Meccanicadel puntomateriale
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Meccanicadel puntomateriale Meccanicadel puntomateriale Presentation Transcript

  • Meccanica 1
  • IntroduzioneLa Meccanica è quella branca della Fisica che si occupadella descrizione dei moti dei corpi e delle forze che sonoresponsabili dei moti stessi.Tradizionalmente si suole dividere la Meccanica inCinematica, Statica e Dinamica.Cinematica  Descrizione dei moti a prescindere dellecause che li generanoStatica  Condizioni di equilibrioDinamica  Ricerca l’equazione del moto di un corpoquando si conoscono le forze ad esso applicate. 2
  • Descrizione cinematica del moto Si dice che un corpo si muove quando la sua posizione rispetto ad altri corpi, considerati come fissi, varia nel tempo. Il concetto di moto ha perciò sempre un significato relativo. In meccanica, il moto di un corpo è sempre riferito ad un sistema di riferimento. Per descrivere poi lo stato di moto del corpo facciamo ricorso alle grandezze cinematiche spostamento, velocità, accelerazione. 3
  • Traiettoria e legge orariaDefiniamo traiettoria del moto la linea descritta dal puntodurante il suo moto. Se la traiettoria è nota, per descriverecompletamente il moto, basta conoscere la posizione del puntolungo la traiettoria ad ogni istante.Se indichiamo con s il tratto di traiettoria percorso dal punto P neltempo t, il moto è completamente descritto quando si conosce larelazione s = s(t)che prende il nome di legge oraria. 4
  • Spostamento Il tratto di traiettoria coperto prende il nome si spostamento. In generale, lo spostamento è una grandezza vettoriale. La legge oraria (o legge del moto) può quindi essere descritta mediante le tre funzioni del tempo: x = x(t) y = y(t) z = z(t) 5
  • Velocità Posizione x (m) Tempo di transito t (s) Velocità media: vm = Δs/ Δt (m/s) 0 0 4 10 ma: Δs1 / Δt ≠ Δs2 / Δt = Δs3 /Δt 14 20pos. 24 30 Se però prendiamo un Δt sempre più(m) piccolo, a questo corrisponderà un Δs sempre più piccolo e il rapporto30 rimarrà un numero finito; definiamo pertanto20 Δs3 Δt Velocità istantanea: v = lim (Δs /Δt) = ds/dt10 Δs2 Δt→0 Δs1 10 20 30 40 t (s) 6
  • Interpretazione trigonometrica della velocitàs Se AB è un tratto di legge oraria, B dal grafico si evince che,s2 considerando la corda AB, si ha: Ps1 A C s2 – s1 α BC = = vm AC t2 – t 1 t1 t2 t Se invece di B scegliamo un punto P via via più vicino ad A, il Δt diminuisce e di conseguenza anche il corrispondente Δs diminuisce: per P che tende a coincidere con A, avremo che la corda AP tende a coincidere con la tangente alla curva in A. Quindi potremo definire la velocità istantanea nel punto A della legge oraria come: v = tg α A. Merla - Corso di Fisica - UdA 8
  • AccelerazioneAnalogamente a quanto fatto per la velocità definiamo l’accelerazionemedia come: am = Δv/ΔtMentre definiamo l’accelerazione istantanea come: a = lim Δv/Δt = dv/dt Δt→0L’accelerazione si misura in (m/s)/s, ovvero in m/s2 A. Merla - Corso di Fisica - UdA 9
  • Moto rettilineo uniforme a=0 v = cost = vmPer s1 ed s2 qualsiasi Se e s – s0 v= e s = s0 + vt t A. Merla - Corso di Fisica - UdA 10
  • Moto uniformemente accelerato a = costanteIn questo caso avremo: a = am v(t) = v0 + at vIl diagramma orario delle velocità è una retta: a>0 v1 v0In prima approssimazione sarà: s1 = v1 . Δ t a<0Tuttavia, poiché il valore di v varia istante peristante, non è possibile calcolare lo spazio Δt tdirettamente dallarelazione s = v . t A. Merla - Corso di Fisica - UdA 11
  • Integrazione delle leggi del motoPer trovare lo spazio percorso nel tempo t osserviamo che esso è dato dalla somma deiprodotti: (s0 = v0 . Δt) + (s1 = v1 . Δt) + … + (sn = vn . Δt)ovvero dalla somma dei rettangolini in figura. In definitiva tale somma approssima l’area deltrapezio di base v0 e (v0 + at), e altezza t, ovvero l’area della porzione di piano racchiusa tra laretta e l’asse dei tempi. s(t) = ½ [v0 + (v0 + at)] • t = v v0 + at s(t) = v0t + ½ a • t2v0 In generale le equazioni del moto uniformemente accelerato sono: s(t) = s0 + v0t + ½ a • t2 Δt t v(t) = v0 + a • tricavando t dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si ricava: v2(t) = v02 + 2a • s A. Merla - Corso di Fisica - UdA 12
  • Moto naturalmente accelerato g = 9.81 m/s2 A. Merla - Corso di Fisica - UdA 14
  • Moto naturalmente accelerato In questo caso le equazioni del moto divengono: s(t) = s0 + v0t - ½ g . t2 v(t) = v0 - g . t Combinando le due relazioni sopra, si ottiene: v2(t) = v02 + 2g . s In particolare se il corpo parte da fermo, dopo essere caduto per un dislivello h ha acquistato una velocità pari a: v = (2g . h)1/2 A. Merla - Corso di Fisica - UdA 15
  • Moto di un punto nello spazioSe un punto materiale si muove nello spaziotridimensionale e non solo lungo una sola s(t) = s0 + v0t + ½a t2direzione, le equazioni del moto sono simili aquelle viste precedentemente, ma per indicarelo spazio percorso, la velocità e l’accelerazione v(t) = v0 + a tbisogna usare dei vettori. 1 2 x(t) = x 0 + v x 0 t + ax t Questo moto può essere scomposto 2 nel moto lungo l’asse X, lungo l’asse 1 2 Y e lungo l’asse Z y(t) = y 0 + v y 0 t + ay t 2 € 1 2 z(t) = z0 + v z 0 t + az t 2 € A. Merla - Corso di Fisica - UdA 16
  • Moto su traiettoria curvilinea t2 P1P2 = OP2 – OP1 t1 P2 B P1 se t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo:A P2 è molto vicino a P1 e P1P2 ha circa la direzione della tangente alla traiettoria in P1 O e le sua lunghezza ~ P1P2  PP Direzione della tangente alla traiettoria Allora v= 1 2 Δt Verso del moto Modulo uguale alla velocità scalare v € A. Merla - Corso di Fisica - UdA 17
  • Moto su traiettoria curvilinea t1 t2 Nello spostamento dal punto P1 al punto P2 la P1 P2 B velocità del punto è variata. Anche se il modulo della velocità è rimastoA costante (come ad esempio nel moto circolare uniforme), la direzione della velocità è diversa. O Una variazione della velocità implica sempre la presenza di un’accelerazione. ΔvSe, come in precedenza, t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo, al vettore Δtsi dà il nome di accelerazione del punto P all’istante t.In generale la direzione del vettore accelerazione NON è quella dellatangente alla traiettoria!! A. Merla - Corso di Fisica - UdA € 18
  • Moto circolare P1P2 = OP2 – OP1 v2 v v1 • P2 Δv P• •P1 v1 an v2 La variazione di velocità, e quindi l’accelerazione, è perpendicolare alla velocità stessa.In generale, per un moto circolare non uniforme, A Δv ata può pensarsi scomposto in due C P• acomponenti at ed an v1 B an v2 O A. Merla - Corso di Fisica - UdA 19
  • Moto circolare Analizzando meglio la figura a fianco osserviamo che il A Δv segmento C AB ≈ normale alla traiettoria,v1 B mentre il segmento v2 BC ≈ v2 – v1 ≈ tangente alla traiettoria.OQuindi, con buona approssimazione possiamo scrivere che: BC/Δt = at e cheat = (v2 – v1)/ Δtche non è altro che l’accelerazione istantanea definita nel moto unidimensionale. an,invece, ci dice come varia la direzione della velocità, istante per istante. Quindi, indefinitiva:at è nulla se v = cost moto uniforme, an è nulla se la traiettoria è rettilinea,an si chiama accelerazione centripeta A. Merla - Corso di Fisica - UdA 20
  • Composizione e decomposizione dei movimenti A. Merla - Corso di Fisica - UdA 21
  • Composizione e decomposizione dei movimenti Se il punto P si sposta in un piano, possiamo individuarne la posizione nely riferimento cartesiano di origine O PPy mediante il vettore OP. OP può pensarsi come somma dei due vettori OPx ed OPy, che sono le sue componenti lungo gli assi. Il moto del punto P si riduce allo studioO Px x di due movimenti rettilinei: quelli di Px e Py, proiezioni ortogonali di P. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 22
  • Moto del proiettile A. Merla - Corso di Fisica - UdA 23
  • Moto del proiettileO v0 Px xPy •P v y Lungo l’asse x il moto è uniforme x = v0t Lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato y = ½ gt2 A. Merla - Corso di Fisica - UdA 24
  • Moto circolare uniformeE’ il moto di un punto che descrive archi uguali in tempi uguali.Il moto è periodico.La velocità angolare è l’angolo (in radianti)descritto nell’unità di tempo ω = Δα/Δt r v1 Δs = rΔα = rωΔt C ωΔt = Δα Δs/Δt = v = ωr v2 ωΔt O v2 v1 B A Δv A. Merla - Corso di Fisica - UdA 25
  • Moto circolare uniforme Il periodo del moto è La frequenza è Poiché v = costante at = 0 , mentre an ≠ 0AB /Δt = v2 – v1 = Δv Ma per Δt molto piccolo sarà Δv ≅ vωΔt Δv = vω Δt ac = vω = v2/r = ω2r E poiché at è nulla an = ac = Δv Δt A. Merla - Corso di Fisica - UdA 26
  • Moto armonico y C Se P si muove di moto circolare uniforme la sua proiezione Pxsi muove di moto armonico. P Py ac v ωt ωt Sia t = 0 quando Px è in 0. r Allora l’angolo al centro sotteso x da PC è ωt eA o PX B x = r sin(ωt) r = ampiezza ω= pulsazione y = r cos(ωt) è la legge del moto armonico il cui diagramma orario è una sinusoide: A. Merla - Corso di Fisica - UdA 27
  • Moto armonico x +r π 2π ω ω -2π -π t ω ω -rIl periodo T = 2π/ ω e la frequenza ν = ω/ 2π sono quelli del motocircolare uniforme corrispondente. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 28
  • Moto armonico y C La velocità istantanea del moto è P la proiezione di v su AB Py ac v ωt vx = v cos(ωt) = ωr cos(ωt) ωt r xA o PX B Analogamente per l’accelerazione ax che è la proiezione di ac su AB ax = -ω2xQuindi nel moto armonico l’accelerazione è proporzionale allo spostamentoe diretta sempre verso il centro del moto. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 29
  • LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA Newton formulò le leggi della dinamica ~300 anni fa, scegliendole in modo che esse, e le loro conseguenze, siano in accordo, entro le precisioni di misura, con le osservazioni sperimentali effettuate. Nel tempo, nuovi fenomeni (o migliori precisioni) hanno portato a miglioramenti successivi; le vecchie leggi sono prime approssimazioni delle nuove (ex. relatività speciale, meccanica quantistica). A. Merla - Corso di Fisica - UdA 30
  • Prima Legge“Un corpo non soggetto ad interazioni permane nel suo stato di quiete o dimoto rettilineo uniforme, in un sistema di riferimento inerziale ”.La legge dice che il moto dei corpi si può studiare solo nei sistemi in cuinon compaiono anomalie (accelerazioni non dovute ad interazioni);Dato un sistema di riferimento inerziale, tutti i sistemi, in quiete o in motorettilineo uniforme rispetto ad esso, sono anche essi dei sistemi diriferimento inerziali;Dal punto di vista della dinamica, quiete e moto rettilineo uniforme sonoequivalenti. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 31
  • Seconda Legge“Nei sistemi di riferimento inerziali, una forza impressa ad un corpoproduce un’accelerazione parallela alla forza e ad essa proporzionale; ilcoefficiente di proporzionalità non dipende dalla forza, ma dalle proprietàintrinseche del corpo.” F=ma richiede la conoscenza delle forze, a priori dal loro effetto sul moto deicorpi; il coefficiente “ m ”è la massa inerziale di un corpo : la massa non dipende dallo stato di quiete o di moto del corpo; la massa si mantiene costante nel tempo. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 32
  • Forze AdditiveA. Merla - Corso di Fisica - UdA 33
  • Sistemi di Riferimento InerzialiLe leggi di Newton implicano il concetto di accelerazione, quindi quello di un sistema diriferimento rispetto a cui misurare l’accelerazione. Non tutti i sistemi di riferimento sonoappropriati;Definiamo sistemi inerziali tutti quelli in cui valgono le leggi di Newton.Ad esempio un sistema solidale con la Terra non serve a descrivere le leggi che regolano il motodei pianeti (gravitazione universale), ma in esso si possono ben descrivere fenomeni inerziali su“piccola” scala, quali la caduta dei gravi, ecc.Un sistema di riferimento inerziale o galileiano classico è quello collegato a delle stelle fisse. Èinerziale ogni altro sistema non accelerato rispetto ad esso.Ogni sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto ad un sistema inerziale èanch’esso inerziale. v F = ma F = ma A. Merla - Corso di Fisica - UdA 34
  • Unità di Misura della Forza[F] = [m] · [a] = [m · l · t -2 ]si misura in Newton (MKS) o in dine (CGS);1 N = 1 Kg · 1 m / 1 s 21 dine = 1 g · 1 cm / 1 s 2 = 1 N / 10 5 A. Merla - Corso di Fisica - UdA 35
  • Terzo Principio“Quando un corpo A imprime una qualsiasi forza FAB su un corpo B,automaticamente il corpo B imprime su A una forza FBA uguale in moduloed opposta in verso” (Principio di azione e reazione). F AB = -F BAEs.: molti esempi pratici (nuoto, camminata, barche a remi, rimbalzo ecc.);Nei sistemi isolati , la somma vettoriale di tutte le forze (cioè la forza totale)è sempre nulla, perché tutte le forze tra corpi, comunque complicate, sicancellano due a due. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 36
  • Forza PesoIl peso è una forza. P = mgcon g = accelerazione di gravitàdel luogo dove si effettua la misura.La massa di un corpo è legata alle quantità di materia del corpo, e rimanequindi invariata se quel corpo è posto, ad esempio, sulla Terra o sulla Luna.Il peso no.Quindi sulla superficie della Terra un corpo di massa m = 1 kg ha un pesoP = 1 x 9.8 = 9.8 N, un uomo di massa 80 kg ha un peso P = 784 N A. Merla - Corso di Fisica - UdA 37
  • Forza PesoIl peso di un corpo è uguale alla Fgrav solo in assenza di accelerazione nelladirezione di g A. Merla - Corso di Fisica - UdA 38
  • Origine della Forza Peso: Legge di Gravitazione UniversaleLa forza peso è un aspetto della FORZA di GRAVITAZIONE UNIVERSALE F F M1 M2 rDue corpi di massa M1 e M2 si attraggono con una forza che è direttamenteproporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale alquadrato della distanza tra le masse stesse.In modulo: F = G0 M1M2/r2 G0 = 6.67 10-11 (N.m2)/Kg2dove la forza si esercita tra i centri delle masse e G0 è la costante digravitazione universale. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 39
  • Accelerazione di GravitàPossiamo utilizzare la legge di gravitazione universale per calcolare inmodo semplice g:In prossimità della superficie terrestre possiamo scrivere che Fgrav = G0mMT/RT2con MT e RT massa e raggio della Terra rispettivamente.Poiché deve valere anche che Fgrav = Fpeso = mgRisulta g = G0MT/RT2 = 9.81 m/sec2 A. Merla - Corso di Fisica - UdA 40
  • Massa Inerziale e Massa GravitazionaleLe domande da porsi allora sono:1) La massa inerziale e la massa gravitazionale sono la stessa cosa?2) Due corpi con differente massa inerziale cadono al suolo con differente accelerazione gravitazionale? A. Merla - Corso di Fisica - UdA 41
  • Reazioni VincolariNel caso in cui il corpo non è libero, ma condizionato a muoversi entro certe condizioni, si parla di vincoli. Esempi: tavoli,rotaie,fili inestensibili, ... Il “trucco” consiste nel sostituire il vincolo con una forza (Reazione Vincolare) ortogonale al vincolo, che produca lo stesso effetto sul moto. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 42
  • Esempi di Reazioni Vincolari A. Merla - Corso di Fisica - UdA 43
  • Il piano inclinatolungo il piano inclinato : m · a = W · sin θ = m · g · sin θl’accelerazione di gravità g è minore di un fattore sin θ . A. Merla - Corso di Fisica - UdA 44
  • Forze d’attrito  Le forze d’attrito sono forze di contatto. Esistono due tipi di attrito :  attrito statico (impedisce l’inizio del moto) opposto alle forze che agiscono sul corpo; valore massimo : Fstat (max) = µs N = µs m g (NB in modulo, la direzione è differente !!!). attrito dinamico (agisce durante il moto) : F d = µd N = µd m g direzione e verso = - vI coefficienti µs e µd sono differenti ( µd < µs ) e dipendono dalle superfici dei corpi e dallapresenza di lubificanti, polveri, etc. (cioè dalla presenza di asperità che impediscano loscorrimento delle superfici) e NON dipendono dalla estensione delle superfici. A. Merla - Corso di Fisica - UdA 45
  • Il piano inclinato con attrito A. Merla - Corso di Fisica - UdA 46
  • Forza ElasticaSi definiscono Forze Elastiche (ex.molla) quelle definite dalla legge diHooke: F = - Kx• la forza è proporzionale alladeformazione (spostamento) dellamolla;• la costante di proporzionalità Kindica la “robustezza” dellamolla (= forza per deformazioneunitaria); La forza elastica NON ha• la forza è diretta lungo l’asse della modulo costantemolla, in senso opposto alladeformazione; L’accelerazione NON è costante A. Merla - Corso di Fisica - UdA 47
  • Forza Elastica nei Materiali La forza elastica NON ha modulo costante L’accelerazione NON è costante A. Merla - Corso di Fisica - UdA 48
  • Forze Elastiche e Moto ArmonicoNel moto armonico l’accelerazione è proporzionale ed opposta allo spostamento ax = -ω2xLa forza elastica genera moti armonici: A. Merla - Corso di Fisica - UdA 49
  • Quantità di MotoIntroduciamo una nuova grandezza fisica, la quantità dimoto di un corpo, come il prodotto della sua massa per lasua velocità: p=mvLa quantità di moto è un vettore concorde con la velocità(p si misura in Kg.m/s)Come vedremo la motivazione per l’introduzione di questanuova grandezza sta nel fatto che ci permetterà diriscrivere la seconda legge di Newton in modo piùgenerale 48
  • Forma generale della seconda legge di NewtonRicordiamo la seconda legge di Newton: F = m a = m Δv/Δt [1]che possiamo anche scrivere come F = Δ(mv)/Δt = Δp/ΔtNel caso di più forze agenti sul corpo di massa m avremoinfine: ΣF = Δp/Δt [2]La variazione nel tempo della quantità di moto di uncorpo è uguale alla forza risultante ad esso applicataLa seconda legge scritta in questa nuova forma è inrealtà più generale di quella vista a suo tempo: infattitiene conto anche della possibilità che la massa di uncorpo possa variare (caso del razzo). 49
  • Esempio di massa variabile Quando il razzo ha i motori spenti il serbatoio è pieno di carburante (H2 e O2 solidi). Quando il razzo è in movimento brucia con continuità il carburante fino al suo esaurimento e quindi la sua massa diminuisce: questo caso non è prevedibile dalla formulazione [1], mentre lo è secondo la [2] 50
  • Teorema dell’impulsoRiscriviamo la relazione F = Δp/Δt moltiplicandoprimo e secondo membro per Δt: F Δt = Δp [3]Se definiamo il primo membro della [3] impulsodella forza, possiamo dire che l’impulso di una forzaè uguale alla variazione totale della quantità dimoto di un corpo. La relazione [3] prende anche ilnome di Teorema dell’impulso 51
  • Impulso 52
  • Principio di Conservazione della Quantità di Moto Supponiamo che su un corpo agisca dall’esterno un insieme di forze tali che la loro risultante sia nulla. In tal caso avremo che: ΣF = 0 = Δp/Δt Δp = 0 Se Δp = 0 ne consegue che p = costante. Possiamo quindi enunciare il Principio di Conservazione della Quantità di Moto: Se la risultante delle forze esterne agenti su un corpo è nulla la quantità di moto totale del corpo si conserva 53
  • Considerazioni sulla conservazione della quantità di motoIl principio suesposto è una relazione vettoriale, e si riferisce alla quantità dimoto totale di un corpo o di un sistema. Ciò vuol dire che occorre scomporre ivettori nelle varie componenti (x, y, eventualmente z) ed imporre laconservazione lungo ciascun asse. Inoltre il principio si applica alla sommavettoriale di tutte le quantità di moto del sistema. Vediamo qualche esempio.1) Due corpi fermi su un piano privo di attrito econnessi da una molla compressa. Quale sarà il N1 N2moto dei due corpi se la molla si decomprime?La ΣFest è nulla, quindi la p totale prima della m1g m2gdecompressione sarà uguale a quella dopo. v1 v2 x 54
  • Considerazioni sulla conservazione della quantità di motoPotremo quindi scrivere: p1 + p2 = p1’ + p2’e poiché i due corpi inizialmente sono fermi avremo: 0 = p1’ + p2’ m1v1’ + m2v2’ = 0Osserviamo che il problema è unidimensionale, per cuitraducendo scalarmente la relazione suscritta otteniamo: - m1v1’ + m2v2’ = 0ed infine: v1’/v2’ = m2/m1ovvero le velocità sono inversamente proporzionali alle masse. 55
  • Considerazioni sulla conservazione della quantità di motoUguali risultati si 2)ottengono nei due casimostrati nelle figure dilato. In particolare nelcaso del razzo, questoaccelera perché il gasacquista una p uguale e 3)contraria a quella delrazzo, e non perché i gasespulsi esercitano unaspinta contro il suolo ol’aria! 56