Cap Clase Sig Uba

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Cap Clase Sig Uba

  1. 1. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo Borrador - Versión preliminar Sistemas de Información Geográficos (SIG) Un SIG es un sistema capaz de integrar, crear, almacenar, editar y manejar datos espaciales y atributos asociados. Esto puede realizarse de diversas maneras pero en la actualidad se recurre a programas de computación que incorporan algoritmos capaces de realizar las tareas asociadas a un SIG. El usuario de un SIG puede hacerle preguntas a las base de datos e indagar cuestiones que solo pueden ser resueltas al integrar información proveniente de distintas fuentes. Los SIG son un valioso auxiliar en una enorme cantidad de disciplinas, tanto básicas como aplicadas. Su papel en el manejo y la organización del territorio ha adquirido una importancia creciente y hoy en día los SIG son una herramienta indispensable en múltiples organizaciones públicas y privadas. El primer sistema denominado como de información geográfica fue el desarrollado en 1962 en Canadá para Canada Land Inventory. Este sistema fue diseñado para almacenar mapas digitalizados y atributos de la superficie georeferenciados con el objetivo de determinar el potencial de uso de los suelos de Canadá. El sistema incluía información sobre suelos, agricultura, recreación, vida silvestre, bosques y usos del suelo a una escala 1:250,000. El responsable de la creación de este sistema fue Roger Tomlinson Los SIG resultan de la convergencia de varias disciplinas y campos tecnológicos: la geografía, la cartografía, la geodesia, la teledetección, la matemática, la computación, la estadística, entre las más destacadas. La difusión que han tenido los SIG se asocia en buena medida a su capacidad de asimilar datos de fuentes muy diversas y abrir la puerta a una enorme cantidad de posibilidades de análisis. En si mismo un SIG no resuelve un problema, sin embargo crea un entorno de análisis muy poderoso. Obviamente la capacidad de extraer información y conocimiento de un SIG dependerá de la claridad de las preguntas formuladas y de los marcos conceptuales de quien opera el sistema. Si bien los SIG brinda una valiosa ayuda en la producción de mapas, su finalidad es otra: el análisis. Una manera alternativa de definir un SIG es a partir de las preguntas que este tipo de sistemas puede (o debería poder) contestar. Las preguntas que se le formulan a un SIG pueden ser espaciales (¿Cuál es la mínima distancia entre dos localidades?) o no-espaciales (¿Cuánta gente trabaja en una dada ciudad?) Hay 5 tipos de preguntas generales que pueden contestarse con un SIG, estas se refieren a: - Localización: en este caso se busca responder a la pregunta de qué hay en determinado lugar. La respuesta incluye no sólo el nombre de atributo sino sus coordenadas geográficas - Condición: se trata de la pregunta complementaria a la anterior, es decir buscar lugares en donde se verifica determinada condición (áreas con humedales mayores a 100 ha, bosques nativos a más de 100 m de una ruta) - Tendencias: la tercera pregunta involucra a las anteriores y, además, busca diferencias en el tiempo (por ej. en el uso del suelo) - Patrones: esta pregunta es más sofisticada que las anteriores y no involucra sólo a un atributo sino a varios y a sus relaciones espaciales, por ejemplo uno puede preguntarse si una unidad aparece asociada a otra con más frecuencia que a una tercera. - Modelado: en este caso la pregunta es del tipo “¿Qué pasa si…?” La respuesta a este tipo de preguntas implican proyectar el comportamiento del sistema en el tiempo o el espacio y para ello es necesario no sólo información geográfica sino también modelos conceptuales y condiciones de contornos que permitan realizar las proyecciones. 1
  2. 2. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo Los SIG están integrados por cinco componentes fundamentales: la computadora o sistema de cómputo (“hardware”), el sistema de procesamiento (“software”), los datos, el personal y los métodos de análisis, procesamiento y despliegue de los datos. El sistema de procesamiento de un SIG proporciona las funciones y herramientas necesarias para almacenar, analizar y desplegar información geográfica. Los componentes incluyen: a) un sistema de manejo de base de datos (SMBD), b) las herramientas para la entrada y manipulación de información geográfica; c) las herramientas de soporte para consultas, análisis y visualización geográfica, y d) una interfase gráfica de usuario (GUI, por sus siglas en inglés) para un fácil acceso a las herramientas. Obviamente el corazón de un SIG son los datos que incluye. Un SIG está pensado para transformar datos en información, es decir para darle sentido a los datos. El dato indicará el valor de una variable en una dada locación mientras que la información asociada a ese dato permitirá identificar ese dato con un tipo particular de suelos o de vegetación. Para ingresar en un SIG los datos y/o la información deben ser transformados a un formato susceptible de ser almacenado en una computadora y ser georeferenciado. Las estructuras de datos digitales en las que puede almacenarse información acerca de un atributo geográfico son básicamente de dos tipos: raster o matricial, y vectorial. Un SIG es fundamentalmente una herramienta de análisis. Esta, cómo una balanza o un destornillador, nos permite realizar una serie de operaciones destinadas a obtener un dado resultado. Como en el caso de una motosierra o una grúa mecánica, conocer su funcionamiento, estructura, alcance y limitaciones es necesario para sacarle el máximo provecho. Por otro lado, y al igual que con cualquier herramienta, para usarla eficientemente debemos tener en claro el objetivo. A diferencia de herramientas que compramos en una ferretería en muchos casos estamos directamente involucrados en el diseño o la construcción del SIG. Para ello nos ayudamos de una variedad de sistemas (software) especialmente diseñados para asistirnos en estas tareas. Las personas pueden relacionarse con un SIG de manera diversa. Por un lado está quienes participan en el diseño del SIG, definiendo los objetivos del sistema, el tipo de preguntas a contestar, el grano y la extensión espacial y temporal, el tipo de datos a cargar, los usuarios a los que está destinado, el sistema de procesamiento a utilizar, los planes para su uso, mantenimiento, crecimiento futuro y para su financiación. Si bien el conocimiento de las herramientas computacionales es de gran ayuda, está etapa del desarrollo de un SIG puede ser realizada por personas que carecen de destreza en el uso de los programas específicos. En la etapa de diseño es central la definición de los objetivos y la visión de cómo operará y para quienes. La construcción del SIG requiere de técnicos/as especializados y entrenados en el uso de los sistemas de procesamiento a utilizar. En esta etapa deben recopilarse los datos a ingresar (mapas analógicos, imágenes de satélite, clasificaciones digitales, fotogramas aéreos, datos de campo, estadísticas de distinto tipo, etc.), evaluar su calidad, unificar las proyecciones, proveer coordenadas geográficas a aquellos datos que no las tengan, etc y finalmente ingresarlos al sistema. Todas estas etapas requieren de una cuidadosa documentación a fin de asegurar la repetibilidad de los procesos llevados a cabo. El mantenimiento de una bitácora es de gran importancia en el proceso de desarrollo de un SIG. La operación de un SIG incluye todas aquellas tareas relacionadas con la respuesta a las consultas que realizan los usuarios. El grado de control de los procesos variará por parte del usuario. De hecho en muchos casos quien diseña, construye y usa el SIG es la misma persona. En otros casos los usuarios acceden solo a una versión ejecutable del sistema. Ejemplos de estos casos son el mapa de calles 2
  3. 3. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo de la Ciudad de Buenos Aires (http://mapa.buenosaires.gov.ar/sig/index.phtml) o Google Earth. Estructura de un SIG Un SIG almacena datos e información como una colección de capas temáticas relacionadas espacialmente (Figura 1). La definición de capas permite ordenar y jerarquizar los atributos a incluir en un SIG. Las capas constituyen entonces piezas importantes del SIG y su definición conceptual es un aspecto central en su diseño. Los SIG incluyen información gráfica y geográfica de los atributos. La información geográfica contiene una referencia geográfica explícita (latitud y longitud o una coordenada de otro sistema, Gauss Krüger por ejemplo) o una referencia implícita (la dirección postal). Las referencias implícitas pueden derivarse de referencias explícitas mediante el proceso de "geocodificación". Las referencias geográficas son importantes para dar respuesta a preguntas acerca de localización o condición. Cómo indicábamos antes los sistemas de información geográfica funcionan con dos tipos fundamentales de información espacial: vectorial y raster (Figura 2). En el formato raster los mapas están representados por una matriz en donde cada elemento es denominado “píxel” o."celda" Cada píxel queda determinado por sus coordenadas de archivo y de mapa y por valor de la variable o el atributo que representa. En este formato un punto quedará representado como una celda completa, una línea por un conjunto de celdas contiguas de sólo un píxel de ancho y un polígono por un conjunto contiguo de celdas de una o más celdas de ancho. La representación de elementos tales como caminos o cursos de agua es posible (desde un punto de vista estético) solo para resoluciones finas. Las dimensiones del píxel se corresponden con la resolución y por lo tanto con la escala de la representación. Esta resolución deberá entonces guardar relación con aquellos elementos, procesos o estructuras que se busca representar. Las imágenes de satélite que se incorporan a un SIG se almacenan en formato raster. La resolución de la imagen en estos casos varía desde cm a decenas de km de acuerdo al sensor y de la plataforma usada. Los datos en formato raster podrán ser continuos o cuantitativos, como en el caso de imagen de satélite, o cualitativos o discretos, como en el caso de mapas temáticos. En este último caso y a diferencia de los datos continuos los valores del píxel no representan cantidades y por lo tanto no pueden tratarse estadísticamente. El valor de un píxel en los casos de archivos raster discretos representan categorías nominales (por ejemplo provincias), ordinales (por ej. pobre, bien o excesivamente drenado en un mapa de suelos) o intervalos de clases (áreas con menos o más de 1 habitante por km2 ). El formato raster es, en realidad, una forma de partir el espacio en porciones regulares mutuamente excluyentes y que incluyen la totalidad del área de estudio. Una superficie puede dividirse en teselas, mosaicos o celdas regulares usando otras formas geométricas además el cuadrado: el hexágono o el triangulo (Figura 3). En el caso del hexágono se minimizará el efecto borde al ser la relación área/perímetro máxima. Lo contrario ocurrirá con el triángulo. Existe por supuesto la posibilidad de un taselado irregular de la superficie. Los datos vectoriales están representados por uno o más puntos ordenados a los cuales se asocia una coordenada de referencia ( x,y en dos dimensiones o x,y,z en 3-D ). Cada elemento en el mapa de papel asume una de las tres formas en el archivo vectorial: punto, línea o polígono. Un punto está representado por un solo par de coordenadas. Una línea está compuesta de un grupo de coordenadas (puntos) agregadas para formar el elemento que en un mapa pareciera no tener medidas de ancho (por ejemplo, rutas o 3
  4. 4. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo arroyos). La representación de elementos lineales curvos requiere de su discretización. Esto transforma una curva en una serie de segmentos (una línea quebrada o arco) definidos por nodos. Un polígono es un conjunto de coordenadas unidas por líneas, en el cual el primero y el último punto son iguales. El polígono siempre representa un área cerrada, como por ejemplo unidades de suelos o catastrales. La mayor parte de los SIG usan estructuras (puntos, líneas y polígonos) con una topología asociada, es decir con información acerca de conexión o contigüidad de elementos geográficos. Las propiedades topológicas de un mapa permiten que aún transformando el mapa (por ej. cambiando la proyección o deformándolo) se mantengan las relaciones de inclusión y vecindad. Aun cuando la forma y el tamaño de dos polígonos se modifiquen, no cambiará quien contiene a quién ni quien limita con quién. El proyecto Worldmapper (www.worldmapper.org) presenta buenos ejemplos de mapeo topológico. El mapa de la figura 4 a corresponde a una representación plana del planeta en donde el tamaño que corresponde a cada país es proporcional a su superficie (note la diferencia con un mapa con proyección geográfica, comparé en ambos Noruega e India y preste atención al tamaño de África). En la figura 4b el área (tamaño) del polígono es proporcional a la población. En la c el tamaño lo es a la riqueza y en la d a los servicios de la deuda externa (2001). Los mapas muestran diferencias muy llamativas entre sí, sin embargo conservan sus propiedades topológicas: Nepal sigue estando incluido en el subcontinente indio y limitando al N con China. Para lograr dicha consistencia topológica los objetos espaciales deben satisfacer una serie de reglas: a. cada arco debe estar definido por dos nodos, b. un arco delimita dos polígonos (derecho e izquierdo), c. cada polígono tiene un límite cerrado definido por un número finito de secuencias cíclica y alternada de nodos y segmentos, d. en torno a cada nodo existe una secuencia alternada y cíclica de arcos y polígonos y e. un arco sólo intersecta a sus nodos (Figura 5). Las propiedades topológicas de interior y límite ayudan a definir relaciones entre elementos espaciales (Figura 6). En años recientes se ha realizado un esfuerzo para estandarizar la terminología asociada a los objetos espaciales representados en un SIG. En los EEUU se adoptó en 1992 el Spatial Data Transfer Standard (SDTS). Este protocolo define 13 objetos básicos adimensionales, de una o dos dimensiones. Dos de ellos son estructuras raster (píxel y celda) y el resto vectores. Las estructuras vectoriales pueden ser de dos tipos: objetos espaciales solamente geométricos o geométricos y topológicos. Así un punto puede ser un objeto exclusivamente geométrico cuando representa una localidad o un objeto con topología cuando es un nodo que conecta dos líneas. La topología de ese nodo identifica el segmento del cual el punto es un extremo. En una línea la topología identifica el nodo inicial y el final. Los polígonos podrían concebirse, extendiendo los razonamientos anteriores, como líneas quebradas en las cuales el nodo inicial y final son el mismo. Esta visión es un poco ingenua y plantea problemas para resolver situaciones frecuentes. Por ejemplo en la figura 7a se observa que una secuencia de nodos conectados por segmentos cuyo nodo inicial y final son los mismos puede definir más de un polígono. Por otro lado cuando se busca representar polígonos continuos (figura 7b) muchos de los nodos son compartidos generándose una redundancia en los datos almacenados ya que un mismo nodo forma parte de la definición de más de un polígono. Por otro lado almacenar polígonos como una secuencia de nodos torna muy complicados los análisis espaciales del tipo “¿Qué polígono está debajo de polígono A?. El modelo de fronteras indicado en la Figura 7c soluciona buena parte de estos problemas al almacenar líneas fragmentadas no cerradas (arcos) indicando que polígono se encuentra a la izquierda y a la derecha de cada arco. La Tabla 1 y la figura 8 definen y presentan los objetos incluidos en la SDTS 4
  5. 5. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo Ambos modelos de representación de datos geográficos (raster y vectorial) tienen ventajas y desventajas para almacenar datos geográficos, y los modernos SIG pueden manejar ambos modelos. El uso de uno u otro formato debería basarse en que estructuras quieren representarse y en los objetivos del trabajo. Cada formato presenta ventajas e inconvenientes (Figura 9) La información acerca de los atributos describe diferentes aspectos de los mapas pero no de manera gráfica. A una línea que representa una ruta se le puede asociar un nombre o a un polígono un tipo de suelo. La descripción de los atributos pueden ser multidimensional, así el polígono de un dado tipo de suelo puede contener también información sobre la textura, profundidad, salinidad, capacidad de uso, etc. La información acerca de los atributos se almacena en bases de datos separadas de los componentes geográficos o gráficos, pero relacionadas mediante un identificador del atributo particular (un punto, una línea o un polígono). Cada línea de la base de datos tiene una relación unívoca con un atributo geográfico. Los atributos se asocian sólo a representaciones vectoriales. La información gráfica de un mapa digital brinda elementos acerca de cómo se representa la información. Esta incluye los colores, símbolos, tipos de líneas, etc., con que se desplegarán en una pantalla o el papel los distintos atributos. La escala y la precisión en mapas digitales En el capítulo de cartografía discutimos los conceptos asociados a la idea de escala. En los mapas digitales el concepto de escala cartográfica presenta problemas ya que no mantienen un tamaño fijo: pueden magnificarse o reducirse tanto como se desee. En un SIG de todas maneras el concepto de escala cartográfica sigue siendo fundamental y hace referencia a la escala de los mapas integrados en él. La escala de los mapas que se incluyen en el SIG fija los límites de la representación de los productos que de él se deriven. No sólo la resolución sino diferentes aspectos que definen la calidad de los mapas incluidos afectan la precisión de los productos generados por un SIG. Por otro lado la precisión es función del objetivo: un mismo SIG puede ser muy preciso describiendo la distribución de la vegetación pero poco preciso para representar límites catastrales. La precisión absoluta de un mapa hace referencia a la relación entre la posición geográfica de un atributo en el mapa y su verdadera ubicación en el terreno. La precisión relativa describe la diferencia en la ubicación de dos puntos en el terreno (distancia y ángulo) y esa misma diferencia en el terreno. La importancia relativa de ambos tipos de precisión dependerá de los objetivos del proyecto. En general el conocimiento de la precisión relativa es suficiente. La precisión de los atributos indica en que medida la base de datos representa adecuadamente el atributo al cual se asocia. Una falta de precisión de este tipo llevaría a asignar una unidad de suelos incorrecta a un polígono o un nombre equivocado a una línea que representa un curso de agua En la evaluación de la precisión de un mapa es necesario evaluar la relación costo- beneficio en términos de esfuerzo, tiempo y dinero. Un aumento en la precisión implica un aumento en el tiempo, esfuerzo y dinero invertido en el proyecto. En que medida esa inversión se justifica dependerá nuevamente de los objetivos perseguidos por el proyecto. En muchas ocasiones una precisión muy alta puede resultar contraproducente en la medida que su logro demora la posibilidad de dar respuesta a un dado problema. Como con cualquier modelo que pretende representar una realidad compleja conviene 5
  6. 6. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo comenzar su construcción con los datos disponibles y evaluar la sensibilidad de los resultados a la calidad de los distintos componentes para dirigir más adecuadamente el esfuerzo de mejora. Por ejemplo puede evaluarse cuanto mejora la estimación de la superficie afectada por un dado fenómeno al cambiar la resolución espacial de una dada capa o la equidistancia de las curvas de nivel en una carta topográfica. El esfuerzo para aumentar la precisión debería estar orientado a la capa de información a la que el resultado es más sensible (varía más ante un cambio en la calidad de la capa). Las fuentes de error en los mapas tienen distinto origen y son acumulativas. Incluyen: - errores al pasar de una geometría esférica a una planar. - la medición de la ubicación en el terreno (por ej. información correcta del datum) - una incorrecta interpretación cartográfica. - problemas de digitalización. Funcionamiento de un SIG El funcionamiento de un SIG involucra las tareas de captura e ingreso de datos que conformaran la base de datos, las consultas a la base de datos, los análisis espaciales y la visualización de los productos generados. Captura de datos Los datos a integrar en un SIG pueden provenir de múltiples fuentes. Una primera fuente de datos es la observación directa de los fenómenos geográficos relevantes en el contexto del proyecto en desarrollo. Estas observaciones pueden involucrar tanto la adquisición de datos a campo a partir de la observación directa de entidades como fenómenos. Por ejemplo, pueden registrarse a campo la presencia de una dada especie, la altura del terreno, el trazado de un camino o la forma de un establecimiento agropecuario o de un área protegida. En este caso registramos en el terreno entidades tangibles. A cada una de estas entidades deberá asociárseles una coordenada geográfica. El uso de un GPS resulta particularmente útil en este caso. Las entidades se transformarán en un atributo (un punto, una línea o un polígono) de un archivo vectorial al cual se le asigna una identificación única. No solamente registramos en el terreno entidades sino también fenómenos. Un caso típico es el de los registros pluviométricos. La observación directa incluye también la que podemos realizar mediante sensores remotos. En este caso incorporaremos tanto la información efectivamente registrada (reflectancia o emisión de energía electromagnética en distintas porciones del espectro) como los resultados del procesamiento de esos datos. Esto se traduce en índices espectrales, bandas sintéticas o mapas temáticos. A un sistema de información geográfico puede incorporarsele datos e información provenientes de otras fue ntes digitales: datos raster en formato continuo (imágenes de satélite, fotos aéreas, modelos digitales de elevación del terreno, etc.), datos raster categóricos o mapas temáticos (vegetación, suelos, usos del suelo, etc.), estadísticas varias (censos de población, agropecuarios, etc.), datos o información acerca de atributos vectoriales (nombre de calles, características de un curso de agua, etc.). Una vez incorporados al SIG denominaremos a cada uno de esos conjuntos de datos capas. Una capa raster no solamente incluye los datos correspondientes a cada píxel sino también información adicional, por ejemplo el esquema de colores para desplegar esa imagen en la pantalla o su leyenda. Los mapas analógicos construidos con otros fines suelen ser particularmente valiosos cuando se los incorpora a un SIG y se los combina con otras fuentes de información. Su 6
  7. 7. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo incorporación requiere su digitalización (manual o a través de su escaneado), rectificación y georeferenciación. La figura 10 muestra un SIG para un área del NW de la Patagonia (ver Paruelo et al. 2004). El SIG incluye datos básicos en formato raster (imágenes de los satélite LANDSAT TM, un modelo digital de elevación del terreno, mapas temáticos de cobertura del suelo), y en formato vectorial (carreteras (líneas), catastro (polígonos), pueblos y agudas (puntos)). A cada uno de los archivos vectoriales se asocia una base de datos que presenta distintos atributos. La Tabla 2 resume las características de las capas incluidas en el SIG. A manera de ejemplo la tabla 3 muestra la base de datos asociada a polígonos de cada una de las unidades catastrales. Operaciones básicas de un SIG En términos generales con un SIG pueden realizarse operaciones típicas de cualquier base de datos, incluyendo o no la dimensión espacial, operaciones que involucran a una sola capa de información y operaciones multicapa. Por otra parte la mayor parte de los SIG ofrecen amplias posibilidades de cambio de formato de los datos, así capas raster pueden ser transformadas a formato vectorial o viceversa. Una mirada no exhaustiva a las operaciones que puede realizar un SIG muestra las siguientes posibilidades: Selección de datos y búsquedas (Querries). Cómo en cualquier base de datos en un SIG pueden seleccionarse datos que satisfagan determinados criterios. Esta selección puede hacerse interactivamente. Por ejemplo se seleccionan todas las clases correspondientes a la estepa graminosa (Figura 11a). La selección cuando se trata de variables continuas puede hacerse fijando límites numéricos. Así por ejemplo pueden visualizarse las áreas cuya productividad primaria neta aérea sea mayor a 2000 Kg/Ha/año (Figura 11b). Una búsqueda más compleja puede encarase utilizando operadores lógicos: Y (AND) para indicar intersección, O (OR) para indicar unión, NO (NOT) para negación y XO (XOR) para indicar exclusión. Los operadores permiten seleccionar registros en una base de datos usando uno o más atributos. En la figura 11c se muestran los polígonos que corresponden a tenencia Empresarial ubicados en el partido de Alberdi y cuya superficie es mayor a las 2000 has. Cálculos y recodificación. Los cálculos que pueden realizarse en un SIG incluyen la medición de superficies y distancias de distintos elementos y la operación sobre los valores de los atributos. En los ejemplos anteriores se recuperan valores de las bases de datos pero los valores no se modificaban. En muchos casos interesa modificar los valores de un dado atributo, por ej. para calcular una variable con significado biofísico o para simplificar la descripción de un atributo. En el SIG de la figura 10 por ejemplo puede transformarse el atributo Indice de Vegetación Normalizado (IVN) en la fracción de la radiación fotosintéticamente fotosinteticamente activa absorbida por la vegetación (fPAR) (ver cálculo de índices espectrales y variables biofísicas) aplicando una transformación lineal de los datos originales de la forma: fPAR = a + b . IVN Alternativamente se puede simplificar el mapa de vegetación asignando todas las clases de vegetación xerofítica a la nueva clase “Estepas”, manteniendo las clases “Bosques”, “Matorrales” y “Praderas” (Figura 12) Sobre cada una de las capas pueden realizar cálculos más o menos complejos para describir la heterogeneidad espacial de distintos atributos en distintas porciones del área 7
  8. 8. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo total. La figura 13 muestra la altura promedio, máxima y mínima y la desviación estándar de los valores de esa variable de cada uno de los predios. La mayor parte de los SIG incluyen la posibilidad de realizar cálculos más complejos. Por ejemplo es posible calcular distintos índices de paisaje: superficie de cada parche de vegetación, relación área/perímetro del parche, número de parches en cada predio, etc. Todas estas métricas permiten una detallada descripción de la estructura del paisaje. Análisis de proximidad: Una pregunta frecuente en el manejo de datos espaciales es ¿Cuál es el área ubicada a menos de una dada distancia de un elemento espacial? En el SIG de la figura 10 esté tipo de pregunta puede formularse en relación a la distancia a las aguadas. La figura 14 muestra las áreas ubicadas a menos de 3 km de las aguadas naturales. Este nuevo mapa surge de generar áreas tampón (o buffer) en torno a los puntos y las líneas que representan aguadas en el SIG. Los análisis de proximidad pueden realizarse sobre elementos en formato raster o vectorial (polígonos, líneas o puntos). Análisis de contigüidad: En este caso el interés está en identificar áreas que comparten determinadas características (valores de un atributo) pero, a diferencia de una selección no espacial, que además de satisfacer ese criterio sean contiguas. Nuevamente este análisis puede llevarse a cabo sobre archivos vectoriales (en este caso sobre polígonos o líneas) o sobre archivos raster. La figura 16 muestra los parches resultantes de ubicar áreas que simultáneamente correspondan a la clase “Estepa graminosa” y estén ubicadas a menos de 1000 m. Análisis de vecindad: Este tipo de análisis se lleva a cabo en archivos raster y consiste en la modificación del valor de una celda a partir de los valores de las celdas contiguas en una ventana bidimensisonal. Este tipo de análisis se denomina también “filtrado” o “ventana móvil”. Consideremos una celda focal con coordenadas, supongamos, (5,6) y un valor de 8 (Figura 15). Un análisis de vecindad va a reemplazar el valor por otro que surja de operar con los valores de las 8 celdas vecinas (en caso de usarse una ventana 3x3). Las operaciones incluyen el promedio, el valor máximo, el mínimo, etc. Este tipo de análisis o filtrado es común en el procesamiento de imágenes digitales. Agregación espacial. En archivos raster en ocasiones es útil reducir el exceso de detalle espacial. Para ello se define una ventana de un determinado nxn celdas agregándose los valores de las celdas incluidos en cada ventana. Esta agregación puede hacerse con criterios variables. Se puede elegir el valor máximo, el mínimo, el más frecuente, el promedio, etc. Este proceso da lugar a un archivo raster con una resolución espacial (tamaño de píxel) distinta. Operaciones de superposición. Las capas de un SIG pueden superponerse unas con otras como si fueran hojas de papel transparente. Esto es extremadamente útil para percibir determinadas características del sistema. Los SIG pueden ir más allá de esta superposición visual creando un producto de enorme potencial: una capa compuesta o sintética. La superposición de dos capas da entonces origen a una nueva capa con valores que resultan de aplicar reglas lógicas o de realizar operaciones aritméticas entre las capas originales. Mediante la superposición de dos capas puede realizarse una selección espacial en una capa de información usando los límites de otras. Así por ejemplo puede seleccionarse una porción de un archivo raster usando como “molde” un polígono correspondiente a una capa vectorial. Esta función permite eliminar del 8
  9. 9. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo análisis áreas que no son de interés. En ocasiones se denomina al polígono que corresponde al área a excluir “máscara” ya que al eliminar esa porción de la imagen esta resulta “enmascarada”. Por ejemplo en la figura 16 el archivo raster correspondiente a un mapa temático de unidades de vegetación fue cortado usando un polígono que corresponde a una dada unidad política (el departamento de XXXX). De este proceso resulta un archivo de menor tamaño y en donde las áreas “enmascaradas” tienen valores nulos. En el caso de archivos vectoriales una operación muy poderosa de superposición es la intersección. En este caso la nueva capa tendrá nuevos polígonos que resultan de la intersección de los polígonos de una con los de la otra. (Figura 17). Las operaciones lógicas que se utilizaban para hacer selecciones en una base de datos o en una capa (Y, O, NO ó XO) pueden realizarse sobre dos o más capas. El resultado será una capa sintética resultado de las anteriores. Estas operaciones pueden aplicarse tanto sobre archivos raster como vectoriales. La siguiente sentencia ilustra la generación de una capa de áreas con distinta aptitud pastoril en el SIG de la figura 10: SI “Unidad fisonómica = Bosque” O (Unidad fisonómica = Estepa” Y “Productividad Primaria < 1000), entonces “Aptitud = Baja”, sino “Aptitud = Alta” (Figura 18). Este caso sencillo muestra la capacidad de los operadores lógicos para generar nuevas capas a partir de “tablas de decisión”, o sea de la valoración cualitativa de combinación de dos o más capas. La figura 19 ilustra algunas de las posibles superposiciones basadas en operadores lógicos y un caso de tablas de decisión. La superposición entre capas puede resultar de operaciones aritméticas entre píxeles y/o polígonos. Por ejemplo, en la figura 20 ejemplifica algunos de los posibles cálculos que pueden realizarse mediante una superposición algebraica de capas. Una aplicación particularmente interesante de la superposición es la detección de cambios en el tiempo en, por ejemplo, la distribución de un tipo de cobertura del suelo. Operaciones lineares: Un conjunto diferente de operaciones incluye el cómputo de redes. Una red es un conjunto de líneas conectadas que representan un dado fenómeno, usualmente asociado al transporte de algo (personas, contaminantes, agua, etc.). El análisis de redes generalmente se hace a partir de archivos vectoriales en donde sus componentes son líneas y nodos que las conectan y en donde se intersectan. Las redes pueden o no tener dirección, en las primeras el movimiento es unidireccional y en las otras puede ocurrir en ambos sentidos. Los SIG más comunes incluyen varios tipos de herramientas analíticas para redes. Estas incluyen la búsqueda del camino óptimo entre dos puntos de la red y la partición de la red. En el caso de la búsqueda del camino óptimo se evalúa el costo de distintas secuencia de elementos contiguos (líneas y nodos) para pasar del origen al destino. El costo puede quedar representado simplemente por la longitud de la secuencia o involucrar otros atributos asociados a la resistencia ofrecida por cada segmento de la red. Un ejemplo sencillo es el de una red caminera en donde cada segmento tiene restricciones de velocidad máxima. Si el origen y el destino deben unirse en el menor tiempo posible deberá elegirse un camino que no necesariamente es el más corto sino aquél que combina segmentos en los que se puede circular a mayor velocidad. La partición de la red asigna líneas y nodos en determinadas localizaciones (nodo focal) de acuerdo a criterios definidos por el usuario. Las localizaciones (nodos) pueden ser desde un centro de salud a una fuente de contaminación. Los criterios para la asignación variarán en cada caso y deberán tomar en cuenta que se distribuirá desde o hacia esa localización y la capacidad de producción o acumulación de contaminantes de la localización. Un aspecto adicional de estos análisis involucra la evaluación de que parte 9
  10. 10. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo de la red esta condicionalmente conectada al nodo focal. La evaluación incluye considerar si existe la conexión física y si esa conexión física satisface determinados criterios. Por ejemplo un punto de un río situado aguas abajo de otro no podrá transferir (conectarse) con un nodo focal aguas arriba ya que la corriente establece una dirección en los movimientos (Figura 21). Dominio espacial de datos puntuales, identificación de límites e Interpolación de datos Los datos colectados a campo o los registros de algunas variables son de naturaleza puntual o cubren una superficie pequeña respecta del área total a describir. Los registros de precipitación en estaciones meteorológicas son un caso típico de esta situación. Si bien en muchas ocasiones queremos representar la cantidad de agua precipitada en un área los registros que contamos corresponden a un punto. Este problema se nos plantea tanto con variables que tienen una variación continua en el espacio (la precipitación por ejemplo) cómo con otras de variación discreta (una unidad de suelos). El problema surge también cuando se debe evaluar el área que influencia una un atributo/fenómeno o estructura con una localización puntual (por ejemplo el área de influencia de un hospital. Las alternativas para resolver este problema son variadas y cada una de ellas tendrá ventajas o desventajas y la elección de la técnica a aplicar dependerá de la problemática particular. Una primera alternativa es evaluar a partir de datos con una cobertura espacial continua (fotos aéreas, imágenes de satélite o mapas de variables asociadas) el área a la cual el valor de una medición puntual puede extenderse. Este es caso de por ejemplo la generalización en el espacio de una observación edáfica (la descripción de una calicata). Mediante la interpretación de una imagen o de un fotograma se puede evaluar en base a una serie de atributos cual sería el área a la cual podría extenderse la observación puntual. Esto da lugar a un polígono que se define como uniforme respecto de ese atributo. Definimos el dominio espacial de un atributo. Con técnicas más sofisticadas una clasificación de datos espectrales producirá un mapa de clases a las que asimilarse observaciones o descripciones puntuales. Por ejemplo el resultado de la clasificación de una imagen Landsat TM de Patagonia puede transformarse en un mapa de vegetación como el presentado en la figura 10 al asignar cada clase una unidad fisonómica definida a partir de datos puntuales. La calidad de una generalización de este tipo dependerá de la evaluación que se haga de ellas, vale decir de la constatación a partir de datos puntuales independientes (no usados en el proceso de generación de mapa) de las predicciones hechas por el modelo. Otra situación se plantea cuando es necesario evaluar la zona de influencia de un elemento puntual. En este caso se trata de particionar el espacio en porciones asociadas a puntos distribuídos en él. Por ejemplo en un parque nacional se encuentran distribuidos una serie de puestos de control (Figura 22a), ¿qué área debería controlar cada guardaparques? La definición de Polígonos de Thiessen es una alternativa para resolver este problema. Los Polígonos de Thiessen definen áreas individuales de influencia de cada punto (en el caso de la Figura 22 los puestos de guardaparques) de manera tal que los límites de cada polígono son equidistantes de los puntos vecinos. De esta manera cualquier ubicación dentro del polígono estará más cerca del punto contenido en él que del resto. Para construir los polígonos se deben unir entre sí los puntos correspondientes a los puestos de guardaparques (Figura 22 a). Sobre las líneas que unen los puntos se traza una línea perpendicular equidistante de ambos puntos (bisectriz). La intersección de las bisectrices define los nodos de los polígonos (Figura 22 b). Esta interpolación espacial define unidades con límites discretos. De esta manera 10
  11. 11. Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo un área ubicada entre dos puestos será asignada a uno u otro guardaparque. Sin embargo en muchas ocasiones los límites definidos no se perciben en el campo o por cuestiones de topografía o la presenc ia de barreras una zona está más accesibles desde el puesto más lejano. En definitiva los límites pueden no ser tan netos como en la representación generada en la figura 22. La teoría de conjuntos difusos (o “Fuzzy sets” en inglés) provee una manera de representar objetos o fenómenos intrínsicamente imprecisos en cuanto a sus límites. Así por ejemplo un área ubicada entre el puesto 4 y 5 en la figura 22 tendrá distinta probabilidad de ser visitada por los guardaparque respectivos. Una aproximación discreta determinaría que el área puede será controlada por uno u otro guardaparque. Una clasificación basada en conjuntos difusos definirá una probabilidad de control por parte de cada uno de ellos. Cómo se indicaba más arriba muchas variables tienen una variación continua en el espacio (por ejemplo la precipitación). El problema se plantea al querer estimar el valor que asumiría la variable en una ubicación en la cual no fue medida pero que se encuentra entre puntos en donde si lo fue. En análisis numérico, se denomina interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto de discreto de puntos. Se trata pues de encontrar una función de interpolación a partir de n puntos distintos xk llamados nodos. La interpolación puede ser global cuando se define una función a partir del conjunto completo de puntos y está se aplica toda el área en la cual se quiere describir esa variable. Es el caso de la generación de superficies de respuesta. Otro tipo de interpolaciones son denominadas locales. En estso casos las funciones van siendo aplicadas a un conjunto pequeño de puntos. Algunas formas de interpolación local que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica, de la cual la anterior es un caso partic ular, o la interpolación por medio de “splines”. Otra alternativa de interpolación es el “Kriging”, un método geoestadístico de estimación de puntos que utiliza un modelo de variograma para la obtención de datos. Esta aproximación geoestadística se basa en los puntos más próximos se parecen más que a los más lejanos. Supone que la distribución de las diferencias entre puntos es constante en el área y que depende de la distancia y la orientación de los puntos. En definitiva supone que las diferencias no son constantes sino consistentes en el espacio. El variograma (o semivariograma) es una herramienta que permite analizar el comportamiento espacial de una variable sobre un área definida considerando la influencia de los datos a diferentes distancias. Consis te básicamente en un gráfico de la semivariacia en función de la distancia entre pares de puntos. La semivariancia de puntos separados por un intervalo h es una medida de la influencia de puntos ubicados a esa distancia sobre la variable en cuestión (por ej. la precipitación). El método Kriging calcula los pesos que se darán a cada punto observado en el cálculo de los a estimar. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. 11
  12. 12. Capas de información •Suelos •Distritos fitogeográficos •Rutas •Partidos •Uso del suelo 04-05 •Landsat 25Sep04 Figura 1: Esquema general de un SIG indicando las capas temáticas que lo integran.
  13. 13. Formato Formato RASTER VECTORIAL Uso del suelo Partidos Figura 2: Formatos de archivos en un SIG
  14. 14. Triángulo Cuadrado Hexágono Figura 3: Distintas formas de construir un mosaico (raster) usando diferentes formas geométricas
  15. 15. a) Polígonos proporcionales al área b) Polígonos proporcionales a la población c) Polígonos proporcionales a la riqueza d) Polígonos proporcionales a los pagos de intereses por deuda en 2001 Figura 4: Distintas representaciones de los polígonos que representan países (tomados de www.worldmapper.org). A pesar de cambiar la forma y el tamaño de los polígonos se mantiene las relaciones de inclusión y vecindad (propiedades topológicas) que permiten reconocer los distintos países.
  16. 16. 1 0 0 2 1 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 0 Figura 5: Reglas topológicas (ver texto). 0: punto, 1: línea, 2 polígono.
  17. 17. … está separado de… … contiene a… … está pegado a… … cubre a… … es igual a… … esta cubierto por… … esta dentro de… … se encima parcialmente a… Figura 6: Relaciones entre elementos espaciales
  18. 18. a) 5 c) 3 b6 4 B 4 2 1 b2 2 b5 A b3 C b1 b4 6 1 3 linea desde nodo hasta nodo izquierda derecha b) b1 3 1 - A b2 1 2 B A b3 2 3 C A b4 4 3 - C b5 2 4 B C b6 1 4 - B Figura 7. Distintas representaciones de polígonos:
  19. 19. Número de Objetos espaciales Objetos espaciales dimensiones Geométricos Geométricos y Topológicos Cero dimensiones Punto Nodo Una dimensión Segmento Unión Serie Cadena Arco Anillo-GT Anillo-G Dos dimensiones Área interior Polígono-GT Polígono-G Polígono universo Píxel Polígono vacío Celda Figura 8: Objetos espaciales en el Spatial Data Transfer Standard
  20. 20. Tabla 1: Terminología usada en el SDTS para objetos espaciales de una dimensión a) Objetos espaciales geométricos. Segmento (Line segment) : Un objeto representando una línea recta que conecta dos puntos. Serie (String) : Una secuencia ordenada de segmentos conectados no ramificados. (puede interceptarse a si mismo o a otras series) Arco (Arc): Una curva definida por una función matemática Anillo-G (G-Ring): Una secuencia de series o arcos que no se interceptan y se cierran para formar el limite de un área. Un anillo representa un límite cerrado, pero no el área dentro del mismo. b) Objetos espaciales geométricos y topológicos. Unión (Link): Una conexión topológica entre dos nodos. Cadena (Chain): Secuencia ordenada de segmentos y/o arcos, que no se interceptan ni se ramifican, y están vinculados por nodos. Subtipos de cadenas: Cadena completa (Complete chain) : Una cadena que especifica los polígonos a su izquierda y derecha, así como también los nodos de comienzo y final. Cadena de area (Area chain): Una cadena que solo especifica los polígonos a su izquierda y derecha. Cadena en red (Network chain) : Una cadena que solo especifica los nodos de comienzo y final. Anillo-GT (GT-Ring): Un anillo creado a partir de cadenas completas y/o cadenas de área. Un anillo representa un límite cerrado, pero no el área dentro del mismo.
  21. 21. Tabla 1 cont.: Terminología usada en el SDTS para objetos espaciales de dos dimensiones a) Objetos espaciales geométricos. Área interior (Interior area): Un área que no incluye sus límites. Polígono-G (G-poligon): Un área formada por el área interna y un Anillo G externo (límites). Puede tener o no Anillos G internos siempre que estos no compartan límites o se intercepten. Píxel (Pixel): Elemento bidimensional de una imagen que representa la menor porción (no divisible) de la misma. Celda de grilla (Grid cell): Un objeto bidimensional que representa la menor porción (no divisible) de una grilla. b) Objetos espaciales geométricos y topológicos. Polígono-GT (GT-poligon) : Un área que es un componente atómico bidimensional de su espacio topológico. Un polígono GT puede estar asociado a sus cadenas (Anillo GT). Subtipos de Polígonos GT: Polígono universo (Universe polygon): La parte del universo fuera del perímetro del área cubierta por otros polígonos GT y que completa el espacio topológico. Poligono vacío (Void polygon): Define una parte del espacio topológico bidimensional que está rodeado por otros polígonos GT y que de no ser así tiene las mismas características que el polígono universo.
  22. 22. Formato RASTER Formato VECTORIAL Ventajas: Ventajas: • Estructura de datos simple • Representación eficiente de la Implementación de superposición topología de capas sencilla • Estructura de datos compacta • Eficiente para procesamiento de imágenes Desventajas: Desventajas: • Estructura de datos menos • Estructura de datos compleja compacto • Ineficiente para procesamiento de • Dificultados para representar la imágenes topología Figura 9. Comparación entre las representaciones raster y vectoriales
  23. 23. Figura 10: Sistema de Información Geográfica para un área de Patagonia en donde se despliegan distintas capas
  24. 24. Tabla 2: Características de las capas incluidas en el SIG. Imagen LANDSAT: Raster 30m x 30m Escena 231-89/90 Falso color compuesto Bandas 3, 4 y 5. DEM: Raster 90m x 90m Obtenido de http://glcf.umiacs.umd.edu/data/srtm/ Tipos de vegatación: Raster 30m x 30m Mapa temático generado a partir de una imagen LANDSAT Productividad primaria: Raster 30m x 30m Imágen generada a partir del IVN de una imagen LANDSAT Carreteras: Vector de líneas. –Nombre, Dependencia, Trayecto- Catastro: Vector de polígonos. –Partido,Estancia,Tenencia,Habita,Superficie- Pueblos-Cascos: Vector de puntos. –Nombre,Año fundación,Habitantes- Escuelas: Vector de puntos. –Nombre, Nivel, Maestros- Aguadas: Vector de puntos. –Latitud, Longitud- Tabla 3: Base de datos asociada a polígonos del vector Catastro.
  25. 25. a) b) c) Selección cualitativa: Selección cuantitativa: Selección combinada: Estepa graminosa PPNA > 2000 Kg/Ha/año tenencia Empresarial, partido Alberdi y con Incluye: una superficie mayor a estepa graminosa, las 2000 has. estepa graminosa rala y estepa gramniosa arbustiva Figura 11: Selección de datos y b úsquedas (Queries). Objetos seleccionados en color amarillo.
  26. 26. Mapa temático original Mapa temático recodoficado Referencias: Referencias: Bosque Bosque Estepa graminosa rala Matorral Agua Pradera Pradera Estepas Estepa graminosa Estepa graminosa arbustiva Nieve Roca Estepa arbustiva graminosa Estepa arbustiva Erial Matorral Figura 12: Recodificación del mapa temático de Unidades fisonómicas del área. Todos los tipos de estepas fueron recodificados como estepa
  27. 27. Sobre cada una de las capas pueden realizar cálculos más o menos complejos para describir la heterogeneidad espacial de distintos atributos en distintas porciones del área total. La figura 13 muestra la altura promedio, máxima y mínima y la desviación estándar de los valores de esa variable de cada uno de los predios. La mayor parte de los SIG incluyen la posibilidad de realizar cálculos más complejos. Por ejemplo es posible calcular distintos índices de paisaje: superficie de cada parche de vegetación, relación área/perímetro del parche, número de parches en cada predio, etc. Todas estas métricas permiten una detallada descripción de la estructura del paisaje. La Caja 2 presenta un ejemplo del cálculo de estos índices para distintas áreas de la región pampeana.
  28. 28. Figura 13: Cálculos de la altura mínima, máxima, rango, media y desvio estándar de la altura sobre el nivel del mar por establecimiento
  29. 29. Referencias: Aguada Zona a menos de 3 Kms de las aguadas Figura 14: Análisis de proximidad
  30. 30. IMAGEN ORIGINAL 4 2 6 9 9 6 5 4 8 8 0 0 3 4 5 9 0 5 8 5 2 4 0 1 4 3 6 2 8 3 0 5 4 1 Ventana móvil. Posición X-1 10 6 8 1 3 7 8 9 6 1 7 5 5 3 1 2 9 9 1 6 2 7 6 8 7 3 9 3 2 8 8 9 8 4 Ventana móvil. Posición X 8 7 5 4 1 10 1 2 7 8 1 4 1 7 6 8 8 6 3 8 4 2 1 10 8 5 6 0 5 7 7 0 1 0 2 8 6 1 1 7 6 8 7 3 4 6 9 10 3 3 4 Ventana móvil. Posición X+1 3 1 1 2 2 7 3 1 1 9 7 8 7 7 1 4 5 8 4 6 3 9 3 10 4 6 9 7 2 6 6 0 5 2 3 9 7 5 4 6 5 6 10 1 7 3 5 0 1 10 9 Celdas focales 6 2 8 7 7 8 2 10 0 6 6 3 2 1 4 3 5 4 8 7 2 5 4 0 4 10 8 8 9 6 1 6 0 2 Dirección ventana móvil. 3 1 6 2 5 4 3 2 10 6 7 6 4 4 7 7 3 Ejemplo: Operación de suma 8 5 2 Ventana móvil PX-1: 8+5+2+6+8+1+1+6+2= 39 6 39 1 IMAGEN RESULTANTE 1 6 2 5 2 4 54 47 47 41 43 44 48 49 41 8 38 3 58 39 38 32 44 50 49 48 40 Ventana móvil PX: 5+2+4+8+1+3+6+2+7= 38 60 40 37 41 51 58 51 52 45 6 2 7 53 40 39 37 46 53 51 55 42 2 4 0 53 46 32 31 39 53 54 54 41 Ventana móvil PX+1: 2+4+0+1+3+7+2+7+6= 32 1 32 7 38 34 27 27 39 49 48 42 48 2 7 6 Figura 15: Análisis de vecindad.
  31. 31. IMAGEN ORIGINAL IMAGEN RESULTANTE Figura 16: Enmascarado de un archivo raster – Partido de Bragado.
  32. 32. Vector original A Vector original B B1 B2 A1 B3 A2 B4 A B C A1 B1 = C1 C1 C2 C5 A1 B2 = C2 A1 B3 = C3 A1 B4 = C4 C3 C6 A2 B2 = C5 A2 B3 = C6 C7 A2 B4 = C7 C4 Intersección Vector resultante C Figura 17: Intersección de dos vectores.
  33. 33. Capas originales Unidad fisonómica: 1 2 4 1 Bosque 1 3 4 2 Matorral Superpocisión 3 Pradera 1 1 4 4 Estepa 900 980 987 Productividad primaria: 1212 1245 800 Valores en Kg/ha/año 1053 1390 1005 Sentencia Capa sintética 1 2 1 Aptitud pastoril: 1 2 1 1 Baja 1 1 2 2 Alta Figura 18: Generación de una capa sintética a partir de la siguiente sentencia: SI “Unidad fisonómica = Bosque” O (Unidad fisonómica = Estepa” Y “Productividad Primaria < 1000), entonces “Aptitud = Baja”, sino “Aptitud = Alta”
  34. 34. AyB A B a a a a a a a 1 1 1 1 2 2 2 A AoB a a a a a b b 1 1 1 1 2 2 2 a a b b b b b 1 1 1 1 2 2 2 a a b b c b b 1 1 1 2 2 2 2 a a c c c c c 1 1 1 2 2 2 2 A xo B c c c c c c c 1 1 1 2 2 2 2 B A y no B Tabla B 1 2 a (AyB) o C A b c C A y (BoC) Operadores lógicos Tablas de decisión Figura 19:
  35. 35. A R1 2 23 3 18 22 43 23 38 8 7 5 5 28 27 25 25 5 10 6 11 + 20 = 25 30 26 31 7 2 34 40 27 22 54 60 A B R2 2 23 3 18 3 2 5 2 6 46 15 36 8 7 5 5 9 4 0 12 72 28 0 60 5 10 6 11 * 6 6 10 8 = 30 60 60 88 7 2 34 40 7 34 1 1 49 68 34 40 C D 2 8 4 0 F R3 + - ( 7 6 E 2 4 7 3 ) - 1 2 4 1 = 2 0 10 2 1 3 Figura 20:
  36. 36. Cuenca Arapey Grande. SALTO - Uruguay Dirección de la corriente a) Rastreo aguas abajo b) Rastreo aguas arriba c) Rastreo sin condiciones de dirección Figura 21: Funciones de rastreo en una red
  37. 37. Figura 22: Construcción de polígonos de Thiessen

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