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Estructuras algebraicas
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IDEAS BASICAS PARA COMENZAR CON LOS AXIOMAS

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCOASIGNATURA: MATEMATICA BASICA IITEMA : ESTRUCTURAS ALGEBRAICASINTEGRANTES: HENRY RAUL DIAZ ANGULO ALI FLOREZ PEDRAZA
  • 2. DEFICIONES PREVIASCONJUNTO : un concepto es primitivo , cuando se admite sindefinición .por ende el concepto de conjunto , de elemento y larelación de pertenencia son conceptos primitivos. conjunto:toda agrupación o colección de objetos , pueden ser reales oideales, se les denomina elementos del conjunto.Generalmente los conjuntos se denotan con letrasmayúsculas(A,B,C,…) sus elementos están deparados porcomas y encerrados entre llaves ({}) A ={n,z,t,a,m} B={TALLERES ELECTRONICA}
  • 3.  Es aquel procedimiento que transforma una cantidad a otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas condiciones y/o reglas (leyes) y esta representada por un símbolo, estos símbolos entonces lo representamos como un conjunto de operadores. *=[ +, . , - , / , ∆ , * , …] (+ , _ , . , a/b ) Estas cuatro operaciones son conocidas como universales . Y los demás son
  • 4.  Se le llama LCI a toda operación interna sobre el conjunto el conjunto A no vacía, a toda operación binaria AxA en A. El calificativo de internas que se da a tales leyes de composición proviene de que parte y se llega a elementos de un mismo conjunto. Def. A cualquier aplicación de AxA en A que, para todo par (a,b) de elementos de A, en un orden dado, se le hace corresponder un único elemento “c” de A que se llama resultado de haber operado con los elementos del par.
  • 5.  Para nuestro estudio usaremos (*) que asumirá la representación de cualquiera de los operadoderes. Este símbolo (*) que asumirá la representación de cualquiera de los otros operadores. Este símbolo (*), que , situado entre los elementos con los que se opera, expresa el resultado de la operación, es decir, para expresar “c” como resultado de operar “a” con “b”, se escribirá c=a*b, vale decir: “c es igual a operado con b”
  • 6.  Dado los conjuntos A ^ B se define producto cartesiano como: AxB={(a,b)∊ AxB/a∊A, b∊B} entonces si B=A entonces queda: AxA={(a,b)/a ∊ A,b ∊ A} AxA A (a,b) a*bLos elementos (a,b) de AxA se llaman pares. Este concepto se denomina par ordenado.
  • 7.  PROPIEDADES: ∀ A ≠ ∅ CLAUSURA O CERRADURA: Si tomamos un par de elementos cualquiera del conjunto A y realizamos con ellos la operación definida, y dicho resultado también pertenece al conjunto A entonces se dice que la operación es cerrada en el conjunto A.(∀ a^b∊A ⇒ a*b∊A) *:AxA A (a,b) *(a,b) = a*b∊A
  • 8.  CONMUTATIVA: Cuando para todo par de elementos del conjunto A el orden en que se opera no altera el resultado (∀ a^b∊A ⇒ a*b=b*a) *: AxA A (a,b) *(a,b) = a*b=b*a∊A ASOCIATIVA: Cunado al efectuar por el operador mas de dos elementos del conjunto A agrupando de distintas formas, el resultado sigue siendo el mismo. (∀ a,b,c∊A ⇒ a*(b*c)=(a*b)*c) *: AxA A (a,(b*c)) *(a,(b,c)) = a*(b,c)=a*b*c entonces (a*b)*c=a*(b*c) ∊A
  • 9.  EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO: existe un único elemento de A tal que al operarlo con cualquier elemento de A, tanto de izquierda como de derecha, no altera el valor de este ultimo. *: AxA A (a,b) *(a,b) = a*b∊A, deduciendo que b=e (a,e) *(a,e) = a*e=e*a=a ∊ A EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO: Existe un unico elemento de A tal que al operarlo con cualquier elemento de A, tanto de izquierda o de derecha el valor sea del resultado es el elemento neutro (e). *: AxA A (a,b) *(a,b) = a*b∊A, deduciendo que b=a’ (a,a’) *(a,a’) = a*a’=a’*a=e
  • 10.  Sea el conjunto A, (A≠∅) y también sea el operador (*) una LCI el par (A,*) se llama semigrupo si y solo si el operador “*” es una LCI en asociativa en A. Sea A = {a,b,c} ^ [A,*] * : AxA A * a b c ⇒ (a*b)*c = a*(b*c) a a b c b*c = a*a b b c a a=a c c a b ∴ Es asociativa en A
  • 11. Se llama moneoide a todo semigrupo con elemento identidad, es decir: “todo monoide es semigrupo pero no todo semigrupo es monoide” A ≠ ∅, * es LCI(A,*)Monoide posee elemento identidad * es asociativaSea una composicion de funciones (o) en A ≠∅. Definimos:A={f/f : A A}i) o: AxA A (f,g) o(f,g) = f o g ∊ Aii) f o (g o h) = (f o g) o h ∊ Aiii) ∀A, Ǝ i ∊ A/f o id =id o f = f
  • 12.  Sea el conjunto A ≠ ∅, además el operador “*” es una LCI entonces se afirma que el par (A,*) es grupo si cumple con las siguientes condiciones: “*” Es asociativa que ∊A ∀a,b,c ∊ A, (a*b)*c = a*(b*c) ∊ A (P. Asociativa) “*” Admite un elemento neutro y es único ∀a ∊ A, Ǝ!e ∊ A/ (a*e = e*a =a (P. Existencia del elemento neutro) Todos los elementos de A(conjunto) poseen, tienen un elemento inverso que es único. ∀a ∊ A, Ǝ! a’ ∊ A/a*a’=a’*a=e(propiedad del elemento inverso)
  • 13. “Sea el par (A,*)definimos como GRUPO al conjunto no vacio con un operador con LCI es nuestro concepto de grupo” Si además de estas tres propiedades existe que para “*” es conmutativa en A.∀a,b,c ∊ A, a*b*c = b*a*c = c*b*a…∊ A (P. conmutativa) Si el grupo cumple con las 4 operaciones entonces (A,*) recibe el nombre de “Grupo Abeliano”
  • 14. Sea A un conjunto no vacio en el cual se define dos LCI osea son dos operadores (operaciones) totalmente definidas en el interior del conjunto A.En este caso usamos ya dos operadores universales en el de adición y la multiplicación respectivamente “+”, “.”por lo que queda (A,+,.) ahora podemos asociar elementos de conjuntos ya conocidos como los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y complejos.1. A = {conjunto de los números Naturales}2. A = {conjunto de los números Enteros}3. A = {conjunto de los números Racionales}4. A = {conjunto de los números Irracionales}5. A = {conjunto de los números Reales}6. A = {conjunto de los números Complejos}
  • 15. El el orden sucesivo notamos que un conjunto incluye al otro. Entonces definimos (A,+,.) con sus respectivas propiedades.+: AxA A (a,b) +(a,b) = a+b ∊ A.: AxA A (a,b) +(a,b) = a.b ∊ ASuma:S1) a+b ∊ A, ∀a,b ∊ A (cerradura o clausura)S2) a+(b+c)= (a+b)+c ∊ A, ∀a,b∊A (asociativa)S3) ∀A, Ǝ!0 ∊ A /a + 0 = 0 + a = a (Ǝ del elemento neutro aditivo)S4) ∀a∊A, Ǝ!(-a) ∊ A/a+(-a)=-a+a=0 (Ǝ del inverso aditivo)S5) a+b=b+a, ∀a,b ∊ A (conmutativa)
  • 16.  Multiplicación:m1) a.b ∊ A, ∀a,b ∊ A (cerradura o clausura)m2) a.(b.c)=(a.b).c, ∀a,b∊A (asociativa)m3) ∀A, Ǝ!1 ∊ A /a . 1 = 1 . a = a (Ǝ del elemento neutro multiplicativo)m4) ∀a∊A, Ǝ!(a ) ∊ A/a+(a )=a.a =a .a=1 (Ǝ del inverso multiplicativo)m5) a.b=b.a, ∀a,b ∊ A (conmutativa)m6) distributiva : ∀ a,b,c ∊ A a.(b+c)=a.b+a.c (izquierda) (b+c).a=b.a+c.a (derecha)“Se afirma que (A,+,.) es anillo con división si y solo si cumple con la propiedad m5”
  • 17. ANILLO DE INTEGRIDAD: Sea (A,+,.) será anillo de integridad si no posee elementos divisores de cero, vale decir:a.b = 0 ⇔ a=0 v b=0,Lo que implica “a es 0, o b es 0” pero no ambos a la vez.DOMINIO DE INTEGRIDAD: Sea el anillo (A,+,.) con unidad, conmutativa y con división se llama dominio de integridad cuando no posee elemento divisores de cero. a.b = b .a, b≠0
  • 18. Ahora cambiaremos de notación A=K con este nuevo simbolo definimos el concepto de CUERPO: es un conjunto K con dos operaciones (adición y multiplicación)que satisface ciertas condiciones llamadas axiomas de cuerpo. Entonces un anillo (K,+,.) con unidad, conmutativo y con división se llama campo o cuerpo.Divisor de cero: Se dice que un elemento a≠0 de anillo (A,+,.) conmutativo es un divisor de cero si:a≠0 ^ b≠0 ⇒a.b=0, si y solo si existe otro elemento b≠0 del anillo (A,+,.) tal que cumple : a.b=b.a=0Ahora si estamos enfocados por los conceptos anteriores podemos adentrarnos al algebra propiamente dicho, para ello usamos K como nuestro conjunto experimental de elementos como x,y,z ∊K, entonces nos axiomatizamos:
  • 19.  AXIOMAS DE ADICION:A1) Clausura: x+y ∊ K,∀x,y ∊ KA2)Conmutatividad: x+y =y+x,∀x,y ∊ KA3)Asociatividad: (x+y)+z = x+(y+z), ∀x,y,z ∊ KA4)Elemento neutro: existe 0 ∊ K tal que x+0 = 0+x = x,∀x∊K,A5)Simetrico: para todo x ∊ K existe (-x) ∊ K tal que x+(-x) = (-x)+x = o
  • 20.  AXIOMAS DE ADICION:A1) Clausura: x.y ∊ K,∀x,y ∊ KA2)Conmutatividad: x.y =y.x,∀x,y ∊ KA3)Asociatividad: (x.y).z = x.(y.z), ∀x,y,z ∊ KA4)Elemento neutro: existe 1 ∊ K tal que 1≠0 x.1 = 1.x = x,∀x∊KA5)Simetrico: para todo x≠0 ∊ K existe un inverso de x denotado por 1/x ∊K tal que x.(1/x) = (1/x)+x = 1AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD:D1) x.(y+z)=(y+z).x=x.y+x.z=y.x+z.x, ∀x,y,z ∊ K
  • 21.  Un cuerpo es ordenado, si tiene un subconjunto distinguido F⊂K, que es el conjunto de elementos positivos de K que cumplen las siguientes condiciones P1. x+y ∊ F ^ x.y ∊ F, ∀x,y ∊F P2. dado x ∊ K, exactamente ocurre una de las tres condiciones: x=0 v x ∊F v -x ∊F Indicamos –F al conjunto de elementos –x, donde x ∊F. De donde K=F U (-F) U {0}, entonces estos conjuntos son disjuntos ^ -F recibe el nombre de conjunto de números negativos. En todo cuerpo ordenado si a≠0; a2 (a al cuadrado)∊F de hecho si a≠0 entonces a∊F v -a∊F, ya que: i) a = a.a ∊F ii) a =(-a).(-a) ∊F
  • 22.  En un cuerpo K: x<y “x es menor que y” lo mismo a decir que y-x ∊F de donde: y>0 lo mismo a decir y ∊F x<0 lo mismo a decir -x ∊F x<y si y solo si y-x>0 x<y si y solo si y>x La relación de orden x<y en un conjunto ordenado K goza de los siguientes teoremas. Los teoremas a continuación son exquisitas muy potentes y todos estos retóricamente extraordinarias, fantásticos.T1. Transitividad:T2. Tricotomía:T3. Monotonicidad de la adición: