‫المحاضرة اللولى‬                                 ‫التحليل الجتجاهي)1(‬                                           ‫مقدمة ع...
‫2( كميات متجهة ‪vectors‬‬‫1( الكميببات القياسببية لوجتتميببز بببأن لهبا مقببدار ‪ Magnitude‬لوليببس لهببا‬           ‫اجت...
‫بعض أساسيات جبر المتجهات :‬‫1. يقا ل أن المتجهين متسالويان إذا كان لهما نفس المقببدار لوالجتجبباه بصببرف‬                ...
‫‪p ( A + B ) = pA + p B‬‬   ‫جتوزيع الضرب‬      ‫5.‬                                                                     ...
‫1. إن ناجتج الضرب يكون كمية قياسية لها مقدار فقط .‬                ‫2. ناجتج الضرب يسالوي صفرا إذا كان أحدهما عموديا على ...
‫لويمكببن إضببافة أخببرى لعمليببات الضببرب علببى المتجهببات لوهببي الضببرب الثلثببي‬‫للمتجهات ‪ Multiple Products of Vecto...
‫فيض المتجه ‪flux of vectors‬‬‫الفيض العمودي ‪ normal flux‬من متجه ما خل ل عنصر مساحة ‪ ds‬يعرف بأنه‬‫حاصل الضرب القياسي ب...
‫1 = ‪A = cos 2 α + sin 2 α‬‬      ‫1 = ‪B = cos 2 β + sin 2 β‬‬     ‫‪∴e A = cos αi + sin αj‬‬     ‫‪∴e B = cos βi + sin ...
‫‪ar‬‬                ‫‪aφ‬‬       ‫‪az‬‬                                                    ‫‪−π‬‬                       ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

التحليل الاتجاهي-

1,938 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
1,938
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
14
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

التحليل الاتجاهي-

  1. 1. ‫المحاضرة اللولى‬ ‫التحليل الجتجاهي)1(‬ ‫مقدمة عامة ‪General introduction‬‬‫جترجتبببط الكهرببباء لوالمغناطيسببية ارجتباطببا لوثيقببا لوقببد دفببع ذلببك العلمبباء الببى التفكيببر‬‫بطريقببة لوصببف الظببواهر الكهربيببة لوالمغناطيسببية بنظريببة موحببدة جتعببرف باسببم‬‫النظريببة الكهرلومغناطيسببية , لوقببد كببان للعببالم جيمببس ماكسببويل ‪James Clerk‬‬‫‪ Maxwell‬دلور بببارز فببي صببياغة هببذه النظريببة لوجتشببكيلها مببن كببم خل ل أربببع‬‫علقات هامة جتسمى علقات ماكسويل لومن هذه العلقات جتم اشتقاق معادلة الموجببة‬‫الكهرلومغناطيسية لوكانت جتشتمل على الرمز ‪ c‬لوالبذي لوجببد فيمببا بعببد أن قيمتببه فببي‬‫جتتفق بدرجة كبيرة مع سرعة انتشار موجات الضببوء فببي‬ ‫‪2.9979 ×10 8 m / s‬‬ ‫الفراغ‬‫الفراغ لوالتي أدت فيما بعد لتعببرف العلمبباء علبى طبيعببة موجببات الضببوء للو ل مببرة‬‫على أنها موجات كهرلومغناطيسية مثببل موجببات الراديببو لولشببعة السببينية لوغيرهببا‬‫لوالبتي جتختلبف عبن بعضبها فبي الطبو ل المبوجي لوجتجمعهبا جميعبا العلقبة الشبهيرة‬‫حيث ‪ v‬سبرعة الموجبة لو ‪ λ‬الطبو ل المبوجي لهبا لو ‪ ν‬هبو البتردد لوهبذا‬ ‫‪v = λυ‬‬‫يعني أن الموجات الكهرلومغناطيسببية جتمثببل طيفببا مببن الموجببات المختلفببة )طيببف‬ ‫كهرلومغناطيسي (‬ ‫1(التحليل الجتجاهي ‪Vector Analysis‬‬ ‫يمكن جتقسيم الكميات الفيزيائية إلى قسمين :‬ ‫1( كميات قياسية ‪scalars‬‬ ‫1‬
  2. 2. ‫2( كميات متجهة ‪vectors‬‬‫1( الكميببات القياسببية لوجتتميببز بببأن لهبا مقببدار ‪ Magnitude‬لوليببس لهببا‬ ‫اجتجاه ‪ direction‬مثل الطاقة لودرجة الحرارة لوالكتلة لوالطو ل‬‫الكميات المتجهة لوهي كميات فيزيائيببة جتتميببز بببأن لهببا مقببدار لواجتجبباه‬ ‫2(‬ ‫مثل الزاحة ‪ displacement‬لوالسرعة ‪velocity‬لوالعجلة ‪accelerat‬‬ ‫‪‬‬‫‪A, A‬‬ ‫‪ ion‬لوالقببوة ‪ force‬لوغيرهببا لويرمببز للكميببات المتجهببة بببالرمز‬‫لوهندسيا بسهم طوله يسالوي ألو يتناسب مع مقدار الكمية المتجهة لوالتي‬‫لوهببو مقيبباس المتجببه‬ ‫‪A‬‬ ‫يرمببز لهببا ب ‪ A‬بببدلون سببهم ألو بببالرمز‬‫‪ modulus‬لوفد جتكتب ‪ modA‬لويتألف المتجه من مركبببات فببي اجتجبباه‬‫محالور الحداثيات المستخدمة ففي الحداثيات الكارجتيزية يكون للمتجببه‬‫ثل ث مركببببببببببببببببات لويكتبببببببببببببببب علبببببببببببببببى الصبببببببببببببببورة‬‫ألو يعببببببوض عنهببببببا ب‬ ‫‪A = A 1 i + A 2 j + A 3k‬‬ ‫‪or‬‬ ‫‪A = A 1 e x + A 2 e y + A 3 ez‬‬‫كمبببا يمكبببن التعببببير عبببن مقبببدار المتجبببه بالعلقبببة‬ ‫} 3 ‪A = {A 1 , A 2 , A‬‬ ‫‪A‬‬‫,لوفببي‬ ‫= ‪eA‬‬ ‫‪A‬‬ ‫كما جتعرف لوحدة المتجه‬ ‫= ‪A = mod A‬‬ ‫2 ‪A1 + A 2 + A‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫3‬‫الحداثيات الكارجتيزية نرمز لوحدة المتجه في اجتجبباه المحببالور ب ‪i,j,k‬‬‫3‪ or e1,e2,e‬لوإذا كانت القيمببة العدديببة للمتجببه جتسببالوي صببفر سببمي‬‫المتجببه بببالمتجه الصببفري لويكببون ليببس لببه اجتجبباه ‪, Null Vector‬‬‫لوعندما يتم جتحديد موضع المتجببه بالنسبببة لنظببام إحببداثيات معيببن جتكببون‬‫النقطة ‪ (P(x,y,z‬نقطة إحداثياجتها )‪ (x,y,z‬لويكون المتجببه لهببذه لنقطببة‬ ‫هو‬ ‫‪r = xi + y j + z k‬‬ ‫= ‪r‬‬ ‫2 ‪x2 + y 2 +z‬‬ ‫2‬
  3. 3. ‫بعض أساسيات جبر المتجهات :‬‫1. يقا ل أن المتجهين متسالويان إذا كان لهما نفس المقببدار لوالجتجبباه بصببرف‬ ‫النظر عن لوضع نقطة البداية لكل منهما .‬‫2. المتجببه ‪ A‬هببو متجببه قيمتببه العدديببة جتسببالوي القيمببة العدديببة للمتجببه ‪, A‬‬ ‫لواجتجاهه عكس اجتجاه المتجه ‪. A‬‬‫3. مجموع متجهين هو متجه رأسه بداية المتجه اللو ل لوذيلببه نهايببة المتجببه‬ ‫الثاني.‬ ‫متجه صفري .‬ ‫‪A−A‬‬ ‫المتجه‬ ‫4.‬‫5. عند ضرب قيمة عددية ‪ p‬في متجه ‪ A‬نحصل علببى متجببه لببه قيمببة عدديببة‬‫‪ pA‬لوجتعطي متجه له قيمة عدديببة ‪ p‬مببن المببرات مببن المتجببه الصببلي لولببه‬‫نفس الجتجاه لوإذا ضربنا في –‪ p‬يكون بعكس الجتجاه لوإذا ضببربنا فببي صببفر‬ ‫نحصل على المتجه الصفري .‬ ‫بعض قوانين جبر المتجهات :‬ ‫‪A+B = B+A‬‬ ‫قانون التباد ل ‪commutation law‬‬ ‫1.‬ ‫القانون التجميعي ‪( A + B ) + C = A + ( B + C ) Associative law‬‬ ‫2.‬ ‫‪p (qA ) = ( pq ) A = ( qp ) A‬‬ ‫جتجميع الضرب‬ ‫3.‬ ‫‪( p + q ) A = pA + qA‬‬ ‫التوزيع الجمعي ‪distribution law‬‬ ‫4.‬ ‫3‬
  4. 4. ‫‪p ( A + B ) = pA + p B‬‬ ‫جتوزيع الضرب‬ ‫5.‬ ‫المجالت :‬‫إذا كببان لبديك منطقببة جتحيببط بمركببز دراسببة سببواء كببان شببحنة ألو مغنبباطيس ألو‬‫جسما آخر ألو ثقبا ...بحيث يظهر جتأثير مركز الدراسببة خللببه فبإن هببذه المنطقببة‬ ‫جتدعى مجال لوجتنقسم المجالت إلى نوعين قياسية لومتجهة :‬‫1. المجا ل القياسي ‪ : scalar field‬لويمثل عادة بدالة جتتحدد عند كل‬‫نقطة في الفراغ بقيمتها فقط دلون اجتجاه مثل دالببة الجهببد الكهربببي لشببحنة‬ ‫استاجتيكية‬‫المجا ل الجتجاهي ‪ : vector field‬لويمثل عادة بدالبة جتتحبدد عنبد‬ ‫2.‬‫كل نقطة في الفراغ بقيمتها العدديببة لواجتجاههببا مثببل السببرعة لوجتسببمى‬‫الدالة في هذه الحالة بالدالة المتجهة ألو جتسمى بمجا ل اجتجبباهي معببرف‬‫عهلببببى منطقببببة ‪ R‬مثببببا ل ذلببببك سببببرعة جسببببيم علببببى الصببببورة‬ ‫‪F( x, y , z ) = x 2 y i + 3xyzj + 4zk‬‬ ‫ضرب المتجهات ‪Multiplication of Vectors‬‬ ‫لوهناك نوعان من ضرب المتجهات :‬‫النببوع اللو ل : الضببرب القياسببي ‪ Dot of Scalar Product‬لويمكببن جتعريفببه‬‫أي ن الضببرب القياسببي يسببالوي حاصببل ضببرب‬ ‫‪A •B = A B cos θ‬‬ ‫بالعلقببة التاليببة‬‫القيمة العددية للمتجه اللو ل في القيمة العددية للمتجه الثاني في جيب جتمببام الزالويببة‬ ‫بينهما , لومن خصائص هذا النوع من الضرب :‬ ‫4‬
  5. 5. ‫1. إن ناجتج الضرب يكون كمية قياسية لها مقدار فقط .‬ ‫2. ناجتج الضرب يسالوي صفرا إذا كان أحدهما عموديا على الخر .‬‫3. إذا كان ناجتج الضرب يسالوي صفرا فهذا يعني إمببا أن أحببدهما عمببودي علببى‬ ‫الخر ألو أن أحدهما يسالوي صفرا .‬ ‫4. هناك عدة قواعد للضرب القياسي أهمها :‬ ‫‪A •B = B •A‬‬ ‫‪A • (B + C) = A • B + A • C‬‬ ‫‪p ( A • B ) = ( p A ) • B = A • ( p B ) = ( A • B )p‬‬ ‫1 = ‪i • i = j • j = k •k‬‬ ‫0 = ‪i • j = j •k = i •k‬‬ ‫2‪B2 = B2 + B2 + B‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪A • B = A xBx + A yBy + A zBz‬‬‫النوع الثبباني :الضببرب الجتجبباهي ‪Cross Product of Vector Product‬‬‫لوهندسببيا جتعنببي أنهبا‬ ‫‪A ∧ B = AB sin θ n‬‬ ‫‪,0 < θ < π‬‬ ‫لويمكن جتعريفببه بالعلقببة التاليبة‬‫مساحة متوازي الضلع الذي فيببه المتجهيببن ‪ A,B‬ضببلعان متجببالوران , لويسببالوي‬‫الضرب القياسي حاصل ضرب القيمة العددية لكل مببن المتجهيببن فببي جيببب الزالويببة‬‫بينهما في متجه الوحدة العمودي على المستوى البذي يوجبد فيببه المتجهبان . لومبن‬ ‫خصائص الضرب الجتجاهي :‬ ‫‪A ∧ B = −B ∧ A‬‬ ‫‪A ∧(B + C) = A ∧ B + A ∧ C‬‬ ‫‪p( A ∧ B ) = (pA ) ∧ B = A ∧ (p B ) = ( A ∧ B )p‬‬ ‫0 = ‪i ∧ i = j ∧ j = k ∧k‬‬ ‫,‪i ∧ j = k‬‬ ‫‪j ∧k = i‬‬ ‫‪,k ∧i = j‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪A ∧B = Ax‬‬ ‫‪Ay‬‬ ‫‪Az‬‬ ‫‪Bx‬‬ ‫‪By‬‬ ‫‪Bz‬‬ ‫5‬
  6. 6. ‫لويمكببن إضببافة أخببرى لعمليببات الضببرب علببى المتجهببات لوهببي الضببرب الثلثببي‬‫للمتجهات ‪ Multiple Products of Vectors‬لويمكن جتقسيمه أيضا إلى نوعين‬ ‫لوهما :‬ ‫الضرب الثلثي الجتجاهي :لويعطى بالشكل التالي‬ ‫‪( A • B )C = m C‬‬ ‫‪where‬‬ ‫‪m = A•B‬‬‫لويمكبببببن أن يأخبببببذ حاصبببببل الضبببببرب الجتجببببباهي الثلثبببببي الشبببببكل التبببببالي‬ ‫‪( A ∧ B ) ∧ C = ( C • A)B − ( C • B )A‬‬ ‫الضرب الثلثي القياسي لويعطى بالصورة‬ ‫‪Ax‬‬ ‫‪Ay‬‬ ‫‪Az‬‬ ‫‪A • ( B ∧ C) = Bx‬‬ ‫‪By‬‬ ‫‪Bz‬‬ ‫‪Cx‬‬ ‫‪Cy‬‬ ‫‪Cz‬‬‫لويعنببي ذلببك هندسببيا حجببم متببوازي اللوجببه الببذي فيببه ‪ A‬لو ‪ B‬لو ‪ C‬ثل ث أضببلع‬‫متجالورة لويجب أن نلحظ فيه ضببرلورة ضببرب ‪ cross‬ألول ثببم ‪ dot‬لويكببون حاصببل‬ ‫الضرب في هذه الحالة قياسيا أيضا لويسمى ‪. Triple scalar product‬‬ ‫مفاهيم هامة :‬ ‫متجه المساحة ‪vector of area‬‬‫جتمثل المساحة بمتجه يكون في اجتجبباه عمببودي علببى المسبباحة لوطببوله يتناسببب مببع‬‫‪ , dsy=dxdz‬لويمكن كتابته على‬ ‫مقدارها حيث ‪dsz=dxdy , dsx=dzdy‬‬‫حيث ‪ n‬هي متجه الوحدة العمودي على المساحة .‬ ‫‪ds =dsn‬‬ ‫الصورة التالية :‬ ‫6‬
  7. 7. ‫فيض المتجه ‪flux of vectors‬‬‫الفيض العمودي ‪ normal flux‬من متجه ما خل ل عنصر مساحة ‪ ds‬يعرف بأنه‬‫حاصل الضرب القياسي بين المتجه لوعنصر متجه المساحة . فمثل إذا كببان المتجببه‬‫‪ A‬يمثببل شببدة المجبا ل الكهربببي ‪ E‬فبإن الفيببض العمببودي الكهربببي للخبارج خل ل‬ ‫‪dE n = E • ds = E • n ds =E n ds‬‬ ‫عنصر المساحة ‪ ds‬نحصل عليه كالتالي :‬‫حيث ‪En‬مركبة شدة المجبا ل الكهرببي فببي الجتجباه العمببودي علبى السببطح للخبارج‬ ‫لويعطى الفيض الكلي بالعلقة التالية‬ ‫‪∫ A • ds‬‬ ‫‪= ∫∫ Ax dydz + ∫∫ Ay dxdz + ∫∫ Az dydx‬‬‫لوفي حالة التكامل علببى أسببطح مغلقببة فببإن اجتجبباه متجببه الزاحببة يشببير إلببى خببارج‬‫السطح اصطلحا , أي أن الفيببض الكلببي يمثببل معببد ل التغيببر الصببافي للمتجببه الببذي‬ ‫يغادر السطح المقيد للحجم المحصور .‬ ‫أمثلة :‬ ‫المثا ل اللو ل :‬ ‫أثبتي أن المتجهين‬ ‫‪A = cos α +sin α‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪B = cos β +sin β‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪j‬‬‫هما متجها لوحدة في المستوى ‪ xy‬حيث ‪α‬لو ‪ β‬همببا الزالويتببان اللتببان جتحببددان علببى‬ ‫محور ‪ x‬للمتجهين ‪A,B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫= ‪eA‬‬ ‫‪A‬‬ ‫,‬ ‫= ‪eB‬‬ ‫‪B‬‬ ‫الحل :يمكن إيجاد متجه الوحدة من العلقة التالية‬ ‫7‬
  8. 8. ‫1 = ‪A = cos 2 α + sin 2 α‬‬ ‫1 = ‪B = cos 2 β + sin 2 β‬‬ ‫‪∴e A = cos αi + sin αj‬‬ ‫‪∴e B = cos βi + sin βj‬‬ ‫المثا ل الثاني :‬ ‫ألوجدي الزالوية بين المتجهين‬ ‫‪A =i −3 j +2k‬‬ ‫‪B = − i +4 j −k‬‬ ‫2‬ ‫الحل‬ ‫‪A • B = AB cos θ‬‬ ‫=‪A‬‬ ‫2 ) 2 ( + 3 )3 − ( + 2 )1(‬ ‫41 =‬ ‫=‪B‬‬ ‫)3 − (‬ ‫2‬ ‫62 = )1− ( + ) 4 ( +‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪A • B = −3 −12 − 2 = −17 = AB cos θ‬‬ ‫‪A •B‬‬ ‫71−‬ ‫= ‪cos θ‬‬ ‫=‬ ‫98.0− =‬ ‫‪AB‬‬ ‫463‬ ‫00.351 = ‪θ‬‬ ‫المثا ل الثالث :‬‫ألوجدي متجه الوحدة العمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين ‪ A,B‬حيث‬ ‫‪A = 2a r + πaφ + a z‬‬ ‫3‬ ‫+ ‪B = −a r‬‬ ‫‪πaφ − 2a z‬‬ ‫2‬ ‫الحل :‬ ‫‪A ∧B‬‬ ‫= ‪en‬‬ ‫‪A ∧B‬‬ ‫8‬
  9. 9. ‫‪ar‬‬ ‫‪aφ‬‬ ‫‪az‬‬ ‫‪−π‬‬ ‫7‬ ‫2 = ∧ ‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪π‬‬ ‫1‬ ‫=‬ ‫‪a r + aφ + π z‬‬ ‫3‬ ‫‪4 a‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫2‬ ‫−‬‫1‬ ‫−‬‫2‬ ‫2‬ ‫∧ ‪A‬‬‫569. = ‪B = 12.25π + + π‬‬ ‫2‬ ‫9‬ ‫2 61‬ ‫61‬ ‫‪∴n = 0.65a r + .18aφ + .7 a z‬‬ ‫‪a‬‬ ‫−‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫الواجب :‬‫1. ألوجدي متجه الوحببدة العمببودي علببى المسببتوى الببذي يحببوي كل المتجهيببن‬ ‫التاليين :‬ ‫‪π‬‬ ‫− ‪A = 2ar + πaφ‬‬ ‫‪az‬‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫‪B = ar − πaφ‬‬ ‫3‬ ‫2. ألوجدي الزالوية بين المتجهين‬ ‫‪A =2i −7 j +4k‬‬ ‫‪B =5i +4 j −3k‬‬ ‫9‬

×