劣モジュラ最適化と機械学習1章
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機械学習プロフェッショナルシリーズの劣モジュラ最適化と機械学習の1章の発表資料です。
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劣モジュラ最適化と機械学習1章
- 2. 自己紹介と告知 • Twitter : @St_Hakky • ブログ：http://st-hakky.hatenablog.com/ • 関西で機械学習勉強会を実施中!! • 団体のモットー： • 圧倒的スピード感で大量の書物と論文をぶった切る • 「えっ、まだ読んでないの？」と煽り奉り、輪講会を乱立させる • 過去のイベント例 • PRML輪講会、PRML上巻/下巻一気読み • データ解析のための統計モデリング入門の輪講会 • わかりやすいパターン認識(続)の輪講会 • 参加したい方は、Facebookのグループにまずは参加を。 • URL :https://www.facebook.com/groups/1767916400127792/
- 4. コンテンツ • 1.1 : はじめに • 1.2 : 劣モジュラ性への導入 • 1.2.1 : 劣モジュラ関数の定義とその直感的解釈 • 1.2.2 : 劣モジュラ関数の例 • 1.3 機械学習における劣モジュラ性 • 1.4 本書で扱う話題 • 1.5 利用可能なソフトウェア
- 5. 本の内容に入る前に • 「劣モジュラってなんやねん。ざっくり説明してくれ」 となりますよね。わかりますその気持ち。 • そんなあなたにこちらの動画を。 • アルゴリズムが世界を変える Season 3.0〜口コミ効果 最大化と劣モジュラ関数〜 • https://www.youtube.com/watch?v=Z7eMzSHGGAE
- 6. コンテンツ • 1.1 : はじめに • 1.2 : 劣モジュラ性への導入 • 1.2.1 : 劣モジュラ関数の定義とその直感的解釈 • 1.2.2 : 劣モジュラ関数の例 • 1.3 機械学習における劣モジュラ性 • 1.4 本書で扱う話題 • 1.5 利用可能なソフトウェア
- 8. 「組合せ」とは • 「組合せ」 • 「何らかの選択可能な集まりの中から， その一部を選 択する」という手続き • 機械学習における問題を扱う際には、様々な場面 で、この「組合せ」（的な計算）が重要な役割を担う。
- 9. 組合せの例：病院の患者データ • 目標：新しい患者の必要な入院期間の予測 • 使用するモデル：回帰モデル • 問題点：回帰モデルで使用する変数は？ • 患者の体重や来院歴 → 有用な可能性大 • 患者の趣味や職業 → 関係がなさそう • 関係がない変数は選ばず有用なものを選びたい • →変数集合の中から有用な変数集合を「システマティッ クに」選びたい(特徴選択)
- 11. 集合関数の定義 • 𝑛 : 選択可能な対象の数 • 𝑉 = {𝑙, … , 𝑛} : 選択可能な対象の集合(台集合) • 𝑓: 2 𝑉 → ℝ :集合関数 • 台集合𝑉の各部分集合 𝑠 (⊆ 𝑉)に実数を割り当て 集合関数 𝑓が7 つの要素 から成る台集合𝑉上に定義 3つの要素から成る部分集合𝑆 に実数値を割り当てる
- 12. 集合関数の最適化 • この関数𝑓が、各部分集合𝑆の何らかのよさを表し ていてそれを最大化する計算を行います。 • 例 • 入院期間の予測精度に関連する量が𝑓で表されている とすればこれを最大とするような検査項目の集合を求 めることが問題となる • これは関数𝑓を用いた集合関数の最大化計算を行うことで達 成できる
- 13. 組合せ爆発 • 一般に、ある台集合𝑉が与えられたとき、すべての部分集 合S (⊆ 𝑉)の数は、𝑉に含まれる要素数 (I𝑉Iのように表しま す） に対して指数関数的に増加 • I𝑉I = 2 → 4通り • I𝑉I = 10 → 1024通り • I𝑉I = 100 → 約1030通り • I𝑉I = 1000 → 約10301通り • 組合せ爆発のわかりやすい例： • 「フカシギの数え方」オネェさんと一緒！みんなで数えてみよう！ • https://www.youtube.com/watch?v=Q4gTV4r0zRs
- 14. 劣モジュラ性 • 「集合関数最適化などの組合せ的な計算を扱う難 しさ」に直面しないよう に組合せ的な問題を考える • 1つのキーとなる概念としても非常に重要
- 15. 劣モジュラ性への導入 • 劣モジュラ性 • 集合関数における凸性にあたる構造であることが知 ら れている • 同時に、凹関数のような性質もあわせもつ(第2章) • ここでは、劣モジュラ性の基本的な事項について 導入的な説明をする
- 17. 天才はこの式を見てこう思う • 某天才氏：「おぉ〜劣モジュラ性と． 連続関数の凸 性との関係を見れてるや〜ん」 • 凡人は、何も見えません。なので、直感的な説 明をします(大事)。そのための準備を少しだけしま す。
- 18. 擬似ブール関数 • 直感的説明のために集合関数と0-1ベクトル上に 定義される実数値関数（擬似ブール関数）との対 応に触れる • 擬似ブール関数とは • 各成分が0または1のいずれかの値を持つベクトルの事 を言う。
- 19. 特性ベクトル • 台集合𝑉が与えられた時の各部分集合S ⊆ 𝑉: • 𝑆に含まれる要素の成分：1 • 𝑆に含まれない要素の成分：0 • この表現で、𝒏次元の0-1ベクトルと1対1対応させ ることができ、集合関数は𝑛次元0-1ベクトル上の 実数値関数であるともいえる。 • このようなベクトルを特性べクトルと呼ぶ。
- 20. 特性ベクトル • 任意の集合𝑆 ⊆ 𝑉に対して特性ベクトル𝜒 𝑠 = (𝑣1, … 𝑣 𝑛)は、 • のように定義される
- 22. 直感的理解のための具体例の設定 • 台集合𝑉 ： • 𝑉 = {1}と 𝑉 = {1,2}の場合について直感的に説明する • 集合関数𝑓 : • 𝑉 = {1} の場合: • {}, {1}の2通りの場合への実数値への割り当て • f : １次元の格子状の点に定義 • 𝑉 = {1,2}の場合： • {}, {1}, {2}, {1, 2}の4通りの場合への実数値への割り当て • f : ２次元の0-1の格子状の点に定義
- 23. 集合関数と凸性との関係を見るために集合 関数を拡張 • 以下のように拡張 • 一次元の 𝑓 ∶ ℝ → ℝ • 二次元の 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ
- 25. 集合関数と凸性との関係を見るために集合 関数を拡張 • 2次元の場合 • 𝑝1 ≤ 𝑝2を満たす𝑝 = (𝑝1, 𝑝2) ∈ ℝに対する 𝑓(𝑝)の値は、 以下のように分割して考える • (𝑖) 原点(0,0)から(1,1)の方向へ(𝑝1, 𝑝2)まで進む • (𝑖𝑖) その次に(𝑝1, 𝑝2)から(0, 1) の方向へ(𝑝1, 𝑝2)まで進む
- 26. 集合関数と凸性との関係を見るために集合 関数を拡張 • 2次元の場合 • 𝑝1 ≤ 𝑝2を満たす𝑝 = (𝑝1, 𝑝2) ∈ ℝに対する 𝑓(𝑝)の値は、 以下のように分割して考える • (𝑖) 原点(0,0)から(1,1)の方向へ(𝑝1, 𝑝2)まで進む • (𝑖𝑖) その次に(𝑝1, 𝑝2)から(0, 1) の方向へ(𝑝1, 𝑝2)まで進む • (𝑖)と(𝑖𝑖)について1次元の場合と同様に線形補間により値 の変化量を考えて、それらを足し合わせることで 𝑓(𝑝)の値 が定まります
- 27. 集合関数と凸性との関係を見るために集合 関数を拡張 • 定義された連続関数 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝは、もとの集合関数𝑓が式 (1.1)を満たしていれば、必ず(0,0)と(1,1)を結ぶ直線が谷と なるような凸関数となります．
- 28. 集合関数と凸性との関係を見るために集合 関数を拡張 • これは，式(1.1)で𝑆 = {1}, 𝑇 = {2} とすると、𝑓({𝑙}) + 𝑓({2}) ≥ 𝑓({1, 2}) + 𝑓({})となることなどからも確かめられ る
- 29. ロヴァース拡張 • 劣モジュラ関数に対し，このような凸関数を生成する補間 （凸緩和）を数理的に厳密に定義したものは、ロヴァース拡 張と呼ばれる(2章で議論) • これは劣モジュラ性に関連する最も重要な概念の1つ • 集合関数が劣モジュラ関数である必要十分条件＝そのロ ヴァース拡張が凸関数であること
- 30. 別の劣モジュラの定義(1.1と等価) 𝑖を加えた時の関数値の増分 𝑇に包含される「小さい」集合𝑆へ要素 𝑖(∈ V ∖ 𝑇)を加えた際の関数値の増え方 𝑆を包含する「大きい」集合𝑇への増え方 この式は関数𝒇の逓減的な性質を表している
- 31. 逓減的な性質の直感的解釈 • 情報分野で現れる関数には、逓減的な性質をもつ 関数が頻繁に見られる。 • これは情報の本質的な性質でもあるため • 直感的な解釈： • 既知の情報が少ない場合に新しく得られ多情報の価値は大き い • すでにより多くのことが既知であれば同じ情報であってもその 価値は比較的小さくなる • 劣モジュラ関数の定義式(1.2)は， まさにこのよう な状況を表しているといえます．
- 32. 劣モジュラ関数の例 • モジュラ関数 • カット関数 • カバー関数
- 33. モジュラ関数 任意のn次元実ベクトルα ∈ ℝ 𝑛に対して と定義される集合関数は，劣モジュラ性を満たす（定義式 (1.1)を等号で満たす） このような関数はモジュラ関数と呼ばれ、特性ベクトル𝜒 𝑠 ∈ {0,1} 𝑛 を用いれば線形関数𝑓 𝑆 = 𝑎 𝑇 𝜒 𝑠としても表現される ため、最も単純な劣モジュラ関数であるといえる
- 34. カット関数 任意の無向グラフ𝒢 = (𝑉, ε) が与えられたとき、選択した ノード集合(𝑆 ⊆ 𝑉)とその補集合(𝑉 ∕ 𝑆)との間の枝の数を 返すような関数
- 36. その他の劣モジュラ性を持つ関数 • 実行列Mが与えられたとき、すべての行𝑉の中か ら、その一部の行𝑆 ⊆ 𝑉 を選択したときに得られる 部分行列のランクは、劣モジュラ関数
- 37. その他の劣モジュラ性を持つ関数 • その他にも、様々な情報分野（やその他の周辺分 野）における集合関数が劣モジュラ関数である • 相互情報量 • 情報利得 • 経済分野における効用関数（優モジュラ関数） • 正定値対称行列の行列式 • 凸ゲーム • 自乗重相関係数など
- 38. 機械学習における劣モジュラ性 • 機械学習の主要なアルゴリズムでの利用： • 能動学習 • ノンパラメトリック・ベイズ推定 • スペクトラル法 • グラフ構造の推定 • 特徴選択に限らず、多様な応用的問題へと適用： • グラフマイニング • バイラル・マーケティング • ネットワーク分析
- 39. 離散的なデータ構造への適用 • 劣モジュラ関数： • 離散的なデータ構造を表すのに適した関数 • 画像での例； • 背景画素の隣の画素は同じく背景であり、オブジェクト の隣の画素はオブジェクトである場合が多い • 境界上でのみ， これと異なる状況が起こる • この関係を用いたアルゴリズム：グラフカット
- 40. 構造正則化と劣モジュラ • 機械学習を用いる際にはしばしば変数間に構造 的な依存関係が存在する場合があり、劣モジュラ 関数を用いて表現される場合が多い • 例1：変数間に階層関係があるような状況 • 例2：変数に一種の冗長性があり類似したものが含まれ ている状況 • そのようなデータ変数間の構造を取り込むことで， より精度が高く解釈が容易な学習が期待できる。
- 41. その他の劣モジュラ性を持つ関数 • 情報分野などでよく用いられる量である（同時）エ ントロピーも、変数から成る集合に関する集合関 数として見た場合は劣モジュラ性をもっていること が知られている。 • 第3章で考えるセンサ配置においては， このエント ロピーの性質を用いた定式化について見ていく。
- 42. 本書で扱う話題 • 劣モジュラ最適化がどのように機械学習における 問題の定式化やその解法の中で用いられている かについて説明 • 機械学習で議論される主要な問題への適用を中 心として． 現時点でも実用につながると思われる 話題を中心に取り上げている
- 43. 第2章 劣モジュラ最適化の基礎の概要 • 劣モジュラ関数とその最適化に関する以下のよう な基本的な事項について説明 • 劣モジュラ関数の定義 • 代表的な劣モジュラ関数における劣モジュラ性の証明 • 劣モジュラ関数最適化の基本的な考え方や代表的な アルゴリズム • この内容は、後の部分の基礎になるのでひと通り 理解して進むのが良い
- 44. 第3章劣モジュラ関数の最大化と貪欲法 の適用の概要 • 劣モジュラ関数の最大化とその応用について見る • 機械学習分野において劣モジュラ最適化が用いられる ようになった火つけ役 • この問題は、1.3節で述べたように応用上重要な定 式化である一方、理論的にはいわゆるNP困難な 問題の一種で、効率的に厳密に最適化することは 期待できない。
- 45. 第3章劣モジュラ関数の最大化と貪欲法 の適用の概要 • しかしながら、貪欲法という極めて単純な方法でよ い近似的な解が見つかることなどが知られている • 代表的な応用例として、以下への適用も紹介 • 文書要約 • センサ配置問題 • 能動学習
- 46. 第4章最大流とグラフカットの概要 • グラフカットについて紹介する • 劣モジュラ関数の最小化が実用的にも用いられている例 • 本章ではグラフカットに加えて以下も考えていく • グラフカットの劣モジュラ関数の最小化における位置づけ • 高速に最小化計算可能な劣モジュラ関数とはどういうも のか
- 47. 第5章劣モジュラ最適化を用いた構造正 則化学習の概要 • データ変数間の依存関係を機械学習アルゴリズ ムヘ取り込むアプローチである構造正則化学習に ついて取り上げる • この依存関係は多くの場合に劣モジュラ関数で表せる • 劣モジュラ関数として表すことで最終的にはパラメ トリック最大流と呼ばれる問題の反復的な計算へ と帰着することが可能 • パラメトリック最大流は， 実用的な高速アルゴリズムで 計算可能なことが知られている
- 49. 参考文献 • S. Fujishige. Submodular Functions and Optimization. Elsevier, 2nd edition, 2005. • 劣モジュラ最適化に関する教科書 • 藤重による書籍[13]