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I.I.S. G.Vallauri Fossano                     Anno scolastico 2010-2011                           Progetto SoleBelliardo F...
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PREMESSA E OBBIETTIVO:La determinazione dell’irradiamento solare al suolo, come è stata eseguita nella precedente espe-rie...
crementale della temperatura sul tempo è il dato da misurare che è ben approssimato dal coeffi-ciente angolare della retta...
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RACCOLTA ED ELABORAZIONE DATI:Per misurare con buona approssimazione l’irradiamento I è necessario considerare l’intersezi...
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Vengono riportati di seguito anche i dati (nell’immagine) e i calcoli relativi alla seconda misura:∆T                     ...
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APPENDICE: EQUAZIONI DELLE CURVE DI TEMPERATURAI dati raccolti per l’esperienza del pannello permettono anche un’altra int...
raggiunge l’equilibrio tra il calore disperso e quello in arrivo da una certa radiazione, che nel no-                     ...
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FASE DI DISCESA - LEGGE DI NEWTONSfruttando i dati della fase di discesa che sono stati raccolti in un’esperienza preceden...
L’equazione che descrive la temperatura in funzione di t può quindi essere scritta come                        −1T (t ) = ...
Il grafico ottenuto dopo le opportune elaborazioni è il seguente:Il valore R2 è il quadrato del coefficiente di correlazio...
Il coefficiente k è l’opposto del coefficiente angolare della retta interpolante, pertanto -k è il coef-ficiente della ret...
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Misura della costante solare

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  1. 1. I.I.S. G.Vallauri Fossano Anno scolastico 2010-2011 Progetto SoleBelliardo Federico2^A LST Misurazione dell’irradiamento solare1
  2. 2. 2
  3. 3. PREMESSA E OBBIETTIVO:La determinazione dell’irradiamento solare al suolo, come è stata eseguita nella precedente espe-rienza, presenta alcuni aspetti relativi alla raccolta dei dati e alla loro elaborazione che possono es-sere migliorati. Quest’esperimento si propone come variante per cercare di ridurre l’errore sul va-lore finale ottenuto, non riducendo gli errori strumentali, ma migliorando la procedura sperimen-tale stessa.CONOSCENZE TEORICHE:L’irradiamento per una data superficie è il rapporto tra l’energia E che giunge ad una superficieperpendicolare alla radiazione in un tempo Δt e il prodotto tra l’area A della superficie e l’interval-lo di tempo Δt stesso durante il quale è stato effettuato il trasferimento di energia. E PIn formule I = = , dove P rappresenta la potenza incidente. A ⋅ ∆t ∆t J WL’unità di misura dell’irradiamento è = m ⋅s 2 m2La costante solare indica l’energia che ogni secondo arriva su una superficie disposta perpendico-larmente ai raggi solari di area 1 m2 appena al di fuori dell’atmosfera terrestre. Le più accurate mi- Wsurazioni la stimano di circa 1350 . m2Necessariamente l’irradiamento solare al suolo è minore di tale valore poiché l’atmosfera assorbee riflette buona parte dell’energia che giunge dal Sole.PROGETTAZIONE:Esponendo un pannello solare alla radiazione sappiamo che in ogni istante PSole = Prisc + Pdisp , ov-vero la potenza totale in arrivo sulla lastrina è la somma della potenza spesa per l’innalzamento ditemperatura e la potenza dispersa nell’ambiente. Nel momento in cui la temperatura della lastrinauguaglia la temperatura ambiente la potenza dispersa a causa di conduzione, convezione e irrag-giamento è nulla, poiché in quell’istante la lastrina ha la stessa temperatura dell’aria che la circon-da. Infatti sia il calore scambiato per conduzione che per convezione è direttamente proporzionalealla differenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente. Pertanto se T = T A vale ∆TPSole = Prisc = cm , per la relazione fondamentale della calorimetria. L’irradiamento sulla super- ∆t PSole cm ∆T cm ∆Tficie della lastrina è allora dato da I = = ⋅ = ⋅ , in cui c rappresenta il calore spe- A A ∆t bh ∆tcifico del materiale che costituisce il pannello, m la sua massa e b e d h le dimensioni lineari. La la-strina è rettangolare quindi il prodotto della base e dell’altezza è l’area della sua superficie che in-sieme alla massa e al calore specifico sono le caratteristiche della lastrina utilizzata. Il rapporto in-3
  4. 4. crementale della temperatura sul tempo è il dato da misurare che è ben approssimato dal coeffi-ciente angolare della retta che interpola i dati in un intorno del punto in cui il grafico della tempe-ratura del pannello interseca quello della temperatura ambiente.Insieme al pannello solare si è utilizzato anche un secondo strumento di misura: un sensore di ra-diazione infrarossa collegato a un multimetro in funzione di voltmetro. Il valore della tensione inuscita dal sensore è indice della potenza solare specifica al suolo.MODALITA’ OPERATIVE: 1) Si raffredda il pannello prima di esporlo al Sole in modo da raccogliere alcuni dati di tempe- ratura al di sotto della temperatura ambiente. E’ sufficiente utilizzare un sacchetto di ghiaccio per abbassare la temperatura di 6°C-7°C. Questo accorgimento ha l’effetto di compensare gli scambi termici, poiché al di sotto di T a è l’ambiente a cedere calore alla lastrina, mentre in uno stesso intervallo di temperatura al di sopra di Ta sarà la lastrina a cedere calore all’ambiente. Queste quantità sono uguali in valore assoluto se la temperatura ambiente è il punto medio dell’intervallo in cui varia la temperatura della lastrina; esse avranno però segno diverso pertanto Q tot , il calore totale scambiato dalla lastrina con l’ambiente, che è la somma di queste due quantità di energia, è circa uguale a zero. 2) Per poter migliorare ulteriormente la qualità dei dati raccolti è necessario diminuire l’influenza del vento. Se si lavora all’esterno è opportuno schermare il pannello con4
  5. 5. coperture laterali opache che evitino la radiazione aggiuntiva dovuta alla riflessione. Ciò non è indispensabile se si lavora all’interno di un edificio. 3) Come nella precedente esperienze il pannello verrà appoggiato su un sostegno e inclinato in modo che la bacchetta in legno che si trova sul supporto in polistirolo, perpendicolarmente alla lastrina, sia parallela ai raggi solari. 4)Oltre alla sonda termica fissata al di sotto del pannello (come nella figura a fianco), per campionare la sua temperatura, vi è un’altra sonda al riparo dal Sole, vicino al pannello, che raccoglierà i valori della temperatura ambiente. Questo dato è necessario per le elaborazioni prima progettate. 5)Servono molte misurazioni su un piccolo intervallo di tempo; è quindi opportuno aumentare la frequenza di campionamento del sensore di temperatura. In questa esperienza venivano raccolti due dati al secondo. 6) Il sensore a infrarossi dovrà essere montato come in figura:5
  6. 6. 6
  7. 7. RACCOLTA ED ELABORAZIONE DATI:Per misurare con buona approssimazione l’irradiamento I è necessario considerare l’intersezionedella curva di temperatura del pannello con la curva della temperatura ambiente. Bisogna quinditrovare il punto in cui le due temperature si eguagliano. La retta di interpolazione sui dati sarà cal-colata in modo da avere uno stesso intervallo di temperatura al di sopra e al di sotto del punto diintersezione. Il grafico costruito con PASCO DataStudio mostra che nell’istante t=102,5 s la curvarelativa al pannello interseca quella relativa all’ambiente a 27,86 °C.In questa elaborazione si sono scelti i dati da t=75,0 s a t=129,5 s, nei quali la temperatura della la-strina passa da 25,27 °C a 30,36 °C.7
  8. 8. I valori calcolati del coefficiente angolare e del-l’ordinata all’origine per la retta che meglio inter-pola i dati nell’intervallo scelto sono:∆T °C = 9.362 ⋅ 10 −2 q = 18.27°C∆t sNell’immagine a fianco sono riportate in dettaglio le informazioni relative alla retta interpolantefornite da DataStudio.La pendenza della curva indica che ogni secondo la temperatura aumenta di circa un decimo digrado centigrado nella prima parte dell’esperienza. L’ordinata all’origine non è utile per il calcoloche si deve compiere poiché si cerca una quantità che esprime una variazione istantanea di tem-peratura. JCome nella precedente esperienza il pannello è in alluminio c=8 6 9 e la sua massa k ⋅° g Cm = 231,8 g ; le dimensioni della lastrina sono b = 12,3cm e h = 22,0cm . La potenza per unità di su- ∆ cm Tperficie ricavata dal calcolo I = deve essere poi divisa per il coefficiente di assorbimento a ∆ At8
  9. 9. della lastrina, analogamente a quanto fatto nella prima esperienza per considerare anche la frazio-ne di radiazione che non è stata assorbita, ottenendo così l’irradiamento totale in arrivo: J 86 9 ⋅0 3 8 g ,2 1 k c∆ 1 c ∆ mT m T k ⋅° g C °C WI oe = ⋅ = ⋅ = ⋅9 6 ⋅1 − ,3 2 02 = 9 2 78 Sl b ∆ a a h ∆ 0 ⋅0 2 m ,2 0 ht b t ,9 , 3 ⋅0 2 m 1 s mI calcoli fatti nella precedente esperienza sulla cosante solare al di fuori dell’atmosfera e sulla tem-peratura del solare valgono anche valgono anche ora.Durante questa giornata il valore di tensione indicato dal sensore a infrarossi è 37,5 mV.La determinazione della costante solare è stata ripetuta una seconda volta nello stesso luogo unagiornata diversa (completamente serena) e in un’ora più favorevole (le 13, ora solare). Il graficodei dati raccolti è il seguente:9
  10. 10. Vengono riportati di seguito anche i dati (nell’immagine) e i calcoli relativi alla seconda misura:∆T °C = (0,1226 ± 1 ⋅10 −4 ) ∆t s Jc = 896 kg ⋅ °Cb = 12,1cmh = 22,2cmm = 225,9 ga = 0,9 J 896 ⋅ 0,2259kg cm ∆T kg ⋅ °C °C WI Sole = ⋅ = ⋅ 0,1226 ≈ 1,026 ⋅ 10 3 2 abh ∆t 0,9 ⋅ 0,121m ⋅ 0,222m s mLa tensione indicata dal multimetro e generata dal sensore ad infrarossi era di 43,3 mV.CALCOLO DELL’ERRORE:Il programma DataStudio svolge anche un calcolo dell’errore per via statistica sulla retta dei mini-mi quadrati; ciò permette di scrivere il rapporto incrementale della retta interpolante in questo ∆T °C ∆T °Cmodo: = ( 9362 ± 9) ⋅ 10 −5 e = (1226 ± 1) ⋅ 10 −4 , per la seconda misura. ∆t s ∆t sL’incertezza ottenuta sulla pendenza della curva (indicata con k nei calcoli seguenti) deve esserepropagata per giungere all’incertezza sull’irradiamento al suolo: °C J 9 ⋅10 −5 1∆I ∆k ∆m ∆c ∆b ∆h s 0,1g kg ⋅ °C 0,1cm 0,1cm = + + + + = + + + + = I k m c b h − 2 °C 231,8 g J 12,3cm 22,0cm 9,362 ⋅10 896 s kg ⋅ °C= 9,62 ⋅10 -4 + 4,31 ⋅10 -4 + 1,12 ⋅10 -3 + 8,13 ⋅10 -3 + 4,55 ⋅10 -3 = 1,51 ⋅10 -2 → E% = 1,52%∆I W W = 1,52 ⋅ 10 −2 → ∆I = 1,52 ⋅ 10 −2 ⋅ I = 1,52 ⋅ 10 −2 ⋅ 7,98 ⋅ 10 2 2 = 12,1 2 I m mIl calcolo dell’errore relativo al secondo esperimento è:10
  11. 11. °C J 1 ⋅ 10 −4 1∆I ∆k ∆m ∆c ∆b ∆h s 0,1g kg ⋅ °C 0,1cm 0,1cm = + + + + = + + + + = I k m c b h −1 °C 225,9 g J 12,1cm 22,1cm 1,226 ⋅ 10 896 s kg ⋅ °C= 8,16 ⋅ 10 -4 + 4,43 ⋅ 10 -4 + 1,12 ⋅ 10 -3 + 8,26 ⋅ 10 -3 + 4,52 ⋅ 10 -3 = 1,46 ⋅ 10 -2 → E % = 1,52%∆I W W = 1,52 ⋅ 10 −2 → ∆I = 1,52 ⋅ 10 −2 ⋅ I = 1,52 ⋅ 10 −2 ⋅ 1.026 ⋅ 10 3 2 = 15.6 2 I m mCONCLUSIONI: WIl valore trovato dell’irradiamento solare al suolo è I solare = ( 8,0 ± 0,1) ⋅ 10 2 , nel primo giorno e m2 WI solare = (103 ± 2) ⋅ 10nel secondo, con un errore pari a circa 1,5 % in entrambe le determina- m2zioni, che è un buon risultato considerate le difficoltà di misura.Il calcolo dell’errore non tiene in considerazione l’incertezza sul coefficiente di assorbimento che èsolamente stimato essere 0,9; non si conosce infatti la sua incertezza. Pertanto un ulteriore miglio-ramento dell’esperienza può essere la determinazione del coefficiente a del pannello, sfruttandole differenti temperature raggiunte esponendo la lastrina per uno stesso periodo di tempo ad unafonte di radiazione di intensità nota prima dalla faccia opaca poi da quella non verniciata.L’incertezza relativa sul valore dell’irradiamento è molto contenuta (1,5%), inferiore a quella otte-nuta con il procedimento sperimentale illustrato nella relazione “Energia dal Sole” (2%). Nel com-plesso però questo metodo presenta un considerevole vantaggio rispetto a quello precedente-mente utilizzato per la rapidità di esecuzione (pochi minuti contro 40-45 minuti). Si tratta di unvantaggio significativo poiché non richiede la stabilità delle condizioni atmosferiche (vento, velatu-ra dovuta alle nubi).Ultimo possibile sviluppo dell’esperienza è la ricerca di una dipendenza tra l’irradiamento al suoloe il valore di tensione in uscita dal sensore ad infrarossi. Si può solamente concludere che all’au-mentare dell’irradiamento al suolo aumenta anche la tensione rilevata. Uno studio su questa pro-porzionalità può essere oggetto di una nuova esperienza.11
  12. 12. APPENDICE: EQUAZIONI DELLE CURVE DI TEMPERATURAI dati raccolti per l’esperienza del pannello permettono anche un’altra interessante elaborazioneovvero la determinazione delle leggi che esprimono la temperatura del pannello in funzione deltempo, nella fase di salita e in quella di discesa e il calcolo di una costante caratteristica della la-strina, chiamata τ.FASE DI SALITA:L’interpolazione dei dati raccolti con una curva esponenziale inversa effettuata con il software Da-taStudio fornisce come equazione generale y = A(1 − e −Cx ) + B . Il programma fornisce anche icoefficienti e i relativi errori ad essi associati:A = (55,0 ± 0,03)°CB = (16,7 ± 0,03)°CC = (218 ± 0,3) ⋅10 −5 s −1 (Pertanto l’equazione della funzione di best fit è: T (t ) = 55,0°C 1 − e −2,18⋅10 −3 −1 s t ) + 16,7°C .  −  tL’equazione della curva può essere riscritta come y = A1 − e τ  + B , dove τ, l’inverso di C è il    tempo caratteristico della lastrina, ovvero una costante che indica quanto rapidamente il pannello12
  13. 13. raggiunge l’equilibrio tra il calore disperso e quello in arrivo da una certa radiazione, che nel no- 1 1stro caso era la radiazione solare. Per quanto detto τ = = s = 4,59 ⋅ 10 2 s . C 2,18 ⋅ 10 −3Dopo 4-5τ la fase di crescita di crescita della temperatura del pannello è da considerarsi terminata.L’incertezza su tale costante può essere determinata sapendo che l’errore relativo del coefficiente ∆τ ∆C ∆C 3 ⋅ 10 −6 s −1C e di τ devono essere uguali: = → ∆τ = ⋅τ = ⋅ 4,59 ⋅ 10 2 s ≈ 0,6s . L’errore τ C C −3 −1 2,18 ⋅ 10 s ∆C 3 ⋅ 10 −6 s −1percentuale è E % = 100 ⋅ = 100 ⋅ ≈ 0,14% . Il tempo caratteristico può pertanto es- C 2,18 ⋅ 10 −3 s −1sere scritto come τ = (459,0 ± 0,6) s .L’osservazione del grafico mostra che la temperatura T del pannello durante l’esperienza tende astabilizzarsi a circa 70°C, compatibilmente con gli errori sperimentali che causano fluttuazioni dellatemperatura intorno a tale valore.Per determinare in modo più preciso la temperatura alla quale sono compensati gli scambi termicisi deve studiare il comportamento della funzione di best fit per t tendente ad infinito, quindi si   − t    − t considera il limite tlim  A1 − e τ → +∞   + B  = lim  A − Ae τ + B  = A + B         t →+∞   tIl termine − e −τ tende infatti a 0 per t tendente ad infinito; quanto rapidamente tende adannullarsi dipende dal valore di τ. Il limite trovato è A+B, questa espressione deve essere latemperatura cercata, di raggiunta compensazione termica.Te = A + B = 55,0°C + 16,7°C = 71,7°C∆Te = ∆A + ∆B = 0,03°C + 0,03°C = 0,06°CTe = ( 71,7 ± 0,06 ) °CIl valore trovato è in accordo con l’osservazione del grafico.Calcolando invece il limite della funzione per t tendente a 0 si deve ottenere la temperatura inziale   t    + B  = lim [ A(1 − 1) + B ] = B . − 1 − e τdel pannello, che è rappresentata dal valore B: lim  A t →0       t →+∞ E’ possibile determinare τ anche utilizzando un altro metodo. E’ necessario trovare la funzione de-rivata della funzione interpolante rispetto al tempo:d       t t  + B  = d  A − Ae τ + B  = A ⋅ e −τ . − − t A1 − e τdt        dt     τ 13
  14. 14. L’equazione iniziale della curva può essere nuovamente riscritta come : t t + B → T (t ) = Te − Ae τ , dove Ta = A + B . − −T (t ) = A − Ae τ tIsolando al primo membro il termine esponenziale si ottiene Ae −τ = T − T (t ) . Il temine al primo emembro compare anche nella derivata prima di T(t). Esso è quindi pari alla differenza tra latemperatura di compensazione termica e la temperatura T(t), sostituendo nella derivata di T(t) si t A −τ T (t ) − Teottiene ⋅e = τ τ T (t ) − TeSi arriva pertanto a scrivere l’equazione differenziale T (t ) = e la sua formula inversa ot- τ Te − T (t ) Te − T (t )tenuta isolando τ è τ = ≈ , dove m indica il coefficiente angolare della curva in T (t ) mun punto di ascissa t.L’istante scelto sarà quello in cui la temperatura del pannello raggiunge quella dell’ambiente. Sial’istante t in cui ciò avviene, sia la temperatura T(t) ad esso corrispondente che il coefficiente an-golare (m) della retta di best fit (che approssima la derivata alla curva) sono già stati determinati:t = 102,5sT = ( 27,89 ± 0,01) °CTe = ( 71,70 ± 0,06 ) °C °Cm = ( 9362 ± 9 ) ⋅ 10 −5 s 71,7°C − 27,89°C τ= = 4,68 ⋅ 10 2 sSostituendo i valori numerici nella formula si ha °C 9,362 ⋅ 10 −2 sL’errore può essere stimato conoscendo le incertezze sulle singole misure, come già fatto in prece-denza: °C 9 ⋅ 10 −5∆τ ∆Te + ∆T ∆m 0,01°C + 0,06°C s = + = + = 2,56 ⋅ 10 −3 → E % ≈ 0,26% τ Te − T m 43,81°C °C 9,362 ⋅ 10 −2 s∆τ = τ ⋅ 2,56 ⋅ 10 = 4,68 ⋅ 10 s ⋅ 2,56 ⋅ 10 ≈ 2,0 s −3 2 −3Il tempo caratteristico può quindi essere scritto come τ = (468 ± 2) s .14
  15. 15. FASE DI DISCESA - LEGGE DI NEWTONSfruttando i dati della fase di discesa che sono stati raccolti in un’esperienza precedente è possibi-le studiare anche il raffreddamento dei corpi, cercando di trovare un’equazione che possa espri-mere la temperatura del pannello in funzione del tempo.DataStudio fornisce per la curva di discesa del grafico l’andamento di una funzione esponenzialedecrescente avente equazione generale y = Ae −Cx + B .Il software fornisce anche un’approssimazione dei coefficienti A, B e C e dei loro relativi errori: A = (38,5 ± 0,2)°C B = (24,1 ± 0,2)°C C = (121 ± 2) ⋅ 10− 3 s −1In questa elaborazione è stato fatto coincidere il primo dato della curva di discesa con lo zero del-l’asse temporale, per studiare la curva esponenziale. Nel grafico sottostante sono mostratele informazioni fornite da DataStudio.I calcoli in questa sezione sono stati effettuati solamente per una delle tre curve; è tuttavia possi-bile ripeterli anche sugli altri dati ottenendo analoghi risultati.15
  16. 16. L’equazione che descrive la temperatura in funzione di t può quindi essere scritta come −1T (t ) = 38.5°C ⋅ e −0.121s t + 24.1°CPiù il tempo passa più la temperatura del pannello si avvicinerà a quella dell’ambiente che si puòpertanto trovare considerando il limite per t tendente ad infinito: tlim ( Ae + B ) = B . − Cx → +∞Quindi l’offset della curva esponenziale è la temperatura ambiente, in questo caso 24.1°C, allaquale la funzione tende asintoticamente.Calcolando invece il limite per t → 0 (l’istante di inizio del raffreddamento) si ottienelim( Ae −Cx + B ) = A + B . Quindi indicando Ti la temperatura della lastrina in t=0 s si può scriveret →0l’equazione Ti = A + B → A = Ti − B . Il significato fisico del coefficiente A è quindi la differenza trala temperatura iniziale del pannello e quella dell’ambiente, supponendo che essa sia stabile. Lefluttuazioni della curva sperimentale rispetto a quella teorica sono infatti in gran parte dovute allevariazioni della temperatura ambiente stessa.Da un punto di vista qualitativo è possibile affermare che la velocità con cui un corpo si raffredda(coefficiente angolare della retta tangente) diminuisce col passare del tempo. Uno studio quantita-tivo può essere effettuato costruendo il grafico della velocità di diminuzione della temperatura,quindi della derivata alla curva in un punto, in funzione della differenza di temperatura con l’am-biente, per verificare che tipo di proporzionalità fra essi intercorre e calcolarne le costanti.Si effettua un campionamento dei valori della derivata della funzione interpolante, ogni 30 s, ovve-ro ogni valore sperimentale raccolto. Lo stesso campionamento verrà effettuato sulla differenza ditemperatura, in modo che essi siano coincidenti rispetto al tempo e possano originare una nube dipunti considerando la derivata come ordinata e la differenza di temperatura come ascissa.La derivata in t della funzione è d dt ( Ae −Ct + B ) = dt Ae −Ct = − ACe −Ct . d16
  17. 17. Il grafico ottenuto dopo le opportune elaborazioni è il seguente:Il valore R2 è il quadrato del coefficiente di correlazione. Il coefficiente di correlazione, R, dà unamisura della adeguatezza della relazione lineare tra i valori in ascissa e quelli in ordinata. Un valoredi R = 1 indica una esatta relazione lineare tra x e y.Quindi più R2 è vicino a 1, migliore sarà l’approssimazione che la relazione lineare fornisce delfenomeno, in questo caso esso vale 0.998, che differisce dall’unità solo per due parti su mille: larelazione ottenuta col foglio di calcolo può considerarsi molto attendibile.CONCLUSIONI:La retta interpolante i punti del grafico indica una proporzionalità diretta poiché essa passa per l’o-rigine, cioè la sua equazione ha termine noto uguale a 0. Si può pertanto scrivere l’equazione diffe- dTrenziale = −k[T (t ) − Ta ] , che conferma e riassume le considerazioni fatte sul raffreddamento dtdei corpi. Questa equazione prende il nome di legge del raffreddamento di Newton.17
  18. 18. Il coefficiente k è l’opposto del coefficiente angolare della retta interpolante, pertanto -k è il coef-ficiente della retta.Il fattore [T (t ) − Ta ] è sempre positivo poiché la temperatura del pannello sarà sempre superioredella temperatura ambiente, in quanto l’equazione di T(t) ha per asintoto orizzontale la rettay = Ta , mentre –k è un fattore negativo come si evince dall’osservazione della retta che si trovanel IV quadrante. dTLe considerazioni fatte permettono di affermare che essendo il prodotto di un fattore dtnegativo e di un positivo deve essere negativo. Ciò vuole dire che la variazione istantanea dellatemperatura del pannello è sempre negativa, ovvero che essa diminuisca al passare del tempo, ilche è in accordo con l’esperienza.La legge di Newton vale solo se si assume che il calore ceduto all’ambiente non ne influenzi la tem-peratura o che comunque Ta sia costante. Se cade questa ipotesi la legge deve essere modificata,sostituendo al valore Ta una funzione che indica la temperatura ambiente in ogni istante:dT = − k[T (t ) − Ta (t )] .dtIl coefficiente k determinato come opposto del coefficiente angolare della retta di regressione li-neare è in realtà il valore di C nell’equazione della discesa esponenziale, ricordando che dTT (t ) = A −Ct + B , = − AC −Ct e Ta = B . dtdT = − k[T (t ) − Ta ] → − ACe −Ct = −k [ Ae −Ct + B − B] → − ACe −Ct = −kAe −Ct → −C = − k → k = Cdt dTNel nostro caso sostituendo alle lettere i valori numerici si ottiene = −0.121s −1[T (t ) − 24.1°C ] , dt °CPoiché l’unità di misura della derivata è e secondo membro si ottiene °C ⋅ s −1 : le unità di misu- sra sono corrette.RISOLUZIONE DELL’EQUAZIONE DIFFERENZIALEDi seguito sono riportati i passaggi da effettuare per giungere alla soluzione dell’equazione diNewton, ritornando quindi all’equazione T(t) che avrà la stessa forma determinata da DataStudioall’inizio dell’elaborazione.La legge dal punto di vista matematico è un’equazione differenziale del primo ordine lineare acoefficienti costanti. E’ quindi possibile operare mediante separazione delle variabili:18
  19. 19. dT dT 1 = −k[T (t ) − Ta ] → = −kdt → ∫ dT = −k ∫ dt → ln T (t ) − Ta + c1 = −kt + c 2 →dt [T (t ) − Ta ] T (t ) − Ta ln T ( t ) −Taln T (t ) − Ta = −kt + c → e = e −kt +c → T (t ) − Ta = e −kt +c → T (t ) − Ta = e −kt +c → T (t ) = e − kt +c + TaE’ possibile non considerare il valore assoluto dell’espressione T (t ) − Ta poiché essa è semprepositiva dato che T(t) tende asintoticamente a Ta, ovviamente senza mai raggiungerla.Si è operata la sostituzione c = c2 − c1 per ottenere nella soluzione finale una sola costante arbitra-ria anziché due. Ta = B Operando le seguenti sostituzioni c = ln A , si ottiene T (t ) = e −Ct +ln A + B = Ae −Ct + B , che è la k = C stessa equazione restituita da Data Studio.19

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