Aula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro

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Aula de Álgebra Linear - 1 de Dezembro

  1. 1. Álgebra Linear Thiago VedoVatto Curso de Álgebra LinearMatriz de uma Transformação Linear Prof. Esp.: Thiago VedoVatto Universidade Federal de Goiás Campus Jataí Coordenação de Matemática 1 de dezembro de 2011
  2. 2. Álgebra Linear Thiago VedoVatto Proposição Exemplo Parte IMatriz de uma Transformação Linear
  3. 3. Objetivos da Aula Álgebra Linear Thiago VedoVatto Proposição Exemplo
  4. 4. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente Exemplo
  5. 5. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.
  6. 6. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora
  7. 7. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V )
  8. 8. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C
  9. 9. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n)
  10. 10. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado n u= αi ui ∈ U,F (u ) i =1
  11. 11. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado n n u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) i =1 i =1
  12. 12. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado n n u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) = i =1 i =1 n αi G (ui ) i =1
  13. 13. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado n n u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) = i =1 i =1 n αi G (ui ) = G (u ) i =1
  14. 14. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado n n u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) = i =1 i =1 n αi G (ui ) = G (u ), ou seja F = G i =1
  15. 15. Álgebra LinearProposição Thiago VedoVattoSejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões n e m Proposiçãorespectivamente. Então, xadas as bases B = {u1 , . . . , un } e ExemploC = {v1 , . . . , vm } de U e V , respectivamente, a aplicaçãoF → (F )B ,C que a cada F ∈ L(U , V ) associa a matriz de F emrelação às bases B e C é bijetora.Demonstração.Devemos mostrar que a aplicação é injetora e sobrejetora. Injetora F , G ∈ L(U , V ). Se tivermos (F )B ,C = (G )B ,C então as respectivas colunas de (F )B ,C e (G )B ,C são iguais e daí F (uj )=G (uj ) (j = 1, . . . , n). Dado n n u= αi ui ∈ U,F (u ) = αi F (ui ) = i =1 i =1 n αi G (ui ) = G (u ), ou seja F = G . i =1 Sobrejetora (Para casa)
  16. 16. Álgebra LinearExample Thiago VedoVattoDada a matriz Proposição Exemplo −1 2 3 M= 4 5 −6Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B ,C .
  17. 17. Álgebra LinearExample Thiago VedoVattoDada a matriz Proposição Exemplo −1 2 3 M= 4 5 −6Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B ,C .Da denição de matriz de F decorre que devemos ter
  18. 18. Álgebra LinearExample Thiago VedoVattoDada a matriz Proposição Exemplo −1 2 3 M= 4 5 −6Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B ,C .Da denição de matriz de F decorre que devemos ter: F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4) F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5) F (0, 1, 2) = 3(1, 0) − 6(1, 1) = (−3, −6)
  19. 19. Álgebra LinearExample Thiago VedoVattoDada a matriz Proposição Exemplo −1 2 3 M= 4 5 −6Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B ,C .Da denição de matriz de F decorre que devemos ter: F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4) F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5) F (0, 1, 2) = 3(1, 0) − 6(1, 1) = (−3, −6)Seja (a, b, c ) ∈ R3
  20. 20. Álgebra LinearExample Thiago VedoVattoDada a matriz Proposição Exemplo −1 2 3 M= 4 5 −6Ache F ∈ L(R3 , R2 ) de maneira que, sendoB = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}, se tenhaM = (F )B ,C .Da denição de matriz de F decorre que devemos ter: F (1, 0, 0) = − 1(1, 0) + 4(1, 1) = (3, 4) F (0, 1, 0) = 2(1, 0) + 5(1, 1) = (7, 5) F (0, 1, 2) = 3(1, 0) − 6(1, 1) = (−3, −6)Seja (a, b, c ) ∈ R3 . Supondo que: (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2)
  21. 21. Álgebra Linear Thiago VedoVatto(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo
  22. 22. Álgebra Linear Thiago VedoVatto(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z )
  23. 23. Álgebra Linear Thiago VedoVatto(a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z ) = (x , y + z , 2z )
  24. 24. Álgebra Linear Thiago VedoVatto (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z ) = (x , y + z , 2z )Deste modo temos o sistema linear:  a x  = b = y +z c = 2z 
  25. 25. Álgebra Linear Thiago VedoVatto (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z ) = (x , y + z , 2z )Deste modo temos o sistema linear:  a x  = b = y +z c = 2z Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c 2 2
  26. 26. Álgebra Linear Thiago VedoVatto (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z ) = (x , y + z , 2z )Deste modo temos o sistema linear:  a x  = b = y +z c = 2z Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c . Deste modo temos 2 2que: (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2)
  27. 27. Álgebra Linear Thiago VedoVatto (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z ) = (x , y + z , 2z )Deste modo temos o sistema linear:  a x  = b = y +z c = 2z Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c . Deste modo temos 2 2que: (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) c c = a(1, 0, 0) + b − (0, 1, 0) + (0, 1, 2) 2 2
  28. 28. Álgebra Linear Thiago VedoVatto (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) Proposição Exemplo = (x , 0, 0) + (0, y , 0) + (0, z , 2z ) = (x , y + z , 2z )Deste modo temos o sistema linear:  a x  = b = y +z c = 2z Cuja solução será x = a, y = b − c e z = c . Deste modo temos 2 2que: (a, b , c ) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 1, 2) c c = a(1, 0, 0) + b − (0, 1, 0) + (0, 1, 2) 2 2
  29. 29. Álgebra Linear Thiago VedoVatto Proposição ExemploDonde resulta que: c c F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2) 2 2
  30. 30. Álgebra Linear Thiago VedoVatto Proposição ExemploDonde resulta que: c c F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2) 2 2 c c = a(3, 4) + b − (7, 5) + (−3, −6) 2 2
  31. 31. Álgebra Linear Thiago VedoVatto Proposição ExemploDonde resulta que: c c F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2) 2 2 c c = a(3, 4) + b − (7, 5) + (−3, −6) 2 2 11c = 3a + 7b − 4c , 4a + 5b − 2
  32. 32. Álgebra Linear Thiago VedoVatto Proposição ExemploDonde resulta que: c c F (a, b, c ) = aF (1, 0, 0) + b − F (0, 1, 0) + F (0, 1, 2) 2 2 c c = a(3, 4) + b − (7, 5) + (−3, −6) 2 2 11c = 3a + 7b − 4c , 4a + 5b − 2

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