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  1. 1. MATEMATICAS 2º Bachillerato MaTEX r=A+lu Proyecto A d B s=B+mv Integral Definida SOCIALES MaTEX Fco Javier Gonz´lez Ortiz a Integral DefinidaDirectorio Tabla de Contenido Inicio Art´ ıculo c 2004 gonzaleof@unican.es Doc Doc11 de junio de 2004 Versin 1.00 Volver Cerrar
  2. 2. MATEMATICAS 2º Bachillerato Tabla de Contenido A r=A+lu1. Integral Definida d B2. Teorema Fundamental del C´lculo a s=B+mv SOCIALES 2.1. Regla de Barrow3. Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o a a 3.1. Area del recinto para una funci´n o MaTEX 3.2. Para dos funciones positivas sin corte 3.3. Para dos funciones cualesquiera sin corte 3.4. Para dos funciones que se cortan Integral Definida Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests Doc Doc Volver Cerrar
  3. 3. MATEMATICASSecci´n 1: Integral Definida o 3 2º Bachillerato r=A+lu1. Integral Definida A d El problema planteado es hallar el ´rea de a B la regi´n que encierra la curva del gr´fico o a s=B+mv SOCIALES con la recta horizontal. Una idea sencilla consiste en dividir la re- gi´n en rect´ngulos verticales y de esta o a MaTEX forma de ((llenar)) la regi´n con numerosos o rect´ngulos. a De esta manera el ´rea de la regi´n se a o Integral Definida puede aproximar, cuanto queramos, medi- ante la suma de las ´reas de n rect´ngulos, a a tomando todos con la misma base ∆ x. Teniendo en cuenta que el ´rea de cada a rect´ngulo se obtiene multiplicando la base a por la altura, tenemos que el ´rea de cada a rect´ngulo ser´ la base ∆ x por su altura a a respectiva f (xi ). A la suma de las ´reas de los rect´ngulos a a se les llama sumas de Riemann. Doc Doc Volver Cerrar
  4. 4. MATEMATICASSecci´n 1: Integral Definida o 4 2º Bachillerato r=A+lu AA la primera de ellas se le llama suma in-ferior SInf : d BSInf = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆ x s=B+mv SOCIALES n = f (xi ) ∆x i=1 MaTEX =⇒ SInf ´ ≤ AreaA la segunda de ellas se le llama suma su- Integral Definidaperior SSup :SSup = f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆ x n = f (xi ) ∆x i=1 =⇒ ´ SSup ≥ AreaSe tiene as´ que ı ´ SInf ≤ Area ≤ SSup Doc Doc Volver Cerrar
  5. 5. MATEMATICASSecci´n 1: Integral Definida o 5 2º Bachillerato r=A+lu A medida que aumentamos el n´mero de rect´ngulos n, (n → ∞) con u a A∆x → 0, el ´rea buscada se podr´ hallar con a a d n B lim f (xi ) ∆x (1) s=B+mv ∆x→0 SOCIALES n→∞ i=1 El s´ ımbolo de sumatorio se convirti´ en una “s” estilizada o , quedan- MaTEXdo la expresi´n anterior con la notaci´n o o n b lim f (xi ) ∆x = f (x) dx Integral Definida ∆x→0 a n→∞ i=1 Definimos Integral Definida de f (x) entre a y b, al ´rea de la re- a y y = f (x) gi´n limitada por la funci´n f (x) o o entre los puntos a y b y el eje OX. Dicho ´rea lo representaremos con a el s´ ımbolo b Area f (x) dx a x a b Doc Doc Volver Cerrar
  6. 6. MATEMATICASSecci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo o a 6 2º Bachillerato r=A+lu Si bien las ´reas que determina las funciones se pueden calcular con a Ael m´todo comentado anteriormente, afortunadamente aqu´ no realizaremos e ı dl´ ımites de sumas de ´reas de rect´ngulos como muestra la ecuaci´n (1). Ello a a o Bse debe a un resultado conocido como teorema fundamental del c´lculo a s=B+mv SOCIALES2. Teorema Fundamental del C´lculo a MaTEXTeorema 2.1. (Teorema Fundamental del C´lculo) Sea f (x) una funci´n a ocontinua en el intervalo I = [a, b]. Entonces la funci´n o x Integral Definida F (x) = f (x) dx es derivable a (2) F (x) = f (x) x ∈ (a, b) El teorema demuestra que la fun- ci´n integral que da las ´reas entre o a f(b) a y x para cada valor de x x F (x) = f (x) dx a f(a) F(x) es una funci´n cuya derivada es la o funci´n f (x). o Doc Doc a x b Volver Cerrar
  7. 7. MATEMATICASSecci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo o a 7 2º Bachillerato b x r=A+lu A f (x) dx representa un n´mero y u f (x) dx representa una funci´n de x. o a a d xEs importante recalcar que f (x) dx es una funci´n de x. Como los son o B s=B+mv a SOCIALES x x x f (s) ds = f (t) dt = f (w) dw a a a MaTEXA f (s), f (t) y f (w) se les llama el integrando y las variables s, t o w son lasvariables auxiliares de integraci´n. oRealiza el siguiente test para ver si se ha comprendido Integral Definida 3Test. Sea la expresi´n I = o a s2 ds, responder a: 2 1. El significado de I es (a) Integral Definida (b) Integral Indefinida 2. El significado de I es (a) Un n´mero u (b) una funci´n o 3. El integrando de I es (a) a s2 ds (b) s2 (c) a s2 4. La variable de integraci´n es o (a) a (b) ds (c) s Doc Doc Volver Cerrar
  8. 8. MATEMATICASSecci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo o a 8 2º Bachillerato x r=A+luTest. Sea la expresi´n I = o (a + t2 ) dt, responder a: A 2 1. El significado de I es d B (a) Integral Definida (b) Integral Indefinida s=B+mv SOCIALES 2. El significado de I es (a) Un n´mero u 3. I es funci´n de o (b) una funci´n o MaTEX (a) a (b) x (c) t 4. El integrando de I es Integral Definida (a) (a + t2 ) dt (b) t2 (c) (a + t2 ) 5. La variable de integraci´n es o (a) a (b) x (c) t 6. La derivada de I es (a) a + x2 (b) a + t2 (c) (a + t2 ) dtTest. La derivada de la funci´n F (x) = o (1 + x2 )dx es(a) 1 + x2 (b) 0 Doc Doc Volver Cerrar
  9. 9. MATEMATICASSecci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo o a 9 2º Bachillerato r=A+lu2.1. Regla de Barrow ATeorema 2.2. (Regla de Barrow) Sea f (x) una funci´n continua en el in- o d Btervalo I = [a, b] y G(x) una primitiva de f (x) Entonces la integral definida s=B+mv SOCIALES b a f (x) dx = G(b) − G(a) (3) MaTEX Observaciones: 1. La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relaci´n o Integral Definida las integrales con las derivadas. 2. Para hallar la integral definida seguiremos el siguiente proceso: a) Se halla una primitiva cualquiera de la funci´n, o b) Se sustituyen en esta primitiva los l´ ımites de integraci´n -el supe- o rior y el inferior- y se restan los resultados. πEjemplo 2.1. Hallar la integral definida cos x dx 0Soluci´n: Hallamos una primitiva o cos x dx = sen x luego π π cos x dx = [ sen x]0 = sen π − sen 0 = 0 0 Doc Doc Volver Cerrar
  10. 10. MATEMATICASSecci´n 2: Teorema Fundamental del C´lculo o a 10 2º Bachillerato 1 r=A+lu x2 dx AEjemplo 2.2. Hallar la integral definida 0 d 2 1 3Soluci´n: Hallamos una primitiva o x dx = x luego B s=B+mv 3 SOCIALES 1 1 1 3 1 1 1 x2 dx = x = (1)3 − (0)3 = 0 3 0 3 3 3 MaTEX 3Ejemplo 2.3. Calcular |x + 2| dx Integral Definida −3 −x − 2 x ≤ −2Soluci´n: Como |x + 2| = o x + 2 −2 < x 3 −2 3 |x + 2| dx = (−x − 2) dx + (x + 2) dx+ −3 −3 −2 −2 3 1 1 2 = − x2 − 2x + x + 2x 2 −3 2 −2 9 9 = (−2 + 4) − (− + 6) + ( + 6) − (2 − 4) 2 2 1 25 = + = 13 2 2 Doc Doc Volver Cerrar
  11. 11. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 11 2º Bachillerato 1 r=A+lu (1 + x2 ) dx AEjercicio 1. Hallar la integral definida 0 d B3. Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o a a s=B+mv SOCIALES Para determinar el ´rea bajo f distinguimos el signo de f (x) a Si f (x) > 0 x ∈ [a, b], entonces la integral definida es positiva b MaTEX Area del recinto = f (x) dx a Integral Si f (x) < 0 x ∈ [a, b], entonces la integral definida es negativa Definida b Area del recinto = − f (x) dx a a b f(b) f(a) Area f(a) Area f(b) a b Doc Doc Volver Cerrar
  12. 12. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 12 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 3.1. Hallar el ´rea limitada por y = 4 − x2 y el eje OX. a ASoluci´n: La funci´n y = 4 − x2 corta al eje Ox en ±2. o o d B s=B+mv 2 2 1 SOCIALES A= (4 − x2 ) dx = 4x − x3 −2 3 −2 1 1 = 4(2) − 23 − 4(−2) − (−2)3 MaTEX 3 3 32 = Integral 3 Definida −2 2Ejemplo 3.2. Hallar el ´rea limitada por y = x2 ,x = −2, x = 2 y el eje OX. aSoluci´n: La funci´n y = x2 corta al eje Ox en 0. o o 2 2 1 3 A= (x2 ) dx = x −2 3 −2 1 3 1 = 2 − (−2)3 3 3 16 = 3 −2 2 Doc Doc Volver Cerrar
  13. 13. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 13 2º Bachillerato r=A+lu3.1. Area del recinto para una funci´n o A Para determinar el ´rea de un recinto limitado por una funci´n f (x) y a o del eje OX entre los puntos a y b necesitamos saber si la funci´n cambia de o B s=B+mvsigno, hallando los cortes con el eje OX. SOCIALESDespu´s, se hallan las integrales definidas por separado en cada intervalo etomando sus valores en valor absoluto.El area pedido ser´ la suma de todas las ´reas de cada uno de los recintos. ´ a a MaTEX x1 y A1 = f (x) dx Integral Definida a x2 A2 = f (x) dx x1 b a b x1 x2 x A3 = f (x) dx x2 A = A1 + A2 + A3 x1 x2 b A= f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx a x1 x2 Doc Doc Volver Cerrar
  14. 14. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 14 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 3.3. Hallar el ´rea delimitada por la gr´fica de cos x, el eje OX en a a Ael intervalo [0, 2π] dSoluci´n: o B π 3π s=B+mvLa funci´n cos x corta al eje Ox en o y . SOCIALES 2 2 Teniendo en cuenta los cambios de signo π/2 3π/2 2π MaTEX A= cos x dx + cos x dx + cos x dx 0 π/2 3π/2luego Integral Definida π/2 A1 = sen x =1 0 3π/2 y A2 = sen x =2 π/2 2π A3 = sen x =1 3π/2 π 3π x Luego 2 2 2π Area = 4 Doc Doc Volver Cerrar
  15. 15. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 15 2º Bachillerato r=A+lu3.2. Para dos funciones positivas sin corte A Para determinar el ´rea de un recinto limitado por dos funciones f (x) y a dg(x) positivas sin corte entre los puntos a y b, como en la figura, teniendo en B s=B+mvcuenta que SOCIALES b b a f (x) dx = azul + rosa a g(x) dx = rosa MaTEX el ´rea del recinto comprendi- a do entre ambas funciones se f(x) Integral obtiene restando ambas inte- Definida grales, b b f (x) dx − g(x) dx a a resultando la sencilla expresi´n o g(x) a b b A= (f (x) − g(x)) dx (4) a Doc Doc Volver Cerrar
  16. 16. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 16 2º Bachillerato r=A+luEjemplo 3.4. Hallar el ´rea limitada por las gr´ficas de las funciones f (x) = √ a a Ax2 y g(x) = x. dSoluci´n: Hallamos la intersecci´n de ambas o o B s=B+mv f (x) = √x2 √ SOCIALES =⇒ x2 = x =⇒ x = 0, 1 g(x) = x A= 1 (g(x) − f (x)) dx MaTEX 0 f(x) Integral Definida 1 √ g(x) A = x − x2 dx 0 1 3 3/2 1 3 = x − x 2 3 0 7 1 Area = 0 6 Doc Doc Volver Cerrar
  17. 17. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 17 2º Bachillerato r=A+lu3.3. Para dos funciones cualesquiera sin corte A Para determinar el ´rea de un recinto limitado por dos funciones f (x) y a dg(x) entre los puntos a y b pudiendo ser alguna o ambas negativas se aplica la B s=B+mvmisma expresi´n que para dos funciones positivas, ya que bastar´ desplazar o ıa SOCIALESlas funciones f (x) + C y g(x) + C como se muestra en el gr´fico de la derecha a A= b (f (x) + C − (g(x) + C)) dx = b (f (x) − g(x)) dx MaTEX a a Integral f(x)+C Definida f(x) a b g(x) g(x)+C a b Doc Doc Volver Cerrar
  18. 18. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 18 2º Bachillerato r=A+lu3.4. Para dos funciones que se cortan A Para determinar el ´rea de un recinto limitado por dos funciones f (x) y a dg(x) entre los puntos a y b necesitamos saber los puntos de corte entre ellas. B s=B+mvSe hallan las integrales definidas por separado en valor absoluto y se suman SOCIALEStodas las ´reas. a x1 f(x) g(x) MaTEX A1 = (f (x) − g(x)) dx a x2 Integral A2 = (f (x) − g(x)) dx Definida x1 x3 A3 = (f (x) − g(x)) dx x2 b A4 = (f (x) − g(x)) dx x3 a x1 x2 x3 b A = A1 + A2 + A2 + A4 Doc Doc Volver Cerrar
  19. 19. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 19 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 2. Hallar el ´rea delimitada por la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el a Aeje OX. dEjercicio 3. Hallar el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de las fun- a a B s=B+mvciones y = x2 + x e y = x + 2. SOCIALESEjercicio 4. Hallar el ´rea del recinto limitado por las gr´ficas de las fun- a aciones e f (x) = x4 − 2x2 + 1 y g(x) = −x2 + 1. MaTEX 1Ejercicio 5. Hallar el ´rea delimitada por la curva y = a y las rectas 4 − x2x = −1, x = 1, y y = 1/2. Integral DefinidaEjercicio 6. Dada la curva y = x2 + 2x + 2, halla el ´rea limitada por la acurva, la recta tangente en el punto donde la funci´n tiene un extremo y recta ola tangente a la curva de pendiente 6.Ejercicio 7. Calcula el ´rea de la regi´n comprendida entre las funciones a oy = 2 − x2 e y = |x|.Ejercicio 8. Hallar el ´rea limitada por y = −x2 + 4 x + 5 con al recta y = 5. aEjercicio 9. Hallar el ´rea limitada por y = x2 − 2 x con al recta y = x. aEjercicio 10. La curva y = a[1 − (x − 2)2 ], con a > 0, limita con el eje deabscisas un recinto de 12 unidades de superficie. Calcula el valor de a. 1 Doc DocEjercicio 11. Dada la funci´n f (x) = a ex/3 + o , con x = 0, x2 Volver Cerrar
  20. 20. MATEMATICASSecci´n 3: Aplicaci´n. C´lculo de ´reas o o a a 20 2º Bachillerato 2 r=A+lu A a) Calcular f (x) dx en funci´n de a o 1 d b) Si F (x) es una primitiva de f (x) hallar a sabiendo que F (1) = 0 y B 1 s=B+mv F (2) = SOCIALES 2Ejercicio 12. De todas las primitivas de la funci´n f (x) = 1 + x |x|, deter- omina aquella cuya gr´fica pasa por el punto (0, 1). a MaTEX Integral Definida Doc Doc Volver Cerrar
  21. 21. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 21 2º Bachillerato r=A+luSoluciones a los Ejercicios AEjercicio 1. Hallamos una primitiva d 1 B (1 + x2 ) dx = x + x3 s=B+mv 3 SOCIALESluego 1 1 3 1 1 1 4 MaTEX (1 + x2 ) dx = x + x = 1+ (1)3 − 0+ (0)3 = 0 3 0 3 3 3 Ejercicio 1 Integral Definida Doc Doc Volver Cerrar
  22. 22. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 22 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 2. Sea y = x3 − 6x2 + 8x, hallamos los puntos de corte con el eje AOX d y = x(x2 − 6x + 8) = 0 =⇒ x = 0, 2, 4 B s=B+mv una primitiva, SOCIALES 1 F (x) = (x3 − 6x2 + 8x) dx = x4 − 2x3 + 4x2 4 MaTEX 2 2 1 4 f (x) dx = x − 2x3 + 4x2 = |4| 0 4 0 Integral Definida 4 4 1 4 f (x) dx = x − 2x3 + 4x2 = | − 4| 2 4 2 = Area del recinto = 8 Ejercicio 2 Doc Doc Volver Cerrar
  23. 23. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 23 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 3. Sean y = x2 + x e y = x + 2, hallamos los puntos de corte entre Aambas y = x2 + x √ d =⇒ x2 + x = x + 2 =⇒ x = ± 2 B y =x+2 s=B+mv SOCIALESuna primitiva de f − g, 1 F (x) = [(x2 + x) − (x + 2)] dx = (x2 − 2)] dx = x3 − 2x 3 MaTEX √ √ 2 2 1 3 4√ f (x) − g(x) dx = x − 2x = |− 2| Integral Definida √ √ − 2 3 − 2 3 4√ = Area del recinto = 2 3 Ejercicio 3 Doc Doc Volver Cerrar
  24. 24. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 24 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 4. Sean y = −x2 + 1 e y = x4 − 2x2 + 1, hallamos los puntos de Acorte entre ambas d y = −x2 + 1 =⇒ −x2 + 1 = x4 − 2x2 + 1 =⇒ x = 0, ±1 B y = x4 − 2x2 + 1 s=B+mv SOCIALESuna primitiva de f (x) − g(x) = x4 − 2x2 + 1 − (−x2 + 1) = x4 − x2 , F (x) = (x4 − x2 ) dx = 1 5 1 3 x − x MaTEX 5 3 0 0 1 5 1 3 2 Integral f (x) − g(x) dx = x − x = |− | Definida −1 5 3 −1 15 1 1 1 5 1 3 2 f (x) − g(x) dx = x − x = |− | 0 5 3 0 15 4 = Area del recinto = 15 Ejercicio 4 Doc Doc Volver Cerrar
  25. 25. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 25 2º Bachillerato 1 r=A+luEjercicio 5. Sean f (x) = 1/2 e g(x) = , A 4 − x2 d 1 1 f (x) − g(x) = − B 2 4 − x2 s=B+mv SOCIALES 1 1 1 1 2−x F (x) = ( − ) dx = x − ln 2 4 − x2 2 4 2+x MaTEX 1 ´ 1 1 2−x Area = x − ln 2 4 2+x −1 Integral Definida 1 y = 1/2 = |1 + ln 3| 2 -1 1 Ejercicio 5 Doc Doc Volver Cerrar
  26. 26. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 26 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 6. Sea y = x2 + 2x + 2 A Recta tangente en el punto donde la funci´n tiene un extremo. Como o d y = 2x + 2, y = 0 =⇒ x = −1, el punto (−1, 1) es un m´ ınimo. La B s=B+mv ecuaci´n de su tangente es o SOCIALES y1 = 1 Recta la tangente a la curva de pendiente 6. Como y = 2x + 2, y = 6 =⇒ 2x + 2 = 6 =⇒ x = 2, el punto es (2, 10) y la tangente es MaTEX y2 − 10 = 6(x − 2) =⇒ y2 = 6x − 2 IntegralLas tangentes se cortan en Definida y1 = 1 1 =⇒ 6x − 2 = 1 =⇒ x = y2 = 6x − 2 2Area bajo la par´bola: a 2 2 1 3 (x2 + 2x + 2) dx = x + x2 + 2x = 12 −1 3 −1Area pedida es el recinto azul, igual al ´rea bajo la par´bola menos el a arect´ngulo marr´n y el trapecio rosa. a o Doc Doc Volver Cerrar
  27. 27. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 27 2º Bachillerato r=A+lu A dArea del rect´ngulo marr´n a o B s=B+mv 1/2 3 SOCIALES 1 dx = −1 2Area del trapecio rosa MaTEX 2 33 (6x − 2) dx = 1/2 4 Integral DefinidaRecinto azul 3 33 9 -1 1/2 2 12 − ( + ) = 2 4 4 Ejercicio 6 Doc Doc Volver Cerrar
  28. 28. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 28 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 7. Sean y = 2 − x2 e y = |x|, hallamos los puntos de corte entre Aambas d y = 2 − x2 (x < 0) − x = 2 − x2 =⇒ x = -1 , 2 B =⇒ s=B+mv y = |x| (x > 0) x = 2 − x2 =⇒ x = 1 , −2 SOCIALESArea pedida 1 1 MaTEX f (x) − g(x) dx = (2 − x2 − |x|) dx −1 −1 0 1 Integral (2 − x2 + x) dx + (2 − x2 − x) dx Definida = −1 0 13 13 = + 6 6 13 = 3 Ejercicio 7 Doc Doc Volver Cerrar
  29. 29. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 29 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 8. AHallamos los puntos de corte: d −x2 + 4 x + 5 = 5 =⇒ x = 0 x = 4 B s=B+mv SOCIALES 4 Area = 0 (−x2 + 4 x + 5 − 5) dx MaTEX y 4 = (−x2 + 4 x) dx 0 Integral Definida 4 x3 = − + 2 x2 3 0 64 = − + 32 − 0 3 64 = 3 x 0 4 Ejercicio 8 Doc Doc Volver Cerrar
  30. 30. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 30 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 9. AHallamos los puntos de corte: d x2 − 2 x = x =⇒ x = 0 x = 3 B s=B+mv SOCIALES 3 y Area = 0 (x − x2 + 2 x) dx MaTEX 3 = (3 x − x2 ) dx 0 Integral Definida 3 3 x2 1 = − x3 2 3 0 27 = −9 −0 x 2 0 3 27 = 6 Ejercicio 9 Doc Doc Volver Cerrar
  31. 31. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 31 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 10. AHallamos los puntos de corte con el eje de abscisas: d a [1 − (x − 2)2 ] = 0 =⇒ 1 = (x − 2)2 =⇒ x = 1 x = 3 B s=B+mv SOCIALESIgualamos el ´rea a 12 a 3 3 (x − 2)3 a 1 (1 − (x − 2)2 ) dx = a x− 3 MaTEX 1 1 1 12 = a 3 − −a 1+ 3 3 Integral Definida 4 12 = a · 3 a=9 Ejercicio 10 Doc Doc Volver Cerrar
  32. 32. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 32 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 11. A 1Siedno f (x) = a ex/3 + , con x = 0, d x2 B a) s=B+mv SOCIALES 2 2 2 x/3 1 x/3 1 (a e + 2 ) dx = ae dx + dx 1 x 1 2 1 1 x2 2 MaTEX x/3 = 3ae − 1 x 1 1 Integral = 3 a (e2/3 − e1/3 ) + Definida 2 1 b) Una primitiva es F (x) = 3 a ex/3 − +k. Hallar a y k con las condiciones x 1 F (1) = 0 y F (2) = 2 1/3 1  3 a e − + k = 0  3 a e1/3 + k = 1 1  1 1  3 a e2/3 + k = 1 3 a e2/3 − +k =  2 2 a=0 k=1 Ejercicio 11 Doc Doc Volver Cerrar
  33. 33. MATEMATICASSoluciones a los Ejercicios 33 2º Bachillerato r=A+luEjercicio 12. Sea f (x) = 1 + x |x|, Como A 1 − x2 x≤0 d f (x) = 1 + x |x| = 1 + x2 0<x B s=B+mv SOCIALESlas primitivas de f (x) son  x − 1 x3 + C  F (x) = f (x) dx =  3 1 x<0 MaTEX 1 3  x + x + C2 0<x  3 Integralpara que pase por el punto (0, 1), exigimos que Definida F (0− ) = F (0+ ) = 1luego C1 = C2 = 1 Ejercicio 12 Doc Doc Volver Cerrar
  34. 34. MATEMATICASSoluciones a los Tests 34 2º Bachillerato r=A+luSoluciones a los Tests ASoluci´n al Test: En efecto o d d 2 2 B F (x) = (1 + x )dx = (1 + x ) s=B+mv dx SOCIALES Final del Test MaTEX Integral Definida Doc Doc Volver Cerrar
  35. 35. MATEMATICAS 2º Bachillerato r=A+lu A´Indice alfab´tico e d´Area, 11 B s=B+mv de una funci´n, 13 o SOCIALES entre dos funciones, 15, 17, 18integral definida, 3 MaTEX notaci´n, 5 oteorema Integral Definida funadamental del c´lculo, 6 a regla de Barrow, 9 Doc Doc Volver Cerrar 35

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