Separata proglineal
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  • Matemática Superior 4. PROGRAMACIÓN LINEAL4.1. INTRODUCCIÓNLa programación lineal fue desarrollada por George B. Dantzig al final de la décadade 1940, y la Fuerza Aérea de Estados Unidos fue quien la utilizó primero, estocomo ayuda en la toma de decisiones. Actualmente tiene una amplia aplicación enlos análisis industrial y económico.El objetivo es que maximizar o minimizar una función (costos, utilidad); sujeta aalgunas limitaciones (o restricciones) que presentan las industrias o empresas. MOTIVACIÓN Podremos resolver problemas como el siguiente: En un comedor se debe dar un desayuno con una composición mínima de 15 u. de proteínas y otras 15 de carbohidratos. Por convenio con la Municipalidad sólo se cuentan dos clases de alimentos : el tipo X con una composición de una unidad de proteínas y cinco de carbohidratos, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de proteínas y una de carbohidratos. El precio del tipo X es de $1000 y el del tipo Y es de $3000. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo? 1
  • Matemática Superior4.2. DESARROLLO DE SUBCONTENIDOS.Los problemas de Programación Lineal pueden presentarse en la formamatemática, dando la función objetivo y las restricciones, como lo hemos vistohasta ahora, o bien plantearlos mediante un enunciado. Si éste es el caso, puedeseguirse el camino que se indica en el siguiente ejemplo.4.2.1. PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL.Ejemplo 1.En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes sehan de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 deaceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe serinferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad totaldel almacén es de 150 bidones. Sabiendo que la utilidad es la misma para los dostipos de aceite (1.00 soles). ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenarpara que la utilidad de la mercadería almacenada sea máxima?Paso 1º:Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables yescribir la función objetivo.El objetivo es: hallar cuántos bidones de cada tipo hay que almacenar paramaximizar la utilidad.Suponemos que tal objetivo se consigue almacenado: x bidones de aceite degirasol e y de aceite de olivaCómo cada bidón de aceite de girasol genera una utilidad de 1 sol y lo mismo parauno de aceite, la utilidad total será: x + yLuego, la función objetivo es: Z = f(x,y) = x + y Función que se debe maximizar.Paso 2º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas,x e y, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.  Un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol: x 20  Un mínimo de 40 bidones de aceite de oliva: y 40  El número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol: y x/2  La capacidad total del almacén es de 150 bidones: x + y 150 2
  • Matemática SuperiorAdemás, los números de bidones deben ser cantidades positivas: x 0;y 0Paso 3º: Expresar el problema en la forma estándar.Siguiendo con el ejemplo, sería: Z = f(x,y) = x +Maximizar: ysujeto a: x+y 150 y x/2 x 20 ; y 40Aquí termina el planteamiento delproblema. Para su resolución hay que continuar con:Paso 4º: Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la regiónfactible.Para las restricciones anteriores debemos representar las rectas:x + y = 150 , y = x/2, x = 20, y = 40,Obteniéndose la región factible que en la figura se encuentra coloreada.Paso 5º: Hallar las coordenadas de los vértices del polígono obtenido. Resolviendo los sistemas: se obtienen los vértices: { x = 20, y = 40 } , A(20,40) { y = x/2 , y = 40 } , B(80,40) { y = x/2 , x + y = 150} , C(100, 50) { x + y = 150, x = 20}; D(20,130)Paso 6º: Sustituir las coordenadas de esos puntos en la función objetivo y hallarel valor máximo o mínimo.Sustituyendo en f(x,y) = x + y, se tiene: f(A) = f(20,40) = 60 , f(B) = f(80,40) = 120 , f(C) = f(100, 50) = 150 , f(D) = f(20,130) = 150 3 View slide
  • Matemática SuperiorComo el valor máximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse porcualquiera de los dos, o por cualquier punto perteneciente al segmento que losune.Así, por ejemplo, se obtendría la misma utilidad con 40 bidones de aceite girasol y110 bidones de aceite de oliva; o 90 y 60 respectivamente.Paso 7º: También es conveniente representar las rectas de nivel para comprobarque la solución gráfica coincide con la encontrada. Esta conveniencia se convierteen necesidad cuando la región factible es no acotada.En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la mismapendiente que la recta límite de la restricción x + y 150; por tanto, hay múltiplessoluciones.Paso 8º: Por último, como en la resolución de todo problema es necesario criticarla solución: cerciorarse de que la solución hallada es lógica y correcta.En este ejemplo, no todos los puntos del segmento CD son soluciones válidas, yaque no podemos admitir valores de x e y no enteros, como ocurriría en el punto(90.5, 59.5) .Nota: Si un problema en la forma estándar no indica que se debe realizar por elmétodo analítico o gráfico , seguiremos para su resolución los pasos del 4º al 8ºEjemplo 2Las restricciones pesqueras impuestas por el Ministerio obligan a cierta empresa apescar como máximo 2000 toneladas de anchoveta y 2000 toneladas de pota,además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000toneladas. Si el precio de la anchoveta es de 1000 soles/ton y el precio del pota esde 1500 soles/ton, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio?Sean : x = número de toneladas de anchoveta y = número de toneladas de potaDel enunciado deducimos las restricciones:  Como máximo 2000 toneladas de anchoveta: x 2000  Como máximo 2000 toneladas de pota: y 2000  Las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas: x+y 3000La función objetivo que da el beneficio en miles de soles y que hay que maximizarviene dada por: 4 View slide
  • Matemática Superior f(x,y) = 1000x + 1500yRepresentando las rectas: x = 2000, y = 2000 , x + y = 3000correspondientes a las fronteras de las restriccionesobtenemos la región factible:Donde los vértices obtenidos son: A(2000,0) ; B(2000, 1000) ; C(1000, 2000) , D(0,2000) y O(0,0)Al sustituir sus coordenadas en la función objetivo f resulta: f(A) = 2000 millones de soles. ; f(B) = 3500 millones de soles; f(C) = 4000 millones de soles ; f(D) = 3000 millones de soles y f(O)= 0 soles.La función objetivo alcanza su máximo en el vértice C, por lo que las cantidades apescar son 1000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de potaEjemplo 3.Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuestode un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q,siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos yno supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10gramos. a. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b. ¿Qué mezcla hace q mínimo?Sean: x los gramos de la pintura A y los gramos de la pintura B que aparecen en la mezcla.Traduzcamos a inecuaciones las restricciones a las que se han de someter esascantidades. 5
  • Matemática Superior  La cantidad de A es mayor que la de B: x>y  Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos: 30 x-y 10  B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos: 30 y 10  Además sabemos que : x 0,y 0.Veamos las cantidades de pigmento de cada tipo:Cantidad de pigmento de tipo p: Fp (x, y) = 0.3x + 0.5yCantidad de pigmento de tipo q: Fq (x, y) = 0.4x + 0.2yLa región factible es la mostrada.Sus vértices son: A(20,10) , B(40,10), C(60,30) D(40,30)a) La mayor cantidad de pigmento p, se produce para 60 gramos de la pintura A y30 de la B: Fp (20,10) = 0.3·20 + 0.5·10 = 11 ; Fp (40, 10) = 17; Fp (60, 30) = 33 Fp (40,30) = 27 ;b) La menor cantidad de pigmento q, se produce para 20 gramos de la pintura A y10 de la B: Fq (20, 10) = 0.4·20 + 0.2·10 = 10 ; Fq (40, 10) = 18 ; Fq (60, 30) = 30 Fq (40, 30) = 22;Ejemplo 4. Problema del transporteUna empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dosfábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estaspiezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600piezas, respectivamente. Los costos de transporte, en soles por pieza son los que 6
  • Matemática Superioraparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que elcosto sea mínimo? Tienda A Tienda B Tienda C Fábrica I 3 7 1 Fábrica II 2 2 6En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a loscentros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no puedengenerarse stocks del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas.En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse enlas cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que: x + y + z = 800.Pero, además, si desde la fábrica I se envían x unidades a A, el resto, hasta las1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, (1000 – x)unidades serán enviadas desde II a A.Del mismo modo, si desde la fábrica I a B se envían y, el resto necesario, (700 –y), deben enviarse desde II.Y lo mismo para C, que recibirá z desde la fábrica I y (600 – z) desde II.En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho: a la tienda A a la tienda B a la tienda CEnvíos (1000) (700) (600)Desde la fábrica I ( x y 800 - x - y800)Desde la fábrica II 1000 - x 700 - y x + y - 200(1500)La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma:Como x + y + z = 800 ,se tiene que z = 800 - x - y,de donde, 600 - z = 600 - (800 - x - y) = x + y - 200.Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero.Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades: 7
  • Matemática Superior x 0; 1000 - x 0; y 0; 700 – y 0; 800 - x - y 0 ; x + y - 200 0Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones: 1000 x 0; 700 y 0; 800 x+y 0Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costos de transporte.Estos costos se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica acada tienda por los respectivos costos de transporte unitario.Se obtiene: Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) +6(x + y - 200) = 6x + 10y + 3000En definitiva, el programa lineal a resolver es: Minimizar: Z = 6x + 10y + 3000 sujeto a: 1000 x 0 700 y 0 800 x+y 0La región factible es la mostrada:Sus vértices son: y el costo, el valor de Z es: A(200,0) ; en A, 4200 B(800,0) ; en B, 7800 C(100,700) ; en C, 10600 D(0,700) en D, 10000 E(0,200). en E, 5000El mínimo se da en A , cuando x = 200 y y = 0.Luego, las cantidades a distribuir son: 8
  • Matemática Superior a la tienda A a la tienda B a la tienda CEnvíos (1000) (700) (600)Desde la fábrica I ( 200 0 600800)Desde la fábrica II 800 700 0(1500)Ejemplo 5. Problema de la dietaEn un comedor se debe dar un desayuno con una composición mínima de 15 u. deproteínas y otras 15 u. de carbohidratos. Por convenio con la Municipalidad sólo secuentan dos clases de alimentos : el tipo X con una composición de una unidad deproteínas y cinco de carbohidratos, y el tipo Y, con una composición de cincounidades de proteínas y una de carbohidratos. El precio del tipo X es de $1000 y eldel tipo Y es de $3000. Se pregunta:¿Qué cantidades se han de comprar de cadatipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo ?El problema se llama así porque en sus orígenes consistió únicamente endeterminar la dieta humana más económica.En su forma industrial más corriente, el problema consiste en saber cómo mezclarde la forma más económica posible las materias primas que constituyen unproducto de fórmula química conocida.Podemos organizar la información mediante una tabla: Unidades Proteínas Carbohidratos Costo ($) Alimento X x x 5x 1000x Alimento Y y 5y y 3000y 1000x + Total 15 15 3000yLa función objetivo del costo total, f, si se emplean x kg del alimento X e y kg delalimento Y, es : Z = f(x,y) = 1000x + 3000y 9
  • Matemática SuperiorEl conjunto de restricciones es: x 0,y 0; x + 5y 15 ; 5x + y 15 .Con estos datos representamos la región factible y las rectasde nivel de la función objetivo.De todas las rectas de nivel que tocan a la región factible,hace que el costo Z sea mínimo la que pasa por el vérticeA(2.5,2.5).La solución óptima se obtiene comprando 2.5 unidades de X y 2.5 unidades de Y.El costo total es : Z = f(2.5,2.5) = 1000·2.5 + 3000·2.5 = $10000Ejemplo 6.Una compañía produce dos tipos de artículos, manuales y eléctricos. Cada unorequiere para su fabricación del uso de tres máquinas, A, B y C. Cada artículomanual requiere del uso de las máquina A durante 2 horas, de la máquina B por 1hora y de la máquina C otra hora. Un artículo eléctrico requiere 1 hora de lamáquina A, 2 horas de la B y 1 hora de la C. Además, supongamos que el númeromáximo de horas disponibles por mes para el uso de las máquinas A, B y C es de180, 160 y 100 respectivamente. La utilidad por cada artículo manual es de $4 ypor cada artículo eléctrico es de $6. Si la compañía vende todos los artículos quepuede producir, ¿Cuántos artículos de cada tipo debe producir con el fin demaximizar la utilidad mensual?Establezcamos que x y y son el número de artículos manuales y eléctricos,respectivamente, fabricados en un mes. Además el número de artículos producidosno es negativo, x0 y y  0 (condiciones de no negatividad) Utilidad / A B C unidad Manual 2 hr 1 hr 1 hr $4 Eléctrico 1 hr 2 hr 1 hr $6 Horas disponibles 180 160 100 10
  • Matemática SuperiorPara la máquina A el tiempo necesario para trabajar sobre x artículos manuales es2x horas y el tiempo para trabajar sobre y artículos eléctricos es 1y horas.La suma de estos tiempos no puede ser mayor que 180, de modo que 2x + y  180Las restricciones para las máquinas B y C dan x + 2y  160 x + y  100La utilidad P es una función de x y y, y está dada por la función de utilidad P = 4x + 6yEn resumen, queremos maximizar la función objetivo P = 4x + 6ysujeta a las condiciones de que x y y deben ser soluciones del sistema derestricciones 2x + y  180 x + 2y  160 x + y  100 x0 y0La región que satisface de manerasimultánea las restricciones estásombreada.Cada punto en esta región representa unasolución factible, y dicha región se llamaregión factible.Aunque existe un número infinito de soluciones factibles, debemos encontrar unaque maximice la función de utilidad.El problema se ha reducido a un ejercicio de Programación Lineal, que se resolvióen el Ejemplo 1 de los Ejercicios de Programación Lineal. 11
  • Matemática Superior PROBLEMAS DE APLICACIÓNLee detenidamente, analiza y plantea tu solución. No te olvides que, elobjetivo es obtener la solución óptima. 1. Un agricultor va a comprar fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mínimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C. Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rápido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fácil cuesta $6 cada bolsa, contiene 2 unidades de cada nutriente. ¿Cuántas bolsas de cada marca debe comprar para que el costo sea mínimo? 2. Una empresa de productos de papelería dispone de 270 metros cuadrados de cartón y 432 metros de cinta de goma para la fabricación de dos tipos de carpetas: tamaño folio y tamaño cuartilla. Para una del primer tipo necesitan 0,20 metros cuadrados de cartón y 30 centímetros de cinta de goma y se venden a 1,40 euros la unidad. Para una carpeta del segundo tipo se necesitan 0,15 metros cuadrados de cartón y 27 centímetros de cinta de goma y se vende a 1,10 euros la unidad. a) Representa la región factible. b) ¿Cuántas carpetas de cada tipo interesa fabricar para que el beneficio que se obtiene con su venta sea lo más grande posible? c) Calcula ese beneficio máximo. Sol.: 900 carpetas tamaño folio y 600 tamaño cuartilla 3. Para la temporada de rebajas, un comerciante decide poner a la venta 70 camisetas, 120 camisas y 110 pantalones en dos tipos de lotes. El lote A formado por 2 camisas, 1 pantalón y 1 camiseta se venderá a 60 euros, mientras que el lote B, formado por 1 camisa, 2 pantalones y 1 camiseta se vendrá a 70 euros. ¿Cuántos lotes ha de hacer de cada clase para obtener el máximo de recaudación y cuánto dinero ingresará? Sol.: 4 600 euros haciendo 30 lotes de tipo A y 40 de tipo B 4. Una compañía fabrica y vende dos tipos de lámparas A y B. Para su fabricación necesita un trabajo manual de 10 minutos para el modelo A y de 20 minutos para el modelo B; u un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6 000 minutos al mes y para el de máquina de 4 800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio y calcular éste. Sol.: 4200 € fabricando 120 unidades del modelo A y 240 del B 5. Una constructora dispone de 90 000 m2 para construir viviendas en parcelas de 300 m2 y de 500 m2. Los beneficios obtenidos son de 20 000 € por cada parcela de 300 m2 y de 30 000 € por cada parcela de 500 m2. Teniendo en cuenta que el número máximo de parcelas de 500 m2 es de 120 y que el número máximo de parcelas de 300 m2 es de 150, determinar: a) ¿Cuántas parcelas de cada tipo deberá construir par obtener unos beneficios máximos? b) ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? Sol.: El beneficio máximo será de 5 700 000€ construyendo 150 parcelas de 300 m2 y 90 de 500 m2 12
  • Matemática Superior6. Un empresario fabrica dos productos A y B. La fabricación de un kilogramo de A necesita 4 horas de trabajo y un gasto de 60 euros en material obteniéndose un beneficio de 45 euros. La fabricación de un kilogramo de B necesita 8 horas de trabajo y un gasto de 48 euros en material, obteniéndose un beneficio de 33 euros. Cada semana dispone de 200 horas de trabajo. Además, firmó un contrato que le obliga a fabricar un mínimo de 15 kg de A y de 10 kg de B. Si no puede gastar más de 1920 euros en material, ¿cuántos kilogramos por semana debe fabricar de cada producto para obtener el mayor beneficio posible? Sol.: Debe fabricar 24 kg de A y 10 kg de B7. Se disponen de 60 cuadernos, 50 carpetas y 40 rotuladores que se agrupan en dos tipos de lotes, los del tipo I, con 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 rotuladores, que se venden a 4 euros, y los de tipo II, con 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 rotulador, que se venden a 5 euros. Si se venden todos los lotes que se hagan: a) ¿Cuántos de deben hacer de cada tipo para ganar lo máximo posible? b) ¿Sobrarán rotuladores, carpetas o cuadernos después de vender todos los lotes? Sol.: Se deben hacer 15 lotes del tipo I y 10 del tipo II. No sobrará ni cuadernos ni rotuladores, pero sí 25 carpetas8. Una fabrica de productos químicos considera la posibilidad de producir dos sustancias A y B cuyos beneficios unitarios son 4 y 6 soles, respectivamente. Cada unidad de A requiere 2 horas de trabajo, 2 horas de control de calidad y una de materia prima. Cada unidad de B necesita 1 hora de trabajo, 2 horas de control de calidad y 3 unidades de materia prima. Si dispone de 18 horas de trabajo, 24 unidades de materia prima y 20 horas de control de calidad, ¿cuántas unidades de cada sustancia han de fabricar para maximizar los beneficios? i) Plantea el problema ii) Resolución gráfica iii) Analiza gráficamente qué ocurre si el beneficio de B se reduce a 2 euros. Sol.: Hay que fabricar 3 unidades de A y 7 de B. Si se reduce a S/.2 será (8,2) y (9,0)9. Una tienda de moda está preparando su pedido de trajes para la próxima temporada. Para que cierto proveedor le haga unos precios especiales, el pedido debe incluir al menos 10 trajes de fabricación nacional y no sobrepasar los 20 trajes de ese tipo. Además, el número de trajes de fabricación nacional deberá ser al menos la tercera parte del número de trajes de importación. Por otro lado, el beneficio que la tienda obtendría por la venta de cada traje de fabricación nacional sería de 120 soles y de 200 soles por la venta de cada uno de importación, y la tienda quiere que el beneficio total que se pueda alcanzar vendiendo todo el pedido sea como mínimo de 3 600 soles Sol.: Se debe pedir 10 trajes de fabricación nacional y 12 de importación10. Una empresa edita un libro en dos tipos de formato, “normal” y de “bolsillo”. De un ejemplar del primer formato se obtiene un beneficio de 5 unidades monetarias y de un ejemplar del segundo 3. La producción de un ejemplar normal requiere 8 unidades de materia prima y 4 unidades de tiempo y la de bolsillo 4 unidades de materia prima y 3 de tiempo, disponiendo para ello de 800 unidades de materia prima y 480 unidades de tiempo. a) ¿Cuántos ejemplares de cada formato se han de editar para que el beneficio total sea máximo? 13
  • Matemática Superior b) Si el beneficio de producir un ejemplar normal fuera 4 unidades monetarias, ¿podría cambiar la solución del apartado anterior? Razonar la respuesta. Sol.: Se deben editar 60 ejemplares con formato normal y 80 de bolsillo. Si cambia11. Una empresa fabrica dos tipos de sillas, cada silla del modelo A requiere 0.3 m3 de madera y cada silla del modelo B requiere 0.4 m3 de madera: El fabricante desea construir al menos 3 sillas del modelo A y, al menos, el doble de sillas del modelo B que del A. Si se dispone de 6 m3 de madera y los beneficios son 3 € y 2 € por cada silla del modelo A y del modelo B respectivamente, ¿cuántas sillas de cada modelo ha de fabricar para maximizar los beneficios?. a) Plantea el problema b) Resolución gráfica c) ¿Y si los beneficios fueran 2 € y 1 € respectivamente? Sol.: 6 sillas del modelo A y 12 del B c) La misma solución12. a) Dibuja la región del plano determinada por las y  8 inecuaciones:  x  y  0 x  y  4  b) Hallar el máximo de la función z = 2x + 3y en la región del apartado a) c) Escribir una función que alcance su mínimo en un punto de la región del apartado a) Sol.: b) (8,8) . c) z = x - 2y13. Un almacenista desea liquidar 2 toneladas de manzanas y 1 tonelada de peras. Para ello lanza dos ofertas, la oferta 1 consiste en un lote de 10 kilos de manzanas y 10 kilos de peras por 750 soles, la oferta 2 consiste en 30 kilos de manzanas y 10 kilos de peras por 1250 soles Se desea ofrecer al menos 20 lotes de la oferta 1 y al menos 10 lotes de la 2. ¿ Cuántos lotes de cada oferta ha de ofrecer para maximizar los ingresos ( suponiendo que se venden todos? Sol.: 50 lotes de cada oferta14. Una empresa produce dos tipos de bolsos A y B. La producción de un bolso de tipo A requiere 3 unidades de materia prima y 5 horas de trabajo. Por otra parte, la producción de un bolso de tipo B requiere 2 unidades de materia prima y 4 horas de trabajo. La empresa dispone cada día de 180 unidades de materia prima y 320 horas de trabajo. Sabiendo que cada bolso de tipo A produce un beneficio de 4 unidades monetarias, cada bolso de tipo B 3 unidades monetarias y que se vende todo lo que se produce, se pide: a) ¿ Cuántos bolsos de cada tipo se han de producir diariamente para que el beneficio sea máximo? b) Suponer que cambian los beneficios producidos por cada tipo de bolso, siendo el que produce uno de tipo A de 3 unidades monetarias y uno de tipo B de 2, ¿varía la solución del problema del apartado a) ?. En caso en que varíe, calcular la nueva solución. Sol.: a) 40 bolsos de tipo A y 30 de B b) Además de la solución de a) 60 bolsos de tipo A 14
  • Matemática Superior15. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 soles por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 soles por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Sol: 50 de A y 100 de B16. En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 soles y las halógenas 600 soles. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá produccir para obtener la máxima facturación? (Universidad de Murcia.Junio 1996) Sol: 200 normales y 300 halógenas17. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27’5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Universidades de Castilla y León. Septiembre 1997) Sol: 5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 5 docenas de pasteles del tipo Q18. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 soles la unidad y de la clase B a 150 soles En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. (La Laguna. 1992) Sol: La solución óptima mínima es producir 1000 rotuladores de clase B y ninguno de la clase A, siendo el costo mínimo diario de 150000 soles. La solución óptima máxima es producir 2000 rotuladores de la clase A y 1000 de la clase B, siendo el costo máximo de 550000 soles19. Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 soles en salarios y 1.800.000 soles en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 soles y 50 soles por cada unidad de B. El coste salArial,MS Sans Serif,Helvetica y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla: A B Coste salArial,MS Sans Serif,Helvetica 200 100 Coste energético 100 300 Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.(Universidades Andaluzas. Septiembre 1997). Sol: 2400 unidades del producto A y 5200 del producto B 15
  • Matemática Superior20. Una persona tiene 500.000 soles para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300.000 soles en A y como mínimo 100.000 soles en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500.000 soles para maximizar sus intereses anuales? Sol: 300000 soles en acciones del tipo A y 200000 soles en acciones del tipo B21. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 soles y cada unidad de vinagre de 200 soles (Universidades Andaluzas. Junio 1996) Sol: 3 unidades de vino y 2 de vinagre22. Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 soles, mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 soles cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible? Sol: 3 contenedores al mayorista A y 2 al mayorista B 16