2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ ∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΠΟΛΥ

12 Φεβρουαρίου 2014


1 / 121




ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Αποστόλου Γεώργιος
Μαθηµατικός
apgeorge2004@yahoo.com

ΙΩΑΝΝΙΝΑ

Αποστόλου Γεώργιος Μαθηµατικός apgeorge2004@yahoo.com

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΙΩΑΝΝΙΝΑ 12 Φεβρουαρίου 2014

2 / 121




Βασικές Γνώσεις


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


3 / 121




Περιεχόµενα
1
2

3
4
5

6
7
8
9
10

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ
ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΩΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ
∆ΙΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ Vietta
∆ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ
ΠΟΛΥΩΝΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3ου ΒΑΘΜΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΩ
ΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


3 / 121




Εξισώσεις


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


4 / 121




Ερώτηση 1η
Τι ονοµάζουµε εξίσωση µε έναν άγνωστο ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


5 / 121




Εξίσωση
Είναι µια ισότητα µεταξύ δυο συναρτήσεων, f (x ) = g (x ) που έχουν το ίδιο
πεδίο ορισµού.
Η οποία όµως, δεν είναι απαραίτητο να ισχύει, για όλο το πλήθος των τιµών της
µεταβλητής x.
Η διαδικασία την οποία ακολουθούµε, για να προσδιορίσουµε τις τιµές της
µεταβλητής, που επαληθεύουν την ισότητα, ονοµάζετε επίλυση της εξίσωσης.
Ισοδύναµες λέγονται οι εξισώσεις που έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


6 / 121





Εξισώσεις 1ου ϐαθµού
Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο πρωτοβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx + β = 0, όπου α, β
πραγµατικοί αριθµοί.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


7 / 121





Ερώτηση 2η
Πως λύνουµε µια εξίσωση πρώτου βαθµού ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


8 / 121





Μεθοδολογία
Για να λύσουµε µια εξίσωση 1ου ϐαθµού,
κάνουµε τις πράξεις,
χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους
αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι ≠ 0 διαιρούµε µε αυτόν και τα δυο µέλη,
διαφορετικά η εξίσωση είναι ή αδύνατη ή αόριστη.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


9 / 121





Παράδειγµα 1ο
Να λυθεί η εξίσωση 2(x + 1) = −x + 3
Λύση
2(x + 1) = −x + 3

⇔ 2x + 2 = −x + 3
⇔ 2x + x = 3 − 2
⇔ 3x = 1
⇔ x=

1
3

άρα, η εξίσωση έχει µοναδική λύση.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


10 / 121





Να λυθεί η εξίσωση x + 3 = 2(x − 3) − x
Λύση
x + 3 = 2(x − 3) − x

⇔ x + 3 = 2x − 6 − x
⇔ x − 2x + x = −6 − 3
⇔ 0x = −8

το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση δεν έχει λύση.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


11 / 121





Να λυθεί η εξίσωση 5(x − 3) − x = 4x − 15
Λύση
5(x − 3) − x = 4x − 15

⇔ 5x − 15 − x = 4x − 15
⇔ 5x − x − 4x = 15 − 15
⇔ 0x = 0

το οποίο, ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση είναι αόριστη, δηλαδή έχει
άπειρες λύσεις.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


12 / 121





Ερώτηση 3η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


13 / 121





Παραµετρικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν
κι άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


14 / 121





∆ιερεύνηση παραµετρικής εξίσωσης
Είναι :
αx + β = 0 ⇔ αx = −β
Τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :

β
α
Αν α = 0 τότε από : αx = −β ⇔ 0x = −β

Αν α ≠ 0 τότε από : αx = −β ⇔ x = − , µοναδική λύση.
τώρα αν :
i. β ≠ 0 έχουµε, 0x = −β ≠ 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση
είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες.
ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x ∈ R, άρα η εξίσωση
είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


15 / 121





Να λυθεί η εξίσωση λ2 x − 1 = x + λ (1) για τις διάφορες τιµές του λ ∈ R.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


16 / 121





Λύση
Λύση
Για να λύσω την παραµετρική εξίσωση, ϑα πρέπει να ϕέρω την εξίσωση στη
µορφή: αx = β

λ2 x − 1 = x + λ ⇔ λ2 x − x = 1 + λ
⇔ (λ2 − 1)x = 1 + λ

τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις :


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


17 / 121





Λύση
Αν λ2 − 1 ≠ 0 ⇒ λ ≠ ±1 ⇒ λ ∈ R − {−1, 1}
τότε η εξίσωση έχει µοναδική λύση την :
1+λ
1
1+λ
=
=
x= 2
λ − 1 (λ − 1)(λ + 1) λ − 1
Αν λ=-1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 0 άρα η εξίσωση είναι
αόριστη, έχει άπειρες λύσεις.
Αν λ=1, αντικαθιστώντας στην (1) έχουµε : 0x = 2 άρα η εξίσωση είναι
αδύνατη, δεν έχει καµία λύση.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


18 / 121





Ερώτηση 4η
Ποιοι είναι οι ποιο συνηθισµένοι τρόποι για να ανάγουµε την επίλυση µιας
εξίσωσης, σε επίλυση εξισώσεων πρώτου βαθµού ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


19 / 121





Αναγωγή σε εξισώσεις 1ου ϐαθµού
Παραγοντοποίηση A(x )B (x ) = 0 ⇐⇒ A(x ) = 0 ή B (x ) = 0
΄Αθροισµα µη αρνητικών προσθετέων π.χ.
A2 (x ) + B 2 (x ) = 0 ⇐⇒ A(x ) = 0 και B (x ) = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


20 / 121





Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 7x + 6 = 0
Λύση
x 2 − 7x + 6 = 0


⇔ x 2 − (6 + 1 ) x + 6 ⋅ 1 = 0
⇔ (x − 6 ) ⋅ (x − 1 ) = 0
⇔ x −6=0 ή x −1=0
⇔ x=6 ή x=1

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


21 / 121





Να λυθεί η εξίσωση (x − 2)2 + (x 2 − 4)2 = 0
Λύση
Πρέπει x − 2 = 0 ⇐⇒ x = 2 και x 2 − 4 = 0 ⇐⇒ x = ±2
΄Αρα η κοινή λύση είναι x = 2


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


22 / 121





Να λυθεί η εξίσωση : (x − 3)3 − 8x 3 + (x + 3)3 = 0
Λύση
Από την ταυτότητα του Euler έχουµε ότι :
αν α + β + γ = 0 ⇒ α3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ
Η εξίσωση που µας δίνεται, γράφεται : (x − 3)3 − (2x )3 + (x + 3)3 = 0
κι έχουµε : x − 3 − 2x + x + 3 = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


23 / 121





Λύση
(x − 3)3 − 8x 3 + (x + 3)3 = 0 ⇔ (x − 3)3 − (2x )3 + (x + 3)3 = 0


⇔ (x − 3)3 − (2x )3 + (x + 3)3 = 0
⇔ 3(x − 3)(2x )(x + 3) = 0
⎧ x −3=0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ 2x = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x +3=0
⎪
⎩
⎧ x=3
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ x=0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x = −3
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


24 / 121




Ερώτηση 5η
Πως λύνω εξισώσεις µε απόλυτες τιµές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


25 / 121




΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής f (x ) = θ > 0 ⇐⇒ f (x ) = ±θ
Στο παρακάτω παράδειγµα, εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των
απολύτων τιµών, έχουµε :
2x +1 −6=0


⇐⇒ 2 x + 1 = 6
⇐⇒

x +1 =3

⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

x +1=3
x + 1 = −3
x=2
x = −4


26 / 121




΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής f (x ) = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη
΄Αρα η εξίσωση : 2x + 7 + 9 = 0 ⇒ 2x + 7 = −9 είναι αδύνατη.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


27 / 121




⎧ f (x ) = g (x )
⎪
⎪
⎪
΄Οταν έχω εξίσωση της µορφής f (x ) = g (x ) ⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ f (x ) = −g (x )
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


28 / 121




Να λυθεί η εξίσωση x − 1 − 3 x + 5 = 0
Λύση
x −1 −3x +5 =0

⇐⇒

x −1 =3x +5

⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩

⎧ x − 1 = 3x + 15
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ x − 1 = −3x − 15
⎪
x − 1 = −3(x + 5)
⎩
⎧ x = −8
⎪
⎪
−2x = 16
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ x = −7
⎪
4x = −14
⎪
⎪
2
⎩
x − 1 = 3(x + 5)


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


29 / 121




Από τη σχέση : f (x ) = f (x ) ⇒ f (x ) > 0
Οπότε από την εξίσωση x + 1 = x + 1 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ x > −1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


30 / 121




Από τη σχέση : f (x ) = −f (x ) ⇒ f (x ) < 0
Οπότε από την εξίσωση 2x − 4 = −2x + 4 ⇒ 2x − 4 < 0 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


31 / 121




΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f (x ) = g (x ),
επειδή το f (x ) ≥ 0 ϑα πρέπει και το g (x ) ≥ 0

⎧ g (x ) ≥ 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
΄Αρα από την εξίσωση f (x ) = g (x ) ⇒ ⎨ f (x ) = g (x )
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ f (x ) = −g (x )
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


32 / 121




Να λυθεί η εξίσωση 3x − 6 = 2x − 2
Λύση

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
3x − 6 = 2x − 2 ⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2x − 2 ≥ 0
3x − 6 = 2x − 2
3x − 6 = −2x + 2
x≥1

⎧ x=4
⎪
⎪
⎪
⎪
x = 4 ⇐⇒ ⎪
⎨
⎪
⎪ x=8
⎪
⎪
⎪
8
5
⎩
x=
5


33 / 121




΄Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f (x ) + g (x ) = 0 επειδή f (x ) ≥ 0 και
g (x ) ≥ 0 πρέπει να είναι : f (x ) = g (x ) = 0
΄Αρα από την εξίσωση :

⎧ x2 − 4 = 0
⎪
⎪
⎪
x 2 − 4 + 3x − 6 = 0 ⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ 3x − 6 = 0
⎪
⎩
⎧ x = ±2
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ x=2
⎪
⎩
⇐⇒ x = 2


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


34 / 121




∆ιωνυµικές εξισώσεις


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


35 / 121




Ερώτηση 6η
Πως λύνουµε εξισώσεις της µορφής x ν = α;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


36 / 121




Επίλυση διωνυµικών εξισώσεων
Οι λύσεις της εξίσωσης x ν = α είναι :
Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x =

√
ν

α
√
Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν α
√
Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = − ν α
Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


37 / 121




Παραδείγµατα
Να λυθούν οι εξισώσεις

√

x 2 = 4 ⇔ x = ± 4 = ±2
x 4 = −34 η εξίσωση είναι αδύνατη.
x3 = 8 ⇔ x =

√
3

3

8=2

√

x = −125 ⇔ x = − 3 − 125 = −5
x 20 = 0 ⇔ x = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


38 / 121





Εξισώσεις 2ου ϐαθµού
Είναι εξισώσεις µεταξύ δυο δευτεροβάθµιων πολυωνύµων, µε την ίδια
µεταβλητή.
Αυτή η εξίσωση µετά τις πράξεις παίρνει τη µορφή αx 2 + β x + γ = 0, όπου
α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, µε α ≠ 0.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


39 / 121





Ερώτηση 7η
Πως λύνουµε µια εξίσωση 2ου βαθµού ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


40 / 121





Επίλυση εξίσωσης δευτέρου ϐαθµού
Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα ∆ = β 2 − 4 ⋅ α ⋅ γ .

√
−β ± ∆
Αν ∆ > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x1,2 =
2⋅α
−β
Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x =
2⋅α
Αν ∆ = 0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη).


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


41 / 121





Να λυθεί η εξίσωση 2x 2 + 6x = 0
Λύση
2x 2 + 6x = 0

⇔ 2x (x + 3) = 0
⎧ x=0
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪ x +3=0
⎩
⎧ x=0
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪ x = −3
⎪
⎩

΄Οταν λείπει το γ ϐγάζω κοινό παράγοντα.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


42 / 121





Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 4 = 0
Λύση
x2 − 4 = 0

⇔ x2 = 4
⇔ x = ±2

΄Οταν λείπει το x χωρίζω γνωστούς από αγνώστους.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


43 / 121





Να λυθεί η εξίσωση 3x 2 + 16 = 0
Λύση
3x 2 + 16 = 0


⇔ 3x 2 = −16
αδύνατη

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


44 / 121





Να λυθεί η εξίσωση 2x 2 − 5x + 3 = 0
Λύση
Η 2x 2 − 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx 2 + β x + γ = 0
µε α = 2, β = −5, γ = 3, τότε
η ∆ = β 2 − 4αγ = (−5)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 1 > 0

√
−β ± ∆
άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x1,2 =
2⋅α


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


45 / 121





Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 6x + 9 = 0
Λύση
Η εξίσωση x 2 − 6x + 9 = 0 έχει ∆ = β 2 − 4αγ = (−6)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 0
άρα έχει διπλή ϱίζα την x =

6
2

=3


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


46 / 121





Να λυθεί η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0
Λύση
Η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0 έχει ∆ = β 2 − 4αγ = 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = −8 < 0
άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


47 / 121





Παράδειγµα 7ο Εξίσωση µε απόλυτα που ανάγεται σε
εξίσωση 2ου ϐαθµού
Να λυθεί η εξίσωση x 2 − 7 x + 12 = 0
Λύση
x 2 − 7 x + 12 = 0

⇔

x 2 − 7 x + 12 = 0 ϑέτω x = ω

ω 2 − 7ω + 12 = 0
∆ = 1 άρα έχει δυο λύσεις
⎧ ω1 = 4
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪ ω =3
⎪ 2
⎩


⎧
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

x =4
x =3
x = ±4
x + ±3


48 / 121





Ερώτηση 8η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται παραµετρικές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


49 / 121







ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


50 / 121





Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


50 / 121





Είναι οι εξισώσεις, οι οποίες εκτός από το γράµµα της µεταβλητής, περιέχουν κι
άλλα, τα οποία παίζουν το ϱόλο της παραµέτρου.
Η επίλυση µιας παραµετρικής εξίσωσης, ονοµάζετε διερεύνηση


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


50 / 121





Να λύσετε την εξίσωση : x 2 + α2 = β 2 − 2αx , α.β ∈ R


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


51 / 121





Λύση
Λύση
x 2 + α 2 = β 2 − 2α x ⇔ x 2 + 2α x + α 2 − β 2 = 0
∆ = (2α)2 − 4(α2 − β 2 ) = 4α2 − 4α2 + 4β 2 = 4β 2
Αν ∆ = 4β 2 = 0 ⇔ β = 0 τότε x = −2α
Αν β ≠ 0 τότε

√
x 1 ,2


4β 2

−2α ±
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2

−2α + 2β
2

+2α + 2β
2

−α + β
−α − β

52 / 121





Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού
΄Οταν έχω παραµετρικές εξισώσεις της µορφής
αx 2 + β x + γ = 0, ϑα πρέπει να λάβω υπόψιν µου τα παρακάτω.
΄Εχει πραγµατικές ϱίζες
α ≠ 0, ∆ ≥ 0
∆εν έχει πραγµατικές ϱίζες
α ≠ 0, ∆ < 0
΄Εχει µια διπλή πραγµατική ϱίζα
α ≠ 0, ∆ = 0
΄Εχει 2 πραγµατικές και άνισες ϱίζες
α ≠ 0, ∆ > 0
Οι ϱίζες είναι αντίθετες
α ≠ 0, ∆ > 0, S = 0
Οι ϱίζες είναι αντίστροφες
α ≠ 0, ∆ > 0, P = 1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


53 / 121





Ιδιότητες, που είναι χρήσιµες στις εξισώσεις 2ου ϐαθµού
Οι ϱίζες είναι οµόσηµες
Οι ϱίζες είναι ετερόσηµες
Οι ϱίζες είναι ϑετικές
Οι ϱίζες είναι αρνητικές

α ≠ 0, ∆ > 0, P > 0
α ≠ 0, ∆ > 0, P < 0
α ≠ 0, ∆ > 0, P > 0, S > 0
α ≠ 0, ∆ > 0, P > 0, S < 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


54 / 121





Παράδειγµα
Να ϐρείτε τις τιµές του µ ∈ R, για τις οποίες η εξίσωση
µx 2 + 2x + µ = 0, µ ≠ 0 έχει διπλή ϱιζά.
ΛΥΣΗ
Για να έχει η εξίσωση µx 2 + 2x + µ = 0 διπλή ϱιζά Θα πρέπει
µ ≠ 0, ∆ = 0
΄Αρα έχω : µ ≠ 0 το οποίο δίνεται και

∆ = 0 ⇔ 22 − 4µ 2 = 0


⇔ µ2 = 1
⇔ µ = ±1

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


55 / 121





Ερώτηση 9η
Ποιοι είναι οι τύποι του Vietta;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


56 / 121





Τύποι του Vietta
΄Οταν έχουµε την εξίσωση αx 2 + β x + γ = 0, µε α ≠ 0 και ∆ > 0,
η οποία έχει δυο λύσεις x1 , x2 τότε ισχύει :
S = x1 + x2 = −

γ
β
και P = x1 ⋅ x2 =
α
α


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


57 / 121





Αν x1 , x2 οι λύσεις της εξίσωσης x 2 + x − 12 = 0, να υπολογιστούν οι
παραστάσεις :
x1 + x2
x1 x2
2
2
x1 + x2
3
3
x1 + x2

(x1 − x2 )2
x1 − x2
2
x1

x2

+

2
x2

x1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


58 / 121





Λύση
Λύση
Στην εξίσωση x 2 + x − 10 = 0, είναι α = 1, β = 1, γ = −12 άρα :

−β
= −1
γ
γ
P = x1 x2 =
= −12
α
2
2
x1 + x2 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = (−1)2 − 2 ⋅ (−12) = 1 + 24 = 25
3
3
2
2
x1 + x2 = (x1 + x2 )(x1 − x1 x2 + x2 ) = −1(25 + 12) = −37
2
(x1 − x2 )2 √x1 − 2x1 x2 + x2 = 25 − 2 ⋅ (−12) = 49
= 2
√
x1 − x2 = (x1 − x2 )2 = 49 = 7
3
2
2
x 3 + x2
x1 x2
−37 37
+
= 1
=
=
x2 x1
x1 x2
−12 12
S = x1 + x2 =


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


59 / 121




Ερώτηση 9η
Ποιες εξισώσεις λέγονται διτετράγωνες ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


60 / 121




∆ιτετράγωνες εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx 2ν + β x ν + γ = 0
και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = x ν


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


61 / 121




Να λυθεί η εξίσωση 4x 4 + 11x 2 − 3 = 0
Λύση
4x 4 + 11x 2 − 3 = 0, ϑέτω x 2 = ω


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

⇔ 4ω 2 + 11ω − 3
⎧ ω1 = −12
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪ ω =1
⎪ 2
⎩
⎧ x 2 = −12 αδυνατη
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪ 2
⎪ x =1
⎪
⎩
⎧ x = −1
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪
⎪ x=1
⎩

62 / 121




Ερώτηση 10η
Ποιες εξισώσεις ονοµάζονται πολυωνυµικές ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


63 / 121




Πολυωνυµικές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις µεταξύ 2 πολυωνύµων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


64 / 121




Ερώτηση 11η
Πως λύνουµε πολυωνυµικές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


65 / 121




1ου ϐαθµού χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους
2ου ϐαθµού µε διακρίνουσα
3ου ϐαθµού και πάνω, κάνοντας παραγοντοποίηση, ώστε να έχω, µόνο,
παράγοντες 1ου και 2ου ϐαθµού.
⎧ A (x ) = 0
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
Η εξίσωση A(x )B (x )Γ(x )...K (x ) = 0 ⇐⇒ ⎨ ...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ K (x ) = 0
⎪
⎩
µε A(x ), B (x ), Γ(x ), ..., K (x ) πολυώνυµα πρώτου και δεύτερου ϐαθµού.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


66 / 121




Ερώτηση 12η
Πόσες ρίζες έχει µια πολυωνυµική εξίσωση ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


67 / 121




Αν η ισοδύναµη εξίσωση, που ϑα προκύψει, από τη µεταφορά όλων των όρων,
των πολυωνύµων της εξίσωσης, στο 1ο µέλος και την αναγωγή των όµοιων
όρων έχει πολυώνυµο ν ου ϐαθµού, τότε η εξίσωση, ϑα έχει το πολύ ν
πραγµατικές ϱίζες.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


68 / 121




Παρατήρηση
Πιθανή ακέραια ϱίζα ενός πολυωνύµου είναι ένας από τους διαιρέτες τους
σταθερού όρου (όταν οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι ακέραιοι). Αν το
άθροισµα των συντελεστών είναι 0, τότε το πολυώνυµο έχει σίγουρα ϱίζα το 1
(Παρατήρηση πολύ χρήσιµη όταν κάνω παραγοντοποίηση µε το σχήµα του
Horner.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


69 / 121




Να λυθεί η εξίσωση, 3x 3 + 8x 2 − 15x + 4 = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


70 / 121




Λύση
Λύση
Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου είναι 0, άρα η εξίσωση έχει
σίγουρα ϱίζα το 1.
Το πολυώνυµο είναι 3ου ϐαθµού, οπότε πρέπει να το παραγοντοποιήσουµε.
1
3 8 −15
4
3
11
−4
3 11 −4
0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


71 / 121




Λύση
Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του
3x 3 + 8x 2 − 15x + 4 µε το x − 1 είναι 3x 2 + 11x − 4 και το υπόλοιπο 0.
Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε :
3x 3 + 8x 2 − 15x + 4 = (x − 1)(3x 2 + 11x − 4)
x 3 + 8x 2 − 15x + 4 = 0


⇐⇒ (x − 1)(3x 2 + 11x − 4) = 0
⎧ x −1=0
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪ 2
⎪ 3x + 11x − 4 = 0
⎪
⎩
⎧ x=1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎧
⎪
⎪ ⎪
⇐⇒ ⎨ ⎪ x = −4
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎨
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ x = −1
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎩
3
⎩
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


72 / 121




Παρατήρηση
Σχέσεις µεταξύ των ϱιζών ενός πολυωνύµου 3ου ϐαθµού και τον συντελεστών
του
ρ1 , ρ2 ρ3 οι ϱίζες του πολυωνύµου αx 3 + β x 2 + γ x + δ = 0

γ
δ
β
σ2 = ρ1 ρ2 + ρ1 ρ3 + ρ2 ρ3 =
δ
α
σ3 = ρ1 ρ2 ρ3 = −
δ

σ1 = ρ1 + ρ2 + ρ3 = −

Η εξίσωση 3ου ϐαθµού που έχει ϱίζες τις ρ1 , ρ2 ρ3
είναι η x 3 − σ1 x 2 + σ2 x − σ3 = 0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


73 / 121




Θεώρηµα 2
Μια πολυωνυµική εξίσωση λέγεται αντίστροφη, όταν για κάθε ϱίζα ϱ που έχει,
1
και µάλιστα µε την ίδια πολλαπλότητα. (΄Ολες οι ϱίζες
τότε έχει ϱίζα και την

ρ

είναι µη µηδενικές.)
Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µια εξίσωση αντίστροφη είναι : οι
ισαπέχοντες από τα άκρα, συντελεστές του πολυωνύµου, να είναι όλοι ίσοι ή
όλοι αντίθετοι.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


74 / 121




Τέχνασµα 1
Τέχνασµα 1ο

αx 3 + β x 2 + β x + α = 0 ⇐⇒ α(x 3 + 1) + β x (x + 1) = 0
⇐⇒ α(x + 1)(x 2 + x + 1) + β x (x + 1) = 0
⇐⇒ (x + 1)[α(x 2 + x + 1) + β x ] = 0
όπου αυτό είναι ένα γινόµενο, ενός παράγοντα 1ου ϐαθµού και ενός
παράγοντα 2ου ϐαθµού.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


75 / 121




Τέχνασµα 2
Τέχνασµα 2ο
1

αx 4 + β x 3 + γ x 2 + β x + α = 0 ⇐⇒ x 2 (αx 2 + β x + γ + β + α

⇐⇒
Θέτουµε, x +

1
x

= y, και x 2 +

κι έχουµε :
α(y 2 − 2) + β y + γ = 0
που είναι εξίσωση 2ου ϐαθµού

1
x2


1

) = 0, x ≠ 0

x
x2
(x ≠ 0αποδεικνύεται µε άτοπο)
1
1
α(x 2 + 2 ) + β(x + ) + γ = 0
x
x
1

1

x

x

= (x + )2 − 2x

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

= y2 − 2


76 / 121




Ρητές εξισώσεις
Είναι οι εξισώσεις µεταξύ ϱητών συναρτήσεων (Κλάσµατα µεταξύ πολυωνύµων)


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


77 / 121




Ερώτηση 13η
Πως λύνω τις ρητές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


78 / 121




Επίλυση ϱητών εξισώσεων
Για να λύσω µια ϱητή εξίσωση :
Παραγοντοποιώ τους παρονοµαστές
Βάζω περιορισµούς
Κάνω απαλοιφή παρονοµαστών µε το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών
Λύνω την εξίσωση που προκύπτει
Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


79 / 121




Να λυθεί η εξίσωση :
2 2x − 3
2 − x2
x

+

x −2

+

x 2 − 2x

=0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


80 / 121




Λύση
Λύση
΄Εχω την εξίσωση :
2
x

x −2

x

2 − x2

2x − 3

+

2

+

x 2 − 2x

2 − x2

2x − 3

+

x −2

+

=0 ⇔

x 2 − 2x
2
x

= 0 µε x ≠ 0 και x ≠ 2
2 − x2

2x − 3

+

x −2

+

x (x − 2 )

=0

2

2x − 3

x

x −2

⇔ x ( x − 2 ) + x (x − 2 )

+ x ( x − 2)

2 − x2
x (x − 2 )

=

⇔ 2(x − 2) + x (2x − 3) + 2 − x 2 = 0
⇔ 2x − 4 + 2x 2 − 3x + 2 − x 2 = 0
⇔ x 2 − x − 2 = 0, ∆ = 9
⎧ x1 = 2 απορρίπτεται
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎪ x = −1
⎪ 2
⎩

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


81 / 121




΄Αρρητες εξισώσεις
Είναι αυτές που έχουν τον άγνωστο µέσα σε υπόριζο


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


82 / 121




Ερώτηση 14η
Πως λύνω τις άρρητες εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


83 / 121




Επίλυση ϱητών εξισώσεων
Για να λύσω µια άρρητη εξίσωση :
Βάζω περιορισµούς, οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0 και τα
υπόριζα να είναι µεγαλύτερα ή ίσα απ το 0
Χωρίζω τις ϱητές από τις άρρητες παραστάσεις
Απαιτώ και τα δυο µέλη της εξίσωσης να είναι οµόσηµα, δηλαδή η ϱητή
παράσταση που προέκυψε πρέπει να είναι οµόσηµη µε τη άρρητη
Υψώνω και τα δυο µέλη, σε κατάλληλη δύναµη, κάνω τις πράξεις και λύνω
την εξίσωση που προκύπτει
Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


84 / 121




√

√
Να λυθεί η εξίσωσή

2x − 5 +


x −2=2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


85 / 121




Λύση
Λύση

⎧
⎪ x≥5
⎪
⎪
⎪
5
⎪
2
⇐⇒ x ≥
΄Εχουµε τους περιορισµούς ⎨
⎪
2
⎪
⎪ x≥2
⎪
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


86 / 121




√

√
Να λυθεί η εξίσωσή

2x − 5 +


x −2=2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


87 / 121




Λύση
Λύση

√

√
2x − 5 +

x −2=2

√
√
⇔ ( 2x − 5 + x − 2)2 = 22
√
⇔ 2x − 5 + x − 2 + 2 (2x − 5)(x − 2) = 4
√
11
⇔ 2 (2x − 5)(x − 2) = 11 − 3x , x ≤ (1)
3
√
⇔ (2 (2x − 5)(x − 2))2 = (11 − 3x )2
⎧ 4(2x − 5)(x − 2) = (11 − 3x )2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5
⎪
⎪
⇔ ⎨ x≥2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x ≤ 11
⎪
⎪
⎩
3
⇔ ...


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


88 / 121




Λύση

⎧ x = 3 ή x = 27
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨
11
⎪
⎪
⎪ x≤
⎪
⎪
3
⎩
⇔ x=3


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


89 / 121




Τριγωνοµετρικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών συναρτήσεων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


90 / 121




Ερώτηση 14η
Πως λύνω τις τριγωνοµετρικές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


91 / 121




Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων
Οι τύποι επίλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :

⎧
⎪2κπ + α
⎪
ηµx = ηµα ⇒ x = ⎨
⎪2κπ + π − α, κ Z
⎪
⎩
συν x = συνα ⇒ x = 2κπ ± α, κ Z
φx = φα ⇒ x = κπ + α, κ Z
σφx = σφα ⇒ x = κπ + α, κ Z


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


92 / 121




Πίνακας τριγωνοµετρικών αριθµών ϐασικών γωνιών
Εδώ ϑα ήταν χρήσιµο, να ϑυµηθούµε τον πίνακα µε τους τριγωνοµετρικούς
αριθµούς των ϐασικών γωνιών.
rad

ηµ

0

0

0

30

π

45

π

60
90

π
3

1
2
√
2
2
√
3
2

3
2
√
2
2
1
2

2

1

0

µοίρες

συν

φ

6
4

π


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1

0

√

√

σφ

3
3

√
3

1

1

√

√

3

3
3

0


93 / 121




Επίλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων, µε αρνητικό 2ο µέλος
΄Οταν έχω αρνητικό 2ο µέλος στην εξίσωση, τότε ακολουθώ την αντίστροφη
διαδικασία απ΄ την αναγωγή στο 1ο τετερτηµόριο, οι τύποι επίλυσης
τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω :

−ηµ(x ) = ηµ(−x )
−συν(x ) = συν(π − x )
− φ(x ) = φ(−x )
−σφ(x ) = σφ(−x )


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


94 / 121




Να λυθεί η εξίσωσή 2συν(2x −

π
5


) = 1 µε 0 ≤ x < π

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


95 / 121




Λύση
Λύση

2συν(2x −

π
5

) = 1 ⇔ συν(2x −


⇔ συν(2x −

π
5

π
5

1

)=

2

) = συν

⎧ 2x − π = 2κπ +
⎪
⎪
⎪
5
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ ή
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ 2x − π = 2κπ −
⎪
⎪
⎩
5

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

π

π
3

3

π
3


96 / 121




Λύση

⎧
⎪ x = κπ +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ ή
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ x = κπ −
⎪
⎪
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

4π
15

π
15

, κ∈Z


97 / 121




Λύση
΄Οµως από υπόθεση, ϑα πρέπει 0 ≤ x < π έτσι ϑα έχουµε :
4π
<π
0 ≤ x < π ⇔ 0 ≤ κπ +
15
4
⇔ 0 ≤ (κ + )π < π
15
4
<1
⇔ 0≤κ+
15
4
4
⇔ − ≤κ≤1−
15
15
4
11

⇔ −
⇔
οπότε x =

≤κ≤

15
κ=0

15
(αφούκ ∈ Z)

4π
15


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


98 / 121




Εκθετικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ εκθετικών συναρτήσεων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


99 / 121




Ερώτηση 15η
Πως λύνω τις εκθετικές εξισώσεις ;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


100 / 121




Επίλυση εκθετικών εξισώσεων
Για την επίλυση της εξίσωσης της µορφής κx = λ µε κ > 0, κ ≠ 1 διακρίνουµε
τις παρακάτω περιπτώσεις :
Αν λ ≤ 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη.
Αν λ > 0, τότε προσπαθούµε να γράψουµε το λ σε µορφή δύναµης µε
ϐάση το κ π.χ. λ = κν οπότε επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι 1 − 1

κx = λ ⇔ κx = κν ⇔ x = ν
Την περίπτωση που το λ δεν µπορούµε να το γράψουµε ως δύναµη µε ϐάση το
κ ϑα το δούµε στο κεφάλαιο της λογαριθµικής συνάρτησης.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


101 / 121




Επίλυση εκθετικών εξισώσεων
Γενικά, χρησιµοποιώ την ιδιότητα που προκύπτει από τη µονοτονία των εκθετικών
συναρτήσεων

αf (x ) = αg(x ) ⇐⇒ f (x ) = g (x ), µε α > 0, ≠ 1
Οπότε έχω να λύσω µια εξίσωση όπως αυτές που είδαµε πριν.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


102 / 121




3x = 9 ⇔ 3x = 32 ⇔ x = 2
52x −4 = 1 ⇔ 52x −4 = 50 ⇔ 2x − 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
1
1 2
1
2
2
2
2
2x −3x = ⇔ 2x −3x = 2 ⇔ 2x −3x = ( ) ⇔ 2x −3x = 2−2
4
2
2

⇔ x 2 − 3x = −2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ή

x=2


103 / 121




Να λυθεί η εξίσωση : 2x +1 + 2x +2 + 2x −1 + 2x −2 = 54


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


104 / 121




Λύση
Λύση
2x +1 + 2x +2 + 2x −1 + 2x −2 = 54 ⇔2x ⋅ 2 + 2x ⋅ 22 + 2x ⋅ 2−1 + 2x ⋅ 2−2 = 54


⇔2 ⋅ 2x + 4 ⋅ 2x +

1
2

⋅ 2x +

1
4

⋅ 2x = 54

27

⋅ 2x = 54
4
⇔27 ⋅ 2x = 216

⇔

⇔ 2x = 8
⇔ 2x = 23
⇔ x = 3.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


105 / 121




Να λυθεί η εξίσωση : 8x + 18x − 2 ⋅ 27x = 0.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


106 / 121




Λύση
Λύση
8x + 18x − 2 ⋅ 27x = 0 ⇔ (23 )x + (2 ⋅ 9)x − 2 ⋅ (33 )x ⇔
23x + 2x ⋅ (32 )x − 2 ⋅ 33x = 0 ⇔ 23x + 2x ⋅ 32x − 2 ⋅ 33x = 0 ⇔
23x
33x

2

2x ⋅ 32x

+

3x

33x

2

−2⋅

33x
33x

=0⇔

x

2

23x
33x
x

2x ⋅ 32x

+

3

3x ⋅ 32x

2

−2⋅

33x
33x

=0⇔

x

( ) + ( ) − 2 = 0 ⇔ (( ) ) + ( ) − 2 = 0.
3

3


3

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

3


107 / 121




Λύση
2 x
Θέτω ( ) = ω οπότε έχουµε ω 3 + ω − 2 = 0 η οποία µε τη ϐοήθεια του
3
1 0 1
−2 1
σχήµατος Horner ↓ 1 1
2
1 1 2
9
3
οπότε ω + ω − 2 = 0 ⇔ (ω − 1) ⋅ (ω 2 + ω + 2) = 0
δηλαδή ω = 1 αφού η ω 2 + ω + 2 = 0 είναι αδύνατη ∆ < 0.
2
Τελικά ( )x = ω
3
2 x
⇔( ) =1
3
2 x
2 0

⇔( ) =( )
3
3
⇔x=0


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


108 / 121




Λογαριθµικές εξισώσεις
Είναι εξισώσεις µεταξύ λογαριθµικών συναρτήσεων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


109 / 121




Ερώτηση 16η
Πως λύνω τις λογαριθµικές εξισώσεις, µε βάση το 10 ή το e;


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


110 / 121




Επίλυση λογαριθµικών εξισώσεων
΄Οταν έχω να λύσω την εξίσωση log (f (x )) = log (g (x )) ουσιαστικά έχω να
λύσω το σύστηµα
⎧ f (x ) = g (x )
⎪
⎪

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
log (f (x )) = log (g (x )) = ⎨ f (x ) > 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ g (x ) > 0
⎪
⎩


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


111 / 121




Ιδιότητες λογαρίθµων
αx = θ ⇐⇒ x = logα θ, θ > 0
ln 1 = 0,

ln e = 1

log 1 = 0,

log 10 = 1

ln(x1 ⋅ x2 ) = ln x1 + ln x2
x1
= ln x1 − ln x2
ln
x2
ln x κ = κ ln x (ενώ lnκ x = ln x ⋅ ... ⋅ ln x)
x

αx = eln α = ex ln α


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


112 / 121




Παραδειγµα 1ο

log10 x = 3

⇐⇒ x = 103
⇐⇒ x = 1000

logx 16 = 4


⇐⇒ x 4 = 16
√
4
⇐⇒ x = ± 16
⇐⇒ x = 2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


113 / 121




Να λυθεί η εξίσωση 2x −1 = 3
ΛΥΣΗ
2x −1 = 3


⇐⇒ x − 1 = log2 3
⇐⇒ x = 1 + log2 3
⇐⇒ x = log2 2 + log2 3
⇐⇒ x = log2 (2 ⋅ 3)
⇐⇒ x = log2 6

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


114 / 121




Να λυθεί η εξίσωση logx (x 2 + 3x + 2) = logx (8x − 2)
ΛΥΣΗ
΄Εχω τους περιορισµούς, x 2 + 3x + 2 > 0, 8x − 2 > 0, x > 0, x ≠ 1
logx (x 2 + 3x + 2) = logx (8x − 2)


⇐⇒ x 2 + 3x + 2 = 8x + −2

⇐⇒ x 2 − 5x + 4 = 0
⎧ x = 1 η οποία δεν ικανοποιεί τους περι
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ x=4
⎪
⎩

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


115 / 121




Να λυθεί η εξίσωση log2 x − log4 x = 3
΄Οταν έχω εξίσωση µε λογάριθµους διαφορετικών ϐάσεων, τότε χρησιµοποιώ
τον τύπο αλλαγής ϐάσης, ώστε να εµφανίζονται λογάριθµοι µε µία ϐάση µόνο.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


116 / 121




Λύση
ΛΥΣΗ
΄Εχω τον περιορισµό x > 0
log2 x − log4 x = 3


logx

logx

⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

log2
logx
log2
logx

−
−

log4
logx
log22
logx

=3
=3

−
=3
log2 2log2
2logx − logx = 3 ⋅ 2log2

⇐⇒ logx = log26
⇐⇒ x = 26 = 64

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


117 / 121




Να λυθεί η εξίσωση 10x logx = x 2

√


x

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


118 / 121




Λύση
ΛΥΣΗ
΄Εχω τον περιορισµό x > 0
Λογαριθµίζω και τα δυο µέλη
10x logx = x 2

√
x

√
⇐⇒ log (10x logx ) = log (x 2 x )
1

⇐⇒ log10 + logx logx = logx 2 + logx 2
1

⇐⇒ 1 + log 2 x = 2logx + logx ϑέτω logx = w
2

1

⇐⇒ 1 + w 2 = 2w + w
2

⇐⇒ 2w 2 − 5w + 2 = 0
⎧ w =2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪ w=1
⎪
⎪
⎪
2
⎩

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


119 / 121




Λύση

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⇐⇒ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎩


lox = 2
logx =

1

2
x = 100

√
x=

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

10


120 / 121




Εξισώσεις
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΛΛΑΞΑΝ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


121 / 121




Εξίσωση 1η
Πυθαγόρειο θεώρηµα


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


122 / 121




Πυθαγόρειο ϑεώρηµα
Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται µε
άθροισµα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Η εξίσωση αποτελεί τη
ϐάση µεγάλου µέρους της γεωµετρίας, συνδέεται µε την άλγεβρα και αποτελεί
το ϑεµέλιο της τριγωνοµετρίας. Χωρίς αυτή η πλοήγηση , η δηµιουργία χαρτών
και η διεξαγωγή ερευνών µε ακρίβεια ϑα ήταν αδύνατο να πραγµατοποιηθούν.
Σήµερα, η τριγωνοµετρία χρησιµοποιείται για να δώσει έµφαση στις σχετικές
τοποθεσίες στο GPS.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


123 / 121




Εξίσωση 2η
Λογάριθµοι


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


124 / 121




Λογάριθµοι
Ο λογάριθµος είναι η δύναµη στην οποία πρέπει να υψωθεί η ϐάση ενός
δεδοµένου αριθµού για να προκύψει ως αποτέλεσµα ο αριθµός αυτός. Οι
λογάριθµοι ήταν µία επαναστατική ανακάλυψη για τους µηχανικούς και τους
αστρονόµους, οι οποίοι µπορούν µέσω αυτών να κάνουν γρηγορότερους και
πιο ακριβείς υπολογισµούς. Με την έλευση των υπολογιστών τα πράγµατα
έγιναν ακόµα πιο εύκολα, αλλά είναι ακόµα ένα απαραίτητο εργαλείο των
επιστηµόνων. Πλέον οι λογάριθµοι, µας ενηµερώνουν για τις ϱαδιενεργές
ϕθορές.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


125 / 121




Εξίσωση 3η
Το πρώτο θεµελιώδες θεώρηµα του απειροστικού λογισµού


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


126 / 121




Το πρώτο ϑεµελιώδες ϑεώρηµα του απειροστικού λογισµού
Η έννοια της παραγώγου επιτρέπει τον υπολογισµό του στιγµιαίου ϱυθµού µιας
αλλαγής .Χρησιµεύει στη µέτρηση στερεών, καµπύλων και περιοχών. Πρόκειται
για τη ϐάση πολλών ϕυσικών νόµων και αποτελούν πηγή διαφορικών
εξισώσεων. Σήµερα χρησιµοποιείται σε όποιο µαθηµατικό πρόβληµα απαιτείται η
ϐέλτιστη λύση, στην ιατρική, τα οικονοµικά και την πληροφορική.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


127 / 121




Εξίσωση 4η
Ο νόµος της βαρύτητας από το Νεύτωνα


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


128 / 121




Ο νόµος της ϐαρύτητας από το Νεύτωνα
Ο νόµος της ϐαρύτητας, υπολογίζει τη δύναµη της ϐαρύτητας µεταξύ δύο
σωµάτων. ΄Εχει χρησιµοποιηθεί για την περιγραφή της λειτουργίας του κόσµου.
Αν και αργότερα υποσκελίστηκε από τη ϑεωρία της σχετικότητας του ΄Αλµπερτ
Αϊνστάιν, αποτελεί απαραίτητο «εργαλείο» για την πρακτική περιγραφή του
τρόπου αντίδρασης και αλληλεπίδρασης µεταξύ σωµάτων. Ο νόµος της
ϐαρύτητας χρησιµοποιείται επίσης µέχρι και σήµερα για το σχεδιασµό της
τροχιάς δορυφόρων και ανιχνευτών.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


129 / 121




Εξίσωση 5η
Η αρχή των µιγαδικών αριθµών


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


130 / 121




Η αρχή των µιγαδικών αριθµών
Το τετράγωνο ενός ϕανταστικού αριθµού είναι αρνητικός αριθµός. Η εξίσωση
επιτρέπει στους µηχανικούς αεροπλάνων, να λύσουν πρακτικά προβλήµατα.
Κυρίως χρησιµοποιείται από τους ηλεκτρολόγους µηχανικούς και στις
πολύπλοκες µαθηµατικές ϑεωρίες.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


131 / 121




Εξίσωση 6η
Η εξίσωση των κυµάτων


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


132 / 121




Η εξίσωση των κυµάτων
Πρόκειται για µία αντιθετική εξίσωση που περιγράφει τη συµπεριφορά των
κυµάτων. Είναι απαραίτητη για την έρευνα της συµπεριφοράς των κυµάτων,
αλλά και για την ανάλυση του τρόπου λειτουργίας του ήχου, της ανάλυσης των
αιτιών που προκαλούν τους σεισµούς, αλλά και τη συµπεριφορά των ωκεανών.
Χάρη σε αυτή την εξίσωση, οι εταιρίες πετρελαίων, εκκρίνουν εκρηκτικά και
έπειτα µελετούν τα δεδοµένα από τον επακόλουθο ήχο των κυµάτων για να
προβλέψουν τους γεωλογικούς σχηµατισµούς.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


133 / 121




Εξίσωση 7η
Ο µετασχηµατισµός Φουριερ


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


134 / 121




Ο µετασχηµατισµός Φουριερ
Περιγράφει τα πρότυπα στο χρόνο, ως µία συνάρτηση της συχνότητας. Ο
Φουριερ, ανακάλυψε αυτή την εξίσωση η οποία επεκτάθηκε από τη γνωστή
εξίσωση της ϱοής της ϑερµότητας και της εξίσωση των κυµάτων. Σήµερα
χρησιµεύει στη συµπίεση πληροφοριών στα αρχεία εικόνας τύπου ΘΠΕΓ, αλλά
και στην εξερεύνηση της ϱοής των µορίων.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


135 / 121




Εξίσωση 8η
Οι εξισώσεις του Maxwell


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


136 / 121




Οι εξισώσεις του Maxwell
Περιγράφουν τη σχέση µεταξύ ηλεκτρικών και µαγνητικών πεδίων, αλλά επίσης
ϐοηθούν στη δηµιουργία πολλών τεχνολογιών που χρησιµοποιούµε σήµερα και
ιδιαίτερα, τις συναντάµε στα ϱαντάρ, την τηλεόραση και τα σύγχρονα µοντέλα
επικοινωνίας.


ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ


137 / 121

2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων

2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to 2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων

Similar to 2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων (13)

More from George Apostolou

More from George Apostolou (6)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

2ο Ανοιχτο μαθημα Διακροτημα Ιωανννων