Math: systems (French)

C URRICULUM V ITAE S TEVE DE RIDDER MM001 Fmn Civ suivie: Ch1. ... - 1998 : gréco-latine (Sint-Maarteninstituut à Alost) Aperçu 2008 - 2010 : Master Informatique Appliquée général (Vrije Universiteit Brussel) Linéair Fmn Mil suivie: Linéarité 18 Sep 1998 - 01 Déc 2002 : Formation ERM La droite (138ième Prom ”Toutes Armes” - SSMW) Quadratique 01 Déc 2002 - Jan 2004 : Ecole d’arme Inf, CIS, . . . Systèmes 25 Oct 2004 - 18 Nov 2004 : AI EPS Déﬁnition Signiﬁcation 30 Jan 2006 - 17 Fév 2006 : FBEM phase joint Substitution 12 Mar 2007 - 30 Mar 2007 : FBEM phase composante de terre Combination Gauss Fonctions: Gauss-Jordan Jan 2004 - 20 Feb 2006 : 2 Gp CIS (HAASDONK) Types de systèmes Comd Pl SLD (Short and Long Distance) Paramètre 26 Sep 2004 : nomination lieutenant Exercices 20 Fév 2006 - 16 Avr 2007 : 2 Gp CIS (HAASDONK) AS3 Ops 15 Sep 2006 - 12 Féb 2007 : BELUFIL I (TIBNIN - LEB) S6 16 Avr 2007 - ... : ERM (BRUXELLES) répétiteur militaire Dépt Mathématiques 26 Sep 2009 : nomination capitaine

C HAPITRE 1: E QUATIONS LINÉAIRES ET QUADRATIQUES - SYSTÈME LINÉAIRE MM001 Ch1. Aperçu général Linéair Linéarité La droite Quadratique Systèmes Déﬁnition Signiﬁcation Substitution Combination Gauss Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre Exercices

A PERÇU MM001 Ch1. Aperçu général F ONCTIONS LINÉAIRES : Linéair linéarité Linéarité La droite équation de la droite dans le plan Quadratique Systèmes Définition F ONCTIONS QUADRATIQUES : Signification Substitution définition Combination Gauss Gauss-Jordan résoudre une équation quadratique Types de systèmes Paramètre Exercices S YSTÈME D ’ ÉQUATIONS LINÉAIRES :

A PERÇU MM001 Ch1. F ONCTIONS LINÉAIRES : Aperçu général Linéair F ONCTIONS QUADRATIQUES : Linéarité La droite Quadratique S YSTÈME D ’ ÉQUATIONS LINÉAIRES : Systèmes Définition définition Signification Substitution Combination signification Gauss Gauss-Jordan résolution Types de systèmes Paramètre par substitution Exercices par combinaison linéaire par Gauss par Gauss-Jordan système avec paramètre

L INÉARITÉ MM001 D ÉFINITION Ch1. y dépend linéairement de x0 , x1 , . . . , xn s’il y a des Aperçu général constantes a0 , a1 , . . . , an tel que Linéair Linéarité La droite y = a0 x0 + a1 x1 + . . . an xn Quadratique Systèmes ex. 1. Déﬁnition 1 Signiﬁcation Substitution y = 3 + x − 2z Combination 4 Gauss Gauss-Jordan ex. 2. non linéaire Types de systèmes Paramètre Exercices 1 y = 3 + x − 2xz 4 1 y = 3 + x 2 − 2z 4

E QUATION D ’ UNE DROITE DANS LE PLAN MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu y = ax + b général y − y1 y1 − y2 Linéair = Linéarité La droite x − x1 x1 − x2 Quadratique y = y1 + a(x − x1 ) Systèmes Définition Signification Substitution R EMARQUE 1. Combination Gauss ∆y y2 − y1 Gauss-Jordan a= = est le coefficient angulaire (la pente). Types de systèmes ∆x x2 − x1 Paramètre Exercices a > 0 → droite croissante. a < 0 → droite décroissante. a = 0 → droite à l’axe des X .

E QUATION D ’ UNE DROITE DANS LE PLAN MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu y = ax + b général Linéair y − y1 y1 − y2 = Linéarité La droite x − x1 x1 − x2 Quadratique y = y1 + a(x − x1 ) Systèmes Définition Signification Substitution R EMARQUE 1. Combination Gauss ∆y y2 − y1 Gauss-Jordan a= = est le coefficient angulaire (la pente). Types de systèmes Paramètre ∆x x2 − x1 Exercices y1 = a1 x + b1 y2 = a2 x + b2 ⇐⇒ a1 = a2 . 1 y1 = a1 x + b1 ⊥ y2 = a2 x + b2 ⇐⇒ a1 = − . a2

E QUATION D ’ UNE DROITE DANS LE PLAN MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu général y = ax + b Linéair y − y1 y1 − y2 Linéarité = La droite x − x1 x1 − x2 Quadratique Systèmes y = y1 + a(x − x1 ) Déﬁnition Signiﬁcation Substitution Combination R EMARQUE 2. Gauss Gauss-Jordan b est la constante. Types de systèmes Paramètre Exercices b > 0 → intersection avec l’axe des Y : (0, +). b < 0 → intersection avec l’axe des Y : (0, −). b = 0 → droite par l’origine.

E QUATION D ’ UNE DROITE DANS LE PLAN MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu général y = ax + b Linéair Linéarité y − y1 y1 − y2 La droite = Quadratique x − x1 x1 − x2 Systèmes y = y1 + a(x − x1 ) Déﬁnition Signiﬁcation Substitution Combination Gauss R EMARQUE 3. (− b , 0) est l’intersection avec l’axe des X . Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre a Exercices ex. 1: y = 2x − 3 ex. 2: 2y = −x + 1

T EMPS POUR UNE PAUSE MM001 Ch1. Aperçu général Linéair Linéarité La droite Quadratique Systèmes Déﬁnition Signiﬁcation Substitution Combination Gauss Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre Exercices

E QUATION D ’ UNE PARABOLE DANS LE PLAN MM001 Ch1. Aperçu général D ÉFINITION Linéair Linéarité y = ax 2 + bx + c La droite Quadratique Systèmes R EMARQUE 1. Déﬁnition Signiﬁcation a détermine l’ouverture de la parabole: Substitution Combination Gauss Gauss-Jordan a > 0 → parabole vallée. Types de systèmes Paramètre a < 0 → parabole colline. Exercices a = 0 → droite.

E QUATION D ’ UNE PARABOLE DANS LE PLAN MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu général Linéair y = ax 2 + bx + c Linéarité La droite Quadratique R EMARQUE 2. Systèmes Déﬁnition D = b2 − 4ac détermine les zéros (racines) de la parabole Signiﬁcation Substitution Combination −b Gauss D = 0 → (x, y ) = ( , 0). Gauss-Jordan Types de systèmes 2a √ Paramètre −b ± D Exercices D > 0 → (x, y ) = ( , 0). 2a D < 0 → pas de zéros dans R (pourtant, dans C . . .).

D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE MM001 Ch1. Aperçu D ÉFINITION général Linéair Un système (ensemble) d’équations linéaires: Linéarité   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 La droite Quadratique   a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Systèmes . Déﬁnition Signiﬁcation  .  . Substitution  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm  Combination Gauss Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre 1 m équations et n inconnues Exercices 2 aij , bi ∈ R

I NTERPRÉTATION MM001 Ch1. Pour un système à deux équations et deux inconnues: Aperçu général a1 x + b1 y = c1 (1) Linéair Linéarité a2 x + b2 y = c2 (2) La droite Quadratique Valable en même temps! Systèmes Déﬁnition Signiﬁcation Substitution (1) = (2) → ∞ solutions Combination Gauss Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre (1) (2) → solutions Exercices (1) (2) → 1 solution

R ÉSOLUTION PAR SUBSTITUTION MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu 1 Mettre en évidence une variable en une équation général Linéair 2 Substituer celle-ci dans les autres équations Linéarité La droite 3 Répéter si nécessaire Quadratique Systèmes Déﬁnition 3x − y = 1 (1) Signiﬁcation Substitution x + 2y = 5 (2) Combination Gauss Gauss-Jordan y = 3x − 1 (1) Types de systèmes Paramètre x + 2y = 5 (2) Exercices (1) en (2) → x + 2(3x − 1) = 5 → x = 1 x = 1 en (1) ou (2) → y = 2 ⇒ (x, y ) = (1, 2)

R ÉSOLUTION PAR COMBINAISON LINÉAIRE MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu 1 Multiplier une équation par une constante général Linéair 2 Aditionner deux équations Linéarité La droite n’a aucune influence sur l’ensemble des solutions. Quadratique Donc: faire des combinaisons linéaires sur les équations du Systèmes Définition système. Signification Substitution Combination Gauss Gauss-Jordan 3x − y = 1 (V1 ) Types de systèmes Paramètre x + 2y = 5 (V2 ) Exercices (V1 ) − 3(V2 ) ⇐⇒ 0x − 7y = −14 ⇐⇒ y = 2 2(V1 ) + (V2 ) ⇐⇒ 7x + 0y = 7 ⇐⇒ x = 1 ⇒ (x, y ) = (1, 2)

R ÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE G AUSS MM001 Ch1. Aperçu D ÉFINITION général Linéair Appliquer par itération une de ces opérations: Linéarité La droite 1 Changer deux équations de place Quadratique 2 Multiplier une équation avec un nombre ∈ R0 Systèmes Déﬁnition 3 Additionner un multiple d’une autre équation (ou Signiﬁcation Substitution soustraire . . . ) Combination Gauss Gauss-Jordan Garder toujours une équation (la ligne pivot) et faire en Types de systèmes Paramètre sorte que les autres éléments dans la colonne pivot Exercices au-dessous du pivot deviennent 0. On obtient alors un triangle supérieur.

R ÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE G AUSS MM001 Ch1.   2x + y − z = 1 (V1 ) Aperçu général 3x + y − z = 3 (V2 ) 5x − y − 3z = 0 (V3 )  Linéair Linéarité La droite Quadratique  Systèmes  2 x +y −z = 1 (V1 = V1 ) Déﬁnition Signiﬁcation −y + z = 3 (V2 = 2V2 − 3V1 ) Substitution −7y − z = −5 (V3 = 2V3 − 5V1 )  Combination Gauss Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre  Exercices  2x + y − z = 1 (V1 = V1 ) -1 y + z = 3 (V2 = V2 ) 8z = 26 (V3 = −V3 + 7V2 ) 

R ÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE G AUSS MM001 Ch1. Aperçu général Linéair Linéarité La droite 1 13 (x, y , z) = (2, , ) Quadratique 4 4 Systèmes Déﬁnition Signiﬁcation Substitution Interprétation: intersection unique de trois plans dans Combination Gauss l’espace. Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre Exercices

R ÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE G AUSS -J ORDAN MM001 Ch1. Aperçu D ÉFINITION général Linéair Appliquer par itération une de ces opérations: Linéarité La droite 1 Changer deux équations de place Quadratique 2 Multiplier une équation avec un nombre ∈ R0 Systèmes Déﬁnition 3 Additionner un multiple d’une autre équation (ou Signiﬁcation Substitution soustraire . . . ) Combination Gauss Gauss-Jordan Garder toujours une équation (la ligne pivot) et faire en Types de systèmes Paramètre sorte que les autres éléments dans la colonne pivot Exercices au-dessous et au-dessus du pivot deviennent 0. On obtient ainsi une diagonale principale d’éléments.

R ÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE G AUSS -J ORDAN MM001  Ch1.  2x +y −z = 1 (V1 ) Aperçu 3x +y −z = 3 (V2 ) général 5x −y −3z = 0  (V3 ) Linéair Linéarité La droite Quadratique  Systèmes  2x +y −z = 1 (V1 = V1 ) Déﬁnition Signiﬁcation Substitution 0x -1 y +z = 3 (V2 = 2V2 − 3V1 ) 0x −7y −z = −5 (V3 = 2V3 − 5V1 ) Combination  Gauss Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre Exercices   −2x +0y +0z = −4 (V1 = −V1 − V2 ) 0x −1y +z = 3 (V2 = V2 ) 0x + 8 z = 26 (V3 = −V3 + 7V2 )  +0y

R ÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE G AUSS -J ORDAN MM001 Ch1. Aperçu général  Linéair  −16x +0y +0z = −32 (V1 = 36V1 + 4V3 ) Linéarité La droite 0x −8y +0z = −2 (V2 = 36V2 − 10V3 ) 0x +0y +8z = 26 (V3 = V3 )  Quadratique Systèmes Déﬁnition Signiﬁcation Substitution 1 13 Combination (x, y , z) = (2, , ) Gauss 4 4 Gauss-Jordan Types de systèmes Paramètre Exercices Interprétation: intersection unique de trois plans dans l’espace.

T YPES DE SYSTÈMES MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu Ramener deux équations identiques à une seule équation. général Linéair Linéarité La droite D ÉFINITION Quadratique On appelle m le nombre d’équations et n le nombre Systèmes d’inconnues. Alors on a (dans la plupart des cas) Déﬁnition Signiﬁcation Substitution 1 m = n ⇒ solution unique. Combination Gauss Gauss-Jordan 2 m>n⇒ solution. Types de systèmes Paramètre 3 n > m ⇒ ∞ solutions. Exercices 2x +y −z = 1 3x y +z = 3

S YSTÈME AVEC PARAMÈTRES MM001 Ch1. D ÉFINITION Aperçu général Déterminir la ou les paramètre(s) pour que notre système Linéair Linéarité aît La droite Quadratique 1 une solution unique Systèmes 2 solution Déﬁnition Signiﬁcation Substitution 3 ∞ solutions Combination Gauss Gauss-Jordan . Types de systèmes Paramètre Exercices x +2y = 1 2x +ky = 2

E XERCICES DE SYNTHÈSE MM001 O N DONNE : Ch1. trois points: A(1, 3), B(5, 1), C(2, 7) Aperçu général Linéair Linéarité O N DEMANDE : La droite 1 établir l’équation des droites AB, AC et BC Quadratique Systèmes 2 dessiner le triangle ABC Déﬁnition Signiﬁcation 3 établir l’équation des trois lignes de hauteur de ABC Substitution Combination Gauss 4 déterminer le point d’intersection de ces trois lignes de Gauss-Jordan Types de systèmes hauteur Paramètre Exercices Pour votre info: ligne de hauteur = ligne à travers un sommet et ⊥ au côté opposé (cfr Ch. 3) S OLUTION :

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