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    • MADER, W. Math. Annalen 174, 265--268 (1967) Homomorphieeigenschaften und mittlere Kantendichte von Graphen W. MADER Als Abschw~ichung der Hadwigervermutung hat K. WAGNER in [4] die Existenz einer zahlentheoretischen Funktion c(n) mit der Eigenschaft nach- gewiesen: Jeder Graph G mit der chromatischen Zahl z(G) > c(n) ist homo- morph (bezeichnet dutch: ~ ) dem vollstandigen Graphen mit n Ecken, dem S(n). G. A. DIRAC1 und H. A. JUNG (in [3]) haben gleichzeitig und unabh~ingig voneinander sogar bewiesen, dab eine Funktion ~o(n) existiert, ffir welche gilt: Jeder Graph G mit z(G)> rp(n) enthiilt eine Unterteilung des S(n) (kurz: U(S(n))) als Teilgraph. In der vorliegenden Arbeit soll gezeigt werden, dab eine Funktion f(n) mit der Eigenschaft existiert : Jeder endliche Graph G, der min- destens f(n). e(G) Kanten enth~ilt, hat einen U(S(n)) als Teilgraph 2. (Die bier betrachteten Graphen G haben keine mehrfachen Kanten und keine Schlingen; ihre Eckenmenge sei nicht leer; e(G) bezeichne die Anzahl der Ecken, k(G) die Anzahl der Kanten von G.) Zun~ichst zeigen wir Satz f. G sei ein endlicher Graph mit k(G) >=2 n- 3. e(G). Dann gilt: G ),- S(n). (n beliebige natfirliche Zahl.) Der Beweis wird durch folgenden Induktionsschritt geliefert : Lemma t. Voraussetzung: Jeder endliche Graph, der mindestens n/2quot; e(G) Kanten hat, ist homomorph dem S(h(n)). Behauptung: Gist ein endlicher Graph mit k( G) > n . e(G)--} G >- S(h(n) + 1). (n natfirliche Zahl.) Es sei also ein endlicher Graph G mit k(G)> n'e(G) gegeben. Unter den homomorphen Bildern H von G, welche die Bedingung k(H)>__n, e(H) er- fiillen, w~ihlen wit einen (bezfiglich der Teilordnung >-) minimalen Graphen G' aus. N(a) bezeichne die Menge der mit a dutch Kanten in G' verbundenen Ecken. Dann gilt fiir jede Ecke a aus G': (A) IN(a)l > n, d. h. jede Ecke yon G' hat einen Grad ~ n + 1. (B) Jede Ecke von G'(N(a))3 hat (in diesem Graphen) einen Grad > n. Zu (A): Da k(G')> n'e(G') ist, folgt e(G')> 1, also ist G quot; = G ' - a nicht leer. W~ire IN(a)[ -< n, dann wiirde gelten : k(Gquot;) = k(G ) - n > n(e(G')- 1) = ne(Gquot;). Also ware G' nicht minimal. i Es ist mir unbekannt,ob die betreffendeArbeit schon erschienenist. 2 Ich m6chte auch erwahnen,dab ich der Arbeit [1] von G. A. DmACviel verdanke. 3 Fiir eine Teilmenge T der Eckenmengeeines Graphen G sei G(T) der yon T aufgespannte Untergraph yon G. 18quot;
    • 266 W. MADER: Zu (B) : ~ bezeichne den Grad in G'(N(a)). Nehmen wir an, es sei ffir eine Ecke b ~ N(a) der Grad v(b) < n. Dann gilt ffir den Graphen Gquot;, der sich aus G' durch Zusammenzug der Kante {a,b} ergibt: k(Gquot;) = k(G') - N (a) + (N (a) - 1 - ~(b)) >-_k(G') - n > ne(Gquot;) . Dies widerspricht der Bestimmung yon G'. Fiir den Graphen L=G'(N(a)) gilt somit nach (B): k(L)>(1/2)e(L).n. Nach Voraussetzung folgt also L~-S(h(n)) und somit ersichtlich G~-G' ~-S(h(n)+ 1). Damit ist Lemma 1 bewiesen. Ein endlicher Graph G mit mindestens e(G) Kanten ist homomorph dem S(3~. Durch Induktion ergibt sich also Satz 1. Auf ~ihnliche Weise ergibt sich nun Satz 2. Jeder endliche Graph G mit k(G)> 2(quot;21)-1. ( n - 1 ) . e(G) enthdlt einen U(S(n)) als Teilgraph. zeigen zun~ichst Voraussetz . sseim ( )u ,m,e oe o O liche a , mit der Eigenschaft: Jeder endliche Graph G mit mindestens 1/2. f(n, m)quot; e(G) Kanten enth?ilt einen U(G(n, m)) als Teilgraph. Behauptung: Jeder endliche Graph G rnit k(G) > f(n, m)quot; e(G) emhiilt einen ~(G(n, m + 1)). G sei also ein endlicher Graph, der die Bedingung k(G)~ f(n, m)'e(G) erftillt. Man kann G offensichtlich als zusammenh~ingend voraussetzen. FOr eine nicht leere Eckenmenge T ~ E(G)4 bezeichne G/T denjenigen Graphen, der die Ecken a ~ E(G) - T und die Ecke T hat, wobei zwei Ecken aus E(G) - T in G/T genau dann durch eine Kante verbunden sind, wenn sie in G durch eine Kante verbunden sind, und T genau mit allen denjenigen a e E ( G ) - T in G/T verbunden ist, mit welchen wenigstens ein t e T in G durch eine Kante verbunden ist. Z sei die Menge aller T~_E(G), T . 0 , fiJr welche gilt: G(T) zusammen- h~ingend und G/T erfiille die Bedingung k(G/T)~ f(n, m)e(G/T). (Alle ein- elementigen Teilmengen von E(G) gehfren z.B. zu Z.) T' sei ein maximales (beziiglich ~) Element von Z. N(T') bezeichne die Menge aller mit T' in G/T' durch Kanten verbundenen Ecken. Da G zusammenh~ingend und T' maximal in Z ist, sieht man genauso wie beim Beweis yon Lemma t, dab jede Ecke des Graphen (G/T')(N(T')) den Grad >=f(n, m) hat. Da (G/T')(N(T'))= G(N(T')) nach Definition von G/T' gilt, enth~ilt also G(N(T')) nach Voraussetzung einen U(G(n, m)). Je zwei beliebige Ecken a und b aus N(T') kann man aber durch einen Weg verbinden, der ganz in G(T'u {a, b}) vedauft. Also ergibt sich die Behauptung von Lemma 2. Da ein Graph G mit k(G)> ( n - 1)e(G) einen G(n, n - 1) enth~ilt, folgt = 2 leicht durch Induktion Satz 2. 4 E(G) bezeichne die Eckenrnenge des Graphen G.
    • Homomorphieeigenschaften yon Graphen 267 Nach Satz 1 existiert also eine (minimale) zahlentheoretische Funktion 9(n) (bzw. z(n)), fiir welche gilt: Jeder endliche 5 Graph, der in jeder Ecke einen Grad > 9(n) hat (bzw. z(n)-fach zusammenh~ingend ist), ist homomorph dem S(n). Offensichtlich gilt : z(n) < 9(n). Ffir 9 gilt, wie leicht zu sehen ist, 9(n + 1)> o(n). (Analog fiir z und die entsprechenden (minimalen) Funktionen fiir die Unterteilung.) Da ja 0(5) > 5 ist, folgt also g(n) > n ~ r n > 5. Aus der Existenz der Funktion 9(n) folgt auch die Existenz der (in der Einleitung erw~ihnten) Funktion c(n), und es gilt die Absch~itzung : (1) c(n) <=a(n) far n>=5. G sei ein 9(n)-chromatischer Graph. Nach [2] ist G >-S(9(n)) oder G >-G', wobei jede Ecke des endlichen Graphen G' den Grad >9(n) hat. Da o(n)> n fiir n > 5 ist, folgt also in jedem Fall G~S(n), also c(n)< a(n). (Da joder k- chromatische Graph einen k-chromatischen kritischen (also endlichen) Teil- graph enthalt, welcher ja in jeder Ecke einen Grad > k - 1 hat, folgt eine ~ihnliche Abschatzung fiir die ,,Unterteilungsfunktionenquot;.) F/Jr nattirliche Zahlen n > 1 sei eine Funktion d(n) definiert durch: d(n) = Inf{tl t reelle Zahl und jeder Graph G mit k(G) > t. e(G) ist homomorph dem S(n)}. Nach Satz 1 ist d(n) endlich ftir alle n; es ist d(2) = 0 und fiir n > 2 ersichtlich d(n) > O. Ffir n > 3 gilt auch noch : (2) G endlich mit k( G) > d(n) . e( G)--* G ~ S(n) . Betrachten wir einen Graphen G mit k(G)> d(n).e(G). Falls k(G)> d(n) e(G) folgt nach Definition von d(n) die Behauptung. Wir k6nnen also an- nehmen, dab gilt: k(G) = d(n) . e(G). G1, G2 seien zwei eckenfremde Graphen isomorph zu G ; av sei eine beliebige Ecke aus Gv (v= 1, 2). G' entstehe aus G1 und G2 durch Identifizieren der Ecken al und a 2. Dann gilt : k(G')= 2k(G) und e(G')= 2 e ( G ) - 1 ; also k(G') 2k(G) k(G) - - = > - - = d(n). e(G') 2 e(G) - 1 e(G) Daraus folgt somit G'~-S(n), also auch G ~ S(n). Die Funktion g(n) l~iBt sich durch d(n) nach oben und unten abschiitzen : (3) d(n) + 1 <=g(n) < {2quot; d(n)} far n_~ 3 6 Da fiir einen Graphen G, der in jeder Ecke den Grad __> d(n) hat, k(G) 2- > e(G). d(n) gilt, folgt g(n) ~ {2 d(n)}. 5 Ein unendlicher Graph, der in jeder Ecke den Grad ~ m hat (m beliebig), braucht nicht einmal dem S(3) homomorph zu sein, da es ja B~iume mit dieser Eigenschaft gibt. Fiir eine reell¢ Zahl a bezeichne {a} die kleinste ganze Zahl ;> a.
    • 268 W. MADER: Homomorphieeigenschaften yon Graphen Betrachten wir andererseits einen endlichen Graphen G, welcher der Un- gleichung k(G)-> (#(n)-1) e(G) gentigt. Es existiert ein zu G homomorpher Graph G', der nach Aussage (A) aus dem Beweis von Lemma 1 in jeder Ecke den Grad ~g(n) hat; also d(n)<#(n)-1. Erstaunlicherweise gilt auch fiir die Funktion d(n): (4) d(n + 1) =>d(n) + 1 7 Nach Definition von d(n) existiert zu jedem vorgegebenen e > 0 ein endlicher Graph G mit k(G)>__(d(n)-e)e(G), welcher nicht homomorph dem S(n) ist. G1..... G,~ seien paarweise eckenfremde Graphen isomorph zu G. Eine be- liebige Ecke a ¢ U E(GO verbinde man mit jeder Ecke aus jedem der Graphen V=I G~; tier so entstehende Graph sei G(m). G(m)~S(n+ 1) und es ist k(G(m)) = mk(G) + me(G) und e(G(m)) = me(G) + 1. Also ergibt sich k(G(m)) ink(G) me(G) e(G(m)) me(G)+ 1 me(G)+ 1 quot; Fiir m ~ oo konvergiert der 1. Summand gegen e(G) = d(n)- e und der k(G) > 2. Summand gegen 1. Daraus ergibt sich die Behauptung. Somit folgt nach Satz 1 und (4): n - 2 < d ( n ) < 2 quot;-3 . Literatur 1. D1RAC, G. A.: Homomorphism theorems for graphs. Math. Ann. t53, 69--80 (1964). 2. - - On the structure of 5- and 6-chromatic abstract graphs. J. Reine Angew. Math. 214/2t5, 43--52 (1964). 3. JUN~, H. A. : Anwendung einer Methode von K. Wagner bei Fiirbungsproblemen fiir Graphen. Math. Ann. t61, 325--326 (1965). 4. WAONER, K.: Beweis einer Abschw~ichung der Hadwiger-Vermutung. Math. Ann. t53, 139--t41 (t964). W. MADER Mathematisches Institut der Universitiit 5 K61n, Weyertal 86 (Eingegangen am 2. Juni 1966) 7 Der ,,Durchschnittsgradquot; wiichst also mindestens um 2.