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  • 1. CONTROLDE SISTEMAS DISCRETOS
  • 2. CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS Osear Reinoso Universidad Miguel Hemández José María Sebastián y Zúñiga Rafael Aracil Santoja Universidad Politécnica de Madrid Fernando Torres Medina Universidad de Alicante MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICONUEVA YORK· PANAMÁ· SAN JUAN· SANTAFÉ DE BOGOTÁ· SANTIAGO. SAO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI PARís • SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • STo LOUIS • TOKIO • TORONTO
  • 3. , PROLOGOEl control automático de sistemas es actualmente una tecnología imprescindible en una amplia varie-dad de procesos cotidianos, con especial importancia en el mundo industrial. Si inicialmente dichocontrol se realizaba mediante los ya clásicos bucles de control analógicos, el espectacular desarrollode los computadores y demás sistemas digitales basados en fiÚcroprocesadores, acaecido durantelos últimos treinta años, ha propiciado su masiva utilización en tareas de controL Dichos compu-tadores penniten no sólo resolver satisfactoriamente los problemas específicos de regulación, enalgunas ocasiones con un alto grado de complejidad, sino que posibilitan además una amplia gamade funciones de supervisión y tratamiento de datos con un reducido coste adicional.Por tales motivos, los sistemas discretos de control fonnan parte fundamental del plan de estudios denumerosas escuelas de ingeniería de primer y segundo ciclo, así como de las facultades de ciencias.Normalmente, se estructura como un segundo curso de control, en el que se parte de los conoci-mientos previos aportados por el estudio de la teoría de sistemas y señales, así como del control desistemas continuos. Este libro está escrito de acuerdo con el contenido de dicho segundo curso yrecoge una amplia variedad de problemas de complejidad creciente. Se ha procurado que los enun-ciados recojan un extenso abanico de situaciones que incluye tanto modelos teóricos como sistemasreales, habiendo sido validada su resolución mediante un software de simulación.Desde el punto de vista educativo, es necesario destacar el primordial papel que ocupa la resolu-ción de problemas en la enseñanza de materias científicas y técnicas. A lo largo de su resolución, elalumno contrasta no sólo el resultado final, sino también los conceptos y metodología empleada. Deaquí la importancia de la existencia de un texto con problemas resueltos que pennite, en una primeraetapa de] aprendizaje, comprender y afianzar Jos conceptos teóricos aprendidos para, posteriormen-te, realizar los problemas propuestos y contrastar Jos resultados finales. Ambos aspectos han sidotenidos en cuenta a la hora de elaborar este texto por parte de los autores. Existen en la actualidad,en el campo del control de sistemas discretos, varios textos de prestigio enfocados fundamental-mente al desarrollo exhaustivo y preciso de toda la fundamentación teórica con sus consiguientesdemostraciones. Por ello, se ha considerado interesante introducir solamente en cada uno de los te-mas un resumen teórico que sin ánimo de ser un encuentro exhaustivo del lector con los contenidospuramente teóricos y sus demostraciones, sí que supone una guía que permite recordar los aspectosfundamentales para abordar con éxito la resolución de los problemas.El texto se ha dividido en trece capítulos. Los tres primeros están fundamentalmente orientados arecordar los conceptos matemáticos en los que posterionnente se cimentarán los siguientes capítulos.Es en el capítulo primero el que aborda los conceptos de secuencias y sistemas discretos, permitiendoafianzar conceptos tales como respuesta de un sistema ante una secuencia de entrada, estabilidad deun sistema discreto y transformadas de Fourier y Laplace de una secuencia. La transfonnada Zes de especial importancia en Jos sistemas discretos, por lo que el segundo capítulo se dedica ael1a, transfonnada Z de secuencias tipo, inversa, cálculo, propiedades, etc. Ya en el capítulo tres seplantean los conceptos de muestreo y reconstrucción de señales, planteando problemas en tomo alteorema de muestreo y al concepto de bloqueador y sus tipos. v
  • 4. VI PRÓLOGOA continuación, los capítulos cuatro y cinco se dedican a los sistemas muestreados y la estabilidad delos sistemas discretos. Por primera vez aparece el concepto de realimentación en el capítulo cuarto,que versa también sobre sistema discreto equivalente y transfonnada Z modificada. La definicióny condiciones de estabilidad de sistemas discretos son tratadas en el quinto capítulo a través delcriterio de Jury.Los siguientes capítulos están dedicados al análisis. En el seis se repasan las respuestas temporalesante secuencias impulso y escalón, así como el concepto de sistema reducido equivalente. Es elséptimo capítulo e] destinado a estudiar e] comportamiento estático de los sistemas realimentadosante realimentación unitaria y no unitaria, errores y tipo de un sistema. El capítulo ocho abarca elcomportamiento dinámico de los sistemas realimentados a través de la técnica del lugar de las raíces.Ya en el capítulo noveno, se realiza el análisis de estabilidad en el dominio de la frecuencia, haciendouso del criterio de Nyquist.Los cuatro últimos capítulos están destinados al diseño de reguladores. En el décimo a través de ladiscretización de reguladores continuos~ por métodos basados en la aproximación de la evolucióntemporal o la discretización de reguladores, considerando aspectos tales como la saturación en elactuador o la correcta elección del período de muestreo. En el siguiente capítulo, el onceavo, seestudia la fonna de añadir polos y ceros a la función de transferencia en bucle abierto para modificarlos de bucle cerrado. Para ello, se emplea en este capítulo como herramienta de diseño el lugar delas raíces. Ya en el capítulo doce se aborda el diseño de reguladores algebraicos por el método deasignación de polos o por síntesis directa basada en el método de Truxal. Finalmente, el últimocapítulo está destinado al diseño de reguladores de tiempo de mínimo.Los autores desean mostrar su agradecimiento a todas las personas que de alguna u otra fonna hancolaborado en que este libro salga publicado. Sin el apoyo y las observaciones de otros profesorespertenecientes a la Universidad Miguel Hemández de Elche, la Universidad Politécnica de Madridy la Universidad de Alicante este libro no tendría el rigor y ]a amplitud actual. Además, muchosde los problemas seleccionados han sido puestos en común con alumnos pertenecientes a dichasuniversidades, lo que sin duda ha permitido valorar cuáles de los problemas propuestos resultan másclarificadores para afianzar los conceptos del control de sistemas discretos.Confiamos en que los problemas seleccionados e incluidos en este libro sean de utilidad para loslectores que se embarcan en el estudio de los sistemas discretos. Asimismo, esperamos que, tras losprocesos de revisión llevados a cabo, los inevitables errores que siempre aparecen se hayan vistoreducidos al mínimo. Los autores
  • 5. ~ Indice general@ SECUENCIAS y SISTEMAS DISCRETOS 1 1. 1. Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entrada 5 1.2. Estabilidad de un sistema discreto (1) . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Estabilidad de un sistema discreto (I1) . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Convolución discreta. Transfonnada de Fourier y de Lap]ace 9 1.5. Respuesta de un sistema discreto ante cualquier secuencia de entrada a partir de la secuencia de ponderación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Sistemas discretos: estudh? comparativo de la estabiJídad, ]a respuesta y ]a energía 11 1.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. Problema propuesto . . . . . . ..... " .... 15 1.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10. Problema propuesto 16 1.11. Problema propuesto 16 1.12. Problema propuesto 17(¿) TRANSFORMADA Z 19 2.1. Transfonnada Z de secuencias tipo . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Transfonnada Z inversa de una secuencia . . . . . 24 2.3. Función de transferencia de un sistema discreto ... . 25 2.4. Análisis de una fundición . . . . . . . . . . . .. . 28 2.5. Evolución de la población de ballenas . . ........ . 32 2.6. Explotación de la madera en un bosque. . ... , ... . 35 2.7. Evaluación del stock en un almacén . . .. ...... . .... .. . . 38 2.8. Evolución de la población en función de la industrialización y de la tasa de natalidad 4] 2.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.10. Problema propuesto . . . . . . 48 2.1 ]. Problema propuesto . . . . 49 2.12. Problema propuesto . . . . . . . . . . 49 2.13. Problema propuesto . . . . . . . . . 50 2.14. Problema propuesto 51 2.15. Problema propuesto 51 2. ] 6. Problema propuesto 52 VII
  • 6. VIII ÍNDICE GENERAL3. MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES 53 3.1. Diversas configuraciones de sistemas . . . .. ...... . . 59 3.2. Bloqueador, sistema continuo y muestreador . . ., . . . . . 60 3.3. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (1) .. 65 3.5. Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (ll) . . . . . 69 3.6. Existencia de función de transferencia 70 3.7. Problema propuesto 73 3.8. Problema propuesto 74 3.9. Problema propuesto 75 3.10. Problema propuesto 764. SISTEMAS MUESTREADOS 77 4.1. Función de transferencia de un sistema muestreado con realimentación (1) 80 4.2. Función de transferencia de un sistema muestreado con realimentación (ll) . . 82 4.3. Función de transferencia en Z modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4. Sistema depósito-computador 87 4.5. Influencia del captador en la función de transferencia de un sistema realimentado 91 4.6. Problema propuesto .......... . 93 4.7. Problema propuesto . . . . . ..... . 94 4.8. Problema propuesto . . . . . ... . 94 4.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.10. Problema propuesto ..... 955. ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS 97 5.1. Criterio de Jury (1) . . . . . . . . . . . . 99 5.2. Criterio de Jury en) . . . . . . . . . . . . . 101 5.3. Estabilidad en sistemas muestreados . . . . 102 5.4. Estabilidad en función del tiempo de cálculo 105 5.5. Proceso de fabricación . 107 5.6. Problema propuesto 109 5.7. Problema propuesto . . . . . 110 5.8. Problema propuesto . . . . . 110 5.9. Problema propuesto 111 5.10. Problema propuesto . . . . . 1116. ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS 113 6.1. Respuesta temporal de sistemas discretos .. 119 6.2. Sistema reducido equivalente (1) . . . . 121 6.3. Sistema reducido equivalente (ll) . . . . . 123 6.4. Criterio de Jury y respuesta temporal . . . . 125 6.5. Identificación de sistemas conociendo su respuesta. . 129 6.6. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
  • 7. ÍNDICE GENERAL IX 6.7. Problema propuesto 132 6.8. Problema propuesto 133 6.9. Problema propuesto 133 6.10. Problema propuesto 1347. COMPORTAMIENTO ESTÁTICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS 137 7.1. Error de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.2. Sistemas con dinámica en la realimentación .. 141 7.3. Estabilidad y errores en régimen pennanente . . 144 7.4. Sistema de control de un barco . . . . . . . . . 146 7.5. Comportamiento estático en sistemas con realimentación constante . 149 7.6. Errores y sistemas equivalentes de orden reducido 151 7.7. Errores en un sistema multivariable. 155 7.8. Problema propuesto . . . . 158 7.9. Problema propuesto ]59 7.10. Problema propuesto 1598. COMPORTAMIENTO DINÁMICO DE SISTEMAS REALIMENTADOS 163 8.1. Comportamiento estático y dinámico al variar un polo . . . . . . . . . . 166 8.2. Diferencia de comportamiento entre control continuo y discreto de un sistema con- tinuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.3. Comportamiento de un sistema muestreado en función de la ganancia y del período de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.4. Comportamiento de un sistema muestreado en función del regulador y del período de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 8.5. Control de velocidad de un sistema físico. . . .... . 179 8.6. Problema propuesto . . . . . ...... . 184 8.7. Prob1ema propuesto . . . . . . . . 184 8.8. Problema propuesto .................... . 186 8.9. Problema propuesto 1869. CRITERIO DE NYQUIST 189 9.1. Criterio de estabilidad de Nyquist en un sistema discreto .. 191 9.2. Criterio de Nyquist con un polo en el camino. . . . . ... 193 9.3. Criterio de Nyquist con dos polos en el camino. . . . . . . 195 9.4. Criterio de Nyquist en sistema multivariable (1) . . . . . . . . . 199 9.5. Criterio de Nyquist en sistema multivariable (11) ... . 201 9.6. Problema propuesto . . . . .,. . 206 9.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . 207- 9.8. Problema propuesto . . . . . . " . . . . .. . 207 9.9. Problema propuesto . . . . . ...... . 208 9.10. Problema propuesto . . . . . . . .. . 210
  • 8. x ÍNDICE GENERAL@DlSCRETIZACIÓN DE REGULADORES CONTINUOS 213 10.1. Discretización de un regulador por diversos métodos . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.2. Comparación de la estabilidad de un sistema en cadena cerrada utilizando un regu- lador continuo y su equivalente discretizado . . . . . . . . . . . . . . 222 10.3. Comparación entre un regulador continuo y el equivalente discretizado 226 10.4. Comparación métodos de discretización y períodos de muestreo .. 231 10.5. Regulador I-PD . . . . . . . . . . . . . . ........ . 234 10.6. Saturaciones de la acción de control . . . . . 238 10.7. Problema propuesto . . . . . ......... . 242 10.8. Problema propuesto . . . . . . . . . . . ... . 243 10.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . .......... . 244~DlSEÑO DE REGUL~DORES DISCRETOS MEDIANTEV LUGAR DE LAS RAICES 247 11.1. Cálculo de un regulador discreto para obtener un error de posición nulo. 251 11.2. Diseño de un regulador discreto mediante lugar de las raíces. . . . . . 254 11.3. Diseño de un regulador discreto en un sistema con señales retardadas . . . . . . . 257 11.4. Regulador discreto con captador variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 11.5. Control de un servomecanismo 269 11.6. Problema propuesto . . . . . . . . . 275 11.7. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . 276 11.8. Problema propuesto . . . . . . 276 11.9. Problema propuesto .......... . 277 11.10. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . 278(í2:, DISEÑO DE REGULADORES ALGEBRAICOS 281 / ,-.r 12.1. Diseño por asignación de polos . . . 284 12.2. Diseño por síntesis directa (1) . . . . 287 12.3. Influencia de una falsa cancelación . . . . . . . . . . 289 12.4. Diseño por síntesis directa (11) . . . . 292 12.5. Síntesis directa con señal de salida conocida . . . . . 295 12.6. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 12.7. Problema propuesto . . . . . . . . . .. .... 298 12.8. Problema propuesto . . . . . . . . . . . . . . . 299 12.9. Problema propuesto . . . . . . . . . . . ... 300~ISEÑO DE REGULADORES DE TIEMPO MÍNIMO 303 13.1. Anulación del error ante entrada escalón . . . . . . 306 13.2. Reguladores discretos . . . . . . . . . . . 309 13.3. Análisis regulador tiempo mínimo . . . . . . . . . . . . 313 13.4. Regulador discreto con captador variable . . 315 13.5. Reguladores discretos según especificaciones .. 319 13.6. Regulador de tiempo mínimo con dinámica en la realimentación 322
  • 9. ÍNDICE GENERAL XI 13.7. Problema propuesto 324 13.8. Problema propuesto 325 13.9. Problema propuesto 325 13.10. Problema propuesto 326 13.11. Problema propuesto 327 13.12. Problema propuesto 328 13.13. Problema propuesto 329BIBLIOGRAFÍA 331
  • 10. ,Indice de figuras( 1.1. Sistema discreto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ) 1.2. Sistema discreto representado por su secuencia de ponderación. . . ..... 4 1.3. Respuesta impulsional del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ( I!:~: Secuencia de ponderación {9k} del sistema y entrada considerada {Uk}. 9 Secuencia de ponderación {9k} y entrada del sistema {Uk}. . . ..... 16 1.6. Sistema discreto.. . . . . . . 17 2.1. Método de la división larga. . . 25 2.2. Funcionamiento de una fundición. . . . . . . 29 2.3. Diagrama de bloques de la fundición. . . . . . . . . . 30 2.4. Evolución de la población de ballenas alrededor del punto de equilibrio. 34 2.5. Toneladas de madera ante una disminución de un 10 % en la cantidad talada: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6. Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el número de toneladas: (a) toneladas totales; (b) respecto al equilibrio. . . . . . ...... . . . . . 38 2.7. Diagrama de bloques stock/ventas. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. 40 2.8. Evolución del stock tras la variación de las ventas. . . . . . . . . . . . . 41 2.9. Diagrama de bloques general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 2.10. Diagrama de bloques P(z)/TN N(z). . . . . . . . . . . . . . . .. 44 2.11. Diagrama de bloques P(z) / I(z). . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44 2.12. Evolución de la población relativa alrededor del punto de equilibrio considerando únicamente la acción de la industrialización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46 2.13. Evolución de la población relativa alrededor del punto de equilibrio considerando únicamente la acción de T N N. . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.14. Evolución de la población relativa ante las dos acciones .. 47 2.15. Señal de salida. . . . . . . . . . . . ...... . 48 3.1. Muestreador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Módulo de la transfonnada de Fourier de una señal continua. . . . . 54 3.3. Módulo de la transfonnada de Fourier de una secuencia. . . . . . . 54 3.4. Sistema híbrido. . . . . . . . . . . . . . . o. •••••• • 55 3.5. Bloqueador............. 56 3.6. Conjunto muestreador-bloqueador. 56 XIII
  • 11. XIV ÍNDICE DE FIGURAS 3.7. Bloqueador ideal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. . .. 57 3.8. Bloqueador de orden cero.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 3.9. Bloqueador de orden cero en el dominio del tiempo yen el dominio de la frecuencia IHo(w)l, (T == 71"). . . . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . 58 3.10. Bloqueador de orden uno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.11. Opciones de interconectar en serie los tres bloques. . . . . . . . . . 61 3.12. Señales de los sistemas válidos: caso 1 (a), caso 4 (b) Y caso 5 (e). 62 3.13. Sistema propuesto.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.14. Transformada de Fourier de la señal de entrada. . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.15. Transfonnada de Fourier a la salida del muestreador. . . . . . . . . .. . .. . 64 3.16. Transfonnada de Fourier de la señal de entrada UB(W) al sistema continuo G(w). 64 3.17. Respuesta en frecuencia de G(w) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.18. Módu]o de ]a respuesta en frecuencia a la salida del sistema continuo. . . . . . . 65 3.19. Salida del sistema ante la entrada propuesta. . .. . 66 3.20. Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . . 66 3.21. Señal x(t) en función del tiempo. . . . . . . . . . . . . . . 67 3.22. Muestreo de la señal x(t) con período T = 1,5 segundos. 67 3.23. Representación gráfica de y(t). . .... . 68 3.24. Muestreo de la señal u( t). . . . ... . 69 3.25. Diagrama de bloques inicial. . . . . . . . . . . 71 3.26. Sistema propuesto. . . . . . . . . 74 3.27. Sistema muestreador-sistema continuo-bloqueador. 75 4.1. Sistema muestreado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2. Estudio de sistemas muestreados con las técnicas de los sistemas discretos .. 78 4.3. Transfonnada Z modificada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4. Sistema realimentado. . . . . . . . . 80 4.5. Diagrama de bloques entrada/salida. 81 4.6. Elemento a añadir a la salida. . . . . . 81 4.7. Diagrama de bloques correspondiente a la ecuación 4.19. 83 4.8. Esquema tradicional de un diagrama de bloques realimentado. 84 4.9. Esquema de realimentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.10. Control de caudal de un depósito mediante un computador. 88 4. l l. Diagrama simplificado del sistema propuesto. 90 4.12. Diagrama de bloques de la parte continua. . . . . . 90 4.13. Esquema de realimentación .. 92 4.14. Sistema propuesto.. . . . . . . 94 4.15. Sistema propuesto ... 94 4. 16. Sistema propuesto .. 95 4.17. Sistema propuesto.. . . 95 5.1. Diagrama de bloques considerado. 99
  • 12. ÍNDICE DE FIGURAS xv 5.2. Diagrama de bloques considerado. 101 5.3. Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.4. Señal de salida w(t) tras el bloqueador y el bloque constante de ganancia 3. 104 5.5. Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . . . 106 5.6. Diagrama de bloques de una empresa de fabricación. 107 5.7. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . . . . . 108 5.8. Sistema propuesto... . 110 5.9. Sistema propuesto... . l lO 5.10. Sistema propuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.11. Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JII 6.1. Respuesta impulsional de un sistema de pnmer orden para diferentes valores de la posición del polo (O < a < 1; a> l;a < -1; -1 < a < O) . . . . . . . . . . . . 116 6.2. Respuesta ante escalón unitario de un sistema estable de primer orden (O < a < 1; -1 < a < O) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117 6.3. Parámetros en un sistema de segundo orden. . . . . . . . . . . . 117 6.4. Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden. . . . . . 118 6.5. Respuesta de un sistema de segundo orden ante entrada escalón. 119 6.6. Respuesta de un sistema de primer orden estable ante señal de entrada escalón cuando a > O y cuando a < O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.7. Respuesta ante entrada escalón para los sistemas de primer orden G 1 (z) y G 2 (z ). 122 6.8. Respuesta ante entrada escalón para los sistemas de segundo orden G 3 {z), G 4 {z) y G 5 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 122 6.9. Respuesta ante entrada escalón para el sistema G (z) y para Gred (z). . 124 6.10. Respuesta ante escalón para el sistema G(z) y para el sistema Gred{z). . . . . 125 6.1 ] . Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 125 6.12. Respuesta ante escalón del sistema equivalente de orden reducido Mred (z). . 128 6.13. Respuesta ante escalón para el sistema M{z) y para el sistema Mred (z). . . . . . 129 6.14. Diagrama de bloques considerado. 129 6.15. Señales de salida {Xk} e {Yk}. 130 6.16. Sistema propuesto.. . . 132 6.17. Sistema propuesto.. . 133 6.18. Sistema propuesto.. . . 133 6.19. Sistema propuesto. . . . 134 7.1. Sistema discreto realimentado unitariamente .. . 137 7.2. Diagrama de bloques. . . . . . ...... . 139 7.3. Diagrama de bloques. . . . . . . . . 140 7.4. Diagrama de bloques. . . . . . . . . 141 7.5. Diagrama de bloques modificado. . . 142 7.6. Diagrama de bloques. . . . . . . . . 144 7.7. Sistema de control de rumbo de un barco. 146
  • 13. XVI ÍNDICE DE FIGURAS 7.8. Relación rumbo-ángulo de1 motor. . . . . . . 146 7.9. Actuador del timón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.10. Actuador del timón para pequeñas amplitudes.. ... . 147 7.11. Diagrama de bloques para pequeñas amplitudes. . . . . . 148 7.12. Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . 150 7.13. Parámetros de un sistema discreto de segundo orden. 154 7.14. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . 156 7.15. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . 158 7.16. Respuesta ante escalón unitario de G(z) . . . . . 158 7.17. Homogeneizador de chocolate. . . . . 160 7.18. Diagrama de bloques. . . . . . . . 161 8.1. Diagrama de bloques. 163 8.2. Diagrama de bloques. 166 8.3. Lugar de las raíces del sistema. 167 8.4. Diagrama de bloques. . . . . . . 170 8.5. Lugar de las raíces para el control continuo. 171 8.6. Lugar de las raíces para el control continuo. 172 8.7. Diagrama de bloques. . . . . . . 174 8.8. Lugar de las raíces del sistema. 175 8.9. Diagrama de bloques . . . . . . 177 8.10. Lugar de las raíces del sistema. 178 1 I 8.11. Sistema a estudiar. . . . . . . . . 180 ¡ 8.12. Diagrama de bloques del sistema. . . 181 ¡ 8.13. Diagrama de bloques simplificado. 182l 8.14. Lugar de las raíces del sistema. . . . 183f~~ 8.15. Lugar de las raíces del sistema. . . 185 8.16. Diagrama de bloques del sistema. . . . 185 8.17. Diagrama de bloques del sistema. . . . 186 8.18. Diagrama de bloques del sistema. . 186 9.1. Sistema muestreado realimentado. . .... 189 9.2. Camino de Nyquist para sistemas discretos. 190 9.3. Diagrama de bloques considerado. . . . . . . . . . . " ., ~ . . . . . 191 9.4. Camino de Nyquist para el sistema de la Figura 9.3. . . . . 192 9.5. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O Y para K < O. 193 9.6. Diagrama de bloques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 9.7. Camino de Nyquist elegido para el sistema de la Figura 9.6. . . . 194 9.8. Fonna vectorial de e j8 - l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 9.9. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O.. 196 9.10. Diagrama de bloques del sistema. . 196 9.11. Camino de Nyquist seleccionado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
  • 14. ÍNDICE DE FIGURAS XVII 9.12. Detalle de los tramos II y IV. 197 9.13. Diagrama de Nyquist para el sistema.. . 199 9.14. Camino de Nyquist elegido. . . . . . . . 200 9.15. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist. . . . . . . . . . . . . . . . . 201 9.16. Sistema multivariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201 9.17. Respuesta en frecuencia (módulo y fase) de Xl! (a), X 12 (b), X 21 (c) Y X 22 (d).. 202 9.18. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI > 0,5 Y K 2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 204 9.19. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando KI = 1 Y K 2 > 0,5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.20. Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9.21. Diagrama de Nyquist cuando se recorre el punto z = 1 por la izquierda. . . . . . 206 9.22. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 9.23. Diagrama de Nyquist para el sistema propuesto. . . . . . . . 207 9.24. Respuesta en frecuencia del sistema (módulo y argumento) .. 208 9.25. Respuesta en frecuencia en el diagrama polar. 209 9.26. Diagrama de bloques. . . . . . . . . 209 9.27. Camino de Nyquist para r 1 . . . . ... 210 9.28. Camino de Nyquist r 2. . . . . . . . . . . 210 9.29. Camino de Nyquist r 4. . . . . . . . . . . . . . 211 9.30. Diagrama polar. . . . . . 211 ~ ,¡ { 10.1. Sistema discreto de control. . . . . . . . . 213 10.2. Sistema continuo de control. . . . .. .... . . . 213 10.3. Controlador discreto de un sistema continuo. . . ..... 214 , 10.4. Aproximación de la evolución temporal de ambos sistemas. 214 10.5. Regulador PID continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 I0.6. Regulador I-PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 J 10.7. Respuesta de ante entrada escalón del regulador continuo (a) y del regulador dis- / cretizado con la aproximación del operador derivada T = 0,5 (b) Y con T = 0,033 seg. (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.8. Respuesta ante entrada escalón del regulador discretizado mediante la aproxima- J ción trapezoidal (b) T = 0,5 Y(e) T = 0,033 seg. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 ¡ 10.9. t Respuesta ante entrada escalón del regu]ador discretizado obtenido mediante la ¡ i equivalencia ante entrada escalón (b) T = 0,5 Y (c) T = 0,033 seg. 222 " 10.10. Regulador continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 ! tiJ 10.11. Regulador discreto del sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223I 10.12. Lugar de las raíces del sistema en bucle abierto con regu]ador continuo: (a) cuando , ° < a < 1 Y (b) cuando a > 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 ~ 10.13. Lugar de ]as raíces del sistema diseretizado con aproximación del operador deriva- da cuando: (a) a < e- l y (b) a > e-l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
  • 15. XVIII ÍNDICE DE FIGURAS l 10.14. Lugar de las raíces del sistema discreto con aproximación trapezoidal cuando: (a) " 2-a 2+a > e-1 y (b) 2-a 2+a < e -1 . . . . . . . . . ................. . 226 10.15. Sistema continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10.16. Lugar de las raíces para el sistema continuo. 227 10.17. Criterio del argumento. . . . . . . . . . o • • 228 10.18. Respuesta ante escalón unitano con regulador PIDo 229 10.19. Respuesta ante escalón unitario con regulador discretizado. 231 10.20. Diagrama de bloques propuesto. . . . o • • • • • • • • • • 234 10.21. Señal de salida continua con el regulador R(s). . ... 235 10.22. Secuencia de salida con T == 0,2 sega . . . . . . . . . . . . . o 236 10.23. Secuencia de salida con T == 0,05 sega . . . . . . . . . . o • • • • 236 10.24. Diagrama de bloques con la estructura I-PO. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 10.25. Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,2 sega .. o • 237 10.26. Secuencia de salida con la estructura I-PD y T == 0,05 sega 237 10.27. Sistema discreto de control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 10.28. Secuencia de salida (superior) y secuencia de control (inferior) ante escalón. 239 10.29. Secuencia de salida (superior), secuencia de control antes de saturación (centro) y secuencia de control después de saturación (inferior) ante entrada escalón. . . .. 240 10.30. Secuencia de salida (superior), secuencia de control (inferior) ante entrada escalón. 241 10.31. Secuencias de salida ante entrada escalón. . . . . . . . . . 242 10.32. Diagrama de bloques propuesto. . . . . . . . . . 243 10.33. Diagrama de bloques propuesto. . . . . . . . . . . . . . . 244 10.34. Variación de la señal de salida ante perturbación. . 245 10.35. Diagrama de bloques con el computador. . . . . . 245 11.1. Polo dominante del sistema. . . . . . . . 248 11.2. Diagrama de bloques entrada/salida. .. 251 I 11.3. Lugar de las raíces del sistema con regulador proporcional. 252 11.4. Criterio del argumento con el regulador. . . . . . . . . . . . 253 11.5. Lugar de las raíces del sistema con regulador po. . ... . 253 .¡ 11.6. Respuesta ante escalón unitario con el regulador PO diseñado. 254 I , 11.7. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . . . ......... . 255 ¡ J 11.8. Lugar de las raíces para el sistema de la Figura 11.7. . . . . . . . . . . . . . 255 I 11.9. Criterio del argumento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 11.10. Señal de salida ante entrada escalón unitario con el regulador diseñado. . . 257 11.11. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . . . . . . . . 258 11.12. Lugar de las raíces para M 2 (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 11.13. Lugar de las raíces para M3 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 261 11.14. Respuesta del sistema con R( z) == 4, H 3 (s). ... . . . 262 11.15. Respuesta del sistema con R(z) == 4, H 2 (s). . . ...... . 263 11.16. Posición de polos y ceros en bucle abierto. 264 11.17. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . 266
  • 16. ÍNDICE DE FIGURAS XIX 11.18. Diagrama de bloques entrada/salida. 267 11.19. Diagrama del servomecanismo a controlar. . 269 11.20. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . 271 11.21. Lugar de las raíces del sistema. . . . . . . . 272 11.22. Respuesta ante entrada escalón con el regulador proporcionaL. 273 11.23. Principio del argumento para el cálculo del cero del regulador. 273 11.24. Secuencia de salida con regulador PO. . . . . . . 274 11.25. Sistema a controlar. . . . . . . . . . . . . . . . 275 1] .26. Respuesta ante escalón con el regulador P D(z). 275 11.27. Control continuo. 276 11.28. Control discreto. . . 276 11.29. Sistema discreto.. . 277 11.30. Sistema discreto. . . 277 11.31. Respuesta ante entrada escalón . . . 278 11.32. Diagrama de bloques propuesto. . . . . 278 11.33. Secuencia de salida ante entrada escalón con el regulador propuesto. 279 12.1. Sistema discreto en bucle cerrado. 281 12.2. Sistema discreto.. . . . . . . . 284 12.3. Sistema discreto. . . 287 12.4. Sistema discreto .. 289 12.5. Sistema discreto. . . . 292 12.6. Sistema discreto.. . 296 12.7. Señal de salida deseada ante escalón unitario. 296 12.8. Diagrama de bloques del sistema. . . . . . . . 297 12.9. Secuencia de salida ante entrada escalón con regulador proporcionaL . . . . . . . 298 12.10. Secuencia de salida ante entrada escalón con regulador por asignación de polos. . 299 12.11. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 12.12. Sistema propuesto.. . 300 12.13. Sistema propuesto.. . 300 12.14. Secuencia de salida.. 301 13.1. Sistema discreto en bucle cerrado. . . . . . . . . . . . 303 13.2. Diagrama de bloques de un sistema híbrido. . . . . 305 13.3. Diagrama de bloques de un sistema híbrido. . . . . 307 13.4. Señal de salida del sistema ante entrada escalón con el regulador calculado. 308 13.5. Señal de error ante el regulador calculado en la primera etapa. . . 311 13.6. Señal de error y acción de control ante el regulador calculado. . . . . . . . . . 313 13.7. Sistema discreto con regulador discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 13.8. Señal de salida ante entrada escalón con el regulador de tiempo mínimo calculado. 315 13.9. Diagrama de bloques entrada/salida. . . . . . . . . .,. . . 315 13.10. Lugar de las raíces del sistema de la Figura 13.9. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3] 6
  • 17. xx ÍNDICE DE FIGURAS 13.11. Sistema propuesto. . . . . . . . 319 13.12. Lugar de las raíces del sistema. 320 13.13. Criterio del argumento. . ....... . 321 13.14. Sistema propuesto. . . . . . . . 323 13.15. Diagrama de bloques. . . . . . 324 13.16. Diagrama de bloques en bucle cerrado. . . . . 325 13.17. Sistema en bucle cerrado. . ... . 326 13.18. Sistema en bucle cerrado. . . . . . . . . . . 326 13.19. Valores para T == 1 seg .. . 327 13.20. Valores para T == 0,5 seg . . . . . . . . 327 13.21. Sistema en bucle cerrado. 328 13.22. Sistema en bucle cerrado. 328 13.23. Sistema en bucle cerrado. 329
  • 18. ,Indice de Tablas 1.1. Respuesta ante entrada impulso .. 6 1.2. Respuesta ante entrada escalón .. 7 1.3. Secuencia de salida ante escalón 8 1.4. Secuencia de salida ante entrada impulso .. 8 1.5. Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderación) 12 1.6. Secuencia de saJida del sistema . . . . . . 12 . 2.1. Transformadas Z de secuencias básicas. . 19 : 2.2. Propiedades de la transfonnada Z . . . . . 20 ? 2.3. Nivel de hierro en los cinco primeros días tras una reducción de 10 kg. en el sumi- nistro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Variación en la caza de ballenas . . . . . . 34 2.5. Variación en la caza de ballenas . . . . . 35 2.6. Variación de la población entre 80 y 85 .. 42 2.7. Variación de la población entre 80 y 85. Variables absolutas y relativas 45 5.1. Tabla de coeficientes de Jury . . . . . . . . . . . 98 5.2. Criterio de Jury para el sistema de la Figura 5.1 100 5.3. Criterio de Jury para el sistema 102 5.4. Criterio de Jury para el sistema . . . . . . . . . . . 109 6.1. Intervalo de pico y sobreosciJación de los sistemas. 121 6.2. Intervalo de subida y de establecimiento para los tres sistemas de segundo orden. 121 6.3. eri terio de J ury para el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... 126 7.1. Errores en estado pennanente en respuesta a diferentes entradas. 139 7.2. Criterio de Jury . . . . . . . . ., . . . . . . . . . . 144 7.3. eriteno de Jury para el sistema . . . . . 145 7.4. Tabla de Jury para el sistema . . . . . . 151 7.5. Tabla de Juey para el sistema.. 155 9.1. Respuesta ante entrada impulso ...... . ]95 9.2. Módulos y argumentos para el tramo I 198 XXI
  • 19. XXII ÍNDICE DE TABLAS 9.3. Módulos y argumentos para el tramo TII ..... 198 13.1. Criterio de Jury para el polinomio característico 317
  • 20. CAPÍTULO 1 SECUENCIAS y SISTEMAS DISCRETOS .,DEFINICION DE SECUENCIAUna secuencia se puede definir como cualquier conjunto ordenado de elementos. La forma generalde representar una secuencia es {Xk}, siendo k el Índice que indica el orden del elemento dentro dela secuencia: (1.1 ) • Secuencia impulso: {8k} = {l, 0, 0, 0, ... } (1.2) • Secuencia escalón unitario: {Uk} = {l,l,l,l,l, ... } (1.3) • Secuencia rampa: {rk} = {0,1,2,3,4,5, ... } (1.4)PROPIEDADES DE LAS SECUENCIASAlgunas propiedades características de las secuencias son las siguientes: • Una secuencia {Yk} es la secuencia retrasada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k Yk = Uk-n (1.5) • Una secuencia {Yk} es la secuencia adelantada n posiciones de otra {Uk} si entre ellas se verifica que para todo k (1.6) • Una secuencia {Yk} es suma de otras dos {Xk} {Vk} si (1.7) 1
  • 21. 2 Control de sistemas discretos • Una secuencia es {Yk} producto de otra {Xk} por una constante m si se cumple (1.8) • Se dice que una secuencia {Xk} es acotada si existe un valor e tal que para cualquier k se cumple IXkl < c. • Energía de una secuencia {Xk}: (1.9) n=-(X) • Se dice que una secuencia es secuencia temporizada cuando proviene del muestreo penódico (T) de una señaJ continua.SISTEMAS DISCRETOSUn sistema discreto (Figura 1.1) es un algoritmo que pennite transfonnar una secuencia de entrada{Uk} en otra secuencia de salida {Yk}. {Uk } Sistema .. Discreto {yJ .. Figura 1.1. Sistema discreto. (1.10) Características de los sistemas: • Un sistema discreto es estático cuando el elemento de la secuencia de salida de un cierto índice depende únicamente del elemento de la secuencia de entrada del mismo índice. • Un sistema discreto es dinámico cuando el elemento de la secuencia de salida de un cierto índice es función de elementos de las secuencias de entrada y salida de índices distintos al suyo. • Un sistema discreto dinámico es causal si el valor de un elemento de la secuencia de salida depende únicamente de los de ésta de índice menor y de los de la secuencia de entrada de índice menor o igual.
  • 22. Secuencias y sistemas discretos 3 • Si la función que define cada elemento de la secuencia de salida es lineal, el sistema se deno- mina asimismo lineal: Yk == alYk-1 + a2Yk-2 + .,. + anYk-n + bOUk + blUk-1 + ... + bmUk-m (l.ll) • Si los coeficientes ai, bi de la ecuación previa (1.11) son independientes del tiempo, se dice que el sistema lineal es invariante. La ecuación (1.11) usada para estudiar estos sistemas se denomina ECUACIÓN EN DIFERENCIAS. ,SECUENCIA DE PONDERACIONSe denomina secuencia de ponderación de un sistema a la secuencia de salida cuando la secuenciade entrada es una secuencia impulso. Se representa por {g k}. Conocida la secuencia de ponderaciónde un sistema discreto, es posible detenninar la secuencia de salida de cualquier sistema ante unasecuencia de entrada detenninada. ASÍ, la secuencia de salida de un sistema ante una secuencia deentrada {Uk} será: n=~ n=~ {Yk} = L Un{gk-n}:::: {Uk} * {9k} == L 9n{Uk-n} == {9k} * {Uk} (] .12) n=-oo n=-~donde * denota la operación de convolución entre dos secuencias. La secuencia de ponderación esuna manera de representar el comportamiento de un sistema discreto.ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DISCRETOUn sistema discreto es estable si ante cualquier secuencia de entrada acotada la secuencia de salidaes también acotada. Para que el sistema sea estable es necesario y suficiente que la secuencia deponderación sea absolutamente sumable: n=oo n=-~ L 19n1 < 00 ( 1.13)RESPUESTA EN FRECUENCIALa respuesta en frecuencia de un sistema discreto caracterizado por su secuencia de ponderación{9k} viene dada por: k=oo Q(w) == L 9ke-jwkT (1.14) k=-oodonde T representa la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia de ponderación.
  • 23. 4 Control de sistemas discretosTRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SECUENCIALa transformada de Fourier de una secuencia temporizada {x k} se define como: n ex> X(w) = n-+-oo lím ~ xke-jwkT = L...,.¡ ~ xke-jwkT L...,.¡ ( 1.15) k=-n k=-oodonde T representa la diferencia de tiempos para cada elemento de la secuencia temporizada. Latransfonnada inversa de Fourier se define como: T J1r/T Xk == - X(w)e iwkT dJJJ (1.16) 27r -1r/TUna condición suficiente para la convergencia de la transformada de Fourier es que la secuencia{Xk} sea absolutamente sumable: 00 ( 1.17) {yJ .. Figura 1.2. Sistema discreto representado por su secuencia de ponderación.Relación fundamental de los sistemas discretos. En un sistema discreto (Figura 1.2), la transfor- mada de Founer de la secuencia de salida y (w) es igual al producto de la respuesta en fre- cuencia del sistema 9 (w) por la transformada de Fourier de la secuencia de entrada U (w ): Y(w) == Q(w)U(w) ( 1.18)Fórmula de ParsevaI. Pennite calcular la energía de una secuencia a partir de la transfonnada de Fourier de ]a misma: ( 1.19)TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA SECUENCIALa transformada de Lap]ace de una secuencia {Xk} tal que Xk == O para k < O se define como: ex:> X(s) = LXke-skT (1.20) k=O
  • 24. Secuencias y sistemas discretos 5siendo s == a + JW una variable compleja. Para que la transformada de Laplace converja (condiciónsuficiente) debe cumplir (depende de a): (X) L IXke-ukTI < 00 (1.21 ) k=OEsta expresión se denomina condición de convergencia absoluta y depende de a. Igualmente, sedenomina abscisa de convergencia absoluta, (fe, al ínfimo de los valores a E ~ que satisfacen laanterior condición de convergencia. El dominio de convergencia absoluta es el semi plano complejodefinido por los puntos s E e con parte real mayor que (fe. La convergencia de la transfonnada deLaplace está asegurada en su dominio de convergencia absoluta, pero puede converger en un dominiomás amplio.La transformada de Laplace de una secuencia es una función periódica respecto a la parte imaginariade período 2.;: 21r X(s +r j) = X(s) (1.22)La transformada inversa de Laplace se define para todo (J E ~ que verifique: <X> L IXke-ukTI < 00 (1.23 ) k=Ocomo; T ¡U+7rj /T Xk == -2. X(s)e skT ds ( 1.24) Ir] u-7rj/T1.1 Respuesta de un sistema discreto ante una secuencia de entradaPara el sistema defi nido por: Yk == Yk-l - O,5Yk-2 + Uk-2 (1.25) l. Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia impulso. 2. Calcular directamente la respuesta del sistema ante entrada secuencia escalón.
  • 25. 6 Control de sistemas discretosSolución 1.1Los apartados solicitados son: 1. Para calcular la respuesta directamente se construye la Tabla 1.1, donde {Ó k} es la secuencia impulso y {9k} es la señal de salida. Dado que la señal de entrada es la secuencia impulso, esta señal de salida será la secuencia de ponderación. I k I Ók I Ók-2 I 9k-2 I 9k-l I 9k o 1 O O O O 1 O O O O O 2 O 1 O O 1 3 O O O 1 1 4 O O 1 1 0,5 5 O O 1 0,5 O 6 O O 0,5 O -1/4 7 O O O -1/4 -1/4 8 O O -1/4 -1/4 -1/8 9 O O -1/4 -1/8 O 10 O O -1/8 O 11]6 Tabla 1 l. Respuesta ante entrada impulso Por tanto, la respuesta del sistema es la secuencia de ponderación: {9k} == {D;O; 1; 1;0,5;0; -1/4; -1/4; -1/8;0; 1/16;0; ... } (1.26) 2. Igualmente, se construye la Tabla 1.2 para obtener la respuesta del sistema {Yk} ante entrada escalón {Uk} de fonna directa. También es posible obtener la respuesta mediante el uso de la convolución discreta: 00 {Yk} == L n=-oo 9n{Uk-n} (1.27) teniendo en cuenta la secuencia de ponderación {9k} dada en 1.26, se tiene: 00 Yo L n=-(X) 9n U O-n == 90Uo == O (1.28) 00 Yl L n=-oo 9n U l-n == 90 U l + 91UO == O (1.29) 00 Y2 L 9n n=-(X) U 2-n == 90 U 2 + 91 Ul + 92 U O == 1 ( 1.30)
  • 26. Secuencias y sistemas di seretos 7 k Uk Uk-2 Yk-2 Yk-l I Yk o 1 O O O O 1 1 O O O O 2 1 1 O O 1 3 1 1 O 1 2 4 1 1 1 2 2,5 5 1 1 2 2,5 2,5 6 1 1 2,5 2,5 2,25 7 1 1 2,5 2,25 2 8 1 1 2,25 2 1,875 9 1 1 2 1,875 1,875 10 1 1 1,875 1,875 1,9375 Tabla 1.2. Respuesta ante entrada escalón CX) Y3 - L 9n U 3-n = 90 U 3 + 92 U l + gl U2 + 93 U O = 2 (1.31 ) n=-oo n=-oo ( 1.32) y así sucesivamente. Como se puede apreciar, los resultados son coincidentes independiente- mente del método empleado.1.2 Estabilidad de un sistema discreto (1)Dada la ecuación en diferencias: Yk == -3Yk-l - 2Yk-2 + Uk (1.33)obtener la secuencia de salida {Yk} cuando la secuencia de entrada es {Uk} - {lk}. Deducir laestabilidad del sistema.Solución 1.2En primer lugar, la secuencia {Yk} se puede obtener a partir de la Tabla 1.3.Observando la secuencia de salida, se puede deducir la siguiente ley: Yo - 1 Yk -2Yk-l (k impar) Yk - -2Yk-l +1 (k par) (1.34)
  • 27. 8 Control de sistemas discretos I k I Uk Yk-2 Yk-l Yk o I O O I 1 I O 1 -2 2 I I -2 5 3 1 -2 5 -10 4 I 5 -lO 21 5 1 -10 21 -42 Tabla l.3. Secuencia de salida ante escalón k Ók I 9k-2 I 9k-l I 9k O I O O I 1 O O 1 -3 2 O I -3 7 3 O -3 7 -15 4 O 7 -15 31 5 O -15 31 -63 Tabla 1.4. Secuencia de salida ante entrada impulsoque al tender k a 00, la secuencia de salida tendería también a oo. Por tanto, el sistema es inestable.También se puede deducir hallando {9k}, que se encuentra en la Tabla 1.4. Se observa que: 00 ( 1.35) n=-oono está acotado. Se cumplirá: lím 9n =1= O ( 1.36) n-oopor lo que resultará un sistema inestable.1.3 Estabilidad de un sistema discreto (11)Un sistema tiene por respuesta impulsionalla representada en la Figura 1.3. Discutir su estabilidad.Solución 1.3Se aprecia que no es estable dado que: lím 9n =1= O ( 1.37) n--+oo
  • 28. Secuencias y sistemas discretos 9 • 0,8 • • • • • • • • 0,6 04 0,2 o~------------------------------------ o 2 3 4 5 6 1 8 9 ..10 Figura] 3 Respuesta impulsional del sistema.condición necesana, y: (1.38)condición necesaria y suficiente.1.4 Convolución discreta. Transformada de Fourier y de LaplacePara un sistema cuya secuencia de ponderación es {9k}, hallar la respuesta de] sistema ante la entra-da {Uk} (Figura 1.4). Calcular igualmente las transfonnadas de Fourier y Laplace de dicha salida. {gk} 2 • 2 1 • 1 2 3 1 2 • 3 --+--- •• • -1 • -1 Figura] .4. Secuencia de ponderación {gk} del sistema y entrada considerada {Uk}.
  • 29. 10 Control de sistemas discretosSolución 1.4Mediante la aplicación de la convolución discreta, se tiene: CXJ {Yk} == L n=-CXJ 9n{Uk-n} (1.39)Se obtiene para los ténninos de {Yk}: CXJ Yo L n=-CXJ 9n UO- n == 90 U o == - 2 ( 1.40) CXJ Yl L 9n U l-n == 91 U O + 90 U l = 5 (1.41) n=-CXJ CXJ L 9n U 2-n == 92 U O + 9¡U¡ + 90 U 2 == O ( 1.42) n=-CXJ CXJ Y3 L n=-CXJ 9n U 3-n == 93 U O + 92 U ¡ + 9¡U2 + 90 U 3 == -1 ( 1.43) CXJ Y4 L n=-CXJ 9n U 4-n == 94 U O + 93 U ¡ + 92 U 2 + 91 U 3 + 90 U 4 == O (1.44) CXJ L n=-CXJ 9n U 5-n == O ( 1.45) (1.46)por tanto: {Yk} == {- 2; 5; O; 1; O; ... } (1.47)Para hallar la transfonnada de Fourier se aplica la siguiente fónnula: CXJ Y(w) == L Yke-jwkT == -2 + 5e- jwT - e- jw3T (1.48) k=-CXJy para la transfonnada de Laplace: CXJ Y(s) == LYk e- SkT == -2 + 5e- sT _ e- 3sT (1.49) k=O1.5 Respuesta de un sistema discreto ante cualquier secuencia de entrada a partir de la secuencia de ponderaciónUn sistema responde ante una secuencia escalón unitario con la secuencia: , , , , , , {0·1·3·4·4·4"·· .} (1.50)
  • 30. Secuencias y sistemas discretos 11Obtener el valor de los elementos de la secuencia de salida ante la entrada {2, 2, 1}.Solución 1.5Ante escalón, la señal de salida es: {Yk} ~ {O;1;3;4;4;4; ... } (] .51)La respuesta impulsionaJ, por tanto, será: {gk} = {O; 1; 2; 1; O; O; ... } (1.52)Si la entrada es {Uk} = {2, 2, 1}, la salida {Yk} se puede obtener a partir de: {Yk} = {Uk} * {9k} (1.53)Descomponemos {Uk} en función de {á k }: (1.54)Entonces: {Yk} 2{O;1;2;1;0;0; ... } +2{O;O;1;2;1;O, ... } + 1{O;O;O;1;2;1; ... } {O;2;6;7;4;1;O;O; ... } ( 1.55)1.6 Sistemas discretos: estudio comparativo de la estabilidad, la respuesta y la , energIaDado el sistema discreto definido por la ecuación en diferencias: (1.56)y siendo {Uk} = {O; 1; -1; 1/4; O; O; ... } (1.57)Se pide: 1. Estudiar la estabilidad del sistema. 2. Calcular la respuesta del sistema: a) Directamente. b) Utilizando la convolución discreta. e) A través de la transfonnada de Fourier. d) A través de la transformada de Laplace. 3. Calcular la energía de la secuencia de salida:
  • 31. 12 Control de sistemas discretos a) Directamente. b) Utilizando la fónnula de ParsevaLSolución 1.6Los apartados solicitados son: l. Para calcular la estabilidad, hallamos la respuesta ante entrada secuencia impulso. Para ello, se construye la Tabla 1.5, siendo {Ók} la secuencia impulso y {9k} la salida del sistema ante entr-ada escalón o secuencia de ponderación. I k I Ók I gk-l I 9k o 1 O 1 1 O 1 1/2 2 O 1/2 1/4 3 O 1/4 1/8 4 O 1/8 1/16 5 O 1/16 1/32 Tabla 1 5 Secuencia de salida ante entrada impulso (secuencia de ponderación) De esta forma: {gk} = {1;1/2;1/4;1/8;1/16; ... } (1.58) y como se cumple que: LI9kl < 00 (1.59) se puede deducir que el sistema es estable. 2. a) Para calcular la respuesta directamente, se fonna la Tabla 1.6, donde {Uk} es la secuencia de entrada e {y k} es la secuencia de salida. I k I Uk I Yk-l I Yk o O O O 1 I O 1 2 -J 1 -1/2 3 1/4 -1/2 O 4 O O O 5 O O O Tabla l 6. Secuencia de salida del sistema Por tanto: {Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... } (1.60)
  • 32. Secuencias y sistemas discretos 13b) También se puede calcular mediante la convolución discreta: ex:> {Yk} = L gn{Uk-n} (1.61) n=-ex:> y dando valores a k se tiene: ex:> Yo - L n=-ex:> 9n U o-n=1·0==0 (1.62) ex:> Yl L n=-ex:> gnUl-n = 1 . 1 + 1/2 . O = 1 ( 1.63) ex:> Y2 L n=-ex:> gn U2-n = 1 . (-1) + 1/2·1 + 1/4· O = -1/2 (1.64) ex:> Y3 L 9n n=-ex:> U 3-n = 1 . 1/4 + 1/2 . (-1) + 1/4 ·1 + 1/16 . O = O ( 1.65) 00 Y4 L n=-oo 9n u 3-n = 1 . O + 1/2 ·1/4 + 1/4 . (-1) + 1/8 . 1 + 1/16 . O = O (1.66) Por tanto: {Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... } (1.67)e) La respuesta del sistema también se puede obtener a través de la transformada de Fourier. Para ello, se debe hallar Q(w) y U(w). 00 Q(w) L 9ke-jwkT = k=-(X) leo + 1/2e- jwT + 1/4e- 2jwT + 1/8e- 3jwT + ... == 1-0 2 (1.68) 1 - 1/2e- jwT 2 - e- jwT ex:> U(w) L uke-jwkT = e- jwT - e- 2jwT + 1/4e- 3jwT (1.69) k=-oo Por tanto: y(w) Q(w) . U(w) ==
  • 33. 14 Control de sistemas discretos 2. . (e- iwT _ e-2jwT + 1/4e- 3jWT ) == 2 - e- JwT _ e- jwT _ 1/2e- 2jwT ( 1.70) De aquí se deduce que: {Yk} = {O; 1; -1/2;0;0; ... } (1.71) d) También se puede obtener a través de la transfonnada de Laplace. Para ello) se ha de calcular Q(s) y U(s). 00 g(s) - L9ke,skT == k==O leo + 1/2e-sT + 1/4e- 2sT + 1/8e- 3sT + ... == 1-0 2 (1.72) 1 - 1/2e- sT 2 - e- sT 00 U(s) == L Uke-sT == e- sT - e- 2sT + 1/4e- 3sT (1.73) k=O Pudiéndose obtener, por tanto: Y(s) - 9(s), U(s) = 2 ___ . (e- sT _ e- 2sT + 1/4e- 3ST ) == 2 - e- sT _ e- sT _ 1/2e- 2sT (1.74) Luego 1 {Yk} = {O; 1; -1/2; O; O; ... } (1.75) 3. a) En este apartado se pide calcular la energía de la secuencia de salida. El primer método a aplicar es mediante cálculo directo: 2 1 5 E == L IYk I == 1 + -4 = -4 (1.76) b) En segundo lugar se va a obtener la energía mediante la aplicación de la fónnula de Parseval: E - -1 J1I" Y(w)· Y(-w)dw = 21r -1f ~ J1I" (e- jWT - 1/2e- 2jwT ) . (e jwT - 1/2e2jwT ) dw = 27r -1f ~ J1I" (5/4 - 1/2e jwT - 1/2e- jWT ) dw = 27r -11" _ ~ [~w]1f _ ~ [ei.WT ]1I" +~ ]1I" _ ~ WT [eJ. (1.77) 27l 4 -1f 47r JT -11" 471" JT -11" 4 1También se podría haber aplicado Yk = T 2 1t]. I. U U-J1r T +i1T//T Y(s)e skT ds.
  • 34. Secuencias y sistemas discretos 151.7 Problema propuestoDada la ecuación en diferencias: 311 Yk == -Yk - 1 - -Yk - 2 + Uk - -Uk 1 4 8 2- ( 1.78)Obtener la secuencia de salida {y k} cuando la secuencia de entrada es {Uk} == {O; 1; 1; 1; 1; ... }.Solución 1.7La secuencia de salida es: {Yk} == {O; 1; 1,25; 1,312; 1,328; 1,332; 1,333; ... } (1.79)1.8 Problema propuestoCalcular la secuencia de ponderación del sistema definido por: (1.80)Estudiar su estabilidad.Solución 1.8La secuencia de ponderación es: {gk} == {1;3; 11;39; 139;495; 1763; ... } (1.81 )El sistema es inestable.1.9 Problema propuestoUtilizando la convolución discreta, hallar la respuesta del sistema cuya secuencia de ponderación es{gk} ante la entrada {Uk} Y calcular la energía de dicha respuesta.Solución 1.9La respuesta del sistema es: {Yk} == {O; 2; 1; O; O; O; O; ... } ( 1.82)
  • 35. 16 Control de sistemas discretos {g~J {lit} 25 .. --"T""" -- 12 2t 0,8 • 15 06 • 04 05 02 o o 05 1 15 - - 2 2,5 k 3 3,5 .... 4 45 5 o o 05 1 15 2 ..... _- 2,5 k -- 3 . 35 ..a __ 4 L- 45 5 Figura 1.5. Secuencia de ponderación {gk} y entrada del sistema {Uk}.La energía es 5.1.10 Problema propuestoEstudiar la estabilidad y la respuesta 3.Qte entrada escalón de un sistema cuya secuencia de pondera-ción es: {gk} = {1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5; 1/6; ... } (1.83)Solución 1.10El sistema es inestable, pues: - 00 ¿Ignl ~ 00 ( 1.84) n=OLa señal de salida es: {Yk} = {1; 1,5; 1,833; 2,083; 2,283; 2,450; 2,592; 2,71 7; ... } ( 1.85)1.11 Problema propuestoUn sistema discreto tiene la siguiente secuencia de ponderación: (1.86)Se pide: 1. Aplicar el teorema de convolución para obtener la secuencia de salida {Yk} ante una entrada {Uk} == {1; 1; -1; -1}.
  • 36. Secuencias y sistemas discretos 17 2. Función de transferencia G (z) y ecuación en diferencias. 3. aplicar los teoremas del valor inicial y final para calcular ]os valores inicial y final de la señal de salida {Yk} cuando ]a señal de entrada {Uk} es un escalón unitarIo.Solución 1.11 l. {Yk} = {l; 3; 2; -2; -3: -l} ( 1.87) 2. G(z) = (z + 1)2 (1.88) z2 Yk = uk + 2Uk-l + Uk-2 ( 1.89) 3. Yo =1 YOCl =41.12 Problema propuestoDado el sistema representado en la Figura 1.6, calcular la secuencia de salida {Yk} si la secuenciade entrada es la secuencia impulso. Discutir la estabilidad del sistema. Figura I 6. Sistema discreto.Solución 1.12 {Yk} = {1;1;1;1;1;1; ... } (1.92)El sistema es inestable dado que la secuencia de ponderación no es una suma finita.
  • 37. , CAPITULO 2 TRANSFORMADA ZDEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA ZLa transfonnada Z de una secuencia temporizada {Xk} se define como: 00 X(z) == Z[{Xk}] = L Xk Z - k (2.1 ) k=-ooLas transfonnadas de Fourier y de Lap]ace se relacionan con la transfonnada Z mediante z := e jwTy Z :::: e sT , respectivamente.TRANSFORMADAS Z BÁSICASLas transformadas Z de algunas secuencias básicas se encuentran en la Tabla 2.1. {Ók} == {l;O;O;O;O; ... } 6(z) = 1 {Uk} == {1; 1; 1; 1; 1; ... } U(z) = z~l {Xk} = {1;a;a ;a ;a ; ... } X(z) == _ z 2 3 4 z-a {Xk} == KT = {O;T; 2T; 3T; 4T; ... } X(z) == Tz ~Z-1)2 {Xk} = (KT)2 = {O; T 2 ; 4T 2 ; 9T2 ; 16T2 ; .. . } X( ) - T z(z+l) Z - (z-1)3 {Xk} == e- aKT == {1; e- aT ; e- 2aT ; e- 3aT ; e- 4aT ; ... } X(z) == z_ez- aT Tabla 2.1. Transformadas Z de secuencias básicas 19
  • 38. 20 Control de sistemas discretosPROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZLas propiedades fundamentales de la transfonnada Z se encuentran resumidas en la Tabla 2.2. Nombre Descripción Linealidad Z[a{Xk} + t1{Yk}] = aZ[{xk}] + ,BZ[{Yk}] Desplazamiento Z[{Xk-n}] = z-n Z[{Xk}] Desplazamiento Z[{Xk+n}] = ZnZ[{Xk}] - ¿~:Ol XiZn-i Multiplicación por una exponencial Z[{akxk}] =: X(a- 1 z) Diferenciación d~X(z) = -z-lZ[kxkJ Convolución de secuencias Y(z) = G(z)U(z) <===* Yk = ¿~=_oognuk-n Teorema del valor inicial Xo = lím z -+ oo X(z) Teorema del valor final X oo = lírn z -+ 1 [ (1 - z -1 ) X (z )] Tabla 2.2. Propiedades de la transfonnada Z ,CALCULO DE LA TRANSFORMADA INVERSA ZExisten diferentes posibilidades para el cálculo de la secuencia {Xk} a partir del conocimiento de sutransfonnada X ( z ) : l. Si la transfonnada Z de una secuencia X (z) es una función racional, se puede obtener la secuencia de partida {x k} al aplicar el teorema de los residuos. Xn = L Residuos[X(z)zn-l] (2.2) polos ¡ntenores a e siendo e una curva que incluye al origen y contenida dentro del dominio de convergencia de la serie. El residuo de un polo simple se puede calcular como: X(z) = f(z) => Residuo en a = f(a) (2.3) z-a El residuo de un polo de multiplicidad m se puede calcular como: /(z). 1 [d m - 1/ (Z)] X(z) = (z _ a)m => Residuo en a = (m - 1) dz m- I z=a (2.4) 2. Si las secuencias tienen únicamente ténninos de índice positivo (dominio de convergencia Izl > 1/p), se puede usar el método de la división larga. Para obtenerla, se expresa la trans- fonnada Z como el cociente de los polinomios en Z-l y se dividen: N(z-1) 00 -k X(z) = D(Z-l) = ~XkZ (2.5)
  • 39. Transfonnada Z 21 3. Descomposición en fracciones simples: (2.6)FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN ZLa función de transferencia en Z de un sistema definido por la ecuación en diferencias: (2.7)es: 1 G(z) = Y(z) = bo + b1z- + ... + bmz- m (2.8) U(z) 1 + alz- 1 + ... + anz- n2.1 Transformada Z de secuencias tipoEncontrar la transfonnada Z de las siguientes secuencias: l. Secuencia impulso {Ók} = {1; O; O; O; ... }. 2. Secuencia escalón {Uk} = {1; 1; 1; 1; ... }. 3. Secuencia rampa {Tk} = {O; 1; 2; 3; ... }. a) Directamente. b) A partir de la anterior. 4. Secuencia parabólica {Pk} = {O; 1; 4; 9; ... }: a) Directamente. b) A partir de la anterior. 5. Secuencia exponencial { ek} = {O; O; O; O; e; 2e 2 ; 3e3 ; .. . }.
  • 40. 22 Control de sistemas discretosSolución 2.1Se tiene: l. Para la secuencia impulso se tiene: 00 6(z) == 2: 8n z- n == 1z- o + OZ-l + OZ-2 + ... == 1 (2.9) n=-(X) 2. Para la secuencia escalón: 00 z U(z) == ~ "" UnZ -n == 1 + z -1 + z -2 + ... == 1 _ 1z-l z-l (2.10) n=-oo siempre y cuando se cumpla Iz- 1 1< 1. 3. Para la secuencia rampa se tienen dos posibilidades: a) Directamente: ex) R(z) == 2: rnz- n == 0+ z-l + 2z- 2 + 3z- 3 + ... (2.11) n=-(X) Fonnando: zR(z) - R(z) 1+2Z -1+3- 2 Z + ... -z -1 - 2- 2 - 3-3 ... == z z 1+ Z-l + Z-2 + z-3 + ... == z (2.12) z-l siempre y cuando se cumpla Iz- 1 1< 1. Por tanto: R(z) == _l___ == z_ z (2.13) z - 1z - 1 (z - 1)2 b) A partir de la anterior, se sabe que: dX(z) = -z-l Z[{kXk}] (2.14) dz A partir de una sencilla modificación de la secuencia escalón: {Xk} = {1;1;1;1;1; ... } {O;1;2;3;4;5; ... } = {rk} (2.15) Haciendo uso de la ecuación 2. 14, se tiene: dX(z) Z[{kXk}] = Z[{rk}] = -z dz (2.16)
  • 41. Transformada Z 23 y dado que se conoce la transformada Z de la secuencia escalón X(z), dada por la ecuación 2.10, se tiene: z X(z) z-l dX(z) (z-l)-z -1 (2.17) dz (z - 1)2 (z - 1)2 luego -1 z R(z) = Z[{rdl = -z (z _ 1)2 - (2.18) (z - 1)24. Para la secuencia parabólica se presentan dos posibilidades: a) Directamente: 00 p{z) == L pnz-n == 0+ Z-l + 4z- 2 + 9z- 3 + ... (2.19) n=-oo Al fonnar: (z - 1)2 p(z) = (z2 - 2z + l)p(z) (2.20) evaluando esta expresión a partir de la ecuación 2.19, se tiene: (z2 - 2z + l)p(z) == z + 2 + 2z- 1 + 2z- 2 + 2z- 3 + ... (2.21) (z2 - 2z + l)p(z) == z + 2(1 + Z-1 + Z-2 + z-3 + ... ) == z + 2 z (2.22) z-l siempre y cuando se cumpla Iz- 1 1< 1. Despejando, ( z) = z(z + 1) (2.23) p (z - 1)3 b) A partir de las expresiones anteriores, se hace uso de ]a misma propiedad 2. 14. Si se expresa: {O;1;2;3;4; ... } {kr k} == {O; 1; 4; 9; 16; ... } (2.24) Al igual que en el caso precedente 2.16: dR(z) pez) == Z[ {krk}] == Z[{Pk}] == -z dz (2.25) De esta fonna, conociendo cuanto vale R( z), calculado en el apartado previo 2.18, se puede obtener su derivada: dR(z) (z - 1)2 - 2z(z - 1) z+l (2.26) dz (z - 1)4 (z - 1)3 con lo que se obtiene la transformada Z de la secuencia pedida: Z+l] = z(z+l) pez) = Z[{pdl = [ -z - (z _ 1)3 (z - 1)3 (2.27)
  • 42. 24 Control de sistemas discretos 5. Para la secuencia exponencial {ek} == {O, O, O, O, e, 2e 2, 3e 3, ... } se hace uso de la siguiente propiedad: (2.28) Si se halla en primer lugar la transfonnada Z de la secuencia {tk} == {O, e, 2e 2, 3e 3, ... }, se puede expresar Z [{t k }] =:: Z [{e k r k} ], siendo r {t k} la secuencia rampa cuya transformada Z se ha hallado anteriormente, obteniendo la expresión dada por la ecuación 2.13. De esta forma se tiene: (2.29) Para obtener la transfonnada Z de {ek} basta con desplazar los tres instantes de muestreo, obteniendo la expresión definitiva: (2.30)2.2 Transformada Z inversa de una secuenciaHallar la transformada Z inversa de: z U(z) = (z _ 1)2 (2.31 )para el dominio de convergencia Iz- 1 1< 1 por los siguientes métodos: ]. Método de los residuos. 2. Método de la división larga.Solución 2.2Se tiene: 1. Por el método de los residuos, se parte de la conocida expresión: Un == L Residuos[U(z)zn-l] (2.32) polos intenores a e e siendo una curva que rodea al origen y que se encuentre en el dominio de convergencia. La expresión 2.31 tiene un polo doble cuyo residuo será: U(z)zn-l (z - 1)2 Residuo == 1 d n 1! dz z == l! Z [n n-l] z=l == n (2.33) Por tanto, la secuencia será la dada por Un == n, es decir, {Un} == {O; 1; 2; 3; 4; ... }, que es la secuencia rampa.
  • 43. Transfonnada Z 25 2. Al emplear el método de la división larga, se expresan los numeradores y denominadores como potencias de Z-I, ya que el dominio es de la fonna Iz- 1 1< 1. ASÍ, se tiene: -1 U( -1) ___ _ z (2.34) Z == (Z-1 _ 1)2 1 - 2z- 1 + Z-2 con lo que ya se puede efectuar la división. A medida que se realiza ]a división, se obtiene como cociente los coeficientes que fonnan la secuencia requerida (Figura 2.1), quedando la secuencia de salida de ]a fonna {un} == {O; 1; 2; 3; 4; .. }: -1 Z _Z-I +2z-2 _Z-3 + 2z-2 _Z-3 - 2z-2 +4z-3 - 2z-4 +3z-3 -2z-4 -3z-3 +6z-4 -3z-5 4z-4 -3z-5 Figura 2.1. Método de la división larga.2.3 Función de transferencia de un sistema discretoDado el sistema discreto definido por la siguiente ecuación en diferencias: Yk - Yk-l + O,16Yk-2 == Uk-2 (2.35) 1. Calcular su función de transferencia. 2. Calcular el valor inicial y final de su respuesta ante escalón: a) Aplicando las propiedades de la transfonnada en Z. b) Calculando la antitransfonnada.
  • 44. 26 Control de sistemas discretosSolución 2.3Se tiene: l. La ecuación en diferencias se cumple para cualquier valor de k, por lo que también la cum- plirán las secuencias. Hallando la transformada Z de cada secuencia y empleando las siguien- tes equivalencias: {Yk} ----+ Y(z) {Yk-l} ----+ z-ly(Z) {Yk-2} ----? z- 2y(z) {Uk-2} ----+ z- 2U(z) (2.36) Aplicando esta transfonnación a la ecuación 2.35, se tiene: (2.37) obteniendo como función de transferencia G z _ Y(z) _ z-2 (2.38) ( ) - U(z) - 1 - Z-1 + O,16z- 2 2. Para calcular el valor inicial y final se presentan dos posibilidades: a) La transformada Z del escalón es: z 1 U(z) == --1 == 1 - z -1 (2.39) Z - Por las propiedades de la transfonnada Z se pueden detenninar los valores de inicio y fin de la respuesta del sistema ante una entrada en escalón siempre y cuando el sistema sea estable: Yo lím Y(z) == lím G(z)U(z) z-+oo Z-+OO = -2 1 lím z . == O (2.40) Z-+OO 1- Z-l + O,16z- 2 1- Z-l Yoo lím [(1 - z-l )Y(z)] == lím [(1 - z-l )G(z)U(z)] == z-+l z-+l -2 1 lím(l - Z-l) Z . 1 == 6,25 (2.41 ) z-+l 1- Z-l + O,16z- 2 1 - z- si el radio de convergencia es Izl > p, con p < 1. b) La transfonnada inversa se puede calcular por tres métodos: la fórmula de los residuos, mediante la descomposición en fracciones simples y por el método de la división larga.
  • 45. Transfonnada Z 27• Mediante la fónnula de los residuos se tiene: Yn = Residuos[Y(Z)Zn-l] (2.42) polos intenores a G siendo e una curva que rodea al origen y se encuentra en el dominio de convergen- cia. Lo primero será, pues, calcular la respuesta ante entrada escalón. Z-2 z Vez) G(z)U(z) = 1 _ z-l + 0,16z-2 z-1 z (2.43) (z - 0,2)(z -0,8)(z - 1) Si se halla la secuencia por la fónnula de los residuos, se tiene: Yn = [(Z-0,~;(z-1)L=o,2 + [(Z-0,~;(z-1)L=o,8 + + [(z - 0,8;~Z - 0,2) ] z=l - 2,08 . 0,2 n - 8,33 . O,8 n + 6,25 (2.44) se tiene: Yo Yoo ° 6,25 (2.45)• Mediante la descomposición en fracciones simples, z 1 A B e Y(z) ==. z - 1 z2 - Z + ° 16 = z - 1 + z - 0,2 +-- z - 0,8 (2.46) que se puede resolver igualando los numeradores: z == A(z - 0,2)(z - 0,8) + B(z - 1)(z - 0,8) + C(z - 1)(z - 0,2) (2.47) 1 z=l ~ A== - =625 (2.48) O,16 Z = 0,2 ::::} B = 0,2 = 041 (2.49) , 048 0,8 Z == 0,8 ::::} C= -O 12 = -6,66 (2.50) , (2.51) De esta forma, la transformada Z de la secuencia de salida será: Y(z) = 6,25 + 0,41 6,66 (2.52) z-l z-02 , z-08 ,
  • 46. 28 Control de sistemas discretos Puesto que z / (z - a) es la transformada Z de la secuencia {a k}, con k mayor o igual que cero, se tiene la siguiente expresión para la secuencia de salida: 6,25z- 1 Z 1 Z Z Y(z) = 1 + O,41z- O 2 - 6,66z-1 O8 (2.53) z- z- , z- , Yn == 6,25 . 1n-1 + 0,41 . 0,2 n - 1 - 6,66 . O,8 n - 1 (2.54) si n > l. Y como en el caso anterior (ecuación 2.45): Yo Yoo ° 6,25 (2.55) • Por el método de la división larga: Z-2 z Y(z) ~-----_._- 1- z-1 + 0,16z- 2 z -1 z-2 1 - 2z- 1 + 1,16z- 2 - 0,16z- 3 Z-2 + 2z- 3 + 2,84z- 4 + 3,52z- 5 + ... (2.56) Permite calcular cómodamente el valor iniciaJ, pero no así el valor final.2.4 Análisis de una fundiciónSe desea analizar la producción de hierro de una fundición. El esquema de funcionamiento de lamisma se muestra en la Figura 2.2.La fundición tiene como características: • El proceso de fundición tiene un rendimiento del 80 %. • Los residuos pueden tratarse para reconvertirse en materia prima. • Existe un suministro diario de materia prima (hierro). • Cada día se deteriora un 25 % de la materia prima por corrosión. • Cada día se tratan los residuos producidos el día anterior.Admitiendo como vanables las siguientes:fk Hierro fundido el día k (medido en kg.)Pk Piezas fabricadas el día k (medido en kg.)tk Residuos tratados el día k (producidos el día k - 1)
  • 47. Transfonnada Z 29 800/0 piezas -------~ ~UNDICION J Materia Prima 200/0 residuos TRATAMIENTOl RESIDUOS _J Figura 2.2. FuncionamIento de una fundiciónhk Kg. de materia prima (hierro) aJ final del día kSk Suministro de hierro el día k (medido en kg.)Se pide: ]. Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a producción de hierro en la fundición. 2. Linealizar dichas ecuaciones en tomo a un punto de equilibno dado por un suministro de 500 kg. de hierro al día y una fabricación de 300 kg. de piezas al día. 3. Representar el diagrama de bloques teniendo como entradas e] suministro de material y la demanda de piezas fabricadas y como saJida ]a materia en stock. 4. Calcular la función de transferencia entre el stock de hierro y el suministro diario de material. 5. Calcular el valor que tomará en régimen permanente el nivel de hierro en stock si el suministro diario aumenta en 20 kg. 6. Calcular la secuencia de valores que tomará el nivel de hierro en stock durante los cinco pri- meros días después de que el suministro de hierro se reduzca en 10 kg.Solución 2.4Se tiene:
  • 48. 30 Control de sistemas discretos l. Las ecuaciones en diferencias del sistema que se deducen a partir de las condiciones del pro- blema son las siguientes: hk hk - 1 - 0, 25h k + Sk - fk + tk O,81k Pk o,2fk-l (2.57) 2. En primer lugar, es necesario calcular el punto de equilibrio del sistema. En equilibrio, los valores en el instante k - 1 serán iguales a los valores en el instante k. Por tanto: ho ho - 0,25h o + So - lo + to 0,8/0 Po 0,2/0 - to (2.58) ASÍ, en equilibrio, se tiene: ho 800 kg. lo 375 kg. to 75 kg. (2.59) 3. Puesto que las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema son ya lineales, la trans- formada Z de estas ecuaciones será: H(z) Z-1 H(z) - 0,25H(z) + 8(z) - F(z) + T(z) O,8F(z) P(z) 0,2z- 1 F(z) T(z) El diagrama de bloques se muestra en la Figura 2.3. S(z) + +: z Vez) R(z) .... 1,25z-1 pez) .. 1,25 F(z) .1 O~21 T(z) Figura 2.3. Diagrama de bloques de la fundición. 4. Para el cálculo de la función de transferencia entre el stock y el suministro de material se considerará constante la cantidad de piezas fabricadas diariamente; por tanto, su valor incre- mental (con respecto al punto de equilibrio) será nulo. En estas condiciones, la función de transferencia solicitada es: H(z) 1 1 (2.61) 8(z) 1,25-z-
  • 49. Transformada Z 315. En estas condiciones, la variable de entrada será un escalón de 20 unidades: 8(z) _ 20 (2.62) - 1- Z-1 Por tanto: H(z) = 20 1 (2.63) 1- z-1 1,25 - z-1 Para obtener el vaJor en régimen permanente aplicaremos el teorema del valor final (dado que el sistema es estable): lím hk == lím [(1 - Z-1) . H(z)] = 80 (2.64) k-HX) z-+1 Dado que la secuencia está representada respecto a su punto de equilibrio, que es de 800 kg., la cantidad de hierro en stock será: hec == 800 + 80 == 880 (2.65)6. En este caso, la variable de entrada se corresponderá con un escalón de -10 unidades. Por tanto: H(z) = -10 1 (2.66) 1- Z-1 1,25 - Z-1 Para obtener la secuencia de valores, se calcula la transfonnada Z inversa: h - Z-1 [ -10 ] (2.67) k - (1 - z-1 )(1,25 - z-l) Calculando la transfonnada Z inversa por reducción a fracciones simples, se obtiene: h k == 32 . O,8 k - 40 (2.68) Por tanto, en los cinco primeros días se obtienen los valores representados en la Tabla 2.3. Día hk respecto equilibrio I h k global I o -8 792 kg. 1 -14,4 785,6 kg. 2 -195, 780,5 kg. 3 -23,5 776,4 kg. 4 -26,9 773,1 kg. 5 -295, 770,5 kg. Tabla 2.3. Nivel de hierro en los cinco pnmeros días tras una reducción de 10 kg. en el suministro
  • 50. 32 Control de sistemas discretos2.5 Evolución de la población de ballenasSe supone que el número de ballenas que nacen a lo largo de un año depende únicamente de lapoblación existente a principios de dicho año, P, según la ecuación: (2.69)Asimismo, el número de fallecimientos naturales durante un año depende de la población existentea principios de ese año según la ecuación: (2.70)La caza de ballenas ocasiona a ]0 largo del año un número de fallecimientos directamente propor-cional a la población existente a primeros de año y al número de balleneros, B, existente: J == 10- 4 P· B (2.71)Se pide: 1. Hallar las ecuaciones en diferencias que marcan ]a evolución de la población de las ballenas de un año a otro. 2. Linealizar dichas ecuaciones y hallar un modelo lineal sabiendo que la población actual es de 10.000 ballenas. 3. Hallar la función de transferencia en Z que relaciona el número de ballenas con el número de balleneros. 4. Obtener la evolución de la población de ballenas si se prohibiese bruscamente ]a caza de ballenas cuando la población es de 10.000.Datos: Al == -8.000; A 2 == 4.000; a = 0,69 . 10- 4 ; b == 1,38 . 10- 4 ; e == 4.000; B 1 == 0,875 .10- 2 ; B 2 == 1,7 .10- 6Solución 2.5Se tiene: ]. Para establecer las ecuaciones en diferencias se denominará Pk a la población de ballenas existente a comienzos de un año. Al año siguiente, existirá una población de ballenas igual a la de] año anterior más los nacimientos producidos a 10 largo del año menos el número de fallecimientos naturales y menos el número de ballenas cazadas, es decir: (2.72) donde: A 1 e- aPk + A 2 e- bPk + e B1Pk + B2Pf 10- 4 Pk B k (2.73)
  • 51. Transformada Z 332. Se Jinealizan las anteriores ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, definido por Po 10.000. En este punto de equilibrio, las ecuaciones se expresan como: Po Po + No - Mo - Jo No Ale- aPo + A 2 e- bPo + e Mo B 1 PO + B2P~ Jo 10- 4PoBo (2.74) Al resolver este sistema, se obtienen unos valores de las variables en equilibrio: No -8000e- O,69 10- 4 10 4 + 4000e-1.38 10- 4 10 4 + 4000 == 993,7 Mo 0,875 . 10- 2 • 104 + 1,7 . 10- 6 . 108 == 257,5 Jo No - Mo == 993,7 - 257,5 == 736,2 Jo Bo 10- 4 Po == 736,2 (2.75) Si se linealizan las ecuaciones en torno a este punto de equilibrio (ecuación 2.75), empleando variables incrementales, se tiene: Pk + Nk - Mk - Jk [Al (-a)e- aPk + A 2 ( -b)e- bPk ] Pk=Po . Pk == 0, 138Pk [BI + 2B2 Pk ]Pk=PO . Pk == 4,275 . 10- 2 P k 4 4 [10- B k ] Bk=Bo . Pk + [10- Pk ]Pk =Po . Bk = Bk + 7,362 · 10- 2 Pk (2.76) Al agrupar estas ecuaciones incrementales y Iinealizadas, resulta: (2.77)3. Para el cálculo de la función de transferencia en Z se pasan las ecuaciones incrementales linealizadas al dOlTIlnio z. pez) == 1,0216P(z)z-1 - Z-l B(z) (2.78) pez) 1 (2.79) B(z) 1 - 1,0216z- 1 1,0216 - z Ésta es la función de transferencia entre el número de ballenas y el número de balleneros para un modelo lineal que sea equivalente al dado, es decir, que presente pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio que se ha tomado para linealizar las ecuaciones iniciales que eran no lineales. Por tanto, fuera de este entorno de] punto de equilibrio, esta función de transferencia deja de ser válida.
  • 52. 34 Control de sistemas discretos Caza de ballenas I Antes I Después Valor absoluto 736,2 O Valor relativo o incremental O -736,2 Tabla 2.4. Variación en la caza de ballenas 4. Si se prolube la caza de ballenas, se pasaría (en el punto de equilibrio) de 736,2 a O ballenas cazadas. Esto se puede estudiar como si el comportamiento fuera un escalón de ganancia -736,2 unidades (Tabla 2.4). z B(z) == z _ 1 (-736,2) (2.80) con lo que la salida del sistema o número de ballenas sería: P( ) 1 . z (-736 2) (2.81 ) z == 1,0216 - z z- 1 El sistema es inestable (presenta un polo fuera del círculo unidad). Ante una variación brus- ca de B(z), la salida P(z) crecerá desmesuradamente. Por tanto, según el modelo lineal, el número de ballenas crecería hasta el infinito. En la realidad, lo que ocurre es que al aumen- tar el número de ballenas, el sistema deja de encontrarse alrededor del punto de equilibrio y el sistema ya no es equivalente. El sistema probablemente se mueve hacia otro punto de equilibrio. 4 X 10 3,5 --.-,-----,..----.----- -~--~--~ 3 •• - 2,5 - •• •.- ••• - 2 1,5 1 _.•• .- .- •• •• .-.- 0,5 o~--~---~--~---~---~-~ o 5 10 15 20 25 30 Figura 2.4. Evolución de la población de ballenas alrededor del punto de equilibno
  • 53. Transformada Z 35 Año o J 2 3 4 Valores relativos o incrementales O 736 1.488 2.256 3.041 Valores absolutos 10.000 10.736 11.488 12.256 13.041 Tabla 2.5. Variación en la caza de ballenas Si se partiera de otro punto de equilibrio, como por ejemplo Po == 15.000, se tendría: No 1.662,9 Mo 513,75 Jo 1.149,2 Ro 766,12 (2.82) y la ecuación incremental: (2.83) con 10 que: P(z) , -15z- 1 1,5 (2.84) B(z) 1- , O 9901z- 1 0,9901 - z Alrededor de este punto de equilibrio, el sistema ya sería estable.2.6 Explotación de la madera en un bosqueSe desea analizar el sistema de explotación de la madera en un bosque. Para ello, se conoce lacantidad de toneladas de madera disponibles en el bosque al principio de cada año, así como de lastoneladas de madera taladas a lo largo de cada año. Admitiendo que el bosque aumenta su cantidadde madera un 5 % respecto al valor que tuviera a finales del año antenor, se pide: 1. Hallar la ecuación en diferencias del sistema. 2. Determinar el punto de equilibrio para que el bosque se mantenga en 5.000 toneladas de madera. 3. Hallar la función de transferencia en Z que relaciona el número de toneladas taladas durante un año y la cantidad de toneladas de madera disponible en el bosque a finales de ese mismo año. 4. Calcular el tiempo que tardaría en duplicarse la cantidad de madera disponible en el bosque si se disminuyen bruscamente las taJas en un 10 % a partir del punto de equilibrio.
  • 54. 36 Control de sistemas discretos 5. Analizar la evolución en la cantidad de madera disponible en el bosque si se incrementa el número de toneladas taladas un 4 % durante los tres primeros años.Solución 2.6Se tiene: l. Denominando: mk Toneladas de madera en el bosque a finales del año k tk Toneladas de madera taladas durante el año k La ecuación en diferencias del sistema queda: (2.85) que se interpreta de la siguiente forma. El número de toneladas de madera en el bosque al finalizar el año k es igual al que había a finales del año anterior más lo que ha crecido durante ese año y menos las toneladas de madera taladas durante ese año. 2. Para calcular el punto de equilibrio, se tiene: mo = 1,05mo - to (2.86) de esta forma, se obtiene como punto de equilibrio aquel en el que el número de toneladas taladas a lo largo de un año es: to == O,05mo == 0,05 . 5.000 == 250 toneladas/año (2.87) 3. Dada la ecuación en diferencias 2.85, la transformada Z quedaría: M(z) == Z-l M(z) + 0,05z- 1 M(z) - T(z) (2.88) M(z) 1 1 - (2.89) T(z) 1,05z- 1 - 1 1,05 - z Expresión válida para variables incrementales o relativas. 4. Si bruscamente las talas se disminuyen un 10 %, pasarían de talarse 250 toneladas/año a talarse 225 toneladas/año. Respecto al punto de equilibrio, este hecho se admite como un escalón de amplitud -25. De esta forma: -25 T(z) == 1 _ Z-l (2.90) 1 -25 M(z) == 1,05z- 1 - 1 . 1 - z-1 (2.91) Para calcular la evolución temporal de esta señal de salida es necesario calcular la transfonna- da inversa Z. Utilizando el método de las fracciones simples: 1 -25 A B M(z) == 1,05z- 1 1 1 - Z-1 -1-O-5z---1---1 + 1- z-1 (2.92) - ,
  • 55. Transfonnada Z 37 Resolviendo, se obtiene A = -525; B = -500. Así: (2.93) Partiendo del punto de equilibrio para calcular el tiempo que se tarda en duplicar la cantidad de madera disponible en el bosque, se tendría (2·5.000-5.000 == 5.000), con lo que mk = 5.000. 5.000 = 525 . (I,05)k - 500 (2.94) log 5.500 k = 525 = 48 1 (2.95) log 1,05 Por tanto, el bosque tardaría en duplicar su cantidad de madera un total de cuarenta y nueve años. En la Figura 2.5 se observa la evolución temporal de la madera de] bosque. :j-- ,.-----,- --,...------, -1 -1 ••••• j • 6000 5000 •• •• •• • ••• - 9000 4000 • •• •• 3000 ••• •• •• • tI ••• 6Q()()O . 2000 1000 ..L..--- • -- , -------- o 15 20 25 30 35 40 45 50 o o 10 20 30 40 50 60 k (O) (b)Figura 2.5. Toneladas de madera ante una disminución de un 10% en la cantidad talada: (a) toneladastotales; (b) respecto al equilibrio. 5. Si se incrementa un 4 % el número de toneladas de madera talada los tres primeros años, se tiene la siguiente secuencia de talado: {tk} = {260;260;260;250;250;250;···} (2.96) La evolución respecto al punto de equilibrio resulta: {tk} == {lO; 10; 10; O; O; O; ... }. De esta forma, se tiene: T(z) = 10 + lOZ-l + 10z- 2 = 10 Z2 + z + 1 2 (2.97) Z 1 O z2 + z + 1 M( z - 1,05z- 1 )- - 1. 1·---- z2 (2.98)
  • 56. 38 Control de sistemas discretos obteniendo por el método de la di vi sión larga: {mk} == {-lO; -20,5; -31,5; -33,1; -34,8;···} (2.99) Respecto al punto de equilibrio, sería: {mk} == {4990; 4979; 4968; 4966; 4965; ... } (2.100) Esta evolución se representa en la Figura 2.6 . ...-•• . ....•• e.e. e. • ••• •••• j •• •• ··.1 •• , , , , T •• o 5 10 15 20 25 30 35 40 45 se 20 30 40 50 60 k (a) (b)Figura 2.6. Toneladas de madera ante un incremento de un 4 % en el número de toneladas: (a)toneladas totales; (b) respecto al equilibrio.2.7 Evaluación del stock en un almacénEn un almacén se hace inventario semanalmente. Para mantener el nivel de stock 1 se realizan lassiguientes operaciones: • Cuando el stock desciende del nivel deseado, ID, se realizan pedidos al distribuidor con el fin de mantener dicho nivel. Si el stock es superior al nivel deseado, se devuelven pedidos al distribuidor. Es decir, que la cantidad de pedidos, P S, realizados a principios de semana es: PS == K¡(ID - 1) (2.101) siendo 1 el nivel de stock a principios de dicha semana . • La recepción de productos, RS, durante la semana es proporcional al volumen total de pedidos no servidos, P, al principio de dicha semana con una constante de proporcionalidad, K 2.
  • 57. Transfonnada Z 39 • Las ventas semanales, V S, son independientes del inventario y las recepciones cancelan los pedidos.Se pide: l. Ecuaciones en diferencia. 2. Evolución del inventario cuando las ventas semanales que se habían estabilizado en 100 uni- dades pasan bruscamente a 120 unidades.Siendo ID == 1.000 unidades, K 1 = 0,3 y K 2 = 0,8.Solución 2.7Se tiene: 1. Denominando las siguientes variables como: Ik Nivel de stock a principios de la semana k 1 D Nivel de stock deseado PSk Pedidos realizados a comienzos de la semana k RSk Recepción de productos durante la semana k Pk Volumen de pedidos no servidos durante la semana k V Sk Ventas realizadas durante la semana k se tienen las siguientes ecuaciones en diferencia: PSk K 1 (ID - I k ) RSk K2 P k Ik+l Ik +RSk - VS k Pk PSk-1 - RSk - 1 (2.102) 2. El punto de equilibrio vendrá dado por V So = 100. Las demás variables en el punto de equilibrio serán: PSo K 1 (ID - lo) RSo K 2 PO lo lo +RSo - VSo Po PSo - RSo (2.103) con lo que se obtienen los siguientes valores en el punto de equilibrio: VSo 100 RSo 100 lo - 916,6 Po 125 PSo - 25 (2.104)
  • 58. 40 Control de sistemas discretos Linealizando las ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, se tiene: PSk -Kl1k RSk K 2 Pk 1k+l Ik + RSk - VSk Pk PSk - 1 - RSk - 1 (2.105) Hallando la transfonnada Z y reagrupando, finalmente se obtiene: PS(z) - -K 1 1(z) 1 l(z) - 1 _ z [VS(z) - RS(z)] RS(z) K 2 PS(z) (2.106) Z+K2 que se puede representar en el diagrama de bloques de la Figura 2.7, teniendo en cuenta que las ventas semanales configuran la señal de entrada y el inventario se toma como señal de salida. VS(z) + - _ _.0=1_ __ I(z) ~ .-~2-~K z+K 2 I Figura 2 7. Diagrama de bloques stock/ventas La función de transferencia entre la salida (stock semanal) y la entrada (ventas semanales) es la siguiente: l(z) (2.107) VS(z) Expresión válida solamente para variables incrementales o relativas. Si las ventas se encuentran estabilizadas en 100 unidades (punto de equilibrio) y pasan a 120 unidades, se puede simular el efecto producido como si se efectuase un escalón de amplitud 20 unidades sobre el punto de equilibrio de las ventas semanales, con lo que la vanable de stock se modificaría: l(z) = z + 0,8 z .20__ (2.108) -z2 + (1 - 0,8)z + 0,56 z- 1 El valor final de esta variable relativa en el infinito, si el sistema es estable, será: loo = lím(1 - z-l) Z + 0,8 . 20 z = -150 (2.109) z---?l _Z2 + (1 - 0,8)z + 0,56 z - 1
  • 59. Transfonnada Z 41 De esta manera, el valor final de la variable relativa del stock será lo == -150, que en variables absolutas será 916,6 - 150 == 766,66. Los valores iniciales de la variable stock se pueden examinar mediante el método de la división larga: 20 -1 + 16 -2 I( -1) Z Z (2.110) Z == -1 + 1,2z- 1 + O,36z- 2 - O,56z- 3 quedando unos valores para el nivel de stock 1 alrededor del punto de equilibrio: Ik == {O, -20, -40, -55 "2· -69 "4·····, -150} (2.111 ) Sobre e] valor inicial lo == 916~6, se tiene una evolución: Ik = {916,6; 896,6; 876,6; 861,4; 847,1;· .. ; 766,6} (2.112) Esta evolución se observa en ]a Figura 2.8. W!O. tDD • • • • • • • •• •• •• •• •• •••• ••••••••••••••••••• 1 10 11 2D • • Figura 2.8. Evolución del stock tras la vanación de las ventas.2.8 Evolución de la población en función de la industrialización y de la tasa de natalidadSe trata de obtener un modelo parcial que describa ]a influencia que ejercen la industrialización y latasa de natalidad sobre la población de una región. Para ello, se supondrá: • La tasa de natalidad real (T N R) de un año es igual a ]a tasa de natalidad natural (T N N) de dicho año menos a veces e] incremento de la población (P) entre dicho año y el anterior.
  • 60. 42 Control de sistemas discretos • La tasa de mortalidad real (T M R) de un año es igual a b veces el grado de contaminación (GC) de dicho año más e veces el grado de contaminación del año anterior más una constante d. • El grado de contaminación anual es e veces el producto de la industrialización (1) y la pobla- ción de dicho año.Se pide: l. Ecuaciones en diferencia del modelo. 2. Transformada en Z y diagrama de bloques del modelo lineal, así como las funciones de trans- ferencia si se supone que existe un equilibrio para lo = 2 Y T N No == 0,02. 3. Valor de la población desde el año 80 al 85 si 1 y T N N toman los valores de la Tabla 2.6. Año 1/ I TNN I 80 2 0,02 81 3 0,015 82 4 0,015 83 3 0,015 84 2 0,02 Siguientes 2 0,02 Tabla 2.6. Variación de la población entre 80 y 85Datos: a == 4 . 10- 6 ; b == 3 . 10- 3 ; e = 2 . 10- 3 ; d == 0,01; e == 10- 3Solución 2.8Se tiene: l. Únicamente existe una ecuación en diferencias adicional a las dadas en el enunciado y es la que expresa el incremento de la población de un año al siguiente. En conjunto, las ecuaciones en diferencias son: Pk + T N Rk . Pk - T M Rk . Pk T N Nk - a[Pk - Pk-l] b . GCk + e . GCk - 1 + d e·lk Pk (2.113) 2. Es necesario determinar el punto de equilibrio, que viene dado por lo == 2 Y T N No = 0,02. En el punto de equilibrio se produce P k == P k + 1 == Po: TNRo· Po == TMRo· Po
  • 61. Transformada Z 43 TNRo = TNNo TM Ro = (b + e) . Geo + d Geo = e· 10Po (2.114)con lo que se obtiene un punto de equilibrio: TNRo TNNo = TMRo == 0,02 0,02 (3 . 10- 3 + 2 . 10- 3 ) Geo + 0,01 ~ GCo = 2 2 10- 3 . 2Po :::::} Po = 1000 (2.115)Linealizando las ecuaciones en tomo al punto de equilibrio, se tiene: Pk + T N Ro . P k + Po . T N Rk - T M Ro . Pk - Po . T M Rk T N N k - a . Pk + a . P k - 1 b . GCk + e . GCk - 1 e . lo . Pk + e . Ik . Po (2.116)que sustituyendo con los valores en el punto de equilibrio, se tiene, finalmente, PIG~l Pk + 1.000· TNR k - 1.000· TMR k TNRk - TNNk - 4· 10~6. P k + 4.10- 6 . Pk - 1 3.10- 3 . GCk + 2.10- 3 . GCk- 1 2 . 10- 3 . Pk + lk (2.117)La transformada en Z quedará de la forma: (z - l)P(z) 1.OOOTNR(z) -l.OOOTMR(z) z-l TNR(z) TNN(z) - 4.10- 6 . pez) z TMR(z) 10- 3 . CG(z) . 3z + 2 z GC(z) 2.10- 3 . pez) + fez) (2.118)Con las ecuaciones anteriores se puede representar el diagrama de bloques tomando cornoentradas T N N(z) e fez) y corno salida P(z) (Figura 2.9).Para hallar la función de transferencia P(z)jT N N(z), se supondrá nula la entrada I(z), conlo que se establece el diagrama de bloques siguiente de la Figura 2.10.Siendo la función de transferencia en Z 1000z pez) z2-0,994z+0,004 TNN(z) 1+ 1000z . 4·10- 6 (z-1) z2-0,994z+0,004 z 1.000 (2.119) z - 0,99
  • 62. 44 Control de sistemas discretos GC(z) I(z) 0,001 ~ 3z+2 z 0,002 TMR(z) TNN(z 1000 pez) .... z-l z-l 4 1o-{i ~----- z Figura 2.9 Diagrama de bloques general. P(z) TNN(z) + TNR(z) lOOOz Z2 -O,994z+0,004 z-l 4 10-6 ~_---.J z Figura 2.10. Diagrama de bloques P(z)jTN N(z). I(z) + I -3z+c=] P(z)-,," ~l Z2-0,996z~~---""" 1-------- -0,002 ~41------- Figura 2.11. Diagrama de bloques P(z)/ fez). Para el cálculo de la función de transferencia P( z) / 1(z ), de igual fonna, se supone nula la entrada T N N(z), resultando el diagrama de bloques representado en la Figura 2.11.
  • 63. Transfonnada Z 45 La función de transferencia adopta la expresión siguiente: -3z-2 P(z) z2-0,996z-0,006 -3z - 2 (2.120) !(z) - 1 + Z2-0 9~~;~O 004 . , , -2 .10- 3 - z2 - 0,99z Estas funciones de transferencia son válidas para variables relativas o incrementales.3. Los valores reflejados en la Tabla 2.6 representan la evolución de las variables absolutas, por lo que será necesario obtener los valores relativos o incrementales, teniendo en cuenta que: Variables absolutas = Variables punto equiJibrio + Variables relativas (2.]21) De esta manera, se podría construir la Tab]a 2.7. , Año Iabsoluta 1relativa TNN absoluta T N Nrelativa 80 2 O 0,02 O 81 3 1 0,015 -0,005 82 4 2 0,015 -0,005 83 3 1 0,015 -0,005 84 2 O 0,02 O Siguientes 2 O 0,02 O Tabla 2.7. Variación de la población entre 80 y 85. Vanables absolutas y relativas Para obtener los valores relativos de la población (P) cuando ]a industrialización (1) y la tasa natural de natalidad (T N N) varían según la Tabla 2.7, se puede aplicar superposición: hallar la población ante entrada nula en la industrialización y sumarla a la población obtenida con entrada nula en la tasa natural de natalidad. ASÍ: Sólo industrialización Se cumple: {1k} = {O, l, 2, l, O·, O·, O·, ... } {TNNk } = {O;O;O;O;O;···} (2.] 22) cuya transfonnada Z resulta: 2z + 1 I() =z z -1 + 2z -2 +z -3 =z2 +z3 - - --- (2.] 23) La población en variables incrementales y ante esta entrada será: P(z) = P(z) I(z) = -3z - 2 z2 + 2z + 1 (2.124) I(z) z2 - 0,99z z3 Obteniéndose una secuencia de salida: {Pk}relativa-s610 indust = {O; O; -3; -10,97; -17,86; -19,68; -19,48; ... } (2J 25) En la Figura 2.12 se detalla esta evolución.
  • 64. 46 Control de sistemas discretos ~2 -4 • -10 -12 • -14 . . ..16;- •••• ....•••••••••••• , 1 ..18 r • •••••••••••••• -20 o _.. -- 5 10 15 -- -- - 20 25 30 35 40 Figura 2.12. Evolución de la población relativa alrededor del punto de equilibrio considerando únicamente la ac- ción de la industrialización. Sólo tasa natural de natalidad Se cumple: { Ik} == {O·, O·, O·, O·, O·, o·, O·, ... } {T N N k } == {O; -0,005; -0,005; -0,005; O; O; O; ... } (2.126) cuya transfonnada Z resulta: TNN(z) = -0,005z- 1 _ 0,005z- 2 _ 0,005z- 3 = -0,005(Z: + z + 1) (2.127) z La población en variables incrementales y ante esta entrada será: P(z)= pez) TNN(z)= 1000 -0,005(z2+ z +1) (2.128) TNN(z) z-0,99 z3 Obteniéndose una secuencia de salida: {Pk}relativa-sóloTNN == {O; O; -5; -9,95; -14,85; -14,70; -14,55;···} (2.129) En la Figura 2.13 se detalla esta evolución. Acción conjunta Por la linealidad del modelo se puede aplicar superposición, siendo la salida conjunta debida a las dos entradas la suma de cada una de eIJas: {Pk }relativa == {Pk } relatIva-sólo indust. + {Pk }relativa-sólo TNN == == {O; O; -8; -20,92; -32,71; -34,38; -34,03; ... } (2.130)
  • 65. Transfonnada Z 47 0 ..... - -.. . . --- -- - --- -10 ... • •••••••••••••••• •••• •••••••• -15 - O • •••••••• 5 10 J 15 20 • 25 _ 30 35 ..L 40 Figura 2.13. Evolución de la población relativa alrededor del punto de equilibrio considerando únicamente la ac- ción de TN N.En la Figura 2.14 se detalla esta evolución. La evolución de la población absoluta debidaa las dos entradas se obtendrá sumando a la relativa la posición de equilibrio: {Pk } = {1.000; 1.000; 992; 979; 967,29; 965,62; 965,97;···} (2.131) 0 . . -- -5 L -10 • -15 ~ -20 · -25· • •••• ..... ~ ..- •••••• I -30 •••••••• • ••• •••••• ___ _ ________ ••• ___ .,J... _ _ -35 o 5 10 15 20 25 30 35 40 Figura 2.14. Evolución de la población relativa ante las dos acciones.
  • 66. 48 Control de sistemas discretos2.9 Problema propuestoObtener la expresión de la energía de una secuencia a partir de la transformada Z de la misma.Solución 2.9La energía de una secuencia es: E= ~ Je X(z)X 21[J 1 (!) ~dz Z Z (2.132)2.10 Problema propuestoUn sistema responde ante una secuencia de entrada en fonna de rampa de pendiente 1, con la se-cuencia representada en la Figura 2.15. Determinar su función de transferencia. 7 --.--------r---~--- . . - - - - - , - . - - - - - r - -_ _ 6 5 4 3 2 o _A_-----.L..-----------.--L- _ _ . l . - ------1... _ _-- o 1 2 3 4 5 6 7 Figura 2.15. Señal de salida.Solución 2.10La función de transferencia es:
  • 67. Transformada Z 49 G( ) z3 +z - 1 (2.133) z === Z5 _ 2z4 + z32.11 Problema propuestoDado un sistema discreto con secuencia de ponderación: {9k} = {O; 1; -2; 4; -8; 16; -32; ... } (2.134)Se pide: 1. Obtener la función de transferencia del sistema. 2. Hallar el valor inicial y el valor final de la respuesta del sistema ante entrada escalón.Solución 2.11 1. 4 G(z) = 2 (2.135) z+ 2. Yo =O (2.136) Ycx:> = 00 (2.137)2.12 Problema propuestoDado el sistema discreto definido por la siguiente ecuación en diferencias: (2.138)Se pide: l. Calcular su función de transferencia. 2. Calcular el valor inicial y final de su respuesta ante un escalón: a) Aplicando las propiedades de la transfonnada en Z. b) Calculando la antitransfonnada.
  • 68. 50 Control de sistemas discretosSolución 2.12 l. Jr(z) 1 (2.139) U(z) z2-z+0,5 2. Yo =O (2.140) Yoo = 2 (2.141)2.13 Problema propuestoEn cierta región coexisten dos especies animales, una de insectos y otra de gusanos. Los números deindividuos se designan por x e y, respectivamente. Los insectos se comen a los gusanos, los cualesse alimentan de la hierba que existe en cantidad constante.La tasa de natalidad de los insectos es A = 0,8 insectos/insectos-día (80 % diario). Su tasa demortalidad es de la forma (B + C~), siendo B= 0,2 insectos/insectos-día la mortalidad natural ye= 1,2 insectos-gusano/insectos 2 -día la debida a la dificultad para conseguir gusanos.La tasa de natalidad de los gusanos es D = 0,3 gusanos/gusanos-día. Su tasa de mortalidad es dela forma (E + F~ + GY), siendo E = 0,1 gusanos/gusanos-día la mortalidad natural, F = 0,2gusanos/insectos-día la debida a los ataques de los insectos y G = 10- 3 gusanos/gusanos 2 -día ladebida a la dificultad para conseguir hierba.Se pide: l. Plantear las ecuaciones en diferencias del sistema. 2. Calcular el punto de equilibrio. 3. Linealizar las ecuaciones en dicho punto. 4. Calcular la función de transferencia en Z entre los gusanos e insectos. 5. ¿Cómo variará la población de gusanos si se produce una plaga con un aumento de la pobla- ción de insectos del lO %?Solución 2.13 l. 2 X Xk+l = 1,6xk - 1,2-.k (2.142) Yk Yk+l = 1,2Yk - 0,2Xk - 10-3y~ (2.143)
  • 69. Transfonnada Z SI 2. Xo = 50 (2.144) Yo == 100 (2.145) 3. Xk+l == O, 4X k + O,3Yk (2.146) Yk+l == Yk - O, 2X k (2.147) 4. Y(z) O,2z- 1 0,2 - (2.148) X(z) 1- Z-l z-1 5. Con el modelo 1ineal, la población de gllsanos disminuiría hasta desaparecer.2.14 Problema propuestoUsando el método de la división larga, calcular los cuatro primeros valores de la secuencia {Xk}cuya transfonnada Z es la siguiente: x _ 10z +5 (2.149) (z) - (z - l)(z - 0,2)Solución 2.14Los primeros valores son: {Xk} == {O; 10; 17; 18,4; ... } (2.150)2.15 Problema propuestoDetenninar los cuatro primeros valores de la secuencia de salida {y k} del sistema discreto G (z) anteentrada escalón unitario utilizando el método de la división larga. 2 G(z) == 2z - 1 (2.151)Solución 2.15Los primeros valores son: {Yk} == {O; 1; 1,5; 1,75; ... } (2.152)
  • 70. 52 Control de sistemas discretos2.16 Problema propuestoDeterminar el valor final al que tiende la secuencia {Xk} cuya transformada Z es la siguiente: 1 1 X(z) = 1_ Z-l 1 - e- 2 z- 1 (2.153)Solución 2.16El valor final de la secuencia es 1.
  • 71. CAPÍTULO 3 MUESTREO Y , ,.",RECONSTRUCCION DE SENALES ,DEFINICION DE MUESTREOPor muestreo se entiende el proceso de obtención de una secuencia temporizada a partir de una señalcontinua. Los elementos de la secuencia se corresponden con los valores de la señal en determinadosinstantes de tiempo.Muestreo periódico. Los instantes de tomas de muestras se encuentran igualmente espaciados. El intervalo de tiempo entre dos muestras sucesivas se denomina período de muestreo T.Muestreo aperiódico. Los instantes de tomas de muestras no están igualmente espaciados.El dispositivo que realiza el proceso de muestreo recibe el nombre de muestreador (Figura 3.1). Figura 3.1. Muestreador. Xk == x( t) It==kT (3.1)ESTUDIO FRECUENCIAL DEL MUESTREOLa relación entre la transformada de Fourier X (w) de una señal continua x (t) Y la transformada deFourier X (w) de una secuencia temporizada {x k}, que proviene del muestreo con período T de laseñal continua previa, viene dada por: 1 ~ 21fT X(w) == T ~ X(w+ T) (3.2) r==-oo 53
  • 72. 54 Control de sistemas discretosAsí, si la transformada de Fourier de una señal continua X(w) viene representada (módulo) por laFigura 3.2, la transformada de Fourier de la secuencia X(w) muestreada con período T vendrá de- ............terminada en la Figura 3.3 siempre que se cumpla las condiciones dadas por el teorema de muestreo(expuesto más adelante). J~ IX(ro)1 1 ro Figura 3.2. Módulo de la transformada de Fourier de una señal continua. ~~ l2l(ro)1 lIT I -31t/T n I -1t/T 1t/T I ... ~ ro Figura 3.3. Módulo de la transformada de Fourier de una secuencia.La relación existente entre la transformada de Laplace X (s) de una señal continua x (t) Y la trans-formada de Laplace X (s) de la secuencia procedente del muestreo con período Tes: 1 ~ 27rT X(s) == T ~ X(s + jT) (3.3) r=-CX)TEOREMA DE MUESTREOSi una señal continua x(t) tiene transformada de Fourier X(w), cumpliendo que X(w) == O paravalores Iwl > wo, entonces dicha señal estará completamente determinada por la secuencia {Xk}obtenida por muestreo de la misma con período T == 7r / Wo.
  • 73. Muestreo y reconstrucción de señales 55En general, las señales muestreadas son las salidas de sistemas físicos, cuyas transformadas de Fou-rier tenderán a cero según aumenta la frecuencia (aunque estrictamente sean distintas de cero). Portal motivo, será necesario llegar a un compromiso entre un período muy estricto (con un mayor coste)o un período menos exigente (con una pérdida de información).Un criterio aproximado para la elección de este período de muestreo consiste en elegir el mismocomo: 1 WT == - == 10B (3.4) Tsiendo B el ancho de banda de la señal. , ,ECUACION FUNDAMENTAL DE LOS SISTEMAS HIBRIDOSSe denomina sistema híbrido a aquel cuya entrada es una secuencia y cuya salida es una señalcontinua (Figura 3.4). ---1-.1 S- {X k } 1St. Hb-dO y(t) ~ 1 r1 Figura 3.4. Sistema híbrido. • Respuesta impulsional de un sistema híbrido: Salida h(t) cuando la entrada es una secuen- cia impulso. • Convolución híbrida: La respuesta impulsional de un sistema híbrido caracteriza el compor- tamiento de este sistema. Para cualquier entrada {x k}, la salida del mismo y ( t) será: 00 y(t) == L xnh(t - nT) (3.5) n=-CX) siendo h(t) su respuesta impulsional. Esta expresión se conoce como convolución híbrida. • Respuesta en frecuencia del sistema híbrido H (w ): Es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional. Si se denomina X (w) a la transformada de Fourier de la secuencia de entrada e Y (w) a la transformada de Fourier de la señal de salida, se cumple: Y(w) == H(w)X(w) (3.6) siendo Y (w) y H (w) funciones no periódicas y X (w) periódica.El operador H ( s) se denomina función de transferencia del sistema híbrido. Igualmente, se cumpleY(s) == H(s)X(s).
  • 74. 56 Control de sistemas discretos ,DEFINICION DE BLOQUEADOREl bloqueador es el dispositivo que permite reconstruir una señal continua a partir de los valoresdiscretos de una secuencia (Figura 3.5). Figura 3.5. Bloqueador.El objetivo del diseño de un bloqueador es obtener un sistema híbrido que, teniendo como entradauna secuencia {x k} obtenida por muestreo con período T de una señal x (t), presente en la salidauna señal xr(t) que sea idéntica o tenga el mayor parecido posible a la señal x(t). Se cumplirá: Xr(w) == H(w)X(w) (3.7) Xr(s) == H(s)X(s) (3.8)siendo H (w) y H (s) la respuesta en frecuencia y la función de transferencia, respectivamente, delbloqueador como sistema híbrido. x (t).1 ~_1 {X k ... _ } Bloqueador X (ro) T X(ro) L - -_ _ _ _ _ ~ Figura 3.6. Conjunto muestreador-bloqueador. (3.9)BLOQUEADOR IDEALA fin de obtener una reconstrucción ideal, y siempre que se cumpla el teorema de muestreo, se defineel bloqueador ideal como aquel cuya transformada de Fourier es: (3.10)siendo T el período de muestreo de la secuencia.
  • 75. Muestreo y reconstrucción de señales 57La respuesta impulsional del bloqueador ideal es: (3.11 )con Wo = 1f /T.La representación gráfica de estos bloqueadores se observa en la Figura 3.7. 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 o o ~,2 ~,2 ~~10 -8 -6 -4 -2 o 2 4 6 8 10 ~,4 -10 -8 -6 -4 -2 o 2 4 6 8 10 Figura 3.7. Bloqueador ideal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.Este bloqueador no cumple la condición de causalidad, ya que h(t) no es nulo para tiempos nega-tivos.BLOQUEADOR DE ORDEN CEROEste bloqueador sólo utiliza el último valor de la secuencia de entrada manteniéndolo hasta una nue-va muestra xr(t) = x(kT) = Xk en el intervalo [kT, (k + l)T], siendo T el período de muestreo. Figura 3.8. Bloqueador de orden cero.Su respuesta impulsional es: O t <O ho(t) = 1 O< t < T (3.12) { O T <t
  • 76. 58 Control de sistemas discretosMientras que la respuesta en frecuencia es: 1 - e- jwT Ho(w) == - - . - - (3.13) JWEn la Figura 3.9 se representa el bloqueador de orden cero considerando un período de muestreoT == 1r. 3 3 2,5 2,5 2 2 1,5 1,5 0,5 0,5 o~~~~--~~~--~~~~ -10 -8 ~ -4 -2 o 2 4 6 8 10 -8 ~ -4 -2 o 2 4 6 8 10Figura 3.9. Bloqueador de orden cero en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuenciaIHo(w)l, (T == 71").BLOQUEADORDEORDENUNOEste bloqueador sólo utiliza las dos últimas muestras de la secuencia de entrada. Halla la recta quepasa por ellas y extrapola el resultado hasta una nueva muestra: Xr(t) = x(kT) + x(kT) - x,j,(k - l)T) (t - kT) (3.14)en el intervalo [kT, (k + l)T], siendo T el período de muestreo. ~(t) ~ Figura 3.10. Bloqueador de orden uno.
  • 77. Muestreo y reconstrucción de señales 59Su respuesta impulsional es: o t<O lt+ 1 O <t < T T h1(t) = -lt + 1 T < t < 2T (3.15) T O 2T < tmientras que la respuesta en frecuencia es: _1 (1 - Hl(W) - + T jwT e- jWT . )2 (3.16) JW3.1 Diversas configuraciones de sistemasEn los diagramas de bloques adjuntos, B( s) corresponde a la función de transferencia de un blo-queador, pudiendo tomar las restantes expresiones valores cualesquiera. Indicar cuál de los diagra-mas tiene existencia real, indicando en cada caso el carácter (secuencia o señal) de las variables deentrada y salida de los mismos. ~IL..-_G_(_S)----1 ~ T 1. ~ G(S) T 2. G(z) F(s) 3.
  • 78. 60 Control de sistemas discretos 4. ~I F(s) ~ G(z) ~ 5. ~I 8(s) ~ G(Z) .. 6. ~I G(Z) ~ 8(s) ..Solución 3.1A continuación se refleja la existencia/inexistencia de cada una de las configuraciones previas: 1. Sí tiene existencia real. La entrada puede ser una secuencia o una señal continua, mientras que la salida será siempre una secuencia. 2. Sí tiene existencia real. La entrada siempre ha de ser una señal y la salida será otra señal continua. En este caso, el sistema con función de transferencia G (s) actúa como un sistema híbrido. 3. Sí tiene existencia real. La entrada será una secuencia y la salida será una señal continua. En este caso, el sistema con función de transferencia F (s) actúa como un sistema híbrido. 4. No tiene existencia real. La salida del sistema con función de transferencia F( s) será siem- pre una señal y ésta no puede entrar a un sistema discreto caracterizado por su función de transferencia G ( z ) . 5. No tiene existencia real. La salida del bloqueador B( s) será siempre una señal y ésta no puede ser la entrada de un sistema discreto caracterizado por su función de transferencia G(z). 6. Sí tiene existencia real. La entrada en este caso será una secuencia y la salida tras el bloquea- dor será una señal.3.2 Bloqueador, sistema continuo y muestreadorConsidérense tres elementos físicos: un bloqueador, un proceso continuo y un muestreador. Conellos, y conectándolos en serie, se pueden obtener (permutando su orden) seis sistemas. 1. Indicar cuáles de esos seis sistemas funcionarían en el sentido de una transmisión de informa- ción desde la entrada a la salida.
  • 79. Muestreo y reconstrucción de señales 61 2. Para los sistemas seleccionados en el apartado anterior, indicar la forma de sus entradas y salidas (si son secuencias o señales). ¿Existe en ellos un operador (en forma de función de transferencia) que multiplicado por la transformada de la entrada nos calcule la salida? 3. Si el bloqueador es de orden cero, el proceso continuo es de primer orden (K = 1, T = 1) Y el muestreador tiene período un segundo, representar gráficamente la salida de cada uno de los sistemas seleccionados ante una entrada escalón (señalo secuencia según los casos).Solución 3.2Los apartados solicitados son: 1. Las seis opciones posibles de conectar los procesos son las representadas en la Figura 3.11. En esta figura se indican las que funcionarían correctamente. 1° r~ B (s) I~I G (s) ly(t~1 ---{-I~ SI 2° -1 B (s) 1--.1 ---{-~I ~ G (s) NO 3° ~I G (s) ~I H ---{-I--. B (s) NO 4° X~ G (s) I~I ---{ 1 rYk~1 I~) B (s) SI 5° X9 ---{ _Ir k~I X B (s) rr (t~1 G (s) ~) SI 6° ~I ---{-~I G (s) H 1--. B (s) NO Figura 3.11. Opciones de interconectar en serie los tres bloques. 2. Analicemos cada caso en los sistemas seleccionados: Caso 1: La entrada es una secuencia {Xk} Y la salida también es otra secuencia {Yk}. Existe una función de transferencia en Z que viene dada por: BG(z) = ~ ~ Residuos [B(P)G(P) lT 1- eP z- 1] (3.17) polos B(p)G(p)
  • 80. 62 Control de sistemas discretos Caso 4: La entrada es una señal continua x(t) y la salida es otra señal continua Yr(t). No existe función de transferencia, pues se muestrea una señal continua (que no proviene de la reconstrucción de otra señal discreta). Sólo si se cumplen las condiciones del teorema de muestreo (no es posible sin restringir las entradas) podría existir función de transferencia. Es decir, para aquellas señales que cumplan el teorema de muestreo y el bloqueador sea ideal, sí existe función de transferencia, pero no para cualquier señal. Caso 5: La entrada es una señal continua x(t) y la salida es otra señal continua y(t). No existe función de transferencia por las mismas razones que en el caso precedente. 3. Las salidas de cada bloque en los sistemas seleccionados son las representadas en la Figura 3.12. 0000000 0000 o o o 0+--------. (a) 0000 o o o (b) 0000000 0+--------. (e) Figura 3.12. Señales de los sistemas válidos: caso 1 (a), caso 4 (b) y caso 5 (c).3.3 Teorema del muestreoEn el sistema de la Figura 3.13, el bloque en tercera posición tiene una respuesta en frecuenciadefinida por: IG(w)1 == {7r+3W w >O (3.18) 7r-3w w<O
  • 81. Muestreo y reconstrucción de señales 63donde LG(w) = O fw (3.19) ~ Bldeal UB(t) ·U T=2 s. Figura 3.13. Sistema propuesto.Si la señal de entrada al sistema tiene la transformada de Fourier indicada en la Figura 3.14, repre-sentar la forma de la transformada de la secuencia de salida (LU(w) = O f w). !U{ro) -1t 1t ro Figura 3.14. Transformada de Fourier de la señal de entrada.Solución 3.3Veamos cómo afecta cada bloque a la transformada de Fourier de la entrada. El muestreador conperíodo de muestreo T = 3/5 seg. origina una secuencia cuya transformada de Fourier resulta: (3.20)Analicemos si hay solapamiento: 7f 3 7f 3 T<----+-<----+-<l (3.21) wo 5 7f 5Por tanto, no hay solapamiento, y la salida del muestreador se puede representar como en la Figura3.15.Esta secuencia origina a la salida del bloqueador ideal una señal continua U B (w) cuya transformadade Fourier viene representada en la Figura 3.16.El bloque continuo tiene una función de transferencia cuya respuesta en frecuencia G (w) viene dadaen la Figura 3.17.
  • 82. 64 Control de sistemas discretos u (ro)1 -131[/3 -1t 131[/3 (O Figura 3.15. Transformada de Fourier a la salida del muestreador. -1t 1t Figura 3.16. Transformada de Fourier de la señal de entrada UB (w) al sistema continuo G (w ). IG(w)1 1t Figura 3.17. Respuesta en frecuencia de G(w).De esta forma, siendo UB (w ): 37r - 3w O < w < 7r IUB(w)1 == 3 7r + 3w -7r < w < O (3.22) { 0 7r < Iwl
  • 83. Muestreo y reconstrucción de señales 65La salida Y(w) tras el bloque G(w) será: (311" - 3w) . (11" + 3w) O < w < 11" IY(w)1 = 0(311" + 3w) . (11" - 3w) -11" < w < O (3.23) { 11" < Iwly LY(w) = O Vw (3.24)Esta señal se puede representar gráficamente en la Figura 3.18. 20 10 -3 -2 -1 o 1 2 3 Figura 3.18. Módulo de la respuesta en frecuencia a la salida del sistema continuo.A continuación, esta señal se muestrea con un período T = 2 seg. En primer lugar, es necesariocomprobar si se cumple el teorema de muestreo: 11" 11" T<-~2<-~2<1 (3.25) Wo 11"por lo que se deduce que no cumple el teorema de muestreo y, por tanto, existe solapamiento. 1 inf 211" 1 inf Y(w) = 2 L Y(w+ T r) = 2 L Y(w+7rr) (3.26) r== - inf r= - infEn la Figura 3.19 se representa esta señal.3.4 Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (1)En el esquema de la Figura 3.20, los bloques de izquierda a derecha son: • Bloqueador de orden cero. • Muestreador de período de muestreo 1,5 seg. • Bloqueador ideal.
  • 84. 66 Control de sistemas discretos IY(ro) .......... ..... ........ ....... ........ .... ..... -...... .... ..... .......... ................................ •••.•.... ....................: :. ....... . ............... ::...... ..................... O) Figura 3.19. Salida del sistema ante la entrada propuesta. x(t) ~- {Xk } y(t) ~ {Uk}"1 ~ Bo(s) ~ ~ Bidea.(S) ----. L - -_ _ _ ~ T=1.5 T=l Figura 3.20. Diagrama de bloques considerado. • Muestreador de período de muestreo 1 seg.Si la entrada {Uk} es una secuencia temporizada de período 1 seg., con transformada de Fourier1 + 2e- jw + e- 2jw , calcular: 1. Transformada de Fourier de la señal x (t) Y de la secuencia {x k } . 2. Valor de las dos primeras muestras, correspondientes a k = ° yk = 1, de la secuencia {Yk}.Solución 3.4Los apartados solicitados son: 1. Si se tiene como transformada de Fourier de la secuencia {Uk}: U(w) = 1+ 2e- jw + e- 2jw (3.27) la secuencia de entrada será {Uk} = {1, 2,1,0,0, ... }. De esta forma, la señal x(t) obtenida a la salida del bloqueador de orden cero será la representada en la Figura 3.21. i: La transformada de Fourier de la señal x(t) viene dada por: X(w) = x(t)e-jwtdt (3.28)
  • 85. Muestreo y reconstrucción de señales 67 Figura 3.21. Señal x(t) en función del tiempo. (3.29) JWOtra posibilidad para el cálculo de X (w) es a partir de la relación fundamental de los sistemashíbridos en el dominio de Fourier: X(w) = Ho(w) . U(w) (3.30)siendo Ho(w) la función de transferencia de un bloqueador de orden cero: 1 - e- jwT Ho(w) = - - . - (3.31) JWy U (w) la transformada de Fourier de la secuencia de entrada. ASÍ, puesto que la secuencia{Uk} tiene período 1 seg.: jW X(w) = ( 1-e- jw ) . (1 + 2e- jw + e- 2JW ) (3.32)expresión coincidente con la ecuación 3.29. La secuencia {Xk} se obtiene al muestrear x(t)con período T = 1,5 seg. (Figura 3.22). Figura 3.22. Muestreo de la señal x( t) con período T = 1,5 segundos.De esta forma, se tiene {Xk} = {l, 2,0,0, ... }. La transformada de Fourier de esta secuencia{Xk} tendrá como expresión:
  • 86. 68 Control de sistemas discretos 00 X(w) = L xke-jwkT = 1 + 2e- jw1 ,5 (3.33) k=-oo 2. A continuación, la secuencia {X k} se bloquea mediante un bloqueador ideal de respuesta impulsional: hi(t) == senwot (3.34) wot donde (wo = 1r /T). La salida y(t) del sistema híbrido será: 00 y(t) = L xnhi(t - nT) (3.35) n=-oo con T = 1,5 seg. De esta forma, se obtiene como señal y(t) 7r 7r sen 1 5t (t - 1,5) sen 15 y(t) = ~~ + 2 ~(t _ 1 5) (3.36) 1,5 1,5 señal representada en la Figura 3.23. Si esta señal se muestrea con período T = 1 seg., las muestras en los dos primeros instantes son: sen 1~5 . O sen 1~5 (O - 1,5) y(O) = ~. Ot + 2 ~(O _ 1 5) =1 (3.37) 1,5 1,5 sen 2:... sen 2:...( -O 5) +2 == 2 0674 y (1) = 1:5 1,5 1:5 (-0,5) 1,5 , (3.38) 2 1,5 0,5 o -0,5 L.---L._----_~_--L--_..I..-----.l._---L..._----1..-_--L-----.J o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 3.23. Representación gráfica de y(t).
  • 87. Muestreo y reconstrucción de señales 693.5 Bloqueador de orden cero frente a bloqueador ideal (11)La señal definida por: u(t) = O t 1 ° ° < <t< 2 (3.39) { ° 2 <tse muestrea en dos procesos paralelos con períodos 1 seg. y 2 seg. (Figura 3.24). {u 1k} ....... ........ _/- ~ u(t) T=1 U(t) 2 t _/- {U 2k} ....... ........ ~ T=2 Figura 3.24. Muestreo de la señal u(t).Si cada una de estas secuencias se reconstruye, indicar el valor de la señal continua en el tiempot = 0,5 seg. en cada uno de los dos casos siguientes: 1. Con bloqueador ideal. 2. Con bloqueador de orden cero.Comentar los resultados en lo referente al diferente comportamiento de los dos bloqueadores en lareconstrucción. En este caso, ¿cuál se comporta mejor?, ¿cómo se justifica ello?Solución 3.5El muestreo con los dos períodos origina dos secuencias distintas {Ulk} Y {U2k} De esta forma, setiene {Ulk} = {1, 1,0,0, ... } y {U2k} = {1, 0, 0, 0, ... } 1. Al reconstruirse con bloqueador ideal, que tiene como función de transferencia: hi(t) = senwot (3.40) wot con Wo = 7r jT, se originan las señales continuas de salida Ula (para T = 1) Y U2a (para T = 2):
  • 88. 70 Control de sistemas discretos (3.41) n=-oo sen 7rt sen 7r (t - 1) u la () - t - 7rt +---- 7r(t - 1) (3.42) Para t = 0,5 seg., se tiene un valor ul a (0,5) = 1,2732. 00 (3.43) n=-oo _ sen 7rtj2 U2a (t ) - nt/2 (3.44) Para t = 0,5 seg., se tiene un valor u2a(0,5) = 0,9. 2. Al reconstruirse con un bloqueador de orden cero, se tienen las señales Ulb(t) para T = 1 seg. y U2b(t) para T = 2 seg. o t<O 1 O<t<l Ulb(t) = (3.45) 1 1<t<2 O 2<t O t<O U2b(t) ={ 1 0<t<2 (3.46) O 2<t Por tanto, para t = 0,5 seg., se tiene que Ulb(0,5) = 1 YU2b(0,5) = 1. En este caso particular, se comporta mejor el bloqueador de orden cero. El mal comportamiento del bloqueador ideal es esperable, pues la señal no es de banda limitada, con componentes de alta frecuencia. El buen comportamiento del bloqueador de orden cero es casualidad por la forma de la señal u(t).3.6 Existencia de función de transferenciaPara el sistema de la Figura 3.25, se pide: 1. Justificar si existe o no una función de transferencia entre las variables referenciadas en los siguientes casos: a) X(s)jU(s) cuando B(s) es un bloqueador ideal. b) X (s ) j U ( s) cuando B ( s) es un bloqueador de orden cero. e) Y(s)jU(s) cuando B(s) es un bloqueador ideal, P(s) es cero y T 2 = 2TI . d) Y(s)jU(s) cuando B(s) es un bloqueador ideal, P(s) es cero y TI = 2T2 .
  • 89. Muestreo y reconstrucción de señales 71 P(s)U(S)~I---{ _1 ~S) ~I B(s) IX(S~I S10.1 IW(€¿~I +IY(S) 1 _~S) ---{ Figura 3.25. Diagrama de bloques inicial. e) y (s ) jU (s) cuando B (s) es un bloqueador de orden cero, P (s) es cero y T 2 == 2TI . f) Y(s)jU(s) cuando B(s) es un bloqueador de orden cero, P(s) es cero y TI == 2T2 . g) Y(s)j P(s) cuando U(s) es cero. h) Y(s)jU(s) cuando B(s) es un bloqueador ideal y P(s) es cero. i) Y(s)jU(s) cuando B(s) es un bloqueador de orden cero y P(s) es cero. 2. Transformada Z (si existe) de la secuencia Y(s) cuando P(s) es un escalón y U( s) es cero. 3. Expresión de x(t) siendo: o t<O u(t) = { 1 O<t<2 (3.47) O 2 <t y TI == 1 sega y B (s) un bloqueador ideal. 4. Estudiar la estabilidad del sistema de la figura (para cualquier valor de TI, T 2 ) cuando: a) P(s) es cero. b) U(s) es cero. 5. Valor en régimen permanente de las variables representadas en la figura cuando U(s) y P(s) son a la vez dos escalones unitarios.Solución 3.6Se tiene: 1. a) X (s ) j U (s) no existe aunque el bloqueador sea ideal, ya que al muestrear se pierde información. Sólo se recupera si es U (s) una señal de banda limitada, pero ya no valdría para cualquier entrada, por lo que no se puede hablar de función de transferencia. b) X (s) jU (s) tampoco existe. Además, al ser el bloqueador de orden cero, tampoco se recupera la información aunque U ( s) fuera una señal de banda limitada.
  • 90. 72 Control de sistemas discretos e) U (s) proviene de un proceso de muestreo con período TI y se muestrea con un período más elevado. Por este motivo, no es posible establecer la función de transferencia Y(s )jU(s). Y(s)=;y, 1L 00 y ( 2) s+j;r = 2 r=-oo 2 = -1 ~ L.....J [ ( s+j-r ) B 27r 1 1 27r U(s+j-r) 1 (3.48) T2 r=-oo T2 S + j~:r + 0,lT2 s + j~:r T2 y no se cumple, ya que: 27r U(s + j T r) =F U(s) (3.49) 2 d) U ( s) proviene de un muestreo TI y se remuestrea con un período más pequeño, luego sí es posible determinar la función de transferencia y (s ) jU (s ) . . 27r .27r U (s) = U (s + J TI r) = U (s + J T 2r) (3.50) 2 al ser 2r siempre entero. e) No se puede determinar Y(s )jU(s) por la misma razón que en el apartado e). Es indife- rente que el bloqueador sea de orden cero o ideal. f) En este caso, sí se puede determinar Y( s) jU (s) por la misma razón que en el apartado d). Es indiferente que el bloqueador sea de orden cero o ideal. g) No es posible determinar Y( s) j P( s), pues se muestrea una señal continua y no existe función de transferencia. h) Sí es posible determinar Y ( s ) /U (s ), ya que no hay pérdida de información. Se tiene: 1 1 Y(s) = - . B(s)U(s) (3.51) s s + 0,1 i) Por la misma razón que en el caso precedente, sí que es posible determinar Y (s) jU (s). Es indiferente que el bloqueador sea de orden cero o ideal. 2. Aunque no existe función de transferencia entre Y( s) j P( s), sí que se puede evaluar la salida ante una entrada determinada. Y(z) Z D·~] = ~ Residuos [~ . 1-eP1~2Z- I ] L.....J p (3.52) polos 3. El muestreo de la señal u(t) con un muestreador de 1 seg., genera una secuencia {Uk} {1, 1,0,0, ... }. Al reconstruirse con un bloqueador ideal: hi(t) = senwot (3.53) wot
  • 91. Muestreo y reconstrucción de señales 73 donde Wo == 7r /TI == 7r. Por convolución: 00 x(t) L Un· hi(t - nTI ) == n=-oo sen 7rt sen 7r (t - 1) --+----- (3.54) 7rt 7r(t - 1) 4. La estabilidad del sistema es independiente de las entradas. En ambos casos existe un polo continuo en el origen, que al muestrearlo originará un polo discreto en uno, que es inestable para cualquier valor de TI, T 2 • 5. Ante estas entradas, las señales en régimen permanente serán: lím u(t) == 1 (3.55) t---+oo lím n---+oo Un == 1 (3.56) lím x(t) == 1 (3.57) t---+oo lím w(t) == 10 (3.58) t---+oo lím p(t) == 1 (3.59) t---+oo Como el integrador suma la señal de forma ininterrumpida, se tiene: lím y(t) == 00 (3.60) t---+oo y lím Yn n---+oo == 00 (3.61) Es necesario destacar que los valores en régimen permanente serán independientes del blo- queador utilizado.3.7 Problema propuestoObtener la transformada de Laplace de la señal de salida del sistema representado en la Figura 3.26si la señal de entrada es: {Yk} == {2;4;1;-1;O;0;0; ... } (3.62)
  • 92. 74 Control de sistemas discretosy el bloqueador es de orden uno. y(t) Bloqueador Figura 3.26. Sistema propuesto.Solución 3.7La transformada solicitada es: Y(s) = 1 + sT (2 _ 5e- 2Ts + e- 3Ts + 3e- 4Ts _ e- 5Ts ) (3.63) Ts23.8 Problema propuestoLa transformada de Fourier de una señal, de valor nulo para tiempos negativos, tiene por expresión: Y(w) = jw+3 (3.64) (jw + l)(jw + 2)Se pide: 1. Indicar la expresión de la transformada Z de la secuencia obtenida al muestrear dicha señal con período 1 seg. 2. Calcular, utilizando la transformada Z inversa, el término general de la secuencia citada. 3. Si esta secuencia se introduce en un bloqueador de orden cero, indicar el valor de la señal de salida del mismo en los instantes t == 0,5 seg. y t == 1,5 seg.Solución 3.8 1. Y z _ z2 + 0,09721z (3.65) ( ) - (z - 0,3679)(z - 0,1353) 2. Yk == 2e- k - e- 2k (3.66) 3. Yr(0,5) == 1 (3.67) Yr(1,5) == 0,6 (3.68)
  • 93. Muestreo y reconstrucción de señales 753.9 Problema propuestoLa expresión z = e sT define una aplicación entre los planos complejos s y z. Indicar en cada una delas siguientes situaciones si se hace uso o no de la citada relación razonando la respuesta: 1. Al obtener en un sistema continuo G (z) a partir de g (s). 2. Al obtener la transformada Z de una secuencia Y (z) que proceda de muestrear una señal de transformada Y (s ) . 3. Al obtener la función de transferencia del sistema discreto equivalente de un conjunto como el de la Figura 3.27, donde G(s) es un sistema continuo y B(s) un bloqueador. ~~I--{ 1----.t~1 G(s) 1 ~I B(s) 1---.· Figura 3.27. Sistema muestreador-sistema continuo-bloqueador. 4. Al establecer relaciones entre los polos y ceros de las funciones de transferencia del blo- queador B (s) y del proceso continuo G ( s) con los de la función de transferencia del sistema discreto equivalente BG(z). 5. Al discretizar un regulador de función de transferencia R( s) para obtener una función de trans- ferencia R( z) utilizando los métodos de integración numérica.Solución 3.9 1. Sí. (3.69) 2. No. Y(Z)lz=e"T = Y(s) = T 1r~oo00 y ( S +j 2) ;r (3.70) 3. No existe sistema discreto equivalente a la estructura propuesta. 4. Los polos sÍ, pero los ceros no. 5. Los métodos de integración numérica realizan una aproximación de la función z = e sT basada en una truncación de su desarrollo. Por tanto, no se hace uso de la relación.
  • 94. 76 Control de sistemas discretos3.10 Problema propuestoUn sistema digital funciona con señales que tienen frecuencias de hasta 70 Hz. Se pretende actuarsobre una planta cuya función de transferencia es G (s ). G(s) = 120 (3.71) s + 70Se pide: 1. Determinar si funcionaría correctamente. 2. ¿Cuál sería la mínima frecuencia con la que debería trabajar el sistema digital?Solución 3.10Se tiene: 1. No funciona correctamente. 2. 700 Hz.
  • 95. CAPÍTULO 4 SISTEMAS MUESTREADOSDEFINICIÓN DE SISTEMAS MUESTREADOSUn sistema se dice que es muestreado cuando alguna de las señales a él asociada sufre el proceso demuestreo. El proceso de muestreo está íntimamente ligado a la toma de datos de un sistema físicopor parte de un computador. { Xk } x(t) .1 Bloqueador 1 ~ Sistema Sistema Discreto y(t) Continuo ~ ~ { Yk} ~- ~ ~ T Figura 4.1. Sistema muestreado.El estudio de los sistemas muestreados incluye técnicas continuas y discretas. De las dos posiblesformas de abordarlo, lo más adecuado es considerar todos los sistemas como discretos. Esto obligaa encontrar el sistema discreto equivalente a uno continuo. Presenta la importante ventaja de que nose produce pérdida de información, existiendo función de transferencia. ,CALCULO DE UN SISTEMA DISCRETO EQUIVALENTEA UNO CONTINUOEl conjunto formado por un bloqueador (con función de transferencia B(s)), un sistema continuo(con función de transferencia G (s )) y un muestreador (de período T) admite una representación enforma de sistema equivalente discreto que viene dada por su función de transferencia BG(z). 77
  • 96. 78 Control de sistemas discretos {Xk} --~---I BLOQUEADOR x(t) .. SISTEMA CONTINUO y(t) ~ ~- T SISTEMA DISCRETO EQUIVALENTE AL CONTINUO Figura 4.2. Estudio de sistemas m~estreados con las técnicas de los sistemas discretos. Z[B(s)G(s)] = BG(z) = "" L.....t Residuos [B(P)G(P) lT 1 - eP z- 1] (4.1) polos B(p )G(p)Cuando el bloqueador es de orden cero, la expresión queda: Z[Bo(s )G(s)] (1 - z-l )Z[G(s)/ s] (1 - z-l) "" L.-t Residuos [G(P) p 1 - eP z- 1] (4.2) polos G(p), p=oCuando el bloqueador es de orden uno, la expresión general adopta la forma: (4.3)TRANSFORMADA Z MODIFICADAUno de los inconvenientes del modelo matemático empleado al calcular el equivalente discreto de-tallado en el anterior apartado es el desconocimiento de los valores de las señales muestreadas entreinstantes de muestreo. Para solucionarlo, se define un modelo que incluye la transformada Z modi-ficada, según se representa en la Figura 4.3.Para calcular la salida en el instante (k + m)T con (O < m < 1) se retrasa la señal y(t) un tiempoAT, siendo (A = 1 - m), para que así la secuencia {y~} o {Yk,m} coincida con el valor de la
  • 97. Sistemas muestreados 79 {Xk} X(t) SISTEMA y(t) ~- {yJ • BLOQUEADOR • CONTINUO , "" T • -1,---A.T_______>I ~I---_______>TI{y~ Retardo ~- y(t-AT) Figura 4.3. Transformada Z modificada.salida en el instante deseado. A la transformada de esta secuencia se le conoce como transformadaZ modificada: 00 00 Y(z,m) = L Yk,m Z -k = L y(kT - (1 - m)T)z-k (4.4) k=-oo k=-ooIgualmente, se define la función de transferencia en Z modificada como la relación entre la transfor-mada Z modificada de la salida y la transformada Z de la secuencia de entrada: BG( z,m ) = Y(z, m) (4.5) X(z)Si el bloqueador es de orden cero, esta expresión se puede calcular a través de:SISTEMAS REALIMENTADOSLa estructura de un sistema continuo controlado a través de un computador se detalla en la Figura4.4.Donde la relación entre las transformadas Z de las secuencias de salida y entrada define la funciónde transferencia del sistema realimentado: Y(z) R(z)BG(z) U(z) = M(z) = 1 + R(z)BGH(z) (4.7)El empleo de la transformada en Z modificada permite modelar de forma correcta dos importantesaspectos que se presentan en la implementación de sistemas físicos:
  • 98. 80 Control de sistemas discretos x(t) .. , G (s) y(t) • I-{-I k _{W__} -----il-{ -I·W (t)1 H (8) l. Figura 4.4. Sistema realimentado. • Influencia del tiempo de cálculo. El computador no genera de forma inmediata la señal de control. Existe un desfase temporal entre la captación de la información y la acción sobre el proceso. Para acercar el modelo matemático a la realidad, se modifica dicho modelo introdu- ciendo un retraso en la realimentación, que se denomina tiempo de cálculo: "fT. • Muestreo multiplexado en sistemas multivariables. Por razones económicas, el muestreo de las diferentes señales por parte del computador no siempre se realiza a la vez; en estos casos, se utiliza un multiplexor para alternar la toma de información por parte del computador. De esta forma, hay un desfase temporal en la toma de muestras: cuando se calcula el algoritmo de control (una vez que se han leído todas las señales), la información de las señales tomadas en primer lugar es anterior a las tomadas posteriormente. A fin de adaptar el modelo matemático· a la situación real, se introduce un retardo (8T) en la toma de muestras. El retardo será mayor cuanto antes se tome la muestra.4.1 Función de transferencia de un sistema muestreado con realimentación (1)Obtener la función de transferencia Y(z)jU(z) para el sistema representado en la Figura 4.5.Solución 4.1Para calcular la función de transferencia Y (z ) j U (z) supondremos que tras la salida y( t) se encuentraun muestreador como en la Figura 4.6.
  • 99. Sistemas muestreados 81 ·L...-...---Z_2+_~_+1-----,-~~1 Bo(8) I ~I,--_S_~_1-----I---------,-y(_t)_~. Figura 4.5. Diagrama de bloques entrada/salida. y(t~ ~ T Figura 4.6. Elemento a añadir a la salida.Es necesario calcular BG(z) y BGH(z) para poder calcular la función de transferencia global. Y(z) R(z)BG(z) (4.8) U(z) 1 + R(z)BGH(z) BG(z) = (1- Z-I) L Residuos [G(p) 1- e~TZ-l] = polos G(p)/p P == (1 - z -1 ) ~ L....J Residuos [( 3) P + 1 p 1 - eP z- 1TI] (4.9) 8=0,-1 [3 1 3 BG ( z ) - ( 1 - z -1 ) - . 1- Z-1 + - . 1- e- T z- 1 - - 1 -1 - 1] -31-z -1 ) 1 - - ( [1 z-1 - 1- 1] e- T z-1 (4.10)y operando, queda finalmente: (4.11)Por otro lado, BGH(z) = (1 - z -1 ) L . [12 P + 2) 1 - e1] ResIduos ( P P+ 1 )( z- P T 1 (4.12) p=0,-1,-2
  • 100. 82 Control de sistemas discretos BGH () == ( 1 - z -1 ) [12 . 1-z- 1 z -2 1 + -12 . 1-e- T z- 1 + -2 . 1-e- 2T z- 1 ] -1 1 12 1 (4.13)y operando, queda finalmente: BGH z = 6z- 1 (1 - e- T )2(1 + e- T Z-I) (4.14) () (1-e-Tz-l)(1-e-2Tz-l)Obtenidas estas expresiones, se puede calcular la función de transferencia solicitada: z R(z)---- (4.15) - z2 + z + 1 Y(z) R(z)BG(z) (4.16) U(z) 1 + R(z)BGH(z) Y(z) 3z- 2 (1 - e-T)(l - e- 2T Z-l) U(z) (z-2 + z-l + 1)(1 - e- T z-l )(1 - e- 2T z-l) + 6z- 2 (1 - e- T )2(1 + e- T z-l) (4.17)4.2 Función de transferencia de un sistema muestreado con realimentación (11)Dado el sistema definido por las siguientes ecuaciones: db(t) 3a(t) == 2b(t) + dt b(t) - 4f(t) == c(t) 4c(t) = 5f(t) + d~~t) e(t) == 3f(t) e(KT) == Yk a(t) == Xk para kT < t < (k + l)T Wk == rk - Yk Xk == Xk-1 + Wk-1 + 3Wk-2 (4.18)Se pide: 1. Dibujar su diagrama de bloques. 2. Calcular la función de transferencia F(z)j R(z).Solución 4.2Se tiene:
  • 101. Sistemas muestreados 83 1. En primer lugar, se deben hallar las transformadas de Laplace y en Z de las ecuaciones conti- nuas y discretas que son lineales. 3A(s) == (2 + s)B(s) B(s) - 4F(s) == C(s) 4C(s) == (5 + s )F( s) 1 + E(s) = 3F(s) Muestreador de E(s) ~ Y(z) BloqueadordeX(z) ~ A(s) W(z) == R(z) - Y(z) X(z)(l - Z-l) == W(Z)(z-l + 3z- 2 ) (4.19) Calculadas estas expresiones, se puede dibujar el diagrama de bloques representado en la Figura 4.7. 4R(z) A(s) F(z) + z-1+3z- ~- ------. 2 4 -. 1-z-1 8 0 (s) 3 s+2 s+5 T C(s) X(z) Y(z) I--{- r E(s) 3 F(s) Figura 4.7. Diagrama de bloques correspondiente a la ecuación 4.19.2. Se observa que el diagrama de bloques de la Figura 4.7 se corresponde con el esquema tradi- cional representado en la Figura 4.8. F(z) Reg(z)BG(z) (4.20) R(z) 1 + Reg(z)BGH(z) siendo: 4 G(s) - S+5 . _3_ _ 12 (4.21) -1+ s!s4 s+2 - (2+s)·(s+21)
  • 102. 84 Control de sistemas discretos R(z)+ -1 Reg(z) ~G~EJ~~I-{ F(z) • Y(z) Figura 4.8. Esquema tradicional de un diagrama de bloques realimentado. BG(z) = (1 - Z-l) ~ L.,¿ Residuos [G(p) . p Ir 1] 1 - eP z- (4.22) polos G(p )/p BG(z) (1 _ z-l) ~ Residuos [ 12 . 1 ] _ L.,¿ p(p + 2)(p + 21) 1 - epT z-l p-O,-2,-21 -19 + 21e- 21T Z-l - 2e- 2T Z-l BG(z) (4.23) (1 - e- 2T Z-l )(1 - e- 21T z-l) BGH(z) (1 - z-l) ~ L.,¿ Residuos [G(P)3 . p -1] = 1 - eP z polos G(p)H(p)/p -19 + 21e- 21T Z-l - 2e- 2T Z-l 3---------------------- (4.24) (1 - e- 2T z-l )(1 - e- 21T z-l) y finalmente, F(z) p(Z-l) (4.25) R(z) 1 + z-1+3z- 2 l-z-l • BGH(z) Q(Z-l) siendo Q(Z-l) = 1- (58 + e- 2T + e- 21T )z-1 + (-171- 5e- 2T + 64e- 21T + e- 23T )z-2 + (-18e- 2T + 18ge- 21T - e- 23T )z-3, y p(Z-l) = 1 - (e- 2T + e- 21T + 1)Z-l + (e- 23T + e- 2T + e- 21T )z-2 _ e- 23T z-3.4.3 Función de transferencia en Z modificadaEn el sistema de la Figura 4.9, en el que Bo (s) es un bloqueador de orden cero, se desea conocer elvalor de la salida en el instante 0,12 seg. para la entrada {Uk} = {1, 1,0,0, ... } en cada uno de lostres casos siguientes:
  • 103. Sistemas muestreados 85 1. Tiempo de cálculo nulo. 2. Tiempo de cálculo 0,08 seg. 3. Tiempo de cálculo 0,1 seg. Figura 4.9. Esquema de realimentación.Solución 4.3En los tres casos posibles, la entrada es la misma: U(z) = 1 + Z-l (4.26)La salida será: Y(z) = M(z)U(z) (4.27)en los instantes de muestreo. Entre instantes de muestreo se puede establecer la siguiente relación: Y(z, m) = M(z, m)X(z) (4.28)Puesto que se pide el valor de la señal de salida en el instante 0,12 seg., es necesario retrasar 0,08seg. para que el valor pedido coincida con la muestra dos (0,20 seg.) de la retrasada. AT = 0,08 (4.29)Retrasar 0,08 seg. es igual que retrasar 0,1 seg. y adelantar 0,02 seg. , m=1-A=02 (4.30)En cada caso, según el tiempo de cálculo, se tienen los siguientes valores: 1. Con un tiempo de cálculo nulo, M(z m) = 5BG(z, m) (4.31) , 1 + 5BG(z)
  • 104. 86 Control de sistemas discretos BG(z, m) == (1 - Z-1 )Z-1 ~ L...,¿ Residuos [G(P) emTp P 1 1 - epT z-1 ] (4.32) polos G(p)/p BG(z °2) , , == (1 - z-1 )z-1 [ 1 1 - z-1 _ e- O,02 1 1 - e- O,1z-1 ] (4.33) operando, queda finalmente, = 0,0198(1 + 3,806z- 1)Z-1 BG( z, m ) 1_ °, 9048z- 1 (4.34) Por otro lado, BG(z) = (1 - z-1) ~ L...,¿ Residuos [G(p) P 1 - eP z- 1] (4.35) polos G(p )/p que operando, se obtiene: 1 BG(z) = O,0952z- 1 - ,9048z- 1 ° (4.36) De esta forma, se obtiene como función de transferencia global, sustituyendo en la ecuación 4.31, la siguiente expresión: 5 0,0198(1+3,806z- 1 )z-1 1-0,9048z- 1 M(z, m) 1+ °0952z- 1 5 1 _0 ,9048z- 1 0,lz- 1(1+ 3,806z- 1) ° 1 - ,429z- 1 (4.37) La salida será: 1 1 Y( z,m ) = M( z,m )X() == 0,lz- (1 + 3,806z- ) (1 z 1- ,429z- 1 ° + z-1) (4.38) Y(z, m) == 0,lz- 1 + 0,5235z- 2 + 0,6052z- 3 + ... (4.39) Por lo que la salida y(0,12) es igual a {Y2,m} == 0,5235. 2. Cuando el tiempo de cálculo es de 0,08 seg., se tiene: YT == 0,08 => Y = 0,8 => 1 - Y = 0,2 (4.40) Casualmente, BG(z, 1 - Y) == BG(z, m). Por este motivo, se tiene: o,0198(1+3,806z-1)z-1 5 BG() z, m 5 1-0,9048z- 1 M(z, m) == 1 + 5BG(z, 1 - Y) - 1 + 5 0,0198(1+3,806z- 1)Z-l 1-0,9048z- 1 0,lz- 1(1 + 3,806z- 1) (4.41) 1 - 0,8048z- 1 + 0,3806z- 2
  • 105. Sistemas muestreados 87 La salida será: Y(z, m) == M(z, m)X(z) == 0,lz- 1 + 0,56108z- 2 + 0,7941z- 3 + ... (4.42) La salida en 0,12 seg., y(0,12), es igual a {Y2,m} == 0,56108. 3. Cuando el tiempo de cálculo es de 0,1 seg., el retardo es de un período entero. De esta forma, se tiene como función de transferencia: M(z m) == 5BG(z,m) (4.43) , 1 + 5z- 1 BG(z) Dado que ya se conoce BG(z, m) por la ecuación 4.34, y BG(z) por la ecuación 4.36, es directo el cálculo de la función de transferencia global a partir de la ecuación 4.43. 0,lz- 1 (1 + 3,806z- 1 ) ° ° M(z, m) == 1 _ ,9048z- 1 + ,476z- 2 (4.44) y la señal de salida será: Y(z, m) == M(z, m)X(z) == 0,lz- 1 + 0,5711z- 2 + 0,8597z- 3 + ... (4.45) La salida en 0,12 seg., y(0,12), es igual a {Y2,m} == 0,5711.4.4 Sistema depósito-computadorDado el sistema de la Figura 4.10, calcular la matriz de funciones de transferencia en Z «(YH, Y c )en función de (Xc, X s )), para T == 0,1 seg. Qe: Caudal de entrada C s: Concentración de salida Ce: Concentración de entrada YH: Medida de altura Qc: Caudal de control Yc: Medida de la concentración Cc: Concentración de control Xc: Control de concentración H: Altura del depósito X s : Control de caudal de salida W: Apertura de la válvula A: Sección recta del depósito Qs: Caudal de salidaSe ha de tener en cuenta que YH se mide 0,01 seg. antes que Yc debido al tiempo de multiplexación.Las ecuaciones que rigen el comportamiento del sistema son las siguientes: dH A dt == Qe + Qc - Qs Qs == y2gHW W == K1Xs Qc == K 2 X c YH == K3 H d(CsAH) dt == QeCe + QcCc - QsCs Yc == K 4 C s (4.46)
  • 106. 88 Control de sistemas discretos e m _---1_/- -- y T H COMPUTADOR _/- T Figura 4.10. Control de caudal de un depósito mediante un computador.Linealizar en tomo al punto de equilibrio: Xc = 3; X s = 2; Qe = 1; Ce = 0,4; C c = 0,8Datos: K 1 = 0,1; K 2 = 0,5; K3 = 2; K4 = 3; A = 1.Solución 4.4En primer lugar, es necesario calcular el punto de equilibrio. Los valores de las variables en el puntode equilibrio satisfacen las siguientes ecuaciones: o = Q eO + Q co - Q so Qso = V2g H oW o W o = K 1X sO Qco = K 2 X CO YHO = K3 H O O = QeoCeO + QcoCco - QsoCs o Yco = K 4 Cs O (4.47)de donde se obtienen los valores: W o = 0,2 Qso = 2,5 Qco = 1,5
  • 107. Sistemas muestreados 89 Ho == 7,8 YHO == 15,6 Cs o == 0,64 Yeo == 1,92 (4.48)Una vez calculado este punto de equilibrio, ya se pueden linealizar las ecuaciones en tomo a éste. H Qe+Qe-Qs Qs 12,5W + 0,16H W O,lXs Qe 0, 5Xe YH 2H 0,64H + 7,8és Ce + 0,4Qe + 1,5Ce + 0,8Qe - 2,5Cs - 0,64Qs Ye 3Cs (4.49)Teniendo en cuenta que todas las señales son continuas, se pueden obtener las transformadas deLaplace: sH(s) Qe(s)+ Qe(s) - Qs(s) Qs(s) 12,5W(s) + 0,16H(s) W(s) O,lXs (s) Qe(s) 0, 5Xe(s) YH(s) 2H(s) 0,64sH(s) + (7,8s + 2,5)Cs(s) Ce(s)+ 0,4Qe(s) + 1,5Ce (s) + 0,8Qe(s) - 0,64Qs(s) Ye(s) 3Cs(s) (4.50)El sistema físico posee tres entradas: Ce, Qe y Ce, y dos señales de salida: Qs y Cs. Consta deuna parte continua, que es la que se ha obtenido previamente, y otra discreta. El diagrama de ambaspartes se encuentra esquematizado en la Figura 4.11.Para el cálculo de la matriz de funciones de transferencia en Z (YH, Yc ) en función de (Xc, X s),es necesario calcular las transformadas de Laplace del sistema continuo y posteriormente obtener suequivalente discreto en el dominio Z. El diagrama de bloques del sistema se encuentra representadoen la Figura 4.12.Para calcular cada una de las siguientes funciones de transferencia se supondrá cero el resto de lasentradas: YH(s) 1 (4.51) Xe(s) s + 0,16 YH(s) , -25 (4.52) Xs(s) s + 0,16
  • 108. 90 Control de sistemas discretos Yc(s) 0,24 (4.53) Xc(s) 7,8s + 2,5 ~- T - ... . PARTE DISCRETA PARTE ~.- ~ 8 0 (5) CONTINUA XS Xc ¡ es : ... : ................................................................................................................................................................. u .................... n .........................................: Figura 4.11. Diagrama simplificado del sistema propuesto. XS ~I 0.1 1 w 1 12.5 •+0+ Os -Xc ~¡ 0.5 Oc ..+ " , -P~ • S GJH-8 ,. 0.16 . , 2 YH .. , , -0.648 • 1 .. Yc .. r-+ , 2 ~ 7.88+2.5 -0.64 0.4 1.5 1.. Ce ~ 0.8 Figura 4.12. Diagrama de bloques de la parte continua.
  • 109. Sistemas muestreados 91 Yc(s) == Xs(s) ° (4.54)Para calcular el equivalente discreto es necesario tener en cuenta que YH se mide 0,01 seg. antes queYc . Este efecto se puede modelar como un retardo en YH . m == 1 - 0,01 , 01 == °9 (4.55)Teniendo en cuenta este retardo junto con el valor previamente calculado de m, las distintas funcio-nes de transferencia en Z se pueden calcular como: mTP z-l(l - Z-l) " Residuos [ ( 1O 6)· e T ] 1 = ~ s s+ 1 1 - e Pz- polos z-l (0,0894 + 0,01z- 1 ) ° 1 - ,9841z- 1 (4.56) mTP z-l(l - Z-l) L -2 5 e Residuos [ s(s + ~ 16) . 1 _ eTp z- 1 ] = polos -2,5z- 1 (0,0894 + 0,01z- 1 ) ° 1 - ,9841z- 1 (4.57) Yc(z) Xc(z) (1 - z- 1 ) L . [1 ResIduos -. 0,0308 . s s+03205 1-eTp z- 1 1] == polos 0,003027 z-l 1- °,9685z- 1 (4.58) Yc(z) == Xc(z) ° (4.59)4.5 Influencia del captador en la función de transferencia de un sistema realimentadoConsidérese el sistema de la Figura 4.13, donde K == 3 y T == 0,1 seg.La lectura de la señal continua Y (s) de salida se realiza con un captador H (s). Calcular la funciónde transferencia entrada/salida considerando las siguientes posibilidades: 1. H (s) es igual a la unidad. 2. H (s) tiene por función de transferencia 1/ (s + 2).
  • 110. 92 Control de sistemas discretos 1 s+1 IY(S~I-{ IY(z~ r H(s) ~ ~ Figura 4.13. Esquema de realimentación. 3. H(s) es un retardo puro de valor 0,08 seg. 4. H (s) es un retardo puro de valor 0,1 seg.Solución 4.5Se tiene: 1. La función de transferencia del sistema realimentado será: K· BG(z) M(z) = 1 + K . BGH(z) (4.60) Como H(z) == 1, BG(z) == BGH(z), BG(z) == (1 - Z-l) ~ ResIduos [ 1 . - . . -- 1 1T 1 ] (4.61) ~ P + 1 p 1 - eP z- p=O,p=-l BG(z) = 0,0952 (4.62) z - 0,9048 De esta forma: M(z) = 0,29 (4.63) z - 0,62 2. En este caso, BGH(z) varía: BGH(z) == (1- z-l) ~ Residuos [_1_. _1_. ~. _ __ _ ] 1 (4.64) ~ p+1 p+2 p 1-epT z- 1 p=o, p=-l, p=-2 0,045z + 0,0041 (4.65) BGH(z) = (z - 0,9048)(z - 0,8187) De esta forma: KBG(z) 0,2856z - 0,2338 (4.66) M(z) = 1 + KBGH(z) Z2 - 1,7101z + 0,7531
  • 111. Sistemas muestreados 93 3. Cuando H(z) supone un retardo de valor 0,08 s., es necesario calcular la transformada Z modificada: BGH(z,m) == (1- z-l)z-l L Residuos [e mTP _ p 1 +1 _. ~. p lT 1 - eP z- 1] (4.67) p=O,p=-l donde mT == 0,1 - 0,08 == 0,02; por tanto, m == 0,2. BGH(z m) = 0,0l98z + 0,0754 (4.68) , z(z - 0,9048) De esta forma, la función de transferencia queda: M z _ KBG(z) 0,2856z (4.69) ( ) - 1 + KBGH(z, m) Z2 - 0,8454z + 0,2262 4. Si H(z) tiene un retardo de valor 0,1 seg. y m == O: BGH(z, O) == z-l BG(z) (4.70) De esta forma: M z _ KBG(z) 0,2856z (4.71) ( ) - 1 + Kz-1BG(z) Z2 - 0,9048z + 0,28564.6 Problema propuestoDado el sistema continuo: 4 G (8) == -82 -+-28-+-5 (4.72)Obtener Z[G(8)].Solución 4.6 G 2e- T sen 2Tz- 1 (4.73) (z) == 1 _ 2e- T cos2Tz-l + e-2Tz-2
  • 112. 94 Control de sistemas discretos4.7 Problema propuestoDado el sistema representado en la Figura 4.14, obtener ~~;~. {Uk}·l_z_I _ z-O.5 • Bo(s) , --"o. 5 (s+2)(s+3) y(t) , -"" Figura 4.14. Sistema propuesto.Solución 4.7 Y(z) 5e- 2T (2 - 3e- T + 3e- 3T )z + 5(1 - 3e- 2T + 2e- 3T )z2 (4.74) U(z) 6(z - 0,5)(z - e- 2T )(z - e- 3T )4.8 Problema propuestoEn el sistema de la Figura 4.15, calcular los valores de y(t) para t = 1,2 seg. y t = 2,2 seg. cuandola secuencia de entrada es {Uk} = {1, 2}. ----.~---.¡;;l~ y(t) ~~~ Figura 4.15. Sistema propuesto.Solución 4.8 y(1,2) = 0,5509 y(2,2) = 0,399 (4.75)4.9 Problema propuestoDado el sistema de la Figura 4.16, se pide:
  • 113. Sistemas muestreados 95 Figura 4.16. Sistema propuesto. 1. Si la entrada es la secuencia {Uk} == {1, 2}, calcular el valor de los tres primeros elementos de {Yk}. 2. ¿Es estable el sistema? Determinar, si es finito, el valor en régimen permanente de la secuencia de salida ante la misma entrada. 3. Calcular en las mismas condiciones el valor de la señal y(t) para t == 1,5 seg. y t == 1,6 seg.Solución 4.9 1. {Yk} == {O; 0,6833; 2,3509; } (4.76) 2. Es inestable. El valor en régimen permanente es 3,0. 3. y(1,5) == 1,41138 y(1,6) == 1,62 (4.77)4.10 Problema propuestoObtener la función de transferencia Y (z ) / U (z) para el sistema representado en la Figura 4.17. y(t) ~ ,-----il ~ ;-I~~-----+L...--S~_3----I~~ - - - 1 Figura 4.17. Sistema propuesto.
  • 114. 96 Control de sistemas discretosSolución 4.10 Y(z) 0,4323z 3 - 0,08z 2 + 0,003z (4.78) U(z) Z4 - 1,0892z 3 + 0,3636z 2 - 0,0385z + 0,0009
  • 115. ~ CAPITULO 5 ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOSDEFINICIÓN DE ESTABILIDADUn sistema lineal invariante en el tiempo es estable si ante cualquier entrada acotada la secuencia desalida, o cualquier otra variable, también es acotada. Ello se verifica si: • Todos los polos de su función de transferencia se encuentran dentro de la circunferencia de radio unidad • Su secuencia de ponderación es absolutamente sumable: (5.1) • Su función de transferencia G (z): (5.2) es absolutamente convergente para todo z E ce con módulo Izl > 1.CRITERIO DE JURYLa determinación de la ubicación exacta de los polos es una tarea complicada para polinomios ca-racterísticos de orden elevado y muy sensible a errores numéricos. Otra opción es determinar pormétodos algebraicos, como el criterio de Jury, el número de raíces del polinomio característico queestá dentro de la circunferencia unidad.Dado un polinomio con coeficientes reales: (5.3) 97
  • 116. 98 Control de sistemas discretos an an-l a n -2 ak al ao ao al a2 an-k an-l an bn - l bn - 2 bn - 3 bl bo bo bl b2 bn _ 2 bn - l C -2 n C -3 n C -4 n CI Co Co CI C2 Cn-l C -2 n PI Po P2 P3 qo Tabla 5.1. Tabla de coeficientes de Jurycon a n > O. Se construye la Tabla 5.1.Donde: bk akaO - an-kan Ck bkbo - bn-k-Ibn-l (5.4)Las condiciones necesarias y suficientes para que todas las raíces de la ecuación se encuentren dentrodel círculo unidad son: 1. p(l) > O 2. p( -1) > O si n es par y p( -1) < O si n es impar 3. laol < a n , mientras que: Ibol > Ibn-ll Icol > ICn -21 IPol > Ip31 Iqol > Iq21 (5.5)
  • 117. Estabilidad de sistemas discretos 995.1 Criterio de Jury (1)Para el sistema representado en la Figura 5.1, determinar los valores de K que hacen estable el sis-tema. .. ~ K(z+O.5) (z+1 )(z-O.5)(z-1) .. ~ Figura 5.1. Diagrama de bloques considerado.Solución 5.1Para calcular la estabilidad del sistema en función de los valores de K se utilizará el criterio de Jury.En primer lugar, se calculará la función de transferencia en Z del sistema en bucle cerrado. K(z+O,5) M(z) == (z+1)(z-O,5)(z-1) 1+ K(z+O,5) (z+1)(z-O,5)(z-1) M(z) _ K(z + 0,5) (5.6) - z3 - 0,5z 2 + (K - l)z + 0,5K + 0,5El polinomio característico es: P(z) == z3 - 0,5z 2 + (K - l)z + 0,5K + 0,5 (5.7)Imponiendo las primeras condiciones del criterio de Jury, se extraen los valores siguientes para K: P(l) == 1 - 0,5 + (K - 1) + 0,5K + 0,5 == 1,5K > ° =} K > ° P( -1) == -1 - 0,5 - (K - 1) + 0,5K + 0,5 == -0,5K < ° =} K >° (5.8)Con los coeficientes de la ecuación característica se puede representar la Tabla 5.2. A partir de estoscoeficientes, se puede determinar los valores de K que hacen estable el sistema.Imponiendo la restricción a3 > 1 1, se tiene: ao 1 > 10,5(K + 1)1 =} -3 < K < 1 (5.9)
  • 118. 100 Control de sistemas discretos 1 -0,5 K-1 0,5K + 0,5 0,5K + 0,5 K-1 -0,5 1 -1,25K + 0,75 0,5K 2 0,25K + 0,5K - 0,75 2 Tabla 5.2. Criterio de J ury para el sistema de la Figura 5.1 °Junto con la restricción 5.8, se tiene < K < 1.Imponiendo la restricción IboI > Ib2 1, se tiene: 10,25K 2 + 0,5K - 0,751 > 1 - 1,25K + 0,751 (5.10)Dado que hasta el momento para que el sistema sea estable K ha de encontrarse en el intervalo°< K < 1, el primer término de la desigualdad ha de ser siempre 0,25K 2 + 0,5K - 0,75 < O.De esta forma, la expresión anterior queda: -0,25K 2 - 0,5K + 0,75 > 1 - 1,25K + 0,751 (5.11)Se analiza el segundo término de la desigualdad: Si °< K < 3/5 - 1,25K + 0,75 > ° Si 3/5 < K < 1 - 1,25K + 0,75 <° (5.12)Para poder eliminar los valores absolutos de la desigualdad se distinguen dos casos: • Para °< K < 3/5, se tiene: -0,25K 2 - 0,5K + 0,75 > -1,25K + 0,75 0,75K - 0,25K > 2 °* K(3 - K) > ° (5.13) lo cual se cumple dado que °< K < 1. • Para 3/5 < K < 1, se tiene: -0,25K 2 - 0,5K + 0,75 > 1,25K - 0,75 0,25K 2 + 1,75K - 1,5 < ° K 2 + 7K - 6< °* °< K < 0,772 (5.14)Por tanto, haciendo uso de todas las condiciones, se tiene finalmente que el sistema es estable si, ysólo si: °< K < 0,772 (5.15)
  • 119. Estabilidad de sistemas discretos 101 + ~1~__ :-_~_.1~---~_(_Z_-O_.~_)_(Z_-O_._9)~~~~ Figura 5.2. Diagrama de bloques considerado.5.2 Criterio de Jury (11)Para el sistema representado en la Figura 5.2, determinar los valores de K que hacen estable el sis-tema.Solución 5.2En primer lugar, se calculará la función de transferencia en Z del sistema en bucle cerrado: 5Kz (z-O,1)(z-O,7)(z-O,9) M(z) 1+ 5Kz (z-O,1)(z-O,7)(z-O,9) 5Kz M(z) (5.16) Z3 - 1,7z 2 + (0,79 + 5K)z - 0,063La ecuación característica del sistema completo en bucle cerrado es: P(z) == z3 - 1,7z 2 + (0,79 + 5K)z - 0,063 (5.17)Aplicando el criterio de J ury, se tiene: P(1) 1 - 1,7 + 0,79 + 5K - 0,063 == 0,027 + 5K > ° =} K > -0,0054 (5.18) P(-1) ° -1 - 1"7 - 79 - 5K - ,063 == ° ° -3,553 - 5K < =} K > -0,7106 (5.19)La condición conjunta es K > -0,0054. Con los coeficientes de la ecuación característica se puedeconstuir la Tabla 5.3.Imponiendo la restricción a3 > Iao 1, se tiene: 1 > 0,063 (5.20)que siempre se cumple.Imponiendo la restricción IboI > Ib2 1, se tiene: I- 0,6829 - 5KI > I- 0,9961 (5.21)Esta ecuación 5.21 puede tener dos posibilidades:
  • 120. 102 Control de sistemas discretos 1 -17, 0,79 + 5K -0,063 -0,063 0,79 + 5K -17, 1 -O ,6829 - 5K 1,650 - 0,315K -0,996 Tabla 5.3. Criterio de Jury para el sistema • Si K > -0,13658 al ser (-0,6829 - 5K < O): 0,6829 + 5K < 0,996 =} K < 0,062 (5.22) • Si K < -0,13658 al ser (-0,6829 - 5K > O): -0,6829 - 5K < 0,996 =} K > -0,33578 (5.23)Uniendo todas las condiciones, se tiene, finalmente, como valores de K que mantienen estable elsistema: -0,0054 < K < 0,062 (5.24)5.3 Estabilidad en sistemas muestreadosPara el sistema representado en la Figura 5.3, determinar: 1. Evolución temporal de la señal w (t) durante las tres primeras décimas de segundo si la se- cuencia {Uk} es un escalón y la señal P(t) = O. (En este apartado se supone que K = 1). P(t){uJ + y(t) r---~----. {yJ 1 ---. -1 ---. Bo(5) ---. 3 ----) 1-z 5+1 T=0.1 5. ~ T=0.1 5. Figura 5.3. Diagrama de bloques considerado. 2. Suponiendo que la secuencia {~~} es nula y fu s~ñal~(t) e~un escalón unitario, determinar los valores de K que hacen estable el sistema.
  • 121. Estabilidad de sistemas discretos 103 3. Si la secuencia {Uk} es nula, y tomando para K == 1: a) Determinar (si es posible) la función de transferencia entre la señal P(t) y la secuencia {Yk}. b) Calcular (si es posible) la transformada en Z de la secuencia {Yk} si la señal P(t) es un escalón unitario.Solución 5.3Los apartados solicitados son: 1. La función de transferencia Y(z)/U(z) se puede calcular como: Y(z) 1_~-13BoG(z) (5.25) U(z) - 1 + 1_~-13BoG(z) siendo K == 1 Y G(s) == l/(s + 1). BoG(z) == (1 - Z-l) " L.,.¡ Residuos [ (1 p p + 1) 1 - eP z- 1] == p=O,-l 1 ( - z -1) (1z-l + e- z-l == -1) 1_ 1- T z-l(l - e- T ) (5.26) 1 - e- T z- 1 Si T == 0,1 seg., entonces: BoG(z) = 0,09516 (5.27) z - 0,9048 A partir de la ecuación 5.25, se tiene: 3 z 0,09516 Y(z) z=I z-0,9048 0,2854z (5.28) U(z) - 1 + 3-Z- 0,09516 Z2 - 1,1694z + 0,9048 z-l z-0,9048 Si la secuencia de entrada es un escalón, se tiene la siguiente transformada Z a la salida del sumador: E(z) == U(z) - Y(z) == [1 _ Y(Z)] U(z) = z2 - 1,9048z + 0,9048 . _z_ (5.29) U(z) z2 - 1,6194z + 0,9048 z - 1 La salida tras el regulador ~ 1- -1 sería: z E z2 - 1,9048z + 0,9048 z2 X(z) z - 1 (z) = z2 - 1,6194z + 0,9048 . (z - 1)2 1 + 1,7146z- 1 + 1,9670z- 2 + 1,7292z- 3 + ... (5.30) Una vez bloqueada y multiplicada por 3, la señal w(t) quedaría representada en la Figura 5.4.
  • 122. 104 Control de sistemas discretos 6 ,-- --------, ---------- -1-------- ---í ----------,-----------.----------------------------------------------------------: 5 -.,I 4 - i I I i I I I 3 _J I I 2 I 1 ~- I 0: -1 ~ I -2 t- - I • -3 1_ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - L __ --- - -- - __ L ___________ L ___________ .1. ___________ - ___________ "- __________ -1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J _________ -_.-! O 0~1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Figura 5.4. Señal de salida w(t) tras el bloqueador y el bloque constante de ganancia 3. 2. La estabilidad del sistema no depende de las entradas. La estabilidad de un sistema viene dada por la posición de las raíces de la ecuación característica. Independientemente de cuál sea la señal de entrada que se considere sobre el sistema, la ecuación característica sigue siendo la misma. Para estudiar la estabilidad del sistema, es necesario analizar el polinomio característico, que se obtiene a partir de la ecuación 5.25. Kz P(z) == 1 + 3 z _ 1 BoG(z) (5.31 ) Conocido BoG(z), a partir de la ecuación 5.27, se tiene: P(z) == z2 - 1,9048z + 0,9048 + 0,2854Kz == O (5.32) Este polinomio se puede analizar por el criterio de Jury: P(l) + 0,9048 + 0,2854K > O * K > O == 1 - 1,9048 P( -1) == 1 + 1,9048 + 0,9048 - 0,2854K > O * K < 13,35 (5.33) Imponiendo la condición a2 > laol, 1 > 0,9048 (5.34)
  • 123. Estabilidad de sistemas discretos 105 Por tanto, el sistema será estable si: °< K < 13,35 (5.35) 3. a) No existe función de transferencia entre P(t) y {Yk}, puesto que P(t) es una señal con- tinua que no proviene de una reconstrucción. Sumada esta señal con w (t) Y multiplicada por 1/ (s + 1), al ser posteriormente muestreada, se perderá información. b) Sí existe en este caso la secuencia de salida {Yk} ante una entrada determinada P(t). Ésta se puede calcular como: z [S!l P(s)] y (z) == -1-+~3=-z-B-G~(z-) (5.36) z-1 ° siendo P( s) == l/s. Z [_1_ . _ s+ ~] 0,09516z 1 s - (z - 0,9048)(z - 1) (5.37) y dado que BoG(z) se ha calculado previamente en la ecuación 5.27, se tiene finalmente: 0,09516z Y(z) _ 0,09516 (z-0,9048)(z-1) - 1 + 3-z_ . 0,09516 z-1 z-0,9048 _ - z2 - 1 61932z + °9048 , (5.38)5.4 Estabilidad en función del tiempo de cálculoDado el sistema representado en la Figura 5.5, donde B( s) es un bloqueador de orden cero, estudiarla estabilidad del sistema calculando el rando de valores de K para los dos siguientes casos: • Tiempo de cálculo nulo . • Tiempo de cálculo de 0,1 seg.Razonar las diferencias más significativas.Solución 5.4La función de transferencia del sistema en cadena abierta será: BG(z) = (l-Z-l) ~ ~ . [p + 20,3 1 ResIduos p-4,06pl-e pT z- I 1 ] (5.39) polos G~p)con los polos p == 4,06. BG(z) (1 _ z-1) [20,3 + 1 + 4,06 + 20,3 1 ] == -4061-z- 1 406 1-15z- 1 , " -5 + 7,5z- 1 + 6 - 6z- 1 z + 1,5 (5.40) 1 - 1,5z- 1 z - 1,5Las dos opciones solicitadas son:
  • 124. 106 Control de sistemas discretos B y(t) .. ~ s+20.3 ~ s-4.06 Figura 5.5. Diagrama de bloques considerado. • Si el tiempo de cálculo es nulo, el polinomio en cadena cerrada será 1 + K BG(z) == o. z+ 1,5 1 + K z _ 1 5 == O => z - 1,5 + K z + 1,5K == O => (1 + K)z + 1,5K - 1,5 == O (5.41) , Para que sea estable se ha de cumplir: P(l) > O ~ 1 + K + 1,5K - 1,5 > O ~ K > 0,2 (5.42) P(-l) < O ~ -1- K + 1,5K -1,5 < O ~ K < 5 (5.43) 1 5K - 1 5 , K + l < 1 -----> 1,51K - 11 < K +1 (5.44) Estas condiciones se satisfacen si 0,2 < K < 5, que son los límites de estabilidad del sistema. • Si el tiempo de cálculo es de 0,1 seg., se produce un retraso de z -1 : BGH(z) = Z-l BG(z) = ~ z + 1,5 (5.45) z z - 1,5 El polinomio característico será: l+KBGH(z) == O => z(z-1,5)+K(z+1,5) == O ~ z2+(K -1,5)z+1,5K == O (5.46) Para que el sistema sea estable se ha de cumplir: P(l) > O ~ -0,5 + 2,5K > O ~ K > 0,2 (5.47) P( -1) > O ~ 1 - K + 1,5 + 1,5K > O ~ K > -5 (5.48) 1,5K < 1 ~ K < 1/5 == 0,6666 (5.49) Por tanto, el rango de valores de K que hace estable el sistema es 0,2 < K < 1/5. Se observa cómo si aumenta el tiempo de cálculo (aumenta el retraso en la llegada de información de la realimentación sobre el sistema), disminuye el intervalo de estabilidad del sistema.
  • 125. Estabilidad de sistemas discretos 107 1 semana Dpto. 20% Reparac. +Pedido + Dpto. Dpto. Dpto. Dpto. 0 80 o Producido Control Fabric. 1 semana Calidad 80%preVis~:% t+ Embalaje I--~ 1 semana 1 semana Almacén I Figura 5.6. Diagrama de bloques de una empresa de fabricación.5.5 Proceso de fabricaciónEl diagrama de bloques de la Figura 5.6 representa de forma simplificada el proceso seguido en unaempresa de fabricación.Su funcionamiento sería el siguiente: • El departamento de control genera sin retraso una ley de control, proporcional K (K > O), según la diferencia entre lo pedido y lo producido. • El departamento de fabricación tarda una semana en reparar los productos defectuosos. • Los fabricados y los reparados van al departamento de calidad, que, sin retraso, detecta los defectuosos (20 % según la experiencia). • El 20 % de los productos válidos es almacenado durante una semana a fin de evitar posibles pérdidas de clientes ante fallos en el proceso de fabricación. • El 80 % de los productos válidos es sumado a los almacenados la semana anterior e introduci- dos en el departamento de embalaje, que tarda una semana en llevar a cabo su cometido.El balance de todas las variables se realiza al final de cada semana. Se pide: 1. Función de transferencia en Z entre lo producido y lo pedido. 2. Determinar el rango de K para que el sistema sea estable.Solución 5.5Se tiene: 1. Se emplea la siguiente nomenclatura: Pk Material pedido en el período k.
  • 126. 108 Control de sistemas discretos Vk Material producido en el período k. Ck Material ordenado al departamento de fabricación en el período k. fk Material que entra al departamento de calidad en el período k. bk Material que se embala en el período k. Las ecuaciones en diferencias que describen el comportamiento son: K(pk - Vk) (5.50) Ck-l + 0,2fk-l (5.51) 0,64fk + 0,16fk-l (5.52) bk - 1 (5.53) Las ecuaciones son lineales. Se puede hallar directamente su transformada Z. K(P(z) - V(z)) = C(z) (5.54) F(z)(l - 0,2z- 1 ) = z-lC(z) (5.55) B(z) = (0,64 + 0,16z- 1 )F(z) (5.56) V(z) = z-l B(z) (5.57) El diagrama de bloques en Z quedaría como el representado en la Figura 5.7. P(z) + --E]C(Z) ~I F(z) B(Z)0 Vez) ~ K ~ - - 1 ~ O.64+0.16z· 1 Z·I 1-O.2z Figura 5.7. Diagrama de bloques del sistema. La función de transferencia sería: K z-2(O,64+0,16z- 1 ) P(z) 1-O,2z- 1 =K 0,64z + 0,16 (5.58) V(z) 1+ Kz-2(O,64+0,16z- 1 ) z3 - 0,2z 2 + 0,64Kz + 0,16K 1-O,2z- 1 2. Para comprobar el rango de estabilidad de K se aplica el criterio de Jury, siendo: P(z) = z3 - 0,2z 2 + 0,64Kz + 0,16 (5.59) Las condiciones a cumplir son: P(l) =1- 0,2 + 0,64K + 0,16K > ° ~ 0,8 + 0,8K > ° ~ K,> -1 (5.60)
  • 127. Estabilidad de sistemas discretos 109 Por otro lado, P( -1) == -1 - 0,2 - 0,64K + 0,16K < ° ---t -1,2 - 0,48K < ° ---t K > -2,5 (5.61) Además: 10,16KI < 1 ---t -6,25 < K < 6,25 (5.62) Uniendo todas las condiciones, se tiene °< K < 6,25. Se puede formar los coeficientes de la Tabla 5.4. 1 , -02 0,64K 0,16K 0,16K 0,64K -0,2 1 -0,672K 0,1024K 2 + 0,2 0,0256K 2 - 1 Tabla 5.4. Criterio de Jury para el sistema Ha de cumplirse 10,0256K 2 - 11 > I - 0,672KI. Al estar K entre O y 6,25, ambos términos serán negativos, por 10 que se puede expresar esta condición como: 1 - 0,0256K 2 > 0,672K (5.63) o 10 que es 10 mismo, 0,0256K 2 + 0,672K - 1< ° (5.64) Igualando esta expresión a cero, las dos raíces son K == 1,41 Y K == -27,6, por 10 que la condición global será O < K < 1,41.5.6 Problema propuestoCalcular los valores de a que hacen estable el sistema de la Figura 5.8.Solución 5.6No existe ningún valor de a que haga estable el sistema.
  • 128. 110 Control de sistemas discretos + z • . - - - - -Z+_3 a-I"~~-- Figura 5.8. Sistema propuesto.5.7 Problema propuestoComprobar si el sistema dado por la siguiente función de transferencia en bucle cerrado es estable. z-3 C be == - - - - - - - - - (5.65) z3 - 2,6z2 + 2,2z - 0,7Solución 5.7El sistema es inestable dado que los polos del sistema en bucle cerrado se encuentran en z == 1,36,z == 0,62 ± 0,36j y z == 1.5.8 Problema propuestoEn el sistema de la Figura 5.9, determinar los valores de a que hacen estable al sistema. + • .. ~ Z , """ z2+z+1 3 Figura 5.9. Sistema propuesto.Solución 5.8Ningún valor de a hace estable al sistema.
  • 129. Estabilidad de sistemas discretos 1115.9 Problema propuestoEstudiar la estabilidad del sistema de la Figura en función del parámetro a. + ~ 3 z+a Figura 5.10. Sistema propuesto.Solución 5.9El sistema es estable para los valores O < a < 0,25.5.10 Problema propuestoEn el sistema de la Figura 5.11, se pide: 1. Obtener los valores de K que hacen estable el sistema. 2. Si K == Kmáximo que hace estable el sistema, obtener el valor final de la salida en las condi- CIones: a) {Uk} es un escalón unitario y P(t) es nulo. P(t) ~.I :I y(t) Figura 5.11. Diagrama de bloques.
  • 130. 112 Control de sistemas discretos b) {Uk} es una secuencia nula y P(t) es un escalón unitario.Solución 5.10 1. °< K < 10,98 2. a) y(oo) = 1. b) y(oo) = 0,5.
  • 131. ~ CAPITULO 6 , , ANALISIS DINAMICO DE SISTEMASRESPUESTA ANTE UNA SECUENCIA IMPULSODado un sistema discreto causal con función de transferencia: G(z) = K~~:~ (6.1)con todos sus N polos simples (Pr), la respuesta de este sistema ante una secuencia impulso es: [K P N 9n == ¿Residuos (;)] p~-l r=l Q( ) Z=Pr M N ~ K rr i=l (Pr - Zi) n-l 9n ~ -N----Pr (6.2) r=l rr i=l,i;ér (Pr - Pi)siendo M el número de ceros y N el número de polos del sistema. Cada término del sumatorio de laecuación 6.2 determina la contribución del polo a la respuesta del sistema. ~RESPUESTA ANTE UN ESCALONLa respuesta del sistema G (z) ante entrada escalón 1 X (z) == -1---z--- 1 (6.3)es la siguiente: Yn ¿ Residuos [KP(Z). Q(z) Z z-1 zn-l] polos G(z); z= 1 K P (1) N +~K nM (Pr - Zi) n (Pr _ 1) ni=l,i=lr(Pr i=l Yn (6.4) Q(1) ~ r=l N _ Pl) P . r 113
  • 132. 114 Control de sistemas discretosEvidentemente, el sistema es estable si IPr I < 1 (todos los polos se encuentran dentro del círculounidad).SISTEMA REDUCIDO EQUIVALENTESe define como sistema reducido equivalente a uno dado al sistema de menor orden cuyo compor-tamiento con respecto a éste es muy similar. A partir de las expresiones previas, se observa que sepuede obtener un sistema reducido equivalente a uno de orden elevado dado que: • La contribución de un polo cercano al origen (módulo pequeño) es despreciable. Se puede eliminar. • La contribución de un par polo-cero muy cercanos entre sí a la respuesta del sistema también es despreciable siempre y cuando el par polo-cero se encuentre dentro del círculo unidad. Se pueden cancelar.El sistema reducido equivalente ha de tener la misma ganancia estática que el original, por lo quecualquier eliminación o cancelación debe mantener invariante la ganancia.Cuando se suprime un polo, hay que analizar dos aspectos: • La contribución propia del polo. • La aportación de ese polo en la contribución de los otros polos.Se contemplan, pues, dos posibilidades: 1. Eliminación de un polo cercano al origen (Pi). Se realiza la sustitución: 1 1 --~---- (6.5) Z - Pi ~ z(l - Pi) El polo cercano al origen se aproxima por un polo en el origen con objeto de no alterar el retardo del sistema (diferencia entre el número de polos y de ceros). Se ha de cumplir que pj ~ O más rápidamente que los polos dominantes y además que para cualquier otro polo del sistema Pr se cumpla: 1 1 (6.6) Pr-Pi ~ Pr(l-Pi) para no alterar la contribución de los otros polos. 2. Cancelación de un par polo-cero cercanos entre sí (Pi, Zk), siempre que estén dentro del círculo unidad. Se sustituye: Z - Zk 1- Zk --~-- (6.7) Z - Pi 1 - Pi
  • 133. Análisis dinámico de sistemas 115 Al cancelar el par polo-cero, el retardo del sistema no se altera. Se ha de cumplir que (p j - Zk) ~ O y además que para cualquier otro polo (Pr) del sistema se debe verificar: Pr - Zk ___ ""-J 1 - Zk _ _ (6.8) Pr - Pj ""-J 1 - Pj para no alterar la contribución de los otros polos.SISTEMAS DE PRIMER ORDENDado el sistema discreto de primer orden siguiente: G(z) = bz (6.9) z-ase tiene como respuesta impulsional n gn -ba - n>O (6.10)Considerando el caso particular de b = 2, se puede hallar la respuesta impulsional del sistema enfunción del valor de a (Figura 6.1). La respuesta ante escalón unitario vendrá dada por (Figura 6.2): Yn = b (1 _ a n + 1 ) (6.11) l-aSISTEMAS DE SEGUNDO ORDENDado el sistema discreto de segundo orden siguiente: 2 CZ G(Z) = z2+az+b (6.12)Si el sistema tiene dos polos reales, se podrá expresar como: 2 G(z) = cz (6.13) (z - al)(z - a2)La respuesta impulsional adquiere la forma: gn = C (a~+l _ a~+l) (6.14) al - a2La respuesta ante escalón unitario de entrada se puede expresar como: n 2 n 2 Yn = c + c [ a1 + + ~2_ J a + n>O (6.15) (1 - al) (1 - a2) (al - a2) al - 1 a2 - 1
  • 134. 116 Control de sistemas discretosSi el sistema posee dos polos complejos conjugados, el sistema se puede expresar como: K G(z) == Z2 _ 2e- a cos l9z + e- 2a (6.16)Los polos complejos conjugados son (Figura 6.3): (6.17)Nótese, en este caso, que el modelo del sistema elegido no posee ceros.En general, para un sistema con dos polos complejos conjugados, una típica respuesta impulsionalaparece reflejada en la Figura 6.4 siempre y cuando los polos de la función de transferencia seencuentren dentro del círculo unidad. La respuesta impulsional sería: K e-(n-2)a . gn == O [sen((n - 1)0)] n>lgn ==0 _ , n<O (6.18) sen
  • 135. Análisis dinámico de sistemas 117 Escalón O<a< 1 Escalón -1 <a<O b=2 b=2 4 3,8 • • 1,9 3,6 • 18 3,4 • 17 3,2 1,6 3 • 1,5 • 2,8 t 1,4 • 2,61 1,3 • • • • • • 2,41 i 1,2 • I 221 1,1 I 1 .- o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 o T 2 3 4 5 6 8 9 10 Tiempo TiempoFigura 6.2. Respuesta ante escalón unitario de un sistema estable de primer orden (O < a < 1; -1 < a < O) p e-G Ip-11 y e Figura 6.3. Parámetros en un sistema de segundo orden.La respuesta de este sistema 6.16 ante entrada escalón es: Yn K [e-na = 1p - 112 1 + - - sen(nl9 - ~) ] n>l·yn =0 _ , n<O (6.19) sen~donde K / Ip - 11 2 es el valor de la respuesta en régimen permanente y, por tanto, la ganancia estáticadel sistema. La respuesta ante entrada escalón se encuentra representada en la Figura 6.5. Sobre estarespuesta se pueden definir las siguientes características dinámicas: • Intervalo de subida. Número de elementos que, ante entrada escalón, necesita la respuesta para pasar del 10 al 90 %. En sistemas de segundo orden, se suele dar el valor del primer
  • 136. 118 Control de sistemas discretos í-- --- ---- --- - --- --- ---- --- - --r --- - --- --- - --- --- - --- --- ---- - r- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ---r --- --- - --- ---- --- ---- -- - ----1 ! I I I 1 : 2: : i I r •• ~ ¡ I I I I I I I 1,5 _J 1 • 0,5 I I I I I I I I : : O~ t i • • • • • • ••••••• ~ t I ¡ . ! 1 I : -0,5 ~ 1 _____________________________ 1_ __ _•__ __ • _ ___________________ ____________________________ ~ .-!.- ____________________________ -1 J O 5 10 15 20 Figura 6.4. Respuesta impulsional de un sistema de segundo orden. elemento, que alcanza el 100 % del valor en régimen permanente: O < qr < 1 con { nr E Z (6.20) • Intervalo de pico. Número de intervalos que presenta la secuencia de salida para alcanzar el máximo valor ante entrada escalón. O < qp < 1 con { np E Z (6.21) • Sobreoscilación. Porcentaje que supera el máximo valor sobre el valor en régimen permanen- te. (6.22) • Intervalo de establecimiento. Número de intervalos de la secuencia de salida, ante entrada escalón, a partir del cual la respuesta se mantiene en la banda de ±5 % de su valor en régimen permanente. 7r O < qs < 1 ns = - () + qs con { ns E Z (6.23)
  • 137. Análisis dinámico de sistemas 119 Respuesta ante escalón 1,6 1, 4 4~ • .4~ • 1, 2 4t Mp • •• • • .--, - _ • • •a 1 " • O, 8 O, 6 • O, 4 o -• ",.. - o, -, 2 4 ~, nr 6 ~, np 8 10 12 14 ns 1r 16 18 20 Figura 6.5. Respuesta de un sistema de segundo orden ante entrada escalón.En la Figura 6.5 se detallan estos conceptos.6.1 Respuesta temporal de sistemas discretosOrdenar en cuanto a intervalo de pico y sobreoscilación los siguientes sistemas: 2 G 2 (z) = Z + 0,6 7 G 3 (z) = z2-04z+008 , ,
  • 138. 120 Control de sistemas discretos 8 G 4(z) = z2 - Z + 0,5 3,2 5( ) G z == z2 _ ,4z + ,5 ° ° (6.24)Asimismo, ordenar los tres últimos en cuanto a intervalo de subida e intervalo de establecimiento.Solución 6.1En primer lugar, se analizará la situación de los polos para los diversos sistemas. • El sistema G l (z) tiene un polo real en z == 0,5. • El sistema G 2 (z) tiene un polo real en z == -0,6. • El sistema G 3 (z) tiene dos polos complejos conjugados en z == 0,2 ± 0,2j. • El sistema G 4 (z) tiene dos polos complejos conjugados en z == 0,5 ± 0,5j. • El sistema G 5 (z) tiene dos polos complejos conjugados en z == 0,2 ± 0,678j.Para estos tres sistemas con dos polos se pueden extraer los ángulos tal y como fueron representadosen la Figura 6.3. De esta forma, se pueden calcular los siguientes parámetros para estos tres sistemas: G 3 (z) ~ l9 3 == i 13 == 2,90 Ip31 == 0,2828 Aa G 4 (z) ~ V4 == 4 1T 14 _ - ""4 Ip41 == 0,7071 31T (6.25) G 5 (z) ~ l9 5 == 1,28 15 == 2,44 Ip51 == 0,7071El intervalo de pico para un sistema de segundo orden viene dado por la ecuación 6.21. La sobreosci-lación para un sistema de segundo orden se encuentra expresada en la ecuación 6.22. Para un sistemade primer orden que tenga como función de transferencia: G(z) = bz (6.26) z-ala respuesta ante entrada escalón se encuentra representada en la Figura 6.6 en función de los valoresdel parámetro a. Cuando a > 0, el sistema no presenta ninguna sobreoscilación. Para los sistemasen los que a < 0, se obtiene el siguiente valor de sobreoscilación: b- _b_ l a Mp == b - == -a . 100( %) (6.27) l-aDe esta forma, los valores de intervalo de pico y de sobreoscilación se detallan en la Tabla 6.1.ASÍ, respecto al intervalo de pico, se tiene G 2 < G 5 < G3 == G 4 . Con respecto a la sobreoscilación,se tiene G 3 < G 4 < G 5 < G 2 .El intervalo de subida para un sistema de segundo orden se define según la ecuación 6.20. El intervalode establecimiento viene dado por la expresión 6.23. Para los tres sistemas de segundo orden, losintervalos de subida y de establecimiento son los reflejados en la Tabla 6.2.En la Figura 6.7 se representan las secuencias de salida ante entrada escalón para los sistemas deprimer orden y en la Figura 6.8 se representan las secuencias de salida ante entrada escalón de lossistemas de segundo orden.
  • 139. Análisis dinámico de sistemas 121 b/(1-a) • • • . . . . ...... a>O b •• a<O • (1-a) • • .. . . . . . . . .. b •• • b(1 +a)/(1-a) o o~__~____~__~____~__~~__~ o 2 4 6 8 10 12 o 2 4 6 8 10 12Figura 6.6. Respuesta de un sistema de primer orden estable ante señal de entrada escalón cuandoa > O y cuando a < O. Sistema Sobreoscilación (Mp ) Intervalo de pico (n p ) G¡(z) No tiene No tiene G 2 (z) 60% 1 (retrasado respecto a 6.26) G3 (z) 0,64% 4 G4 (z) 25% 4 G 5 (z) 42,9% 3 Tabla 6.1. Intervalo de pico y sobreoscilación de los sistemas. Sistema Intervalo de subida (n r ) Intervalo de establecimiento (n s ) G 3 (z) 4 3 G 4 (z) 3 10 G 5 (z) 2 10 Tabla 6.2. Intervalo de subida y de establecimiento para los tres sistemas de segundo orden6.2 Sistema reducido equivalente (1)Hallar el sistema reducido equivalente del sistema siguiente. G z _ 3(z - 0,55)(z + 0,5) (6.28) ( ) - (Z2 + z + 0,5)(z + O,l)(z - 0,5)
  • 140. 122 Control de sistemas discretos Respuesta ante escalón de Gdz) Respuesta ante escalón de Giz) • • • • • • • • • • • . ---. . . . - • 6 6 10 12 K K Figura 6.7. Respuesta ante entrada escalón para los sistemas de primer orden G l (z) y G 2 (z). Respuesta ante escalón de G,(z) Respuesta ame escalón de G.(z) 12 22 • • • • . • -• I 20 • • .. • 10 18 - ....-- • • • • • • • 16 - - 8 14 • 12 6 10 4 8 • 6 2 4 - 2 f"II O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 5 10 15 K K Respuesta ante escalón de Gs(z) 5 45 • . .. .... ..... 4 3,5 • • ~ - •• 3 " - - ~ 2,5 •• 2 1,5 0,5 ,... O - 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 K Figura 6.8. Respuesta ante entrada escalón para los sistemas de segundo orden G 3 (z), G 4 (z) y G 5 (z).Solución 6.2El sistema G(z) tiene cuatro polos (-0,5 ± 0,5j; -0,1; 0,5) y dos ceros (0,55; -0,5). Se puedenplantear las siguientes simplificaciones:
  • 141. Análisis dinámico de sistemas 123 • Eliminación del par polo-cero zz-=-°d~55 . El sistema reducido equivalente manteniendo la misma ganancia estática quedaría: 1 - 0,55 (z - 0,5) (6.29) Gred(z) = 3· 1 _ 0,5 · (z2 + z + 0,5)(z + 0,1) Para verificar si es válida esta eliminación es necesario comprobar el efecto producido en cada uno de los otros polos. Para el polo en z = -0,1, se tiene: -0,1-0,55 = 1 0833 } 1-=-°d 1 S 0 , 5 5 Aceptablemente similar (6.30) 1-05 = 0,9 , Para los polos situados en -0,5 ± 0,5j, se tiene: -0,5+0,5)-0,55 - 1 04 -0,5+0,5j-O,5 - , + ° , 02j } Aceptablemente similar (6.31) 1-0,55 = 09 1-0,5 • Eliminación del polo cercano al origen (z = -0,1). Para que el sistema mantenga la ganancia estática se sustituye el sistema por: 1 - 0,55 1 (z - 0,5) (6.32) Gred(Z) = 3· 1 - 0,5 . 1 + 0,1 Z(Z2 + Z + 0,5) De igual forma al caso previo, se comparará el efecto generado sobre los demás polos. Para los polos situados en -0,5 ± 0,5j, se tiene: 1 -o ,5+0 ,)·+0 ,1 5 = -0,98 - 1,22j } Bastante similar (6.33) (-0,5+0,5~).(1+0,1) = -0,91 - 0,91j Por tanto, el sistema reducido equivalente resulta: z +0,5 Gred(z) = 2,45· z (2 +z+ ,5) z ° (6.34) La respuesta ante escalón del sistema G(z) es 3(z-2 +0,35z- 3 +0,415z- 4 +O,685z- 5 + ... ), mientras que la respuesta ante escalón del sistema reducido equivalente Gred(z) es 3(0,8181z- 2+ 0,409z- 3 +0,409z- 4 +0,6136z- 5 + ... ). Ambas respuestas se pueden observar en los gráficos de la Figura 6.9.6.3 Sistema reducido equivalente (11)Dado el sistema G (z ), determinar su sistema reducido equivalente. Comparar ambos sistemas encuanto a Mp y np. Justificar razonadamente la respuesta. G(z) _ 0,5(z + 0,35) (6.35) - (2z 2 - 2,8z + 2,1) . (z + 0,4) . (z - 0,1)
  • 142. 124 Control de sistemas discretos Respuesta ante escalón G,..(z) Respuesta ante escalón de G(z) ------~ --~--I 25r 25 • ~I I I 1 • 1 • ¡ ,:t I ·········t 15 I • • • • • • • • • T I • • • • ~¡ Ir 1 I 05~ J 05 1 . I ~L _ _ _ _ -------- _ _ _ _ _ -L- _ _ _ _ _ _ J I • _____ L-- _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ 1 J I 5 10 15 o 5 10 15 Figura 6.9. Respuesta ante entrada escalón para el sistema G (z) y para G red (z ) .Solución 6.3El sistema G(z) tiene cuatro polos (0,7±0,75j; -0,4; 0,1) Y un cero (-0,35). Los dos polos comple-jos provocan un sistema inestable, puesto que 2,1 > 2 (se encuentran fuera del círculo unidad). Sinembargo, se puede hallar el sistema reducido equivalente, pues puede existir alguna entrada acotadapara la cual la salida del sistema sea también acotada.En primer lugar, se va a intentar cancelar el par polo-cero zz~OO~45 sustituyendo por ~OO~45. Se estu-diará su contribución en los otros polos. Para los polos situados en 0,7 ± 0, 75j, se tiene: 75 0 0,7+0, 1+ ,35 ° == 969 + 02j } ° 0,7+0.) 75j+O,4 1+0,30 1+0,4 == 964 ° , Bastante similar (6.36)Para el polo en 0,1, se tiene: ° 0,1+0,35 == 1+04 1+0,35 _ 9 964°° } Bastante snrular . . (6.37) 1+0,4 - ,Por tanto, se puede asumir como válida la cancelación de ese par polo-cero. Para cancelar el polocercano al origen (0,1), sustituyendo por Z(l~O,l) se tiene: o,7+0 , 1 i5· -o , 1 1 0,661 - 0,815j== } Bastante similar (6.38) (0,7+0,75 j)(1-0,1) 0,749 - 0,792j ==Por lo que se puede cancelar este polo cercano al origen. De esta forma, el sistema equivalente deorden reducido resulta: 0,5357 (6.39) Gred(z) = z(2z 2 - 2,8z + 2,1)
  • 143. Análisis dinámico de sistemas 125Como el sistema tiene un polo fuera del círculo unidad, ante entrada escalón, el sistema será ines-table. Por tanto, no tiene sentido hablar de Mp y np. La respuesta ante escalón del sistema G(z)resulta O,25z- 3 + O,612z- 4 + O,863z- 5 + ... , mientras que la respuesta ante escalón del sistemareducido equivalente Gred(Z) resulta O,267z- 3 + 0,642z- 4 + O,886z- 5 + .... En la Figura 6.10 serepresenta la respuesta de ambos sistemas ante entrada escalón unitario. Respuesta ante escalón de G(z) Respuesta ante escalón de Gred(z) • • • • • • • • • 08 • 08 • • .- 06 06 04 • • • 04 - 02 • 02 • • • • • • • • • • • -06 1 - - _ _ _ _ _ _ _ _- - - -_ _ _ _ _ _ _ _- - -_ _ _ _ _ _ _ _- - - J 10~--------~---------~10~------~15 o 10 15 Figura 6.10. Respuesta ante escalón para el sistema G(z) y para el sistema Gred(z).6.4 Criterio de Jury y respuesta temporalDado el sistema representado en la Figura 6.11, calcular: 1. Valores de K que hacen estable el sistema. 2. Sistema equivalente reducido cuando K = K max /l,25. 3. Valores de n p , n r , Mp y ns del sistema de orden reducido. 4. Estimar si la aproximación es válida y calcular np y Mp del sistema total. + z K (z-1 )(z2-z +0.5) Figura 6.11. Diagrama de bloques.
  • 144. 126 Control de sistemas discretosSolución 6.4Los apartados solicitados son: 1. La función de transferencia global del sistema será: K z Kz M(z) = 1 (Z-l)(Z2: Z+0 ,5) (6.40) + (z-1)(z2- z +0,5) (z - 1)(z2 - Z + 0,5) + Kz De esta forma, se tiene como polinomio característico: P(z) == (z - 1)(z2 - Z + 0,5) + Kz == z3 - 2z 2 + (1,5 + K)z - 0,5 (6.41) Para hallar los valores de K que hacen estable el sistema se puede aplicar el criterio de Jury. Imponiendo las primeras condiciones, se extraen valores para K: P(l) == 1 - 2 + 1,5 + K - 0,5 == K > ° K >° ~ P( -1) == -1 - 2 - 1,5 - K - 0,5 == -5 - K < ° K > -5 ~ (6.42) por lo que sólo habrá que considerar la primera condición (K > O). A partir de los coeficientes de la ecuación característica, se puede formular la Tabla 6.3. 1 -2 1,5+K -o ,5 -0,5 1,5 + K -2 1 , -05-K 1,25 - 0,5K -o ,75 Tabla 6.3. Criterio de Jury para el sistema Imponiendo la restricción a3 > 1ao 1, se tiene: 1> 1- 0,51 (6.43) que siempre es cierto. Imponiendo la restricción IboI > Ib2 1, se tiene: 1-0,751> I-O,5-KI (6.44) Analicemos el segundo término de la desigualdad. Al ser K > O: Si K > -0,5 ~ 0,75 > 0,5 + K Si K < -0,5 ~ 0,75 > -0,5 - K (6.45) El primer intervalo se cumple cuando O < K < 0,25. El segundo intervalo se llega a satisfacer si se cumple -1,25 < K < -0,5. Dado que K > O, por tanto, el sistema es estable cuando: °< K < 0,25 (6.46)
  • 145. Análisis dinámico de sistemas 1272. Cuando el sistema tiene una ganancia K == K max /1,25 == 0,20, la función de transferencia en bucle cerrado del sistema es: M( ) z == z3 _ 2z 0,2z 2 + 1,7z - °,5 (6.47) Para calcular los polos del sistema es necesario resolver una ecuación de tercer grado. Resol- viendo esta ecuación, se obtiene como función de transferencia: ( ) 0,2z (6.48) M z = (Z2 _ 1,44z + 0,89)(z - 0,56) Para obtener un sistema equivalente de orden reducido, se cancelaría el polo más cercano al origen (z == 0,56) frente a los otros polos (0,72 ± 0,61j). Se obtiene: 1 0,2z 0,45 Mred(z) = z(l - 0,56) Z2 - 1,44z + 0,89 Z2 - 1,44z + °- 89 (6.49)3. Para calcular los valores n r , n p , Mp y n s , del sistema de orden reducido, se calcularán primero los parámetros siguientes: () aretan °, 0,61 72 == 0,7028 Ir - aretan 1 _ °, 0,61 72 == 2,001 Ipl 0,943 -In Ipl == 0,0583 (6.50) Conocidos estos valores, las características dinámicas serán: r () == 2,1846 ~ 3 Ir ( - == 4,469 ~ 5 () Ipln p • 100 % == 0,943 4 ,469 . 100 % == 76,9 % Ir - == 53,88 ~ 54 (6.51) a Puesto que estas fórmulas están indicadas para sistemas de segundo orden con retardo de dos unidades al igual que el sistema reducido equivalente, estos valores no hay que modificarlos en función del retardo del sistema. Estos valores se pueden comprobar en la Figura 6.12.4. Para verificar si la aproximación es válida, es necesario comparar los siguientes términos: 1 1 ,-.....; ,-.....; (6.52) Pr-Pj Pr(l-Pj) donde Pj es el polo eliminado. Siendo Pj == 0,56, Pr == 0,72 + 0,61j, se tiene:
  • 146. 128 Control de sistemas discretos Respuesta ante escalón 18 • 16 • • • 14 • • 12 • • • • 08 • 06 • • • • 04 • • • 02 ~_ ~ __ ~_~-----L---.L.-------.L I I 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Figura 6.12. Respuesta ante escalón del sistema equivalente de orden reducido M red (z). Pr~Pj I = I O,72+0,¿lj-O,56I = 1,586 } (6.53) Pr{1~Pj) I = I(O,72+0,61~)(1-O,56) I = 2,408 Estos valores obtenidos son algo distintos, por lo que la aproximación no será muy válida. Para calcular los valores de np y M p en el sistema total, se calculará la respuesta del mismo ante entrada escalón. Y(z) = X(z) . M(z) Y( ) z 0,2z (6.54) z = z - 1 . z3 - 2z 2 + 1 ,7 z - O,5 Por el método de la división larga, se obtiene la señal de salida: Y(z) = O,2(z-2 + 3z- 3 + 5,3z- 4 + 7z- 5 + 7,5z- 6 + 6,76z- 7 ... ) (6.55) El máximo valor se produce en el instante 6, alcanzando un valor de 1,5. Por tanto, np = 6 en el sistema original. Para calcular la sobreoscilación: M = Máximo valor - Valor final. 100 % (6.56) p Valor final Donde el valor final: YCXJ = bm ( 1 - z -1) . -z- . , 0,2z 2 +17z-05 = 1 (6.57) z~l z-l z3-2z , , Por lo que: Mp = 0,2· 7,5 - 1 . 100 % = 50 % (6.58) 1
  • 147. Análisis dinámico de sistemas 129 La comparación resulta: np Mp Sistema total 6 50% Sistema reducido 5 75% El polo adicional aumenta el intervalo de pico y disminuye el pico de sobreoscilación. En la Figura 6.13 se observan las diferencias entre ambos sistemas. Respuesta ante escalón de M(z) Respuesta ante escalón de Mre<tfz) ----.-_~---, 21 - - I • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • - . o. • • • • • • • • • • • • • • 2 _ _ l . - L - - - - - - L - _ - L - ,- - - - - 4 6 8 10 12 ------------ 14 --_---L-J 16 18 20 -------l 4 --------l....--------...l.- _ _ - - - - - 6 8 10 ---------_ - - - - - - - - - - - - _ - - - - - - - _ - - 12 14 16 18 20 Figura 6.13. Respuesta ante escalón para el sistema M(z) y para el sistema Mred(z).6.5 Identificación de sistemas conociendo su respuestaCalcular la función de transferencia de los dos bloques de la Figura 6.14, G 1 (z) y G 2 (z), sabiendoque si la señal de entrada {Uk} es un escalón unitario, las señales {Xk} e {Yk} vienen representadasen la Figura 6.15. Figura 6.14. Diagrama de bloques considerado.El valor en régimen permanente de {Xk} es 2,85. Para {Yk}, hacer uso de que n r == 4 Y np == 5.Solución 6.5Si {Uk} es un escalón unitario, a la vista de la señal de salida de G 1 (z) se deduce que éste tiene porexpresión: bz G 1 (z) == - - (6.59) z-a
  • 148. 130 Control de sistemas discretos 3 • • • • • • • • 11 5 •• • • 2,5 21. 4,5 4 3,5 • . • • . ........... 3 1,5 2,5 2 • 1,5 0,5 0,5 o 011 • • o 2 3 5 6 7 8 9 10 o 2 4 10 12 14 16 18 20 {Xk} tYk}8 Figura 6.15. Señales de salida {Xk} e {Yk}.Directamente de la Figura 6.15, se obtiene que b = 2 y b = 2,85 (6.60) l-aluego se desprende, a partir de la ecuación previa 6.60, que a = 0,3. Por tanto, la función de trans-ferencia adoptará como expresión: 2z G 1 (z) = z-03 (6.61) ,A la vista de la señal de salida {Yk} en la Figura 6.15, y dado que la señal de entrada es un escalónunitario, se deduce que el conjunto G 1 (z) . G 2 (z) es un sistema de segundo orden con un retardo deorden 3. G 1 (Z)·G 2 (z)=z -1 . 2 K b (6.62) z +az+A partir de la Figura 6.15, y dado que {Uk} es un escalón unitario, la ganancia global del sistema es4. Por tanto: lím G 1 (Z)G 2 (z) = K b= 4 (6.63) z-+1 1+ a+La función de transferencia de un sistema de segundo orden sobre la que se han definido las carac-terísticas dinámicas tiene un retardo de orden 2: e G(z)---- (6.64) - Z2 + az + bSin embargo, la función de transferencia G 1 (Z)G 2 (z) tiene un retardo de orden 3. Por este motivo,para el cálculo de los valores en la función de transferencia típica hay que restar una unidad. Puestoque n r = 4 y np = 5, se tiene: 7r 7r np - 1 = - =} () = - (6.65) () 4
  • 149. Análisis dinámico de sistemas 131 n r - 1 == , () =*, == 4 37r (6.66)Por tanto, los polos se encuentran en z == 0,5 ± 0,5j. A partir de la ecuación 6.63, se deduce queK == 2. De esta forma: G 1 (z)G 2 (z) == Z -1 Z 2 - 2 Z + ° ,5 (6.67)Dado que G 1 (z) viene dado por 6.61, De esta forma la función de transferencia de G 2 (z) solicitadaes: G ( ) z - 0,3 (6.68) 2 z == z2(z2 _ Z + 0,5)6.6 Problema propuestoDado el sistema: G z _ 2(z - 0,4)(z + 2) (6.69) ( ) - (z - O,l)(z - 0,3)(z2 - 0,89z + 0,2)Se pide: 1. Hallar un sistema de menor orden que se comporte de forma similar. 2. Obtener tanto para el sistema inicial como para el reducido los primeros términos de la salida ante entrada escalón unitario. 3. A partir del resultado del apartado anterior, determinar la sobreoscilación, el intervalo de es- tablecimiento y la ganancia de ambos sistemas ante entrada escalón.Solución 6.6 1. G(z) = 1,9047(z + 2) (6.70) z(z2 - 0,89z + 0,2) 2. La respuesta ante entrada escalón del sistema inicial es: 2z- 2 + 7,78z- 3 + 12,46z- 4 + 15,33z- 5 + 16,89z- 6 + + 17,69z- 7 + 18,08z- 8 + ... + 18,43z- oo (6.71)
  • 150. 132 Control de sistemas discretos La respuesta ante entrada escalón del sistema reducido es. + 7,4z- 3 + 11,92z- 4 + 14,84z- 5 + 16,54z- 6 + 1,9z- 2 +17,46z- 7 + 17,95z- 8 + ... + 18,43z- oo (6.72) 3. Para el sistema original, se tiene: Mp==O% ns == 7 Ganancia == 18,43 (6.73) Para el sistema reducido, se tiene: "- Ganancia == 18,43 (6.74)6.7 Problema propuestoDado el sistema representado en la Figura 6.16, obtener los valores de a que permiten que anteentrada escalón la señal de salida cumpla: 1. La sobreoscilación sea nula. 2. La sobreoscilación sea menor del 10 %. 3. El intervalo de establecimiento sea 1. 4. El intervalo de establecimiento sea 2. Vez) z-O.5 Y(z) ... • z(z-a) Figura 6.16. Sistema propuesto.Solución 6.7 1. 0,5 < a < 1 2. 0,45 < a < 1 3. 0,474 < a < 0,524 4. 0,435 < a < 0,542 o bien -0,092 < a < 0,115
  • 151. Análisis dinámico de sistemas 133 U(s).. u(t) - ~- T U(Z).I {Uk} K(z-O.6) Z I~.I Bo(s) 1---------.1 • 1 I Y(s) I ;ti y(t) . ~ T - I Y(z) {Yk}· Figura 6.17. Sistema propuesto.6.8 Problema propuestoDado el sistema representado en la Figura 6.17, se pide: 1. Rango de valores para el período de muestreo T y la constante K que permiten que la señal de salida {Yk} no presente sobreoscilación cuando la entrada u( t) es un escalón. 2. Rango de valores para el período de muestreo T y la constante K que permiten que la salida {Yk} presente una sobreoscilación menor del 20 % cuando la entrada u( t) es un escalón. 3. Rango de valores para el período de muestreo T y la constante K para que la ganancia del sistema sea la unidad.Solución 6.8 1. T < 0,5108, K no influye. 2. T < 0,6539, K no influye. 3. K == 2,5, T no influye.6.9 Problema propuestoPara el sistema de la Figura 6.18, se pide: 1. Determinar, si es posible, el sistema equivalente reducido. Comparar ambos sistemas en cuanto a Mp y np. 2. Hallar la respuesta del sistema original ante la secuencia de entrada {1; 1; O; O; O; O; O; ... }. .. 2(z+1.4) --," (z-O.l )(Z2 -z+O.5)(z+ 1.5) Figura 6.18. Sistema propuesto.
  • 152. 134 Control de sistemas discretosSolución 6.9 1. No es posible hallar el sistema equivalente de orden reducido, pues el par polo-cero =!~:: está cercano, pero el polo es inestable. No se puede hallar Mp ni np. 2. Pese a que el sistema sea inestable, para algunas entradas la señal de salida estará acotada. Así: -3 + 1 4 -4 M(z) == 2 ° z, z ° 1 + ,4z- 1 - 1,05z- 2 + ,4z- 3 - ,75z- 4 ° (6.75) Para X (z) == 1 + Z -1, la señal de salida será: 4 5 Y(z) = 2 z-3 + 2,4z- + 1,4z- (6.76) 1 + O,4z- 1 - 1,05z- 2 + 0,4z- 3 - 0,75z- 4 {Yk} == {O; O; O; 2; 4; 3,2; 2,12; 2,412; 3,0152; 2,878; ... } (6.77)6.10 Problema propuestoPara el sistema de la Figura 6.19, donde z G(z)-------- (6.78) -- (z - l)(z - 0,7)(z - 0,1)se pide: 1. Obtener un sistema reducido equivalente G R (z ). 2. Hallar los valores de K que hacen estable al sistema de la Figura tanto si se emplea G (z ) como el equivalente reducido. 3. Obtener el máximo valor de K que permite que la salida ante entrada escalón del sistema de la figura empleando el equivalente reducido no presente sobreoscilación. ----1t~, -EJ .. G(z) , """ -8 .05 .J ~ Figura 6.19. Sistema propuesto.
  • 153. Análisis dinámico de sistemas 135Solución 6.10 1. El sistema reducido equivalente es: 1,1111 (6.79) (z - l)(z - 0,7) 2. Los límites de estabilidad con G(z) son O < K < 5,022. Los límites de estabilidad con G R(Z) son O < K < 5,4 3. El máximo valor de K es 0,4050.
  • 154. CAPÍTULO 7 , COMPORTAMIENTO ESTATICO DE SISTEMAS REALIMENTADOSERROR DE UN SISTEMALas condiciones ideales de un sistema de regulación son que el valor de la señal de salida sea eldeseado y que las perturbaciones influyan lo mínimo posible sobre el sistema. U(z) + Y(z) G(z) Figura 7.1. Sistema discreto realimentado unitariamente.En el presente capítulo se aborda el comportamiento estático de un sistema realimentado. Así, paraun sistema discreto con una realimentación unitaria como el que se muestra en la Figura 7.1 se definecomo error del sistema la diferencia entre el valor deseado a la salida y su valor real: {ek} == {Uk} - {Yk} (7.1) 1 E(z) = U(z) - Y(z) = U(z) 1 + G(z) (7.2)Si el sistema es estable, el valor del error en régimen permanente se puede calcular a partir delteorema del valor final: (7.3)Ante secuencias de entradas normalizadas se tienen las siguientes expresiones de error:Entrada escalón (error de posición) z U(z) == z - 1 (7.4) e == 11m (1 - z - 1) , 1 z == l - - - 1m 1 (7.5) p z-+l 1 + G(z) z - 1 z--+l 1 + G(z) 137
  • 155. 138 Control de sistemas discretos Se define la constante de error de posición Kp como: Kp == lím G(z) (7.6) z~l 1 e ---- (7.7) p - 1 +KpEntrada rampa (error de velocidad) Tz U(z) = (z - 1)2 (7.8) , -1 1 Tz T ev=l~(1-z )1+G(z)(z-1)2 límz~l G(z)(z - 1) (7.9) Se define la constante de error de velocidad Kv como: Kv == lím G(z)(z - 1) z~l (7.10) (7.11)Entrada parábola (error de aceleración) 2 U(z) = T z(z + 1) (7.12) 2 (z - 1)3 , -1 1 T 2 Z (z + 1) ea=l~(l-z )l+G(z) 2(z-1)3 límz~l G(z)(z - 1)2 (7.13) Se define la constante de error de aceleración Ka como: Ka == lím G(z)(z - 1)2 (7.14) z~l (7.15)TIPO DE UN SISTEMASe define como tipo de un sistema el número de polos en z == 1 que tiene la función de transferenciaen bucle abierto de ese sistema: 1 " G(z) = (z _ l)r G(z) (7.16)En la Tabla 7.1 se detallan los errores en régimen permanente ante distintas entradas normalizadasen función del tipo del sistema.
  • 156. Comportamiento estático de sistemas realimentados 139 Sistema Entrada escalón Entrada rampa Entrada parábola 1 Tipo O l+Kp 00 00 T Tipo 1 O Kv 00 Tipo 2 O O T2 Ka Tabla 7.1. Errores en estado permanente en respuesta a diferentes entradas l--~~I u (z) + y (z) ~ G(Z) Figura 7.2. Diagrama de bloques.REALIMENTACIÓN NO UNITARIADado el sistema discreto realimentado con un valor constante h como el representado en la Figura r7.2, se define el error del sistema como la diferencia entre la señal de referencia el valor de la salidamultiplicada por la constante del captador. (7.17) 1 E(z) = U(z) - hY(z) = 1 + hG(z) U(z) (7.18)Las expresiones obtenidas para los errores en régimen permanente se modifican, quedando:Error de posición 1 (7.19)Error de velocidad (7.20)Error de aceleración (7.21)
  • 157. 140 Control de sistemas discretosSi la realimentación posee una dinámica H ( s ), lo correcto es comparar la entrada con la salidacorregida por la ganancia estática del captador h == l H ( s )J8=0. A tal fin, se descompone la reali-mentación en dos bucles [h] y [H (s) - h] aplicándose lo visto anteriormente para el primero de losbucles mencionados.7.1 Error de velocidadDeterminar el valor de Q en el diagrama de bloques de la Figura 7.3, de forma que se tenga un errorde velocidad de e v == T /2. + ~ 10(z-O.8) .. , z3-2z2 +2z-1 a .J ~ Figura 7.3. Diagrama de bloques.Solución 7.1El error de velocidad en un esquema de bloques como el representado en la Figura 7.3, siempre queel sistema sea estable, viene dado por: (7.22)siendo Kv == lím(z - l)G(z) (7.23) z---tlDe esta forma, se tiene: G(z) _ lO(z - 0,8) (7.24) - (z - 1) (z2 - Z + 1)Luego K = lím(z _ 1) lO(z - 0,8) = 10·0,2 = 2 (7.25) v z---tl (z - 1)(z2 - Z + 1) 1
  • 158. Comportamiento estático de sistemas realimentados 141Por último: T T ev = a2 = "2 (7.26)Como se desprende de la ecuación 7.26, para que el error de velocidad valga T /2, a debe valer 1.Para este valor de a, el polinomio característico valdría: P(z) = z3 - 2z 2 + 2z - 1 + 10(z - 0,8) = z3 - 2z 2 + 12z - 9 (7.27)con raíces 0,59 ± j3,2685 y 0,8157. Como se aprecia, el sistema es inestable, por lo que no seríanválidas las fórmulas empleadas en el error de velocidad. Por tanto, no existe ningún a que ocasioneun error de velocidad e v = T /2. En este caso, tampoco sería posible obtener un error de velocidadmenor.7.2 Sistemas con dinámica en la realimentaciónCalcular los errores en régimen permanente del sistema representado en la Figura 7.4, siendo elperíodo de muestreo T = 0,1 seg. + K(z-O.3) z-1 Figura 7.4. Diagrama de bloques.Solución 7.2Para evaluar los errores del diagrama representado, una posible solución consiste en descomponer larealimentación en dos lazos. Una con h = [H (8)] s=o Y otra con H (8) - h. Si H (8) es S!5 5 h = [H(8)]s=0 = 5 = 1 5 8 H(8) -h= - -1 =-- (7.28) 8+5 8+5De esta forma, se tiene como diagrama de bloques el representado en la Figura 7.5. El error será laseñal representada en la misma Figura. Para su determinación será preciso calcular el sistema equi-valente: R(z)BF(z) (7.29) G(z) = 1 + R(z)[BFH(z) - hBF(z)]
  • 159. 142 Control de sistemas discretossiendo 3 F(s) = - 7 (7.30) s+y R(z) = K(z - 0,3) (7.31) z-l ~E(Z)+ K(z-O.3) I_~~~---~ Vez) ~ - z- 1 ~~ ,.- A~ .4~ ~- T I ~- T .... - Figura 7.5. Diagrama de bloques modificado.De esta forma, se tiene: BF(z) = (1 - z-l) ~ ~ Residuos [ ( 3 7) . p p+ Ir 1- eP z- 1] = p=-7,p=0 3z- 1 (1 - e- 7T ) 0,4282 (7.32) 7(1 - e- 7T Z-l) Z - 0,0009119y BFH(z) - hBF(z) = (1 - z-l) L p=-7,p=0,p=-5 Residuos [ (3 ). -p · 1 P P+7 p +5 Ir 1] - eP z- BFH(z) - hBF(z) = -0,008739(z - 1) (7.33) z2 - 0,00765z + 0,0000061El sistema equivalente será: K(z-0,3) 0,4282 G( ) z-l z-0,0009119 (7 34) z = 1 K(z-0,3) -0,008739(z-1) . + z-l z2 -O,00765z+0,0000061 KO,4282(z - 0,3)(z - 0,006738) G(z) = (z _ 1)(z2 - 0,007652z + 0,0000061) - 0,008739K(z - 0,3)(z _ 1) (7.35)Si el sistema es estable, los errores tendrán como valor las siguientes expresiones.
  • 160. Comportamiento estático de sistemas realimentados 143 Para el error de posición: 1 (7.36) con Kp == lím G(z) == 00 (7.37) z---+1 1 e p == - == 0% (7.38) 00 Para el error de velocidad: (7.39) con K = lím(z _ I)G(z) = K0,4282· 0,7·0,9932620 = KO,29772 v z->l 1 - 0,992348 + 0,000 0,99235 _ 0,0061173K (7.40) 0,99235 - 0,0061173K e v == (7.41) 0,29772K Para el error de aceleración: T2 ea == hKa (7.42) Ka == lím(z - 1)2G(z) == O (7.43) z---+1 (7.44)Estos valores son válidos para aquellos valores en los que el sistema sea estable. Para obtener elrango de estabilidad de K, se parte de la expresión: BFH(z) == (1:;1) L p=-7,p=-5,p=O Residuos [~ PP ! ! 7 P 51 _ e~TZ-l] == BF H(z) == 0,4194z + 0,005858 z2 - 0,007654z + 0,0000061 (7.45)El polinomio característico será: P(z) (z - 1)(z2 - 0,007654z + 0,0000061) + K(z - 0,3)(0,4194z + 0,005858) == Z3 + (0,4194K - 1,007654)Z2 + +( -0,11996K + 0,00766)z - (0,001757K + 0,0000061) (7.46)Por Jury, se debe cumplir: P(1) == 0,2976K > O --+ K > O (7.47) P( -1) == -2,0153 + 0,5376K < O --+ K < 3,7486 (7.48)formándose las tres primeras filas de la Tabla 7.2. siendo:
  • 161. 144 Control de sistemas discretos 1 0,4194K - 1,007654 -0,11996K + 0,00766 -0,001757 K - 6,1 .10- 6 -0,001757 K - 6,1 . 10- 6 -0,11996K + 0,00766 0,4194K - 1,007654 1 b2 b1 bo Tabla 7.2. Criterio de Jury b2 = -7,36· 10- 4 K 2 + 1,76.10- 2 K + 6,14.10- 5 (7.49) b1 = 2,10 . 10- 4 K 2 - 1,27 . 10- 5 K - 4 ,67 . 10- 8 (7.50) bo = 3,08 . 10- 6 K 2 + 2,14 . 10- 8 K - 1 (7.51)Es claro que Ibol > Ib 2 1.Se comprueba que siempre se cumplen las condiciones si O < K < 3,7486, que es el rango deestabilidad en función de K.7.3 Estabilidad y errores en régimen permanentePara el diagrama representado en la Figura 7.6, se pide: l. Calcular la estabilidad del sistema para distintos valores de K. 2. Determinar el error de velocidad y de posición para K = 1 Y K = 2. Figura 7.6. Diagrama de bloques.Solución 7.3Se tiene: 1. La ecuación característica del sistema queda: 1 + KG(z)h = O (7.52)
  • 162. Comportamiento estático de sistemas realimentados 145 Sustituyendo 1+ K 3z z3 - 3z + 0,12 ==° (7.53) es decir, Z3 + 3(K - l)z + 0,12 == ° (7.54) Aplicando el criterio de Jury, se puede establecer la Tabla 7.3. 1 3(K - 1) 0,12 0,12 3(K - 1) ° 1 3(1 - K) 0,36(K - 1) ° -0,9856 Tabla 7.3. Criterio de Jury para el sistema Las condiciones a imponer son las siguientes: ° P(l) > ~ 1 + 3K - 3 + 0,12 > ° ~ K > 0,63 P(-l) < ° ~ -1- 3K + 3 + 0,12 < ° ~ K > 0,71 (7.55) 13 - 3KI < 1- 0,98561 (7.56) Si K < 1: 3 - 3K < 0,9856 ~ K > 0,67 (7.57) Si K > 1: -3 + 3K < 0,9856 ~ K < 1,33 (7.58) Uniendo todas las posibilidades obtenidas previamente, se tiene: 0,71 < K < 1,33 (7.59)2. Cuando K == 1, el error de velocidad será infinito al ser un sistema de tipo O. Para el cálculo del error de posición, se tiene: 1 e p == 1 + hKp Kp == lím KG(z) (7.60) z---+l Así: K == lím z == -O 53 P z---+l (z3 - 3z + 0,12) , 1 ep == 1- 3. 053 == -1,69 ~ lepl == 169% , (7.61) Cuando K == 2, el sistema es inestable. Por este motivo, no tiene sentido hablar de error de posición ni de error de velocidad.
  • 163. 146 Control de sistemas discretos7.4 Sistema de control de un barcoConsidérese el sistema de control de rumbo de un barco como el representado en la Figura 7.7. Vr + -1 R(z) BARCO ----I-{ I~--- Figura 7.7. Sistema de control de rumbo de un barco.Donde ljJ es el rumbo, ljJr es la referencia del rumbo, T == 1 seg. el período de muestreo y 6 el ángulodel timón según la Figura 7.8. Figura 7.8. Relación rumbo-ángulo del motor.El ángulo del timón 6 provoca un par de giro P8 == 56, que se compone con el par de giro Pv ,provocado por la acción del viento. El par resultante P == Pv + P8 provoca el giro del barco según: ~(t) + 10~(t) == O,2P(t) (7.62)El accionador del timón responde al esquema representado en la Figura 7.9. Se pide: 1. Obtener la función de transferencia ljJ (z) / ljJr (z) para R( z) == K. 2. Obtener la respuesta de ljJ a un escalón de Pv para R(z) == K. Estudiar el regulador más adecuado para conseguir que el rumbo siga a la referencia sin error en régimen permanente y sin que Pv afecte al rumbo en régimen permanente.
  • 164. Comportamiento estático de sistemas realimentados 147 10 x 10 X 5 Figura 7.9. Actuador del timón.En ambos apartados, suponer que los escalones lj;r y Pv son de pequeña amplitud.Solución 7.4Se tiene: 1. El barco se comportará según las siguientes ecuaciones: P8 == 515 P == Pv + P8 . .. lj; + lOlj; == O,2P (7.63) A partir de las anteriores ecuaciones, y tomando transformadas de Laplace, se tiene: (s + lOs2)lj;(s) == O,2Pv (s) + l5(s) (7.64) El accionador no se satura (pequeñas amplitudes de lj;r y de Pv ), por lo que se comportaría según el esquema representado en la Figura 7.10. X(s) + 1 8(s) S Figura 7.10. Actuador del timón para pequeñas amplitudes. El sistema total viene representado en la Figura 7.11. Hay que hallar lj; (z) / lj;r (z) con Pv == O. K· BF1 F 2 (z) (7.65) 1 + K . BF1 F 2 (z)
  • 165. 148 Control de sistemas discretos 0.2 -.1 R(z) I~ -s+-- 8(s) ~~ L - - -_ _- - - 1 Y(z) ~ T - V(z) -----. X(s) Figura 7.11. Diagrama de bloques para pequeñas amplitudes. Primero se calcula: (1 - z -1) ¿ . ResIduos [1 -1 . -. - 0,1 . 1 ] == p p+1 p(p+O,1) 1-epT z- 1 polos 1,287· 10-2(Z2 + 3,0946z + 0,578) (7.66) (z - l)(z - 0,9048)(z - 0,3678) Por tanto: 1/J(z) 0,01287K(z2 + 3,0946z + 0,578) lj;r(z) (z - l)(z - 0,9048)(z - 0,3678) + 0,01287K(z2 + 3,0946z + 0,578) (7.67) Ante entrada escalón, si el sistema es estable (dependerá del valor de K), el régimen perma- nente valdrá: 1/J z) == lím (1 - z -1 ) 1/J (z) == 1 ex;) ( (7.68) z--+l por lo que el error de posición será nulo. 2. Si Pv (s) es un escalón, entonces Pv (s) == l/s. No existirá función de transferencia entre perturbación y salida. Sí se podrá obtener la respuesta 1/J (z). Si la entrada 1/Jr (z) es nula: 0,2Z [ F2;S)] lj;(z) = 1+K . BF F (z) 1 2 (7.69) °, 2Z [F2(S)] == s ° 2Z [~ 0,1 s s(s + 0,1) ] = 0,04837(z + 0,9672)z (z - 1)2(z - 0,9048) (7.70)
  • 166. Comportamiento estático de sistemas realimentados 149 De este modo, O,04837(z+O,9672)z (z-1)2(z-O,9048) IjJ ( Z ) = 1 + 0,01287 K(z2+3,9046z+0,578) (7.71) (z-l) (z-O,9048) (z-O,3678) es decir, 0,04837(z + 0,9672)(z - 0,3678)z/(z - 1) IjJ(z) = (z _ l)(z - 0,9048)(z - 0,3678) + 0,01287K(z2 + 3,9046z + 0,578)) (7.72) Si el sistema es estable (según el valor de K), el valor final será: 1 lj;00 = lím (1 - z -1 ) lj; ( z) z~l = K (7.73) Al ser lj;r (z) nula, la señal lj; (z) es igual al error cambiado de signo. Para que el rumbo lj; (z) siga la referencia lj;r (z) sin error en régimen permanente, vale un regulador proporcional K, pues al tener el barco un polo en el origen, el sistema es de tipo 1 (el valor final de la salida era 1 =} el error era O). Para que no afecte al rumbo lj;(z) un escalón en Pv (8) hace falta que F 1(8) o R(z) sean de tipo 1. No sirve que 10 sea F2 (8) (el valor final de la salida era distinto de O =} el error era distinto de O). Tendrá que serlo R( z ), por ejemplo: K R(z) = z- 1 (7.74)7.5 Comportamiento estático en sistemas con realimentación constanteConsidérese el sistema siguiente: G(z) _ 0,2(z + 0,65) (7.75) - (z + 0,7)(z2 + 1,2z + 0,72)Se pide: 1. Calcular el sistema reducido equivalente G R ( Z ) . 2. Calcular en el diagrama de bloques de la Figura 7.12 los valores de K del regulador que hacen estable el sistema global, siendo la realimentacíón unitaria (h = 1). 3. Para un valor de K = Kmax/2, calcular los errores del sistema en régimen permanente sa- biendo que h = 1000, Y T = 28.Solución 7.5Se tiene:
  • 167. 150 Control de sistemas discretos +: ~G ·1 11 Z+~.65 G(z) I · G~" --- Figura 7.12. Diagrama de bloques en bucle cerrado. 1. Cancelación del par polo-cero (z+0,65) / (z+O, 7). Al cancelar este par polo-cero se sustituye: z + 0,65 (7.76) z+0,7 por 1 + 0,65 (7.77) 1 +0,7 Es necesario comparar Pr + 0,65 1 + 0,65 ------- ~ ------ (7.78) Pr+O,7 ~ 1+0,7 siendo los otros polos del sistema -0,6 ± 0,6j. Por un lado: -0,6 + 0,6j + 0,65 = (0,05 + 0,6j)(0,1 - 0,6!) ~ 0,986 + 0,081j (7.79) -0,6 + 0,6j + 0,7 (0,1 + 0,6j)(0,1 - 0,6J) y por otro: 1 + 0,65 == 971 1 + 0,7 ° (7.80) con lo que al ser equivalentes se puede eliminar, quedando el sistema: GR(z)=0,21+0,65. 1 0,1942 (7.81) 2. La función de transferencia del sistema global con realimentación unitaria es: O,2Kz M(z) == (z+o~7T(z2+1,2Z+0,72) 0,2Kz (7.82) 1+ O,2Kz Z3 + 1,92z 2 + (1,56 + 0,2K)z + 0,504 (z+O, 7) (z2 + 1 ,2z+0, 72) El polinomio característico es: P(z) == z3 + 1,9z 2 + (1,56 + 0,2K)z + 0,504 (7.83)
  • 168. Comportamiento estático de sistemas realimentados 151 1 1,9 1,56 + 0,2K 0,504 0,504 1,56 + 0,2K 1,9 1 -0,6024 - 0,2K -1,11376 - 0,10098K -0,745984 Tabla 7.4. Tabla de Jury para el sistema La estabilidad se puede determinar por Jury. A partir de los coeficientes de la ecuación carac- terística, se puede obtener la Tabla 7.4. Las condiciones a imponer son las siguientes: P(l) >° ~ 1 + 1,9 ° + 1,56 + 0,2K + 0,504 > => K > -24,82 P( -1) < ° ~ ° -1 + 1,9 - 1,56 - 0,2K + 0,504 < => K > -0,78 (7.84) 1- 0,6024 - 0,2KI < 1- 0,7459841 (7.85) Dado que K > -0,78, el primer término de la anterior expresión siempre es negativo. Por tanto: 0,6024 + 0,2K < 0,745984 => K < 0,71792 (7.86) Uniendo todas las posibilidades obtenidas previamente, se tiene: -0,78 < K < 0,71792 (7.87) 3. La K 1 es 0,71792. Por tanto: K2 K == - 2 ° == 35896 (7.88) Para K == 0,35896 y h == 1000, la ecuación característica del sistema en bucle cerrado es: 1+ K (z 0,2z + 0,7)(z2 + 1,2z + 0,72) 1000 == ° (7.89) Los polos del sistema se encuentran en -0,95±j8,51 y -0,007, con lo que el comportamiento del sistema es inestable para estos valores. Al ser el sistema inestable, no tiene sentido hablar de errores en régimen permanente.7.6 Errores y sistemas equivalentes de orden reducidoPara los tres sistemas siguientes: 2 G (z) - - - - - - - -2 - 2,8z + 2,1) (7.90) 1 - (z + 0,1)(2z
  • 169. 152 Control de sistemas discretos G 2 (z) = z + 1,7 (7.91) z+0,7 z (7.92) 3 G (z) = (z - 0,1)(z2 - Z + 0,5)Se pide: 1. Calcular en cada caso la sobreoscilación (Mp ) y el intervalo de pico (n p ). 2. Para cada sistema, determinar si es posible hallar un sistema equivalente de orden reducido. En caso afirmativo, comparar el margen de sobreoscilacíón y el intervalo de pico de los sistemas reducidos con los iniciales. 3. Para los sistemas anteriores que admiten sistema equivalente de orden reducido, realizar una realimentación unitaria y hallar el error en régimen permanente ante entrada escalón tanto para los sistemas iniciales como para los reducidos.Solución 7.6Se tiene: 1. El primer sistema es inestable, ya que en el polinomio 2z 2 - 2,8z + 2,1 se cumple 2,1 > 2, luego algún polo del sistema tiene un módulo mayor que 1. El segundo sistema es un sistema de primer orden: z + 1,7 G 2(z) == =* Y(z) == G 2(z)X(z) (7.93) z+0,7 Ante entrada escalón, se tiene: 1 X(z) z =} Y(z) = z + 1,7 . _z_ == 1 + 1,7z- z-l z+0,7 z-l 1-0,3z- 1 Y(z) 1 + 2z- 1 + 1,3z- 2 + 1,79z- 3 + ... (7.94) El valor final (dado que el sistema es estable) será: Yoo , ( 1)z+1,7 ° == z~l 1 - z- z +, 7 . --1 == 1,588 11m z- z (7.95) M == Máximo valor - Valor final. 100 (JI == 2 - 1,588 . 100 o/c == 25 9 o/c (7.96) p2 Valor final 10 1,588 o, o El intervalo de pico de sobreoscilación, como se observa en la ecuación 7.94, será n p 2 == 1. El tercer sistema es de segundo orden, con un polo adicional. Tiene dos polos complejos conjugados (0,5 ± 0,5j) y uno real (0,1). El sistema es, por tanto, estable. En este caso: z z z X(z) - - =* Y(z) == . -- z- 1 (z - 0,1)(z2 - Z + 0,5) z - 1 z-2 Y(z) 1 - 2,lz- 1 + 1,7z- 2 - 0,65z- 3 + 0,06z- 4 Y(z) z-2 + 2,lz- 3 + 2,71z- 4 + 2,77z- 5 + ... (7.97)
  • 170. Comportamiento estático de sistemas realimentados 153 El valor final con entrada escalón (dado que el sistema es estable): Yoo = l1m ( - 1 ) 1- Z Z 2 . Z = 2 22 (7.98) z~l (Z - O,l)(z - z + 0,5) z- 1 M - Máximo valor - Valor final. 100 01 _ 2,77 - 2,22 . 01 _ 4 7 01 p3 - Valor final 70 - 2,22 100 70 - 2 , 7 10 (7.99) El intervalo de pico de sobreoscilación, como se observa en la ecuación 7.97, es np3 = 5.2. Aunque se puede hallar el sistema reducido equivalente del primer sistema (G 1 (z ), no tiene sentido hablar de intervalo de pico de sobreoscilación ni de margen de sobreoscilación, dado que este sistema es inestable. G(z) _ 2 _ 1,82 (7.100) 1 - (1 + 0,1)(2z 2 - 2,8z + 2,1) - 2z 2 - 2,8z + 2,1 El sistema G 2 (z) no se puede reducir. G(z) _ 1 _ 1,111 (7.101) 3 - (1 - 0,1)(z2 - Z + 0,5) - z2 - Z + 0,5 Para este último sistema reducido equivalente G;(z), se tiene como ceros y polos: Zk = O, Pj = 0,1, Pr = 0,5 ± 0,5j. Para que sea válida la sustitución, se debe cumplir: • (Pj - Zj) -t o. Por tanto: 0,1 - O = 0,1 =} Es aceptable . • La contribución de los otros polos Pr = 0,5 ± 0,5j, se debe cumplir: Pr _ _ _ - Zk r-v 1 - Zk __ (7.102) Pr - Pj r-v 1 - Pj Así: 0,5 + 0,5j - O = 1 097 _ O 121 . 1- O = 1 111 05+05-01 , , J , , J{::} 1-01 , 0,5 - 0,5j - O = 1 097 + O 121 . {::} 1 - O = 1111 (7.103) 05-05-01 , , J , , J 1-01, Cada uno por separado es parecido. La suma también. Por tanto, la aproximación puede ser válida. Para hallar el margen de sobreoscilación y el intervalo de pico para el sistema reducido, se identificarán en primer lugar los valores de la Figura 7.13. {)=7r 4 37r "1= - 4 Ipl = 0,707 (7.104)
  • 171. 154 Control de sistemas discretos p e -O Ip-11 e Figura 7.13. Parámetros de un sistema discreto de segundo orden. ASÍ: _ 7r np3 == - == 4 7r/4 - Mp3 == Ipln - p3 4 == 0,7071 . 100 % == 25 % (7.105) El sistema reducido posee mayor margen de sobreoscilación y menor intervalo de pico que el sistema inicial. Es esperable por la acción del polo real positivo. 3. El primer sistema admite sistema reducido equivalente. Sin embargo, no tiene sentido hablar de error en régimen permanente, ya que también en cadena cerrada el sistema es inestable. Falta por comprobar el tercer sistema. Si el sistema es estable en cadena cerrada, el error será el mismo tanto para el sistema original como para el reducido, ya que ambos poseen el mismo valor para Kp. K - lím G (z) - 1 - 2 222 p3 - z~l 3 - 0,9(1 - 1 + 0,5) - , - - 1111 Kp3 == lím G 3 (z) == == 2,222 (7.106) z~l 1-1+0,5 (7.107) El error de posición será: 1 ep3 == 1 K == 0,310 == 31 % (7.108) + p3 Pero hay que comprobar que los sistemas son estables, pues en caso contrario no son válidas estas fórmulas. En el sistema inicial: z M _ (z-O,1)(z2- z +0,5) Z 2 3 - 1+ (z-O,1)(:2- z +0,5) z3 - 1,lz - 1,6z - 0,05 P(z) == z3 - 1,lz 2 + 1,6z - 0,05 (7.109)
  • 172. Comportamiento estático de sistemas realimentados 155 Por el criterio de Jury, las condiciones a imponer al polinomio característico P( z) son: 1 > 1- 0,051 P(1) == 1 - 1,1 + 1,6 - 0,05 == 1,45 > ° P( -1) == -1 - 1,1 - 1,6 - 0,05 == -3,75 < ° (7.110) Asimismo, se puede formar la Tabla 7.5. 1 -11, 1,6 -O ,05 -0,05 1,6 , -11 1 -1,545 1,02 -0,9975 Tabla 7.5. Tabla de Jury para el sistema. Una de las condiciones que se deben imponer es: 1- 0,99751 > 1 - 1,5451 (7.111) Dado que esta condición no se cumple, se puede deducir que no es estable el sistema. Por este motivo no se puede hablar de error de posición. Para el sistema reducido: 1,111 - z2-z+0,5 1,111 M 3== 1 + 1,111 Z2 - Z + 1,611 z2- z +0,5 P(z) == Z2 - Z + 1,611 (7.112) Como se observa, 1,611 > 1; por tanto, el sistema no es estable. No se puede hablar, por tanto, de error de posición.7.7 Errores en un sistema multivariablePara el sistema multivariable de la Figura 7.14, se pide: 1. Calcular el polinomio característico del sistema en cadena cerrada. 2. Obtener los valores de K 1 y K 2 que hacen estable al sistema en cadena cerrada. 3. Calcular la matriz de error en régimen permanente del sistema en cadena cerrada cuando las entradas son escalones unitarios.Solución 7.7Se tiene:
  • 173. 156 Control de sistemas discretos ¡ZU(4 ~ K¡ .. , 5 z-3 Y¡(z) , lIo. A~_ ·1 1 z-O.5 z-O.8 U2(z4 ~ , lIo. K2 .. , O z Y2(z) .. , (Z-O.7)2 A~_ Figura 7.14. Sistema en bucle cerrado. 1. En el sistema representado en la Figura 7.14 se tiene: R(z) = ( ~1 (7.113) y G(z) == (Z_505 , Z~O~8) ° (z-~,7)2 (7.114) El sistema en cadena cerrada tendrá como función de transferencia: M(z) == G(z)R(z) [1 + G(z)R(z)]-1 (7.115) Se cumplirá que: det[I + G(z)R(z)] = ;:~:~ (7.116) donde Pe (z) es el polinomio característico en cadena cerrada y Pa (z) es el polinomio carac- terístico en cadena abierta. El polinomio Pa (z) se obtiene como el mínimo común denominador de todos los menores de todos los órdenes de G(z)R(z). En este caso, sería: Pa(z) == (z - 0,5)(z - 0,8)(z - 0,7)2 (7.117) El determinante se calcula como: det[1 + G(z)R(z)] == det [1 + (z_505 , ° (z-~,7)2 ==g:~) (KI ° 0)] K2 == (1 + z ~K~,5) (1 (z ~~~7)2 ) + = ( z - 0,5 + 5K z--0,5 I) (z2 - (z --0,7)2 Z) 1,4z + 0,49 + K 2 (7.118)
  • 174. Comportamiento estático de sistemas realimentados 157 Así, Pc(z) = Pa(z)det[I + G(z)R(z)] = (z - 0,8)(z - 0,5 + 5KI)(Z2 - 1,4z + K 2z + 0,49) (7.119)2. Para que el sistema en cadena cerrada sea estable, todas las raíces del polinomio característico deben estar en el círculo unidad. Analizando cada término, se tiene: • 10,81 < 1. Siempre se cumple. • El segundo factor: -1 < 0,5 - 5K I < 1 ~ -1,5 < -5K I < 0,5 ~ -0,1 < KI < 0,3 (7.120) • Para el tercer factor, se puede aplicar Jury. P(z) = z2 - 1,4z + K 2z + 0,49 (7.121) P(l) > ° ~ 1 - 1,4 + K 2 + 0,49 > ° ~ K2 > -0,09 (7.122) P( -1) > ° ~ 1 + 1,4 - K 2 + 0,49 > ° ~ K2 < 2,89 (7.123) Por tanto, las condiciones de estabilidad son: -0,1 < KI < 0,3 -0,09 < K 2 < 2,89 (7.124)3. El error en régimen permanente ante entrada escalón será, para valores de KI y K 2 que hagan el sistema estable: 1+...ML z-3 K lím[I + G(z)R(z)]-1 z-0,8 2 z~1 = lím z~1 [ °z-0,5 1 + (Z-0,7)2 Z K2 1 , 1m z~1 [ z-0,5+5Kl ° z-0,5 z2 z-3 K z-08 2 -1,4z+0,49+K2z ]-1 (z-0,7)2 1 [ z2- 1,4z+0,49+K2 z z-3 K lím z~1 (z-0,5+5K 1 ) (z2- 1,4z+0,44+K2z) z-0,5 (z-0,7)2 (z-0,7)2 ° - z-0,8 2 z-0,5+5K 1 z-0,5 ]= 1 [0,09+K2 ~K °2 2 ] ( 0,5+5Kl ) (0,09+K2) 0,5 0,09 0,09 ° 0,5+5K 0,5 1 (7.125) Como KI > -0,1 Y K 2 > -0,09, la inversa existirá: Ep = 0,045 [ 1 + 11 ,11K2 (7.126) (0,5 + 5K I ) (0,09 + K2) 0
  • 175. 158 Control de sistemas discretos7.8 Problema propuestoAnalizar la estabilidad del sistema en bucle cerrado representado en la Figura 7.15 conociendo quela respuesta de G(z) (sistema de primer orden) ante entrada escalón unitario es la representada en laFigura 7.16. Se tendrá en consideración los valores de 0,4 y 0,8 marcados en la Figura. Calcular losmínimos errores de posición y velocidad que se pueden alcanzar. Figura 7.15. Sistema en bucle cerrado. 1,- -- --- -- ------ ---------- -- --- -- ------ --- -- --- -- ,-- -- --- -- 0,9: o.si : 0,7: • • • . . . .. . ~ , 0,6 • O.5~ , O,4~ • 0.3 ~ , , 0,2: 0,1 :- O" --- -- --- -- --- -- --- -- ------ --- -- -- ------ -- ___ c ___________ _ o 2 4 6 8 10 12 Figura 7.16. Respuesta ante escalón unitario de G (z ).Solución 7.8El rango de estabilidad del sistema es -1,25 < K < 3,75. El mínimo error de posición ep == 25 %se alcanza para K == 3,75. El mínimo error de velocidad es e v == oo.
  • 176. Comportamiento estático de sistemas realimentados 1597.9 Problema propuestoUn proceso cuya función de transferencia viene representada por: 1,26 - z (7.127) G(z) = (z - O,368)(z - 1)se realimenta negativa y unitariamente. Determinar el tipo del sistema y los valores de error de posi-ción y de velocidad que tiene en régimen permanente (T == 1 seg.).Solución 7.9El sistema es de tipo 1. No tiene sentido hablar de error de posición y de error de velocidad dado queel sistema realimentado es inestable.7.10 Problema propuestoEl sistema de la Figura 7.17 representa un homogeneizador de chocolate (mezcla de azúcar, cacaoy leche). Se pretende controlar la proporción de azúcar y cacao que hay en el chocolate, según lasreferencias rx (azúcarlleche) y ry (cacaolleche). En él se ha representado por Vx y Vy las válvulasde control del flujo de azúcar y cacao. Dichas válvulas se comportan como un sistema de primerorden de ganancia unidad y constante de tiempo de 3 seg. Sx y Sy son los sensores de la cantidad deazúcar y cacao que se mezclan. Estos sensores o captadores retienen la masa, la pesan y generan unaseñal para el computador de control cada 1 seg. y posteriormente vuelcan el contenido. El sensorSu genera una señal proporcional al caudal de leche que circula y que es leída por el computadorcada 1 seg. Las variables x, y, u representan las cantidades (masa o volumen) que circulan hacia elmezclador, mientras que t x Y t y son las señales que, una vez bloqueadas, actúan sobre las válvulas.El computador genera estas señales proporcionales (constante K > O) a la diferencia acumulada(sumatorio del actual y anteriores intervalos) entre las referencias y los valores calculados en cadalectura. El computador lee las señales y, u a la vez y la x 0,1 seg. antes. El sistema se linealiza entomo al punto de equilibrio definido por r x == 0,02, r y == 0,04, u == 10.Se pide: 1. Diagrama de bloques del sistema linealizado en torno al punto de equilibrio. 2. Para el sistema lienalizado, hallar las funciones de transferencia en Z de las variables (x, y) en función de (t x , t y ) tal y como las vería el computador. 3. Rango de valores de K que hacen estable el sistema. 4. Si K == 10, obtener el valor en régimen permanente de x e y cuando u pasa bruscamente de valer 10 a valer 20. 5. Si K == 10, obtener el valor en régimen permanente de x e y cuando rx pasa bruscamente de valer 0,02 a valer 0,03.
  • 177. 160 Control de sistemas discretosI AZÚCAR I CACAO LECHE •••••••• ~.~x ... JBl .... ~ L T COMPUTADOR u ............j{..... . ...................... x MEZCLADOR CHOCOLATE Figura 7.17. Homogeneizador de chocolate.Nota: Todas las variables son dimensionalmente correctas.Solución 7.10 1. El diagrama de bloques viene representado en la Figura 7.18. 2. X (Z )] ° 1[Tx(z) ] [0,26Z+0,023 [ Y(z) _ - ° z(z-0,716) 0,283 Ty(z) (z-0,716) (7.128) 3. El rango de valores de estabilidad es °< K < 121,27. 4. x vale en régimen permanente 0,4, y vale en régimen permanente 0,8. 5. x vale en régimen permanente 0,3, y vale en régimen permanente 0,4.
  • 178. Comportamiento estático de sistemas realimentados 161 X(z) •~---. 0.002 14 0.0041- -8. I-{ -l· . -.- 1 e-O l. r-., Y(z) l-z 1+3s • o-G. I-{-I~~ - 1 Figura 7.18. Diagrama de bloques.
  • 179. , CAPITULO 8 ~ COMPORTAMIENTO DINAMICO DE SISTEMAS REALIMENTADOSINTRODUCCIÓNEl comportamiento dinámico de los sistemas de regulación viene dado por la posición de los polosy ceros en el plano complejo. Para el sistema representado en la Figura 8.1 se tiene como función detransferencia: M z _ R(z)BG(z) (8.1) ( ) - 1 + R(z)BGH(z) ~ Y(z) T • ~---~~ ~-r--~~H_(_S)~ ____ T Figura 8.1. Diagrama de bloques.Los polos de este sistema vendrán determinados por los ceros de su ecuación característica: 1 + R(z)BGH(z) :=: O (8.2)que también se puede expresar como: 1+ rr M Ki=l (Z - Zi) O :=: (8.3) rr N i=l (Z - Pi) 163
  • 180. 164 Control de sistemas discretosPara el cálculo de las raíces de la ecuación característica (polos del sistema en bucle cerrado) será ne-cesario resolver esta ecuación. Su obtención se complica si existe algún parámetro que pueda variar,ya sea la ganancia, un polo o un cero en cadena abierta. ,LUGAR DE LAS RAICESPara un mejor conocimiento de la posición de las raíces de la ecuación característica, se empleala técnica del lugar de las raíces. Dicho método permite el cálculo de la posición de los polos delsistema realimentado en función de uno de los parámetros. Así, la evolución de las raíces de estaecuación (polos del sistema en cadena cerrada), al variar K de O a 00, se deducen a través de losconocidos criterios del módulo y del argumento.El criterio del módulo establece que si un punto Z pertenece al lugar de las raíces, el valor delparámetro K se determina por: N II!z - Pi! K == _i=_l_ __ (8.4) M II!Z-Zi! i=lEl criterio del argumento establece que para que un punto pertenezca al lugar de las raíces se debeverificar: M N L L(Z - Zi) - L L(Z - Pi) == (2r + 1)7r (8.5) i=l i=lREGLAS PARA EL TRAZADO DEL LUGAR DIRECTO ,DE LAS RAICESSe derivan directamente de los criterios anteriores (K > O):Regla 1. El número de ramas del lugar de las raíces es igual al número de polos de la función de transferencia en bucle abierto.Regla 2. Cada rama comienza en un polo (K == O) y termina en un cero (K == (0). Si es distin- to el número de polos del número de ceros de la función de transferencia en bucle abierto, habrá ramas que partan o terminen en puntos del infinito.Regla 3. Un punto del eje real pertenece al lugar de las raíces si el número de ceros y polos reales situado a su derecha es impar.Regla 4. El lugar es simétrico respecto al eje real.
  • 181. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 165Regla 5. El número de ramas que termina en el infinito es igual a la diferencia entre el número de polos y el número de ceros. Estas ramas son asintóticas con rectas cuyos ángulos con el eje real son: ()a = (2r + 1)71" (8.6) d siendo d == (N - M) el número de asíntotas y r un entero que varía de O a d - 1.Regla 6. Todas las asíntotas se cortan en un punto del eje real, denominado centroide, determinado por: (8.7)Regla 7. Los ángulos de salida de los polos complejos (}Pj y llegada de los ceros complejos (}Zj se determinan por el criterio del argumento. M N (}Pj == L L(pj - Zi) - L L(pj - Pi) + (2r + 1)1r (8.8) i=l i=l, ii-j M N (}Zj == L L(Zj - Pi) - L L(zj - Zi) + (2r + 1)1r (8.9) i=l i=l, ii-jRegla 8. Los puntos de dispersión y de confluencia de las ramas son soluciones de: d i=l rr N (z - Pi) ==0 (8.10) dz M rr i=l (z - Zi)Regla 9. Los puntos de intersección con el círculo de radio unidad pueden encontrarse mediante el criterio de estabilidad de Jury.Para representar el lugar inverso de las raíces (K < O) se derivan reglas similares a las presentadas.
  • 182. 166 Control de sistemas discretos8.1 Comportamiento estático y dinámico al variar un poloAnalizar el comportamiento estático y dinámico del sistema de la Figura 8.2 al variar K entre O eoo. + . z ---------------- (z+K)(z-O.6)(z-O.7) ~~--~ Figura 8.2. Diagrama de bloques.Solución 8.1En primer lugar, se analizará el comportamiento estático del sistema. Para un valor de K de formatal que el sistema sea estable, se tiene: 1 (8.11 ) l~ G(z) = (1 + K) ~ 0,4.0,3 8,33 Kp = (8.12) l+KSiendo el error de posición: 1 l+K ep = 1+ ~ 9,33 + K (8.13) l+KAl aumentar el valor de K, el error pasa de valer 0,107 (para K == O) a valer 1 (para K == (0).El error de velocidad será: T ev ==- Kv Kv == lím(z - l)G(z) == O z~l (8.14)y el error de aceleración:
  • 183. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 167 Ka = lím(z - 1)2G(z) = z~l ° (8.15)Estos valores de los errores sólo serán válidos para el rango de K que hace el sistema estable.Para el análisis del comportamiento dinámico será necesario determinar la posición de los polos yceros del sistema en bucle cerrado: z M(z) = 1 (z+K)(z-O,61(z-O,7) z (8.16) + (z+K)(z-O,6)(z-O,7) (z + K)(z - 0,6)(z - 0,7) +zEl sistema posee un cero en z = 0, para cualquier valor de K. La posición de los polos dependerá delvalor de K. Para ver su evolución, será necesario representar el c@JQmo de las raíces. Del polinomiocaracterístico se tiene: P(z) = (z+K)(z-0,6)(z-0,7)+z = z(z-0,6)(z-0,7)+z+K(z-0,6)(z-0,7) = ° (8.17)que se puede expresar como: (z - 0,6)(z - 0,7) K (z - 0,6)(z - 0,7) 1+K =1+ (z2 - 1,3z + 1,42)z (8.18) z [(z - 0,6)(z - 0,7) + 1]Este sistema posee en cadena cerrada los mismos polos que el original. El lugar de las raíces vienerepresentado en la Figura 8.3. ...................... ··r····················~1 08 ~, ~ //.... I . . . .. •• ..t". ..". 0,6 0,4 0,2 :K I-------.~----~.- 2 ................... ..0,2 " -06 " " ", - ... " -1 ...................... t .... ·. ·. · -1,5 -1 -O,S O,> 1,5 Figura 8.3. Lugar de las raíces del sistema.El sistema posee tres polos. Inicialmente, uno es real (O) y los otros dos polos complejos conjugados(0,65 ± jO,9987) producen un comportamiento inestable hasta un valor de K = K 1. A partir de
  • 184. 168 Control de sistemas discretoseste valor existen dos polos complejos dominantes con un comportamiento estable, hasta un valor deK == K 2 en que el sistema vuelve a ser inestable. Para el cálculo de estos valores se procederá me-diante un método de tanteo. Valor K 1El punto aproximadamente valdrá 0,65 + jy, cumpliéndose: 0,65 2 + y2 == 1 (8.19) y==0,76 (8.20)Para este punto, y supuesto que el lugar de las raíces pasase por él, el criterio del módulo proporcionacomo valor de K 1 : K = 1(0,9987 - 0,76)(0,9987 + 0,76) = O 7237 1 (8.21) JO,05 2 + 0,76 2 JO,05 2 + 0,76 2 Para este valor de K 1, el polinomio característico será: P(z) == z3 - 0,5763z 2 + 0,4792z + 0,3039 (8.22)Los polos serán (0,4721 ± 0,7769j) y -0,3678.El módulo de los polos complejos es 0,9090, que, aunque cercano a la circunferencia de radio unidad,no pertenece a ella.Un valor más exacto se obtendría en una nueva iteración si se supone que el polo complejo seencuentra en 0,47 ± jy, teniendo: 0,47 2 + y2 == 1 (8.23) y == 0,8827 (8.24)Para este punto, y supuesto que el lugar de las raíces pasase por él, el criterio del módulo proporcionacomo valor de K 1 :K = 1J(0,65 - 0,47)2 + (0,9987 - 0,8827)2J(0,65 - 0,47)2 + (0,9987 + 0,8827)2 = 04973 1 J(0,6 - 0,47)2 + 0,8827 2 J(0,7 - 0,47)2 + 0,8827 2 (8.25)Para este valor de K 1, el polinomio característico será: P(z) == z3 - 0,8027z 2 + 0,7735z + 0,2089 (8.26)Los polos serán (0,5071 ± 0,8549j) y -0,2114. El módulo de los polos complejos es 0,9939, por loque ya sí se puede suponer que se encuentran sobre la circunferencia de radio unidad. Valor K 2Para calcular el valor de K 2 se tiene por el criterio del módulo: K = J1,65 2 + 0,99872 J1,65 2 + 0,99872 . 1 = 1 3676 (8.27) 2 , , 16.17
  • 185. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 169Para este valor, el polinomio característico resulta: P(z) Z3 + 0,0676z 2 - 0,3579z + 0,5743 = (z + 1) [(z - 0,4662)2 + 0,5976 2] (8.28) °Asumiendo los valores previos, se tiene que para los valores < K < 0,4973 el sistema es inestable,ya que presenta polos fuera del círculo unidad.Para los valores 0,4973 < K < 1,36856 el sistema es estable. Inicialmente, los polos dominantesson los dos polos complejos conjugados. Según crece K disminuye su aportación, aumentando ladel polo real negativo. El sistema siempre presenta una alta sobreoscilación para estos valores.Para 1,36856 < K < 00 el sistema de nuevo es inestable, ya que aparece un polo real negativomenor que -1. Valor K3Faltaría por comprobar que el lugar de las raíces abandona el círculo unidad (K 2) antes de que lasraíces complejas se conviertan en reales (K 3). Para hallar el valor de K3 podemos considerar quese produce aproximadamente en el punto 0,65. Éste es un valor aproximado, pero puede servir paratener una primera aproximación al valor de K en ese punto intermedio. Para este valor, se tiene porel criterio del argumento: K3 = 0,65· 1 . 1 = 260 (8.29) 0,05·0,05Evidentemente, este valor es muy superior al de K 2, como se podía esperar a la vista del lugar de lasraíces.8.2 Diferencia de comportamiento entre control continuo y discreto de un sistema continuoLos dos esquemas de la Figura 8.4 recogen dos formas de controlar un mismo sistema continuo(suponer K > O).Se pide: 1. Indicar en cuáles de los siguientes casos: Yl (s)/U(s), Yl (s)/U(s), Y2(S)/U(s), Y2(s)/U(s), existe función de transferencia. 2. Apoyándose en el lugar de las raíces, determinar las similitudes y diferencias de comporta- miento (estabilidad, sobreoscilacion) en función de K entre los dos esquemas. Indicar también para cada caso cuál es el valor de la ganancia estática. 3. ° Repetir el apartado previo suponiendo que el período de muestreo tiende a (aunque se man- tiene T > O). ¿Debería comportarse el control discreto de forma parecida al continuo? Razo- nar la respuesta. 4. Para un valor de K determinado, calcular el intervalo de valores de T que no produce sobreos- cilación en la salida (ante entrada escalón) en ninguno de los esquemas.
  • 186. 170 Control de sistemas discretos ~I U(s) + Esquema 1 U(s) ~ 6lt(s T ~ T Esquema 2 Figura 8.4. Diagrama de bloques.Solución 8.2Los apartados solicitados son: 1. Sólo se tiene función de transferencia Y1 ( S ) / U (s ), que viene dada por: Y1(s) Ks:hK (8.30) U(s) -l+K s ¡l - s+l+K N o existe función de transferencia Yl (S ) / U (s) debido al muestreador que existe entre Y1 ( S ) e Yl(S). De igual forma, tampoco existe función de transferencia Y2(S)/U(s), Y2 (s)/U(s) como consecuencia de la existencia del muestreador entre U ( s) y U (s ). 2. Para el control continuo se tiene el diagrama del lugar de las raíces representado en la Figura 8.5. El sistema siempre es estable. Nunca presenta sobreoscilación. La ganancia estática del siste- ma en bucle cerrado viene dada por: límM(s) = KK (8.31) s-+O 1+ En cambio, para el control discreto (Esquema 2 de la Figura 8.4), se tiene: BG(z) = (1- z-l) ~ ~ Residuos [G(P) Ir p 1- eP z- 1] = polos G (p) , p=o T ( 1 _ z-l) [ 1 _ 1 ] _ 1 - e- - (8.32) 1 - z-l 1 - e- T z-l - Z - e- T
  • 187. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 171 0,1 0,05 O~-------------------------«~~ -O,os -0,1 -35 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 ..o ,S o Figura 8.5. Lugar de las raíces para el control continuo.El sistema será estable siempre y cuando los polos en bucle cerrado no salgan fuera del círculounidad.La ecuación característica del sistema en bucle cerrado es, pues: 1 1 + K(l - e- T ) T =O (8.33) z - e-Representando el lugar de las raíces, se tiene el esquema esquematizado en la Figura 8.6.Para calcular el punto en que el sistema empieza a ser inestable (punto B en la Figura 8.6), sepuede aplicar el criterio del módulo: (8.34)Por lo que se deduce inestabilidad a partir de este valor K LR = K(l - e- T ) K(l - e- T ) > 1 + e- T (8.35)ASÍ, el sistema es estable siempre que: 1 +e- T K < 1 _ e- T (8.36)El sistema no sobreoscila si no supera el origen (punto A de la Figura 8.6). El valor de K paraeste punto se puede hallar igualmente por el criterio del módulo: (8.37)
  • 188. 172 Control de sistemas discretos 08 06 .. . 0,4 0,2 e- T B A ~ o ... ~ -a,2 -0.4 -0,6 .•.. -0,8 -1 o Figura 8.6. Lugar de las raíces para el control continuo. K NO OSCILA (1 - e- T ) < e- T e- T KNOOSCILA < (1 _ e-T) (8.38) De esta forma, se tiene el siguiente intervalo de sobreoscilación: e- T 1 + e- T 1 - e- T < KSOBREOSCILACIÓN < 1 - e- T (8.39) La ganancia estática según este segundo esquema será: K 1, M() == l -K . BG(z) - 1m z 1m ---- (8.40) z~l z~l 1 + K . BG(z) l+K Ambos sistemas presentan la misma ganancia estática. Sin embargo, el control discreto (Es- quema 2 en la Figura 8.4), dependiendo del valor de K, puede crear sobreoscilación o incluso inestabilidad. - 3. Si T --t 0, el valor de K a partir del cual el sistema sobreoscila sería: -T K SOBREOSCILA = lím e T -4 00 (8.41) T~O 1 - e- Se necesitaría un valor de K muy elevado, de forma que el sistema sobreoscile o incluso podría hacerse inestable. Por tanto, ambos sistemas se comportan de forma parecida en estas
  • 189. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 173 circunstancias. En el instante inicial también se comportan igual ante entrada escalón. Para el control del Esquema 1 en la Figura 8.4 (control continuo) se tiene: , K Yo == 11m == O (8.42) S-+CX) S + 1+K Para el control discreto: , K(l - e- T ) Yo == 11m == O (8.43) Z-+CX) (z - e- T ) + K(z - e- T ) 4. El sistema con control continuo no presenta sobreoscilación. En el sistema con control discre- to, el límite de sobreoscilación se producirá: e- T K<---1- e- T 1 - e- T > O (8.44) Se tiene: K(l - e- T ) < e- T K < (1 + K)e- T _K_ <e- T l+K T<-ln(l:K) (8.45) El intervalo será, pues: O<T<-ln(l:K) (8.46) El caso extremo de T == O no se considera, pues no es realizable físicamente. Ya se vio en el apartado anterior que en el límite no se producía sobreoscilación.8.3 Comportamiento de un sistema muestreado en función de la ganancia y del período de muestreoEn el sistema de la Figura 8.7, se pide: 1. Indicar en cuáles de los siguientes casos: Y(s) jU(s), Y(s) jU(s), Y(s )jU(s), Y(s )jU(s), existe función de transferencia. Considerar los casos en que el bloqueador sea ideal o de orden cero. 2. Estudiar la estabilidad del sistema en función de K y T. 3. Estudiar la sobreoscilación de la salida del sistema, ante entrada escalón, en función de K y T.
  • 190. 174 Control de sistemas discretos U(S~ -{ lf)(S) ~ T Figura 8.7. Diagrama de bloques. 4. Estudiar el error de posición del sistema en función de K y T. ¿Se podría conseguir que la diferencia entre la entrada (considerar un escalón) y la salida sea cero en régimen permanente para algún valor de K y T? Razonar la respuesta.Datos: Considerar que K > O. En los tres últimos apartados, considerar que existe un bloqueador deorden cero.Solución 8.3Se tiene: 1. Y (8) fU (8) no existe como función de transferencia, puesto que hay una pérdida de informa- ción en el muestreador de la entrada. No influye la presencia del bloqueador, ya sea éste ideal o de orden cero. Analicemos el caso Y ( 8)fU (8). Denominando como &(8) la salida del comparador, siendo sus entradas U (8) Y W ( 8), se tiene: &(8) == U(8) - W(8) W(8) == K . 0,5· Bg(8) . &(8) (8.47) operando: &(8) == U(8) - K . 0,5· Bg(8) . &(8) U(8) (8.48) &(s) = 1 + K . 0,5 . Bg(s) obteniendo finalmente: Y(8) == K . B(8) . G(8) . &(8) Y(s)= K·B(s)·G(s) .U(s) (8.49) 1 + K . 0,5· Bg(8) Por tanto, existe función de transferencia independientemente del bloqueador.
  • 191. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 175 Analicemos el caso Y(s)jU(s). No existe función de transferencia, pues hay una pérdida de información en el muestreador de la entrada. No influye la existencia del bloqueador. Por último, analicemos Y(s )jU(s). Sí existe función de transferencia. No influye la presencia del muestreador ni la existencia de un bloqueador u otro. Para este caso: Y(s) K . BQ(s) (8.50) U(s) 1+K·O,5·BQ(s) Es necesario destacar que un bloqueador ideal es irrealizable físicamente, aunque desde un punto de vista teórico no impide la existencia de una función de transferencia.2. Para estudiar la estabilidad del sistema hay que calcular BG(z): BG(z) (1-z-1) L Residuos[~P+2 - P P + 11 eP z- 1] p=O,-1 1 ( - z -1 [21 1 1 ) 11 _ z-1 - 11 - e- T z-1 ] z + (1 - 2e- T ) (8.51) z - e- T El sistema en cadena abierta tiene un polo en e- T y un cero en -(1 - 2e- T ). El lugar de las raíces del sistema viene representado en la Figura 8.8. 1 ............................................................................................................. 0,8 •.....•....•.....•.•.. ..•.. .•..... 0,6 ., / / ~ , •...•.•. 0,4 0,2 :.: .....•. : ........ ... •. -0,: .. :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ al .................................. ····7 . . -0,4 ¡i .••.....•.. .. . .••..••••... -0,6 ••.... . ....•.........•.•.......•.• ....•..••.•. -0,8 •......•...••.............................. ....................................•..........••....•.... -1 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ° Figura 8.8. Lugar de las raíces del sistema.
  • 192. 176 Control de sistemas discretos ° El polo e- T se encuentra ubicado entre y 1. El cero -(1 - 2e- T ) se encuentra entre -1 y 1. Por tanto, el polo del sistema en cadena cerrada se encontrará igualmente entre -1 y 1. ASÍ, el sistema es estable para todo valor de K y todo valor de T (siempre que K > y T > O). ° 3. El sistema, al ser de primer orden, sólo sobreoscila si el polo en cadena cerrada se encuentra en el semiplano negativo (entre -1 y O). Para el caso particular considerado y representado en la Figura 8.8, esta situación se produce cuando se cumplen las dos siguientes condiciones: Primera. El cero en cadena abierta se encuentra en el semiplano izquierdo: (1 - 2e- T ) > O ~ 0,5 > e- T ~ T > 0,6931 (8.52) Segunda. Además, el polo en cadena cerrada debe situarse en el semiplano izquierdo: e- T KLR> 1- 2e- T KLR == K· 0,5 2e- T T > 0,6931 ~ K > 1 _ 2e- T (8.53) 4. Al ser el sistema estable en cadena cerrada, el error de posición será: 1 (8.54) Ep = 1 +hKp T Kp = lím KBG(z) = lím z + (1- 2e- ) K = 2K (8.55) z~l z~l T z - e- con h == 0,5. Por tanto: 1 Ep == 1 + K (8.56) Veamos si se puede conseguir anular la diferencia entre la entrada y la salida: X(z) U(z) - Y(z) == 1 [ - 1+ ::;~~~~:~;T) ] 1 _1z-l 1_ K(z + (1 - 2e- T )) ] . 1 (8.57) [ (z - e- T ) + 0,5K(z + (1 - 2e- T )) 1- Z-l 2K X oo = z~l - Z-l)X(Z) = 1 - 1 + K lím(1 (8.58) Para que se anule este valor, se ha de producir K == 1. Por tanto, se anula la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida siempre y cuando K == 1, independientemente del valor de T. Aunque el error de posición no se anule, sí 10 puede hacer la diferencia entre la entrada y la
  • 193. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 177 salida, pues la realimentación no es unitaria (h = 0,5). El error {ek} = {Uk} - h{Yk} es la señal que actúa sobre el regulador. Marca la diferencia entre la entrada y la salida adaptada (multiplicada por h). Es necesario destacar que en la presente estructura de control no tiene sentido calcular {Uk} - {Yk}.8.4 Comportamiento de un sistema muestreado en función del regulador y del período de muestreoLa Figura 8.9 representa un sistema de control realimentado en el que se desea ajustar los valoresdel período de muestreo T (en el rango comprendido entre 0,3 y 1 seg.) y la constante K (K > O). U(z) + -- ~_zKa---,~1 Bo{S) -S-~-l- __ H ~ T Y(z) ~ T Figura 8.9. Diagrama de bloques.Se pide: 1. Valores de K que hacen estable el sistema en función del período de muestreo T y del polo del regulador (parámetro a, O < a < 1). 2. Calcular el error de posición en función del período de muestreo T, de la constante K, y del parámetro a (O < a < 1). Razonar la respuesta. 3. Si a = 0,8, diseñar un valor de K y T que permita que el sistema tenga un error de posición menor del 12 %.Solución 8.4Se tiene: 1. El sistema en cadena cerrada es: M z _ R(z)BG(z) (8.59) ( ) - 1 + R(z)BG(z) donde: BG(z) (1 - z -1 ) 2: Residuos [GP ) 1 - e1TI] (p z- P = polos G(p), p=o T (1 _ z-l) . ( 1 _ 1 ) _ 1- e- (8.60) 1- z-l 1- e- T Z-l - Z - e- T
  • 194. 178 Control de sistemas discretos Por tanto: K l-e- T M(z) == z=a z-e- T (8.61) 1 + JL l-e- T T (z - a)(z - e- T ) + K(l - e- T ) z-a z-e- El sistema en cadena abierta tiene dos polos: en a y en e- T (ambos valores son positivos). La distribución de los polos en cadena cerrada vendrá representada por el lugar de las raíces (Figura 8.10). 0,8 0,6 0.4 •.•.••.• 0,2 -0,2 -0,4 ..0,6 -08 ·1 • . Figura 8.10. Lugar de las raíces del sistema. El polinomio característico vendrá dado por: P(z) == (z-a)(z-e- T )+K(l-e- T ) == z2_(a+e- T )z+ae- T +K -Ke- T == O (8.62) El sistema se hace inestable a partir de un valor de K en el cual los polos dominantes (com- plejos) tienen módulo mayor que 1. Esta situación se da cuando: (8.63) Por tanto, el sistema será estable si: 1 - ae- T O < K < - - -T- (8.64) 1- e- 2. Para calcular el error de posición: 1 ep == 1 + Kp Kp == lím R(z)BG(z) (8.65) z--+l
  • 195. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 179 , K 1 - e- T K K p == 11m (8.66) z~l Z - a z - e- T 1- a 1 1-a e ---~ (8.67) P-1+ JL 1-a+K l-a Para a == 1, el error vale O. Además, se aprecia que el error no depende directamente del período de muestreo y sí que depende del parámetro a y del valor de K. Sin embargo, indi- rectamente sí influye en el límite de aplicación de la expresión del error de posición debido a la estabilidad del sistema. Así, para un determinado valor de a, si se aumenta el período de muestreo, el máximo valor de K que mantiene al sistema estable disminuirá y aumentará el error de posición. 3. Si a == 0,8, el error de posición será: 1-a 0,2 (8.68) e == 1 - a + K p 0,2+K Dado que se desea un error de posición inferior al 12 %, se tiene: 02 0,2 ~ K < 0,12 ::::} K > 1,46666 (8.69) Siempre que el sistema sea estable, lo cual se cumplirá en la condición dada por la expresión 8.64. 1 - 0,8e- T K<---- 1- e- T (8.70) Por tanto, el intervalo para K será: 1 - 0,8e- T 1,46666 < K < 1 _ e- T (8.71) El período de muestreo debe cumplir: - 0,8e- 1,4666 < 1 1 _ e- T T ::::} °< , 7 e -T T < 0,3567 (8.72) Por 10 que el rango de valores admisibles para T (está entre 0,3 y 1 seg.) será: 0,3 < T < 0,3567 (8.73)8.5 Control de velocidad de un sistema físicoSe pretende controlar la velocidad angular w de un elemento A que presenta un momento de inerciaJ == 10- 4 Kgm 2 y un coeficiente de rozamiento B == 0,1 . 10- 3 Nmlrd s. Para moverlo se empleaun motor de continua que verifica las siguientes ecuaciones: v == RI +K1w (8.74) M == K 21 (8.75)
  • 196. 180 Control de sistemas discretossiendo: Kl == 0,02 V/rd s w == Velocidad angular K 2 == 0,1 NmlA V == Voltaje 1 == Intensidad M == Par v A REFERENCIA R1 R2 D/A Figura 8.11. Sistema a estudiar.La posición angular se mide con un captador incremental que genera 624 pulsos/vuelta. Los pulsosdel captador se cuentan en un registro Rl. Cada 0,1 seg. se restan R 2 (señal de referencia) y R 1 ,poniendo el resultado en R3 (R 3 == R 2 - R 1 ) y el contador Rl se pone a O. El valor de R3 se lleva aun convertidor D/A que genera 2 voltios por cada 624 unidades. Esta señal se amplifica en potenciaen un amplificador de ganancia 1 y constante de tiempo 0,01 seg. y se conecta a la entrada del motor(véase Figura 8.11).Se pide: 1. Diagrama de bloques del conjunto. 2. En el supuesto de que la salida del restador pudiera multiplicarse por un parámetro K antes de cargar el resultado en R 3 , indicar cómo variará la situación de las raíces del sistema reali- mentado en el plano Z.
  • 197. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 181Solución 8.5Los apartados solicitados son: 1. A partir del enunciado se obtienen las siguientes ecuaciones: V(t) == RI(t) + K 1 w(t) M(t) == K 2 I(t) d M(t) == J dtw(t) + Bw(t) da(t) = w(t) dt Tomando la transformada de Laplace: V(s) == RI(s) + K 1 W(s) M(s) == K 2 I(s) M(s) == JsW(s) + BW(s) sa(s) == W(s) (8.76) El diagrama de bloques vendrá representado en la Figura 8.12. I(s) ~----.W(s) 1 1 I 1 I a(s) R Js+B S ~- ~------I 6241~_ _ _ _ _ _ _-- L...---------i T=O. 1 21t Figura 8.12. Diagrama de bloques del sistema. Operando, la parte continua será: (8.77) Operando, se tiene el siguiente diagrama de bloques representado en la Figura 8.13. Obteniendo: lOO/7r G(s) = s(s + 5) (8.78)
  • 198. 182 Control de sistemas discretos 2 ~ Bo(s) 110. lOOln ~~ ~- .~ s(s+5) i-7=l ~ Figura 8.13. Diagrama de bloques simplificado. BG(z) (1 - z -1" ) _~ . [ 100/7r ] ResIduos p2 (p + 5) (1 _ epT Z-I ) = p-O,p--5 (l_Z-I)l~O [~ (p~51-e!Tz-I) p=o + :21-e!Tz-I P=-5] = 0,428 z-l (1 + 0,836z- 1) (8.79) 7r (1 - Z-l )(1 - 0,607z- 1) 2. El sistema con un valor proporcional en el bloque R3 de valor K tendría una función de transferencia en bucle cerrado como: (1~:~110.:.8;~~;:~1) 27f 2KO,!28 M(z) = 1 + 2K~ z-1(l+O,836z- 1) 624 1 7r 1 (1-z- )(1-0,607z- ) 0,00862K Z-l (1 + 0,836z- 1) (8.80) 7r(1 - Z-l )(1 - 0,607z- 1) + 2KO,428z- 1(1 + O,836z- 1) Para ver la variación de las raíces en el plano z, construimos el lugar de las raíces para la función: 2K 0,428 Z-l (1 + 0,836z- 1) G(z) 7r (1- z-l)(l- 0,670z- 1) K z + 0,836 (8.81) (z - l)(z - 0,607) Tiene un cero y dos polos. El lugar de las raíces vendrá determinado por la Figura 8.14. Los puntos de dispersión serán: 111 ----+ = ------- a - 1 a - 0,607 a + 0,836 02 + 1,6720 - 1,9505 = ° 01=0,7917 02 = -2,4637 (8.82)
  • 199. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 183 2 ------------------,.------------- ----1- --- --- - --- ---- --- -,-- - --- - - - - - - --- - --¡ - -- - ------ ---- ---- r-- --- - --- -- - --- ---, - --¡ ¡ , , , 1,5 1 i ! 1 ... -1 :i i • ! i 1 i 0,5 -.1i . , , , I : , , O ~ : : I ! I ¡ t • I ~ -0,5 -1 , i : , ¡ , ..1 r · · · -i : 1 : : , , , I -1 ,5 :~ -i, : ¡ ¡ ! -2 ~ ---------- -------- J. __ - -- - - - - --- --- - _-1_ - - - - - - - - - - - - - - - - - -~- - - - - - - - - - - - - - - __ L - -- - -- - - -- - - - - - -- _1_ - --- - --- ---- --- - --- --~ R5 -4 ~ -2 -1 O 1 Figura 8.14. Lugar de las raíces del sistema.Mediante el criterio del módulo, se puede calcular el valor de K en esos puntos. En 0"1 setiene: K == 7r 2 ·0,428 0,1847 . 0,2083 == 0867 1,6277 (8.83) ° K == 7r 3,4637 . 3,0707 == 23 98 (8.84) 2 . 0,428 1,6277 Es posible obtener el valor de K para el cual el sistema es inestable. El polinomio característi-co es: P(z) == 7r(z2 - 1,607z + 0,607) + 2KO,428z + 2KO,428· 0,836 == == 3,1415z 2 + (0,856K - 5,0483)z + (0,7156K + 1,9068) == ° (8.85)El sistema será estable (al ser las dos raíces complejas conjugadas) si: 0,7156K + 1,9068 1 (8.86) 3,1415 <es decir: K < 1,7254 (8.87)
  • 200. 184 Control de sistemas discretos8.6 Problema propuestoDado un sistema cuya función de transferencia en bucle abierto es: G(z)=K z+0,7 (8.88) (z - l)(z + 0,4)se pide: 1. Representar su lugar de las raíces. 2. Calcular el máximo valor de K para que el sistema sea estable. 3. Determinar la sobreoscilación del sistema para K == 1.Solución 8.6 1. El lugar de las raíces viene representado en la Figura 8.15. 2. El límite de estabilidad es O < K < 2. 3. El sistema presenta una sobreoscilación de un 30 % para K == 1.8.7 Problema propuestoLa Figura 8.16 representa el control de un sistema continuo mediante un regulador con K > O,O < a < 1.Se pide: 1. Valores de K que hacen estable el sistema en función del período de muestreo T y del cero del regulador (a). 2. Calcular el error de posición en función del período de muestreo, de la constante K y del cero del regulador. 3. Si T == 0,1 seg., determinar el menor error de posición que se puede obtener, así como los valores de K y a con los que se obtendría.
  • 201. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 185 ::: - - - - - - - - - -- - -- - - -- - -- - - -- - T - - -- - - - - -- - -~ - -- - -- - - - - -- - - -- - - - --/••••• :.~.:.::..:.: ._-r_<.:.::.:.:.:.:.:.:.:.:.:. .,, ---~" •••::.;.:.- ~ , .~ I . ~ , I -, ~ ~ I ~ ~ , , ~I o,2 ,,~- ~ ~ , I a ~ ~ o..----------------~--~..-n , ; r -0,2 ;- , f: !:, : : I ...Q,4 ~ : : : J I , / , , : , -0,6 ~ - .. ..o,a :,- . . . . . . ...••..•.•. .... , ~ ~- -1 ¡---------------------------- ----------- _.L - --- --- - --- - _0_ - - - - _- - - - - - - - :~~:·:>~O,"~"..¡,. . ., ,.: :.:.:~:: - ------------- ¡ -3 ..2,5 ..2 ..1,5 ..1 -0,5 O 0,5 1 Figura 8.15. Lugar de las raíces del sistema. + l-~.I K _zz-+a-I_~.~_...-.J Y(z) U(Z)t 2 ... ~ l s+2 ,-----tl-i-I-----.... - 1 Figura 8.16. Diagrama de bloques del sistema.Solución 8.7 1. Si 1 1 a> ~K<---- (8.89) 2 + e- 2T a(l - e- 2T ) Para 1 1 + e- 2T a< ~K< ------- (8.90) 2 + e- 2T (1 - a)(l - e- 2T )
  • 202. 186 Control de sistemas discretos 2. El error de posición será: 1 e ------ (8.91) P-1+K+Ka estando el valor de K dentro del rango de estabilidad (apartado previo). 3. El menor error de posición es ep = 4,53 % con a = 0,354769 y K < 15,5498.8.8 Problema propuestoAnalizar el comportamiento estático y dinámico del sistema de la Figura 8.17 al variar a entre °y 1. Y(z) z+a (z-l )(z-O.4) I Figura 8.17. Diagrama de bloques del sistema.Solución 8.8El sistema será estable si °< a < 0,6. Para el rango de valores estables de a, los errores en régimenpermanente serán: ep == 0% (8.92) 0,6T ev = - - (8.93) l+a (8.94)El sistema tendrá un cero en -a y dos polos complejos dobles que irán desde 0,2 ± 0,6j (para a == O)hasta 0,2 ± 0,9798j (para a == 0,6). Siempre tendrá sobreoscilación.8.9 Problema propuestoSea el sistema representado en la Figura 8.18, donde K > ° yO < a < 1. Y(z) I_~.I K(z-a) (z-O.5)(z-1.5) I Figura 8.18. Diagrama de bloques del sistema.Se pide:
  • 203. Comportamiento dinámico de sistemas realimentados 187 1. Valores de K que hacen estable el sistema en función del valor de a. 2. ¿Existirá algún valor de a que ocasione una inestabilidad en el sistema para cualquier K? 3. Determinar para qué valores de K y a se consigue que la salida ante entrada escalón llegue al valor en régimen permanente en el intervalo 2.Solución 8.9 1. Se tiene que cumplir a la vez: 0,25 K 3,75 --< <-- (8.95) 1-a l+a y 0,25 K 1,75 --< <-- (8.96) a a 2. Este intervalo viene dado por 0,875 < a < 1. 3. K = 2; a = 0,375.
  • 204. , CAPITULO 9 CRITERIO DE NYQUISTRESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA DISCRETOLa respuesta en frecuencia de un sistema discreto G(z) se puede expresar como: (9.1) ,ANALISIS DE LA ESTABILIDAD EN EL DOMINIODE LA FRECUENCIAEl criterio de estabilidad de Nyquist también puede aplicarse en sistemas muestreados realimentadoscomo el de la Figura 9.1. U(z) + ~I R(z) H I ~I 8(s) G(S) ~I ~ 1 -------+ ~ T Figura 9.1. Sistema muestreado realimentado.La función de transferencia del conjunto es: Y(z) R(z)BG(z) (9.2) M(z) = U(z) = 1 + R(z)BGH(z)La ecuación característica del sistema resulta: 1 + R(z)BGH(z) == O {::> 1 + F(z) == O (9.3) 189
  • 205. 190 Control de sistemas discretosEl criterio de Nyquist permite conocer el número de raíces de una ecuación que existe en un ciertodominio D del plano Z, limitado por un contorno cerrado r. Entonces, si: • N es el número de vueltas que, alrededor del punto -1, da la imagen de r a través de la función F(z); • P es el número de polos de F(z) situados en D; • Z es el número de raíces de 1 + F(z) situado en D;se cumple: Z=N+P (9.4)Nótese que Z es también el número de las raíces del polinomio característico del sistema realimen-tado y, por tanto, el número de polos del sistema realimentado.En sistemas discretos, se elige como contorno r la circunferencia de radio unidad, siendo el dominioD el círculo del mismo radio (Figura 9.2). -1 1 Figura 9.2. Camino de Nyquist para sistemas discretos.Si el contorno r pasa por algún polo de F(z), el camino elegido rodeará a dicho polo para evitar lasingularidad.De esta forma, la aplicación del criterio de Nyquist permite conocer el número de polos estables deun sistema realimentado.r también se puede definir por z = ejwT con w entre O y 2,;. La imagen de r a través de F(z) secorresponde con la respuesta en frecuencia de dicha función, lo que simplifica su cálculo. /ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIVARIABLESEl criterio de Nyquist se puede utilizar en sistemas multivariables aplicándolo sobre el determinantede la matriz del bucle de realimentación det[I + BGH(z)R(z)] = ~:~:~ (9.5)
  • 206. Criterio de Nyquist 191siendo Pa (z) el polinomio característico en cadena abierta y Pe (z) el polinomio característico encadena cerrada. Si: • N ,es el número de vueltas alrededor del origen que da la imagen de r a través de la función· - --det[I + BGH(z)R(z)]; • P es el número de raíces de Pa(z), o polos del sistema en cadena abierta, situado en D; • Z es el número de raíces de Pe(z), o polos del sistema en cadena cerrada, situado en D;se cumple: Z=N+P (9.6)Si la matriz 1 + BGH(z)R(z) es de diagonal dominante, la utilización del criterio de estabilidad deNyquist se puede simplificar con el siguiente lema:Lema: Si una matriz de funciones racionales A(z) es de diagonal dominante en cada uno de los puntos de una trayectoria cerrada r, el número de vueltas alrededor del origen que da la ima- gen de r a través de la función det[A(z)] es igual a la suma de las vueltas que dan, alrededor de dicho punto, las imágenes de r a través de los elementos de su diagonal.9.1 Criterio de estabilidad de Nyquist en un sistema discretoDeterminar mediante el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema de la Figura 9.3 indicando losvalores de K que lo hacen estable. U(z) + K(z-1 ) Y(z) z Figura 9.3. Diagrama de bloques considerado.
  • 207. 192 Control de sistemas discretosSolución 9.1La función de transferencia en bucle abierto del sistema representado en la Figura 9.3 es: z-l G(z) == K(l - Z-I) == K - (9.7) zcon un polo en z == O y un cero en z == 1. El criterio de Nyquist se podrá aplicar sobre el caminorepresentado en la Figura 9.4, pudiéndose realizar z == ejO estando () entre O y 27r . . .......... .••...••......•. -1 .••... 1 Figura 9.4. Camino de Nyquist para el sistema de la Figura 9.3.Al obligar a que G (z) recorra este camino, la imagen resultante será una circunferencia desplazaday multiplicada por K. En la Figura 9.5 se representa el caso en que K > O y cuando K < O.Cuando K > O, P == 1 (número de polos de la función de transferencia en cadena abierta), N == O(no da ninguna vuelta en tomo al punto -1); por tanto: (9.8)Por tanto, en cadena cerrada también existe un polo dentro del camino de Nyquist. Como en cadenacerrada el número total de polos es uno, el sistema será estable para todo punto con K > O.Cuando K < O, P == 1 (el polo en cadena abierta), pero dependiendo del valor de K, la imagen davueltas en tomo al punto -1 o no da ninguna vuelta. • Si K < -1/2, entonces N == -1 (da una vuelta en tomo al punto -1 y con el sentido contrario al indicado por el camino de Nyquist): (9.9) No existen polos en bucle cerrado dentro del camino de Nyquist. Luego el polo en cadena cerrada se encuentra fuera del círculo unidad y, por tanto, el sistema será inestable.
  • 208. Criterio de Nyquist 193 ?~v-e / "e ( ) ,/ I l ¡ / 2K K>O K<O Figura 9.5. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > O y para K < o. • Si K > -1/2, entonces N = O: Z=N+P=1 (9.10) Luego el polo en cadena cerrada se encuentra dentro del camino de Nyquist elegido. El sistema será estable.Reuniendo todas las condiciones analizadas previamente, se tiene que el sistema es estable para elrango de valores: -1/2 < K (9.11)9.2 Criterio de Nyquist con un polo en el caminoDeterminar por el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema representado en la Figura 9.6 (siendoK> O).Solución 9.2En primer lugar, será necesario calcular el equivalente discreto del conjunto Bloqueador-Sistemacontinuo-Muestreador. BG(z) = (1- Z-l) ~Residuos [~K 1 - eP z- ~ PP Ir 1] (9.12) p=oComo se observa en la expresión previa, es necesario calcular el residuo de un polo doble: (9.13)
  • 209. 194 Control de sistemas discretos + -1 8 0(s) I i~ ----I~ I~ Figura 9.6. Diagrama de bloques. -1 KTz- 1 KT BG(z) = (1 - z ) (1 _ Z-1 )2 (9.14) z-lA continuación se aplicará el criterio de Nyquist, eligiendo como camino el representado en la Figura9.7 para evitar el polo en z == 1. TRAMO I -1 TRAMO 11 Figura 9.7. Camino de Nyquist elegido para el sistema de la Figura 9.6.De esta forma, el camino de Nyquist se divide en dos tramos:Tramo 1: z == ejO , cuando () varía entre O y 360° .Tramo 11: z == 1 + rejO, cuando () varía entre [-90°, 90°] y r ---+ O.A continuación se calculará el número de vueltas N que recorre la imagen alrededor del punto -1,teniendo en cuenta la función de transferencia en bucle abierto dada por la expresión 9.14.Para el tramo 1, y de acuerdo con la Figura 9.8, se puede construir la Tabla 9.1.También es posible calcular la imagen del camino de Nyquist sustituyendo en la expresión BG(z)de la ecuación 9.14, z == ejo . Para el tramo 11, se tiene: z == 1 + rejO r ---+ O·,
  • 210. Criterio de Nyquist 195 1 Figura 9.8. Forma vectorial de ejO - 1. () 0° 90° 180° 270° 360° L(e jO - 1 ) 90° 135° 180° 225° 270° L(BG(z)) 270° 235° 180° 135° 90° KT KT KT IBG(z)1 00 ~ -2- ~ 00 Tabla 9.1. Respuesta ante entrada impulso (9.15)El módulo siempre va a tener valor oo. El ángulo variará entre 90° hacia -90°. De esta forma, laimagen del camino de Nyquist viene representada en la Figura 9.9.Las vueltas que da la imagen en tomo al punto -1 dependerá del valor de K. Si K < 2/T, la imagenda una vuelta (es decir, N = 1). Si K > 2/T, la imagen no da ninguna vuelta (es decir, N = O).De esta forma, se tiene: (9.16)Con P = O, el polo en z = 1 queda fuera del dominio. Si K < 2/T, Z = 1. Por tanto, el númerode polos del sistema en cadena cerrada (Z) es uno. El sistema es estable, ya que el sistema tiene unúnico polo en cadena cerrada.Por el contrario, si K > 2/T, Z = O. ASÍ, el número de polos del sistema en cadena cerrada escero. Ningún polo del sistema en cadena cerrada se encuentra dentro del camino de Nyquist. Poreste motivo, el sistema será inestable en este rango de valores.9.3 Criterio de Nyquist con dos polos en el caminoDeterminar por el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema representado en la Figura 9.10 (siendoK> O).
  • 211. 196 Control de sistemas discretos Figura 9.9. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist para K > o. + ~ K ----------------- ~--~--~ z2- 1 .2z+1 Figura 9.10. Diagrama de bloques del sistema.Solución 9.3La función de transferencia en bucle abierto del sistema es: K G(z)----- (9.17) - z2 - 1,2z +1con los polos en 0,6 ± 0,8j. Para poder aplicar el criterio de Nyquist es necesario definir un caminode Nyquist que encierre el círculo unidad y no presente singularidades en su recorrido por los polosdel sistema en cadena abierta. Por este motivo, se elige como camino de Nyquist el representado enla Figura 9.11.Sobre este camino de Nyquist se distinguen cuatro tramos (véanse Figuras 9.11 y 9.12):Tramo 1: z = ejO , cuando (j varía entre -53° y +53° , pasando por 0° .Tramo 11: z = 0,6 + 0,8j + rejO, cuando (j varía entre [-37°, -127°, 143°] Y r ---+ O.
  • 212. Criterio de Nyquist 197 TRAMO III 0.6+0.8J 1 TRAMO I -1 Figura 9.11. Camino de Nyquist seleccionado. 0.6+0. j 53° ~~jigUra 9.12. Detalle de los tramos 11 y IV.Tramo 111: z = ejO , cuando () varía entre 53° y-53°, pasando por 180°.
  • 213. 198 Control de sistemas discretosTramo IV: z == 0,6 - 0,8j + rejO, cuando (j varía entre [-143°,127°,37°] y r --+ O.Para los tramos I y III se pueden construir las Tablas 9.2 y 9.3. (j == -53° (j == 0° (j == 53° 11 L 11 L 11 ~~ ejO - 0,6 + 0,8j O 37° 0,89 63° 1,6 /1 90° "O el - O,6 - O,8j 1,6 -®9 0,89 -63° O -37° TOTAL 00 53° 1,26K 0° 00 -53° Tabla 9.2. Módulos y argumentos para el tramo I (j == 53° (j == 180° (j == -53° 11 ~ 11 L 11 L ejO -0,6 + 0,8j 1,6 ~ 1,8 153° O 37° el - O,6 - O,8j "O O -37° 1,8 -153° 1,6 ~ TOTAL 00 127° 0,308K 0° 00 -127° Tabla 9.3. Módulos y argumentos para el tramo IIIPara el tramo II se tiene: K (9.18) G(z) = (1,6j + reJfJ)rejIJEl módulo siempre valdrá 00, mientras que el argumento será -90° - (j. ASÍ, sobre el tramo 11, elargumento pasa por los puntos -53°,37°,127°.Para el tramo IV se tiene como imagen: K (9.19) G(z) = (-1,6j + rejIJ)re jIJEl módulo siempre valdrá 00, mientras que el argumento será 90° - (j. ASÍ, sobre el tramo IV, elargumento pasa por los puntos -127°, -37°, 53°.Con estos datos se puede representar de forma aproximada (r == 0,5) la imagen al recorrer el caminode Nyquist por la función de transferencia en bucle abierto (Figura 9.13).Como se observa, no da ninguna vuelta en tomo al punto -1. Por tanto, N == O. El número de polosde la función de transferencia en bucle abierto dentro del camino de Nyquist elegido es P == O. ASÍ,Z == N + P == O: no existe ningún polo del sistema en bucle cerrado dentro del camino de Nyquist,por 10 que el sistema será inestable. Con una sencilla comprobación mediante el criterio de Jury sepuede obtener el mismo resultado.
  • 214. Criterio de Nyquist 199 15~------~--------~--------~--------~--------~ Tramo 11 10 5 o -5 -10 Tramo IV -15~------~--------~--------~--------~--------~ -10 -5 o 5 10 15 Figura 9.13. Diagrama de Nyquist para el sistema.9.4 Criterio de Nyquist en sistema multivariable (1)Dado el sistema multivariable en cadena abierta: !] 3+5z G(z) = [ 0:5 (9.20)estudiar su estabilidad por el criterio de Nyquist cuando se realimenta negativa y unitariamente.Solución 9.4Para poder aplicar el criterio de Nyquist hay que calcular el determinante: Pc(z) det[I + G(z)] = Pa(z) (9.21)ASÍ: [ 1 + 3+5z 1 det[I + G(z)] det o5z z ] = - z 1+ª z (3 + 6z)(3 + z) 0,5 6z 2 + 21z + 8,5 -- (9.22) z2 Z2 z2Por lo que: (9.23)
  • 215. 200 Control de sistemas discretos Pc(z) = 6z 2 + 21z + 8,5 (9.24)Donde Pa (z) es el mínimo común denominador de todos los menores de todos los órdenes de G (z ).Se elige como camino el representado en la Figura 9.14, con z = ejO y () que varía entre 0° y 360° . ...... ....••. .......... -1 ........... 1 Figura 9.14. Camino de Nyquist elegido.El determinante será: 6e 2jO + 21e jo +8 ,5 . . det[I + G(z )llz=ej8 = e2j (} = 6 + 21e- J (} + 8,5e- 2J I! (9.25)Este resultado se puede representar como la suma del punto 6, una circunferencia de radio 21 que dauna vuelta y de otra circunferencia de radio 8,5 que da dos vueltas (Figura 9.15).Algunos puntos serán: • Para () = 0°, det[I + G(z)] = 35,5. • Para () = 90°, det[I + G(z)] = -2,5 - 21j. • Para () = 180°, det[I + G(z)] = -6,5. • Para () = 270°, det[I + G(z)] = -2,5 + 21j.Las vueltas alrededor del O son: N = -1. Como P = 2 (raíces de Pa(z) en D). Entonces, Z=N+P=-1+2=1 (9.26)Sólo hay un polo dentro del círculo unidad para el sistema realimentado. Como existen dos polos,uno será inestable.Al mismo resultado se llega factorizando: 6z 2 + 21z + 8,5 = O (9.27)obteniendo como raíces -0,46 y -3,03.
  • 216. Criterio de Nyquist 201 30~--~--~--~----~--~--~--~----~--~---. 20 10 o -10 -20 -30~--~--~--~----~--~--~--~----~--~--~ -10 -5 o 5 10 15 20 25 30 35 40 Figura 9.15. Imagen resultado de recorrer el camino de Nyquist.9.5 Criterio de Nyquist en sistema multivariable (11)El sistema de la Figura 9.16 es estable en cadena abierta, siendo: R(z) = [~1 :2] (9.28)y BG(z) = [ Xl~(Z) O ] (9.29) X 22 (Z) + ~ ==B .. 1 BG(z) 1 Figura 9.16. Sistema multivariable.Cada elemento de BG(z) posee como respuesta en frecuencia las indicadas en la Figura 9.17 (módu-lo y fase).
  • 217. 202 Control de sistemas discretos A~ x 12 2 __- - - - - -...... 2 O. 5 O. 5 O 21t/T O 21t/T - , 1t 1t O 21t/T O O 21t/T - , (a) (b) 3 __- - - - - -.... 3 O O,... , O 21t/T O 21t/T 1t O , O 21t/T -1t (e) (d) Figura 9.17. Respuesta en frecuencia (módulo y fase) de XII (a), X l2 (b), X 21 (c) y X 22 (d).
  • 218. Criterio de Nyquist 203Se pide: 1. Valores de K I (K I > 0,5) que hacen estable el sistema en cadena cerrada, si K 2 = 1. 2. Valores de K 2 (K2 > 0,5) que hacen estable el sistema en cadena cerrada, si K I = 1. 3. Obtener las funciones de transferencia X ij (z) y determinar el polinomio característico en ca- dena cerrada. ¿Para qué valores de K I y K 2 el sistema será estable en cadena cerrada?Solución 9.5La función sobre la que se aplica el criterio de Nyquist en sistemas multivariables es: 1 + K l X II (Z) K 2X I2 (Z) ] det!! + BG(z)R(z)] = det [ K X (Z) (9.30) 1 21 1 + K 2X 22 (Z)El camino de Nyquist elegido será la circunferencia de radio unidad z = ejO con () entre y 27r. °La imagen del camino a través de las funciones Xij(z) es equivalente a la respuesta en frecuenciade Xij(z)lz=eiwT, con el cambio () = wT. Por tanto, el conocimiento de la respuesta en frecuenciapermite aplicar el criterio de Nyquist.Como el sistema es estable en cadena abierta, P = n (número de polos del sistema). Al ser Z=N+P (9.31)para que el sistema sea estable en cadena cerrada, se deberá cumplir que Z = n, lo que obliga a: N=Z-P=n-n=O (9.32)Luego no deberá dar ninguna vuelta alrededor del origen.Para hallar N hay que comprobar para cada apartado si es de diagonal dominante y así poder sim-plificar el cálculo con las vueltas de cada elemento de la diagonal principal. 1. Si K I > 0,5, K 2 = 1, la respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] en el diagrama polar será la representada en la Figura 9.18. Si K I > 0,5, se cumple: (9.33) (9.34) El sistema es de diagonal dominante por columnas (no así por filas). Luego N = N l + N 2 • NI = -1 (si K I > 0,5) y N 2 = -1. Por tanto, N = -2, de lo que se deduce que el sistema es inestable bajo las condiciones de este apartado.
  • 219. 204 Control de sistemas discretos 1-2K1 -0.5 -2 4 Figura 9.18. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando K 1 > 0,5 y K 2 = 1.. 2. Si KI == 1 Y K 2 > 0,5, la respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] en el diagrama polar vienen representados en la Figura 9.19. Si K 2 > 0,5, se cumple: 11 + XIII> IX21 1 para cualquier w (9.35) (9.36) Es de diagonal dominante por columnas. Luego N == NI + N 2 • Como NI == -1 Y N 2 == -1 (si K 2 > 0,5), N == -2. Por tanto, el sistema es inestable bajo las condiciones del apartado. 3. Las funciones de transferencia de cada Xij(z) serán: 2 XII(Z) == - (9.37) Z pues es una circunferencia de radio 2 y recorrido inverso. (9.38)
  • 220. Criterio de Nyquist 205 -1 3 1+ X ll 1-3K2 -=-+--+----~Figura 9.19. Respuesta en frecuencia de los elementos de [1 + BG(z)R(z)] cuando K 1 = 1 YK 2 > 0,5. X 2¡(z) = O (9.39) 3 X 22 (Z) = -- (9.40) Z pues es una circunferencia de radio 3 y recorrido inverso. El signo menos se debe a que para w = O se parte de 1r. Se puede calcular: 1 + K¡ ~ det[I + BG(z)R(z)] = det [ O Z (9.41) como Pc(z) det[I + BG(z)R(z)] = Pa(z) (9.42) Pa (z) se determina como el mínimo común denominador de todos los menores de todos los órdenes de BG(z)R(z). En este caso, Pa(z) = z2. Por tanto, Pc(z) = (z + 2K¡)(z - 3K2). Para que el sistema sea estable deberá ser: 12K¡1 < 1 ~ -0,5 < K¡ < 0,5 (9.43) 13K21< 1 ~ -1/3 < K 2 < 1/3 (9.44) que confirma los resultados de los primeros apartados.
  • 221. 206 Control de sistemas discretos9.6 Problema propuestoDeterminar por el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema representado en la Figura 9.20 paraK>O. + z-O.5 K (z+O.6)(z-l) Figura 9.20. Diagrama de bloques en bucle cerrado.Solución 9.6El sistema será inestable para K > 2. El diagrama de Nyquist viene representado en la Figura 9.21. 4 ,-- -- -- -- - r -- -- -- -- -- --- --r---- -- -- -- - ... -- - -- --- -- --4 - - -- -- -- -- J_ - -- w1 o 2 3 4 5 6 7 8 Figura 9.21. Diagrama de Nyquist cuando se recorre el punto z = 1 por la izquierda.
  • 222. Criterio de Nyquist 2079.7 Problema propuestoAnalizar la estabilidad del sistema de la Figura 9.22 mediante el criterio de Nyquist para T = 0,5seg. y K > O. x (z)+ ~ - ~~ --0K , 1110. Bo(s) .... " 1 (s+2) Y(z) ... ~- T Figura 9.22. Diagrama de bloques del sistema.Solución 9.7El sistema será inestable para K > 4,327. El diagrama de Nyquist viene representado en la Figura9.23. 1,, 0,8 ~ 0,6 ~ 0,4, 0,2 -0,231 K o.. -0.2 -0.4: -0,6 ~ -0.8 _ _ .1. -1 ~ -1 -0,5 o 0,5 Figura 9.23. Diagrama de Nyquist para el sistema propuesto.9.8 Problema propuestoAnalizar por el criterio de Nyquist la estabilidad del sistema realimentado negativa y unitariamente,cuyos elementos de la matriz: BG(z) = (9.45)se encuentran representados en la Figura 9.24
  • 223. 208 Control de sistemas discretos 2 2 o 21t1T o o o o 21t/T o 21t/T (a) (b) X 21 X 22 3 3 2 0,5 0,5 O 21t/T O 21t/T 1t 1t -1t -1t (e) (d) Figura 9.24. Respuesta en frecuencia del sistema (módulo y argumento).Téngase en cuenta que el sistema es estable en cadena abierta.Solución 9.8La respuesta en frecuencia en el diagrama polar de [1 + BG(z)] se encuentra representada en laFigura 9.25.Se cumple 11 + Xlll > IX2l 1y 11 + X 22 1> IXl2 1. Así: N = N l +N2 =-2 (9.46) Z=N+P=n-2 (9.47)El sistema en cadena cerrada tiene dos polos inestables.9.9 Problema propuestoEl sistema de la Figura 9.26 es estable para cualquier valor de K (00 > K > O), donde F(z) = K(z - 0,5)(z + 0,5) (9.48) (z + 1)(z - 1)
  • 224. Criterio de Nyquist 209 -1 3 o 1 -0.5 1 -2 3 Figura 9.25. Respuesta en frecuencia en el diagrama polar. + ~ 1------..1 F(z) Figura 9.26. Diagrama de bloques.A este sistema se le puede aplicar el criterio de Nyquist eligiendo de forma adecuada una trayectoriacerrada r. Indicar si existe y dibujar en cada caso una trayectoria que cumpla: 1. La imagen de r¡ a través de la función 1 + F(z) no da ninguna vuelta en tomo al origen. 2. La imagen de r 2 a través de la función 1 + F(z) da una vuelta positiva en tomo al origen. 3. La imagen de r 3 a través de la función 1 + F(z) da una vuelta negativa en tomo al origen. 4. La imagen de r 4 a través de la función 1 + F(z) da dos vueltas positivas en tomo al origen.
  • 225. 210 Control de sistemas discretosSolución 9.9 1. P = Z - N =2- O = 2. El camino viene representado en la Figura 9.27. -1 Figura 9.27. Camino de Nyquist para r 1 . 2. P = Z - N = 2 - 1 = 1. El camino viene representado en la Figura 9.28. -1 Figura 9.28. Camino de Nyquist r 2 . 3. P = Z - N = 2 - (-1) = 3. No es posible. 4. P = Z - N = 2 - 2 = O. El camino viene representado en la Figura 9.29.9.10 Problema propuestoDado el sistema K G(z) = z2-025 (9.49) ,se pide: 1. Diagrama polar de la respuesta en frecuencia del sistema G(z) si K = 1.
  • 226. Criterio de Nyquist 211 1 -1 Figura 9.29. Camino de Nyquist r 4. 2. Determinar por métodos frecuenciales el rango de valores de K que hacen estable el sistema realimentado negativa y unitariamente.Solución 9.10 1. El diagrama polar de la respuesta en frecuencia es el representado en la Figura 9.30. 1, 5 ~ --- ---- --- ---- ---,. ------ ---- --- ----- -r- - --- -- - - - -- - - -- - r- - - -- - - - --- -- - - - r--- --- - - - - - - - - - -: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1~ 1 -1 1 1 0,5: 1 1 1 1 1 1 -0.5 r 1 1 1 - 1 1 1 .1,5 1 ______ - __ - - __ - _____ lo - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ -1.-- - ______ - __ - ___ - __ -.1. _____ - ___ - - - ___ - __ ~ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ~ -1 JO,5 O 0,5 1 1,5 Figura 9.30. Diagrama polar. La respuesta en frecuencia da dos vueltas en sentido antihorario.
  • 227. 212 Control de sistemas discretos 2. Si K < 1,25, entonces N = O. Por tanto, Z = 2 + O= 2, el sistema es estable. Si K > 1,25, entonces N = -2. Por tanto, Z = 2 - 2 = O, el sistema es inestable.
  • 228. CAPÍTULO 10 ~ DISCRETIZACION DE REGULADORES CONTINUOSOBJETIVOEl objetivo fundamental del diseño consiste en obtener un sistema discreto de control que permitaque las variables de un proceso continuo evolucionen de una manera prefijada. El esquema deseadoaparece representado en la Figura 10.1. U(z) + ... Bü(s) ... ... ~- Y(z) ~ - G(s) - T • - .J ~ Figura 10.1. Sistema discreto de control.El método empleado en el presente capítulo consiste en partir de un regulador continuo según el es-quema de funcionamiento de la Figura 10.2 y, una vez que se haya discretizado, sustituir el reguladorcontinuo por el esquema de funcionamiento representado en la Figura 10.3. U(s) + -8---~G_(_S)~----;--Y(~~ Figura 10.2. Sistema continuo de control.Este último esquema (Figura 10.3) es similar al deseado, salvo en la referencia, lo cual no suponeuna diferencia significativa. 213
  • 229. 214 Control de sistemas discretos u (s),+ 1 ~I R(z) I .. ~- Y(s) lIIoo. , B(s) , lIIoo. G(s) , lIIoo. - A~ T I Figura 10.3. Controlador discreto de un sistema continuo.Es importante destacar que la solución obtenida no será única y estará fuertemente influiada por elperíodo de muestreo y por el bloqueador utilizado. Cuanto menor sea el período de muestreo, laaproximación con el sistema continuo será más exacta. , ,APROXIMACION DE LA EVOLUCION TEMPORALEl método consiste en asemejar la salida de los sistemas representados en la Figura 10.4 ante unamisma entrada. IX(Z~ E(S)~I ~T -I~~ R(z) X(z) • ----~ Figura 10.4. Aproximación de la evolución temporal de ambos sistemas.Si la entrada es un impulso unitario, la secuencia de ponderación del sistema discreto debe corres-ponder con las muestras de la respuesta impulsional del sistema continuo. ASÍ: R(z) = Z [R(s)] = " ~ Residuos [R(P) lT 1- eP z- 1] (10.1) polos R(p)Otra posibilidad consiste en establecer una equivalencia entre la respuesta temporal de ambos siste-mas ante señal escalón: R(z) = (1 - z-l)Z [R(s)] = " ~ Residuos [R(P) P lT 1- eP z- 1] (10.2) polos R(p )/p
  • 230. Discretización de reguladores continuos 215DISCRETIZACIÓN DE REGULADORESLos reguladores discretos se pueden obtener a partir de los reguladores continuos aplicando técnicasde integración numérica. Con objeto de estudiar el regulador PID, se presentan primero las accionesde éste independientemente. ACCIÓN PROPORCIONAL. Si la acción proporcional de un regulador analógico se ex- presa como: x(t) = Kpe(t) (10.3) el regulador proporcional discreto que aproxima esta acción (siendo T el período de muestreo) resulta: x(kT) = Kpe(kT) (10.4) X(z) (10.5) P(z) = E(z) = Kp ACCIÓN INTEGRAL. Si la acción integral de un regulador analógico viene dada por: x(t) = Ki lot e(t)dt (10.6) es posible utilizar diversas aproximaciones para la realización de la integral en tiempo discreto. La más sencilla es la aproximación rectangular: k x(kT) = Ki ¿Te(iT) = x((k - l)T) + KiTe(kT) (10.7) i=O Aplicando transformadas en Z: I(z) = X(z) = TKi (10.8) E(z) 1 - Z-l Observando esta expresión, se puede asumir que el operador integral continuo l/s pasa a ser: 1 T (10.9) s 1- z-l por 10 que el operador derivada se puede expresar como: 1 -z -1 s=--- (10.10) T Utilizando la transformada bilineal, que se corresponde con la utilización de la aproximación trapezoidal de la integral: x(kT) = x((k - l)T) + Ki e((k - l)T) + e(kT)T (10.11) 2
  • 231. 216 Control de sistemas discretos Aplicando la transformada en Z: I(z) = X(z) = TKiz+l (10.12) E(z) 2 z-l Observando esta última expresión, se puede asumir que el operador integral l/s pasa a ser: 1 T 1 + Z-l (10.13) S 2 1 - z-l por lo que el operador derivada se puede expresar como: 2 1- z-l S == - - - - (10.14) TI + z-l ACCIÓN DERIVATIVA. Si la acción diferencial de un regulador analógico viene dada por: (10.15) se puede discretizar esta derivada aproximándola por el cociente incremental: x(kT) = Kd e(kT) - e((k - l)T) (10.16) T Aplicando la transformada en Z: D(z) = X(z) = Kd Z - 1 (10.17) E(z) T z Observando la expresión anterior, se deduce que el operador s pasa a ser: 1 -z -1 s== - - - (10.18) T expresión ya obtenida anteriormente (10.10).REGULADORES PIDEl regulador PID continuo se puede expresar como (Figura 10.5): (10.19)donde K p es la constante proporcional, Ti la constante de la acción integral y Td la constante de laacción diferencial.La discretización se puede realizar con alguno de los siguientes métodos:
  • 232. Discretización de reguladores continuos 217 U(s) + Y(s) Figura 10.5. Regulador PID continuo. 1. Mediante el operador derivada s = 1_,;,-1, se obtiene: X(z) z z- 1 E(z) = R(z) = Kp + Ki Z _ 1 + Kd Z (10.20) 2. Mediante la transformación bilineal s = ~ ~+;=~, se obtiene: X(z) _ R( ) _ K K. z + 1 K z - 1 (10.21) E(z) - z - p+ tz-l + d z + 1 3. Si se emplea el operador derivada para la acción derivativa y la transformación bilineal para la acción integral, se obtiene: X(z) _ R( ) _ K K. z + 1 K z - 1 (10.22) E(z)- z - p+ t z - 1 + d ZREGULADORES PID MODIFICADOSSe contemplan las siguientes opciones en la utilización de los reguladores PID discretos: REGULADOR I-PD. El regulador discreto de tipo I-PD tiene la característica de que la ac- ción integral actúa sobre la señal de error, mientras que la acción proporcional y diferencial actúan sobre la señal de realimentación (Figura 10.6).
  • 233. 218 Control de sistemas discretosu(z) ..+ ~I B(s) I ~I G(s) I .. + - - A~ ek 110. ~ Gc1(Z) .... ~ - -~ T - ~ Gc2 (Z) A~ ~- ~ ~ T Figura 10.6. Regulador I-PO. Con esta estructura, estos reguladores adquieren como expresión (en función de la discretiza- ción realizada): z+l Gel == K i - - z-l z-l G e2 == Kp + K d -Z- (10.23) Esta estructura de regulador 1-PD consigue disminuir el sobrepico del transitorio obteniendo un transitorio más amortiguado. La aportación de ganancia al sistema es la misma que la del regulador PID. También el efecto sobre las perturbaciones es similar. FILTRO EN LA ACCIÓN DERIVATIVA. La acción derivativa no es físicamente realiza- ble. Una aproximación más exacta para esta acción se puede implementar mediante la intro- ducción de un filtro de primer orden con constante de tiempo o:Td : 0,05 < o: < 0,1 (10.24) Discretizando este filtro mediante la aproximación trapezoidal: (10.25) Operando, se tiene: z-l X(z) == Kd-- (10.26) Z+Cd siendo Kd == Kp T;faT d y Cd == ~¡;~~=. Para evitar que se presente una alternancia de valores positivos y negativos en cada período de muestreo (efecto ringing), el valor Cd debe ser negativo, lo que obliga a que T < 20:Td.
  • 234. Discretización de reguladores continuos 219SATURACIONES EN EL ACTUADOREl algoritmo de control puede generar salidas imposibles de alcanzar por culpa de las saturacionesen el actuador. El efecto se ve ampliado si el regulador no tiene noción de esta saturación a la horade calcular la señal en los instantes posteriores. Esto obliga a que el regulador conozca los límitesdel actuador. , ,ELECCION DEL PERIODO DE MUESTREOLa elección del período de muestreo es un aspecto crítico en la discretización de reguladores conti-nuos. Como norma general, cabe afirmar que va a interesar un período de muestreo 10 más pequeñoposible siempre que no condicione al sistema en dos aspectos importantes: su implementación realy los errores de cuantificación. Los criterios se basan en los siguientes aspectos: 1. CARACTERÍSTICAS EN CADENA CERRADA WT = 2,; Frecuencia de muestreo WT = NBB N ~ 20 a40 (10.27) { BB Ancho de banda (radlseg.) Tiempo de subida (10.28) T == ~ { ts Tiempo de establecimiento (10.29) Ns Ns ~ 25 a 75 WT - _N {N NWd N ~ 30 a 60 . . (10.30) Wd FrecuencIa amortIguada 2. CARACTERÍSTICAS FRECUENCIALES EN CADENA ABIERTA _N {N == 2,; a 80 WT - wgW ~ 40 g g Frecuencia de cruce de ganancia (10.31) g 3. PARÁMETROS DEL REGULADOR CONTINUO El tiempo de muestreo debe ser claramente menor que la constante de tiempo dominante del proceso. Así: Para un PI: O,lTi < T < 0,3Ti Para un PD real: 0,5aTd < T < aTd Para un PID: La restricción de la acción derivativa suele ser más exigente.
  • 235. 220 Control de sistemas discretos10.1 Discretización de un regulador por diversos métodosDado el regulador continuo que presenta la siguiente función de transferencia: 2 R(s) = - 3 (10.32) s+discretizar éste, asumiendo un peóodo de muestreo de TI = 0,5 seg. y T 2 = 0,033 seg., por lossiguientes métodos: 1. Aproximación del operador derivada. 2. Aproximación trapezoidal de la integral. 3. Equivalencia temporal ante entrada escalón.Comparar los sistemas discretizados obtenidos a partir de las salidas de los mismos ante entradaescalón.Solución 10.1Se tiene: 1. Para la aproximación del operador derivada se puede hacer uso de la expresión: R(z) = R(s)1 S - -z -- _l- l (10.33) T De esta forma, 2 2Tz R(z)=--- I-z-l + 3 (10.34) T (1 + 3T)z - 1 Para T = TI = 0,5, se tiene: z RI (z)=25z_1 (10.35) , Para T = T 2 = 0,033, se tiene: R (z) 2 = O,066z (10.36) 1,lz - 1 En la Figura 10.7 se representa la respuesta ante entrada escalón del regulador continuo, así co- mo la respuesta ante entrada escalón de los dos sistemas discretizados.
  • 236. Discretización de reguladores continuos 221 r--- --- --- . . --- -r------------ --...,...---------,..--------, r-------- -r-- --------- ---- --- ,---- --- ---,- --- ---- -- t -.. -- --- ---- -..--- --,- ------- -..,--- ---.--- --, .f./0, i 0 7 , - - - - - - - --í-~- , , ! I . I 0,7¡ , , ,1).6: ~, ! i : ! ost , • • • • • • • • 1 1 , ! iO o)~ , : I o 5f¡ . j ¡ ¡ , G,5~ ~ i : ! I ! •• ~04~ M~ 1 , 041 • : i :O3 ~O! , , , , ¡ ~, ¡ i , , , O"h oú : ¡ , 1 ¡ ~ i ! , I O,3r : O,2r • ¡ :. . • • ¡ , : I()1~ , O,r ¡ o d· , , 1 , ~ , ol_ --------~- --- ----------. ----.. . --------- --- ------- ! ¡ a - --- - ___ .J ______________ .J _________ - _________ -~- -~- J Q í- _ ___ A- __ __ - ____ - ____ - ____ ~ ____ .L. _________ - ___ ~1. ____ ! I o 02 0,4 06 0,/ 1 1,2 1,4 1 (: 18 :;: o 05 1 15 2 25 3 35 4 5 ~5 o 0,2 0,4 06 0,5 1 1:2 1,4 16 1,8 2 (a) (b) (e)Figura 10.7. Respuesta de ante entrada escalón del regulador continuo (a) y del regulador discretiza-do con la aproximación del operador derivada T == 0,5 (b) y con T == 0,033 seg. (c). 2. En este caso, haciendo uso de la aproximación trapezoidal: R(z) == R(s)1 _ 2 l-z-l (10.37) S-"T l+z-l obteniendo: R z _ 2Tz + 2T (10.38) ( ) - (2 + 3T)z + 3T - 2 Para T == TI == 0,5, se tiene: z+1 RI(z) == 35z-05 (10.39) , , Para T == T 2 == 0,033, se tiene: R (z) = 0,066z + 0,066 (10.40) 2 2,1z - 1,9 En la Figura 10.8 se representa la respuesta ante entrada escalón de este regulador discretizado según el período de muestreo. ........... . r-- -- ---y-- -----T --- - ---- -- - -- - - --- --- --- -----.., 0,7,--- ---- --- --- ---- --- - --- ------- --- - --- ---- --, I •••• 4 , I I It ......., 06f • ~ o r.[ I ~ ¡ I : o ~r l o ; . . . 5f.· : ... i : ¡ o 4~ i O,,~ : • •• 1 I .1 : (!,J~ O,3~ • ! : , i •• I I o ;Zl , !j,2t • 1 , !• I i i Q" , I G 1. ~ I , GL ____ --~- ____ -1. - ~ -- - I ¡ --- - ------- --- --- ---- ---- j o ---- - -- - --- --- ---- - -- - --- - ----- --- - ---- -- - -- Q (!S 1 15 2 25 3 o (! 5 1 15 (a) (b)Figura 10.8. Respuesta ante entrada escalón del regulador discretizado mediante la aproximacióntrapezoidal (b) T == 0,5 y (c) T == 0,033 seg.
  • 237. 222 Control de sistemas discretos 3. Considerando la equivalencia temporal ante entrada escalón, se tiene: R(z) = (1 - Z-l) ¿Residuos [(8: 3)8 1 _ e!TZ-l] = [2 (1 - z -1 ) 3 1 _ 1z-l - 2 31 - 1 e- 3T z-l ] == 2 1 - e 3T (10.41) 3 z - e- 3T Para T == TI == 0,5, se tiene: 2 0,777 R 1 (z) == 3z-0223 (10.42) , Para T == T 2 == 0,033, se tiene: 2 0,095 R (z) == 2 3 z - ,905 ° (10.43) En la Figura 10.9 se representa la respuesta ante entrada escalón de estos reguladores. 01 r - ---r--- - ~-- ---- --~ -------- T-~ - - , . . - - - .... - - - - -- --~ J) I ¡--- - -- - --- - -- - -.-- - -- - --- - -- - - ..... - - -- - --- - -- - --- ~ I • • • • • • • ! ................ OI"! ... , • ! o&f , : , I IIb: ....... : I : o.,~ • ~ 05r ••• 04: , ! ! 04r 1 : . • •• o 3~ , I ,i i ii O:ll il2~ I : . • • 0,2:, . • I • ! o, ~ o 1! 1 l· , ti i.. ________ • ___ - ____ .1. ________ .L ___ --- _____________ J I I 01.---- --- --- _ ---~--- --- --- ----------- - -- - - - - - ! o 0,5 1 15 2 25 3 3S 4 4 :; !, G G5 1 t 5 (a) (b)Figura 10.9. Respuesta ante entrada escalón del regulador discretizado obtenido mediante la equiva-lencia ante entrada escalón (b) T == 0,5 y (c) T == 0,033 seg.Como se observa, en todos los casos cuanto menor es el tiempo de muestreo, rhás parecido resultael comportamiento entre el regulador discreto y el continuo.10.2 Comparación de la estabilidad de un sistema en cadena cerrada utilizan- do un regulador continuo y su equivalente discretizadoPara el control en bucle cerrado de un sistema con función de transferencia en cadena abierta: 1 G(s) ==-1 (10.44) s+se consideran dos alternativas representadas en las Figuras 10.10 y 10.11.
  • 238. Discretización de reguladores continuos 223 u(t) + J;.;l-~ _1_ I_-+-y(t~ ~ s+l Figura 10.10. Regulador continuo. .. Bo(s) ~ {uJ ..+ ~ ~ .. ~ 1 .. ~ ~- T {yJ • - s+1 J~ ~- ~ ~ T Figura 10.11. Regulador discreto del sistema continuo.En la primera opción, el control se realiza con un regulador continuo: R(s) = K(s + a) (10.45) scon K > O ya> O.En la segunda opción, el control se realiza con un regulador discreto, con un bloqueador de ordencero y con un muestreador de período T = 1 seg.Se pide: 1. Analizar la estabilidad de ambos sistemas (K > O ya> O) si se utiliza para la segunda opción una,.. discretización del regulador continuo como aproximación del operador derivada . (Se sugiere utilizar el lugar de las raíces para el estudio de la estabilidad). 2. Obtener el error de posición en cada una de las configuraciones si se usa el operador derivada para discretizar el regulador continuo. 3. Comparar el rango de valores (K > O) que hacen estable la segunda configuración cuando el regulador continuo se discretiza con el operador derivada o con el operador trapezoidal. ¿Cuál presenta un mejor comportamiento?Solución 10.2Se tiene:
  • 239. 224 Control de sistemas discretos 1. La función de transferencia en bucle abierto del sistema con un regulador continuo tiene dos polos, uno en s == O y otro en s == -1 Y un cero en s == -a. Dependiendo del valor de a, se tienen dos lugares de las raíces diferentes para el sistema en bucle cerrado (Figura 10.12). 0,15 0,6 0,1 0,4 0,05 0,2 o • o------------~---e -0,2 -0,05 -0,4 -0,1 -0,6 -0,15 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 o -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 o (a) (b)Figura 10.12. Lugar de las raíces del sistema en bucle abierto con regulador continuo: (a) cuandoO < a < 1 Y (b) cuando a > 1. Como se puede observar, el sistema continuo es siempre estable para todo valor de a > O y K > O, dado que los polos del sistema en bucle cerrado siempre se encuentran en el semiplano de parte real negativa. Cuando se discretiza el regulador continuo empleando la aproximación del operador derivada, se tiene: Z 1 z __l - R(z) == R(s)l s = l-Tz-1 = K(l + aT) : ~ = ~ ___ a) K(l + / z-l Ha (10.46) Por otro lado, el equivalente discreto del conjunto bloqueador-sistema continuo-muestreador responde a la expresión: 1 . [1 1 1 ] BG(z) == (1 - z-l) " ~ ResIduos --1-1 T P + p - eP z- 1 == z - e- 1 1 - e- (10.47) p=O,p=-l De esta forma, el sistema en bucle abierto será el producto de las dos expresiones previas 10.46 y 10.47. El sistema posee dos polos en z == 1 Y en z == e- 1 y un cero en z == l!a. Al igual que antes, dependiendo del valor de a, se tienen dos lugares de las raíces diferentes (Figura 10.13). Tanto en un caso como en otro hay valores para los cuales el sistema se hace inestable (los polos traspasan el círculo unidad). El valor de K a partir del cual el sistema se hace inestable se obtiene justo en el punto en el que se tiene un polo en z == -1. Es necesario recordar que las ramas del lugar de las raíces comienzan en un polo (para el cual K LR == O) y terminan en
  • 240. Discretización de reguladores continuos 225 ........... .............. ............... ...........~..... 0,8 0,6 0,4 / ....... ... " ....... 0,8 0,6 0,4 (o . .... ". 0,2 0,2 o o ~,2 ~,4 ~,6 ~,8 -1 . ~. ............ ~ . . .......... . ... ~ / ~,2 ~,4 ~,6 ~,8 -1 . ................. ............. .".. .•.. -1,5 -1 ~,5 0,5 -1 ~,5 o 0,5 (a) (b)Figura 10.13. Lugar de las raíces del sistema discretizado con aproximación del operador derivadacuando: (a) a < e- 1 y (b) a > e-l. un cero (para el cual K LR = 00). Para que exista un polo en bucle cerrado en z = -1, K LR debe valer: K _ (1+1)(1+e- 1 ) _ 2(1+e- 1 )(1+a) (10.48) LR - 1+ l!a - 2+a Por tanto, para que no se llegue a tener un polo en bucle cerrado fuera del círculo unidad se tiene que cumplir: -1) 2(1 + e- 1 )(1 + a) K LR = K(1 + a )(1 - e < 2 (10.49) +a quedando finalmente como valor de K para que el sistema sea estable: 1 K < 2(1 + e- ) (10.50) (2+a)(1-e- 1 ) Como se observa, considerando el sistema totalmente continuo, el sistema es estable para todo valor de K. Sin embargo, cuando se calcula un regulador discreto mediante la aproximación del regulador continuo por el operador derivada, se obtienen valores de K para los que el sistema se hace inestable. 2. El error de posición será nulo al ser ambos sistemas de tipo 1 siempre y cuando estos sistemas sean estables. 3. Cuando se utiliza el operador trapezoidal para aproximar el regulador continuo se tiene: 2-aT R(z) R( S ) I 2 l-z-l - - K 2 + aT z - 2+aT S=T l+z-l 2 z- 1 2-a K 2 + az - Ua (10.51) 2 z-1
  • 241. 226 Control de sistemas discretos La situación es similar a la del anterior apartado teniendo dos posibilidades en función de dónde se encuentre el cero de R(z)BG(z) (Figura 10.14). .......... .......... .............. 0,8 ...... .. 0,8 .. .. 0,6 . ........ 0,6 . .••.....•. 0,4 0,4 0,2 0,2 o ~,2 ---1 o ~,2 ~,4 ~,4 -0,6 .. . .... ~,6 .. . .. -0,8 -1 ............. 1. ............. -0,8 ............... ................ -1 -1,5 -1 ~,5 0,5 -1,5 -1 ~,5 o 05 (a) (b)Figura 10.14. Lugar de las raíces del sistema discreto con aproximación trapezoidal cuando: (a)2-a > e- 1 y (b) 2-a < e- 12+a 2+a· El sistema será inestable, al igual que en el caso previo, a partir de que tenga un polo en bucle cerrado en z = -1. En estas circunstancias: K _ (1+1)(1+e- 1 ) _ (1+e- 1 )(2+a) LR - 1 + 2-a - 2 (10.52) 2+a Por tanto, 1 K =K2+a(1_ -1) (1+e- )(2+a) (10.53) LR 2 e < 2 quedando finalmente: 1 K < 1 + e- (10.54) 1- e- 1 condición que es menos restrictiva que la obtenida en el caso previo, pues siempre 2!a < 1 (si a > O). Este dato induce a pensar que la aproximación trapezoidal se comporta mejor que el operador derivada en este caso. Es necesario destacar que con el período de muestreo elegido la discretización del regulador continuo no será muy exacta.10.3 Comparación entre un regulador continuo y el equivalente discretizadoCalcular el regulador discreto más sencillo de forma que el sistema de la Figura verifique simultánea-mente: ep < 0,01 Mp ~ 20% te ~ 2,1 (10.55)
  • 242. Discretización de reguladores continuos 227Calcular el regulador continuo adecuado y discretizarlo con un período de muestreo conveniente. Ves) + ~ ~(s) __~~____________~Y_(~S) 5 . (8 +98+20)(8 +38+2) 2 2 Figura 10.15. Sistema continuo.Solución 10.3Las raíces del sistema en bucle abierto son s == -1, s == -2, s == -4 Y s == -5. De esta forma, ellugar de las raíces viene representado en la Figura 10.16. -10 -8 -6 -4 -2 2 4 Figura 10.16. Lugar de las raíces para el sistema continuo.A partir de las especificaciones dinámicas requeridas, se tiene: tan Mp == 20 % -+ Mp == e 7r / () lJ = arctan (1:;2) (10.56) Ir te == 2,1 -+ te == - O- Ir 0-==-==15 (10.57) 2,1 A la vista del lugar de las raíces, se puede deducir que no es posible diseñar un regulador tipo Pque cumpla las especificaciones. Por tanto, es necesario el diseño de un regulador PD. Se puede
  • 243. 228 Control de sistemas discretosprobar con un regulador PD ideal, ya que la discretización de este regulador sí que saldrá realizable.Así, el regulador PD ideal añade un cero en una posición determinada, de tal forma que el lugar delas raíces pase por el punto de funcionamiento deseado para el sistema. Para calcular este punto, sepuede aplicar el criterio del argumento (Figura 10.17). Figura 10.17. Criterio del argumento.Se cumplirá: (10.58)Resolviendo, se tiene: al == 99,72° a2 == 80,28° a3 == 49,43° a4 == 39,53° {3 = 89,26° ~ 90° (10.59)Por tanto, el regulador continuo a incluir en bucle abierto será: GR(s) == K(s + 1,5) (10.60)Para el cálculo de la K del regulador se puede aplicar el criterio del módulo: K = 2,96· 2,96 . 3,84 . 4,55 = 10 4 (10.61) 5 . 2,92 Así, se tiene: GR(S) == 10,4(s + 1,5) (10.62)Este regulador continuo no es realizable físicamente; pero como vamos a discretizarlo, éste sí queserá realizable físicamente. A continuación comprobaremos si satisface las especificaciones en régi-men permanente: 1 e ---- (10.63) p - 1 +Kp
  • 244. Discretización de reguladores continuos 229 límG(s) = 10,4·5 ·1,5 = 196 s-+O 20 . 2 1 1 + 1,96 = 0,337 > 0,01 (10.64)Como se observa, no es válido el regulador diseñado y será necesario diseñar un regulador PID. Laacción integral supone la adición de un polo en el origen. Para compensar este efecto, se añade uncero a una distancia determinada de éste. Como los polos dominantes se encuentran a una distanciade 1,5 del eje, colocaremos el cero a un sexto de este valor (1,5/6 = 0,25). Así, el regulador PIn aincluir responderá a la expresión: GR(S) = K (s + 1,5)(s + 0,25) (10.65) sEl valor de K se podrá determinar a partir del criterio del módulo: K = 2,96· 2,96 . 3,84 . 4,55 . 3,28 = 10 85 (10.66) 5·2 ,92·3 ,17 ASÍ: GR(S) = 10,85 (s + 1,5)(s + 0,25) (10.67) sEste regulador puede adquirir la clásica forma K(l + r!s + Tds): GR(s) = 19 (1 + 4,~S + 0,57S) (10.68)Con este regulador, la respuesta del sistema en bucle cerrado ante entrada escalón unitario se repre-senta en la Figura 10.18. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 °° 5 10 15 20 25 30 Figura 10.18. Respuesta ante escalón unitario con regulador PID.A continuación se realizará la discretización del regulador Pln con un período de muestreo T. Serealizará de dos formas:
  • 245. 230 Control de sistemas discretos 1. Integración aproximando el operador derivada. Si: (10.69) Yk = K [ Uk + T LUj + T. T k ;(Uk -uk-d 1 (10.70) 1, j=O Formando Yk - Yk-l, se obtiene: (10.71) con T Td qo = K(l + Ti + T ) Td ql = K(-l- 2-) T Td q2=K- (10.72) T Eligiendo un período de muestreo T tal que se cumpla T < < T d < < Ti, por ejemplo, Td = 0,05, se tiene: qo = 235,8 ql = -452,2 q2 = 216,6 (10.73) De esta forma, el regulador discretizado por este método será: = 235,8 - 452,2z- 1 + 216,6z- 2 G R (z ) 1 _ z-l (10.74) En la Figura 10.19 se representa la respuesta ante escalón cuando se utiliza este regulador junto con un bloqueador de orden cero. Los mismos resultados se podrían haber obtenido mediante el cambio: 1- z-l s=--- (10.75) T 2. Integración trapezoidal. Cuando se utiliza la aproximación trapezoidal, se tiene: (10.76) Formando Yk - Yk-l, se obtiene: (10.77)
  • 246. Discretización de reguladores continuos 231 0,6 • • 0,5 • 0,4 • 0,1 o~--~----~----~--~----~--~ o 5 10 15 20 25 30 Figura 10.19. Respuesta ante escalón unitario con regulador discretizado. con T Td qO = K(l + 2T + T) = 325,7 i T Td ql = K(-l + 2T,; - 2y) = -452,1 Td Q2 == K Y == 216,6 (10.78) De esta forma, el regulador discretizado por este método es: == 235,7 - 452,lz- 1 + 216,6z- 2 G R (Z ) 1_ z-l (10.79) expresión muy similar a la obtenida previamente. Los resultados demuestran que al utilizar un período de muestreo pequeño, el regulador discreto se aproxima al comportamiento del regulador continuo.10.4 Comparación métodos de discretización y períodos de muestreoDiscretizar el regulador continuo R( s) == 1 + ~ por los siguientes métodos: 1. Aproximación de la evolución temporal ante entrada escalón. 2. Operador derivada. 3. Integración trapezoidal.Con los siguientes tiempos de muestreo: • T == 0,5 seg.
  • 247. 232 Control de sistemas discretos • T =: 0,1 seg. • T =: 0,01 seg.Solución 10.4El regulador continuo es: R( s) = 1 + ~ = s + 1 (10.80) s sSe van a calcular los reguladores por cada método y según el período de muestreo. A continuaciónse comparará la salida ante una determinada señal de entrada: secuencia impulso. 1. La aproximación de la salida ante entrada escalón responde a la fórmula: R(z) =: (1 - z-l) ¿ . +1 ResIduos - - -[l P 1T 1] (10.81) P P 1- eP z- polos Hay un único polo doble en cero, por lo que el residuo será: . [d p+1 ] (1 - Z-l) + Tz- 1 ResIduo = -d T P 1 - eP z- 1 p=o (1-z-1)2 (10.82) Sustituyendo este resultado, el regulador obtenido será: z+(T-1) (10.83) z-l De forma que, según el período de muestreo, el regulador: • Para T =: 0,5, R(z) = z - 0,5 (10.84) z-l siendo la señal de salida: Y(z) =: 1 + 0,5z- 1 + 0,5z- 2 + 0,5z- 3 + ... (10.85) • Para T =: 0,1, R(z) = z - 0,9 (10.86) z-l siendo la señal de salida: Y(z) =: 1 + 0,lz- 1 + 0,lz- 2 + 0,lz- 3 + ... (10.87) • Para T =: 0,01, R(z) = z - 0,99 (10.88) z-l siendo la señal de salida: Y(z) =: 1 + 0,01z- 1 + 0,01z- 2 + 0,01z- 3 + ... (10.89)
  • 248. Discretización de reguladores continuos 2332. Por el operador derivada, se tiene: +1 + T)z - R(z) == [8: 1] s- _l-z-l T 1_,;,-1 1-z- T 1 (1 Z - 1 1 (10.90) De forma que, según el período de muestreo, el regulador: • Para T == 0,5, R(z) = 1,5z - 1 (10.91) z-1 siendo la señal de salida: Y(z) == 1,5 + 0,5z- 1 + 0,5z- 2 + 0,5z- 3 + ... (10.92) • Para T == 0,1, R(z) = 1,lz - 1 (10.93) z-1 siendo la señal de salida: Y(z) == 1,1 + 0,1z- 1 + 0,1z-2 + 0,1z- 3 + ... (10.94) • Para T == 0,01, R(z) = 1,Olz - 1 (10.95) z-1 siendo la señal de salida: Y(z) == 1,01 + 0,01z- 1 + 0,01z-2 + 0,01z- 3 + ... (10.96)3. Por el operador trapezoidal, el regulador que se obtiene es: 2 1-z- 1 R(z) == [~] S 2 l-z-l T 1+z- 1 2 l-z- +1 1 (2 + T)z + (T - 2z - 2 2) (10.97) S=T 1+z- 1 T 1+Z+1 De forma que, según el período de muestreo, el regulador: • Para T == 0,5, R(z) = 2,5z - 1,5 (10.98) 2z - 2 siendo la señal de salida: Y(z) == 1,25 + 0,5z- 1 + 0,5z- 2 + 0,5z- 3 + ... (10.99) • Para T == 0,1, R(z) = 2,lz - 1,9 (10.100) 2z - 2 siendo la señal de salida: Y(z) == 1,05 + 0,1z- 1 + 0,1z-2 + 0,1z- 3 + ... (10.101)
  • 249. 234 Control de sistemas discretos • Para T = 0,01, R(z) = 2,01z - 1,9 (10.102) 2z - 2 siendo la señal de salida: Y(z) = 1,005 + 0,01z- 1 + 0,01z- 2 + 0,01z- 3 + ... (10.103)Se observa que el primer método se aproxima mejor al comportamiento ideal (cuando el períodode muestreo T es muy pequeño). Entre los dos últimos, el tercer método se comporta mejor que elsegundo.10.5 Regulador I-PDEn el sistema de la Figura 10.20, se diseña el regulador: R( 8) = 3,666 [1 + 2, ~58 + 0,63638] (10.104)para lograr que el sistema realimentado tenga una sobreoscilación menor del 15 % y un error deposición nulo. Ves) R(s) ~ Figura 10.20. Diagrama de bloques propuesto.Se pide: 1. Calcular el regulador discreto obtenido mediante el operador derivada (suponer que T = 0,2 seg.). Dibujar la secuencia {Yk} ante entrada escalón unitario. 2. Calcular el regulador discreto obtenido mediante el operador derivada (suponer que T = 0,05 seg.). Dibujar la secuencia {Yk} ante entrada escalón unitario. 3. Indicar cómo se puede modificar el regulador PID para conseguir que disminuya la sobreos- cilación ante variaciones bruscas en la referencia. Representar la secuencia de salida para los dos períodos de muestreo considerados en los apartados previos.Solución 10.5La respuesta del regulador y sistema continuo es la representada en la Figura 10.21. Se aprecia cómoel sistema cumple las especificaciones impuestas.Para el regulador propuesto, se tiene Kp = 3,6666, Ti = 2,75 Y T d = 0,6363.
  • 250. Discretización de reguladores continuos 235 1,4 -- ---- -