Suma de funciones

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Suma de funciones

  1. 1. Funciones : Definición y características Unidad 1 Funciones y sus gráficas
  2. 2. <ul><li>El costo de producir cualquier artículo está en función del número de artículos producidos. </li></ul>Para entender el concepto de función consideremos algunos casos: 2. El interés ganado al invertir un dinero depende del tiempo transcurrido.
  3. 3. Una función f es una regla que asigna a cada número real de entrada x un único número real de salida, llamado f ( x ) . Al principio uno puede confundir las notaciones f y f ( x ) . Téngase en cuenta que x es el elemento de entrada, f se usa para representar la función, sin embargo, f ( x ) es un elemento salida de la función. Importante!!! nombre de la función f entrada f ( x ) salida
  4. 4. Prueba de la recta vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función en la variable x , si ninguna recta vertical corta a la curva más de una vez. Es función No es función x 2 + y 2 = 4
  5. 5. La grafica de f también nos permite tener una imagen del dominio y del rango de f sobre el eje X y el eje Y respectivamente. x y y = f ( x ) 0 dominio rango
  6. 6. Es útil comparar la función con una máquina en la cual para cada x que ingresa, la máquina produce la salida f ( x ). f entrada salida x f ( x ) y = f ( x ) se lee “ y es igual a f de x ” o “el valor de f en x ”, llamada regla de correspondencia de una función. Aquí, x es la variable independiente y y es la variable dependiente.
  7. 7. Funciones polinomiales <ul><li>Una función polinomial de grado n, es una función cuya regla de correspondencia está dada por un polinomio de grado n. </li></ul><ul><li>Por ejemplo: </li></ul><ul><ul><li>f(x) = 3x –2 </li></ul></ul><ul><ul><li>g(x) = 3x 2 +4x – 6 </li></ul></ul><ul><ul><li>h(x) = 5x 3 - 2x + 4 </li></ul></ul><ul><ul><li>i(x) = 2x 4 + 5x 3 + x - 3 </li></ul></ul>
  8. 8. Función cuadrática Una función cuadrática es de la forma: Su gráfica es una parábola con eje vertical cuya forma dependerá de los valores de a, b y c .
  9. 9. Gráfica de una función cuadrática <ul><li>Hay dos formas prácticas para graficar una función cuadrática (una parábola): </li></ul><ul><ul><li>Determinando el vértice ( h ; k ), un punto de paso y apoyándonos en el hecho de que una parábola es simétrica respecto a la recta vertical que pasa por su vértice. </li></ul></ul><ul><ul><li>Por transformaciones : para esto es necesario primero completar cuadrados para obtener la forma estándar. </li></ul></ul>
  10. 10. Determinando el vértice <ul><li>Se puede determinar el vértice ( h ; k ) de la parábola de la función cuadrática: f (x) = ax² + bx + c , a  0 , usando la siguiente fórmula: </li></ul>Y se grafica ubicando el vértice, las intersecciones con los ejes y un punto de paso.
  11. 11. a > 0 h = Valor de x que genera el valor extremo k = Valor mínimo de f
  12. 12. a < 0 h = Valor de x que genera el valor extremo k = Valor máximo de f
  13. 13. El Sr. López es dueño de una pastelería y contrató a un consultor que le dice que sus ganancias P ( q ) por la venta de “ q ” pasteles están dadas por: P ( q )= 120 q – q 2 ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias?
  14. 14. P ( q )= – q 2 +120 q +0, En este caso tenemos que la parábola se abre hacia abajo pues:
  15. 15. a < 0 h = Valor de x que genera el valor extremo k = Valor máximo de f -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y (h, k)
  16. 16. OPERACIONES CON FUNCIONES Dadas dos funciones de variable real: f ( x ) y g ( x ) , pueden realizarse con ellas las siguientes operaciones: Adición: f ( x ) + g(x ) Sustracción: f ( x ) – g ( x ) Multiplicación: f ( x ). g ( x ) División: f ( x ) / g ( x ) OBSERVACIÓN: La operación entre dos funciones sólo puede realizarse en un dominio común a ambas. Es decir, las funciones: f + g , f – g , f . g y f / g se encuentran definidas en Domf ∩ Domg. Importante!!! además de considerar la intersección de dominios, en la división de funciones se debe tener en cuenta que g ( x ) ≠ 0
  17. 17. Sumemos estas expresiones: 2 x –1 3 f ( x ) = g ( x )= = 2 x + 2 h ( x ) 2 x +2
  18. 18. f ( x ) = 2 x –1 g ( x ) = 3 h ( x ) = 2 x + 2 Ahora sumemos estos gráficos: Este es el par: (-1; -3) Este es el par: (-1; 3) Resulta: (-1; 0) Este es el par: (0; 3) Este es el par: (0; -1) SUMAMOS Resulta: (0; 2) SUMAMOS Este es el par: (1; 3) Este es el par: (1; 1) Resulta: (1; 4) SUMAMOS ( f + g )( x ) = 2 x + 2
  19. 19. (– 4; 0) (– 4; 5) f g Determinaremos: f + g f + g EJEMPLO 2:
  20. 20. A partir de los gráficos de f y g determine el gráfico de g – f. D O M N I O E N C O M Ú N f g EJEMPLO 3: Sean las funciones: g – f
  21. 21. Ejemplo 1: <ul><li>Dibuje la gráfica de f ( x )= x 3 - x 2 -6 x </li></ul>Solución: Determinando la forma factorizada de f y encontrando las intersecciones con el eje X: f ( x ) = x ( x +2)( x -3)
  22. 22. <ul><li>Paso 1: </li></ul><ul><li>Intersecciones con eje X: </li></ul><ul><li>x ( x+2 )( x-3 ) = 0  x = -2; 0; 3 </li></ul><ul><li>Signo de la función en cada intervalo: </li></ul>Intersecciones con eje y: x = 0  y = 0 Intervalo N° de prueba Valor de f ( x ) Signo de f ( x ) x <-2 -2< x <0 0< x <3 3< x -3 -1 1 4 -18 4 -6 24 Negativo Positivo Negativo Positivo
  23. 23. <ul><li>Paso 3: </li></ul><ul><li>Graficar: </li></ul>Paso 2: Tabulación x f ( x ) -3 -18 -1 4 1 -6 2 -8 4 24
  24. 24. Aplicación La función polinomial definida por: A (x) = -0,015 x 3 + 1,058 x ; Da la concentración aproximada de alcohol (en décimos de porcentaje) en la sangre de una persona promedio, x horas después de tomar cerca de 8 onzas de whisky grado 100. La función es aproximadamente válida para 0  x  8. <ul><li>Dibuje la gráfica de A( x ). </li></ul><ul><li>Estime el tiempo de máxima concentración de alcohol. </li></ul>
  25. 25. Solución: Determinando la forma factorizada de A ( x ): A ( x ) = -0.015 x ( x - 8,40)( x + 8,40) Intersecciones con eje X: -8,40; 0; 8,40 Signo de la función en cada intervalo: Intervalo Número de prueba Valor de f ( x ) Signo de f ( x ) x <-8,40 -8,40 < x <0 0< x <8,40 8,40< x -10 -4 4 10 4,420 -3,272 3,2736 -4,420 Positivo Negativo Positivo Negativo
  26. 26. <ul><li>Intersecciones con eje Y: </li></ul><ul><li>x = 0  y = 0 </li></ul>Tiempo de máxima concentración: entre 4 y 5 horas

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