Diktat Geometri

4,839 views
4,588 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
4,839
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
202
Comments
0
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Diktat Geometri

  1. 1. NAMA : SUEP (06081181320016) PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA 2013 DIKTAT GEOMETRI DISUSUN UNTUK PERKULIAHAN GEOMETRI PADA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNIVERSITAS SRIWIJAYA PENYUSUN: Nyimas Aisyah UNIVERSITAS SRIWIJAYA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN INDERALAYA 2009
  2. 2. ii DAFTAR ISI Halaman BAB 1 : Lukisan Dasar ........................................................................................ A. Melukis Sudut ....................................................................................... Latihan .......................................................................................................... B. Melukis Garis ............................................................................................ Latihan .......................................................................................................... C. Melukis Segitiga ....................................................................................... Latihan .......................................................................................................... D. Melukis Bangun Ruang ............................................................................ BAB 1 : Bangun Ruang .......................………..……............................................ A. Bangun Ruang Sisi Datar ......................................................................... Latihan ......................................................................................................... B. Bangun Ruang Sisi Lengkung ................................................................. Latihan ......................................................................................................... BAB 3 : Bangun Datar .......................…….…..……............................................ A. Bangun Datar Segitiga ............................................................................. Latihan ......................................................................................................... A. Bangun Datar Segiempat ......................................................................... Latihan ......................................................................................................... BAB 4 : Geometri Dimensi Tiga ........…….…..……............................................ A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang .................................. B. Proyeksi ..................................................................................................... C. Jarak ......................................................................................................... D. Sudut ......................................................................................................... BAB V: IRISAN BIDANG ................................................................................. A. Menggambar Irisan Bidang dengan Sumbu Afinitas ............................. B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi D. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal pada Limas E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 1 1 6 7 10 11 13 12 14 14 23 26 31 31 31 36 37 41 42 42 45 51 60 65 65 68 70 73 74 78
  3. 3. 1 BAB 1 LUKISAN DASAR A. MELUKIS SUDUT 1. Melukis Sudut yang Sama Dengan Sudut yang Diketahui Untuk melukis suatu sudut yang besarnya sama dengan sudut lain dapat ditempuh dengan beberapa cara. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan mengukur sudut yang diketahui dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat terutama apabila pengukurannya kurang teliti. Agar hasil yang diperoleh lebih baik, maka alat bantu yang digunakan sebaiknya adalah jangka dan mistar. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut yang sama dengan sudut yang diketahui adalah sebagai berikut. Diketahui: Sudut A Lukislah: Sudut B = sudut A Langkah-langkah melukis: 1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong kedua kaki sudut di C dan D. Pindahkan busur itu di B memotong garis l di titik E. 2. Buat busur lingkaran dengan titik pusat C melalui titik D. Pindahkan busur itu pada titik E, sehingga memotong busur pertama tadi di titik F. 3. Tarik garis m memotong titik B dan titik F. Garis l dan m adalah kaki sudut. Sudut B sama besar dengan sudut A.
  4. 4. 2 2. Melukis Sudut-sudut Istimewa Untuk melukis sudut-sudut istimewa, sebenarnya Anda dapat menggunakan penggaris dam busur. Namun untuk mendapatkan hasil yang lebih baik lagi, Anda dapat menggunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut-sudut istimewa tersebut adalah sebagai berikut. (a) Sudut 90o (Sudut Siku-siku) Diketahui: garis l dan titik A Lukislah: Sudut A = 90o Langkah-langkah melukis (Cara I): 1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong garis l di B. 2. Pindahkan busur itu ke titik B sehingga memotong busur pertama di C. 3. Pindahkan busur itu ke titik C sedemikian hingga memotong garis yang ditarik melalui titik B dan C di titik D. 4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku). Langkah-langkah melukis (Cara II): 1. Buat lingkaran sembarang yang memotong garis l di titik A dan B. 2. Tarik garis tengah lingkaran itu melalui titik B dan memotong lingkaran di C 3. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).
  5. 5. 3 Langkah-langkah melukis (Cara III): 1. Buat busur lingkaran dengan pusat titik A hingga memotong garis l di B dan C. 2. Buat busur lain dengan pusat di titik B 3. Pindahkan busur itu ke titik C hingga keduanya berpotongan di D. 4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku). (b) Sudut 60o Diketahui: garis l dan titik A pada l. Lukislah: sudut A = 60o Langkah-langkah melukis: 1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B. 2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C. 3. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 60o . (c) Sudut 45o Diketahui: garis l dan titik A pada l. Lukislah: sudut A = 45o Langkah-langkah melukis: 1. Ambil titik B sembarang pada garis l. 2. Buat garis t tegak lurus l melalui B 3. Buat busur lingkaran dengan jaris-jaris BA dan titik pusat B yang memotong garis l di C.
  6. 6. 4 4. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 45o . (d) Sudut 30o Diketahui: garis l dan titik A pada l. Lukislah: sudut A = 30o Langkah-langkah melukis: 1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B. 2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C. 3. Pindahkan lagi busur itu ke titik C hingga memotong busur kedua di D 4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapat sudut A = 30o . Latihan 1. Lukislah dengan cermat ketiga garis tinggi segitiga lancip.? 2. Lukislah sudut yang sama besar dengan sudut-sudut di bawah ini. (a) (b) B A 3. Lukislah jajargenjang ABCD dengan panjang sisi berdekatan masing-masing 6 cm dan 10 cm. Kedua sisi ini mengapit sudut 60o .
  7. 7. 5 B. MELUKIS GARIS 1. Melukis Sebuah Garis Tegak Lurus Untuk melukis sebuah garis tegak lurus dengan garis lain yang melalui titik di luar garis lain itu sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sepasang penggaris siku- siku saja. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis garis tegak lurus dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut. Diketahui: garis l dan titik A di luar garis l. Lukislah: garis m l melalui A Langkah-langkah melukis: 1. Buat busur sembarang dengan pusat A hingga memotong garis l di B dan C. 2. Pindahkan busur itu ke B dan C sehingga didapat perpotongan busur di D. 3. Tarik garis melalui A dan D, maka didapat garis m garis l. 2. Melukis Dua Garis yang Saling Sejajar Untuk melukis dua garis yang sejajar dengan garis lain melalui yang diketahui sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sebuah penggaris siku-siku dan sebuah penggaris biasa. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis dua garis yang saling sejajar dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut. Diketahui: garis l dan titik A di luar garis l. Lukislah: garis m // l melalui A
  8. 8. 6 Langkah-langkah melukis: 1. Buat garis sembarang melalui A dan memotong garis l di B. 2. Lukis sudut dengan A sebagai titik sudut yang besarnya sama dengan sudut B dan berseberangan dengannya. 3. Didapatlah garis m // l 3. Melukis Sebuah Garis Bagi Sudut Garis Bagi Sudut adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan membagi sama besar sudut tersebut. Adapun langkah-langkah melukis garis bagi sudut tersebut adalah sebagai berikut. Diketahui: sudut A Lukislah : garis bagi sudut A Langkah-langkah melukis: 1. Lukis busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari r1, sehingga busur tersebut memotong kaki-kaki sudut A di titik B dan C. 2. Lukis busur lingkaran dengan pusat B dan C, jari-jari r2, sehingga kedua busur berpotongan di titik D. 3. Lukis garis yang melalui titik A dan D, maka didapat garis bagi sudut A.
  9. 9. 7 4. Melukis Garis Sumbu Sebuah Ruas Garis Garis Sumbu sebuah ruas garis adalah garis tegak lurus terhadap ruas garis yang diketahui dan memotong sama panjang ruas garis diketahui tersebut. Untuk melukis sumbu ruas garis ini diperlukan penggaris dan mistar, dengan langkah-langkah sebagai berikut. 1. Diketahui ruas garis AB 2. Lukis dua busur lingkaran masing-masing di atas dan di bawah ruas garis AB dengan pusat A dan jari-jari r. 3. Dengan cara yang sama lukis pula dua busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga busur yang terletak di atas ruas garis AB berpotongan di titik K dan busur yang terletak di bawah ruas garis AB berpotongan di titik L. 4. Hubungkan K dan L, maka didapat garis KL yang merupakan sumbu ruas garis AB. 5. Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian yang Sama Panjang Untuk menjamin ketepatan pembagian garis menjadi n bagian yang sama panjang, maka sebaiknya digunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah membagi ruas garis tersebut adalah sebagai berikut. Diketahui: garis AB Lukislah : pembagian AB menjadi 5 bagia yang sama panjang Langkah-langkah melukis: 1. Buatlah garis g sembarang melalui salah satu ujung ruang garis AB (misalkan di A) dengan membentuk sudut tertentu (tidak nol) dengan AB. 2. Dengan menggunakan jangka, lukiskan pada garis g titik C, D, E, F, G sedemikian hingga AC = CD = DE = EF = FG.
  10. 10. 8 3. Hubungkan B dan G. 4. Lukiskan garis-garis sejajar GB, yang masing-masing melalui titik-titik C, D, R, F. Misalkan garis-garis ini memotong AB berturur-turut di K, L, M, dan N. 5. Maka didapatlah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang. Latihan Kerjakan latihan berikut ini! 1. Bagilah garis AB = 6 cm menjadi 6 bagian yang sama panjang. 2. Lukislah garis berat melalui A dan garis bagi melalui B pada Δ ABC tumpul. 3. Lukislah sudut 15o 4. Lukislah belahketupat PQRS, dengan ketentuan sebagai berikut. a. Salah satu diagonal belahketupat adalah garis g b. Titik P di luar g c. P merupakan salah satu titik sudut belahketupat. 5. Lukislah ruas garis yang panjangnya 3/5 dari panjang ruas garis AB = 7 cm.
  11. 11. 9 C. MELUKIS SEGITIGA Untuk melukis segitiga yang diketahui unsur-unsurnys tidak dapat hanya dengan menggunakan penggaris saja. Anda mungkin tidak akan mengalami kesulitan untuk mengukur sisi pertama dan kedua, tetapi akan mengalami kesulitan pada saat melukis sisi yang ketiga segitiga sesuai dengan ukuran yang ditetapkan. Oleh karena itu penggunaan penggaris dan jangka menjadi keharusan. 1. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya Diketahui: ruas garis a, b, c Lukislah : segitiga yang sisi-sisisnya a, b, c Langkah-langkah melukis: 1. Buat ruas garis a = BC 2. Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b. 3. Buat busur lingkaran dengan jari-jari c dan pusatnya terletak pada ujung lain garis a. 4. Kedua busur tadi berpotongan di A. 5. Maka didapat Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c. 2. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi Diketahui: ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b Lukislah : segitiga Langkah-langkah melukis: 1. Buat ruas garis b = AB 2. Ukur sudut α pada titik B 3. Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC.
  12. 12. 10 3. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut Diketahui: sudut α, ruas garis a, dan sudut β Lukislah : segitiga Langkah-langkah melukis: 1. Buat ruas garis a = BC 2. Dengan menggunakan busur derajat, ukur sudut α dengan A sebagai titik sudut dan ukur sudut β dengan dan B sebagai titik sudut. 3. Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C. 4. Maka didapat Δ ABC. 4. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut Diketahui: ruas garis a, b dan sudut α Lukislah : segitiga Langkah-langkah melukis: 1. Buat garis a = BC 2. Ukur sudut α pada titik C dengan menggunakan busur derajat.
  13. 13. 11 3. Gambar busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga meotong kaki sudut C di titik A (Selain A ada titik lain, makakah itu?) 4. Tarik garis BA, maka didapat Δ ABC. Lukisan (Silahkan Anda coba!) Latihan Kerjakan latihan berikut ini! 1. Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 6 cm, ABC = 75o dan BC = 7,5 cm. 2. Lukislah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang kakinya 5 cm 3. Lukislah segitiga samasisi dengan panjang sisi 6 cm. 4. Lukislah Δ ABC, jika diketahui AB = 7 cm, BC = 3 cm, dan BCA = 100o 5. Lukislah Δ ABC, jika diketahui ABC = 60o , BC = 4 cm, dan BCA = 95o . 6. Lukis suatu Δ ABC jika diketahui a. panjang alasnya AB adalah a satuan b.tinggi dari titik C ke AB adalah t satuan c. panjang salah satu kaki (BC) adalah b satuan 7. Lukis suatu Δ ABC jika diketahui a. panjang alasnya AB adalah a satuan b. panjang garis tinggi dari C sama dengan t satuan c. besar sudut puncak C adalah α 8. Hidayat melakukan permainan pada suatu kegiatan pramuka. Hidayat harus menemukan sebuah benda. Untuk menemukan benda tersebut, Hidayat harus berjalan sejauh 10 langkah ke depan kemudian berjalan 15 langkah ke arah Tenggara. Setelah mendapatkan benda tersebut, Hidayat berjalan kembali ke tempat semula. Gambarkan perjalanan Hidayat untuk mendapatkan benda tersebut sampai kembali ke tempat semula.
  14. 14. 12 D. MELUKIS BANGUN RUANG Bangun ruang dapat dilukiskan pada bidang datar. Untuk mendapatkan hasil lukis yang proporsional ada beberapa langkah dan istilah yang diperlukan. Istilah-istilah tersebut adalah sebagai berikut. 1. Bidang frontal adalah bidang gambar. 2. Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal. 3. Garis frontal adalah garis yang terletak pada bidang frontal. 4. Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus terhadap bidang frontal. 5. Sudut surut adalah sudut antaraa bidang frontal dan ke arah kiri ke bidang ortogonal. 6. Perbandingan proyeksi adalah perbandingan panjang garis pada lukisan dengan panjang garis yang sebenarnya. Sedangkan langkah-langkah untuk melukiskan kubus adalah sebagai berikut. 1. Lukis bidang frontal dengan ukuran yang sebenarnya. 2. Cari panjang salah satu garis ortogonal dengan menggunakan perbandingan proyeksi. 3. Pada bidang frontal, tentukan titik yaang menjadi titik pertemuan antara garis frontal dengan garis ortogonal. 4. Dengan menggunakan sudut surut dan ukuran garis ortogonal (langkah 2), buat garis ortogonal. 5. Buat garis ortogonal lain. 6. Hubungkan titik-titik ujung dari garis ortogonal. Contoh: Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Perbandingan proyeksinya ⅓, dan sudut surutnya 450 serta bidang ABFE sebagai bidang frontalnya. Langkah-langkah melukiskan kubus ABCD.EFGH di atas sebagai berikut. 1. Buat bidang frontal, yaitu bidang ABFE dengan ukuran 4 cm x 4 cm. 2. Salah satu garis ortogonal adalah AD, dengan panjang AD yang sebenarnya 4 cm. Panjang AD pada lukisan = ⅓ x 4 cm = 1⅓ cm. 3. Titik A adalah titik pertemuan antara garis frontal AB dangaris ortogonal AD. Pada titik A ini akan dibuat garis ortogonal dengan menggunakan busur derajat. 4. Letakkan titik tengah busur derajat berimpit dengan titik A. Dari garis frontal AB, tentukan arah 450 berlawanan arah dengan jarum jam, beri tanda. Tarik garis dari titik A ke tanda yang sudah diberi tadi, ukur dari titik A tersebut garis sepanjang 1⅓ cm. Itulah garis AD.
  15. 15. 13 5. Buatlah garis ortogonal lainnya yaitu, EH, BC, dan FG dengan ukuran 1⅓ cm. 6. Hubungkan titik D dengan titik C, titik C dengan titik G, titik G dengan titik H, dan titik H dengan titik D, sehingga terbentuklah kubus ABCD.EFGH. Contoh 2: Diketahui kubus KLMN.PQRS berukuran 6 cm. Lukislah kubus tersebut dengan bidang LMRQ sebagai bidang frontal, dengan perbandingan proyeksi ⅓ dan sudut surutnya 600 . Langkah-langkah melukis kubus KLMN. PQRS: 1. Bidang frontal adalah bidang ………., dengan ukuran …………. 2. Salah satu garis ortogonal adalah ……….. . Panjang LK yang sebenarnya adalah ………. Panjang LK pada lukisan adalah = ……..……..……. 3. Titik pertemuan garis frontal LM dengan gais orogonal LK adalah titik ……. . 4. Letakkan titik tengah busur berhimpit dengan titik ….. Dari garis frontal horizontal LM. Ditentukan arah ……. berlawanan arah dengan arah jarum jam, dan diberi tanda. Tarik garis dari titik L ke tampat yang telah diberi tanda tadi. Ukur dari titik L garis sepanjang 2 cm dan beri nama titik …… . 5. Buat garis ortogonal yang lain yang sejajar dengan LK yaitu:…………………………. 6. Hubungkan titik ……. dengan titik ……. ; titik ……. dengan titik ……. ; titik ……. dengan titik ……. ; dan titik ……. dengan titik ……. . Latihan Kerjakan latihan berikut ini! 1. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan ukuran alasnya 4 cm dan tinggi 6 cm. Titik K berada di tengah-tengah AD dan titik L berada di tengah-tengah BC. Bidang KLT sebagai bidang frontal, garis KL sebagai garis frontal horizontal dengan sudut surut 600 dan perbandingan proyeksinyaa ½. Lukislah limas tersebut. 2. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan TA = AB = 4 cm, D pertengahan rusuk BC. Lukislah bidang empat tersebut dengan bidang TAD frontal, AD horizontal, sudut surut 60o , dan perbandingan orthogonal 4 3 .
  16. 16. 14 BAB 2 BANGUN RUANG A.Bangun Ruang Sisi Datar 1. Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar a. Bangun Ruang Bidang Banyak Suatu bangun ruang yang dibatasi oleh bidang-bidang datar disebut bidang banyak (polihedron). Poligon yang membatasi polihedron ini disebut bidang sisi (permukaan). Segmen garis yang merupakan perpotongan dua bidang sisi disebut rusuk, dan titik ujung rusuk merupakan titik-titik sudut bangun ruang tersebut. Titik sudut merupakan titik persekutuan tiga atau lebih rusuk bangun ruang. Beberapa contoh bangun ruang bidang banyak ini adalah bidang empat (memiliki empat bidang batas), bidang enam (memiliki enam bidang batas), bidang dua belas (memiliki dua belas bidang batas), dan lain-lain. Perhatikan Gambar 4.1 berikut. D A C B Gambar 4.1. Bidang Empat Gambar 4.1 merupakan Bidang Empat ABCD. Bidang batasnya adalah ABC, ABD, BCD, dan ACD. Rusuknya adalah AB, BC, AC, AD, BD, dan CD Titik sudutnya adalah A, B, C, D. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bangun-bangun ruang bidang banyak yang diujudkan dalam bentuk benda ruang yang dimanfaatkan manusia untuk keperluan sehari-hari. Beberapa contohnya dapat Anda lihat pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 berikut.
  17. 17. 15 Gambar 4.2 adalah sketsa gambar aquarium terbuat dari kaca. Benda ini berbentuk bidang dua belas, karena memiliki 12 bidang batas berupa 8 persegi dan 4 segienam beraturan. Gambar 4.3 adalah sketsa gambar rumah. Benda ini berbentuk bidang tujuh, karena memiliki 7 bidang batas berupa 5 persegi panjang dan 2 segilima. Pada bagian selanjutnya akan dibahas lebih mendalam beberapa contoh bangun ruang bidang banyak seperti bidang banyak beraturan, prisma, limas, dan prismoide. b. Bidang Banyak Beraturan Bidang banyak ada yang dibatasi oleh satu macam segibanyak, tetapi ada juga yang dibatasi oleh beberapa macam segibanyak. Jika pembatas hanya terdiri dari satu macam segibanyak beraturan saja dan kongruen satu sama lain, maka bidang banyak ini dinamakan bidang banyak beraturan. Bidang banyak beraturan adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sejumlah poligon beraturan kongruen yang sama pada setiap titik sudutnya. Karena pada setiap titik sudut bertemu paling sedikit tiga rusuk, maka sudut poligon haruslah kurang dari 120o (Mengapa?). Berarti poligon pembentuk yang mungkin hanya segitiga samasisi (3, 4, atau 5 segitiga samasisi pada setiap sudut). Dengan demikian hanya ada lima jenis bidang banyak beraturan yang dikenal sebagai Platonic. Perhatikan Gambar 4.4 berikut.
  18. 18. 16 Gambar 4.4. Bidang Banyak Beraturan a. Gambar 4.4. (i) adalah gambar bidang empat beraturan (tetraeder). Bangun ini dibatasi oleh empat daerah/bidang segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat tiga bidang segitiga samasisi dan tiga rusuk. b. Gambar 4.4. (ii) adalah gambar bidang enam beraturan yang lebih dikenal sebagai kubus (hexaeder). Bangun ini dibatasi oleh enam daerah persegi kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat tiga bidang persegi dan tiga rusuk. c. Gambar 4.4. (iii) adalah gambar bidang delapan beraturan (octaeder). Bangun ini dibatasi oleh delapan segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat empat bidang segitiga samasisi, dan empat rusuk. d. Gambar 4.4. (iv) adalah gambar bidang duabelas beraturan (icosaeder). Bangun ini dibatasi oleh duabelas segilima. Pada setiap titik sudut terdapat tiga bidang segilima beraturan, dan tiga rusuk. e. Gambar 4.4. (v) adalah gambar bidang duapuluh beraturan (dodecaeder). Bangun ini dibatasi oleh duapuluh segitiga kongruen. Pada setiap titik sudut terdapat lima bidang segitiga samasisi, dan lima rusuk. c. Prisma Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua poligon yang sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis sejajar. Dua poligon sejajar tersebut masing-masing adalah bidang alas dan bidang atas, sedangkan bidang-bidang sisi lainnya disebut bidang tegak. Setiap sisi poligon bidang atas (garis potong bidang atas dan sisi tegak) disebut rusuk tegak, dan setiap sisi poligon bidang alas disebut rusuk alas. Rusuk-rusuk lainnya disebut rusuk tegak. Jarak antara bidang atas dan bidang alas prisma disebut tinggi prisma. Perhatikan Gambar 4.5 berikut.
  19. 19. 17 (i) (ii) (iii) (iv) Gambar 4.5. Prisma a. Gambar 4.5. (i) adalah gambar prisma miring. Bangun ini disebut prisma miring karena rusuk tegaknya tidak tegak lurus bidang alas. b. Gambar 4.5. (ii) adalah gambar prisma tegak. Bangun ini disebut prisma tegak karena1 rusuk tegaknya tegak lurus bidang alas. c. Gambar 4.5. (iii) adalah gambar prisma segi-n. Prisma ini memiliki sisi alas berbentuk segi- n. Apabila alasnya berbentuk segi-n beraturan, maka disebut prisma segi-n beraturan. d. Gambar 4.5. (iv) adalah gambar Parallelepipedum. Prisma ini alasnya berbentuk jajargenjang. Jika alas parallelepipedum tegak berbetuk persegipanjang, maka disebut parallelepipedum siku-siku. Jika semua bidang sisi parallelepipedum siku-siku tersebut kongruen, maka disebut kubus. Parallelepipedum yang semua rusuknya sama panjang disebut rhomboeder. d. Limas Limas atau piramid adalah bangun ruang yang dibatasi sebuah bidang datar atau bidang alas yang berbentuk segi-n dan oleh bidang-bidang sisi tegak yang berbentuk segitiga. Garis alas segitiga itu berimpit dengan sisi-sisi segi-n dan titik puncak segitiga-segitiga itu bertemu atau berimpit di suatu titik Perhatikan Gambar 4.6 berikut. T A O P C B Gambar 4.6. Limas Segi-3 T.ABC Gambar 4.6 adalah gambar limas segi-3 T.ABC. Puncak limas adalah T. Bidang alasnya adalah daerah ABC. Rusuk alasnya adalah AB, Bc, dan CA. Rusuk tegaknya adalah TA, TB, dan TC. TP adalah apotema limas. TO adalah garis tinggi limas (Altitude)
  20. 20. 18 Ditinjau dari bentuk alasnya, maka suatu limas dapat dibedakan menjadi: 1. limas segitiga, bidang alasnya berbentuk segitiga 2. limas segiempat, bidang alasnya berbentuk segiempat 3. limas segilima, bidang alasnya berbentuk segilima Ditinjau dari teratur atau tidaknya bidang alas dan kedudukan titik puncak terhadap bidang sisi, maka suatu limas dapat dibedakan menjadi: 1. limas sembarang, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n sembarang dan titik puncaknya juga sembarang. 2. limas beraturan, yaitu apabila bidang alasnya berbentuk segi-n beraturan dan proyeksi titik puncaknya berimpit dengan titik pusat bidang alas. e. Prismoide Prismoide adalah bangun ruang sisi datar yang dibatasi oleh dua bidang sejajar (bidang alas dan bidang atas) dan bidang-bidang segitiga atau trapesium sebagai bidang sisi tegak. Prisma dan limas terpancung merupakan bangun khusus prismoide. Perhatikan Gambar 4.7 berikut. Gambar 4.7 Gambar 4.7 adalah gambar prismoide. Pada Gambar 4.7 (i) dan 4.7 (ii) , ABCDEF dan ABCDEFGHIJ masing-masing disebut irisan parallel tengan prismoide tersebut, yaitu irisan bidang atas/alas dan melalui semua titik tengah rusuk tegaknya.
  21. 21. 19 2. JARING-JARING DAN LUAS BANGUN RUANG SISI DATAR Secara sederhana, jaring-jaring sebuah bangun ruang dapat diperoleh apabila bangun ruang tersebut diiris sepanjang rusuk-rusuk tertentu sedemikian hingga terbentang beberapa bidang datar pembentuknya. Perhatikan Gambar 4.8 berikut. Gambar 4.8 Gambar 4.8 adalah gambar sebuah kubus yang diiris sepanjang rusuk yang dicetak tebal. Apabila direbahkan pada bidang datar, maka terjadilah jaring-jaring kubus seperti pada Gambar 4.8 (ii) dan 4.8 (iii). Masih sangat banyak model jaring-jaring kubus yang dapat dibuat sesuai dengan rusuk yang diiris. Begitu juga untuk bangun-bangun ruang sisi datar lainnya. Dari jaring-jaring bangun ruang ini, dengan mudah dapat ditentukan luas sisi bangun ruang tersebut. Hal ini karena luas sisi bangun ruang pada dasarnya sama dengan jumlah luas sisi-sisi dari bangun ruang yang dapat dihitung dari jaring-jaring kubus yang tersebut. Bagaimana jika bangun datar yang terbentuk tidak seluruhnya terdiri dari bangun-bangun datar yang dikenal, misalnya kotak kue yang berbentuk “love” yang sering digunakan untuk acara lamaran nikah. 3. VOLUM BANGUN RUANG SISI DATAR Untuk menentukan volum bangun ruang sisi datar, dapat dimulai dengan menentukan volum kubus dan balok. Volum kubus/balok dapat ditentukan dengan menggunakan mengisi kubus satuan (kubus-kubus dengan panjang rusuk 1 cm) ke dalam kubus/balok tersebut. Bilangan yang menunjukkan banyaknya kubus satuan yang mengisi kubus/balok itulah yang
  22. 22. 20 dinamakan volum kubus/balok. Volum kubus/balok ini selanjutnya dapat digunakan untuk menentukan volum bangun-bangun ruang sisi datar lainnya. a. Menentukan Volum Prisma Balok adalah suatu prisma yang khusus. Dengan demikian, volum prisma dapat ditentukan dengan menggunakan volum balok. Hal ini dapat ditunjukkan dengan membagi suatu balok menjadi dua bagian yang volumnya sama (dibagi menurut salah satu bidang diagonalnya). Perhatikan Gambar 4.9 berikut. H G E F D C A B Volum prisma ABD.EFH = 2 1 x volum balok ABCD.EFGH = 2 1 x (luas alas balok x tinggi balok) = 2 1 x (luas daerah ABCD x BF) = ( 2 1 x luas daerah ABCD) x BF = luas daerah ABD x BF = luas alas prisma ABD.EFH x tinggi prisma Jadi, volum prisma ABD.EFH = luas alas x tinggi Dengan cara mudah Anda juga dapat menentukan volum prisma segi-n tegak lainnya, karena prisma segi-n dapat dibentuk dari (n – 2) prisma segitiga tegak. b. Menentukan Volum Limas Untuk menentukan volum limas, dapat digunakan suatu kubus yang dibagi menjadi enam limas yang kongruen atau menggunakan prisma segitiga tegak yang dibagi menjadi tiga limas yang kongruen. Dengan memperhatikan kekongruenan dan prinsip dasar volum limas di atas, tunjukkan bahwa volum limas = 3 1 x luas alas x tinggi. c. Menentukan Volum Bangun Ruang dengan Prinsip Cavalleri. Prinsip Cavalleri pertama kali diketemukan oleh Bonaventura Cavalleri, ahli matematika berkebangsaaan Italia. Berdasarkan prinsip Cavalleri: “Jika dua benda tingginya sama dan bidang irisan mendatar pada ketinggian yang sama mempunyai luas yang sama, maka kedua benda tersebut mempunyai volum yang sama” Prinsip ini berlaku untuk semua bangun ruang termasuk bangun ruang sisi datar. Perhatikan Gambar 4.10 berikut.
  23. 23. 21 Gambar 4.10 Gambar 4.10 (i) adalah gambar sebuah prisma miring dan Gambar 4.10 (ii) adalah gambar prisma miring yang dipotong oleh irisan siku-siku (irisan yang tegak lurus rusuk tegaknya). Jika prisma bagian bawah irisan dipindahkan dan ditempatkan tepat di atas bagian atas irisan terjadilah bangun ruang baru seperti pada Gambar 4.10 (iii). Panjang rusuk tegaknya tidak berubah. Dengan demikian diperoleh: Luas alas prisma miring = luas irisan siku-siku = luas alas prisma tegak Tinggi prisma miring = tinggi prisma tegak Jadi : Volum prisma miring = Ls x r dengan Ls adalah luas irisan siku-siku dan r panjang rusuk tegak. Latihan Untuk soal nomor 1 – 10, pilih satu jawaban yang Anda anggap paling tepat! Untuk nomor 1 s.d 4, perhatikan Gambar di atas! 1. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, limas G.ABD merupakan bidang empat ............ A. teratur B. tegak C. siku-siku D. sembarang
  24. 24. 22 2. Salah satu bangun yang kongruen dengan G.ABD adalah ................. A. E.ABD B. E.CBD C. F.ABD D. F.CBD 3. Bangun ACD.EGF pada kubus di atas merupakan bangun .............. A. prisma segitiga beraturan B. prisma segitiga sembarang C. bidang empat teratur D. bidang empat sembarang 4. Volum bangun ABD.EFH pada soal nomor 4 adalah ................... cm3 A. 500 B. 500 2 C. 1000 D. 500 3 5. Pernyataan berikut benar, kecuali ....... A. Semua parallelpipedum adalah prisma B. Balok merupakan parallelepipedum tegak C. Ada rhomboeder yang merupakan parallelepipedum tegak D. Bidang empat merupakan prisma tegak 6. Dari limas beraturan T.ABCD dibuat semua jaring-jaringnya. Banyaknya jaring-jaring yang satu sama lain berbeda adalah ………. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. Sebuah limas yang alasnya berbentuk persegi mempunyai luas alas 100 cm2 dan tinggi 12 cm. Luas seluruh limas tersebut adalah …….. A. 1.200 cm2 B. 400 cm2 C. 360 cm2 D. 260 cm2 E.
  25. 25. 23 8. Diketahui prisma segitiga siku-siku dengan sisi-sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Jika tinggi prisma adalah 15 cm, maka volum prisma adalah ............... cm3 A. 720 B. 360 C. 180 D. 120 9. Limas terpancung dengan alas berupa segitiga samasisi disebut ........... A. Bidang empat terpancung B. Bidang empat beraturan terpancung C. Bidang empat orthocentris terpancung D. Bidang empat ortogonal terpancung 10. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Volum limas T.ABC adalah ........ cm3 A. 216 B. 72 C. 36 D. 18 Untuk soal nomor 11, kerjakan dengan tepat dan jelas! 11. Perhatikan Gambar di bawah ini. Pertanyaan: a. Apa nama bangun S.ABCD? b. Sebutkan bangun yang kongruen dengan S.ABCD! c. Sebutkan nama bangun yang berbentuk bidang empat! d. Berapa luas permukaan dan volum bangun ABQ.EFS?
  26. 26. 24 B. BANGUN RUANG SISI LENGKUNG Jika sebuah bidang datar diputar mengelilingi suatu garis lurus yang termuat pada bidang itu, maka ruas garis yang terdapat dalam bidang itu akan membentuk suatu bidang lengkung yang disebut bidang putar. Jadi pada dasarnya bangun ruang sisi lengkung merupakan bangun yang terjadi apabila bangun datar diputar mengelilingi suatu garis lurus. Akibatnya sisi- sisi pembentuk bangun ruang sisi lengkung ini sebagian merupakan sisi lengkung. Hal inilah yang membedakan antara bangun ruang sisi datar dengan bangun ruang sisi lengkung. Namun secara umum sifat-sifat kedua bangun ruang ini adalah sama. Oleh karena itu, agar materi bangun ruang sisi lengkung ini mudah Anda pahami, maka Anda dapat menggunakan materi bangun datar sisi datar sebagai referensi. Seperti pada bangun datar sisi datar, pembahasan tentang materi bangun ruang sisi lengkung akan diawali dengan mengenalkan macam-macam bangun ruang sisi lengkung tersebut, sebelum pembahahasan tentang luas dan volum. 1. MACAM-MACAM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG a. Tabung Jika persegi panjang ABCD diputar dengan AD sebagai sumbu putar, maka benda putar yang terjadi disebut tabung. AD disebut poros (sumbu) tabung. Perhatikan Gambar 4.11 berikut. B’ A B AD = tinggi tabung B’B = jari-jari lingkaran atas C’C = jari-jari lingkaran bawah C’ C D Gambar 4.11. Tabung b. Kerucut Kerucut adalah bangun ruang yang terjadi apabila segitiga siku-siku diputar dengan salah satu sisi siku-sikunya sebagai sumbu putar. Perhatikan Gambar 4.12 berikut.
  27. 27. 25 T Gambar 4.12 adalah gambar Kerucut. TO = sumbu kerucut T = titik puncak TA, TS = garis pelukis A O B S Gambar 4.12 Kerucut c. Bola Bola adalah suatu bidang putar yang terjadi bila setengah lingkaran diputar dengan garis tengahnya sebagai sumbu putar. Karena letak titik-titik pada setengah lingkaran terhadap titik-titik pusat lingkaran tidak berubah selama perputaran, maka titik-titik pada bidang bola itu berjarak sama terhadap titik pusat bola. Perhatikan Gambar 4.13 berikut. PQ = tali busur AB = garis tengah A, B = titik-titik diametral Gambar 4.13. Bola 2. LUAS BANGUN RUANG SISI LENGKUNG a. Luas Tabung Tabung terdiri dari tiga sisi, yaitu sisi atas dan sisi alas yang berbentuk lingkaran serta sisi tegak (berupa bidang lengkung). Sisi tegak ini biasa disebut selimut tabung. Dengan demikian luas tabung adalah jumlah dari luas sisi atas, luas sisi alas, dan luas sisi tegak. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan jaring-jaring tabung seperti pada Gambar 4.14 berikut.
  28. 28. 26 Gambar 4.14. Jaring-jaring Tabung Gambar 4.14 (i) adalah sebuah tabung dengan jari-jari r dan tinggi t, sedangkan Gambar 4.14 (ii) adalah jaring-jaring tabung tersebut. Dengan menggunakan Gambar 4.14 ini, coba Anda tunjukkan bahwa luas tabung adalah L = 2 п r2 + 2 п r t b. Luas Kerucut Kerucut memiliki dua sisi, yaitu sisi alas berupa daerah lingkaran, dan sisi lengkung yang biasa disebut selimut tabung. Dengan demikian luas kerucut adalah jumlah dari luas sisi alas yang berupa lingkaran dan luas selimut. Untuk menentukannya, Anda dapat menggunakan jaring-jaring kerucut seperti pada Gambar 4.15 berikut. Gambar 4.15. Jaring-jaring Kerucut Dengan menggunakan Gambar 4.15 ini, coba Anda tunjukkan bahwa luas kerucut adalah L = п r2 + п r s c. Luas Bola Untuk menentukan luas bola, Anda dapat melakukan kegiatan lab. Mini berikut. Lab. Mini – Mencari luas bola Bahan : buah jeruk yang bulat (atau bola plastik tipis), kertas manila, lem. Alat : gunting/pisau, jangka, penggaris
  29. 29. 27 Cara kerja: 1. Potonglah jeruk di tengah-tengah 2. Ukurlah garis tengahnya, dan buatlah lingkaran-lingkaran yang garis tengahnya sama dengan garis tengah jeruk. 3. Kupaslah jeruk 4. Potong-potonglah kulit jeruk menjadi kecil-kecil 5. Tempelkan (dengan lem) potongan-potongan kulit jeruk tersebut di dalam lingkaran- lingkaran yang telah dibuat, dengan penuh dan tidak tumpang tindih. Ada berapa lingkaran yang penuh oleh kulit jeruk tersebut? Benarkah ada 4 lingkaran?. Jika demikian, dengan mudah Anda dapat tunjukkan bahwa Luas bola adalah: LBola = 4 Lingkaran = 4 (п r2 ) 3. VOLUM BANGUN RUANG SISI LENGKUNG a. Volum Tabung Perhatikan Gambar 4.16 berikut. Gambar 4.16. Prisma Pada Gambar 4.16 di atas terlihat bahwa pada dasarnya tabung adalah bangun ruang yang terjadi apabila rusuk alas prisma bertambah terus sampai mendekati tak berhingga. Jadi, bagaimana rumus volum tabung jika diketahui jari-jari alasnya r dan tingginya t?
  30. 30. 28 b. Volum Kerucut Lab. Mini – Mencari Volum Kerucut Bahan : Kertas manila, lem/perekat kertas, beras/pasir Alat : gunting/pisau, jangka, penggaris, busur derajat,. Cara kerja: 1. Buatlah model kerucut tanpa bidang alas dari kertas manila 2. Buatlah model tabung tanpa tutup dari kertas manila (Bagaimana caranya?) 3. Isilah kerucut sampai penuh dengan pasor/beras 4. Tuangkan beras/pasir tersebut ke dalam model tabung 5. Ulangi kegiatan a dan b sampai tabung pebuh dengan pasir/beras. 6. Apa kesimpulan yang Anda dapatkan? c. Volum Bola Volum bola dapat ditemukan dengan menggunakan kegiatan Lab.Mini seperti di atas (Bagaimana caranya?) dan dapat juga dengan menggunakan prinsip Cavalleri. Apabila Anda akan menunjukkannya dengan prinsip Cavalleri, maka Anda harus menggunakan dua bangun ruang yang tingginya sama. Bangun ruang yang pertama adalah bola itu sendiri (jari- jari = r), dan bangun yang kedua adalah sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alasnya adalah r sedangkan tingginya 2r. Di dalam tabung itu dibuat dua buah kerucut. Kerucut yang satu alasnya terletak di bawah (berimpit dengan lingkaran alas tabung), dan kerucut kedua alasnya terletak di atas (berimpit dengan lingkaran atas tabung). Titik puncak dari kedua kerucut ini berimpit, dan terletak tepat pada titik tengah dari sumbu tabung. Perhatikan Gambar 4.17. Gambar 4.17. Prinsip Cavalleri Berdasarkan Gambar 4.17 di atas, tunjukkan bahwa volum bola adalah: VBola = 3 4 п r3
  31. 31. 29 Latihan Untuk soal nomor 1 – 10, pilih salah satu jawaban yang paling tepat! 1. Sebuah tabung yang tinggi dan diameternya sama akan memiliki ketebalan selimut berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya adalah ............. A. : 1 B. 2 : 1 C. 3 : 1 D. d : 1 2. Sebuah tandon air berbentuk tabung bertutup dengan tinggi bagian dalamnya 1,56 m terbuat dari tembaga. Untuk menjaga agar tembaga awet, maka bagian dalam tabung dilapisi dengan aspal setebal 1 cm. Volum aspal minimal yang diperlukan untuk melapis bagian dalam tandon adalah ................... cm3 A. 48871,43 B. 96941,43 C. 48627,07 D. 116062,57 3. Diketahui sebuah tabung tanpa tutp dengan jari-jari alas 6 cm dan tingginya 10 cm. Jika = 3,14 maka luas tabung tanpa tutup tersebut adalah .......... cm2 A. 602,88 B. 489,84 C. 282,60 D. 706,50 4. Berikut adalah unsur-unsur kerucut, kecuali ................................... A. sumbu B. sudut puncak C. bidang alas D. titik puncak 5. Pada kerucut lingkaran tegak, berlaku .......................... A. sudut antara garis-garis pelukis sama dengan sudut bidang alas B. bidang alas kerucut adalah lingkaran C. sumbu kerucut tegak lurus bidang alas D. sudut antara garis-gsris pelukis sama dengan sumbu kerucut
  32. 32. 30 6. Diketahu kerucut dengan jari-jari alasnya 5 cm dan tingginya 12 cm. Jika п = 3,14 maka luas selimut kerucut adalah ………. cm2 . A. 62,8 B. 68 C. 188,4 D. 204,1 7. Sudut puncak suatu kerucut = 60o dan tingginya 4 3 . Volum kerucut = … cm3 . A. 3 3 64 B. 364 C. 3 64 D. 192 8. Yang termasuk unsur-unsur bola adalah ................................... A. rusuk B. garis pelukis C. diameter D. apotema 9. Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Diameter bola sama dengan diameter tabung = 12 cm. Jika tinggi tabung = 20 cm dan = 3,14 maka volum tabung di luar bola adalah .......... cm3 A. 1356,48 B. 904,32 C. 452,16 D. 226,08 10. Jika luas kulit bola 616 cm2 dan = 7 22 , maka jari-jari bola adalah ................. cm A. 21 B. 14 C. 7 D. 1 Untuk soal nomor 11 – 13, kerjakan soal-soal berikut ini! 11. Gambarkan jaring-jaring kerucut dengan ukuran garis tengah alas 5 cm dan tinggi 6 cm. 12. Buktikan volum tabung adalah VTabung = luas alas x tinggi 13. Buktikan volum bola adalah VBola = 3 4 п r3 dengan menggunakan prinsip Cavalleri.
  33. 33. 31 BAB 3 BANGUN DATAR A. Bangun Datar Segitiga 1. Segitiga-segitiga Sebangun Definisi : Suatu bangun B disebut sebangun dengan bangun C (B C), jika B dapat dikalikan dengan suatu faktor, sehingga terjadilah bangun B’ yang sama dan sebangun dengan C (B’ C). Perhatikan Gambar 3-1 berikut. O C’ C R A B A’ B’ P Q Gambar 3-1 Karena PQR adalah hasil kali ABC, maka : a. A = ... = .... ; B = ... = ... ; C = ... = ... b. AB : A’B’ = .... : .... = .... : ...., yang berarti AB : DE = .... : .... = .... : .... Akibatnya pada ABC dan PQR yang sebangun : a. sudut-sudut yang seletak sama besar b. sisi-sisi yang seletak mempunyai perbandingan yang seharga. Dalil-dalil kesebangunan : a. ABC dan PQR adalah sebangun, jika kedua segitiga itu mempunyai sepasang sudut yang sama besar (misalnya A = P), sedangkan sisi-sisi yang mengapit sudut itu mempunyai perbandingan yang seharga (misalnya AC : PR = AB : PQ). b. ABC dan PQR adalah sebangun, jika sisi-sisinya mempunyai perbandingan yang seharga. c. ABC siku-siku di A dan PQR siku-siku di P adalah sebangun, jika satu buah sisi siku- siku dan sisi miring pada kedua segitiga mempunyai perbandingan yang seharga (misalnya AB : PQ = BC : QR).
  34. 34. 32 2. Segitiga-segitiga Kongruen Secara umum ABC dan PQR adalah sama dan sebangun (kongruen) dan ditulis ABC PQR, jika : a. sudut-sudut yang seletak sama besar b. sisi-sisi yang seletak sama panjang. Perhatikan Gambar 3-2 berikut. C C’ A B h B’ A’ Gambar 3-2 Secara khusus syarat-syarat untuk dua segitiga kongruen ini adalah sebagai berikut. Teorema 1 : Dua buah segitiga akan kongruen jika dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit kedua sisi tersebut sama besar (S – Sd – S) Bukti : Perhatikan Gambar 3-3 di samping. B = Q (............................) AB = PQ dan BC = QR (......................) Tempatkan PQR pada ABC, sedemikian sehingga titik sudut B berimpit dengan titik sudut Q. Akibatnya QP akan menutupi BA dan QR akan menutupi BC. AB = PQ dan BC = QR P berimpit A dan R berimpit C Dengan demikian titik-titik sudut ABC berimpit dengan titik-titik sudut PQR, yang membuktikan bahwa : ABC PQR C A B R P Q Gambar 3-3
  35. 35. 33 Teorema 2: Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua sudut yang seletak pada sisi tersebut sama besar. (Sd – S – Sd). Teorema 3 : Dua segitiga akan kongruen jika satu sisi yang seletak sama panjang dan dua susut yang seletak sama besar (S – Sd – Sd) Teorema 4 : Dua segitiga akan kongruen jika ketiga sisi yang seletak sama panjang (S – S – S). Latihan! 1. Buktikan dalil-dalil kesebangunan segitiga. 2. Buktikan Teorema 2 kekongruenan segitiga. 3. Buktikan Teorema 3 kekongruenan segitiga. 4. Buktikan Teorema 4 kekongruenan segitiga. 5. Misalkan ABC PQR dan PQR DEF, buktikanlah bahwa ABC DEF 6. Perhatikan Gambar 3-4 di bawah ini. P Q O S R Gambar 3-4 Jika PQ = 4 cm dan OQ = 3 cm, tentukanlah panjang OS, SR, dan OR. 7. B E F A D C Gambar 3-5 Perhatikan Gambar 2-5 di samping. Diketahui : AB = AC, AD = 4 cm, dan BD = 3 cm a. Buktikan bahwa : i . ABD ACE ii. BFE CFD b. Tentukanlanh panjang AB, AC, DC, CE, AE, DF.
  36. 36. 34 3. Garis-garis Istimewa dalam Segitiga 1. Garis tinggi Garis tinggi suatu segitiga adalah garis yang membagi tegak lurus sisi di depan titik sudut segitiga tersebut. Perhatikan ABC di samping, dan buktikanlah bahwa ketiga garis tinggi dalam ABC tersebut melalui satu titik. Bukti : Perhatikan ABC pada Gambar di samping. Melalui titik A, B, dan C ditarik garis-garis yang masing-masing sejajar dengan sisi dihadapan titik sudut itu. Apabila garis-garis itu berpotongan di D, E, dan F, maka DE // CB, EF // AC, DF // AB. Perhatikan segi-4 ABFC. AB // CF, AC // BF ABFC adalah jajargenjang AB = CF Analog untuk segi-4 ABCD dan segi-4 ACBF, sehingga didapat : ..... = ..... dan ..... = ..... CE = .... = .... C ................................. DF Analog : A ................................. DE B ................................. EF Berdasarkan sifat di atas, maka didapat bahwa OD = ......, OE = ......, dan OF = ....... Karena O AQ, O BR, dan O CP dan AQ, BR, dan CP adalah garis tinggi pada ABC, maka terbukti bahwa AQ, BR, dan CP melalui satu titik, yaitu titik O. D C F Q R O A P B E (Gunakan sifat berikut : “ Diketahui ruas garis AB. Jika ada sebuah garis g yang melalui titik tengah dan tegak lurus ruas garis itu, maka x g, berlaku XA = XB”)
  37. 37. 35 2. Garis berat Garis berat suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sama panjang sisi di depan titik sudut tersebut. Perhatikan ABC pada gambar di bawah ini. C E P’ D P A F B Buktikanlah : Ketiga garis berat dalam ABC di atas melalui satu titik, yang disebut titik berat segitiga. Bukti : Perhatikan ABC di atas. AD dan BE adalah garis berat dalam ABC BD = DC dan AF = BF. Misalkan AD dan BE berpotongan di P, akan dibuktikan bahwa CF juga akan melalui P. Perhatikan CED dan CAB. CE : CA = CD : CB = 2 : 1 (...................................) Akibatnya AB // ED dan ED : AB = CE : CA = 1 : 2. DEP = ABP dan EPD = APB (................................................) EPD .... APB. Akibatnya EP : PB = ED : AB = 1 : 2 = DP : AP. Misalkan CF adalah garis berat yang melalui C dan memotong EB di P’, maka dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa EP’ : P’B = 1 : 2. Dengan demikian diperoleh EP = 3 1 EB dan EP’ = 3 1 EB atau .... = ..... Jadi terbukti bahwa CF adalah garis berat yang memotong EB di P. 3. Garis bagi Garis bagi suatu segitiga adalah garis yang membagi dua sudut segitiga menjadi dua bagian yang sama besar. Perhatikan ABC pada gambar berikut.
  38. 38. 36 C E D X o o * A B Karena Garis AD adalah garis bagi dari BAC, maka semua titik pada AD letaknya sama jauh dari AC dan AB (Mengapa ?). Karena Garis BE adalah garis bagi dari ABC, maka semua titik pada BE letaknya sama jauh dari BA dan BC (Mengapa ?). Misalkan AD dan BE berpotongan di titik X, maka berarti X letaknya sama jauh dari AC dan AB dan juga dari BA dan BC (Mengapa ?). Jadi X letaknya sama jauh dari CA dan CB, yang berarti bahwa X terletak pada garis bagi dari ACB atau CX adalah terletak pada garis bagi dari ACB. Dengan demikian terbukti bahwa ketiga garis bagi ini melalui pada satu titik. Latihan! 1. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui titik sudut B dan A. Buktikan bahwa garis DE // AB. 2. Dalam sebuah ABC, BD dan AE adalah garis-garis berat yang masing-masing melalui titik sudut B dan A. Kedua garis berat ini berpotongan di titik Z. Buktikan bahwa : a) DE = 2 1 AB b) AZ : ZE = BZ : ZD = 2 : 1 3. Perhatikan Gambar 3-6 berikut. H C D o o A B E Gambar 3-6
  39. 39. 37 Misalkan pada ABC di atas, AD adalah garis bagi dari BAC, BE adalah garis bagi dari sudut luar CBF dan CH adalah garis bagi dari sudut luar GBC. Buktikan bahwa ketiga garis bagi ini akan berpotongan pada satu titik. 4. Buktikan bahwa garis tinggi suatu segitiga sama kaki akan membagi segitiga menjadi dua segitiga yang kongruen. 5. Garis tinggi pada hipotenusa suatu segitiga siku-siku sama kaki sama dengan setengah panjang hipotenusanya. Buktikan ! 6. Buktikan bahwa kedua garis bagi sudut alas suatu segitiga sama kaki sama panjang. B. Bangun Datar Segiempat Untuk memahami macam-macam bangun segiempat secara baik, perhatikan Skema berikut. Segiempat Layang-layang Jajargenjang Trapesium Persegipanjang Belahketupat Persegi Skema Segiempat Dari skema di atas terlihat bahwa persegi panjang dan belah ketupat merupakan bentuk khusus dari jajargenjang, sedangkan persegi adalah bentuk khusus dari persegi panjang atau belahketupat. Secara rinci tentang bangun-bangun di atas akan dibahas berikut ini. 1. Jajargenjang Definisi : Jajargenjang adalah sebuah segiempat yang kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar. Dalil-dalil tentang jajargenjang : 1. ABCD adalah jajargenjang sisi AB = CD dan BC = AD. 2. Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
  40. 40. 38 3. Pada setiap jajargenjang, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah. 4. Pada segiempat ABCD sisi AB = CD dan BC = AD ABCD adalah jajargenjang. 5. Jika pada suatu segiempat, kedua diagonalnya berpotongan di tengah-tengah, maka segiempat itu adalah jajargenjang. 6. Pada segiempat ABCD, A = C dan B = D ABCD adalah jajargenjang. Bukti : Perhatikan Gambar 3-7 berikut. D C 1 2 T 2 1 A B Gambar 3-7 (1). Diketahui : ABCD jajargenjang Buktikan : AB = CD dan AD = BC Bukti : Tarik garis bantu BD. Perhatikan ABD dan CDB BD = DB (...............................) B1 = D1 (...............................) ABD CDB ( .........................) B2 = D2 (...............................) Sehingga AB = CD dan AD = BC (Terbukti). (2) ABD CDB A = C dan B1,2 = D1,2 (Terbukti) (3) Diketahui : ABCD jajargenjang Buktikan : AT = CT BT = DT Bukti : TAB = TCD (...............................) ATB = CTD (...............................) ATB CTD ( .........................) AB = CD (...............................) Sehingga AT = CT dan BT = DT (Terbukti).
  41. 41. 39 2. Persegipanjang Definisi : Persegipanjang adalah sebuah jajargenjang yang mempunyai sebuah sudut siku-siku.. Dalil-dalil tentang jajargenjang : 1. ABCD adalah persegipanjang panjang diagonal AC = diagonal BD. 2. Diagonal jajargenjang sama panjang jajargenjang itu persegipanjang. Bukti : Perhatikan Gambar 3-8 berikut. D C A B (1) Diketahui : Buktikan : Bukti : (2) Diketahui : Buktikan : Bukti :
  42. 42. 40 3. Belahketupat Definisi : Belahketupat adalah sebuah jajargenjang yang dua sisinya yang berurutan sama panjang Dalil-dalil tentang jajargenjang : 1. Setiap diagonal belahketupat merupakan garis bagi titik-titik sudut belahketupat itu. 2. Diagonal-diagonal belahketupat berpotongan tegak lurus. Bukti : Perhatikan Gambar 3-8 berikut. C 1 2 2 1 2 2 D S4 3 C 1 1 1 2 A Gambar 3-8 Diketahui : Belahketupat ABCD Buktikan : (1) A1 = A2, C1 = C2, B1 = B2, D1 = D2 (2) AC BD Bukti : (1) AB = BC ( .....................) A2 = .... AD = CD ( .....................) A1 = .... A1 = C1 & C1 = C2 (.....................) A1 = A2 (.....................) AD = AB ( ....................) D2 = .... CD = BC ( ....................) D1 = .... D2 = B1 & B1 = B2 (.....................) D1 = D2 (.......................) (2) Perhatikan ASD dan ASB AB = AD (...............................) AS = AS (...............................) ABD CDB ( ............................) BS = DS (...............................) Sehingga S1 = S 4 Karena S1 = S 4 dan S1 + S 4 = .... o , maka S1 ..... S 4
  43. 43. 41 D. Persegi Definisi : Persegi adalah sebuah segiempat yang semua sisi-sisinya sama panjang dan salah satu sudutnya siku-siku. Dalil-dalil tentang jajargenjang : 1. ABCD adalah persegi AC = BD. 2. Semua sudut pada persegi adalah siku-siku. Bukti : D C Perhatikan Gambar 3–9 di samping A B (1) Diketahui : Buktikan : Bukti : (2) Diketahui : Buktikan : Bukti : Latihan! 1. Tuliskan definisi layang-layang dan dalil-dalil tentang layang-layang beserta buktinya. 2. Tuliskan definisi trapesium dan dalil-dalil tentang trapesium beserta buktinya. 3. Tuliskan sifat-sifat yang ada pada jajargenjang, persegipanjang, persegi, belahketupat, trapesium, dan layang-layang.
  44. 44. 42 BAB 4 GEOMETRI DIMENSI TIGA Sebelum membahas lebih lanjut tentang sifat-sifat di dalam geometri ruang, akan diperkenalkan terlebih dahulu beberapa singkatan tertentu yang biasa digunakan dalam pembicaraan geometri ruang, antara lain : Titik (a, b) = titik potong garis a dan garis b Titik (a, ) = titik tembus garis a terhadap bidang Garis ( , ) = garis potong antara bidang dan bidang Bidang (ABC) = bidang melalui titik-titik A, B, dan C Bidang (a, P) = bidang melalui garis a dan titik P Bidang (a, b) = bidang melalui garis a dan garis b A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang 1. Kedudukan Garis terhadap Bidang Di dalam ruang dimensi tiga, ada tiga kondisi untuk menentukan kedudukan garis terhadap bidang, yaitu: (1) Garis terletak pada bidang Definisi 1.1: Sebuah garis dikatakan terletak pada sebuah bidang, jika semua titik pada garis itu terletak pada bidang tersebut. l α (2) Garis sejajar bidang Definisi 1.2: Sebuah garis dan sebuah bidang dikatakan sejajar, jika garis dan bidang tersebut tidak memiliki titik persekutuan. l α
  45. 45. 43 (3) Garis memotong/menembus bidang Definisi 1.3: Sebuah garis dikatakan menembus sebuah bidang, jika garis dan bidang itu mempunyai sebuah titik persekutuan yang disebut titik tembus garis terhadap bidang. l ● α 2. Kedudukan Dua Garis dalam Ruang (1) Dua garis saling sejajar Definisi 1.4: Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua garis tersebut terletak dalam satu bidang dan tidak memiliki titik persekutuan. m l α (2) Dua garis saling berpotongan Definisi 1.5: Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak dalam satu bidang dan mempunyai sebuah titik persekutuan. l m α (3) Dua garis saling bersilangan Definisi 1.6: Dua buah bidang dikatakan bersilangan, jika kedua garis itu tidak terletak dalam satu bidang dan tidak mempunyai sebuah titik persekutuan. l m α
  46. 46. 44 3. Kedudukan Dua Bidang dalam Ruang (1) Dua bidang saling sejajar Definisi 1.7: Dua buah bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak mempunyai sebuah garis persekutuan. α β (2) Dua bidang saling berpotongan Definisi 1.5: Dua buah bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu mempunyai sebuah garis persekutuan. β (α, β) α 4. Beberapa teorema tentang kedudukan garis dan bidang dalam ruang Teorema 1.1: Jika garis l sejajar garis m dan garis m terletak pada bidang α, maka garis l sejajar bidang α Diketahui: l // m dan m α Akan dibuktikan : l // α Bukti : (Coba dibuktikan sendiri)
  47. 47. 45 B. Proyeksi Jika melalui sebuah titik P yang tidak terletak pada bidang α dibuat garis g yang tegak lurus bidang α dan memotong bidang α dititik P1 maka P1 disebut titik kaki gari stegak lurus yang dibuat melalui P pada bidang α. Definisi 1.5 : Proyeksi sebuah titik pada sebuah bidang adalah titik kaki dari garis yang dibuat melalui titik itu tegak lurus bidang tersebut. Anda perhatikan Gambar 1.34 α disebut bidang proyeksi P disebut titik yang diproyeksikan P1 disebut titik hasil proyeksi atau proyeksi P pada bidang α G disebut garis pemroyeksi Kalau setiap bangun geometri dipandang sebagai himpunan titik-titik tertentu maka proyeksi suatu bangun pada sebuah bidang merupakan bangun lain yang terjadi dari himpunan proyeksi semua titik dari bangun itu pada bidang tersebut. Pada gambar 1.35 ditunjukkan bahwa proyeksi dari sebuah kurva S adalah kurva S1. S1 merupakan himpunan proyeksi semua titik pada kurva S pada bidang α. Meskipun demikian untuk memperoleh proyeksi sebuah bangun pada sebuah bidang tidak harus dicari proyeksi dari
  48. 48. 46 semua titiknya pada bidang tersebut. Antara lain, jika Anda harus menentukan proyeksi dari sebuah garis lurus. Anda perhatikan lebih dahulu sifat dari proyeksi sebuah garis lurus pada sebuah bidang seperti yang dikemukakan dalam teorema berikut. Teorema 1.3 : Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang pada umumnya merupakan sebuah garis lagi Diketahui : garis g dan bidang α g1 merupakan proyeksi garis g pada bidang Dibuktikan : g1 merupakan garis lurus Bukti : Garis-garis pemroyeksi dari titik-titik yang terletak pada garis g merupakan garis-garis yang memotong garis g dan sejajar satu sama lain, semuanya terletak pada sebuah bidang, misalnya bidang β. Bidang β memotong bidang menurut garis lurus (α, β). Garis potong (α, β) tidak lain adalah garis g1. Dengan perkataan lain proyeksi dari garis g pada bidang α, yaitu g1, merupakan garis lurus. Karena sebuah garis lurus letaknya ditentukan oleh dua buah titiknya, maka mendasarkan pada teorema 1.3 untuk menentukan proyeksi sebuah gris pada sebuah bidang, Anda cukup memproyeksikan dua buah titiknya saja dari garis itu. Pada Gambar 1.37, titik P dan Q pada garis g; maka proyeksi g pada bidang α ditentukan oleh titik P1 dan Q1.
  49. 49. 47 Setelah Anda mengenal pengertian dari proyeksi dan sifat dari proyeksi sebuah garis lurus pada sebuah bidang, maka diharapkan Anda dapat memahami pengertian sudut antara garis dan bidang. Definisi 1.5 : Jika sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka sudut antara garis itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip antara garis itu dengan proyeksi garis itu pada bidang tersebut. Pada gambar 1.38 ditunjukan kepada Anda tentang sebuah garis g yang tidak tegak lurus pada bidang α. Garis g1 adalah proyeksi garis g pada bidang α. Sehingga sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip antara garis g dan g1, yaitu φ. Proyeksi sebuah titik pada sebuah bidang adalah titik kali garis yang dibuat melalui titik itu dan tegak lurus pada bidang tersebut. Proyeksi sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka yang dimaksud dengan sudut antara garis itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut. 1. Proyeksi Titik Pada Bidang Definisi : Jika dari titik T ditarik garis TT1 ( T1 pada bidang α ) yang tegak lurus pada bidang α, maka T1 disebut proyeksi titik T pada bidang α. T = titik yang diproyeksikan T1 = proyeksi TT1 = garis pembuat proyeksi (proyektor) α = bidang proyeksi
  50. 50. 48 2. Proyeksi Garis Pada Bidang Proyeksi suatu bangun pada suatu bidang adalah himpunan proyeksi semua titik pada bangun itu ke bidang α. Jika semua titik pada garis AB diproyeksikan ke bidang α, maka dapat dibuktikan bahwa semua proyektor terletak pada satu bidang yang disebut bidang proyektor. Dan semua proyeksinya terletak pada satu garis A1B1 disebut proyeksi garis AB pada bidang α (lihat gambar (a)). Jika garis CD tegak lurus pada bidang α, maka proyeksinya pada bidang α berupa sebuah titik (gambar (b)). Jika garis PQ memotong bidang α di titik Q,maka untuk melukis proyeksinya cukup dilukiskan titik P1 yang merupakan proyeksi dari titik P. Garis P1Q adalah proyeksi garis PQ pada bidang α (lihat gambar(c)). Sifat : Proyeksi suatu garis lurus pada sebuah bidang pada umumnya merupakan garis lurus.
  51. 51. 49 Contoh soal: Diketahui kubus dengan bidang alas ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE,BF, CG, dan DH. a. Buktikan bahwa BC tegak lurus bidang ABFE b. Buktikan bahwa CD tegak lurus AH c. Tentukan proyeksi dari titik C pada bidang ADHE d. Tentukan proyeksi dari DE pada bidang ABCD e. Tentukan sudut antara CH dan bidang EFGH Jawab : Jika Gambar 1.39 menunjukkan kubus yang dimaksud, maka: a. Karena ABCD sebuah kubus, maka: < CBA siku-siku atau CB ┴ BA < CBF siku-siku atau CB ┴ BF BA dan BF pada bidang ABF dan berpotongan CB ┴ bidang ABFE b. CD ┴ DA CD ┴ DH CD ┴ bidang ADHE AH pada bidang ADHE, menurut teorema 1.2, maka CD ┴ AH c. Pada jawaban pertanyaan (b) dikemukakan bahwa CD ┴ bidang ADHE. Berarti bahwa D adalah titik kaki dari garis yang melalui C dan tegak lurus bidang ADHE; jadi proyeksi titik C pada bidang ADHE adalah titik D. d. Untuk memproyeksikan ruas garis DE pada bidang ABCD, ditetapkan dua titiknya, dan dipilih ujung-ujungnya D dan E. Proyeksi dari titik D pada bidang ABCD adalah titik D sendiri. e. Sudut antara CH dengan proyeksinya pada bidang EFGH adalah sudut antara CH dengan proyeksinya pada bidang EFGH. Proyeksi CH pada bidang EFGH adalah GH. Jadi sudut antara CH dengan bidang EFGH adalah sudut antara CH dan GH; atau < CHG.
  52. 52. 50 Latihan 1. Pada kubus ABCD.EFGH dengan AB = a cm, titik N adalah titik potong diagonal bidang atas EFGH dan garis CE memotong garis AN di titik K a. Tentukan perbandingan antara panjang garis EK dan KC b. Jika titik K’ adalah proyeksi titik K pada bidang ABCD, buktikan bahwa AK’ : K’C = EK : KC = 1 : 2 2. Diketahui limas T.ABCD. tentukan panjang proyeksi garis TA pada bidang ABCD dan proyeksi garis TA pada bidang TBD. Jika panjang AB = 4 cm dan TA = 4 2 cm. 3. Diketahui bidang empat T.ABC, dengan alas ΔABC, AB = BC = 10 cm, AC = 12 cm, dan TC = 8 cm. Garis TC tegak lurus bidang ABC. Panjang proyeksi garis TC pada bidang TAB adalah………….. 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 18 cm. titik P adalah titik tengah bidang EFGH. Dari titik P ditarik garis sejajar garis HB sehingga memotong rususk BF di titik Q. Panjang proyeksi garis GQ pada bidang ABCD adalah………… 5. Diketahui prisma tegak ABC.DEF, dengan AB = AC = 4 cm dan BC = AD = 4 2 cm. Melalui titik D dibuat bidang α yang sejajar dengan garis BC, membentuk sudut 450 dengan bidang ABC, dan memotong garis BE dan CF berturut-turut di titik P dan Q, sehingga: a. BP : PE = 1 : 1 b. Proyeksi garis DP pada bidang BCFE adalah 2 2 cm c. Luas proyeksi bidang α pada bidang BCFE adalah 8 cm2 d. Volume limas D.PEFQ adalah 16/3 cm3 Pernyataan yang benar adalah… 6. Kubus ABCD.EFGH, memiliki panjang AB = 16 cm. Titik P dan Q bertutut-turut merupakan titik tengah rusuk AB dan BC. Titik M dan N adalah titik pusat bidang alas dan bidang alas a. Proyeksi garis BN pada bidang ACGE adalah MN b. Panjang proyeksi garis PN pada bidang BDHF adalah 12 2 cm c. Panjang proyeksi garis MN pada bidang NPQ adalah 32/3 2 cm d. Volume limas N.PBQM adalah 1024 cm3 Pernyataan yang benar adalah…
  53. 53. 51 C. Jarak Dalam Geometri kata jarak diberi arti yang jelas. Kata jarak selalu dikaitkan dengan hubungan dari dua benda. Dalam Geometri benda-benda dipandang secara umum sebagai himpunan titik-titik tertentu, misalnya berupa sebuah titik, ruas garis, garis, bidang atau bangunan Geometri yang lain. Jika secara umum sebuah bangun geometri dinamakan G1 dan G2, D2 adalah jarak antara bangun G1 dan G 2. maka jelas bahwa jarak sebagai ruas garis terpendek yang menghubungkan titin k-titik pada kedua bangun. a. Jarak Titik Suatu titik hanya ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak mempunyai besaran (ukuran), dikatakan suatu titik tak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda nokhtah, kemudian dibubuhkan dengan nama titik itu. Biasanya nama titik itu menggunakan huruf capital.A,,C,P,Q atau R. pada gambar diperlihatkan dua buah titik yaitu titik A dan titik B A. .B (a) titik A (b) titik B b. Jarak Titik ke Garis Kalau sebuah titik berada di luar garis maka terdapat jarak antara titik ke garis itu. Jarak antara sebuah titik A ke garis g (titik A berada di luar garis g) dapat dicari dengan cara sebagai berikut Tariklah garis dari titik A tegak lurus terhadap garis , sehingga memotong garis tersebut di B, maka AB adalah jarak yang dimaksud itu. Gambar B g A D1 D2 D3
  54. 54. 52 c. Jarak Titik ke Bidang Untuk Sebuah titik yang berada di luar bidang maka terdapat jarak antara titik ke bidang itu. Jarak antara titik A ke bidang α (titik A berada di luar bidang α) dapat dicari dengan cara sebagai berikut Buatlah garis g melalui titk A dan tegak lurus bidang α sehingga menembus bidang α di titik B. AB adalah jarak dari titik A ke bidag α yang diminta. α A . B Contoh Soal : 1. Diketahui balok ABCD.EFGH denga panjang rusuk AB = 10 cm, AD = 8cm, dan AE = 6 cm. Titik O merupakan titik potong diagonal bidang alas AC dan BD. Hitung:. a) A ke bidang BCGF b) A ke bidang CDHG c) O ke bidang ABFE H G E F D O C A B a) Jarak titik A ke bidang BCGF adalah AB = 10 cm, sebab AB tegak lurus bidang BCGF. b) Jarak titik A ke bidang CDHG adalah AD = 8 cm, sebab AD tegak lurus bidang CDHG. c) Jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP = ½ PQ = ½ 8 = 4 cm. 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Carilah jarak titik C ke bidang BDG H G E F D O C . A P B
  55. 55. 53 Jawab: Jarak titik C ke bidang BDG adalah ruas garis yang dibuat melalui C dan tegak lurus terhadap garis GP. Diagonal AC = a√2 = 4√2, sehimgga PC = ½ AC = 2√2 cm. Perhatikan ∆PCG: PG2 = 42 + (2√2)2 = 24 PG = 2√6 Sin α = CG/ PG = 4/ 2√6 = 1/3 √6 Perhatikan ∆COP: Sin α = CO/CP CO = CP Sin α CO = 2√2 (1/3 √6) CO = 4/3 √3 cm Jadi, jarak titik C ke bidang BDG sama dengan 4/3 √3 cm Latihan 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH. H G E F D C A B Tentukan jarak titik D ke bidang ACH. 2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. dengan rusuk a cm. jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S adalah H G E F D C A B
  56. 56. 54 3. Jika panjang rusuk kubus adalah 9 cm. maka hitunglah jarak C ke diagonal FD adalah H G E F D C A B d. Jarak antara dua garis sejajar Dalam hal dua garis sejajar maka terdapat jarak antara dua garis tersebut Definisi: Jarak antara dua buah garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik itu pada garis yang lain. Jika garis g sejajar garis h, maka jarak antara kedua garis itu dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: Garis g dan h membentuk bidang b (Dalil 4). Buatlah garis k yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan h di titik A dan B. AB adalah jarak antara garis g dan h yang diminta. Jarak antara dua garis sejajar, seperti AB dan CD pada gambar , adalah ruas garis PQ, garis tegak lurus diantara dua garis sejajar tersebut. A P B C Q D k A g B h
  57. 57. 55 e. Dua garis bersilangan Dua buah garis g dan h dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar),jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang Gbr. Garis g bersilangan dengan garis h Garis h menembus bidang di titik A, sedangkan titik A tidak terletak pada garis g. dalam hal demikian garis g dan h dikatakan bersilangan. Latihan! 1. H G Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 6cm. Hitunglah jarak AF ke bidang CDHG! A B 2. T.ABC adalah bidang empat beraturan, degan AB = 16. jika P dan Q masing-masing pertengahan TA dan BC, maka tentukan PQ. 3. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan AB = 10, dengan titik P dan Q masing- masing merupakan titik tengah dari BA dan DC. Hitunglah jarak AB ke CD! h A g D
  58. 58. 56 f. Jarak Bidang 1.Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Definisi  Ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut  Panjang ruas garis yang tegak lurus menghubungkan titik tersebut dengan bidang A Ruas garis d yang tegak lurus bidang V menunjukkan jarak antara titik A dan bidang V. A1 merupakan proyeksi titik A pada bidang V d A1 V Contoh : 1. Pada sebuah balok yang bidang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegak AE, BF, CG dan DH. Tentukanlah ruas garis yang menyatakan jarak antara titik D dan bidang BCGF! Jawab : C merupakan proyeksi D pada bidang BCGF, sehingga Ruas garis DC merupakan jarak antara titik D dengan bidang BCGF. 2. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH di bawah ini adalah 6 cm. Hitunglah jarak antara titik F ke bidang ABCD.? H G E F D C A 6 cm B
  59. 59. 57 Jawab: Ruas garis BF merupakan ruas garis yang menunjukkan jarak antara titik F dengan bidang ABCD,sehingga jarak yang dimaksudkan adalah 6 cm 2. Jarak Antara Sebuah Garis dan Sebuah Bidang yang Saling Sejajar Definisi P l PQ adalah jarak antara garis l dan bidang V Q V Contoh : Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, BC = 4 cm dan BF = 8 cm. Hitunglah jarak antara garis AC dan bidang EFGH.? H G E F D C A 8 cm B Jawab : Jarak antara garis AC dan bidang EFGH dapat diwakili oleh ruas garis AE atau CG, sehingga jarak yang dimaksud adalah 8 cm  Panjang ruas garis yang masing-masing tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut  Panjang ruas garis PQ dengan Q proyeksi P ke bidang V, PQ r garis l ,dan PQ rbidang V
  60. 60. 58 3. Jarak Antara Dua Bidang Definisi A V Ruas garis AA1 merupakan jarak antara dua bidang tersebut A1 U Contoh : 1. Diketahui sebuah balok PQRS.TUVW. Tentukanlah ruas garis yang menyatakan jarak antara bidang PQUT dan bidang RSWV! Jawab: Ruas garis PS, QR, TW dan UV tegak lurus bidang PQUT dan bidang RSWV. Sehingga ruas garis tersebut dapat dinyatakan sebagai jarak antara bidang PQUT dan Bidang RSWV 2. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, BC = 4 cm dan BF = 8 cm. Hitunglah jarak antara bidang ABCD dan EFGH.? H G E F 8 cm D C 4 cm A 6 cm B Jawab : Jarak bidang ABCD dengan bidang EFGH dapat diwakili oleh ruas garis AE, DH, BF dan CG, sehingga jarak yang dimaksudkan adalah8 cm.  Panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut
  61. 61. 59 Latihan! 1. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 10 cm, AD = 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik O merupakan titik potong diagonal bidang alas AC dan BD. Carilah jarak titik : a. A ke bidang BCGF d. O ke bidang ABFE b. A ke bidang CDHG e. O ke bidang BCGF c. A ke bidang EFGH f. O ke bidang EFGH 2. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk PQ = 6 cm. a. Carilah jarak antara PU dan bidang RSWV b. Carilah jarak antara UW dan bidang PQRS 3. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang BDHF! 4. Sebuah kubus dengan rusuk a cm. Bidang alasnya ABCD, rusuk-rusuk tegaknya AE,BF,CG dan DH. a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEG b. Carilah jarak antara bidang BDE dan bidang CFH 5. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT, QU, RV dan SW. Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm.Hitunglah jarak antara rusuk VW dengan bidang diagonal RSTU! 6. Perhatikan gambar di samping! T AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A. Hitunglah jarak titik A ke bidang TBC! 5 cm A 5 cm C 5 cm B
  62. 62. 60 D. Sudut 1. Sudut antara garis dan bidang Jika sebuah garis tidak tegak lurus pada sebuah bidang, maka sudut antara garis itu dan bidang tersebut adalah sudut lancip antara garis itu dengan proyeksi garis itu pada bidang tersebut. Adapun sudut antara garis dan bidang dapat ditentukan sebagai berikut: 1. Tentukan titik tembus garis g pada bidang α, misal T g 2. Proyeksikan g pada bidang α, Misal proyeksi g pada bidang α adalah g’. θ 3. (g, α) = (g, g’)= θ β T Sudut antara garis g dan bidang α adalah α g’ sudut lancip antara garis g dan g’, yaitu θ Contoh Soal: 1. ABCD.EFGH adalah sebuah kubus. Tentukan titik tembus antara garis dan bidang berikut serta beri nama sudut yang dibentuk antara keduanya. a. Garis AH dan bidang ABCD b. Garis AG danbidang ABCD c. Garis HF dan bidang BCGF Jawab: H G H G H G E E E C C C A B A B A B Gambar 1 Gambar 2 Gambar 3 a. Titik tembus HA dan ABCD adalah titik A. Proyeksi H pada ABCD adalah titik D (Buktikan bahwa Hd tegak lurus ABCD). Sudut antara HA danABCD adalah sudut antara HA dan DA, yaitu sudut HAD, seperti pada gambar 1 b. Titik tembus GA dan ABCD adalah titik A. Proyeksi G pada ABCd adalah titik C (buktikan bahwa GC tegak lurusABCD). Jadi, proyeksi GA pada ABCD adalah CA. F D F D F D
  63. 63. 61 Sudut antara GA dan ABCD adalah sudat antara GA dan CA, yaitu sudut GAC, seperti pada gambar 2. c. Titik tembus HF pada BCGF adalah titik F (buktikan bahwa HG tegak lurusBCGF). Jadi, proyeksi HF pada BCGF adalah GF. Sudut antar HF dan BCGF adalah sudut anatar HF dan GF yaitu sudut HFG, seperti pada gambar 3. 2. Diketahui limas tegak beraturan T.ABCD dengan rusuk 4 cm dan rusuk tegaknya 6 cm. a. Tunjukkan sudut antara garis AB dengan bidang ACT. b. Hitunglah besar sudut antara garis AB dengan bidang ACT. Jawab: a. Jika pusat diagonal alas ABCD kita sebut P, maka proyeksi garis AB terhadap bidang ACT adalahgaris AP, sehingga sudut antara AB dan bidang ACT adalah BAP b. Perhatikan segitiga siku-siku ABP. Jika sudut tersebut kita namakan α, maka: T sin α = AB BP sin α = 4 22 sin α = 2 2 1 C P D α = 45° A B 2. Sudut antara dua bidang Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang terbentuk antara dua garis pada masing masing bidang, dimana kedua garis itu tegak lurus pada suatu garis perpotongan kedua bidang. Adapun sudut antara dua bidang dapat ditentukan sebagai berikut: n 1. Ambil sembarang titik T pada garis g g 2. pada bidang α, buat garis m tegak lurus pada garis g melalui T. β 3. pada bidang β, buat garis n tegak lurus pada garis g melalui T. T m 4. (α, β) = (m, n) = θ α Sudut antara bidang α dan bidang β adalah sudut yang terbentukantara garis, m dan garis n, yaitu θ.
  64. 64. 62 Contoh Soal: 1. Pada kubus ABCD.EFGH, hitunglah sudut antara bidang BDE daan BDG. Jawab : H G E C A B Misalkan panjang sisi kubus ABCD.EFGH adalah a satuan. Pada gambar diperlihatkan bidang BDE dan BDG yang berpotongan dengan garis potong BD. Misalkan P titik pusat ABCD. Karena pada kubus ABCD.EFGH berlaku BD tegak lurus ACGE, maka BD tegek lurus EP, EP pada bidang BDE dan BD tegek lurus GP, GP pada bidang BDG. Jadi, θ = EPG adalah sudut antara bidang BDE dan BDG. Pada segitiga APE yang siku-siku di A diperoleh Tan APE = AP AE = a a 2 2 1 = 2 , Sehingga APE = 54,73°. Dengan cara yang sama diperoleh CPG = 54,73°. Jadi, θ = EPG = (BDE,BDG) = 180° - 2. 54,73° = 70.5° 2. Bidang empat (tetrahedron) T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC, dengan sisi AB = AC. TA = 5 3 dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10, maka sudut antara TBC dan bidang alas adalah..... F D θ P
  65. 65. 63 Jawab T C A S B AS tegak lurus BC Karena sudut BAC = 90° dan AB = AC, maka ABC = ACB = CAS = 45°. Karena ACS = CAS = 45°, maka AS = CS = 2 1 BC = 2 1 . 10 = 5 Perhatikan segitiga TAS tg α = AS AT = 5 35 tg α = 3 , maka α = 60° 3. Sudut antara dua garis yang bersilangan Dua buah garis dikatakan bersilangan jika keduanyatidak terletak dalam sebuah bidang. Jadi, sudut antara dua garis yang bersilangan adalah sudut yang diperoleh dari dua garis yang berpotongan yang masing-masing garis sejajar dengan garis yang bersilangan. Adapun sudut antara dua garis yang bersilangan dapat ditentukan sebagai berikut: 1. Misal garis m dan garis n adalah dua garis yang saling bersilangan. Tentukan garis m’ yang sejajar dengan A m garis m dan garis n’ yang sejajar dengan m’ garis n yang saling berpotongan. θ 2. Anggap titik potong adalah titik O. B n’ O AOB = θ n Maka sudut θ yang terbentuk antara garis m’ dan garis n’ atau AOB adalah sudut yang terbentuk antara dua garis yang bersilangan, yaitu θ.
  66. 66. 64 Contoh Soal: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. a. Tunjukkan sudut antara garis CF dan garis EG. b. Hitunglah sudut antara garis CF dan garis EG. Jawab: G H F D B A a. Garis yang sejajar EG dan memotong CF adalah garis AC. Dengan demikian, sudut antara garis CF dan garis EG diwakili oleh sudut ACF. b. Pada segitiga ACF, tampak bahwa AC = CF = AF (diagonal sisi), sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi, oleh sebab itu sudut antara garis CF dan garis EG adalah 60°. Latihan! 1. Pada kubus ABCD.EFGH, hitunglah sudut antara garis BG dengan bidang ACGE dan BA dengan bidang ACGE. 2. P.ABCD merupakan limas beraturan. Panjang sisi persegi adalah 2 cm dan panjang rusuk tegak PA adalah 3 cm. Jika α adalah sudut antara bidang PAB dan bidang PCD. Hitunglah sin α. 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4. Titik T pada perpanjangan CG sehingga CG = GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α, maka tan α = ... (UMPTN 1999) 4. Pada bidang empat T.ABC, bidang alas ABC merupakan sama sisi, TA teagk lurus pada bidang alas, panjang TA sama dengan 1 dan besar sudut TBA adalah 30°. Jika α adalah sudut antara bidang TBC dan bidang alas, maka tan α = ... (UMPTN 1998) 5. Diketahui bidang empat T.ABC. TA segitiga = TB = 5, TC = 2, CA = CB = 4, AB = 6. Jika α sudut antara TC dan bidang TAB, maka cos α = ... (UMPTN 1992) E α C
  67. 67. 65 BAB V IRISAN BIDANG Jika suatu bidang datar memotong suatu bangun ruang maka akan diperoleh bidang irisan. Suatu bidang yang memotong bangun ruang maka perpotongannya disebut bidang irisan. Untuk menentukan irisan bidang dengan bangun ruang dapat digukana 3 cara yaitu menggunakan : 1. sumbu affinitas 2. perpotongan bidang diagonal 3. perluasan bidang sisi. A. Menggambar Irisan Bidang dengan Sumbu Afinitas 1. Pengertian Irisan Perhatikan gambar di samping! Melalui titik PQRST dibuat bidang α. Bidang α memotong bidang ABCD di P dan Q, memotong bid. AEHD di Q dan R, memotong bidang ABFE di P dan T, memotong bidang BCSF di Sumbu afinitas T dan S, serta memotong bidang CDHG di R dan S. Garis-garis potong QR, RS, ST, TP, dan PQ ini membentuk bidang yang disebut irisan atau penampang antara bidang α dengan kubus ABCD.EFGH. Definisi Irisan: “Irisan antara bidang dengan bangun ruang adalah sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua bagian.” F D A B C E GH P Q R K S T L
  68. 68. 66 2. Pengertian Sumbu Afinitas Perhatikan gambar di atas! Bidang irisan PQRST berpotongandengan bidang alas ABCD pada garis potong PQ. Garis potong PQ disebut sumbu afinitas atau garis dasar atau garis koliniasi. Definisi Sumbu afinitas: “Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan bidang alas.” Sumbu afinitas memegang peranan yang sangat penting untuk menyelesaikan gambar irisan suatu bidang dengan bangun ruang. 3. Menggunakan Sumbu Afinitas dalam Menggambar Irisan 1. Aksioma yang diperlukan dalam melukis bidang irisan: a. Dua titik menentukan garis. b. Garis dapat diperpanjang pada kedua ujungnya. c. Bidang dapat diperluas. 2. Langkah menggambar bidang irisan dengan sumbu afinitas: a. Pilih dua titik pada bidang irisan yang terletak sebidang pada bangun ruang. b. Lukislah garis yang melalui dua titik tersebut. c. Perpanjang garis-garis pada alas bangun ruang sehingga memotong garis pada langkah 2. d. Hubungkan 2 titik baru pada bidang alas bangun ruang. Garis yang diperoleh adalah sumbu afinitas. e. Lengkapi gambar irisan bidang tersebut. Contoh: 1. Lukislah bidang irisan kubus ABCD.EFGH yang melalui titik P, Q, dan R! F D A B C E GH P R Q
  69. 69. 67 Jawab: Langkah penyelesaian: a. Lukislah garis yang melalui titik R dan Q. b. Perpanjang garis DC sehingga memotong RQ di S c. Lukislah garis yang menghubungkan titik P dan S. Garis PS akan memotong BC di T. PT adalah sumbu afinitas. d. Hubungkan titik R dan P, serta titik Q dan T. Sumbu afinitas LATIHAN Soal 1 dan 2 menggunakan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. 1. Titik K terletak pada pertengahan rusuk AD, titik L terletak pada rusuk DH sehingga DL = ¾ DH. Bidang α melalui garis KL dan sejajar dengan rusuk AB. a. Gambarlah irirsan bidang α dengan kubus. b. Sebutkan bentuk bangun datar irisan itu, kemudian hitung luasnya. 2. Titik-titik K dan L adalah pertengahan rusuk AD, AB, dan BF. Bidang α melalui titik- titik K, L, M. a. Gambarlah irisan bidang α dengan kubus. b. Sebutkan bentuk bangun datar irisan itu, kemudian hitung luasnya. c. Misalkan irirsan yang diperoleh pada soal (a) bertindak sebagai alas sebuah limas dengan titik puncak E, hitunglah: (i) panjang rusuk sisi limas, (ii) tinggi limas, dan (iii) volume limas A B CD E F G H P Q R S T
  70. 70. 68 3. Terdapat prisma segitiga beraturan ABC.DEF dengan panjang AB = 4 cm dan AD = 5 cm. a. Gambarlah prisma itu dengan bidang ABED frontal, AB horisontal, sudut surut 60o dan perbandingan ortogonal ½ . b. Titik K pada AB sehingga AK : AB = 1 : 3, titik L pertengahan BE. Bidang α melalui titik F, K, dan L. Gambarlah irirsan bidang α dengan prisma. 4. Terdapat limas segiempat beraturan T.ABCD dengan AB = TA 4 cm. Titik K pada perpanjangan AB sehingga BK = AB, titik L pada perpanjangan CB sehingga BL=BC, dan titik M pertengahan rusuk TB. Bidang α melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah irisan antara bidang α dan limas T.ABCD. B. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perpotongan Bidang Diagonal Definisi: Bidang diagonal adalah suatu bidang yang melalui dua rusuk tegak yang tidak berurutan. Definisi tersebut memiliki akibat bahwa pada prisma segitiga tidak memiliki bidang diagonal sebab sebarang dua rusuk tegak yang dipilih pasti berurutan. Perhatikan gambar pada prisma segilima ABCDE.FGHIJ, beberapa bidang diagonalnya adalah: ACHF,ADIF, BEJG. Lihat gambar! Dalil : Banyaknya diagonal prisma segi-n. Banyaknya bidang diagonal prisma segi-n adalah ½ n(n-1). Dalil tersebut merupakan perluasan banyaknya diagonal segi-n. Perlu kita ketahui bahwa setiap perpotongan dua bidang diagonal pada prisma merupakan suatu garis yang sejajar salah satu rusuk tegak. Pada gambar pada prisma ABCD.EFGH bidang diagonal ACGE dan bidang diagonal BDHF berpotongan menurut garis MN, maka garis MN // AE.
  71. 71. 69 CONTOH: Diketahui prisma ABCD.EFGH pada gambar Titik P pada rusuk AE, titik Q pada rusuk BF, titik R pada rusuk DH. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan prisma ABCD.EFGH. Penyelesaian: Langkah-langkah: (Perhatikan gambar) a. Melukis garis MN yang merupakan perpotongan bidang diagonal ADGE dan bidang diagonal BDHF. b. Menentukan titik tembus CG pada bidang irisan dengan cara: Tentukan titik O merupakan perpotongan garis MN dengan garis QR, keduanya pada bidang BDHF. Perpanjangan garis PO memotong rusuk tegak CG di titik S. Titik S merupakan titik tembus CG dengan bidang irisan. Dengan demikian bidang PQRS adalah bidang irisan, bidang α dengan prisma ABCD.EFGH.
  72. 72. 70 Catatan Dengan menggunakan pertolongan bidang diagonal memiliki keuntungan tidak memerlukan tempat yang luas. Cara ini memiliki kelemahan yaitu apabila prisma segi-n dan n cukup besar lukisan terlihat rumit. C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Sisi Prinsip utama dari cara ini adalah menentukan perpotongan dua bidang tegak prisma, masing-masing memuat minimal satu titik dan titik tersebut terletak pada bidang irisan. Contoh Diketahui prisma ABCDE.FGHIJ Titik K pada rusuk AF, titik L pada rusuk BG, titik M pada rusuk DI. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan menggunakan perluasan bidang sisi tegak, lukis irisan bidang α dengan prisma ABCDE.FGHIJ. Penyelesaian : 1) Lukis garis XY yang merupakan perpotongan bidang tegak ABGF dan CDIH dengan cara menentukan titik X yang merupakan perpotongan garis AB dan DC pada bidang alas. Menentukan titik Y yang merupakan perpotongan FG dan IH pada bidang atas. 2) Titik tembus CH pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik S yang merupakan perpotongan garis KL dengan XY. Menentukan titik N yang merupakan perpotongan garis SM dan rusuk CH.
  73. 73. 71 3) Lukis garis UV yang merupakan perpotongan bidang tegak CBGH dan DEJI dengan cara menentukan titik U yang merupakan perpotongan garis BA dan DE pada bidang alas. Menentukan titik V yang merupakan perpotongan GF dan IJ pada bidang atas. 4) Titik tembus EJ pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik T yang merupakan garis LN dengan UV. Menentukan titik R yang merupakan perpotongan garis MT dan rusuk EJ. Kesimpulan: KLNMR merupakan penampang irisan bidang α dengan prisma ABCDE.FGHIJ. Catatan : Perluasan bidang tegak tidak selalu berpotongan, yaitu apabila kedua bidang tegak tersebut sejajar. Apabila dijumpai hal yang demikian dapat dipilih alternative penyelesaian berikut: 1. Digunakan perluasan bidang tegak yang sejajar. 2. bidang irisan memotong kedua bidang tegak yang sejajar, maka perpotongannya berupa dua garis sejajar. Contoh: Diketahui prisma ABCDE.FGHIJ pada gambar ! AB // ED. Titik P pada rusuk AF, titik Q pada rusuk BG, titik R pada rusuk EJ. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan menggunakan perluasan bidang tegak, lukis irisan bidang α dengan prisma ABCDE.FGHIJ.
  74. 74. 72 Penyelesaian: Mengingat AB // ED, maka bidang ABGF // bidang EDIJ, sehingga perluasan kedua bidang tersebut tidak berpotongan. Oleh karena itu sebagai langkah pertama yang diperluas adalah bidang tegak yang lain yaitu: bidang sisi tegak AEJF dan BCHG yang berpotongan di XY. Cara melukis garis XY sebagai berikut. 1. Menentukan titik X yang merupakan garis EA dan CB pada bidang alas. Menentukan titik Y yang merupakan perpotongan JF dan HG pada bidang atas. 2. Titik tembus CH pada bidang irisan ditentukan cara menentukan titik S yang merupakan perpotongan garis RP dengan XY. Menentukan titik N yang merupakan perpotongan garis SQ dan rusuk CH. Lihat gambar ! 3. Lukis garis UV yang merupakan perpotongan bidang tegak ABGF dan DCHI dengan cara menentukan titik U yang merupakan perpotongan garis AB dan DC pada bidang alas. Menentukan titik V yang merupakan perpotongan FG dan IH pada bidang atas. 4. Titik tembus DI pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik T yang merupakan perpotongan garis PQ dengan UV. Menentukan titik K yang merupakan perpotongan garis TN dan rusuk DI. Lihat gambar ! Kesimpulan: PQNKR merupakan penampang irisan bidang α dengan prisma ABCDE.FGHIJ.
  75. 75. 73 C. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Bidang Diagonal Pada Limas Definisi : Bidang diagonal limas merupakan suatu bidang yang melalui puncak dan dua titik sudut pada alas yang tidak berurutan. Definisi tersebut memiliki akibat bahwa limas segitiga tidak memiliki bidang diagonal sebab sebarang dua titik sudut yang dipilih pasti berurutan. Dalil : Banyaknya diagonal segi-n Banyaknya bidang diagonal limas segi-n adalah(1/2)n(n-1). Dalil tersebut merupakan perluasan banyaknya diagonal segi-n, bukti dari dalil tersebut dapat kita lihat kembali pada geometri datar. Bagaimana melukis irisan bidang α dengan menggunakan pertolongan bidang diagonal? Perlu kita ketahui bahwa perpotongan dua bidang diagonal pada limas merupakan suatu garis. Pada gambar bidang diagonal TAC dan bidang diagonal TBD berpotongan menurut garis TM. Contoh: Diketahui limas T.ABCD pada gambar di bawah ini. Titik R pada rusuk TA, Titik L pada rusuk TB, Titik M pada rusuk TC. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan-pertolongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD.
  76. 76. 74 Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal tersebut dikerjakan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Dilukis garis potong bidang diagonal TAC dengan bidang diagonal TBD yaitu garis PT dengan cara sebagai berikut: a. Titik P merupakan perpotongan garis AC dan BD pada alas. b. Garis hubung P dengan T merupakan perpotongan kedua bidang diagonal. 2. Menentukan titik tembus TD pada bidang irisan dengan cara: a. Tentukan titik O yang merupakan perpotongan garis KM dengan garis PT. b. Perpanjangan garis LO memotong rusuk TD di titik N. Titik N merupakan titik tembus PD dengan bidang irisan. Dengan demikian bidang KLMN adalah bidang irisan pada limas. Cara ini tidak memerlukan tempat yang luas, tetapi terlihat rumit jika langkah-langkah yang dilukis menjadi satu. E. Menggambar Irisan Bidang Menggunakan Perluasan Bidang Tegak Prinsip utama dari cara ini adalah menentukan perpotongan dua bidang tegak limas, masing- masing memuat satu titik tersebut terletak pada bidang irisan. Contoh:
  77. 77. 75 Diketahui limas T.ABCD. Titik R pada rusuk TA, Titik L pada rusuk TB, Titik M pada rusuk TC. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan-perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD. Penyelesaian: a. Lukis perpotongan bidang tegak TAB dan TCD dengan cara: b. Titik tembus TD pada bidang irisan ditentukan dengan cara menentukan titik S yang merupakan garis LK dengan TR. Menentukan titik N yang merupakan titik perpotongan garis SM dan rusuk TD. Lihat gambar! Dengan demikian bidang KLMN adalah irisan bidang α dengan limas T.ABCD. Catatan: Perpotongan perluasan dua bidang sisi tegak yang berupa garis lurus tidak selalu menembus bidang alas. Kejadian demikian terjadi apabila rusuk alas yang termuat pada bidang tegak yang diperluas sejajar. Lihat gambar ! Perhatikan bahwa perluasan dua bidang tegak yang memuat rusuk alas sejajar perpotongannya merupakan suatu garis yang melalui puncak dan sejajar rusuk alas tersebut. Lihat gambar ! Sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan latihan berikut .
  78. 78. 76 Contoh diketahui limas T.ABCD, alas ABCD berbentuk jajaran genjang. titik Q pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TB, titik R pada rusuk TD. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Dengan pertolongan perpotongan bidang diagonal lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCD. Langkah penyelesaian: a. Lukis garis g melalui T dan sejajar AB atau DC, garis tersebut merupakan perpotongan dari perluasan bidang TAB dan TDC. b. Tentukan titik tembus TC pada bidang α dengan cara menentukan titik S yang merupakan perpotongan garis QP dengan garis g. Selanjutnya garis hubungan SR akan memotong TC di N. Perhatikan gambar Dengan demikian bidang PQNR adalah bidang irisan pada limas.
  79. 79. 77 LATIHAN 1. Sebuah prisma segilima ABCDE.FGHIJ, P pada ID, Q pada CH dan R pada BG. Bidang α melalui P,Q, dan R. Lukis penampang irisan bidang α prisma tersebut! 2. Pada prisma ABCDE.FGHIJ pada gambar ditentukan titik K, L dan M berturut K pada AF, L pada BG dan M pada DI. Tentukan irisan bidang α melalui K, L dan M dengan prisma ABCDE.FGHIJ. 3. Diketahui limas T.ABCDE! Titik P pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TC, titik R pada rusuk TD. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE! 4. Diketahui limas T.ABCDE! Titik P pada rusuk TA, titik Q pada rusuk TB, titik R pada rusuk ED. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE! 5. Sebuah limas T.ABCDE dengan titik K pada rusuk TE. Titik H pada rusuk TC, dan titik R pada rusuk TD. Bidang α melalui ketiga titik tersebut. Lukis irisan bidang α dengan limas T.ABCDE!
  80. 80. 78 DAFTAR PUSTAKA Depdiknas. (2004). Bangun Ruang Sisi Datar. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas. ________. (2004). Bangun Ruang Sisi Lengkung. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas Iswadi, Joko. (1993). Geometri Ruang. Jakarta: Depdikbud. Murzaini, Raja Leni. 2005. Melukis Irisan Antara Bidang dan Bangun Ruang dengan Menggunakan Sumbu Afinitas. http://leni.wordpress.com/bahan_ajar/irisan_made_leni/. Diakses tanggal 17 Februari 2007. Rahayu. Budi Endah. (2003). Media Pembelajaran (Lukisan Dasar). Bahan Pelatihan Terintegrasi Berbasis Kompetensi Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas. Soewardi. (1984). Melukis Bentuk Geometri. Jakarta: PT Gramedia. Sunardi & Haryanta. (1997). Matematika untuk Kelas II SLTP. Jakarta: Cempaka Putih. Suwarsono. (2003). Media Pembelajaran (Geometri Dimensi Tiga). Bahan Pelatihan Terintegrasi Berbasis Kompetensi Guru Mata Pelajaran Matematika. Jakarta: Direktorat PLP Depdiknas. Tampomas, Husein. 1999. Seribu Pena Matematika SMU kelas 3. Jakarta: Erlangga. Tim Penyusun. 2003. Panduan Materi SMA/MA (IPA). Jakarta: DEPDIKNAS. Winarno. 2004. Bimbingan Pemantapan Matematika IPA. Bandung Yrama Widya. Wirodikromo, Sartoto. (1995). Matematika untuk SMU Kelas 1 Caturwulan 2. Jakarta: Erlangga.

×