los kilogramos de naranjas que vendió.• Los kilogramos de naranjas que tenía al principio.• Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un número que debe estaren el recuadro azul:− 24 = 8c) ¿Cuál es el número que debe estar en el recuadro azul?Comparen sus respuestas y comenten:a) ¿Qué operación hicieron para encontrar el número que va en el recuadro azul?b) ¿Cuántos kilogramos tenía el comerciante al principio del día?sesión 1Ecuaciones deprimer grado
  • 23. 23Propósito de la actividad. Que losalumnos logren expresar medianteuna igualdad, un problema que seles presenta de manera verbal. Estoimplica identificar cuáles son los datosconocidos y desconocidos, y cómo serelacionan entre ellos:+ 110 = 221Posibles procedimientos. Puedehacerse restando 221 – 110 opensando cuánto le falta a 110 parallegar a 221.Propósito de la actividad. Ensecuencias anteriores los alumnoshan utilizado letras para expresarfórmulas y patrones numéricos; enesta secuencia se pretende que losalumnos utilicen una letra (en estecaso la x) para representar al datodesconocido (incógnita) en unaigualdad. Es importante que losalumnos identifiquen a la x no comouna letra, sino como un número delque se desconoce su valor.Propósito del interactivo. Resolverecuaciones de primer grado utilizandolas propiedades de la igualdad.Propósito de la actividad. Que losalumnos continúen identificando losdatos conocidos y los desconocidosde un problema, y que resuelvanproblemas de suma o resta mediantela operación inversa.Recuerde que. Los problemas aditivosson aquellos que implican tanto ala suma como a la resta. Cuando enuna suma se desconoce uno de losdatos, se puede encontrar el datofaltante mediante una resta, que es laoperación inversa de la suma.En este caso, el dato desconocido dela suma se encuentra mediante unaresta: 124 – 57 = 67. Los alumnos iránidentificando estas relaciones en eltranscurso de las actividades de esteapartado y podrán formalizarlo al finalde esta sesión.Propósito de la actividad. Quelos alumnos analicen la estructuradel problema (los datos y la formaen que están relacionados) paraidentificar cómo está conformadauna igualdad. Aproveche diferentesmomentos para que los alumnos sevayan familiarizando con el término“igualdad”; insista en que unaigualdad comprende las expresionesque están de uno y del otro lado delsigno igual.Sugerencia didáctica. Es importanteque se comente cómo se obtiene elresultado. Algunos restarán 124 – 57,otros lo harán pensando cuánto lehace falta a 57 para llegar a 124;ambas formas de resolver implican ala resta.23MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Escriban el número que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:− 24 = 8II. Hay que encontrar un número que, al sumarle 57, dé como resultado 124.a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?En la siguiente igualdad, el número desconocido del problema es un número que debeestar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los números conocidos:+ =b) ¿Cuál es el número que va en el recuadro?c) Comprueben la solución que encontraron:En lugar del recuadro morado escriban el número que encontraron y hagan las operaciones:+ =Comparen sus respuestas y comenten:¿Cuál es el número que al sumarle 57 da como resultado 124?III. Representen con una igualdad el siguiente problema: ¿Cuál es el número que al su-marle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el númerodesconocido.+ =a) ¿Cuál es el número que debe ir en el recuadro rojo?b) ¿Qué operación hicieron para encontrarlo?IV. Generalmente, en las matemáticas se utilizan letras para representar los valores des-conocidos. Si en el problema anterior:¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221?se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarsemediante la siguiente igualdad:x + 110 = 221Esta igualdad es la misma que: + 110 = 221sólo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo
  • 24. 24Sugerencia didáctica. Si los alumnostienen dificultades para completarla ecuación, se les puede pedir quecompleten lo siguiente:x = 221 –x =Sugerencia didáctica. Si los alumnosmuestran facilidad para realizar estosejercicios, puede proponerles queverifiquen el valor de x sustituyéndoloen la ecuación: x + 110 = 221 111 + 110 = 221 221 = 221Sugerencia didáctica. Lea y comenteesta información con sus alumnos.Destaque las siguientes ideas:- Las igualdades que aparecieron enlas actividades anteriores teníansólo números, ahora se presentanigualdades en las que se utilizanletras para representar un datodesconocido (incógnita).- Estas igualdades se llaman“ecuaciones”.Puede pedirles que en su cuadernorespondan a la pregunta “¿Qué es unaecuación?”. Pida a algunos alumnosque lean sus respuestas y, a partirde ellas, usted puede ampliarlasincorporando otros términos que lasenriquezcan. Por ejemplo: “Es unaigualdad en la que hay una incógnitaque se representa con una letra”. “Esuna expresión algebraica en la quehay una incógnita”. Una vez que sehayan leído y comentado algunasrespuestas, los alumnos puedenhacer correcciones o ampliar lo queinicialmente habían escrito.Propósito del interactivo. Resolverecuaciones de primer grado utilizandolas propiedades de la igualdad.secuencia 1824a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x?Complétenla:221 −¿Cuánto vale x? x =b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en laigualdad:+ 110 = 221Comparen sus respuestas.A lo que llegamosLas igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas enlas que hay un valor desconocido o incógnita que generalmente serepresenta con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.V. En la ecuación m − 1 = 7, ¿cuál es el valor desconocido o incógnita? Subráyenlo:• 1• m• 7a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de m?b) ¿Cuánto vale m? m =c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron:− 1 = 7A lo que llegamosPara resolver la ecuación x + 110 = 221, en la que se está sumando,se puede hacer una resta: x = 221 – 110. La solución de esta ecuaciónes x = 111.Para resolver la ecuación m – 1 = 7, en la que se está restando,se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solución de esta ecuaciónes m = 8.Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas.Sugerencia didáctica. Aclare alos alumnos que, en general, puedeutilizarse cualquier letra pararepresentar un valor desconocido oincógnita (no siempre es la letra x ).Para el inciso c), comente que unacaracterística fundamental de todaigualdad es que lo que aparece dellado izquierdo del signo igual, debetener el mismo valor que lo que estáen el lado derecho, por lo que esimportante verificar que el valor quese le ha asignado a las incógnitas escorrecto.Sugerencia didáctica. Una formamás de ejemplificar esta información,es “Lo contrario de sumar, es restar: sia un número le sumo 5 y al resultadole resto 5, obtenemos el mismonúmero”. Puede preguntar a losalumnos lo siguiente:- Si en una adición se desconoce unsumando ¿qué operación se realizapara calcularlo?- Si en una sustracción se desconoceel minuendo ¿qué operación serealiza para calcularlo?
  • 25. 25Integrar al portafolios. Si identifica que losalumnos tienen dificultades para plantear lasecuaciones, repase con el grupo las actividadesIII y IV del apartado Manos a la obra y el II delapartado A lo que llegamos, con la finalidadde enfatizar cuáles son las operaciones quepermiten encontrar el número buscado una vezque se ha planteado la ecuación.Respuestas.a) x + 27 = 138x = 138 – 27x = 111b) x – 2.73 = 5.04x = 5.04 + 2.73x = 7.7725MATEMÁTICAS IVI. El comerciante quiere saber ahora cuántos kilogramos de naranja tenía al principio,si en esta ocasión vendió primero 13 kg de naranja, después vendió 11 kg y finalmen-te se quedó con 5 kg.a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema?• x – 13 – 11 + 5• x – 13 + 11 = 5• x – 24 = 5• x – 13 – 11 = 5b) Resuelvan la ecuación, ¿cuánto vale x? x =Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten:a) ¿Cuántos kilogramos de naranja tenía el comerciante al principio?b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, ¿por qué creen que la soluciónde estas dos ecuaciones es la misma?Comprueben su solución sustituyéndola en las dos ecuaciones:– 13 – 11 = 5 – 24 = 5Lo que aprendimos1. Un camión que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Reco-ge 21 más en otro pueblo, deja 56 en una tienda, después deja 34 en otra tien-da. Al acabar su recorrido se quedó con 15 de leche.a) En este problema hay 4 valores conocidos, ¿cuáles son?b) La ecuación x + 21 – 56 – 34 = 15 permite resolver el problema. Resuélvanla ensus cuadernos.c) ¿Cuántos litros tenía el camión al salir del establo?d) Comprueben si la solución que encontraron es correcta.2. Para los siguientes problemas plantea una ecuación y resuélvela.Hazlo en tu cuaderno.a) ¿Cuál es el número que al sumarle 27 da como resultado 138?b) ¿Cuál es el número que al restarle 2.73 da como resultado 5.04?Comprueba tus soluciones.Propósito de la actividad. A lacantidad inicial, que es la incógnitadel problema, se le aplican dosoperaciones sucesivas y se obtieneun resultado determinado. A partir deesas transformaciones y del resultado,que son los datos conocidos, debeobtenerse el valor de la incógnita.Respuesta. Las dos últimas ecuacionesrepresentan el problema.Sugerencia didáctica. Pida que pasenalgunos alumnos al pizarrón a resolvercada una de las ecuaciones elegidasy que identifiquen cuáles ecuacionesplantean el problema de maneraadecuada. Es importante destacar queen el caso de la primera expresiónalgebraica no se plantea ningunaigualdad, a diferencia de las otras tres.Sugerencia didáctica. Subraye elhecho de que con las dos últimasecuaciones se obtiene la mismasolución porque plantean el mismoproblema: restar primero 11 kg ydespués 13 kg, es lo mismo que restar24 kg en una sola operación.Posibles procedimientos. Puedenresolver el problema de distintasmaneras. Una de ellas es partirde los 15 con los que se quedó,e ir agregando los litros que fueentregando en cada tienda:15 + 34 + 56 = 105 Y después serestan los 2 que había recogido enotro pueblo:105 – 21 = 84 Otra forma es sumarlas cantidades de litros entregados(56 + 34 = 90), restarles los 21 que seagregaron en otro pueblo (esos litrosno salieron del primer establo):90 – 21 = 69, y sumar después los 15que sobraron: 69 + 15 = 84Sugerencia didáctica. Ayúdeles acomprender cómo fueron variandolas cantidades haciéndoles preguntascomo: ¿Sabemos con cuántos litrosde leche salió el camión del primerpueblo? ¿Qué pasó después, entregó orecibió más litros de leche? ¿A qué serefiere el número 21? ¿A qué se refiereel número 56?Posteriormente puede pedir a losalumnos que comenten por qué lasecuacionesx + 21 – 56 – 34 = 15yx – 69 = 15tienen la misma solución.
  • 26. 26Propósito de la sesión. Resolverproblemas que implican plantear yresolver ecuaciones algebraicas deltipo ax = b.Organización del grupo. Formeparejas para que trabajen de esamanera durante toda la sesión.Propósito de la actividad. Elproblema que ahora se plantea es detipo multiplicativo: implica a la divisióny a la multiplicación. Encontrar elresultado es relativamente sencillo,pues los alumnos pueden identificarrápidamente que el problema seresuelve con una división, y losnúmeros que se dividen son enteros ycon pocas cifras. La parte central de laactividad es que los alumnos traten deplantear –y resolver– una ecuación querepresente el problema; no importa sien este momento no logran hacerlo demanera correcta, lo importante es queexploren distintas posibilidades.Sugerencia didáctica. Es posibleque la mayoría de los alumnoshaya logrado encontrar el resultadodel problema mediante la división280 ÷ 8, pero que no todos hayanlogrado plantear la ecuación. Pida aestos alumnos que expliquen cómoresolvieron el problema, aunque nohayan podido plantear la ecuación;después pida a quienes sí lo hayanpodido hacer, que muestren al gruposus respuestas. Pregunte al grupo:¿Cómo podemos saber cuál es larespuesta correcta?Respuesta. 8y = 280. Esta ecuaciónrepresenta que en cada camión hay“y” niños; como hay 8 camiones, con8y se obtiene la cantidad total deniños, que es de 280.Respuesta. Para encontrar el valorde y se divide 280 ÷ 8.Propósito del interactivo. Resolverecuaciones de primer grado utilizandolas propiedades de la igualdad.Sugerencia didáctica. En caso de que algunas parejas hayanelegido ecuaciones que no corresponden con el problema, pidaque hagan la comprobación en el pizarrón. Los alumnos puedencomentar por qué esa ecuación no permite obtener el resultadocorrecto. Asimismo, es importante que se contraste con laecuación correcta y que se muestre su comprobación. Destaqueel hecho de que la ecuación plantea una multiplicación, y laoperación con la que se resuelve es una división:8y = 280y = 280 ÷ 8y = 35secuencia 1826eL PAseO esCOLARConsideremos lo siguientePara un paseo al que asistirán 280 niños se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobu-ses van a llevar el mismo número de niños. Se quiere saber cuántos niños debe llevarcada autobús.a) ¿Cuál es el valor desconocido en el problema? Subráyenlo.• El número de niños que asisten al paseo.• El número de autobuses que se rentan.• El número de niños que van en cada autobús.b) Usando la letra y escriban una ecuación que describa este problema:c) Encuentren el valor de yComparen sus ecuaciones y sus resultados.Manos a la obraEn esta actividad se usará algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y eslo mismo que 8 por y; el símbolo de la multiplicación aquí no se pone para no confun-dirlo con la letra x.i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subráyenla:• 280 y = 8• 280 + y = 8• y + 8 = 280• 8 y = 280a) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y?• 8 ÷ 280• 8 × 280• 280 – 8• 280 ÷ 8b) Usando la operación que señalaron encuentren el valor de y.y =c) Comprueben su solución sustituyendo el valor de y en la ecuación que escogieron.Háganlo en sus cuadernos.Comparen sus respuestas y comenten:¿Cuántos niños debe llevar cada autobús?sesión 2
  • 27. 272Sugerencia didáctica. Lea y comenteesta información con los alumnos.Puede pedirles que busquen en estamisma sesión otros ejemplos en losque la ecuación se resuelva medianteuna división o una multiplicación.La idea de que la multiplicación yla división son operaciones inversaspuede ejemplificarse de la siguientemanera: “Lo contrario de multiplicar esdividir: si un número lo multiplicamospor 6 y el resultado lo dividimos entre6, obtenemos el mismo número”. Yviceversa.Propósito de la actividad. Seespera que los alumnos establezcanrelaciones entre los distintosmomentos por los que han transitadoen estas dos sesiones para encontrarel valor de una incógnita: elplanteamiento verbal del problema, suexpresión algebraica y la resoluciónaritmética.Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, reproduzcala tabla en el pizarrón para quepuedan comparar sus respuestas.Pida a algunos alumnos que pasena completar la tabla. Es posible queaparezcan distintas formas correctasde expresar las ecuaciones, si no esasí, es conveniente que usted lasproponga, por ejemplo:En el segundo renglón, x ÷ 6 = 48 eslo mismo que y = 48.En el tercer renglón, m × 25 = 165es lo mismo que 25m = 165 (de hecho,esta última expresión es más adecuadaque la anterior, pues el signo demultiplicación podría confundirse conla literal x).En el cuarto renglón, la ecuaciónpuede ser:y ÷ 7 = 12.5 o u = 12.5Respuesta. Las ecuaciones quecorresponden al problema son lasegunda y la tercera.Posibles procedimientos. Algunosalumnos quizá resuelvan el problemasin plantear la ecuación, aun cuandola hayan identificado. Pueden sumar3 veces 4, o multiplicar 3 × 4, quees una forma correcta de resolver,pues para encontrar el valor de J esnecesario realizar la multiplicación3 × 4. Trate de identificar qué alumnossí recurren a la ecuación y quiénes no.Sugerencia didáctica. Pida a dosalumnos que resuelvan en el pizarrónlas ecuaciones que correspondenal problema, y que sustituyan laincógnita para hacer la comprobación.Pregunte a los alumnos por qué lasexpresiones J ÷ 3 = 4 y e = 4 danel mismo resultado. Aclare que si bienambas ecuaciones expresanuna división, en el lenguaje algebraicose utiliza más la raya ( e = 4) paraindicar una división y se usa poco elsigno de la división.27MATEMÁTICAS III. Se quiere conocer la edad de Julián y se sabe que la tercera parte de su edad es iguala la edad de Diego, que tiene 4 años.a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letraJ para representar a la edad de Julián.• J × 3 = 4• J ÷ 3 = 4• J ÷ 4 = 3• = 4b) ¿Cuántos años tiene Julián?c) En sus cuadernos, comprueben su solución sustituyendo el valor de J en la ecua-ción que escogieron.Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.a) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que corresponden a este problema?b) ¿Qué operación hicieron para encontrar la edad de Julián?c) ¿La edad de Julián que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego?III. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondien-tes y las operaciones con las que se pueden resolver. Complétenla.Problema EcuaciónOperación que se hacepara encontrar laincógnitaValor de la incógnita¿Cuál es el número que almultiplicarlo por 3 da 57?¿Cuál es el número que aldividirlo entre 6 da 48?x ÷ 6 = 48¿Cuál es el número que almultiplicarlo por____ da ____? m× 25 = 165 165 ÷ 25¿Cuál es el número que aldividirlo entre 7 da 12.5? 12.5 × ______ 87.5Comparen sus tablas.JA lo que llegamosEn la ecuación 2y = 16, el número 2 está multiplicando a la incógnita y. Para encontrar elvalor de y se puede hacer una división: 16 ÷ 2. La solución de la ecuación es y = 8.En la ecuación s ÷ 5 = 6, el número 5 está dividiendo a la incógnita s. Para encontrar elvalor de s se puede hacer una multiplicación: 6 × 5. La solución de la ecuación es s = 30.Se dice entonces que la multiplicación y la división son operaciones inversas.xyJJ
  • 28. 28Propósito del video. Observarel planteamiento y la solución deproblemas con un valor desconocido.Propósito de la actividad. Seconoce la medida del largo y lasuperficie total, la incógnita es lamedida del ancho. Pueden resolver elproblema dividiendo la superficieentre la medida del largo sin recurrira una ecuación. Lo relevante es quelogren plantear la ecuación y queencuentren el valor de la incógnitaresolviendo la ecuación.Sugerencia didáctica. Pida a uno odos de los alumnos que resuelvan enel pizarrón la ecuación que plantearony que hagan la comprobación.Respuesta.17y = 238y = 238 ÷ 17 (o también y = W q E u I )y = 14Propósito de la sesión. Resolverproblemas que implican plantear yresolver ecuaciones algebraicas deltipo ax + b = c.Organización del grupo.Se sugiereresolver todas las actividades enparejas, a excepción del apartado Loque aprendimos, que puede resolversede manera individual.Propósito de la actividad. Esteproblema implica dos transformacionessucesivas de la cantidad inicial:primero se multiplica y luego se resta.Posibles dificultades. Si algunosalumnos siguen utilizando el signode la multiplicación, usted puedesugerirles que lo cambien por laexpresión 3x para evitar confusiones.Podrían tener mayores dificultadespara resolver la ecuación en la que seaplican dos operaciones a la cantidadinicial: una multiplicación y una suma.¿Qué se resuelve primero? Permita quelos alumnos exploren la manera deencontrar el valor de laincógnita cuando la ecuación implicauna operación aditiva.Sugerencia didáctica. Mientras losalumnos resuelven, identifique doso tres procedimientos que puedanapoyar a los demás alumnos en elplanteamiento de la ecuación y en suresolución. Pida a esos alumnos quemuestren su solución a todoel grupo. En las actividadesdel siguiente apartado tendránoportunidad de encontrar una formacorrecta de plantear y resolver laecuación.Propósito de las actividades. Losalumnos podrán identificar los datosconocidos y la incógnita, así como lasrelaciones que se establecen entreellos; esto les permitirá identificarla ecuación que corresponde alplanteamiento del problema.Respuesta. La incógnita es elnúmero que pensó Juan, y laecuación correcta es 3x – 5 = 10secuencia 1828sesión 3Lo que aprendimosEl terreno y el ríoEl terreno rectangular que se muestra en la figura de la iz-quierda está atravesado por un río y no es posible medir suancho. ¿Cómo se puede calcular el ancho si se sabe que elterreno mide de largo 17 m y el área que ocupa es 238m2?a) Escriban una ecuación para resolver el problema anterior:b) Encuentren el valor de la incógnita.c) Comprueben el valor que encontraron para la incógnita.ResOLUCión De eCUACiOnes MiXTAsConsideremos lo siguienteJuan pensó un número. Lo multiplicó por 3 y a lo que le salió le restó 5. Al final obtuvo 10.a) Escriban una ecuación para encontrar el número que pensó Juan.Usen la letra x para representarlo.b) ¿Cuál es el número que pensó?Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten:¿Qué operaciones hicieron para resolver la ecuación?Manos a la obrai. ¿Cuál es la incógnita en el problema?• El resultado de multiplicar por 3.• El resultado que obtuvo Juan al final.• El número que pensó Juan.Juan hizo dos operaciones con el número que pensó.a) ¿Cuál fue la primera operación que hizo?b) ¿Cuál fue la segunda operación que hizo?17 mComparen sus respuestas y comenten:¿Cuánto mide el ancho del terreno?
  • 29. 29Sugerencia didáctica. Asegúrese deque los alumnos efectivamente haganla comprobación en sus cuadernos;para ello, deben sustituir la incógnitapor el valor que encontraron:20 ÷ 4 + 6 = 5 + 6 = 113Sugerencia didáctica. Anime a losalumnos para que argumenten por quéesa ecuación no resuelve el problema(una posible respuesta es que ni lasoperaciones ni los números coincidencon los del problema planteado). Si losargumentos no son suficientes, puedensustituir la incógnita por el valor queya encontraron, y ver si obtienen elmismo resultado.Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que argumenten por quéesa ecuación no corresponde con elproblema. Deben darse cuenta deque en esta ecuación los números nocorresponden con las operacionesrealizadas. Puede pedir quesustituyan x por el valor encontradoanteriormente, para ver si obtienen elmismo resultado que con la ecuacióncorrecta.Propósito de la actividad. Paraencontrar el valor de la incógnitadeben considerar que la operacióninversa de la resta es la suma; por lotanto, para saber cuál fue el númeroque obtuvo Juan al hacer la operación3x, es necesario sumar 5 al resultadofinal: 10 + 5 = 15Propósito de la actividad. Laoperación inversa de la multiplicaciónes la división, por lo tanto, tendríanque dividir 15 ÷ 3 para encontrar elvalor de x.Sugerencia didáctica. Puede pedir aun alumno que haga la comprobaciónen el pizarrón. Pida a los alumnos queregresen a la solución que dieron almismo problema al inicio de la sesión,para que comparen la ecuación y lasolución que dieron en ese momentocon lo que obtuvieron ahora. Pídalesque hagan las correcciones necesarias.Propósito de la actividad. Aligual que en la actividad anterior,se pretende que los alumnosidentifiquen que en la ecuación haydos operaciones, una multiplicativa(en este caso la división y ÷ 4) y otraaditiva (en este caso, la suma + 56), yque primero se resuelve la operaciónaditiva mediante la operación inversa:al resultado final se debe restar 6, quees lo que se había agregado.Respuesta. Pueden utilizary ÷ 4 + 6 = 11 o también r + 6 = 1129MATEMÁTICAS Ic) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el número que pensó Juan,¿cuál es?• 3x – 5x = 10• 3x + 10 = 5• 3x – 5 = 10Comparen sus ecuaciones y soluciones.Comenten: la ecuación 5 x – 3 = 10 no corresponde a este problema, ¿por qué?II. En la ecuación 3x – 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x,y después, al resultado se le resta 5.a) ¿Qué número creen que obtuvo Juan al hacer la operación: 3x?Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.b) En la ecuación 3x – 5 = 10, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encon-trar el valor de 3x?Completen:3x = 10 + =c) En la ecuación 3x = 15, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrarel valor de x?Completen:x = 15 ÷ =d) En sus cuadernos, comprueben el valor que encontraron para el número que pen-só Juan, sustituyéndolo en la ecuación.III. Ana pensó un número. Lo dividió entre 4 y después, a lo que le salió, le sumó 6. Alfinal obtuvo 11.a) ¿Cuál es la primera operación que hizo Ana?b) ¿Cuál es la segunda operación que hizo Ana?c) Escriban una ecuación para encontrar el número que Ana pensó. Usen la letra ypara representarlo.y ÷ 4 + =d) ¿Cuál es el valor de y?y =e) Comprueben la solución en sus cuadernos.Comparen sus ecuaciones y soluciones.Comenten: La ecuación y – (2 ÷ 8) no corresponde al problema, ¿por qué?Recuerden que:3x es lo mismo que3 por x. El símbolode la multiplicaciónno se pone para noconfundirlo con laletra x.y
  • 30. 30Propósito de la actividad. Laincógnita de la ecuación quecorresponde a este problema estádeterminada por dos operaciones.Se espera que, a partir de lo quetrabajaron en la actividad anterior,los alumnos puedan identificar laecuación que corresponde alproblema y resolverla.Respuesta. La segunda ecuación(2a + 1 = 7.2) y la cuarta(a × 2 + 1 = 7.2) permiten encontrarel valor de la altura.Respuesta. La segunda y la cuartaecuación son las correctas. Convieneque aclare a los alumnos que larespuesta óptima es la segundaecuación, pues en la cuarta se estáutilizando el signo × para indicar lamultiplicación, lo cual podría resultarconfuso. En caso de que haya alumnosque hayan elegido otras ecuaciones,puede pedirles que las resuelvan y quedespués hagan la comprobación,para que de esa manera se percatendel error.secuencia 1830A lo que llegamosiV. En el rectángulo de la figura 1 la medida de la base es igual al doble de la medida dela altura más 1 cm.Figura 1De las siguientes ecuaciones señalen las que sirven para encontrar la altura.• a × 2 + 7.2 = 1• 2a + 1 = 7.2• (a ÷ 2) + 1 = 7.2• a × 2 + 1 = 7.2Comparen las ecuaciones que escogieron y comenten:a) ¿Cuáles son las operaciones que se hacen en este problema?b) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que permiten resolver el problema?7.2 cmaPara resolver ecuaciones en las que se hacen dos operaciones con la incógnita, como5x + 1 = 21, hay que respetar el orden de las operaciones. Una manera de resolver estasecuaciones es la siguiente:Primero. Encontrar el valor de 5x:5x = 21 – 15x = 20Segundo. Encontrar el valor de x:x = 20 ÷ 5x = 4En la ecuación (y ÷ 6) – 8 = 4 se pone un paréntesis para indicar que primero se divideentre 6 y después se resta 8. Nuevamente se resuelve la ecuación respetando el ordende las operaciones:Primero. Se encuentra el valor de y ÷ 6:y ÷ 6 = 4 + 8y ÷ 6 = 12Segundo. Se encuentra el valor de y:y = 12 × 6y = 72
  • 31. 31Integrar al portafolios. Si identificadificultades para plantear la ecuación,pida a uno o dos alumnos que lo hayanhecho correctamente que la escribanen el pizarrón. Usted puede preguntar:¿Cuál es la incógnita? ¿Cómo fuecambiando el dinero que inicialmentetenía Eugenio? ¿Con cuánto dinerose quedó al final? ¿Cómo podemosplantear la igualdad?Si los alumnos tienen dificultades pararesolver la ecuación repase con ellosel apartado A lo que llegamos de lassesiones 2 y 3 de esta secuencia.Respuestas.3x – 150 = 300(3x – 150) ÷ 3 = 100Con el propósito de apoyar aaquellos alumnos que aún no hayancomprendido el problema, y pararevisar una forma más de resolverlosin plantear la ecuación, usted puedecomentar el siguiente procedimiento:Si repartió $100 a cada amigo quieredecir que a Eugenio le quedaban $300. Si gastó $150, entonces tenía$450 (considerando los $300); esafue la cantidad que retiró. Si esacantidad se obtuvo al triplicarse sudinero, entonces inicialmente habíadepositado $150.Propósito de la actividad. Seespera que los alumnos apliquen loaprendido en las sesiones anteriorespara resolver estos problemas. Unaparticularidad de los problemas queaquí se plantean, es que se hace usode números decimales.Sugerencia didáctica. Para cadauno de los siguientes problemassolicite a los alumnos que hagan lascomprobaciones en sus cuadernos.Recuérdeles también que pueden usarlas literales que quieran.Respuestas. w + 29 = 44. También(a ÷ 2) + 29 = 44. El número dealumnos es 30 (puede usar cualquierliteral).Respuestas.a) 2x – 3 = 15.82x = 18.8x = 9.4b) r + 23.5 = 117.7r = 94.2x = 376.8Respuestas.a) x = 3.3b) x = 112c) x = 21.2d) x = 6331MATEMÁTICAS IEncuentren el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.Lo que aprendimos1. La mitad del número de alumnos que hay en primer año más 29 es igual a 44.a) Escribe una ecuación para este problema:b) ¿Cuántos alumnos hay en primer año?2. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas. Puedes usar ecuaciones.a) Si pienso un número, lo multiplico por 2, a lo que me sale le resto 3 y al finalobtengo 15.8. ¿Cuál es el número que pensé?b) Si a la cuarta parte de un número le sumo 23.5 obtengo 117.7. ¿Cuál es elnúmero?3. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Escribe los procedimientos en tucuaderno.a) 3x + 0.1 = 10b) (x ÷ 2) + 44 = 100c) x + 23 − 15 = 29.2d) (x ÷ 3) + 25 = 464. Un reto. Resuelve el siguiente problema. Intenta hacerlo solo, pero si tienes dudas,puedes consultar a tu maestro o a otros compañeros.Eugenio abrió una cuenta en el banco con cierta cantidad inicial de dinero, pero norecuerda cuánto. Después de un tiempo esta cantidad inicial se triplicó. Eugenio re-tiró todo el dinero que tenía y gastó 150 pesos. El resto lo repartió entre tres amigos,de modo que a cada uno le tocaron 100 pesos. Ayúdale a Eugenio a recordar cuántodinero depositó en el banco.a) Escribe una ecuación que corresponda a este problema.b) Resuelve la ecuación en tu cuaderno.c) ¿Cuánto dinero depositó Eugenio en el banco?Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana,Libros del Rincón, 2003.Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Trad, Basilio Lozada. México: SEP/EditorialLimusa, Libros del Rincón, 2005.axxPropósito del interactivo. Resolverecuaciones mixtas de primergrado respetando el orden de lasoperaciones.
  • 32. 32secuencia 1932En esta secuencia construirás triángulos y cuadriláteros, y analizaráslas condiciones de existencia y unicidad.¿ExistE o no ExistE?Para empezarCuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones, a veces es po-sible hacerlo y a veces no. Por ejemplo, ¿crees que sea posible trazar un triángulo cuyoslados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; ¿por qué?Éste es el tipo de reflexiones que realizarás a lo largo de la secuencia. Es importante quehagas tus suposiciones o hipótesis y luego trates de comprobarlas.Consideremos lo siguienteRecorten popotes de las siguientes medidas.Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos de popotes que cor-taron. Completen la siguiente tabla, anoten cuando sea posible formar el triángulo.Medida de los popotespara formar el triángulo¿Es posible formar el triángulo?8 cm, 3 cm, 2 cm8 cm, 6 cm, 4 cm8 cm, 4 cm, 2 cm6 cm, 4 cm, 3 cm6 cm, 3 cm, 2 cmsEsión 1Existenciay unicidad8 cm6 cm2 cm 3 cm 4 cm 5 cmPropósitos de la secuenciaConstruir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de existencia y unicidadSesión Título y propósitos de la sesión Recursos1¿Existe o no existe?Identificar que no siempre es posible construir untriángulo dadas 3 medidas.Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidaspara que sea posible trazar un triángulo.Interactivo“Desigualdadtriangular”2¿Es uno o son muchos?Analizar y explorar casos sencillos de existencia yunicidad en la construcción de cuadriláteros.Video¿Es uno o sonmuchos?Aula de medios“Es uno o sonmuchos” (Geometríadinámica)EjeForma, espacio y medida.TemaFiguras geométricas.AntecedentesA diferencia de las construcciones geométri-cas que se realizan en la escuela primaria, eneste grado se espera que con base enprocedimientos específicos los alumnos logrenanticipar, probar y justificar los datos que sonnecesarios y suficientes para llevar a cabo unaconstrucción. Para ello se apoyarán enprocedimientos que ya conocen:- Trazos con regla y compás de triángulos ycuadriláteros.- Trazo de ángulos dada su medida.Propósito de la sesión. Identificar queno siempre es posible construir untriángulo dadas 3 medidas. Conocer lapropiedad que deben cumplir 3 medidaspara que sea posible trazar un triángulo.Materiales. Popotes o tiras de cartoncillo,tijeras, regla y compás.Organización del grupo. Se sugiere queel problema inicial se resuelva en equipos,y el apartado Manos a la obra, en parejas.Propósito de la actividad. Que losalumnos desarrollen su capacidad paracuestionarse acerca de dos hechos:1) ¿Tiene solución este problema? Esdecir, ¿existe la solución?2) Si existe la solución, ¿es única o sonvarias las soluciones correctas?Se espera que los alumnos se den cuentade que, dadas 3 medidas, no siempre esposible construir un triángulo cuyos ladostengan, precisamente, esas medidas. Esdecir, se trabaja en torno de la existenciao no existencia de la solución de unproblema.Posibles procedimientos. Tal vezalgunos alumnos no necesiten manipularlos popotes para completar la tabla; sies así, pídales que los usen después paracomprobar sus hipótesis; esto permitiráque los integrantes del equipo validen losresultados obtenidos.Respuesta. Sólo es posible formartriángulos con las medidas 8, 6 y 4 cm,y con las medidas 6, 4 y 3 cm.
  • 33. 3333MATEMÁTICAS Ia) ¿Siempre fue posible construir triángulos con las tres longitudes?b) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que creanque sí es posible construir un triángulo . , ,c) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que creanque no es posible construir un triángulo. , ,Comenten sus hallazgos y resultados con sus compañeros de grupo. Expliquen cuándocreen que dadas tres longitudes es posible construir un triángulo y cuándo no es posible.Manos a la obraI. Recuerden cómo se construye con regla y compás un triángulo si se conocen las me-didas de sus lados.Construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 4 cm y 3 cm.Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera de lasmedidas dadas, por ejemplo, 6 cm.Paso 2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dosmedidas y con centro en un extremo del segmento, setraza un arco.Paso 3. Se abre el compás a la tercera medida ycon centro en el otro extremo del segmento, setraza un arco que cruce al anterior.Paso 4. Se unen los extremos del segmento con elpunto donde se cortan los arcos y se obtiene el trián-gulo pedido.Respuestas.a) No.b) La medida que los alumnospropongan para cada uno de loslados debe ser menor que la sumade los otros dos lados. Podránanotar cualquiera de las siguientesopciones: (8, 6, 5); (8, 6, 4);(8, 6, 3); (8, 5, 4); (6, 5, 4);(6, 5, 3); (6, 5, 2); (6, 4, 3);(5, 4, 3); (5, 4, 2); (4, 3, 2).c) Debe haber un lado que sea mayoro igual que la suma de los otrosdos. El alumno podrá contestarcualquiera de las siguientesopciones: (8, 6, 2); (8, 5, 3);(8, 5, 2); (8, 4, 3); (8, 4, 2);(8, 3, 2); (6, 4, 2); (6, 3, 2);(5, 3, 2).Sugerencia didáctica. Recomiendea los alumnos que para verificarrápidamente si las medidas propuestaspermiten formar un triángulo, sumenlas medidas de los lados menores. Esasuma debe ser mayor que la longituddel lado más grande.Cuando se comparen las respuestasde los incisos b) y c) invite a losalumnos a que las verifiquen usandolos popotes. Pregunte también cómopodrían saber si se puede o no formarel triángulo, pero sin usar los popotes.Esto tiene el propósito de que analicenlas ternas de números y traten deencontrar la relación entre ellospara determinar la existencia o noexistencia del triángulo.Sugerencia didáctica. Aunquelos alumnos estudiaron el trazo detriángulos en la primaria es probableque ya no lo recuerden, por ellocerciórese de que las parejas sigan demanera correcta los pasos enunciados.Permita que sean ellos quienesinterpreten las instrucciones; si notaque tienen dificultades, trate deauxiliarlos.
  • 34. 34Propósito de la actividad. Conlos incisos c), d) y e) se promueveque los alumnos identifiquen quedadas dos magnitudes para loslados de un triángulo, éste no quedacompletamente definido, lo que dalugar a varias respuestas.Respuestas.a) y b) El triángulo con las medidas 6,3 y 2 cm es imposible de trazar.c) El tercer lado puede medir 8, 7, 6,5 o 4 cm, aunque también puedetener una medida no entera, como6.5, 7.5 cm; es probable que losalumnos no consideren estassoluciones, pero si alguno lo haceserá interesante comentarla en elgrupo.d) Si la tercera medida es un númeroentero, entonces hay 5soluciones: 8, 7, 6, 0 y 4.e) El triángulo que los alumnostracen deberá cumplir con lacondición de las medidas que sedan. El tercer lado deberá medirmás de 3 cm y menos de 9 cm.Propósito del interactivo. Explorarcómo deben ser las medidas de loslados de un triángulo para podertrazarlo.Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, observe quémedidas son las que propusieron,de tal manera que usted puedaidentificar si los alumnos hanelaborado ya alguna hipótesisrespecto de las condiciones para quesea posible el trazo de un triángulo.Asegúrese de que los alumnosefectivamente construyan el triánguloen sus cuadernos para que puedanverificar sus respuestas.Sugerencia didáctica. Es importanteque para completar esta tabla yano hagan uso de los popotes ni delos trazos, sino que atiendan a lasrelaciones entre los lados con el fin deque pongan en juego las conjeturasque fueron construyendo a lo largo delas actividades anteriores. En la puestaen común tendrán oportunidad devalidar sus respuestas.Respuestas. Sólo es posible trazar untriángulo con las siguientes medidas:8, 9 y 2 cm, y 2.5, 3 y 1.5 cm. En elcaso del primer renglón de la tabla,es la primera vez que se presenta uncaso en el que la suma de dos ladoses igual a la del lado mayor. Pida a losalumnos que comenten por qué no esposible trazar este triángulo.secuencia 1934ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno triángulos cuyoslados midana) 8 cm, 9 cm, 7 cm.b) 9 cm, 5 cm, 6 cm.c) 6 cm, 3 cm, 2 cm.iii. Respondan las preguntas:a) ¿Pudieron trazar los tres triángulos?b) ¿Cuál fue imposible trazar?c) Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitudpara el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo.d) Tracen en su cuaderno triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cmy el tercer lado tenga la longitud que ustedes indiquen.e) Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero,¿cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y3cm?iV. Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazarun triángulo.a) ¿Cuáles son esas medidas?b) Tracen el triángulo en su cuaderno y verifiquen su hipótesis; si no se puede trazar,intenten con otras medidas.V. Sin hacer trazos, anoten a los triángulos que sí pueden trazarse.Medida de los lados ¿Existe el triángulo?10 cm, 5 cm, 5 cm8 cm, 9 cm, 2 cm1 cm, 0.5 cm, 2 cm2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm4 cm, 3 cm, 9 cmComenten sus respuestas con sus compañeros de grupo, traten de concluir qué condi-ción deben cumplir las tres medidas de los lados de un triángulo.
  • 35. 35Sugerencia didáctica. De manerabreve, haga un recordatorio sobrelo que es un cuadrilátero, solicitandoa los alumnos que mencionen lascaracterísticas principales de loscuadriláteros que aquí se muestran yde otros que conozcan.2Sugerencia didáctica.Además de leer la información, puedenreproducirla con sus propias palabrasde manera verbal o por escrito ensus cuadernos; también pueden darejemplos diferentes a los mostradoso localizar en el mismo libro algunaactividad que la identifique.Integrar al portafolios. Solicite alos alumnos que realicen el siguienteejercicio:a) Proponer unas medidas, distintas alas que se han dado anteriormente,con las cuales sea imposibleconstruir un triángulo. Escribir porqué no es posible construirlo.b) Proponer unas medidas (distintas alas de los ejercicios anteriores) conlas cuales sí sea posible construirun triángulo. Trazar el triángulo.Si los alumnos muestran dificultadespara establecer cuáles son lascondiciones para que esta figuraexista, revise nuevamente con ellosla información del apartado A lo quellegamos.Propósito de la sesión. Analizar yexplorar casos sencillos de existenciay unicidad en la construcción decuadriláteros.Organización del grupo. Se sugieretrabajar en equipos durante todala sesión, incluyendo momentos deintercambio con todo el grupo.Materiales.- Popotes o tiras de cartoncillocortados en las medidas que seindican.- Tachuelas o hilo y aguja.- Regla, compás, escuadras ytransportador.35MATEMÁTICAS I¿Es UnO O sOn MUCHOs?Para empezarEn la lección anterior te diste cuenta de que a veces es posible trazar triángulos con cier-tas medidas, y a veces no. En esta lección explorarás los cuadriláteros, ¿los recuerdas?Son figuras de cuatro lados.Se analizará si, dadas ciertas condiciones, es posible trazar uno o muchos cuadriláteros.Para que el triángulo exista, cada uno delos lados debe ser menor que la suma delos otros dos.Por ejemplo, sí existe un triángulo cuyoslados midan 7 cm, 4 cm y 5 cm, porque:7 es menor que 4 + 5.4 es menor que 7 + 5.5 es menor que 7 + 4.sEsión 2cuadradorectángulotrapecioromboromboideA lo que llegamosNo siempre es posible construir un trián-gulo cuando se dan tres medidas de loslados, por ejemplo, no existe un triángulocuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 2 cm.
  • 36. 36Sugerencia didáctica. Lamanipulación con material concretoes de gran ayuda para ciertosaprendizajes matemáticos. En estecaso, el uso del material que sesugiere ayudará a que los alumnos seden cuenta de que existen rombosque son diferentes aunque sus ladosmidan lo mismo. Notarán que lamedida de los popotes no varía, perola medida de los ángulos que formansí. Asegúrese de que se cuente coneste material de manera oportunay que los alumnos efectivamente loempleen para realizar las actividadesque se indican.Sugerencia didáctica.Para el inciso a) es necesario quelos alumnos se cercioren de que,efectivamente, su figura es uncuadrado; para ello pueden usar elángulo recto de una hoja, de unaescuadra o el transportador.Para el inciso b) pueden usar elángulo de 60º de la escuadra o eltransportador.Respecto del inciso d), al jalar losvértices se forman rombos diferentes,debido a que cambia la medida de losángulos.secuencia 1936Consideremos lo siguienteRecorten 4 popotes de 6 cm y armen con ellos un rombo; unan los popotes cosiéndoloscon hilo o poniéndoles una tachuela.Observen que el rombo va cambiando al jalar dos de sus vértices opuestos.a) Cambien el rombo hasta formar un cuadrado.b) Cambien el rombo hasta que formen otro cuyos ángulos midan 120°y 60°.c) Cada vez que jalan los vértices ¿se forma un rombo diferente al an-terior?d) ¿Qué es lo que varía en estos rombos?e) Si se te pide que traces un rombo cuyos lados midan 6 cm, ¿hay unasolución o varias? . ¿Por qué?Comenten y comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En particular, men-cionen:• ¿Cuántos rombos diferentes que midan 6 cm de lado pueden trazar?• ¿Qué otro dato es necesario dar para que los rombos que se tracen sean todos igualesen forma y tamaño?6 cm
  • 37. 37Sugerencia didáctica. En lasactividades 1 y 2 es posible que losalumnos piensen que para hacer eltrazo necesitan un dato más (la alturao la base, respectivamente). Mientraslos equipos resuelven, hágales ver quelo que deben trazar es un rectánguloque cumpla con la condición pediday que con ello están resolviendo elproblema planteado; se espera quelos alumnos se den cuenta de que sepueden trazar muchos rectángulosdiferentes, construyendo gradualmentela idea de que para trazar unrectángulo y para que éste quededefinido, se requiere, en este caso,saber tanto la medida de la basecomo de la altura (esto podrán verloen el ejercicio 3).37MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Tracen lo que se pide:1. Un rectángulo cuya base sea el siguiente segmento:¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar?2. Un rectángulo cuya altura sea el siguiente segmento:¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar?3. Un rectángulo cuya base y altura sean los siguientes segmentos:a) ¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar en la actividad 3?b) ¿Cuántas medidas del rectángulo deben darse para que sólo pueda trazarse unrectángulo?
  • 38. 38secuencia 19ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuyabase mida 8 cm y su altura 5 cm.Comparen sus romboides.a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?b) ¿Son iguales todos los romboides que trazaron?c) ¿En qué varían?d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cmde altura?e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas carac-terísticas?f) Tracen un romboide cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ángulo de 45°.g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características?iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las ca-racterísticas que se piden en cada caso.Características ¿Existe uno o varios o no existe?Un rombo cuyo lado mida 9 cmUn cuadrado cuyo lado mida 6 cmUn cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm,5 cm, 2 cm y 1 cmUn romboide cuya base mida 6 cm y unode sus ángulos 130°Un rombo que tenga dos ángulos opuestosque midan 40° y los otros dos 140°Un trapecio isósceles cuya base mayor mida6 cm y la base menor 4 cmUn cuadrado cuya diagonal mida 10 cmComparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumentensus respuestas.Propósito de la actividad. Losalumnos deberán percatarse deque existen ciertas condicionesque dan lugar al trazo de figurasdiferentes, y que existen condicionesque permiten determinar a unafigura de manera única. En el casodel romboide que se sugiere, losalumnos identificarán que la basey la altura no son datos suficientespara determinarlo, pero que si seda el valor de un ángulo interior,entonces es posible determinarlo demanera única.Sugerencia didáctica. En laconfrontación de resultados procureque los alumnos distingan un casodel otro y que hagan explícitascuáles son las condiciones para cadauno de ellos.Propósito de la actividad. Todoslos casos propuestos en la tablapermitirán a los alumnos establecerhipótesis y conjeturas acerca de laexistencia y unicidad de las figuras,dadas ciertas condiciones, al mismotiempo que tendrán que explorarposibles soluciones y validar odesechar sus hipótesis iniciales.3En el caso del cuadrilátero del tercerrenglón, si el tiempo se lo permite,invite a los alumnos a construirloy a que argumenten por qué no esposible hacerlo. La razón es que lasuma de las longitudes de lostres lados más pequeños es menorque la longitud del lado más grande.Durante la puesta en común, invitea los alumnos a que ellos mismosse hagan cargo de la validacióny defiendan sus respuestas, oque reconozcan cuando algúncompañero les demuestre que estánequivocados. Estas habilidades yactitudes son tan importantes comoel contenido que se pretende queellos construyan.secuencia 1938ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuyabase mida 8 cm y su altura 5 cm.Comparen sus romboides.a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?b) ¿Son iguales todos los romboides que trazaron?c) ¿En qué varían?d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cmde altura?e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas carac-terísticas?f) Tracen un romboide cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ángulo de 45°.g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características?iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las ca-racterísticas que se piden en cada caso.Características ¿Existe uno o varios o no existe?Un rombo cuyo lado mida 9 cmUn cuadrado cuyo lado mida 6 cmUn cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm,5 cm, 2 cm y 1 cmUn romboide cuya base mida 6 cm y unode sus ángulos 130°Un rombo que tenga dos ángulos opuestosque midan 40° y los otros dos 140°Un trapecio isósceles cuya base mayor mida6 cm y la base menor 4 cmUn cuadrado cuya diagonal mida 10 cmComparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumentensus respuestas.Varios(pueden variar los ángulos)Uno(la medida de los ángulos es de 90°)No existe(la medida del lado mayor no debe exceder lasuma de los otros 3)Varios(el otro lado puede tener cualquier longitud)Varios(puede variar la medida de los lados)Varios(puede variar la altura)Uno(es un cuadrado de lado raíz cuadrada de 50)
  • 39. 39Propósito del video. Plantear ysolucionar algunos problemas detrazo de triángulos y cuadriláteroscon solución única o varias solucionesdiferentes.Sugerencia didáctica. Para cerrarla sesión, además de comentar loenunciado puede invitar a losalumnos a que ilustren casos en quelas condiciones pedidas no puedencumplirse para trazar un cuadrilátero,casos en que se cumplen pero hayvarias soluciones posibles y casos enque el cuadrilátero queda determinadode manera única.Integrar al portafolios. Solicite alos alumnos que realicen el siguienteejercicio:a) Proponer las medidas para trazarun cuadrilátero (el que cadaalumno elija), de tal maneraque sea posible trazar varioscuadriláteros de distinto tamaño yforma. Trazar dos cuadriláteros.b) Proponer las medidas para trazarel cuadrilátero que eligieronanteriormente, de tal manera quetodos los cuadriláteros que setracen con esas medidas sean delmismo tamaño y forma. Trazar uncuadrilátero.Si los alumnos muestran dificultadespara establecer cuáles son lascaracterísticas que cumplen conlas condiciones anteriores, revisenuevamente con ellos las actividadesI y II del apartado Manos a la obray la información del apartado A lo quellegamos.39MATEMÁTICAS IA lo que llegamosSi se pide que se trace un trapecio isósceles cuya base mayor mida3 cm y su base menor mida 2 cm, puedes observar que existen variassoluciones. Cada trapecio tiene diferente altura, pero cumple con lasmedidas de las bases.En cambio, si se pide un trapecio isósceles cuya base mayor mida5 cm, la base menor 4 cm y la altura 2 cm, todos los trapecios isósce-les que se tracen con estas características serán iguales en forma ytamaño.¿Es uno o son muchos?Ahora ya sabes que cuando se dan ciertas condiciones para hacer trazos geométricos, esprobable que la figura con esas condiciones no pueda trazarse o, en caso de que sí puedatrazarse, es probable que tenga varias respuestas correctas o sólo una.Para saber másSobre las propiedades de los triángulos y cuadriláteros consulten:http://matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trianprop[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].
  • 40. 40secuencia 2040En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular elperímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios, y establece-rás relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el áreade cada una de estas figuras. También realizarás conversiones demedidas de superficie.Problemas de aPlicaciónPara empezarTanto en la primaria como en las secuencias 4 y 14 has estudiado, conocido y justificadoalgunas fórmulas para calcular perímetros y áreas. Ahora se trata de que apliques estosconocimientos a la resolución de problemas. ¿Listo?Lo que aprendimos1. Para cada polígono regular midan lo que sea necesario y calculen su área. Uno deustedes utilice el método de sumar las áreas de los triángulos, y el otro la fórmuladel área.sesión 1Áreas y perímetrosPropósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides ytrapecios y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área decada una de estas figuras. Realizar conversiones de medidas de superficie.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Problemas de aplicaciónAplicar conocimientos sobre el cálculo de áreas yperímetros en la resolución de problemas.2Relaciones importantesResolver problemas de áreas en los que se debeplantear una ecuación o identificar relaciones devariación proporcional.3Medidas de superficieResolver problemas que implican conversiones deunidades de superficie.VideoMedidas desuperficieEjeForma, espacio y medida.TemaMedida.AntecedentesDesde primer grado de primaria los alumnoshan tenido contacto con las magnitudes deárea y longitud. Se espera que en este gradolos alumnos ya sepan calcular áreas utilizandodiferentes procedimientos; particularmenteen la secuencia 14 tuvieron la oportunidad dejustificar algunas fórmulas para calcular áreasy perímetros.En esta ocasión continuarán resolviendoproblemas de cálculo de áreas vinculando eseconocimiento con otros, por ejemplo, con lasecuaciones y con las situaciones de variaciónproporcional.Propósito de la sesión. Aplicarconocimientos sobre el cálculo de áreas yperímetros en la resolución de problemas.Organización del grupo. Se recomiendaque los alumnos resuelvan todos losproblemas organizados en parejas y queal final se comparen los resultados. Si loconsidera conveniente, pueden resolver unproblema e inmediatamente comparar losresultados.Materiales. Instrumentos geométricos ycalculadora.Propósito de la actividad. Que losalumnos decidan qué medidas debentomar para calcular el área de una figuradeterminada.Posibles dificultades. Es probable queno puedan hacer mediciones exactas y, porlo tanto, que los resultados sean distintos.Proponga que utilicen aproximaciones.Esta es una oportunidad para reflexionarsobre la dificultad de obtener medidasexactas, así como sobre la necesidadde establecer un margen de erroraceptable.Sugerencia didáctica. Pueden revisarla secuencia 14 con el fin de recordarla fórmula para calcular el área de unpolígono regular.Es importante que los alumnos decidanqué es lo que tienen que medir paracalcular el área de cierta figura, si ustedles da todos los datos para que sólo haganlas operaciones, la situación se reduce acálculos aritméticos.Mientras resuelven, identifiquedificultades que usted pueda retomar en lacomparación de resultados. Por ejemplo,en los alumnos que apliquen la fórmulausted puede observar cómo determinan lamedida del apotema.
  • 41. 4141MATEMÁTICAS I2. De los siguientes triángulos, elijan el lado que quieran como base y tracen la alturacorrespondiente. Tomen las medidas necesarias y calculen el área y el perímetro.Área ÁreaPerímetro PerímetroEn sus cuadernos tracen un triángulo que tenga la misma área que el primer triángulode este ejercicio.3. ¿Cuál es el área del siguiente terreno de forma irregular? Tomen las medidas necesa-rias y consideren que la escala es 1:200.Recuerden que:En el siguientetriángulo se hatrazado una de susalturas.La altura es perpen-dicular al lado quese elige como base ypasa por el vérticeopuesto a ese lado.Posibles procedimientos. Esteproblema es de mayor complejidadque los anteriores no sólo porquese trata de una figura irregular y losalumnos tendrán que decidir cómohacer particiones, sino también porquees una figura hecha a escala.Una forma de resolverlo es dividirel terreno en figuras conocidas,(pueden ser triángulos, rectángulos yromboides), calcular el área de cadauna de ellas considerando desde uninicio la escala (1 cm en el dibujoequivale a 200 cm) y después sumarlas áreas para obtener el área total.Si los alumnos no consideran la escaladesde un inicio, pueden obtener elárea del dibujo y aplicar después laescala, aunque esto es más complejo:el área obtenida en el dibujo esaproximadamente de 24 cm2, y1 cm en el dibujo equivale a 200 cm,entonces 1 cm2equivale a 40 000 cm2.El área es de 96 000 cm2.Seguramente las diferencias en lasmedidas serán más notorias en estecaso, pero siempre dentro de unmargen de error en el que los alumnostendrán que decidir si tales diferenciasse deben a las imprecisiones al medir oa un cálculo erróneo.Sugerencia didáctica. Un aspectoque es interesante observar en losprocedimientos de los alumnos escómo determinan la altura de cadauno de los triángulos; particularmentepara el caso del segundo triángulo,si eligen como base el lado de menorlongitud necesitarán prolongar estelado para poder trazar la perpendicularque va al vértice opuesto. Sinembargo, es probable que pocosalumnos hagan esto, por lo que ustedpuede aprovechar la comparaciónde resultados para plantear estasituación.También es pertinente que los alumnosreflexionen en torno de que auncuando se hayan considerado distintasalturas en cada uno de los triángulos,el área debe ser la misma.Sugerencia didáctica. Puede dejareste ejercicio como tarea. Los alumnostienen dos posibilidades para trazarun triángulo distinto pero con lamisma área que el de la lección:pueden utilizar las mismas medidasde la base y la altura, pero deben“mover” la altura (que pase por lamitad de la base, por ejemplo) paraque el triángulo resulte distinto al dela lección. Otra forma es variar lasmedidas de la base y de la alturade tal manera que obtengan lamisma área.
  • 42. 42Sugerencia didáctica. Si losalumnos no recuerdan la fórmula,recomiéndeles que consulten lasecuencia 14.Respuesta. La fórmula es A =D × d,y el resultado es 1 750 cm2. 2Integrar al portafolios. El retoque tienen los alumnos con esteproblema es que aun cuando se danlas medidas, deberán decidir cuálesde ellas deben tomar en cuenta paracalcular lo que se cobrará en cadacaso (el costo de los cimientos, de loscastillos y del tabique). Tal vez lasdificultades que se presenten tenganque ver precisamente con no poderdecidir qué medidas considerar, porello es importante que durante lacomparación de resultados dediquemayor tiempo para analizar cuáles sonla medidas que los alumnos debentomar en cuenta y por qué.Respuestas.- Costo de los cimientos: se requierecalcular el perímetro del terreno,que es de 36 m, y se multiplica porel costo de cada metro:36 × 200 = $7 200.- Costo de los castillos: son 9castillos y cada castillo tiene 3 mde altura, es decir que son 27metros en total. 27 × 80 = $2 160.- Costo de la barda: quitando elhueco para el zaguán, la bardatiene un perímetro de 33 m.Considerando los 3 m de altura:33 m × 3 m de altura son 99 m2debarda: 99 × 50 = $4 950.- El costo total de la mano de obraes de $14 310.secuencia 20424. Alejandro va a hacer un papalote en forma de rombo, quiere que las diagonales mi-dan 50 cm y 70 cm. ¿Qué superficie estará en contacto con el viento?5. Se va a construir la barda de un terreno con las siguientes medidas:3 m(hueco para elzaguán)10 m8 mLos cimientos y loscastillos le danfuerza a la bardapara que puedasostener el techo yotros pisos.Los albañiles cobran lo siguiente:Metro de cimientos $200Metro de castillos $80Metro cuadrado de tabique $50• La barda será de una altura de 3 m.• Cada punto negro indica el lugar donde se pondrá un castillo.• El tabique se cobra parejo, sin descontar el espacio que ocupan los castillos.• Los cimientos van alrededor de todo el terreno, incluso en la parte del zaguán.a) ¿Cuánto se pagará de mano de obra a los albañiles?CastilloCimientos
  • 43. 43Respuesta. Considerando que laservilleta tiene 4 lados iguales y el totaldel perímetro es de 1.60 m, una formade plantear y resolver la ecuación es lasiguiente:4x = 1.60x = 1.60 ÷ 4x = 0.40La servilleta mide 40 cm por lado.Respuesta. El área del rectángulo seobtiene multiplicando largo por ancho.Una forma de plantear y resolver laecuación es la siguiente:1.5x = 40x = 40 ÷ 1.5x = 26.6666666…Si se redondea la cantidad, el largo de latela es de 26.67 cmSugerencia didáctica. Para hacer máságil el momento de la confrontación,centre la atención en la medición y en losprocedimientos para calcular el área y elperímetro de cada una de las figuras, noen los cálculos. Es decir, si se tienen quehacer cálculos pida sólo los resultados alequipo, o bien, pida a alguien que traigacalculadora, verifique los cálculos; recuerdeque el propósito de esta secuencia no esejercitar las operaciones.Propósito de la sesión. Resolverproblemas de áreas en los que se debeplantear una ecuación o identificarrelaciones de variación proporcional.Organización del grupo. Se sugiere quelos alumnos resuelvan en equipo todas lasactividades de la sesión.Propósito de las actividades. Que losalumnos recurran a otros conocimientosque tienen vínculos con el cálculo de áreasy perímetros; en los primeros 4 problemasponen en juego el planteamiento yla resolución de ecuaciones, y en lossiguientes problemas se explora la nociónde variación proporcional vinculándola conproblemas de áreas y perímetros.Sugerencia didáctica. Comente a losalumnos que los primeros 4 problemaspueden resolverse por medio de lasecuaciones que ya estudiaron en lasecuencia 18, mencione que hay otrasformas de resolverlos pero que en estemomento se trata de que apliquenel planteamiento y la resolución deecuaciones. Invítelos a que verifiquen cadauna de las ecuaciones que resuelvan.En un primer momento permita que losalumnos determinen cuál es la incógnitaen cada problema. Si nota que algúnequipo tiene dificultades, apóyelos con lassiguientes preguntas:- ¿Qué les piden?- ¿Qué datos tienen?- ¿Cómo se relacionan los datos?- ¿Conocen alguna fórmula que relacionelos datos?- De la fórmula que conocen, ¿cuálesdatos tienen y cuál o cuáles les faltan?- ¿Cómo pueden calcular los datos quefaltan?43MATEMÁTICAS IComparen todos los procedimientos y resultados con los de otras parejas y, además, co-menten:a) La dificultad de tomar medidas exactas en algunos de los ejercicios anteriores y lamanera en que esto se refleja en resultados diferentes, aunque muy cercanos.b) La manera en que se trazan y miden las alturas de los triángulos.relaciones imPortantesPara empezarEn sesiones anteriores aprendiste a resolver ecuaciones, recuerda que el dato descono-cido se llama incógnita y que puede representarse con una letra. En varias secuenciashas estudiado la proporcionalidad y has elaborado tablas de proporcionalidad. Ahora teinvitamos a que apliques tus conocimientos de ecuaciones y proporcionalidad para re-solver problemas relacionados con el perímetro y el área de figuras.Lo que aprendimos1. Para cada problema deben plantear la ecuación correspondiente y resolverla.a) Doña Lupita usó 1.60 m de listón que colocó alrededor de una servilleta cuadradapara las tortillas. ¿Cuánto mide de lado la servilleta?Resultado:b) ¿Cuánto mide de largo un corte de tela rectangular de ancho 1.5 m y de 40 m2desuperficie?Resultado:sesión 2
  • 44. 44secuencia 2044c) Un rectángulo de 28 cm de perímetro mide de ancho 6 cm menos que su largo.¿Cuál es su área?Resultado:d) Escriban y resuelvan la ecuación que permite calcular el valor de x, sabiendo queel área total de la figura es 45 cm2.2. En cada caso completen la tabla y determinen si se trata de una relación de propor-cionalidad directa y justifiquen por qué.a) Perímetro de un cuadrado.Lado del cuadrado (cm) Perímetro1234¿Es una tabla de variación proporcional?¿Por qué?6 cm x6 cmEcuación:Respuesta. Para calcular el área delrectángulo se necesita encontrar primero lamedida del ancho. Una forma de resolver es lasiguiente:El largo mide x.El ancho mide x – 6.El perímetro es de 28 cm.El perímetro se calcula de la siguiente manera:2 veces el largo + 2 veces el ancho; unamanera de plantear y resolver la ecuación es:2x + 2 (x – 6) = 282x + 2x – 12 = 284x – 12 = 284x = 28 + 124x = 40x = 40 ÷ 4x = 10El largo mide 10 cm y el ancho mide 4 cm.El área es de 40 cm2.Integrar al portafolios. Las siguientes sonalgunas formas de resolver el problema:a) Calcular primero el área del cuadrado rojo(6 cm × 6 cm = 36 cm2); si el área total esde 45 cm2, entonces el rectángulo azul tieneun área de 9 cm2. Como el áreadel rectángulo azul es 6x, entonces: 6x = 9 x = 9 ÷ 6 x = 1.5 cmb) Calcular el área roja y sumarle el área azul: 36 + 6x = 45 6x = 45 – 36 6x = 9 x = 0.25 ÷ 6 x = 1.5 cmSi identifica que los alumnos tienen dificultadespara plantear la ecuación, presénteles las 2formas anteriores de resolver el problema.- Si la medida del lado aumenta el triple,¿la medida del perímetro también aumentael triple?- ¿Por qué número se multiplica el lado delcuadrado que mide 1 cm para obtener elperímetro?- ¿Se multiplica por el mismo número entodos los casos para obtener la medida delperímetro? (ese número es la constante deproporcionalidad).- Si se divide el perímetro entre la medida dellado, ¿se obtiene siempre el mismo cocienteen cada uno de los renglones?Si la respuesta es afirmativa en cada una de laspreguntas, entonces se trata de una relación deproporcionalidad directa:1. Cuando crece una de las magnitudes, crecela otra.2. Si una magnitud crece el doble, el triple,etc., la otra también.3. A la suma de valores de una magnitud lecorresponde la suma de valores de la otramagnitud, y a diferencias iguales en unamagnitud corresponden diferencias igualesen la otra magnitud.4. El cociente entre las cantidades de unmismo renglón es siempre el mismo.Sugerencia didáctica. Los alumnos hantenido varias experiencias con problemasde proporcionalidad en distintos contextos,ahora se trata de que vinculen esa experienciacon problemas de área y perímetros. Unavez que hayan resuelto la primera tabla,usted puede hacer un breve recordatoriosobre las características de una relación deproporcionalidad directa, apoyándose en lassiguientes preguntas:- Si aumenta la medida del lado ¿aumentatambién el perímetro?- Si la medida del lado aumenta el doble,¿la medida del perímetro también aumentael doble?
  • 45. 45Respuesta. Sí es una relación deproporcionalidad. La constante deproporcionalidad es 4 porque todaslas medidas de la primera columnase multiplican por 4 para obtener lasmedidas de la segunda columna.Respuesta. Sí es una relación deproporcionalidad. La constante deproporcionalidad es 4 porque todaslas medidas de la primera columnase multiplican por 4 para obtener lasmedidas de la segunda columna.Respuesta. Sí es una relación deproporcionalidad. La constante deproporcionalidad está compuesta pordos operaciones: multiplicar por 3 ydividir entre 2, que es lo mismo quemultiplicar por wE o por 1.5. Todaslas medidas de la primera columnase multiplican por wE o por 1.5 paraobtener las medidas de la segunda,columna.45MATEMÁTICAS IEn caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?b) Un rectángulo mantiene una base fija de 4 cm y su altura varía.Medida de la altura (cm) Área2345¿Es una situación proporcional?¿Por qué?En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?c) Un rombo mantiene la diagonal menor fija de 3 cm y la mayor varía.Diagonal mayor (cm) Área4579¿Es una situación proporcional?¿Por qué?En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
  • 46. 46Respuesta. No es una situación deproporcionalidad, por lo tanto no hayconstante de proporcionalidad: cadamedida de la primera columna semultiplica por un número distinto paraobtener las medidas de la segundacolumna.Propósito de la sesión. Resolverproblemas que implican conversionesde unidades de superficie.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos resuelvan la sesiónorganizados en parejas.secuencia 2046d) Área de un cuadrado.Lado (cm) Área2345¿Es una situación proporcional?¿Por qué?En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?Comenten sus conclusiones; recuerden que en los casos anteriores deben justificar si sono no proporcionales.Medidas de suPerficiePara empezar¿Sabías que el estado más grande de la República Mexicana es Chihuahua? ¿Cuál creesque es su área?a) 245 962 m2.b) 245 962 cm2.c) 245 962 km2.sesión 3
  • 47. 47Propósito de la actividad. Para quelos alumnos logren construir la idea deque 1 cm2no equivale a10 mm2sino a 100 mm2, así como1 dm2equivale a 100 cm2o a10 000 mm2, es importante quecuenten con un referente concreto ográfico en el que puedan visualizarestas equivalencias. Por ello se lespresentan los dibujos de 1 cm2yde 1 dm2, y se les pide los dividanen otras unidades de superficiepara que visualicen la equivalenciacorrespondiente.Sugerencia didáctica. Si lo consideranecesario, puede pedir a los alumnosque construyan con papel el cm2y eldm2y que superpongan el primero enel segundo las veces que sea necesariopara que vean “cuántas veces cabe”uno en el otro, es decir a cuántos cm2equivale un dm2.Posibles procedimientos.Algunas formas de calcular el área,son:1. Cuadricular el mapa.2. Hacer un polígono que se ajustelo más posible al contorno delmapa y dividir el polígono enfiguras conocidas; calcular elárea de cada figura y despuéssumarlas.3. Hacer un rectángulo que cubratodo el mapa, calcular el áreadel rectángulo y despuésrestarle el área de las figurasque quedaron dentro y que nocorrespondenal mapa.Una vez que obtengas el área encentímetros cuadrados, debentransformarla a kilómetros cuadrados.Para ello deben considerar que deacuerdo a la escala que se les da en elproblema, 1 cm2 equivale 56.25 km2.Posibles errores. La dificultad estáen la conversión que hagan de laescala 1:750 000 a cm2. En general,las conversiones de unidades desuperficie es un tema difícil para losalumnos porque transfieren las reglasde cambio de las longitudes a lasde la superficie. Por ejemplo, si unmetro equivale a 10 decímetros, losestudiantes podrían creer que 1 mcuadrado también equivale a 10 dm,cuadrados. En este caso, la escala serefiere a longitudes y no a superficies,por lo que un error probable es quecalculen el área en cm2 y crean quehay que multiplicar este resultado por750 000 para obtener la medida real.Sugerencia didáctica. Procure darmayor énfasis a las unidades desuperficie que utilizaron para expresarel resultado, pídales que las comparenpara ver si son equivalentes; esto darálugar a conversiones de medidas desuperficie.47MATEMÁTICAS IConsideremos lo siguienteEl siguiente es un mapa de Aguascalientes. Calculen aproximadamente su área conside-rando que cada centímetro equivale a 7.5 kilómetros.Describan a sus compañeros de grupo la estrategia que siguieron para resolver el proble-ma. En particular, comenten la unidad de área más conveniente para expresar el resulta-do y las posibles razones de las diferencias entre resultados.Manos a la obraI. Realicen lo que se pide.a) El siguiente es un centímetro cuadrado (1 cm2); imaginen que lo dividen en cua-drados de un milímetro (1 mm) de lado, es decir, en milímetros cuadrados (mm2).• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un centímetro cuadrado?ESCALA: 1 cm: 7.5 km7.5 0 7.5 15 km
  • 48. 48Propósito de la actividad. Es muycomún que aun cuando los alumnoshablan del m² no tengan una ideaprecisa del tamaño de esta unidadde medida, por ello es importanteque construyan 1 m² para que tenganun referente de su tamaño y logrenhacer estimaciones sobre resultadoscorrectos o incorrectos.Respuestas.- Un m2 equivale a 100 dm2.(10 dm por lado).- Un m2 equivale a 10 000 cm2.(100 cm por lado).- Un m2equivale a 1 000 000 mm2.(1 000 mm por lado).Sugerencia didáctica. Así comoes importante que los alumnospuedan estimar el tamaño de 1 m²,también es necesario que lo hagancon una hectárea (ha). Procure queefectivamente se haga la medicióndel patio de la escuela, pues estaactividad les ayudará a estimar, apartir de un referente cercano, cuál esel tamaño de la hectárea. Además decalcular cuánto le falta al patio paraser 1 ha, pueden también calcularcuántos patios como el de su escuelase necesitan para tener esa superficie.Respuesta. 1 ha equivale a 10 000m2(100 m por lado).secuencia 2048b) El siguiente es un decímetro cuadrado (dm2). Divídanlo en centímetros cuadrados.• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?c) Peguen varias hojas de papel o consigan un pliego de papel grande y tracen y re-corten un metro cuadrado (m ). Luego divídanlo en decímetros cuadrados.• ¿A cuántos decímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?Comenten y comparen sus resultados con sus compañeros.ii. Un hectómetro cuadrado (1 hm2) es el área de un cuadrado que mide 100 metros decada lado, también se llama hectárea (ha).a) ¿Cuál es el área en metros cuadrados de una hectárea?
  • 49. 49Completen la tabla haciendo las conversiones necesarias:Estados de laRepública MexicanaSuperficie en km2Superficie en haSonora 184 934Morelos 49.41Oaxaca 95 364Distrito Federal 14.99Propósitos del video. Conocerdiferentes unidades para medir áreas yvisualizar sus equivalencias.Sugerencia didáctica. Tener unreferente concreto del tamaño de1 km² es más difícil; no obstante, losalumnos podrían calcular cuántospatios como el de la escuela serequieren para formar 1 km². Tambiénpodrían partir de algún referente(como la distancia de la escuela aalgún punto de la comunidad) que lespermita formarse una idea de un 1 kmlineal e imaginarse un cuadrado quemida 1 km por lado.Respuesta. 1 km2 equivale a 100 ha.1 km2son 1 000 000 m2.1 ha son 10 000 m2.Entonces, en un km2 caben 100 ha.5Sugerencia didáctica.Pida a una pareja de alumnosque elaboren un cartel con estainformación para que se cuelgueen alguna parte del salón. Todoslos alumnos pueden copiar en elcuaderno esa información e ilustraralgunas medidas, como el cm2y eldm2. Asimismo, pueden agregar a susnotas las comparaciones que hicierondel patio de la escuela con algunasmedidas de superficie (ha y km2).Si lo considera necesario, puedeplantear algunas conversiones comolas que se sugieren en seguida, paraque los alumnos las resuelvan en elcuaderno:49MATEMÁTICAS Ib) ¿Creen que en el patio de su escuela se pueda trazar una figura plana cuya super-ficie mida una hectárea?c) Organícense en el grupo para que tracen en el patio una superficie de una hectá-rea. Si no se puede en el patio, calculen cuánto falta para la hectárea.III. Un kilómetro cuadrado es el área de un cuadrado que mide 1 km o 1 000 m porlado.¿A cuántas hectáreas equivale un kilómetro cuadrado?IV. Completen la tabla.El área de:Unidad con la que creesque se debe medirUn estado km2Una teladm2haPara terminarMedidas de superficieLas unidades de superficie y sus conversiones son muy útiles para la resolución de algu-nos problemas prácticos relacionados con el cálculo de áreas de terrenos, extensionesterritoriales, etc., de ahí la importancia que tiene conocerlas y comprender su uso.Para saber másSobre la superficie de los estados consulten:http://cuentame.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.El área se mide en unidades cuadradas,por ejemplo:Kilómetros cuadrados (km2)Hectáreas (ha)Metros cuadrados (m2)Centímetros cuadrados (cm2)Milímetros cuadrados (mm2)Algunas equivalencias entre las unidadesde área son:1 km2= 100 ha1 ha = 10 000 m21 m2= 10 000 cm2
  • 50. 50secuencia 2150En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que impliquen elcálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresionesfraccionarias o decimales.México en el ineGiPara empezarLos porcentajes aparecen en distintos contextos de la vida cotidiana, por ejemplo: seusan para calcular descuentos en la compra de artículos, para saber los intereses quecobra un banco por algún préstamo, para presentar datos estadísticos y para muchasotras cosas más.En la secuencia 7 de tu libro de Matemáticas I, volumen I conociste algunos datos acer­ca de la población en México; una de las principales fuentes de información la proporcio­na el INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática). Este instituto seencarga de obtener datos por medio de los censos que realiza.Conocer algunas características de la población ayuda a comprender mejor los proble­mas que tiene el lugar en el que vives.Consideremos lo siguienteLa población de la República Mexicana es de aproximadamente 110 000 000 habitantesy tiene una extensión territorial de alrededor de 2 000 000 de kilómetros cuadrados.En los datos del INEGI se encontró que el estado de Chihuahua ocupa 13% del territorionacional.¿Cuál es la extensión territorial (en km2) del estado de Chihuahua?Comparen sus respuestas.Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela dijeron que13% de 2 000 000 es:2 000 000 km2 × 1.3 = 2 600 000 km2a) ¿En qué se equivocaron en el equipo de la otra escuela?b) ¿Por qué número debieron multiplicar en la otra escuela?sesión 1PorcentajesPropósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando demanera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos1México en el INEGIResolver problemas sencillos de cálculo deporcentajes en los que se deba determinar einterpretar porcentajes menores que 100%.Construir tablas para usar técnicas de proporcio-nalidad directa en la resolución de cálculo deporcentajes.Interactivo“Porcentajes”2El IVAResolver problemas de cálculo de porcentajesmayores que 100%.Aula de medios“El IVA” (Hoja decálculo)3Miscelánea de porcentajesResolver problemas que impliquen calcular ycomparar porcentajes.VideoLos migrantesInteractivo“Porcentajes”Español Isecuencia 10La jaula deoroEjeManejo de la información.TemaProporcionalidad.AntecedentesEn la escuela primaria los alumnos resolvieronproblemas de porcentaje en los que debíanaveriguar qué parte es una cantidad de otra;definieron el porcentaje de una cantidad comouna fracción de la misma, y explorarondiversas estrategias para calcular porcentajes(por ejemplo, obtener porcentajes a partir de10% y de 1% de una cantidad).En este grado de la escuela secundaria secontinúa con la resolución de problemas deese tipo haciendo el vínculo, en algunos casos,con el estudio de las ecuaciones de primergrado.Propósito de la sesión. Resolverproblemas sencillos de cálculo deporcentajes en los que se deba determinare interpretar porcentajes menores al 100%.Construir tablas para usar técnicasde proporcionalidad directa en la resoluciónde cálculo de porcentajes.Organización del grupo. Se sugieretrabajar en parejas durante toda la sesión.Materiales. Calculadora.Sugerencia didáctica. La resoluciónde este problema implica aplicar unporcentaje a una cantidad para obtenerotra cantidad; en este caso, se trata deaplicar el 13% a 2 000 000. Se esperaque los alumnos tengan ya una nociónde porcentaje y que cuenten al menoscon un procedimiento para calcularlo; sinembargo, es probable que algunos no lorecuerden. Aclare que 13% quiere decir“13 de cada 100”, y que en este casose trata de calcular q Q p E p de 2 000 000.Posibles procedimientos. Una forma deresolver es aplicar sucesivamente las dosoperaciones: primero dividir2 000 000 entre 100, y después multiplicarese resultado por 13. Otra forma esmediante el algoritmo de la multiplicaciónpor una fracción que estudiaron en lasecuencia 10.Respuesta. 260 000 km2.Respuestas.a) El procedimiento no puede ser correctoporque el territorio de Chihuahua seríamayor que todo el territorio nacional.b) Multiplicaron por 1.3, y se debemultiplicar por 0.13.
  • 51. 5151MATEMÁTICAS IComparen sus respuestas y comenten:¿Cómo encontraron el número por el cual se deben multiplicar los 2 000 000 de kilóme­tros cuadrados para obtener 13% de éstos?II. Completen la siguiente tabla para encontrar la extensión territorial que ocupa elestado de Chihuahua.Porcentaje de laextensión territorialExtensión territorial(km2)100% 2 000 0001%13%Tabla 1Comparen sus tablas y comenten:a) ¿Por qué número hay que dividir los 2 000 000 de kilómetros cuadrados paraobtener 1% de la extensión territorial del país?b) ¿Por qué número hay que multiplicar los 2 000 000 de kilómetros cuadrados paraobtener 13% de la extensión territorial del país?III. Completen la siguiente tabla para saber el porcentaje que representan del total de laextensión territorial del país algunos estados de la República Mexicana.Nombre delestadoPorcentaje que representa deltotal del territorio nacionalTerritorio que ocupa(km2)Aguascalientes 1%Tamaulipas 9%Oaxaca 5%Tabla 2Sugerencia didáctica. Lea juntocon los alumnos la información de latabla y pregúnteles en qué consiste laactividad. Recuérdeles que la cantidadque representa el 100% del territorionacional es 2 000 000 km2. De acuerdocon lo que hicieron en la actividadanterior, pregunte al grupo: ¿Porcuánto deben multiplicar en cada unode los casos para obtener el territorioSugerencia didáctica. Es posibleque algunos alumnos se percaten deque la respuesta que dio el equipoes equivocada, pero que no puedanidentificar por cuál número se debióhaber multiplicado. Una vez que hayanexpresado sus respuestas enfatice quecalcular 13% de 2 000 000 implicamultiplicar qQpEp por 2 000 000, y queesa fracción también puede expresarsecomo 0.13; por lo tanto, los alumnosde la otra escuela debieron habermultiplicado por 0.13.Propósito de la actividad.Utilizar tablas para que los alumnosidentifiquen y se apoyen en algunaspropiedades de la proporcionalidadque les permitan resolver este tipo deproblemas.Respuestas.a) Hay que dividir entre 100.b) Hay que multiplicar por 0.13o por qQpEp .Sugerencia didáctica. Reproduzca latabla en el pizarrón y enfatice losiguiente:- En la columna que representa elporcentaje, para pasar de 100% a1% se divide entre 100. Por ello,en la columna correspondiente ala extensión territorial, 2 000 000también deben dividirse entre 100para obtener lo que correspondea 1%.- En la columna que representa elporcentaje, para pasar de 1% a13% se multiplica por 13. Por ello,en la columna de la extensiónterritorial debe multiplicarse20 000 km (1%) por 13, paraobtener lo que correspondea 13%.- Dividir entre 100 y luego ultiplicarpor 13, es lo mismo que multiplicarpor qQpEp o por 0.13.20 000360 00020 000180 000100 000que ocupa cada estado? Si nota quelos alumnos aún tienen dificultadespara resolver esta actividad, puedencompletar la tabla en grupo. Tambiénpuede hacerles notar que a partir dela obtención del 1% del territorionacional (Aguascalientes), puedecalcularse lo que corresponde al restode los estados.
  • 52. 522Sugerencia didáctica.A partir del ejemplo que aquí se da,destaque lo siguiente:- Un porcentaje puede interpretarsecomo “x de cada 100” (18 de cada100, 20 de cada 100, etc.).- Para calcular el porcentaje de unacantidad se multiplica esa cantidadpor el porcentaje expresado con unafracción (en la que el denominadores 100) o con un número decimal(centésimos).- Otra forma de calcular el porcentajees apoyándose en una tabla en laque se calcula lo que corresponde al1%; esto se obtiene dividiendo entre100 la cantidad que corresponde al100%. Una vez que se ha obtenidoel 1%, se multiplica esa cantidad porel porcentaje buscado (en el casodel ejemplo es por 18). Hacer esas 2operaciones es lo mismo que multiplicarpor la fracción decimal o por el númerodecimal expresados en centésimos.Propósito de la actividad. Se trata dedeterminar el porcentaje que representauna cantidad con respecto a otra. Losalumnos deberán averiguar qué porcentajerepresentan 8 800 000 habitantes si el100% son 110 000 000 habitantes.Sugerencia didáctica. Antes de que losalumnos resuelvan, pídales que haganuna estimación: ¿Será 50%? ¿Será más omenos 50%?Posibles procedimientos. Es probableque los alumnos no conozcan una formasistemática de resolver este tipo deproblemas, por lo que pueden hacer unaestimación y luego irse aproximandoal resultado poco a poco. Por ejemplo,si suponen que es alrededor de 10% yhacen el cálculo aplicando ese porcentaje,obtendrán la cantidad de 11 000 000,que es cercana a 8 800 000. A partir deahí pueden probar con otros porcentajesmenores hasta llegar a 8%, que es elporcentaje correcto. No es necesario queespere a que todo el grupo termine nique lo resuelvan correctamente, pues lamisma lección ofrece de inmediato unprocedimiento de resolución; lo importantees que los alumnos tengan la oportunidadde enfrentarse al problema.Sugerencia didáctica. Aproveche estemomento de comparación de respuestas,para hacer algunas precisiones sobre elprocedimiento que se sugiere. Reproduzcaen el pizarrón el diagrama y plantee a losalumnos las siguientes preguntas: ¿Cuáles la operación que nos permite encontrarel número buscado? ¿Cuál es la operacióninversa de la multiplicación? Una vezque los alumnos hayan identificado esaoperación (lo estudiaron en la secuencia18), señale que en este tipo de problemas,en los que se trata de determinar quéporcentaje representa una cantidad, elnúmero buscado es una fracción condenominador 100 o un número decimal.secuencia 2152Luego hagan la siguiente divisiónNúmero buscado = =Finalmente, escriban el número que obtuvieron como una fracción con denominador 100.Número buscado =Comparen sus respuestas.A lo que llegamosEl porcentaje se puede calcular de varias maneras. Por ejemplo, paracalcular 18% de la extensión territorial del país se pueden hacer lassiguientes multiplicaciones:• 2 000 000 km2× = 360 000 km2, o bien• 2 000 000 km2 × 0.18 = 360 000 km2También se puede completar la siguiente tabla:Porcentaje de laextensión territorialExtensión territorial(en km2)100 % 2 000 0001 % 20 00018 % 360 000iV. En los datos del INEGI se encontró que el Distrito Federal tiene aproximadamente8 800 000 habitantes.Del total de la población del país, ¿cuál es el porcentaje que representa el Distrito Federal?Para encontrar el porcentaje de habitantes que tiene el Distrito Federal respecto del totalde la población del país, pueden usar un diagrama como el siguiente:110 000 000 × ____________ = 8 800 000Número de habitantes Número buscado Número de habitantesdel paîs del Distrito Federal×÷ 100× 18
  • 53. 53Sugerencia didáctica. En los dosprimeros renglones se trata deaplicar un porcentaje a una cantidadpara obtener otra cantidad. Puederecomendar a los alumnos que revisennuevamente el primer apartado A loque llegamos de la sesión anterior(deben multiplicar el precio delproducto sin IVA por qQpTp o por 0.15).En los dos renglones siguientes setrata de que a partir de una cantidadque representa un porcentaje (el 15%),se calcule la cantidad que representael 100%. Es probable que los alumnostengan mayores dificultades para esteúltimo tipo de problemas. Permita queintenten resolverlos aun cuando nologren completar toda la tabla.Integrar al portafolios. Si identificaque los alumnos tienen dificultadespara resolver este problema, revisenuevamente con ellos el procedimientoque se describe en el último apartadoA lo que llegamos de esta sesión.Además, cuando se haga la revisióncolectiva de los resultados, ustedpuede plantear preguntas como lassiguientes: ¿Qué número multiplicadopor 110 000 000da 2 200 000? ¿Qué númeromultiplicado por 110 000 000 da6 600 000? Los alumnos debenconcluir que ese número es elporcentaje que encontraron peroexpresado con una fracción o con unnúmero decimal.Propósito de la sesión. Resolverproblemas de cálculo de porcentajesmayores al 100%.Organización de grupo. Se sugiere quelos alumnos trabajen en parejas durantetoda la sesión.53MATEMÁTICAS IA lo que llegamosPara saber el porcentaje que representan los 8 800 000 habitantesque hay en el Distrito Federal respecto del total de la población,se puede hacer lo siguiente:Dividir 8 800 000 entre 110 000 000= 0.08 =Entonces 8 800 000 habitantes representan 8% de los 110 000 000de habitantes que hay en el país.V. Completen la siguiente tabla para saber qué porcentaje representa el número de ha­bitantes de los estados que en ella aparecen:Nombre delestadoNúmero de habitantesque tienePorcentaje que representarespecto del total de la poblaciónSonora 2 200 000Distrito Federal 8 800 000 8%Jalisco 6 600 000Tabla 3el iVAPara empezarEn México se deben pagar impuestos al gobierno por algunos de los servicios y productosque se consumen. Por ejemplo, por el teléfono y la gasolina se paga el Impuesto al ValorAgregado (IVA), que es 15% del valor del producto o servicio.El total a pagar por un producto con IVA es: el precio del producto más 15% del precio.Completen la siguiente tabla para calcular el total a pagar por algunos productos.ProductoPrecio del producto sin IVA(en pesos)IVA a cobrarse(en pesos)Cantidad total a pagar por el producto con IVA(en pesos)21005001545Tabla 1sesión 2 315 2 415 75 575100 115 300 3452%6%Propósito del interactivo. Resolverproblemas que impliquen el cálculo deporcentajes.
  • 54. 544Sugerencia didáctica.Antes de que las parejas resuelvan elproblema inicial, invite a los alumnosa leer el recibo que se les presenta.Pueden comentar a qué se refierenalgunos de los conceptos que aparecenen el recibo, como renta, largadistancia internacional, etcétera. Estoles permitirá tener una idea más clarasobre el contexto del problema quese está trabajando, lo que a su vezles ayudará a tener un mayor controlsobre sus procedimientos y resultados.Sugerencia didáctica. Reproduzcala tabla en el pizarrón para hacer elsiguiente análisis con los alumnos:- En la primera columna, para pasarde 15% a 1%, dividimos entre15; por lo tanto, en la segundacolumna también debemos dividir$45 entre 15. Obtenemos $3.- Para pasar de 1% a 100% en laprimera columna, multiplicamospor 100. De la misma manera, enla segunda columna multiplicamos$3 por 100, y obtenemos $300,que es el precio del taladrosin IVA.Propósito de la pregunta. Quelos alumnos se familiaricen conel hecho de que una cantidadrepresenta el 100% de sí misma,esto les permitirá darle sentido alos porcentajes mayores de 100.Sugerencia didáctica. Una vez que losalumnos hayan comparado y corregidosus respuestas, haga un análisis similaral que se sugiere para el caso del taladro:Cantidadcorrespondienteal porcentaje15% $151% $1100% $100- Para pasar de 15% a 1% en laprimera columna, se divide entre15; de la misma manera, en lasegunda columna se divide $15entre 15, y se obtiene $1.- Para pasar de 1% a 100%, semultiplica por 100 en la primeracolumna. Por lo tanto, en lasegunda columna también semultiplica $1 por 100.- Enfatice que el 100% de unacantidad puede interpretarsecomo 100 partes de 100.secuencia 2154a) Completen la siguiente tabla para encontrar el precio del taladro:Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje15% $451%100%Tabla 2Comparen sus resultados y comenten:¿Por qué el 100% del precio del taladro es el precio del taladro?b) En su cuaderno hagan una tabla como la anterior para encontrar el precio de la licua­dora.Cuando se conoce un porcentaje del precio de un producto, se puede encontrar el precioo el 100% usando tablas. Por ejemplo, si se sabe que 17% del precio de una radiograba-dora son $85.00, se completa la siguiente tabla:Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje17 % $ 85.001 % $ 5.00100 % $ 500.00Entonces, el precio de la radiograbadora es de $500.00. Éste es 100% del precio.Consideremos losiguienteLa ilustración que se muestra es una copiade un recibo telefónico en la que faltanalgunas de las cantidades que se cobraron.$3$300
  • 55. 55Sugerencia didáctica. Reproduzcala tabla en el pizarrón para quealguna pareja pueda registrar en ellasus respuestas; pida a esa parejaque explique cómo encontraronlos resultados. Una vez que todoel grupo esté de acuerdo con lasrespuestas, comenten los incisos a) yb). Es importante que a los alumnosles quede claro que efectivamenteel total a pagar es igual que 115%del subtotal del mes, porque eseporcentaje resulta de sumar 100% delprecio más 15% del IVA.Posibles procedimientos. Es muyprobable que los alumnos tengandificultades al resolver este problema,pues es la primera vez que enfrentanuna situación en la que el totalrepresenta más de 100%. Una formade determinar el subtotal del meses por ensayo y error: estimar unacantidad, obtener el 15% de ella,sumar la cantidad más su 15% y ver sise obtiene 2 300. Si no es así, puedenir aumentando o disminuyendo lacantidad que estimaron inicialmentehasta dar con la correcta.Un posible error es que calculenel 15% de 2 300, que es el totala pagar. Permita que exploren elproblema y que lo resuelvan con losprocedimientos que ellos decidan;posteriormente, en el apartado Manosa la obra podrán conocer formascorrectas de resolver el problema.Respuesta.a) $300.b) $2 000 (restando el subtotala 2 300 se encuentra el IVA).Propósito de la actividad. Que losalumnos conozcan un procedimientode solución que se basa en laelaboración de tablas y en algunaspropiedades de la proporcionalidad.Sugerencia didáctica. Invite alos alumnos a resolver el problemautilizando la tabla de la manera en quese mostró en el problema anterior.55MATEMÁTICAS IEl subtotal del mes es el costo del servicio telefónico. En el recibo telefónico de la ilustra­ción anterior aparece la cantidad total a pagar, pero no cuánto se está pagando de IVA.Respondan las siguientes preguntas:a) ¿Cuánto dinero se está cobrando por el IVA en el recibo telefónico de la ilustración?b) ¿Cuánto es el subtotal del mes?Comparen sus respuestas.Manos a la obraI. Un equipo de otra escuela hizo lo siguiente para responder las preguntas anteriores:Total a pagar con IVA ($2300) = subtotal del mes + 15% del subtotal del mes == 115% del subtotal del mes.Luego hicieron la siguiente tabla para encontrar el subtotal del mes y el IVA. Compléten­la ustedes:PorcentajeCantidad correspondiente al porcentaje(en pesos)115% 2 3001% 20100%15%Comenten en grupo lo siguientea) ¿Ustedes usaron algún procedimiento parecido?b) ¿Es cierto que el total a pagar es igual a 115% del subtotal del mes?Verifiquen los resultados de la tabla con los que ustedes obtuvieron.II. Si de larga distancia nacional se está cobrando en total $230.00 incluyendo el IVA,¿cuánto es de larga distancia nacional sin IVA?Éste es el subtotal del mesÉste es el IVA que se pagó
  • 56. 56Respuestas.a) $500. Se divide 575 entre 115para obtener el 1%, luego semultiplica por 100.b) $250.Integrar al portafolios. Si advierteque los alumnos tienen dificultadespara completar la tabla, analice juntocon ellos cada uno de los casos paraque identifiquen cuál es el dato quese desconoce y qué es lo que tienenque hacer: aplicar un porcentaje a unacantidad (primer renglón de la tabla),determinar qué porcentaje representauna cantidad con respecto a otra(segundo renglón) y determinar la basede un porcentaje (tercer renglón).Según sea la manera en que se utilizael porcentaje en cada caso, revisecon ellos nuevamente el apartadoA lo que llegamos de esta sesión yde la sesión 1. Sugiérales tambiénque elaboren tablas para resolveraquellos casos que les resulten másdifíciles.Respuestas.- Para el caso de la plancha, 10% de150 son $15. Se resta 150 – 15, elprecio es $135.- Para el tostador, la diferencia entreel precio original y el precio condescuento es de $45, y 45 es el15% de 300.- Para la lavadora, el precio originales de $423.07. El precio con eldescuento es el 78% del preciooriginal.Propósito de la sesión. Resolverproblemas que impliquen calcular ycomparar porcentajes.Organización del grupo. Sesugiere que entre todos analicenla información que se presentaal principio de la sesión, y queposteriormente resuelvan organizadosen parejas.secuencia 2156ProductoPrecio original del producto(pesos)DescuentoPrecio con el descuento(pesos)150 10%300 25522% 330sesión 3A lo que llegamosComo habrás notado en los problemas de esta sesión, no todos losporcentajes son menores a 100. En la vida diaria encontramos porcen-tajes mayores que 100%. Por ejemplo, cuando se paga un producto oservicio que tiene el impuesto del IVA, en realidad se está pagando el115% del precio original del producto.Lo que aprendimos1. En su cuaderno resuelvan los siguientes problemas.a) Pedro compró una chamarra y le cobraron $575.00. Este precio ya tiene el IVAincluido. ¿Cuál es el precio de la chamarra sin el IVA?b) El precio de un pantalón es de $287.50 ya con el IVA incluido. ¿Cuál es el preciodel pantalón sin el IVA?2. Los productos de la siguiente tabla tienen distintos porcentajes de descuento. Com­pleten la tabla.MisceláneA de porcentAjesPara empezarLos migrantesUna fuente importante de dinero que ingresa a México son las remesas. Las remesas sonel dinero que envían los migrantes mexicanos a sus familiares o amigos y provienenprincipalmente de los Estados Unidos de América.En la secuencia 10, La jaula de oro, del libro de Español I, volumen II estudiarás algunosde los aspectos de los migrantes mexicanos que viven en los Estados Unidos de América.Propósito del video. Practicar elcálculo de porcentajes en la solución deproblemas.
  • 57. 57Sugerencia didáctica. Una vez que losalumnos hayan leído la información quese presenta en el cartel y antes de queresuelvan el problema, motívelos paraque comenten si tienen algún familiarque envíe dinero desde los EstadosUnidos a México, o si saben algo sobrelos servicios de las compañías que semencionan o de otras.57MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. Pedro es un migrante mexicano que vive en los Estados Unidos. Quiere mandar dine­ro a sus familiares y encontró la siguiente información en un cartel:Existe una gran cantidad de opciones para realizar envíos de dinero de Estados Unidos aMéxico. Como el costo y las características del envío varían según la empresa que utilices, esmuy importante comparar opciones antes de enviar tu dinero.Es común que los envíos de dinero se hagan por cantidades fijas de 300 dólares. En la tablade abajo se compara la cantidad de dinero que entregan en México algunas de las principa­les empresas al enviar 300 dólares desde Estados Unidos.Envíos de 300 dólaresNombre de la empresaPesos entregados en México por300 dólares enviados desde EUANorthwestern Union 3 299.40Cash Gram 3 291.32Commission Express 3 290.84Cash­check 3 213.52Notas:1. La cotización de referencia, al 25 de octubre de 2004, es de $11.70, es decir, 1 dólarequivale a $11.70.2. Como las condiciones y costos de cada empresa varían, se recomienda consultar direc­tamente con las instituciones de su preferencia.3. Los envíos están estandarizados en 300 usd por envío, es decir, hay que enviar exacta­mente esta cantidad de dinero en cada envío.Para calcular cuánto le cobra Northwestern Union por el envío, Pedro hizo lo siguiente:300 dólares × $11.70 = $3510$3 510 – $3 299.40 = $2 10.60Contesten:a) ¿Qué porcentaje del dinero enviado cobra esta empresa?Sugerencia didáctica. Solicite a losalumnos que traten de resolver elproblema en sus cuadernos; anímelospara que algunos de ellos comenten susprocedimientos y resultados con todo elgrupo. Invite a los demás alumnos a queparticipen dando opiniones o sugerenciassobre los procedimientos y resultadosque presenten sus compañeros a todoel grupo.Respuesta. Se divide la comisiónentre el total de dinero: 210.60 entre3 510. Obtenemos 0.06, que es el 6%.
  • 58. 58secuencia 2158b) Completen la siguiente tabla para determinar el porcentaje del dinero enviado quecobran estas empresas.Nombre de la empresaPesos recibidos por300 dólaresPorcentaje que cobrala empresaNorthwestern Union 3 299.40Cash Gram 3 291.32Commission Express 3 290.84Cash-check 3 213.52c) ¿Cuál es la empresa que cobra menor porcentaje?2. Un productor de piñas vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En elsupermercado se venden en $4.50 el kilogramo.a) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super­mercado al doble de su precio original (es decir, a$1.50), ¿en qué porcentaje se habría incrementado elprecio del kilogramo de piñas?b) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super­mercado al triple de su precio original (es decir, a$2.25), ¿en qué porcentaje se habría incrementado elprecio del kilogramo de piñas?Sugerencia didáctica. Una vez quehaya acuerdos sobre el resultadodel problema anterior y que se hayacompartido al menos un procedimientode resolución con todo el grupo, solicitea los alumnos que completen la tabla.Posteriormente puede preguntar: ¿Cuáles la opción que mejor conviene aPedro? ¿Por qué?Respuesta.Northwestern Union: 6% (primero seresta 3 510 menos los pesos recibidos,y la cantidad obtenida se divide entre3 510).Propósito del interactivo. Resolverproblemas que impliquen el cálculo deporcentajes.Respuestas.a) Se incrementaría el 100%.b) Se incrementaría el 200%.Posibles errores. Algunos alumnospodrían responder que en el inciso a)aumenta 200% y que en el inciso b)aumenta 300%.Usted puede ayudarles aclarando losiguiente:- En el inciso a), la diferenciaentre el precio original (0.75) y elprecio final (1.50) es de 0.75. Estadiferencia representa el 100% delprecio original, por lo tanto, elporcentaje de incremento es de100%.- En el inciso b), la diferenciaentre el precio original (0.75) y elprecio final (2.25) es de 1.50. Estadiferencia es el 200% del preciooriginal, por lo tanto, el porcentajees de 200%.6%6.23%6.24%8.44%
  • 59. 5959MATEMÁTICAS ICompleten la siguiente tabla para encontrar el porcentaje en que se incrementará elprecio de las piñas.Precio al queel supermercado vende elkilogramo de piñaPorcentaje de incremento en el preciorespecto al precio original$1.50$3.00$4.503. Un productor de melones vendió su cosecha al distribuidor en $1.40 el kilo­gramo. El distribuidor vendió el kilogramo de melón en $350% de su preciooriginal. ¿En cuánto se vendió el kilogramo?a) Si 11% del precio de un aparato telefónico es $27.50, ¿cuál es el preciodel aparato telefónico?b) Si 25% del precio de un libro es $37.50, ¿cuál es el precio del libro?Para saber másSobre la población, las extensiones territoriales y algunas otras características de losestados de la República consulta:http://www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 28 de julio de 2006].Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.Sobre los envíos de dinero de los Estados Unidos de América a la República Mexicanaconsulta:http://www.condusef.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Ruta: Información sobre otros sectores centros cambiarios.Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros.(Condusef).Debes tomar en cuenta la comisión y el tipo de cambio que cada compañía te ofrece;mientras más elevada sea la comisión y más bajo el tipo de cambio, menor será lacantidad de dinero que reciban los beneficiarios.100%300%500%Respuestas.$4.90. Porque el 350% de 1.40 es4.90.a) $250. Porque si 27.50 es el 11%,el 1% es 2.50. El 100% es 250.b) $150. Porque 37.50 es el 25%,el 1% es 1.5. El 100% es 150.
  • 60. 60Propósitos de la secuenciaInterpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablasde frecuencia absoluta y relativa.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos1¿Quién llegó primero?Reconocer las ventajas de presentarinformación en tablas.VideoUn recorrido por el origen dela estadísticaAula de medios“¿Quién llegó primero?”(Hoja de cálculo)2Tabla de frecuencia relativaElaborar e interpretar tablas de frecuenciarelativa.Aula de medios“Tabla de frecuenciarelativa” (Hoja de cálculo)3La tabla representa…Resolver problemas mediante laelaboración e interpretación de tablas defrecuencia absoluta y relativa, expresadacomo fracción, decimal o porcentaje.Aula de medios“La tabla representa…”(Hoja de cálculo)Geografía ISecuencia7EjeManejo de la información.TemaRepresentación de la información.AntecedentesDurante la escuela primaria los alumnos hanorganizado y analizado la informacióncontenida en tablas, ahora se espera queaborden otros aspectos, como la frecuenciarelativa y absoluta expresada de distintasmaneras.Propósito de la sesión. Reconocerlas ventajas de presentar informaciónen tablas.Organización del grupo. Trabajaren parejas durante toda la sesiónintercalando momentos para compararresultados y comentar conclusiones demanera grupal.Material. Calculadora.Propósito del video. Conocerel origen y la importancia de laestadística. Identificar situaciones enlas cuales es necesario organizar yrepresentar la información.Propósito de la actividad. Laintención es hacer sentir a losalumnos la conveniencia de organizarlos datos para analizarlos.Aunque desde la escuela primaria losalumnos han utilizado, elaborado ycompletado tablas, quizá no recurrana ellas para responder las preguntasde los incisos a), b) y c). Acérquesea las parejas mientras trabajan paraconocer qué estrategias utilizan.Respuestas.a) Hubo tres alumnos empatadosen el primer lugar que hicieron lacarrera en 300 segundos.b) 60 segundos.c) 340 segundos; 9 alumnos hicieronese tiempo.d) En 1º A. Hay 6 alumnos queterminaron antes de 340 segundos(hubo 5 en 1º B y 4 en 1º C).secuencia 2260En esta secuencia interpretarán y comunicarán información mediantela lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absolutay relativa.¿Quién llegó primero?Para empezarUn recorrido por el origen de la estadísticaPara presentar un número pequeño de datos basta con enunciarlos o enumerarlos orde-nadamente. Por ejemplo, las calificaciones de un alumno en los 5 bimestres de Matemá-ticas son: 10.0, 9.0, 9.0, 8.0, 8.0.Sin embargo, cuando el número de datos es grande, conviene recurrir a una tabla defrecuencias para poder hacer un análisis más completo o para tener una idea más clarade la información obtenida.Consideremos lo siguienteLos alumnos de primer grado de una escuela secundaria participaron en una competen-cia de atletismo.A continuación se presentan los tiempos, en segundos, que hicieron 30 alumnos en lacarrera de 1 000 metros y el grupo al que pertenece cada uno.320 (1°C) 350 (1°B) 330 (1°A) 300 (1°C) 340 (1°B)330 (1°A) 340 (1°C) 360 (1°B) 320 (1°A) 330 (1°C)300 (1°B) 320 (1°A) 350 (1°C) 330 (1°B) 340 (1°C)340 (1°B) 330 (1°B) 340 (1°A) 340 (1°C) 320 (1°A)320 (1°A) 340 (1°A) 320 (1°C) 360 (1°A) 300 (1°B)330 (1°B) 360 (1°C) 340 (1°B) 350 (1°C) 340 (1°A)a) ¿Cuánto tiempo registró el ganador de la carrera?b) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el primero y el último lugar de la carrera?c) ¿Cuál es el tiempo en el que se registró el mayor número de alumnos que termi-naron la competencia?d) Considerando los resultados por grupo, ¿en cuál hubo más alumnos que termina-ron antes de 340 segundos?sesión 1Tablas de frecuencia
  • 61. 6161MATEMÁTICAS IComenten qué grupo consideran que tuvo mejor desempeño en la competencia y por qué.Además, digan cómo organizaron los datos para responder las preguntas.¿A cuántos minutos equivale el tiempo registrado por el primer lugar?Manos a la obraI. Una forma de organizar y presentar los resultados de la competencia es medianteuna tabla de frecuencias. Contesten las siguientes preguntas para construirla.a) ¿A qué se refieren los datos que aparecen en el listado anterior?b) ¿Cuántos grupos participaron en la competencia?c) ¿Cuáles fueron esos grupos?d) ¿Cuántos tiempos diferentes se registraron en la competencia?e) ¿Cuáles fueron esos tiempos?f) Completen la siguiente tabla de frecuencias.Recuerden que:La frecuencia es elnúmero de vecesque aparece cadavalor.Tabla de frecuencias del tiempo realizado en la carrera de 1 000 metros por grupoTiemposGruposTotal1° A 1° B 1° CConteo Frecuencia Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia300 0II 2340 Ill 3 93503Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos analicen losdatos para valorar qué grupo tuvo unmejor desempeño, lo cual puede variardependiendo de qué criterios utilicen.Por ejemplo, en 1º B hay 2 alumnosque quedaron en primer lugar, sinembargo, en 1º A hay más alumnosque terminaron la competencia antesde 340 segundos.Invite a los alumnos a que justifiquensus respuestas.Propósito de la actividad. Con estaspreguntas se pretende que el alumnovaya identificando los elementos queentran en juego en la elaboración dela tabla (qué tipo de datos se estánorganizando, cuántos son, etc.).
  • 62. 62Sugerencia didáctica. Comenten lasrespuestas del inciso e). Es importanteque se den cuenta de que un conjuntode datos se puede analizar mirándolodesde distintos ángulos, por ejemplo,ver los resultados por grupo o ver losde todos los grupos.Respuestas.a) Fue de 320 segundos, que son 5minutos y 20 segundos.b) 6 alumnos.c) 2 alumnos.d) 3 del 1º B y 1 del 1º C.e) Fue 340 segundos (9 alumnosllegaron en ese tiempo). Sólo en1º A es más frecuente otro tiempo:320 segundos.secuencia 2262ii. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las siguientes preguntas.a) ¿Cuál fue el mejor tiempo que se registró en el grupo 1° A en la carrera?¿A cuántos minutos corresponde ese tiempo?b) ¿Cuántos alumnos de 1° A hicieron menos de 340 segundos?c) ¿Cuántos alumnos de 1° A llegaron a la meta en 330 segundos?d) ¿Cuántos del 1° B? ¿Y cuántos del 1° C?e) Considerando los resultados de los tres grupos, ¿cuál es el tiempo registrado enque más alumnos llegaron juntos a la meta? Compara esetiempo con el más frecuente por grupo, ¿en qué caso o casos fue diferente?iii. Consideren las siguientes afirmaciones y marquen el cuadro de la “V” si es verdaderao el de la “F” si es falsa, a partir de la información que proporciona la tabla de fre-cuencias.V F• En el grupo de 1° B hubo más alumnos que hicieron 330que 340 segundos.• Hay más alumnos de 1° C que de 1° A que hicieronmenos de 320 segundos.• En total, hay más alumnos que lograron llegar en pri-mer lugar que en último lugar.A lo que llegamosUna tabla de frecuencias es una forma de resumir datos. En ella sepresentan en orden creciente los valores observados, así como susrespectivas frecuencias.El organizar los datos en una tabla de frecuencias permite contar conuna visión global e inmediata del comportamiento de la situación quese analiza.Por ejemplo, en la tabla se observa fácilmente cuántos alumnos logra-ron el primer lugar y a qué grupo pertenecen, lo cual no ocurre con ellistado de números.La suma de las frecuencias absolutas siempre es igual que el total delos datos considerados, es decir, que la población, en este caso los 30alumnos que participaron en la competencia.FVF
  • 63. 63Sugerencia didáctica. Es posibleorganizar los datos de diferentesmaneras (en la secuencia 8 losalumnos aprendieron esto) y encontrarlas distintas relaciones que se danentre ellos.En esta situación los alumnos estánorganizando datos cualitativos (decualidad): si la persona es hombre omujer; y cuantitativos (de cantidad):qué edad tiene.Sugiera a los alumnos que lean laspreguntas de los incisos a) al f) paradecidir de qué manera les convieneorganizar la información.Respuestas.b) 50 personas.c) Igual, 25 hombres y 25 mujeres.d) 45 años. Hay 6 personas con esaedad.e) 11 personas de 20 a 29 años, 6mujeres y 5 hombres.f) 18 personas eran mujeres y teníanmenos de 40 años.63MATEMÁTICAS ILo que aprendimosLa edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son lossiguientes:38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)15 (M) 8 (M)a) En su cuaderno, organicen los datos en una tabla de frecuencias. Decidan cuálinformación va en las columnas y cuál en los renglones. Pónganle el título a latabla y a cada una de las columnas.b) ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?c) ¿Qué hubo más, hombres o mujeres?d) De las personas que asistieron, ¿cuál fue la edad más frecuente?e) ¿Cuántas personas del grupo tenían de 20 a 29 años? Y de ese gru-po de edades, ¿qué hubo más, hombres o mujeres?f) ¿Cuántas personas eran mujeres y tenían menos de 40 años?
  • 64. 64Propósito de la sesión. Elaborare interpretar tablas de frecuenciarelativa.Organización del grupo. Formeparejas de alumnos para las dosprimeras partes de la sesión y equipospara la tercera. La última se sugiereque la resuelvan de manera individual.Sugerencia didáctica. Comentecon los alumnos la información de lastablas. Los datos están organizadospor género y por intervalos de edad:se cuenta a todas los hombres (omujeres) que tienen de 0 a 9 años yel resultado se pone en la columna defrecuencia. Se va haciendo lo mismocon las que tienen de 10 a 19, de 20 a29, etcétera.La columna de “frecuencia relativa”está dividida en 2 para expresarla conuna fracción y con un número decimal.La fracción puede leerse así: “3 decada 25 hombres tienen entre 0 y 9años”. Diga a los alumnos que puedenutilizar la calculadora para encontrarla expresión decimal de la frecuenciarelativa.La columna de “porcentaje” puedeinterpretarse como: “del total dehombres, el 12% tienen entre0 y 9 años”.Puede preguntar a los alumnos: si eltotal de hombres fuera 100 y el 12%tuvieran entre 0 y 9 años ¿cuál seríala frecuencia?, ¿cuál sería lafrecuencia relativa?secuencia 2264Tabla de frecuencias relaTivasPara empezarEn la sesión anterior construiste la tabla de frecuencias de la siguiente situación.La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son lassiguientes:38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)15 (M) 8 (M)Sin embargo, esta información se puede presentar de otra manera, en la que las edadesse agrupan en intervalos y se dan las frecuencias absoluta y relativa y el porcentaje decada intervalo.Consideremos lo siguienteEn las siguientes tablas faltan algunos datos, realicen los cálculos necesarios y completen:edad(años)Hombresfrecuenciafrecuencia relativaPorcentajefracción decimal0-9 3 12%10-19 4 16%20-29 5 0.20 20%30-39 4 16%40-49 7 28%50-59 1 0.04 4%60-69 1 4%Total 25 1 100%sesión 2
  • 65. 65Propósito de la actividad. Conlas preguntas de los incisos a) al j)se pretende que los alumnos le densentido a la frecuencia relativa (susignificado y obtención), así como alas diferentes formas en que se puedeexpresar (como porcentaje, fracción odecimal).Respuestas.a) 7 intervalos.b) 25 hombres y 25 mujeres.c) Hay 7 hombres.d) 7 de 25 o w U t  .e) El 5 es el número de personascuyas edades se encuentran encierto intervalo, y el 25 es elnúmero del total de personas.2Sugerencia didáctica. Es convenientehacer notar a los alumnos la relaciónentre la columna de “Frecuenciarelativa” y la de “Porcentaje”.Puede hacerles preguntas como: ¿Dequé manera obtuvieron los datosde la columna “Porcentaje”?, ¿enqué se parecen a los de la columna“Frecuencia relativa”?Integrar al portafolios. Cuandoterminen de resolver la sesión 2pida a los alumnos una copia deesta tabla llena y de las respuestasa las preguntas de los incisos a)al d). Analícelas para ver si hancomprendido la diferencia entre lafrecuencia absoluta y la relativa, ysobre su expresión como porcentaje.Si lo considera necesario, repasenla sesión.65MATEMÁTICAS IEdad(años)MujeresFrecuenciaFrecuencia relativaPorcentajeFracción Decimal0-9 410-19 16 %20-29 630-3940-49 0.1650-59 8 %60-69Total 100 %a) ¿Cuántas personas son menores de 20 años?b) ¿Qué significa que la frecuencia relativa de hombres entre 20 y 29 años sea ?c) De las mujeres que asistieron a la reunión, ¿qué porcentaje tiene entre 30 y 39años de edad?d) ¿Qué porcentaje de hombres y mujeres tiene 50 años o más?Comparen sus respuestas.Manos a la obraI. Usen la información que proporcionan las tablas para contestarlas siguientes preguntas.a) ¿Cuántos intervalos de edades se formaron?b) ¿Cuántos hombres hay en la reunión? ¿Y cuántas mujeres?c) ¿Cuántos de los hombres que están en la reunión tienen entre 40 y 49 añosde edad?d) ¿Qué parte del total de hombres tiene entre 40 y 49 años de edad?e) Uno de los valores de la tabla es , ¿qué representa el número 5?¿Y el 25?Recuerden que:Si divides la frecuencia entre elnúmero total de observaciones,obtienes la frecuencia relativa. w R t 0.16 16% 4 w R t 0.16 w Y t 0.24 24% 4 w R t 0.16 16% 4 16% 2 w W t 0.08 25   1 1 0.04 4%
  • 66. 66secuencia 2266A lo que llegamosA la fracción se le llama frecuencia relativa e indica la parte deltotal de la población que tiene un mismo atributo o característica.f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las quetienen entre 30 y 39 años de edad?g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es . Esta frac-ción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta si-tuación?h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16?i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asis-tieron a la reunión?j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4mujeres de 40 a 49?A lo que llegamosLa frecuencia relativa también puede expresarse en forma de númerodecimal y porcentaje.ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la si-guiente tabla que agrupa todos los resultados.Edad(años)Total hombres y mujeresFrecuenciaFrecuencia relativaPorcentajeFracción Decimal0-910-1920-2930-3940-4950-5960-69Total 50 100%Respuestas.f) w R t  g) Es también la frecuencia relativa.Quiere decir que del total (que esigual a 1), hay 0.16 mujeres quetienen entre 40 y 49 años.h) Cuando las relaciones entre losdatos se expresan en forma deporcentaje, el total es igual a100%. El porcentaje de mujeresque tienen entre 40 y 49 años deedad es 16%.i) Suman 1.j) En las 4 mujeres de 40 a 49 años,porque el número 4 en ese caso esla frecuencia; en cambio, en elotro caso se refiere al porcentaje,y en este ejemplo (el de laspersonas que asistieron a unareunión) 4% equivale a unasola mujer.Sugerencia didáctica. Cuandorevisen sus respuestas deténgase unpoco en el inciso g). Para algunosalumnos no es evidente que w R t y0.16 son el mismo número.Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos se dencuenta de los diferentes tipos deanálisis que pueden hacerse alreorganizar la información.secuencia 2266A lo que llegamosA la fracción se le llama frecuencia relativa e indica la parte deltotal de la población que tiene un mismo atributo o característica.f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las quetienen entre 30 y 39 años de edad?g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es . Esta frac-ción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta si-tuación?h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16?i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asis-tieron a la reunión?j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4mujeres de 40 a 49?A lo que llegamosLa frecuencia relativa también puede expresarse en forma de númerodecimal y porcentaje.ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la si-guiente tabla que agrupa todos los resultados.Edad(años)Total hombres y mujeresFrecuenciaFrecuencia relativaPorcentajeFracción Decimal0-910-1920-2930-3940-4950-5960-69Total 50 100% 7 t U p 0.14 14% 8 t I p 0.16 16% 11 tQ pQ 0.22 22% 8 t I p 0.16 16% 11 tQ pQ 0.22 22% 3 t E p 0.06 6% 2 t W p 0.04 4% tT pP 1
  • 67. 67Respuestas.a) 16% en total.b) Es igual, 4 hombres y 4 mujeres.Esta información la buscamos enlas tablas anteriores, en las que seseparó a hombres y mujeres.c) 1d) 15 personas, que representan 30%.Sugerencia didáctica. Lean juntosesta información y pida a los alumnosque la copien en sus cuadernos.67MATEMÁTICAS Ia) ¿Qué porcentaje de personas que tienen entre 30 y 39 años de edad fueron a lareunión?b) De las personas de entre 30 y 39 años de edad que había en la reunión, ¿son máshombres o más mujeres? ¿En qué tablas encuentran estainformación?c) ¿Cuál es la suma de frecuencias relativas de hombres y mujeres que asistieron a lareunión?d) En total, ¿cuántas personas menores de 20 años asistieron a la reunión?¿Qué porcentaje representan?A lo llegamosCuando se trata de presentar información estadística, las tablas quegeneralmente se utilizan son de frecuencias relativas con porcentaje.La frecuencia relativa de un valor observado es el cociente entre sufrecuencia y el total de observaciones realizadas. El porcentaje deveces que aparece un determinado valor observado se obtiene multi-plicando su frecuencia relativa por 100.La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de los datos uobservaciones.La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.La suma de los porcentajes es igual a 100.Lo que aprendimosCompleta la tabla de frecuencias relativas y de porcentaje para los datos de la carrera de1 000 metros, presentada en la sesión 1 de esta secuencia.Tiempo registradoen segundosFrecuenciaFrecuencia relativa Porcentaje%Fracción Decimal300 3320 6330 6340 9350 3360 3Total 30 e E p 0.1 10% e Y p 0.2 20% e Y p 0.2 20% e O p 0.3 30% e E p 0.1 10% e E p 0.1 10% eE pP 1 100%
  • 68. 68secuencia 2268a) ¿A qué tiempo registrado corresponden cada una de las siguientes frecuenciasrelativas?30% 0.30.1b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de alumnos que llegaron a la meta antes de 330segundos?c) ¿Qué porcentaje de alumnos que participaron en la carrera hicieron menos de 320segundos?la Tabla represenTa…Para empezarComo habrás observado, en tu clase de Geografía de México y del mundo, es frecuenteque se presente información en tablas; por ejemplo, en la secuencia 7 ¿cómo es y dón-de está la población?sesión 3Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo en los años 1992 y 2002Año 1992 2002Nivel educativo ysexoTotal Porcentaje Total PorcentajePreescolar 2 858 890 100% 3 635 903 100%Hombres 1 439 632 50.35% 1 836 121 51%Mujeres 1 419 258 1 799 782 49%Primaria 14 425 669 100% 14 857 191 100%Hombres 7 429 429 51.50% 7 604 635 51.18%Mujeres 6 996 240 48.50% 7 252 556 48.82%Secundaria 4 203 098 100% 5 660 070 100%Hombres 2 152 648 51.22% 2 862 463Mujeres 2 050 450 2 797 607 49.43%Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003.Lo que aprendimos1. La matrícula en educación básica se refiere alnúmero de alumnos inscritos en institucioneseducativas de preescolar, primaria y secundariaen un ciclo escolar determinado.Analicen la información que presenta la siguiente ta-bla y complétenla. Pueden utilizar una calculadora.Respuestas.a)El 30% sería equivalente a 9corredores, por lo tanto, correspondea 340 segundos.0.1 como frecuencia relativa quieredecir que una décima parte de loscorredores registró cierto tiempo(o 10%). La décima parte del totalde corredores (30) es 3, así quecorresponde a los que hicieron 300,350 y 360 segundos.0.3 como frecuencia relativa puedeexpresarse también como 30%, loque equivale a 9 corredores (340segundos).   significa que 3 de los 30 corredoresregistraron cierto tiempo, así quecorresponde a 300, 350 y 360segundos. Puede expresarse tambiéncomo 0.1 o como 10%.b)    c) 10% (10 de 30)1Propósito de la sesión. Resolverproblemas mediante la elaboración einterpretación de tablas de frecuenciaabsoluta y relativa, expresada comofracción, decimal o porcentaje.Organización del grupo. La sesiónse trabaja en parejas, con momentosde intercambio grupal. Propósito de la actividad. Quelos alumnos analicen la informaciónde la tabla para completarla y paracontestar las preguntas que aparecenen seguida.Respuesta. Una forma de resolver escompletando el porcentaje, es decir,teniendo en cuenta que el porcentajede hombres y el de mujeres en cadanivel escolar, debe sumar 100.49.65%50.47%48.78%
  • 69. 6969MATEMÁTICAS Ia) ¿Qué información les muestra la tabla?b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?c) En el renglón que corresponde al nivel de Preescolar aparece dos veces la expre-sión “100%”, ¿qué significa en cada caso?d) ¿En cuál de los tres niveles es mayor la matrícula?e) De 1992 a 2002 aumentó la matrícula en todos los niveles educativos. ¿Cuálesfueron los incrementos en cada uno de los tres niveles educativos? Escríbelos entu cuaderno.f) ¿En cuál de los tres niveles hubo un menor aumento?g) ¿Y en cuál hubo un mayor aumento?2. Con la información que presenta la tabla anterior, completen la siguiente tabla paraque muestre la matrícula de la educación básica por sexo en los años 1992 y 2002.Año 1992 2002Nivel educativoy sexoTotal Porcentaje Total PorcentajeEducaciónBásicaHombresMujeresa) ¿Cómo obtienen el total de la matrícula para el año1992?b) ¿Y para el año 2002?c) De 1992 a 2002, ¿cuál de los porcentajes de matrículaaumentó, el de los hombres o el de las mujeres?Respuestas.a) Número y porcentaje de alumnosen 1992 y 2002, por niveleducativo y por género.b) 1992 y 2002.c) El total de estudiantes en ese nivelen 1992 y el de 2002.d) En primaria.e) Preescolar: 777 013.Primaria: 431 52.Secundaria: 1 456 972.f) En primaria.g) En secundaria.Respuestas. Hay que calcular losporcentajes, no deben sumarse opromediarse.Sugerencia didáctica. Comente conlos alumnos que la educación básica,como se señala en la tabla anterior,comprende el preescolar, la primariay la secundaria, por lo tanto, enesta segunda tabla deben sumar lasmatrículas de los tres niveles.Puede dar indicaciones a los alumnospara que redondeen los porcentajes yla suma sea 100%. 21,487,657 100% 24,153,164 100% 11,021,709 51.29% 12,303,219 50.94% 10,465,948 48.71% 11,849,945 49.06%
  • 70. 70secuencia 22703. En el examen que se aplicó en una escuela aprobaron 90 alumnos.De acuerdo con esta información, sólo una de las siguientes afirmaciones es válida.Márquenla con unaEl examen se aplicó a 100 alumnos.La mayoría de los alumnos aprobó el examen.El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.El número de alumnos reprobados fue 10.4. En el examen que se aplicó en una escuela la frecuencia relativa de los alumnos apro-bados es .De acuerdo con esta información, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son válidas?Márquenlas conEl examen se aplicó a 100 alumnos.La mayoría de los alumnos aprobó el examen.El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.El número de alumnos reprobados fue 10.5. Completen la siguiente tabla.Intervalo FrecuenciaFrecuencia relativaPorcentajeFracción Decimal0-910-19 820-29 630-39 840-49 450-59 760-69 370-79 1080-89 590-99 5Total 602Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos analicensi con la información que les da elenunciado es posible hacer alguna delas afirmaciones.Analizar la información es unaspecto muy importante en clase,y para fomentarlo es útil presentaractividades o problemas:- en los que haya informacióninnecesaria para resolverlo, o- en los que falten datos.Así, los alumnos no se acostumbrarána que todo problema tiene solución oa que siempre deben utilizar todos losdatos presentados.Sugerencia didáctica. Discutancada una de las afirmaciones delpunto 3. Cuando digan que una deellas es válida, pregunte por qué ycómo pueden estar seguros. Pregunteal resto del grupo si están o no deacuerdo. Pasen al número 4 cuandotodos estén seguros de cuál es laafirmación válida.Luego analicen con detenimiento lanueva información. Pregunte: ¿Quésignifica que la frecuencia relativa delos alumnos aprobados sea q O p P p ?, ¿enqué cambia esta nueva información loque sabíamos en el punto 3?Respuestas.3. Con la información queproporciona el enunciado no sepuede saber:- a cuántos alumnos se aplicó elexamen,- cuántos fueron los reprobados,- si los 90 que aprobaron eranla mayoría de los alumnos quepresentaron el examen.La única afirmación que es válida esla tercera (el examen lo presentaron almenos 90 alumnos).4. Todas las afirmaciones son válidas.El conocer la frecuencia relativa delos que aprobaron permite saber:- a cuántos alumnos se les aplicó elexamen,- que la mayoría aprobó,- que al menos lo presentaron 90alumnos, y- que los reprobados fueron 10.6 0.1 0 y I p 0.133... 13.33 y Y p 0.1 10 y I p 0.133... 13.33 y R p 0.0666… 6.67 y U p 0.116… 1.67 y E p 0.05 5 y p 0.1666… 16.673 y E p 0.05 y T p 0.08333… 8.3 yY pP 1 100
  • 71. 7171MATEMÁTICAS Ia) ¿A cuál de las siguientes tres situaciones puede corresponder esta tabla? Márquenlacon unaNúmero de saltos que pueden dar en 10 segundos un conjunto de 60 personas.Número de pulsaciones por minuto que registró un conjunto de personas.Número de clientes que llegan a una tienda en ciertos intervalos de tiempo.De acuerdo con el contexto de la situación que eligieron, respondan las siguientes preguntasb) ¿Qué representa el intervalo 40-49?c) ¿Y el valor 10 de la columna de frecuencias?d) ¿Tiene sentido el valor 15.5? ¿Por qué?e) ¿Qué representa la fracción de la columna de frecuencia relativa?f) ¿Qué significa el número 5 de la columna de porcentajes?Para saber másSobre información que ofrece el INEGI para la utilización de tablas de frecuenciaconsulten: www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.Propósito de la actividad. Laintención es que los alumnos puedanrelacionar los datos que estánrepresentados en una tabla con lasituación que los genera.Cada pareja debe decidir cuál esla situación que más le parece yresponder en función de su elección.Integrar al portafolios. Pida a cadapareja de alumnos una copia de laactividad 5.
  • 72. 72EjeManejo de la información.TemaRepresentación de la información.AntecedentesDurante la escuela primaria los alumnos haninterpretado la información representada engráficas circulares, ahora se espera quetambién las construyan y analicen.Propósito de la sesión. Interpretarinformación representada en gráficasde barras y circulares de frecuenciaabsoluta y relativa.Organización del grupo. Para estasesión es conveniente que losalumnos trabajen en parejas, exceptoen el apartado Lo que aprendimos,que es individual.Sugerencia didáctica. Estainformación puede aprovecharse parahablar sobre los censos, qué son ypara qué sirven.Propósito de la actividad. Laintención con la que se hacen laspreguntas del inciso a) es quelos alumnos analicen la gráfica ysepan qué tipo de información esla que proporciona y qué cosas nopueden saberse por la manera enque se organiza dicha información.Permítales contestarlas sin darles aúnexplicaciones.Respuestas.a)La primera pregunta no puedecontestarse porque en el eje verticaldice “número de personas”, pero nose sabe cuántas de esas personasson niños.La segunda sí se puede contestar: hay300 000 personas con discapacidadauditiva.secuencia 2372En esta secuencia aprenderás a interpretar información representadaen gráficas de barras y circulares de frecuencias absoluta y relativa,proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. También veráscómo comunicar información proporcionada por estudios sencillos,eligiendo la forma de representación más adecuada.Qué dicen las gráficasPara empezarDos de las maneras más utilizadas para presentar información son la gráfica de barras yla gráfica circular. Debido a su forma sencilla, resultan muy útiles para representar losdatos obtenidos en encuestas y estudios sobre diversos temas.Consideremos lo siguienteSegún el XII Censo General de Población y Vivienda, la población de México en el año2000 era de 99 722 200 habitantes, de los cuales 1 795 000 presentaban al menos untipo de discapacidad. Dicho censo consideró 5 tipos de discapacidad.La siguiente gráfica muestra la cantidad de personas que padecen cada tipo de discapacidad.a) ¿Cuál de las siguientes preguntas puede contestarse a partir de la información queproporciona la gráfica? Márquenla con una¿Cuántos niños padecen la discapacidad motriz?¿Cuántas personas tienen discapacidad auditiva?sesión 1Gráficas de barrasy circularesFuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.Población de discapacitados en MéxicoNúmerodepersonasdiscapacitadas(enmiles)10008006004002000Motriz Visual Lenguaje Auditiva MentalTipo de discapacidadPropósitos de la secuenciaInterpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta yrelativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información provenien-te de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos1Qué dicen las gráficasInterpretar información representada engráficas de barras y circulares de frecuenciaabsoluta y relativa.2Gráficas de barrasElaborar e interpretar una gráfica de barras defrecuencia relativa.Español ISecuencia 103Gráfica circularElaborar e interpretar una gráfica circular.Video“El rating en latelevisión”Español ISecuencia 14
  • 73. 73Respuestas.a) Son 5: motriz, visual, lenguaje,auditiva, mental.b) La más frecuente es la motriz (esla barra más alta en la gráfica). Lamenos frecuente es la de lenguaje(es la barra más corta en lagráfica).c) Es importante comentar estapregunta porque los alumnossuelen cometer errores comoel que se plantea al analizar lainformación contenida en gráficasy tablas. En el eje vertical de lagráfica dice “número de personas”y también “en miles”. Esto quieredecir que el número al que llegala altura de cada barra en lagráfica debe multiplicarse por mil.Los datos se escriben así para notener que poner muchos ceros enlos números de los ejes, lo cualdificulta la lectura. Por lo tanto, nohay 800 personas con discapacidadmotriz, sino 800 000.d) Motriz, visual, auditiva y mental.e) Hay 800 000 con discapacidadmotriz, y aproximadamente450 000 con discapacidad visual,85 000 con discapacidad delenguaje, 300 000 auditiva y300 000 mental. El cálculo delnúmero de personas se hace por laaltura de la barra. Si es necesariohay que medirlas.f) No, la suma de los datos anterioresexcede los 1 795 000, aunqueel número total de personas conalguna discapacidad no cambia, loque sucede es que hay personascon más de una discapacidad.g) Una persona puede tener más deun tipo de discapacidad.73MATEMÁTICAS Ib) Escriban tres preguntas que se puedan contestar con la información que proporcionala gráfica.Pregunta 1:Pregunta 2:Pregunta 3:Lean al grupo una de las preguntas que escribieron y pidan que se las respondan.Manos a la obraI. Observen la gráfica anterior y contesten las siguientes preguntas.a) ¿Cuáles son los tipos de discapacidad que reporta el XII Censo General de Pobla-ción y Vivienda?b) ¿Cuál es la discapacidad más frecuente en México? ¿Y lamenos frecuente?c) Un alumno dice que en México hay 800 personas con discapacidad motriz. ¿Esesto cierto? ¿Por qué?d) En la gráfica hay cuatro tipos de discapacidades con al menos 300 000 personas,¿cuáles son?e) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presentala gráfica de barras.Tipo de discapacidad Número de personasTotal
  • 74. 742Propósito de la actividad.Interpretar la información presentadaen una gráfica circular. Cadasector representa un porcentaje, ya diferencia de la gráfica anterior,aquí sólo se consideran los datoscorrespondientes a una de lasdiscapacidades (la motriz) y sepresenta información nueva: el grupode edad en el que se encuentranquienes padecen tal discapacidad.Respuestas.a) 800 000b) Adultos mayores, adultos,jóvenes, niños.c) Sí, de las personas condiscapacidad motriz, 10% sonniños y 10% son jóvenes, es decirque hay la misma cantidad depersonas en cada grupo de edad(80 000).secuencia 2374f) ¿El número total de personas discapacitadas que obtuvieron en la tabla es igual alque señala el INEGI de 1 795 000 personas?g) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones justifica esta situación? Subráyenla.• Existe un error en los datos que se recolectaron.• El número de personas con discapacidad aumenta conforme a la edad.• Una persona puede tener más de un tipo de discapacidad.ii. La siguiente gráfica muestra, según el grupo de edad, los porcentajes de personas enMéxico que tienen discapacidad motriz.a) ¿Cuántas personas tienen discapacidad motriz en México?b) ¿En cuáles grupos de edad se manifiesta más esta discapacidad?Un alumno planteó la siguiente pregunta: ¿Habrá la misma cantidad de niños que dejóvenes con discapacidad motriz?c) ¿Podrán contestar esta pregunta con la información que proporciona la gráfica?¿Cómo podrían saberlo?Distribución de la población con discapacidad motrizpor grupo de edad en porcentajeNiños10 %Adultos30 %Jóvenes10 %Adultos mayores50 %Número total de personas con discapacidad motriz: 800 000Fuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.
  • 75. 753Sugerencia didáctica. Comentenlo que aprendieron en la secuenciaanterior sobre la frecuencia absolutay relativa.75MATEMÁTICAS Id) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presentala gráfica circular.Grupo de edad Número de personas PorcentajeTotal 800 000 100%A lo que llegamosLas gráficas de barras y las gráficas circulares nos permiten compa-rar la forma en que se distribuyen los atributos o características enuna cierta población o muestra, ya sea que los datos se expresenmediante frecuencias absolutas o relativas.En el caso de que los datos de la gráfica estén expresados comofrecuencias relativas y se conozca el total de la población, como es elcaso de la gráfica circular anterior, es posible determinar con exacti-tud la frecuencia con que se observa cada uno de los atributos en lapoblación.Lo que aprendimosLa siguiente gráfica presenta el resultado de una encuesta realizada a un grupo de200 personas sobre su nivel máximo de estudios.PorcentajeNivel máximo de estudiosPrimaria Secundaria Bachillerato Licenciatura50403020100Adultos Mayores 400 000 50%Adultos 240 000 30%Jóvenes 80 000 10%Niños 80 000 10%
  • 76. 76Respuestas.a) Sugiérales que calculen elporcentaje representado porcada barra, si es necesario,midiendo cada una. La suma de losporcentajes debe ser 100%. Las frecuencias relativas seobtienen de la siguiente manera:sabemos que la encuesta se realizóa 200 personas. Los que cursaronhasta primaria son el 45% de esos200, es decir, 90 personas ( w O p P p ), yasí con los demás valores. La tabladebe mostrar los siguientes datos:Frecuencia Frecuencia/relativa PorcentajePrim. 90 w O p P p = 0.45 45%Sec. 50 wTpPp = 0.25 25%Bach. 40 wRpPp = 0.2 20%Lic. 20 wWpPp = 0.1 10%b) La primera es incorrecta, sinembargo, algunos alumnos podríanpensar lo contrario porque enla tabla se muestra que quienesterminaron la licenciatura son10%, pero ese porcentaje estáreferido al total de personasencuestadas, que son 200, por lotanto, 10% de 200 es 20. La segunda también esincorrecta. La suma de losporcentajes de quienes tienencomo nivel máximo de estudiosla secundaria y los que tienenel bachillerato es 45%, lo queequivale a 90 personas. La tercera es correcta. El 45%de las personas encuestadasestudiaron hasta la primaria. La cuarta es incorrecta. Delas personas encuestadas,exactamente 20% cursaron elbachillerato.secuencia 2376a) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias a partir de la información queproporciona la gráfica.b) Según los datos registrados en la gráfica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones escorrecta? Subráyala con una línea roja.• Un total de 10 personas tienen licenciatura como nivel máximo de estudios.• De las personas encuestadas 30 tenían, como nivel máximo de estudios, secun-daria o bachillerato.• El 45% de las personas entrevistadas sólo terminaron la primaria.• Menos de 20% de las personas encuestadas estudiaron hasta bachillerato.Gráficas de barrasPara empezarExisten diversas situaciones en las que se requiere comparar valores, por ejemplo, cuandose trata de definir a un ganador o establecer el valor más frecuente.Consideremos lo siguienteUna agencia de automóviles da un bono mensual al vendedor que logre hacer mayoresventas. Para motivar a los vendedores, se les muestra el número de autos que llevanvendidos y el monto de sus ventas. En cierto mes se presentó la siguiente gráfica:El gerente le dijo a Gustavo que el importe de las ventas de otro vendedor es el doble delas que hizo él.a) ¿En qué creen que se basa el gerente para hacer esa afirmación?b) ¿Es correcta? ¿Por qué?Comparen sus respuestas.sesión 21 200800400Ricardo Fernando Gustavo AntonioVendedoresTotal de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembreVentas(milesdepesos)Propósito de la sesión. Elaborar einterpretar una gráfica de barras defrecuencia relativa.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos trabajen en parejas,excepto en el apartado Lo queaprendimos, que es individual.Respuestas.a) En la gráfica podría parecer queRicardo vendió el doble queGustavo, porque la barra querepresenta las ventas de Gustavotiene la mitad del tamaño de la deRicardo.b) No, debido a que el eje verticalno empieza en 0 sino en 400 000.Observando con cuidado los datospodemos ver que 1 200 000 no esel doble de 800 000.
  • 77. 77Propósito de la actividad. Ademásde reconocer que el eje verticalempieza desde 0, se espera quelos alumnos se percaten de que loimportante no es cuántas divisioneshaya sino lo que representa cada una.Por ejemplo, para representar ciertainformación, el eje de una gráficapuede:- Empezar en 0, terminar en 120y tener 12 divisiones (cada unarepresenta 10 segundos).- Empezar en 0, terminar en 120y tener 4 divisiones (cada unarepresenta 30 segundos).En ambos casos la informaciónrepresentada no cambiará, pero unade las opciones puede ser más cómodaque la otra, dependiendo de los datoscon los que se esté trabajando.Sugerencia didáctica. En estagráfica, como en otras anteriores, hayque multiplicar por mil los valores deleje vertical. Si algunos alumnos no lohan notado podrían responder queGustavo ha vendido $800. Hágales verque ese monto no corresponde a losprecios de los autos e invítelos a leercon cuidado la información de la gráfica.Respuestas.a) $800 000.b) $1 200 000.c) Es 1.5 veces más grande (una vez ymedia).d) La de Ricardo es el doble de altaque la de Gustavo.e) Hay que agregar la casilla del otrovendedor en el eje horizontal yhacer que el eje vertical comienceal menos en 200.77MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Con la información que proporciona la gráfica, respondan las siguientes preguntas:a) ¿Cuál es el importe de las ventas de autos que hizo Gustavo?b) ¿Y las de Ricardo?c) ¿Cuántas veces más grande es el importe de las ventas de Ricardo que el importede las ventas de Gustavo?d) ¿Cuántas veces más alta es la barra que representa las ventas de Ricardo que labarra que representa las ventas de Gustavo?e) Si el importe de las ventas de un quinto vendedor fuera de $200 000, ¿qué cam-bios habría que hacer en la gráfica para representarla?A lo que llegamosEn una gráfica de barras, la altura de cada barra debe ser proporcional a la cantidad querepresenta.Observa que en la gráfica anterior esto no ocurre. Para corregirla hay que considerar eleje de las ventas como una recta numérica que va de 0 a un valor máximo adecuado a lasituación, y dividirla en un número conveniente de partes iguales.II. Completen la siguiente gráfica de modo que incluya la venta del quinto vendedor.1 4004000Ricardo Fernando Gustavo AntonioVendedoresTotal de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembreVenta(milesdepesos)1 2001 000800600200Otro vendedor
  • 78. 78Respuestas.a) De cero.b) $1 400 000.c) Está dividida en 7 partes y cadauna representa $200 000.d) No, para que la barra querepresenta las ventas de Ricardofuera del doble de tamaño quela de Gustavo tendría que habervendido el doble que Gustavo, esdecir $1 600 000.Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que copien esta informaciónen sus cuadernos.secuencia 2378a) ¿A partir de qué valor empieza la escala que representa el importe de las ventas?b) ¿Cuál es el máximo valor que está representado en esa escala?c) ¿En cuántas partes está dividida? ¿Qué valor representa cadaparte?d) ¿La altura que representa la barra de Ricardo mide el doble de la de Gustavo?¿Cuánto debió haber vendido Ricardo para que esto sucediera?A lo que llegamosLa gráfica de barras o diagrama de barras facilita la comparación de datos, al interpretarla altura o la longitud de las barras.Cómo trazar una gráfica de barras:• Determinen el número de barras que necesitarán en el eje x (horizontal) pararepresentar los datos, de acuerdo con el número de atributos o cualidades quese observan.• A partir del origen, definan la escala en el eje y (vertical) considerando los valoresmínimo y máximo que se proporcionan. Marquen la escala y anoten las unidades.• Definan el ancho de las barras y el espacio que se dejará entre ellas. Marquen losanchos y rotulen las barras. Con la escala del eje y como referencia, tracen la alturade las barras.• Asignen un título a la gráfica.Lo que aprendimos1. Se le preguntó a un grupo de personas a cuál de los siguientes personajes les gustaríamás haber conocido. La siguiente tabla muestra los resultados de la encuesta:PersonajeNúmero de votosAdultos NiñosBenito Juárez 16 7Miguel Hidalgo 22 18Emiliano Zapata 24 31Francisco I. Madero 9 15
  • 79. 79Respuesta. En los recuadros de laizquierda van los números 0 y 30(cada división representa 10 votos).El título debe corresponder a lainformación presentada en la tabla.Podría ser algo como “Personaje alque más le hubiera gustado conocer”.Hay que escribir al lado del cuadritode abajo que las barras moradasrepresentan los votos de los niños.Propósitos de la actividad. En lasactividades 2 y 3 se pretende que losalumnos:- Representen la información dediversas formas (en una tabla,gráfica de barras, circular, etc.)y que comprendan que ésta nocambia.- Aprendan a utilizar escalasapropiadas a los datos que esténmanejando.- Representen tanto la frecuenciaabsoluta como la relativa.Integrar al portafolios. Pida a losalumnos una copia de la gráfica queelaboren y analícela para ver si hancomprendido lo trabajado en la sesión.79MATEMÁTICAS IUtiliza la información que presenta la tabla anterior para completar la siguiente gráficade barras.2. En la sesión 2 de la secuencia 22, aprendiste a construir las tablas de frecuencia. Uti-liza la información de la tabla que presenta los resultados de la carrera de 1 000 mpara construir, en tu cuaderno, la gráfica de barras que le corresponde.a) Compárala con las que elaboren tus compañeros. ¿Eligieron el mismo tipo de escala?¿Por qué?b) ¿Qué título y etiquetas le pusieron?3. En la secuencia 10 La jaula de oro, de tu libro de Español I, volumen II estudiaste lamigración a los Estados Unidos. Además, realizaste una encuesta.a) Elabora una gráfica de barras con los datos que obtuviste en la pregunta: ¿Cuál esla actividad que desempeñan en los Estados Unidos?b) ¿Qué escala utilizarás?20Númerodevotos10Benito Juárez Miguel Hidalgo Emiliano Zapata Francisco I. MaderoAdultos030NiñosPersonaje al que más le hubiera gustado conocer1086420 300 320 330 340 350 360Tiempo registrado en segundosFrecuenciaResultados de la carrera de 1 000 metros
  • 80. 80secuencia 2380Gráfica circularPara empezarDurante el mes de septiembre de 2005, se llevó a cabo en Perú el Campeonato MundialJuvenil Sub 17 de la FIFA, y el equipo mexicano resultó campeón. En esta sesión analiza-rás y presentarás estadísticamente algunas cifras relacionadas con este tema.Consideremos lo siguienteUna revista deportiva presentó la siguiente información sobre los jóvenes futbolistas quese preparan para el próximo campeonato mundial Sub 17:a) De los 740 jugadores registrados, ¿cuántosson delanteros?b) ¿Y cuántos son porteros?c) Hay 37 jugadores delanteros zurdos. Si serequiere que en la gráfica se distingan losdelanteros diestros de los zurdos, ¿quécambio debe hacerse en la gráfica? Con-testen en su cuaderno.sesión 3Manos a la obrai. Observen la gráfica circular anterior y contesten las siguientes preguntas:a) ¿Qué información proporciona?b) ¿Cuál es la posición en la que hay más jugadores?c) ¿Qué fracción de la gráfica representa el porcentaje de defensas?d) ¿Cuántos jugadores defensas hay? ¿Qué fracción representandel total de jugadores registrados?e) ¿Qué porcentaje representan los delanteros zurdos del total de jugadores registra-dos?f) ¿Qué porcentaje le correspondería a los delanteros diestros?g) ¿Cuánto es la suma de los porcentajes de delanteros zurdos y delanteros diestros?h) ¿Cómo representarían el porcentaje de delanteros zurdos y el de delanteros dies-tros en la gráfica?Tercera divisiónprofesional de futbol.Relación de menoresnacidos en 1990 o más,por posiciones,al 7 de octubre de 2005.740 jugadoresregistrados.Fuente: Revista Futbol Total, 2005.Medios 35%Delanteros 30%Defensas 25%Porteros 10%Comparen sus respuestas.Propósito de la sesión. Elaborar einterpretar una gráfica circular.Organización del grupo. En esta sesiónse sugieren actividades que se resuelvenen equipo, en parejas e individualmente.Respuestas.a) El 30% de 740 es igual a 222.b) El 10% de 740 es igual a 74.Sugerencia didáctica. Es probable quelos alumnos no sepan cómo modificar lagráfica circular, en cuyo caso convieneque comenten cuáles son sus dudas ycontinúen resolviendo la sesión, ya quemás adelante aprenderán cómo hacerlo.Posibles procedimientos. Para conocerqué porcentaje representan los 37delanteros zurdos podrían:- Calcular qué porcentaje representandel total de jugadores registrados(740), con lo cual obtendrían 5%.- Calcular qué porcentaje representandel total de delanteros (222), con locual obtendrían 17% (redondeando).Ambos datos son correctos, sin embargo,para hacer el trazo que se pide enla gráfica se deben seguir distintosprocedimientos, dependiendo de con cuálde ellos se trabaje.Para trazar la “rebanada” correspondientea los 37 delanteros zurdos podrían:- Partir la “rebanada” de los delanteros“a ojo”, dividiéndola en 25% de losderechos y 5% de los zurdos. La ideaes acertada pero puede ser inexacta ladivisión, por lo que se le considera unprocedimiento incorrecto.- Partir la “rebanada” de los delanteros(30% del total de jugadores)restándole 17% y trazando “a ojo”13% resultante. Este procedimientoes incorrecto, porque los delanterosrepresentan el 30% del totalde jugadores, y el 17% son losdelanteros zurdos del total dedelanteros. Para hacer un trazocorrecto tendrían que calcular 17% de108º (es la medida del ángulo centralque representa 30%), obteniendo 18º.Esa sería la medida del ángulo centralque representa a los 37 delanteroszurdos.- Trazar el 5% en la “rebanada” de losdelanteros. Los delanteros sonuW rW pW , ese número se multiplica por360º (son los grados que mide todoel círculo). La “rebanada” de 5%tendría 18º. También puede calcularseasí: hay que dividir los 360º delcírculo entre 100 (el porcentaje) parasaber cuántos grados tendría 1%, yel resultado multiplicarlo por 5. Los18º resultantes se trazan en el 30%correspondiente a los delanteros. Estosson procedimientos correctos.- “Acomodar” una rebanada querepresente aproximadamente 5%quitando un poquito a todas las demás.Este procedimiento es incorrecto.Respuestas.a) Número de jugadores menores nacidosen 1990 o más, por posición, en latercera división profesional.b) Medios.c) Es la cuarta parte de la gráfica.d) Hay 185 defensas y representan lacuarta parte del total.e) Es 5% (37 de 740).f) 25% (30% menos el 5%).g) 30%.h) Se debe dividir la partecorrespondiente a los delanteros.Ahora el 5% será para los delanteroszurdos (37 es el 5% de 740) y el 25%para los delanteros derechos.
  • 81. 8181MATEMÁTICAS IA lo que llegamosA la gráfica circular se le llama también de pastel o diagrama de sectores.Cómo trazar una gráfica circular:Deporte favorito FrecuenciaBasquetbol 10Futbol 20Natación 4Volibol 6Total de alumnos 40• Se calcula la fracción que corresponde a cada una de las preferencias por cada depor-te. Por ejemplo, el basquetbol representa , o sea de los votos totales.• Se multiplica la fracción por los 360° que corresponden a todo el círculo. Por ejemplo,× 360° = 90°. Ésta es la medida del ángulo central que corresponde a la preferenciade basquetbol. Con este ángulo (90°) se traza el sector circular que representa lacantidad de personas a las que les gusta practicar el basquetbol.Así, se obtiene el ángulo para cada uno de los demás datos, como se muestra en la tabla:DeporteCantidad de personasque lo prefierenFrecuencia relativa(fracción del círculo)Ángulo central de:Basquetbol 10 = × 360° = 90°Futbol 20 = × 360° = 180°Natación 4 = × 360° = 36°Volibol 6 = × 360° = 54°Total 40 = 1 1 × 360° = 360°• Se traza el círculoy se marcan losángulos centrales.• Se nombran las partesde la gráfica.• Se anota el títulode la gráfica circular.Preferencias de deporteque les gusta practicara los alumnos de 1ºBasquetbol 25%Futbol 50%Natación 10%Volibol 15%Sugerencia didáctica. Es convenientevincular esta actividad con losconocimientos de la secuencia 13Polígonos regulares para trabajarcon los ángulos a los que equivale elporcentaje.Hagan una o dos gráficas circularescon datos de esta misma secuenciapara practicar.
  • 82. 82secuencia 2382El rating en la televisiónLa medida que se utiliza para conocer la aceptación de un programa de televisión porparte de los televidentes se llama rating, y existen diferentes formas de medirlo. Con estamedida las televisoras definen, entre otras cosas, el horario de transmisión de los progra-mas y su duración.Lo que aprendimos1. En la sesión 3 de la secuencia 22, Tablas de frecuencia absoluta y relativa, comple-taste la siguiente tabla.Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo (1992 y 2002)Año 1992 2002Nivel educativo Total Porcentaje Total PorcentajePreescolar 2 858 890 3 635 903Primaria 14 425 669 14 857 191Secundaria 4 203 098 5 660 070Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003.BaladaRockRancheraCumbiaClásicaii. Se aplicó una encuesta a un grupo de alumnos, y con los datos obtenidos se elaboróla siguiente gráfica.a) ¿Qué tipo de música es el que más le gusta a los alumnos?b) ¿Qué fracción de la gráfica representa?c) Expresado en porcentaje, ¿cuánto le corresponde?d) ¿A qué porcentaje de los alumnos de primero les gusta el rock?e) ¿Qué relación encuentran entre los alumnos a los que les gustaescuchar la música ranchera y a los que les gusta la cumbia?f) ¿Qué fracción de la gráfica representa a los que prefieren músi-ca clásica, si se sabe que es la mitad de los que prefieren músicaranchera?a) Anota en la tabla los porcentajes que corresponden a cada año.b) Construye en tu cuaderno las gráficas circulares que representan la informaciónde la tabla.Tipo de música queprefieren los alumnosde primero.Respuestas.a) La balada.b) Es wQ .c) Al 50%.d) Al 25%.e) Los sectores son del mismotamaño, por lo tanto, la músicaranchera y la cumbia les gustan ala misma cantidad de alumnos.f) Es 5%. Entre la balada y el rockllevamos 75%, el 25% restante sereparte con 10% ranchera,10% cumbia y 5% clásica.Propósito del video. Visualizar laconstrucción de una gráfica circular.Sugerencia didáctica. Si se sumanlos porcentajes no se obtiene100% debido a que se quitancifras decimales (por ejemplo,el porcentaje que representa lamatrícula de preescolar en 1992es 13.304800984118… pero paramanejar con facilidad los datosse suelen anotar sólo las primerascifras decimales). Coméntelo con losalumnos.Integrar al portafolios. Pida a losalumnos que le entreguen al menosuna de las dos gráficas circulares quehagan. Si no son correctas, resuelvanjuntos todo este apartado (Lo queaprendimos) para aclarar dudas yhacer correcciones.b) Redondeando, en la gráfica de1992 pueden tomarse ángulosde 50º, 240º y 70º. En la de2002 de 54º, 216º y 90º parapreescolar, primaria y secundaria,respectivamente. 13.3% 15.05% 67.13% 61.51% 19.56% 23.43%Matrícula en Educación Básica por niveleducativo (1992)20 %13 %67 %Preescolar Primaria Secundaria23 %15 %62 %Preescolar Primaria SecundariaMatrícula en Educación Básica por niveleducativo (2002)
  • 83. 8383MATEMÁTICAS I2. En la secuencia 14, La TV ¿Ventana al mundo o “caja idiota?, de su libro de Español I,volumen II realizaron una encuesta sobre el impacto de la televisión en su familia;posteriormente, registraron los datos que reunieron todos los alumnos del grupo enuna tabla. Ahora, en su cuaderno deberán utilizar esa información para presentarlaen gráficas de barras o circulares, según sea conveniente para dar respuesta a las si-guientes preguntas.a) ¿Cuántas horas permanece encendido el televisor durante el día?b) ¿En qué tipo de gráfico es más conveniente presentar esta información?c) ¿Qué opinan otros compañeros? Si representaron de manera diferente la informa-ción, anoten por qué.3. Una forma de recolectar datos es apli-cando una encuesta.a) Utilicen las siguientes preguntas pa-ra encuestar a un grupo de personas(pueden ser sus compañeros de gru-po, todos los estudiantes de su es-cuela o algunas de las personas desu comunidad).b) Una vez que hayan recopilado losdatos, cada equipo deberá presen-tar en una gráfica de barras o circu-lar los resultados de una de las pre-guntas de la encuesta. Si hay másde cuatro equipos en el grupo, noimporta que se presenten más dedos gráficas de la misma pregunta.Compárenlas y determinen qué grá-fica es mejor y está más completa.Para saber másConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana,Libros del Rincón, 2003.Sobre información para conocer otras estadísticas de los jugadores de futbol, consulten:http://www.terceradivision.com.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Queremos conocer tus interesesEncuesta de entretenimientoContesten marcando una opción en cada pregunta.1 ¿Cuál es el tipo de música que te gusta escuchar?a. gruperab. rockc. cumbiad. clásicae. balada2 ¿Cuál es el tipo de programa que te gusta veren la televisión?a. noticiasb. comediasc. caricaturasd. musicalese. concursos3 ¿Cuál es el deporte que te gusta practicar?a. basquetbolb. futbolc. nataciónd. volibol4 ¿Cuál es el tipo de película que te gusta ver?a. suspensob. terrorc. comediad. dramae. infantil2Sugerencia didáctica. Recuerde alos alumnos que organicen los datosobtenidos en una tabla, en la queseñalarán la frecuencia relativa y elporcentaje para facilitar la elaboraciónde la gráfica.
  • 84. 84secuencia 2484En esta secuencia enumerarás los posibles resultados de una expe-riencia aleatoria y utilizarás la escala de la probabilidad entre 0 y 1expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje. Además, esta-blecerás cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tienemayor probabilidad de ocurrir y justificarán su respuesta.Probabilidad frecuencialPara empezarLa mayoría de las personas nos hemos enfrentado a situaciones en las que hay más de unaalternativa y, sin tener preferencia por alguna, hemos dejado que la “suerte” lo decida. Enmatemáticas, decimos que es una situación de azar o aleatoria, y aunque no podemosasegurar cuál será su resultado, sí podemos determinar los posibles resultados.Consideremos lo siguienteSi lanzas 10 veces una moneda al aire, ¿qué crees que suceda? ¿Caerán más águilas o mássoles?Manos a la obrai. Cada integrante del equipo, por turno, lanza una moneda 10 veces al aire. Registrenen la siguiente tabla los resultados de los tres integrantes. Tachen a si cae águila y ssi cae sol.sesión 1JugadorNúmero de volado Total porresultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°Jugador 1A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SJugador 2A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SJugador 3A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SPrimer juegoNociones deprobabilidadPropósitos de la secuenciaEnumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experienciaaleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Probabilidad frecuencialObtener la probabilidad frecuencial expresada enforma de fracción, decimal y porcentaje.Interactivos“Lanza monedas”“La ruleta”Aula de medios“Probabilidad frecuencial” (Hoja de cálculo)2Probabilidad clásicaCalcular la probabilidad clásica de eventos simplese interpretar la escala de la probabilidad.Interactivo“Bolsa con canicas”3Comparación de probabilidades IExplorar y analizar la relación entre la probabilidadfrecuencial y la clásica.Video¿Qué es más probable?4Comparación de probabilidades IICalcular las probabilidades de diversos eventos ydistinguir entre ellos cuál es más probable queocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen lamisma probabilidad de ocurrir.EjeManejo de la información.TemaAnálisis de la información.AntecedentesDurante la escuela primaria los alumnos hanrealizado experimentos aleatorios, definidoel espacio muestral y registrado la frecuenciacon la cual se presenta un resultado. Ahoraaprenderán a obtener la probabilidadfrecuencial y la clásica, y explorarán larelación entre ellas.Propósito de la sesión. Obtener laprobabilidad frecuencial expresadaen forma de fracción, decimal yporcentaje.Organización del grupo. La mayoríade las actividades las resolverán enparejas o en equipos de tres.3Propósito de la pregunta. En estepunto se busca que los alumnosexpresen sus ideas basándose en suexperiencia, más adelante trabajaránsituaciones que les permitirán conoceralgunos aspectos de la probabilidad yel azar.1Sugerencia didáctica. En estasesión, y en general en todas lasque tratan temas de probabilidadfrecuencial, es muy importanteque los alumnos realicen todos losexperimentos.Propósito del interactivo.Desarrollar una noción deprobabilidad frecuencial al enumerarposibles resultados de lanzar unamoneda.
  • 85. 8585MATEMÁTICAS IContesten las siguientes preguntasa) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador?b) ¿Cuántos soles por jugador?c) Si vuelven a jugar, ¿creen que obtendrán los mismos resultados?d) Realicen el juego dos veces más y marquen los resultados de cada torneo.JugadorNúmero de volado Total porresultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°Jugador 1A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SJugador 2A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SJugador 3A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SJugadorNúmero de volado Total porresultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°Jugador 1A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SJugador 2A A A A A A A A A AS S S S S S S S S SJugador 3A A A A A A A A A AS S S S S S S S S Se) De los tres juegos que realizaron, ¿en cuál obtuvieron más águilas?f) ¿En cuál obtuvieron más águilas los otros jugadores?Segundo juegoTercer juego3Propósito de las preguntas.Aunque es posible obtener los mismosresultados, es poco probable quesuceda, sin embargo, una vez más laintención es que los alumnos expresensus ideas sobre la probabilidad ensituaciones aleatorias.
  • 86. 86Sugerencia didáctica. Si lo consideraútil, recuerde a los alumnos que:- La suma de las frecuencias debeser 90 (en este caso).- La suma de las frecuenciasrelativas debe ser 1(en cualquier caso).- La suma de los porcentajes debeser 100% (en cualquier caso).Sugerencia didáctica. Es importanteanalizar con los alumnos la tablaque llenaron. Hágales notar que enuna situación aleatoria la frecuenciarelativa es la probabilidad frecuencial.Propósito de la actividad. Que losalumnos se percaten de lo que sucedecuando se efectúa un experimentoo juego de azar (como lanzar unamoneda) cuando la cantidad deensayos o registros (número delanzamientos) es mayor que en unexperimento anterior.Posibles dificultades. Algunas delas estrategias erróneas más comunesy sistemáticas que presentan losalumnos surgen de situaciones comolas siguientes:- Desconocer los efectos deconsiderar pocos resultados sobrela precisión de las estimaciones.Por ejemplo, considerar suficientesdiez lanzamientos.- Confiar, sin fundamento, en unapredicción basada en informaciónno válida (supersticiones). Porejemplo, creer que se le puedepasar “buena vibra” a la monedapara que caiga un cierto resultado.- Creer que la aparición de unaracha a favor de un resultadoaumenta la probabilidad delcontrario. Por ejemplo, creer quesi la serie de lanzamientos de unamoneda ha sido AAASSSSAAA,en el siguiente lanzamiento debecaer sol.- Creer que SASASASASA es unaserie de volados más probable quela anterior.secuencia 2486h) Calculen la probabilidad frecuencial del evento “caer sol” que obtuvieron en susprimeros 10 lanzamientos.P (caer sol en el grupo) =Número de veces que cae sol=Número total de lazamientos 10g) Consideren los resultados de los tres jugadores y completen la siguiente tabla.Resultados en elequipoFrecuenciaFrecuenta relativaPorcentajeFracción DecimalTotal de lanzamientos 90 1 100%Caer águilaCaer solRecuerda que:Un experimento ofenómeno es aleato-rio si su ocurrenciapresenta variosresultados posibles yno se puede asegurarcuál de ellos seobtendrá.Al cociente entre el número de veces que ocurre el evento y el número de veces que serealizó el experimento se le llama probabilidad frecuencial de un evento. Con los resul-tados obtenidos en tu equipo pueden calcular la probabilidad frecuencial de obteneráguila o de obtener sol. Se calcula así:P (caer águila en el equipo) = Número de veces que cae águilaNúmero de lanzamientosP (caer águila en el equipo) se lee: probabilidad de caer águila en el equipo.P (caer sol en el equipo) = Número de veces que cae solNúmero de lanzamientosii. Ahora consideren los resultados de todo el grupo.a) Calculen la probabilidad frecuencial del evento caer águila que se obtuvo entodo el grupo.Resultadosen el grupoFrecuenciaTotal delanzamientosCaer águilaCaer solP (caer águila en el grupo) =Número de veces que cae águila=Número total de lanzamientos
  • 87. 87Recuerde que.Si se repite muchas veces unexperimento aleatorio en condicionesidénticas, la probabilidad frecuencialse va acercando a la clásica.En el caso de los volados, tenderáa wQ o 0.5 porque en una monedaque no esté “cargada” es igualmenteprobable que caiga sol o que caigaáguila. Sin embargo, la probabilidadfrecuencial del evento caer águila en elgrupo no necesariamente será iguala wQ  .Respuestas. No necesariamentese obtendrá la misma probabilidadfrecuencial, aunque es posible.Además, hay que considerarque se puede obtener la mismaprobabilidad frecuencial pero quizála serie de lanzamientos tenga otrocomportamiento, es decir, puede serAAASSSSSAA o SASSSAASAA, porejemplo.Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que copien en sus cuadernosla información del recuadro.87MATEMÁTICAS Ib) Completen la siguiente tabla, escribiendo en forma de fracción, número decimal yporcentaje la probabilidad frecuencial de los eventos “caer águila en el equipo” ycaer águila en el grupo. Comparen estas probabilidades.EventoProbabilidad frecuencialFracción Decimal PorcentajeCaer águila en el equipoCaer águila en el grupo¿Es mayor la del equipo? ¿Es menor? ¿Es igual?c) ¿Creen que si repiten el experimento de lanzar 10 veces una moneda obtendránlamismaprobabilidadfrecuencial?¿Porqué?A lo que llegamosLa probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experienciade algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar afuturo un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo quees importante saber interpretar los resultados que se obtienen.La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), seobtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre elnúmero total de veces que se realizó el experimento.P (A) =Número de veces que ocurre el eventoNúmero total de veces que se realiza el experimentoComo el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, laprobabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse enforma de fracción, número decimal y porcentaje.
  • 88. 88Respuestas.a) 300 volados.b) 120 veces (300 – 180).c) En el experimento realizado selanzaron 300 volados y cayó águilael 60% de las veces, por lo tanto,en 100 volados se esperaría que60 fueran águila, pero no se puedesaber con certeza porque es unexperimento aleatorio.Propósito del interactivo.Desarrollar una noción deprobabilidad frecuencial al enumerarlos posibles resultados de girar unaruleta.Sugerencia didáctica. Si resultadifícil construir la ruleta,, puedenhacer el experimento con 6 papelespintados con los colores de la mismao marcados con el nombre del color.Se ponen los papeles en una bolsa queno sea transparente. En vez de girarla ruleta, se saca un papel y cuandohayan visto el color lo regresan a labolsa hasta completar 50 extracciones.secuencia 2488Lo que aprendimos1. La siguiente tabla muestra los resultados que se obtuvieron en un grupo al lanzaruna moneda. Con estos datos, contesten las siguientes preguntas.EventoProbabilidad frecuencialFracción Decimal PorcentajeCaer águila en elgrupo = 0.60 60 %a) ¿En total, cuántos volados se realizaron en el grupo?b) ¿En total, cuántas veces cayó sol?c) De acuerdo con la probabilidad frecuencial del evento caer águila obtenida por elgrupo, si se realizan 100 volados, ¿en cuántos caerá águila?Resultados en el equipoEvento Conteo FrecuenciaProbabilidad frecuencialFracción Decimal PorcentajeCae elcolor azulCae elcolor moradoCae elcolor verdeTotal 50 100%2. Elaboren una ruleta como la que se muestra en el dibujo. Puedenayudarse con el procedimiento para trazar un hexágono de lasegunda sesión de la secuencia 13 Polígonos regulares.Cada integrante del equipo, por turnos, hace girar la ruleta. Paraello pueden desdoblar un clip y colocar un extremo en el centrode la ruleta. Anoten en la siguiente tabla en qué color se detiene.Giren la ruleta 50 veces y completen la siguiente tabla.Integrar al portafolios. Una vezque los alumnos hayan hecho elexperimento, pídales que le denuna copia de la tabla. Cada equipoobtendrá frecuencias distintasdependiendo de los resultados delexperimento, pero revise que hayanescrito correctamente la probabilidadfrecuencial expresada como fracción,como decimal y como porcentaje. Sidespués de analizar las respuestasde los alumnos considera necesariohacer un repaso, resuelvan juntos elapartado Manos a la obra.
  • 89. 89Propósito de la sesión. Calcularla probabilidad clásica de eventossimples e interpretar la escala de laprobabilidad.Organización del grupo. La sesiónse trabaja en parejas y de maneraindividual.89MATEMÁTICAS IPRobabilidad clásicaPara empezarEn la sesión 4 de la secuencia 8, Problemas de conteo, trabajaste con un diagrama deárbol para contar los resultados posibles al lanzar dos dados.Consideremos lo siguienteEl siguiente diagrama de árbol muestra todos los resultados posibles que pueden obte-nerse al lanzar dos dados.sesión 2a) ¿Cuántos resultados diferentes en total puede haber al lanzar dos dados?Dado B Dado A Dado B1234561111111Dado A12345622222221234561234563333333123455444444412345655555556666666123456123456123456123456123456123456Resultados posiblesRespuesta.a) Son todos los resultados quepueden verse en el diagrama,es decir, 36. Esos 36 resultados constituyenel “espacio muestral”, o sea, elconjunto de todos los resultadosposibles al realizar un experimentoaleatorio.
  • 90. 90Respuesta.b) Es el 7, porque puede obtenerse de6 maneras distintas: (1,6), (2,5),(3,4), (4,3), (5,2) y (6,1).c) 2 y 12, ya que cada 1 puedeobtenerse de 1 sola manera: (1,1)y (6,6), respectivamente.Propósito de la pregunta. Loimportante aquí es que los alumnoslean y analicen el diagrama, lasprobabilidades las calcularán después.Respuesta. Una vez que hayanexpresado sus opiniones, puedehacerles notar que un resultadomayor que 7 se obtiene de 15 distintasmaneras, y que uno menor o igual que7 se obtiene de 21 distintas maneras,por lo que no conviene apostar.Conviene apostar a obtener 7. Noconviene apostar a obtener 2 o 12.Respuestas.a) Faltan 13: (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),(6,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (4,4),(4,5), (4,6), (3,6).b) Son 15.c) eQ yTd) Hay un solo resultado mediante elcual se obtiene 12, (6,6).e) 1f) e Qy g) Son 6 resultados: (1,6), (2,5), (3,4),(4,3), (5,2), (6,1).h) Son 6.i) eYy secuencia 2490b) Si se hace referencia al evento “la suma de los puntos obtenidos en el lanzamien-to de dos dados”, ¿qué suma es más probable de obtener?c) ¿Qué suma tiene menos probabilidades de salir?d) Si en un juego con dos dados te ofrecen la siguiente apuesta: “Si obtienes de tusdados una suma mayor que 7, ganas; si no, pierdes”, ¿te arriesgarías a jugar?¿Por qué? ¿A qué suma le apostarías paratener más seguridad de ganar? ¿A qué suma no le apostarías?Comparen sus respuestas.Manos a la obrai. Dos resultados posibles para obtener una suma mayor que 7 son: (2, 6) y (3, 5).a) Anoten los resultados favorables que faltanb) ¿Cuántos resultados favorables son?c) Busquen determinar qué fracción del total de resultados posibles representan.d) ¿Cuáles son los resultados favorables del evento: “obtener una suma igual que 12al lanzar dos dados”?e) ¿Cuántos resultados favorables son?f) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles?g) Marquen en el siguiente diagrama rectangular los resultados favorables del even-to: “obtener una suma igual que 7 al lanzar dos dados”.Sumas que se obtienen al lanzar dos dados6 7 8 9 10 11 125 6 7 8 9 10 114 5 6 7 8 9 103 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6Caras del dado Ah) ¿Cuántos resultados favorables son?i) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles?CarasdeldadoB
  • 91. 9191MATEMÁTICAS IA lo que llegamosCuando se realiza un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultadossencillos posibles recibe el nombre de espacio de eventos o espacio muestral.Por ejemplo, en el caso de lanzar dos dados, uno azul y otro rojo se lanzan una vez y seanota el número de puntos que aparecen en cada uno. El espacio muestral son todoslos resultados sencillos posibles que se presentan en forma de diagrama de árbol.Si ahora se lanzan dos dados y se obtiene la suma de los puntos que aparecen encada uno, el espacio muestral es el que se observa en el diagrama rectangular.Evento(e)Resultados(dado A, dado B)Número deresultadosfavorablesal eventoProbabilidad clásica del eventoP (e)La suma de lascaras de dosdados al caeres mayor que 7(2, 6), (3, 5) número de resultados favorables =número total de resultados posiblesLa suma de lascaras de dosdados al caeres igual que 12número de resultados favorables =número total de resultados posiblesLa suma de lascaras de dosdados al caeres igual que 7número de resultados favorables =número total de resultados posiblesLa suma de lascaras de dosdados al caer esmenor que 12número de resultados favorables =número total de resultados posiblesLa suma de lacara de dosdados al caer esmenor que 7número de resultados favorables =número total de resultados posiblesj) Marquen en el mismo diagrama rectangular los resultados favorables del evento:“obtener una suma menor que 7”.k) ¿Cuántos resultados favorables son?A lo que llegamosSe llama probabilidad clásica de un evento al número P(e) que seobtiene por medio del cociente:P (e) =Número de resultados favorablesNúmero total de resultados posiblesII. Completen la siguiente tablaRespuestas.j) Son 15 resultados favorables: (1,5),(1,4), (1,3), (1,2), (1,1), (2,4), (2,3),(2,2), (2,1), (3,3), (3,2), (3,1), (4,2),(4,1), (5,1).k) eQ yTSugerencia didáctica. Si es posible,pida a los alumnos que tambiénexpresen la probabilidad con númerodecimal y mediante un porcentaje.
  • 92. 92Integrar al portafolios. Revise lasrespuestas de los alumnos a losincisos del a) al f). Si notadificultades, copie en el pizarrón latabla del número II de esta sección yresuélvanla juntos.Respuestas.a) Hay seis casos favorables para queel evento “obtener una suma iguala 7” ocurra, mientras que sólo hayun caso favorable para “obteneruna suma igual a 12”.b) Son igualmente probables porquehay 15 posibilidades en cada caso.c) Obtener una suma igual a 1 noestá en el espacio muestral porqueno hay casos favorables para talevento, así que su probabilidades e Py . La probabilidad de obteneruna suma igual a 6 es e T y  .d) La suma es igual a 13: e P y  La suma es número par:   La suma es igual a 7: e Y y La suma es menor que 13: eE yY  e) 36f) Cero.secuencia 2492a) Consideren la probabilidad de los siguientes eventos:¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una sumaigual que 12 o una igual a 7?b) ¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una sumamayor que 7 o una menor a 7?c) Calculen las siguientes probabilidades:P (la suma es igual que 1) =P (la suma es igual que 6) =¿A qué suma no le apostarían?d) Completen la siguiente tabla calculando la probabilidad clásica de cada eventoque se pide.EventoLa suma esigual que 13La suma es unnúmero parLa suma esigual que 7La suma esmenor que 13Probabilidad clásicanúmero de resultados favorablesnúmero total de resultados posiblese) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma seamenor que 13?f) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma seaigual que 13?A lo que llegamosPara obtener la probabilidad clásica de un evento no se requiere de larealización de experimentos, como en la probabilidad frecuencial, sinode conocer dos datos:El de todos los resultados posibles que se pueden dar en una situa-ción de azar, y el de los resultados favorables de un evento de esasituación:P (e)= Número de resultados favorables del eventoNúmero total de resultados posiblesSugerencia didáctica. Es importanteseñalar la diferencia entre laprobabilidad frecuencial y la clásica.Ambas se refieren a la probabilidad deque un evento ocurra en situacionesaleatorias, pero la frecuencial seobtiene a partir de los resultados deun experimento, y la clásica a partirdel análisis de la situación sin realizarel experimento.Sin embargo, se espera que cuandoun experimento se repita una grancantidad de veces, el valor de laprobabilidad frecuencial de unevento se aproxime al valor de suprobabilidad clásica. Por ejemplo, elvalor de la probabilidad clásica de“obtener una suma igual a 7” es e Y ydebido a que hay 6 de 36 formas deobtenerla. Si lanzamos muchas veces2 dados y reunimos los resultados, elvalor de probabilidad frecuencial deobtener una suma igual a 7 debe deaproximarse a e Y y .La notación utilizada es la misma enambos casos: p(e).
  • 93. 93Propósito del interactivo.Desarrollar una noción deprobabilidad frecuencial al enumerarlos posibles resultados de extraercanicas de una bolsa. Comparar lasprobabilidades clásicas con los datosexperimentales.Respuestas.a) wQb) rWc) rQPropósito de la sesión. Explorary analizar la relación entre laprobabilidad frecuencial y la clásica.93MATEMÁTICAS ILo que aprendimosEn una urna hay dos canicas blancas y dos negras. Extrae una canica de la urna, anota elcolor, y devuélvela a la urna; de nuevo extrae una canica y anota su color. De esta forma,dos extracciones sucesivas conducen a uno de estos cuatro resultados:¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos?a) Extraer dos canicas negras.b) Extraer dos canicas de diferente color.c) Extraer dos canicas blancas.comParación de Probabilidades iPara empezar¿Qué es más probable?La comparación de probabilidades permite determinar cuál es lamejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otrotipo de situaciones de azar.Consideremos lo siguienteEn una caja hay 10 tarjetas numeradas del 1 al 10.Si sacas una tarjeta al azar, ¿cuántos resultados posibles hay?¿Qué probabilidad existe de obtener un número par?Comparen sus respuestas.sesión 3A la probabilidad clásica se le llama también probabilidad teórica.Cuando el número de resultados favorables de un evento es el mismo que los resultadosposibles (espacio muestral), se trata de un evento seguro, y la probabilidad de ese even-to es igual a 1.Cuando el número de resultados favorables de un evento es 0, es decir, no hay casosfavorables, entonces se trata de un evento imposible y la probabilidad de ese evento es 0.Si el valor de la probabilidad de un evento es un número muy cercano a 0, se dice queese evento es poco probable, pero si el valor de la probabilidad de ese evento es unnúmero muy cercano a 1, entonces el evento es muy probable.Propósito del video. Identificary visualizar situaciones en las queobtienen la probabilidad frecuencial ysituaciones en las cuales obtienen laprobabilidad clásica.Propósito de las preguntas. Laintención es que los alumnos se vayanfamiliarizando con el análisis deresultados posibles y con el cálculo dela probabilidad clásica y frecuencial.
  • 94. 94secuencia 2494Recuerden que:La probabilidad puede expresarse enforma de fracción, decimal y porcentaje.Manos a la obrai. Formen equipos de tres integrantes y coloquen tarjetas de papel numeradas del 1 al10 en una caja o bolsa.a) ¿Cuáles son las tarjetas que tienen un número par?b) ¿Cuántas formas existen de obtener un número par?c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener un número par?P (obtener un número par) =resultados favorables de obtener un número parresultados posibles al extraer una tarjetaii. Ahora, cada integrante del equipo saca de la caja una tarjeta numerada y anota elresultado en la siguiente tabla. Luego regresa la tarjeta y repite el experimento otrointegrante del equipo hasta que cada quien haya hecho 10 extracciones.JugadorExtracciones Número de vecesque obtuvieronuna tarjeta par1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°Jugador 1Jugador 2Jugador 3a) En total, ¿cuántas veces obtuvieron una tarjeta con un número par?b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de este evento?c) Comparen la probabilidad clásica de obtener un número par y la probabilidadfrecuencial que obtuvieron al realizar el experimento. ¿Son iguales?¿Cuál es mayor?Respuestas.a) 2, 4, 6, 8, 10.b) Hay 5 formas (sacando 2, 4, 6…).c) Es qTp .Sugerencia didáctica. Recuerde quees indispensable que los alumnosrealicen todos los experimentos parapoder lograr los propósitos de lasesión.Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos analicen lasdiferencias y coincidencias entre laprobabilidad clásica y la frecuencial.En general, la probabilidad frecuencialy la clásica en este experimentono van a ser iguales (porque 10extracciones son muy pocas paraque la probabilidad frecuencial seacerque a la clásica). Cuando terminende contestar las preguntas pídalesque expliquen los resultados queobtuvieron y que expresen sus dudas(si las tienen), más adelante podránaclararlas.
  • 95. 9595MATEMÁTICAS IIII. Reúnan los resultados que obtuvieron en su equipo con los de los demás equipos ycompleten la tabla.EquipoNúmero de veces que se obtuvouna tarjeta con un número parNúmero totalde extraccionesTotala) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par ensu equipo?b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par ensu grupo?c) Ahora, comparen esta probabilidad con la probabilidad clásica de este evento. ¿Seaproxima la probabilidad frecuencial de este evento a la probabilidad clásica?d) ¿Cuál de las dos probabilidades frecuenciales, la que obtuvo su equipo o la delgrupo, es más cercana a la de la probabilidad clásica?IV. Consideren que la urna tiene 20 tarjetas numeradas del 1 al 20 y contesten las si-guientes preguntas.a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 0?b) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 10?c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número par?d) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 20?Respuestas.a) Es 1, un evento seguro.b) wQ pP = wQc) wQ pP = wQd) 0, es un resultado imposible.e) No, un resultado favorabledebe “caber” en el número deresultados posibles.
  • 96. 96secuencia 2496e) ¿Se podría dar el caso de que el número de resultados favorables sea mayor que elnúmero de resultados posibles?A lo que llegamosLa probabilidad clásica es diferente de la probabilidad frecuencial.Para obtener la probabilidad clásica se consideran las condiciones delexperimento.Por ejemplo, en una urna hay veinte tarjetas numeradas del 1 al 20 y sequiere elegir una tarjeta con número impar, entonces la probabilidadclásica es ; y la probabilidad frecuencial se calcula a partir de losresultados que se obtienen al efectuar el experimento.En este caso, si se realizó el experimento 100 veces y 38 veces se sacóuna tarjeta con número impar, la probabilidad frecuencial de esteevento es:P (sacar número impar) = = 0.38 = 38%Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencialde un evento se parece a la probabilidad clásica.Tanto la probabilidad clásica como la frecuencial se pueden expresarutilizando fracciones, decimales y porcentaje.Lo que aprendimos1. Indiquen en cada caso si se trata de probabilidad frecuencial o probabilidad clásica:a) Una bolsa contiene 5 canicas rojas y 7 azules. La probabilidad de sacar una canicaroja es .b) Se les hace una encuesta a 600 personas para conocer qué bebida prefieren tomarpara acompañar su comida; se sabe que 450 prefieren refresco. Se determina quela probabilidad del evento es .c) En una feria hay una ruleta como la siguiente:La probabilidad de caer en el área B es2Sugerencia didáctica. Lean estainformación. Después revisen susrespuestas a los números II y III delapartado Manos a la obra y aclarendudas.Respuestas.a) Clásica, no se realiza elexperimento.b) Frecuencial, sí se lleva a cabo elexperimento.c) Clásica, no se llevó a cabo.
  • 97. 9797MATEMÁTICAS I2. En un restaurante hay una rockola que tiene 40 diferentes melodías, las cuales estánclasificadas y distribuidas equitativamente en cuatro diferentes tipos de música:a) Grupera b) Rock c) Cumbia d) Baladaa) Calculen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía de rock.P (rock) =opciones de elegir música rocktotal de opciones de elegir una melodíaEn la siguiente tabla se muestra la preferencia con la cual se han seleccionado lasmelodías a partir del tipo de música al que pertenece.Tipo de música Grupera Rock Cumbia BaladaNúm. de vecesque se tocó 15 24 11 30Total 80b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de seleccionar una melodía de música grupera?P (grupera) =veces que se tocó música gruperanúmero total de melodías que se tocaronc) Comparen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía que perte-nece al género de la música grupera y la probabilidad frecuencial del mismo evento.¿Son iguales? ¿Cuál es mayor?d) Calculen las probabilidades que se indican:Tipo de música Probabilidad clásica Probabilidad frecuencialCumbia P (cumbia) = P (cumbia) =Rock P (rock) = P (rock) =Balada P (balada) = P (balada) =Grupera P (grupera) = P (grupera) =Propósito de la actividad. Adiferencia de los anteriores, esteexperimento no es aleatorio porque nodepende del azar sino de la preferenciade cada persona. Por ello, aunquemuchas personas elijan en la rockolasu música favorita, la probabilidadfrecuencial no necesariamente tenderáa la clásica, que en este casoes rQ pP o rQ..En esta actividad la intención es queel alumno identifique situacionesrelacionadas con la preferencia (demúsica, candidatos, deportes, etc.) yla probabilidad; es decir, introducirla probabilidad y la estadística deun modo experimental, además deconfrontar creencias personaleso de carácter determinista con laimportancia y utilidad de la estadísticapara la toma de decisiones con unabase racional y objetiva.Respuestas.a) Como están distribuidasequitativamente es rQ pP .b) rQ pTc) No son iguales. Es mayor laprobabilidad clásica ( rQ pP iQ pT ).rQ pP iQ pQrQ pP iW pRrQ pP iE pPrQ pP iQ pT
  • 98. 98secuencia 2498sesión 4 comParación de Probabilidades iiPara empezarCuando has participado en un juego de azar, ¿alguna vez te ha tocado elegir las reglasque rigen el juego? En esta sesión calcularás las probabilidades de diversos eventos ydistinguirás cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen lamisma probabilidad de ocurrir.Consideremos lo siguientePara realizar el siguiente juego se necesitan 4 bolsas no transparentes, 6 canicas rojasy 6 canicas verdes. Hay que distribuir las canicas en las cuatro bolsas como se indica enla figura.El juego se realiza de la siguiente manera: cada integrante elige una de las cuatro bolsasy extrae, sin mirar, una canica; anota el color que sale. Después regresa la canica a labolsa y repite hasta tener 20 extracciones. Gana quien haya sacado más veces una cani-ca roja de la bolsa que eligió. Antes de empezar a jugar contesten:¿Qué creen que sea más probable, extraer una canica roja de la bolsa 1 o de la bolsa 3?¿Qué bolsas elegirían?¿Por qué?Comparen sus respuestas.Bolsa 1Bolsa 2Bolsa 3Bolsa 4Propósito de la sesión. Calcular lasprobabilidades de diversos eventosy distinguir entre ellos cuál es másprobable que ocurra, cuál es menosprobable y cuáles tienen la mismaprobabilidad de ocurrir.Organización del grupo. Se sugierenactividades individuales, en parejas yen equipos.Sugerencia didáctica. Si no tienena la mano canicas pueden sustituirlaspor papeles de colores o blancoscon el nombre del color escrito.3Propósito de las preguntas. Es muyimportante que los alumnos contestenlas preguntas antes de realizar elexperimento. Se pretende que alresponderlas hagan uso de lo quehan aprendido sobre la probabilidadclásica, sin embargo, puede ser que enun primer momento no se den cuentade que es igualmente probableobtener una canica roja en la bolsa 1y en la 3.Respuestas.En la bolsa 1 la probabilidad es wQ ,y en la 3 es rW , es decir, de ambases igualmente probable extraer unacanica roja.Es mejor elegir la bolsa 2 porque ahíla probabilidad es eW y es mayor queen cualquiera de los otros casos.
  • 99. 9999MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Realicen el juego. Usen el siguiente casillero para anotar la letra r si sale roja y la v sisale verde. Repitan el experimento 20 veces para llenar los casilleros. Recuerden, ganaquien haya sacado más veces una canica roja.Bolsa núm._____________Resultado en cada extracción1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 20ªa) Utilicen la siguiente tabla para registrar los resultados que obtuvieron al realizareste juego.Resultados de 20 extracciones en la bolsa ____________Color de la canicaFrecuenciaNúmero de veces que sale una canicaProbabilidad frecuencialRoja(r)P (r) = _____________________Verde(v)P (v) = _____________________b) Analicen los resultados obtenidos por todos los integrantes de su equipo. ¿Quiénganó?c) ¿Qué número de bolsa utilizó?d) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de sacar una canica roja en esa bolsa?e) Consideren los resultados del equipo, ¿qué color de canica salió más veces?II. Reúnan los resultados del grupo en la siguiente tabla y después marquen con “X” sies verdadero (V) o falso (F) en el cuadrito correspondiente.
  • 100. 100secuencia 24100Total de canicas de color rojoEquipo Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 Bolsa 412345678910Total de canicas decolor rojo(Frecuencia)ProbabilidadfrecuencialdesacarunacanicarojaFracciónDecimal%a) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 2.b) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 4.c) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 4.d) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 3.e) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 3.V FSugerencia didáctica. Pararesponder estos incisos los alumnosdeben considerar los resultados delos experimentos que reunieron enla tabla anterior. Cuando hayanterminado, anote en el pizarrón losincisos y contéstenlos considerandoahora la probabilidad clásica.Comparen ambas respuestasy comenten sus diferencias ycoincidencias (si las hubo).Respuestas. Considerando laprobabilidad clásica:a) F, en la 2 la probabilidad es eW ,mientras que en la 1 es wQ..b) V, en la 1 la probabilidad es wQ y enla 4 es eQ .c) V, porque eW eQ  .d) F, son igualmente probables.e) V, porque eW wQ. .
  • 101. 101101MATEMÁTICAS IIII. Contesta las siguientes preguntas:a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa?Bolsa 1P (sacar una canica roja) =número total de canicas rojas en la bolsa 1=número de canicas en la bolsa 1Bolsa 2P (sacar una canica roja) =número total de canicas rojas en la bolsa 2=número de canicas en la bolsa 2Bolsa 3P (sacar una canica roja) =número total de canicas rojas en la bolsa 3=número de canicas en la bolsa 3Bolsa 4P (sacar una canica roja) =número total de canicas rojas en la bolsa 4=número de canicas en la bolsa 4b) De acuerdo con estos cálculos, para ganar el juego, ¿qué bolsa debes elegir?c) ¿Por qué?d) Pregúntale a alguno de tus compañeros qué bolsa eligió.e) ¿En qué bolsas existe la misma probabilidad de sacar una canica roja?f) ¿Por qué?A lo que llegamosLa comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que sepuede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones. Así, por ejemplo, en eljuego anterior podemos determinar la probabilidad clásica de sacar una canica roja decada bolsa y elegir la bolsa que más nos convenga.La probabilidad clásica proporciona una información de lo que puede suceder, mientrasque la probabilidad frecuencial indica lo que sucedió al realizar el juego.Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana,Libros del Rincón, 2003.Sobre información para conocer otros juegos de azar consulta:http://www.acanomas.com/Biblioteca.php [Fecha de consulta: 23 de agosto 2007].Respuestas. La probabilidad clásicaen cada bolsa es:Bolsa 1 y bolsa 3: wQ. Bolsa 2: eW. Bolsa 4: eQ. Sugerencia didáctica. Es posibleque en la bolsa 3 algunos alumnosescriban rW . Señale que, como wQ y rWson equivalentes, la probabilidad enambas bolsas es la misma.Sugerencia didáctica. Cuandocontesten estas preguntas, pidaa los alumnos que revisen loque respondieron en el apartadoConsideremos lo siguiente y quecorrijan si es necesario.
  • 102. BLOQUE   4
  • 103. 104Propósito de la sesión. Conocer eidentificar los números con signo.Organización del grupo. La sesiónse trabaja en parejas, con algunosmomentos de intercambio grupal.1Propósito de la actividad. Laintención es que los alumnos empleencualquier recurso que les parezcaútil para comunicar las ubicacionesde los objetos. La dificultad radicaen que hay objetos que están bajo elnivel del mar a la misma distancia deotros que están sobre el nivel del mar(por ejemplo, el buzo y la gaviota),por lo que escribir en el mensajesólo el número no es suficiente paradiferenciarlos. Los alumnos se veránen la necesidad de escribir algunamarca que logre diferenciar entre loque se encuentra sobre el nivel delmar y lo que está bajo el mismo.Acepte cualquier tipo de mensaje quecumpla con las condiciones planteadas(no usar palabras, dibujos ni flechas),incluso aquellos en los que aparecieranlos signos + y –, pero no los exija.Sugerencia didáctica. Oriente ladiscusión hacia la comparación de losrecursos empleados para comunicarla ubicación de los objetos. Aunquevarios tipos de mensaje hayan podidoser interpretados correctamente,pregunte al grupo cuál les parece másclaro, cuál podría crear confusiones ypor qué.104secuencia 25En esta secuencia plantearás y resolverás problemas que impliquen lautilización de números con signo.NivEL dEL marPara empezarExisten situaciones donde además de utilizar los números naturales se requieren otrosnúmeros, por ejemplo: al calcular los gastos y las ganancias de una tienda, en un termó-metro ambiental, en la línea del tiempo, en metros sobre y bajo el nivel del mar, etcétera.Consideremos lo siguientePara jugar necesitan organizarse en parejas:• Todos observen con cuidado la siguiente ilustración.• Cada pareja escoge cuatro objetos de los que ahí aparecen.• Cada pareja envía un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicación de loscuatro objetos que eligieron. Pero hay una condición: en el mensaje NO SE VALE ES-CRIBIR PALABRAS NI HACER DIBUJOS O FLECHAS.• La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cuáles fueron los obje-tos que sus compañeros eligieron. Cuando los hayan encontrado, los anotan en elmensaje y lo regresan a la pareja que lo envió.• Cuando terminen, revisen si la otra pareja interpretó correctamente. Si hubo equivo-caciones, deben encontrar en dónde estuvo la falla y corregirla.Anoten en el pizarrón las distintas maneras que utilizaron para identificar los objetos,decidan cuáles fueron las más adecuadas, o aquellas que les gustaron más, y escribanpor qué.sEsióN 1Números con signoPropósitos de la secuenciaPlantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos1Nivel del marConocer e identificar los números consigno.2Distancia y ordenObtener la distancia entre dos númeroscon signo, ordenarlos y compararlos.Video TemperaturasambientalesInteractivo“Temperaturas”Geografía deMéxico y elmundoSecuencia 43Valor absoluto y simétricosUbicar números con signo en la rectanumérica, obtener su valor absoluto eidentificar sus simétricos.EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de los números.AntecedentesEn la escuela primaria los alumnos conocieronlos números naturales, los fraccionarios y losdecimales. En esta secuencia se introducen losnúmeros enteros, que por sus característicaspermiten resolver problemas que no tendríansolución con los naturales.
  • 104. 105105MATEMÁTICAS I80 m600 m2 m700 m50 m2 m80 m50 m700 m50 m2 m80 m600 m2 m50 m700 m60 m700 m
  • 105. 106Propósito de la actividad. Losalumnos utilizarán signos noconvencionales para diferenciar entrelo que se encuentra sobre el nivel delmar y bajo éste.secuencia 25106Manos a la obrai. En otra telesecundaria, una de las parejas elaboró un mensaje que fue correctamenteinterpretado por otra pareja. Fíjense cómo hicieron:Objetos que elegimos: Creemos que es el:700 m Avión600 m Nubes0 m Barco**2 m Pez amarillo**50 m Buzoa) Utilicen ese mismo sistema y completen la siguiente tabla.Ubicación DibujoGaviotas80 mBarco2 mPeces**700 mb) El barco está ubicado al nivel del mar. También hay objetos sobre el nivel del mar(como las nubes) y bajo el nivel del mar (como el submarino).• ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados sobre el niveldel mar?• ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados bajo el nivel delmar?• ¿A cuántos metros ubicaron el barco?Comparen estos mensajes con los mensajes que ustedes elaboraron. ¿Cuáles le parecenmás claros y por qué?Como vieron, hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, sin embar-go, es posible que algunas personas no sepan qué es lo que se quiere decir en un mensaje.Por ello, en matemáticas se representa el nivel del mar con el cero, lo que está sobreel nivel del mar con signo positivo “+” y lo que está bajo el nivel del mar con signonegativo “– “.Pareja queelaboró elmensaje.Pareja querecibió elmensaje.Respuestas.- Los que están sobre el nivel delmar con una carita.- Los que están bajo el nivel del marcon dos asteriscos.- El barco lo ubicó a 0 m, es decir, alnivel del mar.
  • 106. 1072Propósito de la actividad. Ahora sepretende que los alumnos empleenlos signos convencionales (+ y –) paradiferenciar entre lo que se encuentrasobre el nivel del mar y bajo éste.Posibles dificultades. Anteriormente,los alumnos utilizaron los signos+ y – para denotar una operación (lasuma o la resta), y ahora adquierenotro significado que se añade alque ellos ya sabían. Cuando en estasecuencia se escribe +20 no significaque hay que hacer una suma, sinoque el 20 es un número positivo (queestá del lado derecho de la recta conrespecto al 0, o en este ejemplo, queestá sobre el nivel del mar).Comente con los alumnos esta cuestión.Respuestas.Lancha 0 m.Delfín +5 m.Tiburón –5 m.Propósito de la actividad. Losalumnos han trabajado hasta ahoracon la recta numérica para ubicarnúmeros naturales, fracciones ydecimales. En esta actividad, en la quela recta considera también los númerosnegativos, se espera que utilicen loque han aprendido con los naturalespara ubicar estos nuevos números.Sugerencia didáctica. Dibuje la rectaen el pizarrón y pida a los alumnosque comenten cómo ubicaron losobjetos. Haga notar que, a la derechadel cero están los números positivos,y que mientras más a la derecha seencuentre un número, será mayor. Losnúmeros negativos están a la izquierdadel cero, y mientras más a la izquierdase encuentre un número, será menor.Por eso –22 –5.MATEMÁTICAS I107II. Completen la siguiente tabla usando los signos + y –, según corresponda:Objeto UbicaciónAlgas marinas a 20 m bajo elnivel del mar− 20 mUna lancha sobre el nivel delmarUn delfín que salta 5 m sobreel nivel del marUn tiburón que nada a 5 mbajo el nivel del marUna roca que sobresale 20 msobre el nivel del mar+ 20 mIII. En matemáticas se usa la recta numérica para ubicar a los números positivos, nega-tivos y al cero. Primero, determinen el lugar del cero (como lo hicieron en la secuen-cia 2), después los números con signo + se ubican a la derecha del cero y los númeroscon signo - se ubican a la izquierda del cero.Localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla delinciso c). Fíjense que cada división vale 5 unidades.A lo que llegamosLos números que has utilizado en esta sesión se llaman: números consigno. Pueden ser positivos o negativos, y para diferenciarlos serepresentan de la siguiente manera:Números positivos: se ubican a la derecha del cero en la recta numéri-ca y se escriben anteponiéndoles un signo +; por ejemplo, el 5 positi-vo se escribe +5.En el caso de los objetos de la ilustración, los números positivos seutilizan para designar a todo lo que se encuentra arriba del nivel delmar.−10 m 0 +15 m+1000 +1 200 +1 3003Sugerencia didáctica. Lean lainformación del recuadro en voz alta.Cuando terminen, pregunte a losalumnos si conocen algún otro casoen el que se utilicen los númeroscon signo.Comente con los alumnos que elsigno + se pone para resaltar que elnúmero es positivo y diferenciarlo deuno negativo, pero que dependiendodel contexto, los números positivostambién se escriben sin el signo.
  • 107. 108Propósito de la sesión. Obtener ladistancia entre 2 números consigno, ordenarlos y compararlos.Organización del grupo. Al igualque en la sesión anterior, el trabajoes en parejas, con espacios paracomentarios grupales.secuencia 25108Números negativos: se ubican a la izquierda del cero en la rectanumérica y se escriben anteponiéndoles un signo −, por ejemplo, el 7negativo se escribe −7. En el caso de los objetos de la ilustración, losnúmeros negativos se utilizan para designar a todo lo que se encuen-tra por debajo del nivel del mar.El cero se escribe sin signo (no se le pone + ni –). En la ilustración, todolo que se encuentra en el nivel del mar se dice que está a 0 metros.distaNcia y OrdENPara empezarTemperaturas ambientalesLos termómetros ambientales, como el de la ilustración, miden tanto temperaturas sobrecero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negati-vas. Las temperaturas bajo cero se distinguen porque se escriben anteponiéndoles elsigno “–“.En la secuencia 4 La Tierra: un planeta con vida de tu libro de Geografía de México ydel mundo, volumen I estudiaste las diversas características que definen el clima, comola variación de la temperatura. En el desierto, la variación de la temperatura determinalas condiciones climáticas extremas que lo caracterizan: en un mismo día puede habertemperaturas máximas de 40 °C y temperaturas mínimas de 2 °C. En este caso hay unavariación de 38 °C.En contraste, las zonas tropicales tienen variaciones de temperatura muy pequeñas: enpromedio, las temperaturas máximas pueden ser de 20 °C y las mínimas de 10 °C. La varia-ción de la temperatura es entonces de 10 °C, porque hay 10 grados entre 20 °C y 10 °C.La variación de la temperatura es un factor que influye tanto en la conservación delequilibrio biológico como en la salud y el bienestar de los seres humanos. Grandes varia-ciones de temperatura pueden ocasionar la extinción de plantas y animales o la pérdidade las cosechas en el campo.Consideremos lo siguienteEl 4 de noviembre del 2005, el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de hela-das que se esperaban en distintas ciudades para ese día.sEsióN 2Ciudad Estado Temperatura máxima (ºC) Temperatura mínima (ºC)Las Vigas de Ramírez Puebla 26.5 1.0El Saladillo Zacatecas 22.0 -5.0Tepatitlán México 23.5 -4.0Balcón del Diablo Puebla 26.5 2.5Tabla 1+1000 +1 200 +1 300−1 500 −1 200 −100−300−500
  • 108. 109Propósito del interactivo. Introducirla idea de resta de números con signo,como la variación de la temperatura.Posibles dificultades. En lacomparación de temperaturasnegativas y positivas los signospueden ser motivo de confusión.- Podría ocurrir que los alumnosdijeran que entre 22 °C y −5 °C hayuna variación de 17 °C(porque 22 – 5 = 17).- También es posible que algunosalumnos piensen que −3 °C esmenor que −12 °C porque loscomparan como si fueran númerosnaturales (3 12).Permítales utilizar los procedimientosque les parezcan convenientes pararesponder las preguntas y cercióresede que más adelante expliquen lo quehicieron, pero si se equivocan no loscorrija en este punto, más adelantetendrán oportunidad de rectificar suserrores.Respuestas.a) La máxima es de 26.5, la mínima esde 1. La variación es de 25.5 °C.b) La máxima es de 23.5 °C, lamínima es de −4. La variación esde 27.5 °C.c) La temperatura de Las Vigas deRamírez (26.5 °C) es mayor que lade Tepatitlán (23.5 °C).d) La temperatura de Tepatitlán esmenor, porque −4 1 (hace másfrío a −4 °C que a 1 °C).MATEMÁTICAS I109Con estos datos, contesten las siguientes preguntas (si lo necesitan, se puedenauxiliar del termómetro de la derecha):a) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Las Vigas de Ramírez?b) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Tepatitlán?c) ¿Cuál de las temperaturas máximas que se esperaban en Las Vigas de Ra-mírez y Tepatitlán es mayor?d) ¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Tepatitlán y LasVigas de Ramírez es menor?Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.Manos a la obraI. En una escuela obtuvieron los siguientes resultados:• En el equipo 1 dijeron que la variación que se esperaba en Tepatitlán es de19.5 °C, porque 23.5 − 4 = 19.5.• En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las tem-peraturas y dijeron que la variación es de 27.5 °C, porque es el número degrados que hay entre ambas temperaturas.a) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 23 °C y −4 °C.b) Cuenten los grados que hay de −4 °C a 0 °C. Hay grados.c) Cuenten los grados que hay de 0 °C a 23.5 °C. Hay grados.d) ¿Cuántos grados hay de −4 ºC hasta 23.5 ºC?e) ¿De cuánto es la variación de temperatura que se esperaba en Tepatitlán?f) ¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación correcta?II. Usando el mismo termómetro, contesten las siguientes preguntas:a) La temperatura máxima de una ciudad es de 18 °C y la temperatura mí-nima de −2 °C. ¿De cuánto es la variación de temperatura en esa ciudad?b) La temperatura mínima de otra ciudad es de −8 °C. Si se sabe que la va-riación de temperatura es de 12 °C, ¿cuál es la temperatura máxima dedicha ciudad?Propósito de las preguntas. Sepretende que los alumnos calculen lavariación entre dos temperaturas, unapositiva y una negativa, como el númerode grados que hay que recorrer parallegar de una a la otra. Para corregirun error que muchos alumnos cometen(que consiste en restarle a una de lastemperaturas la otra), se les pide queprimero calculen cuántos grados haydesde una de las temperaturas hasta elcero, y del cero a la otra temperatura.Respuestas.b) 4 °C.c) 23.5 °C.d) 27.5 °C.e) De 27.5 °C.f) El equipo 2.Respuestas.a) 20 °C. De −2 a 0 hay 2 °C, y de 0 a18 hay 18 °C. Se suma 2 + 18.b) 4 °C. Sabemos que la variación esde 12 °C y que hay 8 grados de−8 a 0.
  • 109. 110Posibles dificultades. En estaactividad las 2 temperaturas que secomparan son negativas, lo que puedehacer pensar a algunos alumnos que ladiferencia entre ellas será también unnúmero negativo (por ejemplo, que lavariación entre la máxima y la mínimaen Anchorage es de −7 °C).Comente con los alumnos que en estasactividades sólo se pregunta cuántosgrados hay entre las 2 temperaturas,no se pregunta si la segundatemperatura subió o bajó con respectoa la primera.Sugerencia didáctica. Es importanteque los alumnos se den cuenta deque para hallar la variación entre 2temperaturas se deben contar todoslos grados que hay entre ellas. Si lastemperaturas que se comparan sonuna positiva y otra negativa, el conteova a pasar por el cero.Si cree que los alumnos lo necesitan,ponga ejercicios similares, porejemplo:Encontrar la variación de temperaturaentre: 6 °C y −2 °C −12 °C y −4 °C −9 °C y 1 °C 28 °C y 0 °C 24 °C y 7 °CPídales que ubiquen las temperaturasen un termómetro ambiental o enuna recta numérica para encontrar elsegmento que representa la distanciaentre ambas.secuencia 25110iii. En otros países se han registrado las siguientes temperaturas:Ciudad EstadoTemperaturamáxima (ºC)Temperaturamínima (ºC)AnchorageAlaska (Estados Unidosde América) −6.0 −13.0Armstrong Ontario (Canadá) −1.0 −9.0a) En el termómetro de la izquierda, localicen las temperaturas máxima y mínimade Anchorage.b) ¿Cuántos grados hay de −6 °C a −13 °C?c) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Anchorage?d) En el mismo termómetro, localicen las temperaturas máxima y mínima deArmstrong.e) ¿Cuántos grados hay de −1 °C a −9 °C?f) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Armstrong?A lo que llegamos• La variación de temperatura es el número de grados que hay entreambas temperaturas.Por ejemplo, en el termómetro de la izquierda:Máxima Mínima DiferenciaAjocucar 29.0 −2.5 31.5• La variación de temperatura también la podemos ver como ladistancia que hay entre dos números en una recta numéricahorizontal.Por ejemplo: entre el −4 y el 8 hay una distancia de 12, como lo mues-tra la ilustración.Es decir, la distancia entre dos números es la longitud del segmentoque los une.−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +812
  • 110. 111MATEMÁTICAS I111IV. De las temperaturas mínimas de Tepatitlán y Las Vigas de Ramírez dos alumnosdicen lo siguiente:• Dulce dice que Las Vigas de Ramírez tiene la menor temperatura, porque 1es menor que 4.• Consuelo dice que Tepatitlán tiene la menor temperatura, porque −4 °C estáabajo de 1°C.a) ¿Quién creen que tiene la razón?b) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 12 °C y 2 °C.c) ¿Cuál de las dos es menor?La temperatura 2 °C está debajo de 12 °C y es la menor de ellas.d) En el mismo termómetro, ubiquen las temperaturas mínimas de Las Vigas deRamírez y Tepatitlán.e) ¿Cuál de las dos temperaturas está debajo de la otra?f) ¿Cuál de las dos es menor?Comparen sus respuestas.A lo que llegamos• Al comparar dos temperaturas en un termómetro, siempre es mayor aquella que estámás arriba.Por ejemplo:a) 22 °C es mayor que 3 °C. b) 2 °C es mayor que −10 °C. c) −5 °C es mayor que −35 °C.• Al comparar dos temperaturas en la recta numérica, siempre es mayor aquella queestá más a la derecha.Por ejemplo:a) +9 es mayor que +2. b) +5 es mayor que −10. c) −3 es mayor que −15.−10 0 +9+5+2−15 −3Respuestas.a) Consuelo tiene razón. Otra manerade verlo es preguntarse a quétemperatura hace más frío:a 1 °C o a −4 °C.c) 2 °Ce) −4 °C está por debajo.f) −4 °C es menor.
  • 111. 112Propósito de la pregunta.Ahora ya no se habla de comparartemperaturas sino números. Sepretende que el alumno pueda aplicarlos conocimientos que adquirió conlos termómetros y las rectas paracomparar cualquier par de númeroscon signo.Integrar al portafolios. Que losalumnos le entreguen en una hojaaparte los resultados que obtuvieronen los números 1 y 2.Respuestas.1.a) 16b) 16c) 8d) 182.a) 6b) 8c) 43.a) Mayor que b) Menor que c) Mayor que secuencia 25112Lo que aprendimos1. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números?2. ¿Que distancias hay entre...3. Escriban mayor que () o menor que () según corresponda. Ayúdense con la rectanumérica.VaLOr aBsOLUtO y simétricOsPara empezarLa distancia de un número al cero es la longitud del segmento queva del cero al número. A esta longitud se le llama valor absoluto,y se representa por medio de dos barras paralelasPor ejemplo: Entre el –8 y el 0 hay un segmento de longitud 8.Entre +9 y el 0 hay un segmento de longitud 9.El valor absoluto de –8, se escribe –8 = 8. El valor absoluto de+9, se escribe +9 = 9Consideremos lo siguienteEn la siguiente recta numérica se han ubicado algunos números.a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5?b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que + ?c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5?Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.sEsióN 3−10 0−16 −14 −12 −8 −6 −4 −2 +8+2 +4 +6 +10 +12 +14a) −6 y +10 b) +10 y +26 c) −9 y −1 d) −15 y +3a) −6 y 0? b) 0 y +8? c) −4 y 0?a) +14 +6 b) −9 +5 c) −4 −15+9−8 08 9−5 0−8 −7 −6 −4 −3 −2 −1 +4+1 +2 +3 +5 +6 +7+6.5−6.5 − +Propósito de la sesión. Ubicarnúmeros con signo en la rectanumérica, obtener su valor absoluto eidentificar sus simétricos.Organización del grupo. Pida a losalumnos que trabajen en parejas.Respuestas.a) Si el valor absoluto es ladistancia de un número al cero,entonces es el +6.5.b) − wQc) +5 y −5
  • 112. 113MATEMÁTICAS I113A lo que llegamos• El valor absoluto de números positivos y negativos siempre es un número positivo.Por ejemplo: –12.5 = 12.5 y +12.5 = 12.5• Dos números que están a la misma distancia del cerose llaman números simétricos entre sí.Por ejemplo: +2 y –2 son números simétricos entre sí.Manos a la obraI. Sobre el anterior inciso c):• Pablo dice que el único número cuyo valor absoluto es 5 es el número +5• Delia dice que son dos números: el +5 y el −5a) ¿Con quién de los dos están de acuerdo? ¿Por qué?b) ¿Cuál es la distancia del −5 al cero?, ¿y del +5 al cero?c) ¿Qué números tienen como valor absoluto 5?II. Contesten las siguientes preguntas:a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que +20?b) ¿Qué valor absoluto tienen los números +13 y −13?c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −9.5?Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Nú-meros enteros en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón,2002.Luz María Marván. Números simétricos, Números con signo, ¿Mayor o menor? y “El valor absoluto” enRepresentación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.III. Contesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuál es el número simétrico del +6?b) ¿Cuál es el número simétrico del −35?c) ¿Cuál es el número simétrico del −13.9?d) ¿Cuál es el número simétrico del +26.1?e) ¿El número + y el − , son simétricos?f) ¿Cuál es el número simétrico del − ?Comparen sus respuestas.+202−22Sugerencia didáctica. Lean juntosesta información y comente a losalumnos que, como el valor absolutoes la distancia a la que está un númerocon respecto al cero, y no en quédirección está, el valor absoluto nuncapuede ser un número negativo.Pregunte a los alumnos: ¿Cuál es elvalor absoluto del cero, es decir, aqué distancia está el cero del cero? Larespuesta es “a cero unidades”, por lotanto, su valor absoluto es cero.
  • 113. 114Propósitos de la sesión. Explorar la segunda potenciao el cuadrado de un número a partir de la obtención dela medida del lado de un cuadrado que mide un áreadeterminada. Identificar la raíz cuadrada de un número Acomo el número que multiplicado por sí mismo da A.Identificar el cuadrado de un número y la raíz cuadradacomo operaciones inversas.Organización del grupo. Se recomienda trabajar enparejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, quepuede resolverse de manera individual.Materiales. Una calculadora por alumno o por pareja.Propósito de la actividad. Se les plantea el reto: ¿cuálserá la medida del lado de un cuadrado cuya área es iguala 18 cm2? Dado que esa medida no es exacta, la tareaconsiste en encontrar un número que multiplicado por símismo dé 18.Sugerencia didáctica. Respecto al inciso e), algunosalumnos podrían afirmar que no existe un cuadrado conesa área, pues con 4 cm obtienen 16 cm2 y con 5 cm,obtienen 25 cm2. Invítelos a probar utilizando tambiénnúmeros decimales. Lo más probable es que prueben convarios números buscando aquel que más se aproxime a18 cm2. Durante la comparación de resultados pida a losalumnos que identifiquen qué medida se acerca más alnúmero buscado.Respuestasa) 4 cm2 (lado por lado = 2 × 2).b) 9 cm2.c) 4 cm.d) 5 cm.e) Sí existe, y la medida de sus lados es de4.2426 cm aproximadamente.Propósito de la actividad. Que los alumnos constatenque sí existe un cuadrado con esa superficie y queverifiquen la longitud de los lados midiendo.Respuestas.a) El cuadrado blanco tiene 6 cm por lado. Su área es de36 cm2. Al trazar los cuatro triángulos azules puedendarse cuenta de que son triángulos rectángulosisósceles, y de que su base y su altura miden 3 cm.También podrían considerar como base a lahipotenusa y medir la altura.b) El área de cada triángulo es de 4.5 cm2.c) El cuadrado azul está formado por los cuatrotriángulos. Su área es de 18 cm2.d) La medida está entre 4.2 o 4.3 cm. Es importanteque consideren que se trata de una aproximación.e) Si utilizan la medida de 4.2, el área es de17.64 cm2, y si utilizan la medida de 4.3, el área esde 18.49 cm2. En el primer caso nos falta, en elsegundo caso nos pasamos. Es decir que la medidareal de cada lado debe ser un valor entre 4.2 y 4.3.114secuencia 26En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el cálculo de laraíz cuadrada y la potencia de exponente natural, ambas de númerosnaturales y decimales.Cuadros y más CuadrosPara empezarEn la secuencia 4 de Matemáticas I encontraste la expresión algebraica de la fórmula delcuadrado. Si el lado del cuadrado mide , entonces su área a se calcula con la expresión:a = × . En esta sesión, estudiarás cómo encontrar la medida del lado del cuadrado apartir de su área.Consideremos lo siguienteCalculen:a) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 2 cm?b) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 3 cm?c) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 16 cm2de área?d) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 25 cm2de área?e) ¿Creen que exista algún cuadrado de 18 cm2de área? ¿Cuánto medi-rían sus lados?Expliquen y comprueben sus respuestas en su cuaderno.Comparen sus respuestas.Manos a la obrai. En la ilustración hay un cuadrado blancocuyos lados miden 6 cm; dentro del cua-drado blanco hay un cuadrado azul.a) Calculen el área del cuadrado blancosesión 1Raíz cuadraday potenciasPropósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponentenatural, ambas de números naturales y decimales.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Cuadros y más cuadrosExplorar la segunda potencia o el cuadrado de un número apartir de la obtención de la medida del lado de un cuadradoque mide un área determinada.Identificar la raíz cuadrada de un número A como el númeroque multiplicado por sí mismo da A.Identificar el cuadrado de un número y la raíz cuadrada comooperaciones inversas.Aula de medios“Cuadros y máscuadros”(Hoja de cálculo)2Cálculo de raíces cuadradasCalcular mediante aproximaciones la raíz cuadrada de unnúmero que no es un cuadrado perfecto.VideoLos babilonios y la raízcuadradaInteractivo“Método babilónico”3¿Cuántos tatarabuelos?Resolver problemas que impliquen el cálculo de las potenciasde exponentes naturales de números naturales.Identificar la raíz cúbica de un número A como el número quetiene tercera potencia igual a A, y la raíz cuarta de un númeroA como el número que tiene cuarta potencia igual a A.Interactivo“Diagrama de árbol”EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de las operaciones.AntecedentesEs la primera vez que los alumnos estudian estasoperaciones; sin embargo, el contexto en el que seabordan (cálculo del área de cuadrados) es bastanteconocido por ellos, lo que les permitirá hacer uso de susconocimientos previos para iniciar el estudio de este tema.
  • 114. 115115MATEMÁTICAS ITracen las diagonales del cuadrado azul. Van a obtener cuatro triángulos azules iguales.b) Calculen el área de cada triángulo azul.c) Calculen el área del cuadrado azul.d) ¿Cuánto miden los lados del cuadrado azul?Midan con su regla.e) En sus cuadernos, comprueben la medida que obtuvieron para el lado del cuadra-do azul aplicando la fórmula del área: A = ׿Qué valor del área encontraron usando la fórmula?Comparen sus respuestas y comenten:a) De los valores del área que encontraron usando la fórmula, ¿cuál es el que más seaproxima a 18 cm2?b) ¿Cuál es la mejor aproximación que encontraron para la medida del lado delcuadrado?II. Llenen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida del lado delcuadrado de área 18 cm2:Medida del lado(cm)Área(cm2)1 123165364.54.24.34.25a) ¿Cuál es el valor más aproximado que encontraron para la medida del lado delcuadrado?b) ¿Podrían encontrar un valor más aproximado? ¿Cuál?Comparen sus respuestas.Recuerden que:El área de untriángulo conmedida de la alturaa y medida de labase b se calcula:A = b × a2Sugerencia didáctica. El área delcuadrado azul es de 18 cm2; por lotanto, sí existe un cuadrado con esaárea. Pida a los alumnos que revisenlo que respondieron en el inciso e) delapartado Consideremos lo siguiente.Solicite a las parejas que registren enel pizarrón la medida que encontraronpara los lados del cuadrado azul y elárea que obtienen con esa medida(esto puede hacerse en una tabla queusted previamente puede trazar en elpizarrón). Pídales que identifiquen cuáles la medida que se aproxima más ala longitud del lado del cuadrado paraque el área sea de 18 cm2.Propósito de la actividad. La tablasirve para ir encontrando los valoresdel lado del cuadrado que hacen queel área se vaya aproximando a 18 cm2.Respuestas. El valor de la tabla quemás se aproxima es 18.0625,que corresponde a 4.25 cm por lado.Sin embargo, es posible hallar valoresque se aproximen más a la medidabuscada.Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que, con la ayuda de lacalculadora, encuentren uno o dosvalores que se aproximen más a lamedida del lado. Usted puedehacerles notar que el valor debe estarentre 4.2 y 4.25; asimismo, puedecomentarles que el valor exactotiene una cantidad infinita de cifrasdecimales, por lo que siempre se tomauna cantidad aproximada. 4 9 4 25 6 20.25 17.64 18.49 18.0625
  • 115. 116Sugerencia didáctica. Antes deque las parejas busquen la medidadel lado del cuadrado, pida al grupoque estimen una respuesta. Algunasde esas estimaciones pueden serregistradas en el pizarrón para quedespués verifiquen qué tanto seacercaron a la respuesta.116secuencia 26iii. ¿Creen que exista algún cuadrado de 32 cm2de área? ¿Cuánto medi-rían sus lados?a) Completen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida desus lados.Medida del lado(cm)Área(cm2)5 255.55.65.76b) La medida del lado de este cuadrado está entre 5.6 cm y 5.7 cm. ¿Con qué valorcontinuarían la tabla para encontrar un valor que se aproxime más a la medida dellado de este cuadrado?c) Hagan la comprobación. ¿Qué valor del área encontraron?Comparen sus respuestas y hagan la comprobación.A lo que llegamos• Para calcular el área de un cuadrado, conociendo la medida de sulado , se multiplica la medida del lado por ella misma: ×En general, cuando se multiplica un número por él mismo, porejemplo y × y, se dice que se calcula la segunda potencia o elcuadrado del número. Esto se escribe: y2Por ejemplo, al calcular 5 × 5, se dice que se está calculando 5 a lasegunda potencia o el cuadrado de 5, y se escribe 52. O sea:5 × 5 = 52 = 25• Al calcular el lado de un cuadrado a partir de su área se dice que secalcula la raíz cuadrada del área. En general, la raíz cuadrada de unnúmero A es el número que multiplicado por él mismo da A.Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, porque 4 × 4 = 16. La raízcuadrada de 16 se escribe: 16Sugerencia didáctica. Se puedecontinuar la exploración hasta contres cifras decimales. Los valores másaproximados son 5.65 y 5.66. Ustedpuede preguntar a todo el grupo sipueden decirle algunos números entreestos dos y cuáles de ellos son mejoresopciones para la medida del lado. Losmás aproximados son 5.656 y 5.657.2 Sugerencia didáctica.Pida a los alumnos que lean lainformación y que respondan en suscuadernos las siguientes preguntas:- ¿Cómo se calcula la segundapotencia o el cuadrado de unnúmero?- ¿Cómo se representa el cuadradode un número? Dar algunosejemplos.- ¿Qué es la raíz cuadrada de unnúmero? Dar ejemplos.
  • 116. 117Sugerencia didáctica. Esta tablapuede servir para que los alumnosutilicen la tecla de la raíz cuadradaen la calculadora. También puedenubicar la tecla que sirve para elevar alcuadrado y no sólo multiplicar a cadanúmero por sí mismo.117MATEMÁTICAS IIV. Llenen la siguiente tabla:Número Cuadrado del número2764910011132.251216919615240.2516A partir de la información de la tabla anterior, relacionen las dos columnas:(a) ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos lados miden 13 cm? ( ) 144(b) ¿A cuánto es igual 240.25? ( ) 225 cm2(c) ¿A cuánto es igual 122? ( ) 15.5(d) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 169? ( ) 15(e) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 15 cm? ( ) 169 cm2(f) ¿A cuánto es igual 225? ( ) 13Comparen sus respuestas y hagan las comprobaciones.Pueden usar calcula-dora para hacer yverificar sus cálculos.A lo que llegamosEl cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas. Esto quiere decirque si a un número se le aplica una operación y después la otra, se obtendrá el númerooriginal.Por ejemplo, el cuadrado del número 15 es: 152= 15 × 15 = 225Y la raíz cuadrada del número 225 es: 225 = 15 49 8 81 10 121 11.5 144 13 14 225 15.5 256cebfadSugerencia didáctica. Pida a losalumnos que copien la informaciónen sus cuadernos y que presentenejemplos distintos a los que ahíse ofrecen. Además, usted puederecordarles las operaciones inversasque ya conocen: suma y resta,multiplicación y división.
  • 117. 118Integrar al portafolios.Respuesta.1. Si consideran hasta con dos cifrasdecimales, es 1.41, si considerancuatro cifras decimales, es 1.4142;pida a los alumnos que registrenlas distintas operaciones queefectuaron, ya sea que las hayanhecho con calculadora o con lápizy papel.Propósito de la sesión. Calcularmediante aproximaciones la raízcuadrada de un número que no es uncuadrado perfecto.Materiales. Calculadora.Propósito de la actividad. Presentara los alumnos un procedimientopara calcular la raíz cuadrada de unnúmero, en el contexto del área de uncuadrado: al calcular la raíz cuadradade un número estamos buscando lamedida del lado de un cuadrado delque se conoce el área.Propósito del video. Visualizar laaplicación del método babilónicoen el cálculo de raíces cuadradas dedistintos números.118secuencia 26Lo que aprendimos1. En tu cuaderno encuentra una aproximación para la medida del lado de un cuadradode área 2 cm2.2. Relaciona las dos columnas.(a) ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos lados miden 10 cm? ( ) 196(b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 196? ( ) 100 cm2(c) ¿Cuánto es 142? ( ) 11.5(d) ¿Cuánto es 256? ( ) 16(e) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 7 cm? ( ) 49 cm2(f) ¿Cuánto es 132.25? ( ) 14CálCulo de raíCes CuadradasPara empezarLos babilonios y la raíz cuadradaExisten varios métodos para calcular la raíz cuadrada de un número. En esta sesiónaprenderán un método que fue inventado por los antiguos babilonios.Para obtener la raíz cuadrada de 32 con el método babilónico, se siguen los siguientespasos:sesión 21. Se escogen dos números que multiplicadosden 32. Por ejemplo, 8 y 4.2. Se construye un rectángulo de área 32 cm2y lados 8 cm y 4 cm (rectángulo rojo).A partir de ahora se encuentran rectánguloscada vez más parecidos a un cuadrado deárea 32 cm2 . Vean cómo se hace esto:3. Se promedian las medidas de los lados delrectángulo:8 cm + 4 cm = 6 cm24 cm8 cmcafdebSugerencia didáctica. Antes derevisar cada uno de los pasos delmétodo babilónico, comente al grupoque se va a buscar la medida dellado de un cuadrado cuya área es de32 cm2. Pida al grupo que haga unaestimación de la posible medida dellado del cuadrado (la respuesta esentre 5 y 6 cm). Posteriormente, unavez que hayan revisado el métodobabilónico, tendrán oportunidad deverificar su respuesta.Propósito de la actividad. Elmétodo de los babilonios considera unrectángulo con un área determinada,al cual gradualmente se modifican lasmedidas de sus lados –conservando elárea–, de manera tal que cada vez seacerca más a un cuadrado.Sugerencia didáctica. Si lo consideranecesario, recuerde a los alumnos queel procedimiento para encontrar unpromedio (paso número 3) consiste ensumar los valores y luego dividir esasuma entre el número de valores quese están promediando.
  • 118. 119Respuesta. Se divide 32 entre 6. Esigual a 5.333333… Si se toman sólodos cifras decimales, es 5.33.Sugerencia didáctica. Usted puedepedir a los alumnos que resuelvan laecuación que se les plantea:6x = 32x = 32 ÷ 6x = 5.333Respuestas. Se obtiene:5.6652= 32.0922255.6482= 31.899904El primer número es el que más seacerca a la raíz cuadrada de 32.119MATEMÁTICAS I4. Se construye otro rectángulo (más parecido a un cua-drado) que tenga un lado que mida 6 cm, ¿cuánto debemedir el otro lado para que el área del rectángulo sea32 cm2? . Con estas medidas se construyó elrectángulo azul.Observen que:El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la me-dida de sus lados. Entonces, si conocen el área (32 cm2)y la medida de uno de los lados (6 cm) la medida delotro lado (x cm) se puede obtener resolviendo la ecua-ción: 6x = 325. Se vuelven a promediar las medidas de los lados del rec-tángulo:6 cm + 5.33 cm= 5.665 cm26. Se construye otro nuevo rectángulo (rectángulo anaran-jado) que tenga un lado que mida 5.665 cm y otro quemida 32 entre 5.665, es decir 5.648 cm.Se puede seguir con esta construcción y acercarse cada vezmás al valor exacto de la raíz de 32. Por el momento, se deten-drá aquí el proceso para observar que el rectángulo anaranjadoes casi un cuadrado. Sus lados miden: 5.665 cm y 5.648 cm.Calculen (pueden usar una calculadora):5.6652=5.6482 =¿Cuál de los dos números es una mejoraproximación a 32 ?Los lados del rectángulo azul midieron 6 cm y 5.33 cm. Calcu-len (pueden usar calculadora):62 =5.332=Comenten:¿Qué rectángulo da mejores aproximaciones a 32 , el azul oel anaranjado?Recuerden que:Para hacer sus cálculos puedenusar aproximaciones.Por ejemplo, al hacer la división32 ÷ 6 pueden usar el númerodecimal 5.33 o 5.3336 cmÁrea 32 cm25.665 cmÁrea 32 cm2XxRespuesta. El rectángulo anaranjadoes el que más se aproxima.Sugerencia didáctica.Entre todo el grupo puedenrealizar una aproximación mássi se promedia 5.665 y 5.648
  • 119. 120Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, procureestar pendiente de cómo lo haceny apóyelos si tienen dificultades.Particularmente, sugiérales que revisennuevamente cada uno de los pasosque se describen en el caso anterior.Respuesta. Aproximadamente 2.701.Sugerencia didáctica. Usted puedepedir a algunas parejas que vayanindicando las medidas de los ladosde cada uno de los rectángulos queencontraron.Propósito de la actividad. Quede manera individual, los alumnosejerciten el método babilónico paraobtener la raíz cuadrada de unnúmero. Los alumnos pueden recurrira los ejercicios anteriores en caso deque tengan dudas o dificultades pararesolver este ejercicio.Propósito del interactivo. Obtenerla aproximación de la raíz cuadradade un número por medio del métodobabilónico.120secuencia 26Consideremos lo siguienteCon el método babilónico se puede calcular la raíz cuadrada de cualquier número. Si-guiendo los pasos de este método, calculen la raíz cuadrada de 7.3Pueden usar su calculadora para hacer las operaciones que se indican y una regla parahacer los dibujos de los rectángulos.1. Se escogen dos números que multiplicados den 7.3Háganlo con 1 y 7.32. Dibujen en sus cuadernos un rectángulo de lados 1 cm y 7.3 cm.Ahora van a encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado.3. Obtengan el promedio de 1 cm y 7.3 cm, ¿cuánto es?Éste es uno de los lados del nuevo rectángulo.4. ¿Cuánto mide el otro lado del rectángulo?Para encontrar esta medida pueden resolver la ecuación: 4.15x = 7.3Dibujen en sus cuadernos un rectángulo que tenga las medidas que acaban deencontrar.Pueden seguir con el método para encontrar rectángulos cada vez más parecidosa un cuadrado de área 7.3 cm25. Obtengan el promedio de 4.15 cm y 1.759 cm, ¿cuánto es?Éste es uno de los lados del otro rectángulo.6. Si saben que 7.3 ÷ 2.95 es aproximadamente 2.474, ¿cuánto mide el otro lado delnuevo rectángulo?Dibujen en sus cuadernos un rectángulo que tenga las medidas que acaban deencontrar.7. Encuentren el siguiente rectángulo y dibújenlo en sus cuadernos.Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del método babilónico. Co-menten:¿Cuánto es 7.3 ?Manos a la obrai. Calcula por pasos la raíz cuadrada de 10 con el método babilónico.1. Se escogen dos números cuya diferencia sea la menor posible y cuyo producto seaigual a 10, es decir, el 2 y el 5.Observa que:Podrías escoger el 1 y el 10, pero los lados del rectángulo serían muydistintos: medirían 1 cm y 10 cm. En cambio, si escoges 2 y 5, el rec-tángulo que obtienes se parece más a un cuadrado.2. Se construye un rectángulo de área 10 cm2y lados 2 cm y 5 cm(rectángulo morado).2 cm5 cmÁrea 10 cm2
  • 120. 121121MATEMÁTICAS ISe construye otro rectángulo de área 10 cm, pero más parecido a uncuadrado.3. Se obtiene el promedio entre 2 y 5, sumando 2 más 5 y dividiendo entre 2.El promedio es: . Éste es uno de los lados delnuevo rectángulo (rectángulo azul).4. Si sabes que 10 ÷ 3.5 es aproximadamente 2.86, ¿cuánto mide el otrolado del nuevo rectángulo?El método se puede continuar para aproximar mejor 10 , encontrando rectángulos deárea 10 cm2 cada vez más parecidos a un cuadrado.Calcula:2.862=3.52=¿Qué número usarías para una mejor aproximación de 10 ?Comparen sus aproximaciones. ¿Cuál es la mejor?Lo que aprendimos1. En tu cuaderno, calcula la raíz cuadrada de 18. Obtén 3 rectángulos de área 18 cm2siguiendo los pasos del método babilónico.2. Completa la siguiente tabla para calcular la raíz cuadrada de números enteros y de-cimales. Si el resultado es un número decimal, utiliza sólo dos cifras decimales paratus respuestas. Puedes usar una calculadora.Número Raíz cuadrada2510.10.25a) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado tiene 0.1 cm de longitud?b) ¿Cuál es la longitud del lado de una figura de 0.25 cm2 de área?Área 10 cm2Sugerencia didáctica. En cada unode los pasos siguientes usted puedepedirles que dibujen los rectángulos ensus cuadernos.Respuestas.2.862 = 8.17963.52 = 12.25Respuesta. Una buena aproximacióncon cuatro cifras decimales es 3.1622.Sugerencia didáctica. Puede pedira algunos alumnos que encuentrentodavía una o dos aproximacionesmejores. Esto debe hacerse utilizandomás cifras decimales en los resultados.Integrar al portafolios.Si identifica que los alumnos aúntienen dificultades para encontrarla raíz cuadrada de un númerocon el método babilónico, revisecon ellos cada uno de los pasostomando este caso como ejemplo.Recuerde que no se trata de que losalumnos sean expertos en el manejode este método, pues hay otrosrecursos, como la calculadora, queen ciertas circunstancias permitenobtener resultados de manera másrápida y segura; el propósito es quecomprendan qué implica buscar la raízcuadrada de un número.Respuesta. El primer rectángulopuede ser de 3 × 6. Una buenaaproximación es 4.2426.Respuestas.a) 0.01 cm2.b) 0.5 cm.Recomiende a los alumnos que utilicenla calculadora para verificar susresultados. 5 1 0.01 0.5
  • 121. 122Propósitos de la sesión. Resolverproblemas que impliquen el cálculo delas potencias de exponentes naturalesde números naturales. Identificar laraíz cúbica de un número A como elnúmero que tiene la tercera potenciaigual a A, y la raíz cuarta de unnúmero A como el número que tienecuarta potencia igual a A.Organización del grupo. Se sugiereque trabajen en parejas y que elapartado Lo que aprendimos loresuelvan de manera individual.Materiales. Calculadora.Respuesta. Una persona tiene 2papás, 4 abuelos, 8 bisabuelos y 16tatarabuelos.Sugerencia didáctica. Pida alos alumnos que registren ensus cuadernos la forma en queencontraron la respuesta. Puedenapoyarse con operaciones o conelementos gráficos.Respuestas.a) 32b) 64c) 128d) La segunda multiplicación (el 2se multiplica 7 veces). Puede pedira los alumnos que realicen lasmultiplicaciones para comprobarel resultado.122secuencia 26¿Cuántos tatarabuelos?Para empezarUn árbol genealógico es una representación gráfica de lahistoria familiar de una persona. En un árbol genealógicoaparecen los antepasados de cada persona, es decir, sus pa-dres, abuelos, bisabuelos (padres de los abuelos), tatarabuelos(padres de los bisabuelos), etc. Diremos que los padres son laprimera generación de antepasados, que los abuelos son la se-gunda generación de antepasados, etcétera.Consideremos lo siguienteEn una familia, los bisabuelos son los papás de los abuelos, y los tatarabuelos son los papásde los bisabuelos. ¿Cuántos tatarabuelos hay en el árbol genealógico de una persona?Manos a la obrai. El siguiente árbol genealógico puede servir para encontrar cuántos tatarabuelostiene una persona. Copien el árbol en sus cuadernos y dibujen a los tatarabuelos.¿Cuántos son?BisabuelosAbuelosPadresPersonaa) Si quieren continuar con el árbol genealógico, ¿cuántos antepasados habría en lasiguiente rama hacia arriba? Es decir, ¿cuántos antepasados hay en la quinta ge-neración? . Dibújenlos en sus cuadernos.b) ¿Cuántos antepasados de la sexta generación tiene una persona?c) ¿Y cuántos antepasados tiene en la séptima generación?d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones les permite encontrar el número de ante-pasados de la séptima generación?• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2Comparen sus respuestas y expliquen cómo las encontraron.sesión 3
  • 122. 123Respuestas.a) De cada uno de los nietos debensalir tres ramas, cada ramarepresenta a un bisnieto.b) 27c) 759d) La segunda multiplicación(el 3 se multiplica 9 veces).e) 625f) 390 625g) La segunda multiplicación(el 5 se multiplica 12 veces).123MATEMÁTICAS III. Los descendientes de una persona son sus hijos, nietos, bisnietos, tataranietos, etc.Supongan que Rogelio tiene 3 hijos (primera generación de descendientes) y cadauno de sus hijos tiene a su vez 3 hijos (segunda generación de descendientes), de loscuales cada uno tiene 3 hijos (tercera generación de descendientes) y así sucesiva-mente. Es decir, cada miembro de la familia tendrá exactamente 3 hijos.a) Completen el siguiente diagrama de árbol hasta la tercera generación de descen-dientes:RogelioHijos (primera generación)Nietos (segunda generación)b) ¿Cuántos descendientes tendrá Rogelio en la tercera generación?c) ¿Cuántos descendientes tendrá Rogelio en la sexta?d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite calcular el número de descen-dientes de la novena generación?:• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3e) Si en lugar de tener 3 hijos, cada quien tuviera 5 hijos, ¿cuántos descendientestendría Rogelio en la cuarta generación?f) ¿Y en la octava?g) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el número de descen-dientes en la duodécima generación?• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5Propósito del interactivo. Utilizarel diagrama de árbol como técnica deconteo en la resolución de problemascon potencias.
  • 123. 124124secuencia 26NúmeronCuadradon2Tercera potencian3Cuarta potencian43 814 6410 10 0000.25 0.1251.5144 20 736Una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo varias veces.Por ejemplo, en el problema de los árboles genealógicos:210es la multiplicación 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.210 se llama la décima potencia de 2 y se lee 2 elevado a la 10 o 2 a la 10.2 es la base y 10 es el exponente.59es la multiplicación 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5.59 se llama la novena potencia de 5 y se lee 5 elevado a la 9 o 5 a la 9.5 es la base y 9 es el exponente.A lo que llegamosA lo que llegamos• La raíz cúbica de 64 es 4, porque 43= 64. La raíz cúbica de 64 seescribe así: 3 64En general, la raíz cúbica de un número k es otro número que tienetercera potencia igual a k.• La raíz cuarta de 81 es 3, porque 34= 81. La raíz cuarta de 81 seescribe así: 4 81En general, la raíz cuarta de un número k es otro número que tienecuarta potencia igual a k.iii. Completen la siguiente tabla de potencias y contesten:a) ¿Qué número multiplicado 3 veces porél mismo da 27?b) ¿Qué número tiene tercera potenciaigual a 1 000?c) ¿Qué número tiene segunda potenciaigual a 0.25?d) ¿Qué número tiene raíz cuadrada iguala 144?e) ¿Qué número tiene cuarta potenciaigual a 256?Respuestas.a) 3b) 10c) 0.5d) 20 736. Algunos podrán pensarque es el 12. Pídales queverifiquen con la calculadora.e) 4Sugerencia didáctica. Después deleer y comentar esta información,pida a los alumnos que escriban ensus cuadernos otros ejemplos deraíces cuadradas, raíces cúbicasy raíces cuartas. 9 27 16 256 100 1 000 0.5 0.0625 2.25 3.375 5.0625 12 1728Sugerencia didáctica. Pida alos alumnos que elijan un númerocomo base para ejemplificar en suscuadernos cada una de las potencias,desde la potencia 1 hasta la décimapotencia. Es recomendable quepara esto utilicen la notación con elexponente y con las multiplicaciones.
  • 124. 125125MATEMÁTICAS If) ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 000?g) ¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000?h) La raíz de 2.25 es 1.5Lo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla de potencias y contesta:NúmeronCuadradon2Tercera potencian3Cuarta potencian40.2 0.00160 0 011.1 1.21 1.46414 811 1 331a) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0.008?b) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0?c) ¿Cuál es la raíz cuarta de 1.4641?d) ¿Cuál es la raíz cuarta de 1?2. Si la raíz cúbica de 8 es 2 y la de 27 es 3, encuentra una aproximación con dos cifrasdecimales de la raíz cúbica de 20.3. Completa.a) En la potencia 76, la base es y el exponente es .b) En la potencia , la base es 8 y el exponente es 13.c) Al escribir 6 × 6 × 6 × 6 como potencia, la base es y el exponente es .Para saber másSobre el árbol genealógico consulta:http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/historia/histdeltiempo/pasado/famili/p_arbol.htm[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa.Respuestas.f) 10g) 10h) Es la raíz cuadrada.Integrar al portafolios. Si advierteque los alumnos tienen dificultadespara calcular las potencias que seindican, revise nuevamente con ellos elprimer apartado A lo que llegamos deesta sesión. Si tienen dificultades paraidentificar las raíces cúbicas o lasraíces cuartas, revise nuevamente conellos el segundo apartado A lo quellegamos de esta misma sesión. En loscasos de estas raíces, no se trata deque los alumnos las calculen,sino que a partir de la informaciónque se proporciona en la tablapuedan establecer relacionesy las identifiquen.Respuestas.a) 0.2b) 0c) 1.1d) 1Respuesta. Es 2.71.Respuestas.a) La base es 7 y el exponente es 6.b) 813c) La base es 6 y el exponente es 4. 0.04 0.008 0 1 1 1 1.331 2 16 121 14 641
  • 125. 126Propósito de la sesión. Analizary representar algebraicamente larelación de dependencia en unarelación funcional de la forma y = ax.Organización del grupo. Se sugieretrabajar la sesión en parejas, exceptoen el apartado Lo que aprendimos yen momentos de discusión grupal.Propósito del video. Introducir lasideas generales de la ley de Hubble:Velocidad de alejamiento de unagalaxia y Constante de Hubble.1Propósito de la actividad. En otrassecuencias los alumnos han trabajadocon cantidades directamenteproporcionales. Lo que aprendieronles permitirá contestar con relativafacilidad los incisos a) y b); sinembargo, lo que pretende constituirseen un reto en esta sesión es el incisoc), que es expresar algebraicamente larelación entre las cantidades.Quizá los alumnos tengan dificultadespara lograr una expresión correcta.Si es el caso, no los corrija ni les déla solución, permítales continuarresolviendo.Respuestas.a) A 150 km/s (se multiplica 3por 50).b) A 300 km/s.c) v = 50dTambién podrían escribir v = 50 × d,aunque en esta expresión se puedeconfundir el signo de multiplicacióncon la letra x.126secuencia 27En esta secuencia analizarás en situaciones problemáticasla presencia de cantidades relacionadas y representarás esta relaciónmediante una tabla y una expresión algebraica.La Expansión dEL UnivErsoPara empezarLa expansión del Universo.Hasta principios del siglo XX los astrónomos pensaron que elUniverso había sido siempre del mismo tamaño. Sin embargo,en 1929, el astrónomo Edwin Hubble observó que las galaxiasse están alejando unas de otras. Este descubrimiento confirmóuna teoría de extraordinaria importancia para la ciencia: la teo­ría de la Expansión del Universo.A la velocidad con la que una galaxia se aleja de la Tierra se lellama velocidad de alejamiento y, de acuerdo con el descubri­miento de Hubble, las galaxias que están más lejos de la Tierrason también las que se alejan a mayor velocidad.Consideremos lo siguienteUna galaxia que está a 1 megaparsec de distancia se aleja dela Tierra a una velocidad de 50 km/s; otra galaxia que está a 2megaparsecs se aleja de la Tierra a una velocidad de 100 km/s,y así sucesivamente.A partir de esta información, contesten las siguientes preguntas:a) ¿A qué velocidad se aleja una galaxia que está a 3 megaparsecs de distancia?b) ¿A qué velocidad se aleja una galaxia que está a 6 megaparsecs de distancia?c) Representen con la letra d la distancia en megaparsecs a la que se encuentra unagalaxia, y con v a la velocidad de alejamiento, ¿qué expresión algebraica usaríanparaencontrarlavelocidaddealejamientoapartirdeladistancia?Comparen sus respuestas.sEsión 1El megaparsec es unaunidad que se usapara medir distanciasastronómicas.1 megaparsec es igual a3.082 × 1018 km queequivale a 3.26 millo-nes de años luz.Relación funcionalPropósitos de la secuenciaAnalizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representaresta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1La expansión del universoAnalizar y representar algebraicamente la relación dedependencia en una relación funcional de la forma y = ax.VideoLa expansión delUniverso2Los husos horariosAnalizar y representar algebraicamente la relación dedependencia en una relación funcional de la forma y = x + ab.3Cocina navideñaAnalizar y representar algebraicamente la relación dedependencia en una relación funcional de la forma y = ax + b.Aula de medios“Cocinanavideña”(Hoja de cálculo)4El recibo de teléfonoIdentificar la expresión algebraica correspondiente a unarelación funcional de la forma y = a(x − b) + c.EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de las literales.AntecedentesEn secuencias anteriores los alumnos hanexpresado algebraicamente reglas desucesiones numéricas y fórmulas geométricas.En esta secuencia van a expresar algebraica-mente relaciones entre dos cantidades quevarían.
  • 126. 127127MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar la velocidad con la que se alejan algunasgalaxias a partir de las distancias a las que se encuentran.Distancia(en megaparsecs)Velocidad de alejamiento(en km/s)1 502 100345678910151000251500a) Para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por un nú­mero, ¿cuál es ese número?b) Completen la siguiente expresión algebraica para encontrar la velocidad de aleja­miento v a partir de la distancia d:v = × dComparen sus expresiones algebraicas y comenten:La velocidad de alejamiento es directamente proporcional a la distancia a la que está lagalaxia, ¿cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la velocidad dealejamiento a partir de la distancia?II. Usen la expresión algebraica que encontraron para hacer los siguientes cálculos:a) Si la distancia es igual a 50 megaparsecs, ¿cuál es la velocidad de alejamiento v(en km/s)?b) Si d = 600 megaparsecs, ¿cuál es la v (en km/s)?c) Si d = 100 megaparsecs, ¿cuál es la v (en km/s)?Respuestas. Para hallar los datosfaltantes se multiplica la distanciapor 50. Si se conoce la velocidad,se divide ésta entre 50.a) 50b) v = 50 × dTambién se puede poner v = 50d 150 200 250 300 350 400 450 500 750 20 1250 303Sugerencia didáctica. En estemomento puede ser útil recordarel concepto de constante deproporcionalidad que los alumnostrabajaron en la secuencia 15.Respuestas. La constante deproporcionalidad que se buscapermite encontrar la velocidad dealejamiento a partir de la distancia.Por ejemplo, para obtener la velocidadde alejamiento de una galaxia queestá a 3 megaparsecs se multiplicapor el número 50 y se obtiene quela velocidad es 150 km/s. El número50 corresponde a la constante deproporcionalidad.Respuestas.v = 50 × da) v = 50 × 50 v = 2 500 km/sb) v = 50 × 600 v = 30 000 km/sc) v = 50 × 100 v = 5 000 km/s
  • 127. 128Respuestas.a) Centauro, porque está más lejosde la Tierra.b) A 0.1 megaparsecs (también puededecirse: a qQp megaparsecs).c) A 0.02 megaparsecs(también puede decirse:a tQp megaparsecs).d) La expresión es d = 50 ÷ v.Posibles dificultades. Es comúnque los alumnos vean las fórmulasv = 50d y d = v ÷ 50como expresiones que no estánrelacionadas, y por consiguiente,se las aprendan de manera separada.Analice con ellos ambas fórmulaspara que puedan relacionarlas.Sugerencia didáctica. Escriba enel pizarrón la expresión que permiteencontrar la velocidad conociendo ladistancia (v = 50d ) y la que permitehallar la distancia conociendo lavelocidad de alejamiento (d = v ÷ 50)y analícenlas.Propongan distintas variables (tantovelocidades de alejamiento comodistancia) y utilicen las expresionesalgebraicas para hallar la otravariable.Pregunte a los alumnos en qué separecen y en qué son distintas las2 expresiones y si creen que estánrelacionadas o no.128secuencia 27A lo que llegamosEn la expresión algebraica v = 50d, conocida como Ley de Hubble, lavelocidad de alejamiento depende o está en función de la distancia.Según dicha fórmula, para encontrar la velocidad de alejamiento semultiplica la distancia por 50. Se dice entonces que entre la velocidady la distancia hay una relación funcional. En este caso, la relaciónfuncional es una relación de proporcionalidad.iii. Contesten las siguientes preguntas:a) Si la galaxia Centauro se encuentra a 1.31 megaparsecs y la galaxia Andrómedaa 0.7 megaparsecs, ¿cuál de las dos se aleja más rápidamente de la Tierra?b) Si una galaxia se aleja a 5 km/s, ¿a qué distancia estará?c) ¿A qué distancia estará una galaxia que se aleja a 1 km/s?d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar la distancia (d)a partir de la velocidad de alejamiento (v)? Subráyenla.d = 50v d = 50 ÷ v d ÷ 50 = v d = v ÷ 50Comparen sus respuestas. Usen la expresión algebraica para verificarlas.A lo que llegamosRecuerden que:Por convención,v = 50 × dse escribev = 50dEn las relaciones funcionales hay cantidades que varían y otras que no varían. En la rela-ción funcional dada por la Ley de Hubble:• La distancia d a la que se encuentra cada galaxia varía.• La velocidad v con la que se aleja una galaxia varía, dependiendo de la distancia.• El número 50 por el que se multiplica la distancia para encontrar la velocidad no varía.
  • 128. 129129MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. Un atleta corre la tercera parte de un kilómetro por minuto.a) Completen la siguiente tabla para calcular la distancia que recorre el atleta endiferentes momentos de una carrera.Tiempo(en minutos)Distancia recorrida(en kilómetros)1352101160b) Si d es la distancia que recorre el atleta y t el tiempo transcurrido, escriban una ex­presión algebraica para calcular la distancia que recorre el atleta al variar el tiempo.c) Utilicen la expresión algebraica para responder las siguientes preguntas:• Si t = 10 minutos, ¿cuánto es d en kilómetros?• Si t = 12 minutos, ¿cuánto es d en kilómetros?• Si t = 22 minutos, ¿cuánto es d en kilómetros?En esta relación funcional:d) ¿Cuáles son las variables? ye) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia apartir del tiempo?A las cantidades que varían se les llama variables, y a las que no varían se les llamaconstantes. En este caso:• 50 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable v a partirde la variable d.• es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable d a partirde la variable v.Integrar al portafolios. Pida a losalumnos una copia de sus respuestas alas actividades de esta sección.Respuestas.b) d = eQ t (podrían escribirlo como d = eQ × t ).Hay que fijarse en la tabla, la distanciasiempre es una tercera parte deltiempo.c) QePQeWWeWPuede pedirles que las escriban comonúmeros mixtos.d) El tiempo ( t ) y la distancia ( d ).e) La distancia que recorre en unminuto, eQ km. 2 1 4 tE 6 QeP = 3  QeQ = 3  20
  • 129. 130Propósito de la sesión. Analizary representar algebraicamente larelación de dependencia en unarelación funcional de la formay = x + ab.Organización del grupo. En la sesiónhay trabajo individual, en parejas y enequipo.3Sugerencia didáctica. Puedeaprovechar esta actividad paracomentar con los alumnos sobre lasdistintas maneras de escribir la hora.Por ejemplo:- Después de la medianoche vienela 1 de la mañana, las 2, 3, etc.Después del mediodía viene la1 de la tarde, las 2, 3…hasta llegar nuevamente a lamedianoche.- En vez de decir “1 de la mañana”también suele decirse “1 a.m.”.Las letras “a.m.” significan “antesdel meridiano”, es decir, antes delmediodía. Después del mediodíase dice “p.m.” que significa“pasado meridiano”.- También se cuentan las horasempezando por las 0:00 h(medianoche). Se va aumentandode una en una hasta las 23:00 h,y la que sigue es otra vez las0:00 h. Por eso, después de las12 de la tarde siguen las 13:00 h(la 1 de la tarde), las 14:00 h(las 2 de la tarde), y asísucesivamente.130secuencia 27Hora en Chihuahua Hora en Nueva York6 77 88910111213141516Los hUsos horariosPara empezarDebido al movimiento de rotación de la Tierra, hay diferenciasde horario. ¡Esto quiere decir que mientras en un lugar delmundo son las 12 del día, en otro son las 12 de la noche!Por ejemplo, cuando en la ciudad de Nueva York en EEUU sonlas 7:00 h (7 de la mañana), en la ciudad de Chihuahua enMéxico son las 6:00 h (6 de la mañana).Para calcular las horas, el planeta Tierra se ha dividido en 24franjas llamadas husos horarios. A cada uno de los husoshorarios le corresponde una hora distinta, de manera que enel planeta hay 24 horas distintas al mismo tiempo. Así, cuan­do en Nueva York son las 00:00 h (12 de la noche) en Chihua­hua son las 23:00 h (11 de la noche).Es importante notar que es común decir 24:00 h o 12 de la noche en lugar de 0:00 h. Enel momento en que se completan 24 horas de un día se reinicia el conteo a 0:00 h (unminuto después de las 23 h con 59 min vienen otra vez las 0:00 h), por lo tanto, las 0:00h y las 24:00 h son dos formas de escribir la misma hora.Consideremos lo siguienteComenten el siguiente problema:María vive en la ciudad de Chihuahua y su papá en la ciudad de Nueva York. Si el papáde María trabaja de 7 de la mañana (7:00 h) a 3 de la tarde (15:00 h), ¿creen que Maríaencontrará a su papá en casa si lo llama a las 6 de la mañana (hora de Chihuahua)?Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular la hora en la ciudad de Nueva York a par­tir de la hora en Chihuaha.sEsión 2a) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahuason las 15:00 h?b) Si el papá de María hace una hora cuarenta ycinco minutos en el trayecto del trabajo a sucasa, ¿a partir de qué hora (de Chihuahua)puede hablarle María para encontrarlo de re­greso en casa?c) ¿De qué hora a qué hora de Chihuahua, Ma­ría no va a encontrar a su papá? ¡Cuidado: larespuesta no es de 7 de la mañana a 3 de latarde!Propósito de la actividad. Laintención es que al llegar al inciso c)los alumnos expresen algebraicamentela relación entre la hora de Chihuahuay la hora de Nueva York. Déles tiempopara trabajar la situación y no lesproporcione la respuesta.Respuestas. Para conocer la hora deNueva York hay que aumentar unahora a la de Chihuahua.a) Las 16:00 h.b) A partir de las 15:45 de Chihuahua.El papá sale a las 15:00 h (horade Nueva York), y tras 1 hora y45 minutos de trayecto, llega a sucasa a las 16:45 (de Nueva York),que son las 15:45 de Chihuahua.c) De las 4:15 de la mañana a las15:45 (hora de Chihuahua),tomando en cuenta los trayectos deida y vuelta.
  • 130. 131Posibles dificultades. Losestudiantes podrían sentirseconfundidos porque la expresióny = x + 1 no permite encontrar lahora de Nueva York. Explíqueles quecuando se usa esta expresión se pasade las 24:00 h y que, pasadas las24:00 h se reinicia el conteo de horas.Por ejemplo, en lugar de ser las 24:30,en Nueva York son las 00:30.En el inciso a) es posible que diganque la operación que se hace es sumar1 y quitarle el 24. Eso es correcto, perono es una operación algebraica. No loscorrija, y permítales pasar al inciso b).En el inciso b) necesitarán interpretarel “quitarle el 24” como un resto 24.Si no surge en el grupo, dígaselos.Al final, los alumnos deberán conjugaresta última observación con el sumar 1y así obtener: y = x – 23131MATEMÁTICAS III. Llamen x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Nueva York. Si la hora en Chihuahuaestá entre las 00:00 h y las 23:00 h, ¿cuál de las siguientes expresiones permite cal­cular la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua? Subráyenla.a) x = y + 1 b) y = x – 1 c) y = x + 1 d) x = y – 1Comparen sus expresiones algebraicas.III. Si la hora en Chihuahua está entre 23:00 h y 24:00 h, por ejemplo las 23:30 h, laexpresión algebraica y = x + 1 NO permite encontrar la hora en Nueva York (y) apartir de la hora en Chihuahua (x), pues se pasa de las 24:00 h.a) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 23:00 h y las 24:00 h, ¿qué cálculos hayque hacer para obtener la hora en Nueva York a partir de la hora en Chihuahua?b) Escriban una expresión que nos permita encontrar la hora de Nueva York (y) a partirde la hora en Chihuahua (x), cuando la hora en Chihuahua está entre las23:00 h y las 24:00 h.Comparen sus expresiones.IV. Para obtener la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua, cuando enChihuahua pasan de las 23:00 horas, se resta 23 a la hora de Chihuahua. Por ello, laexpresión es y = x – 23. Usando la expresión algebraica y = x + 1 (o bien, la expresióny = x – 23), contesten las siguientes preguntas.a) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 23:45 h?b) ¿Qué hora es en Chihuahua si en Nueva York son las 0:30 h?c) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 22:59 h?d) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 0:00 h?A lo que llegamosEn la expresión algebraica y = x + 1, la variable y depende o está enfunción de la variable x. Al número 1, que siempre hay que sumar a lax para obtener la y, se le llama constante.V. Cuando en Los Ángeles son las 4:00 h, en Chihuahua son las 6:00 h y en Tokio (lacapital de Japón) son las 21:00 h. Completen la siguiente tabla para calcular las horasen Los Ángeles y Tokio a partir de la hora en Chihuahua.0:45 h23:30 h23:59 h1:00 h
  • 131. 132Respuestas. La hora de Los Ángeleses igual a la hora de Chihuahuamenos 2. La hora de Tokio es iguala la hora en Chihuahua más 15.a) Las 18:00 h.b) Las 17:00 h.c) y = x  – 2d) i) z = x + 15 ii) z = x – 9132secuencia 27Hora en Los Ángeles Hora en Chihuahua Hora en Tokio4 6 215 7 228910111213141516171819a) ¿Qué hora es en Los Ángeles cuando son las 20 h en Chihuahua?b) ¿Qué hora es en Tokio cuando son las 0 h en Los Ángeles?c) Escriban una expresión algebraica para encontrar la hora en Los Ángeles a partirde la hora en Chihuahua, cuando la hora en Chihuahua está entre las 02:00 h ylas 24:00 h. Llámenle x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Los Ángeles.d) Llamen x a la hora en Chihuahua y z a la hora en Tokio. Escriban una expresiónalgebraica para encontrar la hora en Tokio a partir de la hora en Chihuahua encada caso:i) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 00:00 h y las 9:00 h.ii) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 09:00 h y las 24:00 h.Comparen sus expresiones algebraicas.
  • 132. 133133MATEMÁTICAS IVI. Contesten las siguientes preguntas, usando las expresiones algebraicas que encontraron.a) Si en Chihuahua son las 24:00 h, ¿qué hora es en Los Ángeles?b) Si en Chihuahua son las 3:00 h, ¿qué hora es en Los Ángeles?c) Si en Chihuahua son las 9:00 h, ¿qué hora es en Tokio?d) Si en Tokio son las 24:00 h, ¿qué hora es en Chihuahua?A lo que llegamosEn la expresión algebraica y = x – 2, la variable y depende o está enfunción de la variable x. El número 2, que siempre hay que restar a lax para obtener la y, es la constante de la relación funcional.VII. La expresión algebraica z = x + 15 describe una relación funcional entre la hora enChihuahua (x) y la hora en Tokio (z).a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional?b) ¿Cuál es la constante en esta relación funcional?Lo que aprendimos1. Luis tiene tres hermanos: Rocío, Juan y Fernanda. Completen la siguiente tabla conlas edades de los hermanos de Luis.Edad de Luis(años)Edad de Rocío(años)Edad de Juan(años)Edad de Fernanda(años)6 10 8 17 11 9 28 12 10 310 12 512 16 1413 15 814 182025 27a) Cada integrante del equipo escoja a uno de los hermanos de Luis y escriba en sucuaderno una expresión algebraica para calcular la edad del hermano que escogióa partir de la edad de Luis.b) Verifiquen entre todos si las tres expresiones algebraicas (una para cada hermano)son correctas.Respuestas.a) 22:00 h.b) 1:00 h.c) 0:00 h.d) 9:00 h.Respuestas.a) z (la hora de Tokio) y x (la hora deChihuahua).b) 15 (las horas de diferencia entreChihuahua y Tokio).Propósito de la actividad. Se esperaque completar la tabla no sea difícilpara los alumnos, el reto consisteen la escritura de las expresionesalgebraicas.Integrar al portafolios. Solicite a losalumnos una copia de sus respuestas alas actividades del número 1.Posibles dificultades. Es comúnque los alumnos piensen que si secambia la letra que representa a unavariable la expresión será incorrecta.Es importante que sepan que sepueden poner letras distintas, siemprey cuando esté claro qué representacada una. Usted puede escribir en elpizarrón las expresiones que hayanelaborado y cambiarles las letras paraque ellos digan si es correcto o no.Respuestas.a) (r es Rocío, j es Juan, f es Fernanday l es Luis).Rocío: r = l + 4Juan: j = l +2Fernanda: f = l – 5c) r, j, f y l(o las letras que ellos hayan usado).d) 4, 2 y 5.
  • 133. 134134secuencia 27c) En conjunto, en las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas,¿cuáles son?, , yd) ¿Cuáles son las constantes en estas relaciones funcionales?, y2. La longitud de la base de un rectángulo es 3 cm más grande que su altura.a) ¿Cuánto medirá la base si la altura mide 2 cm?b) Y si la base midiera 6 cm, ¿cuánto mediría la altura?c) Encuentra una expresión algebraica para calcular la medida de la altura a partir dela medida de la base.d) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional?e) ¿Cuál es la constante?CoCina navidEñaPara empezarExisten muchos problemas prácticos en los que interviene una relación funcional. En estasesión abordaremos algunos de ellos.Consideremos lo siguienteEn un libro de cocina aparece la siguiente receta para cocinar un pavo:a) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo de 5 kg?b) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa8 kg?c) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa6.5kg?d) Escriban una expresión algebraica para calcular eltiempo de horneado de un pavo de cualquier peso.Comparen sus expresiones algebraicas.sEsión 3PAVO AL HORNOEnvuelva el pavo en papel aluminio;hornee el pavo 15 minutospor cada kilogramo de pavo ysume a esto 90 minutos extras.Respuestas.a) 5 cm.b) 9 cm.c) a = b – 3d) a y b.e) 3Posibles dificultades. Los alumnospodrían pensar que la expresiónalgebraica es a = b – 3, porque sabenque la base es 3 cm mayor que laaltura. Revise sus respuestas y sicometieron ese error pídales que lautilicen con los valores de los incisosa) y b) para que comprueben si escorrecta.Propósito de la sesión. Analizary representar algebraicamente larelación de dependencia en unarelación funcional de la formay = ax + b.Organización del grupo. La sesiónse trabaja en parejas, habiendomomentos de discusión grupal.Propósito de la actividad. Aligual que en la sesión anterior, loque se pretende es que los alumnosescriban expresiones algebraicas queles permitan modelar la situación yencontrar los valores de las variables.Respuestas.a) 165 minutos.b) 210 minutos.c) 187.5 minutos.d) Siendo t el tiempo dehorneado (en minutos)y p el peso del pavo (en kilos),t = 15p + 90Se leería “tiempo de horneado esigual a peso por 15 más 90”.Posibles respuestas. Para responderel inciso d) los alumnos podríanescribir cosas como “Se multiplica elpeso por 15 y al resultado se le suma90”, que si bien son correctas, no sonexpresiones algebraicas. Permítalesesas respuestas siempre y cuandosean correctas, y cuando terminende resolver el apartado Manos ala obra dígales que las expresenalgebraicamente.
  • 134. 135135MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Completen la siguiente tabla para calcular el tiempo de horneado que requiere unpavo con diferentes pesos:Peso del pavo(kg)Tiempo de horneado(min)1 10522.534157.566.519510a) En esta relación funcional hay un número por el cual se multiplica cada kilogramode pavo, ¿cuál es ese número?b) ¿Cuál es el número que hay que sumar siempre para obtener el tiempo total dehorneado?c) Completen la siguiente expresión algebraica para encontrar el tiempo t a partirdel peso p:t = × p +II. Comparen sus expresiones algebraicas y comenten.a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional?b) ¿Cuáles son las constantes en esta relación funcional?III. Usen la expresión algebraica que encontraron para calcular los tiempos de horneadode pavos con los siguientes pesos:a) Si el pavo pesa 2.5 kg, ¿cuántos minutos debe hornearse?b) Si p = 3.75 kg, ¿cuánto vale t (en minutos)?c) Si p = 8.4 kg, ¿cuánto vale t (en minutos)?Respuestas. Cuando se conoce elpeso, se multiplica éste por 15 y se lesuma 90. Cuando se conoce el tiempode horneado, se le resta 90 y se divideentre 15.Posibles dificultades. La expresión(algebraica o no) que los alumnosescribieron en la sección anteriorfunciona para cuando se quiere hallarel tiempo de horneado conociendoel peso del pavo. Sin embargo, en latabla se les plantea también el casoinverso: averiguar el peso del pavoconociendo el tiempo de horneado. 120 127.5 135 150 4.5 180 187.5 7 240Respuestas.a) 15b) 90c) t = 15p + 90Respuestas.a) El tiempo de horneado ty el peso del pavo p.b) 15 y 90.Integrar al portafolios. Guardelas respuestas de los alumnos a laactividad III y valórelas para ver si hancomprendido.Si lo cree conveniente, repasen juntosla expresión original t = 15p + 90(o equivalentes), y analicen de quémanera podrían averiguar el peso.Puede preguntarles: “Si sabemosque el tiempo de horneado es de 105minutos, ¿cómo pueden estar segurosde que el pavo pesa 1 kg?”. Trabajarcon valores que ya conocen para lasvariables puede ser de ayuda pararesolver la cuestión.Otra dificultad que está asociada a loanterior es la de desconocer en quéorden deben hacerse las operaciones.Saben que el tiempo de horneadoes igual al peso por 15 más 90, peroconociendo el tiempo de horneado¿qué debe hacerse primero, restar los90 minutos o dividir entre 15? Si losalumnos tuvieran esa duda, repasenjuntos la expresión que escribieronantes.Sugerencia didáctica. Cuandoterminen de llenar la tabla, pida a losalumnos que expresen los tiemposde horneado en horas, minutos ysegundos, especialmente en los casosen que el resultado es un númerocomo 157.5 minutos.
  • 135. 136136secuencia 27iV. Comparen sus respuestas y contesten las siguientes preguntas:a) Si un pavo pesa 9 kg y otro pesa 3 kg, ¿cuánto tiempo de horneado más necesitael pavo de 9 kg?b) Si un pavo pesa el triple que otro, ¿será cierto que el tiempo de horneado querequiere el más chico es la tercera parte de lo que requiere el mayor?¿Por qué?A lo que llegamosLa expresión algebraica t = 15 p + 90 es una relación funcional: elvalor de la variable t depende del valor de la variable p.La variable p se multiplica por 15 y al resultado se le suma 90. Ambosnúmeros, el 15 y el 90, son constantes.V. En otra receta se sugiere hornear 16 minutos porcada kilogramo de pavo y agregar 80 minutos ex­tras. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicaspermitiría encontrar el tiempo total de horneado (t)para cualquier cantidad de kilogramos de pavo (p)?• t = 80 p +16• t = 16 p + 80a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? yb) ¿Cuáles son las constantes? yLo que aprendimos x y11.5251011.62076Recuerden que:Se acostumbrasuprimir el símbolo ×(por) para no confun-dirlo con la x (equis).En la expresión algebraica y = 3 x + 1a) ¿Cuáles son las variables?yb) ¿Cuáles son las constantes?yc) Completen la tabla de la derecha usando laexpresión algebraica:Respuestas.a) Necesita 90 minutos más, porquela diferencia es de 6 kg, entonces6 × 15 = 90.b) No es cierto, hay que tener encuenta la otra constante: añadir90 minutos al tiempo de horneado.Esto puede verse en el ejemploanterior, mientras que parael pavo de 3 kg el tiempo dehorneado es de 135 minutos, parael de 9 kg es de 225 minutos; 9 esel triple de 3, pero el tiempo dehorneado no es el triple.Posibles dificultades. Es un errorcomún confundir una constante(multiplicativa) con una constanteaditiva. Sugiera a los alumnos quelean con cuidado las 2 expresionesalgebraicas para que analicen quées lo que hacen el 80 y el 16 encada caso.En la primera el tiempo de horneadose obtiene así: cada kilo de pavo semultiplica por 80 minutos y luegose añaden 16 minutos. Aquí el 80 esuna constante (se multiplica) y el 16es una constante aditiva (se suma).En la segunda el tiempo de horneadose obtiene de esta manera: cada kilode pavo se multiplica por 16 y luegose añaden 80 minutos. Aquí el 16 esuna constante (se multiplica) y el 80es una constante aditiva (se suma).Ésta es la expresión correcta.Si los alumnos no notan la diferenciao tienen dificultades para elegirla expresión correcta, pídales queprimero calculen el tiempo dehorneado de un pavo de 7 kg a partirde la receta y luego, utilizando cadauna de las expresiones algebraicas. 4 5.5 7 16 31 35.8 61 21 Respuestas.a) y, x.b) 3, 1.c) x se multiplica por 3 y se suma 1.Para hallar el valor de x cuando yes igual a 76 deben realizarse lasoperaciones inversas y en ordencontrario: primero restar 1 y luegodividir entre 3, o bien, plantear laecuación 3 x + 1 = 76  y resolverla.
  • 136. 137137MATEMÁTICAS IEL rECibo dE tELéfonoPara empezarEn esta sesión continuarás con el estudio de las relaciones fun­cionales. Estudiarás un problema práctico: el costo mensual delservicio telefónico. El costo del servicio telefónico depende dela renta fija y de la cantidad de llamadas que se realicen en elmes.Consideremos lo siguienteLa renta mensual del servicio telefónico es de $167.00. Estarenta incluye 100 llamadas. Por ejemplo, si en el recibo apare­cen 125 llamadas realizadas, se paga: la renta mensual más elcosto de las 25 llamadas adicionales. El costo de cada llamadaadicional es de $1.50.a) ¿Cuál es el costo mensual del servicio si se hacen 125llamadas?b) Completen la siguiente tabla para calcular el costomensual del servicio telefónico a partir del número dellamadas.Total de llamadas realizadas Costo mensual (en pesos)100 o menos 167101 168.50110119120121125150168175180c) ¿Cuál es el mayor número de llamadas que se pueden hacer con $200.00?Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.¿Qué operaciones hicieron para encontrar los costos a partir del número de llamadas?sEsion 4Propósito de la sesión. Identificar laexpresión algebraica correspondiente auna relación funcional de la forma y =a (x − b) + c.Organización del grupo. La sesiónse resuelve en parejas, con momentospara comentarios grupales, a excepcióndel último apartado, que es individual.182195.50197198.50204242269279.50287Propósito de la pregunta. Seespera que los alumnos describan elprocedimiento que utilizaron parallenar la tabla con la intención deque esa descripción les sirva paraescribir posteriormente una expresiónalgebraica. Por ello es muy importanteque comenten varios procedimientos(qué operaciones hicieron, con cuálescantidades y en qué orden) y querevisen si son equivalentes o no.Respuesta. 122 llamadas. Quitandola renta quedan $33, con los que sepueden pagar 22 llamadas adicionales.Respuesta.a) $ 204.50. Se hicieron 25 llamadasadicionales y cada una cuesta$1.50, así que son $ 37.50 de lasllamadas más los $167 de la renta.
  • 137. 138138secuencia 27Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas:a) Si sólo se pagan $167.00 (la renta mensual), ¿cuántas llamadas se han hecho?b) ¿Cuánto hay que pagar de costo mensual por 1 llamada adicional? .c) ¿Cuánto hay que pagar por 2 llamadas adicionales? .d) Si se hacen 181 llamadas en total, ¿cuántas llamadas adicionales se han hecho?¿Cuánto hay que pagar de costo mensual? .ii. ¿Con cuál de las siguientes expresiones alge­braicas se puede calcular el costo mensual delservicio telefónico cuando se hacen más de 100llamadas? En estas expresiones se usa la letra xpara representar el total de llamadasy la letra y para representar el costo mensualdel servicio telefónico.y = 1.50 x + 167y = 167 x + 1.50y = 1.50 (x – 100) + 167a) Comparen las expresiones algebraicas que escogieron y comenten por qué creenque son correctas.b) Con la expresión que escogieron calculen el costo mensual del teléfono, si en elrecibo estuvieran registrados los siguientes números totales de llamadas:x = 100, y =x = 121, y =x = 125, y =x = 175, y =x = 200, y =x = 250, y =c) Comparen sus resultados con los que obtuvieron en la tabla, y comenten:Si el número de llamadas aumenta al doble, ¿también aumentará al doble elcosto mensual?El paréntesis de la expresióny = 1.50 (x – 100) + 167indica que primero hay querestar 100 al número x y,después, multiplicar elresultado por 1.50Respuestas.a) Entre 0 y 100 llamadas.b) $1.50 por una llamada,$168.50 en total.c) $3.00 por las 2 llamadas,$170 en total.d) 81 llamadas adicionales y hay quepagar $ 288.50 de costo mensual.Sugerencia didáctica. La frase quelos alumnos escribieron sobre lasoperaciones realizadas para llenar latabla les será de utilidad para elegir laopción correcta, pero si eligen otra nolos corrija. Las actividades que se lesproponen más adelante les ayudarán adarse cuenta del error.Respuestas.La primera opción es incorrectaporque se multiplican todas lasllamadas realizadas por $1.50, perohay que recordar que ese es el costode las llamadas adicionales, es decirde aquellas llamadas que excedan las100 incluidas en la renta mensual.La segunda también es incorrectaporque se cambia de lugar a las 2constantes. Considera a 167 como unaconstante (que se multiplica), cuandoen realidad es una constante aditiva(se suma), y viceversa.La tercera opción es correctaporque es la que considera que alnúmero total de llamadas (x ) hay querestarle 100 (las que incluye la rentamensual) y al resto multiplicarlo por1.50 y sumarle 167.Posibles dificultades. Para algunosalumnos la tercera opción puederesultar difícil de interpretar por eluso del paréntesis. Explíqueles queel paréntesis sirve para no confundirel orden en el que deben efectuarselas operaciones en la expresión (eneste caso, la multiplicación y la resta).Lo que va dentro del paréntesisdebe resolverse primero, así que laexpresión puede leerse como “el costomensual es igual al número total dellamadas menos 100, el resultado semultiplica por 1.50 y a eso se lesuman 167”.Sugerencia didáctica. Permita quelos alumnos utilicen la expresiónalgebraica que hayan elegido, aunquesea incorrecta. Después comparenlos resultados, si hubo alumnos queeligieron una expresión algebraicaincorrecta se toparán con respuestasdistintas. Ayúdelos a analizar lasexpresiones algebraicas para encontrarla correcta y corrijan los resultados deesta parte.Respuesta.La relación funcional entre el costomensual y el número total de llamadasrealizadas no es de proporcionalidaddirecta. Sugiera a los alumnos queanalicen los siguientes ejemplos conlos costos que acaban de calcular,en los que al doble de llamadasno corresponde el doble de costomensual:- Por hacer 100 llamadasse pagan $ 167;por hacer 200 se pagan $317.- Por hacer 125 llamadasse pagan $204;por hacer 250 se pagan $392.167198.50204279.50317392
  • 138. 139139MATEMÁTICAS IIII. El costo mensual del teléfono depende del número total de llamadas que se realizan.Ésta es una relación funcional. Contesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuáles son las variables?b) En esta relación funcional hay tres constantes, ¿cuáles son?Lo que aprendimosUn bebé nació pesando 3 kg. Durante su primer año de vida su peso aumentó0.5 kg cada mes.Completa la siguiente tabla para calcular el peso del bebé.Edad del bebé(meses)Peso del bebé(kilogramos)Al nacer 3123456 67 6.58 79 7.5a) Si se representa con la letra y el peso del bebé y con x la edad del bebé (en meses),escribe una expresión algebraica para calcular el peso del bebé durante su pri­mer año de vida.b) Utiliza la expresión algebraica para calcular el peso del bebé a partir de las si­guientes edades:x = 7 (meses), y = kilogramosx = 8 (meses), y = kilogramosx = 9 (meses), y = kilogramosx = 12 (meses), y = kilogramosPara saber másSobre la expansión del Universo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Con-cepción Ruiz y Sergio de Régules. Crónicas algebraicas. México: SEP/ Santillana, Li-bros del Rincón, 2002, pp. 44-45.También puedes consultar:http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/01/html/sec_11.html[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Respuestas.a) x (cantidad total de llamadas) yy (costo mensual).b) 1.50 (costo por cada llamadaadicional), 167 (renta mensual) y100 (las llamadas que se incluyenen la renta mensual).Integrar al portafolios. Pida alos alumnos una copia de todo elapartado Lo que aprendimos y dígalesque también anoten cuáles son lasconstantes en este caso y de qué tiposon, y cuáles son las variables.Sugerencia didáctica. Aunque eneste caso los datos sobre el peso delbebé muestran un aumento constantede 0.5 kg por mes, regularmenteno sucede así. Coméntelo con losalumnos.Respuestas. El bebé aumenta cadames 0.5 kg, entonces tendríamosque su peso es igual a su edad enmeses por 0.5; pero hay que agregarlos 3 kg que pesó al nacer, por lo tantola expresión sería: y = 0.5x + 33.544.555.56.577.59
  • 139. 140Propósito de la sesión. Trazar un círculo,dados 2 puntos. Identificar cuántos círculosse pueden trazar bajo esas condiciones.Organización del grupo. Se sugiere quela sesión se trabaje en parejas.Materiales. Regla y compás.Propósito de la actividad. Hay dosaspectos centrales en la resolución de esteproblema:- Que los alumnos tracen 2circunferencias distintas y verifiquenque cumplan con la condición de quecada una de ellas pase por ambospuntos (A y B).- Que describan el procedimiento quesiguieron para encontrar el centro deambas circunferencias.Sugerencia didáctica. Si lo consideranecesario, aclare a los alumnos que elpasar por los 2 puntos no significatomar uno como centro y el otro comoradio, sino que ambos puntos deben serparte de la circunferencia.Posibles procedimientos. Una formade resolver es por ensayo y error, esto es,abrir el compás haciendo una estimacióndel radio, probar si con ese radio esposible trazar una circunferencia que pasepor los 2 puntos. Si no es así, cerrar oabrir más el compás, según lo requieran,hasta aproximarse lo más posible a lacircunferencia buscada. El trazo de lasegunda circunferencia podría llevarse acabo de la misma manera.Una forma más sistemática de trazarla primera circunferencia es la que sepresenta en la actividad II del apartadoManos a la obra. La segunda circunferenciapuede resultarles más complicada deencontrar, pues necesitan situar un puntoque esté a la misma distancia de lospuntos A y B. Esto puede hacerse trazandola mediatriz que ya estudiaron en lasecuencia 12, pero es poco probable quelos alumnos recurran a ello.140secuencia 28sesión 1BAConstrucciónde círculos ycircunferenciasEn esta secuencia construirás círculos que cumplan condiciones dadasa partir de diferentes datos.Las circunferencias que pasanpor dos puntosPara empezarUna circunferencia está formada por todos los puntos que están a la misma distancia,llamada radio, de un punto fijo llamado centro.Consideremos lo siguienteTracen dos circunferencias que cumplan la siguiente condición: pasar por los dos puntossiguientes.Escriban en su cuaderno cómo encontraron los puntos que utilizaron como centro decada circunferencia.Comenten en grupo sus procedimientos.RadioPropósitos de la secuenciaConstruir círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Las circunferencias que pasan por dospuntosTrazar un círculo, dados dos puntos.Identificar cuántos círculos se puedentrazar bajo esas condiciones.VideoLas circunferencias que pasan por dospuntos2Cuerdas y circunferenciasIdentificar en qué casos es posible trazarun círculo dadas dos cuerdas.Interactivo“Construcción de circunferencias”3Tres puntos y una circunferenciaIdentificar en qué casos es posible trazarun círculo dados tres puntos.Interactivo“Construcción de circunferencias conla mediatriz”Aula de medios“Tres puntos y una circunferencia”(Geometría dinámica)EjeForma, espacio y medida.TemaFormas geométricas.AntecedentesEn la escuela primaria los alumnos aprendie-ron a construir círculos a partir de la medidadel radio. Asimismo, aprendieron a ubicar elcentro de una circunferencia utilizando 2recursos: por medio del punto en el que secruzan los ejes de simetría, y mediante eltrazo de perpendiculares de cuerdas noparalelas. En esta secuencia aprenderán otrasformas de construir círculos, y para ellorequerirán apoyarse en el trazo de mediatricesque trabajaron en la secuencia 12.
  • 140. 141I141MATEMÁTICASManos a la obraI. Rosa consideró los dos puntos de la siguiente manera:• Tomó como centro el punto B y trazó la circunferencia tomando como radiola distancia del punto A al punto B.¿Porquéestacircunferencianocumplelacondiciónpedida?II. Para hallar las dos circunferencias, Guillermo hizo lo siguiente.Para la primera circunferencia:• Trazó el segmento que une los dos puntos, obtuvo el punto medio del AB(punto C) y trazó la circunferencia tomando como radio la distancia del punto Cal punto A.Comenten en equipo, ¿por qué esta circunferencia sí cumple la condición pedida?Para hallar el centro de la segunda circunferencia, Guillermo tomó un punto C’ muycerca de C.a) Midan la distancia del punto A al punto C’:b) Midan la distancia del punto B al punto C’:Comenten en equipo, ¿por qué el punto C’ no es el centro de la circunferencia?BABACC,Respuesta. Porque no pasa por elpunto B, pues se tomó a éste comocentro.Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que hagan los mismos trazosque hizo Guillermo, una vez quehayan obtenido la circunferencia,invítelos a comentar por qué estacircunferencia sí cumple con lacondición dada.Enfatice las ideas que se sugierenen seguida para enriquecer losargumentos de los alumnos:- Los segmentos AC y BC son radiosde la circunferencia.- AC = BC, es decir, ambos radiosmiden lo mismo.- Dado que los dos radios soniguales, entonces los puntos A yB son parte de la circunferencia, yésta cumple la condición de pasarpor los puntos A y B.Respuestas. Las medidas de lasdistancias en ambos incisos no sonlas mismas: AC’ ≠ BC’.Sugerencia didáctica. Una vez quelos alumnos hayan expresado susargumentos, enfatice lo siguiente:- El punto C’ se colocó de maneraarbitraria.- Los segmentos AC’ y BC’ tienenmedidas distintas.- Dado que son segmentosdesiguales, no son radios de lacircunferencia (todos los radiosmiden lo mismo), por lo tantoel punto C’ no es centro de lacircunferencia que pasa por lospuntos A y B.
  • 141. 142Propósito de la actividad. Se esperaque los alumnos:- Utilicen la propiedad de lamediatriz que consiste en quetodos los puntos que la conformanequidistan de los extremos delsegmento.- Identifiquen que el segmento queune el punto A con cualquierade los centros (puntos sobre lamediatriz),es igual al segmentoque une al punto B con cualquierade los centros (puntos sobre lamediatriz); por lo tanto,la circunferencia sí cumple lacondición de pasar por lospuntos A y B.Sugerencia didáctica. Si lo consideranecesario, pida a los alumnos querevisen la secuencia 12 para querecuerden el procedimiento para trazarla mediatriz.Respuesta. Las distancias de A y Bal punto E son las mismas: AE = BE.Las distancias de A y B al punto F sonlas mismas: AF = BF.Respuesta. La distancia de los nuevospuntos sobre la mediatriz hacia A y Bes la misma (aunque diferente a lasdel inciso f).142secuencia 28iii. A continuación se explica una manera de trazar las circunferencias que pasan por A y B.Tracen primero el segmento que une los puntos A y B:a) En la secuencia 12 estudiaron cómo trazar la mediatriz de un segmento.Tracen la mediatriz del AB.b) Ubiquen un punto sobre la mediatriz, llámenlo D.c) Midan lo siguiente:Distancia del punto A al punto D.Distancia del punto B al punto D.d) Tracen una circunferencia con centro en D y que pase por A y por B.e) Ubiquen otros dos puntos sobre la mediatriz (llámenlos E, F) y tracen las circunfe­rencias con esos puntos como centro, y que pasen por A y por B.f) En las dos circunferencias que acaban de trazar midan las siguientes distancias:Distancia de A a E. Distancia de B a E.Distancia de A a F. Distancia de B a F.g) Tomen otro punto sobre la mediatriz, ¿cómo son las distancias de ese punto a lospuntos A y B?Comenten en grupo la siguiente pregunta:¿Habrá algún otro punto de la mediatriz del AB que no sea centro de una circunferenciaque pase por A y por B?iV. En la siguiente circunferencia que pasa por los puntos A y B está marcado su centro(punto E).a) Tracen el AB y su mediatriz.b) ¿Cómo son las distancias del punto E al punto A y del punto E al punto B?Recuerden que: Elconjunto de puntosque equidistan de losextremos de unsegmento forma unarecta llamadamediatriz delsegmento.BABAEPropósito de la actividad. Que losalumnos identifiquen que cualquierpunto de la mediatriz es el centro deuna circunferencia que pasa por lospuntos A y B; por lo tanto, puedentrazarse distintas circunferencias quepasen por los puntos A y B, y el centrode cada una de ellas siempre será unpunto de la mediatriz.
  • 142. 143143MATEMÁTICAS IComo el punto E equidista de los puntos A y B, entonces está sobre la mediatrizdel AB.c) Observen que al trazar la mediatriz del AB, el centro está sobre dicha mediatriz.d) ¿Cuántas circunferencias pasan por los puntos A y B?A lo que llegamosCada punto de la mediatriz de un segmento CDes el centro de una circunferencia que pasapor C y D, y cada circunferencia que pasa porC y D tiene su centro sobre la mediatrizdel segmento CD.Vean el video Las circunferencias que pasan por dos puntos y al términodel mismo escriban en su cuaderno, con sus propias palabras, cuántascircunferencias se pueden trazar que pasen por dos puntos dados: C y D.cuerdas y circunferenciasPara empezarLos segmentos de recta que unen a dos puntos de una circunferencia se llaman cuerdas.En la ilustración 1 los puntos A y B están unidos por la cuerda AB.El diámetro de una circunferencia es una cuerda que pasa por el centro de la circun­ferencia.sesión 2Recuerden que: Siun punto cual-quiera equidistade los extremos delsegmento, enton-ces pertenece a lamediatriz delsegmento.BACuerda ABDiámetroMediatrizCDConjunto de puntosque son centros de lascircunferencias quepasan por C y por D.Integrar al portafolios. Solicite alos alumnos que tracen dos puntoscualesquiera (puntos P y Q), y quetracen dos circunferencias que pasenpor esos dos puntos. Si identifica quelos alumnos tienen dificultades, repasecon ellos la actividad III del apartadoManos a la obra.Propósito del video. Visualizarla construcción de la familia decircunferencias que pasan por losextremos de un segmento dado.Propósito de la sesión. Identificar enqué casos es posible trazar un círculodadas 2 cuerdas.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos trabajen en parejasdurante toda la sesión y que luego, engrupo, comparen resultados.Materiales. Regla y compás.Sugerencia didáctica. Esimportante que lea y comente estainformación con los alumnos, puesse les presenta un nuevo término quedeberán incorporar a su vocabulariomatemático. Puede pedir a una parejade alumnos que elabore un cartel conesta información para que esté a lavista de todo el grupo.
  • 143. 144Posibles procedimientos. Algunosalumnos podrían tratar de ubicar elcentro de la circunferencia “a ojo”,trazando dos “diámetros” que secorten perpendicularmente. Si es así,pregunte a esos alumnos cómo puedenestar seguros de que ese es el centro,y pregúnteles si las 2 cuerdas que seindican en el dibujo podrían servirlesde algo para encontrar el centro de lacircunferencia.Otra forma más sistemática deresolver, es trazar la mediatriz de cadauna de las cuerdas; el punto en el quese cruzan las mediatrices es el centrode la circunferencia, y es donde debecolocarse el remache.144secuencia 28Consideremos lo siguienteUna maquiladora de latas de refresco debe colocar la “lengüeta” exactamente en el cen­tro de la tapa. En el dibujo se muestra una tapa sin la lengüeta, las líneas sirven de guíapara poner la lengüeta y son dos cuerdas de la circunferencia.Encuentren el punto de la tapa donde debe colocarse el remache de la lengüeta.Manos a la obrai. Veamos dos procedimientos:Procedimiento 1• En el equipo 1 unieron los extremos de las cuerdas y tomaron como centro de latapa el punto de intersección C’. Dijeron que el remache de la lengüeta deberíacolocarse en el punto C’.BEADC´
  • 144. 145Sugerencia didáctica. Una vez quelos alumnos hayan expresado susargumentos, subraye lo siguiente:- En el caso del procedimiento 1, siel punto C’ fuera el centro de lacircunferencia, los segmentos BC’,AC’, DC’ y EC’ tendrían la mismamedida, y serían radios de lacircunferencia.- El punto C’ no es el centro dela circunferencia dado que lasdistancias BC’, AC’, DC’ y EC’ nomiden lo mismo.Los alumnos pueden comprobar loanterior si trazan una circunferenciacon centro en C’ y como radiocualquiera de los cuatro puntos(A, B, D, E); podrán ver que esacircunferencia no pasa por los cuatropuntos.En cambio, en el procedimiento 2,cualquier punto de cada mediatrizequidista de los extremos delsegmento correspondiente, y el puntode intersección de las mediatricesequidista de los cuatro extremos; porlo tanto, los segmentos AC, BC, DC yEC, son radios de la circunferencia. Losalumnos pueden comprobarlo trazandola circunferencia tomando como centroel punto C y como radio cualquiera delos 4 puntos (A, B, D, E).145MATEMÁTICAS IProcedimiento 2• En el equipo 2 trazaron las mediatrices dela cuerdas y dicen que el punto de inter­sección de las mediatrices es donde debeponerse el remache de la lengüeta.a) ¿Cuánto miden las distancias del punto C’ a los extremos de cada cuerda? Mídan­las y completen:Distancia de C’ a A. Distancia de C’ a B.Distancia de C’ a D. Distancia de C’ a E.b) ¿Cuánto miden las distancias del punto C a los extremos de cada cuerda?Completen:Distancia de C a A. Distancia de C a B.Distancia de C a D. Distancia de C a E.Comparen sus respuestas y comenten:• ¿Por qué el punto C’ no es el centro de la circunferencia?• ¿Por qué el punto de intersección C de las dos mediatrices sí es el centro de lacircunferencia?II. En las siguientes circunferencias:a) Encuentren su centro.Circunferencia 1 Circunferencia 2 Circunferencia 3BEADCPropósito del interactivo. Mostrarlos casos posibles para construir unacircunferencia.
  • 145. 1465Sugerencia didáctica.Pida a una pareja de alumnos queelabore un cartel con esta informacióny que lo pegue en el salón de clases.Los alumnos pueden copiar estainformación en sus cuadernos eilustrarla con ejemplos.146secuencia 28b) Encuentren su centro.c) En la circunferencia 5 la cuerda dada es un diámetro, ¿cómo obtuvieron su centro?d) En las circunferencias 4 y 6, ¿las mediatrices de las cuerdas se intersectan en unpunto, son la misma recta o son rectas paralelas?e) La mediatriz que trazaron corta a la circunferencia 4 en dos puntos, llámenlos A yB; obtengan el punto medio de la cuerda AB y llámenlo D.f) ¿Cómo son las distancias del punto D a cada extremo de la cuerda AB? Mídanlasy completen:Distancia de D a A. Distancia de D a B.Comparen sus respuestas y comenten:• ¿Por qué la cuerda AB es un diámetro de la circunferencia 4?• ¿Por qué el punto D es el centro de la circunferencia 4?• ¿Con este procedimiento podrán encontrar el centro de la circunferencia 6? Háganlo.A lo que llegamosPara encontrar el centro de las circunferencias:Circunferencia 4 Circunferencia 5a) Dadas dos cuerdas no paralelas, setraza la mediatriz a cada cuerda y elpunto de intersección de las mediatri-ces trazadas es el centro de lacircunferencia.CMediatricesCuerdasCMediatricesCuerdasCentroMediatrizCuerdaCuerdaDiámetrob) Dadas dos paralelas, se traza la media-triz a una de las cuerdas, se identificael diámetro que está sobre la mediatriz,se obtiene el punto medio deldiámetro, el cual es el centro de lacircunferencia.
  • 146. 147147MATEMÁTICAS Itres puntos y una circunferenciaPara empezarEn la primera sesión de esta secuencia estudiaste cómo trazar circunferencias que pasenpor dos puntos dados. En la segunda sesión estudiaron cómo obtener el centro de unacircunferencia dadas dos cuerdas. En esta sesión aprenderás cómo trazar una circunfe­rencia que pase por tres puntos dados.Consideremos lo siguienteLa siguiente ilustración indica los lugares en quese ubican las comunidades de Pochitlán, Mipa­chán y Sisiján.Se quiere construir un centro de salud que esté a lamisma distancia de todas ellas. Encuentren el sitiodonde se debería construir ese centro de salud.Manos a la obraI. A continuación se explica una manera de encontrar un punto que equidiste de lostres pueblos.a) En el siguiente dibujo los pueblos se repre­sentan con puntos. Ya se trazó la mediatrizdel MP. La distancia del punto M al puntoC (cualquier punto de la mediatriz) es lamisma que la distancia del punto P al mis­mo punto C.b) Tracen la mediatriz de MS y PS.c) Localicen el punto de intersección de lasmediatrices y llámenlo D. Midan la distan­cia de D a cada uno de los pueblos:Distancia de D a M.Distancia de D a P.Distancia de D a S.pachitlánMipachán sisijánsesión 3pM s2cm2cmRecuerden que:El conjunto de puntos queequidistan de los extremos deun segmento forman una rectallamada mediatriz del segmento.Propósito de la sesión. Identificar enqué casos es posible trazar un círculodados 3 puntos.Organización del grupo. Serecomienda trabajar la sesión enparejas; si lo considera conveniente,el apartado Lo que aprendimos puederesolverse de manera individual.Materiales. Regla y compás.Posibles procedimientos. Losalumnos resolvieron un problemasimilar en la sesión 3 de la secuencia12, por lo que es posible que utilicenel mismo procedimiento que usaronen aquel problema: unir los 3 puntosmediante segmentos, trazar lamediatriz de cada segmento y ubicaral punto en el que se cortan lasmediatrices como el lugar donde debeconstruirse el Centro de Salud.Otra forma en que los alumnospodrían plantear el problema, aunquetambién utilicen las mediatrices pararesolverlo, es trazando segmentosque representan las cuerdas de unacircunferencia. Lo que deben buscar esel centro de esa circunferencia.Respuesta. La distancia es la mismaen los tres casos.
  • 147. 148Respuesta. Es suficiente el trazo dedos mediatrices.148secuencia 28Comparen sus resultados y comenten:a) ¿Es conveniente construir el centro de salud en el punto D?b) ¿Para encontrar un punto que equidiste de los puntos M, P y S será necesario tra­zar las tres mediatrices o será suficiente con trazar dos de ellas?En el siguiente dibujo tracen dos de las tres mediatricesa) Llamen F al punto de intersección de las dos mediatrices.b) ¿Cuáles son las distancias del punto F a los puntos A, B y C?Distancia de F a A.Distancia de F a B.Distancia de F a C.ii. En la siguiente ilustración se muestran los lugares en donde se ubican otras tres co­munidades: D, E y F. Encuentren un punto que esté a la misma distancia de los trespueblos.a) Unan los puntos mediante segmentos.b) Tracen las mediatrices de los segmentos.c) Encuentren la intersección de las mediatrices.Comenten:a) Estos tres puntos están en una misma recta, ¿por qué creen que no se intersectanlas mediatrices de los segmentos que los unen?b) ¿En qué lugar creen que sería más conveniente construir un centro de salud?Cuando tres puntosestán en una mismarecta se dice que soncolineales.A CD E FBPropósito de la actividad. Que losalumnos identifiquen en qué casos noes posible trazar una circunferenciadados 3 puntos, y esto es cuandolos puntos no son colineales. Esimportante que los alumnos logrenexpresar las razones por las cuales nopuede trazarse la circunferencia enese caso.Respuesta. No hay intersecciónporque las mediatrices son líneasparalelas.Respuestas.a) No se intersecan porque sonparalelas.b) Dado que las mediatrices no seintersecan, no es posible ubicarun punto que esté a la mismadistancia de los 3 pueblos.En todo caso, el lugar másconveniente para establecer elcentro de salud sería a la mitad delsegmento DF.
  • 148. 149Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que copien esta informacióny que hagan trazos que ilustren cadauno de los casos.Integrar al portafolios. Sólo enel caso 2 no es posible trazar lacircunferencia, pues los 3 puntos soncolineales. En los casos 1 y 3 se lemuestran a usted las 3 mediatrices,pero los alumnos podrían trazar sólo2 de ellas, lo cual es correcto.Si identifica que los alumnos tienenalgunas dificultades con el caso 2 (porejemplo, considerar erróneamenteel punto E como el centro de lacircunferencia), revise nuevamentecon ellos la actividad II del apartadoManos a la obra y comente con ellosel apartado A lo que llegamos deesta sesión. Si identifica que tienendificultades con los casos 1 y 3,revise con los alumnos nuevamente laactividad I de ese mismo apartado.Propósito del interactivo. Mostrar laconstrucción de la circunferencia.149MATEMÁTICAS IIII. En sus cuadernos dibujen tres puntos, los que quieran, pero que no sean colineales.Tracen una circunferencia que pase por los tres puntos que dibujaron.Comparen los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron. Comenten:Dados tres puntos, ¿se podrá siempre trazar una circunferencia que pase por ellos?A lo que llegamos• Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferen-cia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto deintersección de las mediatrices de MP, PS y MS.• Cuando los tres puntos son colineales (están sobre la misma recta), no se puedetrazar la circunferencia.Lo que aprendimos1. En los siguientes casos, tracen una circunferencia que pase por los tres puntos.2. ¿En cuáles de los tres casos pudieron trazar una circunferencia?¿Por qué?ABCCaso 1DEFCaso 2 Caso 3GHIPara saber másSobre círculo y circunferencia consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Peña, José Antonio. Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros delRincón, 2002.Hernández, Carlos. La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rin-cón, 2002.ABCCaso 1EFDNo se puede trazar lacircunferenciaCaso 2Caso 3HG I
  • 149. 150Propósitos de la sesión. Determinarel número π como la razón entrela longitud de la circunferencia y eldiámetro. Resolver problemas deproporcionalidad que implican elcálculo del perímetro del círculo.Organización del grupo. Losalumnos pueden trabajar en parejas,a excepción del apartado Lo queaprendimos, que puede resolverse demanera individual.Materiales. Calculadora, regla,compás, tijeras y hojas blancas.Propósitos de la actividad. Que losalumnos obtengan el perímetro delos círculos haciendo uso de recursosdistintos a la utilización de la fórmula.Que identifiquen cuántas veces cabeel diámetro en la circunferencia.Sugerencia didáctica. Es posible queal girar los círculos sobre la regla hayaalgunas dificultades para medir superímetro de manera exacta; por ello,pida a los alumnos que lo hagan lomás cuidadosamente posible y queutilicen medidas aproximadas.Propósito del interactivo. Justificarel valor de π. 150secuencia 2912345678910111213141516171819200En esta secuencia determinarás el número pi como la razón entre lalongitud de la circunferencia y el diámetro. Justificarás y usarás lafórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.La reLación entre circunferenciay diámetroPara empezarEl diámetro de un círculo es una cuerda que pasa por su centro.Consideremos lo siguientei. En una hoja blanca tracen cinco círculos de distintos tamaños.a) Recorten los círculos. En cada círculo dibujen una flecha del centro a uno de lospuntos de la orilla del círculo, como se muestra en el dibujo.b) Coloquen uno de los círculos sobre la regla graduada de esta página, haciendocoincidir la punta de la flecha con el cero de la regla.c) Midan el perímetro del círculo rodándolo sobre la regla. Marquen cuando elcírculo dé una vuelta completa.d) Midan los perímetros de los otros cuatro círculos.sesión 1DiámetroRecuerden que:El perímetro delcírculo es iguala la longitud de lacircunferencia.0 1El número PiPropósitos de la secuenciaDeterminar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.Justificar y usar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1La relación entre circunferencia y diámetroDeterminar el número π como la razón entre la longitudde la circunferencia y el diámetro.Resolver problemas de proporcionalidad que implican elcálculo del perímetro del círculo.VideoRelación entrecircunferencia ydiámetroInteractivo“¿De dónde salió pi?”“El número pi”2Perímetro del círculoObtener una fórmula para calcular el perímetro delcírculo.Resolver problemas de proporcionalidad que implican alnúmero π y a la fórmula del perímetro de un círculo.Video TemperaturasambientalesInteractivo“TemperaturasEjeForma, espacio y medida.TemaMedida.AntecedentesEn la escuela primaria los alumnos identifica-ron el número π como el número de veces queel diámetro cabe en la circunferencia;asimismo, aprendieron a calcular el perímetrode un círculo aplicando la fórmula.En este grado de la educación secundariaprofundizarán en el estudio de la relación queexiste entre la circunferencia y el diámetro endiversas situaciones problemáticas.
  • 150. 151I151MATEMÁTICASe) Completen la siguiente tabla:Perímetro del círculo(cm)Diámetro del círculo(cm)Perímetro entre diámetroComenten:De acuerdo con la tabla que llenaron, ¿cuántas veces cabe la medida del diámetro en lamedida del perímetro de cada uno de los círculos que recortaron?A lo que llegamosEl número que se obtiene al dividir el perímetro de un círculo entre lalongitud de su diámetro siempre es el mismo, se llama pi y se simbolizacon la letra griega π. Una aproximación a ese número es 3.1416Vean el video Relación entre circunferencia y diámetro, y al término del mismo mi-dan cinco objetos circulares que encuentren en su salón, su diámetro y su perímetro (yasea con un hilo o bien rodándolos sobre una regla). Verifiquen lo mostrado en el video.II. Usando una calculadora, completen la siguiente tabla:Diámetro del círculo(cm)Perímetro del círculo(cm)Perímetro entre diámetro10 3.14166.2832 3.14165 3.141612.5664 3.141620 3.141618.8496 3.1416Propósito del interactivo. Mostrarque la relación entre el perímetro y eldiámetro de un círculo es siempre igualal valor de π, independientemente deltamaño del círculo.Sugerencia didáctica. Se esperaque al dividir el perímetro entre eldiámetro los alumnos interpreten elcociente como el número de vecesque cabe una medida en la otra; eneste caso, el diámetro en el perímetro.Apoye a sus alumnos con preguntascomo las siguientes: ¿Cuál es eldividendo? ¿Cuál es el divisor? ¿Quérepresenta el resultado de la división ocociente?Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que copien esta informaciónen el cuaderno, pueden ilustrarlapegando algunos de los círculos querecortaron y con los datos de la tablaanterior.Propósito de la actividad. Seespera que los alumnos profundicenen la relación entre el diámetro y elperímetro: para conocer el perímetrose debe multiplicar 3.1416 por eldiámetro, y dividir el perímetro entre3.1416 para conocer el diámetro. 31.416 2 15.708 4 62.832 6 Propósito del video. Mostrar laobtención del número π como elcociente de la división del perímetrode cualquier círculo entra la longitudde su diámetro.
  • 151. 152Sugerencia didáctica. Además decomparar los resultados, enfaticelas relaciones entre el diámetro y elperímetro planteando las siguientespreguntas:Si conocemos el diámetro, ¿cómoobtenemos el perímetro?Si conocemos el perímetro, ¿cómoobtenemos el diámetro?Propósito de la actividad. Que losalumnos identifiquen cómo varía elperímetro en función del diámetro, yque utilicen esa relación para resolverproblemas; por ejemplo, si el diámetrodisminuye a la mitad, el perímetrovaría en la misma proporción.Sugerencia didáctica. Si lo consideraconveniente, antes de que los alumnosresuelvan los incisos b) y c), puedepedirles que hagan una estimaciónsobre cuántas vueltas tendría que darla rueda delantera para recorrer94 m. La finalidad de esa estimaciónes que se percaten de que la distanciaes en metros, no en centímetros.Recomiéndeles que cada uno de elloselija la unidad con la que quierentrabajar (metros o centímetros), paraque antes de que empiecen a resolver,hagan las conversiones necesarias.Respuestas.b) 100 vueltas.c) 200 vueltas.152secuencia 29Comenten en grupo cómo completaron la tabla.Lo que aprendimosiii. En la mayoría de los triciclos, la rueda delantera es más grande que las dos traseras.En un triciclo, el diámetro de la rueda delantera mide 30 cm y la rueda trasera mide lamitad del diámetro de la rueda delantera. Para simplificar sus cálculos, usen 3.14 comovalor aproximado de .a) Completen la siguiente tabla:RuedaDiámetro del círculo(cm)Perímetro del círculo(cm)Perímetro entrediámetroDelantera 30 3.14Trasera 3.14b) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que el tricicloavance 94 m?c) ¿Cuántas vueltas completas tienen que dar las ruedas traseras para que el tricicloavance 94 m? 94.2 15 47.1
  • 152. 153I153MATEMÁTICASPerímetro deL círcuLoPara empezarEn esta sesión veremos cómo calcular el perímetro del círculo, o sea la longitud de lacircunferencia, mediante una fórmula.Consideremos lo siguientea) Completen en la tabla 1 las medidas del diámetro y del perímetro de algunoscírculos.Diámetro (cm) Perímetro (cm)4 12.56812 37.69331415150Tabla 1b) ¿Cuánto aumenta el perímetro de un círculo cuando el diámetro aumenta altriple?c) ¿Cuánto disminuye el diámetro de un círculo cuando el perímetro disminuye a lamitad?d) La tabla 1 es una tabla de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcio-nalidad?sesión 2Para simplificarlos cálculospueden utilizar3.14 como valoraproximado de .Propósitos de la sesión. Obtener unafórmula para calcular el perímetro delcírculo.Resolver problemas deproporcionalidad que implican alnúmero π y a la fórmula del perímetrode un círculo.Organización del grupo. Se sugiereque la sesión se trabaje en parejas. Silo considera conveniente, el apartadoLo que aprendimos puede resolversede manera individual, o en parejas,como se indica.Materiales. Calculadora.Posibles procedimientos. Seespera que los alumnos identifiquenla tabla 1 como una tabla deproporcionalidad y la resuelvancomo tal, sin necesidad de utilizar lafórmula P = π × d. No obstante, esposible que algunos alumnos apliquendirectamente la fórmula, lo cual escorrecto, sin atender las relacionesde proporcionalidad (por ejemplo,si el diámetro aumenta al doble o altriple, el perímetro aumenta en lamisma proporción). También puedesuceder que en los casos en los quela variación proporcional es evidente,se apoyen en algunas propiedades dela proporcionalidad (por ejemplo, aldoble corresponde el doble), y que enotros apliquen la fórmula. 25.12 9.45 100 47.1 3.14 157Respuestas.b) Aumenta el triple. Puede verse enla tabla con los diámetros de 4 y12 y con los de 1 y 3.c) Disminuye a la mitad. Puede versecon los perímetros de 25.12 y12.56, y con los de 314 y 157.d) La constante de proporcionalidades π.e) Perímetro = Diámetro × πSugerencia didáctica. Tal vez algunosalumnos utilicen los números 3.14 o3.1416 para expresar la fórmula paracalcular el perímetro, sin embargo, locorrecto es que lleguen a la conclusiónde que el perímetro es diámetro por π yno diámetro por 3.14 o 3.1416.Es importante que en distintosmomentos de la clase usted haga esaaclaración, para que no se quedencon la idea de que la constante deproporcionalidad es la cantidad 3.1416o 3.14. Lo correcto es que la constantede proporcionalidad es π, y por eso elperímetro se calcula multiplicando eldiámetro por π (sin importar el valoraproximado que se tome de π).
  • 153. 154Sugerencia didáctica. Reproduzcala tabla en el pizarrón para quealgunas parejas pasen a poner susrespuestas. Aproveche el momentopara enfatizar algunas de laspropiedades de la proporcionalidadapoyándose en la tabla. Por ejemplo:si el diámetro aumenta al doble o altriple, ¿qué sucede con el perímetro?,¿en qué casos a la suma de losdiámetros le corresponde la suma delos perímetros?, ¿por cuánto debemultiplicarse cada una de las medidasdel diámetro para obtener el perímetroque le corresponde?Respuestas.a) El equipo 1 expresó la relaciónque hay entre el perímetroy el diámetro mediante unaaproximación del valor de π. Elequipo 2 expresó una fórmulapara encontrar el perímetro.Es importante subrayar con losalumnos que lo correcto es decirPerímetro = diámetro por laconstante de proporcionalidad, obien, Perímetro = diámetro por π,y que como fórmula no es correctodecir Perímetro = diámetro por3.14 o 3.1416, dado que estascantidades son aproximacionesde π.b) La constante de proporcionalidaden la tabla 1 es π (sin importar laaproximación de su valor que setome).c) Porque el equipo 1 utilizó larelación que hay del perímetroentre el diámetro y una de lasaproximaciones del valor de π, yel equipo 2 utilizó la fórmula paracalcular el perímetro de un círculo.154secuencia 29e) Encuentren una fórmula para obtener el perímetro de un círculo.Comparen sus tablas y sus fórmulas. Comenten cómo llenaron la tabla y cómo obtuvie-ron sus fórmulas.Manos a la obrai. En otra escuela, dos equipos propusieron las siguientes fórmulas para obtener el pe-rímetro de un círculo.• En el equipo 1 dicen que la fórmula es:Perímetro= 3.14Diámetro• En el equipo 2 dicen que la fórmula es:Perímetro = diámetro por la constante de proporcionalidadComenten:a) ¿Están de acuerdo con alguna de las dos fórmulas?, ¿por qué?b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad a la que se refiere el equipo 2?c) Los equipos 1 y 2 obtuvieron los mismos resultados en la tabla 1, ¿por qué?d) Entre todos obtengan una fórmula para calcular el perímetro de un círculo.A lo que llegamosEl diámetro es directamente proporcional al perímetro del círculo, esdecir, en la misma proporción en que aumenta o disminuye el diáme-tro, aumenta o disminuye el perímetro del círculo. La constante deproporcionalidad es el número . Una aproximación de este númeroes 3.14ii. Utilicen la fórmula que encontraron para completar la siguiente tabla:Diámetro(cm)Perímetro(cm)12.52550Para simplificarlos cálculospueden utilizar3.14 como valoraproximado de .El valor aproximadode que utilizó elequipo 2 fue 3.14Sugerencia didáctica. Comentecon los alumnos esta información,enfatice que la constante deproporcionalidad es el número π yno el valor aproximado de π, el cualpodría ser 3.14, 3.1416, 3.141598, ocualquier otra aproximación. Pida a losalumnos que copien esta informaciónen el cuaderno y que den algunosejemplos en los que se muestre cómoel diámetro y el perímetro del círculovarían proporcionalmente.
  • 154. 1555Sugerencia didáctica. Pida a unapareja de alumnos que elabore uncartel con esta información, para quese cuelgue o se pegue en una de lasparedes del salón de clases.Posibles procedimientos. Losalumnos no necesitan realizarlos cálculos en cada una de lascircunferencias, bastará con que unavez obtenidas todas las medidas delos diámetros calculen el perímetrode una de ellas y, por medio de laproporcionalidad, obtengan las demás.Esto es posible porque los diámetrosson proporcionales, miden 1, 2, 4, 6, 7y 3.5 cm respectivamente.Si los alumnos se sienten inseguroscon el uso de la proporcionalidad,pueden comprobar sus resultadoshaciendo las operaciones directas paracada circunferencia.Respuestas. La medidas aproximadasde los perímetros, son: 3.14, 6.28,10.99, 12.56, 18.84 y 21.98 (de menora mayor).I155MATEMÁTICASA lo que llegamos• El perímetro de un círculo se calcula multiplicando la medida de sudiámetro por el número .Por ejemplo: para calcular el perímetro de un círculo de diámetro3.2 cm y tomando 3.1416 como valor aproximado de , entonces• Es decir, podemos obtener el perímetro de cualquier círculo con lafórmula:Perímetro = por diámetroSi se llama P al perímetro y d al diámetro, entonces puede escribirse:P = × d o P = dLo que aprendimos1. Midan la longitud de los diámetros y obtengan los perímetros de los siguientes círculos:Perímetro = 3.2 cm × 3.1416 = 10.05 cm3.2 cm
  • 155. 156Integrar al portafolios. Igual que enel ejercicio anterior, es suficiente conque los alumnos obtengan el perímetrode 28” y 24,” y a partir de ellos, el de14” (es la mitad de 28”) y el de 12”(es la mitad de 24”).Respuestas.- Para encontrar el diámetro semultiplica la rodada por 2.54.- Para encontrar el perímetro semultiplica el diámetro por 3.14.- Para encontrar el número devueltas es necesario considerarque 100 m equivale a 10 000cm, entonces hay que dividir10 000 entre el perímetro. Paraque sean vueltas completas, lascantidades pueden redondearse alentero siguiente: 45, 90, 53 y 105,respectivamente.Si los alumnos muestran dificultadesen el cálculo de los perímetros,revise nuevamente con ellos elúltimo apartado A lo que llegamosde esta sesión. Si nota que tienendificultades para identificar la relaciónproporcional que existe entre lasbicicletas de adulto y de niño, yentre las bicicletas de montaña y lainfantil, haga preguntas similares alas que se le sugieren para el apartadoConsideremos lo siguientede esta sesión.156secuencia 292. Se tienen cuatro bicicletas: una de adulto rodada 28, una de niño rodada 14, una demontaña rodada 24 y una infantil rodada 12. La rodada significa la medida en pul-gadas del diámetro de las ruedas; es decir, que las ruedas de una bicicleta rodada 28tienen un diámetro de 71.12 cm.a) Completen la siguiente tabla:Bicicleta RodadaDiámetro del círculo(cm)Perímetro del círculo(cm)Número devueltas en 100 mAdulto 28” 71.12Niño 14”Montaña 24”Infantil 12”b) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicletade adulto avance 100 m?c) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicletade niño avance 100 m?d) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicletade montaña avance 100? ¿Y cuántas vueltastiene que dar la infantil?Recuerden que:1 pulgada equivaleaproximadamentea 2.54 cm.Para simplificarlos cálculospueden utilizar3.14 como valoraproximado de . 223.3168 44.77 35.56 111.6584 89.55 60.96 191.4144 52.24 30.48 95.7072 104.48
  • 156. 157I157MATEMÁTICAS3. En el quiosco de una plaza se va a construir un barandal para que puedan jugar losniños. El quiosco es de forma circular y su radio mide 2 m. El barandal se desea poneren distintos niveles, como se muestra en la imagen. Cada metro de barandal cuesta$150.00a) ¿Cuánto costará el primer nivel del barandal?b) ¿Cuántos niveles se pueden pagar con $9 500.00?c) Al final del trabajo se pagaron $7 539.84, ¿cuántosniveles se pusieron?d) Todos los niveles están a la misma distancia uno delotro, ¿cuánto costará poner un barandal del doble dealtura que el del inciso c)?Para saber másConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Peña, José Antonio. “¿De dónde sale el famoso número ?”, en Geometría y elmundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.Marván, Luz María. “Números de cuento y de película”, en Representación numérica.México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.Hernández, Carlos. Perímetro del círculo, en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.Sobre el número consulten:http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta 23 de agosto de 2007].Ruta: Secundaria Cuadratura del círculo (dar clic en el dibujo de un círculo y uncuadrado) Avanzar tres páginas y llegar a Definición de Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora,UNAM.Para simplificar los cálculospueden utilizar 3.14 comovalor aproximado de .Respuestas.a) El primer nivel costará $1 884.00.Este resultado se obtuvo de lasiguiente manera:el perímetro es de 12.56 m(tomando a π como 3.14), semultiplica eso por el costo pormetro y se obtiene el precio totaldel primer nivel.b) Se pueden pagar 5 niveles. Esto es,se divide 9 500 entre 1 884.c) Se pusieron 4 niveles. Esto es, sedivide 7 539.84 entre 1 884.d) Costará $15 079.68. Esto es, semultiplica 7 539.84 por 2.
  • 157. 158Propósito de la sesión. Identificar lafórmula del área de un círculo a través dela fórmula del área de un polígono regulary calcular algunas áreas.Organización del grupo. Se sugiere quetrabajen en parejas durante toda la sesión.Materiales. Calculadora y regla.Posibles procedimientos. No se esperaque los alumnos resuelvan correctamenteel problema, sino que hagan uso desus propios recursos para diseñar unaestrategia que les permita aproximarsea la solución. Una posibilidad es quedividan el círculo en figuras que ya conocen,por ejemplo, que lo dividan en variostriángulos iguales, que calculen el área decada uno de ellos y después las sumen. Demanera similar, pueden formar un polígonoregular con un número de lados que ellosdecidan, aunque entre mayor número delados tenga el polígono, más se aproximaráa la medida real del área del círculo.Si observa que tienen dificultades paraestablecer una estrategia de solución,usted puede sugerirles que dividan alcírculo en figuras que ya conocen.Sugerencia didáctica. Mientraslas parejas resuelven, observe quéprocedimientos utilizan para que en elmomento de la comparación de resultadosusted pueda elegir a 2 o 3 parejas quehayan empleado procedimientos distintosque se aproximen al área del círculo (porejemplo, alguna que haya utilizado latriangulación, otra que haya trazado unpentágono y otra que haya trazado unpolígono con un mayor número de lados).Pregunte al grupo qué procedimientoconsideran que permite obtener unresultado más aproximado al área delcírculo y por qué.158secuencia 30En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular el áreay el perímetro de un círculo.Área del círculoPara empezarEn la secuencia 14 de Matemáticas I, vieste que el área de un triángulo se obtiene mul-tiplicando la base del triángulo por su altura y el resultado se divide entre 2. El área deun paralelogramo se calcula multiplicando su base por su altura.En la vida cotidiana se encuentran diversos objetos circulares, de los cuales a menudo senecesita calcular su área, por ejemplo: la superficie de una mesa para hacerle un mantel,la superficie del asiento de una silla para tapizarla, el área de un piso para saber la can-tidad de losetas necesarias para cubrirlo, entre otras cosas.Consideremos lo siguienteEn pareja, planeen una estrategia para calcular el área del siguiente círculo y llévenla acabo. ¿Cuál es el área del círculo?Comenten con otros equipos su procedimiento y resultado.sesión 13 cmEl área de loscírculosPropósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.SesiónTítulo y propósitos de lasesiónRecursos1Área del círculoIdentificar la fórmula del área de uncírculo a través de la fórmula del área deun polígono regular y calcular algunasáreas.VideoÁrea del círculoInteractivo“Cálculo del área del círculo deArquímedes““Área del círculo”Aula de medios“Área del círculo”(Geometría dinámica)2Áreas y perímetrosResolver problemas que impliquen calcularel área y el perímetro del círculo.EjeForma, espacio y medida.TemaMedida.AntecedentesEn la escuela primaria los alumnosaproximaron áreas de círculos y de figurascurvas mediante el conteo de cuadrículas.En este grado de la educación secundaria losalumnos aprenderán a calcular el área delcírculo mediante el uso de la fórmula. Paraello, se apoyarán en el cálculo de áreas deparalelogramos y de polígonos regulares queestudiaron en la secuencia 14.
  • 158. 159I159MATEMÁTICASManos a la obraI. En una escuela encontraron el área de las siguientes maneras:Procedimiento 1. Un equipo recortó el círculo en 18 partes y las colocó como se mues-tra a continuación.¿Observaron que la figura se parece a un paralelogramo?Supongan que esta figura es un paralelogramo y contesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuánto mide su altura?b) ¿Cuánto mide su base?Observen que la altura del paralelogramo es aproximadamente igual a la medida delradio del círculo y que su base es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de lacircunferencia.c) ¿Cuál es el área aproximada del paralelogramo?Procedimiento 2. Otro equipo notó que, si hacía polígonos regulares inscritos en unacircunferencia, entre más lados tuviera el polígono más se parecía al círculo.Propósito de las actividades.Ofrecer a los alumnos 2procedimientos que les permitanaproximarse al área del círculohaciendo uso de los conocimientosque ya tienen para calcular el áreade paralelogramos y de polígonosregulares.Propósito del interactivo. Mostraruna justificación de la fórmula paracalcular el área del círculo.Respuestas.a) Base × altura.(Si no lo recuerdan, los alumnospueden repasar la secuencia 14.)b) 3 cm aproximadamente.c) 9.4 cm aproximadamente.d) 28.3 cm2 aproximadamente.NOTA: Para los incisos c) y d) se utilizó π = 3.14.Propósito del interactivo. Mostrar2 procedimientos de aproximaciónal área de un círculo. Uno es numéricoy el otro es simbólico.
  • 159. 160Propósito de la actividad. Esimportante que los alumnos concluyanque entre mayor sea el número delados del polígono inscrito:a) Su área es más cercana al área delcírculo.b) La apotema coincide con el radiodel círculo.c) Por lo tanto, si sustituimos losdatos en la fórmula del área deun polígono y se hacen algunassimplificaciones, tenemos que elárea del círculo se puede calcularcomo si fuera un polígono regular:Área del círculo = π × radio × radioRespuestas.a) El perímetro del polígono seacerca más al perímetro de lacircunferencia. Haga notar a losalumnos que mientras más ladostenga el polígono su perímetro serámayor.b) La longitud del apotema se acercamás a la longitud del radio.También, mientras más ladostenga el polígono, su apotema serámayor. Recuerde a los alumnosque la apotema va del centro delpolígono al punto medio de unode los lados.c) Área =perímetro × apotema 2d) π por diámetro.e) 28.26 cm2Es posible que no todos los alumnospuedan elaborar conclusiones apartir de las preguntas anteriores; noobstante, es importante que intentenestablecer relaciones y elaborarargumentos. Si tienen dificultadesno se preocupe, este procedimientose detalla en el apartado A lo quellegamos. Una forma de establecerrelaciones entre las preguntasanteriores, es la siguiente:- Cuando aumenta el número delados del polígono, su área separece más a la del círculo y la160secuencia 30Con ayuda del profesor, comenten con sus compañeros:a) ¿Qué pasa con el perímetro del polígono y el perímetro de la circunferencia cuandoaumenta el número de lados del polígono regular?b) ¿Qué pasa con la apotema del polígono regular y el radio de la circunferencia cuandoaumenta el número de lados del polígono regular?c) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un polígono regular?d) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro del círculo?e) Calcula el área del círculo usando la discusión anterior. El área del círculo es:Recuerda que: Apotema se le llama a la altura de los triángulos iguales en los que sedivide un polígono regular.Observaste que el área de un círculo puede ser aproximada con la fórmula del área deun polígono regular.Área de un polígono regular =perímetro × apotema2Como el perímetro del círculo es por diámetro y la apotema, cuando el número delados aumenta, coincide con el radio, entonces:Área de un círculo =× diámetro × radio2Y como el diámetro es 2 veces el radio: área de un círculo =× 2 × radio × radio2Simplificando: Área del círculo = × radio × radioSi se llama A al área y r al radio, entonces puede escribirse: A = r2Vean el video Área del círculo y, al término del mismo, en su cuaderno dibujen uncírculo cuyo diámetro mida 15 cm y realicen el procedimiento mostrado en el video.A lo que llegamos3 cm3.6 cm 3.4 cm5 cmApotemaapotema se parece más al radio.El área del polígono es: Área =perímetro × apotema 2- En el caso del círculo, el perímetroes igual a π × diámetro, o π × 2veces el radio, o 2 π × radio. (lastres fórmulas son equivalentes).- Entonces, perímetro × apotema= 22 π × radio × radio= π × radio × radio 2Sugerencia didáctica. Comentecon los alumnos esta información yposteriormente pídales que vuelvanal problema inicial del apartadoConsideremos lo siguiente y queverifiquen, aplicando la fórmula, elárea del círculo.Propósito del video. Mostrar laobtención de la fórmula del área delcírculo mediante una aproximaciónpor triangulaciones.
  • 160. 161I161MATEMÁTICASLo que aprendimos:En sus cuadernos obtengan el área del vidrio que cubre las siguientes brújulas.Áreas y perímetrosPara empezarAhora ya sabes calcular el área y el perímetro de un círculo. En esta sesión tendrás laoportunidad de aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas diversos.Consideremos lo siguienteEl vidrio para una mesa cuadrada de un metro por lado cuesta $300. El vidrio para unamesa circular cuesta $150.00¿Cuál es la medida aproximada del radio de la mesa circular si los costos son proporcio-nales a la cantidad de vidrio, sin importar si el vidrio es rectangular o circular?Pueden usar calculadora.Comparen sus procedimientos y resultados con sus compañeros.Manos a la obraI. Completen los siguientes procedimientos cuando haga falta y discutan con su parejacuál es el correcto.Procedimiento 1.Como $150 es la mitad de $300, entonces la mesa circular tiene por radio la mitad de1 m, es decir, m.• ¿Cuál es el área de la mesa cuadrada?• ¿Cuál es el área de una mesa circular cuyo radio mide m?• Compara las áreas de ambas mesas.• ¿Consideras correcto este resultado?• ¿Por qué?sesión 2Recuerden que:Un valoraproximado dees 3.14Respuesta. En cada caso se debemedir el radio. El área se obtiene conla fórmula: π × r 2Aproximadamente:Radio Área0.4 cm 0.5 cm20.75 cm 1.77 cm20.85 cm 2.29 cm21.25 cm 4.91 cm21.5 cm 7.07 cm21.5 cm 7.07 cm2Propósito de la sesión. Resolverproblemas que impliquen calcular elárea y el perímetro del círculo.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos trabajen en parejas, yque el apartado Lo que aprendimos seresuelva de manera individual.Materiales. Calculadora.Propósito de la actividad.Utilizar sus conocimientos sobreproporcionalidad, áreas y perímetrospara resolver un problema que implicael cálculo del área de un círculo.Respuesta. La mesa cuadrada tiene1 m2de área; si la mesa circular cuestala mitad, entonces tiene la mitad delárea de la mesa cuadrada; es decir,tiene medio metro cuadrado de área(0.5 m2).Por lo tanto, hay que encontrar unradio para el que se cumplaπ × r2= 0.5. Esa medida es de 0.4 maproximadamente.Posibles procedimientos. Dado quela mesa circular es la mitad del área dela mesa cuadrada y ésta tiene 1 m porlado, algunos alumnos podrían pensar,erróneamente, que el radio de la mesacircular es de 0.5 m. Otros alumnospodrían establecer la relación demanera correcta, pero es poco probableque tengan una forma sistemática deencontrar la medida del radio, por loque seguramente probarán con unamedida y se irán aproximando poco apoco, a través de varios intentos, hastaencontrar el número que multiplicadopor sí mismo y por π, dé 0.5 m2 o unamedida cercana.
  • 161. 162Respuestas.Procedimiento 1. El resultado no escorrecto. Si el radio mide 0.5 m, suárea es: π x 0.5 x 0.5 = 0.7854 m2.Pero el área debe ser la mitad del áreade la mesa cuadrada, esto es 0.5m2.Procedimiento 2. El área de la mesacuadrada es de 100 cm x 100 cm =10 000 cm2. Entonces la mesa redondatiene un área de 5 000 cm2. Esteprocedimiento es correcto porque elárea de la mesa circular sí es la mitaddel área de la mesa cuadrada.El área se calcula con la fórmulaπ × r2. Una buena aproximación parael número que buscamos es 40 cm:3.1416 × 40 × 40 = 5 024.Los alumnos pueden continuarbuscando con números decimales,una mejor aproximación es 39.9 cm o39.89 cm. En metros el resultado es0.4 m o 0.39 m.162secuencia 30Procedimiento 2.Calculamos en centímetros cuadrados el área de la mesa cuadrada, esto es:cm x cm = cm2Como el vidrio para la mesa redonda costó la mitad, entonces el área de la mesa redon-da es la mitad del área de la mesa cuadrada, es decir:Área de la mesa circular = Área mesa cuadrada= cm22Como el área de un círculo se calcula con la fórmula:buscamos, con ayuda de la calculadora, un número que multiplicado por sí mismo ydespués por 3.14 nos dé el área de la mesa circular. Ese número es:• ¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de una mesa circular cuyo radio tieneesta última medida?• Compara las áreas de ambas mesas.• ¿Consideras correcto este resultado?• ¿Por qué?Comparen y comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo.ii. La siguiente figura es un disco compacto. Las áreas anaranjada y blanca se llamancoronas circulares.5.95 cm1.9 cm 0.75 cm
  • 162. 163Respuestas.a) El área de la corona anaranjada esaproximadamente de 99.83 cm2.Una manera de resolver es lasiguiente: se calcula el áreatotal del círculo delimitado porla circunferencia roja y se leresta el área delimitada por lacircunferencia azul. La primeracircunferencia tiene un áreade 11.16 cm2, y la segundacircunferencia tiene un área de11.33 cm2, entonces al hacer laresta nos da el área de la coronacircular anaranjada: 99.83 cm2.Todos los resultados sonaproximados, porque estamostomando un valor aproximado paraπ igual a 3.14.b) El área de la corona circular blancaes aproximadamente de 9.56 cm2.Se resta el área delimitada por lacircunferencia azul, menos el áreadelimitada por la circunferenciaverde: 11.33 – 1.77 = 9.56 cm2.Sugerencia didáctica. Una vez que elgrupo haya llegado a un acuerdo sobrelos procedimientos correctos, pida a losalumnos que intenten describir uno deesos procedimientos en su cuaderno.En general, el procedimiento consisteen calcular el área del círculo mayor yrestarle el área del círculo menor.I163MATEMÁTICASa) El área de la corona circular anaranjada, que es la parte del disco compacto dondese graba la información, mide:b) El área de la corona circular blanca, que es la protección del disco compacto, mide:c) En su cuaderno escriban cómo obtuvieron el área de ambas coronas circulares.Comparen en grupo los procedimientos de cada equipo y escriban en sus cuadernos unprocedimiento general para obtener el área de una corona circular.Lo que aprendimos1. ¿Cuánto medirá, aproximadamente, el radio de una ventana circular si el área del vi-drio mide 2 827.44 cm2?2. ¿Cuánto medirá el diámetro de un carrete, como el de la ilustración, si su perímetro esigual a 11 cm?3. Obtengan el área de la corona circular azul.4. Calculen el área de la parte sombreada de co-lor verde. El punto verde es el centro del cír-culo verde y el punto negro es el centro delcírculo blanco.5. Calcula el área de la parte sombreada en color gris de la siguiente figura. El puntonegro es el centro de los círculos.Para saber másSobre el área del círculo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernández,Carlos. La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.Sobre el área del círculo consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta 23 de agosto de 2007]. RUTA: Secundaria Cuadratura delcírculo dar clic en el dibujo de un círculo y un cuadrado.Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora,UNAM.1.9 cm1.3 cm0.6 cm1.25 cm0.9 cm2.5 cm0.9 cmRespuestas.1. El radio mide 30 cmaproximadamente. Se debe buscarun radio que al aplicar la fórmulaπ × r2, se obtenga 2 827.44 cm2.2. El diámetro mide 3.5 cmaproximadamente. La fórmulapara el perímetro es π × diámetro,entonces debe buscarse el númeroque multiplicado por π dé 11.3. El círculo mayor tiene un áreaaproximada de 4.9 cm2, el círculomenor tiene un área aproximada de2.54 cm2. Se calcula la diferenciaentre ambas áreas para obtener elárea de la corona circular azul, quees aproximadamente de 2.36 cm2.4. El procedimiento es el mismo queel anterior: se debe restar el áreadel círculo mayor, menos el áreadel círculo menor. El resultado es:2.36 cm2.5. Se necesita calcular el área delcírculo de radio 1.3 cm y el áreadel círculo de radio 0.6 cm. Serestan ambas áreas y el resultadoes de 4.17 cm2.Es importante que los alumnoslleguen a establecer que el hechode mover el círculo interno en lasfiguras no altera el procedimientopara obtener el área de unacorona circular.Integrar al portafolios. Considere losejercicios 4 y 5 para el portafoliosde los alumnos. Si identifica quelos alumnos tienen dificultadespara establecer una estrategia queles permita resolver el problema,revise nuevamente con ellos elproblema que resolvieron en laactividad II del apartado Manos ala obra de esta sesión, y comentecon ellos cuál es la estrategiageneral para hallar el área decoronas circulares.
  • 163. 164Propósitos de la sesión. Solucionarproblemas sencillos de conversiónentre dos tipos de moneda paradeterminar e interpretar la expresiónalgebraica o relación funcionalasociada al problema.Construir tablas para usar técnicasde proporcionalidad directa en labúsqueda de la expresión algebraica.Organización del grupo. Haymomentos de trabajo en grupo, deparejas e individual.Propósito del video. Contextualizara lo largo de la historia el problemadel cambio de monedas mediante elestablecimiento del “tipo de cambio”.164secuencia 31En esta secuencia aprenderás a formular la expresión algebraica quecorresponde a la relación entre dos cantidades que son directamenteproporcionales. También aprenderás a asociar los significados de lasvariables en la expresión y = kx, con las cantidades que intervienenen dicha relación.Cambio de monedaPara empezarHistoria de la monedaLos orígenes de la moneda como forma de pago se remontan al siglo VII antes de Cristo,en la antigua Grecia. La moneda surge como una necesidad de superar las formas deintercambio como el trueque. Para ello, había que darle cierto valor a algo tan pequeñocomo un simple trozo de metal. La solución fue fabricar la moneda con metales precio-sos como el oro y la plata.Las monedas registran acontecimientos que ocurrieron hace miles de años y hechos quesólo se conocen a través de ellas.Existen algunos emperadores romanos de los que se conoció su existencia por apareceren las monedas que ellos mismos mandaron acuñar.En la secuencia 21 de su libro de Matemáticas I, volumen II resolviste problemas deconversiones o de tipo de cambio del dólar respecto del peso: un dólar equivale a$11.70.1El tipo de cambio entre la moneda de un país y la de otro es la cantidad dedinero que se recibe por la unidad en el otro tipo de moneda. En la actualidad hay ne-gocios que se dedican a cambiar monedas de un país por monedas de otro. Estos nego-cios se llaman casas de cambio.En esta sesión aprenderás a realizar conversiones entre la moneda de México y las mo-nedas de distintos países.sesión 11Tipo de cambio vigente al 24 de noviembre de 2005.Relaciones deproporcionalidadPropósitos de la secuenciaFormular la expresión algebraica que corresponde a la relación entre dos cantidades que sondirectamente proporcionales. Asociar los significados de las variables en la expresión y = kxcon las cantidades que intervienen en dicha relación.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Cambio de monedaSolucionar problemas sencillos de conversión entre dos tiposde moneda para determinar e interpretar la expresiónalgebraica o relación funcional asociada al problema.Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad direc-ta en la búsqueda de la expresión algebraica.VideoHistoria de lamonedaInteractivo“Variaciónproporcional 6”2Expresiones algebraicas y relaciones de proporcionalidad endistintos contextosEncontrar la expresión algebraica o la relación funcionalcuando se aplican sucesivamente dos constantes deproporcionalidad.Una vez encontrada la expresión algebraica, hallar la inversay notar las similitudes y diferencias entre estas dosexpresiones algebraicas.EjeManejo de la información.TemaAnálisis de la información.AntecedentesEn secuencias anteriores los alumnos hantrabajado tanto situaciones de proporcionali-dad directa como situaciones en las quedeben expresar algebraicamente sucesionesnuméricas, relaciones geométricas y entrecantidades que varían. En esta secuencia losalumnos estudiarán la representaciónalgebraica de una variación específica: laproporcionalidad directa.
  • 164. 165I165MATEMÁTICASConsideremos lo siguienteLa tabla 1 muestra algunas conversiones que se hicieron en una casa decambio con monedas de distintos países respecto del peso mexicano.País Nombre de la monedaCantidad en la monedacorrespondienteCantidad recibida enpesos mexicanosEstados Unidos deAméricaDólar estadounidense 10 117España Peseta española 100 7.48Inglaterra Libra esterlina 200 3 666Japón Yen japonés 200 17.8Guatemala Quetzal guatemalteco 150 210Tabla 1Vicente fue de viaje a los Estados Unidos de América y a Guatemala. A suregreso, cambió las monedas que le sobraron: 13 dólares estadounidenses y 8quetzales guatemaltecos.Contesten las siguientes preguntas:a) ¿Qué cantidad en pesos recibió Vicente por los 8 quetzales guatemaltecos?b) ¿Qué cantidad en pesos recibió Vicente por los 13 dólares estadounidenses?Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar la cantidad en pesos que equivale a 8quetzales guatemaltecos.Cantidad de quetzalesguatemaltecosCantidad recibida enpesos mexicanos150 21050518Tabla 2Sugerencia didáctica. Comente a losalumnos que la peseta española fuela moneda oficial en ese país hasta1999. Tras su incorporación a la UniónEuropea la moneda oficial es el euro.Posibles procedimientos. Losalumnos pueden utilizar distintasestrategias para hallar los valoresque se les piden, por ejemplo,encontrar el valor unitario o hacer unatabla. Permítales utilizar cualquierprocedimiento, incluso si es erróneo,más adelante tendrán oportunidad deverificar sus resultados.Respuestas.a) Por un quetzal se reciben 1.40pesos (se divide 210 entre 150),entonces por 8 quetzales se reciben11.20 pesos (1.4 por 8).b) Por un dólar americano se reciben11.70 pesos, por 13 dólares sereciben 152.10 pesos (11.7 por 13).Propósito del interactivo. Deducirlas expresiones algebraicas quecorresponden a la relación entre doscantidades que son directamenteproporcionales.Propósito de la actividad. Enel apartado Manos a la obra seprivilegia el uso de la constante deproporcionalidad para la resolución delproblema, ya que se pretende que elalumno asocie la ecuación de la formay = kx a una relaciónde proporcionalidad directa.Respuestas. Es conveniente queescriban las cantidades con númerosdecimales. Si algunos alumnos ponen tUindíqueles que lo escriban como 1.4.Sugerencia didáctica. Pregunte alos alumnos cuántos pesos y cuántoscentavos son $1.4, porque es comúnque piensen que equivale a un pesocon cuatro centavos. Explíqueles queun décimo de peso (0.1) es igual a ladécima parte, es decir, a 10 centavos,por lo tanto, 0.4 son 40 centavos. Si loprefieren, pueden escribir $1.40 parano confundirse.7071.411.2
  • 165. 1663Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos estaafirmación y pregúnteles:- ¿Qué significa que los quetzales guatemaltecosy los pesos sean cantidades directamenteproporcionales?- ¿Ocurrirá lo mismo entre el yen japonés y el peso?- ¿Y entre el yen japonés y la libra esterlina?Sugerencia didáctica. Reconocer la constante deproporcionalidad es muy importante en esta secuenciapara poder asociarle a la situación de cambio demoneda (y a otras que involucren relaciones deproporcionalidad directa) la expresión y = kx, por loque vale la pena dedicarle un tiempo a esta pregunta silos alumnos tienen dificultades.Respuesta. La constante de proporcionalidad es 1.4pesos por cada quetzal guatemalteco.2Sugerencia didáctica. Permita que se discuta engrupo la expresión algebraica. Para iniciar, puede serútil plantear a los alumnos algunas preguntas como:¿Cuál es la constante en la expresión?¿Es una constante de proporcionalidad o aditiva?¿Cuáles son las variables?¿Qué significa 1.4x?¿Alguien podría leer la expresión?¿Alguien podría leer la expresión explicando elsignificado de las variables? (por ejemplo, “lacantidad de pesos y es igual a la cantidad de quetzalesguatemaltecos x multiplicada por 1.4”).Sugerencia didáctica. Si sus estrategias anterioresfueron correctas deben obtener el mismo resultadoal utilizar la expresión algebraica. Si hay resultadosdistintos, corríjanlos y averigüen cuál fue el error.166secuencia 31Los quetzales guatemaltecos y los pesos son cantidades directamente proporcionales,¿cuál es la constante de proporcionalidad que permite multiplicar cualquier cantidad dequetzales guatemaltecos y encontrar su equivalente en pesos?ii. Un equipo de otra escuela hizo la siguiente observación:Si llamamos x a la cantidad de quetzales guatemaltecos que se van a cambiar y lla-mamos y a la cantidad de pesos que se obtienen por el cambio, la siguiente expresiónalgebraica permite obtener la cantidad y de pesos:y = 1.4xComenten:a) ¿Están de acuerdo con la expresión algebraica que encontraron en el otro grupo?b) Con esta expresión encuentren cuántos pesos obtienen si cambian 8 quetzales.¿Obtuvieron el mismo resultado que al llenar la tabla?iii. Llamen x a la cantidad de dólares que se van a cambiar y llamen y a la cantidad depesos que se obtiene por el cambio. ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicaspermiten obtener y a partir de x?• y = x• 11.70x = y• 11.70y = x• x = y• y = 11.70x• x = 11.70yComparen las expresiones que escogieron.iV. Completen la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corres-ponden a las distintas situaciones de proporcionalidad de la tabla 1.Relación proporcionalidad Expresión algebraicaCambio de dólar estadounidense (x)a pesos (y) y = 11.70xCambio de quetzales guatemaltecos (x)a pesos (y) y = 1.4xCambio de libra esterlina (x)a pesos (y)Cambio de peseta española (x)a pesos (y)Cambio de yen japonés (x)a pesos (y)Tabla 32Sugerencia didáctica. Una vez que haya consenso sobre cuáles son lasexpresiones algebraicas correctas, escríbalas en el pizarrón y pida a los alumnosque las lean en voz alta y que expliquen en qué se parecen y en qué son diferentes.Como resultado de años de práctica con la aritmética, para muchos alumnosel signo igual ( = ) no significa que lo que está a la izquierda del signo seaequivalente a lo de su derecha, sino que lo de la derecha es el resultado de lode la izquierda, es decir, el signo es unidireccional. Por eso es importante quese comenten casos como éste, en el que las expresiones son idénticas pero eltérmino 11.70x aparece en uno u otro lado del signo igual.Respuestas.Por una libra esterlina obtenemos 18.33 pesos (se divide 3 666 entre 200).Por una peseta obtenemos 0.0748 pesos (se divide 7.48 entre 100).Por un yen obtenemos 0.089 pesos (se divide 17.8 entre 200).Entonces las expresiones algebraicas son:Libra a peso y = 18.33xPeseta a peso y = 0.0748xYen a peso y = 0.089xSugerencia didáctica. Pida a los alumnos que a partir de las expresionesalgebraicas digan:- Por cuál moneda extranjera (un dólar americano, un quetzal guatemalteco, etc.)dan más pesos al cambio.- Por cada peso, de cuál moneda extranjera puede comprarse una mayor cantidad.Sugerencia didáctica. Puede ser de utilidad queencuentren la constante de proporcionalidad quepermite saber a cuántos pesos equivale cierta cantidadde dólares americanos. Esa constante es 11.7 pesos porcada dólar americano.Respuestas. Hay dos expresiones correctas (11.70x =y y y = 11.70x ). Si hay alumnos que tienen dificultaden reconocerlas puede pedirles que utilicen cada una de lasseis expresiones para hallar la cantidad de pesos a los queequivalen , por ejemplo, 5 dólares (tendrían que obtenery = 58.5), para descartar aquellas que son erróneas.
  • 166. 167I167MATEMÁTICASA lo que llegamosA las relaciones de proporcionalidad directa les corresponden expre-siones algebraicas que permiten encontrar las cantidades multiplican-do su correspondiente por la constante de proporcionalidad.Por ejemplo, si la cantidad de dólares estadounidenses que se van acambiar se representa como x, y la cantidad de pesos que se obtienense representa como y, entonces la expresión algebraicay = 11.70xpermite saber la cantidad de pesos (y) que se obtienes al cambiarcierta cantidad de dólares (x). La constante de proporcionalidad eneste caso es: 11.70 pesos por cada dólar.Esta expresión es llamada la expresión algebraica que corresponde ala relación de proporcionalidad directa.Lo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla para encontrar las cantidades de pesos que se obtienenal cambiar distintas cantidades de dólares canadienses.Cantidad de dólares canadienses Cantidad recibida en pesos mexicanos20 178101a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite calcular la cantidad depesos obtenidos al cambiar dólares canadienses?b) ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular la cantidad de pesos obtenidos alcambiar dólares canadienses?Respuestas.a) Es 8.9 pesos por cada dólarcanadiense.b) y = 8.9xy son los pesos,x son los dólares canadienses.Sugerencia didáctica. Diga alos alumnos que investiguen lascotizaciones actualizadas de diversasmonedas y realicen varios ejerciciosde este tipo: encontrar la constantede proporcionalidad y la expresiónalgebraica que permiten realizar laconversión de una moneda a otra.Integrar al portafolios. Solicitea los alumnos una copia de susrespuestas a esta actividad y valoresus resultados. Si tienen dificultades,realicen más cambios entre monedas,averigüen cuál es la constante deproporcionalidad y escriban susexpresiones algebraicas.898.9
  • 167. 168Propósito de la sesión. Encontrarla expresión algebraica o la relaciónfuncional cuando se aplicansucesivamente dos constantes deproporcionalidad.Una vez encontrada la expresiónalgebraica, hallar la inversa y notar lassimilitudes y diferencias entre estasdos expresiones algebraicas.Organización del grupo. Se sugieretrabajar en parejas y de maneraindividual.Propósito de la actividad. Se esperaque los alumnos puedan llenar latabla con facilidad porque las hanutilizado anteriormente en los temasde proporcionalidad. El desafío al quevan a enfrentarse en esta actividadconsiste en escribir expresionesalgebraicas que den cuenta de lasrelaciones de proporcionalidadimplicadas en la situación cuandose componen dos constantes deproporcionalidad.Respuestas.a) El tamaño real se multiplica por150 para obtener el tamaño final.Si llamamos w al tamaño final, y xal tamaño real, entonces w = 150x.b) El tamaño real ( x ) se multiplicapor 15 para pasar al tamaño de laprimera lente ( y ).y = 15xc) El tamaño obtenido con la primeralente ( y ) se multiplica por 10 paraobtener el de la segunda lente otamaño final ( w ).w = 10yRecuerde que los alumnos puedenutilizar otras letras.168secuencia 31expresiones algebraiCasy relaCiones de proporCionalidaden distintos ContextosPara empezarEn esta sesión continuarás estudiando las expresiones algebraicas correspondientes a lassituaciones de proporcionalidad.En la secuencia 16 de tu libro de Matemáticas I, volumen I estudiaste la aplicación su-cesiva de constantes de proporcionalidad en el cálculo de amplificaciones de imágenescon los microscopios ópticos compuestos.Consideremos lo siguientesesión 2Tamaño real(micras)Tamaño obtenidocon la primera lente(micras)Tamaño final(micras)Bacteria 1 3 45Espermatozoidehumano 8Cloroplasto 11Glóbulo rojo 12Glóbulo blanco 200Tabla 1En esta tabla hay varias relaciones de proporcionalidad. En sus cuadernos escriban laexpresión algebraica que permite:a) Pasar del tamaño real del objeto al tamaño final.b) Pasar del tamaño real al tamaño obtenido con la primera lente.c) Pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño obtenido con la segun-da lente.En el laboratorio de Ciencias hay algunosmicroscopios compuestos. Uno de ellostiene una lente en el objetivo que aumen-ta 15 veces el tamaño de los objetos. Ade-más, tiene una lente en el ocular que au-menta 10 veces.Llenen la siguiente tabla para encontrar eltamaño con el que se verán las imágenesusando este microscopio. 450 120 1 200 165 1 650 180 1 800 3 000 30 000
  • 168. 169I169MATEMÁTICASManos a la obraI. En el siguiente diagrama se llama x al tamaño real, y al tamaño obtenido con la pri-mera lente y w al tamaño final visto en el microscopio. Complétenlo:Comparen las fórmulas que obtuvieron en el diagrama y comenten cómo las obtuvieron.A lo que llegamosCuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidadse obtienen varias relaciones de proporcionalidad. Para cada una deestas relaciones se puede encontrar una expresión algebraica.Por ejemplo, en un microscopio con lentes de 20 y 30 veces de aumen-to, si se llama x al tamaño real, y al tamaño obtenido con la primeralente y w al tamaño final, se pueden obtener:• La expresión que permite pasar del tamaño real al tamaño obteni-do con la primera lente: y = 20x• La expresión que permite pasar del tamaño obtenido con la prime-ra lente al tamaño obtenido con la segunda lente: w = 30y• La expresión que permite pasar directamente del tamaño real altamaño final:w = 600xLa constante de proporcionalidad de la última expresión se obtiene almultiplicar las constantes dadas por los aumentos de las lentes.Expresión algebraica para pasardel tamaño real al tamañoobtenido con la primera lentey = 15xExpresión algebraica para pasar del tamañoobtenido con la primera lente al tamañofinal____________Expresión algebraica para pasardel tamaño real al tamaño final_____________Tamaño obtenido con laprimera lente:Tamaño real: Tamaño final:w = 10yw = 150xSugerencia didáctica. Propongaa los alumnos otros ejemplos demicroscopios compuestos paraque practiquen la escritura deexpresiones algebraicas y pídales queaverigüen cuál es la constante deproporcionalidad que les permite pasardel tamaño real al tamaño final.
  • 169. 170170secuencia 31ii. En la secuencia 15 de su libro de Matemáticas i aprendieron que el rendimiento deun automóvil es el número de km recorridos por cada litro de gasolina.Si el rendimiento de un automóvil es de 18 km por litro de gasolina,a) ¿Cuántos km recorrerá ese automóvil con 2 de gasolina?b) ¿Y con 5 litros de gasolina?c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular la distancia recorrida paracualquier cantidad de litros de gasolina?Completen la siguiente tabla para saber cuántos litros de gasolina consume el automóvilen las distintas rutas indicadas en la tabla.RutaDistancia recorrida(km)Consumo de gasolina( )Morelia – Guanajuato 162Ciudad Victoria – Monterrey 288Ciudad de México – Guadalajara 576Aguascalientes – Campeche 1 818Tabla 2d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo degasolina a partir de la distancia que se recorre?e) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta situación de proporciona-lidad?A lo que llegamosEn la relación de proporcionalidad del rendimiento de gasolina encon-traron dos expresiones algebraicas:• La que permite calcular los kilómetros que se pueden recorrer concierta cantidad de litros de gasolina.• La que permite calcular la cantidad de gasolina necesaria pararecorrer cierta cantidad de kilómetros.Respuestas.a) 36 km (18 × 2).b) 90 km (18 × 5).c) La constante de proporcionalidades 18 km por litro. Si la distanciarecorrida ( y ) es igual al consumode litros de gasolina por 18,entonces la expresión es y = 18x.Sugerencia didáctica. Recuerde a losalumnos que pueden utilizarse otrasletras, siempre y cuando se indique elsignificado de cada una. Por ejemplo:d = 18la = 18bm = 18nPropósito de la actividad. Ahora losalumnos tienen que averiguar cuál esel consumo de gasolina conociendo ladistancia recorrida, o sea, se invierteel lugar en el que se encuentra el datoa hallar. En las 3 preguntas anterioresla situación era: A tantos ¿Qué distancia litros de se recorre? gasolinaComo se plantea en la tabla 2 es: A tantos ¿Cuántos litroskilómetros de gasolina se recorridos consumen?Ambos casos son parte de una mismarelación de proporcionalidad directa,pero se invierte el conjunto de partida:en el primer caso es el consumo degasolina y en el segundo la distanciarecorrida.Para los alumnos esto implicaencontrar 2 constantes deproporcionalidad, una inversa dela otra:18 km por litro y q Qi de litro por km.Respuestas.d) Es q Q i de litro de gasolina por cadakilómetro recorrido (se multiplicanlos kilómetros recorridos por q Qi ose dividen entre 18).e) El consumo de gasolina ( x ) esigual a los kilómetros recorridos ( y )por q Q i , entonces la expresiónes x = qQi y. 9 16 32 101
  • 170. 171I171MATEMÁTICASLo que aprendimosUn microscopio tiene una lente en el objetivo que aumenta 30 veces el tamaño de losobjetos y una lente en el ocular que aumenta 20 veces.1. Encuentra:a) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño real de un objeto a su ta-maño final.b) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño real a su tamaño obtenidocon la primera lente.c) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño obtenido con la primeralente al tamaño obtenido con la segunda lente.2. Hay una célula que con este microscopio se ve de 3 milímetros de tamaño, ¿cuántomide realmente?Encuentra la expresión algebraica que permite encontrar el tamaño real de un objetosi se sabe el tamaño final con el que se ve.Para saber másSobre el tipo de cambio entre monedas de distintos países consulta:http://www.oanda.com/convert/classic?user=etravetware lang=es[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Recuerden que:Un número y surecíproco multipli-cados dan 1. Porejemplo:6 × = 1y = 18xCantidad delitros de gasolinaKilómetrosrecorridosx = yEl siguiente diagrama muestra la relación que existe entre estas dos expresiones:En este caso, las constantes de proporcionalidad son números recíprocos, es decir,la constante de proporcionalidad de la segunda expresión es el recíproco de la constantede proporcionalidad de la primera.Sugerencia didáctica. Copie en elpizarrón el diagrama y analícenlojuntos. Pregunte a los alumnos:- Si se ve la relación que señalala flecha de arriba, ¿cuál es laconstante de proporcionalidad?- ¿Cuál es la constante deproporcionalidad inversa a laanterior (la relación que señala laflecha de abajo)?- ¿Por qué el recuadro afirma que 18y q Qi son números recíprocos?Si no lo saben, sugiérales querevisen la secuencia 10, sesión 4,en la que vieron el tema de losnúmeros recíprocos.Integrar al portafolios. Guardeuna copia de las respuestas de cadaalumno a las preguntas de esteapartado. Si después de revisarlasconsidera necesario hacer un repaso,vuelvan al apartado Manos a la obrade esta secuencia.Respuestas.1.a) Los objetos aumentan 600 veces,así que la expresión esy = 600x (y es el tamaño final y xel tamaño real).b) w = 30x (w es el tamaño obtenidocon la primera lente).d) y = 20w2.Hay que dividir y pE p = w pQ p demilímetro. Expresado como númerodecimal es 0.005 milímetros o 5 micras(una micra es 0.001 milímetros).x = y pQ p y (siguiendo la nomenclaturaanterior).
  • 171. 172Propósito de la sesión. Analizary construir gráficas de variacióndirectamente proporcional y noproporcional. Comparar gráficas devariación proporcional con otrasgráficas.Organización del grupo. A lo largode la sesión se sugiere trabajo enequipos, en parejas e individual.Propósito del video. Ejemplificar eluso de gráficas para el análisis y larepresentación de distintas situacionesproblemáticas.1Propósito de la actividad. Lapresentación de esta gráfica tienecomo objetivo introducir algunosconceptos (como el nombre de losejes), y recordar otros (como lalocalización de un punto medianteejes de coordenadas y el análisis de lainformación).Como puede observarse, no presentauna relación de proporcionalidad.Se espera que al incluir gráficasque representan distintos tipos derelaciones entre sus datos, losalumnos noten las diferencias ydistingan cuáles gráficas representanrelaciones proporcionales.172secuencia 32En esta secuencia aprenderás a explicar las características de unagráfica que represente una relación de proporcionalidad en el planocartesiano.Gráficas y sus característicasPara empezarGráficasMediante el uso de las gráficas se pueden interpretar y explicar situaciones diversas, porejemplo:• El crecimiento de la población en determinada región del país en un tiempodado.• La variación del peso de un bebé a lo largo de cierto tiempo.• El índice de natalidad en un país a través del tiempo.En la secuencia 7 ¿cómo es y dónde está la población? de su libro de Geografía deMéxico y del mundo, volumen I estudiaron la distribución de la población en México. Lasiguiente es una gráfica que muestra el crecimiento de la población de nuestro país enlos últimos 8 años.sesión 1Gráficas asociadasa situaciones deproporcionalidad10410310210110099989796951997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004Crecimiento de la población en los últimos 8 añosA = (2004, 104)MillonesdehabitantesAñosPropósitos de la secuenciaExplicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad enel plano cartesiano.SesiónTítulo y propósitos de lasesión Recursos Vínculos1Gráficas y sus característicasAnalizar y construir gráficas devariación directamente proporcionaly no proporcional.Comparar gráficas de variación proporcio-nal con otras gráficas.VideoGráficasGeografía deMéxico y elmundoSecuencia 72Comparación de gráficasAnalizar las propiedades de las gráficasasociadas a cantidades directamenteproporcionales.Interactivo“Variaciónproporcional ygráficas”EjeManejo de la información.TemaRepresentación de la información.AntecedentesEn esta secuencia se parte de los conocimien-tos con los que ya cuentan los alumnos sobreproporcionalidad directa y su expresiónalgebraica, para vincularlos con su represen-tación en el plano cartesiano.
  • 172. 173I173MATEMÁTICASPara localizar e interpretar los puntos de una gráfica se hace uso de sus coordenadas. Lascoordenadas del punto A son (2004,104), esto quiere decir que en el año 2004 había 104millones de habitantes. En la primera coordenada del punto, llamada abscisa, van losaños, y en la segunda coordenada del punto, llamada ordenada, el número de habitantesque hubo en ese año. El punto A tiene como abscisa a 2004 y como ordenada a 104.De acuerdo con la información de la gráfica, respondan lo siguiente:a) ¿En qué año había 102 millones de habitantes?b) ¿En qué año había 95 millones de habitantes?c) Localicen el punto que tiene ordenada 96. ¿Cuál es su abscisa?¿A qué año corresponde este punto? ¿Cuántos mi-llones de habitantes hubo en ese año?d) Completen la siguiente tabla para establecer el número de habitantes que huboen los años que se indican.AñoNúmero de habitantes(en millones)19971998199920002001200220032004 104Comenten:¿Cómo se vería la gráfica si de un año a otro la población no hubiera crecido?Consideremos lo siguienteA continuación van a construir las gráficas de dos situaciones que han es-tudiado en este libro.• En la secuencia 27 de su libro de Matemáticas I, Volumen II analizaronque el peso de un bebé durante el primer año de vida aumenta aproxi-madamente 0.5 kg por mes. Elaboraron una tabla en la que se muestracómo va cambiando el peso de un bebé mes con mes, hasta cumplido unaño de edad, considerando que el bebé al nacer pesó 3 kg.a) En sus cuadernos copien la tabla que completaron en la secuencia 27.b) Con los datos de la tabla terminen la siguiente gráfica:Respuestas.a) En el 2002.b) En 1997.c) 199895969899100102103 Sugerencia didáctica. Si los alumnosno conocen la respuesta, pídalesque copien la gráfica en su cuadernoañadiendo en el eje de las abscisas losaños 2005 y 2006, y suponiendo que eltotal de habitantes siguiera siendo elmismo que en el 2004, 104 000 000.
  • 173. 174Respuestas.c) Entre los 8 y 9 meses.d) Entre el primero y segundo mesde edad.174secuencia 32c) ¿En qué mes el bebé pesó 7.2 kg?d) ¿En qué mes el bebé pesó 3.6 kg?• Las compañías fabricantes de automóviles hacen pruebas de velocidad a sus autospara verificar sus motores, frenos y sistemas de suspensión. Entre otras cosas, debenverificar que las velocidades a las que pueden viajar se mantengan constantes duran-te recorridos largos.En la secuencia 6 de su libro de Matemáticas I, volumen I hicieron una tabla de lavelocidad promedio de un automóvil. Supongan que, viajando en carretera, un auto-móvil va a 120 km por hora en promedio.a) Completen la siguiente tabla para encontrar las distancias recorridas.Tiempo de viaje (en horas) Kilómetros recorridos123456Crecimiento del bebé durante sus primeros 6 meses0 1 2 3 4 5 6 7 8 97.576.565.554.543.532.521.510.5KilogramosMeses120240420504640720Sugerencia didáctica. Si los alumnosno recuerdan cómo multiplicarnúmeros fraccionarios, pídales querevisen la secuencia 10.También podrían averiguar a cuántosminutos equivale wQ y eQ de hora, asísólo tendrían que multiplicar númerosnaturales.
  • 174. 175I175MATEMÁTICASb) Con los datos de la tabla anterior, completen la siguiente gráfica.c) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer el automóvil 20 km?d) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer el automóvil 40 km?Respondan:¿Cuál de las dos gráficas que acaban de construir, la del peso del bebé y la de la velocidadpromedio del automóvil, corresponde a una situación de proporcionalidad?Comparen sus respuestas y sus gráficas.Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuánto pesó el bebé a los dos meses de nacido?b) ¿Cuánto pesó a los cuatro meses?c) A los 6 meses el bebé pesó 6 km. ¿Cuánto pesó a los 12 meses?6543210 120 240 420 504 640 720Distancia (en kilómetros)Tiempo(enhoras)(120, 1)(240, 2)3Sugerencia didáctica. Organiceun intercambio de ideas sobre estapregunta. Trace en el pizarrón o encartulina la gráfica correspondientea la situación del peso del bebé ypregunte si es o no proporcional ypida que le expliquen por qué. Luego,haga lo mismo con la del automóvil.Compárenlas y pregunte a los alumnosqué es igual y qué es distinto en unacon respecto de la otra. Si no llegana un acuerdo, permítales seguirresolviendo la sesión, más adelantetendrán oportunidad de comentarlo.Propósito de la pregunta. Esimportante que los alumnos analicenen las gráficas qué caracteriza a unarelación de proporcionalidad directa.Aunque la gráfica del peso del bebéda la impresión de ser directamenteproporcional (porque cada mesaumenta 0.5 kg), cuando el bebénace (tiene 0 meses) ya pesa 3 kg,por lo que la recta no pasa por elpunto 0,0. En cambio, en la situacióndel automóvil a 0 horas de viajecorresponden 0 km de recorrido y larecta sí pasa por el punto 0,0.Respuestas.Si el peso del bebé es y y la edad x,se puede hallar el peso del bebé con laecuación y = 0.5x + 3.a) 4 kg.b) 5 kg.c) 9 kg.Sugerencia didáctica. Comentenen el grupo su respuesta al inciso c).Posiblemente algunos alumnosrespondieron que el bebé pesa 12 kga los 12 meses, pero eso es incorrectoporque no es una relación deproporcionalidad directa.Si existe confusión, recurra a loque los alumnos aprendieron enotras secuencias. Saben que en lasrelaciones proporcionales hay unaconstante de proporcionalidad,pregúnteles si en esta situación esposible hallarla.Respuestas.c) 20 km es la sexta parte de 120 km,así que los recorre en yQ de hora o10 minutos.d) 20 minutos (el doble que lo que setarda en recorrer 20 km).
  • 175. 176Respuestas.a) yQ de hora son 10 minutos.b) Sí, 0 minutos.c) 0 km.Sugerencia didáctica. Después deleer esta información, pídales queregresen a la última pregunta delapartado Consideremos lo siguiente ycorrijan si es necesario.176secuencia 32ii. Completen la siguiente tabla para encontrar el número de kilómetros recorridos enlas distintas fracciones de tiempo que se indican:Tiempo de viaje(hs)Kilómetros recorridos1Comenten:a) ¿En qué fracción de tiempo se recorren 20 km?, ¿a cuántos minutos es equivalen-te esta fracción de tiempo?b) ¿Hay un tiempo para el cual el automóvil recorre 0 km?c) ¿Cuántos kilómetros se recorren en cero minutos?A lo que llegamos• Las gráficas son de mucha utilidad para representar diversas situa-ciones que se quieran estudiar. Por ejemplo, la gráfica de la veloci-dad constante del automóvil es una gráfica de proporcionalidaddirecta, porque la distancia recorrida por el automóvil y el tiempoque tarda en recorrerla son cantidades directamente proporcionales.• En las situaciones de proporcionalidad el punto (0,0) es parte dela gráfica (en 0 horas se recorren 0 km). Esto siempre sucede enlas gráficas que representan relaciones de proporcionalidad.1206040302420
  • 176. 177Integrar al portafolios. Reviselas gráficas y las respuestas de losalumnos. Si nota dificultades, pídalesque regresen al apartado Manos ala obra.Sugerencia didáctica. Si losalumnos tienen dificultades paratrazar la gráfica puede darles algunassugerencias, como:- Primero hay que precisar quéinformación se pone en cada eje(por ejemplo, en el eje de lasabscisas poner la cantidadde pesos).- Luego hay que definir una escalaconveniente para cada uno delos ejes.Respuestas.a) 0b) 117c) 351Propósitos de la sesión. Analizarlas propiedades de las gráficasasociadas a cantidades directamenteproporcionales.Organización del grupo. Se sugieretrabajar en parejas, y en el últimoapartado de manera individual.Propósito de la actividad. Se esperaque para los alumnos no sea difícilel llenado de la tabla porque lo hanhecho anteriormente. Ahora el retoconsiste en que, a partir de los datosde la tabla, elaboren una gráfica y laanalicen para hallar otros datos (comola cantidad de pintura que se compracon $3).Respuestas.a) 150 ml.b) 30 ml.I177MATEMÁTICASLo que aprendimos1. En la secuencia 31 de su libro de Matemáticas I encontraron que la expresión algebraica.y = 11.70xPermite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantida-des de dólares (x).En su cuaderno hagan la gráfica que corresponde a esta situación de proporcionalidad ycontesten:a) Si x = 0, ¿cuánto vale la y?b) Si x = 10, ¿cuánto vale y?c) Si x = 30, ¿cuánto vale y?comparación de GráficasPara empezarEn la secuencia 6 del libro de Matemáticas I, volumen I estudiaste las propiedades de lascantidades directamente proporcionales y aprendiste que la cantidad de pintura es pro-porcional a su precio.Consideremos lo siguienteCompleten la tabla 1 para determinar los costos de varias cantidades de pintura azul y,en su cuaderno, hagan una gráfica correspondiente.Cantidad de pintura azul(ml)Costo de la pintura($)500 5010080020004001 000Tabla 1a) ¿Qué cantidad de pintura se compra con $5?b) ¿Qué cantidad de pintura se compra con $3?sesión 2450400350300250200150100500Cantidad de dólares americanosCantidaddepesos0 5 10 15 20 25 30 35 40 Cambio de dólares americanosa pesos108020040100
  • 177. 178178secuencia 32Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela hicieron lo siguiente para construir la gráfica asociadaa la tabla 1.Primero determinaron dos puntos a graficar.a = (500 ml, $50)B = (100 ml, $10)Luego localizaron los puntos a y B en el plano cartesiano. Finalmente, dijeron que comola gráfica era de proporcionalidad, entonces bastaba unir el punto a con el punto B yprolongar la recta que une a estos puntos y así obtener la gráfica asociada a la tabla 1.En el siguiente espacio hagan el procedimiento que hizo el equipo de la otra escuela.A = (500 ml, $50) B = (100 ml, $10) C = (800 ml, $ ) D = (200 ml, $ )E = (0 ml, $ ) F = (400 ml, $ ) G = (1000 ml, $ )Tabla 2Comenten:¿Están de acuerdo con el procedimiento que hicieron en la otra escuela? ¿Por qué?Con los datos de la tabla 1 completen los siguientes datos para determinar algunos pun-tos más que pertenecen a la gráfica.9085807570656055504540353025201510510510095100 200 300 400 500 600 700 800 900A = (500 ml, $50)Preciodelapinturaazul($)Cantidad de la pintura azul (ml)Propósito del interactivo.Relacionar la expresión algebraicaque corresponde a la relación entre2 cantidades que son directamenteproporcionales con su representacióngráfica y tabular.Propósito de la actividad. Laintención es que los alumnos sepanque la representación gráfica de unarelación de proporcionalidad directa esuna recta que pasa por el origen, y quetodos los valores asociados a dicharelación están en esa recta.Por ello, cuando se conocen 2 puntosse puede trazar la recta y afirmarque en ella estarán todos los demásvalores.3Sugerencia didáctica. Permítalesdiscutir este punto. Si no estánseguros de que el procedimiento dela otra escuela es correcto, siganresolviendo la sesión, luego podránaclararlo.
  • 178. 179I179MATEMÁTICASEn la gráfica que completaron anteriormente localicen y dibujen los puntos de la tabla 2.¿Cuáles de los puntos que dibujaron pertenecen a la gráfica?II. Completen las siguientes tablas, en las que vienen los precios de algunas cantidadesde pintura amarilla y pintura verde.Cantidad depintura amarilla(ml)Costo de lapintura($)Cantidad depintura verde(ml)Costo de lapintura($)500 60 500 65100 100800 800200 2000 0400 400Tabla 3 y 4En el siguiente espacio hagan la gráfica asociada a las cantidades de pintura amarilla ysu precio.9085807570656055504540353025201510510510095100 200 300 400 500 600 700 800 900A = (500 ml, $60)Preciodelapinturaamarilla($)Cantidad de la pintura amarilla (ml)Respuestas. Todos los puntos debenquedar sobre la recta.Sugerencia didáctica. Los alumnosya tienen experiencia en el llenado detablas de proporcionalidad directa.Antes de que empiecen a llenarlas,pregúnteles qué procedimiento lesparece más económico en este casoy por qué: hallar el valor unitario,multiplicar por la constante deproporcionalidad, calcular el costode 100 ml y a partir de éste los demás,u otros.Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos haganmás gráficas de proporcionalidaddirecta y que constaten que siemprevan a obtener rectas que pasan porel origen. También se espera quelas comparen para obtener otrasinformaciones (como lo que significa lamayor o menor inclinación de la rectaen este caso). 12 13 96 104 24 26 0 0 48 52
  • 179. 180180secuencia 32En el siguiente espacio hagan la gráfica asociada a las cantidades de pintura verde y suprecio.iii. En el siguiente espacio dibujen las gráficas correspondientes a la tabla 1, la tabla 3 y latabla 4 (usen el color azul para la 1, el amarillo para la 3 y el verde claro para la 4).9085807570656055504540353025201510510510095100 200 300 400 500 600 700 800 900A = (500 ml, $65)Preciodelapinturaverde($)Cantidad de la pintura verde (ml)9085807570656055504540353025201510510510095100 200 300 400 500 600 700 800 900Preciodelapintura($)Cantidad de la pintura (ml)
  • 180. 181I181MATEMÁTICASIV. Comenten lo siguiente:a) El litro de pintura verde cuesta más que el litro de pintura azul. ¿Cómo se reflejaesto en la gráfica que completaron anteriormente?b) El costo del litro de pintura verde es mayor que el costo de pintura amarilla.¿Cómo se refleja esto en la gráfica que completaron anteriormente?A lo que llegamosUna situación en la que estén involucradas cantidades directamenteproporcionales (por ejemplo, la cantidad de pintura azul y su costo)tiene asociada una gráfica con dos características particulares:• Son puntos que están sobre una línea recta.• Pasan por el origen, es decir, por el punto (0,0).De la comparación de gráficas puede obtenerse información sobre larelación de proporcionalidad. Por ejemplo, la gráfica de la pinturaazul se encuentra entre la de la pintura verde claro y el eje horizontal.La interpretación de este hecho es que la pintura verde claro es máscara que la pintura azul, pues 500 ml de pintura verde claro cuestan$65, mientras que 500 ml de pintura azul cuestan $50.Lo que aprendimosEn la secuencia 31 de su libro de Matemáticas I encontraron que la expresión algebraicay = 8.9xpermite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantida-des de dólares canadienses (x).1. En sus cuadernos grafiquen esta situación de proporcionalidad y contesta:a) Si y = 0, ¿cuánto vale x?b) ¿Cuáles puntos de la gráfica están sobre una línea recta?2. Comparen la gráfica anterior con la gráfica correspondiente a la expresión y = 11.70 x,que permite encontrar la cantidad de pesos que se obtienen al cambiar dólares ame-ricanos.a) ¿Cuál de las dos gráficas queda entre el eje horizontal y la otra gráfica? ¿Cómointerpretan esto?Comparen sus respuestas.Para saber másSobre el crecimiento de la población en el país consulten:http://www.cideiber.com/infopaises/Mexico/Mexico-02-01.html[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Respuestas. La recta que representa ala pintura más cara estará por encimade las otras dos.a) La recta verde va por encima dela azul.b) La recta verde va por encima de laamarilla.Integrar al portafolios. Analicelas respuestas de los alumnos y susgráficas. Si lo considera necesario,revisen juntos el apartado Manos a laobra de esta sesión.Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que hagan esta gráfica sobrela de los dólares americanos quehicieron al final de la sesión 1.Respuestas. Para elaborar la gráficanecesitan hallar al menos 2 puntos,por lo que deben encontrar otrosvalores de y.a) 0b) Todos.Respuestas. La gráficacorrespondiente a los dólaresamericanos va por arriba de lade los dólares canadienses porqueobtenemos más pesos al cambiardólares americanos que dólarescanadienses.450400350300250200150100500Cantidad de dólaresCantidaddepesos0 10 20 30 40 Cambio de dólares americanos y canadienses a pesosCantidad de pesos por dólares canadiensesCantidad de pesos por dólares americanos
  • 181. BLOQUE   5
  • 182. 184Propósito de la sesión. Resolverproblemas de suma de númeroscon signo mediante procedimientosinformales.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos trabajen en parejas yque el apartado Lo que aprendimos seresuelva de manera individual.Sugerencia didáctica. Con estainformación se presenta el contextoa partir del cual se explicarán lasoperaciones de números con signo.Usted puede darles tiempo para leer eltexto y después comentarlo con todo elgrupo. Algunas preguntas que puedenayudar a los alumnos a recuperar lainformación más relevante, son: ¿quépartículas componen a los átomos ycuál es la carga de cada una de ellas?¿Cómo se obtiene la carga total de unátomo? ¿Cómo se obtiene una carga0?.Propósito del video. Presentar losdiferentes tipos de partículas y cargasque constituyen un átomo.secuencia 33184En esta secuencia utilizarás procedimientos informales y algorítmicosde adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.LOs átOmOsPara empezarLos átomosUna de las inquietudes más antiguas del hombre ha sido la de conocer de qué tipo desustancias están hechas las cosas. Si bien se necesitaron muchos años de estudio pararesponder esta pregunta, ahora se sabe que toda sustancia está hecha de materia, que asu vez está formada por átomos. Asimismo, los átomos están compuestos por varios tiposde partículas, entre las que destacan las siguientes tres:Los neutrones. No tienen carga eléctrica o su carga es nula, y forman parte del núcleodel átomo. La carga de un neutrón es 0.Los protones. Tienen carga eléctrica positiva y, junto con los neutrones, constituyen elnúcleo del átomo. La carga de un protón es +1.Los electrones. Tienen carga eléctrica negativa y giran alrededor del núcleo del átomo.La carga de un electrón es −1.La carga total de un átomo depende del número de protones (cargas positivas) y deelectrones (cargas negativas) que lo componen. Al juntar un protón y un electrón seobtiene una carga 0, ya que la carga positiva del protón se cancela con la carga negati-va del electrón. Así, la carga total de un átomo es el número de protones o electronesque resultan después de haber hecho todas las cancelaciones posibles.sEsión 1+1+1+1+1+1+1+1 00000000-1NeutronesProtonesElectronesCuentas de númeroscon signoPropósitos de la secuenciaUtilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signoen diversas situaciones.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Los átomosResolver problemas de suma de números con signomediante procedimientos informales.VideoLos átomosInteractivo“Los átomos 1”2Sumas de números con signoResolver problemas de suma de números con signomediante procedimientos convencionales.Sumar números decimales y fraccionarios con signo.Interactivo“Los átomos 2”3Restas de números con signoResolver problemas de resta de números con signo.Restar números decimales y fraccionarios con signo.Interactivo“Los átomos 3”4De todo un pocoAplicar lo aprendido en la resolución de problemas desuma y resta de números con signo.EjeSentido numérico y pensamiento algebraico.TemaSignificado y uso de las operaciones.AntecedentesEn la secuencia 25 los alumnos aprendieron aplantear y resolver problemas que implicannúmeros con signo. Identificaron el valorabsoluto de los números así como el simétricode un número. En esta secuencia resolveránproblemas de suma y resta de números consigno utilizando tanto procedimientosinformales como los algoritmos.
  • 183. 185Sugerencia didáctica. Pregunte algrupo por qué se afirma que estos 2átomos tienen carga total +1.Propósito de la actividad. Que losalumnos apliquen el procedimientopara obtener la carga total de cadaátomo haciendo las cancelaciones −deprotones o de neutrones− necesarias.Sugerencia didáctica. Una vez quetodo el grupo esté de acuerdo conel resultado, pida a cada pareja queproponga un ejemplo de átomos concarga +2 distintos a los de la tabla.Solicite a 2 o 3 parejas que pasen alpizarrón a dibujar sus ejemplos. Entodos los casos debe haber 2 protonesmás que el número de electrones.IMATEMÁTICAS185Por ejemplo, los átomos A y B de la siguiente figura son distintos, pero ambos tienencarga total +1:ÁTOMO A ÁTOMO BProtonesElectronesConsideremos lo siguienteCompleten la siguiente tabla para calcular la carga total de distintos átomos:Átomo Partículas Carga totalA +2BCDIEFGHComparen sus tablas y comenten:Aparte de los átomos con carga +2 que aparecen en la tabla, ¿habrá otros átomos quetengan carga +2? Dibújenlos.+20−1+2−1−30+3
  • 184. 186Respuesta. El átomo H tiene cargatotal +3, los demás sí tienen cargatotal +2.Respuesta. En los átomos que dibujendebe haber 3 electrones más que losprotones.Sugerencia didáctica. En caso deque casi todos hayan dibujado elmismo átomo, pida al grupo queencuentren otros dos átomos concarga total de −3.secuencia 33186Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela dijeron que los átomos A, B, I y H tienen carga total +2.Explicaron lo siguiente:La carga total del átomo A se puede obtener cancelando los pares protón-electrón quetiene:+ 2Cancelen los pares protón-electrón en los átomos B, I y H y verifiquen si tienen cargatotal +2.Comenten: ¿Tienen carga total +2 los átomos A, B, I y H?a) En la tabla hay dos átomos con carga total −1, ¿cuáles son? yVerifiquen las cargas cancelando pares protón-electrón.b) En la tabla, ¿cuáles átomos tienen carga 0?ii. El átomo F tiene carga total −3. Dibujen dos átomos más con carga −3.Comparen sus átomos y comenten:a) ¿Cuántos átomos distintos, pero con carga −3, encontraron en el grupo?, ¿cuántosprotones y cuántos electrones tienen?b) En todos los átomos que encontraron hay más cargas negativas que positivas; ¿cuán-tas cargas negativas más hay que cargas positivas en cada átomo?A lo que llegamosUn átomo tiene:• Carga positiva, si tiene más protones que electrones.• Carga negativa, si tiene más electrones que protones.La carga total de un átomo es independiente del número de cargas 0(neutrones) que tenga, ya que no aportan a la carga total.
  • 185. 187Respuesta. En el primer átomohay que agregar 4 electrones. En elsegundo átomo hay que agregar 2protones.Respuestas.a) Tiene 4 protones, deben agregarse4 electrones para que la carga totalsea 0.b) Tiene 2 electrones, debenagregarse 2 protones.c) Tiene 25 electrones.Sugerencia didáctica. Lea junto conlos alumnos esta información y pídalesque busquen en la tabla del apartadoConsideremos lo siguiente ejemplos delo que aquí se afirma.Sugerencia didáctica. Si lo consideranecesario, revise nuevamente conlos alumnos la información de lasecuencia 25, en la que se explica elvalor absoluto de un número. Antesde que las parejas completen la tabla,usted puede resolver junto con todoel grupo el primer renglón, para quea todos les quede clara la distinciónentre la carga total y el valor absoluto.Propósito del interactivo. Explorarel modelo de átomos para sumar yrestar números con signo.MATEMÁTICAS I187III. Completen con los protones o electrones necesarios para que los siguientes átomostengan carga total 0.ÁTOMO A ÁTOMO Ba) ¿Cuántos protones tiene el átomo A? ¿Y cuántos electro-nes debe tener para que tenga carga total 0?b) ¿Cuántos electrones tiene el átomo B? ¿Y cuántos protonesdebe tener para que tenga carga total 0?c) Si un átomo tiene carga total 0 y se sabe que tiene 25 protones, ¿cuántos electronestiene?A lo que llegamosUn átomo tiene carga 0 si tiene el mismo número de protones que deelectrones, ya que la carga positiva de cada protón se anula con lacarga negativa de cada electrón.IV. El valor absoluto de la carga de un átomo es el número total de cargas que tiene, esdecir, es el número de protones o electrones que quedan después de cancelar lasparejas protón-electrón.a) Encuentren el valor absoluto de las cargas de los siguientes átomos:Partículas del átomo Carga total Valor absoluto de la carga total +2 2 0 0 −1 1 +5 5 +1 1
  • 186. 188Respuesta. Las partículas quedibujen los alumnos pueden tenercarga positiva o negativa.Sugerencia didáctica. Usted puedepedir a algunas parejas que pongan enel pizarrón un ejemplo de cada tipo:uno con carga total negativa y otrocon carga total positiva.Respuestas.- En los átomos de la primera filade la tabla se agregan 3 protonesal primer átomo y 4 protones alsegundo átomo.- En los átomos de la segunda filase agregan 2 protones al primerátomo y 2 protones al segundo.Propósito del interactivo. Explorarel modelo de átomos para sumar yrestar números con signo.secuencia 33188b) Dibujen en cada uno de los rectángulos un átomo que tenga el valor absoluto de lacarga que se indica.Partículas del átomoValor absolutode la cargatotal470Comparen sus átomos.Lo que aprendimos1. Completa con los protones o electrones necesarios para que la carga de los átomossiguientes sea +3.En todos los átomos que encontraste hay más cargas positivas que negativas, ¿cuántascargas positivas más hay?
  • 187. 189Respuestas. En todos los átomos quedibujen debe haber 2 electrones másque los protones.a) 2 cargas negativas más.b) 2Propósito de la sesión. Resolverproblemas de suma de númeroscon signo mediante procedimientosconvencionales. Sumar númerosdecimales y fraccionarios con signo.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos trabajen organizadosen parejas, y que el apartado Lo queaprendimos lo resuelvan de maneraindividual.Respuesta. +1Sugerencia didáctica. Si todos losalumnos, o casi todos, dibujaron elmismo átomo, pida al grupo queencuentren 2 ejemplos más con carga+3. Usted puede analizar con losalumnos qué pasa en cada caso si seagregan 2 electrones.MATEMÁTICAS I1892. Encuentra cuatro átomos distintos en los que la carga sea −2.a) En todos los átomos que encontraste hay más cargas negativas que positivas,¿cuántas cargas negativas más hay?b) ¿Cuál es el valor absoluto de la carga de estos átomos?sUmas dE númErOs cOn signOPara empezarEl proceso mediante el cual se agregan o se quitan cargas de un átomo se llama ioniza-ción. En esta sesión agregarás protones y electrones a algunos átomos y aprenderás aencontrar la carga final mediante la suma de números con signo.Consideremos lo siguientea) ¿Cuál es la carga final de un átomo que tiene originalmente carga total +3 y se leagregan 2 electrones?Pueden usar círculos azules y anaranjados para representar las partículas del átomo.b) Esta ionización se puede representar mediante una suma de números con signo:Se agreganpartículas(+3) + (−2)Carga original Carga de losdel átomo 2 electrones¿Cuál es el resultado de esta suma?(+3) + (−2) =Comparen sus respuestas y comenten:¿Cuántos átomos distintos con carga +3 dibujaron en el grupo para hacer la suma?sEsión 2
  • 188. 190secuencia 33190+ =+ =+ =Comparen sus tablas. Comenten:¿Cambia el valor de la suma (+3) + (−2) si cambia el número de protones y electronesdel átomo de carga +3?ii. En sus cuadernos, representen la siguiente ionización usando círculos azules y ana-ranjados para las cargas:A un átomo que tiene originalmente carga total +5 se le agregan 8 electrones, ¿cuál esla carga que tiene finalmente este átomo?Comparen sus respuestas y comenten:a) ¿Cuántos átomos distintos con carga +5 dibujaron en el grupo para hacer la suma?b) ¿Cambia el valor de la suma (+5) + (−8) si cambia el número de pares protón-elec-trón del átomo de carga +5?iii. Hagan las siguientes sumas de números con signo. Pueden representar las cargasusando círculos azules y anaranjados.a) (−9) + (+1) = b) (+4) + (−2) =c) (−5) + (−9) = d) (−6) + (+6) =e) (+3) + (+2) = f) (+8) + (−8) =g) (+25) + (−33) = h) (-24) + (−17) =Manos a la obrai. En la siguiente tabla se han dibujado distintos átomos con carga +3. Usando estosátomos encuentren la carga final cuando se le agregan 2 electrones.(+3) + (−2) =Respuesta. En los 3 casos deberáhaber una carga final igual a +1.Propósito del interactivo. Explorarel modelo de átomos para sumar yrestar números con signo.Sugerencia didáctica. Enfatice consus alumnos que el valor de la sumaque se indica no cambia: si tenemosun átomo con carga total igual a +3 yse agregan 2 electrones, la carga totales igual a +1.Respuesta. Tiene carga total iguala −3.Sugerencia didáctica. Si todos, ocasi todos, dibujaron el mismo átomo,usted puede pedirle al grupo queencuentren otros 2 ejemploscon carga total igual a +5. A esosejemplos deben agregar 8 electrones yver cuál es su carga total al hacer esto.Respuesta. Inciso b), no cambia.Respuestas:a) −8b) +2c) −14d) 0e) +5f) 0g) −8h) −41
  • 189. 191MATEMÁTICAS I191Comparen sus respuestas y comenten:¿Cómo hicieron la suma (+25) + (−33)?, ¿dibujaron todas las partículas?A lo que llegamosLas cargas simétricas o números simétricos tienen el mismo valor absoluto y están a lamisma distancia del cero en la recta numérica. Por ejemplo: +6 y –6 son simétricos. Estosnúmeros al sumarse dan cero, es decir: (–6) + (+6) = (+6) + (–6) = 0IV. La suma (+100) + (−123) representa la siguiente ionización: a un átomo de carga+100 se le agregan 123 electrones. ¿Cómo harían la suma sin dibujar las partículas?A continuación se presenta una manera de hacerlo:a) Un átomo con carga total +100 tiene más protones que electrones, ¿cuántosprotones más tiene?b) Al hacer la ionización, estos 100 protones del átomo se cancelan con 100 de loselectrones que se le agregan. ¿Cuántos electrones quedan?c) ¿Cuánto es (+100) + (−123)?V. Resuelvan las siguientes sumas de números con signo. No usen dibujos.Comenten sus resultados y sus procedimientos.A lo que llegamos• Para sumar dos números del mismo signo se pueden sumar los valores absolutosde los números y el signo del resultado es el signo de los números que se suman.Por ejemplo, para sumar +3 con +2:se suma +3 con +2 : +3 + +2 = 3 + 2 = 5y el signo del resultado es +: (+3) + (+2) = +5Para sumar −5 con −9:se suma −5 con −9 : −5 + −9 = 5 + 9 = 14y el signo del resultado es −: (−5) + (−9) = −14a) (+105) + (+10) = b) (−110) + (−150) =c) (−230) + (+525) = d) (+125) + (−125)=Respuesta. No es necesario dibujartodas las partículas: 25 protones secancelan con 25 electrones. Quedan8 electrones, por lo que el valor de lacarga total es −8.Sugerencia didáctica. Es importanteque se revisen las respuestasentre todos. Si usted lo consideraconveniente, puede pedir que haganalgunos ejercicios más, pero ahora sindibujar los átomos.No hay que perder de vista que elpropósito es que los alumnos manejencorrectamente las operaciones connúmeros con signo, sin necesidad deestar dibujando los átomos cada vez.Respuestas.a) Tiene 100 protones más.b) Quedan 23 electrones.c) Es −23.Sugerencia didáctica. Lo importantede esta actividad es que se realicesin recurrir al dibujo de las partículasde los átomos. Si usted lo consideraconveniente puede poner algunosotros ejercicios.Respuestas.a) +115b) −260c) +295d) 0Sugerencia didáctica. Lea y comenteesta información con sus alumnos.Recuérdeles la notación que se utilizapara indicar el valor absoluto de unnúmero (lo vieron en la secuencia25). Es importante considerar que laforma en que se desarrolla cada unode los ejemplos que se presentan eneste apartado tiene la finalidad deexplicar el procedimiento para sumarnúmeros con signo. No se espera quelos alumnos tengan que hacer todo eldesarrollo cuando resuelvan las sumas,sino que apliquen las reglas que ahíse utilizan.Pida a los alumnos que copien en suscuadernos las 2 reglas para sumarnúmeros con signo, y que proponganotros ejemplos en los que se utilicenestas reglas.
  • 190. 192secuencia 33192Vi. Los átomos no son útiles para representar números decimales ni fraccionarios, porquelos electrones y los protones sólo tienen cargas −1 y +1. Sin embargo, para sumarnúmeros decimales y números fraccionarios con signo se pueden usar las dos reglasque acaban de aprender.Hagan las siguientes sumas usando las reglas anteriores:a) (−1.3) + (−1.7) =Recuerden que −1.3 = 1.3 y que −1.7 = 1.7b) Contesten las siguientes preguntas:¿Cuánto es + ?¿Cuánto es − ?Encuentren la siguiente diferencia:− =Hagan la siguiente suma de números con signo:+ + − =c) (−20.5) + (+10.5) =Comparen sus resultados y procedimientos. Comenten:En una telesecundaria dijeron que sumar −1.3 y −1.7 es como si a un átomo de cargatotal −1.3 se agregara una partícula de carga −1.7. ¿Están de acuerdo con esta afirma-ción?, ¿cómo dibujarían estas partículas?• Para sumar dos números de signos distintos se puede encontrar la diferencia de losvalores absolutos de los números y el signo del resultado es el signo del número demayor valor absoluto.Por ejemplo, para sumar +3 con −2:se encuentra la diferencia de +3 y –2 ; es decir, +3 − −2 = 3 − 2 = 1y el signo del resultado es +: (+3) + (−2) = +1Para sumar −9 con +1:se encuentra la diferencia de −9 y +1 ; es decir, −9 − +1 = 9 − 1 = 8y el signo del resultado es −: (−9) + (+1) = −8Respuestas.a) Ambos números son negativos.Se suman y el resultado esnegativo: −3.b) rQ,+ rErW− rWc) −10.5Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que digan cuál de las reglasutilizaron en cada caso.Respuesta. Puede dibujarse unelectrón y qEp de electrón, a esto se leagrega un electrón y q U p de electrón.El resultado son 3 electrones. Elresultado de sumar(−1.3) + (−1.7) es −3.
  • 191. 193MATEMÁTICAS I193Lo que aprendimos1. Realiza las siguientes operaciones:a) (−10) + (+101) =b) (−31)+ (+15) =c) (−1.6) + (−1.3) =d) + + − =2. Encuentra los simétricos de los siguientes números:a) El simétrico de − esb) El simétrico de +35 esc) El simétrico de 7.3 esd) El simétrico de −10 es3. La carga total de un átomo se puede calcular mediante sumas de números con signo.El siguiente átomo tiene 3 electrones, 2 protones y 2 electrones.Su carga total se puede calcular con la siguiente suma de números con signo:(−3) + (+2) + (−2)Carga de 3 Carga de 2 Carga de 2electrones protones electrones¿Cuál es el resultado de esta suma?(−3) + (+2) + (−2) =Integrar al portafolios. Solicite a losalumnos que en una hoja le entreguenlos ejercicios 1 y 2. Si identifica quetienen dificultades para resolver lassumas, revise nuevamente con ellosla regla que debe aplicarse en cadauno de los casos: cuando se sumannúmeros del mismo signo y cuando sesuman números de signo distinto.Respuestas.a) +91b) −16c) −2.9d) 0Respuestas.a) +  rQb) −35c) −7.3d) +10Posibles dificultades. Este ejercicioes distinto a los que se hiciero. Esposible que tengan dificultadesporque se está realizando la sumade 3 números con signo, pero no hayproblema con el orden en que realicenlas operaciones (porque sólo sonsumas).Respuestas. El resultado es −3.Quedan 3 electrones.
  • 192. 194secuencia 33194rEstas dE númErOs cOn signOPara empezarEn esta sesión continuarás estudiando las operaciones de números con signo. Ahorarealizarán ionizaciones quitando protones y electrones a algunos átomos. Aprenderás aencontrar la carga final mediante la resta de números con signo.Consideremos lo siguienteA un átomo que tenía originalmente carga total -2 se le quitaron 5 protones, ¿cuál es lacarga que tiene ahora este átomo?Esta ionización se puede representar mediante la siguiente resta de números con signo:Se quitanpartículas(−2) − (+5)Carga original Carga de los 5del átomo protones¿Cuál es el resultado de esta resta de números con signo?(−2) − (+5) =Comparen sus respuestas y comenten:a) ¿Cuántos átomos distintos con carga −2 dibujaron en el grupo para hacer esta resta?b) ¿Se le pueden quitar 5 protones a un átomo de carga −2?Manos a la obrai. El siguiente átomo tiene 2 electrones, 5 protones y 5 electrones.Su carga total es −2 y se puede calcular con la siguiente suma de números con signo:(−2) + (+5) + (−5)Carga de 2 Carga de 5 Carga de 5electrones protones electronessEsión 3Propósito de la sesión. Resolverproblemas de resta de números consigno. Restar números decimales yfraccionarios con signo.Organización del grupo. Se sugiereque trabajen en parejas y que elapartado Lo que aprendimos loresuelvan de manera individual.Respuesta. Tiene carga −7.Respuesta. El átomo debe tener almenos 5 protones para quitarlos.Sugerencia didáctica. Usted puedepedir al grupo que encuentren 2ejemplos de átomos que tengan carga−2 y que tengan al menos 5 protones.Al quitarle 5 protones se quedan conuna carga de −7.Sugerencia didáctica. Usted puedecomentar al grupo que los númerosestán en color verde sólo para resaltarque son números simétricos.
  • 193. 195MATEMÁTICAS I195a) ¿Cuál es el resultado de esta suma?b) Quítenle 5 protones a este átomo, ¿cuál es su carga final?c) Encuentren el resultado de las siguientes operaciones:(−2) + (+5) + (-5) − (+5) =Se quitanpartículas(−2) − (+5) =Se quitanpartículasComparen sus respuestas. Comenten:La suma (+5)+(−5) = 0, ¿será cierto que (−2)+(+5)+ (-5)−(+5) = (−2)−(+5)?II. Los siguientes átomos tienen carga −1:Átomo A (−1) + (−4) + (+4) Átomo B (−1)Átomo C (−1) + (+1)+(−1) Átomo D (−1) + (−5) + (+5)a) Algunos de estos átomos se pueden usar para quitar 4 protones, ¿cuáles son?yb) Quiten 4 protones de los átomos que escogieron. ¿Cuál es la carga de los átomos?c) Encuentren el resultado de las siguientes operaciones:(−1) + (−5) + (+5) − (+4) =(−1) + (-4) + (+4) − (+4) =d) ¿Cuánto es (−1) − (+4)?(−1) − (+4) =Respuestas.a) −2b) −7c) −7 y −7Sugerencia didáctica. Enfatice alos alumnos que los números queaparecen en verde indican los númerossimétricos que se cancelan, y que lafinalidad de que aparezcan es paraexplicar el proceso. No se espera queal resolver las restas los alumnostengan que hacer todo ese desarrollo,basta con que apliquen la regla queya conocen (hacer la resta y poner elsigno del número mayor).Sugerencia didáctica. Resalte queesta operación corresponde a quitarle5 protones al átomo.Sugerencia didáctica. Usted puededibujar el átomo en el pizarrón y ponerla suma (−2) + (+5) + (−5). Puedepreguntar al grupo por qué(+5) + (−5) = 0. (El resultado es 0porque son números simétricos.)Respuesta. Sí es cierto.Sugerencia didáctica. Usted puederevisar con los alumnos lo que aquí seplantea con mayor cuidado. Podemosir haciendo las operaciones una poruna; recuerde las operaciones seefectúan de izquierda a derecha,por lo que primero se resuelvela suma (−2) + (+5):(−2) + (+5) + (−5) − (+5) == (+3) + (−5) − (+5) == (−2) − (+5)También podemos cancelar losnúmeros simétricos:(−2) + (+5) + (−5) − (+5) == (−2) + 0 − (+5) == (−2) − (+5)Propósito del interactivo. Explorarel modelo de átomos para sumar yrestar números con signo.Respuestas.a) El A y el D.b) La carga es −5.c) En ambos casos la carga es −5.d) Es −5.Sugerencia didáctica. Haga notarque la primera operación correspondea quitarle 4 protones al átomo D, lasegunda corresponde a quitárselosal átomo A. Hay que recordar que lasuma de números simétricos es 0.
  • 194. 196secuencia 33196Comparen sus respuestas. Comenten:¿Es lo mismo (−1) + (−5) + (+5) − (+4) que (−1) + (−4) + (+4) − (+4)?iii. Hay que hacer la resta: (+46) − (−18). ¿Cuál de las siguientes operaciones usaríanpara hacerla?(+46) + (+18) − (+18) − (-18)(+46) + (−46) + (+46) − (−18)(+46) + (−18) + (+18) − (−18)Hagan la resta.(+46) − (−18) =Comparen sus respuestas. Comenten:En una escuela dijeron que al poner 18 electrones y quitar 18 electrones se cancelan.Para calcular (+46) − (-18) escribieron lo siguiente:(+46) + (-18) + (+18) − (-18) = (+46) + (+18)¿Es cierto que (+46) − (-18) = (+46) + (+18)?iV. Hay que hacer la resta: (-10) − (-12). Contesten las siguientes preguntas para hacerla:a) ¿Cuántos electrones tendrían que quitarle al átomo?b) ¿Cuál de las siguientes operaciones les sirve para hacer esta resta?(-10) + (-10) + (+10) − (-12)(-10) + (-12) + (+12) − (-12)c) Completen los cálculos:(-10) − (-12) = (-10) + + − (-12) =Comparen sus respuestas. Comenten:¿Es cierto que (-10) − (-12) = (-10) + (+12)?Respuesta. Sí es lo mismo. Esto esporque se cancelan las sumas enverde:(−5) + (+5) = 0(−4) + (+4) = 0Sugerencia didáctica. Usted puedeplantear esta situación a los alumnosen términos de los átomos: se tiene unátomo con carga total +46 y se le vana quitar (restar) 18 electrones.Las 2 últimas opciones son válidas.Por ejemplo, en la última opción laresta indica que vamos a quitar 18electrones. Entonces el átomo tiene 18electrones y 64 protones. Al quitar loselectrones nos queda una carga totalde +64. La primera opción tambiénes correcta, pero no corresponde almodelo que se está siguiendo. Loimportante es resaltar que, cuandoquitamos electrones, la carga se hizomás positiva.Si lo considera necesario, ustedpuede sugerirles que hagan el dibujocorrespondiente a la operación queconsideren correcta.Respuesta. Sí es cierto. Al quitar los18 electrones nos quedamos con 64protones. Es como si a un átomo con 46protones le agregáramos 18 protones.Es decir: quitar 18 electrones es lomismo que agregar 18 protones. Restar(−18) es lo mismo que sumar (+18).Respuestas.a) Hay que quitar 12 electrones.b) La segunda opción es la correcta,porque queremos que haya almenos 12 electrones para poderquitarlos.c) (−10) − (−12) == (−10) + (−12) + (+12) − (−12) == (−10) + (+12)Se cancelan los (−12)El resultado es +2.Restar (−12) es lo mismo quesumar (+12).Respuesta. Sí es cierto, quitar 12electrones es lo mismo que agregar12 protones.Sugerencia didáctica. Revise con elgrupo cuáles números se cancelan alhacer las operaciones.
  • 195. 197MATEMÁTICAS I197A lo que llegamosPara hacer restas de números con signo se puede sumar el simétrico:Si A y B son dos números con signo, entonces,A − B = A + (simétrico de B)Ejemplos:Simétricode +5(+2) − (+5) = (+2) + (−5) = −3Simétricode −5(−3) − (−5) = (−3) + (+5) = +2V. Usen la regla anterior para hacer las siguientes restas:a) Hay que hacer la resta + − − . Contesten las siguientes preguntas paraayudarse:¿Cuál es el simétrico de − ?¿Cuánto es + + + ?Hagan la resta:+ − − = + + + =b) Hay que hacer la resta (−20.5) − (+10.5). Contesten las siguientes preguntas paraayudarse:¿Cuál es el simétrico de +10.5?¿Cuánto es (−20.5) + (−10.5)?Hagan la resta:(−20.5)− (+10.5) = (−20.5) + (−10.5) =Recuerden que:Para hacer sumas denúmeros del mismosigno se suman losvalores absolutos de losnúmeros y el signo delresultado es el signo delos números.Sugerencia didáctica. Comente conlos alumnos que, en el primer ejemplo,quitar 5 protones es lo mismo queagregar 5 electrones; mientras queen el segundo, quitar 5 electroneses lo mismo que agregar 5 protones.Pida a los alumnos que copienesta información en sus cuadernosescribiendo un ejemplo distinto al quese muestra.Sugerencia didáctica. Aclare a losalumnos que se va a utilizar la mismaregla para operar con fracciones.Respuestas.Es + rQ .El resultado de la suma es qTw .El resultado de la resta es qTw .Respuestas.El simétrico es −10.5.Ambos números son negativos. Elresultado de la suma es −31.
  • 196. 198secuencia 33198Lo que aprendimosResuelve las siguientes operacionesa) (−10) − (−30)= b) (+120) − (−17) =c) (−6) − (−9) = d) (−5.4) − (+10)=e) (+3.6) − (−1.3)= f) + − − =dE tOdO Un pOcOPara empezarLas operaciones de números con signo pueden usarse para resolver problemas que apa-recen en distintos contextos de la vida cotidiana: en las pérdidas y ganancias de unatienda, los goles a favor y en contra obtenidos en un torneo de futbol, etcétera.En esta sesión usarás sumas y restas de números con signo para resolver este tipo deproblemas.Lo que aprendimos1. En la siguiente tabla se registran los goles a favor y en contra de varios equipos queparticipan en un torneo de futbol. La diferencia de goles de cada equipo se obtieneal hacer la resta: goles a favor menos goles en contra. Completen la tabla.Equipo Goles a favor Goles en contra Diferencia de golesGatos 5 2 3Pandas 6 −3Lobos 0 −2Coyotes 4 4Correcaminos 3 3Perros 3 −1Osos 6 1Conejos 1 −1Mapaches 3 0sEsión 4Respuestas. Los alumnos debentransformar cada resta en una suma.a) (−10) − (−30) =(−10) + (+30) = +20b) (+120) − (−17) =(+120) + (+17) = +137c) (−6) − (−9) =(−6) + (+9) = +3d) (−5.4) − (+10) =(−5.4) + (−10) = −15.4e) (+3.6) − (−1.3) =(+3.6) + (+1.3) = +4.9f) (+ eR ) − (− wQ ) = (+ eR ) + (+ wQ ) = = (+ yI ) + ( yE ) = + Q y Q  .Propósito de la sesión. Aplicarlo aprendido en la resolución deproblemas de suma y resta denúmeros con signo.Organización del grupo. Se sugiereque trabajen en parejas.32020305
  • 197. 199MATEMÁTICAS I1992. La siguiente tabla reporta el balance de una tienda a lo largo de 7 meses de trabajo.El saldo por mes es la diferencia entre las ganancias y los gastos.Completen la tabla:Balance de una tienda de abarrotesGanancias($)Gastos($)Saldo($))Enero 10 000.25 9 328.15 +672.10Febrero 9 235.36 9 875.95 −640.59Marzo 12 568.12 10 139.00Abril 1 765.00 5 328.90Mayo 10 525.30 +2 545.50Junio 8 328.00 −328.00Julio 6 728.00 −4 216.003. Resuelvan las siguientes operaciones con números negativos y positivos:a) (−8) + (−30) =b) (+101) − (−17) + (−17) =c) (−21) + (−5) − (−10) =d) (−13) − (−8) − (−7) =4. Resuelvan las siguientes operaciones:a) (−1.25) + (+7.43) =b) (+ 6.7) − (−2.1) =c) (+ ) − (− ) =d) (− ) − (+ ) =Para saber másSobre las operaciones con números positivos y negativos consulta:http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/op_basicas.htmlRuta: entrar al acceso directo operaciones con números positivos y negativos.[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].CONEVyT (Consejo Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo).Sugerencia didáctica. Este ejerciciopuede revisarse en grupo. Sobre todopara que analicen las operaciones quetuvieron que hacer en cada caso.Integrar al portafolios. Pida en una hojalos ejercicios 3 y 4 resueltos. Si identificaque los alumnos tienen dificultades con lasuma de números con signo, revise nueva-mente con ellos en el apartado A lo quellegamos, sesión 2. Si tienen dificultadespara resolver las restas revise nuevamentelas reglas que se aplican en la sesión 3.Sugerencia didáctica. Es convenienteque resuelvan esta actividad y lasiguiente (ejercicio 4) sin utilizar lacalculadora.Respuestas.a) −38b) +101c) −16d) +2Respuestas.a) +6.18b) +8.8c) + rEd) − qW tO+ 2 429.12− 3 563.907 979.808 00010 944
  • 198. 200Propósito de la sesión. Resolverproblemas que impliquen el cálculo deáreas de figuras formadas por rectas.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos resuelvan lasactividades trabajando en parejas.Materiales. Regla.Propósito del video. Visualizaralgunas de las creaciones artísticasárabes que han sido relevantes en lahistoria del pensamiento geométrico.secuencia 34200En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el cálculo deáreas en diversas figuras planas.Áreas de figuras formadaspor rectasPara empezarA lo largo del curso has estudiado y trabajado con fórmulas para calcular distintas áreas;en esta secuencia resolverás problemas de cálculo de áreas de figuras formadas porrectas, círculos y semicírculos y aplicarás lo que aprendiste en algunas secuencias degeometría.Geometría andaluzaLos árabes hicieron uso de las matemáticas para construir casas y edificios. Hermososejemplos son la Alhambra y el Alcázar en Andalucía, donde muchos de los pisos y pa­redes están hechos a partir de diseños geométricos.Lo que aprendimos1. En la figura 1 está señalada una parte de un piso que aparece en la Alhambra. Loslados de las baldosas cuadradas miden 1 m y los lados de las baldosas rectangulares(azules, rojas y grises) miden 1 m por 50 cm.Figura 1sesión 1Áreas de figurasplanasPropósitos de la secuenciaResolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de diversas figuras planas.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Áreas de figuras formadas por rectasResolver problemas que impliquen el cálculo de áreas defiguras formadas por rectas.VideoGeometría andaluzaAula de medios“Áreas de figurasformadas por rectas”(Geometría dinámica)2Áreas de figuras formadas por círculosResolver problemas que impliquen el cálculo de áreas defiguras formadas por círculos o semicírculos.Aula de medios“Áreas de figurasformadas por círculos”(Geometría dinámica)EjeForma, espacio y medida.TemaMedida.AntecedentesEn esta secuencia se espera que los alumnosapliquen lo aprendido en secuenciasanteriores, particularmente las secuencias 20y 30, para calcular el área de figuras formadaspor rectas o por círculos, para las que no hayuna fórmula inmediata, pero en las que sepuede recurrir al cálculo de figuras conocidas.
  • 199. 201Posibles procedimientos. Hay distintas formas de resolver esteproblema. Una de ellas consiste en calcular el área de cada uno de lostriángulos que forman las superficies blancas y azules. El área azul estáformada por los 4 triángulos azules grandes, 4 azules medianos, 4 azulespequeños y el cuadrado azul pequeño del centro.Cada triángulo azul grande tiene un área de 8 cm2, cada triángulo azulmediano tiene 2 cm2, cada triángulo azul pequeño tiene 0.5 cm2y elcuadrado azul pequeño tiene un área de 1 cm2. La suma del área de lostriángulos azules grandes es de 32 cm2, la de los medianos es de 8 cm2y la de los pequeños es de 2 cm2.El área azul es:32 cm2+ 8 cm2+ 2 cm2+ 1 cm2= 43 cm2.Siguiendo el mismo procedimiento,el área blanca es:16 cm2+ 4 cm2+ 1 cm2= 21 cm2.(Puede observarse que dentro de cada cuadrado hay otro cuadrado cuyaárea es la mitad del área del cuadrado que lo contiene.)Otro procedimiento consiste en tomar como referencia al cuadradopequeño que se ubica al centro de la figura. El área de este cuadrado esde 1 cm2. A partir de él se puede cuadricular toda la figura, de maneratal que es posible, mediante el conteo de unidades cuadradas de 1 cm2,obtener el área de la región azul y de la región blanca.IMATEMÁTICAS201Tomando en cuenta sólo la parte del piso que está dentro de la línea negra, contestenlas siguientes preguntas:a) ¿Cuánto mide el área de esta parte del piso?b) ¿Cuánto mide el área de la región cubierta por las baldosas grises (tanto cuadradascomo rectangulares)?c) ¿Cuántas veces más grande es el área de la región azul que el área de la roja?d) Comenten sus resultados y compárenlos.2. Contesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuánto mide el área del triángulo completo?b) ¿Cuánto mide el área de la región azul?c) ¿Cuánto mide el área de la región gris?Comparen sus soluciones y comenten:¿Cómo calcularon el área de las dos regiones?3. Midan lo que sea necesario en la figura 3 ycontesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuánto mide el área de la región azul?b) ¿Cuánto mide el área de la región blanca?c) Escriban en sus cuadernos losprocedimientos que utilizaron paracalcular las áreas de la región azuly de la región blanca.Comenten sus procedimientos.Figura 2Figura 3Respuestas.a) 16 m2. Este resultado puede obtenerse dedistintas maneras: 2 baldosas rectangularesequivalen a 1 cuadrada, entonces la medidade cada lado de la figura delimitada por lalínea negra mide4 m × 4 m = 16 m2. También puedencalcular el área de una baldosa rectangulary multiplicarla por el número de baldosasrectangulares (0.5 m2× 16 = 8 m2), y luegosumar ese resultado con el área total de lasbaldosas cuadradas: 8 m2+ 8 m2= 16 m2.b) 10 m2. Son 8 baldosas cuadradas y 4baldosas rectangulares. Cada baldosacuadrada tiene 1 m2de superficie,y cada baldosa rectangular tiene0.5 m2 de superficie. En total son8 m2+ 2 m2= 10 m2.c) El área azul son 8 baldosas rectangulares,el área roja son 4 baldosas rectangulares.Es decir que el área azul es el doble dela roja.Sugerencia didáctica. Los alumnos debenllegar a los mismos resultados, pero losprocedimientos para resolver pueden serdistintos. Procure que se comparen al menosdos procedimientos diferentes.Respuestas.a) La base es de 6 cm, la altura es de 4 cm. Elárea del triángulo completo es de 12 cm2.b) 6.75 cm2. Hay distintas formas de llegara este resultado. Una de ellas es calcularla medida de cada triángulo pequeño (lostriángulos pequeños, azules y grises, midenlo mismo). Para ello puede tomarse comoreferencia el área del triángulo gris mayor,pues el triángulo completo puede dividirseen 4 triángulos iguales al triángulo grismayor. El área de cada uno de elloses: = 3 cm2.3 × 22 Cada uno de esos triángulos se divide asu vez en 4 triángulos pequeños iguales.El área de cada uno de ellos es de 0.75cm2(esto se obtiene dividiendo el área deltriángulo gris mayor entre 4). El área dela región azul son los 9 triángulos azulespequeños; por lo tanto, el área de la regiónazul es 0.75 × 9 = 6.75 cm2.c) 5.25 cm2. Esto puede obtenerse de diversasformas: restando al área total el áreaazul; o bien, contando cuántos triángulosgrises pequeños hay en total (el triángulogris mayor equivale a 4 pequeños, entotal son 7 triángulos grises pequeños), ymultiplicando por 0.75.
  • 200. 202Propósito de la sesión. Resolverproblemas que impliquen el cálculo deáreas de figuras formadas por círculoso semicírculos.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos resuelvan trabajandoen parejas.Materiales. Regla y compás.Respuestas.a) Hay tres círculos. El círculo grandetiene un diámetro de 4 cm, ylos círculos pequeños tienen undiámetro de 2 cm.b) El área azul es de 6.28 cm2. Secalcula el área del círculo grande(12.56 cm2) y el área de los círculospequeños (cada uno mide3.14 cm2). Al área del círculogrande se le resta el área de losdos círculos pequeños:12.56 − 6.28 = 6.28 cm2.c) Tiene dos ejes de simetría. Unarecta horizontal y una recta verticalque pasan por el centro del círculogrande.Respuesta. El área de la regiónroja es de 3.44 cm2. Una manera deresolver es trazar un cuadrado comose muestra en la ilustración y obtenersu área. El área del cuadrado (16 cm2)menos el área de los 2 semicírculos.Los 2 semicírculos juntos hacen uncírculo con un diámetro de 4 cm, y elárea de ese círculo es 12.56 cm2. Ladiferencia entre el área del cuadrado yel área del círculo es de 3.44 cm2.Respuesta. Tiene dos ejes de simetría.Una recta horizontal y una rectavertical.Recuerde que: La actividad demedir puede dar lugar a la obtenciónde distintas medidas, por lo que esimportante considerar aproximacionesy márgenes de error aceptables.Particularmente cuando se trabaja conel área del círculo, lo que obtenemosson medidas aproximadas porque elvalor que se toma para π es sólo unaaproximación.secuencia 34202ÁREAS DE FIGURAS FORMADASPOR CÍRCULOSLo que aprendimos1. Midan lo que sea necesario y contesten las siguientes preguntas:a) ¿Qué figuras geométricas aparecen en la figura 1?b) ¿Cuál es el área de la región azul?c) Tracen los ejes de simetría de la figura 1.Comenten sus procedimientos y contesten:a) ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura 1?b) ¿Cómo creen que se construyó esta figura? Cópienla en sus cuadernos.2. Midan lo que sea necesario y copien la siguiente figura en su cuaderno.a) ¿Cuánto mide el área de la región roja?b) Tracen los ejes de simetría de la figura roja.Comparen sus respuestas y comenten los procedimientos que utilizaron para copiar lafigura.SESION 2Figura 1Figura 2
  • 201. 203Respuesta. El área de la región rojaes 1.935 cm2. Se obtiene calculando elárea del cuadrado (9 cm2) y restándoleel área de la región blanca. Estaúltima está formada por 4 cuartos decírculo, que juntos forman un círculocon diámetro de 3 cm, cuya área es de7.065 cm2. La diferencia entre el áreadel cuadrado y del círculo es de1.935 cm2.Respuesta. El área amarilla mide4.5 cm2. Esto puede obtenersedividiendo el cuadrado en 2 mitadescon una línea horizontal que pase porel centro el cuadrado. El área amarillade la mitad superior del cuadrado esla mitad del cuadrado menos mediocírculo (el medio círculo se formajuntando los 2 arcos):4.5 − 3.5325 = 0.9675 cm2.El área amarilla de la mitad inferior delcuadrado es medio círculo: 3.5325 cm2.En total es: 0.9675 + 3.5325 = 4.5 cm2.IMATEMÁTICAS2033. Midan lo que sea necesario y contesten las siguientes preguntas:a) ¿Cuánto mide el área de la región roja?b) Tracen los ejes de simetría de la figura.Comparen sus respuestas y comenten:a) Los procedimientos que utilizaron para calcular el área de la región roja.b) Cómo se construyó esta figura. Cópienla en sus cuadernos.4. Midan lo que sea necesario y copien la figura 4 en sus cuadernos:a) ¿Cuánto mide el área de la figura amarilla?b) Tracen sus ejes de simetría.Comparen sus respuestas y comenten:a) Los procedimientos que utilizaron para calcular el área de la región amarilla.b) ¿Cómo encontraron los ejes de simetría de la figura?Para saber másSobre diseños geométricos en pisos consulten:http://www.interactiva.metem.unam.mxRuta: Geometría Teselados.[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Sobre problemas de cálculo de áreas sombreadas consulten:Calendario matemático infantil 2005-2006. Un reto diario.Figura 3Figura 4
  • 202. 204secuencia 35204sesión 1En esta secuencia reconocerás las condiciones necesarias para que unjuego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equipro-bables y no equiprobables.¿Cuál es la mejor opCión?Para empezarEntre las personas hay muchos malentendidos alrededor del concepto de probabilidad.Prueba de ello es el gran número de negocios surgidos en los últimos años que prometenriquezas enormes a la vuelta de la esquina. Tal es el caso de las loterías y las quinielas.Consideremos lo siguienteConstruyan una ruleta como se muestra a continuación.Realicen el siguiente juego:• Cada uno de los cuatro jugadores deberá elegir un número del 1 al 4.• Van a girar la ruleta 30 veces. En cada turno se anota un punto el alumno que tieneel mismo número que el resultado de la ruleta.• El ganador del juego es el alumno que tenga más puntos.a) Antes de empezar el juego, ¿crees que vas a ganar?b) ¿Por qué?c) En la siguiente tabla, marquen con una “X” los resultados de cada turno y el totalde puntos que cada jugador obtuvo al girar 30 veces la ruleta.Ruleta 1JuegosequitativosPropósitos de la sesión. Analizar ladiferencia entre un juego de azar justo yuno injusto considerando la probabilidadclásica.Organización del grupo. El problemainicial debe resolverse en equipos, el restode la sesión puede trabajarse en parejas.Materiales. Solicite a los alumnos conanticipación, que construyan una ruletacomo la que se muestra en el dibujo.Pueden usar cartoncillo u otro material, loimportante es que la ruleta pueda girar.Sugerencia didáctica. Asegúrese de quelos alumnos tengan bien comprendidas lasinstrucciones; por ejemplo, si en el tercerturno cae 4, el alumno que fue numeradocon 4 se anota un punto o una X en elcasillero de la tabla que corresponde alturno 3. También se recomienda que ustedenumere a los alumnos del 1 al 4 cuantasveces sea necesario, y luego les pida queformen equipos de cuatro; otra manera deformar los equipos es colocando papelitosen una bolsa con números del 1 al 4 y quecada alumno tome uno (en la bolsa deberáhaber tantos papelitos como alumnos hayen el salón).Sugerencia didáctica. Algunos podríandecir que tienen más ventaja los números1 y 3; pídales que expresen las razones depor qué puede suceder eso y que realicenel juego.Respuesta. Los que tienen mayoresposibilidades de ganar son el 1 y el 3, puescada uno de ellos tiene iE de probabilidaden cada tiro. El 2 y el 4 tienen i deprobabilidad cada uno.Propósitos de la secuenciaReconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en lanoción de resultados equiprobables y no equiprobables.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1¿Cuál es la mejor opción?Analizar la diferencia entre un juego de azar justo y unoinjusto considerando la probabilidad clásica.2RuletasReconocer las condiciones necesarias para que un juego deazar sea justo, con base en la noción de resultados equipro-bables y no equiprobables.Interactivo“La ruleta”3Juegos con dadosReconocer las condiciones necesarias para que un juego deazar sea justo a partir de las reglas que se dan en el juego.4QuinielasReconocer las condiciones necesarias para que un juego deazar sea justo a partir de los premios que se reparten.VideoPronósticos nacionalesInteractivo“Lanza monedas”EjeManejo de la información.TemaNociones de probabilidad.AntecedentesEn la secuencia 24 los alumnos tuvieron laoportunidad de enumerar los posiblesresultados de una experiencia aleatoria,estudiaron cómo utilizar la escala de laprobabilidad entre 0 y 1 y establecieron cuálde 2 o más eventos en una experienciaaleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir.Esos conocimientos son necesarios en estasecuencia para poder establecer si un juego esequitativo o no de acuerdo con determinadascondiciones.
  • 203. 205Respuesta. Es muy probable que nose obtengan los mismos resultados.Propósito de la actividad. En estecaso, todos los sectores de la ruletason iguales y los números aparecen2 veces cada uno; es decir, todoslos jugadores tienen las mismasoportunidades de ganar.Sugerencia didáctica. Si lo consideranecesario, recuerde a los alumnos quela probabilidad frecuencial se basa enlos resultados del juego: el númerode veces que cayó el número ganadorsobre el número de eventos.IMATEMÁTICAS205JugadorTurnos Totaldepuntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Jugador 1Jugador 2Jugador 3Jugador 4d) ¿Qué número fue el ganador?e) ¿Cuál crees que es la razón por la cual ganó?f) Si vuelven a jugar, ¿crees que gane el mismo número?¿Por qué sí o por qué no?Comparen sus respuestas.Manos a la obra1. Ahora van a jugar utilizando la ruleta 2.Las reglas del juego siguen siendolas mismas que en el juego anterior.a) Registren los resultados en la tabla.b) ¿Hay algún jugador o número que tenga mayor posibilidad de salir ganador?c) ¿Qué número fue el ganador?d) De acuerdo con los resultados registrados en la tabla, ¿cuál es la probabilidadfrecuencial del número ganador?Ruleta 2JugadorTurnos Totaldepuntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Jugador 1Jugador 2Jugador 3Jugador 4
  • 204. 206Propósito de la actividad. En estaruleta todos los sectores son delmismo tamaño y los números aparecenuna sola vez cada uno; en ese sentido,esta ruleta es equivalente a la ruletaanterior porque todos los númerostienen la misma posibilidad de ganar.Sin embargo, esto no significa queal realizar el juego el ganador seael mismo de la ruleta anterior, nitampoco que ya no podrá ganar.Propósito de la actividad. Con estatabla los alumnos podrán determinarsi el juego con cada una de las ruletases justo o no. Para ello, será necesariocálcular la probabilidad clásica decada evento, para después podercompararlas. Algo importante que losalumnos deben comprender es que losresultados que obtuvieron al realizarlos juegos no necesariamente reflejansi el juego es justo o no, sino querequieren hacer otros análisis de lascondiciones del juego (en este casocomparar las características de cadaruleta y la probabilidad clásica de loseventos); cuando no se hacen estosanálisis, las personas suelen atribuira cuestiones de suerte el que ganen opierdan en un juego.secuencia 35206ii. Se utiliza la ruleta 3 para realizar el juego y las reglas no cambian.a) ¿Quién creen que gane?b) ¿Hay algún jugador que tenga más posibilidadesde ganar?¿Por qué?d) De acuerdo con los resultados registrados en la tabla, ¿cuál es la probabilidad deque caiga 3?e) ¿Y de que caiga 2?f) De acuerdo con los resultados obtenidos en cada juego, ¿consideran que hayalguna ruleta que favorece a un jugador?¿Por qué?iii. Van a comparar los tres juegos. Para ello es necesario calcular las siguientes probabi-lidades clásicas.EventoProbabilidad en laruleta 1Probabilidad en laruleta 2Probabilidad en laruleta 3Caer 1Caer 2Caer 3Caer 4Ruleta 3JugadorTurnos Totaldepuntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30Jugador 1Jugador 2Jugador 3Jugador 4c) Registren los resultados en la siguiente tabla. iE iW rQ iQ iW rQ iE iW rQ iQ iW rQ
  • 205. 207Respuestas.a) El juego con la ruleta 1 no esequitativo, pues algunos númerostienen mayores probabilidades decaer que otros.b) Los juegos con la ruleta 2 yla ruleta 3 son justos. Todoslos números tienen la mismaprobabilidad de caer.c) Ruleta 2 y ruleta 3. Puedeobservarse que iW es equivalente a rQ5Sugerencias didáctica.Pida a una pareja de alumnosque elabore un cartel con estainformación para que se pegue o secuelgue en una de las paredes delsalón. Para comentar esta informaciónpuede indicarles que vean si secumplen estas condiciones en algunade las ruletas que revisaron enesta sesión. Posteriormente pídalesque copien la información en suscuadernos.Propósito de la sesión. Reconocerlas condiciones necesarias para que unjuego de azar sea justo, con base en lanoción de resultados equiprobables yno equiprobables.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos trabajen en equiposy que la última actividad la hagan enparejas.Materiales. Solicite a los alumnos quepreviamente elaboren las ruletas quese indican para esta sesión.Respuesta. En la ruleta B y en laruleta C hay más probabilidad de quecaiga 1.IMATEMÁTICAS207a) De acuerdo con las probabilidades clásicas obtenidas, ¿qué juego no fue justo oequitativo?b) ¿Qué juego es justo?c) ¿Qué juegos son equivalentes? ¿Por qué?A lo que llegamosAntes de iniciar el juego responde, ¿qué ruleta creen que gane?Después de realizar el juego, ¿creen que si vuelven a jugar, ganará la misma ruleta?¿Por qué?Comparen sus respuestas.Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer:• Si en cada turno o partida todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar.• Si las probabilidades de todos los jugadores son diferentes, es justo que a quien elijael número con menor probabilidad se le dé un mayor premio para compensar.• Reglas del juego que no favorezcan a ninguno de los jugadores.RuletasPara empezarEn esta sesión aprenderás a identificar qué elementos (ruletas, dados, etc.) cambiar en eljuego para que sea justo.Consideremos lo siguienteVan a jugar a la ruleta. Cada alumno elige la ruleta con la que desea jugar y la hace girar5 veces. Gana el jugador que más veces haya obtenido el número 1.sesión 2Ruleta A Ruleta B Ruleta C.
  • 206. 208Propósito de las preguntas. Altiempo que los alumnos juegan,pueden observar los diferentesresultados que es posible obteneral girar las ruletas. Al calcular laprobabilidad frecuencial ellos puedenrealizar algunas conjeturas, perosi nuevamente realizan el juegono necesariamente obtendrán losmismos resultados. Los alumnos vanconstruyendo gradualmente algunasrazones sobre por qué sucedenesos resultados, las cuales tendránoportunidad de contrastar conotras situaciones.Respuestas. En la ruleta A laprobabilidad clásica de que caiga en 1es rQ . En la ruleta B y en la ruleta C laprobabilidad clásica de que caiga en1 es wQ .El juego no es justo porque es másprobable ganar con las ruletas B y C.Propósito del interactivo. Explorardiferentes ruletas para reconocer lascondiciones necesarias para que unjuego de azar sea justo.secuencia 35208Manos a la obrai. Anoten los resultados en la tabla y contesten las siguientes preguntas.Jugador dela ruletaPuntos en cada ronda Total de puntos(número total de vecesque cayó 1)1ª 2ª 3ª 4ª 5ªABCa) ¿Quién ganó?b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de caer 1 en cada ruleta?c) Si realizaran el juego una vez más, ¿quién crees que gane ahora?d) De acuerdo con los resultados de todos los equipos del grupo, ¿cuál es la ruletaque más veces ganó?ii. Analicen la situación anterior contestando las siguientes preguntas.a) Comparen la ruleta a con la ruleta B, ¿con cuál se tiene más oportunidades deganar? ¿Por qué?b) ¿Y entre las ruletas B y c?c) ¿Cuál es la probabilidad clásica o teórica de obtener 1 en la ruleta a?d) En la ruleta B, ¿cuál es la probabilidad clásica de obtener 1?e) Finalmente, ¿cuál es la probabilidad clásica de obtener 1 en la ruleta c?f) De acuerdo con la probabilidad de obtener 1 en cada ruleta, ¿consideras que eljuego es justo? ¿Por qué?Como ves, el juego con las ruletas no es justo porque la probabilidad de obtener 1 enla ruleta a es menor que en las otras dos ruletas.
  • 207. 209Integrar al portafolios. Cada alumnodebe construir una ruleta equivalentea las ruletas B y C; si la mayoría de losalumnos construyeron la misma ruleta,pídales que traten de encontrar otrau otras diferentes y las comparen. Losalumnos tendrían que considerar quela probabilidad clásica de que caigaen 1 en la ruleta que van a elaborar,debe de ser wQ..2Sugerencia didáctica.Pida a los alumnos que comparen estainformación con la del apartado A loque llegamos de la sesión anterior,y que identifiquen qué condiciónse agrega para determinar si unjuego es justo o no. Una vez que lahayan identificado será necesarioque agreguen esa información a lasnotas que ya habían escrito en suscuadernos.IMATEMÁTICAS209III. Si quieren que el juego sea justo utilizando tres ruletas, tendrían que cambiar la ru-leta A.a) ¿Cómo tendrían que rotular o etiquetar la nueva ruleta para realizar el juego?Utilicen el dibujo para representar la nueva ruleta.Ruleta Db) ¿Cómo la etiquetaron otros compañeros?c) ¿Son diferentes? ¿En qué son diferentes?d) ¿En qué son iguales?e) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener 1 en cada ruleta?Tu ruleta Ruleta de otro compañerof) En tu grupo, ¿alguien etiquetó la ruleta de diferente manera que las de tu equipo?Anoten cómo lo hizoA lo que llegamosPara poder determinar si el juego es justo, no es suficiente considerarlos resultados obtenidos en las rondas. Como habrás observado, enalgunos equipos ganó una ruleta y en otros otra. En este caso, paradeterminar si un juego es justo se requiere calcular la probabilidadclásica o teórica del evento que interviene en el juego.
  • 208. 210Propósito de la sesión. Reconocerlas condiciones necesarias para que unjuego de azar sea justo, a partir de lasreglas que se dan en el juego.Organización del grupo. Se sugiereque los alumnos trabajen en parejas.Materiales. Solicite a los alumnosque elaboren con anticipación losdados que se describen en el apartadoConsideremos lo siguiente.Propósito de la actividad. Que losalumnos experimenten con diferentesobjetos qué condiciones se deben darpara que un juego sea justo; en estecaso, se trata de un juego con dadosde diferente forma.secuencia 35210Juegos Con dadosPara empezarEn esta sesión realizarás juegos con dados de formas diferentes y aprenderás a distinguircuándo un juego es justo y cuándo no.Consideremos lo siguienteUn dado común tiene seis caras cuadradas; pero hay otros con cuatro caras triangulares.Van a necesitar dos dados, uno con seis caras y otro con cuatro. Si no los tienen, utilicenlos siguientes desarrollos planos para armarlos. Cópienlos en cartoncillo y armen unocada quien.sesión 3Dado ALance cada quien el dado que armó. Cuando alguno obtenga el número 3, avanza unacasilla. El juego termina cuando alguno de los jugadores llega primero a la meta. ¿Concuál dado crees que se obtenga primero el número 3?Si en vez de avanzar cuando se obtiene el número 3 lo hacen cuando se obtiene un nú-mero impar, ¿alguno de los dados tiene más posibilidades de ganar que otro?¿Por qué?Comparen sus respuestas.Dado BDado ARespuesta. En el dado 1 laprobabilidad clásica de obtener el 3es rQ . En el dado 2 es yQ . Es másprobable que salga primero un 3 en eldado 1.Respuesta. Es la misma probabilidad.En el dado 1 la probabilidad clásica deobtener un número impar es rW , en eldado 2 es yE . Son equivalentes.
  • 209. 211IMATEMÁTICAS211Manos a la obraI. Realicen el primer juego. Lance cada quien su dado. Cuando alguno obtenga el nú-mero 3, avanza una casilla.INICIODado AMETADado Ba) ¿Quién creen que gane?b) Después de veinte lanzamientos, ¿qué jugador ha avanzado más casilleros?c) ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar el dado cúbico?d) ¿Y del dado tetraédrico?e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 en el dado cúbico?f) ¿Y en el dado tetraédrico?II. Realicen el juego. Lance cada quien su dado, pero ahora avancen cada vez que cae unnúmero impar.INICIODado AMETADado Ba) ¿Quién creen que gane ahora?b) Después de 10 lanzamientos, ¿qué jugador ha avanzado más casilleros?c) Expliquen qué sucede si en vez de avanzar cuando cae 3, se avanza cuando cae unnúmero impar.d) ¿Cuál es la probabilidad del evento caer un número impar en el dado cúbico?e) ¿Y cuál es la probabilidad del evento caer un número impar en el dado tetraédrico?Sugerencia didáctica. Es importanteque los alumnos lleven el registro delnúmero de lanzamientos, pues estedato les será necesario para responderel inciso b).Respuestas.c) 1, 2, 3, 4, 5 y 6d) 1, 2, 3 y 4e) yQf) rQPropósito de la actividad. En estaactividad lo que están cambiando es elevento a partir del cual se obtienen losresultados, a diferencia de la sesiónanterior, donde cambiaban las ruletaspero el evento (caer 1) se mantenía.Es importante determinar los espaciosmuestrales (es decir, todos losresultados posibles) y calcular laprobabilidad en cada dado del evento.Sugerencia didáctica. Es importanteque los alumnos lleven el registrodel número de lanzamientos, pueseste dato les serán necesario pararesponder el inciso b).Respuestas.d) yEe) rW
  • 210. 212secuencia 35212A lo que llegamosComo ves, en este juego los eventos caer un número impar y caer 3en cada dado son las reglas principales con las cuales se realiza cadajuego.iii. Cada quien escriba un evento para que al jugar con el dado tetraédrico siempre seaposible avanzar.a) Con ese evento, calcula la probabilidad de avanzar una casilla con cada dado:Dado cúbico Dado tetraédricob) Intercambien sus eventos. Escribe el evento de tu compañero.c) ¿Qué probabilidad tiene de ocurrir el evento de tu compañero con cada dado?Dado cúbico Dado tetraédricoComparen sus respuestas y comenten:• ¿Con los eventos que propusieron, siempre avanza el dado tetraédrico?• En cada caso, ¿qué sucede con el dado cúbico?• Existirá algún otro evento diferente en el cual siempre avance el dado cúbico?iV. Escriban un evento para que con ambos dados se tenga la misma probabilidad deavanzar.a) Con ese evento, calcula la probabilidad de avanzar una casilla con cada dado:Dado cúbico Dado tetraédricob) Intercambia tu evento con el de un compañero. Escribe el evento de tu compañero.c) ¿Qué probabilidad tiene de ocurrir el evento de tu compañero con cada dado?Dado cúbico Dado tetraédricoComparen sus respuestas.A lo que llegamosExisten juegos de azar en los que las reglas con las cuales se realizadan mayor ventaja a un resultado que a otro. Esto sucede cuando laregla del juego corresponde a un evento que tiene mayor probabili-dad de suceder que otro.Propósito de la información. Enlas siguientes actividades se le llamaregla al evento que se considerapara determinar las condiciones pararealizar el juego. En cada dado varíala probabilidad de que ocurra cadauna de las reglas .Posibles respuestas.Cae un número menor que 5.Cae algún número entre 1 y 4.El número es mayor que 0 y menorque 5.Cae un número con una cifra.Cae un número menor que 10.Sugerencia didáctica. Se espera quela respuesta sea afirmativa, pero encaso de que no sea así, invite a losalumnos a que revisen nuevamentelos eventos que escribieron.Posibles respuestas.Cae un número par.Cae un número impar.Cae 10 (nunca se avanza).
  • 211. 213IMATEMÁTICAS213QuinielasPara empezarEn esta sesión analizarás las condiciones de algunos juegos de azar y de-terminarás el premio del juego para que cada participante tenga la mismaoportunidad de ganar.Pronósticos nacionalesPara ganar el premio mayor en una quiniela de futbol, es necesario queaciertes a los resultados de 14 partidos de futbol soccer. Estos partidospueden ser de la primera división, de la primera A o internacionales.El objetivo es tratar de obtener el mayor número de aciertos, ya que, ade-más del premio mayor, existen otros inferiores. El resultado de cada en-cuentro es el que se obtiene en los 90 minutos de juego regular. La quinie-la sencilla cuesta $10.00 y sólo se puede marcar una opción de resultadopor encuentro: LOCAL, EMPATE O VISITANTE.Existen quinielas dobles y triples, pero sus costos son diferentes.Consideremos lo siguienteUn grupo de 20 amigos organizó una quiniela formada con los dos partidos de ida desemifinal del campeonato de apertura 2005 del futbolde primera división:Cada participante debe pagar $15.00 y sólo se puedemarcar una opción de resultado por encuentro: LOCAL,EMPATE O VISITANTE.a) El ganador de la quiniela es el que acierte al resulta-do de los dos partidos. ¿Cuál es la probabilidad deacertar en estos resultados?Comparen sus respuestas.Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas.a) De acuerdo con los resultados que se pueden dar en el encuentro de futbolToluca-Pachuca, ¿qué probabilidad hay de que el resultado sea empate?b) ¿Y de que gané el visitante?c) Cada integrante del equipo debe llenar una quiniela sencilla. Al compararlas,¿marcaron los mismos resultados?¿Por qué?d) ¿Cuántas formas diferentes de llenar la quiniela sencilla hay?sesión 4fuTbOl dE PrIMErA dIvIsIóNsEMIfINAl CAMPEONATO dE APErTurA 2005partidos de idaTIgrEs MONTErrEyTOluCA PAChuCAlOCAl EMPATE vIsITANTEPropósitos de la sesión. Reconocerlas condiciones necesarias para que unjuego de azar sea justo, a partir de lospremios que se reparten.Organización del grupo. Se sugiereque el problema inicial y la primeraactividad del Manos a la obra seresuelva en equipos, y posteriormenteque trabajen en parejas.Sugerencia didáctica: Pida a losalumnos que lean el ejemplo que semuestra de una quiniela. Preguntequiénes han llenado alguna vez unade ellas; pida a esos alumnos queexpliquen a los demás qué quierendecir los términos local, visitante,empate, y que comenten cómose llena la quiniela. Aproveche estemomento para que los alumnosintercambien con el grupo lo quesaben al respecto.Propósito de la actividad. Tal vezalgunos alumnos han visto o llenadouna quiniela; con esta actividad seespera que analicen algunos factoresque pueden influir en el resultadode la misma. Para ello, se idealizanciertas condiciones para que el análisispueda hacerse a partir de la cantidadde resultados que se pueden dar.Respuesta. La probabilidad deacertar es de oQ . Es probable quealgunos piensen que es de yQ , porqueson 3 posibilidades por partido.Si contestaron erróneamente, enel siguiente apartado tendránoportunidad de corregirlo.Respuestas.a) La probabilidad es de eQ .Son 3 resultados posibles.b) eQc) No necesariamente, cada unotiene su criterio para determinarel resultado.d) Hay 9 formas diferentes.Se calcula 3 × 3.Propósito del video. Conocer qué esy cómo se llena una quiniela.Identificar las posibilidades que setienen de ganar al jugar una quiniela.
  • 212. 214secuencia 35214e) Completen el siguiente diagrama de árbol para encontrarlas.Posibles resultados de los partidos de ida de la semifinal 2005TOLUCA-PACHUCA TIGRES-MONTERREY RESULTADOSLOCAL LOCAL LOCALLOCAL EMPATE LOCAL EMPATEVISITANTELOCAL EMPATE LOCALEMPATEVISITANTELOCALEMPATE VISITANTERecuerden que:La probabilidad clásica de un evento se obtiene dividiendoel número de los resultados favorables del evento entre elnúmero total de resultados posibles que se pueden dar enla situación de azar:número de resultados favorables del eventoP(evento)=número total de resultados posiblesfuTbOl dE PrIMErA dIvIsIóNCuArTOs dE fINAlCAMPEONATO dE APErTurA 2005partidos de idaTIgrEs AMérICATOluCA Cruz AzulMONTErrEy TECOslOCAl EMPATE vIsITANTEf) Con base en este conteo, ¿cuál es laprobabilidad de tener la quiniela gana-dora?ii. Consideren que en vez de jugarse dos partidos en la quiniela, aparecen tres:a) Cada integrante del equipo deberá llenar una qui-niela sencilla. Al compararlas, ¿marcaron los mis-mos resultados?¿Por qué creen que sucedió?b) ¿Cuántas formas diferentes de llenar la quinielahay?Propósito de la actividad. Eldiagrama de árbol o cualquier otrorecurso que utilicen para contar lesservirá de apoyo para encontrar losresultados.Respuesta. La probabilidad es oQEn un partido hay 3 resultadosposibles: empatar, ganar o perder.Entonces la probabilidad de acertar aun resultado es eQ ; si hay 2 partidos, laprobabilidad es eQ × eQ = oQEs decir, se multiplica la probabilidadde cada partido porque son resultadosindependientes.EmpateVisitanteLVE EE VL VV V VERespuestas. Hay 27 formas diferentesde llenarla. Se calcula 3 × 3 × 3..
  • 213. 215IMATEMÁTICAS215c) Completen el siguiente arreglo rectangular para encontrarlas.PARTIDOSRESULTADOSTIGRES-AMÉRICA TOLUCA-CRUZ AZUL MONTERREY-TECOSLOCAL LOCALLOCAL LOCALVISITANTEEMPATE LOCALLOCALEMPATE VISITANTELOCAL EMPATELOCAL VISITANTELOCAL LOCALEMPATE LOCALVISITANTEEMPATEEMPATEEMPATEEMPATE LOCALEMPATEVISITANTE VISITANTEVISITANTE LOCALVISITANTE EMPATELOCALVISITANTE LOCALEMPATEVISITANTE VISITANTEVISITANTEd) Con base en este conteo, ¿cuál es la probabilidad de tener la quiniela ganadora?III. Comparen sus resultados con los demás equipos completando la siguiente tabla.Total de resultados quepuede haber en 1 partidode futbolTotal de resultados quepuede haber en dospartidos de futbolTotal de resultados quepuede haber en trespartidos de futbolProbabilidad de acertar elresultado del partidoProbabilidad de acertar alos resultados de losdos partidosProbabilidad de acertara los resultados de lostres partidosRespuesta. Es de w Q u 3 9 27 eQ Qo w Q u.
  • 214. 216Respuestas.a) Se multiplica el 3 tantas vecescomo partidos haya.Sugerencia didáctica. Preguntecuál es la probabilidad de acertaren una quiniela con 14 partidos,como las que se utilizan en lospronósticos.b) Cuando son 3.Respuestas.a) Dos formas: Local-Local-Empate. Local-Empate-Empate.c) Tiene dos opciones sobre 9 casostotales. La probabilidad esde oWRespuestas. No es justa, porquees menos probable obtener elprimer lugar.Sugerencia didáctica. Es posibleque sea mejor iniciar revisando laspropuestas de la tabla en el inciso d),luego puede pedirles que hagannuevas propuestas.Respuesta.(Una forma de entenderlo es que elprimer lugar es el que acierta a los 3resultados. El segundo lugar es el queacierta a 2 resultados.)El primer lugar tiene wQ u deprobabilidad.El segundo lugar tiene w Y u deprobabilidad.Es decir que obtener el primer lugares 6 veces menos probable queobtener el segundo lugar.Lo justo es que el primer lugar reciba6 veces más de premio. Con $300pesos deben repartirse así:$257.14 al primer lugar.$42.86 al segundo lugar.Sugerencia didáctica. Quizá estosea complicado. Es mejor que ustedpermita que los alumnos decidan. Loimportante es que el primer lugardebe recibir más dinero que elsegundo lugar.secuencia 35216a) ¿Qué relación hay entre el número de partidos que se juegan y el número de re-sultados que se pueden obtener?b) ¿En qué caso es menor la probabilidad de acertar a los resultados: cuando es unsolo partido, cuando son dos o cuando son tres?iV. Si los resultados de los tres partidos fueron:Partido ResultadoTigres-América LocalToluca-Cruz Azul VisitanteMonterrey-Tecos EmpateY una persona falló sólo en el resultado del partido Toluca-Cruz Azul,a) ¿De cuántas formas diferentes pudo haber llenado su quiniela?b) Si con esos resultados gana el segundo lugar, ¿cuántas formas diferentes de ob-tener el segundo lugar hay?c) ¿Cúal es la probabilidad de obtener el segundo lugar?Un alumno propuso repartir el premio de $300.00 de la siguiente manera:Primer lugar: $150.00Segundo lugar: $150.00Y explicó: si el monto es de $300.00, lo divido en dos partes, es decir, $150.00 para cadaganador, porque en cada caso hay sólo una forma de acertar.d) ¿Consideran que esta forma de repartir los premios es justa?¿Por qué?e) Escriban una forma de repartir los premios que crean justa y coméntenla a sucompañero, no olviden explicar por qué la consideran justa.f) Las siguientes son algunas propuestas de repartir los premios al primero y segundolugar en acertar a los resultados de tres partidos. Escriban una razón para aceptaro rechazar cada propuesta.Premio Acepta Rechaza JustificaciónPrimer lugar: $200Segundo lugar: $100Primer lugar: $175Segundo lugar: $125.
  • 215. 217IMATEMÁTICAS217A lo que llegamosEn un juego de azar, si la probabilidad de un evento es mayor que lade otro, es justo asignar un mayor premio al evento de mayor proba-bilidad.Lo que aprendimos1. Al lanzar dos monedas, dos posibles resultados son:moneda 1 moneda 2águila águilaymoneda 1 moneda 2águila solVan a necesitar dos monedas no trucadas.Realicen el siguiente juego. Lance cada quien las dos monedas consecutivamente. Si tecaen dos águilas, ganas 1 punto. En otro caso gana 1 punto tu compañero. El juego ter-mina cuando alguno de los jugadores logra 5 puntos.a) ¿Qué otros resultados pueden ocurrir al lanzar dos monedas consecutivamente?b) ¿Quién ha obtenido más puntos?c) Completen el cuadro con los resultados de tu juego. Escriban en cada casilla elnúmero de veces que ha ocurrido ese resultado.d) Comparen sus resultados con los resultados que obtuvo su compañero.e) ¿Cómo podrían modificar el juego para que sea justo?Para saber másConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros delRincón, 2001.Sobre los diferentes juegos de lotería y quinielas que ofrecen la Lotería Nacional yPronósticos Deportivos, así como de la función social que desarrollan consulten:http://www.esmas.com./pronosticos [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].http://www.loterianacional.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Moneda 2Águila(A)Sol(S)Moneda1Águila(A)Sol(S)Respuestas. Son 4 posibles resultadosen total. Los 2 que se presentan:Águila-Águila.Águila-Sol.Y 2 más:Sol-Águila.Sol-Sol.Propósito del interactivo.Desarrollar la intuición sobre losposibles resultados de lanzar unamoneda en relación con el número deveces que se realicen los lanzamientos.Integrar al portafolios. Pida a losalumnos que calculen la probabilidadde atinarle a una quiniela con4 partidos y que digan cuántascombinaciones habría.
  • 216. 218Propósito de la sesión. Vincular una expresiónalgebraica a relaciones de proporcionalidad directa yconstruir tablas y gráficas a partir de dichas situaciones.Organización del grupo. A lo largo de la sesión haymomentos de trabajo grupal, en parejas e individual.Propósito del video. Reconocer las características delas representaciones tabular, gráfica y algebraica deuna relación de proporcionalidad directa.Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnosreconozcan una relación de proporcionalidad directa y lavinculen con una expresión algebraica. También se buscaque observen que una misma expresión algebraica puedeasociarse a varias situaciones.Sugerencia didáctica. Si los alumnos no están segurosde cuáles situaciones pueden asociarse a la expresión,sugiérales que prueben con distintos valores para xy vean si se cumple. Si eligen situaciones a las quees incorrecto asociarles la expresión, no los corrija ypermítales avanzar en la resolución de la sesión.Respuestas. En la situación a) interesa averiguarcuántos pesos se obtienen por cierta cantidad defrancos. Si y es la cantidad de pesos que se obtendránal hacer el cambio, x la cantidad de francos que van acambiarse y se sabe que por cada franco se obtienen2 pesos, entonces la situación sí tiene asociada laexpresión y = 2x.En la situación b) se sabe que cuando Luis tenga 16años será el doble de la edad de Laura, pero paracualquier otra edad de Luis esa diferencia ya no será deldoble, así que no puede asociársele la expresión porquela relación no es de proporcionalidad directa.En la situación c) se quiere averiguar el costo de ciertonúmero de llamadas (y ), cada llamada (x ) cuesta 2 pesos,por lo tanto, sí se le puede asociar la expresión y = 2x.En la situación d) interesa conocer cuántos pesosmexicanos (y ) se obtienen por cierta cantidad de pesosuruguayos (x ), y como por cada peso uruguayo seobtienen 50 centavos de peso mexicano, la expresiónno es correcta. La que correspondería es y = wQ x. Si lasituación fuera a la inversa, es decir, hallar cuántospesos uruguayos se obtienen al cambiar pesosmexicanos, la expresión sí correspondería.secuencia 36218En esta secuencia aprenderás a calcular valores faltantes a partir devarias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), relacionandolas representaciones que corresponden a la misma situación e identi-ficando aquellas que son de proporcionalidad directa.Gráficas, tablas y expresionesalGebraicas asociadas a problemasde proporcionalidad directaPara empezarElementos de la proporcionalidad directaComo han aprendido en las secuencias 31 y 32 de su libro de Matemáticas I, volumen IIlos problemas en los cuales están involucradas cantidades directamente proporcionalestienen los siguientes tres elementos que se deben tomar en cuenta para su resolución• La tabla.• La expresión algebraica.• La gráfica.A lo largo de esta secuencia estudiarán cómo usar estos 3 elementos de distintas formaspara resolver problemas de cantidades directamente proporcionales.Consideremos lo siguienteConsideren la expresión algebraica:y = 2x¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones tienen asociada la expresión algebraica ante­rior? Justifiquen sus respuestas.a) El tipo de cambio de francos franceses a pesos mexi­canos, si por cada franco francés se obtienen dospesos mexicanos.b) Las edades de Juan y Laura si se sabe que cuandoJuan cumpla 16 años, tendrá dos veces la cantidadde años que tendrá Laura.c) El costo de cierto número de llamadas si cada llamadacuesta dos pesos.sesión 1Recuerden que:El tipo de cambio defrancos franceses apesos mexicanos es lacantidad de pesosmexicanos que seobtienen al cambiar unfranco francés.Gráficas, tablasy expresionesalgebraicasPropósitos de la secuenciaCalcular valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas, tabulares yalgebraicas), relacionando las representaciones que corresponden a la mismasituación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1Gráficas, tablas y expresiones algebraicasasociadas a problemas de proporcionalidaddirectaVincular una expresión algebraica a relacionesde proporcionalidad directa y construir tablas ygráficas a partir de dichas situaciones.VideoElementos de laproporcionalidaddirectaAula de medios“Gráficas, tablas yexpresiones algebraicasasociadas a problemasde proporcionalidaddirecta”(Hoja de cálculo)2De la gráfica al problemaVincular una gráfica a relaciones de proporcio-nalidad directa y escribir la expresión algebraicacorrespondiente.EjeManejo de la información.TemaAnálisis de la información.AntecedentesEn secuencias anteriores los alumnos han trabajado conrelaciones directamente proporcionales, su representa-ción en tablas y gráficas, y la escritura de su expresiónalgebraica. En esta secuencia se pretende que losalumnos las reconozcan asociándolas con una tabla,gráfica y expresión algebraica correspondientes, y queencuentren valores faltantes a partir de cualquiera de susrepresentaciones.
  • 217. 219Sugerencia didáctica. Los alumnosya estudiaron el concepto dedependencia en la secuencia 27.Pregúnteles qué variable está enfunción de la otra en esta relación.Respuesta. La expresión es y = 2x.Respuestas. La expresión esv = u + 8, pero también podría seru = v − 8 porque en esta relaciónno se especifica qué variable está enfunción de la otra.3Sugerencia didáctica. Dé un espaciopara discutir grupalmente cuál de lastablas es de proporcionalidad directa.Pida a los alumnos que argumenten surespuesta.IMATEMÁTICAS219d) El tipo de cambio de pesos uruguayos a pesos mexicanos, si por cada dos pesos uru­guayos se obtiene un peso mexicano.Manos a la obraI. Encuentren la expresión algebraica que permite calcular la cantidad de pesos que seobtienen al cambiar determinada cantidad de francos, es decir, el tipo de cambio defrancos a pesos (situación del inciso a).Representen con la letra x la cantidad de francos que se van a cambiar y con la letray la cantidad de pesos que se obtienen al cambiar los francos.Encuentren la expresión algebraica asociada al aumento de las edades de Juan y Lau­ra. Representen con la letra u la cantidad de años que tiene Laura y con la letra v lacantidad de años que tiene Juan (situación del inciso b).Comparen sus expresiones y comenten cómo las encontraron.II. Completen las siguientes tablas para establecer cuál de las dos relaciones anterioreses de proporcionalidad directa.x(cantidad defrancos)y(cantidad de pesosmexicanos)u(edad de Juan)v(edad de Laura)0 16 81 2 135 118 1012 915 8Tabla 1 Tabla 2¿Cuál de las tablas anteriores es de proporcionalidad directa?III. Con la información de las tablas anteriores completenlas siguientes gráficas.Recuerden que:Dos cantidadesestán en propor-ción directa si alaumentar una (aldoble, triple, etc.),o al disminuir (a lamitad, la terceraparte, etc.), la otraaumenta (al doble,triple, etc.), odisminuye (a lamitad, terceraparte, etcétera).CantidaddepesosCantidad de francosyx0 1 2 3 4 5 6510152025307 8 9 10 11 12 13 14 15Edad de JuanEdaddeLaura012345678910v16u15141312111098765432101016243053210Posibles dificultades. Cuandoterminen de hacer las gráficasnotarán que ambas son rectas, loque puede hacer pensar a algunosalumnos que ambas relaciones sonde proporcionalidad directa. Si estoocurre, pídales que revisen la secciónA lo que llegamos de la secuencia 32,sesión 2, en donde se explicita cómodeben ser las gráficas que representanuna relación de proporcionalidaddirecta (en una recta que pasa por elorigen –el punto 0,0–, condición que lagráfica de las edades no cumple).
  • 218. 220Sugerencia didáctica. Es convenienteque se discuta el inciso d). Sí es unarelación de proporcionalidad directa,pero como se dijo antes,no corresponde a la expresiónalgebraica y = 2x.La expresión correcta para esasituación sería y = wQ x.Propósito de la actividad. Se pide alos alumnos hacer la tabla y la gráficacon la intención de que tengan máselementos para elegir cuál relaciónes de proporcionalidad directa y tieneasociada la expresión dada, o bien,para validar su respuesta cuando yahan hecho una elección. Una vez queterminen, pídales que regresen alConsideremos lo siguiente y si huboerrores corríjanlos.Integrar al portafolios. Conserveuna copia de las respuestas delos alumnos a esta actividad. Si loconsidera necesario, pídales quejustifiquen su respuesta haciendouna tabla o gráfica para mostrarque la relación que eligieron esde proporcionalidad directa y quecorresponde a la expresión dada.Respuestas. En la relación a) laganancia ( y ) es de 3 pesos porcada 2 pesos invertidos ( x ). Sí esde proporcionalidad directa, perono corresponde a la expresión dada.La expresión correcta sería y = wE x.Encontrar tal expresión puede serdifícil para los alumnos, lo importantees que reconozcan que la situación nocorresponde a la expresión dada.En la situación b) la velocidad deun automóvil ( y ) es el triple de lavelocidad de otro automóvil ( x ), porlo tanto sí es correcto asociarle laexpresión y = 3x.En la situación c) la producción de lamáquina ( y ) está dada por el tiempo( x ) que tarda en hacer una lata. Sien un segundo produce eQ de lata, laexpresión correcta sería y = eQ x.Es una relación de proporcionalidaddirecta, pero no le corresponde laexpresión dada.Propósito de la sesión. Vincularuna gráfica a relaciones deproporcionalidad directa y escribir laexpresión algebraica correspondiente.Organización del grupo. La sesión sesugiere trabajarla en parejas, exceptoel último apartado, que es individual.secuencia 36220iV. En sus cuadernos encuentren las expresiones, hagan las tablas y las gráficas corres­pondientes a las relaciones de los incisos c) y d) para determinar si las situacionestienen asociada la expresión algebraica del inicio de la sesión.A lo que llegamosPara determinar si una relación es de proporcionalidad directa sepuede hacer lo siguiente:• A partir de la relación, construir una tabla para encontrar algunosvalores y determinar si esta tabla es de proporcionalidad directa.• A partir de la tabla, construir la gráfica y determinar si los puntosestán en una línea recta que pasa por el origen.• Encontrar la expresión algebraica asociada a la situación y determi-nar si es de la forma y = kx, donde k es la constante de proporcio-nalidad.Puede suceder que distintas situaciones proporcionales tengan lamisma expresión algebraica asociada. Por ejemplo, dos de las relacionesde proporcionalidad de esta secuencia son distintas, pero tienenasociada la misma expresión algebraica: y = 2xLo que aprendimos1. Considera la siguiente expresión algebraica:y = 3x¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones tienen asociada la expresión algebraica ante­rior? Justifica tu respuesta.a) Las ganancias en términos de la cantidad de dinero invertido, si se sabe que porcada dos pesos invertidos se ganan tres pesos.b) Las velocidades de dos automóviles si uno va al triple de velocidad que el otro.c) Una máquina produce una lata cada tres segundos. ¿Cuántas latas producirá en xsegundos?De la Gráfica al problemaPara empezarEn la secuencia 32 del libro de Matemáticas I graficaste relaciones de proporcionalidaddirecta. Recuerda que en el plano cartesiano, los puntos de una gráfica se localizan concoordenadas, como (a, B). A la primera coordenada a se le llama abscisa, y a la segundacoordenada B se le llama ordenada.Por ejemplo, el punto (1, 5) tiene como abscisa 1 y como ordenada 5.Completa la siguiente tabla, donde se pide encontrar las abscisas y las ordenadas devarios puntos del plano cartesiano.SeSiÓN 2
  • 219. 221Propósito de la actividad. Sequiere que los alumnos recuerden lostérminos de abscisa y ordenaday que se familiaricen con coordenadasque no son números enteros.2Propósito de la actividad. Sepretende que los alumnos relacionenuna o más relaciones a una gráficade proporcionalidad directa. Silos alumnos eligen relaciones queno corresponden a la gráfica nolos corrija, más adelante tendránoportunidad de verificar susrespuestas.Respuestas. La situación a) no esde proporcionalidad directa, aunqueen la recta puedan encontrarse lascoordenadas correspondientes a lasedades de Diana y Héctor (20, 50).De acuerdo con el enunciado, cuandoDiana tenía 10 años su papá tenía40, y ese punto (10, 40) ya no estáen la recta. Además, no es cierto quecuando Diana tenía 0 años, su papátambién tenía 0 años, por lo tanto, larecta correspondiente a esa relaciónno pasaría por el origen.En la situación b), 20 libros igualestienen una altura de 50 cm, por lotanto se espera que 10 de esos librosalcancen una altura de 25 cm, y que0 libros tengan una altura de 0 cm,por lo tanto sí es una situación deproporcionalidad directa a la quepuede asociársele la gráfica dada.IMATEMÁTICAS221Punto en el planocartesianoAbscisa delpuntoOrdenada delpunto(1, ) 1( , 7)( , )( , )Consideremos lo siguienteLa siguiente gráfica representa una relación de proporcionalidad directa:¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones pueden asociarse con la representación deesta gráfica? Justifiquen su respuesta.a) La relación entre las edades de Héctor y su hija Diana, si se sabe que ahora Héctortiene 50 años y su hija 20 años.b) La relación entre la altura y la cantidad de libros, si se sabe que 20 libros alcanzan unaaltura de 50 cm.c) El costo de distintas cantidades de caramelos. Una bolsa con 50 caramelos cuesta$20.Manos a la obraI. Respondan las siguientes preguntas para encontrar cuáles de las tres situaciones corres­ponde la gráfica anterior.a) ¿Qué edad tenía Héctor cuando Diana nació? (se considera que Diana tiene 0 añosal nacer).504030201010 20(20, 50) wQ 7 rE Q tU Q rW La relación c) es de proporcionalidaddirecta porque los datos dan lugara una recta y porque 0 carameloscuestan 0 pesos (la recta sí pasa por elorigen). Se le puede asociar la gráficadada porque con 10 pesos se puedencomprar 25 caramelos (10, 25), con2 pesos 5 caramelos (2, 5), etc.,y todos esos puntos se encuentransobre la recta dada.Respuestas.a) Héctor tenía 30 años.La expresión correcta para esasituación es y = x − 30.
  • 220. 222Respuestas.b) 20 libros tienen un grosor de50 cm, entonces cada libro tieneun grosor de wT pP cm, que tambiénpuede escribirse como wT de cmo 2.5 cm.Una expresión para esa situaciónsería y = wT pP x. También podríaescribirse como y = 2.5x si sepiensa que cada libro tiene unaaltura de 2.5 cm.Respuestas.c) Si con $2 puede comprar 5caramelos, con $8 compraría 20caramelos. La expresión seríay = 2.5xsecuencia 36222Completen la siguiente tabla para determinar algunas de las edades de Diana apartir de la edad de Héctor:Edad de Héctor Edad de Diana50 20603058Tabla 1Encuentren la expresión algebraica asociada a esta relación. Representen con laletra x la edad de Héctor y con la letra y la edad de Diana.b) ¿De qué grosor es cada libro?Completen la siguiente tablaNúmero de librosAltura que tienen apilados(cm)20 501028Tabla 2Encuentren la expresión algebraica asociada a esta relación. Representen con laletra x el número de libros y con la letra y la altura.c) ¿Cuántos caramelos compró Óscar si pagó 8 pesos?Completen la siguiente tabla para determinar el número de caramelos que secompran con distintas cantidades de dinero:Precio (en pesos) Número de caramelos20 501028Tabla 3Encuentren la expresión algebraica asociada a esta relación. Representen con laletra x la cantidad en pesos y con letra y el número de caramelos que compran.300282552025520
  • 221. 223Sugerencia didáctica. Solicite querevisen sus respuestas al apartadoConsideremos lo siguiente y corrijan sies necesario.Integrar al portafolios. Pidaa los alumnos una copia de susrespuestas a las actividades I y IIde este apartado. Si considera quepuede ser de utilidad, sugiérales quehagan una tabla para verificar quehayan escogido la situación correctay facilitar la escritura de la expresióncorrespondiente.Respuestas. La segunda situaciónes la que tiene asociada la gráficadada, porque 2 pesos son equivalentesa 1 franco, lo que en la gráficacorresponde al punto (2, 1). Laexpresión sería y = wQ x.La primera no, porque 2 pesosmexicanos corresponden a 4 quetzalesguatemaltecos. La expresiónsería y = 2x.IMATEMÁTICAS223A lo que llegamosPuede suceder que distintas relaciones de proporcionalidad directa tengan asociada lamisma gráfica. Por ejemplo, al graficar las relaciones de proporcionalidad de los incisosb) y c) se obtienen puntos que están sobre la misma línea recta.Además, si las relaciones de proporcionalidad tienen asociada la misma gráfica, enton-ces tienen asociadas las mismas expresiones algebraicas.1. A continuación se presentan dos relaciones de proporcionalidad directa:• El tipo de cambio de pesos a quetzales guatemaltecos. Recuerda que 5 pesosmexicanos equivalen a 10 quetzales guatemaltecos.• El tipo de cambio de pesos a francos. Recuerda que 10 pesos mexicanos equivalena 5 francos franceses.2. Encuentra las expresiones algebraicas asociadas a las relaciones de proporcionalidadanteriores. Compara tus gráficas y tus expresiones con un compañero.Para saber másSobre el tipo de cambio entre monedas de distintos países consulta:http://www.oanda.com/convert/classic?user=etravetware lang=es[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].1514131211109876543210301 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28Lo que aprendimosEncuentra cuál de las siguientes relaciones de proporcionalidad tiene asociada la si­guiente gráfica:
  • 222. 224Propósito de la sesión. Construir y analizartablas para determinar valores faltantes enuna relación de proporcionalidad inversa.Organización del grupo. La sesión seresuelve en parejas, excepto el últimoapartado, que es individual.1Propósito de la actividad. Los alumnos vana explorar relaciones de proporcionalidadinversa y formas correctas e incorrectas deresolver los problemas que se plantean.Posibles dificultades. Es común quelos alumnos traten de resolver relacionesde proporcionalidad inversa utilizandoprocedimientos que han aprendido para laproporcionalidad directa, más aún porque suexperiencia con la proporcionalidad inversaes mucho menor que la que han adquiridocon la directa. Si los alumnos no reconocenla diferencia entre las situaciones planteadasen esta secuencia y las de proporcionalidaddirecta, no trate de explicárselas en estemomento. En el apartado Manos a la obra sepresentan procedimientos de resolución paraque puedan analizarlos juntos y conocer laspropiedades de la proporcionalidad inversa.Respuestas.a) El total de agua son 2 400 , si se reparteen 4 tambos cada uno debe tener unacapacidad de 600 .b) Los 2 400 se reparten en 12 tambos, cadauno debe tener una capacidad de 200 .secuencia 37224En esta secuencia aprenderás a identificar y resolver relaciones deproporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.El aguaPara empezarEl agua es un líquido esencial para la vida en nuestro planeta. Aunque la Tierra estáconstituida por 75% de agua, menos de 1% se puede usar para el consumo humano.Como te podrás dar cuenta, es muy importante cuidar del agua, ya que sin ella la vidano sería posible.Consideremos lo siguienteSe tiene almacenada agua en 8 tambos de 300 litros de capacidad cada uno. Hay quepasar el agua a tambos de otra capacidad.a) Si se quisiera pasar toda el agua a 4 tambos de igual tamaño, ¿cuántos litros de ca-pacidad debería tener cada tambo?b) Si se quisiera pasar toda el agua a 12 tambos de igual tamaño, ¿cuántos litros decapacidad debería tener cada tambo?Manos a la obrai. En otra escuela hicieron el mismo problema y encontraron dos procedimientos paracalcular la capacidad de cada tambo si se quiere almacenar toda el agua en 12 tambos.• En el equipo 1 hicieron el siguiente diagrama:8 tambos 300Entre 2 + + Entre 24 tambos 15012 tambos 450Dijeron que para almacenar toda el agua en 12 tambos cada tambo debería tener capa-cidad de 450 litros.sEsión 1ProporcionalidadinversaPropósitos de la secuenciaIdentificar y resolver relaciones de proporcionalidad inversamediante diversos procedimientos.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos1El aguaConstruir y analizar tablas para determinarvalores faltantes en una relación deproporcionalidad inversa.2La velocidadAsociar la expresión algebraica correspon-diente a problemas de cantidades inversa-mente proporcionales.VideoLa velocidad constanteInteractivo“Variación proporcionalinversa y gráficas 1”3La hipérbolaAsociar la expresión algebraica correspon-diente a problemas de relaciones inversa-mente proporcionales y construir la gráficacorrespondiente.Interactivo“Variación proporcionalinversa y gráficas 2”Aula de medios“La hipérbola”(Hoja de cálculo)EjeManejo de la información.TemaAnálisis de la información.AntecedentesLos alumnos han tenido contacto principalmente conrelaciones de variación proporcional directa, suspropiedades y sus representaciones. En esta secuenciaconocerán otro tipo de variación: la proporcionalidadinversa. También elaborarán tablas y gráficas paraconocer valores faltantes y conocerán algunas de suspropiedades.
  • 223. 2252Respuestas.a) 2 400 .b) Son 12 tambos, cada uno con unacapacidad de 450 , así que entotal se almacenan 5 400 .c) Si cada uno de los 12 tambos tieneuna capacidad de 200 , en total sealmacenan 2 400 .Sugerencia didáctica. Analicen latabla cuando terminen de llenarla.Pregunte a los alumnos qué diferenciaso similitudes encuentran en estatabla con respecto a las de variaciónproporcional directa. Si ningún alumnolo comenta, dígales que observenque mientras mayor es el númerode la columna izquierda (número detambos), menor es el de la derecha(capacidad de cada tambo).IMATEMÁTICAS225• En el equipo 2 hicieron la siguiente tabla:x(Número de tambos)y(Capacidad de cada tambo en litros)8 3004 60012 200Dijeron que para almacenar toda el agua en 12 tambos, cada tambo debería tener capa-cidad de 200 litros.Comenten:a) ¿Cuántos litros de agua hay almacenados en 8 tambos de 300 litros cada uno?b) ¿Cuántos litros de agua se almacenan con la solución dada por el equipo 1?c) ¿Cuántos litros de agua se almacenan con la solución dada por el equipo 2?II. Completen la siguiente tabla para calcular la capacidad que debe de tener cada tam-bo para almacenar 2 400 litros de agua.x(Número de tambos)y(Capacidad de cada tambo en litros)8 300421312III. Respondan las siguientes preguntas:a) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros de agua en 10 tambos, ¿qué capacidad de-bería tener cada tambo?b) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros en un solo tambo, ¿qué capacidad deberíatener?c) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros en 32 tambos, ¿qué capacidad debería tenercada tambo?Entre 2Por 3Por 2Entre 36001 2002 400800200Respuestas.a) 240 .b) 2 400 .c) 75 .
  • 224. 226Respuestas.a) Se multiplica por 2 el número detambos.b) Se divide entre 5 el número detambos.c) Si el número de tambos aumentaal doble, la capacidad se divideentre 2. Si el número de tambosdisminuye la cuarta parte, lacapacidad se multiplica por 4.Sugerencia didáctica. Revisenlas respuestas a las preguntas delapartado Consideremos lo siguiente ycorrijan si es necesario.Sugerencia didáctica. Comentenesta información. Haga énfasis en quelos procedimientos que aprendieronpara resolver problemas en relacionesde proporcionalidad directa no lesserán útiles cuando se trate derelaciones de proporcionalidad inversa.Puede poner algún ejemplo paraaclararlo.Integrar al portafolios. Revise lasrespuestas de los alumnos a estaactividad. Si fuera necesario, pídalesque hagan una tabla para averiguarlas respuestas.Respuestas.a) Con 60 pasajeros cada uno paga$30.b) $90.c) $120.d) El número de alumnos que va a laexcursión y la cantidad que pagacada uno.Propósito de la sesión. Asociar laexpresión algebraica correspondiente aproblemas de cantidades inversamenteproporcionales.Organización del grupo. En la sesiónse sugieren momentos de trabajoindividual, en parejas y grupal.Propósito del video. Ejemplificar lanoción de velocidad constante.secuencia 37226Comenten:a) Si se divide entre 2 la capacidad de cada tambo, ¿qué sucede con el número de tam-bos necesarios para almacenar los 2 400 litros de agua?b) Si se multiplica por 5 la capacidad de cada tambo, ¿qué sucede con el número detambos necesarios para almacenar los 2 400 litros de agua?c) ¿Qué pasa con la capacidad de cada tambo cuando el número de tambos aumenta aldoble?, ¿y si el número de tambos disminuye a la cuarta parte?A lo que llegamosDos cantidades son inversamente proporcionales si al aumentar unaal doble la otra disminuye a la mitad, al aumentar al triple la otradisminuye a la tercera parte, y así sucesivamente.Por ejemplo, en el problema de esta sesión el número de tambos quese emplean para almacenar el agua y la capacidad que tiene cada unode los tambos son cantidades inversamente proporcionales.Lo que aprendimos1. En una escuela se va a organizar una excursión y van a contratar un autobús quetiene 60 asientos. El autobús les cobra $1 800.00 por el viaje.a) Si el autobús se llena, ¿cuánto debe pagar cada pasajero por el viaje?b) Si solamente van 20 alumnos a la excursión, ¿cuánto debe pagar cada pasajero?c) Si solamente van 15 alumnos a la excursión, ¿cuánto debe pagar cada pasajero?d) ¿Cuáles son las cantidades que son inversamente proporcionales en este problema?la vElocidadPara empezarLa velocidad constanteEn las secuencias 6 y 31 del libro de Matemáticas I estudiaste problemas relacionadoscon la velocidad de un automóvil en términos de la distancia recorrida y el tiempo quetarda en recorrerse. En está sesión continuaremos con el estudio de problemas de velo-cidad.SESiÓN 2
  • 225. 227Sugerencia didáctica. Antes deempezar a responder, pregunte a losalumnos cuál es la distancia que hayentre la Ciudad de México y la deVeracruz. Si el viaje dura 6 horas auna velocidad promedio de 70 km porhora, hay una distancia de 420 km.Respuestas.a) 35 km/h.b) 140 km/h.c) 84 km/h.Sugerencia didáctica. Si los alumnostienen dificultades para llenar la tabla,ayúdelos a encontrar las relacionesentre los datos. Por ejemplo,Horas km/h6 7012 35La cantidad de horas del segundorenglón (12) es el doble que la delprimero (6), y los kilómetros por horadel segundo renglón (35) son la mitadde los del primero (70). Esto tienesentido, porque si se viaja a la mitadde velocidad, el recorrido durará eldoble de tiempo.Ahora, para hallar los valores faltantespuede sugerirles que empiecen con el3 (horas), ya que es la mitad del 6 ypor lo tanto la velocidad será el doble.Conociendo ese dato pueden averiguarla velocidad a la que hay que viajarsi el recorrido se hace en 9 horas (lavelocidad será 3 veces menor que sisólo dura 3 horas). Un viaje de 5 horasserá 5 veces más lento que uno de1 hora.IMATEMÁTICAS227Consideremos lo siguientePara ir de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz se hacen 6 horas viajando enautomóvil a una velocidad promedio de 70 kilómetros por hora.Respondan las siguientes preguntas:a) Si se hubiera hecho el viaje de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz en 12horas, ¿a qué promedio de velocidad se habría viajado?b) Si se quisiera hacer el viaje de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz en untiempo de 3 horas, ¿a qué promedio de velocidad debería viajarse?c) Si se quisiera hacer el viaje de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz en untiempo de 5 horas, ¿a qué promedio de velocidad debería viajarse?Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla para calcular la velocidad prome-dio para viajar de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruzen distintos periodos de tiempo.El tiempo de viaje está representado por x en la tabla y la velo-cidad promedio durante el viaje está representada por la letra yen la tabla.x(en horas)y(en kilómetros por hora)6 7012 359315II. En un equipo de otra escuela hicieron la siguiente observación al llenar la tabla an-terior:6 × 70 = 42012 × 35 = 420Y dijeron:“Cuando multiplicamos los números de un renglón el resultado siempre es 420”.46.6714042084Propósito del interactivo. Resolverproblemas que involucran cantidadesinversamente proporcionales,relacionando tablas, gráficas y suexpresión algebraica.
  • 226. 228Respuestas. El resultado siempre es420, que es la distancia entre laciudad de Veracruz y la de México.Recuerde que.En una relación de proporcionalidadinversa:- cuando una cantidad aumentael doble, la otra disminuye a lamitad, si aumenta el triple la otradisminuye a la tercera parte, etc.;- si se representa en una gráficase obtiene una curva llamadahipérbola;- si se representan los datos enuna tabla el producto entre loselementos de los dos conjuntos semantiene constante;- su expresión algebraica es y = k . xEn una relación de proporcionalidaddirecta:- cuando una cantidad aumenta eldoble, la otra también aumenta eldoble, si aumenta el triple la otratambién aumenta el triple, etc.;- si se representa en una gráfica seobtiene una recta que pasa por elorigen;- si se representan los datos enuna tabla el cociente entre loselementos de los dos conjuntos semantiene constante;- su expresión algebraica es y = kx.Sugerencia didáctica. Busquen unasecuencia de proporcionalidad directaen la que hayan llenado una tabla.Pídales que multipliquen los númerosde cada renglón y vean si se obtieneun producto constante.Respuestas.a) 420 km.b) Por 84. Pueden pensarlo como5x ___ = 420, o bien,420 ÷ 5 = ___c) Por 46.67 (redondeando).Respuesta. Se divide la constante deproporcionalidad inversa entre el otrodato conocido, en este caso, el tiempo.Entonces y = R W P . xRespuestas.a) 210 km/h.b) 60 km/h.secuencia 37228Multipliquen los números de cada renglón: el número de horas por la velocidad. Anotensus resultados al lado de la tabla.Comparen sus resultados y comenten:a) ¿Coinciden los productos de su tabla con los resultados que obtuvieron en la otraescuela?b) ¿Están de acuerdo con la observación que hicieron en la otra escuela?Contesten:a) ¿Cuántos kilómetros hay que recorrer para ir de la Ciudad de México a la ciudad deVeracruz?b) ¿Por qué número hay que multiplicar 5 para obtener 420?c) ¿Por qué número hay que multiplicar 9 para obtener 420?Comparen sus respuestas y comenten:¿Hay algún número por el cual se multipliquenlos datos de la primera columna para obtener losdatos de la segunda columna?, ¿cuál?A lo que llegamosEn las situaciones que involucran cantidades inversamente proporcio-nales hay siempre un valor constante. Esta constante resulta de multi-plicar las cantidades que son inversamente proporcionales. A estenúmero se le llama constante de proporcionalidad inversa.Por ejemplo, en el problema anterior, 420 es la constante de propor-cionalidad inversa, porque 6 × 70 = 420.iii. Si x es el tiempo que se emplea para ir de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruzy si y es la velocidad promedio, encuentren una expresión algebraica para calcular lavelocidad a partir del tiempo:y =En el pizarrón anoten sus expresiones algebraicas y comenten cómo las obtuvieron.iV. Usando la expresión algebraica que obtuvieron respondan lo siguiente:a) ¿A qué velocidad iría el automóvil si recorriera en 2 horas la distancia entre laCiudad de México y la ciudad de Veracruz?b) ¿A qué velocidad iría el automóvil si recorriera en 7 horas la distancia entre laCiudad de México y la ciudad de Veracruz?Recuerden que:En las tablas de proporciona-lidad directa al multiplicar losdatos de la primera columnapor la constante de proporcio-nalidad se obtenían los datosde la segunda columna.Respuesta.No hay.
  • 227. 229acomodarlas depende de cuál sea el valorque debe hallarse y cuáles ya se conozcan. Eneste ejemplo, si quiere hallarse la constante deproporcionalidad inversa la expresión seríaxy = k.Si ya se conocen la base y la constante, entoncesy = W R .Y si hay que averiguar cuál es la baseconociendo la constante y la alturay = W R  .Pero los alumnos no tienen que aprenderseuna por una, el objetivo es que conociendo laexpresión algebraica de la proporcionalidadinversa puedan hallar cualquier valor. Paralograrlo puede ser útil analizar la expresión yutilizarla varias veces en diferentes situaciones,dándole distintos valores a una de las variablesy manteniendo la constante. Después hacerlo mismo con la otra variable y analizar loscambios.Sugerencia didáctica. Comparen estaexpresión (y = k ) con y = kx, que es la quecorresponde a las relaciones de proporcionalidaddirecta. Puede preguntar a los alumnos en quése parecen y en qué se diferencian. Por ejemplo,qué papel juega la constante en cada uno delos casos (en la proporcionalidad directa laconstante es el número por el cual se multiplicael dato de la primera columna para obtenerel de la segunda; en cambio, la constante deproporcionalidad inversa es el número queresulta de multiplicar los datos de un mismorenglón).Integrar al portafolios. Pida una copia de lasrespuestas de los alumnos al número 1.Respuestas. La constante de proporcionalidadinversa es el número de litros que hay quealmacenar, 2 400. La expresión sería y = W R P P  .Posibles procedimientos. Los alumnos podríanfijarse en las relaciones que hay entre los datos: Campesinos Días 2 3 6 6Si el número de campesinos aumenta de 2 a 6(o sea, por 3), el número de días será una terceraparte del primero. Si el número de días en los quese termina el trabajo aumenta el doble (de 3 a 6),el número de campesinos que trabajarían seríala mitad.O bien, hallar la constante de proporcionalidadinversa, que corresponde a 6 días de trabajototal (ya saben que si se multiplican los datos deun renglón se obtiene esa constante).Respuestas.a) Un día.b) Un campesino.Propósito de la sesión. Asociar la expresiónalgebraica correspondiente a problemas derelaciones inversamente proporcionales yconstruir la gráfica correspondiente.Organización del grupo. Todas las actividadesson en parejas, salvo la última, que es individual.Propósito de la actividad. Ahora laproporcionalidad inversa se aborda en lageometría, dejando como constante el área yvariando la longitud de los lados.Respuestas.a) 4 cm porque 6 × 2 = 24.b) 2 cm porque 12 × 2 = 24.c) 3 cm porque 8 × 3 = 24.d) La base y la altura del rectángulo.e) 24 porque es el número que se obtienesiempre que se multiplica la base por laaltura.f) Si la base es x y la altura y,entonces xy = 24 o y = W R  .Posibles dificultades. Para muchos alumnoslas expresiones xy = 24 y y = W Rson dos cosas independientes que se aprendenpor separado. Es importante hacerles verque están relacionadas y que la forma deIMATEMÁTICAS229Lo que aprendimos1. En tu cuaderno encuentra la constante de proporcionalidad inversa y la expresiónalgebraica de los problemas de la sesión 1 de esta secuencia.2. Si 2 campesinos tardan 3 días en sembrar un terreno:a) ¿Cuántos días tardarían en sembrar el mismo terreno 6 campesinos?b) Si el terreno se sembró en 6 días, ¿cuántos campesinos lo sembraron?la hipérbolaPara empezarEn la secuencia 13 de tu libro de Matemáticas I, volumen I y en primaria estudiaste elárea y el perímetro de diferentes figuras geométricas. En esta sesión resolverás más pro-blemas relacionados con el área de los rectángulos.Consideremos lo siguienteSe sabe que un rectángulo tiene un área de 24 cm2y que su base mide 6 cm de longitud.a) ¿Cuánto mide su altura?Supongan que el área del rectángulo se mantiene constante, es decir, que el área delrectángulo siempre es de 24 cm2. Contesten las siguientes preguntas:b) Si la base del rectángulo midiera 12 cm de longitud, ¿cuántos centímetros mediría sualtura?c) Si la base del rectángulo midiera 8 cm de longitud, ¿cuántos centímetros mediría sualtura?d) ¿Cuáles son las cantidades que son inversamente proporcionales en este problema?e) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa?f) Encuentren la expresión algebraica asociada a este problema.A lo que llegamosLa expresión algebraica asociada a este problema de proporcionalidad inversa es:xy = 420En este caso la letra x representa el tiempo que se emplea para ir de la Ciudad de Méxi-co a la ciudad de Veracruz, la letra y representa la velocidad promedio y 420 correspon-de a la distancia que hay entre la Ciudad de México y la ciudad de Veracruz.La expresión algebraica que permite obtener y es:y = 420xsEsión 3xxxyxx
  • 228. 230Propósito del interactivo.Ejemplificar la noción de velocidadconstante.Sugerencia didáctica. Cuandoterminen de llenar la tabla verifiquenque efectivamente xy = 24.Sugerencia didáctica. Si los alumnostienen dificultades para determinarcuál es la expresión correcta, o paraverificar que lo sea cuando ya lahayan elegido, pídales que lautilicen con los valores de x y y queencontraron en la tabla anterior.Respuestas. La expresión algebraicacorrespondiente es xy = 24.Respuestas. Deben graficar lospuntos: (6, 4), (12, 2), (8, 3), (24, 1),(4, 6), (48, 0.5), y luego unirlos.2Respuestas.a) No puede medir 0 cm, lo queindica que la gráfica no pasapor el origen.b) No se puede porque no estánsobre una recta.c) Las de proporcionalidad directapasan por el origen y son rectas.Las de proporcionalidad inversason hipérbolas y no pasan por elorigen.secuencia 37230Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar un lado del rectángulo cuando el otrolado del rectángulo varía. Representen con x la medida de la base y con y la medidade la altura del rectángulo.x(en centímetros)y(en centímetros)Constante deproporcionalidad inversa6 4 242812140.5ii. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponde a esta situación de pro-porcionalidad inversa? Subráyenla.a) 24x = yb) x + y = 24c) 24y = xd) xy = 24iii. Con los datos de la tabla 1 hagan la gráfica correspondiente:iV. Comparen sus expresiones algebraicas y sus gráficas. Comenten:a) ¿Puede medir 0 cm de longitud la base de este rectángulo? Recuerden que su áreaes 24 cm2.b) ¿Los puntos de esta gráfica están sobre una recta? Tomen tres puntos y traten deunirlos mediante una misma línea recta.c) ¿Cuáles son las diferencias entre una gráfica de proporcionalidad directa y unagráfica de proporcionalidad inversa?65.554.543.532.521.510.502 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 486 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50(6, 4) 12 24 3 24 2 24 24 24 6 24 48 24
  • 229. 231IMATEMÁTICAS231A lo que llegamosLos problemas en los cuales están involucradas cantidades inversa-mente proporcionales tienen asociadas gráficas que se llamanhipérbolas.Por ejemplo, la siguiente gráfica es la hipérbola que corresponde a laexpresión algebraica xy = 12Observa que las hipérbolas no son líneas rectas ni pasan por el origen.Lo que aprendimos1. Dos pintores tardan 50 horas en pintar la parte exterior de un edificio.a) Completa la siguiente tabla para determinar cuánto tiempo tardan en pintar la mis-ma parte exterior del edificio distintos números de pintores.x(número de pintores)y(horas que tardan en pintarel edificio)Constante deproporcionalidad inversa2 5045101b) Con los datos de la tabla 2, en tu cuaderno encuentra la expresión algebraica corres-pondiente y construye la gráfica.Para saber másSobre la importancia que tiene el agua y sobre su escasez y cuidado consulta: Agua,publicado por el periódico La Jornada en 2005.12111098765432101 2 4 6 8 10 123 5 7 9 11 100 25 100 20 100 10 100 100 100Integrar al portafolios. Guardarlas respuestas de los alumnos a losincisos a) y b). Si considera que tienendificultades repasen las actividades deManos a la obra de las 3 sesiones deesta secuencia.Respuestas.b) xy = 100 y también y = Q P P x11010090807060504030201000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Número de pintores y días que tardan en pintar el exterior de un edificio.Número de pintoresDíasxy
  • 230. 232Propósito de la sesión. Utilizar elsignificado de la moda, la mediay la mediana para interpretar ycomunicar información sobreun conjunto de datos.Organización del grupo. El trabajoes en parejas a lo largo de toda lasesión, excepto en la confrontación,que es grupal.Propósito del video. Presentardiversas situaciones en las que tienesentido la aplicación del promedio ensu vida diaria.1Propósito de la actividad. Laintención de la pregunta es que losalumnos se den cuenta de que no esposible decir con exactitud cuántotiempo tendrá que esperar el autobús,pero que pueden hacer una estimaciónbasándose en los datos de la tabla.Posibles respuestas. Algo que losalumnos pueden notar al analizar latabla es que el 6 se repite 3 veces, esdecir, que en 3 de los 10 días Jesúsesperó 6 minutos, y por ello afirmarque es más probable que el onceavodía tenga que esperar 6 minutos.También pueden calcular el promediode tiempo de espera. En total, esperó65 minutos en los 10 días, por lo tantoel promedio es de 6.5 minutos.secuencia 38232En esta secuencia aprenderás a comparar el comportamiento de 2 omás conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómenoa partir de sus medidas de tendencia central.PromediosPara empezarPromediosSeguramente ya tienes una idea sobre el promedio y lo has utilizado en más de unaocasión. ¿Cuántas veces has preguntado a tus maestros cuál es el promedio de tus cali-ficaciones?El promedio también es muy usado en las conversaciones cotidianas. Se habla de que loshombres y las máquinas trabajan a una velocidad promedio, o que los jugadores de di-versos deportes comparan sus promedios de puntuación. Sin embargo, además del pro-medio, existen otros valores estadísticos, como la moda y la mediana, y juntos forman lasmedidas de tendencia central.Consideremos lo siguientePara llegar a la escuela, Jesús puede utilizar cualquiera de dos líneas de autobuses. Élllega a la parada a las 7:00 de la mañana. Para saber el tiempo que esperó cada día, lofue registrando durante dos semanas.La siguiente tabla muestra la línea del autobús en que viajó y el tiempo que tuvo queesperar en los últimos 10 días.Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Línea del autobús B A A B A A B B A BTiempo de espera(minutos) 10 4 10 6 4 6 9 2 8 6¿Qué tiempo creen que Jesús tenga que esperar al autobús el día 11?sesión 1Medidas detendencia centralPropósitos de la secuenciaComparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situacióno fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos1PromediosUtilizar el significado de la moda, la media y lamediana para interpretar y comunicar informa-ción sobre un conjunto de datos.VideoPromediosEspañol ISecuencia 142¿Qué prefieren comer?Interpretar información numérica obtenida endiversas fuentes (encuestas, diarios, almanaques,etc.) utilizando en sus análisis indicadores demedidas de tendencia central, y decidir en quécasos es conveniente usar cada una paraanalizar la información.EjeManejo de la información.TemaRepresentación de la información.AntecedentesDesde la escuela primaria los alumnos hantrabajado con las medidas de tendenciacentral en diversas situaciones. Ahora sepretende que además de calcularlas, lasanalicen a partir de gráficas ya elaboradas.
  • 231. 233Respuestas.a) 2 minutos.b) 10 minutos.c) 6 minutos.d) 6.5 minutos.e) No.IMATEMÁTICAS233Comenten cómo determinarían ese tiempo de espera, es decir, cómo utilizarían los datosque aparecen en la tabla para determinar el tiempo que deberá esperar el autobús.Manos a la obraI. Observen la tabla anterior y contesten las siguientes preguntas.a) ¿Cuál fue el tiempo mínimo que esperó a que pasara un autobús?b) ¿Y el tiempo máximo?c) De los 10 tiempos de espera que registró, ¿cuál fue el que más veces se repitió?d) ¿Cuál es el tiempo promedio que tuvo que esperar a que pasara un autobús?e) ¿Alguno de los 10 tiempos registrados por Jesús es igual al tiempo de espera pro-medio?A lo que llegamosEl valor que más veces se repite en un conjunto de datos se llama moda. Es decir,es el que tiene mayor frecuencia absoluta.Al promedio también se le llama media aritmética, y se obtiene sumando todos losvalores y dividiendo la suma entre el número total de valores.Por ejemplo, si los valores son 4, 4, 3, 7, 8 y 4, la media o promedio se calcula de lasiguiente manera:Media = 4 + 4 + 3 + 7 + 8 + 4 = 30 = 56 6La moda es 4, porque es el valor con mayor frecuencia absoluta.II. Consideren ahora los tiempos que tardaron en pasar los autobuses de una y otra líneapara completar la siguiente tabla.Línea A Línea BMínimo tiempo de espera Mínimo tiempo de esperaMáximo tiempode esperaMáximo tiempode esperaTiempo de esperamás frecuente(moda)Tiempo de esperamás frecuente(moda)Tiempo de esperapromedio(media)Tiempo de esperapromedio(media) 4 2 10 10 4 6 6.4 6.6
  • 232. 234Respuestas.a) 6 minutos.b) 8 minutos.c) La línea A, con 6.4 minutos.Posibles respuestas. Los alumnospueden considerar el promedio ola moda para contestar el inciso d).Pídales que expliquen por qué eligenuna u otra.Propósito de la pregunta. Sebusca que los alumnos, además decalcular las medidas de tendenciacentral, conozcan algunas de suscaracterísticas y significados; yque distingan en qué situacionesdebe considerarse una u otra paracomunicar cómo se comporta lainformación.Respuestas.a) 6 minutos.b) 6.9 minutos.c) La moda, porque un autobúsexcepcionalmente puede tardarmucho (lo que haría que el tiempopromedio de espera se elevara)y no reflejaría que la mayoría delas veces el tiempo de esperaes menor.Integrar al portafolios. Recuperelas respuestas de los alumnos a laspreguntas de la actividad 1.secuencia 38234Observen que los valores anotados en la tabla resumen la información sobre la situaciónque se está estudiando. Utilicen esta información para contestar las siguientes preguntas.a) Considerando a los autobuses de la línea A, ¿cuál es la diferencia entre los tiemposmáximo y mínimo de espera?b) Considerando a los autobuses de la línea B, ¿cuál es la diferencia entre los tiemposmáximo y mínimo de espera?c) ¿Cuál es la línea que tiene el menor tiempo de espera promedio?d) ¿Qué valor de la tabla puede considerarse como el más adecuado para representarel tiempo que tarda en pasar un autobús?e) ¿En cuál de las dos líneas le conviene más viajar a Jesús?Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.A lo que llegamosLa moda y la media son dos medidas que representan el comporta-miento de un conjunto de datos. Estas medidas son más útiles cuandoel conjunto de valores es muy grande.Lo que aprendimos1. En otro horario, Pedro toma un autobús de las líneas A o B y sus tiempos de espera enminutos fueron los siguientes: 9, 4, 6, 5, 6, 15, 6, 6, 6, 6.a) ¿Cuál es la moda de este conjunto de datos?b) ¿Cuál es la media?c) En esta situación, ¿cuál de las dos medidas, la moda o la media, es más adecuadaconsiderar para representar el tiempo que tarda en pasar un autobús?¿Por qué?2. En la secuencia 14, La TV: ¿Ventana al mundo o caja idiota?, de su libro de Español I,volumen II realizaron una encuesta en la que una de las preguntas era: “¿Cuántashoras permanece encendido el televisor de tu casa durante el día?”a) Utilicen esa información para calcular el tiempo promedio que permanece encen-dida la televisión en los hogares de todo tu grupo.
  • 233. 235Propósito de la sesión. Interpretarinformación numérica obtenida endiversas fuentes (encuestas, diarios,almanaques, etc.) utilizando en susanálisis indicadores de medidas detendencia central, y decidir en quécasos es conveniente usar cada unapara analizar la información.Organización del grupo. El trabajoes en parejas a lo largo de toda lasesión, excepto en la confrontación,que es grupal.3Sugerencia didáctica. Pida a losalumnos que piensen en otra situaciónen la que tomar una de las medidasde tendencia central no da una buenaidea del comportamiento de los datos,o incluso da una idea equivocada. Porejemplo, Las estadísticas muestranque casi todos los accidentes decirculación se producen entre vehículosque circulan a velocidad moderada.Muy pocos ocurren a más de 110 kmpor hora. ¿Significa esto que resultamás seguro conducir a gran velocidad?IMATEMÁTICAS235b) En esa misma encuesta se pregunta por el tipo de programas que ven. ¿Cuál es eltipo de programa que más ven en el grupo?c) De acuerdo con los resultados de la encuesta, ¿cuántas personas lo ven?¿Qué Prefieren comer?Para empezarDiariamente, los medios de comunicación proporcionan información en la cual se utilizael concepto de promedio. Por ejemplo, cuando analizan el comportamiento de: bolsa devalores, precios, producción, empleo y otros indicadores económicos.Sin embargo, existen situaciones en las que este dato no es el más representativo. Porejemplo, en una empresa con 1 000 empleados, cada uno gana $ 5 000 y el dueño gana$10 000 000. Si se calcula el promedio del ingreso mensual, ¡resulta que es casi $15 000!Esto daría una idea completamente falsa de los ingresos mensuales que hay en esa em-presa, ya que ninguno de los 1 000 empleados tiene un ingreso igual o parecido al pro-medio. Sería más representativo, en este caso, dejar al dueño fuera del grupo o utilizarotro valor representativo.Consideremos lo siguienteEn una telesecundaria se tomaron los datos que muestra la siguiente gráfica.SeSiÓn 20 2 4 6 8 10 12Tipo de comida que consumen alumnos de unatelesecundaria por grado, en la cooperativa escolarTacosEmpanadasQuesadillasTortasHot dogsNúmero de alumnosPrimeroSegundoTercero
  • 234. 236Respuestas. Tortas, 21 alumnos lasconsumieron.Posibles dificultades. Algunosalumnos pueden creer que el alimentoque más se consume son tacos,porque en la gráfica tienen la barramás larga. Sin embargo, hay quetomar en cuenta que cada barraseñala la preferencia de un gradopor un alimento, así que para sabercuántos alumnos de toda la escuelaescogieron cierta comida debensumarse las frecuencias señaladasen las tres barras.Respuestas.a) 5 (tacos, empanadas, quesadillas,tortas y hot dogs).b) 3c) Tacos.d) Quesadillas.e) 25f) 27g) 77h) 21 bolillos.secuencia 38236Con esta información, los responsables de la cooperativa pueden conocer cuántos kilosde tortillas y piezas de bolillo deben comprar al día.En general, ¿qué tipos de alimentos consumen más los alumnos de esta telesecundaria?Comparen y comenten sus respuestas.Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas.a) ¿Cuántos tipos de comida diferente hay?b) ¿Cuántos alumnos de primer grado consumen tacos?c) ¿Cuál alimento consumen más los alumnos de segundo grado?d) ¿Y los de tercero?e) ¿Cuántos alumnos de segundo grado consumen alimentos en la cooperativa?f) ¿Y en tercero?g) ¿Cuántos alumnos en total consumen alimentos en la cooperativa?h) Considerando la cantidad de alumnos que consumen tortas, ¿cuántos bolillos sedeben comprar al día?ii. Completen la siguiente tabla con los datos que proporciona la gráfica de barras.Tipo de comidaConsumo por gradoTotalPrimero Segundo TerceroTacosEmpanadasQuesadillasTortasHot dogsa) ¿Qué tipo de comida piden más los alumnos de la telesecundaria? 3 10 5 18 1 0 1 2 5 6 8 19 9 5 7 21 7 4 6 17
  • 235. 237Respuestas.a) Tortas.b) 7 tortas.c) 6.3 quesadillas.d) Ninguna.e) eW o 0.67 redondeando.Sugerencia didáctica. Pregunte a losalumnos qué significa que el promediode empanadas que se consumen porgrado sea de 0.67.Respuestas.a) $10.b) La mínima es $0, la máximaes $100, la diferencia es 100.c) $10.Recuerde que. Cuando se ordena unconjunto de datos para encontrar lamediana y se tienen casos como elsiguiente:4 6 22 28 29 70, no hay undato que se encuentre justo a la mitad(quedaría entre el 22 y el 28). Lo quese hace en estos casos es sacar elpromedio de los dos datos que quedanen medio (25), y el número obtenidose considera la mediana.IMATEMÁTICAS237b) ¿Cuántas tortas en promedio se consumen por grado?c) ¿Cuántas quesadillas en promedio se consumen por grado?d) ¿Cuántas empanadas consumen los alumnos de segundo grado?e) ¿Cuántas empanadas en promedio se consumen por grado?A lo que llegamosPuede ocurrir que el valor que representa la media de un conjunto dedatos no sea uno de los valores de ese conjunto.Por otra parte, es muy común que el valor de la media de un conjuntode valores enteros sea un decimal.Por ejemplo, en el caso del consumo de hot dogs, la media por gradoes 5.6III. En la misma telesecundaria se les preguntó a los 27 alumnos de primer grado la can-tidad de dinero que gastaron en la cooperativa. La siguiente tabla muestra los resul-tados.Cantidad de dinero que gastan en la cooperativa los alumnos de primer gradoAlumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9Pesos $ 10 10 100 10 10 5 0 0 100Alumno 10 11 12 13 14 15 16 17 18Pesos $ 0 0 10 0 15 12 100 5 10Alumno 19 20 21 22 23 24 25 26 27Pesos $ 15 0 0 5 100 10 10 2 15a) ¿Cuál es la cantidad de dinero que con más frecuencia gastan los alumnos deprimer grado?b) ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad máxima de dinero que gastan los alumnosy la cantidad mínima?c) En la siguiente tabla, ordena de mayor a menor la cantidad de dinero que gastanlos alumnos de primer grado.0 0 0 0 0 0 0 2 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 10 12 15 15 15 100 100 100 100
  • 236. 238Respuestas.d) 10f) La moda y la mediana.g) Los que gastan $100 hacen que elpromedio suba mucho. 23 alumnosgastan menos de $15.Respuesta. 65 puntos porque lleva115 y necesita un total de 180.secuencia 38238d) ¿Cuál es el dato que quedó al centro de la tabla?e) Completen la siguiente tabla sobre lo que gastan los alumnos de primer grado.ModaMediaMedianaf) ¿Cuál es la medida que representa mejor la cantidad de dinero que gastan losalumnos de primero?g) ¿Por qué lo consideran así?A lo que llegamosLa media, la moda y la mediana son medidas de tendencia central, delas cuales la más conocida es la media. Sin embargo, debe conside-rarse que los valores extremos la afectan muy fácilmente. Cuando enun conjunto de valores se da este caso, es conveniente considerar sila moda o la mediana son medidas que representan mejor a eseconjunto.Lo que aprendimos1. Una competencia consta de tres etapas. Juan ha jugado dos de las tres etapas.Resultados de Juan Primera etapa Segunda etapa Tercera etapaPuntos 62 53Para ganar la competencia, Juan debe tener un promedio de 60 puntos.¿Cuántos puntos necesita ganar en la tercera etapa?Recuerden que:La mediana corresponde alvalor que se encuentra en elcentro del conjunto de datosdespués de ordenarlos demenor a mayor.$10$21.51$10
  • 237. 239IMATEMÁTICAS2392. En una nueva competencia Juan tiene de promedio 30 puntos. En la primera etapaobtuvo 26 puntos, y en la última logró 20 puntos más que en la primera etapa.a) ¿Cuántos puntos obtuvo en la segunda etapa?b) Completen la siguiente tabla.Resultados de Juan Primera etapa Segunda etapa Tercera etapaPuntos 26Promedio 303. Ahora están jugando Juan y María. Ambos tienen el mismo promedio, pero en la pri-mera y tercera etapa obtuvieron puntuaciones diferentes. ¿Cuáles fueron las puntua-ciones de Juan? Completen la tabla.Jugador Primera etapa Segunda etapa Tercera etapaJuan 26 50María 50 55Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Caludia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santi-llana, Libros del Rincón, 2003.Respuestas. 18 puntos porque entrela primera y la tercera tiene 72 ynecesitó llegar a 90 para obtener unpromedio de 30.Posibles respuestas. La preguntaadmite una infinidad de respuestascorrectas. Para obtener 50 puntos depromedio tiene que sumar 150 puntosen las tres etapas, así que son válidostodos aquellos pares de números queden un total de 150 puntos (incluyendolos 50 que obtuvo en la segunda etapa)y que además, sean distintos de 45en la primera etapa y 55 en la tercera(porque el problema dice que Juanobtuvo distintas puntuacionesque María). 184 46
  • 238. 240P R O P U E S T A D E e x a m e n b i m estra l b l o q ue 3
  • 239. 241m ate m á t i c as IA continuación se presenta una propuesta para evaluar los bloques 3, 4 y 5mediante exámenes que serán complementarios a la información que ustedha ido integrando en el portafolios del alumno.Los exámenes tienen las siguientes características:Para cada secuencia se proponen entre uno y cuatro reactivos, cada reactivoevalúa un aspecto del contenido que se trató en la secuencia.Cada examen se arma de la siguiente manera:Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evalúa el mismo contenido ytiene el mismo nivel de dificultad. La intención de poner estas dos opcioneses que usted pueda elegir una o la otra y armar así distintas versiones delexamen según le convenga. Encontrará todas las respuestas de los reactivospara facilitarte la calificación. Se incluyen, también, las respuestas gráficas.Recomendaciones generales para la aplicación de los exámenes, su revisióny calificación:Debido a la longitud de los exámenes, se sugiere aplicar cada uno en dossesiones de clase, al final de cada bloque. Una vez aplicado, haga una revi-sión grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar opor-tunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los erroresque hubiera cometido.Se sugiere no asignar más del 50% de la calificación bimestral a los resulta-dos de los exámenes, considere para el otro 50% las actividades que integróen el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participa-ción, el cumplimiento de tareas, etc).propuesta de examen bimestral bloque 3
  • 240. 242P R O P U E S T A D E e x a m e n b i m estra l b l o q ue 3Secuencia 17. DIVISIÓN DENÚMEROS DECIMALESReactivo 11. Señala la operación que equivale a dividir entre 0.25:a) Multiplicar por 25.b) Multiplicar por 4.c) Dividir entre 25.d) Dividir entre 4.1’. Señala la operación que equivale a dividir entre 0.01:a) Multiplicar por 0.1.b) Multiplicar por 100.c) Dividir entre 10.d) Dividir entre 0.1.Reactivo 22. Resuelve estas operaciones:a) 4.8 ÷ 1.2b) 27 ÷ 0.032’. Resuelve estas operaciones:a) 100 ÷ 2.5b) 30 ÷ 0.2Reactivo 33. Daniel fue a la papelería y pagó $75 por varios lápices cuyo costoera de $2.50 cada uno, ¿cuántos lápices compró? Señala la respuestacorrecta:a) 3b) 30c) 35d) 3003’. Lucía va a cortar 5.50 m de listón en trozos de 0.25 m cada uno. ¿cuántostrozos obtendrá? Señala la repuesta correcta:a) 4b) 20c) 22d) 220La respuesta es el inciso b).La respuesta es el inciso b).Respuestas.a) 4b) 900La respuesta es el inciso c).Respuestas.a) 40b) 150La respuesta es el inciso b).