Tema 3Introducci´n a la interpolaci´n y a la           o                 ointegraci´n num´rica         o      e3.1.     In...
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Bibliograf´          ıa                                           ´[1] A. Aubanell, A. Benseny & A. Delshams, Utiles b´sic...
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  1. 1. Tema 3Introducci´n a la interpolaci´n y a la o ointegraci´n num´rica o e3.1. Introducci´n a la interpolaci´n o o Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en in-genier´ es tratar de construir una funci´n (denominada “funci´n interpolante”) de la ıa o oque se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolaci´n”). Estos datos opueden ser fruto de las observaciones realizadas en un determinado experimento en elque se relacionan dos o m´s variables e involucran valores de una funci´n y/o de sus a oderivadas. El objetivo ser´ determinar una funci´n que verifique estos datos y que adem´s a o asea f´cil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan afrecuentemente como funciones interpolantes.3.1.1. Generalidades Un problema de interpolaci´n en general puede enunciarse de la siguiente forma: o Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una funci´n y/o sus derivadas en o determinados puntos xi , i = 0, 1, · · · , n, que llamaremos nodos, nuestro objetivo es construir otra funci´n que coincida con la funci´n dada en los datos de interpolaci´n. o o o Seg´n el tipo de los datos de interpolaci´n, podemos considerar los siguientes tipos de u ointerpolaci´n: o Interpolaci´n de Lagrange: Conocemos los valores de la funci´n f (xi ) en n+1 puntos o o distintos, xi , i = 0, 1, · · · , n Interpolaci´n de Taylor: Los datos son el valor de la funci´n y sus derivadas sucesivas o o en un punto x0 hasta el orden n. f i) (x0 ), i = 0, 1, · · · , n. 51
  2. 2. 52 C´lculo Num´rico I. a e Interpolaci´n de Hermite: Disponemos de los valores de una funci´n y de algunas o o de sus derivadas sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi ) y f ′ (xi ) en n + 1 puntos distintos, xi , i = 0, 1, · · · , n En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensi´n finita, oes decir son del tipo: ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x),donde ψ0 (x), ψ1 (x), · · · , ψn (x), son funciones dadas que forman base del espacio vectorialcorrespondiente y ai , i = 0, 1, · · · , n n´meros reales a determinar. u Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la in-terpolaci´n se llamar´ polin´mica, racional, trigonom´trica, spline polinomial,... Entre las o a o ediferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para operar, los polinomiosson los utilizados con mayor frecuencia en problemas de interpolaci´n, en este caso las o ifunciones de base son ψi (x) = x , i = 0, 1, · · · , n. Sin embargo, no siempre dan unarespuesta satisfactoria, especialmente si la soluci´n del problema requiere el uso de poli- onomios de alto grado o, por ejemplo, si se observa un comportamiento peri´dico en los odatos de interpolaci´n. o Por simplicidad, nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particular de lainterpolaci´n polin´mica de Langrange. o o3.1.2. La interpolaci´n de Lagrange o El problema de la interpolaci´n polin´mica de Lagrange consiste en lo siguiente: o o Conocidos los valores de una funci´n f en n + 1 puntos distintos xi , i = 0, 1, · · · , n o de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado no superior a n, que coincida con la funci´n f en estos n + 1 puntos, es decir, o Pn (xi ) = f (xi ), para i = 0, 1, · · · , n. El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomio de grado menor oigual que n y, por tanto, Pn (x) ser´ de la forma a Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,y, para determinarla, habr´ que hallar los n + 1 coeficientes reales a0 , a1 , · · · , an . En el acaso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n. La existencia y unicidad del polinomio de interpolaci´n Pn (x) se prueba en el siguiente oresultado, adem´s se determina una primera forma de construirlo. a
  3. 3. Tema 3: Introducci´n a la interpolaci´n y a la integraci´n num´rica. o o o e 53Teorema 3.1 (Formula de interpolaci´n de Lagrange)oSean f : [a, b] → R y {x0 , x1 , · · · , xn }, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b]. Entonces,existe un unico polinomio Pn (x) de grado menor o igual que n, que verifica ´ Pn (xi ) = f (xi ), i = 0, 1, · · · , n. A este polinomio se le denomina polinomio de interpolaci´n de f en los nodos {x0 , x1 , · · · , xn } oy viene dado por n Pn (x) = f (xi ) Li (x), (1.1) i=0donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, n x − xj Li (x) = . j=0 xi − xj j=i Demostraci´n.- o 1. Existencia: Teniendo en cuenta que para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, x − x0 x − x1 x − xi−1 x − xi+1 x − xn Li (x) = ··· ··· , xi − x0 xi − x1 xi − xi−1 xi − xi+1 xi − xn es inmediato comprobar que, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) es un polinomio de grado exactamente n y verifica que Li (xj ) = δij para cada j ∈ {0, 1, · · · , n}. En consecuencia, Pn (x) es un polinomio de grado n como m´ximo y Pn (xj ) = f (xj ), a para cada j ∈ {0, 1, · · · , n}. 2. Unicidad: Supongamos que existen Pn (x) y Qn (x) dos polinomios de grado menor o igual que n, que verifican Pn (xi ) = f (xi ) = Qn (xi ), para cada i = 0, 1, · · · , n. Entonces, el polinomio Dn (x) = Pn (x) − Qn (x) es tambi´n un polinomio de e grado menor o igual que n y satisface Dn (xi ) = Pn (xi ) − Qn (xi ) = 0, para cada i = 0, 1, · · · , n. Es decir, Dn (x) es un polinomio de grado menor o igual que n con n + 1 ra´ ıces ´ distintas, por tanto, por el teorema Fundamental del Algebra, Dn (x) ≡ 0 de donde se concluye que Pn (x) ≡ Qn (x). ⋄Observaciones 3.1 La expresi´n (1.1) se conoce como f´rmula de Lagrange del polinomio de interpo- o o laci´n. El Teorema 3.1 proporciona un m´todo constructivo para obtener el polinomio o e de interpolaci´n Pn (x) mediante la f´rmula (1.1). o o Ejemplo.- Obtener el polinomio que interpola a los valores (−1, 3), (2, 1), (3, 2), (4, 4).
  4. 4. 54 C´lculo Num´rico I. a e Si alg´n dato es f (xj ) = 0, no hace falta calcular Lj (x). u Los polinomios Lk (x) s´lo dependen de los nodos de interpolaci´n {x0 , x1 , · · · , xn }. o o De modo que, una vez calculado cada Lk (x) se construyen los polinomios de inter- polaci´n poniendo los f (xk ) como coeficientes de una combinaci´n lineal, lo cual o o es una ventaja si queremos resolver varios problemas de interpolaci´n con los mis- o mos nodos xk . En este sentido, {L0 (x), L1 (x), · · · , Ln (x)} es la base del espacio vectorial de los polinomios de interpolaci´n asociados a los nodos {x0 , x1 , · · · , xn }. o No obstante, la f´rmula de Lagrange (1.1) tiene el inconveniente de que hay que o realizar numerosos c´lculos y sobre todo que si a˜adimos un dato m´s de interpo- a n a laci´n, hemos de volver a calcular todos los polinomios Lk (x). oNotaci´n 3.1 Dados n + 1 puntos distintos {x0 , x1 , · · · , xn } denotaremos por o n Πn (x) = (x − xi ) = (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xn ). i=03.1.3. Error de interpolaci´n o Una vez calculado el polinomio de interpolaci´n, pretendemos ahora usarlo para esti- omar el valor de la funci´n f en cualquier punto del intervalo [a, b]. Si el punto elegido coin- ocide con alguno de los nodos de interpolaci´n {x0 , x1 , · · · , xn }, entonces f (xi ) = Pn (xi ). oSin embargo, si tomamos un punto x ∈ [a, b] distinto de los nodos de interpolaci´n, en ogeneral f (x) = Pn (x). Se produce entonces un error que llamaremos error de interpolaci´n oque denotaremos por En (x) = f (x) − Pn (x). Nuestro objetivo en esta secci´n es estimar este error. Para ello, notemos en primer olugar que sin hip´tesis adicionales, no podemos decir nada acerca de esta cantidad pues opodemos cambiar la funci´n f en puntos que no sean los de interpolaci´n sin que cambie o oel polinomio. Adem´s, si s´lo se conoce los valores de f en algunos puntos, sin llegar a a otener su expresi´n anal´ o ıtica, entonces, es imposible estimar el error que se comete con elpolinomio de interpolaci´n. o No obstante, vamos a probar que cuando la funci´n f es suficientemente regular, opodemos precisar el error que se comete en cada punto de interpolaci´n en t´rmino de las o ederivadas de f .Teorema 3.2 Sean f ∈ C n+1 ([a, b]), {x0 , x1 , · · · , xn }, n + 1 puntos distintos del in-tervalo [a, b] y Pn el polinomio de interpolaci´n de f en {x0 , x1 , · · · , xn }. Entonces, opara cada x ∈ [a, b] existe ξx ∈ Ix (con Ix el menor intervalo cerrado que contiene a{x0 , x1 , · · · , xn , x}), tal que f n+1) (ξx ) En (x) = f (x) − Pn (x) = Πn (x). (1.2) (n + 1)!
  5. 5. Tema 3: Introducci´n a la interpolaci´n y a la integraci´n num´rica. o o o e 55Demostraci´n.- Sea x ∈ [a, b] cualquiera, entonces pueden presentarse dos casos: o 1. Si x = xi para alg´n i ∈ {0, 1, · · · , n}, entonces el resultado es trivial, pues u f (xi ) = Pn (xi ) y Πn (xi ) = 0. 2. Si x = xi para todo i ∈ {0, 1, · · · , n}, entonces, consideramos la funci´n F : [a, b] → o R definida, para cada y ∈ [a, b], por F (y) = [f (y) − Pn (y)] Πn (x) − [f (x) − Pn (x)] Πn (y), que verifica F ∈ C n+1 ([a, b]), F (xi ) = [f (xi ) − Pn (xi )] Πn (x) − [f (x) − Pn (x)] Πn (xi ) = 0, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n} y F (x) = [f (x) − Pn (x)] Πn (x) − [f (x) − Pn (x)] Πn (x) = 0. Es decir, F es una funci´n de clase n + 1 en un intervalo donde, adem´s, posee n + 2 o a ra´ reales distintas, entonces, por el Teorema de Rolle, la funci´n F ′ es de clase n ıces o en Ix y tiene al menos n + 1 ra´ en Ix , repitiendo este razonamiento llegar´ ıces ıamos n+1) a que F es una funci´n continua en Ix y posee al menos una ra´ ξx ∈ Ix . De o ız aqu´ como para cada y ∈ [a, b], es ı, n+1) n+1) F n+1) (y) = [f n+1) (y) − Pn (y)] Πn (x) − [f (x) − Pn (x)] Πn (y) = f n+1) (y) Πn (x) − [f (x) − Pn (x)] (n + 1)! usando que Pn es un polinomio de grado menor o igual que n y que Πn es un polinomio m´nico (de coeficiente l´ igual a 1) de grado exacto n+1. En particular, o ıder se deduce que 0 = F n+1) (ξx ) = f n+1) (ξx ) Πn (x) − [f (x) − Pn (x)] (n + 1)!, de donde se concluye el resultado. ⋄Observaciones 3.2 La expresi´n (1.2) permite obtener una cota del error de interpolaci´n, pues, para o o cada x ∈ [a, b], es |Πn (x)| n+1) |f (x) − Pn (x)| ≤ f L∞ (a,b) , (n + 1)! siendo g L∞ (a,b) = m´x |g (x)|, a a≤x≤b la norma del m´ximo de una funci´n continua g : [a, b] → R. a o
  6. 6. 56 C´lculo Num´rico I. a e Se prueba que la funci´n g : [a, b] → R definida, para cada x ∈ [a, b], por o g (x) = f n+1) (ξx ), es continua en [a, b]. La estimaci´n del error precedente es ´ptima en el sentido de que existe una funci´n o o o para la que se da la igualdad. En efecto, si consideramos la funci´n o n f (x) = Πn (x) = (x − xi ), i=0 se verifica que Pn (x) ≡ 0 y f n+1) (x) = (n+1)! en cada x ∈ [a, b]. En consecuencia, |Πn (x)| n+1) |f (x) − Pn (x)| = |Πn (x)| = f L∞ (a,b) . (n + 1)!3.1.4. F´rmula de interpolaci´n de Newton o o En esta secci´n vamos a estudiar otra forma de calcular el polinomio de interpolaci´n o oPn (x) que no presenta los inconvenientes de la f´rmula de Lagrange. Esta nueva forma oes la denominada f´rmula de interpolaci´n de Newton para el polinomio de interpolaci´n o o ode Lagrange, que nos va a permitir una representaci´n del polinomio de interpolaci´n en o ot´rminos de “diferencias”(ya sean divididas o finitas) de los valores de la funci´n en los e opuntos de interpolaci´n. Comencemos con la definici´n de esta “diferencias” o oDefinici´n 3.1 Sean f : [a, b] → R y {x0 , x1 , · · · , xn }, n + 1 puntos distintos del inter- ovalo [a, b]. Para cada i ∈ N ∪ {0} sean   f [x ] = f (x ),  i i  f [xi , xi+1 , · · · , xi+m ] = f [xi+1 , xi+2 , · · · , xi+m ] − f [xi , xi+1 , · · · , xi+m−1 ] . xi+m − xi f [xi , xi+1 , · · · , xi+m ] se denomina diferencia dividida de orden m ∈ N ∪ {0} de f en elpunto xi . An´logamente, sean a   ∆0 f (x ) = f (x ), i i m m−1  ∆ f (xi ) = ∆ f (xi+1 ) − ∆m−1 f (xi ).∆m f (xi ) se denomina diferencia finita de orden m ∈ N ∪ {0} de f en el punto xi . Las diferencias divididas y las finitas est´n relacionadas entre si, en el caso que los anodos de interpolaci´n est´n uniformemente espaciados, como muestra el siguiente resul- o etado.
  7. 7. Tema 3: Introducci´n a la interpolaci´n y a la integraci´n num´rica. o o o e 57Teorema 3.3 Sean f : [a, b] → R y {x0 , x1 , · · · , xn }, n + 1 puntos uniformementeespaciados del intervalo [a, b], es decir, existe h > 0 tal que, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n},es xi = x0 + i h. Entonces, ∆m f (xi ) f [xi , xi+1 , · · · , xi+m ] = . m! hmDemostraci´n.- Lo mostramos por inducci´n sobre el orden m de la diferencias: o o 1. Para las diferencias de orden m = 1, como xi+1 = xi + h entonces f (xi+1 ) − f (xi ) f (xi+1 ) − f (xi ) ∆ f (xi ) f [xi , xi+1 ] = = = . xi+1 − xi h h 2. Supongamos cierto el resultado para las diferencias de orden m − 1 y lo probamos para las de orden m. Por definici´n se tiene que o f [xi+1 , xi+2 , · · · , xi+m ] − f [xi , xi+1 , · · · , xi+m−1 ] f [xi , xi+1 , · · · , xi+m ] = . xi+m − xi Como xi+m − xi = m h, aplicando la hip´tesis de inducci´n podemos escribir o o 1 ∆m−1 f (xi+1 ) ∆m−1 f (xi ) ∆m f (xi ) f [xi , xi+1 , · · · , xi+m ] = − = mh (m − 1)! hm−1 (m − 1)! hm−1 m! hm ⋄ Estamos ya en condiciones de obtener la f´rmula de Newton del polinomio de inter- opolaci´n. oTeorema 3.4 (Formula de interpolaci´n de Newton) oSean f : [a, b] → R y {x0 , x1 , · · · , xn }, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b]. Entonces,el polinomio de interpolaci´n de f en los nodos {x0 , x1 , · · · , xn } viene dado por o n Pn (x) = f [x0 , x1 , · · · , xi ] (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xi−1 ) i=0 (1.3) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ] (x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ] (x − x0 ) (x − x1 ) + · · · + f [x0 , x1 , · · · , xn ] (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xn−1 ). Adem´s, si x ∈ {x0 , x1 , · · · , xn }, entonces a En (x) = f (x) − Pn (x) = f [x0 , x1 , · · · , xn , x] Πn (x). (1.4) Demostraci´n.- Lo probaremos por inducci´n sobre el grado del polinomio: o o
  8. 8. 58 C´lculo Num´rico I. a e 1. Para n = 0, P0 (x) = f (x0 ) es el polinomio de interpolaci´n de f en x0 . Adem´s, o a para todo punto x = x0 , se verifica que f (x) − f (x0 ) f [x0 , x] = , x − x0 por lo que f (x) = f (x0 ) + f [x0 , x] (x − x0 ) = P0 (x) + f [x0 , x] Π0 (x). 2. Suponemos cierto el resultado para n − 1, es decir, que Pn−1 (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ] (x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ] (x − x0 ) (x − x1 ) + · · · + f [x0 , x1 , · · · , xn−1 ] (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xn−2 ), es el polinomio de interpolaci´n de f en los nodos {x0 , x1 , · · · , xn−1 } y o f (x) − Pn−1 (x) = f [x0 , x1 , · · · , xn−1 , x] Πn−1 (x), (1.5) para x ∈ {x0 , x1 , · · · , xn }. Lo probamos ahora para n. Para ello, consideramos el polinomio Q (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ] (x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ] (x − x0 ) (x − x1 ) + · · · + f [x0 , x1 , · · · , xn ] (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xn−1 ), que, por hip´tesis de inducci´n, podemos expresarlo como o o Q (x) = Pn−1 (x) + Πn−1 (x) f [x0 , x1 , · · · , xn ]. Obviamente, por construcci´n, Q (x) es un polinomio de grado menor o igual que o n que interpola a f en {x0 , x1 , · · · , xn−1 } y, adem´s Q (x) interpola a f en xn por a que Q (xn ) = Pn−1 (xn ) + Πn−1 (xn ) f [x0 , x1 , · · · , xn ] = f (xn ).donde esta ultima igualdad se obtiene aplicando (1.5) en el punto x = xn . En consecuencia, ´Q ≡ Pn polinomio de interpolaci´n de f en {x0 , x1 , · · · , xn }. o Por otra parte, para todo punto x ∈ {x0 , x1 , · · · , xn } se verifica que f [x0 , x1 , · · · , xn , x] = f [xn , xn−1 , · · · , x0 , x] f [xn−1 , xn−2 , · · · , x0 , x] − f [xn , xn−1 , · · · , x1 , x0 ] = x − xn f [x0 , x1 , · · · , xn−1 , x] − f [x0 , x1 , · · · , xn−1 , xn ] = , x − xn
  9. 9. Tema 3: Introducci´n a la interpolaci´n y a la integraci´n num´rica. o o o e 59de donde f [x0 , x1 , · · · , xn−1 , x] = f [x0 , x1 , · · · , xn−1 , xn ] + (x − xn ) f [x0 , x1 , · · · , xn , x]Sustituyendo este valor en (1.5) se obtiene que f (x) − Pn−1 (x) = Πn−1 (x) (f [x0 , · · · , xn−1 , xn ] + (x − xn ) f [x0 , · · · , xn , x])para x ∈ {x0 , x1 , · · · , xn }, es decir, f (x) = Pn−1 (x) + Πn−1 (x) f [x0 , x1 , · · · , xn−1 , xn ] + Πn−1 (x) (x − xn ) f [x0 , x1 , · · · , xn , x] = Pn (x) + Πn (x) f [x0 , x1 , · · · , xn , x],de donde se sigue (1.4). ⋄Observaciones 3.3 Si en particular los puntos {x0 , x1 , · · · , xn } est´n uniformemente espaciados en el a intervalo [a, b] con paso h > 0, entonces el polinomio de interpolaci´n de f en o {x0 , x1 , · · · , xn }, viene dado por: n ∆i f (x0 ) Pn (x) = (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xi−1 ) i=0 i! hi ∆ f (x0 ) ∆2 f (x0 ) = f (x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 ) (x − x1 ) h 2 h2 ∆n f (x0 ) + · · · + (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xn−1 ) . n! hn El c´lculo de las diferencias divididas para construir el polinomio de interpolaci´n a o de f en {x0 , x1 , · · · , xn } se realizan mediante el algoritmo que muestra la siguiente tabla: f (x0 ) f [x0 , x1 ] ··· f [x0 , x1 , · · · , xn−1 ] f [x0 , x1 , · · · , xn ] f (x1 ) f [x1 , x2 ] ··· f [x1 , x2 , · · · , xn ] f (x2 ) f [x2 , x3 ] ··· ··· ··· ··· f (xn−2 ) f [xn−2 , xn−1 ] f (xn−1 ) f [xn−1 , xn ] f (xn ) El c´lculo de las diferencias finitas es similar. a
  10. 10. 60 C´lculo Num´rico I. a eLa propiedad m´s importante de la f´rmula de interpolaci´n de Newton es que permite a o oobtener el polinomio de interpolaci´n de f en ciertos puntos, a partir del polinomio de ointerpolaci´n en subconjuntos de ellos. En particular, oCorolario 3.1 Sean f : [a, b] → R y {x0 , x1 , · · · , xn }, n+1 puntos distintos del intervalo[a, b]. Sea Pn el polinomio de interpolaci´n de f en {x0 , x1 , · · · , xn } y xn+1 un punto de o[a, b] tal que xn+1 ∈ {x0 , x1 , · · · , xn }, entonces Pn+1 (x) = Pn (x) + Πn (x) f [x0 , x1 , · · · , xn , xn+1 ],es el polinomio de interpolaci´n de f en {x0 , x1 , · · · , xn , xn+1 }. o ⋄3.2. Introducci´n a la integraci´n num´rica o o e Uno de los problemas matem´ticos m´s antiguos es el del c´lculo del ´rea que encierra a a a auna curva. Como sabemos, la regla de Barrow resuelve el problema de calcular la integralde una funci´n en un intervalo [a, b], mediante la f´rmula o o b f (x) dx = F (b) − F (a), asiendo F una primitiva de la funci´n f en el intervalo [a, b], es decir, F ′ (x) = f (x), o∀ x ∈ [a, b]. Sin embargo, en muchos casos esto no es posible, dado que: Para ciertas funciones no es posible calcular dicha primitiva, a pesar de saber que existe. Por ejemplo, para las funciones 2 sen x √ f (x) = ex , f (x) = , f (x) = x5 + 1, x no es posible encontrar una primitiva expresable en t´rmino de funciones elemen- e tales. En muchos de los problemas que se plantean, a la hora de integrar funciones, est´n a relacionados con funciones definidas en forma de tabla de valores o gr´fica y no se a conoce una expresi´n anal´ o ıtica de f (x). En ambos casos se precisa de f´rmulas de integraci´n num´rica (tambi´n llamadas o o e ef´rmulas de cuadratura), que nos van a permitir calcular un valor aproximado de la ointegral en la forma b n f (x) dx ≃ ai f (xi ), a i=0donde los xi , i = 0, 1, · · · , n, son puntos del intervalo [a, b] y los coeficientes ai ,i = 0, 1, · · · , n, son n´meros reales elegidos convenientemente. u
  11. 11. Tema 3: Introducci´n a la interpolaci´n y a la integraci´n num´rica. o o o e 613.2.1. F´rmulas de integraci´n de tipo interpolatorio o o Para obtener f´rmulas de integraci´n num´rica seguiremos, b´sicamente, el procedi- o o e amiento basado en calcular el polinomio de interpolaci´n de la funci´n f en algunos puntos o odel intervalo [a, b] y aproximar el valor de la integral de la funci´n por el valor de la ointegral del polinomio de interpolaci´n. En concreto, o b b f (x) dx ≃ Pn (x) dx, a adonde n Pn (x) = f (xi ) Li (x), x ∈ [a, b] i=0es el polinomio de interpolaci´n de f en los n + 1 puntos distintos, xi , i = 0, 1, · · · , n, odel intervalo [a, b]. Integrando esta expresi´n en [a, b] obtenemos o b n Pn (x) dx = ci f (xi ), a i=0siendo b ci = Li (x) dx, apara i = 0, 1, · · · , n. N´tese que los coeficientes ci , i = 0, 1, · · · , n, son independientes ode f y, por tanto, una vez calculados proporcionan una f´rmula que se puede aplicar a ocualquier funci´n f : [a, b] → R. o Adem´s, ser´ necesario estudiar el error que se comete en este tipo de f´rmulas, es a a odecir, el valor de b b b Rn (f ) = f (x) dx − Pn (x) dx = En (x) dx. a a acon En (x) = f (x) − Pn (x). En este sentido, en el estudio del error de interpolaci´n, o n+1probamos que si f ∈ C ([a, b]), se tiene que f n+1) (ξx ) En (x) = Πn (x), (n + 1)!con Πn (x) = (x − x0 ) (x − x1 ) · · · (x − xn ) y donde ξx es un punto intermedio entrex0 , x1 , · · · , xn , x. Entonces, en este caso el error de integraci´n que se comete es o b b f n+1) (ξx ) Rn (f ) = En (x) dx = Πn (x) dx. a a (n + 1)! Para determinar una expresi´n expl´ o ıcita del error de integraci´n Rn (f ), resulta de outilidad el siguiente resultado conocido como teorema del valor medio generalizado:
  12. 12. 62 C´lculo Num´rico I. a eTeorema 3.5 Sean h, g : [a, b] → R funciones continuas en [a, b] y supongamos que gno cambia de signo en [a, b], entonces b b h (x) g (x) dx = h (ξ) g (x) dx, a adonde ξ es un punto del intervalo (a, b). Por otro lado, es obvio que si f es un polinomio de grado menor o igual que n,entonces f coincidir´ con su polinomio de interpolaci´n. En consecuencia, las f´rmulas de a o otipo interpolatorio sobre n + 1 puntos distintos son exactas para todos los polinomios degrado menor o igual que n, en el sentido de que Rn (f ) = 0. En relaci´n con esta observaci´n, se tiene la siguiente definici´n: o o oDefinici´n 3.2 Se llama orden o grado de precisi´n de un f´rmula de integraci´n al o o o omayor entero positivo m tal que la f´rmula es exacta para todos los polinomios de grado omenor o igual que m.En la pr´ctica, para probar que una f´rmula de integraci´n es de orden m, es suficiente a o ocomprobar que Rn (xk ) = 0, para k = 0, 1, · · · , m y Rn (xm+1 ) = 0.3.2.2. F´rmulas b´sicas de integraci´n num´rica o a o eF´rmula del rect´ngulo o a La formula de integraci´n m´s sencilla es aquella que utiliza el valor del funci´n f en o a oun s´lo punto x0 ∈ [a, b]. En este caso el polinomio de interpolaci´n de la funci´n f es o o ode grado, es decir, P0 (x) = f (x0 ), por lo que b b b f (x) dx ≃ P0 (x) dx = f (x0 ) dx = f (x0 ) (b − a). a a a Si x0 = a se obtiene la f´rmula del rect´ngulo izquierda dada por o a b f (x) dx ≃ f (a) (b − a). (2.6) a Si la funci´n f ∈ C 1 ([a, b]), el error cometido al usar la f´rmula (2.6) es o o b b f ′ (ξ) R0 (f ) = ′ f (ξx ) (x − a) dx = f (ξ) ′ (x − a) dx = (b − a)2 , a a 2con ξ ∈ (a, b). Para deducir esta f´rmula del error hemos utilizado el Teorema 3.5 puesto oque la funci´n Π0 (x) = (x − a) no cambia de signo en [a, b]. o
  13. 13. Tema 3: Introducci´n a la interpolaci´n y a la integraci´n num´rica. o o o e 63Observaciones 3.4 Un resultado similar se obtiene si tomamos x0 = b, en este caso la f´rmula de o integraci´n se denomina f´rmula del rect´ngulo derecha, o o a b f ′ (ξ) f (x) dx ≃ f (b) (b − a), R0 (f ) = − (b − a)2 . a 2 b Geom´tricamente, si f (x) ≥ 0 en [a, b], el valor de a f (x) dx se aproxima por el e ´rea del rect´ngulo de base (b − a) y altura f (a) o f (b). a a ´ a+b En el caso de que x0 = , se obtiene la f´rmula del punto medio dada por o 2 b a+b f (x) dx ≃ f (b − a). (2.7) a 2 Para obtener una expresi´n expl´ o ıcita del error de integraci´n que se comete usando esta of´rmula, suponemos que la funci´n f ∈ C 2 ([a, b]) y hacemos uso del siguiente desarrollo o ode Taylor de la funci´n f en el punto (a + b)/2: o 2 a+b ′ a+b a+b f ′′ (ξx ) a+b f (x) = f +f x− + x− . 2 2 2 2 2Integrando ambos miembros y usando la f´rmula (2.7), se obtiene que o b a+b f ′′ (ξ) R0 (f ) = f (x) dx − f (b − a) = (b − a)3 , a 2 24con ξ ∈ (a, b). De nuevo para deducir esta f´rmula del error hemos utilizado el Teo- o 2 a+brema 3.5 usando en esta ocasi´n que la funci´n x − o o no cambia de signo en 2[a, b]. La f´rmula (2.7) es especialmente interesante, puesto que si observamos el t´rmino que o enos da el error, podemos comprobar que se trata de una f´rmula de integraci´n de orden o o1, debido a que f ′′ (x) = 0, ∀ x ∈ (a, b), si f es un polinomio de grado menor o igualque 1.F´rmula del trapecio o Se trata de un f´rmula de integraci´n con dos puntos. En este caso el polinomio de o ointerpolaci´n de la funci´n f es de grado uno. En concreto, si consideramos los puntos o ox0 , x1 ∈ [a, b], el polinomio de interpolaci´n de la funci´n f ser´ o o a f (x1 ) − f (x0 ) P1 (x) = f (x0 ) + f [x0 , x1 ] (x − x0 ) = f (x0 ) + (x − x0 ). x1 − x0
  14. 14. 64 C´lculo Num´rico I. a ePodemos entonces obtener la siguiente f´rmula de integraci´n num´rica o o e b b f (x1 ) − f (x0 ) f (x) dx ≃ f (x0 ) + (x − x0 ) dx a a x 1 − x0 Para el caso particular x0 = a y x1 = b se obtiene la f´rmula del trapecio que viene odada por b b−a f (x) dx ≃ (f (a) + f (b)). (2.8) a 2 Adem´s, si suponemos que f ∈ C 2 ([a, b]) y dado que la funci´n Π1 (x) = (x − a)(x − a ob) no cambia de signo en el intervalo [a, b], entonces la aplicaci´n del Teorema 3.5 nos oproporciona b b f ′′ (ξx ) f ′′ (ξ) f ′′ (ξ)R1 (f ) = (x − a)(x − b)dx = (x − a)(x − b)dx = − (b − a)3 , a 2! 2 a 12donde ξ es un punto del intervalo (a, b).Observaciones 3.5 La expresi´n del error nos asegura que la f´rmula (2.8) es exacta para polinomios o o de grado no mayor que 1. Geom´tricamente, si f (x) ≥ 0 en [a, b], la f´rmula del trapecio aproxima el valor e o b de a f (x) dx por el ´rea del trapecio resultante de unir los puntos (a, 0), (b, 0), a (b, f (b)) y (a, f (a)).F´rmula del Simpson o Se trata de una f´rmula para 3 puntos, pero consigue exactitud para los polinomios de ogrado menor o igual que 3, considerando los puntos x0 = a, x1 = (a + b)/2 y x2 = b.Por integraci´n del polinomio de interpolaci´n, se deduce f´cilmente que o o a b b−a a+b f (x) dx ≃ f (a) + 4 f + f (b) . (2.9) a 6 2La deducci´n del error en la f´rmula (2.9) es un poco m´s laboriosa. Para ello, hay que o o a 4suponer que f ∈ C ([a, b]), integrar el desarrollo de Taylor de orden 3 de la funci´n f en oel punto x1 y aplicar el Teorema 3.5, obteni´ndose que e f 4) (ξ) R2 (f ) = − (b − a)5 , 2880con ξ ∈ (a, b)
  15. 15. Tema 3: Introducci´n a la interpolaci´n y a la integraci´n num´rica. o o o e 65Observaciones 3.6 La f´rmula de Simpson es una de las f´rmulas de integraci´n num´rica m´s usadas o o o e a en la pr´ctica. a En cuanto a la precisi´n, la expresi´n del error R2 (f ), en t´rminos de la derivada o o e cuarta de f , confirma que la f´rmula es exacta para los polinomios de grado menor o o igual que 3. Sin embargo, se obtiene a partir de la integraci´n de un polinomio de o grado 2. La f´rmula (2.9) tiene pues un grado extra de exactitud. o 1 2Ejemplo.- Obtener un valor aproximado de la integral e− x dx aplicando las f´rmulas o 0vistas en teor´ Dar, en cada caso, una estimaci´n del error cometido. ıa. o3.2.3. F´rmulas de integraci´n compuesta o o Las f´rmulas de integraci´n anteriores no son apropiadas cuando el intervalo de in- o otegraci´n [a, b] es bastante grande, ya que el error que se comete al utilizarlas suele ser otambi´n bastante grande, como se deduce de las expresiones del error. e Con objeto de conseguir una mayor precisi´n, podr´ pensarse en utilizar f´rmulas o ıa ode tipo interpolatorio con mayor n´mero de puntos. Sin embargo este procedimiento, a uparte de ser m´s engorroso, no conduce necesariamente a f´rmulas m´s exactas debido a o aa los problemas que puede presentar el polinomio de interpolaci´n cuando el grado es omuy alto. Por esta raz´n, es aconsejable un m´todo distinto y en la pr´ctica m´s efectivo. o e a aConsiste en dividir el intervalo inicial en un n´mero apropiado de subintervalos y aplicar uun m´todo de integraci´n num´rica simple en cada uno de ellos. De esta forma aparecen e o elas f´rmulas de integraci´n num´rica compuestas. o o e Si llamamos h = (b − a)/n, entonces los puntos xj = a + j h, para j = 0, 1, · · · , n,constituyen una partici´n (uniforme) del intervalo [a, b] y se tiene que o b n−1 xj+1 f (x) dx = f (x) dx. a j=0 xj Ahora aplicamos una f´rmula de integraci´n num´rica para aproximar la integral de o o ela funci´n en cada uno de los intervalos [xj , xj+1 ] para j = 0, 1, · · · , n − 1. oF´rmula del punto medio compuesta o Si utilizamos la f´rmula del punto medio para aproximar la integral en cada uno de olos subintervalos [xj , xj+1 ], obtenemos la f´rmula de integraci´n compuesta dada por o o b n−1 n−1 xj + xj+1 xj + xj+1 f (x) dx ≃ f (xj+1 − xj ) = h f . (2.10) a j=0 2 j=0 2
  16. 16. 66 C´lculo Num´rico I. a e El error cometido al utilizar la f´rmula (2.10) ser´ la suma de los errores cometidos o aen cada uno de los subintervalos. En este caso, suponiendo que la funci´n f es de clase 2 oen [a, b], n−1 ′′ f (ξj ) 3 (b − a) 2 ′′ R (f ) = h = h f (ξ), j=0 24 24con ξ ∈ (a, b). 16 Ejemplo.- Calcular un valor aproximado de la integral x1/3 dx aplicando la f´rmula o 10del punto medio compuesta, dividiendo el intervalo en 3 partes iguales. Dar una estimaci´n odel error cometido.F´rmula del trapecio compuesta o Si utilizamos la f´rmula del trapecio en cada subintervalo, se llega a la f´rmula de o ointegraci´n compuesta o b n−1 n−1 f (xj ) + f (xj+1 ) h f (x) dx ≃ (xj+1 − xj ) = (f (xj ) + f (xj+1 )) . a j=0 2 2 j=0 (2.11) 2Si f ∈ C ([a, b]), el error viene dado por n−1 f ′′ (ξj ) 3 (b − a) 2 ′′ R (f ) = − h = − h f (ξ), j=0 12 12con ξ ∈ (a, b). Ejemplo.- Hallar, por el m´todo del trapecio compuesto, un valor aproximado de la e π/2integral sen x dx, dividiendo el intervalo en 4 partes. Dar una estimaci´n del error o 0cometido.
  17. 17. Bibliograf´ ıa ´[1] A. Aubanell, A. Benseny & A. Delshams, Utiles b´sicos de C´lculo Num´rico, Labor, a a e Barcelona 1993.[2] J. A. Infante y J. M. Rey, M´todos Num´ricos: Teor´a, problemas y pr´cticas con e e ı a MATLAB , Ediciones Pir´mide, Madrid, 1999. a[3] J. M. Quesada, C. S´nchez, J. J´dar & J. Mart´ a o ınez, An´lisis y M´todos Num´ricos, a e e Publicaciones de la Universidad de Ja´n, Ja´n, 2004. e e Como referencias complementarias destacamos:[4] F. Garc´ & A. Nevot, M´todos Num´ricos, Universidad Pontificia de Comillas, ıa e e Madrid, 1997.[5] D. Kincaid & W. Cheney, An´lisis Num´rico, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilm- a e ington, 1994. 67

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