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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
5º AÑO BÁSICO
UNIDAD 5
LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Preparado por: Héctor Muñoz
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MATERIAL DE APOYO PARA EL DOCENTE
5º AÑO BÁSICO
UNIDAD 5
LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
La multiplicación y la división permiten representar una amplia gama de situaciones de la vida
diaria o del campo de las ciencias y la tecnología. En parte, este contenido ya ha sido tratado en
años anteriores, de modo que la tarea en 5º año es recordar, profundizar y sistematizar estos
conocimientos.
En esta unidad se analiza la reunión de conjuntos de igual cantidad de elementos, la
distribución equitativa, la relación de uno a varios, los arreglos rectangulares y la comparación por
cuociente. Con estos análisis se pretende que los estudiantes puedan llegar a utilizar, en forma
más consciente e intencionada, las operaciones de multiplicación y división en la resolución de
problemas.
2. DURACIÓN APROXIMADA
3 semanas
3. CONTENIDOS
3.1 Conjuntos con igual número de elementos
3.2 Multiplicación y división en otras situaciones
3.3 Situaciones problemáticas
4. APRENDIZAJES ESPERADOS
4.1 Conjuntos con igual número de elementos
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Utilicen una multiplicación para representar y resolver situaciones que
involucran reunión de conjuntos de igual cantidad de elementos.
• Utilicen la división para representar y resolver situaciones de reparto
equitativo.
• Utilicen diagramas como apoyo al razonamiento en la resolución de
problemas.
Aprendizajes
esperados
3. 3
4.2 Multiplicación y división en otras situaciones
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Utilicen multiplicaciones y divisiones para representar y resolver situaciones
que implican una relación de uno a varios.
• Utilicen multiplicaciones y divisiones para representar y resolver situaciones
relativas a arreglos rectangulares.
• Distingan entre una comparación por diferencia y una comparación por
cuociente.
• Utilicen divisiones para expresar comparación entre cantidades en
diferentes contextos.
4.3 Situaciones problemáticas
En este contenido las actividades se orientan a garantizar que los estudiantes:
• Resuelvan problemas que involucran situaciones que pueden representarse
mediante las distintas operaciones aritméticas.
• Desarrollen una actitud más consciente ante la resolución de problemas
buscando la información que pudiera faltar, diseñando y desarrollando una
estrategia adecuada, e interpretando y evaluando los resultados obtenidos
en relación al contexto del problema.
5. PROFUNDIZACIÓN DE CONTENIDOS Y RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS
5.1 Reunión de conjuntos con igual cantidad de elementos
Un caso típico de situación que puede representarse mediante una multiplicación es la reunión
de conjuntos que tienen igual número de elementos.
Consideremos el siguiente ejemplo: en la escuela de Sergio hay 4 quintos años: 5ºA, 5ºB, 5ºC
y 5ºD. Cada curso tiene 36 estudiantes. Si queremos calcular cuántos estudiantes hay en 5º año
en esa escuela, podemos efectuar la adición:
36 + 36 + 36 + 36
Como se trata de una adición de sumandos iguales, podemos expresar esta adición como
multiplicación:
36 + 36 + 36 + 36 = 36 · 4
En esta multiplicación, el 36 representa la cantidad de estudiantes en cada curso y el 4
representa la cantidad de cursos. El resultado de esta multiplicación representa el número total
de estudiantes que hay en los 4 cursos.
En el siguiente diagrama se generaliza esta situación.
cantidad de elementos en cada
conjunto
cantidad de
conjuntos
cantidad total de
elementos. =
Aprendizajes
esperados
Aprendizajes
esperados
4. 4
De modo que en los casos de reunión de conjuntos con igual cantidad de elementos, el
producto de la cantidad de elementos en cada conjunto, por la cantidad de conjuntos, es igual a
la cantidad total de elementos.
5.2 Repartos equitativos
Si reunimos 4 conjuntos de 7 elementos tendremos un conjunto con un total de 28 elementos.
Ahora bien, si ese conjunto de 28 elementos se reparte en 4 conjuntos con la misma cantidad de
elementos habremos vuelto a la situación inicial de 4 conjuntos de 7 elementos.
De modo que la separación en conjuntos de igual cantidad de elementos, o, lo que es lo
mismo, un reparto equitativo, es la operación inversa de la reunión de conjuntos de igual
cantidad de elementos. No es extraño, entonces, que el reparto equitativo pueda ser
representada por una división, que es la operación inversa de la multiplicación.
Sin embargo, surge aquí una diferencia. Hay dos formas de representar mediante una división
un reparto equitativo. Los diagramas que siguen muestran ambas formas.
Esto es plenamente concordante con las relaciones entre la multiplicación y la división que se
vieron en la Unidad anterior.
5.3 Multiplicaciones y divisiones en situaciones que corresponden a una relación de uno a
varios
La relación de uno a varios presenta ciertas semejanzas con la reunión de conjuntos que
tienen igual cantidad de elementos. Esta vez, en lugar de reunir conjuntos, se trata de
determinar la cantidad total correspondiente a un determinado número de unidades cuando a
todas las unidades les corresponde la misma cantidad.
Este es el caso, por ejemplo, si se desea conocer el valor a pagar de cierta cantidad de
artículos iguales conociendo el precio de cada artículo, o si se desea conocer la longitud total de
cierto número de componentes conociendo la longitud de cada uno, o si queremos calcular el
peso de cierta cantidad objetos de igual peso conociendo el peso de cada uno de ellos, etc.
Estas situaciones pueden representarse mediante la multiplicación:
valor correspondiente a cada
unidad
número de
unidades
valor correspondiente a todas las
unidades. =
cantidad de elementos en cada
conjunto
cantidad de
conjuntos
cantidad total de
elementos : =
cantidad de elementos en cada
conjunto
cantidad de
conjuntos
cantidad total de
elementos : =
5. 5
Si se conoce el valor total y se desea saber el valor correspondiente a cada unidad o el número
de unidades, podemos representar la situación mediante una división:
Y una vez más vemos que esto concuerda con las relaciones que existen entre la multiplicación
y la división.
5.4 Multiplicaciones y divisiones en situaciones que corresponden a arreglos rectangulares
Hablamos de un arreglo rectangular para referirnos a situaciones en las que un cierto número
de elementos (objetos, personas, símbolos, figuras, etc.) están ordenados en filas de tal modo
que todas las filas tienen el mismo número de elementos.
Esta situación puede interpretarse como un caso de reunión de conjuntos iguales y, por lo
tanto, son válidas todas las observaciones dadas en el punto 5.1.
6. DESCRIPCIÓN DE LAS GUÍAS DE TRABAJO PARA ESTUDIANTES
GUÍA Nº 1
CONJUNTOS CON IGUAL NÚMERO DE ELEMENTOS
En la Guía nº 1 se analiza la reunión de conjuntos con igual cantidad de elementos y su acción
inversa, la distribución de un total en conjuntos con igual cantidad de elementos.
Se presentan diagramas que representan en forma generalizada estas acciones. Con estos
diagramas se espera lograr una mayor comprensión de la relación que existe entre una situación
concreta y la operación aritmética que la representa y que permite encontrar una solución al
problema planeado.
La guía está dividida en 2 secciones:
1. Reunión de conjuntos que tienen el mismo número de elementos
2. Repartos equitativos
valor correspondiente a cada unidadnúmero de
unidades
valor correspondiente a todas las
unidades : =
valor correspondiente a cada unidad número de
unidades
valor correspondiente a todas las
unidades : =
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GUÍA Nº 2
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN OTRAS SITUACIONES
La reunión de grupos que tienen igual número de elementos o los repartos equitativos no son
las únicas situaciones que pueden representarse mediante una multiplicación o una división.
También encontramos multiplicaciones y divisiones en los casos en que existe una relación de uno
a varios. Aquí se establece una relación entre el valor correspondiente a una unidad, el número
de unidades y el valor correspondiente al total.
Otra situación que puede representarse mediante multiplicaciones y divisiones son los arreglos
rectangulares en que un grupo de objetos se ordenan en filas de modo que todas las filas tienen
el mismo número de objetos.
Por último también se presentan divisiones en la comparación por cuociente. Como se verá en
6º año, la comparación por cuociente está estrechamente relacionada con las nociones de razón y
de porcentaje.
La guía está dividida en 3 secciones:
1. Relación de uno a varios
2. Arreglos rectangulares
3. Comparaciones por cuociente
GUÍA Nº 3
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
En esta guía se presentan diversas situaciones en las que se podrán ejercitar la capacidad para
utilizar operaciones aritméticas en la resolución de problemas.
