Enumeracion de Goedel

2,353 views
2,170 views

Published on

Teoria de Computacion

Published in: Technology, Business
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
2,353
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
72
Actions
Shares
0
Downloads
30
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Enumeracion de Goedel

  1. 1. Teoría de la Computación Enumeraciones y Numeración de Gödel
  2. 2. Enumeraciones y conjuntos contables <ul><li>Conjuntos de cardinalidad menor o igual a  0 </li></ul><ul><ul><li>conjuntos finitos </li></ul></ul><ul><ul><li>conjuntos cuyos elementos están en correspondencia uno-a-uno con los números naturales </li></ul></ul><ul><li>Conjuntos contables (o enumerables) </li></ul><ul><ul><li>dado S, un conjunto cualquiera </li></ul></ul><ul><ul><li>S está en correspondencia uno-a-uno con    f tal que f:  S </li></ul></ul><ul><ul><li>f(0)=s 0 , f(1)=s 1 , f(2)=s 2 , etc. </li></ul></ul><ul><ul><li>f es biyectiva </li></ul></ul><ul><ul><li>f enumera a S </li></ul></ul>
  3. 3. Enumeraciones y conjuntos contables <ul><li>Sea  un alfabeto finito </li></ul><ul><li>Sea S el conjunto de todas las palabras sobre  </li></ul><ul><li>¿Es S contable? </li></ul><ul><ul><li> es finito por lo tanto puede ser ordenado de alguna forma </li></ul></ul><ul><ul><li>S k , el conjunto de todas las palabras de longitud k es finito, para k=0, 1, 2, ... </li></ul></ul><ul><ul><li>S k también puede ser ordenado de alguna forma </li></ul></ul><ul><li>Luego S k es contable </li></ul>
  4. 4. Enumeraciones y conjuntos contables <ul><li>¿Ahora, cómo ordenamos S? </li></ul><ul><ul><li>Se ordena cada S k lexicográficamente, usando el orden dado a  </li></ul></ul><ul><ul><li>luego se alinean primero los elemento de  , luego los de S 2 , S 3 , etc. </li></ul></ul><ul><li>Así, los elementos de S están ordenados por longitud y por cada longitud por orden lexicográfico </li></ul><ul><li>Al ordenar S, hemos mostrado que hay una correspondencia uno-a-uno con  </li></ul><ul><li>Teorema : El conjunto de todas las k-tuplas sobre  con k=1, 2, ... es contable infinito. </li></ul>
  5. 5. Enumeraciones y conjuntos contables <ul><li> k   , S k conj. De todas las k-tuplas de  es contable infinito </li></ul><ul><ul><li>k=1, S 1 =  es contable </li></ul></ul><ul><ul><li>k+1, suponemos S k contable , así s k,0 , s k,1 ... Es la enumeración de S k , (s k,i ,j), j   , es una k+1-tupla, entonces S k+1 ={(s k,i ,j)  i, j   } </li></ul></ul><ul><ul><li>consideremos los elementos de S k+1 en el sgte arreglo </li></ul></ul>(s k1 ,0) (s k,0 ,0) (s k0 ,2) (s k,0 ,1) ... (s k,1 ,2) (s k,1 ,1) (s k,2 ,0) (s k2 ,2) (s k,2 ,1) ... (s k,3 ,0) (s k,3 ,1) ... ... ... ... Método zig-zag
  6. 6. Numeraciones de Gödel <ul><li>Sea  un alfabeto finito </li></ul><ul><li>Sea S el conjunto de todas las palabras sobre  </li></ul><ul><li>Sea S* el conjunto de todas las k-tuplas, para todo k>0, de elementos de S </li></ul><ul><ul><li>Si  es el alfabeto inglés,  ={a, b, c, ..., z} </li></ul></ul><ul><ul><li>S contiene todas las palabras posibles de formar con el alfabeto y </li></ul></ul><ul><ul><li>S* puede entenderse como el conjunto de todas las frases posibles de formar con las palabras </li></ul></ul><ul><li>Como ya se mostró, para cualquier  finito S* es contable </li></ul>
  7. 7. Numeraciones de Gödel <ul><li>Si S* es enumerable tenemos </li></ul><ul><ul><li>f:  S* y </li></ul></ul><ul><ul><li>f -1 : S*  </li></ul></ul><ul><li>¿Son f y f -1 computables? </li></ul><ul><li>Supongamos ahora  cualquier conjunto contable infinito de símbolos y S y S* son los correspondientes conjuntos de palabras y k-tuplas de palabras respectivamente </li></ul><ul><li>Cualquier mapeamiento efectivo biyectivo de S a  (o de S* a  ) se llama numeración de Gödel de S (o de S*) </li></ul>
  8. 8. Numeraciones de Gödel <ul><li>Consideremos una numeración particular de Gödel que se basa en el siguiente teorema conocido como teorema fundamental de la aritmética (o de factorización única) </li></ul><ul><li>Teorema : cualquier entero positivo m>1 puede ser factorizado de una forma única como </li></ul><ul><li>Ejemplo: 24 = 2 3  3 1 </li></ul>m=p 1 p 2 ...p n e 2 e 1 e n Donde p 1 < p 2 < ...< p n son primos y cada e i > 0
  9. 9. Numeraciones de Gödel <ul><li>Definamos el mapeamiento  : S*   inductivamente, de los elementos de  de la siguiente manera  a i = p i donde p i es el i-ésimo primo, tomando p o = 2 </li></ul><ul><li>Si  S, entonces  es de la forma a i0 a i1 ...a ik , así definimos </li></ul><ul><ul><li> = 2 ·3 ·... ·p k </li></ul></ul><ul><ul><li>nótese que el mapeamiento  no es onto a  </li></ul></ul><ul><ul><li>note también que en la numeración de Gödel </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>a i  , por lo tanto  a i = p i </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>a i  S, por lo tanto  a i = 2 pi </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>a i  S*, por lo tanto  a i = ? </li></ul></ul></ul> a i0  a i1  a ik
  10. 10. Numeraciones de Gödel <ul><li>Ejemplo </li></ul><ul><ul><li> = {a, b, c} </li></ul></ul><ul><ul><li> a = 2  b = 3  c = 5 </li></ul></ul><ul><ul><li> = aab  aab = 2 2 ·3 2 ·5 3 </li></ul></ul><ul><li>La numeración de Gödel establece un procedimiento a través del cual , dado un elemento de S (o S*, o S  S*), se puede computar efectivamente un número n   </li></ul><ul><li>Inversamente, dado cualquier n   se puede decidir efectivamente si comprende a algún elemento de S (o S*, o S  S*) </li></ul>
  11. 11. Conclusión <ul><li>Si podemos aplicar la numeración de Gödel a conjuntos de palabras que son de interés, por alguna razón, entonces podemos transportar nuestras investigaciones sobre estos conjuntos al marco del conjunto de los números naturales y funciones numérico-teóricas </li></ul><ul><li>En particular, los problemas de decisión sobre conjuntos de palabras se transforman en problemas de decisión sobre conjuntos de números naturales </li></ul>

×