ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ

on

  • 1,745 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,745
Views on SlideShare
1,745
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
32
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ ใบความรู้ เรื่องตรีโกณมิติ Document Transcript

  • สรุปสูตร เรื่องตรีโกณมิติ วงกลมหนึ่งหน่วย x y tan  ,... 2 5 , 2 3 , 2      1. ,นิยาม ysin  และ xcos ดังนั้น  y x cot  , ,...3,2,  x 1 sec  , ,... 2 5 , 2 3 , 2       y 1 csc  , ,...3,2,  2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ b a Äsin  a b ecAcos  b c Acos  c b Asec  c a Atan  a c Acot  3. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมที่ควรจําได้ ฟังก์ชัน 0 o 30 6   o 45 4   o 60 3   o 90 2   o 180 sin 0 2 1 2 2 2 1  2 3 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1  2 1 0 1 tan 0 3 1 1 3 _ 0 cot _ 3 1 3 1 0 _ sec 1 3 2 2 2 _ 1 cosec _ 2 2 3 2 1 _
  • 4. การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันไม่เปลี่ยนแปลง 2 0  ถ้ากําหนดให้  อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 42   sin)sin(  sin)sin(  sin)2sin(  sin)sin(  cos)cos(  cos)cos(  cos)2cos(  cos)cos(  tan)tan( tan( ) tan      tan)2tan(  tan)tan( กรณีที่มุมเป็นองศา ก็เช่นเดียวกัน o 180 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4 อยู่ ควอดรันต์ 4o 180 o 360   sin)180sin( o  sin)180sin( o  sin)360sin( o  sin)sin(  cos)180cos( o  cos)180cos( o  cos)360cos( o  cos)cos(  tan)180tan( o  tan)180tan( o  tan)360tan( o  tan)tan( ในทํานองเดียวกันถ้า และเป็นฟังก์ชันของมุมที่เกินรอบIn   sin)n2sin(  sin)n2sin(  cos)n2cos(  cos)n2cos(  tan)n2tan(  tan)n2tan( หมายเหตุ สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับ ทุกขนาดของมุมหรือจํานวนจริงใด ๆ การหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณของมุมประกอบที่ค่าของฟังก์ชันต้องเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน (co-function)   2 3   2 3   2   2 อยู่ ควอดรันต์ 1 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ ควอดรันต์ 3 อยู่ ควอดรันต์ 4   cos) 2 sin(   cos) 2 sin(   cos) 2 3 sin(   cos) 2 3 sin(   sin) 2 cos(   sin) 2 cos(   sin) 2 3 cos(   sin) 2 3 cos(   cot) 2 tan(   cot) 2 tan(   cot) 2 3 tan(   cot) 2 3 tan( กรณีที่มุมเป็นองศา ก็เช่นเดียวกัน o 90 อยู่ ควอดรันต์ 1 อยู่ ควอดรันต์ 2 อยู่ควอดรันต์ 3 อยู่ควอดรันต์ 4o 90 o 270 o 270  cos)90sin( o  cos)90sin( o  cos)270sin( o  cos)270sin( o  sin)90cos( o  sin)90cos( o  sin)270cos( o  sin)270cos( o  cot)90tan( o  cot)90tan( o  cot)270tan( o  cot)270tan( o 22 ba 5. ค่าสูงสุดและตํ่าสุดของ คือ cosbsina
  • 6. เอกลักษณ์พื้นฐานที่ควรทราบ กําหนดให้ เป็น มุม , ความยาวส่วนโค้ง หรือ จํานวนจริงใด ๆ 1cossin 22   2 cos1sin จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู่กับ   2 sin1cos จะเลือก + หรือ – ต้องขึ้นอยู่กับ  และ 22 eccoscot1  22 sectan1 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชัน กราฟ โดเมน เรนจ์ คาบ แอมพลิจูด xsiny  R ]1,1[ 2 xcosy  R ]1,1[ 2 xtany                  2 1n2 xx In  R  xcoty    nxx In  R  xsecy                  2 1n2 xx In  ),1[]1,(  2 ecxcosy    nxx In  ),1[]1,(  2
  • สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของมุมหรือจํานวนจริง )BAsin(   BsinAcosBcosAsin  )BAsin(   BsinAcosBcosAsin  )BAcos(   BsinAsinBcosAcos  )BAcos(   BsinAsinBcosAcos  )BAtan(   BtanAtan1 BtanAtan   )BAtan(   BtanAtan1 BtanAtan   )BAcot(   AcotBcot 1BcotAcot   )BAcot(   AcotBcot 1BcotAcot   สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 2 เท่า 2 A cos 2 A sin2 A2sin หรือ AcosAsin2  Asin  2 A sin 2 A cos 22 A2cos หรือ AsinAcos 22  Acos  1 2 A cos2 2 หรือ 1Acos2 2  Acos  2 A sin21 2  Asin21 2  หรือ Acos  2 A tan1 2 A tan2 2  A2tan  Atan1 2  Atan2 Atanหรือ  A2cot  Acot2 1Acot2  Atan1 Atan2 2  Atan1 Atan2 2  เนื่องจาก เราสามารถหาA2tan  A2sin   Atan1 Atan1 2 2   A2cos สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม 3 เท่า A3sin Asin4Asin3 3  A3cos  Acos3Acos4 3  A3tan  Atan31 AtanAtan3 2 3   A3cot  1cot3 Acot3Acot 2 3   สูตรฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมครึ่ง 2 A2cos1 Asin2  2 A2cos1 หรือ Asin  2 A2cos1 Acos2 2 A2cos1 หรือ Acos 
  • A2cos1 A2cos1   Atan2 A2cos1 A2cos1   หรือ Atan  ค่าของฟังก์ชันของมุมบางมุมที่ควรทราบ o  o 15sin 75cos 4 26 22 13    o o 75sin 15cos 4 26 22 13    o o 15tan 75cot 13 13   o  o 75tan 15cot 13 13   o 18sin  o 72cos 4 15  o 18cos o 72sin  4 5210  o 36cos  o 54sin 4 15  o o 36sin 54cos 4 5210  o  o 5.22sin 5.67cos 2 22  o o 5.22cos 5.67sin 2 22  สูตรการเปลี่ยนผลคูณของฟังก์ชันเป็นผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน BcosAsin2   )BAsin()BAsin(  หรือ cossin2  )diffsin()sumsin(  BsinAcos2   )BAsin()BAsin(  หรือ )diffsin()sumsin( sincos2   BcosAcos2   )BAcos()BAcos(  หรือ coscos2  )diffcos()sumcos(  BsinAsin2   )BAcos()BAcos(  หรือ sinsin2  )sumcos()diffcos(  สูตรการเปลี่ยนผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชันเป็นผลคูณของฟังก์ชัน                2 BA cos 2 BA sin2BsinAsin                 2 BA sin 2 BA cos2BsinAsin                 2 BA cos 2 BA cos2BcosAcos  BcosAcos                 2 AB sin 2 BA sin2                2 BA sin 2 BA sin2หรือ ooo 80sin40sin20sin   8 3 หรือ  16 3oooo 80sin60sin40sin20sin  ooo 80cos40cos20cos   8 1 หรือ  16 1oooo 80cos60cos40cos20cos 
  • อินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ อินเวอร์สของฟังก์ชัน ฟังก์ชันอินเวอร์ส โดเมนของ เรจน์ของ ฟังก์ชันอินเวอร์ส ฟังก์ชันอินเวอร์ส xsiny  ysinx  xarcsiny  หรือ xsiny 1  ]1,1[         2 , 2 xcosy  ycosx  xarccosy  หรือ xcosy 1  ]1,1[  ,0 xtany  ytanx  xarctany  สูตรความสัมพันธ์ของฟังก์ชันอินเวอร์สตรีโกณมิติ 1. )xarcsin(  xarcsin   1,1x  2. )xarccos(  xarccos   1,1x  3. )xarctan(  xarctan  Rx  4. )xsin(arcsin x   1,1x  และ )xarcsin(sin x          2 , 2 x ดังนั้น )xsin(arcsin )xarcsin(sin   1,1x  5. )xcos(arccos x   1,1x  และ )xarccos(cos x    ,0x ดังนั้น )xcos(arccos )xarccos(cos   1,1x  6. )xtan(arctan  x  Rx  และ )xarctan(tan  x          2 , 2 x ดังนั้น )xtan(arctan  )xarctan(tan          2 , 2 x หรือ xtany 1  R         2 , 2 หรือxcoty  ycotx  xcotarcy  xcoty 1  R ),0(  xsecy  ysecx  xsecarcy  หรือ xsecy 1  )1,1(R           2 ,0 xcscy  ycscx  xcscarcy  หรือ xcscy 1  )1,1(R   0 2 , 2        
  • 7. )xcotarccot( x  Rx  และ )xcot(cotarc x  ),0(x  ดังนั้น )xcotarccot( )xcot(cotarc  ),0(x  8. )xsecarcsec( x  )1,1(Rx  และ )xsec(secarc x           2 ,0x ดังนั้น           2 ,0x)xsecarcsec( )xsec(secarc 9. )xcscarccsc( x  )1,1(Rx  และ )xcsc(cscarc x   0 2 , 2 x         ดังนั้น )xsecarcsec( )xsec(secarc  )1,1(Rx  10. yarctanxarctan   xy1 yx arctan    2 yarctanxarctan 2     yarctanxarctan   xy1 yx arctan    2 yarctanxarctan 2     yarctanxarctan   xy1 yx arctan     2 yarctanxarctan   yarctanxarctan   xy1 yx arctan     2 yarctanxarctan    2 x1 x2 arctan  11. xarctan2 12. xarcsin  2 x1arccos   2 x1 x arctan   x x1 cotarc 2   2 x1 1 secarc   x 1 cscarc 13. xarccosxarcsin   2    1,1x  xcotarcxarctan   2   Rx  xcscarcxsecarc   2    1,1Rx  การแก้สมการตรีโกณมิติ 1. ถ้าโจทย์กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปของเซตจํากัด 2. ถ้าโจทย์ไม่กําหนด เอกภพสัมพัทธ์ ต้องตอบในรูปทั่วไป และกําหนดให้ เอกภพสัมพัทธ์ R ดังนี้ 2.1 ถ้า คําตอบของสมการ คือ sinxsin  n )1(nx 2.2 ถ้า คําตอบของสมการ คือ cosxcos  n2x
  • 2.3 ถ้า คําตอบของสมการ คือ tanxtan  nx 3. หลักที่ควรคํานึงถึงเกี่ยวกับเรื่องการแก้สมการ คือ 3.1 การแปลงทุกค่าของตัวแปรให้เป็นฟังก์ชันเดียวกันและมุมเดียวกัน 3.2 การแยกตัวประกอบ การแก้อสมการตรีโกณมิติ ใช้หลักเหมือนกับการแก้สมการในระบบจํานวนจริง โดยมีค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นตัวแปรใด ๆ การแก้รูปสามเหลี่ยม ใช้หลักดังนี้คือ 1. ถ้าสามเหลี่ยมดังกล่าวนั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากใช้ 1.1 ทฤษฎีบทพีธากอรัส 1.2 อัตราส่วนตรีโกณมิติ 2. ถ้าสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ใช้ Csin c Bsin b Asin a 2.1 กฎของไซน์ คือ 2.2 กฎของโคไซน์ คือ bc2 acb AcosAcosbc2cba 222 222   ac2 bca BcosBcosac2cab 222 222   ab2 cba CcosCcosab2bac 222 222   2.3 กฎของโปรเจกชัน BcoscCcosba  AcoscCcosab  AcosbBcosac   2 1 ฐาน สูง3. การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม  Csinab 2 1  )cs)(bs)(as(s  )cba( 2 1 โดยที่ s  4. การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง  2 1 ฐานโค้ง รัศมี ตารางหน่วย4.1 เมื่อทราบความยาวฐานโค้ง  1 r 2    4..2 เมื่อทราบขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลาง 2 o r 360    ตารางหน่วย 2 r 2    