Números complexos

151 views
103 views

Published on

Unidade 6 do temario de Matemáticas I de 1º Bacharelato

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
151
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
2
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Números complexos

  1. 1. UNIDADE 6: NÚMEROS COMPLEXOS
  2. 2. Conxuntos numéricos ℕ  ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
  3. 3. Conxuntos numéricos ℕ  ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Problema: Non todas as ecuacións teñen solución dentro dalgún destes conxuntos numéricos.
  4. 4. Conxuntos numéricos ℕ  ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Por exemplo : a ecuación  x2­6x+13=0.  Aplicando a fórmula,  obtemos:  x=3± √ −16
  5. 5. Conxuntos numéricos Faise  necesario  pois  a  ampliación  do  conxunto  dos  números  reais,  aceptando,  dalgún  xeito,  as  raíces  cadradas  dos  números negativos.
  6. 6. Conxuntos numéricos O cálculo de raíces de negativos redúcese  a “darlle sentido” á  √ −1
  7. 7. Conxuntos numéricos O cálculo de raíces de negativos redúcese  a “darlle sentido” á √ −1 xa que, por exemplo,  √ −16=√ 16⋅( −1 ) =4 √ −1 ou √ −5= √ 5⋅( −1 ) = √ 5 √ −1
  8. 8. Así,  √ −1 Chamaremos a         unidade imaxinaria  e representarémolo coa letra i. 
  9. 9. i= √ −1
  10. 10. Nos exemplos anteriores:  √ −16=√ 16⋅( −1 ) =4 √ −1=4 i √ −5=√ 5⋅( −1 ) = √ 5 √ −1=√ 5 i
  11. 11. i= √ −1 e polo tanto 2 i= 3 i= 4 i=
  12. 12. Chamamos  número  complexo  a  unha  expresión da forma                         a + bi           onde a e b son números reais. 
  13. 13. Forma binómica Esta  forma  de  escribir  un  complexo  denomínase  forma  binómica  porque  ten  dúas compoñentes: a é a parte real do número complexo, e b é a parte imaxinaria. 
  14. 14. Dous números complexos son iguais só se  teñen a mesma parte real e a mesma parte  imaxinaria. 
  15. 15. Conxunto dos números complexos Ao  conxunto  dos  números  complexos  desígnámolo pola letra                                  ℂ 
  16. 16. Conxunto dos números complexos ℂ= { a+ bi/a , b∈ℝ }
  17. 17. Máis definicións ● ● Chamamos  números  imaxinarios  a  aqueles    números  complexos  que  teñen  compoñente imaxinaria non nula.  Así,  un  número  complexo  ou  é  real  ou  é  imaxinario.        
  18. 18. Máis definicións ● ● Chamamos  números  imaxinarios  puros  a aqueles imaxinarios que teñen parte real  nula.  Por exemplo:
  19. 19. Máis definicións ● ● Chamamos  números  imaxinarios  puros  a aqueles imaxinarios que teñen parte real  nula.  Por exemplo: 2 5i ,−3 i , i , √ 3 i, π i 3
  20. 20. Máis definicións ● Os  números  complexos  a+bi  e  –a–bi  chámanse …............ 
  21. 21. Máis definicións ● Os  números  complexos  a+bi  e  –a–bi  chámanse opostos. 
  22. 22. Máis definicións Os números complexos z=a+ b i e ̄ =a−bi z chámanse …............
  23. 23. Máis definicións Os números complexos z=a+ b i e ̄ =a−bi z chámanse conxugados.
  24. 24. Exercicio 2 Obtén as solucións das seguintes ecuacións e represéntaas: a) x2+4=0 b) 3x2+27=0 2+6x+10=0 c) x
  25. 25. Exercicio 4 Sabemos que i2=–1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21,  i22,  e  dá  despois  un  criterio  para  calcular  o  valor de calquera potencia de i de expoñente  natural.
  26. 26. Representación gráfica  dos números complexos ● Para representar os números complexos temos que saír da recta real e “encher” o plano: o plano complexo.
  27. 27. Representación gráfica  dos números complexos ● Os números complexos represéntanse nuns eixos cartesianos.
  28. 28. Representación gráfica  dos números complexos ● ● Os números complexos represéntanse nuns eixos cartesianos. O eixo OX chámase eixo  real e o OY eixo imaxinario.
  29. 29. Representación gráfica  dos números complexos ● ● ● Os números complexos represéntanse nuns eixos cartesianos. O eixo OX chámase eixo  real e o OY eixo imaxinario. Un número complexo a+bi represéntase mediante o punto (a,b), ao que chamaremos o seu afixo, ou mediante un vector de orixe (0,0) e extremo (a,b).
  30. 30. Representación gráfica  dos números complexos
  31. 31. Representación gráfica  dos números complexos ● Os  afixos  dos  números  reais  sitúanse  sobre  o  eixo  real  e  os  dos  imaxinarios  puros sobre o eixo imaxinario.
  32. 32. Exercicio 1 Representa  graficamente  os  seguintes  números  complexos  e  di  cales  son  reais,  cales  imaxinarios  e  destes,  cales  son  imaxinarios puros: 1 5 + i 5–3i 6  –1–i 2 4    –5i
  33. 33. Operacións con  números complexos O  resultado  de  sumar,  restar,  multiplicar  ou  dividir  dous  números  complexos  é  outro  número complexo que se obtén do seguinte  xeito: Suma: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i Resta: (a+bi) – (c+di) = (a–c) + (b–d)i
  34. 34. Operacións con  números complexos ● Produto: (a+bi)∙(c+di)=(ac–bd) + (ad+bc)i
  35. 35. Operacións con  números complexos ● Produto: (a+bi)∙(c+di)=(ac–bd) + (ad+bc)i O  produto  dun  número  complexo  polo  seu  conxugado é sempre un número real: 2–(bi)2=a2+b2          (a+bi)∙(a–bi)=a
  36. 36. Operacións con  números complexos ● División:  para  dividir  dous  complexos,  multiplicamos  o  numerador  polo  conxugado do denominador:
  37. 37. Operacións con  números complexos ● División:  para  dividir  dous  complexos,  multiplicamos  o  numerador  polo  conxugado do denominador: a+ bi ( a+ bi ) · ( c−di ) ac+ bd bc−ad = = 2 2+ 2 2i c+ di ( c+ di ) · ( c−di ) c + d c +d
  38. 38. Propiedades das operacións  con números complexos ● ● ● A suma de complexos ten as propiedades  asociativa e conmutativa.  Ten ademais un elemento neutro, o 0.  Todos  os  números  complexos  teñen  oposto.
  39. 39. Propiedades das operacións  con números complexos ● ● ● O  produto  de  complexos  ten  tamén  as  propiedades asociativa e conmutativa. Ten ademais un elemento neutro, o 1.  Todos  os  números  complexos,  agás  o  0,  teñen  inverso  (o  inverso  de  a+bi  é  1/ (a+bi)).
  40. 40. Propiedades das operacións  con números complexos ● Os  números  complexos  teñen  a  propiedade  distributiva  do  produto  respecto da suma.
  41. 41. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR
  42. 42. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● O  módulo  dun  número  complexo  z  é  a  lonxitude  do  vector  mediante  o  que  se  representa. Designámolo por |z|.
  43. 43. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● O  argumento  dun  complexo  z  distinto  de  0  é  o  ángulo  que  forma  o  vector  co  eixo  real. Designámolo por arg(z).
  44. 44. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR
  45. 45. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Se |z|=r e arg(z)=, o número complexo z  pode designarse así:                            z =r.  Esta  é  a  forma  polar  (ou  módulo­ argumental)  de  escribir  un  número  complexo.
  46. 46. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR
  47. 47. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Un  número  complexo  admite  infinitos  argumentos:                  r =r =r =...,  +360 +720 pero  normalmente  escolleremos  como  argumento un ángulo entre 0° e 360°.
  48. 48. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Paso de forma binómica a polar: Dado o complexo z=a+bi, podemos pasalo a  forma polar r :  r=∣z∣= √ a + b 2 2 (teorema de Pitágoras) b tan α= a
  49. 49. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR Exercicio  pasa a forma polar os complexos:  : z 1=−2+ 2 √ 3 i z 2 =i z 3=−2
  50. 50. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Paso de forma polar a binómica: Dado  o  complexo  r   ,  podemos  pasalo  a  forma binómica z=a+bi :  a=r⋅cos α b=r⋅sen α
  51. 51. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Paso de forma polar a binómica: Dado o complexo r z =r∙cos +(r∙sen) i = r∙(cos + i sen).  A esta expresión tamén se lle chama forma  trigonométrica
  52. 52. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR Exercicio  pasa a forma binómica:  : z 1=5225˚ z 2 =40 ˚ z3 =3270 ˚
  53. 53. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Produto:  o  produto  de  dous  números  complexos  é  outro  número  complexo  que  ten  como  módulo  o  produto  dos  módulos  dos  factores  e  como  argumento  a  suma  dos  argumentos dos factores
  54. 54. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Produto:   r ∙ r' = (r ∙ r') +  
  55. 55. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Produto: demostrémolo: r α · r 'β=r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cos β+ i senβ )  
  56. 56. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Produto: demostrémolo: r α · r 'β=r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cosβ+ i senβ ) = r · r ' [ ( cos α cosβ−sen α senβ ) + i ( sen α cosβ+ cos α senβ ) ]  
  57. 57. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Produto: demostrémolo: r α · r 'β =r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cos β+ i senβ ) = r · r ' [ ( cos α cosβ−sen α senβ ) + i ( sen α cosβ+ cos α senβ ) ] =   r · r ' [ cos ( α+ β ) + i sen ( α+ β ) ]
  58. 58. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Produto: demostrémolo: r α · r 'β=r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cos β+ i senβ ) = r · r ' [ ( cos α cosβ−senα senβ ) + i ( sen α cos β+ cos α senβ ) ] =   r · r ' [ cos ( α+ β ) + i sen ( α+ β ) ] = ( r · r ' ) α+ β
  59. 59. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Potencia:  ao  elevar  un  complexo  r  a  un  expoñente natural n, o complexo resultante ten  módulo r n e argumento n.  
  60. 60. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Potencia: demostrémolo: n ( r n) n α ( r α ) =r α · r α · ... · r α=( r · r · ... · r ) α+ α+ ...+ α=
  61. 61. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Cociente: para dividir dous complexos,  divídense os seus módulos e réstanse os seus  argumentos.
  62. 62. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Cociente: para dividir dous complexos,  divídense os seus módulos e réstanse os seus  argumentos. ( ) rα r = r 'β r ' , pois α−β ( ) r r' ( ) r · r 'β= · r ' r' α−β =r α α−β+ β
  63. 63. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR Exercicio Dados z1=460˚ e z2=3210˚, calcula:  :   z1∙z2  5 z1   4 z2   z2/z1
  64. 64. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Fórmula de Moivre.  Aplicando as propiedades  da potencia dun número complexo, obtense a  seguinte fórmula:   n ( cos α+ i sen α ) =cos ( n α ) + i sen ( n α )
  65. 65. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR ● Operacións con complexos en forma polar Fórmula de Moivre.    Usaremos esta fórmula para calcular cos(n) e  sen(n) en función de cos e sen.
  66. 66. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS  EN FORMA POLAR Cun exemplo: calcula cos2 e sen2 mediante  a fórmula de Moivre.   
  67. 67. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Un número complexo R ten n raíces n­ésimas. 
  68. 68. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Un número complexo R ten n raíces n­ésimas. ● Todas elas teñen o mesmo módulo. 
  69. 69. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Un número complexo R ten n raíces n­ésimas. ● Todas elas teñen o mesmo módulo.  ● Os seus argumentos son:  β β 360˚ β 360˚ β 360 ˚ α 1= , α 2 = + , α3 = + · 2,... , α n= + · ( n−1 ) n n n n n n n
  70. 70. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Para n>2, os afixos destas n raíces son os  vértices dun n­ágono regular con centro na  orixe de coordenadas. 
  71. 71. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Para n>2, os afixos destas n raíces son os  vértices dun n­ágono regular con centro na  orixe de coordenadas. 
  72. 72. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Para n>2, os afixos destas n raíces son os  vértices dun n­ágono regular con centro na  orixe de coordenadas. 
  73. 73. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas. 
  74. 74. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.  8i = 890˚   
  75. 75. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.  8i = 890˚  ● 3 √ 8=2 As raíces cúbicas van ter módulo 
  76. 76. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.  8i = 890˚  ● ● 3 √ 8=2 As raíces cúbicas van ter módulo  Os argumentos son:  90 ˚ α1 = =30˚ 3
  77. 77. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.  8i = 890˚  ● ● 3 √ 8=2 As raíces cúbicas van ter módulo  Os argumentos son:  90˚ 360˚ 90 ˚ α 2= + =150˚ α1 = =30˚ 3 3 3
  78. 78. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.  8i = 890˚  ● ● 3 √ 8=2 As raíces cúbicas van ter módulo  Os argumentos son:  90˚ 360˚ 90 ˚ α 2= + =150˚ α1 = =30˚ 3 3 3 90 ˚ α 3= + 120 ˚⋅2=270˚ 3
  79. 79. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.  Polo tanto, as tres raíces cúbicas de 8i son:  230˚, 2150˚, 2270˚. 
  80. 80. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio resolto   . Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.  Graficamente,
  81. 81. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   .   n n √ Rβ=r α ⇒ Rβ=( r α ) ⇒ Rβ=( r n )n α ⇒ { n n R=r ⇒ r= √ R β β=n α⇒ α= n
  82. 82. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Aínda que o argumento dun complexo pode ser  tanto  , como  +360˚ ou  +720 ,...,  os  resultados de dividir estes  ángulos entre n non  son iguais. ˚  
  83. 83. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Aínda que o argumento dun complexo pode ser  tanto  , como  +360˚ ou  +720 ,...,  os  resultados de dividir estes  ángulos entre n non  son iguais. ˚ Imos  estudar  cantos  resultados  distintos  podemos ter:
  84. 84. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Imos  estudar  cantos  resultados  distintos  podemos ter: β+ 360˚⋅k β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α= , k∈ℤ n
  85. 85. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Imos  estudar  cantos  resultados  distintos  podemos ter: β+ 360˚⋅k β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α= , k∈ℤ n β Se k=0 ⇒ α1= n
  86. 86. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Imos  estudar  cantos  resultados  distintos  podemos ter: β+ 360˚⋅k β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α= , k∈ℤ n β 360 ˚ Se k=1 ⇒ α 2= + n n
  87. 87. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Imos  estudar  cantos  resultados  distintos  podemos ter: β+ 360˚⋅k β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α= , k∈ℤ n β 360˚ Se k=2 ⇒ α3 = + ·2 n n
  88. 88. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Imos  estudar  cantos  resultados  distintos  podemos ter: β+ 360˚⋅k β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α= , k∈ℤ n β 360 ˚ Se k=n−1 ⇒ αn= + · ( n−1 ) n n
  89. 89. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Demostración   . Imos  estudar  cantos  resultados  distintos  podemos ter: β+ 360˚⋅k β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α= , k∈ℤ n β+ 360˚ · n β Se k=n ⇒ = + 360˚=α1 n n
  90. 90. 6.3. RADICACIÓN DE  COMPLEXOS Exercicio   . Calcula  as  raíces  cuartas  de  z  e  represéntaas  graficamente: 1 √3 z=− − i 2 2

×