Your SlideShare is downloading. ×
ข้อสอบ เอกสาร แบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ 2011 คณิต
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

ข้อสอบ เอกสาร แบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ 2011 คณิต

35,904
views

Published on

ข้อสอบ เอกสาร แบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ 2011 คณิต อนุชิต ไชยชมพู,

ข้อสอบ เอกสาร แบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ 2011 คณิต อนุชิต ไชยชมพู,

Published in: Education

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
35,904
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
10
Actions
Shares
0
Downloads
341
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. เซต เซตจํากัด คือ เซตที่สามารถระบุจํานวนสมาชิกได เซตอนันต คือ เซตที่มีจํานวนสมาชิกมากมาย เซตวาง คือ เซตที่ไมมีสมาชิก หรือมีจํานวนสมาชิกเปนศูนย เขียนแทนดวย φ หรือ { }ตัวอยางที่ 1 ให A เปนเซตจํากัด และ B เปนเซตอนันต ขอความใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ A 2) มีเซตจํากัดที่เปนสับเซตของ B *3) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ A 4) มีเซตอนันตที่เปนสับเซตของ Bจํานวนสมาชิกของเซตจํากัด ให n(A) แทนจํานวนสมาชิกของเซต A 1. n(U) = n(A) + n(A′) 2. n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B) 3. n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C) 4. n(A - B) = n(A) - n(A I B)คณิตศาสตร (2)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 2. ตัวอยางที่ 2 ถากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปนี้ เซต AUB AUC BUC AUBUC AIBIC จํานวนสมาชิก 25 27 26 30 7 แลวจํานวนสมาชิกของ (A I B) U C เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 23 2) 24 3) 25 4) 26ตัวอยางที่ 3 นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 46 คน แตละคนมีเสื้อสีเหลืองหรือเสื้อสีฟาอยางนอยสีละหนึ่งตัว ถา นักเรียน 39 คนมีเสื้อสีเหลือง และ 19 คนมีเสื้อสีฟา แลวนักเรียนกลุมนี้ที่มทั้งเสื้อสีเหลืองและเสื้อ ี สีฟามีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 9 2) 10 3) 11 *4) 12ตัวอยางที่ 4 นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 50 คน มี 32 คน ไมชอบเลนกีฬาและไมชอบฟงเพลง ถามี 6 คน ชอบฟง เพลงแตไมชอบเลนกีฬา และมี 1 คน ชอบเลนกีฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนักเรียนในกลุมนี้ที่ชอบ เลนกีฬาและชอบฟงเพลงมีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คนตัวอยางที่ 5 กําหนดให A และ B เปนเซต ซึ่ง n(A U B) = 88 และ n[(A - B) U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 45 2) 48 3) 53 *4) 55 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (3)
  • 3. ตัวอยางที่ 6 ในการสอบถามพอบานจํานวน 300 คน พบวามีคนที่ไมดื่มทั้งชาและกาแฟ 100 คน มีคนที่ดื่มชา 100 คน และมีคนที่ด่มกาแฟ 150 คน พอบานที่ดื่มทั้งชาและกาแฟมีจํานวนเทาใด (ตอบ 50 คน) ื สับเซต บทนิยาม เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเมื่อสมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ เขียนเปนสัญลักษณ คือ A ⊂ Bตัวอยางที่ 7 ให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} เนื่องจากสมาชิกของเซต A ทุกตัวเปนสมาชิกของ เซต B ดังนั้น A ⊂ B เพาเวอรเซต บทนิยาม เพาเวอรเซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสับเซตทั้งหมดของเซต A เขียนแทนดวย P(A)ตัวอยางที่ 8 ให A = {1, 2, 3} จะไดสับเซตทั้งหมดของ A ไดแก φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} สมบัติของสับเซตและเพาเวอรเซต 1. φ เปนสับเซตของเซตทุกเซต 2. φ เปนสมาชิกของเพาเวอรเซตเสมอ 3. A ⊂ A 4. A ∈ P(A) 5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 6. จํานวนสับเซตของเซต A ทั้งหมดเทากับ 2n(A) 7. จํานวนสมาชิกของ P(A) ทั้งหมดเทากับ 2n(A)คณิตศาสตร (4)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 4. การดําเนินการทางเซต 1. ยูเนียน เซต A ยูเนียนกับเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสมาชิกของเซต A หรือเซต B เขียนแทนดวยAUB 2. อินเตอรเซกชัน เซต A อินเตอรเซกชันกับเซต B คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสมาชิกของเซต A และเซต Bเขียนแทนดวย A I B 3. ผลตาง ผลตางของ A และ B คือ เซตที่มีสมาชิกในเซต A แตไมเปนสมาชิกในเซต B เขียนแทนดวยA-B 4. คอมพลีเมนต ถา A เปนเซตเซตใดในเอกภพสัมพันธ U แลว คอมพลีเมนตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเปนสมาชิกของ U แตไมเปนสมาชิกของ A เขียนแทนดวย A′ตัวอยางที่ 9 กําหนดให U = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 4, 8} B = {2, 4, 6, 10} จะได A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 10} AIB = {2, 4} A-B = {1, 8} B-A = {6, 10} A′ = {3, 5, 6, 7, 9, 10} และ B′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9}ตัวอยางที่ 10 ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว A I B เปนสับเซตในขอใดตอไปนี้ 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} *3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (5)
  • 5. การใหเหตุผล การใหเหตุผลทางคณิตศาสตรที่สําคัญมีอยู 2 วิธี ไดแก 1. การใหเหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) หมายถึง วิธีการสรุปผลในการคนหาความจริง จากการสังเกตหรือการทดลองหลายๆ ครั้งจากกรณียอยแลวนํามาสรุปเปนความรูแบบทั่วไป 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) หมายถึง วิธีการสรุปขอเท็จจริงโดยการนําความรูพื้นฐาน ความเชื่อ ขอตกลง หรือบทนิยาม ซึ่งเปนสิ่งที่รูมากอนและยอมรับวาเปนจริง เพื่อหาเหตุผลนําไปสูขอสรุปตัวอยางที่ 1 จงพิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้เปนการใหเหตุผลแบบอุปนัยหรือนิรนัย 1) เหตุ 1. นัทชอบทานไอศกรีม 2. แนทชอบทานไอศกรีม ผล เด็กทุกคนชอบทานไอศกรีม 2) เหตุ 1. เด็กทุกคนชอบทานไอศกรีม 2. แนทเปนเด็ก ผล แนทชอบทานไอศกรีมตัวอยางที่ 2 จงหาคา a จากแบบรูปของจํานวนที่กําหนดให 1, 4, 9, 16, 25, a 2, 4, 8, 16, 32, a ความสมเหตุสมผล สวนประกอบของการใหเหตุผล การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร 1. a เปนสมาชิกของ A 2. a ไมเปนสมาชิกของ Aคณิตศาสตร (6)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 6. 3. สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B 4. ไมมีสมาชิกตัวใดใน A เปนสมาชิกของ B 5. สมาชิกบางตัวของ A เปนสมาชิกของ B 6. สมาชิกบางตัวของ A ไมเปนสมาชิกของ Bตัวอยางที่ 3 กําหนดเหตุใหดังตอไปนี้ เหตุ ก. ทุกจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานครเปนจังหวัดที่มีอากาศดี ข. เชียงใหมเปนจังหวัดที่มีอากาศไมดี ขอสรุปในขอใดตอไปนี้สมเหตุสมผล *1) เชียงใหมเปนจังหวัดที่อยูไมไกลจากกรุงเทพมหานคร 2) นราธิวาสเปนจังหวัดที่อยูไมไกลจากกรุงเทพมหานคร 3) เชียงใหมเปนจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานคร 4) นราธิวาสเปนจังหวัดที่อยูไกลจากกรุงเทพมหานครตัวอยางที่ 4 จงพิจารณาขอความตอไปนี้ 1. คนตีกอลฟทุกคนเปนคนสายตาดี 2. คนที่ตีกอลฟไดไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาดี 3. ธงชัยตีกอลฟเกงแตตีไดไมไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขางตน เมื่อจุดแทนธงชัย 1) 2) *3) 4) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (7)
  • 7. ตัวอยางที่ 5 จากแบบรูปตอไปนี้ 7 14 21 77 1 2 4 2 4 8 3 6 12 ... a b c โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย 2a - b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 22 3) 33 *4) 44ตัวอยางที่ 6 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี ข. คนที่มีสุขภาพดีบางคนเปนคนดี ค. ภราดรเปนนักกีฬา และเปนคนดี แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดที่จะสอดคลองกับขอความทั้งสามขอขางตน เมื่อจุดแทนภราดร 1) 2) 3) *4)ตัวอยางที่ 7 เหตุ 1. ไมมีคนขยันคนใดเปนคนตกงาน 2. มีคนตกงานที่เปนคนใชเงินเกง 3. มีคนขยันที่ไมเปนคนใชเงินเกง ผล ในขอใดตอไปนี้ที่เปนการสรุปผลจากเหตุขางตนที่เปนไปอยางสมเหตุสมผล 1) มีคนขยันที่เปนคนใชเงินเกง *2) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนตกงาน 3) มีคนใชเงินเกงที่เปนคนขยัน 4) มีคนตกงานที่เปนคนขยันคณิตศาสตร (8)_______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 8. ระบบจํานวนจริง แผนผังแสดงความสัมพันธของระบบจํานวน จํานวนเชิงซอน จํานวนจริง (R) จํานวนจินตภาพ จํานวนอตรรกยะ (Q′) จํานวนตรรกยะ (Q) จํานวนตรรกยะ (I′) ที่ไมใชจํานวนเต็ม จํานวนเต็ม (I) จํานวนเต็มลบ (I-) จํานวนเต็มบวก (I+) (จํานวนนับ) (N) จํานวนเต็มศูนย (I0) จํานวนอตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่ไมสามารถเขียนใหอยูในรูปเศษสวนของจํานวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ําได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปนตน จํานวนตรรกยะ หมายถึง จํานวนที่สามารถเขียนในรูปเศษสวนของจํานวนเต็มไดตัวอยางที่ 1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. มีจํานวนตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0 ข. มีจํานวนอตรรกยะที่นอยที่สุดที่มากกวา 0 ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. ถูก และ ข. ผิด 2) ก. และ ข. ถูก 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิดตัวอยางที่ 2 กําหนดใหคาประมาณที่ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่ 3 ของ 3 และ 5 คือ 1.732 และ 2.236 ตามลําดับ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 - 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (9)
  • 9. สมบัติของจํานวนจริง 1. สมบัติการเทากันของจํานวนจริง กําหนดให a, b, c ∈ R 1) สมบัติการสะทอน a=a 2) สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3) สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4) สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a + c = b + c 5) สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a + c = b + c 2. สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับพีชคณิต กําหนดให a, b, c ∈ R สมบัติ สมบัติของการบวก สมบัติของการคูณ สมบัติปด a+b∈R a⋅b ∈ R สมบัติการสลับที่ a+b=b+a a⋅b = b⋅a สมบัติการเปลี่ยนกลุม a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c สมบัติการมีเอกลักษณ มี 0 เปนเอกลักษณการบวก มี 1 เปนเอกลักษณการคูณ ซึ่ง 0 + a = a = a + 0 ซึ่ง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 สมบัติการมีอินเวอรส สําหรับจํานวนจริง a สําหรับจํานวนจริง a ที่ a ≠ 0 มีจํานวนจริง -a จะมี a-1 ที่ a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1 ที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) สมบัติการแจกแจง a(b + c) = ab + acตัวอยางที่ 3 ให a และ b เปนจํานวนตรรกยะที่แตกตางกัน c และ d เปนจํานวนอตรรกยะที่แตกตางกัน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. a - b เปนจํานวนตรรกยะ ข. c - d เปนจํานวนอตรรกยะ ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิดคณิตศาสตร (10)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 10. ตัวอยางที่ 4 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. สมบัติการมีอินเวอรสการบวกของจํานวนจริง b ที่ b + a = 0 = a + b ข. สมบัติการมีอินเวอรสการคูณของจํานวนจริงกลาววา สําหรับจํานวนจริง a จะมีจานวนจริง b ํ ที่ ba = 1 = ab ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด ทบทวนสูตร 1. กําลังสองสมบูรณ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. กําลังสามสมบูรณ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3 3. ผลตางกําลังสอง a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4. ผลตางกําลังสาม a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) จากสมการพหุนามกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปนคาคงที่, a ≠ 0 b2 จะได x = -b ± 2a - 4ac ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะมี 2 คําตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะมี 1 คําตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (11)
  • 11. สมบัติของอสมการ ให a, b และ c เปนจํานวนจริง 1. สมบัตการถายทอด ิ ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบัติการบวกดวยจํานวนจริงที่เทากัน ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ให a และ b เปนจํานวนจริง จาก a < x < b จะได a < x และ x < b ชวงของจํานวนจริง ให a และ b เปนจํานวนจริง และ a < b 1. (a, b) = {x|a < x < b} เสนจํานวน คือ a b 2. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} เสนจํานวน คือ a b 3. (a, b] = {x|a < x ≤ b} เสนจํานวน คือ a b 4. [a, b) = {x|a ≤ x < b} เสนจํานวน คือ a b 5. (-∞, a) = {x|x < a} เสนจํานวน คือ a 6. [a, ∞) = {x|x ≥ a} เสนจํานวน คือ aตัวอยางที่ 5 ตองการลอมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพื้นที่ 65 ตารางวา โดยดานยาวของที่ดินยาวกวาสองเทาของ ดานกวางอยู 3 วา จะตองใชรั้วที่มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 30 วา *2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วาคณิตศาสตร (12)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 12. ตัวอยางที่ 6 เมื่อเขียนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยที่ a ≠ 0 เพื่อหาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนี้แสดงวาสมการไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง y y 5 5 1) 0 x 2) 0 x -5 5 -5 5 -5 -5 y y 5 5 3) x *4) 0 x -5 0 5 -5 5 -5 -5ตัวอยางที่ 7 แมคานําเมล็ดมะมวงหิมพานต 1 กิโลกรัม ถั่วลิสง 3 กิโลกรัม และเมล็ดฟกทอง 4 กิโลกรัม มาผสมกัน แลวแบงใสถุง ถุงละ 100 กรัม ถาแมคาซื้อเมล็ดมะมวงหิมพานต ถั่วลิสง และเมล็ดฟกทองมาในราคา กิโลกรัมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลําดับ แลวแมคาจะตองขายเมล็ดพืชผสมถุงละ 100 กรัมนี้ ในราคาเทากับขอใดตอไปนี้จึงจะไดกําไร 20% เมื่อขายหมด 1) 10 บาท *2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (13)
  • 13. ตัวอยางที่ 8 เซตคําตอบของอสมการ -1 ≤ 2+ x ≤1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1- 2 1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] *3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] คาสัมบูรณ บทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง  a เมื่อ a ≥ 0 |a| =   -a เมื่อ a < 0  ทฤษฎีบทเกี่ยวกับคาสัมบูรณ 1. |x| = a ก็ตอเมื่อ x = a หรือ x = -a 2. ให a เปนจํานวนจริงบวก |x| < a ก็ตอเมื่อ -a < x < a |x| ≤ a ก็ตอเมื่อ -a ≤ x ≤ a |x| > a ก็ตอเมื่อ x < -a หรือ x > a |x| ≥ a ก็ตอเมื่อ x ≤ -a หรือ x ≥ aตัวอยางที่ 9 พิจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรุปใดตอไปนี้เปนเท็จ 1) คําตอบหนึ่งของสมการมีคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการมีคาเทากับ 14 *3) สมการนี้มีคําตอบมากกวา 2 คําตอบ 4) ในบรรดาคําตอบทั้งหมดของสมการ คําตอบที่มีคานอยที่สุดมีคานอยกวา 3คณิตศาสตร (14)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 14.     2 2  ตัวอยางที่ 10 จํานวนสมาชิกของเซต  xx =   a + |1| - |a|- 1   เมื่อ a เปนจํานวนจริงซึ่งไมเทากับ 0  a    a           เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 *2) 2 3) 3 4) มากกวาหรือเทากับ 4ตัวอยางที่ 11 ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 3 *3) 3 - 1 4) 3 +1 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (15)
  • 15. ความสัมพันธและฟงกชัน ผลคูณคารทีเชียน กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคูณคารทีเชียนของ A และ B คือ A × B = {(a, b)|a ∈ A และ b ∈ B} เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c} จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} สมบัติของผลคูณคารทีเชียน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. A × φ = φ × A = φ 2. A × B ≠ B × A 3. n(A × B) = n(A) × n(B) 4. A × (B U C) = (A × B) U (A × C) (B U C) × A = (B × A) U (C × A) 5. A × (B I C) = (A × B) I (A × C) (B I C) × A = (B × A) I (C × A)ตัวอยางที่ 1 กําหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คูอันดับในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของผลคูณคารทีเชียน A × B *1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) ความสัมพันธ คือ เซตของคูอันดับที่เกี่ยวของกันตามเงื่อนไขที่กําหนดและเปนสับเซตของผลคูณคารทีเชียน กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ r เปนความสัมพันธจาก A ไป B เขียนแทนดวย r ⊂ A × B r เปนความสัมพันธใน A เขียนแทนดวย r ⊂ A × A *จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจาก A ไป B เทากับ 2n(A)×n(B)คณิตศาสตร (16)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 16. ตัวอยางที่ 2 กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ... , 11, 12}   S = (a, b) ∈ A × B b = 2a + a  2   จํานวนสมาชิกของเซต S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 *2) 2 3) 3 4) 4ตัวอยางที่ 3 ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจํานวนสมาชิกในความสัมพันธ r เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 8 *2) 10 3) 12 4) 16 โดเมนของ r เขียนแทนดวย Dr คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทั้งหมดใน r สัญลักษณ คือ Dr = {x|(x, y) ∈ r} เรนจของ r เขียนแทนดวย Rr คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับทั้งหมดใน r สัญลักษณ คือ Rr = {y|(x, y) ∈ r} เชน จาก r = {(-2, 4), (-1, 1), (1, 1)} จะได Dr = {-2, -1, 1} และ Rr = {1, 4} การหาโดเมนและเรนจของความสมพันธของ r ⊂ R × R 1. โดเมน หาโดยจัดรูปสมการเปน y ในรูปของ x และพิจารณาวา x สามารถเปนจํานวนจริงใดไดบาง ที่สามารถหาคา y ที่เปนจํานวนจริงได 2. เรนจ หาโดยจัดรูปสมการเปน x ในรูปของ y และพิจารณาวา y สามารถเปนจํานวนจริงใดไดบาง ฟงกชัน คือ ความสัมพันธที่คอนดับทุกๆ ตัวในความสัมพันธ ถาสมาชิกตัวหนาของคูอันดับสองคูเทากัน ูัแลวสมาชิกตัวหลังของทั้งสองคูอันดับตองเทากันดวย นั่นคือ r เปนฟงกชันก็ตอเมื่อ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z r ไมเปนฟงกชันก็ตอเมื่อ มี (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซึ่ง y ≠ z โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (17)
  • 17. การตรวจสอบฟงกชัน 1. กรณี r เขียนแบบแจกแจงสมาชิก ถามีสมาชิกตัวหนาของคูอันดับ ซึ่งเปนสมาชิกใน r จับคูกับสมาชิกตัวหลังของคูอันดับมากกวา 1 ตัวขึ้นไป r ไมเปนฟงกชัน เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)} จะได r1 ไมเปนฟงกชัน เพราะ b จับคูกับ 2 และ 3 r2 = {(p, 2), (q, 4), (r, 6)} จะได r2 เปนฟงกชัน เพราะสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทุกตัวจับคูกับสมาชิกตัวหลังเพียงตัวเดียวเทานั้น 2. กรณี r วาดเปนรูปกราฟ ใหลากเสนตรงตั้งฉากกับแกน x ถามีกรณีที่เสนตรงที่ลากตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟของ r เกินเกิน1 จุดขึ้นไป r ไมเปนฟงกชัน y r1 เชน เนื่องจากมีกรณีท่เสนตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟ r ี เกิน 1 จุด ดังนั้น r1 ไมเปนฟงกชัน x y เนื่องจากไมมีกรณีที่เสนตรงที่ตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟ r เกิน 1 จุด ดังนั้น r2 เปนฟงกชัน x r2ตัวอยางที่ 4 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนสมาชิกของโดเมนของฟงกชัน f = (x, y)|y = 2 x + 2x - 1 x + 3x + 2 x 2 - 1 1) -2 2) -1 *3) 0 4) 1คณิตศาสตร (18)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 18. ตัวอยางที่ 5 ให A = {1, 99} ความสัมพันธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชัน 1) เทากับ 2) ไมเทากับ *3) หารลงตัว 4) หารไมลงตัวตัวอยางที่ 6 จากความสัมพันธ r ที่แสดงดวยกราฟดังรูป y 3 2 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -2 -3 ขอใดตอไปนี้ถกตอง ู 1) r เปนฟงกชันเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยูในแนวเสนตรงเดียวกัน 2) r เปนฟงกชันเพราะมีจํานวนจุดเปนจํานวนจํากัด *3) r ไมเปนฟงกชันเพราะมีจุด (3, 3) และ (3, -1) อยูบนกราฟ 4) r ไมเปนฟงกชันเพราะมีจด (1, 1) และ (-1, 1) อยูบนกราฟ ุ ฟงกชันประเภทตางๆ ฟงกชันเชิงเสน (Linear Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R ฟงกชันคงที่ (Constant Function) คือ ฟงกชันเชิงเสนที่มี a = 0 กราฟของฟงกชันจะเปนเสนตรงขนานกับแกน X ฟงกชันกําลังสอง (Quadratic Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ Rและ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มีจุดวกกลับเปนจุดต่ําสุดของฟงกชัน และถา a < 0 กราฟคว่ํา มีจุดวกกลับเปนจุดสูงสุดของฟงกชัน  b  ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R จุดวกกลับอยูที่  -2a , f  -b   หรือ     2a    b -2a , 4ac - b2   4a   ถารูปทั่วไปของสมการ คือ f(x) = a(x - h)2 + k เมื่อ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จุดวกกลับอยูที่ (h, k) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (19)
  • 19. การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณีที่กราฟไมตัดแกน x จะไมมีคําตอบของสมการที่เปนจํานวนจริง 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน x ที่จุด (-c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมื่อ c > 0 จะตัดแกน x ที่จุด (c, 0) สมการมีคําตอบเดียว คือ x = c 2 3. นอกเหนือจากนี้กราฟตัดแกน x สองจุด โดยพิจารณาจากการแกสมการ หรือสูตร x = -b ± b - 4ac 2a ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = a x เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชันคาสัมบูรณ (Absolute Value Function) คือ ฟงกชันที่อยูในรูป y = |x - a| + c เมื่อ a, c ∈ R ฟงกชนขั้นบันได (Step Function) คือ ฟงกชันที่มโดเมนเปนสับเซตของ R และมีคาฟงกชันคงตัวเปน ั ีชวงๆ มากกวาสองชวง กราฟของฟงกชันจะมีรูปคลายบันไดตัวอยางที่ 7 คาของ a ที่ทําใหกราฟของฟงกชัน y = a(2x) ผานจุด (3, 16) คือขอใดตอไปนี้ *1) 2 2) 3 3) 4 4) 5ตัวอยางที่ 8 ทุก x ในชวงใดตอไปนี้ที่กราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยูเหนือแกน x *1)  - 2 , - 1    3 3  2)  - 5 , - 3    2 2  3)  1 , 6   4 7  4)  1 , 3   2 2 ตัวอยางที่ 9 กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ถากราฟของฟงกชัน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx มี ลักษณะดังแสดงในภาพตอไปนี้ y x y1 = 1 + a x y2 = 1 + b 2 1 x 0 ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) 1 < a < b 2) a < 1 < b *3) b < 1 < a 4) b < a < 1คณิตศาสตร (20)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 20. ตัวอยางที่ 10 ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชัน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10) เมื่อ k เปนจํานวนจริง แลว f มีคาสูงสุดเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -4 *2) 0 3) 6 4) 14ตัวอยางที่ 11 กําหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปนี้ผิด 1) f(x) ≥ -17 ทุกจํานวนจริง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) *4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 ) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (21)
  • 21. เลขยกกําลัง สมบัตของเลขยกกําลัง ิ ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็มบวก และ k เปนจํานวนเต็ม 1. am ⋅ an = am+n m 2. a n = am-n a 3. (am)n = amn 4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk  k  mk 5. am  = a nk , b ≠ 0    bn   b 6. a -n = 1 , a ≠ 0 an 7. a0 = 1, a ≠ 0 เลขยกกําลังที่มเลขชี้กําลังเปนจํานวนตรรกยะ ี บทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก และ n เปนจํานวนที่มากกวา 1 a1/n = n a บทนิยาม กําหนด a เปนจํานวนจริง m และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 ที่ ห.ร.ม ของ m และ nเทากับ 1 n a m = am/n สมการในรูปเลขยกกําลัง ให a และ b เปนจํานวนจริงบวกที่ไมเทากับ 1 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am = an ก็ตอเมื่อ m = n 2. am = bm ก็ตอเมื่อ m = 0 และ a, b ≠ 0  1/2 ตัวอยางที่ 1 คาของ (-2)2 +  8 + 2 2  เทากับขอใดตอไปนี้   32   1) -1 2) 1 *3) 3 4) 5คณิตศาสตร (22)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 22. 4 8   16  1/ xตัวอยางที่ 2 ถา 125  =  625  แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้        1) 3 4 *2) 2 3 3) 32 4 4) 3ตัวอยางที่ 3 ขอใดตอไปนี้ผิด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 *3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30ตัวอยางที่ 4 ( 18 + 2 3 - 125 - 3 4 4 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) -10 2) 10 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5  2ตัวอยางที่ 5   5 - 2  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้    6 15   3 *1) 10 2) 107 3) 5 -2 4) 6 -2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (23)
  • 23. อสมการในรูปเลขยกกําลัง ให a เปนจํานวนจริงบวกที่ไมเทากับ 1 และ m, n เปนจํานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดวา m < n 2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > nตัวอยางที่ 6 เซตคําตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1 1) - 5 , 5   2 2   2) - 5 , 1  2    3) - 1 , 1  2    *4) - 1 , 5   2 2  ตัวอยางที่ 7 ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 3 *2) 2 3 3) 34 4) 5 3 3xตัวอยางที่ 8 ถา  3 + 3  = 16 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้   8 81 *1) - 9 4 2) - 92 1 3) - 9 1 4) 9ตัวอยางที่ 9 ขอใดตอไปนีผิด ้ 1) 0.9 + 10 < 0.9 + 10 *2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) 4) 300 125 < 200 100คณิตศาสตร (24)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 24. ตัวอยางที่ 10 ถา 4a = 2 และ 16-b = 1 แลว a + b มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 0.75) 4 (x2) (4x)ตัวอยางที่ 11 คาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 2 = 2 4 เทากับขอใดตอไปนี้ 4 1) 2 2) 3 *3) 4 4) 5ตัวอยางที่ 12 อสมการในขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 *3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600 5 6ตัวอยางที่ 13 3 -32 + 2 3/2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 27 (64) *1) - 13 24 2) - 56 2 3) 3 4) 19 24ตัวอยางที่ 14 ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 *4) 200 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (25)
  • 25. อัตราสวนตรีโกณมิติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมี ACB เปนมุมฉาก c แทนความยาวของดานตรงขามมุมฉาก ˆa และ b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉากจะไดความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้ B c a c2 = a2 + b2 A b C อัตราสวนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บทนิยาม กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ความยาวของดานตรงขามมุม A B ไซน (sine) ของมุม A = sin A = ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก c a โคไซน (cosine) ของมุม A = cos A = ความยาวของดานประชิดมุม A ความยาวของดานตรงขามมุมฉาก A b C แทนเจนต (tangent) ของมุม A = tan A = ความยาวของดานตรงขามมุม A ความยาวของดานประชิดมุม A sin A = a , cos A = b , tan A = a c c b และยังมีอัตราสวนอื่นๆ อีก คือ 1 1 1 1. csc A = sin A , sec A = cos A , cot A = tan A 2. tan A = cos A , cot A = cos A sin A sin A 3. sin2 A + cos2 A = 1 4. tan2 A + 1 = sec2 A 5. 1 + cot2 A = csc2 Aคณิตศาสตร (26)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 26. ความสัมพันธระหวางมุม A กับมุม 90° - A ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก C A B sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A) cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A) tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A) อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30°, 45° และ 60° มุม sin cos tan csc sec cot 1 3 1 2 30° 2 3 2 3 3 2 2 2 2 = 2 2 = 2 45° 1 2 2 1 2 2 3 1 2 1 60° 2 3 3 2 3 2 การเปรียบเทียบมาตรการวัดมุมระบบอังกฤษและระบบเรเดียน 360° = 2π เรเดียน 180° = π เรเดียน 90° = π เรเดียน 2 60° = π เรเดียน 3 45° = π เรเดียน 4 π เรเดียน 30° = 6ตัวอยางที่ 1 จากรูป ขอใดตอไปนี้ถูกตอง C *1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° A 21° B 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (27)
  • 27. ตัวอยางที่ 2 ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ *1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60°ตัวอยางที่ 3 กําหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุมขนาดตางๆ ดังนี้ ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900 ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม B เปนมุมฉาก มุม C มีขนาด 41° และสวนสูง BX ยาว 1 หนวย แลว ความยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดังขอใดตอไปนี้ B 1) ปรากฏอยูในตาราง A 2) ปรากฏอยูในตาราง B *3) ปรากฏอยูในตาราง C A C 4) ไมปรากฏอยูในตาราง A, B และ C Xตัวอยางที่ 4 ถารูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งมีความสูง 1 หนวย แลวดานของรูปสามเหลี่ยมรูปนี้ยาวเทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 23 หนวย *2) 2 3 3 หนวย 4 3) 3 หนวย 4) 3 หนวย 2คณิตศาสตร (28)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 28. ตัวอยางที่ 5 กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมุมฉาก และ cos B = 2 ถาดาน BC ยาว 3 1 หนวย แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 55 ตารางหนวย *2) 45 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 25 ตารางหนวยตัวอยางที่ 6 กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งมีพ้นที่เทากับ 12 หนวย และ tan ABD = 1 ื ˆ 3 ถา AE ตั้งฉากกับ BD ที่จุด E แลว AE ยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 10 1) 3 หนวย 2) 2 510 หนวย 10 3) 2 หนวย *4) 3 510 หนวยตัวอยางที่ 7 C พิจารณารูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ โดยที่ CFE , CAB , AEB ˆ ˆ ˆ และ EDB ตางเปนมุมฉาก ขอใดตอไปนีผิด ˆ ้ 1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) ˆ ˆ 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) ˆ ˆ *3) sin ( 2 ) = cos ( ˆ ) ˆ 4 1 E F 2 3 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 ) ˆ ˆ 4 A 5 B D โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (29)
  • 29. ลําดับและอนุกรม ลําดับ (Sequences) บทนิยาม ลําดับ คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือโดเมนเปนเซต ของจํานวนเต็มบวก ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรกเรียกวา ลําดับจํากัด (Finite Sequences) ลําดับที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก เรียกวา ลําดับอนันต (Infinite Sequences) ลําดับเลขคณิต (Arithmetic Sequences) บทนิยาม ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่ผลตางซึ่งไดจากพจนที่ n + 1 ลบดวยพจนที่ n มีคาคงตัว คาคงตัวนี้เรียกวา ผลตางรวม (Common difference) 1. เมื่อกําหนดใหพจนแรกของลําดับเลขคณิต คือ a1 และผลตางรวม คือ d โดยที่ d = an+1 - anพจนท่ี n ของลําดับนี้คือ an = a1 + (n - 1)d 2. ลําดับเลขคณิต n พจนแรก คือ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)dตัวอยางที่ 1 ลําดับเลขคณิตในขอใดตอไปนี้มีบางพจนเทากับ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n *3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n 1 1 1ตัวอยางที่ 2 พจนที่ 31 ของลําดับเลขคณิต - 20 , - 30 , - 60 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ 5 1) 12 2) 13 *3) 209 7 4) 15 30ตัวอยางที่ 3 ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลําดับเลขคณิตนี้ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้  1) 1.25 *2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0คณิตศาสตร (30)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 30. ลําดับเรขาคณิต (Geometric Sequences) บทนิยาม ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่อัตราสวนของพจนที่ n + 1 ตอพจนที่ n เปนคาคงตัว คาคงตัวนี้เรียกวา อัตราสวนรวม (Common ration) a +1 1. เมื่อกําหนดพจนแรกของลําดับเรขาคณิตเปน a1 และอัตราสวนรวม คือ r โดยที่ r = na n พจนท่ี n ของลําดับเรขาคณิตนี้ คือ an = a1 ⋅ rn-1 2. ลําดับเรขาคณิต n พจนแรก คือ a, ar, ar2, ..., arn-1ตัวอยางที่ 4 กําหนดให a1, a2, a3 เปนลําดับเรขาคณิต โดยที่ a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คือคาในขอใดขอหนึ่ง ตอไปนี้แลวขอดังกลาวคือขอใด *1) -20 2) -50 3) 60 4) 100ตัวอยางที่ 5 กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิต พิจารณาลําดับสามลําดับตอไปนี้ ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ... ข. a1a2 , a2a3 , a3a4 , ... ค. a1 , a 1 , a 1 , ... 1 2 3 ขอใดตอไปนีถูก ้ *1) ทั้งสามลําดับเปนลําดับเรขาคณิต 2) มีหนึ่งลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต 3) มีสองลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิต 4) ทั้งสามลําดับไมเปนลําดับเรขาคณิตตัวอยางที่ 6 พจนที่ 16 ของลําดับเรขาคณิต 625 , 1 , 1 1 125 , ... เทากับขอใดตอไปนี้ 125 5 1) 25 5 2) 125 *3) 125 5 4) 625 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (31)
  • 31. ตัวอยางที่ 7 ลําดับในขอใดตอไปนี้ เปนลําดับเรขาคณิต *1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n อนุกรมเลขคณิต (Arinmetic Series) เมื่อ a1, a2, a3, ..., an เปนลําดับเลขคณิต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนุกรมเลขคณิต ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม คือ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต Sn = n [2a1 + (n - 1)d] 2 n [a + a ] หรือ Sn = 2 1 nตัวอยางที่ 8 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 970 2) 1020 3) 1050 *4) 1071ตัวอยางที่ 9 ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเลขคณิต ซึ่ง a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 120 *2) 125 3) 130 4) 135คณิตศาสตร (32)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 32. ตัวอยางที่ 10 กําหนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากับผลบวกของจํานวนคี่ทั้งหมดใน S และ b เทากับผลบวกของจํานวนคูทั้งหมดใน S แลว b - a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 อนุกรมเรขาคณิต (Geometrics Series) เมื่อ a1, a2, a3, ..., an เปนลําดับแรขาคณิต จะไดวา a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนุกรมเรขาคณิต  ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต a (1 - r n ) Sn = 1 1 - r เมื่อ r ≠ 1ตัวอยางที่ 11 ขอใดตอไปนี้เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 1 + 5 + ... + (2n1- 1) + ... + 199 3 1 1 3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199 1 1 1 1 *4) 5 + 125 + 3125 + ... + 2n-1 + ... + 1991 5 5ตัวอยางที่ 12 ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -171 2) -85 3) 85 *4) 171ตัวอยางที่ 13 กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต ซึ่งมีอัตราสวนรวมเทากับ 2 ถา S10 - S8 = 32 แลวพจนที่ 9 ของอนุกรมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 163 2) 20 3 3) 263 *4) 323 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (33)
  • 33. ความนาจะเปน กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ 1. กฎการบวก ถาการทํางานอยางหนึ่งแบงออกเปน k กรณี โดยที่กรณีที่ 1 มีจํานวน n1 วิธี กรณีที่ 2 มีจํานวน n2 วิธี กรณีที่ 3 มีจํานวน n3 วิธี M M กรณีที่ k มีจํานวน nk วิธี ดังนั้น จํานวนวิธในการทํางานทั้งหมดจะเทากับ n1 + n2 + n3 + ... + nk วิธี ี 2. กฎการคูณ ถาการทํางานอยางหนึ่งแบงออกเปน k ขั้นตอน โดยที่ขั้นตอนที่ 1 มีจํานวน n1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 มีจํานวน n2 วิธี ขั้นตอนที่ 3 มีจํานวน n3 วิธี M M ขั้นตอนที่ k มีจํานวน nk วิธี ดังนั้น จํานวนวิธีในการทํางานทั้งหมดจะเทากับ n1 × n2 × n3 × ... × nk วิธี แฟกทอเรียล นิยาม กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากกวาหรือเทากับ 0 ขึ้นไป n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 * 0! = 1ตัวอยางที่ 1 ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมูบานซึ่งประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญิง 1 คน กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญิง 1 คน จากผูสมัครชาย 4 คน และหญิง 8 คน มีวิธการเลือกคณะกรรมการไดกี่วิธี ี 1) 168 วิธี 2) 324 วิธี *3) 672 วิธี 4) 1344 วิธีคณิตศาสตร (34)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 34. ตัวอยางที่ 2 มาลีตองการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C โดยตองเดินทางผานไปยังเมือง B กอน จากเมือง A ไปเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต รถไฟ หรือเครื่องบินได แตจากเมือง B ไป เมือง C สามารถเดินทางไปทางเรือ รถยนต รถไฟ หรือเครื่องบิน ขอใดตอไปนี้คือจํานวนวิธีใน การเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ที่จะตองเดินทางโดยรถไฟเปนจํานวน 1 ครั้ง *1) 5 2) 6 3) 8 4) 9ตัวอยางที่ 3 ครอบครัวหนึ่งมีพี่นอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จํานวนวิธีที่จะจัดใหคนทั้ง 6 คนยืนเรียงกัน เพื่อถายรูป โดยใหชาย 2 คนยืนอยูริมสองขางเสมอเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 วิธี 2) 24 วิธี 3) 36 วิธี *4) 48 วิธี การทดลองสุม คือ การทดลองใดๆ ซึ่งทราบวาผลลัพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถทํานายผลลวงหนาได ความนาจะเปน คือ อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สนใจกับจํานวนสมาชิกของแซมเปลสเปซเขียนแทนดวย P(E) ความนาจะเปนของเหตุการณ E คือ P(E) = n(E) n(S) โดยที่ n(E) คือ จํานวนของเหตุการณที่สนใจ n(S) คือ จํานวนเหตุการณที่เปนไปไดทั้งหมด สมบัตของความนาจะเปน ิ 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0, P(S) = 1 3. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2) 4. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3) + P(E1 I E2 I E3) 5. P(E) = 1 - P(E′) เมื่อ P(E′) แทนความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมตองการ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (35)
  • 35. ตัวอยางที่ 4 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. การทดลองสุมเปนการทดลองที่ทราบวาผลลัพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลัพธของการทดลองสุมมีโอกาสเกิดขึ้นเทาๆ กัน ขอสรุปใดตอไปนี้ถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิดตัวอยางที่ 5 โรงเรียนแหงหนึ่งมีรถโรงเรียน 3 คัน นักเรียน 9 คน กําลังเดินไปขึ้นรถโรงเรียนโดยสุม ความ นาจะเปนที่ไมมีนักเรียนคนใดขึ้นรถคันแรกเทากับขอใดตอไปนี้ 9 9 3 3 1)  1    3 *2)  2    3 1 3)  9    2 4)  9   ตัวอยางที่ 6 โรงแรมแหงหนึ่งมีหองวางชั้นที่หนึ่ง 15 หอง ชั้นที่สอง 10 หอง ชั้นที่สาม 25 หอง ถาครูสมใจ ตองการเขาพักในโรงแรมแหงนี้โดยวิธีสุมแลว ความนาจะเปนที่ครูสมใจจะไดเขาพักหองชั้นที่สอง ของโรงแรมเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 101 *2) 5 1 3 3) 10 4) 12ตัวอยางที่ 7 ในการหยิบบัตรสามใบ โดยหยิบทีละใบจากบัตรสี่ใบ ซึ่งมีหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กํากับ ความ นาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขบนบัตรสองใบแรกนอยกวาตัวเลขบนบัตรใบที่สามเทากับขอใด *1) 14 2) 3 4 3) 1 2 4) 23คณิตศาสตร (36)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 36. ตัวอยางที่ 8 กลอง 12 ใบ มีหมายเลขกํากับเปนเลข 1, 2, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจุลูกบอล 4 ลูก เปน ลูกบอลสีดํา สีแดง สีขาว และสีเขียว ถาสุมหยิบลูกบอลจากกลองแตละใบ ใบละ 1 ลูก แลว ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงจากกลองหมายเลขคี่ และไดลูกบอลสีดําจากกลอง หมายเลขคูเทากับขอใดตอไปนี้ 2 12 12 4  1  1)  12  *2)  1    3)  1     1  4)  12     4 2  ตัวอยางที่ 9 กําหนดให A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ... , 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A และ n ∈ B} ถาสุมหยิบคูอันดับ 1 คู จากความสัมพันธ r แลวความนาจะเปนที่จะไดคูอันดับ (m, n) ซึ่ง 5 หาร n แลวเหลือเศษ 3 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 15 1 1 2) 10 *3) 51 4) 53ตัวอยางที่ 10 ชางไฟคนหนึ่งสุมหยิบบันได 1 อันจากบันได 9 อัน ซึ่งมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟุต แลวนํามาพาดกับกําแพง โดยใหปลายขางหนึ่งหางจากกําแพง 3 ฟุต ความนาจะเปนที่ บันไดจะทํามุมกับพื้นราบนอยกวา 60° มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 9 1 *2) 92 3) 93 4) 94 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (37)
  • 37. ตัวอยางที่ 11 ถาสุมตัวเลขหนึ่งตัวจากขอมูลชุดใดๆ ซึ่งประกอบดวยตัวเลข 101 ตัว แลวขอใดตอไปนี้ถูก *1) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน < 1 2 2) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต < 1 2 3) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคามัธยฐาน > 2 1 4) ความนาจะเปนที่ตัวเลขที่สุมไดมีคานอยกวาคาเฉลี่ยเลขคณิต > 1 2คณิตศาสตร (38)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 38. สถิติ สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive) คือ การวิเคราะหขั้นตนที่มุงวิเคราะห เพื่ออธิบายลักษณะกวางๆ ของขอมูลชุดนั้น เชน การวัดคาแนวโนมเขาสูสวนกลาง คาวัดการกระจาย การแจกแจงความถี่ของขอมูล และการนําเสนอผลสรุปดวย ตาราง แผนภูมิแทง เพื่ออธิบายขอมูลชุดนั้น สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistice) คือ การวิเคราะหขอมูลที่เก็บรวบรวมไดจากตัวอยางเพื่ออางอิงไปถึงขอมูลทั้งหมด องคประกอบของสถิติ 1. การเก็บรวบรวมขอมูล เชน การสอบถาม การสังเกต การทดลอง เปนตน 2. การวิเคราะหขอมูล โดยขอมูลที่นํามาวิเคราะหเพียงสวนหนึ่ง เรียกวา กลุมตัวอยางและขอมูลที่เลือกมาจากขอมูลทั้งหมด เรียกวา ประชากร 3. การนําเสนอขอสรุป ขอมูล คือ ขอความจริงหรือสิ่งที่บงบอกถึงสภาพ สถานการณหรือปรากฏการณ โดยที่ขอมูลอาจเปนตัวเลขหรือขอความก็ได สารสนเทศหรือขาวสาร คือ ขอมูลที่ผานการวิเคราะหเบื้องตนหรือขั้นสูงแลว ประเภทของขอมูล 1. แบงตามวิธีเก็บ 1.1 ขอมูลปฐมภูมิ คือ ขอมูลที่ผูใชเก็บรวบรวมเอง เชน การสํามะโน การสํารวจกลุมตัวอยาง 1.2 ขอมูลทุติยภูมิ คือ ขอมูลที่ไดจากผูอื่นเก็บรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปนตน 2. แบงตามลักษณะของขอมูล 2.1 ขอมูลเชิงปริมาณ คือ ขอมูลที่ใชแทนขนาดหรือปริมาณซึ่งวัดออกมาเปนจํานวนที่สามารถนํามาใชเปรียบเทียบกันไดโดยตรง 2.2 ขอมูลเชิงคุณภาพ คือ ขอมูลที่ไมสามารถวัดออกมาไดโดยตรง แตอธิบายลักษณะหรือคุณสมบัติในเชิงคุณภาพไดตัวอยางที่ 1 ขอใดตอไปนีเปนเท็จ ้ 1) สถิติเชิงพรรณนาคือสถิติของการวิเคราะหขอมูลขั้นตนที่มุงอธิบายลักษณะกวางๆ ของขอมูล 2) ขอมูลที่เปนหมายเลขที่ใชเรียกสายรถโดยสารประจําทางเปนขอมูลเชิงคุณภาพ *3) ขอมูลปฐมภูมิคือขอมูลที่ผูใชเก็บรวบรวมจากแหลงขอมูลโดยตรง 4) ขอมูลที่นักเรียนรวบรวมจากรายงานตางๆ ที่ไดจากหนวยงานราชการเปนขอมูลปฐมภูมิ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (39)
  • 39. การวิเคราะหขอมูลเบื้องตน ขอมูลเชิงปริมาณที่ใชในการวิเคราะหทางสถิติมีสองประเภท คือ ขอมูลที่ไมไดแจกแจงความถี่ ซึ่งจะเห็นคาของขอมูลทุกตัวและขอมูลที่แจกแจงความถี่ จะเห็นเปนอันตรภาคชั้น ความกวางของอันตรภาพชั้น = ขอบบน - ขอบลาง จุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้น = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮิสโทแกรม คือ รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากวางเรียงตอกันบนแกนนอน โดยมีแกนนอนแทนคาของตัวแปร ความกวางของสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความกวางของอันตรภาคชั้น และพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนความถี่ของแตละอันตรภาคชั้น ซึ่งถาความกวางของทุกชั้นเทากัน ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมจะแสดงความถี่ แผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปนวิธีการสรางแผนภาพเพื่อแจกแจงความถี่และวิเคราะหขอมูลเบื้องตน โดยเริ่มจากการนําขอมูลมาแบงกลุม โดยใชเลขหลักสิบ แลวนํามาสรางเปนลําตน (Stem) แลวใชเลขโดดในหลักหนวยมาสรางเปนใบ (Leaf) การวัดตําแหนงของขอมูล : มีสองขั้นตอน คือ การหาตําแหนงและการหาคา 1. ควอรไทล (Quartiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 4 สวนเทาๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คือคะแนนของตัวแบงทั้ง 3 ตัว 2. เดไซล (Deciles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 10 สวนเทาๆ กัน โดย D1, D2, ..., D9 คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 9 ตัว 3. เปอรเซ็นไทล (Percentiles) คือ การแบงขอมูลออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน มี P1, ..., P99คือ คะแนนของตัวแบงทั้ง 99 ตัว การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ r(N 4+ 1) ตําแหนงของ Dr คือ r(N10 1) + ตําแหนงของ Pr คือ r(N + 1) 100 การหาคา : ใชการเทียบบัญญัติไตรยางค หมายเหตุ เมื่อหาคาขอมูลที่มีคาสูงสุด ต่ําสุด Q1, Q2 และ Q3 สามารถนํามาสรางแผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรือ Box-Plot) โดยแผนภาพจะทําใหเราทราบถึงลักษณะการกระจายของขอมูล การวัดแนวโนมเขาสูสวนกลาง 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต, Mean, x N ∑ xi x ของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ x= N i=1 k ∑ fi x i x ของขอมูลที่แจกแจงความถี่ x= i=1 Nคณิตศาสตร (40)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 40. N ขอสังเกต 1. ∑ x i = N x i=1 N 2. ∑ (x i - x) = 0 i=1 N 3. ∑ (x i - a ) 2 มีคานอยที่สุดเมื่อ a = x i=1 4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเปน x k N x +N x 5. x รวม = 1N 1 + N2 2 2 2 2. มัธยฐาน, Median, Me Me สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ Me = คาของขอมูลตําแหนงตรงกลาง (ตัวที่ N 2 1 ) เมื่อเรียงลําดับขอมูลแลว + ขอสังเกต 1. การหามัธยฐานมีสองขั้นตอน คือ หาตําแหนง และหาคาโดยใชสูตรหรือการเทียบบัญญัติไตรยางค N 2. ∑ | x i - a | มีคานอยสุดเมื่อ a = Me i=1 3. ฐานนิยม, Mode, Mo Mo สําหรับขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ Mo = คาของขอมูลที่มีความถี่มากที่สุด ขอสังเกต ใชไดกับขอมูลเชิงคุณภาพตัวอยางที่ 2 สวนสูงของพี่นอง 2 คน มีพิสัยเทากับ 12 เซนติเมตร มีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 171 เซนติเมตร ขอใดตอไปนี้เปนสวนสูงของพี่หรือนองคนใดคนหนึ่ง 1) 167 เซนติเมตร 2) 172 เซนติเมตร 3) 175 เซนติเมตร *4) 177 เซนติเมตร โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (41)
  • 41. ตัวอยางที่ 3 ขอมูลชุดหนึ่งประกอบดวย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน *2) ฐานนิยม < มัธยฐาน < คาเฉลี่ยเลขคณิต 3) ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน 4) มัธยฐาน < ฐานนิยม < คาเฉลี่ยเลขคณิตตัวอยางที่ 4 ความสูงในหนวยเซนติเมตรของนักเรียนกลุมหนึ่งซึ่งมี 10 คน เปนดังนี้ 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามีนักเรียนเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งคน ซึ่งมีความสูง 158 เซนติเมตร แลวคาสถิติใดตอไปนี้ไมเปลี่ยนแปลง 1) คาเฉลี่ยเลขคณิต 2) มัธยฐาน 3) ฐานนิยม *4) พิสัยตัวอยางที่ 5 การเลือกใชคากลางของขอมูลควรพิจารณาสิ่งตอไปนี้ ยกเวนขอใด 1) ลักษณะของขอมูล *2) วิธีจัดเรียงลําดับขอมูล 3) จุดประสงคของการนําไปใช 4) ขอดีและขอเสียของคากลางแตละชนิด การวัดการกระจายของขอมูล 1. พิสัย (Range) Range = xmax - xmin 2. สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) N 2 N 2 ∑ (x i - x) ∑xi S.D. = i=1 = i =1 2 N N -x ขอสังเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + k, ..., xn + k มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1k, x2k, ..., xnk มีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D.|k| ความแปรปรวนเปน S.D.2k2คณิตศาสตร (42)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 42. 5. The 95% Rule กลาววา มีจํานวนขอมูลที่อยูในชวง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95%ของจํานวนขอมูลทั้งหมด 6. โดย The 95% Rule ไดวา s ≈ Range 4 ความสัมพันธของ x , Me และ Mo x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo โคงปกติ โคงเบขวา โคงเบซาย การสํารวจความคิดเห็น 1. ขอบเขตของการสํารวจ กําหนดดวยพื้นที่ ลักษณะผูใหขอมูล การมีสวนไดสวนเสียกับขอมูล  2. วิธีเลือกตัวอยาง การสุมตัวอยาง (Sampling) การเลือกตัวอยางแบบชั้นภูมิ การเลือกตัวอยางแบบหลายขั้นและการเลือกตัวอยางแบบกําหนดโควตา 3. การสรางแบบสํารวจความคิดเห็น แบบสํารวจที่ดีประกอบดวย ลักษณะของผูตอบที่คาดวามีผลตอการแสดงความคิดเห็น ความคิดเห็นของผูตอบในดานตางๆ และขอเสนอแนะ โดยตองไมเปนคําถามที่ชี้นํา และมีจํานวนไมมากเกินไป ตลอดจนความสอดคลองของความรูของผูใหขอมูลกับเรื่องที่สอบถาม 4. การประมวลผลและวิเคราะหความคิดเห็น 1. รอยละของผูตอบแบบสํารวจความคิดเห็นในแตละดานที่เกี่ยวของ 2. ระดับความคิดเห็นเฉลี่ยตัวอยางที่ 6 ขอมูลชุดหนึ่งมีคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 20 มัธยฐานเทากับ 25 และฐานนิยมเทากับ 30 ขอสรุปใด ตอไปนี้ถูกตอง *1) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายที่เบทางซาย 2) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายที่เบทางขวา 3) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปนการกระจายแบบสมมาตร 4) ไมสามารถสรุปลักษณะการกระจายของขอมูลได โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (43)
  • 43. ตัวอยางที่ 7 พิจารณาขอมูลตอไปนี้ 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเคียงกับขอใดตอไปนีมากที่สุด ้ 1) 15.1 2) 15.4 *3) 15.7 4) 16.0ตัวอยางที่ 8 ในกรณีที่มีขอมูลจํานวนมาก การนําเสนอขอมูลในรูปแบบใดตอไปนี้ทาใหเห็นการกระจายของ ํ ขอมูลไดชัดเจนนอยที่สุด 1) ตารางแจกแจงความถี่ 2) แผนภาพตน-ใบ 3) ฮิสโทแกรม *4) การแสดงคาสังเกตทุกคาตัวอยางที่ 9 จากการสอบถามเยาวชนจํานวน 12 คน วาเคยฟงพระธรรมเทศนามาแลวจํานวนกี่ครั้ง ปรากฏผล ดังแสดงในแผนภาพตอไปนี้ จํานวนเยาวชน 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 จํานวนครั้งที่เคยฟงพระธรรมเทศนา มัธยฐานของขอมูลนี้คือขอใด *1) 3 ครั้ง 2) 3.25 ครั้ง 3) 3.5 ครั้ง 4) 4 ครั้งตัวอยางที่ 10 ขอใดตอไปนี้มีผลกระทบตอความถูกตองของการตัดสินใจโดยใชสถิติ ยกเวนขอใด 1) ขอมูล 2) สารสนเทศ 3) ขาวสาร *4) ความเชื่อคณิตศาสตร (44)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 44. เก็งขอสอบ O-NET1. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต U = {a, b, c, d, e} และ A, B, C เปนเซตใดๆ ซึ่งเปนสับเซตใน U โดยมี เงื่อนไข ดังนี้ n(A) = n(B) = n(C) = 3 n(A I B) = n(B I C) = n(A I C) = 2 และ n(A U B U C) = n(U) ขอใดตอไปนีผิด ้ 1) n[A U (B I C)] = 3 2) n(A U C) = 4 3) n[A I (B I C)] = 2 4) n(A I B I C) = 12. กําหนดให A = {1, 2, {3}} ขอใดตอไปนีผิด้ 1) 1 ∈ A 2) {3} ∈ P(A) 3) {2, {3}} ⊂ A 4) {{1, 2}, {3}} ⊂ P(A)3. กําหนดให a, b, c และ d เปนจํานวนจริงใดๆ โดยที่ 0 < a < b และ d < c < 0 จงพิจารณาขอความ ตอไปนี้ ก. ac > bd ข. a < d c b 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด4. กําหนดให A คือ เซตคําตอบของอสมการ |2x + 1| ≤ 5 และ B คือ เซตคําตอบของอสมการ |x + 3| ≥ 2 ขอใดตอไปนี้ คือเซตคําตอบของ A I B 1) [-5, -1] 2) [-1, 2] 3) [-5, 2] 4) [-1, 5]5. ถา x - 1 หารพหุนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลือมีคาเทากับ a และ x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตัว แลวคาของ a + b มีคาตรงกับขอใด 1) 12 2) 14 3) 16 4) 18  3/2n 4n + 1 6. กําหนดให n เปนจํานวนเต็ม  55n +1 + 52n + 1   53n + 1 + 5  มีคาตรงกับขอใด   1) 5 2) 25 3) 125 4) 625 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (45)
  • 45. 7. กําหนดให 5 - a = 7 - 2 10 คาของ a ตรงกับขอใด 1) 2 2) 3 3) 4 4) 58. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} และ B = {{1}, {2, 3}, 4, 5, 6, ...} จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A มีคาเทาใด 1) 16 จํานวน 2) 32 จํานวน 3) 64 จํานวน 4) 128 จํานวน9. ถาสามจํานวนนี้เรียงกันเปนลําดับเลขคณิตคือ x - 2, x, x2 - 4 แลวผลบวกของคา x ทั้งหมดตรงกับขอใด 1) -2 2) -1 3) 1 4) 2คณิตศาสตร (46)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 46. เฉลย1. เฉลย 4) n(A I B I C) = 1 จากสูตร n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C) และ n(A U B U C) = n(U) = 5 จะไดวา 5 = 3 + 3 + 3 - 2 - 2 - 2 + n(A I B I C) n(A I B I C) = 5 - 9 + 6 = 22. เฉลย 2) {3} ∈ P(A) ที่ถูกตอง คือ {{3}} ∈ P(A)3. เฉลย 2) ก. ถูก และ ข. ผิด จาก 0 < a < b สมมติให a = 4, b = 9 จาก d < c < 0 สมมติให d = -3, c = -2 ก. ac > bd 4(-2) > 9(-3) -8 > -27 ดังนั้น ก. ถูก ข. a < b c d 4 < 9 -2 -3 -2 < -3 ดังนั้น ข. ผิด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (47)
  • 47. 4. เฉลย 2) [-1, 2] จาก |2x + 1| ≤ 5 จะได -5 ≤ 2x + 1 ≤ 5 -5 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ 5-1 -6 ≤ 2x ≤ 4 -6 ≤ 2x ≤ 4 2 2 2 -3 ≤ x ≤ 2 จะได A = [-3, 2] จาก |x + 3| ≥ 2 จะได x + 3 ≤ -2 หรือ |x + 3| ≥ 2 x ≤ -5 หรือ x ≥ -1 จะได B = (-∞, -5] U [-1, ∞) ดังนั้น AIB = [-1, 2]5. เฉลย 4) 18 ให p(x) = x2 + 2x - 1 จาก x - 1 หารพหุนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลือมีคาเทากับ a นั่นคือ p(1) = a 12 + 2(1) - 1 = a a = 2 ให q(x) = x2 + 3ax - b q(x) = x2 + 3(2)x - b q(x) = x2 + 6x - b จาก x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตัว นั่นคือ q(2) = 0 22 + 6(2) - b = 0 b = 16 ดังนั้น a + b = 2 + 16 = 18คณิตศาสตร (48)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 48. 6. เฉลย 3) 125 3/2n  3/2n จาก   55n +1 + 54n +1  =  5 4n +1 (5n + 1)     53n +1 + 52n + 1     52n +1 (5n + 1)   3/2n =  5 4n +1     52n +1  = [5(4n+1)-(2n+1)]3/2n = [52n]3/2n = 52n ⋅ 3/2n = 53 = 1257. เฉลย 1) 2 จาก 5 - a = 7 - 2 10 5 - a = (5 + 2) - 2 5 ⋅ 2 5 - a = ( 5 )2 - 2 5 ⋅ 2 + ( 2 )2 5 - a = ( 5 - 2 )2 5 - a = 5 - 2 จะได a = 28. เฉลย 3) 64 จํานวน A - B = {1, 2, 3} จะได n(A - B) = 3 B - A = {{1}, {2, 3}} จะได n(B - A) = 2 จากสูตร จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A ไปเซต B เทากับ 2n(A)×n(B) ดังนั้น จํานวนความสัมพันธทั้งหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A เทากับ 2n(A-B)×n(B-A) = 23×2 = 26 = 64 จํานวน โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (49)
  • 49. 9. เฉลย 3) 1 จาก x - 2, x, x2 - 4 เปนลําดับเลขคณิต นั่นคือ (x2 - 4) - x = x - (x - 2) x2 - x - 4 = 2 x2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0 จะได x = -2, 3 ดังนั้น ผลบวกของคา x ทั้งหมดเทากับ -2 + 3 = 1คณิตศาสตร (50)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 50. ตรรกศาสตร ประพจน (Proposition หรือ Statement) คือ ประโยคที่เปน “จริง” หรือ “เท็จ” อยางใดอยางหนึ่งเทานั้น ประโยคที่มีลักษณะดังกลาวจะอยูในรูปประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธก็ได การเชื่อมประพจน เปนการนําเอาประพจนมาสรางเปนประพจนใหม โดยเติมตัวเชื่อม (connectives)ตัวเชื่อมประพจนหลักๆ มีอยู 5 ชนิด ไดแก คําวา “และ” (∧), “หรือ” (∨), “ถา...แลว...” (⇒), “ก็ตอเมื่อ” (⇔)และ “นิเสธ (ไม)” (∼) ประพจนที่นํามาเชื่อมกันดวยตัวเชื่อมตางๆ เรียกวา ประพจนยอย (atomic statement) การหาคาความจริงของประพจน p q p∧q p∨q p→q p↔q ∼p ∼q T T T T T T F F T F F T F F F T F T F T T F T F F F F F T T T T โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (51)
  • 51. ขอสังเกตเกี่ยวกับคาความจริงที่ไดจากการเชื่อมประพจน ตัวเชื่อม T F ∧ ทุกประพจนเปน T มีประพจนอยางนอย 1 ตัวเปน F ∨ มีประพจนอยางนอย 1 ตัวเปน T ทุกประพจนเปน F ⇒ F ⇒ ? (หนาเปน F) T ⇒ F (หนาเปน T และหลังเปน F) ?⇒T (หลังเปน T) ⇔ หนา-หลัง เหมือนกัน หนา-หลัง ตางกัน ประพจนที่สมมูลกัน คือ ประพจนท่มีคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี กรณีตอกรณี แทนดวย p ≡ q ี  ประพจนที่ไมสมมูลกัน คือ ประพจนท่มีคาความจริงตางกันอยางนอยหนึ่งกรณี แทนดวย p ≡ q ี ประพจนที่เปนนิเสธกัน คือ ประพจนที่มคาความจริงตรงขามกันทุกกรณี กรณีตอกรณี แทนดวย p ≡ ∼q ี การตรวจสอบประพจนที่สมมูล ทําได 3 วิธี คือ 1. ใชตาราง 2. ใชรูปแบบประพจนที่สมมูล 3. แทนคาประพจน สัจนิรนดร (Tautology) คือ รูปแบบของประพจนที่มีคาความจริงเปนจริงทุกกรณี ั การตรวจสอบสัจนิรันดร ทําได 3 วิธี คือ 1. ใชตาราง 2. ใชรปแบบประพจนที่สมมูล ู 3. การหาขอขัดแยง รูปแบบของประพจนที่สมมูลกัน 1. p ∧ q ≡ q∧p 2. p ∨ q ≡ q∨p 3. p ∧ p ≡ p 4. p ∨ p ≡ p 5. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 6. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 8. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 9. p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) 10. p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r)คณิตศาสตร (52)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 52. 11. (p ∧ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) 12. (p ∨ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) 13. p ⇒ q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q ⇒ ∼p ** 14. p ⇔ q ≡ q⇔p ≡ ∼p ⇔ ∼q ≡ ∼q ⇔ ∼p 15. ∼(∼p) ≡ p 13. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q 17. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q 18. ∼(p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q 19. ∼(p ⇔ q) ≡ ∼p ⇔ q ≡ p ⇔ ∼q ≡ q ⇔ ∼p ≡ ∼q ⇔ p ขอสังเกตของสมมูล 1. ♥ ∨ ∼♥ ≡ T 2. ♥ ∧ ∼♥ ≡ F 3. ♥ ∨ T ≡ T 4. ♥ ∧ T ≡ ♥ 5. ♥ ∨ F ≡ ♥ 6. ♥ ∧ F ≡ F 7. T ⇒ ♥ ≡ ♥ 8. ♥ ⇒ F ≡ ∼♥ 9. ♥ ⇒ T ≡ T 10. F ⇒ ♥ ≡ T ประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลา หรือประโยคปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและเมื่อแทนคาของตัวแปรดวยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธแลวไดประพจน เชน กําหนดใหเอกภพสัมพัทธ คือ เซตของจํานวนจริง 2x + 1 = 3 เปนประโยคเปด เพราะเมื่อแทน x ดวยจํานวนจริงใดๆ แลวไดประพจน แทน x = 1 ได 2(1) + 1 = 3 จริง แทน x = 3 ได 2(3) + 1 = 3 เท็จ สัญลักษณแทนประโยคเปด P(x), Q(x), R(x), ... แทน ประโยคเปดที่มีตัวแปรเปน x เชน P(x) : x + 3 = 2 P(x, y), Q(x, y), R(x, y), ... แทน ประโยคเปดที่มีตัวแปรเปน x, y เชน Q(x, y) : x - 2y = 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (53)
  • 53. ตัวบงปริมาณ (Quantifier) ∀x แทนคําวา “สําหรับ x ทุกตัว” หรือ “สําหรับแตละคาของ x” ∃x แทนคําวา “สําหรับ x บางตัว” หรือ “มี x บางคา” เชน คาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ (ตัวแปรเดียว) ประพจน มีคาความจริงเปน “จริง” เมื่อ มีคาความจริงเปน “เท็จ” เมื่อ ทุก x ∈ U แทนใน P(x) มีบาง x ∈ U แทนใน P(x) ∀x[P(x)] แลวทําให P(x) เปนจริง แลวทําให P(x) เปนเท็จ มีบาง x ∈ U แทนใน P(x) ทุก x ∈ U แทนใน P(x) ∃x[P(x)] แลวทําให P(x) เปนจริง แลวทําให P(x) เปนเท็จ คาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ (หลายตัวแปร) ประพจน มีคาความจริงเปน “จริง” มีคาความจริงเปน “เท็จ” ทุก x, y ∈ U มีบาง x, y ∈ U ∀x∀y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U มีบาง x ∈ U ที่ทุก y ∈ U ∀x∃y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ มีบาง x ∈ U ซึ่งทุก y ∈ U ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U ∃x∀y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x, y) แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x, y) เปนเท็จ มีบาง x, y ∈ U ทุก x, y ∈ U ∃x∃y[P(x, y)] เมื่อแทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x) แลวทําให P(x, y) เปนจริง แลวทําให P(x) เปนเท็จตัวอยาง จงหาคาความจริงของประโยคเปดที่มีตัวบงปริมาณ เมื่อกําหนดเอกภพสัมพัทธใหในแตละขอตอไปนี้ 1. ∀x∀y[x + y = y + x] เมื่อ U = {0, 1} 2. ∀x∃y[y < x] เมื่อ U = {0, 1, 2} 3. ∃x∀y[x + y = 0] เมื่อ U = {-1, 0, 1} 4. ∃x∃y[x + 3 = 2y] เมื่อ U = {4, 5, 6}คณิตศาสตร (54)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 54. สมมูลของประโยคที่มตวบงปริมาณ ี ั ∀x[P(x)] ≡ ∀x[Q(x)] ก็ตอเมื่อ P(x) ≡ Q(x) ∃x[P(x)] ≡ ∃x[Q(x)] ก็ตอเมื่อ P(x) ≡ Q(x)นิเสธของประโยคที่มีตัวบงปริมาณ ∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)] ∼∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼P(x)] ∼∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼P(x, y)] ∼∃x∀y [P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼P(x, y)]การอางเหตุผล ประกอบดวยสวนที่สําคัญ 2 สวน คือ1. เหตุหรือสิ่งที่กําหนดให ไดแก P1, P2, P3, …, Pn2. สวนที่เปนผล ไดแก Qการตรวจสอบการอางเหตุผล1. สรางประพจน เพื่อตรวจสอบสัจนิรันดร (1) เชื่อมเหตุทกตัว “และ” จะได ุ P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn (2) เชื่อม “ขอ 1” กับ “ผล” ดวย “⇒” จะได (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn) ⇒ Q (3) ถาประพจนในขอ (2) เปนสัจนิรันดร แสดงวา การอางเหตุผล “สมเหตุสมผล (valid)” ถาประพจนในขอ (2) ไมเปนสัจนิรันดร แสดงวา การอางเหตุผล “ไมสมเหตุสมผล (invalid)”2. ใชรูปแบบประพจนที่สมเหตุสมผล รูปแบบการอางเหตุผลที่สมเหตุสมผล 1) เหตุ 1. p → q 2) เหตุ 1. p → q 2. p 2. ∼q ผล q ผล ∼p 3) เหตุ 1. p ∨ q 4) เหตุ 1. p → q 2. ∼p (หรือ ∼q) 2. q → r ผล q (หรือ p) ผล p → r 5) เหตุ 1. p → q 6) เหตุ 1. p ∧ q 2. q → s ผล p (หรือ q) 3. p ∨ q ผล r ∨ s 7) เหตุ 1. p → q 8) เหตุ 1. p ผล ∼p ∨ q ผล p ∨ q ∨ r หรือ ∼q → ∼q โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (55)
  • 55. แบบทดสอบ1. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา q ∧ r มีคาความจริงเปนจริง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) ⇒ p] มีคาความจริงเหมือนกัน ข. ถา p มีคาความจริงเปนเท็จ แลว r และ (p ⇒ q) ∧ r มีคาความจริงเหมือนกัน ขอใดตอไปนี้เปนจริง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด2. กําหนดให ประพจน (∼p ↔ ∼r) ∨ (p ↔ q) มีคาความจริงเปนเท็จ ประพจนใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∼p → (q ∨ r) 2) ∼p → (q ∧ r) 3) p ∨ q ∨ ∼r *4) p ∧ q ∧ ∼r3. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ถาประพจน p → (q ∧ r) มีคาความจริงเปนเท็จ และ (p ∨ q) ↔ r มีคาความจริงเปนจริง แลวพิจารณาคาความจริงของประพจนตอไปนี้ ก. (p ↔ q) ↔ ∼r ข. p ↔ (q ∨ ∼r) 1) ก. และ ข. จริง 2) ก. จริง และ ข. เท็จ 3) ก. เท็จ และ ข. จริง 4) ก. และ ข. เท็จ4. กําหนดให p, q, r เปนประพจน จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน p ⇒ (p ⇒ (q ∨ r)) สมมูลกับประพจน p ⇒ (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q ⇒ r) สมมูลกับประพจน (q ⇒ p) ∨ ∼(p ⇒ ∼r) ขอใดตอไปนี้ถก ู 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด5. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา q มีคาความจริงเปนเท็จแลว ประพจน p → (q → r) มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของประพจน (p → q) → r คือ (∼p ∧ ∼r) ∨ (∼r ∧ q) ขอใดตอไปนี้ถูก *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. ผิด และ ข. ผิด6. กําหนด p, q, r และ s เปนประพจน ประพจนในขอใดตอไปนี้ไมเปนสัจนิรันดร 1) [(p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] 2) [p ∨ (q ∧ r)] ∨ ∼[p ∨ (q ∧ r)] 3) [(p ∨ q) → r] ↔ [∼r → (∼p ∧ ∼q)] *4) [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] ↔ p7. ประพจนตอไปนี้ขอใดเปนสัจนิรนดร  ั ก. [(p → q) ∨ (q → r)] ∨ (p → r) เมื่อ p, q และ r เปนประพจนใดๆ ข. (∼p → q) ∨ (∼p ∨ q) เมื่อ p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูก *1) ก. และ ข. เปนสัจนิรนดร ั 2) ก. เปน แต ข. ไมเปนสัจนิรันดร 3) ก. ไมเปน แต ข. เปนสัจนิรันดร 4) ก. และ ข. ไมเปนสัจนิรันดรคณิตศาสตร (56)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 56. 8. เอกภพสัมพัทธในขอใดตอไปนี้ ทําใหประโยค ก. และ ข. ที่กําหนดใหขางลางนี้มคาความจริงเปนเท็จทั้งคู ี ก. ∀x [(x2 - 1)(x2 - 3x) = 0] ข. ∃x[ |x| + 2 = 2] 1) {-2, 0, 1, 2} 2) {-1, 0, 1, 3} *3) {-3, -1, 0, 1} 4) {-1, 0, 2, 3}9. พิจารณาประโยคตอไปนี้ ก. ∃x[ |x| + 2 < x] ข. ∃x[2|x| > 3x] เอกภพสัมพัทธในขอใดทําใหประโยค ก. และ ข. มีคาความจริงเปนจริง 1) {-2, 0, 2} *2) {-2, 0, 3} 3) {0, 1, 2} 4) {0, 1, 3}10. เอกภพสัมพัทธ U ที่กําหนดใหขอใดตอไปนี้ที่ทําใหประโยค  ∃x [2x2 + x - 1 ≤ 0 ∧ x 2 - 4x + 4 ≤ 3] มีคาความจริงเปนจริง 1) U = เซตของจํานวนเต็มบวกคู 2) U = เซตของจํานวนเต็มบวกคี่ 3) U = เซตของจํานวนเต็มลบคู *4) U = เซตของจํานวนเต็มลบคี่   211. กําหนดให U = x ∈ R (x - 1) < 1   x+5      ให P(x) แทนประโยค |x| < 5 และ Q(x) แทนประโยค 1 < x2 < 16 ถา U เปนเอกภพสัมพัทธ แลวขอความในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∀x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 2) ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] ∨ ∃x[Q(x)] *4) ∃x[Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)]12. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยที่ ∀x[P(x)] → ∃x[∼Q(x)] มีคาความจริงเปนเท็จ เมื่อ เอกภพสัมพัทธ คือเซตของจํานวนจริง ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง 1) ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)] 2) ∃x[∼Q(x) ∨ ∼Q(x)] 3) ∀x[P(x) → ∼Q(x)] *4) ∀x[P(x) → Q(x)]13. กําหนดให เอกภพสัมพัทธ คือ U = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∀y[x + y < y] 2) ∃x∀y[x - y2 < x] *3) ∃x∀y[xy2 = x] 4) ∃x∀y[x2y = y]14. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือเซต {-2, -1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ -(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x - y = 0] *4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|]15. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนีถูก ้ *1) ∀x∀y[x I y ≠ ∅] 2) ∀x∀y[x U y = U] 3) ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] 4) ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (57)
  • 57. 16. กําหนดให U = { n ∈ I+ | n ≤ 10 } ประโยคในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ  1) ∀x∀y[(x2 = y2) ⇒ (x = y)] *2) ∀x∃y[(x ≠ 1) ⇒ (x > y2)] 3) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 4) ∃x∃y[(x - y)2 ≥ y2 + 9xy]17. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ใหเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนเฉพาะบวก ขอความ ∀x∃y[x2 + x + 1 = y] มีคาความจริง เปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คือ ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x) ∧ ∼R(x)] ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด18. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p, q เปนประพจน โดยที่ p มีคาความจริงเปนจริง และ ∼q → (∼p ∨ q) เปนสัจนิรันดร  แลว q มีคาความจริงเปนจริง ข. นิเสธของขอความ ∃x[(∼P(x)) ∧ Q(x) ∧ (∼R(x))] คือขอความ ∀x[Q(x) → (P(x) ∨ R(x))] ขอใดตอไปนีถูก ้ *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด19. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยที่ ∀x[P(x)] ⇒ ∃x[∼Q(x)] มีคาความจริงเปนเท็จ เมื่อ เอกภพสัมพัทธ คือเซตของจํานวนจริง ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนจริง 1) ∀x[∼P(x)] ⇒ ∃x[Q(x)] *2) ∀x[Q(x)] ⇒ ∃x[∼P(x)] 3) ∃x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 4) ∃x[∼Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)]20. นิเสธของขอความ ∀x∃y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0) → y = 0] สมมูลกับขอความในขอใดตอไปนี้ 1) ∃x∀y[(xy = 0 ∨ x = 0) ∧ y ≠ 0] 2) ∃x∀y[(xy ≠ 0 ∧ x = 0) ∨ y = 0] *3) ∃x∀y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0] 4) ∃x∀y[xy ≠ 0 ∨ x = 0 ∨ y = 0]21. นิเสธของ ∀r > 0 ∃s > 0 ∀x ∈ R [|x + 1| < s → |f(x) - 2| < r] คือประพจนในขอใดตอไปนี้ 1) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| ≥ s → |f(x) - 2| ≥ r] *2) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 3) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 4) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|f(x) - 2| ≥ r → |x + 1| ≥ s]คณิตศาสตร (58)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 58. 22. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา p ⇒ (q ∧ r) มีคาความจริงเปนจริง และ (p ∨ q) ⇒ r มีคาความจริงเปนเท็จ แลว q ⇒ (p ∨ r) มีคาความจริงเปนจริง ข. การอางเหตุผลตอไปนี้สมแหตุสมผล เหตุ 1. (∼p) ∨ q 2. (p ∨ q) ⇒ ∼r 3. p ⇒ ∼r ผล q ∨ r ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ก. และ ข ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด23. กําหนดให เหตุ 1. ∼p → ∼q 2. p → (r ∨ s) 3. q ∨ t 4. ∼t ผลในขอใดตอไปนี้ทําใหการอางเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล 1) s → r 2) s → ∼r 3) r → ∼s *4) ∼r → s24. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปนี้ ก. เหตุ 1. p → (q → r) ข. เหตุ 1. p → (q → ∼s) 2. p 2. p ∧ s 3. ∼t → q ผล p ผล r → t ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล *3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข ไมสมเหตุสมผล25. พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้ เมื่อ p, q และ r เปนประพจน ก. เหตุ 1. p ∨ (p ∧ ∼q) ข. เหตุ 1. ∼p → r 2. p → q 2. ∼r ∨ s 3. ∼s ผล q ผล p ขอใดตอไปนีถูก ้ *1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมสมเหตุสมผล 3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข ไมสมเหตุสมผล โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (59)
  • 59. 26. กําหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ในการอางเหตุผล ถา “เหตุ” คือ 1. (p ∨ q) → (r ∧ s) 2. r → ∼s แลว ประพจนในขอใดตอไปนี้เปน “ผล” ที่ทําใหการอางเหตุผลมีความสมเหตุสมผล 1) p 2) q *3) ∼p ∧ ∼q 4) ∼p ∧ q27. กําหนด เหตุ 1. A ↔ ∼B 2. ∼A → (C → ∼B) 3. (∼D ∨ ∼C) → ∼(∼B) 4. ∼D ผลในขอใดตอไปนี้ไดจากการสรุปที่สมเหตุสมผลจากเหตุที่กําหนดใหทั้งสี่ขอ 1) A 2) ∼B *3) ∼C 4) D28. กําหนดเหตุใหดังตอไปนี้ 1) เอกภพสัมพัทธไมเปนเซตวาง 2) ∀x[P(x) → Q(x)] 3) ∀x[Q(x) ∨ R(x)] 4) ∃x[∼R(x)]29. ขอความในขอใดตอไปนี้เปนผลที่ทําใหการอางเหตุผล สมเหตุสมผล 1) ∃x[P(x)] 2) ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] *4) ∀x[Q(x)]คณิตศาสตร (60)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 60. ระบบจํานวนจริงโครงสรางของระบบจํานวนจริง จํานวนจริง (R) จํานวนตรรกยะ (Q) จํานวนอตรรกยะ (Q′) จํานวนเต็ม เชน ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ทศนิยมไมรูจบแบบไมซ้ํา เชน 0.1637... เศษสวน เชน 1 , 5 2 4 n A เชน 2 , 5 , 3 7 , 4 11 , 5 25 ทศนิยมรูจบ เชน 0.3, 0.123 ♥ 49 , 3 343 , 4 2401 ไมใชจํานวนอตรรกยะ ทศนิยมซ้ํา เชน 0.1 , 0.23 , 0.325 & && & π = 3.14159... ≈ 3.1416 ≈ 22 7 e = 2.718... ≈ 2.718 สมบัตของระบบจํานวนจริง ิ ให a, b, c ∈ R สมบัติ การบวก การคูณ ปด 1. a+b∈R 6. ab ∈ R การสลับที่ 2. a+b=b+a 7. ab = ba การเปลี่ยนหมู 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab)c = a(bc) การมีเอกลักษณ 4. มีจํานวนจริง 0 ซึ่ง 9. มีจํานวนจริง 1, 1 ≠ 0 0+a=a=a+0 ซึ่ง 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 การมีอินเวอรส 5. สําหรับ a จะมีจํานวนจริง -a 10. สําหรับ a ที่ไมเปน 0 จะมีจํานวนจริง โดยที่ (-a) + a = 0 = a + (-a) a-1 โดยที่ a-1 ⋅ a = 1 = a ⋅ a-1 เรียก -a วาอินเวอรสการบวกของ a เรียก a-1 วาอินเวอรสการคูณของ a การแจกแจง 11. a(b + c) = ab + ac การแกสมการพหุนามตัวแปรเดียว เราสามารถหาคําตอบของสมการพหุนามตัวแปรเดียวโดยใชการแยกตัวประกอบ หรือสูตรตางๆ ของการแยกตัวประกอบ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (61)
  • 61. สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม ผลตางกําลังสอง A2 - B2 = (A + B)(A - B) กําลังสองสมบูรณ A 2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 ผลตางกําลังสาม A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) ผลบวกกําลังสาม A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) กําลังสามสมบูรณ A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 การแกสมการกําลังสอง 1. แยกตัวประกอบพหุนาม 2. ใชสูตร ถา ax2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ แลว b2 x = -b ± 2a - 4ac ถา b2 - 4ac > 0 แลว คําตอบของสมการมี 2 คําตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว คําตอบของสมการมี 1 คําตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว ไมมีคําตอบสมการในระบบจํานวนจริง การแกสมการพหุนามโดยใชทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0 ถาหารพหุนาม p(x) ดวย x - c เมื่อ c เปนจํานวนจริง เศษเหลือจะเทากับ p(c) นั่นคือ แทนคา x = c ลงใน p(x) จะได p(c) เปนเศษ ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0 พหุนาม p(x) จะมี x - c เปนตัวประกอบก็ตอเมื่อ p(c) = 0 นั่นคือ 1. สําหรับพหุนาม p(x) ถา x - c เปนตัวประกอบแลวจะได p(c) = 0 2. สําหรับพหุนาม p(x) ถา p(c) = 0 แลว x - c จะเปนตัวประกอบของ p(x)คณิตศาสตร (62)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 62. การหารสังเคราะห (Synthetic Division)ตัวอยาง จงหาผลหารและเศษจากการหารพหุนาม 2x3 + 3x2 - 5x + 4 ดวย x + 3วิธีทํา ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ (Factor Theorem) เมื่อ p(x) คือ พหุนามในรูป anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจํานวนเต็มบวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจริง ซึ่ง an ≠ 0 k ถา x - m เปนตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เปนจํานวนเต็มซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เปน 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตัว สมบัตของการไมเทากัน ิ ถา a และ b เปนจํานวนจริงแลว a = b, a < b และ a > b จะเปนจริงเพียงอยางใดอยางหนึ่ง เทานั้นเรียกวา “สมบัติไตรวิภาค” ทฤษฎีบท กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ 1. ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. ถา a > b แลว a + c > b + c 3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc และถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b และถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b 5. ถา a < 0 และ b < 0 แลว ab > 0 6. ถา a < 0 และ b > 0 แลว ab < 0 7. ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0 8. ถา a < b < c แลว a < b และ b < c หลักการแกอสมการ 1. จัดดานขวามือของอสมการใหเปนศูนย 2. แยกตัวประกอบของพหุนาม เชน (ax - b)(cx - d) > 0 ∗ ถาอสมการอยูในรูปเศษสวน ตองระวังไวเสมอวา ตัวสวนตองไมเปนศูนย 3. ใหตัวประกอบแตละตัว เทากับ 0 แลวแกสมการหาคา x จากนั้นจึงนําคา x ที่ไดไปเขียนบนเสนจํานวนซึ่งคา x ที่ไดจะแบงเสนจํานวนเปนชวงๆ 4. พิจารณาเครื่องหมายของพหุนามในแตละชวง สวนใหญเครื่องหมายบวก ลบ จะสลับกันไป 5. จากนั้นพิจารณาชวงคําตอบ ถาอสมการมีเครื่องหมายเปน “>” ใหตอบชวงที่เปน บวก ถาอสมการมีเครื่องหมายเปน “<” ใหตอบชวงที่เปน บวก 6. กรณีที่วงเล็บใดไมสามารถแยกตัวประกอบได ใหคงไวอยางนั้น แลวคิดเครื่องหมายไดเลย เชน (x2 + 4) (2x + 1)(3x - 2) ≤ 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (63)
  • 63. การแกสมการและอสมการในรูปคาสัมบูรณ คาสัมบูรณของจํานวนจริง a เขียนแทนดวย |a| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถึงจุด a บนเสนจํานวน x;x>0    บทนิยาม ให x เปนจํานวนจริง |x| = 0 ; x = 0   -x ; x < 0   ทฤษฎีบทของคาสัมบูรณ เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง 1. |x| ≥ 0 2. |x| = |-x| 3. |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y| 4. xy = |x| |y | 5. |x - y| = |y - x| 6. |x|2 = x2 7. x2 = |x| 8. |x + y| ≤ |x| + |y| 9. |x - y| ≥ |x| - |y| การแกสมการในรูปคาสัมบูรณ 1. ถา |f(x)| = 0 แลว f(x) = 0 2. ถา |f(x)| = a และ a ≥ 0 แลว f(x) = a หรือ f(x) = -a 3. ถา |f(x)| = a และ a < 0 แลว x ∈ ∅ 4. ถา |f(x)| = |g(x)| แลว f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x) 5. ถา |f(x)| = g(x) แลว f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x) โดยที่ g(x) ≥ 0 6. ถา |P(x)| = P(x) แลว P(x) ≥ 0 ถา |P(x)| = - P(x) แลว P(x) ≤ 0 7. ถา |P(x)| + |Q(x)| = |P(x) + Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ถา |P(x)| - |Q(x)| = |P(x) - Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ∧ P(x) ≥ Q(x) การแกอสมการในรูปคาสัมบูรณ 1. |x| ≤ ∆ ก็ตอเมื่อ -∆ ≤ x ≤ ∆  |x| < ∆ ก็ตอเมื่อ -∆ < x < ∆  2. |x| ≥ ∆ ก็ตอเมื่อ x ≤ -∆ หรือ x ≥ ∆  |x| > ∆ ก็ตอเมื่อ x < -∆ หรือ x > ∆  3. |P(x)| < |Q(x)| ก็ตอเมื่อ (P(x) + Q(x)) ⋅ (P(x) - Q(x)) < 0 คณิตศาสตร (64)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 64. แบบทดสอบ1. ให a เปนจํานวนเต็ม ถา x - a หาร x3 + 2x2 - 5x - 2 เหลือเศษ 4 แลว ผลบวกของคา a ทั้งหมดที่ สอดคลองเงื่อนไขดังกลาว เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -6 *2) -2 3) 2 4) 62. กําหนดให x + 1 และ x - 1 เปนตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 3x3 + x2 - ax + b เมื่อ a, b เปนคาคงตัว เศษเหลือที่ไดจากการหาร P(x) ดวย x - a - b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 15 2) 17 3) 19 *4) 213. กําหนดให f(x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมื่อ k และ m เปนคาคงตัว ถา x - 2 เปนตัวประกอบหนึ่งของ f(x) และเมื่อนํา x + 1 ไปหาร f(x) ไดเศษเหลือ 3 แลวคาสัมบูรณของ k + m เทากับ เทาใด (ตอบ 4)4. กําหนดให k และ l เปนจํานวนเต็ม ซึ่งเมื่อหาร x3 - 6x2 + (k + l)x + 2 ดวย x - 2 แลวเหลือเศษเปน -4 ถา k : l = 3 : 2 แลว ผลหารของการหาร 6x3 + 2x2 + 8x + 1 ดวย kx - l มีคาเปนเทาใด (ตอบ 9)5. ให P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เมื่อ a, b เปนจํานวนเต็ม และ Q(x) = x2 + 9 ถา Q(x) หาร P(x) เหลือ เศษ 1 แลว P(a) + P(b) มีคาเทาใด (ตอบ 922)6. ให p(x) เปนพหุนาม ถาหาร p(x) ดวย x - 1 จะเหลือเศษ 3 และ ถาหาร p(x) ดวย x - 3 จะเหลือเศษ 5 ถา r(x) = ax + b คือ เศษที่เกิดจากการหาร p(x) ดวย (x - 1)(x - 3) แลว 3a + 2b เทากับเทาใด (ตอบ 7)7. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ทําให x2 + ax + b หาร x3 - 3x2 + 5x + 7 มีเศษเทากับ 10 คา a + b เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 1 2) 2 3) 3 4) 48. กําหนดให S = {x ||x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนี้เทากับเซต S 1) {x | x3 = 1} *2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = -1} 4) {x | x4 = x}9. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 *4) 3.510. ถา a, b และ c เปนคําตอบทั้ง 3 คําตอบของสมการ x3 - 8x2 + 5x + 7 = 0 แลวคาของ a2 + b2 + c2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 39 *2) 54 3) 63 4) 7411. กําหนดให A = {x ||x - 1| ≤ 3 - x} และ a เปนสมาชิกคามากที่สุดของ A คาของ a อยูในชวงใด ตอไปนี้ 1) (0, 0.5] 2) (0.5, 1] 3) (1, 1.5] *4) (1.5, 2] โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (65)
  • 65. 12. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0 A I B เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ *1) [-3 5 , -0.9] 2) [1.1, 0] 3) [0, 3 5 ] 4) [1, 5 3 ]13. กําหนดให A = {x | (2x + 1)(x - 1) < 2} และ B = {x | 16 - 9x2 > 0} เซต A I B เปนสับเซตของ ชวงในขอใดตอไปนี้ 1)  -2 , 7    3 3  *2)  -1, 5    3 3)  -3 , 5   4  4 4)  -5 , 1    3    14. กําหนดให S =  x 2 x  ≥ x + 2  ชวงในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ S 2 - 1   x - 3x + 2  x  1) (-∞, -3) *2) (-1, 0, 5) 3) (-0.5, 2) 4) (1, ∞)15. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ (2x + 1)(x - 1) ≥ 0 2-x และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ 2x 2 - 7x + 3 < 0 ถา A I B = [c, d) แลว 6c - d เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 4 2) 5 3) 6 4) 716. กําหนดให A = {x | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15 } ถา a เปนสมาชิกคานอยสุดในเซต A และ b เปนสมาชิก คามากสุดในเซต A แลว (b - a)2 เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 24 2) 16 3) 8 4) 4 4- 217. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ x 2 13x + 36 ≥ 0 ถา a เปนจํานวนที่มีคานอยที่สุดในเซต x + 5x + 6 S I (2, ∞) และ b เปนจํานวนลบที่มีคามากที่สุด ซึ่ง b ∉ S แลว a2 - b2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -9 2) -5 *3) 5 4) 918. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ |(2x - 1)(x + 3) | = |(x + 7)(3 - 4x) | ผลบวกของสมาชิก ทั้งหมดของ A เทากับขอใดตอไปนี้ *1) -15 2) - 15 2 3) 15 2 4) 1519. กําหนดให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา S = {x | 2x2 - 9x - 26 ≤ 0 และ |1 - 2x| ≥ 0} แลว ผลบวก ของสมาชิกของ S เทากับเทาใด (ตอบ 17)20. เซตคําตอบของอสมการ |3x - 1| | (2x + 1) < 1 และ 5x < 1 เทากับขอใดตอไปนี้ 1)  -∞, -1  U  0, 5    3     1  2)  -∞, -1  U  0, 5    2     1  U  1, 1  1  1    3) (-∞, 0) 6 5  *4)  -∞, -6  U  0, 5      21. ถาเซตคําตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คือชวง (a, b) แลว a + b มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 2)คณิตศาสตร (66)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 66. 22. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ |x2 + x - 2| ≤ |x2 - 4x + 3| และ B = A - {1} ถา a เปนสมาชิกของ B ซึ่ง a - b ≥ 0 ทุก b ∈ B แลว พิจารณาขอความตอไปนี้ 4 ก. 3 a เปนจํานวนคู ข. 5 เปนจํานวนคู a ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด23. กําหนดให A = {x|x2 + 2x - 3 < 0} และ B = {x|x + 1 ≥ 2|x|} ถา A - B = (a, b) แลว 3|a + b| มีคาเทาใด (ตอบ 10)24. กําหนดให U เปนเซตคําตอบของอสมการ ||x + 1| + 2 | ⋅ ||x + 1| - 2 | ≤ 25 ประโยคในขอใดตอไปนี้มี คาความจริงเปนจริง 1) ∃x∃y[x + y = 14] 2) ∃x∃y[x + y = 11] *3) ∃x∃y[x + y = -11] 4) ∃x∃y[x + y = -14]25. ถา A = {(x, y) ∈ R × R ||x + y| ≥ |x| + |y|} แลว A คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1) A = {(x, y) ∈ R × R | x = 0 หรือ y = 0} 2) A = {(x, y) ∈ R × R | x ≥ 0 หรือ y ≥ 0} 3) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≤ 0} *4) A = {(x, y) ∈ R × R | xy ≥ 0}26. ถา A = { x ∈ R+ | 3|x + 2| ≤ |2x2 + x|} แลวสมาชิกของ A ที่มคานอยที่สุดเทากับคาในขอใดตอไปนี้ ี 1) 13 - 1 2 *2) 13 + 1 2 3) 13 - 1 4) 13 + 127. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปนพหุนามดีกรี 2551 ซึ่งสอดคลองกับ P(n) = Q(n) สําหรับ n = 1, 2, 3, ..., 2551 และ P(2552) = Q(2552) + 1 คาของ P(0) - Q(0) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 1 *3) -1 4) หาคาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (67)
  • 67. ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน นิยามการหารลงตัว ให a และ b เปนจํานวนเต็มโดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัวก็ตอเมื่อ มีจํานวนเต็ม c ที่ทําให a = bc เรียก b วา ตัวหาร (Divisor) ของ a และเรียกa วา พหุคูณ (Multiple) ของ b b | a แทน “b หาร a ลงตัว” และ b | a แทน “b หาร a ไมลงตัว” สมบัตการหารลงตัว ิ ♥ ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็มโดยที่ b และ c ไมเทากับศูนย แลว a | b และ b | c แลว a | c ♥ ถา a | b และ c | d แลว ac | bd ♥ ถา a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | b และ b ≠ 0 แลว a ≤ b ♥ ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a | b และ a | c จะได a | (bx + cy) โดย x, y ∈ I และเรียก bx + cy วา “ผลรวมเชิงเสน”ตัวอยางที่ 1 กําหนด a, b และ c เปนจํานวนเต็มใดๆ ที่ไมเปนศูนย ถา a | (b + c) แลวขอใดตอไปนีถูก ้ 1) a | b 2) a | c 3) a | (b 2 + c2) 4) a | (b 2 - c2).............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ตัวอยางที่ 2 ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง d | 15k + 27) และ d | (3k + 2) แลว d ตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) 1 หรือ 17 2) 3 หรือ 11 3) 2 หรือ 13 4) 4 หรือ 19.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................คณิตศาสตร (68)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 68. จํานวนคูและจํานวนคี่ ♥ จํานวนคู เขียนแทนดวย 2n เมื่อ n เปนจํานวนเต็ม ♥ จํานวนคี่ เขียนแทนดวย 2n + 1 หรือ 2n - 1 เมื่อ n เปนจํานวนเต็มตัวอยางที่ 3 จงแสดงวา ถา x เปนจํานวนเต็มคี่ แลว 4 | (x2 - 1)วิธีทํา ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... จํานวนเฉพาะ (Prime numbers) ♥ จํานวนเต็ม p ≠ 0 จะเปนจํานวนเฉพาะ ก็ตอเมื่อ p ≠ 1, -1 และถาจํานวนเต็ม x หาร p ลงตัว แลว x ∈ {1, -1, p, -p} ♥ เรียกจํานวนเต็มที่ไมใชจํานวนเฉพาะ และไมใช -1, 0, 1 วาเปน “จํานวนประกอบ (composite numbers)”ตัวอยางที่ 4 จงหาจํานวนเต็มบวก n ทั้งหมดที่ทําให n3 - 14n2 + 64n - 93 เปนจํานวนเฉพาะ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ทฤษฎีบทหลักมูลทางเลขคณิต ♥ จํานวนเต็ม n ทุกจํานวนที่มากกวา 1 สามารถเขียนไดในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะไดเพียงแบบเดียว เทานั้น เชน 28 = 22 × 7 60 = 22 × 3 × 5 c c c c ♥ จํานวนตัวประกอบทั้งหมดที่เปนบวกของ n = p 1 1 ⋅ p 22 ⋅ p 33 ⋅... ⋅ p k k มีคาเทากับ (c1 + 1)(c2 + 1)(c3 + 1) … (ck + 1) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (69)
  • 69. ตัวอยางที่ 5 จํานวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 210 ลงตัว มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 14 2) 15 3) 16 4) 17...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ตัวอยางที่ 6 ถา A = {x ∈ I | x เปนจํานวนเฉพาะ และ 2x | (252 - 6x)7} แลว จํานวนสมาชิกทั้งหมดในA เทากับขอใด 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ♥ กําหนดจํานวนเต็ม a, b ซึ่ง a2 + b2 ≠ 0 จํานวนเต็มบวก d จะเปนตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ a และ b ก็ตอเมื่อ 1) d | a และ d | b 2) ถา c เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง c | a และ c | b จะไดวา c | d ♥ d = (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ♥ เราสามารถเขียน d ในรูปของผลรวมเชิงเสนของ a และ b คือ d = am + bn เมื่อ m, n ∈ I ♥ ถา (a, b) = 1 เราเรียก a, b วาเปน “ จํานวนเฉพาะสัมพัทธ (Relative primes) ”ตัวอยางที่ 7 ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มีคาเทาใด...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ตัวอยางที่ 8 จํานวนเต็มทั้งหมดตั้งแต 0 ถึง 100 ที่ไมเปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธกบ 15 มีทั้งหมดกี่จํานวน ั...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................คณิตศาสตร (70)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 70. ขั้นตอนวิธีการหาร ให m และ n เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง n ≠ 0 แลว จะมีจํานวนเต็ม q และ r ชุดเดียว ซึ่ง m = nq + r โดยที่0 ≤ r < | n | เรียก q วา ผลหาร และ r วา เศษเหลือตัวอยางที่ 9 กําหนดให n เปนจํานวนนับใดๆ และ r เปนเศษเหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปนคาของ r ไมได 1) 1 2) 3 3) 5 4) 7...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ตัวอยางที่ 10 กําหนดให n เปนจํานวนเต็มที่มีคามากที่สุด ซึ่งมีสมบัติวา n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ rเทากัน และ n หาร 1093 เหลือเศษ r + 2 แลว r - 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ n 1) 17 1 2) 18 1 3) 19 1 4) 20 1........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ขั้นตอนวิธียุคลิด กําหนดจํานวนเต็มบวก a และ b จากการนําขั้นตอนการหารมาใชซ้ําๆ กัน จะไดสมการ b = (a ⋅ q1) + r1 0 < r1 < a ...(1) a = (r1 ⋅ q2) + r2 0 < r2 < r1 ...(2) r1 = (r2 ⋅ q3) + r3 0 < r3 < r2 ...(3) M M rn-2 = (rn-1 ⋅ qn) + rn 0 < rn < rn-1 ...(n) rn-1 = (rn ⋅ qn+1) + 0 0 < r1 < a ...(n + 1) rn = (a, b) = ห.ร.ม. ตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ♥ ให m และ n เปนจํานวนเต็มที่ไมเปนศูนย c จะเปนตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) ของ m และ n ก็ตอเมื่อ 1. m | c และ n | c 2. ถา a เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง m | a และ n | จะได c | a ♥ c = [ m, n ] = ค.ร.น. ของ m, n ♥ ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ที่เปนบวกของจํานวนเต็ม m, n ตามลําดับ จะไดวา dc = mn โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (71)
  • 71. แบบทดสอบ1. ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง d | (20k + 36) และ d | (4k + 3) แลว d ตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) 1 หรือ 11 *2) 3 หรือ 5 3) 2 หรือ 11 4) 4 หรือ 52. ให a, b และ c เปนจํานวนเต็ม จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a | bc แลว a | b หรือ a | c ข. ถา a | b และ b | c แลว a | (c - b) ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ถูกทั้ง ก. และ ข. 2) ถูกเฉพาะขอ ก. *3) ถูกเฉพาะขอ ข. 4) ผิดทั้ง ก. และ ข.3. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็ม ขอใดตอไปนี้เปนจริง 1) ถา a | (b + c) แลว a | b หรือ a | c 2) ถา a | bc แลว a | b หรือ a | c *3) ถา a | (2a - 3b) และ a | (4a - 5b) แลว a | b 4) ถา a | c และ b | c จะได ab | c4. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 3 | (a4 + 2a3 - a2 - 2a) ทุกจํานวนเต็ม a ข. {x ∈ I- | 6x3 + 17x2 + 14x + 3 ≥ 0} มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด5. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a, b และ c เปนจํานวนเต็มซึ่ง a | (2b - c) และ a2 | (b + c) แลว a | 3c   ข. ถา A =  x ∈ R x -x2x 2+ 2 < 1 และ B = {x ∈ R | x3 - 2x2 < 0} แลว A = B  -  ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด6. ถา A = {p | p เปนจํานวนเฉพาะบวก และ p | (980 - p)3} แลว ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน A เทากับ ขอใด 1) 10 2) 12 *3) 14 4) 167. กําหนด a เปนจํานวนเต็มใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. (a2 + a) เปนจํานวนคี่ ข. (a2 - a) เปนจํานวนคู ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิดคณิตศาสตร (72)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 72. 8. ขอความใดตอไปนีผิด ้ 1) ถา a และ b เปนจํานวนคูแลว (a - b)2 เปนจํานวนคู 2) ถา b | a และ |a| < |b| แลว a = 0 *3) ห.ร.ม. ของ 364 และ 1012 คือ 2 4) ถา a เปนจํานวนคี่ และ b เปนจํานวนคูแลว a2 + 2b เปนจํานวนคี่9. กําหนดให a เปนคําตอบของ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 และ b เปนคําตอบของ 4 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 12 แลว (a, b) มีคาตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) 70 *2) 68 3) 66 4) 6410. กําหนดให a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง (a, b) = c แลว ห.ร.ม. ของ 2a และ 2b ตรงกับขอใดตอไปนี้ 1) c *2) 2c 3) 4c 4) 8c11. กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา a | b และ b | c แลว a | c ข. ถา a | b แลว ห.ร.ม. ของ a กับ b คือ a ขอใดตอไปนีถูก ้ *1) ถูกทั้ง ก. และ ข. 2) ถูกเฉพาะขอ ก. 3) ถูกเฉพาะขอ ข. 4) ผิดทั้ง ก. และ ข.12. กําหนดให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y ห.ร.ม. ของ x, y เทากับ 9 ค.ร.น. ของ x, y เทากับ 28215 และจํานวนเฉพาะที่แตกตางกันทั้งหมดที่หาร x ลงตัว มี 3 จํานวน คาของ y - x เทากับ ขอใดตอไปนี้ 1) 36 2) 45 3) 9 *4) 1813. ให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 80 < x < 200 และ x = pq เมื่อ p และ q เปนจํานวนเฉพาะ ซึ่ง p ≠ q ถา x และ y เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ และ ค.ร.น. ของ x, y เทากับ 15015 แลว ผลบวก ของคาของ y ทั้งหมดที่สอดคลองเงื่อนไขทั้งหมดที่กําหนดใหเทากับเทาใด (ตอบ 270)14. ถา 1 = ax + by โดย a, x, b, y เปนจํานวนเต็ม จงหา ห.ร.ม. ของ x, y (ตอบ 1)15. ให a เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง 3 | a และ 5 | a หา ห.ร.ม. ของ a และ 7 เทากับ 1 แลว ห.ร.ม. ของ a และ 105 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 *2) 15 3) 35 4) 10516. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ {x | x เปนจํานวนเต็มที่ไมใช 0 และ -100 ≤ x ≤ 100} ให A = {x | ห.ร.ม. ของ x กับ 21 เปน 3} จํานวนสมาชิกของ A เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 29 2) 34 3) 68 *4) 5817. สําหรับจํานวนเต็ม a, b ใดๆ ให (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให A = {1, 2, 3, ..., 400} จํานวน สมาชิกของเซต {x ∈ A | (x, 40) = 5} มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 30 *2) 40 3) 60 4) 80 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (73)
  • 73. 18. ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มีคาเทาใด (ตอบ 30)19. กําหนดให n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยที่สุด ซึ่งหารดวย 7 แลวมีเศษเหลือเทากับ 4 ถา 9 และ 11 ตาง  ก็หาร (n - 2) ลงตัวแลว n คือจํานวนใด20. กําหนด a, b, n, r เปนจํานวนเต็มใดๆ จงพิจารณาขอความตอไปนี้ a = b(n) + r b = r(2) + 70 r = 70(1) + 21 70 = 21(3) + 7 21 = 7(3) + 0 ขอใดตอไปนี้ผิด 1) (a, b) = (70, 21) *2) (b, n) = 3 3) (r, 70) = (70, 21) 4) (a, b) = 721. ถา a, b, q1, q2 เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a = bq1 + 231 b = 231q2 + 126 แลว ห.ร.ม. ของ a, b เทากับเทาใด (ตอบ 21)22. กําหนดให a และ b เปนจํานวนเต็มบวก ถา b หาร a ไดผลลัพธ 1 เหลือเศษ 24 โดยที่ 24 < b, 24 หาร b ไดผลลัพธ 1 เศษ 12 แลว ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับจํานวนในขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 6 *4) 1223. ให n ∈ I+ ซึ่ง ห.ร.ม. ของ n และ 42 เทากับ 6 ถา 42 = n q0 + r0 , 0 < r0 < n n = 2 r0 + r1 , 0 < r1 < r0 และ r0 = 2 r1 โดยที่ q0, r0, r1 เปนจํานวนเต็ม แลว ค.ร.น. ของ n และ 42 มีคาเทากับเทาไร (ตอบ 210)24. กําหนดให a, b เปนจํานวนเต็ม ซึ่ง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให q1, q2 เปนจํานวนเต็มบวกโดยที่ 216 = bq1 + 106 b = 106q2 + 4 ถา f(x) = x3 + ax2 + bx - 36 แลว เมื่อหาร f(x) ดวย x - a ไดเศษเทากับเทาใด 1) 192 *2) 200 3) 236 4) 27225. ในระบบจํานวนเต็ม ให a และ b > 0 a = 1998 b + r , 0 < r < 1998 1998 = 47 r + r1 , 0 < r1 < r และ (r, r1) = 6 ขอความใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) (a, b) = 6 *2) (a, 1998) = 6 3) (b, r) = 6 4) (1998, r) > 6คณิตศาสตร (74)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 74. 26. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดวย 6 มีเศษเหลือเปน 4 จงหาเศษเหลือ เมื่อหาร 4x ดวย 3 (ตอบ 1)27. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3 แลว n หาร 41 เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2) 6 3) 18 *4) 2028. ขอความในขอใดตอไปนีผิด ้ 1) ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง n | a และ n | b แลวจะไดวา n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตัวดวย 2) ถา a, b, n เปนจํานวนเต็มบวก ซึ่ง a | n และ b | n แลวจะไดวา ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวดวย *3) ถา a, m, n เปนจํานวนเต็มบวก และ a | mn แลวจะไดวา a | m และ a | n 4) ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มบวก m, n แลวจะไดวา dc = mn29. ให a เปนจํานวนคูบวก และ b เปนจํานวนคี่บวก ขอใดตอไปนี้ถูก 1) a และ b เปนจํานวนเฉพาะสัมพัทธ 2) a + b เปนจํานวนเฉพาะ 3) ห.ร.ม. ของ a และ b เทากับ ห.ร.ม. ของ a และ 2b *4) ค.ร.น. ของ a และ b เทากับ ค.ร.น. ของ a และ 2b30. กําหนดให m เปนจํานวนเต็มบวก และ n เปนจํานวนเฉพาะ ถา m หาร 777 และ 910 แลวเหลือเศษ n แลว m – n มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 2)31. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยสุด ซึ่ง 3 | (n - 2) และ 7 | (n - 6) แลว ห.ร.ม. ของ n และ (n + 4) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 *2) 4 3) 5 4) 732. ให m และ n เปนจํานวนเต็มบวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แลว 5 หาร (m + n) เหลือเศษเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 1 2) 2 3) 3 4) 433. ถา S เปนเซตของจํานวนเต็ม m ที่มีสมบัติดังนี้ 50 ≤ m ≤ 100 และ 7 หาร m3 เหลือเศษ 6 แลว จํานวนสมาชิกของ S เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 7 2) 14 3) 18 *4) 2134. ถา n เปนจํานวนเต็มบวกซึ่งมีสมบัติดงนี้ 100 ≤ n ≤ 1000, 45 และ 75 หาร n ลงตัว, 7 หาร n เหลือเศษ ั 3 แลว n มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 675)35. กําหนดให n เปนจํานวนนับใดๆ และ r เปนเศษที่เหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปน คาของ r ไมได 1) 1 2) 3 3) 5 *4) 736. กําหนดให n เปน ห.ร.ม. ของ 14097 และ 14351 จํานวนในขอใดตอไปนี้หารดวย n แลวไดเศษเหลือเปน จํานวนเฉพาะ 1) 135 *2) 144 3) 153 4) 162 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (75)
  • 75. ความสัมพันธและฟงกชัน ผลคูณคารทีเซียน (Cartesian product) A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบัตของผลคูณคารทีเซียน ิ 1. A × B = B × A ก็ตอเมื่อ A = B หรือ A = ∅ หรือ B = ∅ 2. A × ∅ = ∅ = ∅ × A 3. ถา A และ B เปนเซตจํากัดแลว n(A × B) = n(A) × n(B) 4. มีสมบัติการแจกแจง A × (B U C) = (A × B) U (A × C) A × (B I C) = (A × B) I (A × C) A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ความสัมพันธ (relation) ♥ ความสัมพันธ คือ เซตที่เกิดจากสมาชิกของผลคูณคารทีเซียนที่สอดคลองกับเงื่อนไขที่กําหนด ♥ r เปนความสัมพันธจากเซต A ไปเซต B เมื่อ r ⊂ A × B ♥ r เปนความสัมพันธใน A เมื่อ r ⊂ A × A ♥ ถา (x, y) ∈ r แสดงวา x มีความสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r y ♥ ถา (x, y) ∉ r แสดงวา x ไมมีความสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r y ♥ จํานวนความสัมพันธท่เปนไปไดจาก A ไป B = 2n(A)×n(B) ความสัมพันธ ี โดเมนและเรนจของความสัมพันธ ♥ โดเมนของความสัมพันธ r (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอนดับ Dr = {a | (a, b) ∈ r} ั ♥ เรนจของความสัมพันธ r (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับ Rr = {b | (a, b) ∈ r} ♥ การหา Dr และ Rr ของความสัมพันธ 1) จัดรูปสมการ หาโดเมน ⇒ จัด y ใหอยูในรูปของ x (หรือ y = ... x) หาเรนจ ⇒ จัด x ใหอยูในรูปของ y (หรือ x = ... y) 2) ตรวจสอบคา x, y โดย ถา แลว ∆ ≠ 0 ∆ ถา = ∆ แลว ≥ 0 และ ∆ ≥ 0 หรือ ถา = - ∆ แลว ≤ 0 และ ∆ ≥ 0 ถา = | ∆ | แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรือ ถา = -|∆| แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R ถา = ∆2 แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรือ ถา = -∆2 แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R อินเวอรสของความสัมพันธ ♥ ถา r = {(a, b)} แลว r-1 = {(b, a)} ♥ D -1 = Rr และ R -1 = Dr r rคณิตศาสตร (76)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 76. ฟงกชัน (Function)คือ ความสัมพันธที่สมาชิกในโดเมนแตละตัวจับคูกับสมาชิกในเรนจของความสัมพันธเพียงตัวเดียวเทานั้น r1 r2 1 -1 1 -1 2 -2 2 -2 3 -3 3 -3r1 เปนความสัมพันธที่เปนฟงกชัน r1 เปนความสัมพันธที่ไมเปนฟงกชันนั่นคือ f จะเปนฟงกชน ก็ตอเมื่อ f เปนความสัมพันธ ซึ่งถามี (x, y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว y = z ัแทนฟงกชันดวยสัญลักษณ f = {(x, y) | y = f(x)} หรือ y = f(x)ฟงกชันแบบตางๆ1. f เปนฟงกชันจาก A ไป B เมื่อ f เปนฟงกชัน ที่มี Df = A และ Rf ⊂ B แทนดวยสัญลักษณ f : A → B2. f เปนฟงกชันจาก A ไปทั่วถึง B เมื่อ f เปนฟงกชัน ที่มี Df = A และ Rf = B แทนดวยสัญลักษณ f : A ทั่ว→ B หรือ f : A onto → B  ถึง  3. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B เมื่อ f เปนฟงกชันจาก A ไป B ซึ่งถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 แทนดวยสัญลักษณ f : A 1 - 1→ B 4. f เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เมื่อ f เปนฟงกชัน 1 - 1 ที่มี Df = A และ Rf = B แทนดวยสัญลักษณ f : A 1onto→ B หรือ f : A 1 - 1→ B  -1   ทั่วถึง5. f เปนฟงกชันเพิ่มใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2)6. f เปนฟงกชันลดใน A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2)ฟงกชันประกอบ (composite function)กําหนด f และ g เปนฟงกชัน โดยที่ Rf I Dg ≠ ∅ A f B C g D gof ฟงกชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนดวย gof โดยที่ (gof)(x) = g(f(x)) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (77)
  • 77. การหาคาของฟงกชันจากฟงกชันประกอบตัวอยางที่ 1 กําหนดให f = {(1, 3), (3, 5), (5, 1)} และ g = {(3, 1), (1, 1), (2, 5), (5, 3)} จงหา gof = .............................................................................................................................................. fog = .............................................................................................................................................. fof = .............................................................................................................................................. gog = ..............................................................................................................................................ตัวอยางที่ 2 กําหนดให f(x) = x + 1 และ ตัวอยางที่ 3 ถา f(g(x)) = x2 และ f(x) = x – 1 (gof)(x) = x2 + 2x + 3 จงหา g(x) จงหา g(x) ฟงกชันอินเวอรส (Inverse Function) การหาอินเวอรสของฟงกชัน จะเหมือนกับการหาอินเวอรสของความสัมพันธ r ซึ่งมีหลักการดังนี้ กําหนด f = {(x, y) ∈ A × B | y = เทอมของ x} จะไดวา f-1 = {(x, y) ∈ B × A | y = เทอมของ x} หรือ f-1 = {(y, x) ∈ B × A | x = เทอมของ y} สมบัติของฟงกชนอินเวอรส ั 1. Df = R f -1 ; Rf = D f -1 2. กราฟของ f-1 จะสมมาตรกับกราฟของ f เมื่อเทียบกับเสนตรง y = x 3. (fog)-1 (x) = (g-1of-1)(x) เมื่อ f(x) และ g(x) เปนฟงกชัน 1 - 1 4. (fof-1)(x) = x 5. (f-1o f)(x) = x 6. ถา f (∆) = แลว ∆ = f-1( ) พีชคณิตของฟงกชัน (Algebra of functions) 1. f + g = {(x, y) | y = f(x) + g(x) และ Df+g = Df I Dg} 2. f - g = {(x, y) | y = f(x) - g(x) และ Df-g = Df I Dg} 3. fg = {(x, y) | y = f(x) g(x) และ Dfg = Df I Dg} f f(x) 4. g = {(x, y) | y = g(x) และ Df/g = Df I Dg - {x | g(x) = 0}}คณิตศาสตร (78)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 78. แบบทดสอบ1. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ x2 ≤ 8x + 20 ถา A = {x ∈ S | x เปนจํานวนเฉพาะบวก} และ B = {x ∈ S | x เปนจํานวนเต็มคี่} แลว (A × B) - (B × A) มีจํานวนสมาชิกเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 *2) 15 3) 21 4) 232. ให A = {0, 1, 2, 3} และ P(A) คือเพาเวอรเซตของ A ถา r เปนความสัมพันธจาก A ไปยัง P(A) กําหนดโดย r = {(a, B) | a ≥ 2, a ∉ B และ a + 1 ∉ B} แลว r มีจํานวนสมาชิกกี่จํานวน (ตอบ 12)3. กําหนดให S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนี้ไมเปนสับเซตของ Dr - Rr 1) (-1.4, -1.3) 2) (-1.3, -1.2) 3) (1.2, 1.4) *4) (1.4, 1.5)4. กําหนดให r = {(x, y) | (x - 2)(y - 1) = 1} และ s = {(x, y) | xy2 = (y + 1)2} เซตในขอใดตอไปนี้ ไมเปนสับเซตของ Rr I Rs 1) (-∞, -1) 2)  -2, -1    2 *3)  1 , 2   2   4) (1, ∞)5. กําหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 16}, s = {(x, y) ∈ R × R | xy2 + x + 3y2 + 2 = 0} เซตในขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ Dr - Ds 1) [-4, -1] 2) [-3, 0] *3) [-2, 1] 4) [-1, 2]6. กําหนดให A = [-2, -1] U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x - y = -1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 2.5 *2) 3 3) 3.5 4) 47. กําหนดให r = {(x, y) | x > 0, x ≠ y, x - 3 x = y - 3 y } สมาชิกคามากที่สุดของ Dr เทากับขอใด ตอไปนี้ 1) 4 *2) 8 3) 94 4) 98 3 3 3 38. กําหนดให r = {(x, y) | x ≥ y และ y2 = x2 + 2x - 3} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (-∞, ∞) ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด9. ถา r = {(x, y) | y ≤ x2 และ y ≥ 2x} แลวเรนจของ r-1 คือเซตในขอใดตอไปนี้ 1) [0, 2] 2) [0, 4] *3) (-∞, 0] U [2, ∞) 4. (-∞, 0] U [4, ∞) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (79)
  • 79. 10. หนดให r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± | x | } ข. กราฟของ r และกราฟของ r-1 ตัดกัน 2 จุด ขอใดตอไปนี้ถูก *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด11. ให R เปนเซตของจํานวนจริง และ f : R → R กําหนดโดย -1 - x ; x < 0  f(1 - x) =  0 ; x = 0    1- x ; x > 0  ถา x * y = f(y – x2) สําหรับจํานวนจริง x และ y ใดๆ แลวคาของ f(-2) * f(3) มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้ *1) (-4, -2] 2) (-2, 2] 3) (2, 4] 4) (4, 6)  2 ; x ≤ -1 12. กําหนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 เซตคําตอบของสมการ f(|x|) - 4 = 0 เปนสับเซตของเซต   (x + 1) ; x≥2  ซึ่งเปนชวงในขอใดตอไปนี้ 1) (-3, 5) 2) (-6, -1) *3) (-5, 4) 4) (1, 6)13. กําหนดให f(x) = x - 1 เมื่อ x ∈ (-∞, -1] U [0, 1] และ g(x) = 2x เมื่อ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนี้ถูก *1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg 3) f เปนฟงกชัน 1 - 1 4) g ไมเปนฟงกชัน 1 - 114. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c} เซต S = {f | f : A → B เปนฟงกชันทั่วถึง} มีจํานวนสมาชิก เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 2) 24 *3) 36 4) 39 1-115. กําหนดให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4} เซต { f | f : A  → B และ f(x) ≠ x ทุก x ∈ A }  มีจํานวนสมาชิกเทาใด (ตอบ 7)16. ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} ถา f เปนฟงกชันจาก A ไป B โดยที่ f(1) = 2 หรือ f(2) = m เมื่อ m เปนจํานวนคี่ แลว จํานวนของฟงกชัน f ที่มีสมบัตดังกลาวเทากับขอใด ิ 1) 75 2) 150 *3) 425 4) 50017. กําหนดให f(x) = x2 + x + 1 และ a, b เปนคาคงตัวโดยที่ b ≠ 0 ถา f(a + b) = f(a - b) แลว a2 อยู ในชวงใดตอไปนี้ *1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2)คณิตศาสตร (80)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 80. 18. กําหนดให n เปนจํานวนนับ ถา f : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n} เปนฟงกชัน 1 – 1 และทั่วถึง ซึ่ง สอดคลองกับเงื่อนไข f(1) + f(2) + ... + f(n) = f(1)f(2) ... f(n) แลวคามากสุดที่เปนไปไดของ f(1) - f(n) เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 2 2) 5 3) 8 4) 1119. ถา f(x) = 1 และ g(x) = 2f(x) แลว gof(3) + fog-1(3) มีคาเทาใด (ตอบ 7.5) x20. กําหนดให f(x) = x - 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจํานวนจริงซึ่ง (gof)(a) = (fog)(a) แลว (fg)(a) มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -25 *2) -18 3) 18 4) 25  x2 , x ≥ 021. กําหนดให f(x) = 3x - 1 และ g-1(x) =   คาของ f-1(g(2) + g(-8)) เทากับขอใดตอไปนี้ -x 2 , x < 0  *1) 1 -3 2 2) 1 +3 2 3) 1 --3 2 4) 1 +-3 222. กําหนดให f(x) = x2 และ g เปนฟงกชันพหุนามโดยที่ gof(x) = 3x2 + 1 ถาเซต {y | y = g-1of(x), x ∈ [-10, 10]} คือชวง [a, b] แลว 3(a + b) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 88 2) 90 *3) 98 4) 10023. กําหนดให f(x) = 10x และ g(x) = 100 - 3x 2 จํานวนเต็มที่มคามากที่สุดที่เปนสมาชิกของ Rgof มีคา ี เทาใด (ตอบ 10)24. กําหนดฟงกชัน f และ g ดังนี้ f(2x - 1) = 4x - a, a > 0 และ g-1(x) = x + 1 ถา (fog)(a) = a2 + 20 แลว f(a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 *2) 7 3) 10 4) 1725. กําหนดให f, g เปนฟงกชัน ซึ่ง Df = [0, ∞) โดยที่ f-1(x) = x2 ; x ≥ 0 และ g-1(x) = (f(x))2 + 1 ; x ≥ 0 ถา a > 0 และ f(a) + g(a) = 19 แลว f -1 (a) + g-1 (a) เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 273 2) 274 3) 513 4) 51426. กําหนดให f(x) = ax2 + b และ g(x - 1) = 6x + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัว ถา f(x) = g(x) เมื่อ x = 1, 2 และ (f + g)(1) = 8 แลว (fog-1)(16 ) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 319 2) 61 9 3) 10 *4) 2027. ให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา f และ g เปนฟงกชันซึ่งกําหนดโดย f(x) = 2x และ g(x) = x - 1 ทุก x ∈ I แลวเรนจของ (fog) + f คือเซตในขอใดตอไปนี้ *1) {x ∈ I | x เปนจํานวนเต็มคี่} 2 2) {x ∈ I | x เปนจํานวนเต็มคู} 2 3) เซตของจํานวนเต็มคี่ทั้งหมด 4) เซตของจํานวนเต็มคูทั้งหมด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (81)
  • 81. x-1 ; x < 0  28. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f(x) =  และ g(x) = x2 + 4x + 13 ถา a x3 - 1 ; x ≥ 0   เปนจํานวนจริงบวก ซึ่ง g(a) = 25 แลว f-1(-2a) + f-1(13a) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) 0 2) 2 3) 4 4) 629. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่งนิยามโดย f(x) = x2 + 1 และ g(x) = ax เมื่อ a ∈ (0, 1) ถา k เปน   จํานวนจริงที่ทําให (fog)(k) = (gof)(k) แลว (fog-1)  12  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้   k  1) 1 *2) 2 3) 3 4) 430. กําหนดให f, g เปนฟงกชันซึ่ง f(x) = (x - 1)3 + 3 และ g-1(x) = x2 - 1, x ≥ 0 ถา gof-1(a) = 0 แลว a2 อยูในเซตใดตอไปนี้ *1) [10, 40] 2) [40, 70] 3) [70, 100] 4) [100, 130]31. กําหนดให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x - 1 ถา g เปนฟงกชัน ซึ่งทําให fog = h แลว g(5) มีคา เทาใด (ตอบ 28)32. กําหนดให f(x) = -(x - 1)2 ทุก x ≤ 1 และ g(x) = 1 - x ทุก x ≤ 1 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. f-1(x) = 1 - | x | ทุก x ≤ 0 ข. (g-1of-1)  -1  = 3   4  4 ขอใดตอไปนี้ถูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด33. กําหนดให f และ g เปนฟงกชัน ซึ่ง f(x) < 0 ทุก x ถา (gof)(x) = 2[f(x)]2 + 2f(x) - 4 และ g-1(x) = x 3 1 แลว พิจารณาขอความตอไปนี้ + ก. gof เปนฟงกชันคงตัว ข. f(100) + g(100) = 300 ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด  2 ; x ≤ -1 34. กําหนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 และ g(x) = f(x) + 2 ถา k เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่ทําให   (x + 1) ; x≥2  g(k) > 5 แลว (gof)(k) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้  1) 5 2) 6 *3) 7 4) 8คณิตศาสตร (82)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 82. 35. กําหนด f เปนฟงกชันจากเซต {0, 1, 2, ..., 2551} ไปยังเซตของจํานวนเต็มบวก ถา f สอดคลองทุก เงื่อนไขตอไปนี้ (1) f(2x + 1) = f(2x) (2) f(3x + 1) = f(3x) (3) f(5x + 1) = f(5x) และ (4) f(7x + 1) = f(7x) แลวเรนจของ f มีจํานวนสมาชิกมากที่สุดที่เปนไปไดกี่จํานวน (ตอบ 584) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (83)
  • 83. เมตริกซ (Matrices) a  11 a11 ... a1n   a  21 a22 .... a2n   A = [aij]m×n =  M   เปนเมตริกซที่มี m แถว และ n หลัก M M    a  m1 am2 ... a mn   นั่นคือ A เปนเมตริกซที่มีมิติ m × n โดยที่ aij คือ สมาชิกของเมตริกซ A ที่อยูในแถวที่ i และหลักที่ j ชนิดของเมตริกซ 1. เมตริกซศูนย (zero matrix หรือ null matrix) คือ เมตริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปนศูนย แทนดวย 0 2. เมตริกซจตุรัส (square matrix) คือ เมตริกซที่มีจํานวนแถวเทากับจํานวนหลัก ั 3. เสนทแยงมุมหลัก (main diagonal) คือ แนวที่ลากจากมุมบนซาย ทแยงมายังมุมลางขวาของเมตริกซจัตรส หรือสมาชิกในตําแหนง a11, a22, a33, …, ann ุั 4. เมตริกซหนึ่งหนวย หรือเมตริกซเอกลักษณ (Unit matrix หรือ Identity matrix ; In) 1 0 0  1 0    เชน I1 = [1]1×1 I2 = 0 1   I3 = 0 1 0      2×2  0 0 1   3×3 5. เมตริกซสามเหลี่ยม (Triangular matrix) คือ เมตริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยูดานบน หรือดานลางของแนวเสนทแยงมุมหลัก เปนศูนยทั้งหมด เชน 1 2 3  0 0 0  0 0 0 2 3          0 4 5  0 4 0  0 0 0 0 9          0 0 6  4 2 6  5 0 0       การเทากันของเมตริกซ เมตริกซจะเทากันก็ตอเมื่อมีมิติเทากัน และสมาชิกในตําแหนงเดียวกันมีคา 1   30 เทากัน เชน 0  =  3    0      การบวกและการลบเมตริกซ ถา A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แลว A ± B = [aij ± bij]m×n นั่นคือ จะตองตรวจสอบกอนวาเมตริกซที่นํามาบวกหรือลบกันนั้น มีมิติเทากันหรือไม - ถาเทากันใหนําสมาชิกที่อยูในตําแหนงเดียวกันมาบวก หรือลบกัน เชน -1 2   1 3 (-1) + 1 2 + 3   0 5   +   =   = -1 3   0 1   -1 2    0 + (-1) 1 + 2        -1 2   1 3 (-1) - 1 2 - 3  -2 -1    0 1  -   -1 2  =   0 - (-1) 1 - 2  =  1 -1           - ถาไมเทากัน ไมสามารถนํามาบวก หรือลบกันไดคณิตศาสตร (84)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 84. การคูณเมตริกซ 1. คูณเมตริกซดวยคาคงที่ ถา A = [aij]m×n แลว c ⋅ A = [c ⋅ aij]m×n 1 2 3  10 20 30  เชน 10 ⋅  4 5 6  =  40 50 60          2. คูณเมตริกซดวยเมตริกซ เมตริกซจะคูณกันไดก็ตอเมื่อ จํานวนหลักของเมตริกซตัวตั้ง เทากับ จํานวนแถวของเมตริกซตัวคูณ และผลคูณที่ไดจะมีมิติเทากับ “แถวของเมตริกซตัวตั้ง (ตัวหนา) × หลักของเมตริกซตัวคูณ (ตัวหลัง)” ดังนี้ A 2×2 × B2×3 = C 2×3 เทากัน 3. สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมตริกซ ถา A, B และ C เปนเมตริกซที่บวก ลบ และคูณกันได และ k เปนจํานวนจริงใดๆ แลว 1. ถา A เปนเมตริกซจัตุรสแลว An = A ⋅ A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A ั 2. เมตริกซท่จะนํามายกกําลังได ตองเปนเมตริกซจัตุรัสเทานั้น ี 3. AI = IA = A (I เปนเมตริกซหนึ่งหนวย) 4. k(AB) = A(k)B = (AB)k 5. (AB)C = A(BC) 6. A(B + C) = AB + AC (การแจกแจงดานซาย) 7. (A + B)C = AC + BC (การแจกแจงดานขวา) 8. (kA)n = kn ⋅ An 9. (-A)2 = A2 10. AB อาจจะเทาหรือไมเทากับ BA ก็ได 11. ถา AB ≠ BA แลว 1) (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + A2 2) A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2 12. ถา AB = BA แลว 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + A2 = A2 + 2BA + A2 2) (A - B)2 = A2 - 2AB + A2 = A2 - 2BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - B2 13. ถา AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0 หรือ ทั้ง A, B ≠ 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (85)
  • 85. ทรานสโพสของเมตริกซ (At) คือ เมตริกซที่เกิดจากการเปลี่ยนสมาชิกในแถว m ใดๆ เปนหลัก m หรือ 1 เมตริกซที่เกิดจากการเปลี่ยนสมาชิกในหลัก n ใดๆ เปนแถว n เชน ถา A = [1 4] แลว At =  4      สมบัตเกี่ยวกับทรานโพสของเมตริกซ ิ 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (A - B)t = At - Bt 4. (cA)t = cAt 5. (AB)t = BtAt 6. (ABC)t = CtBtAt 7. (At)n = (An)t ดีเทอรมแนนต (Determinant) ิ คือ คาของจํานวนจริงที่ไดจากเมตริกซจัตุรัสเทานั้น ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ A แทนดวย det (A) a bหรือ |A| หรือ c d การหาคา Determiant 1. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 1 × 1 เชน ถา A = [1] แลว det A = 1 2. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 2 × 2 เชน 6 1 2 ถา A =   แลว det (A) = คูณลง - คูณขึ้น = (-1) - (6) = -7  3 -1    -1 3. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ 3 × 3 เชน 0 5 -4  1 -1 0  1 -1   ถา A =  2 3 1  2 3 แลว det (A) = คูณลง - คูณขึ้น = (6 + 4 + 0) - (0 + 5 - 4)   -4  5 2  -4 5  = 10 - 1 = 9 6 4 0 4. ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซ n × n เชน a a12 a13  c c12 c13   11   11  กําหนดให A =  a21 a22 a23  และ C(A) = c21 c22 c23      a  31 a32 a33   c  31 c32 c33   พิจารณาแถวที่ 1 det A = a11c11 + a12c12 + a13c13 พิจารณาแถวที่ 2 det A = a21c21 + a22c22 + a23c23 พิจารณาหลักที่ 1 det A = a11c11 + a21c21 + a31c31 พิจารณาหลักที่ 2 det A = a12c12 + a22c22 + a32c32คณิตศาสตร (86)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 86. สมบัตของดีเทอรมิแนนต กําหนดให A, B, C เปนเมตริกซมติ n × n ิ ิ 1. det (At) = det (A) 2. det (A ⋅ B ⋅ C ⋅ ... ⋅ Z) = det (A) ⋅ det (B) ⋅ det (C) ⋅ ... ⋅ det (Z) 3. det (I) = 1 4. det (0) = 0 5. det (Ak) = (det A)k 6. det (A-1) = (det A)-1 = det1(A) 7. det (kA) = kn ⋅ det (A), n เปนมิติของ A 8. det (adj A) = (det A)n-1 9. ถา A = B แลว det (A) = det (B) อินเวอรสการคูณของเมตริกซ 1. อินเวอรสการคูณของ A เขียนแทนดวยสัญลักษณ A-1 ซึ่ง A ⋅ A-1 = I = A-1 2. A-1 = det (A) adj (A) นั่นคือ เมตริกซ A ใดๆ จะหาอินเวอรสได ก็ตอเมื่อ A เปนเมตริกซจัตุรัสเทานั้น และ det (A) ≠ 0 ถา “det (A) = 0” เรียก A วา “เมตริกซเอกฐาน (Singular Matrix)” ถา “det (A) ≠ 0” เรียก A วา “เมตริกซไมเอกฐาน (Non - Singular Matrix)” การหาอินเวอรสการคูณของเมตริกซ  d -b    a b 1. อินเวอรสการคูณของเมตริกซ 2 × 2 ถา A = c d  แลว A -1 = -c a        det (A) 2. อินเวอรสการคูณของเมตริกซ n × n หาไดดังแผนภาพตอไปนี้ A M(A) C(A) adj(A) A-1   m11 m12 m13   ไมเนอร (Minor) เชน M(A) = m21 m22 m23  โดยที่     m31 m32 m33   ไมเนอรตําแหนง ij (mij) คือ ดีเทอรมิแนนตของเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซเชน แถวที่ 1 a11 a12 a13     a 22 a23  m11 = det a21 a22 a23  = det  a a  = a22a33 - a32a23    32  33   a31 a32 a33    หลักที่ 1 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (87)
  • 87.   c11 c12 c13   โคแฟกเตอร (Cofactor) เชน C(A) = c21 c22 c23  โดยที่ cij = (-1)i+j ⋅ mij      c31 c32 c33   เมตริกซผูกพัน (Adjoint) adj (A) = [C(A)]t อินเวอรสการคูณของเมตริกซ A-1 = det (A) adj (A) ระบบสมการเชิงเสน กําหนดระบบสมการเชิงเสน a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 a b1 c1   x  d   1     1 a เขียนสมการดังกลาวในรูปเมตริกซ  2 b2 c2     ⋅ y  =  d2    a  3 b3 c 3   z     d   3 หรือ A X = B การแกระบบสมการเชิงเสน 1. โดยใชอินเวอรสของเมตริกซ ถา AX = B แลว X = A-1B เมื่อ det A ≠ 0 2. โดยใชกฎของเครเมอร (Kramer’s rule) d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 d2 b2 c2 a2 d2 c2 a2 b2 d2 d b3 c3 D a3 d3 c3 D a3 b3 d3 D z x= 3 = Dx ; y = = Dy ; z = = D a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 3. โดยใชการดําเนินการตามแถว (row operation) วิธีดําเนินการบนแถวของเมตริกซ 1. สามารถสลับ 2 แถวใดๆ ได 2. สามารถคูณแถวใดแถวหนึ่งดวยตัวเลขทีไมใชศูนยได ่ 3. สามารถนําสองแถวใดๆ มาบวก หรือ ลบกันได 4. สามารถคูณแถวใดแถวหนึ่งดวยตัวเลขที่ไมใชศูนย แลวนําไปบวก หรือ ลบกับอีกแถวหนึ่งได a b1 c1 d1  1 0 0 x   1    a b2 c 2 d1  ∼  0 1 0 y   2    a  b3 c 3 d1   0 0 1 z  3  [A : I] ∼ [I : A-1]คณิตศาสตร (88)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 88. แบบทดสอบ 1 2   2 11. A = 3 4  และ B = -1 1 พิจารณาขอความตอไปนี้         ก. (A + B) 2 = A2 + 2AB + B2 ข. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 ค. A2 - B2 = (A - B)(A + B) ขอใดสรุปเกี่ยวกับขอความขางตนไดถูกตองที่สุด 1) ถูกทุกขอ 2) มีถูก 2 ขอ 3) มีถูก 1 ขอ *4) ผิดทุกขอ 0 x 0 -1         2. det 2 0 2 2   = x 1 1 แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้       - 3 1 5        1) 1 2) 2 3) 3 *4) 4   x2 -2 2   -2 -4x  3. นดเมตริกซ A และ B ดังนี้ A =   ,B=  2 0  โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา  2 2   x     det (2A) = -76 แลว เมทริกซ C ในขอใดตอไปนี้ ที่ทําใหคาของ det (BC) อยูภายในชวง (-100, -50) 1 -1 -1 2   2 1 2 1  *1) C = 1 2    2) C =  1 1    3) C = -1 4    4) C = 3 -1           1 a  1 -3 4. กําหนดให a, b เปนจํานวนจริง และ A = 1 b  , B = 2 3  ถา (A + B)2 - 2AB = A2 + B2 แลว         det (A) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0.5 2) 1.5 3) 3.5 4) 4.55. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ 2 × 2 และ det (A) = 4 ถา I เปนเมทริกซเอกลักษณ และ A - 3I เปน เมทริกซเอกฐาน แลว det (A + 3I) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 6 3) 13 *4) 266. ให A เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 และ Aij คือเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริกซ A ออก  2 -5 -1   -1 -2  1 -1  ถา adj A = -28 10 -1  , A11 =  5 8  และ A32 = 3 -2  แลว det (A) มีคาเทากับขอใด        17 -5 -1        1) -92 *2) -15 3) 15 4) 92 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (89)
  • 89.   3 3 -1 7. กําหนดเมตริกซ A = [aij] ถา det (A) = -92 และ adj(A) = -9 1 -1 2  แลว 3a11 + 3a21 – a31     2 1 2   มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 9) -1 3  -1 1   2 18. ให A เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 ถา M13 =  1 2  , M21 =  2 4  และ M32 = -1 0  แลว             det A มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 15)9. ให A เปนเมตริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ Mij(A) คือไมเนอรของ aij ถา M23(A) = 5 แลว M32(2At) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 10 2) 20 *3) 40 4) 80  1 2 4  10. กําหนดให A = -3 8 0  สมาชิกในแถวที่ 3 หลักที่ 1 ของ A-1 เทากับเทาใด (ตอบ 1 )   5  1 2 -1      1 2 -1  11. กําหนดให A = 2 x 2  โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริง ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว     2 1 y   det(A) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -33 2) -30 3) 30 *4) 33 -2 2 3  12. กําหนดให  1 -1 0  สมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ A-1 เทากับขอใดตอไปนี้    0 1 4   2 1) - 3 2) -2 *3) 2 4) 2 3   2 x 1 13. กําหนดเมทริกซ A = -1 0 1  โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา C22(A) = 14 แลว det (adj (A)) มี     1 - x 2 2x    คาเทาใด (ตอบ 36) x 1 1   14. กําหนดให A = 3 1 1  ถา C12(A) = 4 แลว det (2A) มีคาเทาใด (ตอบ 16)    x 0 -1  คณิตศาสตร (90)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 90. 3 4  -1 2 15. ถา A และ B เปนเมทริกซซึ่ง 2A - B = 3 6  และ 2A + B =  4 -2  แลว (AB)-1 คือเมทริกซใน         ขอใดตอไปนี้ - 1 0 -1 0 1 1 1 -1  1)  4    2)   1 -1   3)  4    *4)  1  0 -   1 -1     4 0 -1      4 16. กําหนดให n เปนจํานวนนับ และ x เปนจํานวนจริงซึงไมเทากับ 1 ถา A คือตัวผกผันการคูณของเมทริกซ x  x2 xn   0  0        0 x x2  แลวคาของ n ที่ทําให [1 0 0]A 0  = [2 0 0]A 0  เทากับขอใดตอไปนี้       0 0 x 2  3        1) 1 *2) 3 3) 6 4) 9  a b c   2  17. กําหนดให A = 0 c a  ถา A + AT เปนเมทริกซเอกฐานและ a3 + b3 + c3 = 1 แลว det (A-1)  2    0 0 b    2  เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 24 2) 8 3) 2 4) 0  60 20  5 0 18. ถา A เปน 2 × 2 เมตริกซ ซึ่งมิใชเอกฐาน และ ถา 30 40  A = 0 5  แลว A-1 คือเมตริกซในขอ         ใดตอไปนี้ 6 2   9 -18  12 4  12 20  1) 3 4    2) -12 6    *3)  6 8    4) 30 8            1 2 -1    19. ให A เปนเมตริกซ และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมติ 3 × 3 ถา B = 3 0 1 และ ิ    -2 1 0     0 2 -3   C = 3 -1 2  สอดคลองกับสมการ AB - AC - 1 I = 0 แลว A-1 คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้   2 0 2 1    1 0 2   2 0 4 -1 0 -2  -2 0 -4         1)  0 1 -1   *2)  0 2 -2    3)  0 -1 1    4)  0 -2 2    -2 -1 -1  -4 -2 -2   2 1 1   4 2 2        โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (91)
  • 91. x  1 2 1 1 -1 0       20. กําหนดให X = y  สอดคลองสมการ AX = C เมื่อ A = -2 0 1 , B = 2 0 -1  และ        C=  z  0 1 2   1 4 0     2 a      -2  ถา (2A + B)X =  b  แลว a + b + c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้      3 c      1) 3 2) 6 *3) 9 4) 1221. ถา x, y และ z สอดคลองกับระบบสมการ x + 2y - 2z = -2 2x + y + 2z = 5 x - 3y - 2z = 3 2 1 -3 แลว ดีเทอรมิแนนต -2 2 -2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ x + 2y 2x + y x - 3y *1) 60 2) 75 3) 90 4) 10522. ถา x, y และ z เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลองกับระบบสมการเชิงเสน 2x - 2y - z = 1 x - 3y + z = 7 -x + y - z = -5 แลว 1 + 2 + 3 เทากับขอใดตอไปนี้ x y z *1) 0 2) 2 3) 5 4) 823. ถา x, y และ z เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลองระบบสมการ 2x - 2y - z = -5 x - 3y + z = -6 -x + y - z = 4 ขอใดตอไปนี้ถูกตอง *1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 4) xy = -2 z 1 -1 0     1    x  24. กําหนดให B = 0 1 2  , C = 0  , X =  y  และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ ถา A เปนเมตริกซมิติ        3 0 1  2  z        3 × 3 ซึ่งสอดคลองกับสมการ 2AB = I และ AX = C แลว คาของ x + y + z เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 20 2) 24 3) 26 4) 30คณิตศาสตร (92)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 92.   1 2 a  x   1   25. กําหนดให A =  2 3 b  , X =  y  , B = 1  โดยที่ a, b, c เปนจํานวนจริง ถา AX = B        -1 0 c z  0        1  2 3 และ A ∼ 0  -1 -1  R2 - 2R1 แลว x มีคาเทากับเทาใด   -1 0 2   1) -1 *2) - 23 3) 3 4 4) 2   4 12 -3  26. กําหนดให A = 7 -10 5  และ B, C, D เปนเมตริกซมิติ 3 × 3 ซึ่ง A ∼ B ∼ C ∼ D    1 0 0   4 โดยที่ B ไดจาก A โดยการดําเนินการ R1 - 3 R2 C ไดจาก B โดยการดําเนินการ 5R1 D ไดจาก C โดยการดําเนินการ R23 แลว det (D) เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -3,750 2) -150 *3) 150 4) 3,750 3 x 3   27. กําหนดให A = 2 0 9  เมื่อ x เปนจํานวนจริง   1 1 2    3 x 3 1 0 0 1 0 0 9 5 -36 ถา 2 0 9 0 1 0 ∼ 0 1 0 -5 -3 21 แลว x มีคาเทากับเทาใด 1 1 2 0 0 1 0 0 1 -2 -1 828. ให x, y และ z เปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสน a11x + a12y + a13z = 2 a21x + a22y + a23z = 1 a31x + a32y + a33z = 0 a  11 a12 a13 1 0 0  1 0 0 1 -1 1     ถา  a21 a22 a23 0 1 0  ∼ 0 1 0 0 -2 1  แลว คาของ x + y + z เทากับเทาใด     a  31 a32 a33 0 0 1  0 0 1 2 3 0     (ตอบ 6) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (93)
  • 93.   1 0 2 29. กําหนดให a เปนจํานวนจริง และ A = 0 3 0  ถา a > 0 และ det (adj A) = 225 แลว a มีคา     4 0 a   เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 12 *3) 13 4) 1430. ให A และ B เปนเมตริกซจัตุรัสมิติ 4 × 4 และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมติ 4 × 4 โดยที่ A(adj A) - BA ิ = I ถา det B = 0 แลว det A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) -1 2) 0 *3) 1 4) 2 2i-1 ; i = j  t 31. กําหนดให A = [aij]3×3 โดยที่ aij =  det  4 adj (A )  เทากับขอใดตอไปนี้  det (A)  2  ; i ≠ j   *1) -16 2) -4 3) 4 4) 16 1 2 0   132. ถา A เปนเมตริกซซึ่ง A-1 = 3 1 -1  , x > 0 และ det (2 adj A) = 18 แลว x เปนจริงตาม    x 0 -2    ขอใดตอไปนี้ 1) x < 5 2) 5 ≤ x < 9 *3) 9 ≤ x < 13 4) x ≥ 13คณิตศาสตร (94)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 94. เรขาคณิตวิเคราะห และภาคตัดกรวย1. ระยะตางๆ 1.1 ระยะระหวางจุดสองจุด B (x , y ) 2 2 y2 - y1 AB = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 A (x1, y1) x2 - x1 1.2 ระยะตั้งฉากจากจุด (m, n) ไปยังเสนตรง Ax + By + C = 0 (m, n) d d = |Am + Bn + C| A 2 + B2 Ax + By + C = 0 1.3 ระยะระหวางเสนคูขนาน Ax + By + C = 0 d = |C - D| d A 2 + B2 Ax + By + D = 02. จุดแบงสวนของเสนตรง 2.1 จุดกึ่งกลาง B(x2, y2) P (x, y) =   x 1 + x 2 , y1 + y 2   2 2   A(x1, y1) P(x, y) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (95)
  • 95. 2.2 จุดแบงสวนของเสนตรงออกเปนอัตราสวน m : n B(x2, y2) m  mx1 + nx2 , my1 + ny2  n P(x, y) =   m+n m+n   A(x1, y1) P(x, y) 2.3 จุดตัดของเสนมัธยฐาน A(x1, y1) P(x, y) x1 + x 2 + x 3 2 x = 3 y1 + y 2 + y 3 1 y = 3 B(x2, y2) D C(x2, y2) 3. ความชันของเสนตรง (Slope, m) 3.1 กําหนดมุม θ m = tan θ θ 3.2 กําหนดจุดสองจุด B(x2, y2) y2 - y1 m = x2 - x1 y2- y1 y1 - y 2 = x 1 - x 2 โดยที่ x1 ≠ x2 A(x1, y1) x2 - x1 3.3 กําหนดสมการเสนตรง แบบที่ 1 y = ax + b a จะได คือ ความชัน b คือ ระยะตัดแกน y แบบที่ 2 Ax + By + C = 0 จะได - A B คือ ความชัน -BC คือ ระยะตัดแกน yคณิตศาสตร (96)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 96. 3.4 ความชันแบบตางๆ m หาคาไมได m=O m>O m<O 3.5 มุมระหวางเสนตรงสองเสน Y L2 L1 m -m θ tan θ = 1 +2 m m1 2 1 θ1 θ2 X 3.6 ความสัมพันธระหวางเสนตรงสองเสน L1 L1 m 1 = m2 m1 ⋅ m2 = -1 L2 L24. สมการเสนตรง y - y1 = m(x - x1) (x1, y1) เมื่อ m คือ ความชัน และ (x1, y1) คือ จุดบนเสนตรง โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (97)
  • 97. 5. วงกลม (Circle) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่หางจากจุดๆ หนึ่งที่ตรึงอยูกับที่เปนระยะทางคงตัว 5.1 สมการรูปแบบมาตรฐานของวงกลม x2 + y2 = r2 (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Y Y P(x, y) P(x, y) r r C(h, k) C(0, 0) X X 5.2 สมการรูปแบบทั่วไปของวงกลม x2 + y2 + Ax + By + C = 0 จุดศูนยกลาง (h, k) =  -A , -B    2 2  รัศมี (r) = h2 + k2 - C = A 2 + B 2 - 4C 2 5.3 ระยะจากจุดใดๆ ไปยังวงกลม ใหวงกลมมีสมการเปน x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หรือ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ♥ ความยาวเสนสัมผัสวงกลม P(x1, y1) PA = 2 2 x 1 + y 1 + Ax 1 + By 1 + C A หรือ PA = (x 1 - h) 2 + (y 1 - k) 2 - r 2 O ♥ ระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดไปยังวงกลม P • P เปนจุดภายนอกวงกลม PA = PO - r r A • Q เปนจุดภายในวงกลม QB = r - QO O Q Bคณิตศาสตร (98)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 98. ♥ ระยะทางที่ยาวที่สุดจากจุดไปยังวงกลม P B • P เปนจุดภายนอกวงกลม PA = PO + r r • Q เปนจุดภายในวงกลม QB = QO + r r O A Q 6. พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งหางจากจุด F ที่ตรึงอยูกับที่จุดหนึ่งและเสนตรง l ที่ตรึงอยูกับที่เสนหนึ่งเปนระยะทางเทากัน F พาราโบลา V คือ จุดยอดของพาราโบลา A B c F คือ จุดโฟกัสของพาราโบลา l คือ เสนไดเรกตริกซ (directrix) V l c คือ ระยะโฟกัส AB คือ เสนเลตัสเรกตัม (latus rectum line) 12 6 y=k+c 10 4 8 2 (x, y) 6 F(h, k + c) F(h, k - c) (x, y) -5 5 4 -2 2 y=k-c -4 -6 -5 5 10 (x - h)2 = 4c(y - k) (x - h)2 = 4c(y - k) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (99)
  • 99. 10 10 8 (x, y) 8 (x, y) x=h-c 6 6 4 4 2 F(h - c, k) 2 x=h+c F(h + c, k) 5 10 -2 -2 (y - k)2 = 4c(x - h) (y - k)2 = 4c(x - h) 7. วงรี (Ellipse) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยูกับที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนี้มีคามากกวาระยะหางระหวางจุดที่ตรึงอยูกับที่ท้งสอง จุดสองจุดที่ตรึงอยูกับที่นี้เรียกวา  ัโฟกัส (focus) ของวงรี Y a P2 B P1 G b V ′ F′ F V X C c 2 G′ x = - ac x = ac 2 B′ P1F1 + P1F2 = P2F1 + P2F2 = 2a ♥ C คือ จุดศูนยกลางของวงรี ♥ V, V′ คือ จุดยอดของวงรี ♥ F, F′ คือ จุดโฟกัสของวงรี ♥ VV′ คือ แกนเอก (major axis) ของวงรี ยาว 2a หนวย ♥ BB′ คือ แกนโท (minor axis) ของวงรี ยาว 2b หนวย ♥ CF = CF′ คือ ระยะโฟกัส ยาว c หนวย 2 ♥ GG′ คือ เลตัสเรกตัม ยาว 2b หนวย a ♥ 0 < b < a เสมอ ♥ สมการรูปแบบมาตรฐานของวงรีคณิตศาสตร (100)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 100. (x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 - b2 (y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 - b2 a2 b2 a2 b2 Y V(h, k + a) Y F′(h, k + c) B(h, k + b) P(x, y) P(x, y) C(h, k) B(h + b, k) V′(h - a, k) C(h, k) B′(h - b, k) F′(h - c, k) F(h + c, k) V(h + a, k) O X O X F(h, k - c) B′(h, k - b) V′(h, k - a) 8. ไฮเพอรโบลา (hyperbola) คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่ง ผลตาง ของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยูกับที่มีคาคงตัว โดยคาคงตัวนอยกวาระยะหางระหวางจุดคงที่ที่ตรึงอยูกับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกลาวนี้ เรียกวา โฟกัส ของไฮเพอรโบลา Y P(x, y) X |PF1 - PF2| = คาคงตัว = 2a F1(-c, O) F2(c, O) สวนประกอบของไฮเพอรโบลา l2 l1 B1 G1 G3 2 b F2 V2 V1 -5 c C(h, k) a 5 G2 -2 G4 -4 B2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (101)
  • 101. ♥ C คือ จุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา ♥ V, V′ คือ จุดยอดของไฮเพอรโบลา ♥ F, F′ คือ จุดโฟกัสของไฮเพอรโบลา ♥ VV′ คือ แกนตามขวาง (transveral axis) ยาว 2a หนวย ♥ BB′ คือ แกนสังยุค (conjugate axis) ยาว 2b หนวย ♥ CF = CF′ คือ ระยะโฟกัส ยาว c หนวย 2 ♥ GG′ คือ เลตัสเรกตัม ยาว 2b หนวย a ♥ l1, l2 คือ เสนกํากับ(asymptote) ♥ สมการรูปแบบมาตรฐานของไฮเพอรโบลา(x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 + b2 (y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมื่อ c2 = a2 + b2 a2 b2 a2 b2 Y Y B(h, k + b) F(h, k + c) V(h, k + a) V′ V B′(h + b, k) B(h + b, k) F′(h - c, k) (h - a, k) (h + a, k) F(h + c, k) C(h, k) V′(h, k - a) B′(h, k - b) X F′(h, k - c) Xคณิตศาสตร (102)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 102. แบบทดสอบ1. กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 - 10x - 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากสุดที่เปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2 หนวย *2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย2. ให a, b และ c เปนจํานวนจริง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มีจุดศูนยกลางที่ (2, 1) และมี เสนตรง x - y + 2 = 0 เปนเสนสัมผัสวงกลม แลว | a + b + c | (ตอบ 5.5)3. กําหนดใหเสนตรง l1 และ l2 สัมผัสวงกลม (x - 5)2 + y2 = 20 ที่จุด P และ Q ตามลําดับ และจุด ศูนยกลางของวงกลมอยูบนเสนตรงที่ผานจุด P และ Q ถา l1 มีสมการเปน x - 2y + 5 = 0 แลวจุดใน ขอใดตอไปนี้อยูบน l2 1)  0, 5    2  2) (8, -1) 3) (1, -8) *4) (15, 0)4. กําหนดให วงกลมรูปหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (2, 1) ถาเสนสัมผัสวงกลมที่จุด x = 1 เสนหนึ่งมีความชัน เทากับ 1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงกลมที่กําหนด 3 *1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0)5. กําหนดให C1 และ C2 เปนวงกลมที่มีสมการเปน x2 + y2 = 2y และ x2 + y2 + 2y = 3 ตามลําดับ และ L เปนเสนตรงที่ความชันนอยกวา 0 ซึ่งสัมผัสทั้งวงกลม C1 และ C2 ขอใดตอไปนี้เปนความชันของ L 1) - 2 2) - 1 *3) - 3 4) 1 2 36. วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนยกลางอยูที่จุดศูนยกลางของวงรีท่มีสมการเปน 9x2 + 4y2 - 36x - 24y + 36 = 0 ี ถาวงกลมนี้สัมผัสกับเสนตรงที่ผานจุด (1, 3) และ (5, 0) แลว รัศมีของวงกลมนี้เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 5 3 2) 5 4 3) 7 4) 139 87. พาราโบลามีจุดยอดที่ (-1, 0) และมีจุดกําเนิดเปนโฟกัส ถาเสนตรง y = x ตัดพาราโบลาที่จุด P และจุด Q แลว ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q เทากับเทาใด (ตอบ 8)8. ถาเสนตรงหนึ่งผานจุดกําเนิดและจุดยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และตัดเสนไดเรกตริกซที่จุด (a, b) แลว a + b มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 *3) 6 4) 79. ถาระยะทางระหวางจุด (x, y) กับจุด (2, 2) เทากับระยะทางระหวางจุด (x, y) กับเสนตรง x + y = 0 แลว จุด (x, y) อยูบนกราฟของสมการในขอใดตอไปนี้ *1) (x - y)2 = 8(x + y - 2) 2) (x - y)2 = 4(x + y - 2) 3) (x + y)2 = 8(x + y) - 12 4) (x + y)2 = (x + y) + 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (103)
  • 103. 10. วงกลม C มีจุดศูนยกลางที่จุดกําเนิด และผานจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีสมการเปน (x - 2)2 = 8y โดย เสนไดเรกตริกซของพาราโบลาตัดวงกลม C ที่จุด P และจุด Q ถาจุด R อยูบนพาราโบลาและอยูหางจาก จุดโฟกัสเปนระยะทาง 4 หนวย แลวสามเหลี่ยม PQR มีพื้นที่เทากับขอใด 1) 8 หนวย 2) 9 หนวย 3) 10 หนวย 4) 12 หนวย11. วงรีวงหนึ่งมี F1(1, 1) และ F2(1, -3) เปนจุดโฟกัส ถา A และ B เปนจุดบนวงรีที่ทําใหรูปสามเหลี่ยม ABF2 มีเสนรอบรูปยาว 12 หนวย และสวนของเสนตรง AB ผาน F1 แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงรี  3 *1)  3, 5 5 - 1    3 2)  2, 5 5 - 1    2 3)  3, 5 5 - 1    2 4)  2, 5 5 - 1           21 12. กําหนดให วงรีรูปหนึ่งมีโฟกัสอยูที่จุด (±3, 0) และผานจุด  2, 2  จุดในขอใดตอไปนี้อยูบนวงรีที่     กําหนด   *1) (-4, 0) 2)  0, 5 2 2    3) (6, 0) 4) (0, -3 2 )  13. กําหนดใหวงรี E มีโฟกัสทั้งสองอยูบนวงกลม C ซึ่งมีสมการเปน x2 + y2 = 1 ถา E สัมผัสกับ C ที่จุด (1, 0) แลวจุดในขอใดตอไปนี้อยูบน E 1)  1, 3    2 2 2)  1, 5   2 2  3)  1, 2   3 3  *4)  1, 3   4 3 14. ให E เปนวงรีที่มีแกนเอกขนานกับแกน x มีจุดศูนยกลางที่ (-2, 1) สัมผัสเสนตรง x = 1 และ y = 3 โดยมี F1 และ F2 เปนจุดโฟกัสของ E ให C เปนวงกลมที่มี F1 F2 เปนเสนผานศูนยกลาง ถาวงรี E ตัดวงกลม C ที่จด P, Q, R, S แลว พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม PQRS มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ุ 1) 12 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 36 ตารางหนวย *4) 48 ตารางหนวย 5 5 5 515. ถา k, λ และ m เปนจํานวนจริงที่ทําใหวงรี kx2 + λy2 - 72x - 24y + m = 0 มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (4, 3) และสัมผัสแกน Y แลว ขอใดตอไปนี้ผิด 1) ความยาวแกนเอกเทากับ 12 หนวย 2) ความยาวแกนโทเทากับ 8 หนวย 3) ระยะหางระหวางจุดโฟกัสทั้งสองเทากับ 4 5 หนวย 4) จุด (2, 6) อยูบนวงรี16. ให F1 , F2 เปนจุดโฟกัสของวงรีที่มีสมการเปน kx2 + 4y2 - 4y = 8 และ B เปนจุดที่วงรีตดแกน y และ ั อยูเหนือแกน x ถา F1, B, F2 ไมอยูในแนวเสนตรงเดียวกัน และ F1BF2 เปนสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เทากับ 3 7 ตารางหนวยแลว k มีคาเทากับเทาใด 417. กําหนดใหวงรีวงหนึ่งมีสมการเปน 3x2 + 4y2 - 6x + 8y - 5 = 0 ถา P เปนจุดบนวงรี ซึ่งมีระยะหางจาก โฟกัสจุดหนึ่งเปนสองเทาของระยะระหวางโฟกัสกับจุดยอด จงหาระยะทางระหวางจุด P กับจุดยอดของวงรี (ตอบ 7 )คณิตศาสตร (104)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 104. 18. กําหนดให E เปนวงรีท่มีโฟกัสอยูที่จุดยอดของไฮเพอรโบลา x2 - y2 = 1 ถา E ผานจุด (0, 1) แลว จุดใน ี ขอใดตอไปนี้อยูบน E     *1)  1, - 22    2) (1, 2 ) 3)  1, -1    2 4)  1, 23       19. กําหนดให A และ B เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลา 3x2 - y2 = 3 ถา P เปนจุดใดๆ บนวงรีที่มีโฟกัสที่จุด A, B และ AP + BP = 8 แลวสมการของวงรีคือขอใดตอไปนี้ 1) 4x2 + 3y2 = 24 2) 4x2 + 3y2 = 48 3) 3x2 + 4y2 = 24 4) 3x2 + 4y2 = 4820. กําหนด H เปนไฮเพอรโบลาที่มีแกนตามขวางยาว 6 หนวย และแกนสังยุคยาว 8 หนวย โดยมี F1 และ F2 เปนจุดโฟกัส ถา P เปนจุดบนไฮเพอรโบลา H ที่ทําให F1 PF2 = 90° แลวรูปสามเหลี่ยม F1PF2 มีพื้นที่ ˆ กี่ตารางหนวย (ตอบ 16 ตารางหนวย)21. กําหนดให H เปนไฮเพอรโบลาที่มีสมการเปน 16x2 - 9y2 - 144 = 0 ถาจุด A(6, k) เมื่อ k > 0 เปนจุด อยูบนเสนกํากับของ H และ F1, F2 เปนโฟกัสของ H แลว พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม AF1F2 เทากับขอใด ตอไปนี้ 1) 37 ตารางหนวย 2) 45 ตารางหนวย 3) 30 ตารางหนวย *4) 40 ตารางหนวย 2 222. กําหนด F เปนจุดโฟกัสของพาราโบลา y2 - 2y + 4x + 9 = 0 และ C เปนจุดศูนยกลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0 ถาสวนของเสนตรง FC ตัดวงกลมที่จุด T แลวสวนของเสนตรง FT มีความยาวเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 4 2) 29 - 1 3) 41 - 1 *4) 3 5 - 123. กําหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตัดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตัดกราฟ y2 = 1 - x2 สองจุด} เซต {d | d = c2 , c ∈ B - A} เทากับชวงในขอใดตอไปนี้ 1) (0, 1) 2) (0, 2) *3) (1, 2) 4) (0, 4)24. กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 > 1}, B = {(x, y) | 4x2 + 9y2 < 1}, C = {(x, y) | y2 - x2 > 1} ขอใดตอไปนีผิด ้ 1) A - B = A 2) B - C = B 3) B I (A U C) = ∅ 4) A I (B U C) = ∅25. ให A และ B เปนจุดยอดของไฮเพอรโบลา 4x2 - y2 - 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาที่มี AB เปนเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยูเหนือแกน X คือสมการในขอใดตอไปนี้ *1) (x - 3)2 = 4(y - 2) 2) (x - 3)2 = 8(y - 1) 3) (x - 2)2 = 4(y - 2) 4) (x - 2)2 = 8(y - 1)26. กําหนดให S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17}, A = {(x, y) | x2 - y2 = 1}, B = {(x, y) | y2 - x2 = 1} ถา p ∈ S I A และ q ∈ S I B แลวระยะทางทีนอยสุดทีเปนไปไดระหวางจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ ่ ่ *1) 3 2 - 4 2) 3 2 - 2 3) 2 3 - 2 4) 2 3 - 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (105)
  • 105. ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล และฟงกชันลอการิทึม (Exponential and Logarithm Functions) เลขยกกําลัง บทนิยาม ถา a เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวนนับ 1. an = a × a × a × ... × a n ตัว 2. a m ⋅ an = am+n 3. (an)m = anm 4. (ab)n = an ⋅ bn a n an 5.   = b เมื่อ b ≠ 0 bn 6. a m = am-n เมื่อ a ≠ 0 an 7. a0 = 1 เมื่อ a ≠ 0 8. a-n = 1 เมื่อ a ≠ 0 an รากที่ n ในระบบจํานวนจริง บทนิยาม ให n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1, x และ y เปนจํานวนจริง y เปนรากที่ n ของ x ก็ตอเมื่อ yn = x คาหลักของรากที่ n บทนิยาม ให x เปนจํานวนจริงที่มรากที่ n จะกลาววา จํานวนจริง y เปนคาหลักของรากที่ n ของ x ี ก็ตอเมื่อ 1. y เปนรากที่ n ของ x 2. yx ≥ 0 แทนคาหลักของรากที่ n ของ x ดวย n xคณิตศาสตร (106)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 106. ขอสรุปเกี่ยวกับรากที่ 2 ของจํานวนจริง1. รากที่สองของจํานวนจริงบวก (A) มี 2 คา คือ 1) รากที่เปนบวก ( A ) 2) รากที่เปนลบ (- A )2. รากที่สองของจํานวนศูนย มี 1 คา คือ 03. รากที่สองของจํานวนจริงลบ ไมสามารถหาคาได4. สัญลักษณแทน รากที่สองที่เปนบวกของ 25 คือ 25 = 5 รากที่สองที่เปนลบของ 25 คือ - 25 = -55. A เรียกสัญลักษณ วา กรณฑ (Radical) ที่ 2 อานวา กรณฑที่ 2 ที่เปนบวกของ A หรือ อานวา square root A6. คาหลักของรากที่ 2 ของจํานวนจริงบวก คือ รากที่สองที่เปนบวกของจํานวนจริงนั้นขอสรุปเกี่ยวกับรากที่ 3 ของจํานวนจริง1. รากที่สามของจํานวนจริง มีเพียง 1 คา2. รากที่สามของจํานวนจริงบวก เปนจํานวนจริงบวก รากที่สามของจํานวนศูนย เปนศูนย รากที่สามของจํานวนจริงลบ เปนจํานวนจริงลบ3. สัญลักษณแทน รากที่สามของ 64 คือ 3 64 = 4 รากที่สามของ 0 คือ 3 0 = 0 รากที่สามของ -343 คือ 3 - 343 = -74. 3 A เรียก 3 วา กรณฑที่สาม อานวา กรณฑท่สามของ A ี5. คาหลักของรากที่ 3 ของจํานวนจริง คือ ตัวมันเองทฤษฎีบทเกี่ยวกับรากที่ nทฤษฎีบทที่ 1 ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว x ⋅ y = xyทฤษฎีบทที่ 2 ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว x = x y yทฤษฎีบทที่ 3 ถา x และ y มีรากที่ n แลว n x ⋅ n y = n xy nทฤษฎีบทที่ 4 ถา x และ y มีรากที่ n และ y ≠ 0 แลว n x = n x y yเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กาลังเปนจํานวนตรรกยะ ํบทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริง n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และ a มีรากที่ n แลว a1/n = n xบทนิยาม ให a เปนจํานวนจริง p, q เปนจํานวนเต็มที่ (p, q) = 1, q > 0 และ a1/q ∈ R โดยเมื่อ p < 0 แลว a ตองไมเปน 0 ap/q = (a1/q)p โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (107)
  • 107. การหารากที่สองของจํานวนที่อยูในรูป x ± 2 y x + 2 y = ( a + b )2 เมื่อ y = a × b และ x = a + b x - 2 y = ( a - b )2 เมื่อ y = a × b และ x = a + bตัวอยาง จํานวนจริง x ที่เปนคําตอบของสมการ 15 - b = 22 - 2 105 มีคาเทากับเทาใด...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) คือ ฟงกชัน f = {(x, y) ∈ R × R+ | y = ax ; a > 0 and a ≠ 1} 3 3 2 2 1 1 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 0 < a < 1 ฟงกชันลด a > 1 ฟงกชันเพิ่ม การแกสมการฟงกชันเอกซโพเนนเชียล แบบที่ 1 สมการมี 2 พจน 1. จัดสมการในรูป ax = ay โดยใชสมบัติของเลขยกกําลัง 2. ถา ax = ay แลว x = y แบบที่ 2 สมการมี 3 พจนขึ้นไป 1. ใชวิธีการสมมติ 2. การแกสมการที่มีหลายพจนพยายามถอดตัวรวมออก แบบที่ 3 การแกสมการที่ตองใช Conjugate เขาชวย การแกอสมการฟงกชันเอกซโพเนนเชียล อสมการ ฐาน (a) ขอสรุป 0<a<1 x<y ax > ay a>1 x>yคณิตศาสตร (108)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 108. ฟงกชันลอการิทึม (Logarithm Function) คือ ฟงกชัน f = {(x, y) ∈ R+ × R|x = ay; a > 0 and a ≠ 1} f = {(x, y) ∈ R+ × R|y = loga x; a > 0 and a ≠ 1} 3 3 2 2 1 1 0 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 0 < a < 1 ฟงกชันลด a > 1 ฟงกชันเพิ่มตัวอยางที่ 1 จงเขียนสมการแตละขอตอไปนี้ใหอยูในรูปของลอการิทึม 3 1 1) 25 = 32 2) 82/3 = 2 3)  1  = 27   3 4) 3 = 31ตัวอยางที่ 2 จงเขียนสมการแตละขอตอไปนี้ใหอยูในรูปเลขยกกําลัง 1) log10 100 = 2 2) log1 16 = -4 3) log5 1 = 0 4) log6 6 = 1 สมบัติของลอการิทึม 1. loga 1 = 0 2. loga 1 = 0 3. log a y Mx = x loga M y 4. loga M = log a x Mx 5. loga (x ⋅ y) = loga x + loga y 6. loga  x  = loga x - loga y   y 7. x log a y = y log a x 8. a log a M = M log x 9. loga x = logc a 10. loga x = log1 a c x การแกสมการลอการิทึม 1. ทําฐานของ log ใหเทากัน แลวปลด log ออก โดยนําเอาทฤษฎีตางๆ มาใช 2. เมื่อหาคา x มาได จะตองพิจารณาดวยวาคา x ที่ไดมานั้นทําใหสมการเปนจริงหรือไม การแกอสมการลอการิทึม log a x > log a y 0<a<1 a>1 x<y x>y x>0∧y>0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (109)
  • 109. แบบทดสอบ1. ถา 4x-y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากับขอใดตอไปนี้ 1) -2 *2) -1 3) 1 4) 22. ถา 6x+y = 36 และ 5x+2y = 125 แลวคาของ x เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 1.5 *3) 2 4) 2.5 (x + y)23. ถา xy = 2 แลว 2 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2(x- y) 1) 4 2) 8 3) 64 *4) 2564. กําหนดให x, y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)5. ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4) x x  4   9 6. กําหนดสมการ  25  +  25  = 1 จงพิจารณาขอความตอไปนี้     ก. ถา a เปนคําตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมีคําตอบ แลวคําตอบจะมีเพียงคาเดียว ขอใดถูก 1) ก ถูก และ ข ถูก 2) ก ถูก และ ข ผิด *3) ก ผิด และ ข ถูก 4) ก ผิด และ ข ผิด7. ให f : R → R+ ถา f สอดคลองสมการ f(x) - 3f  1  = 4x สําหรับทุกจํานวนจริงบวก x แลว ขอใด   x ตอไปนี้เปนจริง   1) ∃x[f(x) > 0] 2) ∃x  f(x) + f  1  > 0  x      2  *3) ∃x[(f(x))2 < 8] 4) ∃x  f(x) + f  1   < 9     x       8. กําหนดให x เปนจํานวนตรรกยะที่สอดคลองสมการ ( 5 - 1)(3 + 5 )x + ( 5 + 1)(3 - 5 )x = 4 ⋅ 2x ถาเขียน x = m ในรูปเศษสวนอยางต่ํา โดยที่ m และ n เปนจํานวนเต็ม จงหา m (ตอบ 2 ) n n 19. คําตอบของสมการ 3x(3x+1) + 3x+1(3x+2) = 2[2x(2x+1) + 2x+1 (2x+2)] อยูในชวงใด 1) (-1, 0) 2) [-2, -1) 3) (-2, -1] 4) (0, 1]คณิตศาสตร (110)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 110. 10. ถา a, b เปนคําตอบของสมการ 6x - 3x+1 - 2x+2 + 12 = 0 แลวคําตอบของสมการ (ab)2x+1 = (ab + 3)x เทากับขอใดตอไปนี้ 1) log 2 - 3 3 log log 2) log log 4 6 7 - log 3) log 18 - 2 *4) log 15 - 2 5 211. ให S เปนเซตคําตอบของสมการ 52x + 11 ≤ |12(5x) - 9| ถา a และ b เปนสมาชิกของ S ที่มีคามาก ที่สุดและนอยที่สุดตามลําดับ แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 1) log5 15 *2) log5 20 3) 2 4) log5 30 2(x-3)12. เซตคําตอบของอสมการ 2x < 82/3-x เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ 1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) *4) (-∞, 2)13. กําหนดให A และ B เปนจํานวนเต็มบวก ถา A log50 5 + B log50 2 = 1 แลว A + B เทากับขอใด ตอไปนี้ *1) 2 2) 3 3) 1 4) 214. กําหนดให a, b, c > 1 ถา loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 แลวคาของ logc d เทากับขอ ใดตอไปนี้ *1) 75 2) 90 3) 120 4) 12015. จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา (log a)3 = x - 1 และ (log b)3 = x + 1 แลว log(a + b) = 3 x 2 - 1 ข. กราฟของ y = x2 และกราฟของ y = 2x ตัดกันเพียงสองจุดเทานั้น ขอใดตอไปนีถูก ้ 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก *4) ก. และ ข. ผิด16. ถา log4x 2x2 = log9y 3y2 = log25z 5z2 แลว logxz (yz) มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) log 6 2) log 10 *3) log 15 4) log 3017. ถา xlog y ⋅ ylog z ⋅ zlog x = 1 และ xy ≠ 1 แลว ขอใดตอไปนีผิด ้ 1) ถา x = y แลว xz 2=1 *2) ถา x 2y = 1 แลว z = x2 3) ถา x = y2 แลว xz3 = 1 4) ถา xy2 = 1 แลว z = x18. กําหนดให a > 1 และ b, c > 0 ถา a2 + b2 = c2 และ x เปนจํานวนจริงซึ่ง logc+b a + logc-b a = x (logc+b a logc-b a) แลว x มีคาเทาใด (ตอบ 2)19. รากที่มีคานอยที่สุดของสมการ 2log (x-2) ⋅ 2log (x-3) = 2log 2 มีคาเทาใด (ตอบ 4)20. กําหนด logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 มีคาเทาใด (ตอบ 6)21. ผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) [0, 4) 2) [4, 8) *3) [8, 12) 4) [12, 16) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (111)
  • 111. 22. คําตอบของสมการ log (4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1 อยูในชวงใดตอไปนี้ 2 1) [-10, -6] 2) [-6, -2) *3) [-2, 2) 4) [2, 6) 3-923. กําหนดให A = {n|n เปนจํานวนนับและ n2+9 = nn } B = {n|n เปนจํานวนนับและ log n = log(n + 1)} ผลบวกของสมาชิกทุกตัวในเซต A U B เทากับเทาใด (ตอบ 4)24. ถา 4 (log x)2 + 9 (log y)2 = 12 (log x)(log y) แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1) y2 = x 2) x2 = y *3) x3 = y3 4) x2 = y325. 1 ผลบวกของรากทั้งหมดของสมการ log3 (31/x + 27) = log3 4 + 1 + 2x เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 0 2) 1 2 *3) 3 4 4) 126. ถา log2 3 = 1.59 แลวคาของ x ที่สอดคลองกับสมการ 22x+1 ⋅ 32x+2 = 122x เทากับเทาใด (ตอบ 2.09)  27. กําหนดให A = z ∈ R z = x และ 6 log (x - 2y) = log x3 + log y3  แลวผลบวกของสมาชิกทั้งหมดใน y   เซต A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 *2) 4 3) 5 4) 628. ผลบวกของคําตอบของสมการ log2 (4x-1 + 2x-1 + 6) = 2 + log2 (2x-1 + 1) มีคาเทาใด (ตอบ 3)29. ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ *1) log7 3 < log7 3 < log7 10 2) log5 3 < log7 3 < log7 10 3) log7 3 < log7 10 < log5 3 4) log7 10 < log5 3 < log7 330. กําหนดให A เปนเซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) ≤ 0 จํานวนเต็มที่เปนสมาชิกของ A มีท้งหมดกี่จํานวน (ตอบ 3) ั31. ถา A = {x|a < x < b} เปนเซตคําตอบของอสมการ log2 (2x - 1) - log4  x2 + 1  < 1 แลว   2 2  a + b มีคาเทาใด (ตอบ 2.5)32. จํานวนเต็มที่สอดคลองกับอสมการ log1/2 [log3 (x + 1)] > -1 มีจํานวนเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6 2) 7 *3) 8 4) มากกวา 8 233. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของอสมการ 4 ⋅ 2log x - 9 ⋅ 2(log x/10 + 1) + 2 ≤ 0 ถา a และ b เปน สมาชิกของ S ที่มีคามากและคานอยสุด ตามลําดับแลว a เทากับขอใดตอไปนี้ b 1) 20 2) 100 *3) 200 4) 100034. เซตคําตอบของอสมการ (4x - 2) ⋅ log (1 - x2) > 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปนี้ *1)  -2, 1    2 2)  -1, 2    2   3) (0, 10) 4)  1, 20   2  คณิตศาสตร (112)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 112. ฟงกชันตรีโกณมิติ (Trigonometry) B 1. sin A = a ; cosec A = c c a b ; sec A = c cos A = c c b a a ; cot A = b tan A = b a b A C 1 2. cosec A = sin A , sec A = 1 1 cos A , cot A = tan A tan A = cos A , cot A = sin A cos A sin A 3. ถา A + B = 90° แลว 1) sin A = cos B 2) tan A = cot B 3) sec A = cosec B 4. -1 ≤ sin A ≤ 1 -1 ≤ cos A ≤ 1 5. sin2 A + cos2 A = 1 sec2 A - tan2 A = 1 cosec2 A - cot2 a = 1 วงกลมหนึ่งหนวย (the unit circle) 1. x = cos θ , y = sin θ π 2. ตาราง (0, 1) 2 , 90° มุม θ° (เรเดียน) S + มุม (+) ฟงกชัน (-, +) (+, +) 30°  π    45°  π    4 60°  π    6  3 π, 180° 0° (-1, 0) (1, 0) sin 1 1 = 2 3 T C 2 2 2 2 (-, -) (+, -) มุม (-) 3 1 = 2 1 (0, -1) 3 π , 270° cos 2 2 2 2 2 tan 1 = 3 1 3 3 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (113)
  • 113. 3. cos (-A) = cos A sec (-A) = sec A sin (-A) = -sin A cosec (-A) = -cosec A tan (-A) = -tan A cot (-A) = -cot A สูตรเอกลักษณตรีโกณมิติ 1. sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos (A ± B) = cos A cos B m sin A sin B มุมบวก/ลบกัน tan (A ± B) = 1tantan ± tan BB m A A tan 2. sin 2A = 2 sin A cos A = 2 tan A 1 + tan 2 A cos 2A = cos2 A - sin2 A = 2 cos2 A - 1 มุม 2 เทา = 1 - 2 sin2 A 2 = 1 - tan 2 A 1 + tan A tan 2A = 2 tan A 1 - tan 2 A 3. sin A = ± 1 - cos A 2 2 cos A = ± 1 + cos A 2 2 ครึ่งมุม tan A = ± 1 - cos A 2 1 + cos A 4. sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A มุม 3 เทา 3A tan 3A = 3 tan A - tan 1 - 3 tan 2 A 5. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) ฟงกชันคูณกัน -2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)คณิตศาสตร (114)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 114. 6. sin A + sin B = 2 sin  A 2 B  cos  A 2 B   +     -    A + B A - B sin A - sin B = 2 cos  2  sin  2      ฟงกชันบวก/ลบกัน cos A + cos B = 2 cos  A 2 B  cos  A 2 B   +     -    cos A - cos B = -2 sin  A 2 B  sin  A 2 B   +     -   7. คาของฟงกชันตรีโกณมิติของมุมที่นาสนใจ มุม θ° (เรเดียน) ฟงกชัน 1 15° 36° 72° 22 2 ° 3 -1 10 - 2 5 10 + 2 5 1 2- 2 sin θ 2 2 2 4 4 3 +1 5 +1 5 -1 1 2+ 2 cos θ 4 4 2 2 2 3 -1 2- 2 tan θ 3 +1 10 - 2 5 10 + 2 5 2+ 2 หรือ 2 - 3 5 +1 5 -1 หรือ 3 - 1อัตราสวนตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมที่ไมใชสามเหลี่ยมมุมฉาก 1. Law of cosine C 2 c2 2 b a a2 = b2 + c2 - 2bc cos A cos A = b +2bc - a 2 a2 2 A B b2 = c2 + a2 - 2ac cos B cos B = c + 2ac - b c 2 b2 2 c2 = a2 + b2 - 2ab cos C cos C = a +2ab - c2. Law of sine sin A = sin B = sin C a b c a b c sin A = sin B = sin C พื้นที่ ∆ = 1 ab sin C = 1 ac sin B = 1 bc sin A 2 2 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (115)
  • 115. ตัวผกผันของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชัน โดเมน เรนจ y = arcsin x x ∈ [-1, 1] y ∈ - π,  2  π 2  y = arctan x x∈R y ∈  - π,   22 π  y = arccosec x x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞) y ∈ - π, 0  U  0, π   2      2 y = arccos x x ∈ [-1, 1] y ∈ [0, π] y = arccot x x∈R y ∈ (0, π) y = arcsec x x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞) y ∈  0, π  U  π , π    2  2    ตัวอยางที่ 1 จงหาคาของ 1) arcsin (0) = .................... 2) arcsin  1    2 = ....................  3) arccos  2  = ....................   4) arccos  - 23  = ....................   2       5) arcsin  -1    2  = .................... 6) arctan (-1) = ....................ตัวอยางที่ 2 จงเติมชองวางใหถูกตอง 1) arcsin  1    2 = arccosec .......... = arccos ..........  3 2) arccos  -5  = arcsec .......... = arccot ..........    12  3) arctan  5    = arccot .......... = arcsec ..........ตัวอยางที่ 3 จงเติมชองวางใหถูกตอง    2) sin arcsin 23     1) sin arcsin 1      = ....................   = ....................  2            3) sin (arctan (2)) = .................... 4) sec (arccosec ( 2 )) = ....................    5) cos arcsin  - 22        = .................... 6) arccos  tan  - 54   = ....................   π          ตัวอยางที่ 4 จงเติมชองวางใหถูกตอง    1) sin  arcsin 12 + arcsin 5    13 4  = .................... 2) sec  2 arcsin 1  = ..................   3 คณิตศาสตร (116)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 116. แบบทดสอบ1. ถา 1 – cot 20° = x แลว x มีคาเทาใด (ตอบ 2) 1 - cot 25o2. ถา cos θ - sin θ = 35 แลวคาของ sin 2θ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 134 2) 139 4 * 3) 9 4) 13 93. ถา sin A = 2 และ cos A = 1 แลว tan2 B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ sin B cos B 3 2 1) 4 *2) 23 3) 1 4) 2 34. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40° sin 2 3A cos 2 3A5. ถา − =2 แลว cos 2A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ sin 2 A cos 2 A *1) 1 4 2) 1 2 3) 1 4) 1 2 3 sin 30o cos 30o6. คาของ − เทากับขอใดตอไปนี้ sin10o cos10o 1) -1 2) 1 * 3) 2 4) -27. ถา (sinθ + cos θ)2 = 3 เมื่อ 0 ≤ θ ≤ π แลว arcos(tan 3 θ) มีคาเทาใด (ตอบ 0) 2 48. ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = π แลวคาของ tan (arcsin x) เทากับขอใดตอไปนี้ 2 *1) 51 2) 3 1 3) 1 4) 1 3 2 π π9. ให -1 ≤ x ≤ 1 เปนจํานวนจริงซึ่ง arccos x - arcsin x = 2552 แลวคาของ sin 2552 เทากับขอใด ตอไปนี้ 1) 2x *2) 1 - 2x2 3) 2x2 - 1 4) -2x10. ถา arccos x - arcsin x = π แลว arccos x - arctan 2x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 6 π 1) 12 5π 2) 12 3) 7 π 4) 11π 12 1211. sec  1  arcsin 3 + arccos 3   + tan  1  arcsin 4 + arccos 5   มีคาเทากับขอใด   5    4   2 5   2 5  1) 2 2) 3 * 3) 1 + 2 4) 2 + 3 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (117)
  • 117. 12. กําหนดให arccos 5 + arcsin 12 + x = π แลว tan x มีคาเทากับเทาใด 4 13 2 1) 6316 6 2) 63 * 3) - 16 4) - 636 63  arctan 3 13. คาของ sin  2 4  + cos  2 arcsin 5  เทากับขอใดตอไปนี้       3    1) 1 + 25 6 2) 1 + 25 6 *3) 1 + 25 7 4) 1 + 25 7 10 3 10 314. ถา arctan x = arctan 1 - 2 arctan 1 แลว sin (180° + arctan x) มีคาเทากับขอใด 4 2 *1) 13 2) 16 3) - 13 4) - 16 5 17 5 17 5 17 5 1715. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0 และ a ≠ b แลว |sin arctan (ab)| เทากับเทาใด (ตอบ 0.6)16. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) ขอใดตอไปนี้คือ ผลคูณของ สมาชิกในเซต A 1) - 14 *2) - 1 2 3) 14 4) 1 217. -sin2 1° + sin2 2° - sin2 3° + … - sin2 89° + sin2 90° มีคาเทากับเทาใด (ตอบ 0.5)18. กําหนดให 0° < α < 30° ถา sin2 (7α) - sin2 (5α) = sin (2α) sin (6α) แลว α เทากับขอใดตอไปนี้ *1) 10° 2) 15° 3) 20° 4) 25°19. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี 2 sin A + 3 cos B = 4 และ 3 sin B + 2 cos A = 1 คาของ sin C เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 61 *2) 1 3) 1 4) 1 3 220. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อเอกภพสัมพัทธคือเซตของจํานวนจริง ก. ∃x(cot 2x - cot x = 0) ข. ∀x  sin 4 x + cos4 x = 1 - 1 sin2 2x    2   คาความจริงของขอความ ก. และขอความ ข. เปนไปตามขอใดตอไปนี้ 1) ก. เปนจริง และ ข. เปนจริง 2) ก. เปนจริง และ ข. เปนเท็จ *3) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนจริง 4) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนเท็จ21. กําหนดให x ∈ [ 0, 4π ] เซตคําตอบของสมการ cos x = 3 (1 - sin x) คือขอใดตอไปนี้ 1)  π , 56π , 13π   6 6  2)  56π , π , 13π    2 6   *3)  π , π , 13π , 52   6 2 6 π  4)  π , 56π , π , 54   6 2  π คณิตศาสตร (118)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 118. 22. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว cot C มีคาเทากับเทาใด *1) 1 2) 12 3) 1 4) 3 323. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม A เทากับ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos 2B เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 4 2) 12 3) 23 *4) 3 424. ถา A(1, 2) , B(4, 3) และ C(3, 5) เปนจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC แลว sin B มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2  1 / 2  1 / 2 1) 1   50 - 1   2) 1   50 + 1   2  50  2  50       1 / 2  1 / 2 3)   50 + 1   * 4)  50 - 1      2 50    2 50   25. รูปสามเหลี่ยม ABC มี a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมุม A, Bและ C ตามลําดับ ถา cos B = 1 และ (a + b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 4 *1) 12 2) 20 3) 205 4) 40 326. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมี ACB = 60° ลากเสนตรงจากจุด A ไปพบดาน BC ที่จุด D โดย ˆ ทําให BAD = 30° ถาระยะ BD ยาว 3 หนวย และระยะ AD ยาว 2 หนวยแลว ระยะ CD ยาวเทากับขอ ˆ ใดตอไปนี้ 1) 4 3 3 2) 5 3 3 3) 7 9 6 *4) 8 9 627. นายดํายืนอยูบนสนามแหงหนึ่งมองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60° แตเมื่อเขาเดินตรงเขาไปหา เสาธงอีก 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 75° ในขณะที่เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมุมเงย 60° นั้นเขายืน อยูหางจากเสาธงเทากับเทาใด  1) 10  2 + 3 3    2   2) 10  2 + 1 3    2   3) 10(2 + 2 3 ) *4) 10(2 + 3 )28. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC และ A < B < C ˆ ˆ ˆ โดยที่ tan A ⋅ tan B ⋅ tan C = 3 + 2 3 และ tan B + tan C = 2 + 2 3 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. tan C = 2 + 3 ข. C = 5 π ˆ 12 ขอใดตอไปนีถูก ้ *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (119)
  • 119. 29. ให θ เปนจํานวนจริง ซึ่งสอดคลองกับสมการ 1 + 1 + 1 + 1 = 7 แลว tan2 2θ tan 2θ cot 2θ sin 2θ cos2θ มีคาเทาใด (ตอบ 8)30. พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28° 4 ข. ถา x > 0 และ sin (2 arctan x) = 5 แลว x ∈  1 , 3    3  ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด31. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีดานตรงขามมุม A , B และ C ยาว 2a, 3a, 4a ตามลําดับ ˆ ˆ ˆ ถา sin A = k แลว cot B + cot C มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1) 6k 1 2) 6k 1 * 3) 3k 4) k 3คณิตศาสตร (120)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 120. เวกเตอร (Vectors) บทนิยาม ปริมาณที่มีแตขนาดเพียงอยางเดียว เรียกวา ปริมาณสเกลาร (scalar quantity) สวนปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทางเรียกวา ปริมาณเวกเตอร (vector quantity) หรือเรียกสั้นๆ วา เวกเตอร การเขียนสัญลักษณแทนเวกเตอร เวกเตอรจาก A ไป B อานวา เวกเตอร เอบี เขียนแทนดวย 1) รูปเรขาคณิต B A 2) AB (เรียก A วา จุดเริ่มตน (initial point) เรียก B วา จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร) 3) ถาพิกัดของ A เปน (x1, y1) และ B เปน (x2, y2) แลว x - x  v v AB =  y 2 - y 1  = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j  2   1 4) ถาพิกัดของ A เปน (x1, y1, z1) และ B เปน (x2, y2, z2) แลว x - x   2 1 v v v AB =  y2 - y1  = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j + (z2 - z1) k      z2 - z1    v เมื่อ i เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +x v j เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +y v k เปนเวกเตอร 1 หนวย ในทิศ +z ขนาดของเวกเตอร | AB | แทน ความยาวของสวนของเสนตรง AB หรือ BA หรือ ขนาดของเวกเตอรน่นเอง ั v v 1) ถา AB = a i + b j แลว | AB | = a 2 + b 2 v v v 2) ถา AB = a i + b j + c k แลว | AB | = a 2 + b 2 + c 2 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (121)
  • 121. การเทากัน และนิเสธของเวกเตอร บทนิยาม v และ v ขนานกัน ก็ตอเมื่อ เวกเตอรทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน หรือทิศทางตรงกันขาม u v บทนิยาม u v v = v ก็ตอเมื่อ เวกเตอรทั้งสอง มีขนาดเทากัน และทิศทางเดียวกัน  a1   a2  ถา  b  =  b  แลว a1 = a2 และ b1 = b2  1  2     a  a   1  2 ถา  b1  =  b2  a1 = a2 และ b1 = b2 และ c1 = c2     c  c   1    2   บทนิยาม นิเสธของ v (negative of v ) คือ เวกเตอรที่มีขนาดเทากับขนาดของ v แตมีทิศทาง u u uตรงกันขามกับทิศทางของ u v เขียนแทนดวย - v u a  -a  -u v = -  a  = -a  = -a v - b v หรือ - v = -  b  = -b  = -a v - b v - c v     i j u     i j k b   -b        c  -c      เวกเตอรศูนย (zero vector) 0  v 0  v   คือ เวกเตอรที่มีขนาดเปน 0 เขียนแทนดวย 0 = 0  หรือ 0 = 0        0    การบวกเวกเตอร ♥ เชิงเรขาคณิต v u v+v u v v v v v v v v v+v v u u v u  a 1   a 2   a1 + a 2  v v ♥ เชิงพีชคณิต b1  +  b2  =  b1 + b2  = (a1 + a2) i + (b1 + b2) j              a  a  a + a   1  2  1 2 v  b  +  b  =  b + b  = (a + a ) v + (b + b ) v + (c + c ) k  1  2  1 2 1 2 i 1 2 j 1 2 c  c  c + c   1    2    1 2คณิตศาสตร (122)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 122. การลบเวกเตอรหมายถึง การบวกเวกเตอรดวยนิเสธการบวกของเวกเตอรตัวลบ เชน v - v = v + ( v - v ) u v u u v♥ เชิงเรขาคณิต v u -v u v u v v -v v u - v = v + (- v ) v u v -v v  a1   a 2   a1 - a 2  v v♥ เชิงพีชคณิต   -   =   = (a - a ) i + (b - b ) j  b1   b2   b1 - b2  1 2 1 2       a  a  a - a   1  2  1 2 v  b  -  b  =  b - b  = (a - a ) v + (b + b ) v + (c - c ) k  1  2  1 2 1 2 i 1 2 j 1 2 c  c  c - c   1    2    1 2การคูณเวกเตอร1. การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร a   ka  1  5 × 1   5           k  b  =  kb  เชน 5 2  = 5 × 2  = 10            c   kc  3 5 × 3  15            v ≠ v และ a เปนจํานวนจริง ให u 0 v v ♥ ถา a > 0 แลว a u คือ เวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกับ u และมีขนาดเทากับ a เทาของ u v v v ♥ ถา a < 0 แลว a u คือ เวกเตอรที่มีทิศตรงขามกับ u และมีขนาดเทากับ |a| เทาของ u v v v ♥ ถา a = 0 แลว a u = 0 เชน 2 v คือเวกเตอรที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร v และมีขนาดเปน 2 เทาของเวกเตอร u u v u v คือเวกเตอรที่มีทิศตรงขามกับเวกเตอร v และมีขนาดเปน 3 เทาของเวกเตอร -3 u u v u v v ทฤษฎีบทที่ 1 ให v ≠ 0 และ v ≠ 0 u v v ขนานกับ v ก็ตอเมื่อ มีจํานวนจริง a ≠ 0 ซึ่งทําให v = a v u v u v ทฤษฎีบทที่ 2 ให u 0 v ≠ v และ v ≠ v และ v ไมขนานกับ v จะไดวา v 0 u v v + b v = v แลว a = 0 และ b = 0 ถา a u v 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (123)
  • 123. เวกเตอรหนึ่งหนวย (unit vector) คือ เวกเตอรที่มีขนาดหนึ่งหนวย v เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร v คือเวกเตอร |v| u u u เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร u v คือเวกเตอร - v u |v| u v v v เชน กําหนดให v = 3 i - 4 j - k จะได | v | = 3 2 + 4 2 + (-1) 2 = u u 26 v v v v คือ คือ 3 i - 4 j - k ดังนั้น เวกเตอรหนึ่งหนวยที่มีทิศทางเดียวกับ u 26 v v v หรือ 3 i - 4 j - 1 k 26 26 26 2. การคูณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคูณเชิงสเกลาร (dot product)) a  a  1 2 v ⋅ v = b  ⋅ b  = a a + b b + c c u v  1  2     1 2 1 2 12 c  c   1  2     v ⋅ v = | v || v | cos θ เมื่อ θ เปนมุมระหวาง v และ v เมื่อ v และ u v u v u v u v มีจุดเริ่มตนเดียวกัน v v + v |2 = | v |2 + 2 v ⋅ v + | v |2 |u v u u v v v - v |2 = | v |2 - 2 v ⋅ v + | v |2 |u v u u v v สมบัติที่สําคัญของผลคูณเชิงสเกลาร 1. ให v , v และ w เปนเวกเตอรใดๆ u v v v v v v ♥ u⋅v = v⋅u v v v v v v v ♥ u ⋅( v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w v v v v v v ♥ a( u ⋅ v ) = (a u ) ⋅ v = u ⋅ (a v ) v v ♥ 0⋅u =0 v v v ♥ u ⋅ u = u 2 = | u |2 v v v v v v v ♥ i ⋅ i = k⋅k = j ⋅ j =1 v v v v v v ♥ i ⋅ j = i ⋅k = j ⋅k =0 2. ให v , v เปนเวกเตอรที่ไมใชเวกเตอรศูนย เวกเตอร v ตั้งฉากกับเวกเตอร u v u v ก็ตอเมื่อ v ⋅ v = 0 v u vคณิตศาสตร (124)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 124. 3. การคูณเวกเตอรดวยเวกเตอร (ผลคูณเชิงเวกเตอร (cross product)) v × v อานวา เวกเตอรยู ครอส เวกเตอรวี (หาไดเฉพาะเวกเตอร 3 มิติเทานั้น) u v a  a  a b - a b   1  2  2 3 3 2 ถา v =  b1  , v =  b2  แลว v × v =  a3b1 - a1b3  u   v   u v   c  c     1    2    a1b2 - a 2b1    a 2 a 3 v a 3 a1 v a1 a2 v v×v = b b i + b b j + u v 2 3 3 1 b1 b2 k v v | v × v | = | v || v | sin θ u v u v = พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มี v u v และ v v เปนดานของรูปสี่เหลี่ยมนั้น uvr ให v , v , v เปนดานของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานแลว u v r v v ปริมาตรของสี่เหลี่ยมดานขนานทรงตัน = | v ⋅ ( v × v )| u v r v u a1     โคไซนแสดงทิศทาง (Direction Cosines) ถากําหนดจุด P(a1, a2, a3) จะได OP = a2     a3       a1 a2 a3 cos α = , cos β = , cos γ = a1 + a2 + a2 2 2 3 a1 + a2 + a 2 2 2 3 a1 + a2 + a 2 2 2 3 α, β, γ คือ มุมที่ OP ทํากับแกน x, y, z ตามลําดับ เรียก cos α, cos β, cos γ วา “โคไซนระบุทิศทางของ OP ” โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (125)
  • 125. แบบฝกหัด1. กําหนดให ABC เปนสามเหลี่ยมใดๆ และ E เปนจุดที่ทําให CE = 2 BA ถา BE = a CB + b CA เมื่อ a, b เปนคาคงตัวแลว b - a คือคาในขอใด 1) -1 2) 2 3) 3 *4) 52. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมีสมบัตวา 5| AB | = | BC | + | CA | ถา M และ N เปนจุดแบงครึ่ง ิ ดาน BC และ AC ตามลําดับ แลวพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. MN = 1 ( BC - AC ) 2 ข. AM ⋅ BN = 0 ขอใดถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด3. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมที่มี D เปนจุดบนดาน AC และ F เปนจุดบนดาน BC ถา AD = 1 AC , BF = 1 BC และ DF = a AB + b BC แลว a มีคาเทาใด (ตอบ 9) 4 3 b 14. กําหนดให ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน, M เปนจุดบนดาน AD ซึ่ง AM = 5 AD และ N เปนจุด 1 บนเสนทแยงมุม AC ซึ่ง AN = 6 AC ถา MN = a AB + b AD แลว a + b เทากับขอใดตอไปนี้ 2 *1) 12 2) 5 1 3) 1 4) 1 35. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ v ก. AB + BC + CA = 0 ข. (BC)2 ≤ (CA)2 + (AB)2 ขอใดถูก 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด6. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมดานเทา และ D เปนจุดบนดาน DC ซึ่งทําให | BD | : | BC | = 1 : 3 พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. 3AD = 2AB + BC ข. AD ⋅ BC = - 1 | BC |2 6 ขอใดถูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด7. ให A, B และ C เปนจุดสามจุดที่ไมอยูบนเสนตรงเดียวกัน และ D เปนจุดบนเสนตรง BC ที่ทําให BD : DC = 2 : 1 ถา | AD |2 = a| AB |2 + b| AC |2 + c| AB ⋅ AC | โดยที่ a, b และ c เปนจํานวนจริง และ AB ⋅ AC ≠ 0 แลว a2 + b2 + c2 มีคาเทากับขอใด 1) 3181 2) 3281 3) 1027 *4) 11 27คณิตศาสตร (126)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 126. v v v v8. ให v = i + 3 j , v = 2 i + j ถา θ เปนมุมระหวาง ( v + v ) และ ( v - v ) แลว cos θ u v u v u v มีคาเทากับขอใด  *1) 1 2) 2 3) 51 4) 52 5 59. ถา | v + v | = 5 2 และ | v - v | = 26 แลว v ⋅ v เทากับขอใด u v u v u v 1) 3 *2) 6 3) 8 4) 1210. ถา u v และ v ทํามุมกัน 60° และ | v + v | = 37 , | v - v | = 13 แลว | v | + | v | v u v u v u v มีคาเทากับขอใด  1) 5 *2) 7 3) 37 4) 5011. พิจารณาขอความตอไปนี้ เมื่อ u v และ v เปนเวกเตอร v ก. ถา | u v | = | v | ≠ v แลว ( v - v )( v + v ) = 0 v 0 u v u v v + v | = | v | แลว | v | ⋅ ( v + v ) = 0 ข. ถา |2 u v v u u v ขอใดตอไปนีถูกตอง ้ 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด12. กําหนดให u v และ v เปนเวกเตอรที่มขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร v + 2 v ตั้งฉากกับเวกเตอร 2 v + v v ี u v u v แลว u v v ⋅ v เทากับขอใดตอไปนี้ *1) - 5 4 2) 0 3) 51 4) 5313. กําหนดให v และ v เปนเวกเตอรที่ไมเทากับเวกเตอรศูนยซึ่ง v ตั้งฉากกับ v และ v + v ตั้งฉากกับ u v u v u v v - v พิจารณาขอความตอไปนี้ u v ก. | v | = | v | u v ข. v + 2 v ตั้งฉากกับ 2 v - v u v u v ขอใดตอไปนี้เปนจริง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด14. กําหนดให v และ v เปนเวกเตอรที่มขนาดหนึ่งหนวย ถาเวกเตอร 3 v + v ตั้งฉากกับเวกเตอร v + 3 v u v ี u v u v v - v มีขนาดเทากับขอใดตอไปนี้ แลวเวกเตอร 5 u v 1) 3 หนวย 2) 3 2 หนวย 3) 4 หนวย *4) 4 2 หนวย15. กําหนดให uv และ v เปนเวกเตอรซึ่ง | v ⋅ v | ≠ | v || v | ถา a(v − 2u) + 3u = b(2u + v) v u v u v r r r r r แลวคาของ a อยูในชวงใดตอไปนี้ 1) 0, 1   2   *2)  1 , 1  2    3) 0, 3   2   4)  3, 1  2    โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (127)
  • 127. 16. กําหนดให v และ v ไมเปนเวกเตอรและ | v + v | = | v - v | ถา | v | = 1 | v | เปนมุม u v u v u v v u 3 ระหวางเวกเตอร v + v และเวกเตอร v - v เทากับขอใดตอไปนี้ u v u v 1) 30° 2) 45° *3) 60° 4) 90° r r r r r r r r r r17. ให A , B และ C เปนเวกเตอร ซึ่ง | A | = 3, | B | = 2 และ | C | = 1 ถา A + B + 4 C = 0 แลว r r r r r r A ⋅ B + B ⋅ C + C ⋅ A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ *1) - 5 2 2) -1 3) 0 4) 1218. กําหนดให P(-8, 5), Q(-15, -19), R(1, -7) เปนจุดบนระนาบ ถา v v = a v + b v (a, b เปนจํานวน i j จริง) เปนเวกเตอรซ่งมีทิศทางขนานกับเสนตรงซึ่งแบงครึ่งมุม QPR แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ ึ ˆ b 1) 2 2) -2 2 3) 11 2 *4) - 11 v v v v19. กําหนดให v = 3 i + 4 j ถา w = a i + b j โดยที่ w มีทิศทางเดียวกันกับ v และ | w | = 10 u v v u v แลว a + b เทากับเทาใด (ตอบ 14) u v v u v v v20. กําหนดให v , v และ w เปนเวกเตอรที่สอดคลองกับสมการ v + 5 v - 2 w = 0 โดยที่ v = 3 i + 4 ju v v และ v ตั้งฉากกับ v ถา θ เปนมุมระหวาง v และ w แลวคาของ | w |cos θ เทากับเทาใด (ตอบ 2.5) u v u v v v v 9921. ถา vn = 1 i + 1 - 12 j เมื่อ n = 1, 2, 3, ..., 99 แลวคาของ ∑ | vn +1 - vn | อยูในชวงใด v n v v n n =1 1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) *3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8) 1  5  1 22. กําหนดใหเวกเตอร  4  ตั้งฉากกับเวกเตอร -8  และ 3  = b  4  + c -8  ถา θ เปนมุมระหวาง  a  a           a b เวกเตอร  0  และ c  แลว cos2 θ เทากับเทาใด (ตอบ 0.8)        23. กําหนดทรงสี่เหลี่ยมดานขนาน มีจุดยอดอยูที่จุด O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2) โดยที่ a และ b เปนจํานวนเต็ม ถา OA ตั้งฉากกับฐานที่ประกอบดวย OB และ OC และ θ เปนมุม ระหวาง OB และ OC แลวขอใดตอไปนี้ถูก 1) sin θ = 5 3 7 2) | OB || OC | = 21 3) พื้นที่ฐานของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานเทากับ 5 2 3 ตารางหนวย *4) ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมดานขนานเทากับ 75 ลูกบาศกหนวยคณิตศาสตร (128)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 128. 24. กําหนดให v = v + 3v u i k v = 2 j + xv เมื่อ x เปนจํานวนจริง v k v = - 3v + v - v w i j k v , v และ w อยูในระนาบเดียวกัน แลว x มีคาเทาใด ถา u v v 1) -12 2) -8 3) 8 *4) 16 v = av + bv + 2v = a และ v = 2av - 3bv โดยที่ a, b เปนจํานวนเต็มบวก และ θ เปนมุม25. ให u i j k v i j ระหวาง v และ v ถา | v | = 3 และ cos θ = 1 แลว v × v มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ u v u 3 u v v v v v v v *1) 6 i + 8 j - 10 k 2) - 6 i - 8 j + 10 k v v v v v v 3) 12 i + 4 j - 10 k 4) - 12 i - 4 j + 10 k โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (129)
  • 129. จํานวนเชิงซอน (Complex)1. จํานวนเชิงซอน เซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรียกวา เซตของจํานวนเชิงซอน ก็ตอเมื่อสําหรับทุกๆ สมาชิก (a, b)และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc) จํานวนเชิงซอน (a, b) นิยมเขียนแทนดวย a + bi เรียก a วา สวนจริง และเรียก b วา สวนจินตภาพ ขอสังเกต 1. c(a, b) = (ca, cb) 2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 สังยุคของจํานวนเชิงซอน กําหนดใหจํานวนเชิงซอน z = a + bi นิยามสังยุคของ z แทนดวย z คือ z = a - bi สมบัติ 1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 2. z1 + z 2 = z1 + z 2 3. z1 - z2 = z1 - z 2 4. z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 Z z 5. z 1 = z1 โดยที่ z 2 ≠ 0 2 2 6. z + z = 2Re(z) เมื่อ Re(z) คือ สวนจริงของ z 7. z - z = 2Im(z) เมื่อ Im(z) คือ สวนจินตภาพของ z 8. z = zคณิตศาสตร (130)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 130. คาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน กําหนดใหจํานวนเชิงซอน z = a + bi นิยามคาสัมบูรณของ z แทนดวย |z| คือ |z| = a 2 + b2 สมบัติ 1. z z = |z|2 2. |z| = |-z| 3. |z1z2| = |z1||z2| z z 4. z1 = z1 , z2 ≠ 0 2 2 5. |z -1|= |z|-1 6. |z| = | z | 7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2||2. จํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว ให z = a + bi โดยที่ z ≠ 0 และ θ เปนมุมบวกที่เล็กที่สุดซึ่ง tan θ = b จะไดวา รูปเชิงขั้วของ z aคือ z = |z|(cos θ + i sin θ) เรียก θ วา อารกิวเมนต (argument) ของ z การคูณและการหารจํานวนเชิงซอนในรูปเชิงขั้ว กําหนดให z1, z2 เปนจํานวนเชิงซอนที่ไมใชศูนย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = |z2|(cos θ2 + i sin θ2) จะไดวา 1. z1z2 = |z1||z2|(cos(θ1 + θ2) + i sin (θ1 + θ2)) z |z | 2. z 1 = |z1| (cos(θ1 - θ2) + i sin(θ1 - θ2)) 2 2 3. z1 = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1) n การแกสมการจํานวนเชิงซอน สําหรับจํานวนเชิงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เมื่อ n ≥ 2 จะไดวา n z = n |z|  cos θ + 2kπ  + i sin  θ + 2kπ   เมื่อ k = 0, 1, 2, ..., n - 1       n     n   กําหนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0จะไดวา ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย นั่นคือ ถา z เปนคําตอบของสมการแลว z จะเปนคําตอบของสมการดวย โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (131)
  • 131. แบบฝกหัด1. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ z2 + z + 1 = 0 เมื่อ z เปนจํานวนเชิงซอน เซตในขอใดตอไปนี้ เทากับเซต S 1) {-cos 120° - i sin 60°, cos 60° + i sin 60°} 2) {cos 120° + i sin 60°, -cos 60° + i sin 60°} 3) {-cos 120° - i sin 120°, -cos 60° + i sin 60°} 4) {cos 120° + i sin 120°, -cos 60° - i sin 60°}2. กําหนดให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง |z1 + z2|2 = 5 และ |z1 - z2|2 = 1 คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 23. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับสมการ z4 + 1 = 0 คาของ z + 1 เทากับขอใดตอไปนี้ z 1) 1 2) 2 3) 3 4) 44. กําหนดให z1,z2 เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง |z1 + z2| = 3 และ z1 ⋅ z2 = 3 + 4i คาของ |z1|2 + |z2|2 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 3 2) 4 3) 5 4) 65. กําหนดให z เปนจํานวนเชิงซอนที่สอดคลองกับ z 3 - 2z2 + 2z = 0 และ z ≠ 0 ถาอารกิวเมนตของ z อยู 4 ในชวง  0, π  แลว z 2 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้   2  ( z) 1) -2i 2) 1 - i 3) 1 + i 4) 2i6. กําหนดให w, z เปนจํานวนเชิงซอนซึ่ง w = z - 2i และ |w|2 = z + 6 ถาอารกิวเมนตของ w อยู ในชวง 0, π  และ w = a + bi เมื่อ a, b เปนจํานวนจริง แลว a + b มีคาเทาใด  2   1) 2 2) 4 3) 6 4) 8 เฉลย1. 4) 2. 3) 3. 2) 4. 1) 5. 1) 6. 2)คณิตศาสตร (132)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 132. กําหนดการเชิงเสน (Linear Programing)1. กราฟอสมการเชิงเสน 1. วาดกราฟสมการเชิงเสน (โดยหาจุดที่สอดคลองกับสมการเชิงเสนสองจุด มักใชจุดตัดแกน X และจุดตัดแกน Y) 2. พิจารณาอาณาบริเวณ โดยใชจุดที่ไมอยูบนเสนกราฟทดสอบ (มักใชจุด (0, 0)) ถาจุดที่ทดสอบสอดคลองกับอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบริเวณที่มีจุดนั้นอยู ถาจุดที่ทดสอบขัดแยงกับอสมการ จะไดกราฟเปนอาณาบริเวณที่อยูตรงขามกับบริเวณที่มีจุดนั้นอยู 3. พิจารณาวาอสมการนั้นยอมรับการเทากันไดหรือไม โดยเลือกแทนดวยเสนทึบ หรือเสนประใหสอดคลอง2. กราฟของระบบอสมการเชิงเสน 1. วาดกราฟของอสมการเชิงเสน หาบริเวณที่สอดคลองในทุกๆ อสมการ (คืออาณาบริเวณที่ซอนทับกัน)เรียกอาณาบริเวณนั้นวา อาณาบริเวณที่หาคําตอบได แลวหาพิกัดของมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได 2. ในกรณีที่ระบบอสมการเชิงเสนมีหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชิงเสน อาจตองมีการหาพิกัดของจุดตัดของสองเสนกอน3. การแกปญหากําหนดการเชิงเสนโดยวิธีใชกราฟ  - ปญหากําหนดการเชิงเสนประกอบดวย ฟงกชันจุดประสงค (Objective Function) และอสมการขอจํากัด (Constraint Inequalities) - ผลเฉลยของปญหาจะเปนพิกดที่อยูในบริเวณที่หาคําตอบไดของระบบอสมการเชิงเสนที่ไดมาจากอสมการ ัขอจํากัด โดยเปนพิกัดที่ทาใหฟงกชันมีคาสูงสุดหรือต่ําสุดตามฟงกชันจุดประสงค ํ - โดยการใชการเลื่อนของกราฟฟงกชันจุดประสงคที่มความชันคงที่ แตมีระยะตัดแกน Y ที่เปลี่ยนแปลง ีพบวาคําตอบที่ตองการจะอยูที่จุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได4. สรุปขั้นตอนการแกปญหากําหนดการเชิงเสน  1. สมมติตัวแปร กําหนดฟงกชนจุดประสงค และอสมการขอจํากัด ั 2. วาดกราฟของระบบอสมการเชิงเสนที่ไดจากอสมการขอจํากัด แลวหาอาณาบริเวณที่หาคําตอบได 3. หาพิกดของจุดมุมของอาณาบริเวณที่หาคําตอบได ั 4. นําจุดมุมทั้งหมดไปทดสอบกับฟงกชันจุดประสงค โดยเลือกพิกัดที่ทําใหคาของฟงกชันสูงสุดหรือต่ําสุดตามที่ตองการขอสังเกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคําตอบที่เปนจํานวนเต็ม แตถาพิกดที่เปนคําตอบไมใชจํานวนเต็ม ัจะตองนําพิกัดที่เปนจํานวนเต็มที่อยูใกลเคียงกับจุดนั้น มาพิจารณาหาพิกัดที่ใหคาที่ดีที่สุดแทน โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (133)
  • 133. แบบฝกหัด1. ถา C เปนปริมาณที่มีคาขึ้นกับคาของตัวแปร x และ y ดวยความสัมพันธ C = 3x + 5y เมื่อ x, y เปนไป ตามเงื่อนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาต่ําสุดของ C ตามเงื่อนไขขางตน มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 215 2) 295 3) 254 4) 27 42. ถา P = 5x + 4y เมื่อ x และ y เปนไปตามเงื่อนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 90 2) 100 3) 110 4) 1153. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวกซึ่ง a < b ถาคามากสุดและคานอยสุดของ P = 2x + y เมื่อ x, y เปนไปตามเงื่อนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มีคาเทากับ 100 และ 10 ตามลําดับ แลว a + b มีคาเทาใด 1) 70 2) 50 3) 30 4) 10 เฉลย1. 2) 2. 3) 3. 1)คณิตศาสตร (134)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 134. ลําดับและอนุกรม (Sequence and Series)1. ลําดับ คือ ฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวนนับ n ตัวแรก (ลําดับจํากัด) หรือเซตของจํานวนนับ (ลําดับอนันต) การเขียนลําดับ เขียนได 3 แบบ คือ เขียนแบบเซต เขียนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลําดับ เขียนแบบพจนทั่วไป ลิมิตของลําดับ 1. ลําดับที่จะนํามาพิจารณาตองเปนลําดับอนันต 2. ลิมิตของลําดับ (an) มีคาเปนจํานวนจริง L เขียนแทนดวย lim a n = L ก็ตอเมื่อ เมื่อ n มีคา n →∞มากขึ้น an จะมีคาเขาใกลหรือเทากับ L ( lim a n = L ↔ ∀∈ > 0 ∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an - L| < ∈) n →∞ 3. ถา lim a n = L (L ∈ R) แลว จะกลาววา ลําดับ an ลูเขา (converge) สู L และถาลําดับ (an) n →∞ไมมีลิมตแลวเราจะกลาววา ลําดับ an ลูออก (diverge) (ถาลิมิตของลําดับมีคาแลว จะมีไดคาเดียว) ิ ทฤษฎีบท กําหนดให c เปนคาคงตัวใดๆ lim a n = A, lim b n = B n →∞ n →∞ 1. lim c = c n →∞ 2. lim c ⋅ an = cA n →∞ 3. lim (an + bn) = A + B n →∞ 4. lim (an ⋅ bn) = AB n →∞ 5. lim k a n = k A (เมื่อ k เปนคาคงที่และทุกเทอมมีความหมาย) n →∞ a 6. lim bn = A (เมื่อทุกเทอมมีความหมาย) B n →∞ n หมายเหตุ p(x) 1. ถา an = q(x) โดยที่ p(x) และ q(x) เปนพหุนาม ถา deg p(x) = deg q(x) จะได lim a n = A เมื่อ A และ B คือ สัมประสิทธิ์ของ x กําลังสูงสุด B n →∞ของพหุนาม p(x) และ q(x) ตามลําดับ ถา deg p(x) > deg q(x) จะได lim a n ลูออก n →∞ ถา deg p(x) < deg q(x) จะได lim a n = 0 n →∞ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (135)
  • 135. 2. ถา an อยูในรูปแบบของฟงกชันชี้กําลัง ใหดึงตัวรวมและใชขอเท็จจริงที่วา lim a n = 0 เมื่อ 0 < a < 1  n →∞ 3. ใชคอนจูเกต ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มผลตางของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกผลตางที่คงที่น้วา ผลตางรวม ี ีแทนดวย d (d = an + 1 - an) พจนทั่วไปของลําดับเลขคณิต an = a1 + (n - 1)d ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มีอัตราสวนของพจนที่ n + 1 กับพจนที่ n เปนคาคงที่เสมอ เรียกอัตราสวนที่คงที่น้วา ี anอัตราสวนรวม แทนดวย r (r = a +1 ) n พจนทั่วไปของลําดับเรขาคณิต an = a1 ⋅ rn-12. อนุกรม คือลําดับของผลบวกยอย เรียก sn วาผลบวกยอย n พจนแรกของลําดับ (an) N อนุกรมที่เกิดจากลําดับจํากัด เรียก อนุกรมจํากัด sn = a1 + a2 + ... + an = ∑ a i i =1 ∞ อนุกรมที่เกิดจากลําดับอนันต เรียก อนุกรมอนันต lim s n = s∞ = a1 + a2 + ... = ∑ a i n →∞ i =1 โดยถา lim s n มีคา จะกลาววาอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับคาของลิมิตนั้น และถา lim s n หา n →∞ n →∞คาไมไดจะกลาววาอนุกรมลูออก อนุกรมเลขคณิต ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต sn = n (2a1 + (n - 1)d) = n (a1 + an) 2 2 อนุกรมเรขาคณิต ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต a1 (1 - r n ) sn = 1 - r เมื่อ r ≠ 1 ผลบวกอนันตพจนของอนุกรมเรขาคณิต ∞ a1 lim s n = ∑ ai = 1 - r ก็ตอเมื่อ |r| < 1 n →∞ i =1 ∞ lim s = ∑ a i ลูออก ก็ตอเมื่อ |r| ≥ 1 n →∞ n i =1 อนุกรมผสม ใชเทคนิคคูณตลอดดวย r อนุกรมที่อยูในรูปเศษสวนยอย ปรับแตละพจนใชอยูในรูปเศษสวนยอยคณิตศาสตร (136)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 136. อนุกรมพี ∞ ∑ 1p ลูเขา ก็ตอเมื่อ p > 1 n =1 n ∞ ∑ 1p ลูออก ก็ตอเมื่อ p ≤ 1 n =1 n สัญลักษณแทนการบวก n 1. ∑ c = nc i =1 n n 2. ∑ cx i = c ∑ x i i =1 i =1 n n n 3. ∑ (x i ± y i ) = ∑ x i ± ∑ y i i =1 i =1 i =1 n n(n + 1) 4. ∑i = 2 i =1 n n(n + 1)(2n + 1) 5. ∑ i2 = 6 i =1 n  n 2 6. ∑i 3 =  ∑ i  = 1 (n(n + 1))2 i =1  i =1    4 ทฤษฎีบท ∞ ∞ 1. ถา ∑ a n เปนอนุกรมลูเขา แลว lim a n = 0 หรือ ถา lim a n ≠ 0 แลว ∑ a n ลูออก n =1 n →∞ n →∞ n =1 ∞ ∞ ∞ 2. ถา ∑ a n และ ∑ b n เปนอนุกรมลูเขา แลวสําหรับจํานวนจริง c, d ใดๆ จะไดวา ∑ (ca n ± db n )  n =1 n =1 i =1 ∞ ∞ ∞เปนอนุกรมลูเขาดวย โดยที่ ∑ (ca n ± db n ) = c ∑ a n ± d ∑ b n n =1 n =1 n =1 3. กําหนดให 0 ≤ an ≤ bn จะไดวา ∞ ∞ ถา ∑ b n ลูเขา แลว ∑ a n จะลูเขาดวย n =1 n =1 ∞ ∞ ถา ∑ a n ลูออก แลว ∑ b n จะลูออกดวย n =1 n =1 โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (137)
  • 137. แบบฝกหัด 2 ∞  n1. ถา lim n 2b + 1 = 1 แลวผลบวกของอนุกรม ∑   ab  2 เทากับขอใดตอไปนี้ n →∞ 2n a - 1 n = 1 a2 b +  1) 13 2) 2 3 3) 1 4) หาคาไมได an 102. กําหนดให an เปนลําดับที่สอดคลองกับ a + 2 = 2 สําหรับทุกจํานวนนับ n ถา ∑ a n = 31 n n =1 2552 แลว ∑ a n เทากับขอใดตอไปนี้ n =1 1) 21275 - 1 2) 21276 - 1 3) 22551 - 1 4) 22552 - 1 ∞3. ถา a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิตซึ่ง ∑ a n = 4 แลวคามากที่สุดที่เปนไปไดของ a2 เทากับขอใด n =1 ตอไปนี้ 1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มีคามากไดอยางไมมีขีดจํากัด4. กําหนดแบบรูป 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ... จํานวนในพจนที่ 5060 ของรูปแบบนี้มีคา เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 10 3) 100 4) 10005. กําหนดให an เปนลําดับเลขคณิตที่สอดคลองกับเงื่อนไข lim  an n a1  = 5 ถา a9 + a5 = 100   -   n→∞ แลว a100 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 500 2) 515 3) 520 4) หาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ  6. ถา A = lim  2nk  มีคาเปนจํานวนจริงบวกแลว แลวคาของ A เทากับขอใดตอไปนี้ n→∞   1 + 8 + 27 + ... + n3   1) 0 2) 2 3) 4 4) 8 ∞ ∞7. ถา ∑ 1 = A แลว ∑ 1 มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ n =2 n 4 - n 2 n =2 n 2 1) 3 + A 4 2) 5 + A 4 3) 3 - A 4 4) 5 - A 4คณิตศาสตร (138)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 138. 8. กําหนดให an เปนลําดับซึ่งสอดคลองกับเงื่อนไข a1 + a 1 = 1 สําหรับทุกจํานวนนับ n n n +1 ถา a1 + a2 + ... + a100 = 250 แลว |a2552 - 2.5| มีคาเทากับขอใดตอไปนี้  1) 1 + 5 2) 2 + 5 3) 25 4) 2 59. พิจารณาขอความตอไปนี้ ∞ ก. ถาลําดับ an ลูเขา แลวอนุกรม ∑ an ลูเขา n =1 ∞ ∞  ลูเขา แลวอนุกรม ∑  1 + an  ลูเขา  ข. ถาอนุกรม ∑ an n  n =1 n =1  2  ขอใดตอไปนีเปนจริง ้ 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด  2 2 a -a10. ถา an เปนลําดับเลขคณิตซึ่ง lim  a n + 1 - a n   n  = 4 แลว 17 2 9 มีคาเทาใด n → ∞  2 1) 2 2 2) 2 2 3) 2 4) 2  11. lim  3n + 12n + 27n + ...+3 3n3  มีคาเทาใด   n → ∞  1 + 8 + 27 +...+ n  1) 6 2) 5 3) 4 4) 3 เฉลย1. 2) 2. 2) 3. 3) 4. 2) 5. 2) 6. 4) 7. 3) 8. 3) 9. 4) 10. 1)11. 3) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (139)
  • 139. แคลคูลัส (Calculus)1. ลิมิตและความตอเนื่องของฟงกชัน เมื่อ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานซายของเสนจํานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวนจริง L จะกลาววา L เปนลิมิตซายของ f ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L1 - x →a เมื่อ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานขวาของเสนจํานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวนจริง L จะกลาววา L เปนลิมิตขวาของ f ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L2 x →a + ถาลิมตทางซายและลิมตทางขวาของฟงกชัน f เทากัน และมีคาเทากับ L จะกลาววา ิ ิ  ฟงกชัน f มีลิมิตเปน L ที่ a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L x→a ถาลิมิตทางซายไมเทากับลิมิตทางขวา หรือลิมิตขางใดขางหนึ่งหาคาไมได จะกลาววา ฟงกชัน f ไมมีลิมิตที่ a ทฤษฎีบทของลิมิต กําหนดให a เปนจํานวนจริงใดๆ f และ g เปนฟงกชันที่มีลิมิตที่จุด a จะไดวา 1. lim c = c เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ x →a 2. lim x = a x →a 3. lim x n = an เมื่อ n ∈ N x →a 4. lim cf(x) = c lim f(x) เมื่อ c เปนคาคงตัวใดๆ x →a x →a 5. lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) x→a x→a x→a 6. lim (f(x) ⋅ g(x)) = lim f(x) ⋅ lim g(x) x→a x→a x→a lim f(x) f(x)  = x → a  7. lim g(x)    เมื่อ lim g(x) ≠ 0  x → a  lim g(x) x→a x→a   n 8. lim (f(x)) n (  = lim f(x)    เมื่อ n ∈ N x →a  x→ a  9. lim n f(x) = n lim f(x) เมื่อ n ∈ N และ lim f(x) ≥ 0 x →a x→a x →a n n  m 10. lim (f(x)) m =  lim f(x)  (   เมื่อ n, m ∈ N และ lim f(x) ≥ 0 x →a  x→ a  x →a 11. ถา f เปนฟงกชันพหุนาม นั่นคือ f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 เมื่อ a0, a1, a2, ..., anเปนคาคงตัวโดย an ≠ 0 จะไดวา lim f(x) = f(a) x →aคณิตศาสตร (140)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010
  • 140. ความตอเนื่องของฟงกชัน นิยาม ให a เปนจํานวนจริงใดๆ ฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด a ก็ตอเมื่อ ฟงกชัน f มีสมบัติตอไปนี้ 1. lim f(x) หาคาได x →a 2. f(a) หาคาได 3. lim f(x) = f(a) x →a2. อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟงกชัน นิยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชันใดๆ และ h เปนจํานวนจริงที่ไมใชศูนย อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชวง x ถึง x + h คือ f(x + h) - f(x) h อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x ใดๆ คือ lim f(x + h) - f(x) h →0 h3. อนุพันธของฟงกชัน นิยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชันที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจริง และ lim f(x + h) - f(x) h h→0 d dyหาคาได เรียกคาลิมตที่ไดนี้วา อนุพันธของฟงกชัน f ที่ x แทนดวย f ′(x) , dx f(x) และ dx ิ ทฤษฎีบทของอนุพันธ dc 1. dx = 0 เมื่อ c คือ คาคงตัวใดๆ 2. dx = 1 dx d 3. dx xn = nxn-1 เมื่อ n เปนจํานวนจริงใดๆ d d 4. dx [f(x) ± g(x)] = dx f(x) ± dx g(x) d d d 5. dx cf(x) = c dx f(x) เมื่อ c คือ คาคงตัวใดๆ d d d 6. dx [f(x)g(x)] = f(x) dx g(x) + g(x) dx f(x) d d d  f(x)  = g(x) dx f(x) - f(x) dx g(x) เมื่อ g(x) ≠ 0 7. dx  g(x)    (g(x))2 d d d 8. dx gof(x) = dy g(y) dx f(x) เมื่อ y = f(x) (กฎลูกโซ (Chain rule)) d 9. dx [f(x)]n = n[f(x)]n-1 dx f(x)d โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (141)
  • 141. อนุพันธอันดับสูงของฟงกชน ั นิยาม ถา f′(x) หาอนุพันธไดแลวจะเรียกอนุพันธของ f′(x) วา อนุพันธอันดับสองของ f แทนดวย f ″(x), d 2 y , d2 f(x) ในทํานองเดียวกันเราสามารถนิยามอนุพันธอันดับ 3, 4, ... ของฟงกชัน ตลอดจนกําหนดdx 2 dx 2สัญลักษณไดโดยวิธีเดียวกัน การประยุกตของอนุพันธ ความชันของเสนสัมผัสโคง ถา f เปนสมการเสนโคง ความชันของเสนตรงที่สัมผัสเสนโคงที่จุด (a, f(a))คือ f ′(a) ฟงกชันเพิ่มและฟงกชันลด กําหนดให f มีโดเมนเปน Df ฟงกชัน f เปนฟงกชันเพิ่มบน (a, b) ⊂ Dfถา f ′(c) > 0 ทุก c ∈ (a, b) และฟงกชัน f เปนฟงกชันลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f ′(c) < 0 ทุก c ∈ (a, b) คาสุดขีดของฟงกชัน กําหนดให f มีโดเมนเปน Df ฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซึ่ง f (c) > f(x) สําหรับทุกๆ x ในชวง (a, b) ที่ x ≠ c ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมพัทธที่จุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซึ่ง f (c) < f(x) สําหรับทุกๆ x ในชวง (a, b) ที่ x ≠ c นิยาม ถา f ′(c) = 0 แลวเราจะเรียก c วา คาวิกฤตของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f(c)) วา จุดวิกฤตของ f ทฤษฎีบท กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องใดๆ บน (a, b) ⊂