Matemática<br />Frente 1<br />Módulo 22: TEOREMA DO BINÔMIO DE NEWTON<br />1. Teorema<br />Sejam x, y   e n  . Demonstra...
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  1. 1. Matemática<br />Frente 1<br />Módulo 22: TEOREMA DO BINÔMIO DE NEWTON<br />1. Teorema<br />Sejam x, y   e n  . Demonstra-se que<br />(x + y)n =  xny0 +  xn–1y1 +  xn–2y2 + ... + + ... +  x0ynO desenvolvimento de (x – y)n é feito lembrando que (x – y)n =  [ x + (– y) ]n.Exemplo(x + y)10 =  x10y0  +  x9y1 +  x8y2 … +  x0y10 = x10 + 10x9y + 45x8y2 + ... + 10xy9 + y102. Termo geral, para os expoentes de x em ordem decrescente., para os expoentes de x em ordem crescente.<br />3. Soma dos CoeficientesPara obter a soma S dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (ax ± by)n, em que a, b * são constantes e x, y  * são as variáveis, basta substituir, em (ax ±  by)n, x e y por 1.Assim, <br />Módulo 23: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM, ARRANJOS E PERMITAÇÕES<br />1. IntroduçãoPara se chegar a 50 063 860  jogos na Mega-Sena (total de agrupamentos de 6 números escolhidos entre um total de 60) ou a 4782969 resultados possíveis na Loteria Esportiva (palpites para 14 partidas de futebol), são usados princípios de Análise Combinatória.Esse ramo da Matemática aborda problemas de contagem e nos permite descobrir, ainda, de quantas maneiras diferentes podem ser formadas filas de pessoas ou quantas senhas distintas um banco consegue emitir para seus clientes, além de possibilitar a resolução de inúmeras situações da vida prática.2. ContagemAs quantidades obtidas nas resoluções dos problemas variam de poucas unidades a muitos milhões.right0Em alguns casos é vantagem contar, uma a uma, todas as possibilidades, anotando de maneira ordenada os possíveis agrupamentos que satisfazem o problema.Exemplo 1Um quadrado ABCD de lado 3 centímetros teve seus lados divididos em partes de 1centímetro cada uma e os pontos ligados por segmentos de reta, como ilustra a figura a seguir.<br />Para saber quantos quadrados podem ser destacados do desenho, devemos levar em conta que, além doquadrado ABCD e dos 9 “quadradinhos”, numerados de 1 a 9, temos mais 4 de lado 2 centímetros cada um. O total, portanto, é 1 + 4 + 9 = 14 quadrados.Essa contagem pode ser feita como segue.I) 1 quadrado de lado 3 centímetros;II) 4 quadrados de lado 2 centímetros, que são os constituídos pela união dos “quadradinhos” (1, 2, 4, 5), (2, 3, 5, 6), (4, 5, 7, 8) e (5, 6, 8, 9);III) 9 quadrados de lado 1 centímetro.<br />Exemplo 2Para determinar quantas seqüências de 7 elementos cada uma podem ser formadas com os elementos distintos A e B, sendo exatamente 3 deles iguais a “A” e que devem estar em posições consecutivas, não é difícil escrever e contar as 5 possibilidades, que são (A, A, A, B, B, B, B), (B, A, A, A, B, B, B), (B, B, A, A, A, B, B), (B, B, B, A, A, A, B) e (B, B, B, B, A, A, A).Conclui-se, entretanto, que, sem nenhuma restrição, são 128 seqüências com 7 elementos cada uma, formadas com A e B. Porém, chegar a tal número de seqüências, escrevendo e contando todas, seria uma tarefa muito trabalhosa.Veremos, a seguir, como resolver esse tipo de problema utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.3. Princípio Fundamental da ContagemConsidere um acontecimento composto de dois estágios sucessivos e independentes.Se o primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos e, em seguida, o segundo estágio pode ocorrer de nmodos distintos, então o número de maneiras de ocorrer esse acontecimento é igual ao produto m.n.No caso das seqüências com os elementos A e B, sem restrições, citadas anteriormente, devemos notar quecada uma pode iniciar-se de dois modos distintos (A ou B). Para cada uma dessas possibilidades, existem outras duas (A ou B) para a segunda posição e assim sucessivamente.0<br />Até o terceiro estágio, os 8 casos podem ser dispostos de acordo com o seguinte diagrama:<br />Observe que, seguindo esse raciocínio, chega-se ao número total, que é 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 27 = 128.4. Técnicas de contagemBasicamente, são dois os tipos de agrupamentos utilizados em Análise Combinatória: arranjos ecombinações.Para diferenciar um do outro, tomemos os seguintes exemplos:Exemplo 1Considere quatro pontos, A, B, C e D, distintos de um mesmo plano, de modo que três quaisquer deles não estejam alinhados, como na figura.<br />Os triângulos ABC e ABD são diferentes. Diferem pela natureza (C  D) de pelo menos um de seus elementos.No entanto, ABC e ACB representam o mesmo triângulo. A ordem de leitura dos vértices não diferenciaum do outro.Esses agrupamentos que diferem apenas pela natureza de pelo menos um de seus elementos (não pela ordem) são chamados combinações.<br />Exemplo 2Considere, agora, os algarismos 1, 2, 3 e 4.Os números 123 (cento e vinte e três) e 124 (cento e vinte e quatro) são diferentes. Diferem pela natureza (3  4) de pelo menos um de seus elementos.Os números 123 e 132, embora constituídos pelos mesmos algarismos, também são diferentes. Diferem pelaordem de seus elementos.Esses agrupamentos que diferem pela natureza de pelo menos um de seus elementos e também diferem pela ordem deles são chamados arranjos.5. Arranjos SimplesComo vimos, são agrupamentos que diferem entre si pela ordem ou pela natureza de seus elementos. O número de arranjos simples de n elementos tomados k a k, ou classe k, com n  k, é dado por<br />Exemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Com os algarismos de 1 a 9 podem ser formados A9,4 = 3024 números de 4 algarismos distintos. Note que cada número difere de outro pela natureza ou pela ordem de seus elementos.6. Permutações SimplesSão arranjos simples de n elementos tomados k a k em que n = k. Assim, permutações simples são agrupamentos que diferem entre si apenas pela ordem de seus elementos.Podemos dizer que uma permutação de n elementos é qualquer agrupamento orde nado desses n elementos.Por exemplo, as permutações dos elementos distintos A, B e C são ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.O número de permutações simples de n elementos é dado por<br />7. Permutação com RepetiçãoSejam α elementos iguais a a, β elementos iguais a b, γ elementos iguais a c, . . ., λ elementos iguais a i, num total de α + β + γ + ... + λ = n elementos.O número de permutações distintas que podemos obter com esses n elementos é<br />8. Permutações CircularesO número de permutações circulares de n elementos é dado por <br />Módulo 24: COMBINAÇÕES<br />1. Combinações SimplesSão agrupamentos que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.Podemos dizer que uma combinação de n elementos distintos tomados k a k (n ≥ k) é uma escolha não ordenada de k dos n elementos dados.Por exemplo, as combinações dos 4 elementos distintos A, B, C e D, tomados 3 a 3 são ABC, ABD, ACD eBCD.É bom notar que ABC e BAC bem como todas as permutações de A, B e C representam a mesma combinação. O mesmo acontece com cada um dos agrupamentos ABC, ACD e BCD.O número de combinações simples de n elementos tomados k a k, ou classe k (n ≥ k), é dado por<br />2. Arranjos com RepetiçãoO número de arranjos com repetição de n elementos k a k é dado por<br />3. Combinações com RepetiçãoO número de combinações com repetição de n elementos k a k é dado por<br />Frente 2<br />Módulo 15: Sistemas lineares: regra de Cramer e escalonamento<br />1. Sistemas Lineares<br />Um sistema (S) de m equações lineares (m ∈ ) com n incógnitas (n ∈ ), x1, x2, x3, …, xn, é um conjunto de equações da forma:<br />com m ≥ 2 e n ≥ 2<br />no qual os coeficientes aij são números reais não todos nulos simultaneamente e os termos bi são números reais quaisquer.<br />Se todos os mesmos bi forem nulos (i = 1, 2 …, m), então (S) é um sistema linear homogêneo.<br />Dizemos que a n-upla de números reais (1, 2, …, n) é uma SOLUÇÃO do sistema (S) se forem verdadeiras todas as sentenças de (S) fazendo-se xi = i. <br />Um sistema (S) é COMPATÍVEL (ou possível) se existir pelo menos uma solução; (S) é INCOMPATÍVEL (ou impossível) se não admite solução.<br />Se "V" é o conjunto-solução (ou conjunto verdade) do sistema (S), então devemos ter uma das seguintes situações:– Compatível e determinado: quando V é um conjunto unitário.<br />– Compatível e indetermina do: quando V é um conjunto infinito.<br />– Incompatível: quando V é o conjunto vazio.Matrizes de um sistemaNum sistema linear, definem-se as duas matrizes seguintes:<br />que recebem o nome de:MI = matriz incompleta.<br />MC = matriz completa (ou associa da ao sistema).Se a matriz M.I. for quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema (D).Exemplo<br />O sistema é possível e determinado, pois apresenta uma única solução que é S = {(1, 2)}.<br />O sistema é possível e indeterminado, pois apresenta infinitas soluções da forma S = {(k, k – 2)}.<br />Observe, nesse exemplo, que a segunda equação é a primeira com ambos os membros multiplicados por 2.<br />O sistema é impossível, pois não existe par ordenado (x, y) que torne as duas sentenças verdadeiras "simultaneamente". <br />No sistema , definem-se:  e o determinante do sistema <br />2. Sistema Normal<br />O sistema linear (S) com "m" equações e "n" incógnitas será "NORMAL" quando:<br />Resolução de um sistema normal<br />Teorema de Cramer<br />Qualquer sistema normal admite uma e uma só solução dada por: <br />– D é o determinante do sistema.<br />– Di é o determinante que se obtém de D, trocando a iésima coluna da matriz M.I. por b1, b2, b3, …, bn.<br />Exemplo<br />O sistema  é normal, pois o número de equações é igual ao número de incógnitas<br />e o determinante do sistema: <br />O Teorema de Cramer nos garante que a solução é única e obtida por:3. Escalonamento (método de GAUSS)Definição: sistemas equivalentesDizemos que dois sistemas são equivalentes se e somente se apresentarem o mesmo conjunto-solução.Para transformar um sistema num sistema equivalente mais simples, pode-se<br />permutar duas equações; <br />multiplicar qualquer uma das equações por um número real diferente de zero; <br />multiplicar uma equação por um número real e adicioná-la à outra equação.<br />Exemplo<br />Vamos resolver o sistema:<br />transformando-o num sistema equivalente mais simples, seguindo o seguinte roteiro:<br />para obter (b2), multiplique (a1) por –1 e adicione o resultado a (b1);<br />para obter (c2), multiplique (a1) por –2 e adicione o resultado a (c1).<br />para obter (b3), multiplique (b2) por (–1); para obter (c3), multiplique (b2) por 3 e adicione o resultado a (c2).<br />Assim, como (l), (ll) e (lll) são equivalentes:<br />de (c3), obtém-se z = –1;<br />substituindo-se em (b3), obtém-se y = 2 e substituindo-o em (a1), obtém-se x = 1.<br />Logo, V = {(1; 2; –1)}DiscussãoSe for possível transformar um sistema (S) num sistema equivalente mais simples do tipo <br />pode-se discuti-lo em função da variação de a e de b.Assim, se<br />a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.<br />a = 0 e b = 0 ⇒ o sistema é possível e indeterminado.<br />a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.<br />Módulo 16: Característica, teorema de Rouché-Capelli e sistemas homogenios<br />1. SubmatrizSeja a matriz A = [ aij ]mxnSubmatriz de A é qualquer matriz que se obtém de A eliminando-se "r" linhas e "s" colunas. Seu determinante é chamado "menor" de A, se a matriz for quadrada.Característica de A"É a ordem máxima dos menores não todos nulos que se pode extrair de A".2. Teorema de KroneckerCaracterística de uma matriz é "p" se, e somente se:<br />Existir pelo menos um "menor" de ordem p diferente de zero (determinante de ordem p ≠ zero).<br />Todos os "menores" orlados ao "menor" do item (l) de ordem p + 1 são iguais a zero.<br />Propriedades da característicaA característica de uma matriz não se altera quando<br />trocamos entre si duas filas paralelas.<br />trocamos ordenadamente linhas por colunas.<br />multiplicamos uma fila por uma constante k ≠ 0.<br />acrescentamos ou eliminamos filas nulas.<br />acrescentamos ou eliminamos uma fila que seja combinação linear de outras filas paralelas.<br />somamos a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas.<br />Exemplos<br />Se  , então p = 2, pois existe um "menor" de ordem 2 diferente de zero. Por exemplo: e o "menor" de ordem 3 é igual a zero: <br /> então p = 3, pois existe um menor de ordem 3 diferente de zero: e a ordem 3 é a máxima possível.<br />A característica da matriz  é igual à característica das seis matrizes abaixo.<br />3. Teorema de Rouché-CapelliSeja (S) um sistema linear e sejam:<br />"p" a característica da matriz incompleta (Ml);<br />"q" a característica da matriz completa (MC);<br />"m" o número de equações;<br />"n" o número de incógnitas.<br />Teorema de Rouché-Capelli<br />p ≠ q ⇔ Sistema Impossível (SI) <br />p = q = n ⇔ Sistema Possível e Determinado (SPD) <br />p = q < n ⇔ Sistema Possível e Indeterminado (SPI)<br />ObservaçãoNo (SPI), o número Gi = n – p é chamado grau de indeterminação do Sistema.ExemplosSejam p e q as características das matrizes incompleta e completa, respectivamente.<br />O sistema  é impossivel poise portanto p ≠ q<br />O sistema           e como n = 2, temos p = q < n<br />O sistema e possível determinado, pois   e como temos n = 2, temos p = q = n<br />4. Teorema de CRAMER<br />det MI = D ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.<br />5. Teorema de ROUCHÉ-CAPELLI<br />p ≠ q ⇔ o sistema é impossível. <br />p = q = n ⇔o sistema é possível e determinado. <br />p = q < n ⇔ o sistema é possível e indeterminado, sendo:<br />p – característica da MI<br />q – característica da MC<br />n – número de incógnitas6. Método de GAUSSA equação az = b do sistema (S), de três equações a três incógnitas (x, y, z) após o escalonamento, poderá permitir a discussão:<br />a ≠ 0 ⇒ o sistema é possível e determinado.<br />a = b = 0 ⇒ o sistema é possível e indeterminado.<br />a = 0 e b ≠ 0 ⇒ o sistema é impossível.<br />7. Sistema Linear Homogêneo (SLH)Para um sistema linear homogêneo:<br />as matrizes M.l. e M.C., embora diferentes, terão certamente a mesma característica (p = q). Um S.L.H. é, pois, sempre possível; <br />a ênupla (0, 0, …, 0) sempre é solução da equação ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = 0, ai ∈  (chamada trivial); <br />A "C.N.S." para o S.L.H. admitir – só uma solução trivial é p = n.– outras soluções além da trivial é p < n.<br />Exemplo<br />O sistema é sempre possível, pois:<br />(0, 0, 0) é solução;<br /> tem, característica p ≥ 2, pois existe um menor de ordem 2 diferente de zero: <br />A característica p é igual a 2 se o menor de ordem 3 for igual a zero, ou seja:<br />A característica p é igual a 3 se o menor de ordem 3 for diferente de zero, ou seja, se a ≠ .Assim, se a = , o sistema admite infinitas soluções além da forma trivial (0, 0, 0), soluções da forma trivial (0, 0, 0) soluções da forma . E se a ≠  , o sistema admite somente a solução trivial(0, 0, 0).<br />Frente 3<br />Módulo 15: DISTÂNCIA DE PONTO E RETA<br />1. Distância de Ponto à Reta<br />Seja a reta r, de equação ax + by + c = 0 e o ponto P(x0; y0), não pertencente à reta. A distância do ponto P à reta r será:<br />ExemploA distância do ponto P(5; 1) à reta de equação 3x + 4y – 4 = 0 é:<br />2. Distância entre duas retas paralelas<br />Dadas duas retas r e s paralelas com equações:r:  ax + by + c  = 0s: ax + by + c’ = 0conclui-se que a distância entre r e s é:<br />3. Lugares Geométricos<br />DefiniçãoLugar geométrico (L.G.) é um conjunto de pontos, onde todos os pontos e somente eles gozam de uma propriedade comum. Dessa maneira, uma curva é um lugar geométrico quando todos os seus pontos e unicamente eles admitem uma propriedade comum.Resolução de ProblemasResolver um problema de lugar geométrico significa determinar a equação de uma curva e interpretar essa equação no plano cartesiano, isto é, dizer que tipo de curva representa a equação obtida.<br />Para resolver um problema de L.G., devemos seguir os seguintes passos:1º) Tomar um ponto genérico P(x; y) do plano.2º) Impor, analiticamente, (geralmente, através das fórmulas de distâncias), condições para que o ponto pertença ao lugar geométrico.3º) Obter a equação do lugar geométrico.4º) Interpretar essa equação no plano cartesiano.<br />Módulo 16: CIRCUNFERÊNCIA<br />A circunferência é um dos mais importantes lugares geométricos (L.G.), merecendo, pois, um estudo detalhado.1. DefiniçãoDado um ponto C de um plano (chamado centro) e uma medida r não nula (chamada raio), denomina-se circunferência ao lugar geométrico (L.G.) dos pontos do plano que distam r do ponto C.<br />2. Equação reduzida (ou cartesiana) da circunferênciaSeja a circunferência de centro C(a; b) e raio r. Tomando-se um ponto genérico P(x; y) pertencente à circunferência, teremos:<br />left0P  circunferência  dPC = r = r  (x – a)2 + (y – b)2 = r2   A equação<br />é denominada equação reduzida da circunferência.<br /> <br />Caso particular: Se o centro da circunferência é a origem, C(0; 0), então a equação reduzida resulta<br />Exemplos1) Obter a equação reduzida da circunferência de centro C(– 2; 3) e raio 5.ResoluçãoA partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, resulta:<br />(x – (–2))2 + (y –3)2 = 52  (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25, denominada equação reduzida. <br />2) Obter a equação reduzida da circunferência de centro na origem e raio 5.ResoluçãoA partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos: (x – 0)2 + (y – 0)2 = 52  x2 + y2 = 25.3. Equação geral (ou normal) da circunferênciaDesenvolvendo-se a equação reduzida da circunferência: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2  x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0Fazendo-se – 2a = m; – 2b = n e a2 + b2 – r2 = p, resulta:<br />que é denominada equação geral da circunferência.<br />ExemploDetermine a equação geral da circunferência de centro C(–1; 3) e raio 5.ResoluçãoA partir da equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, temos a equação reduzida: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 25, que, desenvolvida, resulta x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 25  x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, denominada equação geral da circunferência.<br />Frente 4<br />Módulo 15: CILINDROS E CONES<br />1. Definição de Elementos Sejam  e  planos paralelos (distintos), uma reta r interceptando os planos  e  e S uma região circular contida em a, que não tem ponto em comum com r.<br />Chama-se cilindro de base circular a união de todos os segmentos QQ’ paralelos a r, com Q  S e Q’  .<br />h é altura do cilindro (distância entre a e );<br />S é base do cilindro;<br />AA’ é geratriz.<br />2. Cilindro Circular Reto (Cilindro de Revolução)<br />Definição e ElementosCilindro Circular Reto ou Cilindro de Revolução é o sólido gerado por uma rotação completa de uma região de retângulo em torno de um de seus lados.<br />19050635<br /> é o eixo do cilindro;AD é a geratriz da superfície lateral;AB = DC = R é o raio da base.<br />Secção MeridianaÉ a intersecção do cilindro com um plano  que  contém  o seu eixo (  na figura anterior).<br />O retângulo AEFD é uma secção meridiana do cilindro circular reto da figura.Cálculo de Áreas e Volumes– Área da Base (Ab)É a área de um círculo de raio R.Assim: – Área Lateral ()A superfície lateral é equivalente a um retângulo de dimensões 2pR (comprimento da circunferência da base) e h.Assim: <br />– Área Total (At)É a soma das áreas das bases com a área lateral.<br />Assim: <br />– Volume (V)Todo cilindro é equivalente a um prisma de mesma altura e mesma área da base.Assim:<br />3. Cilindro Eqüilatero<br />É todo cilindro de base circular cuja secção meridiana é um quadrado.<br />Observe a imagem a seguir:<br />left0A secção meridiana A’ABB’ é um quadrado.Assim:<br /> ObservaçãoNum cilindro eqüilátero de raio R e altura h, temos 1º) Ab = R2 2º)  = 2 R . h = 2 R . 2R = 4 R2 3º) At =  + 2Ab = 4 R2 + 2 R2 = 6 R2 4º) V = Ab.h =  R2 . 2R = 2 R3<br />4. Cone Circular<br />Seja um plano a, um ponto V œ a e um círculo g contido em a. Chama-se cone circular a reunião de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo g considerado.<br />left0No cone circular da figura têm-se os seguintes elementos:VÉRTICE: é o ponto V citado na definição.<br />BASE: é o círculo g citado na definição.<br />ALTURA: é a distância (h) do vértice ao plano da base.<br />GERATRIZES: são os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base.RAIO DA BASE: é o raio do círculo g citado na definição.<br />87630077470<br />5. Cone Reto<br />Definição e ElementosUm cone circular é dito reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base.O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.<br />Na figura, temosVO = h é a altura  do coneOB = R é o raio da baseVB = g é a geratrizg2 = h2 + R2<br />Secção MeridianaÉ a intersecção do cone reto com um plano que contém a reta  (eixo de rotação).A secção meridiana de um cone circular reto é um triângulo isósceles, cuja área é dada por<br />O triângulo isósceles VAB é uma secção meridiana do cone circular reto da figura.<br />Desenvolvimento das Superfícies Lateral e Total de um Cone RetoA superfície lateral de um cone circular reto de raio da base R e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g, cujo arco tem comprimento 2R.<br />left0Assim, sendo Ab a área da base,  a área lateral e At a área total desse cone circular reto, temos<br />Volume do ConeTodo cone é equivalente a uma pirâmide de base equivalente e de mesma altura.<br />Assim:<br />6. Cone Equiláteroleft0Um cone circular reto é dito equilátero quando a sua secção meridiana é um triângulo eqüilátero.<br />No cone equilátero da figura, tem-se AB = AV = BV.Assim: <br />Módulo 16: TRONCOS<br />1. Secção paralela à base de um pirâmide<br />left0Quando interceptamos todas as arestas laterais da pirâmide por um plano paralelo à base, que não contém esta e nem o vértice, obtemos uma secção poligonal, tal queAs arestas laterais e a altura ficam divididas na mesma razão. <br />A secção obtida e a base são polígonos semelhantes.A razão entre as áreas da secção (As) e da base (Ab) é igual ao quadrado da razão entre suas distâncias ao vértice.<br />A razão entre os volumes das pirâmides semelhantes VA’B’C’... e VABC ... é igual ao cubo da razão entre suas alturas.<br />A “parte” (região) da pirâmide compreendida entre a base e a citada secção é denominada TRONCO DE PIRÂMIDE DE BASES PARALELAS.<br />2. Cálculo do volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas<br />Sendo AB e Ab as áreas das bases, H, a altura (distância entre os planosdas bases) e V, o volume de um tronco de pirâmide de bases paralelas, tem-se<br />3. Tronco de cone de bases paralelasSeccionando-se um cone por um plano paralelo à base dele, obtêm-se dois sólidos: um novo cone e um tronco de cone de bases paralelas.<br />left0Sendo R e r os raios das bases e h a altura do tronco de cone de bases paralelas, tem-se que o seu volume é dado por<br />e sua área lateral é dada por<br />4. Sólidos semelhantesEm sólidos semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança, e a razão entre os volumes é igual ao cubo da razão de semelhança.Assim, se dois sólidos de áreas respectivamente iguais a A1 e A2, e volumes respectivamente iguais a V1 e V2, são semelhantes numa razão K, então<br />Exemplos1) Se as arestas de um cubo forem duplicadas, a área ficará quadruplicada e o volume ficará octuplicado.2) Se o raio e a altura de um cone forem reduzidos à metade, a área total do cone ficará reduzida à quarta parte e o volume do cone ficará reduzido à oitava parte.<br />

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