Handout listrik-magnet-ii

5,989 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,989
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
16
Actions
Shares
0
Downloads
378
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Handout listrik-magnet-ii

  1. 1. HANDOUT KULIAH LISTRIK MAGNET II Oleh: Dr. rer. nat. Ayi Bahtiar JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN BANDUNG 2007
  2. 2. MATERI KULIAH1. MEDAN MAGNET ARUS MANTAP ♦ Gaya Lorentz ♦ Momen dipol magnet ♦ Hukum Biot Savart ♦ Medan magnet dalam kawat lurus dan lengkung2. HUKUM AMPERE ♦ Hukum Ampere ♦ Potensial vektor magnet ♦ Medan magnet dari sirkuit jauh ♦ Potensial skalar magnet ♦ Fluks magnetik
  3. 3. 3. BAHAN MAGNETIK ♦ Sifat magnet bahan dengan model arus cincin mikroskopik ♦ Medan polarisasi magnet/magnetisasi ♦ Intensitas medan magnet ♦ Suseptibilitas magnet dan permeabilitas relatif bahan magnet ♦ Diamagnetik, paramagnetik, feromagnetik dan ferit ♦ Syarat batas dua bahan magnetik yang berbeda ♦ Hukum Ampere dalam medan magnet4. INDUKSI ELEKTROMAGNETIK ♦ Hukum diferensial Faraday ♦ Induksi elektromagnetik ♦ Induktansi diri dan induktansi bolak-balik5. ENERGI MAGNET ♦ Energi magnet dari pasangan sirkuit ♦ Rapat energi dalam medan magnet ♦ Gaya dan torque pada sirkuit pejal
  4. 4. 6. PERSAMAAN MAXWELL ♦ Hukum Ampere dan persamaan kontinuitas arus listrik ♦ Persamaan Maxwell ♦ Energi elektromagnetik ♦ Persamaan gelombang elektromagnetik ♦ Syarat-syarat batas medan7. RADIASI ELEKTROMAGNETIK ♦ Medan listrik dan magnet dalam bentuk potensial vektor dan skalar ♦ Persamaan gelombang potensial vektor dan potensial skalar ♦ Vektor Poynting dalam perhitungan daya radiasi dipol dan antena setengah gelombang.
  5. 5. Pustaka1. J. R. Reitz,” Foundations of Electromagnetic Theory”, Addison- Wesley Publ., 19932. D. J. Griffith,” Introduction to Electrodynamics”, Prentice-Hall Inc., 1989.3. J. D. Jackson,” Classical Electrodynamics”, John Wiley & Sons Inc., 1991.
  6. 6. KOMPETENSI DASAR MATA KULIAH1. MEDAN MAGNET ARUS MANTAP DAN GAYA LORENTZ Standar kompetensi : □ Merumuskan gaya Lorentz dan momen dipol magnet □ Merumuskan hukum Biot Savart □ Merumuskan medan magnet dalam kawat lurus, dan lengkung □ Menghitung fluks garis gaya medan magnet dan merumuskan hukum divergensi nol.2. HUKUM AMPERE Standar kompetensi : □ Mendeskripsikan arus listrik sebagai akibat gerak muatan listrik. □ Merumuskan hukum Ampere dan aplikasinya pada perhitungan medan magnet oleh cincin arus, solenoida dan toroida.
  7. 7. 3. HUKUM FARADAY DAN ARUS INDUKSI Standar kompetensi : □ Merumuskan hukum Faraday tentang perubahan fluks magnet dan medan listrik induksi tak-konservatif □ Mendeskripsikan sistem induktor dan menghitung induktansi diri serta induktansi timbal-balik.4. BAHAN MAGNET Standar kompetensi : □ Mendefinisikan medan polarisasi magnet M, intensitas medan magnet H, serta merumuskan hukum Ampere dinyatakan dalam medan H. □ Mendeskripsikan hubungan antara M dan H □ Mendeskripsikan tetapan suseptibilias magnet dan permeabilitas relatif dari bahan magnetik. □ Mendeskripsikan perbedaan bahan magnet diamagnetik, paramagnetik, feromagnetik, ferit. □ Merumuskan rapat enerlis listrik statik □ Menurunkan syarat batas B dan H pada batas dua bahan magnet yang berbeda
  8. 8. 5. PERSAMAAN MAXWELL Standar kompetensi : □ Memahami ketidaktaatan pada asas hukum Ampere dengan persamaan kontinuitas arus listrik atau hukum kekekalan muatan listrik. □ Mendefinisikan arus pergeseran Maxwell dan merumuskan perluasan hukum Ampere. □ Merangkumkan keempat hukum dasar listrik-magnet : Gauss untuk D, divergensi nol untuk B, hukum Ampere yang diperluas dan hukum Faraday (persamaan Maxwell). □ Merumuskan energi elektromagnetik □ Menurunkan persamaan gelombang elektromagnetik dari persamaan Maxwell. □ Menurunkan syarat-syarat batas medan B dan E pada batas/interface dua media berbeda.
  9. 9. 6. RADIASI ELEKTROMAGNETIK Standar kompetensi : □ Merumuskan medan listrik dan magnet dalam potensial vektor A dan skalar φ □ Merumuskan sifat simetri gauge untuk menerapkan syarat (gauge) Lorentz. □ Merumuskan persamaan gelombang potensial φ dan A □ Mendeskripsikan medan potensial retardasi dari φ dan A □ Mendeskripsikan kasus radiasi dipol dan vektor Poynting serta menghitung daya radiasi untuk kasus radiasi dipol dan radiasi antena setengah-gelombang.
  10. 10. BAB IMEDAN LISTRIK ARUS MANTAP (STEADY CURRENT)
  11. 11. MEDAN LISTRIK ARUS MANTAP (STEADY CURRENT)Persamaan kontinuitas: r r ∂ρ r ∇•J + =0 dimana: J = rapat arus ∂t ρ = rapat muatanDisebut arus mantap, jika rapat muatan tidak berubah terhadap waktu, maka: ∂ρ r r = 0 ⇒ ∇•J = 0 ∂t
  12. 12. A. INDUKSI MAGNETPandang dua buah muatan titik q dan q1, dimana q1 terletak ti titik O(titik asal koordinat) dan q terletak pada posisi r dari titik O. y Jika muatan-muatan q dan q1 diam, q maka gaya pada muatan q yang diberikan q1 diungkapkan oleh gaya r Coulomb: r r r 1 qq1 r O Fe = x 4πε0 r 2 r q1 r r r = vektor satuan searah r r z r r =1 r
  13. 13. rSekarang pandang bahwa muatan q bergerak dengan kecepatan v rdan q1 dengan kecepatan v1, maka muatan q akan memperoleh gayatambahan: r r µ0 qq1  r  r r  µ0 Fm = 2  v x  v1 x   = 10−7 N.s2 / C2 4π r   r  4π = gaya magnetDalam listrik statik, medan Induksi magnet pada muatan qelektrostatik didefinisikan : yang diakibatkan q1 di titik O: r r F r µ0 q1  r r  r E= B= v x  2  1 q 4π r  rJadi medan elektrostatik yangditimbulkan oleh muatan q1: Gaya magnet yang bekerja di q: ( ) r r r r r 1 q1 r Fm = q v x B E= 4πε0 r 2 r
  14. 14. Maka gaya total pada muatan q adalah: r r r F = Fe + Fm ( ) r r r = qE + q v x B [ ( r r r = q E+ vxB )] ⇒ gaya LorentzImplikasi gaya Lorentz :1. Gaya Lorentz F selalu tegak lurus dengan kecepatan v.2. Jika v . Fm = 0 untuk setiap medan B sembarang, maka medan magnet tidakbekerja pada partikel bermuatan. 1Definisi : ε0µ0 = 2 , maka : c r r r r 1 qq1 v  v1 r  Fm = 2  x  4 πε0 r c  c r  c = 2.9979 x 108 m / s
  15. 15. Medan magnet yang dihasilkan oleh partikel q1 yang bergerak secaraseragam adalah : r r v1 E B= x c cGaya magnet bergantung tidak hanya pada kecepatan relatif dari dua muatan,tetapi juga pada sistem koordinat.B. GAYA PADA KONDUKTOR BERARUS Pandang suatu kawat konduktor lurus yang diberi arus I. Di dalam kawat terdiri dari muatan-muaatan q yang bergerak dengan kecepatan v. r r q v I dl r Gaya pada muatan q yang bergerak dengan kecepatan v dalam medan r magnet dengan induksi magnet B adalah: ( ) r r r Fm = q v x B
  16. 16. Misalkan di dalam kawat terdiri dari N jumlah pembawa muatan q per-satuan volume, A adalah luas penampang kawat dan setiap pembawa rmuatan q bergerak dengan kecepatan yang sama v maka muatan rdalam elemen panjang d l : r dq = N A d l q rMaka gaya pada elemen panjang d l : ( ) ( ) r r r r r r dFm = dq v x B = N A d l q v x B ( ) r r r r r r d l // v ⇒ dFm = N A q v d l x B 123 4 4 I = arus ( ) r r r dFm = I d l x BGaya pada sirkuit tertutup: r r r ∫ F = I dl x B C
  17. 17. Jika medan magnet B seragam (tidak bergantung pada posisi), maka : r  r r   ∫ F = I d l × B = 0 C   C. TORQUETorque adalah momen gaya yang didefinisikan sebagai : ( ) r r r r r r dτ = r × dF = I r × d l × BUntuk sirkuit/lintasan tertutup : ∫ ( ) r r r r τ = I r × dl × B CJika medan magnet B uniform, maka : r r r r r d l × B = i (dyBz − dzBy ) + j(dzBx − dxBz ) + k (dxBy − dyBx )
  18. 18. [ ( r r× r r dl × B )] x = y dxBy − y dyBx − z dzBx + z dxBz   [ ( r r× r r dl × B )] y  = z dyBz − z dzBy − x dxBy + x dyBx  .....(a ) [ ( r r× r r dl × B )]  z = x dzBx − x dxBz − y dyBz + y dzBy  Karena B diasumsikan uniform (tidak bergantung posisi r), maka komponen Bbisa dikeluarkan dari integral.Untuk menghitung torque, maka kita definisikan dulu integral ruang : ∫ ξ dξ dan ∫ ξ dηDimana ξ adalah sistem koordinat dan η juga sistem koordinat lain yang berbedadengan ξ. ∫ ξdξ adalah trivial karena menggambarkan integral dari nilai terendah ξ1 dan nilai tertinggi ξ2 dari ξ d ξ ditambah integral dari ξ2 sampai ξ1 dari ξd ξ, sehingga akan mengeliminasi enam komponen dari persamaan (a) diatas.
  19. 19. ∫ ξdη Melibatkan dua variabel ξ dan η sehingga tidak mengakibatkan perbedaan apakah integral diambil melalui lintasan riil C atau proyeksi lintasan tsb pada bidang ξ-η (lihat gambar dibawah). η ζ b ξ = ξ2 (η) C ξ = ξ1 (η) η aξ Proyeksi lintasan C pada ξ bidang ξ-η Evaluasi integral ∫ ξdη
  20. 20. b a ∫ ξ dη = ∫ ξ (η)dη + ∫ ξ (η)dη 1 2 a bPersamaan diatas menghasilkan suatu luas daerah yang dilingkupi proyeksikurva/lintasan (positif). Jika ξ dan η adalah urutan siklus dalam sistem koordinattangan-kanan maka arah dimana jika kontur adalah tertutup akan memberikanarah-ζ. ∫ ξ dη = Aζ dengan ξ,η, dan ζ adalah siklik permutasi x,y,z.  ∫ [ ( )] r r x = I (A y Bz − A z By ) r τx = I r × d l × B C  r = I ∫ [r × (d l × B)] r r r  r r τy y = I (A z Bx − A x Bz ) τ = IA × B C  ∫[ ( )] r r  z = I (A x By − A y Bx ) r τz = I r × d l × B C  Dimana vektor A merupakan vektor yang komponen-komponennya adalah luasyang dilingkupi oleh proyeksi kurva C pada bidang-bidang yz, zx, dan xy.
  21. 21. Kuantitas IA merupakan momen dipol magnet sirkuit : r r m = IA   r 1 r r 1 r r r  m = I r × dl ∫r × dl = A  2 C ∫ momen dipol magnetik 2C Untuk kawat yang berarus, maka : r r I d l → J dv r 1r r dm = r × J dv Sangat berguna untuk membahas sifat 2 magnetik dari bahan.
  22. 22. HUKUM BIOT-SAVART
  23. 23. HUKUM BIOT SAVARTMenggambarkan gaya interaksi antara dua sirkuit konduktor berarus. r r r d l2 x (r1 − r2 ) r r rI1 1 d l1 x (r2 − r1 ) 2 I2 r r r dl2 r2 − r1 r dl1 r r r2 r1 O
  24. 24. Hukum Ampere:Gaya yang bekerja pada sirkuit-1 akibat oleh sirkuit-2: r µ0 r r [ r r d l1 x d l2 x ( r1 − r2 ) ] F1 = 4π I1I 2 ∫∫ C r r 3 r1 − r2 1 C2Gaya yang bekerja pada sirkuit-1 akibat oleh sirkuit-2: r µ r [ r r r d l2 x d l1 x ( r2 − r1 )] µ0 = 10−7 N / A 2 F2 = 0 I1I 2 4π C ∫∫ r r3 r2 − r1 4π 1 C2Gaya-gaya diatas merupakan gaya aksi-reaksi, yaitu: r r Buktikan !! F1 = − F2 PR
  25. 25. Bukti: ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r 1. A x B x C = B A • C − C A • B r r [ r r ] [ r r r r ] [( r ) r r r ] d l2 x d l1 x ( r2 − r1 ) = d l1 ( r2 − r1 ) • d l2 − d l1 • d l2 (r2 − r1 ) r r r r r r µ0 (r2 − r1 ) • d l2 d l − I I r µ0 (r2 − r1 ) dr • dr ( ) F2 = 4π I1I 2∫∫ r r3 r2 − r1 1 4π 1 2 ∫∫ r r 3 l1 l2 C1 C2 C1 C2 r2 − r1 Suku pertama: r r r (r2 − r1 ) • d l2 dr = − ∇ 1 dr dr r ∫∫ C1 C2 r r3 r2 − r1 l1 ∫∫ C1 C2 2 r r l2 l1 r2 − r1 r r 1 r ∫ ∫ = − d l1 ∇2 r r d l2 r2 − r1 C 1 C 2
  26. 26. Dalil Stokes: ∫( ) r r r r r ∫ C F • dl = S ∇ x F • n da   r (r2 − r1 ) • d l2 dr = − dr ∇ x ∇ 1  • n da = 0 r r r r  r ∫∫ r r3 r2 − r1 l1 ∫ l1  2  ∫ C2 14 2441 2 r r r −r  C1 C2 C1  4 r 2 3 r  ∇ x ∇φ=0  r r r µ0 (r2 − r1 ) dr • dr .................. (1) ( ) F2 = − 4π I1I 2 ∫∫ r r 3 l1 l2 r − r1 C 1 C2 2
  27. 27. r µ0 r [r r r d l1 x d l2 x (r1 − r2 ) ]2. F1 = 4π I1I 2 ∫∫ C1 C2 r r 3 r1 − r2 µ0 [ r r r r ] d l2 d l1 • ( r1 − r2 ) µ0 r r (r1 − r2 ) dr • dr ( ) = 4π I1I 2 ∫∫ C1 C2 r r 3 r1 − r2 − 4π I1I 2 ∫∫ r r 3 l1 l2 C1 C2 r − r2 1 1444 4443 2 =0 r r r µ (r1 − r2 ) dr • dr ............................(2) ( ) F1 = − 0 I1I 2 4π ∫∫ r r 3 l1 l2 r − r2 C1 C2 1 r r r r Karena: (r2 − r1 ) = −(r1 − r2 ) r r r r r2 − r1 = r1 − r2
  28. 28. Maka: r µ0 (r2 − r1 ) (dr r r r ) F1 = 4π I1I 2 ∫ C∫ r2 − r1 3 C r r l 1 • d l2 1 2 r r r µ (r2 − r1 ) dr • dr ( ) F2 = − 0 I1I 2 4π ∫∫ r r 3 l1 l2 r − r1 C 1 C2 2 Maka terbukti bahwa : r r F1 = − F2Bagaimana dengan induksi magnetnya? r r r r r r ∫ ∫ F = I d l x B ⇒ F1 = I1 d l1 x B1 C C1 r r r ∫ F2 = I 2 d l2 x B2 C 2
  29. 29. Maka diperoleh Hukum Biot-Savart: r r r (r1 ) = µ0 I 2 d l2rx (r1 − r2 ) r r B 4π C ∫ r1 − r2 r 3 Induksi magnet di sirkuit-1 2 r r r r r µ0 d l1 x ( r2 − r1 ) B(r2 ) = I1 ∫ r r3 Induksi magnet di sirkuit-2 4π C r2 − r1 1 rrUntuk arus yang merupakan distribusi kontinu digambarkan oleh rapat arus J ( r ) rr r r r r µ J (r2 ) x (r1 − r2 ) B(r1 ) = 0 ∫ r r 3 dv 2 4π V r1 − r2 rr r r r r µ0 J (r1 ) x (r2 − r1 ) B(r2 ) = ∫ r r 3 dv1 4π V r1 − r2
  30. 30. Dalam medan magnet bahwa kutub-kutub magnet selalu berpasangan/dipol (kutub-kutub magnet tidak berdiri sendiri, tidak monopol), makaharus berlaku: r r ∇•B = 0Bukti !! r r r r µ0 r d l2 x (r − r2 ) r1 r ∇1 • B(r1 ) = ∫ I 2 ∇1 • r r 3 4π C r1 − r2 2 ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r ⇒ ∇• Fx B = G • ∇x F − F• ∇xG r r dim ana F = d l2 r (r − r2 ) r1 r r 1 G = r r 3 = −∇1 r r r1 − r2 r1 − r2 r r r r r r ∇1 • B(r1 ) = µ0 (r1 − r2 ) ∇ x dr + µ0 I ∇ x ∇ 1 r r ∫ I 2 r r 3 1 l2 4 π C r1 − r2 1 2 3 4π C 4 4 ∫ 2 1 1 r r r1 − r2 2 =0 2 14 244 4r r 3 ∇ x ∇φ=0 r r r ∇1 • B(r1 ) = 0 ( terbukti)
  31. 31. Dengan menggunakan cara yang sama, maka dapat dibuktikan juga bahwa: r r r ∇2 • B(r2 ) = 0 Secara umum r r r ∇ • B(r ) = 0
  32. 32. APLIKASI HUKUM BIOT-SAVART
  33. 33. 1. Kawat konduktor panjang lurus Suatu kawat panjang lurus tak hingga sejajar dengan sumbu-x diberi arus I. Tentukan induksi magnet di titik P sejauh a dari kawat tersebut. Solusi: r r d l = dx i r r r r r r d l x (r2 − r1 ) = dx i x (r2 − r1 ) y P r r rr r r r r = dx r2 − r1 sin θ ki × ( r2 − r1 ) r2 − r1 a r r2 I θ x−∞ r dx +∞ r1 z
  34. 34. y P r r r2 − r1 a r r2 I θ −∞ x r dx +∞ r1 a = tan (180 − θ) = − tan θ z x cos θr r a a x = −ar2 − r1 = = sin θ sin (180 − θ) sin θ  − sin 2 θ − cos2 θ  ar r3 a3 dx = −a   2 dθ =  2 dθr2 − r1 =  sin θ  sin θ sin 3 θ Maka:Berapakah nilai: r r r a a r r dx r2 − r1 sin θk = 2 . . sin θdθk r r sin θ sin θ dx r2 − r1 sin θk r a2 = 2 dθk sin θ
  35. 35. Induksi magnet di titik P adalah: +∞ r r r r µ dx i x ( r2 − r1 ) B(a ) = 0 I ∫ 4π −∞ ( r2 − r ) 3 r r1 π 2 3 r µ0 a sin θ dθ k = I ∫ 4π 0 sin 2 θa 3 π µ0 r = ∫ I sin θ dθ k 4π 0 µ0 r π = I k (− cos θ) 0 4 πa µ0 v = Ik 2 πa
  36. 36. 2. Kawat konduktor melingkar yang berpusat di titik 0 dan berjejari R, diberi arus I z r r r P r1 = R cos θ i + R sin θ j r r r r r2 = zk r r2 − r1 r r r r r z r2 -x (r2 − r1 ) = − R cos θ i − R sin θ j + zk r r ( 2 r2 − r = R + z ) 2 1/ 2 r r r d l = − R sin θ dθ i + R cos θ dθ j θ dθ y r r r r r r r1 r d lx (r2 − r1 ) = R sin θ dθ k + Rz sin θ dθ j 2 2 dl 2 2 r r x I + R cos θ dθ k + Rz cos θ dθ iMaka induksi magnet di titik P adalah: 2π r r r r r µ d lx (r2 − r1 ) B(r2 ) = 0 I ∫ 4π 0 r2 − r 3 r r1 µ0  2π 2π 2π  R 2dθ r Rz sin θdθ r Rz cos θdθ r  = I ∫( 4π  0 R 2 + z 2 3 / 2 k+ ) ∫( R 2 + z2 ) 3/ 2 i+ ∫(R 2 + z2 ) 3/ 2 i   0 0 
  37. 37. r r µ0 R 2 I r 2π µ0 RzI r 2π B( r2 ) = kθ + i sin θ ( 4π R 2 + z 2 )3/ 2 0 ( 4π R 2 + z 2 ) 3/ 2 0 r 2π µ0 RzI − j cos θ ( 4π R + z 2 ) 2 3/ 2 0 µ0I R2 r = k Arah induksi magnet sejajar dengan sumbu-z 2 R 2 + z2 ( )3/ 2 r µ0I R2 r x B(z ) = k 2 R 2 + z2 ( ) 3/ 2 R Bila kawat terdiri dari N buah P lilitan, maka induksi magnet menjadi: z z r µ0 NI R2 r B(z ) = ky 2 R 2 + z2 ( ) 3/ 2
  38. 38. Lilitan HelmholtzDua buah kawat melingkar yang sesumbu, masing-masing terdiri dari N-buah lilitan dan diberi arus I yang searah. x 2b x Jika titik P berada di tengah-tengah kumparan (z = b), maka R R karena arusnya searah, P induksi magnet di titik P I I sama dengan nol. z zy y N-lilitan N-lilitanInduksi magnet di titik P: µ0 NIR 2   1 1   Bz (z ) =  2 +  2 (  R + z2  ) 3/ 2 [ (2b − z ) + R  2 ] 2 3/ 2 
  39. 39. µ 0 NIR 2   1   1 Bz (z ) =  2 +  2 (  R + z2  )3/ 2 [ (2b − z ) + R 2 2 3/ 2   ] Turunan pertama dari Bz terhadap z adalah: dBz µ0 NIR 2  3  2z 3 2(z − 2b )   =  − − 5/ 2  dz 2 (  2 R 2 + z2  )5/ 2 [ 2 (2b − z )2 + R 2 ]   Di z = b, turunan ini sama dengan nol. Turunan kedua dari Bz terhadap z adalah:d 2 Bz 3µ0 NIR 2   1 5 2z 2 1 5 2(z − 2b )2   =−  2 − + − 7/2  dz 2 2 (  R + z2  ) 5/ 2 ( 2 R 2 + z2 ) 7/2 [(2b − z ) + R ] 2 2 5/ 2 [ 2 (2b − z )2 + R 2 ]   Di z = b, maka: d 2 Bz 3µ 0 NIR 2  2 R 2 − 8b 2    =−  2  dz 2 z =b 2 (  R +z  ) 2 7/2  
  40. 40. d 2 Bz 3µ 0 NIR 2  2 R 2 − 8b 2    =−  2  dz 2 z =b 2 (  R +z  ) 2 7/2  Turunan ini menjadi nol, jika R2 - 4b2 = 0, maka jarak kedua kumparan adalah: 2b = RBerarti bahwa jarak antara kedua kumparan harus sama dengan jari-jarikumparan. Sehingga induksi magnet di titik P menjadi: µ0 NI 8 Bz = R 53 / 2Dalam eksperimen penentuan muatan spesifik dari elektron, diketahui bahwahubungan antara medan magnet dan arus listrik adalah: B = const. I NMaka besarnya konstanta adalah: const. = 0.72µ 0 R
  41. 41. Setup eksperimen untuk penentuan muatan spesifik elektron menggunakan lilitan Helmholtz
  42. 42. Diagram lintasan elektron dalam eksperimen penentuan muatan spesifik elektron dengan lilitan Helmholtz Lilitan Helmholtz datas Tabung gelas lintasan elektronTeganganpemercepat elektron ve Anoda Tegangan Fokus Fsentrifugal FLorentz pemfokusan elektron elektron Tegangan dbawah filamen
  43. 43. Berdasarkan kesetimbangan gaya, bahwa gaya Lorentz harus samadengan gaya putaran (sentrifugal). FLorentz = Fsentrifugal me v 2 q.v.B = r q v = m e r. BKecepatan elektron v akibat dipercepat oleh anoda menjadi : 1 E k = U = me v 2 2Dengan kombinasi kedua persamaan diatas, maka : me U r2 = 2 . 2 q B
  44. 44. Dengan menggambarkan grafik hubungan r2 dengan U/B2 , diperolehgradien b, sehingga muatan spesifik elektron menjadi : 2 q = b medimana: 45 B = const.I m 40  2me  b=  q     35 r [10 m ] 2 30 -4 25 2 20 15 20 25 30 35 40 2 7 2 U/B [10 V/T ]
  45. 45. SolenoidaSuatu silinder berjari-jari R dan panjang L, diberikan lilitan sebanyak N-lilitan dandiberi arus listrik I. Berapakah induksi magnet di titik P di dalam selenoida ? dz R α1 P α 2 R z0 L LInduksi magnet di titik P (z0) diperoleh dengan membagi panjang silinder L menjadielemen-elemen panjang dz, dimana setiap dz mengandung Ndz/L lilitan. L µ0 NI R 2 dz Bz ( z 0 ) = L 2 ∫ [(z − z) + R 2 ] 2 3/ 2 0 0
  46. 46. dz L α µ0 NI R 2 dzR z α1 α2 Bz ( z 0 ) = L 2 ∫ [(z − z) + R 2 ] 2 3/ 2 z0 P 0 0 L Maka induksi magnet di titik P: µ NI R 2 α2 (R / sin α) dα 2R = z 0 tan α1 Bz ( z 0 ) = − 0 L 2 ∫ (R / sin α)3R = (L − z 0 ) tan α2 π −α1 π− α1z − z 0 = R cot α µ0 NI Rdz = − 2 dα = 2L ∫ sin α dα α2 sin α µ0 NI [− cos(π − α1 ) + cos α2 ][(z ] 3 2 3/ 2  R  = 0 − z) + R 2 =  2L  sin α  µ NI  cos α1 + cos α2  = 0   L  2 
  47. 47. Jika panjang solenoid lebih besar dibandingkan dengan jari-jari dan z0 tidakmendekati nol atau L, maka sudut α1 dan α2 kesil dan bisa didekati dengan : R R α1 ≅ ; α2 ≅ z0 L − z0Sehingga : µ0 NI  R 2 R2  Bz (z 0 ) ≅ 1 − 2 −  L  4z 0 4(L − z 0 )2 Jika radius solenoida kecil, maka medan magnet menjadi : µ 0 NI Bz (z 0 ) ≅ L
  48. 48. BAB IIHUKUM SIRKUIT AMPERE
  49. 49. r rUntuk arus mantap: ∇ • J = 0r r∇xB mempunyai nilai tertentu yang dapat dinyatakan sebagai: r r r rr ∇xB( r ) = µ0 J (r ) Dalam Hukum Biot-Savart, induksi magnet di sirkuit-1 akibat pengaruh sirkuit-2 adalah: r r r r r µ d l2 x (r1 − r2 ) B( r1 ) = 0 I 2 4π c ∫ r r 3 r1 − r2 2 r rDengan mengubah I 2d l2 = J (r2 ).dV2 maka: rr r r r r µ J (r2 )x (r1 − r2 ) B( r1 ) = 0 4π V ∫ r r 3 dV2 r1 − r2 2
  50. 50. Nilai Curl dari B, diperoleh: r r r r µ r  J ( r2 ) x (r − r2 ) r r1 r ∇1x B(r1 ) = 0 ∇1x ∫ r r 3  dV2 4π V  r1 − r  2   Ingat : ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r r ∇1x ( FxG ) = G • ∇1 F + ∇1 • G F − F • ∇1 G − ∇1 • F G r rr F = J (r2 ) r (r − r2 ) r1 r r 1 G = r r 3 = −∇1 r r r1 − r r1 − r2 maka : r r r  r r r r ( ) 1 r r r2 1  − ∇1 r r • ∇1  J (r2 ) = − J (r2 ) ∇1 r r G • ∇1 F =  r1 − r2  r1 − r2   ( ) ( ) r r r r rr r 1 r r r2 1 ∇1 • F G = − ∇1 • J (r2 ) ∇1 r r = − J (r2 ) ∇1 r r r1 − r2 r1 − r2 sehingga : ( ) ( ) r r r r r r r r r ∇1x ( FxG ) = ∇1 • G F − F • ∇1 G..................................(# )
  51. 51. Dengan demikian maka: r r r µ r (r − r2 ) r r r µ r r r (r − r2 ) r r ∇1x B(r1 ) = 0 ∇1 • r1 r 3 J (r2 ) dV2 − 0 J (r2 ) • ∇1 r1 r 3 dV2 ∫ ∫ 4π V r1 − r2 4π V r1 − r2 2 2 µ0 r r 1 r = ∫∇1 • ∇1 r r J (r2 ) dV2 − 0 4π V r1 − r2 2 µ0 r 2 1 r = ∫∇1 r r J (r2 ) dV2 4π V r1 − r2 2 µ0 r r r = ∫ 4π δ(r1 − r2 ) J (r2 ) dV2 4π V 2 rr = µ0 J (r1 )Sehingga diperoleh Hukum Sirkuit Ampere: r r r rr ∇1xB(r1 ) = µ0 J (r1 )
  52. 52. Hukum Ampere dalam bentuk lain: ∫( ) r r r r r S ∇xB • n da = µ0 J • n da∫ S Dalil Stokes r r r r ∫ C ∫ B • d l = µ0 J • n da S
  53. 53. Contoh:1. Suatu kawat lurus panjang yang diberi arus listrik I, diletakkan dalam suatusirkuit tertutup, berapakah induksi medan magnet di dalam sirkuir tersebut ? I r Pada kasus kawat panjang lurus, diperoleh: dl dθ r r µ0I r B(a ) = k 2 πa r µ0I B= 2 πr Maka: r r 2 π µ0IHukum Ampere: r r r r ∫ B • dl = ∫2 πr r dθ = µ0 I C 0∫C ∫ B • d l = µ0 J • n da S ; dl = rdθ 2 πr B = µ 0 I r r r µ0I∫ B • dl = ∫ B r dθ B= 2 πr C C
  54. 54. 2. Medan magnet dari suatu kawat konduktor koaksial dengan jari-jari bagiandalam a dan bagian luar b. Untuk lingkaran yang berjejari r, maka : r r ∫ b B • d l =2πrB aMaka medan magnet masing-masing daerah adalah : 2πrB = µ0I ;a<r<b 2πrB = 0 ;r>b
  55. 55. POTENSIAL VEKTOR MAGNET
  56. 56. Untuk memudahkan perhitungan induksi magnet, kita kembali ke permasalah listrikstatik, dimana : r r ∇x E = 0 r r r rDi dalam medan magnet, kita ketahui bahwa: ∇ x B ≠ 0 namun ∇ • B = 0Sehingga secara umum, bahwa: r r r ∇•∇x F = 0 dimana F adalah vektor sembarangDengan demikian dapat didefinisikan bahwa: r r r ∇ • (∇ x A ) = 0 r r r B = ∇xADengan syarat bahwa: r r r ∇ x B = µ0J ( ) r r r r ∇ x ∇ x A = µ0J ( ) r r r r2r r ∇ ∇ • A − ∇ A = µ 0 J .......... .......... .....( 1)
  57. 57. Telah kita ketahui bahwa: r r ∇•B = 0 ( ) r r r ∇• ∇xA = 0 r rDengan mendefinisikan bahwa ∇ • A = 0 maka: r2r r ∇ A = −µ0 JDimana A adalah potensial vektor magnet. Pertanyaannya adalah bagaimanaformula untuk A:Solusi: r r r r r µ0 d l1 x (r2 − r1 ) B(r2 ) = I1 ∫ r r3 4π C r2 − r1 1 rr r r µ0 J (r1 ) x (r2 − r1 ) µ0 r r r 1 = ∫ r r3 dV1 = − ∫ J (r1 ) x ∇2 r r dV1 4π V r2 − r1 4π V r2 − r1 1 1
  58. 58. Ingat: r r r r r r 1 r r ∇ x αF = α∇ x F + ∇αF ;α= r r dan F = J r2 − r1 rr r J (r1 ) 1 r rr r 1 rr ∇2 x r r = r r ∇2 x J (r1 ) + ∇2 r r x J ( r1 ) r2 − r1 r2 − r1 r2 − r1 rr rr r r µ0 r J (r1 ) r  µ0 J (r1 ) Maka: B( r2 ) = 4π V∫ ∇2 x r r dV1 = ∇2 x  r2 − r1 ∫ r r dV1   4π V r2 − r1  1  1 Potensial vektor magnet didefinisikan sebagai: r r r r r B(r2 ) = ∇2 x A(r2 ) ; maka : rr r r µ J (r ) A(r2 ) = 0 r 1 r dV1 ∫ 4π V r2 − r1 1 rr r r µ J (r ) A(r1 ) = 0 r 2r dV2 ∫ 4π V r1 − r2 2
  59. 59. MEDAN MAGNET PADA RANGKAIAN JARAK JAUH r rSirkuit jauh artinya: r2 >> r1 r r1 r r2 I ∞ r r 1 r2 − r1 r r −1 ( r r = r2 − r1 = r2 + r12 − 2 r1 • r2 2 ) −1 / 2 r r r −1/ 2 Diuraikan dalam bentuk 1  2 r1 • r2 r1  = 1 − 2 + 2 deret Binomial r2  r2 r2  2 r r r2 = r2 • r2 r r r12 = r1 • r1
  60. 60. Deret Binomial: n n −1 n( n − 1) n −2 2 (a + b ) = a + a b + n n a b + ... + b n 1! 2! r r r •r 1Dengan harga-harga: a = 1 ; b = −2 1 2 2 ; dan n = − r2 2 r r r r 1 1  1 2 r1 • r2  1 r1 • r2 r r = 1 + 2 = + 3 r2 − r1 r2  2 r2  r2 r2 r r r J (r1 ) dV1 → I1 d r1Maka potensial vektor magnet: r r r µ dr A(r2 ) = 0 I1 r 1 r ∫ 4π C r2 − r1 µ0 r r r 1 r r =− 4πr2 I r xS ; S = − 3 1 2 2 ∫ d r1 x r1 = luas sirkuitPenurunan rumus dapat dilihat di buku J.R. Reitz dkk,”Dasar Teori Listrik-Magnet.” hal. 221.
  61. 61. r r µ0 r r r r A(r2 ) = − r x m ; m = I1S = momen magnet 3 2 4πr2 r r µ0 r r Artinya bahwa untuk di titik jauh dari sirkuit, A(r2 ) = 3 m x r2 potensial vektor magnet bergantung pada 4πr2 momen magnetnyaBagaimana dengan induksi magnetnya ? r r r r r B(r2 ) = ∇2 x A( r2 ) r µ0 r  r r2  = ∇2 x  m x 3   4π  r2   ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r rGunakan: ∇2 x ( FxG ) = G • ∇2 F + ∇2 • G F − F • ∇2 G − ∇2 • F G r r dim ana : F = m r r2r G= 3 r2
  62. 62. r r r r r  r2 r  r  r r ( ) ( ) r r r2 r r r r2 r r r2 ∇2 x ( m x 3 ) =  3 • ∇2  m +  ∇2 • 2  m − m • ∇2 3 − ∇2 • m 3 r   r2  2   r2  3  r2 r2 r ( r r r2 ) = 0 + 0 − m • ∇2 3 − 0 r2 r r2 ( r = − m • ∇2 3)r r2 r r r r 1 r2 1 r2 ⇒ ∇2 • 3 = −∇2 • ∇2 = −∇ 2 = 0 ; jika r2 ≠ 0 r2 r2 r2 r ( r r r2 ) ⇒ m • ∇ 2 3 = −3 (m • r2 ) r + m r r r2 r 5 3 r2 r2 r2Maka induksi magnet di sirkuit jauh (dipol magnet) adalah: r r r r r µ0  (m • r2 ) r m  B(r2 ) = 3 5 r2 − 3  4π  r2 r2 
  63. 63. rInduksi magnet di titik r dari sebuah dipol magnet yang terletak di titiknol (0): r r () Br = µ0 r r (  m • r r mr r − 3 ) 3 5 4π   r r Dalam medan magnet, kita mempunyai 2 (dua) potensial yakni: potensialvektor dan potensial skalar magnet. Sedangkan dalam elektrostatik, kitahanya mempunyai potensial skalar saja.
  64. 64. POTENSIAL SKALAR MAGNET
  65. 65. POTENSIAL SKALAR MAGNET r r r ∇ x B = µ0 JPersamaan diatas menunjukkan bahwa curl dari induksi magnet sama dengannol, jika rapat arusnya nol. Sehingga induksi magnetnya dapat diungkapkansebagai gradien dari potensial skalar. r r r r * ∇x B = 0 B = −µ0∇φ r r ∇ x ∇φ = 0Dimana φ* adalah potensial skalar magnet. r rDisisi lain bahwa: ∇•B = 0 ( ) r r r2 ∇ • − µ0∇φ * = −µ0∇ φ* = 0 r2 ∇ φ* = 0Dalam daerah yang tidak mempunyai rapat arus, potensial skalar magnetmemenuhi persamaan Laplace. Sehingga solusinya sama dengan dalam problemlistrik statik.
  66. 66. Namun, kita harus hati-hati dalam menerapkan syarat batas. Nilai φ* dari suatulintasan/sirkuit yang membawa arus bukan merupakan fungsi yang berhargatunggal.Ungkapan potensial skalar dari suatu dipol magnet sangat berguna. r r r r r µ0  (m • r2 ) r m  B(r2 ) = 3 5 r2 − 3  4π  r2 r2 Dapat ditulis dalam bentuk : r r r  m • r2   r r B(r2 ) = −µ0∇   3   4πr2   r r r  B(r2 ) = −µ0∇φ *  maka : r r r m • r2 φ * (r2 ) = 3 untuk suatu dipol magnet m. 4πr2
  67. 67. POTENSIAL SKALAR DARU SUATU DIPOL MAGNETPandang suatu sirkuit besar C yang dibagi-bagi menjadi elemen-elemen kecil(sirkuit C1), dimana setiap elemen kecil mengalirkan arus yang sama seperti yangdiberikan oleh sirkuit C, maka pada daerah yang berbatasan, arusnya akan salingmenghilangkan, sehingga muatan hanya mengalir (arus) pada sirkuit C saja. P Potensial skalar magnet di titik nol: r r r () µ B r = 0 3 r r (  m • r r m r r − 3 ) r 4π  r 5 r    r r µ0 r m • r =− ∇ 3 C1 4π r yang memenuhi:C ( ) ( ) r r r r r r r r r ∇ (F • G) = G • ∇ F+Gx ∇x F ( r r ) ( ) r r r r I + F•∇ G + Fx ∇xG
  68. 68. Maka potensial skalar magnet untuk sirkuit kecil C1: r r dm • r dφ* = m 4 πr 3Dalam satu sirkuit kecil, arus saling menghilangkan sehingga setiap sirkuit dapatdianggap sebagai sebuah dipol magnet dengan momen dipol: r r r dm = I n da n = vektor normal elemen sirkuit daJadi potensial skalar untuk satu sirkuit : r r In• r dφ* = m 3 da 4 πrSehingga potensial skalar untuk sirkuit besar C adalah: r r Potensial skalar magnet dapat digunakan * r I n•r φm (r ) = ∫ 3 da untuk menghitung medan magnet yang 4π r ditimbulkan oleh rangkaian berarus atau oleh lapisan dipol magnetik (menangani bahan-bahan magnet).
  69. 69. FLUKS MAGNET r r r r ∫ ∫Identik dengan fluks listrik φ el = E .d A = E • n da , fluks magnet [Weber, Wb]didefinisikan sebagai banyaknya garis-garis gaya magnet yang melewati suatupermukaan dengan luas A. r r ∫ Φ = B • n da SKarena semua garis-garis gaya magnet adalah tertutup, maka total fluks magnetyang melalui suatu permukaan tertutup A dari suatu volume V harus nol. Hal iniakibat dari jumlah garis-garis medan yang masuk sama dengan jumlah garis-garis medan yang keluar dari suatu permukaan tertutup A. r dA r dA N S r r r r a) dΦ = B.dA ∫ b) Φ = B.dA = 0 c) Φ=0
  70. 70. Untuk permukaan tertutup berlaku: r r r r ∫ ∫ Φ = B • n da = ∇ • B da = 0 S VSehingga: r r yang merupakan bentuk matematik dari ∇⋅B = 0 fenomena fisika, bahwa tidak ada magnet satu kutub; selalu ada dua kutub yaitu kutub Utara dan kutub Selatan.
  71. 71. BAB IIISIFAT MAGNET DARI BAHAN
  72. 72. Setiap bahan tersusun dari atom-atom. Setiap atom terdiri dari elektron yang dapat bergerak. Elektron-elektron ini bergerak dalam suatu atom tunggal sehinggamenghasilkan arus yang disebut arus atom (arus sirkulasi). Elektron-elektron yang bebas atau ion-ion bermuatan bergerakmenimbulkan arus yang disebut arus transport. Arus atom dan arus transport akan mengakibatkan medan magnet.
  73. 73. A. MAGNETISASISetiap arus atom dapat dianggap sebagai dipol magnet secara makroskopissehingga setiap atom dapat dinyatakan dengan momen dipolnya: r mi = momen dipol ke − iMaka momen dipol dari suatu elemen volume ∆V ditulis: r ∑ mi yang meliputi ∆VMagnetisasi didefinisikan sebagai momen dipol magnet per-satuan volume: r lim 1 r M= ∆V → 0 ∆ V ∑i miSecara makroskopis, ∆V sangat kecil akan tetapi secara statistik mengandungbanyak atom.
  74. 74. 1. Jika bahan tidak dimagnetisasi, arah dari momen dipol bersifat acak, sehingga: r r ∑i mi = 0 ⇒M = 02. Untuk bahan yang dimagnetisasi: r ∑i mi ≠ 0 Magnetisasi merupakan fungsi dari posisi.
  75. 75. Model sederhana dari bahan yang dimagnetisasi segaram Arus di perbatasan akan saling menghilangkan (tak ada arus). Arus hanya akan ada di permukaan saja. Arus permukaan ini mengakibatkan medan magnet.
  76. 76. Bahan dimagnetisasi tak-segaram Bila bahan dimagnetisasi tak- segaram, kerapatannya berbeda sehingga terdapat resultan arus IM (arus magnetisasi). IM
  77. 77. Hubungan antara magnetisasi dan rapat arus magnetisasi z 1 2 Magnetisasi dalam elemen ∆z volume 1: r ∆x M (x , y , z ) Magnetisasi dalam elemen ∆y volume 2: y r r  ∂M 2 ∂ M 2  (x’,y’,z’)  M (x , y , z ) + ∆y + ∆y + ...  ∂y ∂y 2  ≈x r  ∂M   M (x , y , z ) + ∆y   ∂y 
  78. 78. Momen magnet elemen volume 1: r M ∆x ∆y ∆zMomen magnet elemen volume 2: r  r ∂M   M + ∂y ∆y  ∆x ∆y ∆z    Komponen-x dari momenmagnet elemen volume 1: Ia’ Ia” M x ∆x ∆y ∆z = I a∆y∆zKomponen-x dari momenmagnet elemen volume 2: Mx  ∂M x   Mx +  ∆y    ∂M x   ∂y    Mx + ∆y  ∆x ∆y ∆z = Ia" ∆y∆z   ∂y 
  79. 79. Ia’ Ia” Mx  ∂M x   Mx +  ∆y    ∂y Arus magnetisasi ke atas:  ∂M x  Ia − Ia" = M x ∆x −  M x +  ∆y  ∆x   ∂y  ∂M x =− ∆x ∆y ∂y
  80. 80. Dengan cara yang sama, kita dapat mengambil elemen volume dalamarah sumbu-y, sehingga arus magnetisasi keatas adalah: ∂M y ∆x ∆y ∂x Ia”  ∂M y  Ia’  My +  ∆x    ∂x  MyKedua arus tersebut menimbulkan arus magnetisasi keatas sebesar:  ∂M y ∂M x  Ia =   ∂x − ∂y  ∆x ∆y   Dimana ∆x∆y adalah luas yang dilalui arus Ia.
  81. 81. Rapat arus magnetisasi didefinisikan sebagai: Ia  ∂M z ∂M y  (J M )x = = ∂y − ∂z   ∆x ∆y    ∂M x ∂M z  (J M )y = −   ∂z ∂x   ∂M y ∂M x  (J M )z =  ∂x − ∂y    Sehingga rapat arus magnetisasi total adalah curl dari magnetisasi: r r r JM = ∇ x M
  82. 82. B. INDUKSI MAGNET DARI BAHAN DIMAGNETISASI Titik medan r r : Vektor posisi titik pengamat r r : Vektor posisi titik/sumber medan r Momen magnet dari elemen volume ∆V’ r r r − r r r r ∆m(x , y , z ) = M (x , y , z )∆V r ∆V’ r r M V0
  83. 83. 1. Kita tentukan dahulu potensial vektor magnetnya. Potensial vektor magnet dari dipol magnet diberikan oleh: r µ0 r r A= 3 mx r 4 πr Potensial vektor magnet dari elemen volume ∆V’: r µ 0 r (r − r ) µ 0 r (r − r ) r r r r ∆A = ∆m x r r 3 = M x r r 3 ∆V 4π r − r 4π r − r r r µ 0 M x (r − r ) r r A= ∫ r r 3 dV 4π V (r − r ) µ0 r r 1 = ∫ 4π V M x ∇ r r dV r − r
  84. 84. r r r r r r Ingat !!! ∇ x αF = α ∇ x F − F x ∇α r r M 1 r r r r 1 ∇ x r r = r r ∇ x M − M x ∇ r r r − r r − r r − r r r rMaka: r r µ 0 ∇ x M µ0 r M A(r ) = ∫ r r dV − ∫ ∇ x r r dV 4π V r − r 4π V r − r Kesamaan vektor : r r r r ∫ V ∫ ∫ ∇ x F dV = n x F da = − F x n da S S Maka : r r r r r r µ 0 ∇ x M µ Mxn A(r ) = ∫ r r dV + 0 ∫ r r da 4π V r − r 4π S r − r
  85. 85. Dengan mendefinisikan rapat arus magnetisasi permukaan (arusmagnetisasi per-satuan panjang yang mengalir melalui permukaan): r r r jm = M x nMaka potensial vektor magnet menjadi: r r r r µ0 JM µ0 jm A(r ) = ∫ r r dV + ∫ r r da 4π V r − r 4π S r − r 2. Kita tentukan induksi magnetnya. r r r µ 0 M x (r − r ) r r µ0 r r 1 A(r ) = ∫ ∫ r r 3 dV = − 4π M x ∇ r − r dV 4π V (r − r ) V r r r r r r r µ0 r  r r 1  B(r ) = ∇ x A (r ) = − ∫ ∇ x  M x ∇ r r  dV  4π V  r − r  
  86. 86. r r r r r µ0 r  r r 1 B(r ) = ∇ x A(r ) = − ∫ ∇ x  M x ∇ r r  dV  4π V  r − r   ∫( ) µ0 r r 2 1 µ0 r r r 1 = ∫ 4π V M ∇ r r dV − r − r 4π V M • ∇ ∇ r r dV r − r 1444r 444 2 3 1444 24444 4r 3 B1 B1r µ0 r r 2 1 µ0 r r r rB1 = ∫ M ∇ r r dV = M 4π δ(r − r ) dV = µ0 M ∫ 4π V r − r 4π V   r r  µ0 r  r (r − r ) µ0 r  r r 1  ∫( )r µ0 r r r 1B2 = 4π V M • ∇ ∇ r r dV = r − r ∫ ∇  M • r r 3  dV− 4π V  r − r  ∫ 4π V M x ∇ x∇ r r  dV r − r  14243      =0     r  1 r (r − r )  r r   r *r = µ 0∇  ∫M • r r 3 dV  = µ0∇φ ( r ) 4π V −  1444 r 4r 4  2 4 3  potensial skalar magnet   
  87. 87. Maka induksi magnet dari bahan yang dimagnetisasi r r [r r r *r ] B(r ) = µ 0 M ( r ) − ∇φ (r )Untuk bahan yang tidak dimagnetisasi: r r r r *r M = 0 ⇒ B(r ) = −µ0∇φ (r )3. Kita tentukan potensial skalar magnetnya. * r 1 r (r − r ) r r 1 r r 1 φ (r ) = ∫ M • r r 3 dV = ∫ M • ∇ r r dV 4π V r − r 4π V r − r ( ) r r r r r r Gunakan : ∇ • αF = α ∇ • F + ∇ α • F 1 r α= r r ;F=M r − r
  88. 88. r r r * r 1 r  M  1 ∇ •M φ (r ) = ∫  r r  dV− ∇ •  r r dV ∫ 4π V  r − r  4π V r − r r r r rTeorema divergensi: ∫ V ∫ ∇ • F dV = F • n da S * r φ (r ) = 1 M•n r r 1 r r −∇ •M ( ) ∫r r da + 4 π S r − r ∫ r r dV 4π V r − r r rDefinisikan: ρ M = −∇• M = Rapat kutub magnet r r σM = M • n = Rapat permukaan kuat kutub magnetMaka potensial skalar magnet menjadi: r 1 ρM 1 σM φ* (r ) = ∫ r r dV+ ∫ r r da Analog dengan potensial 4π V r − r 4 π S r − r listrik statik (elektrostatik)
  89. 89. Sehingga induksi magnetnya menjadi: r r [ r r r *r ] B(r ) = µ 0 M (r ) − ∇φ (r ) r µ0  r r 1 r r 1  = µ0 M −  ρ M (r )∇ r r dV+ σ M (r )∇ r r da  ∫ ∫ 4π V r − r r − r   S  r r r r r µ0 r (r − r ) µ r (r − r ) = µ0 M + ∫ρ M ( r ) r r 3 dV+ 0 σ M (r ) r r 3 da ∫ 4π V r − r 4 π S r − r
  90. 90. Contoh: Suatu bahan berbentuk silinder yang dimagnetisasi segaram searah panjangnya. r n r M r r r n r n M M r r ρ M = −∇• M = 0 r r r r σ M = M • n = 0 jika M⊥n r r r r = M • n ≠ 0 jika M tidak ⊥ n Jadi di selubung permukaan tak ada medan magnet. Kutub magnet hanya terletak di ujung kiri dan kanan dari bahan. N S
  91. 91. C. INTENSITAS MAGNET; SUMBER MEDAN MAGNETMedan magnet dapat bersumber dari: arus transport dan bahan yangdimagnetisasi. Jika kedua sumber tersebut ada, maka induksi magnet dapatdinyatakan sebagai: rr r r µ 0 j( r ) x (r − r ) B(r ) = ∫ 4π V r r [ r r r *r r r 3 dV + µ 0 44) −4φ 4) 1 4 M (r ∇ (r 2 43 ] r − r 14444244443 dari bahan yang dim agnetisasi dari arus transport rr r rJika arus transport j ( r ) dan M ( r ) sudah ditentukan, maka induksi magnet dapatdihitung. r rJika M ( r )diketahui, maka rapat kutup magnet ρM dan rapat permukaan kutubmagnet σM dapat dihitung, sehingga potensial skalar magnet dapat ditentukan.Dalam realita, magnetisasi merupakan fungsi dari medan luar, sehingga: () r r r M=MB
  92. 92. Maka induksi magnet sulit dihitung, karena magnetisasinya sendirimerupakan fungsi dari medan luar. Karena itu dibuat definisi, bahwa: 1 r r r r r r B(r ) − M (r ) = H (r ) µ0r rH (r ) adalah intensitas magnet. Dengan demikian maka: rr r r r r j(r ) x (r − r ) r *r H (r ) =∫ r r 3 dV − ∇φ (r ) V r − r
  93. 93. D. PERSAMAAN MEDANPersamaan medan: r r ∇ • B = 0 berlaku umum, jadi sumbernya tidak hanya dari arus transport r r r r ∇ x B = µ0 J ( J = arus total) r r r J= j { + jM { arus transport arus magnetisasi ( ) r r r r ∇ x B = µ0 j + jMSehingga: r r r r ∇ x B = µ0 j + µ0 jM ( ) r r r r r = µ0 j + µ0 ∇ x H ⇒ jM = ∇ x H
  94. 94. Maka: r ( ) r r r ∇ x B − µ0 M = µ0 j 1 24 4 3 µ Hr 0 r r r ∇x H = j (arus transport saja )Dalam bentuk integral: ∫( ) r r r r r ∫ ∇ x H • n da = j • n da S S r r ∫ = H • dl C Teorema Stokes
  95. 95. r n C adalah lengkungan yang membatasi permukaan S C r r r r ∫ C ∫ H • d l = j • n da S S da r r ∫ I = j • n da (arus transport yang melalui S) S dl Maka : r r ∫ C H • dl = I Persamaan-persamaan medan menjadi:Untuk induksi magnet: r r r r r r ∫ B • n da = 0 ∇•B = 0  ∫ B • n da = 0  ⇒ r r S S r r r ∇ x H = j ∫H • dl = I C
  96. 96. SUSEPTIBILITAS DAN PERMEABILITAS MAGNET
  97. 97. I. SUSEPTIBILITAS DAN PERMEABILITAS MAGNETDiperlihatkan hubungan antara induksi magnet dan intensitas magnet serta jugamagnetisasi untuk memecahkan persoalan dalam teori magnet. Hubungan inibergantung pada bahan magnetnya yang dapat diperoleh dari eksperimen.Dalam kuliah ini kita batasi pada bahan magnet isotrop dan linier, yaitu: r r M = χm H χm adalah suseptibilitas magnet bahan (besaran tidak berdimensi) Ada tiga kelompok bahan menurut nilai suseptibilitas magnetnya: 1. χm < 0 : bahan diamagnetik 2. χm > 0 , namum χm << 1 : bahan paramagnetik 3. χm > 0 , dan χm >> 1 : bahan ferromagnetik
  98. 98. Bila magnetisasi linier terhadap intensitas magnet: r r M = χm HMaka induksi magnet juga linier terhadap intensitas magnet, melalui: r r r B = µ0 H + µ0 M r r = µ0 H + µ0 χm H r = µ0 (1 + χ m )H r =µHµ disebut permeabilitas magnet bahan.Permeabilitas nisbi (relatif) diberikan oleh: µ Km = = 1 + χm µ0

×